sistem dinamiği - biomechatronicsytubiomechatronics.com › wp-content › uploads › 2017 › 09...
TRANSCRIPT
Sistem Dinamiği
Bölüm 2- Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü
Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 1
Doç.Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Sunumlarda kullanılan semboller:
2
YorumEl notlarına bkz.
Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No
Denklem numarasıŞekil No
Şekil numarası Dikkat
Soru MATLAB
Şekil No
Tablo numarası
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Diferansiyel denklemler
Laplace Dönüşümü
Laplace kullanılarak eşitliklerin çözümü
Kesirlere ayırma yöntemi
Cevap parametreleri ve kararlılık
Transfer fonksiyonu
Impuls ve pay dinamikleri
Uygulama örnekleri
MATLAB ile katsayı hesaplama
MATLAB ile transfer fonksiyonu analizi
3
Bölüm 2 içerik:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Dinamik modeller, bir dinamik sistemi tanımlayan diferansiyel denklemlerdir.
Bu bölümde mühendislik uygulamalarında sık kullanılan diferansiyel denklemlerin analitik çözümleri üzerinde durulacaktır.
4
Giriş:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.1.Diferansiyel Denklemler:
5
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
ODE (ordinary differential equation) adi diferansiyel denklemler kısmi türevler içermeyen denklemlerdir.
Çünkü sistem dinamikleri zamana bağlıdır. ODE lerin bağımsız değişkeni zaman (t) parametresi olacaktır.
6
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
• Tüm fonksiyonların bağımlı değişkenleri eşitliğin sol yanında ve tüm
izole sabitler ve izole fonksiyonlar ise eşitliğin sağ yanında yer alır. • Eşitliğin sağ yanına giriş yada zorlama fonksiyonu denir. • Zamana bağlı bağımlı değişken çözüm yada yanıt (cevap) adını alır.
7
Tanımlar:
Cevap veya giriş
Bağımlı değişken
x(t): Yanıt veya çözüm
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
ODE
Çözüm x(t)’yi bulmak
x(t)=Ce-3t+0.5 C:sabit
Herhangi bir anda x’in özel bir değerini bilmiyor isek C bulunamaz.
t0: t=0 anı (başlangıç zamanı)
x0: başlangıç koşulu (t0 anında x’in değeri)
8
2.1.1. Başlangıç koşulları:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Diferansiyel denklemleri lineer ve nonlineer olarak sınıflandırabiliriz.
Lineer dif. denklemde; bağımlı değişkenler ve bunların türevleri lineer fonksiyonlardır.
Bağımsız değişkenin nonlineer fonksiyonu bir diferansiyel denklemi nonlineer yapmaz (aşağıdaki örneklerde t bağımsız değişken).
Aşağıdaki denklemler lineerdir:
9
2.1.2. Diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Aşağıdaki denklemler nonlineerdir.
10
2.1.2. Diferansiyel denklemlerin sınıflandırılması:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Sabit katsayılı dif. denklemleri çözerken başlangıç koşulları genelde 0 alınır. Bu çözümü basitleştirir.
bağımlı değişkenin en yüksek dereceli türevinin derecesi denklemin derecesi kabul edilir. Aşağıda 2. derece bir dif. denklem verilmiştir.
11
Değişken ve sabit katsayılı dif. denklem:
Değişken katsayılı dif. denklem
Sabit katsayılı dif. denklem
Bağlı (kuple=coupled) diferansiyel denklem
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 12
2.1.3. Direk integrasyon ile çözüm:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 13
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 14
2.1.4. Değişkenlerin ayrılması:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 15
Örnek 2.1.1.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 16
Şekil 2.1.1
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 17
2.1.6. Kökler ve Kompleks Sayılar:Tablo 2.1.1. Kökler ve kompleks sayılar
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 18
2.1.6. Kökler ve Kompleks Sayılar:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 19
Şekil 2.1.2 Şekil 2.1.3
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 20
Tablo 2.1.2. Eksponansiyel Fonksiyon
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.5. Cevap Parametreleri ve Kararlılık
21
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Genel olarak sistem dinamiklerindeki diferansiyel denklemler lineer ve sabit katsayılıdır.
Herbiri genel olarak sağ-yanlıdır.
Temel olarak birinci derece ve ikinci derece olmak üzere iki tipte bulunur:
22
Birinci derece:
İkinci derece:
Giriş:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 23
Tablo 2.3.2 Sabit bir giriş için Çözüm Formları
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.5.1. Sistem davranışının (cevap veya çözüm=response) değerlendirilmesi:
24
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Osilasyon
Eksponansiyel azalma
Sonuç
25
Sistem cevabının yorumu:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 26
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.5.2. Zaman Sabiti (Time Constant)
27
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Birinci dereceden sistem cevabı:
28
Aşağıdaki formda tekrar yazarsak:
: zaman sabiti olmak üzere:
Zaman sabiti, sistemin geçici durumu ve kalıcı hale ne zaman ulaşacağı konusunda bilgi verir.
MKT3131Sistem Dinamiği
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Zaman Sabiti:
29
Şekil 2.5.1 Sistem cevabı
4
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Zorlanmış fonksiyon sabit ise;
30
Zaman sabiti:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
t=4Tao sürede %98 kararlı hale gelir, t=5Tao sürede ise %99 kararlı hale gelir.
Buradaki fark çok küçük olduğundan genellikle mühendislik problemlerinde 4Tao süre kararlı hale gelme süresi olarak tanımlanır. Diğer yandan x(t) fonksiyonu sonsuza kadar tam olarak kararlı hale oturmayacaktır.
31
Zaman sabiti:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 32
Örnek 2.5.1:
Tablo 2.3.2’den
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.5.3. Baskın kök yaklaşımı (Dominant root approximation):
33
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Örnek 2.5.1 ‘de iki adet geçici zaman yanıt terimi vardır. Bunlar e-2t ve e-5t’ dir.
x(t)’nin zaman yanıtı incelenir ise e-2t’nin diğer terime göre daha geç 0 ‘a gittiği görülür.
Yani bu terim zaman yanıtını daha çok etkiler. Bu nedenle bu terime “baskın kutup” adı verilir. Aynı terimin zaman sabitine ise “baskın zaman sabiti” denir.
Ancak unutulmaması gereken bu terimlerin C1 ve C2 katsayılarının birbirine göre durumlarının da dikkate alınması gerekliliğidir.
Geçici durum yaklaşık olarak ne zaman tamamlanacaktır???
4Tao sürede. t=4x(1/2)=2 sn
34
Dominant kutup ve dominant zaman sabiti:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 35
Örnek (3.2.3 for 2nd Ed.):İkinci derece sistem cevabı, Kompleks Kökler
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Kökün negatif gerçek kısmının etkisi
Her çift aynı zaman sabitine sahip
36
Örnek 2.5.2 için sistem cevabı:Örnek 2.5.2
c=0, x(0)=10, dx(0)/dt=0
1,33
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.5.4. Zaman sabitleri ve Kompleks Kökler
37
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 38
Örnek: İkinci derece, İmajiner Kökler
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.5.5. Doğal Frekans (Natural Frequency):
39
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 40
Doğal Frekans Tanımı:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Sistem cevabı sabit genlikli bir osilasyon sinyalidir.
Genlik başlangıç koşullarına bağlıdır.
Osilasyon frekansı ve periyot başlangıç koşullarından bağımsızdır.
41
Doğal frekans tanımının yorumu:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.5.6. Sönümlü(bastırılmış) doğal frekans
(damped natural frequency)
42
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 43
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 44
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 45
Sönümlü doğal frekans
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 46
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
En büyük osilasyon frekansı c=0’da mümkündür. Bu durumda wn=wd olur.
Eğer c yeterince büyük ise wd sıfır veya imajinerdir. Kökler reeldir ve osilasyon yoktur.
wd=0 ve kökler reel ve birbirine eşit ise bu değer kritik sönüm değeri olarak adlandırılır.
Eğer c>2sqrt(mk) ise cevap eksponansiyel
Eğer c<2sqrt(mk) ise cevap osilasyon yapan bir sinyaldir.
47
Sönümlü doğal frekansın yorumu:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.5.7 Sönüm Oranı (Damping Ratio):
48
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Eğer iki kökte negatif veya negatif gerçek kısıma sahip ise 2. derece sistemin zorlanmamış cevabı sönüm oranı tarafından karakterize edilir.
Bazen sönüm faktörü olarak da adlandırılabilir.
49
Sönüm oranı:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Sönüm oranı bize sistem cevabının karakterini kolayca yorumlamamıza yardım eder.
50
Sönüm oranı:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 51
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 52
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 53
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 54
Tablo 2.5.1. İkinci derece modellerin cevap parametreleri:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.5.8 Kararlılık (Stability):
55
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Kararsız (unstable):
Bir sistemin zorlanmamış cevabı, zaman sonsuza gittikçe sonsuza gidiyor ise o sistem kararsızdır.
56
Kararlılık ile ilgili kavramlar:
Kararlı (stable): (asimptotik kararlı da denir)
Bir sistemin zorlanmamış cevabı, zaman sonsuza gittikçe 0’a yaklaşıyor ise o sistem kararlıdır.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Kritik kararlı (critically stable=neutral stability):
Sistemin zorlanmamış cevabı kararlılık ve kararsızlık sınırında ise sistem kritik kararlıdır. Sistemin zorlanmamış çözümü sonsuza veya 0’a yaklaşmaz.
57
Kararlılık ile ilgili kavramlar:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Bir sistemin kararlılığı karakteristik denklemin kökleri incelenerek tespit edilir.
58
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 59
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 60
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 61
2. derece sistem yorumları:
Şekil 2.5.4
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Bir modelin herhangi bir kökü pozitif reel kısma sahip ise kararsızdır.
Bir model sadece ve sadece karakteristik denkleminin tüm kökleri negatif reel kısma sahip ise kararlılıdır.
Bir modelin gerçek kısımları sıfır olmak üzere imajiner eksen üzerinde en az bir katsız kök bulunması ancak katlı kök bulunmaması ve sağ yarı düzlemde hiçbir kökün bulunmaması durumunda kritik kararlıdır.
62
Lineer sabit katsayılı modellerin kararlılık testi:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.5.9. Sarkaç örneği:
63
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Sürtünme yok ise kritik kararlı ‘dır.
Sürtünme var ise sistem başlangıç pozisyonuna döner. Kararlıdır.
64
Sarkaç hareketinin kararlılık açısından yorumu:
Şekil 2.5.5
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.5.10. Routh-Hurwitz Durumu:
65
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Karakteristik denklemi ms2+cs+k=0 formunda olan sistemler için m, c ve k katsayılarının işaretleri aynı ise sistem kararlıdır.
66
Routh-Hurwitz Kriteri:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.5.11. Kararlılık ve denge (equilibrium)
67
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Değişiklik olmama durumuna denge denir.
Sarkaç eğer menzili teta=pi ise teta=0 derece konumunda dengededir.
Teta=0 ‘da dengede kararlıdır. Teta=pi denge konumunda ise kararsızdır.
Bu durum bize farklı denge durumlarında kararlılığın değişebildiğini göstermektedir. Dolayısı ile sistemin tek başına fiziksel özelliklerine göre değil dengede bulunduğu yerlere göre kararlılık yorumlanmalıdır.
68
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Vadinin alt ucunda sürtünme yok ise top sonsuza kadar salınır. Kritik kararlı.
Eğer sürtünme var ise vadi tabanında durur. Kararlı.
Sürtünme var ise vadi dengesi lokal kararlı fakat global kararsız. Çünkü büyük bir kuvvet ile biz vadiden topu dışarı gönderirsek asla dönmeyecektir.
Bir dengenin global kararlı olması için sistemin başlangıç koşullarına dönüş şarttır.
Tepe noktada ise denge global kararsızdır.
Lineer modeller için kararlılık analizi karakteristik denklemin kökleri kullanılarak global anlamda yapılabilir. Ancak nonlineer sistemler bu inceleme lokal kararlılığı verilen bir denge noktası civarında yapılabilir.
69
Lokal ve global kararlılık:
Vadi denge
Tepe denge
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.6. TRANSFER FONKSİYONU
70
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
dx/dt+ax=f(t) (2.6.1)
x(0)=0 kabul edelim.
sX(s)+aX(s)=F(s)
T(s)=X(s)/F(s)
T(s): Transfer fonksiyonu
Transfer fonksiyonunun paydası karakteristik denklemdir. Sistem kararlılığı buradan analiz edilir.
Birden fazla giriş ve çıkış olan sistemlerde (MIMO) transfer fonksiyonları girişler için ayrı ayrı elde edilir. Sadece bir giriş aktif edilerek çıkışlar bulunur. Daha sonra süperpozisyon yaklaşımı uygulanır.
71
Transfer fonksiyonu:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 72
Örnek 2.6.2
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 73
Çözüm 2.6.2:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 74
Çözüm 2.6.2:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 75
Çözüm 2.6.2:
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.7. Impuls ve pay dinamikleri:
76
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
L’Hospital Limit Kuralı:
77
2.7.1 Impuls
Eğer A= 1 ise birim impuls adını alır. “Dirac delta” olarak da adlandırılır ve dinamik sistem analizinde sık kullanılır.
Darbenin kuvveti
Şekil 2.7.1
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Giriş (g(t))’nin türevi transfer fonksiyonunun payına bir s terimi ekledi. Bu tip modellere pay dinamiklerine sahiptir denir.
78
2.7.2. Pay dinamikleri:
Eğer g(t), us(t) ise
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
2.8. Ek örnekler: Örnek 2.8.1 Örnek 2.8.2 Örnek 2.8.3 Örnek 2.8.4 Örnek 2.8.5 Örnek 2.8.6 Örnek 2.8.7
79
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 80
Örnek 2.8.1.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği 81
Örnek 2.8.2.
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Bölüm 2’nin özeti:
82
MKT3131-Sistem DinamiğiBölüm 2
Dr. Erhan AKDOĞANYTÜ-Mekatronik Mühendisliği
Diferansiyel denklemler ve Laplace transformasyonu
Zorlanmamış, zorlanmış, geçici hal ve kalıcı hal yanıtları
İmpuls giriş ve girişin türevlerinin sistem cevabına etkileri
Doğal frekans, sönüm oranı, zaman sabiti
Kararlılık
83
Referans: System Dynamics, William Palm III, McGraw-Hill Education; 3 edition (March 19, 2013)