Coordinacin General de Investigacin y Postgrado Grupo de Investigacin en Simulacin, Opimizacin y Muestreo

Fundamentos de Modelado y Simulacin. Ing Jorge I. Paolini Ruiz

Modelos y Simulacin de Sistemas

Una herramienta para la toma de decisiones

Introduccin

La simulacin es una herramienta para la toma de decisiones que se sustenta enun modelo de un sistema fsico diseado o de un sistema de actividades humanasque refleje los intereses del decisor. En este breve escrito se muestran losprincipios del modelado y su relacin con el mtodo de la ciencia con el propsitode fundamentar las decisiones de la gerencia moderna con criterios objetivos.

Discutimos en primer lugar los conceptos de simulacin y de modelo, luego sepresentan los tres patrones del mtodo cientfico R-R-R y se hace la conexin conel modelado de sistemas. Se muestran los tipos de modelos, incluyendo losmodelos conceptuales como punto de partida para la simulacin. Se comentan losdiferentes mtodos para generar nmeros aleatorios con el propsito de ilustrar suuso en una simulacin real.

Desarrollamos unas ideas alrededor de la solucin de problemas y la conexin dela simulacin con la gerencia. Se ofrecen unas guas metodolgicas para eldesarrollo de modelos de simulacin y se dan varias definiciones de simulacinque han aparecido a lo largo de aos. El escrito se cierra con las definiciones deprobabilidad para ser utilizadas en el desarrollo de un taller vivencial.

Conceptos de modelado y simulacin de sistemas

El objeto de una disciplina lo entendemos como el asunto de que trata u ocupa.La simulacin se ocupa de disear modelos de sistemas para hacer experimentosy poder observar lo que ocurre en esas representaciones cuando se varan losvalores de las variables que impactan de mayor manera en la realidad modelada.Sin embargo, el fin de la simulacin es el de esclarecer dudas sobre el sistema osistemas que estn bajo estudio. Definimos sistema como un conjunto deelementos relacionados entre s, en funcin de un objetivo comn, actuando en unambiente especfico. Se destaca en la definicin la idea de un conjunto deelementos, la relacin entre los elementos, el ambiente en el cual el sistema sedesenvuelve y el objetivo o fin del sistema.

Los modelos para la simulacin no son un fin en s mismo, sino el vehculo quenos permite andar por el camino de la incertidumbre. Shannon(1) comenta que labsqueda del conocimiento por el conocimiento mismo es un objetivo loable yplausible, pero muy pocos gerentes apoyaran a un grupo de modeladores cuyosresultados no se apliquen. Construir modelos de sistemas involucra resolver una situacin problemticaobservando una situacin particular. Se modelan actividades y procesos que lesean relevantes a una organizacin. Situaciones que se relaciones con losobjetivos de las organizaciones con el propsito de ayudar a comprender lacomplejidad que subyace en la operacin de los sistemas y comprender losprocesos de esa organizacin. Los modelos representarn entonces aquellosaspectos de inters para el dueo del sistema.

Concepto de Simulacin

Simulacin es una palabra que se encuentra ligada a la jerga cotidiana de loscomputistas, informticos y de los gerentes modernos. Para Narsingh Deo(2)simular es copiar el comportamiento de un sistema o fenmeno bajoestudio. La simulacin es una herramienta asociada a la toma de decisionesen los diferentes niveles de una organizacin, ya que permite ver eldesempeo de un sistema existente o propuesto en trminos de las variablesrelevantes de ese sistema.Para simular un sistema se debe tener claridad de las caractersticas ycategoras que se quieren observar, as como tambin la estructura asociada aese conjunto de caractersticas. Se debe construir un modelo que represente lorelevante del sistema bajo observacin, aun cuando el sistema en cuestin noexista.

Un modelo para experimentacin es el ncleo de la simulacin: unarepresentacin que nos provea las caractersticas necesarias para observar loque sucedera en un sistema si alteramos un conjunto de variables. En estesentido un modelo de simulacin permite observar comportamientos propuestos

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por el experimentador. Shannon(3) define la simulacin como el "proceso dedisear un modelo de un sistema real y realizar experimentos con l paraentender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias (dentrode los lmites impuestos por un criterio o por un conjunto de criterios) para laoperacin del sistema".

La ciencia se caracteriza por tres patrones de actividad: el Reduccionismo, laRepetibilidad y la Refutacin (R-R-R). El Reduccionismo simplifica los fenmenosutilizando variables, categoras o atributos relevantes, es decir, se reduce larealidad observada a unas cuantas variables que impactan en mayor grado en elsistema bajo estudio. Se aplica entonces el supuesto de economa o Navaja deOckham que lleva a preferir los supuestos ms simples que se ajustan a loshechos(4). Hacer reduccionismo significa aceptar la explicacin mnima para loshechos que queremos conocer. El patrn cientfico de la repetibilidad se hizopatente en la experimentacin, este tipo especial de patrn permiti ejecutar unrepetido nmero de veces lo que quera observarse. La repetibilidad permite laobservacin sistemtica de las regularidades que busca la ciencia.

Es la repetibilidad la que le da a la ciencia una nocin de objetividad, deja de ladola subjetividad de las opiniones de los hechos observados. La medicin estasociada a la repetibilidad, ya que esta potencia la objetividad y la coloca en elmarco de una significacin global. Finalmente, la refutacin permite a la ciencia ladiscusin de sus resultados, rebatir los resultados obtenidos y al mismo tiempodefender lo que se quiere probar. La refutacin profundiza el carcter deobjetividad de la ciencia y es un elemento que propicia su crecimiento. Buenaparte de la ciencia est sustentada en la dinmica de disear conjeturas yrefutaciones alrededor de las cosas y hechos del Universo. La simulacin sesustenta en estos tres patrones caractersticos de la ciencia, ya veremos como elprincipio fundamental del modelado es la Reduccin de la realidad.

Capra(5) nos escribe algo fundamental: todos los fenmenos naturales seconsideran finalmente como interconectados y para explicar cualquiera de ellosnecesitamos comprender todos los dems, lo que es evidentemente imposible. Loque hace que la ciencia tenga tanto xito, es el hecho que sean posibles lasaproximaciones. Si a uno le basta con la comprensin aproximada de lanaturaleza, puede describir de ese modo determinados grupos de fenmenos,haciendo caso omiso de otros fenmenos de menor importancia. As, uno puedeexplicar muchos fenmenos a partir de unos pocos y por consiguiente comprenderdistintos aspectos de la naturaleza de un modo aproximado, sin tener quecomprenderlo todo simultneamente.

Tipos de Modelos

Shannon(6) nos proporciona el concepto de modelo como "una representacinde un objeto, sistema, o idea, de forma diferente a la de la identidad misma. Enla prctica de la simulacin existen diversas maneras de representar un

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sistema. Los modelos icnicos, los modelos analgicos y los modelossimblicos se utilizan para simular sistemas, sin embargo, los modelosconceptuales nos proporcionan una entrada a la modelacin de sistemas.

Un modelo conceptual es una construccin terica, bien sea una construccinconceptual de un sistema real que se corresponde con un mundo percibido, comolos modelos para simulacin o construcciones simblicas abstractas como lasprobabilidades. La ecologa es un sistema conceptual que nos ayuda a interpretarla realidad de las relaciones entre ambiente y seres vivos. Bajo la definicinanterior la ecologa es un sistema conceptual abstrado de la realidad. Mientrasque una planta de produccin es un sistema real. Una compaa como laSiderrgica del Orinoco C.A. es un sistema real, de SIDOR podemos construir unsistema conceptual abstrado que nos muestre el proceso de cambio ytransformacin de los pre-reducidos y la chatarra en acero para construirlaminados para envases.

El telurio es un tipo clsico de modelo icnico, en este aparato se representanen una escala apropiada la tierra, la luna y el sol. Este modelo se utiliza parasimular los eclipses y para observar el movimiento tierra-luna con el sol fijo. Enlos modelos icnicos se produce un cambio de escala de los objetos que serepresentan. Las representaciones de los tomos y molculas que se utilizan enlas clases de qumica son un tipo de modelo icnico.

En los modelos analgicos se usan propiedades y caractersticas sustitutivaspara representar las de la identidad original o sistema. Se hace una sustitucinconveniente de una propiedad por otra. Churchman, Ackoff y Arnoff (7) lo ilustranas: "no es posible reproducir convenientemente la estructura geolgica de latierra en una esfera armilar, pero s es posible representar diversos tipos deformaciones geolgicas por medio de diferentes colores. Al hacerlo asestamos haciendo una sustitucin conveniente (estructura geolgica) por otra(color) de acuerdo con ciertas normas de transformacin". Es comn la sustitucinde un conjunto de propiedades fsicas por otro, es el caso de corrienteselctricas y caudales de agua: fluidos a los que se le asocian propiedadesanlogas.

El objeto del modelado de sistemas es el diseo y estudio de modelossimblicos para el anlisis de alternativas o escenarios. Un modelo simblicoes aquel que describe las propiedades del sistema utilizando relacionesmatemticas. El uso de variables que reflejen la estructura del sistema seconsidera como objetivo esencial en el desarrollo de modelos simblicos.

Carlos Domingo(8) comenta que "una de las dificultades que se halla en eldiseo de los modelos matemticos es la traduccin al lenguaje matemtico delconocimiento que se tiene sobre el sistema". La experiencia que se haacumulado en simulacin apunta hacia metodologas especficas en un ampliorango de sistemas.

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Existen modelos basados en diferencias finitas, elementos finitos, clculomatricial, teora de colas, cadenas de Markov, distribuciones tericas deprobabilidad, etc. Se han explorado alternativas adicionales a la matematizacinde los modelos. Los modelos basados en estructuras de datos han arrojadoresultados interesantes, en la actualidad se tienen desarrollos utilizando laprogramacin orientada a objetos (OOP) y las estructuras de datos pararepresentar las entidades del sistema que se desea simular.

Simulacin y Nmeros Aleatorios

La cuestin de los nmeros aleatorios no debe dejarse al azar, ya que lo quesignifica el azar en la simulacin de sistemas se debe en buena medida a losnmeros aleatorios. Una serie de nmeros aleatorios es "una serie de nmerostales que, del conocimiento de los ya obtenidos en la serie, es prcticamenteimposible conocer cual ser el prximo" (9). Siempre han existido intentosingeniosos para producir nmeros aleatorios.

Entre las tcnicas ms conocidas se resean en Naylor(10): los mtodos manuales,las tablas de biblioteca, los mtodos de computacin analgica y los decomputacin digital. Los mtodos manuales son muy ilustrativos, nos muestran cmo un nmerogenerado es independiente de otro. Para producir nmeros mediante estemtodo se utilizan fichas numeradas, cartas de juego, dados, monedas, ruletas,etc. Entre las dificultades de este mtodo tenemos la lentitud y la imposibilidadde repetir una serie de nmeros. Los mtodos de Computacin Analgicaestn basados en la transformacin de la lectura de un proceso fsico adgitos aleatorios. Los nmeros producidos por este mtodo poseen ciertascaractersticas aleatorias, sin embargo, adolecen igual que los procedimientosmanuales de la condicin de reproducibilidad.

Finalmente, consideremos los mtodos utilizados en los computadoresdigitales, dentro de estos mtodos podemos incluir los dgitos aleatoriosprovenientes del almacenamiento de tablas en dispositivos duros, los producidospor procesos fsicos y los generados a travs de relaciones de recurrencia. Elproblema del almacenamiento y de la repetibilidad se resuelve utilizandorelaciones de recurrencia, es decir, producir nmeros segn una transformacinque d la sensacin de impredecibilidad. A tales series de nmeros se les hallamado nmeros seudoaleatorios.

En los mtodos de recurrencia, cada nmero generado se utilizar para producirel siguiente utilizando alguna operacin sencilla, como la que se muestra acontinuacin: Xn= a*Xn-1 mdulo m. El valor del n-simo nmero se obtiene apartir del anterior. La secuencia de nmeros generadas por estos mtodos puedeconsiderarse aleatoria para un programa-usuario. La implementacin de una rutinao procedimiento computacional que produzca dgitos de esta naturaleza es de

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muy bajo costo en desarrollo y representa una ventaja grandiosa sobre losmtodos mencionados anteriormente. Sobre la escogencia adecuada de losvalores de X0, m y a pueden consultarse a Carlos Domingo(11) y a Coss Bu(12).

Existe una gran cantidad de modos para generar dgitos con ciertaspropiedades que se consideren series aleatorias. Un interesante estudio sobrediferentes tipos de generadores aleatorios basados en relaciones aritmticaspuede conseguirse en Karian y Dudewicz(13). Una serie de nmeros debe serprobada adecuadamente(14) para usar con tranquilidad aleatoria el generador quela produjo y as garantizar en un modelo la aleatoriedad que requieren algunosfenmenos reales.

Simulacin de Sistemas y Solucin de Problemas

La idea de que existe una distancia entre el deber ser (metas, objetivos,propsitos, etc.) y lo que se tiene a la vista, los hechos, nos lleva al concepto desituacin problema. La tensin que se crea entre lo que se desea D y lo que setiene R define un problema P, donde t es el momento o temporalidad en la que sedefine el problema. Podemos establecer esa distancia como la relacin:

P (t) = D (t) R (t)

Cuando tal situacin puede estar sujeta a ser aprehendida en trminos devariables que pueden medirse o enumerarse, nos acercamos a una situacinposible de ser modelada. Acaso modelamos un problema? Lo que est sujeto deser modelado es el conjunto de categoras o variables que son pertinentes a lasituacin bajo estudio. El propsito del modelo debe apuntar hacia la validacin delas situaciones reales y luego hacia la evaluacin de estrategias posibles ofactibles. La evaluacin de estas estrategias debe ser hecha por el dueo delproblema.

Un modelo es una representacin reducida de la realidad y por tanto elconjunto de posibilidades a evaluar es determinado. Un modelo de simulacintiene un conjunto finito de alternativas, a medida que deseemos incorporar nuevasposibilidades el modelo se hace ms complejo en cuanto a su estructura y a sussalidas. Se recomienda tomar un nmero manejable de variables, para hacer delmodelo una herramienta til y no un pesado dispositivo de interpretacin.Shannon(15) dice que "el modelo tambin debe ser capaz de contestar laspreguntas del tipo que ocurrir si" (What if...).

Un modelo debe tener la posibilidad de ir incrementando su rango de escenarios aevaluar para cubrir un espectro amplio de posibilidades sin que se pisen losumbrales de la utopa. La pregunta radical que cabra hacerse despus de disearun modelo de un sistema particular es la siguiente: Qu cambios se puedenintroducir en la estructura vital del sistema bajo estudio? La respuesta est sujeta

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a la vivencia que se tenga de la situacin y de la representacin que se haga delsistema observado. Cuando modelamos no ejercemos ninguna influencia efectivasobre la realidad observada. El verdadero papel que se ejerce en el teatro de lasimulacin se puede resumir en dos actos: el primero, comprender los hechospara tener un modelo del sistema (acto de creacin) y el segundo comparar loshechos que arroja el modelo ideado con la realidad modelada (acto deconfrontacin).

Simulacin y Gerencia

La creacin del conjunto de reglas, ecuaciones e implantacin del modelo se dejanal especialista en modelado. Naturalmente esta posicin no excluye a un gerenteaficionado por el arte de disear modelos de sistemas. La tarea de la gerencia esla de interpretar las salidas o resultados de la ejecucin de un modelo. Loscambios, mejoras, interpretacin de los resultados para la toma de decisionessern realizados por el gerente-dueo del sistema que contiene el problema.

La idea no es aislarse de la toma de decisiones que involucran al sistemamodelado, sino la de establecer los lmites del modelo. Una de las tareas de lasimulacin es la de proveer -al que toma decisiones- de una herramienta quecuantifique los hechos que le son relevantes, en este sentido pensamos que elmodelado de sistemas tiene una importancia vital en la realizacin de la gerenciamoderna. El gerente debe conocer y aplicar herramientas que cuantifiquenobjetivamente las situaciones que intervienen en su actividad cotidiana y queimpactan en su quehacer, sin que esto signifique que su tarea esencial es ladisear modelos. Su tarea es la de utilizar cuanto antes el modelado de sistemapara que aproveche los beneficios de los mtodos y tcnicas del presente.

Lneas Metodolgicas para disear Modelos

Es un gran compromiso dar una gua metodolgica para disear modelos desimulacin. Cada desarrollo de un modelo es un ejercicio muy particular y losdiseadores adquieren un conocimiento y una percepcin del sistema bajoobservacin que los hace adoptar un punto de vista especfico de acuerdo a lasituacin planteada. La visin se unifica alrededor de los criterios utilizados paramodelar el sistema y se suscribe un marco comn de observacin que filtra losfenmenos, actividades, eventos del sistema en cuestin. A pesar de lo anterior, ala hora de desarrollar un proyecto de simulacin, es muy importante tener encuenta el alcance y el nivel de un modelo. Denominamos alcance al rango deamplitud del modelo. La respuesta a las preguntas: Qu se debe incluir en elmodelo?, Cules sistemas deben incluirse?, nos da la idea del alcance de unmodelo, de su extensin. As mismo, denominamos nivel a la cantidad de detalleo profundidad que se requiere para cumplir los objetivos del proyecto o respondera los planteamientos del problema. El alcance y el nivel generaran la exactitud delmodelo. Cuando nos preguntemos acerca de la exactitud, existe una regla

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fundamental que asegura que: se debe incluir en el modelo la mnima cantidad dedetalle que se requiera para cumplir con los objetivos del proyecto (16).

Existen algunos mtodos de simplificacin(17) o de reduccin que pueden sertiles en el momento de disear modelos, tenemos el modelado caja negra (blackbox modeling), la divisin de modelos o llamada tambin modelado en cascada, lainclusin sucesiva (agregacin) y la exclusin sucesiva (desagragacin).

En el modelado de caja negra se integra un grupo de procesos o sistemas conuna nica entrada y salida, sin detallar internamente cada actividad, ni especificarlo que implica lo que cubre la caja. Un elemento representa una agrupacin.

En el modelado en cascada se dividen los procesos complejos para hacerlosmanejables en cuanto al nivel, para enlazar el sistema se requiere que la salida deun sub-sistema sea la entrada del prximo sub-sistema. Cada sub-sistema seconsidera como un modelo. Esta divisin tiene una doble ventaja, en primer lugardivide el trabajo y facilita las labores de prueba y validacin.

La inclusin sucesiva agrega nivel en cada paso, este incremento de nivel semanifiesta en un aumento de las variables y de las relaciones entre estas, o mayoralcance que a su vez se manifiesta con la incorporacin de sistemas y procesosque aumenten la exactitud del modelo. La exclusin sucesiva por el contrarioelimina relaciones no relevantes o relaciones redundantes que no aportanexactitud. Elimina niveles de detalles que no son requeridos.

Existen tres principios bsicos(18) o normas que rigen el diseo de los modelossimblicos, estos principios son: Conservacin, Equilibrio y Tasa. El principio deconservacin establece que lo que entra al sistema debe salir, aunque sea enotra forma, en el caso de la energa sabemos que existen transformaciones quedeterminan la conservacin. Este principio es muy importante en los modelos debalance. El principio de equilibrio establece que un sistema aislado por unperodo de tiempo suficiente, se asentar (converger) en un estado de equilibrioen el cual las condiciones no cambiarn. El principio de tasa establece que lasvariaciones de una magnitud para dos tiempos diferentes t0 y t1 viene dada por larelacin entre las magnitudes, estas relaciones pueden estimarse o derivarse deleyes fsicas conocidas o por experimentacin. Metodologa de Jenkins

Las fases y las sub-fases de la metodologa de los sistemas duros desarrolladaspor Jenkins(19) pueden seguirse para el comienzo de un desarrollo de un proyectode simulacin como se muestran en el siguiente esquema:

1. Anlisis del Sistema.1.1 Formulacin del problema.1.2 Definicin del sistema.

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1.3 Definicin del sistema ampliado.1.4 Definicin de los objetivos del sistema ampliado.1.5 Definicin de los objetivos del sistema.1.6 Definicin de las medidas generales de ejecucin.1.7 Recoleccin de informacin y datos.

2. Diseo del Sistema.2.1 Formulacin del Pronstico o prediccin.2.2 Construccin del modelo y simulacin. 2.3 Optimizacin.2.4 Control.2.5 Confiabilidad.

3. Implementacin.3.1 Documentacin y aceptacin.3.2 Construccin.

4. Operacin.4.1 Operacin inicial.4.2 Evaluacin retrospectiva.4.3 Operacin mejorada.

Jenkins no sugiere que todos los proyectos de sistemas necesariamenteproceden segn las etapas indicadas anteriormente, por el contrario, ellas seintentan solo como directrices generales para estructurar el pensamiento delsimulacionista.

La breve descripcin siguiente est dirigida a iluminar la naturaleza bsica y lastareas envueltas en cada fase de la metodologa anterior.

1. Anlisis: Esta fase comienza por formular el problema, mientras se interroga agerentes y otras personas en la organizacin y se rene un equipo desistemas ad hoc, basado en el alcance del problema, entonces se vuelve aenunciar el problema en trminos de sistemas, debatiendo cual es el sistema ycules son los sub-sistemas (alcance para el modelo) que se deben incluir. Losobjetivos ms relevantes de cada sistema se deben debatir a luz de losobjetivos del sistema ampliado. Una vez que se est de acuerdo con losobjetivos, se definir un criterio para medir la ejecucin del sistema en alcanzarsu objetivo. La etapa final del anlisis est consagrada a reunir datos einformacin requeridos para modelar el sistema y tambin para hacerpronsticos del ambiente, en el cual el sistema tendr que operar en el futuro.

2. Diseo del sistema: El primer paso en la etapa del diseo es pronosticar laconducta de los factores vitales para el sistema, dentro de su ambienteinmediato, mientras se determina la precisin. Luego se hace el intento depredecir la ejecucin del sistema sobre un amplio rango de condicionesoperacionales y se calculan los costos asociados a las diferentes maneras de

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poner en operacin el sistema. Esto se hace construyendo un modelo(descripcin cualitativa de la conducta del sistema) que sea suficientementeadecuado como para representar la situacin del mundo real. En esta etapa sedeben tomar precauciones para asegurar la confiabilidad del sistema.

3. Puesta en ejecucin: el fin del anlisis de sistemas debe orientarse a conseguirque las cosas se hagan o a motivar acciones racionales para que tenga lugar elproducto final de un estilo de sistemas, en la implementacin se disea unreporte de propsitos para la accin, de aqu que el primer paso al tratar deponer en ejecucin el sistema sea la documentacin del estudio y susresultados mientras se adelantan los argumentos profundos para los propsitosidentificados al final de la optimizacin. Una vez que los propsitos seanpresentados y aprobados por la organizacin, entonces se necesita desarrollaralgn tipo de hardware y/o software antes de poner en ejecucin la operacindel sistema.

4. Operacin: Como el sistema ha sido diseado por un equipo que generalmenteno lo opera despus de su puesta en ejecucin, es importante que exista un lazoefectivo entre el equipo de sistemas y los usuarios del sistema durante suoperacin inicial (en el caso de sistemas diseados o re-diseados).

El proceso de manipulacin debe tener lugar despus de una adecuadadocumentacin de las normas operacionales mientras se consigue unentrenamiento avanzado. Despus que el sistema ha sido mejorado porsuficiente tiempo, el equipo debe colaborar con los usuarios en construir unaevaluacin retrospectiva del funcionamiento del sistema y puede, porconsiguiente, ser requerido para mejorar la operacin con el objeto de alcanzar unfuncionamiento estable.

SIMULACION DE SISTEMAS y MODELADO

PREGUNTAS DE REVISION 1. Qu entiende por Simulacin?2. Explique brevemente lo que comprende por Modelo.3. Enumere los diferentes tipos de modelos.4. Explique qu son los modelos conceptuales?5. Crees que el Modelado de Sistemas utiliza las caractersticas deReduccin, Repetibilidad y Refutacin de la Ciencia? Explique para cada patrnsu idea.

6. Disee un modelo conceptual de un sistema conocido por usted. Utilice losMtodos de Simplificacin y los Principios de Modelado.

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7. Escriba algunas conclusiones sobre la Simulacin como herramienta para tomardecisiones.

Notas y Referencia bibliogrficas

1. Shannon, R. (1988). SIMULACIN DE SISTEMAS. DISEO, DESARROLLO EIMPLEMENTACIN. Editorial Trillas.

2. Deo, N. (1983). SYSTEM SIMULATION WITH DIGITAL COMPUTER. Prentice Hall Inc. 3. Shannon, R. op cit.

4. Bateson, Gregory. (1980). ESPIRITU Y NATURALEZA. Amorrortu Editores. Buenos Aires. Argentina.

5. Capra, Fritjof. (1990) Sabidura Inslita. Editorial Kairs. 6. Shannon, R. op cit.

7. Churchman, C., Ackoff, R. y Arnoff, E. (1973). INTRODUCCIN A LAINVESTIGACIN OPERATIVA. Editorial Aguilar.

8. Domingo, Carlos. (1990). SOLUCIN DE PROBLEMAS MEDIANTE MODELOS DESIMULACIN. U.L.A. Instituto de Estadstica Aplicada y Computacin. Mrida.Venezuela.

9. Domingo, Carlos. (1983). GENERACIN DE NMEROS ALEATORIOS. Universidadde los Andes. Instituto de Estadstica Aplicada y Computacin. U.L.A. MridaVenezuela.

10. Naylor, Balintfy, Burdick y Kong Chu. (1973). TCNICAS DE SIMULACIN ENCOMPUTADORES. Editorial Limusa. Mxico.

11. Domingo, Carlos. (1983), op. cit.

12. Coss Bu, R. (1982). SIMULACIN, UN ENFOQUE PRCTICO. EditorialLimusa. Mxico.

13. Karian, Z. y Dudewicz, E. (1991). MODERN STATISTICAL, SYSTEMS, ANDGPSS SIMULATION, THE FIRST COURSE. W.H. Freeman and Company.

14. Para un tratamiento interesante e ilustrativo de las pruebas para seriesseudoaleatorias vase a Atkinson A. C. (1980). TEST OF PSEUDO-RANDOMNUMBERS. Appl. Statis., 29, N 2, pp 164-171.15. Shannon, R. op cit.

16. Robinson, S. (1994). Simulation Projects: Building de Right Conceptual Model.Industrial Engineering.

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17. Robinson, S. (1994). Op. Cit.

18. Gunawardena, W. (sin fecha). Conceptos relacionados con la Construccin deModelos de Sistemas. Mimeografiado no publicado EISULA.

19. Jenkins, G. W. (1969).SYSTEMS APROACH. Journal of Systems Engineering. Vol 1N1. Universidad de Lancaster. Inglaterra.

Definiciones de Simulacin

Martin Shubik (1960)

Simulacin de un sistema es la operacin de un modelo, el cual es unarepresentacin del sistema. Este modelo puede estar sujeto a manipulaciones queseran imposibles de realizar, demasiado costosas e imprcticas. La operacin deun modelo puede estudiarse y con ello, inferirse las propiedades concernientes alcomportamiento del sistema o subsistema real.

Thomas Naylor (1966)Simulacin es una tcnica numrica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipo de relaciones matemticas y lgicas, las cuales son necesarias para describir el comportamientoy la estructura de sistemas complejos del mundo real a travs de largos periodos de tiempo. Robert Shanon (1975)Simulacin es el proceso de disear y desarrollar un modelo computarizado de unsistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propsito deentender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con lascuales se puede operar el sistema. .Azarang y Garca Dunna. (1996)Simulacin es el desarrollo de un modelo lgico-matemtico de un sistema, de talforma que se obtiene la imitacin de la operacin de un proceso de la vida real ode un sistema a travs del tiempo.

David Rios, Sixto Rios y Jacinto Martn (2000)

La Simulacin consistir en construir un programa de computador que describa elcomportamiento del sistema de inters, o refleje el modelo que lo representa, yproceder a experimentar con el programa o modelo para llegar a las conclusionesque apoyen la toma de decisiones.

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Experimentos Aleatorios, Eventos y Probabilidad.

Los fenmenos reales los podemos clasificar en determinsticos y aleatorios. Enun fenmeno determinstico las condiciones implcitas determinan el conjunto deresultados posibles, as para una determinada condicin se pueden especificar lassalidas o resultados.

En los fenmenos aleatorios las condiciones del experimento determinan elresultado probabilstico. Muchos de los hechos reales pueden ser entendidoscomo fenmenos aleatorios. En nuestro curso nos ocuparemos de este ltimo tipode fenmenos y los trataremos -en primera instancia- a travs de los conceptos deexperimento estadstico y probabilidad. Un experimento estadstico es unproceso generador de datos al azar, con cada experimento podemos asociar unconjunto denominado espacio muestral. Si el experimento consiste en extraer deuna caja una tarjeta, de un conjunto de tarjetas numeradas del 1 al 5, el conjuntode resultados posibles es

S = { 1, 2, 3, 4, 5 }

El espacio muestral S est asociado al experimento de extraccin de una tarjeta.Podemos adicionalmente considerar algunos eventos posibles, sea A el evento deextraer un nmero impar, el evento A est formado por el siguiente conjunto A ={ 1, 3, 5 }, sea B el evento de extraer un nmero menor a 3, el evento B = { 1, 2 },sea C el evento cuyos puntos muestrales sean mayores a 4, entonces el eventoen cuestin es C = { 5 } .

Si hacemos operaciones entre eventos pueden resultar algunos eventosinteresantes, por ejemplo, podemos encontrar la unin entre B y C, que sera elconjunto que contiene los elementos menores a 3 mayores a 4, entonces launin entre los eventos B y C est dada por B U C = { 1, 2, 5 }.

As tambin podemos obtener A U C={ 1, 3, 5 } que es igual al conjunto A, ya queC es sub-conjunto de A. La interseccin entre eventos es otra operacin quetenemos que considerar, as, de la interseccin de los eventos A y B resultaAB={1}, que es el evento que tiene los puntos muestrales comunes tanto de Acomo de B, es decir, el evento que cumple con ambas condiciones: ser unnmero impar menor a 3. Este evento se denomina evento simple, ya que poseeun nico punto muestral.

Se dice que los eventos B y C son eventos mutuamente excluyentes ya que notienen puntos en comn, o mejor dicho, la interseccin de los eventos B y C notiene elementos B C = es una interseccin vaca.

Cules de estos eventos son ms probables? Para determinar cual evento tienemayor probabilidad, definamos una medida de probabilidad:

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Sea E un evento, la probabilidad de E que denotaremos P(E) y se lee P de E, esigual al valor que resulta de dividir el nmero de puntos muestrales favorables a Eentre el nmero de puntos del espacio muestral S.

La ecuacin se escribe: P(E) = n(E)/n(S),

donde n() es el nmero de puntos del evento en cuestin. As tenemos que laprobabilidad de que el nmero de la tarjeta extrada sea impar es P(A) = 3/5 = 0,6.

Las probabilidades para los otros eventos se calculan a continuacin:P(B) = P( el nmero sea menor a 3 ) = 2/5 = 0,4.P(C) = P( nmero sea mayor a 4 ) = 1/5 = 0,2 .P(A U C) = 3/5 = 0,6. P(A B) = 1/5 = 0,2 y finalmente vamos a determinar la probabilidad del evento que no tiene elementos es P(BC) =0.

La probabilidad es una medida que posee las siguientes caractersticas(axiomas):

i) La probabilidad de un evento E es no-negativa, P(E)0

ii) La Probabilidad del espacio muestral S es P(S) = 1 Se tiene entonces que la probabilidad est acotada 0 P(E) 1

iii) Si E1 y E2 son dos eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad para launin es P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2).

Veamos otro punto de vista de las probabilidades. La frecuencia la definimoscomo la cantidad de observaciones que se presentan favorables a un eventodado, as para n = 10 lanzamientos de una moneda regular pueden aparecer 6caras y 4 sellos, en ese caso decimos que la frecuencia de cara n(cara)=6. Lafrecuencia relativa para el evento cara ser n(cara)/n = 6/10 = 0,6. Si esteexperimento lo repetimos para diversos valores de n (lanzamientos) podemosobtener la siguiente tabla de frecuencias relativas

n n(cara) n(cara)/n 10 6 0,600 100 46 0,460 1000 489 0,489 10000 5020 0,502

Como puede observarse, el valor de la frecuencia relativa tiende a estar cercanoa 0,5. Por qu a 0,5? El experimento de lanzar una moneda da como resultado elespacio muestral S= {cara, sello}, el nmero de eventos del espacio muestral esn(S) = 2 y el nico evento favorable a cara es n(cara) = 1, as la probabilidad

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calculada segn la definicin clsica para el evento cara es P(cara)= 1/2 = 0,5. Noes sorprendente para nosotros encontrar que a medida que n creceindefinidamente (n ) el valor de la frecuencia relativa de un evento tiende alvalor de la probabilidad. Es decir:

Lim n(A) / n = P(A). n

Lo anterior se conoce como definicin frecuencial de probabilidad. Este hechonos garantiza que al repetir un nmero considerablemente grande de veces unexperimento, la frecuencia relativa de un evento converger al valor deprobabilidad para ese evento.

Bibliografa1. Meyer, Paul (1992) Probabilidad y Aplicaciones Estadsticas. Addison-Wesley

Iberoamericana. Edicin Revisada.

2. Walpole, R. y Myers R (1992) Probabilidad y Estadstica. Mc Graw Hill. CuartaEdicin.

Taller de Simulacin

La Compaa de Aleaciones METALTEC ofrece diariamente sus lingotes, enespecial ofrece LINGOTE 22-5. Este PRODUCTO se vende a las manufacturerasque procesan metal aguas abajo, es decir transforman en productos terminados ellingote. La produccin de LINGOTE 225 no es constante sino que varandependiendo de la cantidad aleatoria X1. La distribucin de probabilidades parala produccin est dada en la tabla que se muestra.

Produccin Demanda TM de Lingote Empresas Cliente de Lingote METALTEC (Nmero) (por empresa) X1 P1(.) X2 P2(.) X3 P3(.) 10 0,05 5 0,10 1 0,40 11 0,10 6 0,15 2 0,40 12 0,20 7 0,20 3 0,20 13 0,30 8 0,40 14 0,20 9 0,10 15 0,15 10 0,05

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El nmero de empresas cliente que diariamente solicitan LINGOTE 22-5 sedetermina segn la distribucin de probabilidades de X2. La probabilidad de queuna empresa-cliente requiera 1, 2 3 TM de LINGOTE 22-5 para elaborar susproductos manufacturados est dada en la tabla respectiva para X3.

Se pide calcular el valor esperado de metal en TM que se queda y esalmacenado. Se sabe que cada TM de LINGOTE 22-5 que no se despacha el daen que se produce pasa al almacn de fundicin. Determinar el valor esperadode Lingotes 22-5 que no se puede satisfacer a las empresas manufactureras(demanda insatisfecha).

El valor esperado de una variable aleatoria X se determina sumando losproductos que surgen de multiplicar cada valor de la variable aleatoria por suprobabilidad es decir:

=E(X) = xi. P(X=xi). La varianza es: V(X)=2=E(X2)-2

Materiales: para la solucin del Taller cada equipo de 4 integrantes debe tener 60fichas redondas de cartulina. El tamao de cada ficha es la de la antigua monedade Bs 2 (aproximadamente 3 cm de dimetro). Adicionalmente se utilizarn 4bolsas de papel de 2 Kg.

Hoja para las anotaciones de las corridas de simulacin

En la fila Diferencia se coloca la cantidad que resulta de restar el Total de toneladas deLINGOTE 22-5 solicitadas por los clientes menos la cantidad de toneladas producidaspor METALTEC (interprete adecuadamente el signo del resultado de la Diferencia).

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Existen algunos mtodos de simplificacin(17) o de reduccin que pueden ser tiles en el momento de disear modelos, tenemos el modelado caja negra (black box modeling), la divisin de modelos o llamada tambin modelado en cascada, la inclusin sucesiva (agregacin) y la exclusin sucesiva (desagragacin).En el modelado de caja negra se integra un grupo de procesos o sistemas con una nica entrada y salida, sin detallar internamente cada actividad, ni especificar lo que implica lo que cubre la caja. Un elemento representa una agrupacin.En el modelado en cascada se dividen los procesos complejos para hacerlos manejables en cuanto al nivel, para enlazar el sistema se requiere que la salida de un sub-sistema sea la entrada del prximo sub-sistema. Cada sub-sistema se considera como un modelo. Esta divisin tiene una doble ventaja, en primer lugar divide el trabajo y facilita las labores de prueba y validacin.