samostalni seminar iz istra zivanja u zici analiti cki …samostalni seminar iz istra zivanja u zici...
TRANSCRIPT
Samostalni seminar iz istrazivanja u fizici
Analiticki opis metastabilnosti u kriticnomponasanju neuredenog sustava
Lucija Nora FarkasMentor: dr. sc. Ivan Balog
28. sijecnja 2019.
REM model i realizacije
Slika : Kontaktna linija glicerina [1].
REM model i realizacije
Slika : Domenski zid u ultratankom sloju kobalta [2].
REM model i realizacije
Slika : Isingov magnet [1].
REM model i realizacije
I Navedene fizikalne sustave modeliramo elasticnommnogostrukosti u neuredenom mediju.
I T = 0K : nema dinamike kojom bi se sustav relaksirao izmetastabilnog u osnovno stanje.
I Hamiltonijan REM modela i korelator nereda:
H[u] =
∫d~x
1
2
[~∇~u (~x)
]2→ elasticnost
+
∫d~xV [~x , ~u (~x)]→ nered,
(1)
〈V (~x , ~u)V(~x ′, ~u′
)〉 := δd
(~x − ~x ′
)R(~u − ~u′
). (2)
Procjena doprinosa nereda i kriticnost
I Doprinos nereda procjenjujemo preko energetskih doprinosa.
I Larkin → gledamo kako se Hamiltonijan skalira =⇒Larkinova skala Lc , gornja kriticna dimenzija d = 4:
EDO = Eel =⇒ Lc =
(c2
f2ξd) 1
4− d.
(3)
I Termodinamicka granica + d < 4 =⇒ nered dominantan.
I Kriticno ponasanje [1]:
〈[~u (~x)− ~u
(~x ′)]2〉 ∝ ∣∣~x − ~x ′∣∣2ζ ; ζ < 1. (4)
Tok ∆l (u) = −R ′′ (u)
〈V (~x , ~u)V(~x ′, ~u′
)〉 := δd
(~x − ~x ′
)R(~u − ~u′
)(5)
I Operacije renormalizacije [3]:”coarse-grain”→ reskaliranje → renormalizacija.
I Pocetne velicine koje razmatramo (RG pocetni uvjet):analiticke funkcije.
I Ponasanje velicine ∆l (u) pod ovim transformacijama opisanoje sljedecom jednadzbom [4] uz ε = 4− d :
∂l∆l (u) = (ε− 3ζ) ∆l (u) + ζ [u∆l (u)]′
− 1
2
{[∆l (u)−∆l (u = 0)]2
}′′.
(6)
I Fizikalni pocetni uvjet za nered nasumicnog polja [5]:
0 <
∫du∆l=0 (u) < +∞. (7)
Fiksna tocka ∂l∆l = 0
I Racunamo ζ =ε
3=
4− d
3:
∂l
∫ ∞−∞
du∆l (u) = (ε− 3ζ)
∫ ∞−∞
du∆l (u) + ζ [u∆l (u)]
∣∣∣∣∞−∞
−∆′l (u) [∆l (u)−∆l (0)]
∣∣∣∣∞−∞
∂l∆l=0===========⇒R(−u)=R(u), (7)
∂l
[ln
∫ ∞−∞
du∆l (u)
]= (ε− 3ζ) = 0. (8)
Fiksna tocka ∂l∆l = 0I Implicitno rjesenje uz ∂l∆l = 0 i ε− 3ζ = 0:{
ε
3u∆ (u)− 1
2
[(∆ (u)−∆ (0))2
]′}′= 0
∫ ∫==⇒ ε
6∆ (0)u2 =
∆ (u)
∆ (0)− 1− ln
[∆ (u)
∆ (0)
].
(9)
I Reskaliranjem se u fiksnoj tocki razvija neanaliticnost u oblikusiljka:
Slika : Funkcija ∆ (u) u fiksnoj tocki.
Neanaliticnost korelatora neredaPojava neanaliticnosti reskaliranjem
∆′′l (0) =∆′′0 (0) eεl
1 +3
ε∆′′0 (0) (eεl − 1)
(10)
=⇒ lc =1
εln
[1− ε
3∆′′0 (0)
](11)
REM model rekapitulacija
I AnaliticnoFRG−−−→ neanaliticno.
I Skala lc odgovara heuristicnoj Larkinovoj Lc .
Slika : Funkcija ∆ (u) u fiksnoj tocki.
I Singularitet-siljak ∆-e u fiksnoj tocki je potpis metastabilnosti.
I ∆′′l (0) divergira u lc tocki skale.
Model-igrackaI Uvodimo model-igracku s nametnutim metastabilnim stanjima→ trazimo analognu neanaliticnost.
I Model:
H = −a|x |+ bx2, a, b > 0; (12)
nered: P (h) =1√2πσ
exp
(− h2
2σ
). (13)
(a) h < 0 (b) h = 0 (c) h > 0
Slika : Hamiltonijan modela-igracke s doprinosom nereda −hx .
Model-igrackaParametar uredenja
(a) Puni dijagram s izdvojenim krivuljama. (b) Izdvojene ovisnosti s a) usporedno.
Slika : Ovisnost parametra uredenja o temperaturi 1/β i h.
Model-igrackaAnaliticki racun kumulanata
I Prvi kumulant:
〈φi 〉c = 〈φi 〉 =
∫ ∞−∞
dhP (h)φ[h + ji ]. (14)
I Drugi kumulant:
〈φ1φ2〉c =〈φ1φ2〉 − 〈φ1〉〈φ2〉
=
∫ ∞−∞
dhP (h)φ[h + j1]φ[h + j2]− 〈φ1〉〈φ2〉.(15)
Model-igracka
Slika : Prvi kumulant 〈φi 〉c .
Model-igracka
(a) Prikaz drugog kumulanta s naglasenimx = 0 i y = 0 ovisnostima.
(b) Prikaz a) s pogledom iz drugogsmjera.
Slika : Ovisnost drugog kumulanta o x =j1 + j2√
2i y =
j1 − j2√2
.
Model-igracka
(a) Izdvojena analiticka ovisnost o x zay = 0.
(b) Izdvojena neanaliticka ovisnost o yza x = 0 s razvidnimsingularitetom-siljkom.
Slika : Ovisnost drugog kumulanta o x =j1 + j2√
2i y =
j1 − j2√2
.
Model-igracka rekapitulacija
I T = 0K metastabilnost producira 〈φ1φ2〉 − 〈φ1〉〈φ2〉 siljak:
(a) Parametar uredenja. (b) 〈φ1φ2〉 − 〈φ1〉〈φ2〉.
Slika : Grafovi T = 0K velicina interesantnih za model-igracku.
Zakljucak
I REM model i model-igracka:neuredeni sustavi s metastabilnosti.
I Analiticki T = 0K racun:singularitet-siljak.
(a) Domenski zid uultratankom sloju [2]:
d = 2 =⇒ ζ =2
3.
(b) REM ∆ (u) u T = 0Kfiksnoj tocki.
(c) T = 0K korelatordrugog modela (x = 0).
Literatura
K. J. Wiese i P. Le Doussal: Functional Renormalization forDisordered Systems, Basic Recipes and Gourmet Dishes,Markov Processes Relat. Fields 13 (2007) 777-818.
S. Lemerle, J. Ferr, C. Chappert, V. Mathet, T. Giamarchi i P.Le Doussal: Domain Wall Creep in an Ising Ultrathin MagneticFilm, Phys. Rev. Lett. 80, 849 (1998).
A. Cheung: Phase Transitions and Collective Phenomena,biljeske, sijecanj 2011.
P. Chauve, T. Giamarchi i P. Le Doussal: Creep and depinningin disordered media, Phys. Rev. B 62, 6241 (2000).
P. Le Doussal: Functional renormalization, prezentacija zaCNRS-LPTENS Paris Windsor ljetnu skolu, kolovoz 2004.