Predavanja 1

Darija Markovic

PogreskeVrste pogresaka

(a) pogreske zaokruzivanja

(b) pogreske nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka

(c) pogreske metode

(d) pogreske modela

(e) strojna pogreska

PogreskeVrste pogresaka

(a) pogreske zaokruzivanja

(b) pogreske nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka

(c) pogreske metode

(d) pogreske modela

(e) strojna pogreska

PogreskeVrste pogresaka

(a) pogreske zaokruzivanja

(b) pogreske nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka

(c) pogreske metode

(d) pogreske modela

(e) strojna pogreska

PogreskeVrste pogresaka

(a) pogreske zaokruzivanja

(b) pogreske nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka

(c) pogreske metode

(d) pogreske modela

(e) strojna pogreska

PogreskeVrste pogresaka

(a) pogreske zaokruzivanja

(b) pogreske nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka

(c) pogreske metode

(d) pogreske modela

(e) strojna pogreska

Apsolutna i relativna pogreska

a stvarna vrijednost neke poznate ili nepoznate velicine, a∗

njezina priblizna vrijednost

Razliku (a− a∗) izmedu stvarne velicine a i njene aproksimacije a∗

nazivamo pogreska aproksimacije. Apsolutnu vrijednost pogreskeaproksimacije nazivamo apsolutna pogreska aproksimacije ioznacavamo

∆a∗ = |a− a∗|.

Apsolutna i relativna pogreska

a stvarna vrijednost neke poznate ili nepoznate velicine, a∗

njezina priblizna vrijednost

Razliku (a− a∗) izmedu stvarne velicine a i njene aproksimacije a∗

nazivamo pogreska aproksimacije. Apsolutnu vrijednost pogreskeaproksimacije nazivamo apsolutna pogreska aproksimacije ioznacavamo

∆a∗ = |a− a∗|.

Apsolutna i relativna pogreska

Primjer 1.

Niz (an) definiran rekurzivnom formulom

an+1 =1

2

(an +

2

an

), a0 = 1, n = 0, 1, . . .

konvergira prema broju√

2. Odredimo prve cetiri aproksimacije iodgovarajuce pogreske.

Apsolutna i relativna pogreska

u praksi stvarna vrijednost a cesto nije poznata, ali se zna dase pogreska aproksimacije krece u intervalu [−ε, ε], za nekiε > 0, tj. vrijedi

−ε ≤ a− a∗ ≤ ε⇔ |a− a∗| ≤ ε

broj ε > 0 nazivamo granica pogreske aproksimacije

cesto simbolicki pisemo

a = a∗ ± ε

Apsolutna i relativna pogreska

u praksi stvarna vrijednost a cesto nije poznata, ali se zna dase pogreska aproksimacije krece u intervalu [−ε, ε], za nekiε > 0, tj. vrijedi

−ε ≤ a− a∗ ≤ ε⇔ |a− a∗| ≤ ε

broj ε > 0 nazivamo granica pogreske aproksimacije

cesto simbolicki pisemo

a = a∗ ± ε

Apsolutna i relativna pogreska

u praksi stvarna vrijednost a cesto nije poznata, ali se zna dase pogreska aproksimacije krece u intervalu [−ε, ε], za nekiε > 0, tj. vrijedi

−ε ≤ a− a∗ ≤ ε⇔ |a− a∗| ≤ ε

broj ε > 0 nazivamo granica pogreske aproksimacije

cesto simbolicki pisemo

a = a∗ ± ε

Apsolutna i relativna pogreska

Primjer 2.

Obavljen je niz mjerenja neke velicine R i dobiveni su sljedecirezultati

mjerenje 1 2 3 4 5 6

R 29.2 29.3 29.25 29.28 29.24 29.26

Aritmeticka sredina mjerenja predstavlja jednu aproksimacijuvelicine R. Odredimo granicu apsolutne pogreske.

Apsolutna i relativna pogreska

Omjer izmedu apsolutne pogreske ∆a∗ i apsolutne vrijednostivelicine a (a 6= 0) nazivamo relativna pogreska aproksimacije ipisemo

δa∗ =|∆a∗||a|

.

Primjedba 1.

Kako je u praksi obicno a∗ ≈ a, onda se relativna pogreska cestoizrazava na sljedeci nacin

δa∗ ≈ |∆a∗||a∗|

, a∗ 6= 0.

Apsolutna i relativna pogreska

Omjer izmedu apsolutne pogreske ∆a∗ i apsolutne vrijednostivelicine a (a 6= 0) nazivamo relativna pogreska aproksimacije ipisemo

δa∗ =|∆a∗||a|

.

Primjedba 1.

Kako je u praksi obicno a∗ ≈ a, onda se relativna pogreska cestoizrazava na sljedeci nacin

δa∗ ≈ |∆a∗||a∗|

, a∗ 6= 0.

Apsolutna i relativna pogreska

Primjer 3.

Odredimo relativne pogreske aproksimacija iz Primjera 1.

Signifikantne znamenke

svaki pozitivni realni broj a u dekadskom sustavu mozemozapisati u obliku

a = bm10m + bm−110m−1 + · · ·+ bm−n+110m−n+1 + bm−n10m−n + · · · ,bm 6= 0, m ∈ Z

(1)

gdje su bi ∈ {0, 1, . . . , 9} znamenke broja a

neka je

a∗ = b∗m10m + b∗

m−110m−1 + · · ·+ b∗m−n+110m−n+1 + b∗

m−n10m−n + · · ·

aproksimacija broja a takva da im se podudaraju prvih nznamenki. Tada za apsolutnu pogresku vrijedi

∆a∗ = |a− a∗| = |(bm−n − b∗m−n)10m−n + · · · | ≤ |bm−n − b∗

m−n|10m−n + · · ·

≤ 9 · 10m−n + · · · = 9 · 10m−n(1 + 10−1 + · · · ) ≤ 9 · 10m−n 1

1− 110

= 10m−n+1

Signifikantne znamenke

svaki pozitivni realni broj a u dekadskom sustavu mozemozapisati u obliku

a = bm10m + bm−110m−1 + · · ·+ bm−n+110m−n+1 + bm−n10m−n + · · · ,bm 6= 0, m ∈ Z

(1)

gdje su bi ∈ {0, 1, . . . , 9} znamenke broja a

neka je

a∗ = b∗m10m + b∗

m−110m−1 + · · ·+ b∗m−n+110m−n+1 + b∗

m−n10m−n + · · ·

aproksimacija broja a takva da im se podudaraju prvih nznamenki. Tada za apsolutnu pogresku vrijedi

∆a∗ = |a− a∗| = |(bm−n − b∗m−n)10m−n + · · · | ≤ |bm−n − b∗

m−n|10m−n + · · ·

≤ 9 · 10m−n + · · · = 9 · 10m−n(1 + 10−1 + · · · ) ≤ 9 · 10m−n 1

1− 110

= 10m−n+1

Signifikantne znamenke

Neka je

a∗ = b∗m10m + b∗

m−110m−1 + · · ·+ b∗m−n+110m−n+1 + b∗

m−n10m−n + · · · ,b∗m 6= 0, m ∈ Z

aproksimacija broja a zadanog s (1). Kaze se da su prvih nznamenki b∗m, . . . , b

∗m−n+1 broja a∗ signifikantne (pouzdane) ako je

n najveci pozitivni cijeli broj za koji vrijedi

∆a∗ = |a− a∗| ≤ 1

2× 10m−n+1.

Signifikantne znamenke

Primjedba 2.

Broj signifikantnih znamenaka pribliznog broja a∗ mozemodefinirati i na drugi nacin - kao najveci pozitivni cijeli broj n za kojivrijedi

δa∗ ≈ |a− a∗||a∗|

≤ 1

2× 10−n+1.

Broj signifikantnih znamenki procijenjen na taj nacin moze se odonog iz prethodne definicije razlikovati najvise za jedan.

Signifikantne znamenke

Primjedba 3.

Vrlo cesto u praksi brojeve aproksimiramo zaokruzivanjem. Pritome treba se drzati sljedecih pravila:

ako se iza znamenke na koju zaokruzujemo broj nalaziznamenka manja od 5, znamenka na koju zaokruzujemo nemijenja se;

ako se iza znamenke na koju zaokruzujemo broj nalaziznamenka veca ili jednaka 5, znamenka na koju zaokruzujemopovecava se za 1.

Primjer 4.

Broj a = 2.351850 treba zaokruziti na jedno, dva, tri i cetiridecimalna mjesta.

Signifikantne znamenke

Primjedba 3.

Vrlo cesto u praksi brojeve aproksimiramo zaokruzivanjem. Pritome treba se drzati sljedecih pravila:

ako se iza znamenke na koju zaokruzujemo broj nalaziznamenka manja od 5, znamenka na koju zaokruzujemo nemijenja se;

ako se iza znamenke na koju zaokruzujemo broj nalaziznamenka veca ili jednaka 5, znamenka na koju zaokruzujemopovecava se za 1.

Primjer 4.

Broj a = 2.351850 treba zaokruziti na jedno, dva, tri i cetiridecimalna mjesta.

Pogreske kod izracunavanja vrijednosti funkcije

zadana je realna funkcija n varijabli z = f (x1, . . . , xn). Trebaizracunati apsolutnu pogresku vrijednosti funkcije u tockix∗ = (x∗1 , . . . , x

∗n ) ako je xi = x∗i ±∆x∗i , i = 1, . . . , n

prema teoremu o srednjoj vrijednosti je

∆z∗ = |f (x1, . . . , xn)− f (x∗1 , . . . , x∗n )| =

∣∣∣∣∣n∑

i=1

∂f (x1,...,xn)∂xi

(xi − x∗i )

∣∣∣∣∣ ,gdje je xi izmedu xi i x∗ibuduci brojevi xi nisu poznati, a x∗i ≈ xi , mozemo pisati

∆z∗ ≤n∑

i=1

∣∣∣∣∂f (x1, . . . , xn)

∂xi

∣∣∣∣∆x∗i ≈n∑

i=1

∣∣∣∣∂f (x∗1 , . . . , x∗n )

∂xi

∣∣∣∣∆x∗i

zato je

∆z∗ ≈n∑

i=1

|∂i f ∗|∆x∗i , gdje je ∂i f∗ =

∂f (x∗1 , . . . , x∗n )

∂xi

Pogreske kod izracunavanja vrijednosti funkcije

zadana je realna funkcija n varijabli z = f (x1, . . . , xn). Trebaizracunati apsolutnu pogresku vrijednosti funkcije u tockix∗ = (x∗1 , . . . , x

∗n ) ako je xi = x∗i ±∆x∗i , i = 1, . . . , n

prema teoremu o srednjoj vrijednosti je

∆z∗ = |f (x1, . . . , xn)− f (x∗1 , . . . , x∗n )| =

∣∣∣∣∣n∑

i=1

∂f (x1,...,xn)∂xi

(xi − x∗i )

∣∣∣∣∣ ,gdje je xi izmedu xi i x∗i

buduci brojevi xi nisu poznati, a x∗i ≈ xi , mozemo pisati

∆z∗ ≤n∑

i=1

∣∣∣∣∂f (x1, . . . , xn)

∂xi

∣∣∣∣∆x∗i ≈n∑

i=1

∣∣∣∣∂f (x∗1 , . . . , x∗n )

∂xi

∣∣∣∣∆x∗i

zato je

∆z∗ ≈n∑

i=1

|∂i f ∗|∆x∗i , gdje je ∂i f∗ =

∂f (x∗1 , . . . , x∗n )

∂xi

Pogreske kod izracunavanja vrijednosti funkcije

zadana je realna funkcija n varijabli z = f (x1, . . . , xn). Trebaizracunati apsolutnu pogresku vrijednosti funkcije u tockix∗ = (x∗1 , . . . , x

∗n ) ako je xi = x∗i ±∆x∗i , i = 1, . . . , n

prema teoremu o srednjoj vrijednosti je

∆z∗ = |f (x1, . . . , xn)− f (x∗1 , . . . , x∗n )| =

∣∣∣∣∣n∑

i=1

∂f (x1,...,xn)∂xi

(xi − x∗i )

∣∣∣∣∣ ,gdje je xi izmedu xi i x∗ibuduci brojevi xi nisu poznati, a x∗i ≈ xi , mozemo pisati

∆z∗ ≤n∑

i=1

∣∣∣∣∂f (x1, . . . , xn)

∂xi

∣∣∣∣∆x∗i ≈n∑

i=1

∣∣∣∣∂f (x∗1 , . . . , x∗n )

∂xi

∣∣∣∣∆x∗i

zato je

∆z∗ ≈n∑

i=1

|∂i f ∗|∆x∗i , gdje je ∂i f∗ =

∂f (x∗1 , . . . , x∗n )

∂xi

Pogreske kod izracunavanja vrijednosti funkcije

zadana je realna funkcija n varijabli z = f (x1, . . . , xn). Trebaizracunati apsolutnu pogresku vrijednosti funkcije u tockix∗ = (x∗1 , . . . , x

∗n ) ako je xi = x∗i ±∆x∗i , i = 1, . . . , n

prema teoremu o srednjoj vrijednosti je

∆z∗ = |f (x1, . . . , xn)− f (x∗1 , . . . , x∗n )| =

∣∣∣∣∣n∑

i=1

∂f (x1,...,xn)∂xi

(xi − x∗i )

∣∣∣∣∣ ,gdje je xi izmedu xi i x∗ibuduci brojevi xi nisu poznati, a x∗i ≈ xi , mozemo pisati

∆z∗ ≤n∑

i=1

∣∣∣∣∂f (x1, . . . , xn)

∂xi

∣∣∣∣∆x∗i ≈n∑

i=1

∣∣∣∣∂f (x∗1 , . . . , x∗n )

∂xi

∣∣∣∣∆x∗i

zato je

∆z∗ ≈n∑

i=1

|∂i f ∗|∆x∗i , gdje je ∂i f∗ =

∂f (x∗1 , . . . , x∗n )

∂xi

Pogreske kod izracunavanja vrijednosti funkcije

Primjer 5.

Treba odrediti apsolutnu i relativnu pogresku pri izracunavanjuvolumena kugle V = 4

3 r3π, ako je radijus kugle zadan s

r = 10.2± 0.01cm, a broj π ≈ 3.14.

Primjer 6.

Treba izracunati pogresku pri izracunavanju povrsine krugaradijusa 100m, ako uzmemo π ≈ 3.14.

Pogreske kod izracunavanja vrijednosti funkcije

Primjer 5.

Treba odrediti apsolutnu i relativnu pogresku pri izracunavanjuvolumena kugle V = 4

3 r3π, ako je radijus kugle zadan s

r = 10.2± 0.01cm, a broj π ≈ 3.14.

Primjer 6.

Treba izracunati pogresku pri izracunavanju povrsine krugaradijusa 100m, ako uzmemo π ≈ 3.14.

Inverzni problem u teoriji pogresaka

pitamo se s kojom tocnoscu moramo uzeti vrijednostinezavisnih varijabli promatrane funkcije, tako da njezinavrijednost bude u granicama unaprijed zadane tocnosti ?

koristit cemo tzv. “princip jednakih efekata”: pretpostavljamoda svi parcijalni diferencijali imaju jednaki utjecaj na velicinuapsolutne pogreske, tj.

|∂1f ∗|∆x∗1 = |∂2f ∗|∆x∗2 = · · · = |∂nf ∗|∆x∗n

lako se vidi da je tada

∆x∗i ≈∆z∗

n|∂i f ∗|, i = 1, . . . , n

Inverzni problem u teoriji pogresaka

pitamo se s kojom tocnoscu moramo uzeti vrijednostinezavisnih varijabli promatrane funkcije, tako da njezinavrijednost bude u granicama unaprijed zadane tocnosti ?

koristit cemo tzv. “princip jednakih efekata”: pretpostavljamoda svi parcijalni diferencijali imaju jednaki utjecaj na velicinuapsolutne pogreske, tj.

|∂1f ∗|∆x∗1 = |∂2f ∗|∆x∗2 = · · · = |∂nf ∗|∆x∗n

lako se vidi da je tada

∆x∗i ≈∆z∗

n|∂i f ∗|, i = 1, . . . , n

Inverzni problem u teoriji pogresaka

pitamo se s kojom tocnoscu moramo uzeti vrijednostinezavisnih varijabli promatrane funkcije, tako da njezinavrijednost bude u granicama unaprijed zadane tocnosti ?

koristit cemo tzv. “princip jednakih efekata”: pretpostavljamoda svi parcijalni diferencijali imaju jednaki utjecaj na velicinuapsolutne pogreske, tj.

|∂1f ∗|∆x∗1 = |∂2f ∗|∆x∗2 = · · · = |∂nf ∗|∆x∗n

lako se vidi da je tada

∆x∗i ≈∆z∗

n|∂i f ∗|, i = 1, . . . , n

Inverzni problem u teoriji pogresaka

Primjer 7.

Kolike smiju biti apsolutne pogreske radijusa r i visine h valjkavolumena V = 12π ± 0.1m3 (dozvoljena tolerancija je 100 litara!)?Neka je pri tome r∗ = 2m. Broj π uzet cemo dovoljno tocno danjegova pogreska ne utjece na rezultat.