predavanja iz kvantne mehanike -...

Elektrotehnicki fakultet Univerziteta u Beogradu

Milan Tadic

Predavanja iz kvantne mehanike

Beograd, 2011.

Predgovor

Predgovor I izdanju

Ovaj tekst predstavlja beleske sa predavanja na II delu predmeta ”Kvantna mehanika” koje je

autor drzao u toku sest nedelja u letnjem semestru 2005/2006. godine studentima II godine

Odseka za fizicku elektroniku Elektrotehnickog fakulteta u Beogradu.

Dati tekst je nastao kao rezultat zelje da se prezentovana materija na casu ucini razumljivijom

studentima. Autor je svestan nesavrsenosti, prisutnih tipografskih gresaka i mogucih boljih

formulacija prezentovane teorije. Svaka sugestija pazljivog citaoca u smislu unapredenja teksta

je dobro dosla.

Preferirani udzbenik za izradu materijala za ovaj deo kursa je bio: B. H. Bransden, J.

C. Joachain, ”Introduction to quantum mechanics”, Longman, 1989., mada su koriseni delovi

nekih drugih udzbenika. Treba primetiti da su u prezentovanom materijalu vektori oznaceni

boldiranim slovima i da su koriscene standardne oznake za matricne elemente u kvantnoj

mehanici.

Autor smatra da je bilo kakav materijal za pripremu ispita bolji od nikakvog i nada se da

ce prezentovani materijal pomoci studentima da lakse savladaju ispit i da ih uvede u intere-

santnu oblast kvantne mehanike i njenih primena. Bez osnovnih znanja iz ove oblasti fizike je

prakticno nemoguce pratiti savremene fundamentalne i primenjene discipline, kao sto su fizika

nanostruktura i nanosistema, nanoelektronika, optoelektronika i kvantno racunarstvo.

Beograd, 14.6.2006.

Prof. dr Milan Tadic

3

4

Predgovor II izdanju

U ovom izdanju pripremljenom za slusaoce kursa u skolskoj 2006/2007. godini, dodata su dva

nova poglavlja o interakcijama elektromagnetskog zracenja sa kvantnim sistemom i numerickom

resavanju Sredingerove jednacine. S obzirom na uvecanu materiju, za neke oblasti koje su

obradene u ovom kursu, nije bilo dovoljno vremena, tako da nisu ni tretirane na casovima.

Takode, ispravljene su uocene stamparske greske. Studentima se preporucuje da konsultuju

svoje beleske sa predavanja, kako bi utvrdili koja je materija ispredavana i koja ce, dakle, biti

ispitivana.

Beograd, 10.7.2007.

Autor

Predgovor III izdanju

U ovom izdanju za slusaoce kursa Kvantna mehanika u letnjem semestru skolske 2007/08. godine

dodata su poglavlja o operatorima kreacije i destrukcije i nekoliko poglavlja koja se odnose na

primenu kvantne mehanike na nanostrukture. Takode, u Dodatku je objasnjena Dirakova bra-ket

notacija i prezentovana matricna reprezentacija kvantne mehanike. Autor je uocio nekonzistent-

nost uocavanja vektora u nekim poglavljima masnim slovima, a u drugim vektorskom strelicom.

Ova ispravka je ostavljena za naredno izdanje.

Beograd, 09.6.2008.

Autor

Predgovor IV izdanju

IV izdanje je pripremljeno za slusaoce kursa u skolskoj 2009/10. godini. U ovom izdanju su

zadaci izdvojeni u posebnu Zbirku zadataka. Pored toga, dat je dokaz Hajzenbergove relacije

5

neodredenosti. Zbog nedostatka vremena da se obrade sve predvidjene celine po programu, nu-

mericko resavanje Sredingerove jednacine se sada obraduje u kursu “Nanotehnologije i nanokom-

ponente”, gde se slusaoci upucuju na konkretan rad iz oblasti modelovanja nanostruktura.

Beograd, 10.6.2010.

Autor

Predgovor V izdanju

V izdanje je pripremljeno za slusaoce kursa u skolskoj 2010/11. godini. Dodate su napomene

o operatoru projekcije, superponiranim stanjima, unekoliko je izmenjeno izvoddenje po WKB

metodu i otklonjene su uocene greske.

Beograd, 6.6.2011.

Autor

1

Preliminarna razmatranja

1. Dirakova notacija

Prema Dirakovoj bra-ket notaciji skalarni proizvod talasnih funkcija se pise u formi:

〈ψ1|ψ2〉 =∫

ψ∗1ψ2dV. (1)

Ovde je uzeto da se radi o trodimenzionom integralu, za slucaj talasne funkcije koja zavisi od tri prostorne

koordinate. Za druge slucajeve, funkcije koja zavisi od dve koordinate ψ(x, y) i jedne koordinate ψ(x) treba

umesto dV pisati dS = dxdy i dx. Integracija je po relevantnom domenu, tj granice integracije nisu eksplicitno

oznacene. Ako je talasna funkcija definisana u celom prostoru tada su sve granice sva integrala od (−∞, +∞).

Za jednostavniji slucaj talasne funkcije zavisne samo od x koordinate i konfiniranja cestice u beskonacno dubokoj

potencijalnoj jami sirine d, domen integracije, za koordinatni pocetak na mestu jednog od dva beskonacna skoka

potencijalne energije, je [0, d].

Skalarni proizvod pruza osnov da se definisu ket:

|ψ2〉 = ψ2 (2)

i bra:

〈ψ1| = ψ∗1 . (3)

Dakle, ket i bra mogu da stoje razdvojeno i tada oznacavaju talasnu funkciju datog stanja i njenu konjugovano

kompleksnu vrednost nezavisno od reprezentacije talasne funkcije (na primer, koordinatna ili impulsna). Delo-

vanje proizvoljnog bra 〈χ| na proizvoljni ket |η〉 predstavlja instrukciju da se sprovede integracija proizvoda χ∗η

po relevantnom prostoru:

〈χ|η〉 =∫

χ∗ηdV. (4)

7

8 1. Preliminarna razmatranja

Lako se moze ustanoviti da vaze sledeci identiteti:

〈ψ1|ψ2〉 = 〈ψ2|ψ1〉∗, (5)

〈ψ1|cψ2〉 = c〈ψ1|ψ2〉, c = const, (6)

〈cψ1|ψ2〉 = c∗〈ψ1|ψ2〉, c = const, (7)

〈ψ3|ψ1 + ψ2〉 = 〈ψ3|ψ1〉+ 〈ψ3|ψ2〉. (8)

Pored toga, ako su funkcije ψ1 i ψ2 ortogonalne:

〈ψ1|ψ2〉 = 0. (9)

Takode, uslov normiranja talasne funkcije ψ je:

〈ψ|ψ〉 = 1. (10)

Ocekivana (srednja) vrednost dinamicke promenljive A u stanju opisanom talasnom funkcijom ψn (u oznaci 〈A〉)je:

〈A〉 = 〈ψn|A|ψn〉. (11)

Cesto u oznaci ket nekog stanja stoji samo kvantni broj datog stanja: umesto |ψn〉 cesto se samo pise |n〉:

〈A〉 = 〈n|A|n〉. (12)

Za n-to svojstveno stanje hamiltonijana, energije En, ocekivana vrednost je upravo En, tako da je:

En = 〈ψn|H|ψn〉 = 〈n|H|n〉. (13)

U teoriji se pored ocekivane vrednosti, pojavljuju i integrali oblika:

〈ψn|O|ψm〉 = 〈n|O|m〉 =∫

ψ∗nOψmdV, (14)

koji se nazivaju matricni elementi (izmedu stanja n i m, za dati slucaj). Ocekivana vrednost je poseban slucaj

matricnog elementa za n = m. Razlog za naziv matricni element navedenog integrala ce biti dat u poglavlju o

matricnoj reprezentaciji u kvantnoj mehanici.

Moze se pokazati da ketu:

A|ψ〉 (15)

odgovara bra:

〈ψ|A†. (16)

1.. Dirakova notacija 9

Ovo bra znaci: 1) delovanje operatora A† na neki ket (talasnu funkciju); 2) mnozenje sa ψ∗ i 3) integraciju po

relevantnom domenu da bi se odredio trazeni matricni element. Posmatrajmo matricni element:

〈ψ|A|χ〉. (17)

Oznacimo:

|f〉 = A|ψ〉 (18)

i

〈g| = 〈ψ|A† (19)

Ovde |f〉 = f , a 〈g| = g∗. Za dati matricni element:

〈ψ|A†|χ〉 = 〈g|χ〉 =∫

ψ∗A†χdV =∫

(Aψ)∗χdV =(∫

χ∗AψdV

)∗= 〈χ|A|ψ〉∗ = 〈chi|f〉∗ = 〈f |χ〉. (20)

Ovo znaci da ketu A|ψ〉 odgovara bra 〈ψ|A†. Drugim recima, vazi:

〈ψ|A†|χ〉 = 〈χ|A|ψ〉∗. (21)

Kao primer, razmotrimo matricni element 〈ψ|A†A|ψ〉. Ako oznacimo sa g = Aψ:

〈ψ|A†A|ψ〉 =∫

ψA†gdV =∫

(Aψ)∗gdV =∫

g∗gdV = 〈g|g〉, (22)

sto demonstrira da ketu A|ψ〉 odgovara bra 〈ψ|A† (uporedi prvi i poslednji clan ovog niza jednakosti).

Ako je operator koji figurise A = H u matricnom elementu hermitski (na primer hamiltonijan, H = H†),

tada ketu

H|ψ〉 (23)

odgovara

〈ψ|H, (24)

sto znaci:

〈ψ|H|χ〉 = 〈χ|H|ψ〉∗. (25)

Navedena veza izmedu ket i bra, omogucava da se pojednostave matricni elementi. Na primer, ako je poznato:

Hψ = Eψ, (26)

ali χ nije svojstvena funkcija hamiltonijana H:

〈ψ|H|χ〉 = 〈χ|H|ψ〉∗ = E〈χ|ψ〉∗ = E〈ψ|χ〉. (27)

Efektivno, ispada za ovaj primer kao da se hermitski operator “okrene” prema bra u matricnom elementu i deluje

na njega.


2. Matricna reprezentacija talasnih funkcija

Posmatramo kompletan skup ortonormiranih funkcija ψn (〈ψm|ψn〉 = δmn), gde je n ceo nenegativan broj, a ψn

su funkcije koordinata u skladu sa dimenzionalnoscu Sredingerove jednacine. Uzmimo da ovih funkcija ima N .

Ove funkcije formiraju bazis ili reprezentacju ψn. Proizvoljna talasna funkcija χ moze se razviti u red formiran

od bazisnih funkcija:1

χ =∑

n

cnψn. (28)

Za dati skup bazisnih funkcija ψn, brojevi cn potpuno odreduju talasnu funkciju χ. Drugim recima, koefici-

jenti cn predstavljaju χ u reprezentaciji ψn. Skup funkcija ψn je analogan skupu ortogonalnih osa (na

primer Dekartovog koordinatnog sistema), tj ψn funkcije su analogne jedinicnim vektorima osa. Brojevi cn su

analogni algebarskim vrednostima intenziteta projekcija datog vektora na pojedine ose. Slicno, cnψn su analogni

komponentama vektora duz pojedinih osa.

Posmatrajmo delovanje linearnog hermitskog operatora na talasnu funkciju χ:

η = Aχ. (29)

Rezultat je funkcija eta. Ova funkcija se moze odrediti koriscenjem istog bazisa:

η =∑

n

dnψn. (30)

Koeficijenti razvoja dn se u opstem slucaju razlikuju od koeficijenata razvoja funkcije χ, cn.

Podsetimo se kako se moze odrediti algebarska vrednost projekcije nekog vektora duz date ose. Na primer,

x komponenta vektora polozaja je:

x = ~ex · ~r. (31)

Slicno se moze odrediti koeficijent razvoja talasne funkcije dm:

〈ψm|η〉 =∑

n

dn〈ψm|ψn〉. (32)

S ozbirom da su funkcije ortogonalne, 〈ψm|ψn〉 = δmn, tako da je:

dm = 〈ψm|η〉. (33)

Odredimo sada vezu izmedu koeficijenata u razvoju funkcije η i funkcije χ:

dm = 〈ψm|X〉 = 〈ψm|A|Ξ〉 =∑

n

cn〈ψm|A|ψn〉. (34)

1Prisetiti se razvoja proizvoljne periodicne funkcije u Firijeov red.

2.. Matricna reprezentacija talasnih funkcija 11

Veza izmedu koeficijenata d i koeficijenata c moze se pisati u obliku:

dm =∑

n

Amncn. (35)

Ako se ovaj postupak sprovede za razlicite vrednosti m, ova veza se moze pisati u matricnoj formi:

d1

d2

...

dN

=

A11 A12 . . . A1N

A21 A22 . . . A2N

......

. . ....

AN1 AN2 . . . ANN

c1

c2

...

cN

, (36)

odnosno:

d = Ac, (37)

gde d i c predstavljaju vektore koji sadrze koeficijente dn i cn, respektivno, dok je A matrica koja povezuje ove

koeficijente. Element matrice A je:

Amn = 〈ψm|A|ψn〉. (38)

〈ψm|A|ψn〉 je matricni element operatora A u bazisu ψn.Jednakost d = Ac je ekvivalentna η = Aχ, sto znaci da skup matricnih elemenata Amn (odnosno matrica A),

potpuno odreduju operator A. Bazis ψn moze da sadrzi konacan broj funkcija N , ali moze biti i beskonacan,

kada N →∞.

Bazis ψn, dakle, sluzi kao osnov za matricnu reprezentaciju talasnih funkcija. Pri tome, talasnu funkciju

predstavljaju koeficijenti razvoja (ekspanzije) cn, a proizvoljni linearni operator A predstavlja matrica A. Prema

matricnoj reprezentaciji, skalarni proizvod dve talasne funkcije svodi se na skalarni proizvod dva vektora:

〈η|χ〉 =∑

n

cn〈η|ψn〉 =∑m

∑n

d∗mcn〈ψm|ψn〉 =∑m

∑n

d∗mcnδmn =∑

n

d∗ncn = d†c, (39)

gde je:

d† = (dT )∗ (40)

transponovani i konjugovani vektor d, tj vrsta koja sadrzi elemente d∗m. Broj matricnih reprezentacija talasnih

funkcija i operatora je beskonacan, jer ima beskonacno mnogo skupova ortonormiranih funkcija.

Posmatrajmo sada Sredingerovu jednacinu:

HΨ = EΨ (41)

i razvijmo nepoznatu (stacionarnu) svojstvenu funkciju Ψ po (poznatim) bazisnim funkcijama:

Ψ =∑

n

cnψn. (42)


Mnozenje Sredingerove jednacine sa ψ∗m i integracija po relevantnom prostoru daje:

∑n

cn

∫ψ∗mHψndV = E

∑n

cn

∫ψ∗mψndV. (43)

Pomocu Diracove bra-ket notacije, uzimajuci u obzir ortonormiranost bazisnih funkcija, ova jednacina se moze

pisati:∑

n

〈ψ∗m|H|ψn〉cn = Ecm. (44)

Ako se ovaj postupak sprovede za sve ψm, rezultat se moze pisati u matricnoj formi:

Hc = Ec, (45)

gde je c kolona koeficijenata razvoja, a H je Hamiltonova matrica, ciji su elementi oblika:

Hmn = 〈ψm|H|ψn〉 = 〈n|H|m〉. (46)

Problem resavanja Sredingerove jednacine, tj odredivanja svojstvenih energija i svojstvenih funkcija svodi se

na problem odredivanja svojstvenih vrednosti i svojstvenih vektora matrice Hamiltonove matrice H. Trazenje

svojstvenih vrednosti i svojstvenih vektora je nacesce moguce uciniti numericki, dok su analiticka resenja moguca

za mali broj bazisnih funkcija. U opstem slucaju, potrebno je matricu H dijagonalizovati, sto se svodi na primenu

unitarne transformacije bazisnih funkcija. Ova transformacija se svodi na mnozenje nekom unitarnom matricom.

Unitarne matrica U ima osobinu:

U−1 = U†. (47)

Pomocu ove matrice:

c′ = Uc. (48)

Za nove koeficijente, jednacina ima oblik (U†U = I, I je jedinicna matrica):

H ′ = UHU †c′ = Ec′. (49)

Uz pogodan izbor unitarne matrice U , matrica H ′ moze biti dijagonalna. U numerickom postupku, dijagonal-

izacija matrice se sprovodi iterativno. Na kraju postupka dijagonalizacije, matrica H ′ ima dijagonalnu formu iz

koje se direktno mogu procitati svojstvene vrednosti: to su vrednosti na glavnoj dijagonali matrice H ′.

Rezultat dijagonalizacije je N svojstvenih vrednosti energije Ei, i = 1, 2, . . . , N i N svojstvenih vektora c(i),

i = 1, 2, . . . , N . Posmtrajmo dva stanja, cije su svojstvene funkcije Ψ1 i Ψ2:

Ψ1 =∑

n

c(1)n ψn, (50)

3.. Operator projekcije 13

i

Ψ2 =∑

n

c(2)n ψn. (51)

Sve funkcije moraju biti normirane. Za talasnu funkciju Ψ1, na primer, uslov normiranja se svodi na:

〈Ψ1|Ψ1〉 =∑m

∑n

c(1)∗m c(1)

n

∫ψ∗mψndV =

∑m

∑n

c(1)∗m c(1)

n δmn =∑

|c(1)n |2 = 1. (52)

Dakle, suma kvadrata modula koeficijenata ekspanzije jednaka je 1.

Uslov ortogonalnosti dva stanja se svodi na:

〈Ψ2|Ψ1〉 =∑m

∑n

c(2)∗m c(1)

n

∫ψ∗mψndV =

∑m

∑n

c(2)∗m c(1)

n δmn =∑

n

c(2)∗n c(1)

n = 0. (53)

U matricnoj formi, uslov ortogonalnosti dva stanja je:

c(2)†c(1) = 〈c(2)|c(1)〉, (54)

gde je

〈c(2)| = c(2)† = (c(2)T )∗, (55)

|c(1)〉 = c(1). (56)

3. Operator projekcije

Posmatramo diskretni ortonormirani bazis ψn. Karakteristika ovog bazisa je 〈ψm|ψn〉 = δmn. Definisimo

operator:

P = |ψn〉〈ψn|. (57)

Ovaj operator projektuje proizvoljno stanje na ket |ψn〉. Na primer, za proizvoljnu funkciju χ, koja se moze

predstaviti razvojem:

|χ〉 =∑

n

cn|ψn〉, (58)

P |χ〉 = |ψn〉〈ψn|χ〉 = 〈ψn|χ〉|ψn〉 = cn|ψn〉. (59)

S obzirom da vazi:

|χ〉 =∑

n

|ψn〉〈ψn|χ〉, (60)

lako se dobije da je:∑

n

|ψn〉〈ψn| = 1. (61)

Ova relacija izrazava kompletnost seta bazisnih funkcija ψn.


4. Superponirana stanja

U kvantnoj mehanici vazi princip superpozicije (Schrodingerova jednacina je linearna diferencijalna jednacina).

Prema ovom principu, sko su ψ1 i ψ2 svojstvene funkcije dva stanja, proizvoljna linearna kombinacija ovih

talasnih funkcija αψ1+βψ2 je takode moguce stanje. Superponirana stanja se eksperimentalno verifikuju pomocu

interferencionih efekata. Opste je poznato da se makroskopski objekti ne nalaze u superponiranim stanjima. Na

primer, macka (Schrodingerova macka) ne moze biti u stanju koje je superpozicija dva stanja: “biti ziv” i “biti

mrtav”. S druge strane, kvantna mehanika dozvoljava proizvoljnu superpoziciju stanja. Merenjem se, medutim,

mogu uociti samo stanja koja cine superponirano stanje. Dakle, kvantno Sredingoreova macka moze biti u

superponiranom stanju, ali interakcija sa mernom opremom dovodi do dva rezultata: ziv ili mrtav.

Interesantna posledica superpozicije stanja je kvantno uvezivanje. To je karakteristika kvantnog stanja, koje

je kombinacija stanja dva sistema koji su nekada interagovali, ali su zatim razdvojeni i ne nalaze se u odredenom

stanju. Stanje oba sistema kolapsira u odredeno svojstveno stanje kada se izvrsi merenje na jednom od sistema.

5. Heisenbergova relacija neodredjenosti

Posmatramo dve dinamicke promenljive A i B. Srednje vrednosti ove dve fizicke velicine su:

〈A〉 = 〈A〉 = 〈ψ|A|ψ〉, (62)

〈B〉 = 〈B〉 = 〈ψ|B|ψ〉. (63)

Definisimo neodredenost kao kvadratni koren iz srednje kvadratne disperzije:

∆A =√〈(A− 〈A〉)2〉, (64)

∆B =√〈(B − 〈B〉)2〉. (65)

Treba obratiti paznju da je u ostatku kursa, ∆A (slicno i ∆B) definisano kao odstupanje od srednje vrednosti,

dok samo ovde ∆A ima znacenje standardne devijacije, tj kvadratnog korena srednjeg kvadratnog odstupanja.

Pokazacemo da je:

∆A ·∆B ≥ 12

∣∣∣〈[A, B

]〉∣∣∣ . (66)

Drugim recima, pokazacemo da je proizvod neodredenosti dve dinamicke promenljive veci ili jednak polovini

apsolutne ocekivane vrednosti dinamicke promenljive koja je predstavljena komutatorom operatora posmatranih

dinamickih promenljivih. Najpre cemo uvesti hermitske operatore:

A′ = A− 〈A〉, (67)

5.. Heisenbergova relacija neodredjenosti 15

B′ = B − 〈B〉. (68)

Dakle, kvadrati neodredenosti velicina A i B su:

(∆A)2 = 〈A′2〉, (69)

(∆B)2 = 〈B′2〉. (70)

Pored ove dve osobine, moze se pokazati da je:

[A′, B′] = [A, B]. (71)

Uvedimo linearni, ali nehermitski operator:

C = A′ + iλB′, (72)

gde je λ realna vrednost. Adjungovani operator je (A′ i B′ su hermitski operatori):

C† = A′ − iλB′. (73)

Srednja vrednos CC† je:

〈CC†〉 = 〈ψ|CC†|ψ〉 =∫

ψCC†ψdV =∫

(C†ψ)∗C†ψdV =∫|g|2dV ≥ 0, (74)

gde je g = C†ψ. Ovo smo mogli jednostavnije dokazati na osnovu prethodnih rezultata za vezu izmedu bra i ket:

〈CC†〉 = 〈ψ|CC†|ψ〉 = 〈ψ|C|g〉 = 〈g|C†|ψ〉∗ = 〈g|g〉∗ = 〈g|g〉. (75)

S druge strane:

f(λ) = 〈CC†〉 = 〈(A′ + iλB′)(A′ − iλB′)〉 = 〈A′2 + λ2B′2 − iλ[A′, B′]〉. (76)

Na osnovu (69), (70) i (71) sledi:

f(λ) = (∆A)2 + λ2(∆B)2 − iλ〈[A, B[〉 ≥ 0. (77)

f(λ) je, dakle, realno i nenegativno, sto znaci da 〈[A, B]〉 ima imaginarne vrednosti. Minimum funkcije f(λ) je

u:

λ0 =i

2〈[A, B]〉(∆B)2

. (78)

Vrednost funkcije u minimumu je:

f(λ0) = (∆A)2 +14〈[A, B]〉2(∆B)2

≥ 0. (79)


Mnozenjem ovog izraza sa (∆B)2, sledi:

(∆A)2(∆B)2 ≥ −14|〈[A, B]〉|2, (80)

odnosno:

∆A ·∆B ≥ 12|〈[A, B]〉|. (81)

Za par kanonski konjugovanih promenljivih vazi:

[A, B] = i~, (82)

odakle sledi:

〈[A, B]〉 = i~, (83)

odnosno:

∆A ·∆B ≥ ~2

. (84)

Ovo je Hajzenbergova relacija neodredenosti. Na primer, za par kanonski konjugovanih promenljivih (x, px):

∆x∆px ≥ ~2. (85)

Ova relacija namece inherentna ogranicenja na merenja. Po ovoj relaciji, ne moze se realizovati stanje u kome

se znaju i polozaj (x) i kolicina kretanja (px) istovremeno sa proizvoljnom tacnoscu.

2

Kvantovanje linearnog harmonijskog

oscilatora

Posmatramo cesticu koja se krece u potencijalu oblika kao na slici. U okolini x = 0 potencijal se moze razviti u

Tejlorov red:

U(x) = U(0) +11!

dU

dx

∣∣∣∣x=0

x +12!

d2U

dx2

∣∣∣∣x=0

x2 . . . (1)

S obzirom da potencijal ima minimum u tacki x = 0, ako se zadrzimo do drugog stepena po x:

U(x) =12kx2. (2)

Svaki sistem kod koga je potencijalna energija ovakvog oblika naziva se linearni harmonijski oscilator (LHO).

Klasicno, ucestanost oscilacija ovakvog sistema je ω =√

k/m.

Sl. 1. Potencijal koji se za male energije (male oscilacije) u klasicnoj mehanici moze aproksimi-

rati parabolom.

17

18 2. Kvantovanje linearnog harmonijskog oscilatora

Sl. 2. Potencijal LHO.

Schrodingerova jednacina za cesticu je:

− ~2

2m

d2ψ

dx2+

12mω2x2ψ = Eψ (3)

Ukoliko se ova jednacina pomnozi sa −2m/~2, dobija se:

(d2

dx2+

2mE

~2− m2ω2

~2x2

)ψ = 0. (4)

Uvedimo smene:

E =2E

~ω= E/(~ω/2), (5)

ξ = αx , (6)

gde je:

α =√

mω

~. (7)

Uz zamenu (6):

d

dx=

dξ

dx

d

dξ= α

d

dξ. (8)

Ponavaljanjem ovog postupka za drugi izvod se dobija:

d2

dx2= α2 d2

dξ2. (9)

Uz smene (6) i (5):

2mE

~2=

2m

~2

~ω2E = α2E (10)

19

Prema tome, Sredingerova jednacina dobija oblik:(

α2 d2

dξ2+ α2E − α4 ξ2

α2

)ψ = 0, (11)

odnosno:d2ψ

dξ2+

(E − ξ2)ψ(ξ) = 0. (12)

Ako posmatramo slucaj |x| → ∞ (ξ2 → ∞), clan E se moze zanemariti u odnosu na deo od potencijala, pa

diferencijalna jednacina ima oblik: (d2

dξ2− ξ2

)ψ(ξ) = 0. (13)

Zadrzavajuci samo najvisi stepen ξ, moze se pokazati da resenje ima formu:

ψ(ξ) = ξpe±ξ2/2. (14)

Od dva znaka u argumentu eksponencijalne funkcije, samo je znak − fizicki opravdan. Za proizvoljnu vrednost

koordinate, fizicki opravdano resenje se moze pisati u formi

ψ(ξ) = Cne−ξ2/2H(ξ), (15)

gde je H(ξ) polinom, kao sto ce biti pokazano, a Cn je normalizaciona konstanta. Formirajmo jednacinu po

H(ξ), zamenom pretpostavljenog resenja u jednacinu (12). Prvi izvod ψ je:

ψ′(ξ) = Cne−ξ2/2H ′(ξ) + Cn(−ξe−ξ2/2)H(ξ)

= Cne−ξ2/2(H ′(ξ)− ξH(ξ)).(16)

Drugi izvod je oblika:

ψ′′(ξ) = Cne−ξ2/2(−ξ)(H ′(ξ)− ξH(ξ)) + Cne−ξ2/2(H ′′(ξ)−H(ξ)− ξH(ξ)′), (17)

odnosno:

ψ′′(ξ) = Cne−ξ2/2[H ′′(ξ)− 2ξH ′(ξ) + (ξ2 − 1)H(ξ)

](18)

Zamenom u jednacinu (12), dobija se:

Cne−ξ2/2 [H ′′(ξ)− 2ξH ′(ξ) + (E − 1)H(ξ)] = 0. (19)

Prema tome, mora biti zadovoljena diferencijalna jednacina

H ′′(ξ)− 2ξH ′(ξ) + (E − 1)H(ξ) = 0 , (20)

koja se naziva Hermitova diferencijalna jednacina.

S obzirom da je potencijal parna funkcija koordinate, sva stanja se mogu klasifikovati kao parna i neparna.

Razmotrimo najpre parna stanja.


1. Parna stanja

Za ovaj slucaj H(ξ) je parna funkcija koordinate ξ, tj

H(ξ) = H(−ξ). (21)

H(ξ) sadrzi samo parne stepene ξ:

H(ξ) =∞∑

k=0

ckξ2k = H(−ξ). (22)

Prvi izvod ove funkcije po ξ je:

H ′(ξ) =∞∑

k=0

ck2kξ2k−1. (23)

Ovde se pocetna vrednost brojaca k moze postaviti na 0, jer prvi clan u sumi ne daje nikakav doprinos. Drugi

izvod je:

H ′′(ξ) =∞∑

k=0

ck2k(2k − 1)ξ2k−2. (24)

Zamenom oblika funkcije H(ξ), njenog prvog i drugog izvoda u diferencijalnu jednacinu (20), dobijamo:

∞∑

k=0

[2k(2k − 1)ckξ2(k−1) − 4kckξ2k + (E − 1)ckξ2k

]= 0. (25)

Treba primetiti da je prvi clan razlicit od nule k = 1. U prvom sabirku mozemo zameniti k − 1 → k, pa sledi:

∞∑

k=0

[2(k + 1)(2k + 1)ck+1 + (E − 1− 4k)ck] ξ2k = 0. (26)

Odavde sledi rekurentna relacija za koeficijente ck:

ck+1 =1 + 4k − E

2(k + 1)(2k + 1)ck. (27)

Za k →∞,ck+1

ck∼ 1

k, (28)

sto je odnos pri razvoju u Tejlorov red funkcije eξ2:

eξ2=

∞∑

k=0

1k!

ξ2k. (29)

Prema tome, ukoliko red ima beskonacno mnogo clanova, svojstvena funkcija bi imala oblik:

ψ(ξ) ∼ eξ2/2 (30)

i dakle ne bila ogranicena u ξ → ±∞. Zakljucujemo da red mora biti konacan, sto znaci da su svi koeficijenti u

opstem ck 6= 0, k ≤ N , ali

cN+1 = 0. (31)

2.. Neparna stanja 21

Da bi ovo bilo ispunjeno, energija mora imati diskretne vrednosti (treba zameniti k → N u razlomku ispred ck

u (27)):

E = 4N + 1, N = 0, 1, 2, . . . . (32)

2. Neparna stanja

Neparna stanja se mogu predstaviti polinomom:

H(ξ) =∞∑

k=0

dkξ2k+1, (33)

pri cemu je d0 6= 0. Slicno kao za parna stanja, dobija se:

dk+1 =4k + 3− E

2(k + 1)(2k + 3)dk. (34)

Ako se red prekine na k = N , tako da je dN+1 = 0, sledi

E = 4N + 3, N = 0, 1, 2, . . . (35)

Zajedno se relacije i za parna i za neparna stanja mogu pisati kao

E = 2n + 1, n = 0, 1, 2, 3, . . . (36)

Zamenom E → E:

En = ~ω(

n +12

). (37)

Ovde se parno n odnosi na parna stanja, a neparno n na neparna stanja. Svojstvene funkcije su oblika

ψn(ξ) = CnHn(ξ)e−ξ2/2. (38)

Hn je Hermiteov polinom n-tog reda, koji se racuna na osnovu:

Hn(ξ) = (−1)neξ2 dn

dξn(e−ξ2

). (39)

Nekoliko prvih Hermiteovih polinoma ima oblik

H0(ξ) = 1,

H1(ξ) = 2ξ,

H2(ξ) = 4ξ2 − 2

H3(ξ) = 8ξ3 − 12ξ

. . .

(40)

Izgled prvih nekoliko Hermiteovih polinoma i talasne funkcije ψn(ξ) su dati na slici.


Sl. 3. Hermiteovi polinomi i svojstvene funkcije LHO. Apscisa se odnosi na promenljivu ξ.

• Najniza vrednost energije je E0 = ~ω/2 i naziva se energija nultih oscilacija. U klasicnoj mehanici

minimalna energija je jednaka nuli. Energija nultih oscilacija je kvantni fenomen i povezana je sa Heisen-

bergovom relacijom neodredenosti.

• Spektar se sastoji od beskonacnog broja diskretnih stanja (jer je jama beskonacno duboka). Po klasicnoj

mehanici, sve energije LHO-a su dozvoljene.

• svojstvena funkcija osnovnog stanja je Gasuova kriva (gausijan): ψ0 ∼ e−ξ2.2;

• u svakom svojstvenom stanju cestica egzistira od −∞ do +∞, dok su moguce vrednosti koordinate cestice

u klasicnoj mehanici ogranicene na oblast izmedu povratnih tacaka ([−x0, x0]; videti prvu sliku u ovoj

glavi).

Na kraju odredimo normalizacionu konstantu na osnovu uslova normiranja:

〈ψn|ψn〉 = 1, (41)

sto se svodi na:

C2n

+∞∫

−∞e−ξ2

H2n(ξ)dξ

1α

= 1 (42)

3.. Rekurentne relacije svojstvenih funkcija LHO 23

Integral1+∞∫

−∞e−ξ2

H2n(ξ)dξ = 2nn!

√π, (43)

Odavde sledi:C2

n

α2nn!

√π = 1, (44)

odakle sledi:

Cn = 4

√mω

π~1√2nn!

(45)

Konacno, normirane svojstvene funkcije LHO imaju oblik:

ψn(ξ) = 4

√mω

π~1√2nn!

e−ξ2/2Hn(ξ). (46)

3. Rekurentne relacije svojstvenih funkcija LHO

Na osnovu rekurentnih relacija za Hermiteove polinome mogu se izvesti rekurentne relacije svojstvenih funkcija

LHO Prva takva relacija je:

ξHn(ξ) = nHn−1(ξ) +12Hn+1(ξ) (47)

Pomnozimo ovu jednacinu sa Cne−ξ2/2:

ξCne−ξ2/2Hn(ξ) = nCne−ξ2/2Hn−1(ξ) +12Cne−ξ2/2Hn+1(ξ). (48)

Uocimo da je:

Cn = Cn−1/√

2n. (49)

Dakle,

nCn =√

n/2Cn−1. (50)

Slicno je:

Cn =√

2(n + 1)Cn+1. (51)

Dakle,

ξCne−ξ2/2Hn(ξ) =√

n/2Cn−1e−ξ2/2Hn−1(ξ) +

12

√2(n + 1)Cn+1e

−ξ2/2Hn+1(ξ). (52)

S obzirom da je:

ψn(ξ) =√

n/2ψn−1 +√

(n + 1)/2ψn+1. (53)

1Videti Abramowitz, Stegun, ”Handbook of mathematical functions”, Dover, 1965.


Ovo je I rekurentna relacija svojstvenih funkcija LHO.

Pored ove rekurentne relacije, moze se izvesti i rekurentna relacija za prvi izvod talasne funkcije, polazeci

od:dHn

dξ= 2nHn−1(ξ). (54)

Pomnozimo ovu jednacinu sa Cne−ξ2/2. Lako se dobije:

Cne−ξ2/2 dHn

dξ= 2nCne−ξ2/2Hn−1. (55)

Prvi izvod ψn po ξ je:

dψn

dξ=

d

dξ(Cne−ξ2/2Hn(ξ)) = Cn(−ξ)e−ξ2/2Hn(ξ) + Cne−ξ2

H ′n(ξ). (56)

Odavde je:

Cne−ξ2H ′

n(ξ) = ψ′n + Cnξe−ξ2/2Hn(ξ). (57)

Koristeci Cn = Cn−1/sqrt2n, lako se dobije:

ψ′n = −ξψn(ξ) + 2nCn−1√

2ne−ξ2/2Hn−1, (58)

odnosno:

ψ′n = −ξψn(ξ) +√

2nψn−1. (59)

Koristeci I rekurentnu relaciju, sledi:

ψ′n =√

n

2ψn−1 −

√n + 1

2ψn+1. (60)

Ovo je II rekurentna relacija svojstvenih funkcija LHO.

4. Visedimenzioni linearni harmonijski oscilator

Posmatramo kretanje cestice u potencijanoj jami oblika:

U(x, y, z) =12m

(ω2

xx2 + ω2yy2 + ω2

zz2). (61)

Ako je ispunjeno:

ωx = ωy = ωz (62)

oscilator je izotropan, inace je anizotropan.

4.. Visedimenzioni linearni harmonijski oscilator 25

Stacionarna Sredingerova jednacina ima oblik:

∇2ψ(x, y, z) +2m

~2[E − U(x, y, z)] ψ(x, y, z) = 0. (63)

Ako ovu jednacinu podelimo sa ψ(x, y, z) dobijamo:

1ψ(x, y, z)

∇2ψ(x, y, z) +2mE

~2− m2

~2

(ω2

xx2 + ω2yy2 + ω2

zz2)

= 0. (64)

Uvedimo smene:

ξ =√

mωx

~x, (65)

η =√

mωy

~y, (66)

ζ =√

mωz

~z. (67)

Zamenom u jednacinu (64) dobija se:

1ψ(ξ, η, ζ)

m

~

(ωx

∂2

∂ξ2+ ωy

∂2

∂η2+ ωz

∂2

∂ζ2

)ψ(ξ, η, ζ)

+2mE

~2− m

~(ωxξ2 + ωyη2 + ωzζ

2)

= 0.

(68)

Funkcija se moze faktorizovati:

ψ(ξ, η, ζ) = X(ξ)Y (η)Z(ζ), (69)

pri cemu energiju pisemo u obliku:

E = Ex + Ey + Ez. (70)

Sredingerova jednacina dobija oblik:(

m

~ωx

1X(ξ)

d2X(ξ)dξ2

+2mEx

~2− mωx

~ξ2

)

+(

m

~ωy

1Y (η)

d2Y (η)dη2

+2mEy

~2− mωy

~η2

)

+(

m

~ωz

1Z(ζ)

d2Z(ζ)dζ2

+2mEz

~2− mωz

~ζ2

)= 0.

(71)

S obzirom da izrazi u zagradama zavise od razlicitih promenljivih, svaki izraz mora ponaosob biti jednak nuli

(ili konstanti, ali tako da zbir konstanti bude jednak nuli; lako se da zakljuciti da vrednost svojstvene energije

ne zavisi od ovog izbora). Dakle za x pravac:

m

~ωx

1X(ξ)

d2X(ξ)dξ2

+2mEx

~2− mωx

~ξ2 = 0 (72)

i slicno za y i z. Ova jednacina se moze dovesti na formu:

d2X

dξ2+

(Ex − ξ2)X(ξ) = 0, (73)


Sl. 4. Stepen degeneracije izotropnog 3D LHO.

gde je:

Ex =2Ex

~ωx, (74)

kako je vec uradeno u tretmanu jednodimenzonog LHO. Resenje za Ex je:

Ex = 2(

nx +12

). (75)

Svojstvena vrednost energije je:

Ex,nx =(

nx +12

)~ωx. (76)

Slicno je:

Ey,ny =(

ny +12

)~ωy, (77)

Ez,nz =(

nz +12

)~ωz. (78)

Svojstvene vrednosti energije 3D LHO su:

Enx,ny,nz = Ex,nx + Ey,ny + Ez,nz = ~ωx

(nx +

12

)+ ~ωy

(ny +

12

)+ ~ωz

(nz +

12

). (79)

Ako je oscilator izotropan (ωx = ωy = ωz):

Enx,ny,nz = ~ω(

nx + ny + nz +32

), (80)

ili

En = ~ω(

n +32

), n = 0, 1, 2, 3, ... (81)

Osnovno stanje ima energiju 3~ω/2 i nedegenerisano je, dok su visa stanja degenerisana, kako je dato na slici.

Uocava se da je stepen degeneracije:

d =(n + 1)(n + 2)

2. (82)

5.. Operatori kreacije i destrukcije 27

Sl. 5. Stepen degeneracije izotropnog 2D LHO.

Za izotropni dvodimenzioni oscilator u xy ravni se slicno dobija:

Enx,ny = ~ω (nx + ny + 1) , (83)

ili

En = ~ω (n + 1) , n = 0, 1, 2, 3, ... (84)

Sema degeneracije stanja je data na slici.

Za datu vrednost kvantnog broja n, stepen degeneracije ima vrednost n + 1:

d = n + 1, (85)

kao sto je prikazano na slici.

Svojstvene funkcije 2D linearnog harmonijskog oscilatora su date izrazom:

ψnx,ny (ξ, η) = 4

√m2ωxωy

π2~2

Hnx(ξ)Hny (η)√2nx+nynx!ny!

e−(ξ2+η2)/2. (86)

5. Operatori kreacije i destrukcije

Posmatramo hamiltonijan 1D LHO:

H =p2

2m+

12mω2q2. (87)

Ovde q oznacava proizvoljnu koordinatu, a p njoj pridruzeni linearni moment, odnosno impuls. Ove dve velicine

cine par kanonski konjugovanih promenljivih. Definisemo bezdimenzioni operator a i njemu adjungovani operator

a†:

a =1√

2m~ω(mωq + ip), (88)


a =1√

2m~ω(mωq − ip). (89)

Operator a se naziva operator destrukcije, a operator a† je operator kreacije. Operatori koordinate i linearnog

momenta se mogu pisati:

q =

√~

2mω(a† + a), (90)

p = i

√m~ω

2(a† − a). (91)

Operatori a i a† imaju jednostavne osobine i vrlo su korisni u primenama, ali ne predstavljaju dinamicke opserv-

able (merljive velicine). Proizvod operatora destrukcije i kreacije je:

aa† =1

2m~ω(p + mω2q2 + imωpq − imωqp

)=

H

~ω− imω

2m~ω[q, p] =

H

~ω+

12, (92)

gde smo koristili:

[q, p] = i~. (93)

Takode se moze pokazati da je:

a†a =H

~ω− 1

2. (94)

Na osnovu poslednje dve jednakosti:

[a, a†] = aa† − a†a = 1. (95)

Oznacimo ψn = |n〉. Schrodingerova jednacina za LHO postaje:

H|n〉 = ~ω(

a†a +12

)|n〉 = ~ω

(aa† − 1

2

)|n〉 =

~ω2

(aa† + a†a

) |n〉 = En|n〉. (96)

Mnozenje s leva ovog izraza sa a† daje:

~ω(a†a†a +12a†)|n〉 = Ena†|n〉. (97)

Ovde zamenimo a†a = aa† − 1:

~ω(

a†aa† − a† +12a†

)|n〉 = Ena†|n〉, (98)

odnosno:

~ω(

aa† +12

)a†|n〉 = (En + ~ω)a†|n〉. (99)

S obzirom da kineticka i potencijalna energija kod LHO moraju biti pozitivne, lako se zakljuci da postoji

ogranicenje za energijske nivoe sa donje strane. Na osnovu:

Ha|0〉 = (E0 − ~ω)a|0〉, (100)

5.. Operatori kreacije i destrukcije 29

Sl. 6. Ilustracija dejstva operatora kreacije i destrukcije.

sledi:

a|0〉 = 0. (101)

S obzirom da je:

H = ~ω(

a†a +12

), (102)

za stanje |0〉:

H|0〉 = ~ω(a†a|0〉+12|0〉) =

12~ω|0〉 = E0|0〉. (103)

Odavde sledi:

E0 =~ω2

. (104)

Za stanje |n〉:

H|n〉 = En|n〉. (105)

S obzirom da je:

En = En−1 + ~ω, (106)

lako se zakljuci:

En =(

n +12

)~ω. (107)

Na osnovu oblika hamiltonijana:

H = ~ω(

a†a +12

), (108)

moze se definisati operator broja:

n = a†a. (109)


Stanje a†|n〉 je svojstveno stanje LHO sa svojstvenom vrednoscu En+~ω. Oznacimo novo stanje sa Cn|n+1〉:

Cn|n + 1〉 = a†|n〉, (110)

gde je Cn normalizaciona konstanta. Slicno se moze pokazati:

Cn|n− 1〉 = a|n〉, (111)

Zakljucujemo da je a† odgovoran za kreaciju kvanta energije ~ω, a je odgovoran za unistavanje (destrukciju)

kvanta energije ~ω, kao sto je ilustrovano na slici.

Odredimo oblik normalizacione konstante. Stanja |n〉 moraju biti normirana, tj

〈n− 1|n− 1〉 = 〈n|n〉 = 〈n + 1|n + 1〉 = 1. (112)

Mnozenjem:

Cn|n− 1〉 = a|n〉 (113)

s leva sa C∗n〈n− 1| odnosno 〈n|a†:

|Cn|2〈n− 1|n− 1〉 = 〈n|a†a|n〉 = 〈n|n|n〉 = n〈n|n〉. (114)

Sledi:

|Cn|2 = n, (115)

odnosno:

a|n〉 =√

n|n− 1〉. (116)

Moze se pokazati da je:

a†|n〉 =√

n + 1|n + 1〉. (117)

Operatori kreacije i destrukcije cine osnov za teoriju sekundarnog kvantovanja u kvantnoj mehanici.

3

Kretanje cestice u stacionarnom

elektromagnetskom polju

Elektromagnetsko polje je opisano pomocu vektora elektricnog polja K(r, t) i vektora magnetskog polja B(r, t).

Alternativno se opis moze izvrsiti pomocu elektricnog potencijala ϕ(r, t) i magnetskog vektor potencijala A(r, t).

Veza izmedu potencijala i polja je poznata iz klasicne elektrodinamike:

K = −∇ϕ− ∂A∂t

, (1)

B = rotA = ∇×A. (2)

Funkcije ϕ i A nisu potpuno odredene. Ako se ucine transformacije:

ϕ → ϕ + φ(t) (3)

i

A → A +∇f(r), (4)

gde su φ(t) i f(r) proizvoljne funkcije, polja se ne menjaju. Ovo predstavlja invarijantnost u odnosu na izbor

kalibracije u klasicnoj elektrodinamici, u kojoj je kretanje cestice naelektrisanja q opisano jednacinom:

mdvdt

= qK + q(v ×B), (5)

dok je u kvantnoj mehanici potrebno resiti Sredingerovu jednacinu:

Hψ = Eψ. (6)

31

32 3. Kretanje cestice u stacionarnom elektromagnetskom polju

Moze se pokazati da u elektromagnetskom polju hamiltonijan ima oblik:

H =Π2

2m+ qϕ, (7)

gde je

Π = p− qA. (8)

Π se naziva mehanicki (kinematski) moment, dok se p = −i~∇ naziva kanonski moment.

Nestacionarna Sredingerova jednacina za kretanje elektrona u elektromagnetskom polju ima oblik:

i~∂ψ

∂t=

[(−i~∇− qA)2

2m+ qϕ

]ψ. (9)

Ovaj jednacina vazi za proizvoljnu zavisnost A i ϕ od prostornih koordinata i vremena, tj

A = A(r, t); ϕ = ϕ(r, t). (10)

Posmatracemo samo stacionarni slucaj, tj A = A(r), ϕ = ϕ(~r). Za ovaj slucaj vazi stacionarna Sredingerova

jednacina:[(−i~∇− qA)2

2m+ qϕ

]ψ = Eψ. (11)

Koristeci:

(−i~∇− qA)2 = (−i~∇− qA)(−i~∇− qA) = −~2∇2 + iq~∇A + iq~A∇+ q2A2 =

− ~2∇2 + 2iq~A∇+ iq~(∇A) + q2A2.

(12)

Ovde smo koristili:

∇Aψ = ψ(∇A) + A(∇ψ). (13)

Stacionarna Sredingerova jednacina, uz ∇A = divA, dakle, ima oblik:

− ~2

2m

(∇2 − 2iq

~A∇− iq

~divA− q2A2

~2

)ψ + qϕψ = Eψ. (14)

Ovo je najopstiji oblik stacionarne Sredingerove jednacine za kretanje cestice u stacionarnom elektromagnetskom

polju. Ako se cestica nalazi samo u elektricnom polju A = 0, pa je:

− ~2

2m∇2ψ + qϕψ = Eψ. (15)

1.. Landauovi nivoi 33

1. Landauovi nivoi

Posmatramo cesticu u magnetskom polju orijentisanom duz z ose, tj

K = 0, (16)

B = Bez, (17)

gde je B = const. Za Landauovu kalibraciju:

A = −Byex, (18)

ili

A = Bxey, (19)

pri cemu cemo ovde koristiti prvi oblik. Za ovakav izbor potencijala vazi da je:

∇A = 0, (20)

sto predstavlja uslov za Kulonovu kalibraciju, siroko koriscenu u tretmanu optickih prelaza. Ovo znaci da je

Landauova kalibracija specijalni slucaj Kulonove kalibracije. Osim toga:

A · ∇ψ = −By∂ψ

∂x. (21)

Diferencijalna jednacina za ψ dobija oblik:

− ~2

2m

(∂2ψ

∂x2+

∂2ψ

∂y2+

∂2ψ

∂z2+

2iq

~By

∂ψ

∂x− q2B2

~2y2ψ

)= Eψ. (22)

Ovo je modifikovana Sredingerova jednacina u kojoj figurise prvi parcijalni izvod po x. Clan sa y2 se ponasa kao

parabolicni potencijal, dok nema potencijala duz z ose.

Resenje gornje jednacine biramo u obliku:

ψ(x, y, z) = ei(kxx+kzz)η(y), (23)

gde je zavisnost od kz oblika eikzz posledica nezavisnosti potencijala od z koordinate (slicno kvantnoj zici), a

deo eikxx je pretpostavljen. Zamena ovog resenja u jednacinu (22) dovodi do jednacine oblika:

− ~2

2m

(−k2

xη − k2zη +

d2η

dy2− 2qkxB

~yη − q2B2

~2y2η

)= Eη. (24)

Koristeci cinjenicu da je:

k2x +

2qkxB

~y +

q2B2

~2y2 =

(kx +

qBy

~

)2

. (25)


jednacina (24) dobija oblik

− ~2

2m

d2η

dy2+~2

2m

(qB

~y + kx

)2

η(y) = (E − Ez) η(y). (26)

Ovde je:

Ez =~2k2

z

2m. (27)

Uvedimo novu promenljivu:

y = y +~

qBkx (28)

Na osnovu ove zamene, moze se pisati:

(qB

~y + kx

)2

=(

qB

~

)2

y2 =1l4B

y2. (29)

gde lB oznacava magnetsku duzinu

lB =

√∣∣∣∣~

qB

∣∣∣∣. (30)

Definisimo ciklotronsku (Larmorovu) ucestanost

ωc =∣∣∣∣qB

m

∣∣∣∣ . (31)

Moguce je pokazati da je:1l4B

=q2B2

~2=

m2ω2c

~2= α4

c , (32)

gde je:

αc = α(ω = ωc) =√

mωc/~. (33)

Prema tome, Sredingerova jednacina postaje:

− ~2

2m

d2η

dy2+

12mω2

c y2η = (E − Ez)η, (34)

Ovo je Sredingerova jednacina za LHO, pa su svojstvene vrednosti:

E = ~ωc

(n +

12

)+~2k2

z

2m, n = 0, 1, 2, . . . . (35)

Ove svojstvene vrednosti se nazivaju Landauovi nivoi. Landauovi nivoi imaju disperziju u funkciji kx i kz, pri

cemu je disperzija parabolicna duz kz a konstantna duz kx, kao na slikama.

Dalje je:

ηn(ξ) = 4

√mωx

π~1√2nn!

e−ξ2/2Hn(ξ), (36)

1.. Landauovi nivoi 35

Sl. 1. Disperzione relacije Landauovih nivoa.

gde je

ξ =y

lB, (37)

jer je:

αc =√

mωc

~=

1lB

. (38)

Za odredenu energiju energiju En postoji beskonacno mnogo talasnih funkcija za kx ∈ (−∞, +∞). Ukupna

talasna funkcija za odredene vrednosti kx i kz je:

ψ(x, y, z) = ei(kxx+kzz)η(y), (39)

pa kvadrat modula talasne funkcije zavisi samo od y koordinate:

|ψ(x, y, z)|2 = η2(y). (40)

Verovatnoca nalazenja cestice u elementarnoj zapremeni dV = dxdydz je:

dP =∞∑

kx=−∞|ψ(x, y, z)|2dΩ. (41)

Gustina verovatnoce je dakle:

ρ(x, y, z) =∞∑

kx=−∞|ψ(x, y, z)|2 ∼

+∞∫

−∞η2

n(kx, y)dkx =

+∞∫

−∞η2

n(y + kxl2B)dkx. (42)


Zamena y = y + l2Bkx uzdy

dkx= l2B . (43)

Prema tome:

ρ =1l2B

+∞∫

−∞η2(y)dy =

1l2B

. (44)

Ovde je koriscena cinjenica da je η(y) normirana, na isti nacina kao η(y), jer je y samo pomeren u odnosu na y:

+∞∫

−∞η2(y)dy =

+∞∫

−∞η2(y)dy = 1. (45)

Ovo znaci da je elementarna verovatnoca

dP ∼ qB

~dΩ, (46)

sto predstavlja cinjenicu da su sve tacke ravnopravne u homogenom magnetskom polju.

4

Priblizne metode u kvantnoj mehanici

U kvantnoj mehanici postoji uska klasa problema koji se mogu resiti egzaktno, pa se koriste priblizne metode.

Mi cemo u ovom kursu tretirati samo aproksimativne metode za diskretna stanja. Aproksimativne metode za

kontinualna stanja su tema kvantne teorije sudara. Sve metode se prema obliku Hamiltonijana mogu klasifikovati

na vremenski nezavisne i vremenski zavisne.

Vremenski nezavisne metode su:

• teorija perturbacija nezavisnih od vremena;

• varijacioni metod;

• WBK metoda.

Vremenski zavisna metoda je:

• teorija perturbacija zavisnih od vremena.

1. Teorija perturbacija nezavisnih od vremena

Pretpostavimo da se hamiltonijan sistema koji ne zavisi od vremena moze pisati u formi:

H = H0 + λH ′, (1)

gde je H0 neperturbovani hamiltonijan, a H ′ hamiltonijan perturbacije (poremecaja). Pretpostavimo da je

neperturbovani hamiltonijan dovoljno jednostavan, tako da se vremenski nezavisna Sredingerova jednacina moze

egzaktno resiti:

H0ψ(0)n = E(0)

n ψ(0)n . (2)

37

38 4. Priblizne metode u kvantnoj mehanici

Realni parametar λ sluzi za razlikovanje razlicitih redova perturbacionog racuna. Ako je λ = 0, tada H = H0, a

za λ = 1, H = H0 + H ′. Svojstvene funkcije neperturbovanog problema formiranu potpun skup ortonormiranih

funkcija, za koji dakle vazi:

〈ψ(0)i |ψ(0)

j 〉 = δij . (3)

Pretpostavljamo da su svojstvene vrednosti nedegenerisane i da je perturbacija slaba. Perturbacija je slaba ako

je perturbovana svojstvena energija En najbliza E(0)n , a ne nekoj drugoj svojstvenoj energiji. Dakle,

En =λ¿1 E(0)n , (4)

ψn =λ¿1 ψ(0)n . (5)

Procenu za energiju pravimo razvojem po razlicitim redovima perturbacije:

En =∞∑

k=0

λkE(k)n , (6)

ψn =∞∑

k=0

λkψ(k)n . (7)

Zamenimo ovu formu resenja u Sredingerovu jednacinu, sto daje:

(H0 + λH ′

) (ψ(0)

n + λψ(1)n + λ2ψ(2)

n + . . .)

=(E(0)

n + λE(1)n + λ2E(2)

n + . . .)(

ψ(0)n + λψ(1)

n + λ2ψ(2)n + . . .

).

(8)

Izjednacimo koeficijente s leve i desne strane koji stoji uz isti stepen λ:

λ0 : H0ψ(0)n = E

(0)n ψ

(0)n (9)

λ1 = λ : H0ψ(1)n + H ′ψ(0)

n = E(0)n ψ

(1)n + E

(1)n ψ

(0)n (10)

λ2 : H0ψ(2)n + H ′ψ(1)

n = E(0)n ψ

(2)n + E

(1)n ψ

(1)n + E

(2)n ψ

(0)n . (11)

Clan uz λ0 se odnosi na neperturbovani problem.

1.1. Teorija perturbacija I reda

Clan uz λ1 se moze pisati u formi:

〈ψ(0)n |H0 − E(0)

n |ψ(1)n 〉+ 〈ψ(0)

n |H ′ − E(1)n |ψ(0)

n 〉 = 0. (12)

S obzirom da je operator H0 hermitski, sledi:

〈ψ(0)n |H0|ψ(1)

n 〉 = 〈ψ(1)n |H0|ψ(0)

n 〉∗ = E(0)n 〈ψ(1)

n |ψ(0)n 〉∗ = E(0)

n 〈ψ(0)n |ψ(1)

n 〉. (13)

1.. Teorija perturbacija nezavisnih od vremena 39

Prema tome,

〈ψ(0)n |H0 − E(0)

n |ψ(1)n 〉 = 0. (14)

Svojstvene funkcije neperturbovanog problema su normirane:

〈ψ(0)n |ψ(0)

n 〉 = 1, (15)

pa sledi:

E(1)n = 〈ψ(0)

n |H ′|ψ(0)n 〉 = H ′

nn. (16)

Korekcija prvog reda energije nedegenerisanog stanja je, dakle, ocekivana vrednost H ′ u datom neperturbovanom

stanju.

Da bi se odredile nepoznate talasne funkcije, prema Rajli-Sredingerovom metodu, resi se neperturbovana

jednacina za sve svojstvene vrednosti i svojstvene funkcije. Nepoznate funkcije ψ(1)n po teoriji perturbacija I reda

razviju se u red po neperturbovanim svojstvenim funkcijama.

ψ(1)n =

∑

k

c(1)nk ψ

(0)k . (17)

Zamenimo ovaj razvoj u:

H0ψ(1)n + H ′ψ(0)

n = E(0)n ψ(1)

n + E(1)n ψ(0)

n . (18)

Dakle:

(H0 − E(0)n )

∑

k

c(1)nk ψ

(0)k + (H ′ − E(1)

n )ψ(0)n = 0. (19)

Pomnozimo s leva ovu jednacinu i integralimo po relevantnim koordinatama (∫

ψ(0)∗m dV ). Sledi:

∑

k

〈ψ(0)m |H0|ψ(0)

k 〉︸︷︷︸E

(0)k δmk

c(1)nk −

∑

k

c(1)nk E(0)

n 〈ψ(0)m |ψ(0)

k 〉︸︷︷︸δmk

+〈ψ(0)m |H ′|ψ(0)

n 〉 − E(1)n 〈ψ(0)

m |ψ(0)n 〉 = 0. (20)

Prema tome:

E(0)m c(1)

nm − E(0)n c(1)

nm + H ′mn − E(1)

n δmn = 0. (21)

Ovde je:

H ′mn = 〈ψ(0)

m |H ′|ψ(0)n 〉. (22)

Za m = n, dobijamo:

E(1)n = H ′

nn, (23)

sto je vec izvedeno. Za m 6= n:

c(1)nm =

H ′mn

E(0)n − E

(0)m

. (24)


Odavde sledi potreban uslov za primenu teorije perturbacija I reda:

∣∣∣∣H ′

mn

E(0)n − E

(0)m

∣∣∣∣ ¿ 1. (25)

Treba primetiti:

• na osnovu ovog racuna, ne moze se dobiti c(1)nn ;

• stanja ne mogu biti degenerisana, jer c(1)nm divergira za E

(0)n − E

(0)m → 0.

Prema tome, svojstvene energije i svojstvene funkcije su u okviru teorije perturbacija I reda bez degeneracije

odredene sa:

En = E(0)n + E(1)

n = E(0)n + H ′

nn, (26)

ψn = ψ(0)n + ψ(1)

n = ψ(0)n +

∑

m 6=n

H ′mn

E(0)n − E

(0)m

ψ(0)m . (27)

1.2. Teorija perturbacija II reda

Po teoriji perturbacija II reda, racunaju se popravke I i II reda energije i svojstvenih funkcija. Koristimo vec

izvedeni izraz:

H0ψ(2)n + H ′ψ(1)

n = E(0)n ψ(2)

n + E(1)n ψ(1)

n + E(2)n ψ(0)

n . (28)

Pomnozimo ovu jednacinu sa ψ(0)∗n i integralimo po relevantnim koordinatama:

∫ψ(0)∗

n dVH0ψ(2)n − E(0)

n ψ(2)n + H ′ψ(1)

n − E(1)n ψ(1)

n − E(2)n ψ(0)

n = 0 (29)

Sledi:

〈ψ(0)n |H0 − E(0)

n |ψ(2)n 〉+ 〈ψ(0)

n |H ′ − E(1)n |ψ(1)

n 〉 − E(2)n = 0. (30)

Na osnovu hermitivnosti Hamiltonijana H0:

〈ψ(0)n |H0|ψ(2)

n 〉 =∫

ψ(0)∗n H0ψ

(2)n dV =

(∫ψ(2)∗

n H0ψ(0)n dV

)∗= E(0)

n 〈ψ(2)n |ψ(0

n 〉∗ = E(0)n 〈ψ(0)

n |ψ(2)n 〉

(31)

sledi da je prvi sabirak u (30) jednak nuli, pa dobijamo:

E(2)n = 〈ψ(0)

n |H ′ −E(1)n |ψ(1)

n 〉. (32)

S obzirom da je ψ(1)n =

∑k c

(1)nk ψ

(0)k ,

E(2)n =

∑

k

c(1)nk 〈ψ(0)

n |H ′|ψ(0)k 〉. (33)


Ako oznacimo sa H ′nk = 〈ψ(0)

n |H ′|ψ(0)k 〉, lako se dobije:

E(2)n =

∑

k

c(1)nk H ′

nk − E(1)n c(1)

nn =∑

k 6=n

c(1)nk H ′

nk. (34)

Da bismo odredili popravku za funkcije II reda, uvedimo razvoj, kako smo radili kod teorije pertubacija I

reda:

ψ(2)n =

∑

k

c(2)nk ψ

(0)k . (35)

Da bismo izracunali c(2)nk formirajmo matricne elemente:

∫ψ(0)∗

m dV(H0 − E(0)n )

∑

k

c(2)nk ψ

(0)k + (H ′ − E(1)

n )∑

k

c(1)nk ψ

(0)k − E(2)

n ψ(0)n = 0. (36)

Kao i kod teorije perturbacije I reda, na osnovu ortonormiranosti svojstvenih funkcija neperturbovanog problema,

lako se dobija:

(E(0)m − E(0)

n )c(2)nm +

∑

k

H ′mkc

(1)nk − E(1)

n c(1)nm − E(2)

n δmn = 0. (37)

Ako je m = n, sledi:

E(2)n =

∑

k

H ′nkc

(1)nk −H ′

nnc(1)nn . (38)

Ovde smo koristili E(1)n = H ′

nn. Prema tome, iz sume u gornjoj relaciji treba oduzeti deo sa matricnim elementom

H ′nn. Ovo je posledica arbitrarnosti konstante c

(1)nn , kao sto ce dole biti ilustrovano. Dakle, ponovo dobijemo

relaciju za popravku svojstvenih vrednosti energije II reda:

E(2)n =

∑

k 6=n

H ′nkc

(1)nk . (39)

Koristeci napred izvedeni izraz za koeficijent c(1)nk , dobija se:

E(2)n =

∑

k 6=n

H ′nkH ′

kn

E(0)n − E

(0)k

. (40)

S obzirom da je H ′nk = H ′∗

kn:

E(2)n =

∑

k 6=n

|H ′kn|2

E(0)n − E

(0)k

(41)

Svaki clan u sumi efektivno opisuje prelaz iz neperturbovanog stanja n u stanje k i nazad u stanje n. Na osnovu

poslednjeg izraza moze se zakljuciti da je korekcija drugog reda osnovnog stanja uvek negativna (E(0)1 −E

(0)k < 0

za svako k 6= 0).

Za m 6= n, ako izdvojimo iz∑

H ′mk clan H ′

mn:

c(2)nm =

1

E(0)n − E

(0)m

∑

k 6=n

H ′mkH ′

kn

E(0)n − E

(0)k

− H ′nnH ′

mn

(E(0)n − E

(0)m )2

+H ′

mn

E(0)n − E

(0)m

c(1)nn . (42)


S obzirom da perturbacione jednacine ne odreduju c(j)nn, ovi koeficijenti nemaju uticaj na fizicku realnost.

Postoji vise nacina da se odrede ovi koeficijenti.

Prvi nacin je da se perturbovana talasna funkcija normira do reda λj . Po teoriji perturbacija prvog reda:

〈ψn|ψn〉 = 〈ψ(0)n + λψ(1)

n |ψ(0)n + λψ(1)

n 〉 (43)

Zadrzavajuci se na prvom stepenu po λ:

〈ψ(0)n |ψ(1)

n 〉+ 〈ψ(1)n |ψ(0)

n 〉 = 0. (44)

S obzirom da je:

ψ(1)n =

∑

k

c(1)nk ψ

(0)k , (45)

na osnovu ortonormiranosti ψ(0)k funkcija lako se dobija:

c(1)nn + c(1)∗

nn = 0. (46)

Ovo znaci da:

Re(c(1)nn) = 0, (47)

dok imaginarni deo c(1)nn nije odreden.

Ako koristimo teoriju perturbacija II reda, pored ovog uslova, mora biti ispunjeno:

〈ψ(0)n |ψ(2)

n 〉+ 〈ψ(1)n |ψ(1)

n 〉+ 〈ψ(2)n |ψ(0)

n 〉 = 0. (48)

Koristeci:

ψ(1)n =

∑

k

c(1)nk ψ

(0)k , (49)

i ortnormiranost ψ(0)k lako se dobija:

〈ψ(1)n |ψ(1)

n 〉 =∫ ∑

k′c(1)∗nk′ ψ

(0)∗k′

∑

k

cnkψ(0)k dV =

∑

k′

∑

k

c(1)∗nk′ c

(1)nk

∫ψ

(0)∗k′ ψ

(0)k

︸︷︷︸δkk′

=∑

k

|c(1)nk |2. (50)

Pored toga:

〈ψ(0)n |ψ(2)

n 〉 =∑

k

c(2)nk

∫ψ(0)∗

n ψ(0)k dV

︸︷︷︸δnk

= c(2)nn (51)

i

〈ψ(2)n |ψ(0)

n 〉 = 〈ψ(0)n |ψ(2)

n 〉∗ = c(2)∗nn . (52)


Prema tome, po teoriji perturbacija II reda, da bi funkcija bila normirana do reda λ2, mora biti:

c(2)nn + c(2)∗

nn︸︷︷︸2Re(c

(2)nn)

+∑

k

|c(1)nk |2 = 0. (53)

Imaginarni deo c(k)nn se ne moze odrediti jer mnozenje sa eiα, gde je α realan broj ne menja |ψ|2.

Imaginarni delovi c(k)nn se mogu postaviti da su svi jednaki nuli do onog reda, koliki je red perturbacione

teorije. Za teoriju perturbacija drugog reda je:

Im(c(1)nn) = 0 → c(1)

nn = 0, (54)

c(2)nn = −1

2

∑

k 6=n

|c(1)nk |2. (55)

Drugi nacin je da se usvoji c(j)nn = 0 do reda perturbacije. Po teoriji perturbacija I reda, oba predlozena

nacina daju isti rezultat. Po drugom nacinu, funkcije se normiraju na kraju racuna.

Ako se usvoji c(1)nn = 0, c

(2)nn = 0, svojstvene energije su po teoriji perturbacija II reda:

En = E(0)n + E(1)

n + E(2)n = E(0)

n + H ′nn +

∑

k 6=n

|H ′kn|2

E(0)n − E

(0)k

, (56)

a svojstvene funkcije:

ψn = ψ(0)n + ψ(1)

n + ψ(2)n = ψ(0)

n +∑

m6=n

H ′mn

E(0)n − E

(0)m

ψ(0)m

+∑

m 6=n

∑

k 6=n

H ′mkH ′

kn

(E(0)n − E

(0)m )(E(0)

n − E(0)k )

− H ′nnH ′

mn

(E(0)n −E

(0)m )2

ψ(0)

m .

(57)

5

Varijacioni metod

1. Osobine osnovnog stanja sistema

Posmatramo diskretna stanja vremenski nezavisnog jednodimenzionog Hamiltonijana. Izaberemo proizvoljnu

kvadratno integrabilnu funkciju f (∫ |f |2dx konacan), na koju deluje hamiltonijan H.1. Srednja vrednost energije

(srednja vrednost hamiltonijana) u stanju opisanom funkcijom f je:

〈E〉 =〈f |H|f〉〈f |f〉 . (1)

Pretpostavimo da je 〈f |f〉 = 1. Funkciju f razvijemo u bazis koji cine svojstvene funkcije diskretnih stanja

(resenja svojstvenog problema Hψ = Eψ), za koje pretpostavljamo da su poznate:

f =∑

k′ck′ψk′ , (2)

pri cemu je:

Hψk′ = Ek′ψk′ . (3)

Koeficijent ck se nalazi na osnovu:

〈ψk|f〉 =∑

k′ck′〈ψk′ |ψk〉, (4)

tj ∫ψ∗kfdx =

∑

k′ck′

∫ψ∗kψk′dx

︸︷︷︸δkk′

= ck, (5)

tj:

ck =∫

ψ∗kfdx. (6)

1Ova funkcija se u varijacionom metodu naziva varijaciona ili probna funkcija

45

46 5. Varijacioni metod

S obzirom da je funkcije normirana:

〈f |f〉 = 〈f |f〉 =∫

f∗fdx =∑

k

∑

k′c∗kck′

∫ψ∗kψk′dx

︸︷︷︸δkk′

=∑

k

|ck|2 = 1. (7)

Srednja vrednost energije je:

〈E〉 =∫

(∑

k′c∗k′ψ

∗k′)H(

∑

k

ckψk)dx =∫ ∑

k′c∗k′ψ

∗k′

∑

k

ckEkψkdx. (8)

Dalje se ovaj izraz moze pisati:

〈E〉 =∑

k

∑

k′c∗k′ckEk

∫ψ∗k′ψkdx

︸︷︷︸δk′k

=∑

k

|ck|2Ek (9)

Ako su svojstvene energije poredane u niz:

E1 < E2 < . . . (10)

sledi:

〈E〉 =∑

k

|ck|2Ek ≥∑

k

|ck|2E1 = E1

∑

k

|ck|2. (11)

Sledi, dakle:

〈E〉 ≥ E1. (12)

〈E〉 zavisi od izbora varijacione funkcije f i naziva se funkcional energije.

Do procene za energiju osnovnog stanja moze se, dakle, doci pomocu proizvoljne kvadratno integrabilne

funkcije. Procenjena vrednost za energiju je veca ili jednaka energiji osnovnog stanja. Ako je izabrana funkcija

f svojstvena funkcija osnovnog stanja tada funkcional 〈E〉 ima vrednost energije osnovnog stanja.

Ako je c1 = 1, a ck = 0; k > 1, sledi:

〈E〉 = E1, (13)

jer je f = ψ1.

Ako je c1 = 0, ck 6= 0, k ≥ 2,

〈E〉 =∞∑

k=2

|ck|2Ek ≥∞∑

k=2

|ck|2E2 = E2

∞∑

k=2

|ck|2 = E2. (14)

Ovo znaci da ako je f ortogonalno na ψ1 (c1 = 〈ψ1|f〉 = 0), tada je 〈E〉 ≥ E2.

2.. Ricova teorema 47

2. Ricova teorema

Posmtramo funkcional energije (srednju vrednost hamiltonijana):

〈E〉(f) =〈f |H|f〉〈f |f〉 . (15)

Definicija. Funkcional 〈E〉 je stacionaran ako je varijacija ovog funkcionala δ〈E〉 = 0 pri proizvoljnoj infinitez-

imalnoj varijaciji funkcije f (δf).

Ricova teorema. Funkcional 〈E〉 je stacionaran ako i samo ako je funkcija od koje zavisi svojstvena funkcija

Hamiltonijana i stacionarna vrednost 〈E〉 je svojstvena vrednost hamiltonijana. Drugim recima:

δ〈E〉 = 0 ≡ Hf = 〈E〉f. (16)

Dokaz. Variramo f za δf , tj

f = f + δf. (17)

Napisemo:

〈E〉〈f |f〉 = 〈f |H|f〉. (18)

Diferenciramo obe strane ove jednakosti:

(∫

f∗fdx)δ〈E〉+ 〈E〉[∫

f∗δfdx +∫

δf∗fdx

]=

∫f∗Hδfdx +

∫δf∗Hfdx. (19)

Treba primetiti da 〈E〉 nije operator. Dalje je:

(∫

f∗fdx)δ〈E〉 =∫

f∗(H − 〈E〉)δfdx +∫

δf∗(H − 〈E〉)fdx. (20)

Ako je 〈E〉 stacionarno (δ〈E〉 = 0):

∫f∗(H − 〈E〉)δfdx +

∫δf∗(H − 〈E〉)fdx = 0. (21)

Ako je H hermitski operator, tada je H − 〈E〉 hermitski operator. Pored toga, oznacimo sa:

ϕ = (H − 〈E〉)f. (22)

To znaci da se moze pisati:

∫f∗(H − 〈E〉)δfdx =

∫((H − 〈E〉)f)∗δfdx =

(∫δf∗(H − 〈E〉)fdx

)∗=

(∫δfϕdx

)∗=

∫ϕ∗δfdx. (23)

Prema tome, uslov da varijacija funkcionala bude jednaka nuli, svodi se na:

∫ϕ∗δfdx +

∫δf∗ϕdx = 0. (24)


Ova relacija mora biti zadovoljena za proizvoljno δf . Ako izaberemo δf = δλ · ϕ, gde je δλ realni broj:

∫ϕ∗δλϕdx +

∫δλϕ∗ϕdx = 0, (25)

odnosno

2δλ

∫ϕ∗ϕdx = 0. (26)

Odavde sledi da∫ |ϕ|2dx = 0, sto znaci da ϕ mora biti jednako nuli, odnosno:

Hf = 〈E〉f. (27)

Obrnuto se moze dokazati da na osnovu prethodne jednacine sledi δ〈E〉 = 0. Naime, ako je 〈E〉 svojstvena

vrednost, i f svojstvena funkcija, tada je |g〉 = g = (H − 〈E〉)f = 0. Ketu |g〉 odgovara bra 〈f |((H)− 〈E〉 = 〈g|.S obzirom da je |g〉 = 0, 〈g| = 0. Odavde sledi da je δ〈E〉 = 0.

Prema tome,

δ〈E〉 = 0 ↔ Hf = 〈E〉f, (28)

sto znaci da je funkcional 〈E〉 stacionaran ako i samo ako je funkcija od koje zavisi svojstvena funkcija Hamil-

tonijana i stacionarna vrednost 〈E〉 je svojstvena vrednost hamiltonijana.

3. Postupak racunanja energije osnovnog stanja pomocu varijacionog

metoda

Iznete osobine osnovnog stanja sistema i Ricova teorema cine osnovu za varijacioni metod. U ovom metodu se za

racunanje koristi varijaciona (probna) funkcija, koja zavisi od nekoliko varijacionih parametara: f(x, α1, α2, . . . , αn).

Obicno broj parametara nije veci od 3. Funkcional 〈E〉(f) se minimizuje da bi se dobila najbolja aproksimativna

vrednost za energiju osnovnog stanja.

Ako varijaciona funkcija zavisi od jednog parametra f = f(x, α), postupak je sledeci:

• pretpostavimo oblik f = f(x, α);

• izracunamo:

〈E〉(α) =〈f |H|f〉〈f |f〉 =

∫f∗(x, α)Hf(x, α)dx∫f∗(x, α)f(x, α)dx

; (29)

• Odredimo polozaj ekstremuma 〈E〉(α):d〈E〉dα

∣∣∣∣α=α0

= 0; (30)

3.. Postupak racunanja energije osnovnog stanja pomocu varijacionog metoda 49

• proveri se da li je ekstremum u α = α0 minimum, tj da li je ispunjeno d2〈E〉/dα2|α=α0>0;

• odredi se 〈E〉(α0).

Cesto se varijaciona funkcija zadaje u formi Cf(x, α). Tada treba prvo odrediti normalizacionu konstantu

C, na osnovu uslova 〈f |f〉 = 1, a zatim minimizovati funkcional:

〈E〉(α) = 〈f |H|f〉 =∫

f∗(x, α)Hf(x, α)dx, (31)

po α. Na osnovu Ricove teoreme, za vrednost α = α0, bar priblizno (egzaktno ako je f svojstvena funkcija

osnovnog stanja) je zadovoljena jednacina:

Hf(x, α0) = 〈E〉(α0)f(x, α0). (32)

Izbor varijacione funkcije je poseban problem.

• Dobra varijaciona funkcija sadrzi dovoljan broj karakteristika tacne talasne funkcije za racunanje svo-

jstvene energije osnovnog stanja sa malom greskom.

• Neke od karakteristika se mogu dobiti na osnovu simetrije, na primer parnosti ili simetrije u odnosu na

moment kolicine kretanja. Tada se probna funkcija bira u skladu sa simetrijom i stanja jedne simetrije

su ortogonalna na stanja II simetrije. Na primer, ako je potencijal simetrican, za najniza stanja razlicite

parnosti biraju se razlicite probne funkcije.

• Oblik varijacione funkcije treba da bude jednostavan, tako da se, ako je moguce, integrali koji se resavaju

u varijacionom postupku mogu analiticki odrediti.

6

Teorija perturbacija zavisnih od

vremena

Posmatramo sistem, ciji je ukupni Hamiltonijan

H(~r, t) = H0(~r) + λH ′(~r, t), (1)

zbir vremenski nezavisnog hamiltonijana H0 i hamiltonijana λH ′ koji predstavlja vremenski zavisnu perturbaciju.

Ovde, kao i kod teorije perturbacija nezavisnih od vremena, koristimo parametar λ da bi uspostavili vezu izmedu

razlicitih stepena u jednacini sa vremenski zavisnom perturbacijom. Pretpostavljamo da su svojstvene vrednosti

E(0)k i svojstvene funkcije Ψ(0)

k hamiltonijana H0 poznate, kao i da funkcije Ψ(0)k cine potpun skup ortonormiranih

funkcija.

Opste resenje nestacionarne Sredingerove jednacine u odsustvu perturbacije je:

i~∂Ψ(0)

∂t= H(0)Ψ(0) (2)

je oblika:1

Ψ(0)(~r, t) =∑

k

c(0)k ψ

(0)k (~r)e−iE

(0)k t/~. (3)

Na osnovu uslova normiranja 〈Ψ0|Ψ0〉 = 1, sledi

∫ (∑

k

c(0)∗k ψ

(0)∗k eiE

(0)k t/~

)(∑

k′c(0)k′ ψ

(0)k′ e−iE

(0)k′ t/~

)dV

=∑

k

∑

k′ei(E

(0)k −E

(0)k′ )t/~c(0)∗

k c(0)k′

∫

Ω

ψ(0)∗k ψ

(0)k′ dV

︸︷︷︸δkk′

=∑

k

|c(0)k |2 = 1.

(4)

1Za kontinuum, suma prelazi u integral.

51

52 6. Teorija perturbacija zavisnih od vremena

|c(0)k |2 je verovatnoca nalazenja sistema u stanju k, a c

(0)k je amplituda verovatnoce. Ako hamiltonijan ne zavisi

od vremena, c(0)k ne zavisi od t.

Razmotrimo sada vremenski zavisni hamiltonijan H, tj Sredingerovu jednacinu:

i~∂Ψ∂t

= HΨ. (5)

S obzirom da za opsti oblik vremenski zavisne perturbacije norma nije ocuvana, nema smisla traziti korekcije

svojstvenih vrednosti energije.

Razvijmo resenje za talasnu funkciju sa perturbacijom

Ψ(~r, t) =∑

k

ck(t)ψ(0)k e−iE

(0)k t/~, (6)

gde su ck(t) vremenski zavisni koeficijenti (Hamiltonijan zavisi od vremena). Projekcija ove funkcije na ψ(0)k

daje:

|〈ψ(0)k |Ψ(~r, t)〉|2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∑

k′ck′(t)e−iE

(0)k′ t/~

∫ψ

(0)∗k ψ

(0)k′ dV

︸︷︷︸δkk′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2

= |ck(t)|2. (7)

|ck(t)|2 je verovatnoca da se sistem nade u neperturbovanom stanju ψ(0)k u trenutku t.

Bez perturbacije

ck(t) = c(0)k . (8)

c(0)k su pocetne vrednosti za ck(t), tj vrednosti ck(t) pre nego sto je primenjena perturbacija. Zamenom (6) u (5)

sledi:

i~∂

∂t

∑

k

ck(t)ψ(0)k e−iE

(0)k t/~ = (H0 + λH ′)

∑

k

ck(t)ψ(0)k e−iE

(0)k t/~. (9)

Ova jednacina se transformise u:

i~∑

k

ck(t)ψ(0)k e−iE

(0)k t/~ + i~

∑

k

ck(t)ψ(0)k

(−iE

(0)k

~

)e−iE

(0)k t/~

=∑

k

ck(t) H0ψ(0)k︸︷︷︸

E(0)k ψ

(0)k

e−iE(0)k t/~ + λ

∑

k

H ′(~r, t)ck(t)ψ(0)k e−iE

(0)k t/~.

(10)

Drugi clan na levoj strani i prvi clan na desnoj strani se potiru. Mnozenjem ove jednacine sa ψ(0)b (kako bismo

odredili nepoznate koeficijente ekspanzije) i integracijom po relevantnom prostoru dobijamo:

i~∑

k

ck(t)e−iE(0)k t/~ 〈ψ(0)

b |ψ(0)k 〉︸︷︷︸

δbk

= λ∑

k

〈ψ(0)b |H ′(~r, t)|ψ(0)

k 〉︸︷︷︸H′

bk

e−iE(0)k t/~ck(t), (11)

53

tj

cb =1i~

λ∑

k

H ′bk(t)eiωbktck(t). (12)

Ovde je:

ωbk =E

(0)b − E

(0)k

~(13)

Borova ugaona ucestanost.

Na osnovu jednacine (12) sledi da vremenska evolucija cb zavisi od ostalih koeficijenata ck. Postavljajuci

jednacinu za ostale koeficijente dobijamo sistem linearnih diferencijalnih jednacina. Ovaj sistem jednacina

mozemo resiti aproksimativno za slucaj slabe perturbacije.2

Ako je H ′ malo, Ψ se moze izracunati na osnovu neperturbovanih talasnih funkcija i svojstvenih vrednosti

Dirakovim metodom varijacije konstanti. Termin varijacija se odnosi na vremensku promenu. U tom smislu

razvijmo koeficijent ck(t) u red po λ:

ck(t) = c(0)k + λc

(1)k (t) + λ2c

(2)k (t) + . . . (14)

Prema tome, jednacina (12) ima oblik:

c(0)b + λc

(1)b + λ2c

(2)b + . . . =

1i~

λ∑

k

H ′bkeiωbkt(c(0)

k + λc(1)k + λc

(2)k + . . .). (15)

Izjednacenjem clanova uz isti stepen λ sa leve i desne strane ove jednacine, dobijamo:

c(0)b = 0 (16)

c(1)b =

1i~

∑

k

H ′bk(t)eiωbktc

(0)k (t) (17)

c(s+1)b =

1i~

∑

k

H ′bk(t)eiωbktc

(s)k (t). (18)

Pretpostavimo da je sistem u vremenskim trenucima t ≤ t0 bio u neperturbovanom stanju ψ(0)a :

c(0)k = δka (19)

Prema tome, uz zamenu b → a, dobijamo

c(1)a =

1i~

∑

k

H ′akeiωaktδka, (20)

odnosno:

c(1)a =

1i~

H ′aa, (21)

2Kriterijum sta je slaba perturbacija bice kasnije definisan.


Sl. 1. Vremenski zavisna teorija perturbacija se svodi na odredjivanje Furijeove transformacije

perturbacije ”aktivne” u konacnom vremenskom intervalu.

sto daje:

c(1)a (t) =

1i~

t∫

t0

H ′aa(t′)dt′ , (22)

pri cemu je uzeto da je c(1)a (t0) = 0. Do prvog reda, koeficijent ca stanja a je dat sa:

ca(t) = c(0)a + c(1)

a (t) = 1 +1i~

t∫

t0

H ′aa(t′)dt′ ≈ exp

− i

~

t∫

t0

H ′aa(t′)dt′

. (23)

Prema tome, glavni efekat perturbacije je u promeni faze koeficijenta ca, koja je pre delovanja perturbacije bila

jednaka nuli. Perturbacijal je slaba, pa ne moze da promeni verovatnocu nalazenja sistema u stanju a.

Za stanje b uz c(1)b (t0) = 0:

c(1)b (t) =

1i~

t∫

t0

H ′ba(t′)eiωbat′dt′ . (24)

H ′ba je matricni element prelaza iz stanja a u stanje b. Verovatnoca da se sistem koji se nalazio u stanju a nade

u trenutku t u stanju b 6= a je:

P(1)ba (t) = |c(1)

b (t)|2 =1~2

∣∣∣∣∣∣

t∫

t0

H ′ba(t′)eiωbat′dt′

∣∣∣∣∣∣

2

. (25)

Posmatramo perturbaciju H ′ba, koja deluje od t0 = 0 do t. Ova perturbacija se poklapa sa H ′

ba u oblasti

0 < t′ < t, inace je jednaka nuli. Prema tome, P(1)ba (t) se moze pisati u obliku:

P(1)ba (t) = |c(1)

b (t)|2 =1~2

∣∣∣∣∣∣

+∞∫

−∞H ′

ba(t′)eiωbat′dt′

∣∣∣∣∣∣

2

. (26)

sto znaci da P(1)ba (t) predstavlja skalirani kvadrat modula Furijeove transformacije H ′

ba za Borovu kruznu ucestanost

ωba.

1.. Perturbacija nezavisna od vremena 55

Sl. 2. Vremenski nezavisna perturbacija ukljucena u trenutku t = 0.

1. Perturbacija nezavisna od vremena

Posmatramo perturbaciju koja je ukljucena u trenutku t = 0+ i koja je konstantna u funkciji vremena:

H ′(~r, t) = H ′(~r); t > 0. (27)

Na osnovu

c(1)a (t) =

1i~

t∫

0

H ′aa(t′)dt′, (28)

ako Hamiltonijan ne zavisi od vremena, H ′aa = const:

c(1)a (t) =

1i~

H ′aat. (29)

Dakle, za stanje a:

ca(t) = 1 +1i~

H ′aat ≈ e−

i~H′

aat. (30)

Na osnovu vremenski zavisne forme svojstvene funkcije stanja a:

ca(t)ψ(0)a e−iE(0)

a t/~ ≈ ψ(0)a e−i(E(0)

a +H′aa)t/~. (31)

Efekat vremenski konstantne perturbacije na stanje a je kao u vremenski nezavisnoj teoriji perturbacija I reda:

Ea = E(0)a + H ′

aa. (32)

Koeficijent stanja b je:

c(1)b (t) =

1i~

t∫

0

H ′ba(t′)eiωbat′dt′ =

1i~

H ′ba

eiωbat − 1iωba

. (33)

Verovatnoca prelaza sa stanja a na stanje b je:

P(1)ba (t) =

|H ′ba|2

~2ω2ba

|1− cos ωbat− i sin ωbat|2. (34)


Moduo koji figurise u poslednjem izrazu je:

|1− cosωbat− i sinωbat|2 = 2(1− cos ωbat) = 4 sin2

(ωbat

2

). (35)

Konacno verovatnoca prelaza je data izrazom:

P(1)ba (t) =

2~2|H ′

ba|2F (t, ωba) , (36)

gde je:

F (t, ω) =2 sin2

(ωt2

)

ω2. (37)

Oblike krive je prikazan na slici. Povrsina ispod krive F (t, ω) je:+∞∫

−∞F (t, ω)dω = t

+∞∫

−∞

sin2 u

u2du

︸︷︷︸π

= πt (38)

S druge strane, Dirakova delta funkcija moze se pisati kao:

δ(x) = limt→∞

2 sin2(tx/2)πtx2

. (39)

Prema tome, za t →∞:

F (t, ω) = πtδ(ω). (40)

Kriva F (t, ω) favorizuje stanja cije se energije razlikuju za manje od δE ∼ 2π~t po apsolutnoj vrednosti od E

(0)a

(polozaj prve nule krive F (t, ω)). Prema tome, prelaz se uglavnom odigrava na stanja E(0)b sa energijama koje

su u opsegu od δE ∼ 2π~t oko energije E

(0)a . Perturbacija predstavlja nacin za merenje energije sistema pomocu

prelaza sa stanja a na stanje b. S obzirom da perturbacija traje vreme t, neodredenost merenja energije ∆E je

reda ht , sto se poklapa sa zakljuckom izvedenim na osnovu sirine krive F (t, ω).

Srednja vrednost u jednom periodu je (sin2(ωt/2) = 1/2):

P(1)ba =

2|H ′ba|2

~2ω2ba

. (41)

Ako je vreme t malo u poredenju sa periodom:

sinωbat

2≈ ωbat

2, (42)

pa je:

P(1)ba (t) =

|H ′ba|2t2~2

. (43)

Odavde se moze zakljuciti da bi vazila teorija perturbacija I reda (P (1)ba (t) ¿ 1) mora biti ispunjeno:

t ¿ ~|H ′

ba|. (44)

Ovo je potreban ali ne i dovoljan uslov za vazenje teorije perturbacija I reda. Naime, u teoriji perturbacija II

reda, postoje matricni element H ′kn na koje se moraju primeniti odredeni uslovi da bi bili mali.

2.. Harmonijska perturbacija 57

Sl. 3. Funkcija F.

Sl. 4. Harmonijska perturbacija.

2. Harmonijska perturbacija

Smatramo da se perturbacija menja po:

H ′ = H ′1 sin ωt = Aeiωt + A†e−iωt. (45)

Ovde H ′1 zavisi of prostornih koordinata H ′

1 = H ′1(~r), a:

A =H ′

1

2i, (46)

ciji je adjungovani operator:

A† = −H ′1

2i, (47)

pri cemu smo koristili cinjenicu da je H ′1 hermitski operator. Tipican primer je elektromagnetsko polje koherentne

monohromatske svetlosti.

Pretpostavljamo da je sistem u pocetnom trenutku u stanju E(0)a sa funkcijom ψ

(0)a , tako da je:

ca(t ≤ 0) = 1, (48)


Sl. 5. Uz razmatranje uslova za rezonantnu aproksimaciju.

cb(t ≤ 0) = 0, (49)

za b 6= a. Na osnovu teorije perturbacija I reda:

c(1)b (t) =

1i~

t∫

0

H ′baeiωbat′dt′. (50)

Ovo znaci da je:

c(1)b (t) =

1i~

t∫

0

Aeiωt′eiωbat′dt′ +

t∫

0

A†e−iωt′eiωbat′dt′

. (51)

Resenje se moze pisati u obliku:

c(1)b (t) =

Aba

i~F+(t, ω) +

A†ba

i~F−(t, ω). (52)

Ovde je:

F−(t, ω) =ei(ωba−ω)t − 1

i(ωba − ω)= 2ei(ωba−ω)t/2 sin

(ω−ωba

2 t)

ω − ωba, (53)

F+(t, ω) =ei(ωba+ω)t − 1

i(ω + ωba)= 2ei(ωba+ω)t/2 sin

(ω+ωba

2 t)

ω + ωba. (54)

U izrazu za F− je iskoriscena neparnost funkcije sinu/u. Ako je Eba = ~ωba > 0, F− opisuje apsorpciju. Osim

toga:

|F−(t, ω)|2 = 2F (t, ω − ωba), (55)

|F+(t, ω)|2 = 2F (t, ω + ωba). (56)

Krive |F−|2 i |F+|2 su centrirane na ωba i −ωba i nazivaju se rezonantna i antirezonantna kriva, respektivno.

Oznacimo sa ∆ω sirinu krive |F±|2, koja je jednaka ∆ω = 4πt . Ako je |ωba| À ∆ω, moze se uvesti rezonatna

aproksimacija, tj moze se smatrati da samo jedna kriva, |F+|2 ili |F−|2 daje znacajan doprinos P(1)ba (t). Naime,

rastojanje izmedu maksimuma dve krive je 2|ωba|. Za malo ∆ω:

2|ωba| À ∆ω =4π

t. (57)

3.. Fermijevo zlatno pravilo 59

Odavde se jednostavno dobija:

t À 1|ωba| ≈

1ω

, (58)

gde je uzeto u obzir da se prakticno eksperimenti izvode sa ω ≈ |ωba|. Za t À 1/ω sistem napravi dovoljan broj

oscilacija tako da je efekat perturbacije harmonijski (sin2(ωt/2)/ω2 je harmonijska funkcija vremena). Ako je

ω ≈ ωba i t À 1/ω:

P(1)ba (t) = |c(1)

b (t)|2 = 2|A†ba|2~2

F (t, ω − ωba). (59)

U rezonanciji, za ω = ωba je:

F (t, 0) =t2

2, (60)

sto daje:

P(1)ba (t) =

|A†ba|2t2~2

. (61)

Da bi vazila teorija perturbacija P(1)ba (t) ¿ 1, mora biti:

t ¿ ~|A†ba|

(62)

Zajedno sa (58):

1|ωba| ¿

~|A†ba|

, (63)

sto znaci:

|Eba| À |A†ba|. (64)

Razlika energija mora, dakle, biti mnogo veca od matricnog elementa prelaza.

Ako je t malo u odnosu na 1/ω, F+ i F− interferiraju, sto znaci da verovatnoca prelaza nema vremena da

zaosciluje.

3. Fermijevo zlatno pravilo

Posmatramo harmonijsku perturbaciju, za slucaj rezonantne aproksimacije:

P(1)ba (t) = |c(1)

b (t)|2 = 2|A†ba|2~2

F (t, ∆ω︸︷︷︸ωba−ω

). (65)

U slucaju kada t → ∞: F (t,∆ω) → πtδ(∆ω). Prema tome za dugo vreme trajanja perturbacije je aproksima-

tivno:

P(1)ba (t) ≈ 2

~2|A†ba|2πtδ(∆ω). (66)


Sl. 6. Prelazi na grupu stanja.

Definisemo brzinu verovatnoce prelaza:

Wba(t) =P

(1)ba (t)

t=

2π

~|A†ba|2δ(E(0)

b − E(0)a − ~ω). (67)

Ovde smo koristili:

δ(ax) =1aδ(x), a = const. (68)

Ovo je brzina verovatnoce prelaza izmedu dva diskretna nivoa. Posmatrajmo sada grupu nivoa na koja se desavaju

prelazi. Ova stanja su rasporedene tako da je njihov broj u intervalu (Eb, Eb + dEb) jednak ρ(Eb)dEb.

Za ovaj slucaj

Wba(t) =∫

2π

~|A†ba|2ρ(Eb)δ(Eb − E(0)

a − ~ω)dEb. (69)

Odavde sledi:

Wba(t) =2π

~|A†ba|2ρ(Eb) , (70)

gde je Eb = E(0)a + ~ω.

Prethodni izraz predstavlja Fermijevo zlatno pravilo. Slican oblik Fermijevog zlatnog pravila moze se izvesti

za perturbaciju nezavisnu od vremena. Za obe razmatrane perturbacije zavisnost od vremena je sadrzana u

relevantnoj F funkciji. Za proizvoljnu perturbaciju ovo pravilo takode vazi pod uslovom da se matricni element

prelaza (analogan A†ba) iz koga je izdvojena funkcija F sporo menja u funkciji vremena.

7

WKB metod

Ovo je kvaziklasicni metod za resavanje Schrodingerove jednacine, koji su razvili G. Wentzel, H. A. Kramers i L.

Brillouin. Posmatramo potencijalnu barijeru oblika, kao na slici. Tacka x = b je (desna; prisetiti se potencijala

LHO) povratna tacka. Levo od x = b je klasicno dozvoljena oblast u kojoj je E > U , a desno je klasisno

zabranjena oblast u kojoj je kineticka energija negativna.

Odredimo oblik resenja u klasicno dovoljenoj oblasti. Schrodingerova jednacina u klasicno dozvoljenoj oblasti

moze se pisati u obliku: d2ψ/dx2 + k2(x)ψ(x) = 0, gde je k2(x) = 2m[E−U(x)]/~2. Resenje za talasnu funkciju

trazimo u obliku ψ(x) = R(x)eiu(x), gde su R(x) i u(x) realne funkcije. Zamenimo pretpostavljeni oblik resenja

u Schrodingerovu jednacinu. Najpre odredimo drugi izvod ψ po x:

dψ

dx=

(dR

dx+ iR(x)

du

dx

)eiu(x), (1)

d2ψ

dx2=

[d2R

dx2+ i2

dR

dx

du

dx+ iR(x)

d2u

dx2−R(x)

(du

dx

)2]

eiu(x) (2)

Sl. 1. Analizirana potencijalna barijera. U x = b je desna povratna tacka.

61

62 7. WKB metod

Realni deo Schrodingerove jednacine je:

d2R

dx2−R(x)

(du

dx

)2

+ k2(x)R(x) = 0, (3)

a imaginarni

2dR

dx

du

dx+ R(x)

d2u

dx2= 0. (4)

Na osnovu poslednje jednacine sledi:

R(x)d

dx

du

dx= −2

dR

dx

du

dx. (5)

Odavde se lako dobije:

lndu

dx= ln

C

R2(x), (6)

gde je C konstanta. Prema tome, prvi izvod u po x je:

du

dx=

C

R2(x). (7)

Zamena ovog resenja u realni deo Schrodingerove jednacine je:

d2R

dx2=

[(C

R2(x)

)2

− k2(x)

]R(x). (8)

Uvedimo sada aproksimaciju d2R/dx2 ≈ 0. Na osnovu poslednje jednacine sledi:

C

R2(x)= ±|k(x)|. (9)

Bez gubitka opstosti resenja, pretpostavimo da je k(x) > 0. Sledi:

C

R2(x)= ±k(x), (10)

odnosno:

R(x) ∼ 1/√

k(x). (11)

Pored toga:du

dx= ±k(x), (12)

sto daje:

u(x) = u(b)∓b∫

x

k(x)dx. (13)

Prema tome,

Ψ± = e±i∫ b

xk(x)dx, (14)

63

a opste resenje je linearna kombinacija:

Ψ(x < b) = K+Ψ+ + K−Ψ−, K± = const. (15)

Ovakvo resenje je egzaktno za U(x) = 0. Naime, za ovaj slucaj je:

k2(x) = k2 = const. (16)

Na osnovu:du

dx= ∓k(x) = ∓k, (17)

lako sledi:

u(0)− u(x) = ±kx. (18)

Na osnovu:du

dx=

C

R2(x)= ∓k, (19)

lako se dobija:

R(x) = const. (20)

Takode:d2R

dx2= R(x)(k2 − k2) = 0, (21)

i

ψ(x) ∼ e±i∫

k(x)dx = e±ikx. (22)

Odavde se moze zakljuciti da je aproksimacija d2R/dx2 ≈ 0 dobra ako je U(x) sporopromenljiva funkcija.

Slicno se moze izvesti opsti oblik resenja u klasicno zabranjenoj oblasti u okolini desne povratne tacke:

ψ(x) ≈ C√κ(x)

e−∫ x

bκ(x)dx, C = const, (23)

gde je:

κ(x) =√

2m[U(x)− E]/~2. (24)

k i κ su jednaki nuli u povratnoj tacki, pa resenja postaju beskonacno velika. U okolini povratne tacke

je E ≈ T , sto znaci da je k ≈ 0, pa uslovi za aproksimaciju d2R/dx2 ≈ 0 (R(x) ∼ k(x)−1/2) nisu ispunjeni.

Potrebno je na poseban nacin povezati resenja s jedne i s druge strane, preko oblasti u kojoj kvaziklasicni izrazi

po WKB ne vaze. Taj postupak ovde nece biti prikazan, ali se sprovodi linearizacijom potencijala u okolini

povratne tacke uz koriscenje Airyjevih funkcija.

64 7. WKB metod

Sl. 2. Oblik resenja u pojedinim oblastima potencijalne jame.

Sl. 3. Analizirani oblik barijere. U x = a je leva povratna tacka.

Za desnu povratnu tacku je:

ψ(x) =2C1√p(x)

cos

1~

b∫

x

p(x)dx +π

4

, x < b ; (25)

ψ(x) =C1√|p|(x)

e−1/~∫ x

b|p|(x)dx, x > b . (26)

Slicno je za levu povratnu tacku, prikazanu na slici:

ψ(x) =C2√|p|(x)

e−1/~∫ a

x|p|(x)dx, x < a . (27)

ψ(x) =2C2√p(x)

cos

1~

x∫

a

p(x)dx +π

4

, x > a . (28)

1.. Odredjivanje koeficijenta transmisije kroz potencijalnu barijeru po WKB metodu 65

Sl. 4. Analizirana potencijalna barijera.

Ovde je:

p(x) =√

2m(E − U(x)), (29)

|p|(x) =√

2m(U(x)− E). (30)

1. Odredjivanje koeficijenta transmisije kroz potencijalnu barijeru

po WKB metodu

Posmatramo potencijal, oblika kao na slici:

U(x) =

0; −∞ < x < 0

U(x); 0 ≤ x ≤ d

0; d < x ≤ +∞

. (31)

U oblastima 1 i 3 moze se oblik svojstvene funkcije odrediti analiticki. Sredingerova jednacina u oblasti 1 ima

formu:d2ψ1

dx2+ k2ψ1 = 0, (32)

gde je:

k =

√2mE

~2. (33)

Talasna funkcija u 1. oblasti ima oblik:

ψ1(x) = Aeikx + Be−ikx. (34)

Talasna funkcija u 2. oblasti ima formu:d2ψ

dx2− κ2(x)ψ2 = 0, (35)

66 7. WKB metod

gde je:

κ =

√2m

~2[U(x)− E]. (36)

Prema WKB metodu:

ψ2 =A2√|p|e

1~

∫ x0 |p|dx +

B2√|p|e

− 1~

∫ x0 |p|dx, (37)

odnosno:

ψ2(x) =A2√|p|e

I(x) +B2√|p|e

−I(x). (38)

U trecoj oblasti, talasna funkcija je oblika:d2ψ3

dx2+ k2ψ3 = 0 (39)

i resenje je oblika:

ψ3(x) = A3eikx, (40)

jer, zbog nepostojanja rasejavaca desno od barijere, postoji samo transmitovani talas.

Koeficijent transmisije je:

T =Jtrans

Jinc=|A3|2|A1|2 . (41)

Da bismo odredili odnos A3/A1, potrebno je postaviti granicne uslove za talasnu funkciju i I izvod:

ψ1(0) = ψ2(0) → A1 + B1 =1√|p0|

(A2 + B2) ; (42)

ψ′1(0) = ψ′2(0) → ik(A−B) =

√|p0|~

(A2 −B2) ; (43)

ψ2(d) = ψ3(d) → 1√|pd|

(A2e

I + B2e−I

)= A3e

ikd; (44)

ψ2(d) = ψ3(d) →√|pd|~

(A2e

I −B2e−I

)= ikA3e

ikd. (45)

Ovde je p0 = p(0) i pd = p(d). Na osnovu I dve jednacine sledi:

A1 + B1 =1|p0| (A2 + B2) , (46)

A1 −B1 =

√|p0|

i~k(A2 −B2) . (47)

Odavde se lako dobija:

A1 =A2

2

(1√|p0|

+

√|p0|

i~k

)+

B2

2

(1√|p0|

−√|p0|

i~k

). (48)

Granicni uslovi na mestu x = d daju:

A2eI + B2e

−I = A3

√|pd|eikd, (49)

2.. WKB metod za cesticu u potencijalnoj jami 67

A2eI −B2e

−I =i~k√|pd|

A3eikd. (50)

Dalje sledi:

A2 = A312eikd

(√|pd|+ i~k√

|pd|

)e−I , (51)

B2 = A312eikd

(√|pd| − i~k√

|pd|

)eI . (52)

Zamenimo upravo izvedene izraze u prethodno dobijeni izraz za A1:

A1 =14A3e

ikd

(√|pd|+ i~k√

|pd|

) (1√|p0|

+

√|p0|

i~k

)e−I

+14A3e

ikd

(√|pd| − i~k√

|pd|

)(1√|p0|

−√|p0|

i~k

)eI .

(53)

Ako je barijera siroka, tada je eI À 1, sto znaci da je u prethodnom izrazu drugi sabirak s desne strane

dominantan. Prema tome:

16|A1|2 = |A3|2|eikd|2e2I

(|pd| − ~

2k2

|pd|)(

1|p0| −

|p0|~2k2

)e2I . (54)

Prema tome,

|A3|2|A|2 =

16e−2I

|pd||p0| + |p0|

|pd| + |pd||p0|~2k2 + ~2k2

|pd||p0|. (55)

Izraz u eminicou je veci ili jednak od 4, jer se mogu izdvojiti dva faktora oblika a/b + b/a, za koje vazi:

(a− b)2 ≥ 0 → a2 + b2 ≥ 2ab/ : ab → a

b+

b

a≥ 2. (56)

Odavde sledi:

T =A3

A1≤ 4e−2I . (57)

Ova formula vazi kada je U(x) sporo promenljivo i kada su povratne tacke dovoljno razdvojene. Ako je |p0| = |pd|tada je:

T = 4e−2I . (58)

U praksi U(x) nije tacno poznato, pa se daje procena za vrednost koeficijenta transmisije:

T ≈ e−2∫ d0

√2m(U(x)−E)

~ dx. (59)

68 7. WKB metod

Sl. 5. Uz odredjivanje vezanih stanja pomocu WKB metoda.

2. WKB metod za cesticu u potencijalnoj jami

Posmatrajmo kvantnu jamu i svojstveno stanje energije E, kao na slici.

U oblastima izvan jame, mora vaziti:

ψ(x < a) =C2√|p|e

− 1~

∫ ax|p|dx. (60)

U oblasti x > b je:

ψ(x > b) =C1√|p|e

− 1~

∫ xb|p|dx. (61)

Unutar jame mora vaziti za levu povratku tacku:

ψx>a(x) =2C2√

pcos

1~

x∫

a

pdx +π

4︸︷︷︸

I2

(62)

i za desnu povratnu tacku:

ψx<b(x) =2C1√

pcos

1~

b∫

x

pdx +π

4︸︷︷︸

I1

. (63)

Ovde smo oznacili:

I1 =1~

x∫

a

pdx +π

4, (64)

I2 =1~

b∫

x

pdx +π

4. (65)

2.. WKB metod za cesticu u potencijalnoj jami 69

Prethodne dve funkcije, definisane u oblasti jame, moraju biti iste:

ψx>a(x) = ψx<b(x), (66)

ψ′x>a(x) = ψ′x<b(x). (67)

Iz ovih jednakosti sledi:2C1√

pcos(I1) =

2C2√p

cos(I2) (68)

−2C1√p

sin(I1)p

~+ 2C1p

−3/2 dp

dxcos I1 = −2C2√

psin(I2)

(−p

~

)+ 2C2p

−3/2 dp

dxcos I2. (69)

Drugi sabirci sa leve strane u poslednjoj jednakosti su jednaki, prema jednakosti talasnih funkcija (68). Sistem

jednacina koji treba resiti je:

C1√p

cos I1 =C2√

pcos I2 (70)

C1√

p sin I1 = −C2√

p sin I2. (71)

Sistem je homogen, pa determinanta sistema mora bit jednaka nuli za netrivijalno resenje:∣∣∣∣∣∣∣

1√p cos I − 1 − 1√

p cos I2

√p sin I1

√p sin I2

∣∣∣∣∣∣∣(72)

sto se svodi na:

cos I1 sin I2 + cos I2 sin I1 = sin(I1 + I2) = 0. (73)

Sledi, dakle, da I1 + I2 = mπ, gde je m ceo broj, odnosno:

1~

x∫

a

pdx +1~

b∫

x

pdx +π

2= mπ. (74)

Prema tome:

1~

b∫

a

pdx =(

n +12

)π, n = 0, 1, 2, ... (75)

gde je:

p(x) =√

2m(E − U(x)), (76)

a vrednosti n selektuju fizicki dozvoljena resenja. Relacija (75) predstavlja WKB uslov kvantovanja u potenci-

jalnoj jami, na osnovu koga se aproksimativno dolazi do diskretnih stanja.

Koeficijenti C1 i C2 su povezani:

C2 = C1cos I1

cos I2. (77)

70 7. WKB metod

Sl. 6. Poredjenje tacne svojstvene funkcije i svojstvene funkcije odredjene pomocu WKB metoda.

Prema tome, unutar jame, svojstvene funkcije diskretnih stanja su oblika:

ψ(x) =2C1√

pcos[I1(x, a)] (78)

dok je van jame:

ψ(x) =

C1√|p|

cos I1cos I2

e−1~

∫ ax|p|dx, x < a

C1√|p|e

− 1~

∫ xb|p|dx, x > b.

(79)

Oblici tacnog i WKB resenja za svojstvenu funkciju su prikazani na slici.

U okolini povratnih tacaka ovi izrazi ne vaze. Tada se divergencije mogu jednostavno odstraniti iz razultata

ili se u okolini granica postavi linearni potencijal i nadju oblici resenja u okolini povratnih tacaka. WKB

metod odredivanja diskretnih stanja je bolji za vecu masu i veci kvantni broj stanja, kada je varijacioni metod

neprimenljiv.

8

Spin

Do sada je stanje cestice bilo okarakterisano talasnom funkcijom ψ(x, y, z). U atomskoj spektroskopiji pojavljuju

se fenomeni koji se ne mogu objasniti pomocu talasnih funkcija zavisnih samo od prostornih koordinata, pa se

uvodi pojam spina.

Spin je prvi put konstatovan u Stern-Gerlachovom eksperimentu, koji je prvi put izveden 1922. godine sa

neutralnim atomima srebra, a ponovljen 1927. sa atomima vodonika. U ovom eksperimentu ubrzani atomi iz

izvora prolaze kroz magnetsko polje postavljeno normalno na smer kretanja atoma. Elektronima koji se nalaze na

orbitama oko jezgra moze se pridruziti elektricna struja. Postojanje ove struje znaci da svaki atom ima magnetski

moment (~µ = I ~S). Magnetski momenti elektrona interaguju sa magnetskim poljem, sto dovodi do precesije

magnetskog momenta atoma oko pravca magnetskog polja. Zbog slucajne orijentacije magnetskih momenata

atoma u magnetskom polju, na ekranu bi trebalo da se pojavi kontinualna raspodela elektrona. Medutim, na

ekranu se pojave diskretne linije.

Ove linije su objasnjene postojanjem spina. Spin se najcesce shvata kao obrtanje elektrona oko sopstvene

ose. Takvo shvatanje je pojednostavljeno i nije precizno. Pravilno shvatanje spina je vezano za eksperimente, gde

se konstatuje da se spin manifestuje kao moment kolicine kretanja, pa se moze definisati kao sopstveni moment

kolicine kretanja elementarne cestice. Voditi racuna: u poslednjoj recenici nema naznake o tome da se radi o

rotaciji elektrona oko sopstvene ose, samo da se spin eksperimentalno manifestuje kao moment kolicine kretanja,

pa se moze definisati kao sopstveni moment kolicine kretanja elementarne cestice.

Objasnjenje za pomalo skriveni karakter spina je: spin nije klasicna vec kvantna velicina. Spin nije odreden

nijednom promenljivom koja zavisi od prostornih (x, y, z) ili momentnih (Lx, Ly i Lz) koordinata. Spin se

prirodno pojavljuje u Dirakovoj jednacini, koja je osnovna jednacina relativisticke kvantne mehanike. Jednos-

tavniji pristup je Paulijeva teorija spina, koju cemo ovde izloziti.

71

72 8. Spin

Sl. 1. Ilustracija Stern-Gerlachovog eksperimenta.

Definisemo spinski operator ~S. To je operator momenta kolicine kretanja, koji deluje u prostoru spinskih

stanja. Ovo znaci da za projekcije spinskog operatora vazi:

[Sx, Sy] = i~Sz, (1)

[Sy, Sz] = i~Sx, (2)

[Sz, Sx] = i~Sy. (3)

Ovaj prostor cine stanja koja su zajednicka ~S2 = S2, jer ova dva operatora komutiraju:

[S2, Sz] = 0. (4)

Ako cestica ima spin, tada je talasna funkcija visekomponentna:

Ψs,ms(x, y, z) = ψ(x, y, z)χs,ms . (5)

Ovde je ψ orbitalni deo, koji se odreduje resavanjem Sredingerove jednacine, dok je χ spinski deo. χ je vektor

kolona, koja se naziva spinor. S obzirom da je spin moment kolicine kretanja,

S2χs,ms = s(s + 1)~2χs,ms , (6)

Szχs,ms = ms~χs,ms . (7)

Ove dve jednakosti su napisane na osnovu analogije sa L2 i Lz. Pored ove dve jednakosti, definisimo i operatore

S+ = Sx + iSy i S− = Sx − iSy. Na osnovu analogije sa L+ i L−:

S±χs,ms = ~√

s(s + 1)−ms(ms ± 1)χs,ms±1. (8)

73

Karakteristika cestice je vrednost spina s i njegove projekcije na (neku) z osu (ms). Spin elektrona je s = 1/2,

π mezona s = 0, fotona s = 1, gravitona s = 2 itd.

Prema Paulijevoj teoriji spina, χ elektrona je vektor duzine 2, a svi vektori u prostoru spinskih stanja mogu

se izraziti kao linearne mobinacije bazisnih vektora:

α =

1

0

, β =

0

1

. (9)

α i β se nazivaju spinori. Opste stanje u spinskom prostoru (takode spinor) je:

χ = C1α + C2β (C1, C2 = const.) (10)

Za ova stanja vazi (α† = αT∗ = α∗T = [1, 0]):

• α†β = β†α = 0;

• α†α = β†β = 1;

• da bi χ†χ = 1 mora biti |C1|2 + |C2|2 = 1. Ovo se lako dokazuje:

χ†χ = (C1α + C2β)†(C1α + C2β)

= (C∗1α† + C∗2β†)(C1α + C2β)

= C∗1C1 α†α︸︷︷︸1

+C∗1C2 α†β︸︷︷︸0

+C∗2C1 β∗α︸︷︷︸0

+C∗2C2 β†β︸︷︷︸1

.

(11)

Za elektron vazi:

S2χ↑,↓ =34~2χ↑,↓, (12)

Szχ↑,↓ = ±12~χ↑,↓, (13)

gde ↑ and ↓ oznacavaju dve projekcije spina na izabranu z osu: ↑ odgovara ms = +1/2, a ↓ odgovara ms = −1/2.

Dva svojstvena spinora su χ↑ = α i χ↓ = β.

Na osnovu Szα = (~/2)α i Szβ = (−~/2)β, Sz se moze prikazati kao matrica:

Sz =

~2 0

0 −~2

=

~2σz. (14)

Ovde je:

σz =

1 0

0 −1

. (15)

74 8. Spin

Primetimo da je za elektron:

S+χ1/2,+1/2 = ~√

34− 3

4χ1/2,+3/2 = 0, (16)

S+χ1/2,−1/2 = ~√

34

+14χ1/2,+1/2 = ~χ1/2,+1/2. (17)

Ako su α i β svojstveni spinori Sz, tada su na osnovu jednacina (6) i (7) istovremeno i svojstveni spinori S2:

S2α =34~2α, (18)

S2β =34~2β. (19)

Napisimo S2 u formi matrice:

S2 =

c d

e f

, (20)

cije elemente tek treba da odredimo. Mnozenjem sa α lako se pokaze:

c

e

=

3~2/4

0

. (21)

Ovo znaci da je c = 3~2/4 i e = 0. Slicno se mnozenjem matrice S2 sa β nalazi d = 0 i f = 3~2/4. Prema tome:

S2 =34~2

1 0

0 1

. (22)

Pored toga:

S+β = ~α, (23)

S+α = 0. (24)

(S+ povecava vrednost projekcije spina na z osu, a s obzirom da veca vrednost ms od 1/2 ne postoji, rezultat je

nula.) Na osnovu poslednje dve relacije sledi:

S+ = ~

0 1

0 0

. (25)

Slicno se na osnovu:

S−α = ~β, (26)

S−β = 0, (27)

75

dobija:

S− = ~

0 0

1 0

. (28)

Na osnovu S± = Sx ± iSy, lako se dobije:

Sx =12(S+ + S−) =

~2

0 1

1 0

, (29)

Sy =12i

(S+ − S−) =~2

0 −i

i 0

. (30)

Slicno kao za Sz, moze se definisati:

Sx =~2σx, (31)

Sy =~2σy, (32)

gde je

σy =

0 1

1 0

, (33)

σy =

0 −i

i 0

. (34)

σx, σy, σz se nazivaju Paulijeve matrice.

Lako se proverava da je:

σ2x = σ2

y = σ2z = I. (35)

Pored toga, lako se proveri da je:

σ−1x = σ†x, σ−1

y = σ†y, σ−1z = σ†z. (36)

Ovo znaci da su sve 3 Paulijeve matrice unitarne (matrica U je unitarna ako je U−1 = U†, odnosno UU† = I).

Lako se proveri da su svojstvene vrednosti sve 3 matrice +1 i −1:

σx,y,zαx,y,z = (+1)αx,y,z, (37)

σx,y,zβx,y,z = (−1)βx,y,z. (38)

Na primer:

σx

χ1

χ2

= σx

χ1

χ2

. (39)

76 8. Spin

Sledi:

0 1

1 0

χ1

χ2

= σx

χ1

χ2

. (40)

Determinanta ovog sistema mora biti jednaka nuli, tj:

∣∣∣∣∣∣∣

−σx 1

1 −σx

∣∣∣∣∣∣∣= 0. (41)

Resenja su:

σx1,2 = ±1 (42)

Svojstveni spinori αz = α, βz = β, a preostala dva seta svojstvenih spinora cemo posebno odrediti.

1. Svojstveni spinori αx, βx, αy i βy

Odredimo svojstvene spinore αx, βx, αy i βy. Za prvu svojstvenu vrednost:

σx = +1, (43)

−1 · αx1 + 1 · αx2 = 0 (44)

1 · αx1 − 1 · αx2 = 0. (45)

Odavde sledi:

αx1 = αx2, (46)

odnosno:

αx =

αx1

αx1

. (47)

S obzirom da je α†xαx = 1 (uslov normiranja), sledi:

[α∗x1 α∗x1

]

αx1

αx1

= 1. (48)

Odavde sledi:

2|αx1|2 = 1, (49)

odnosno:

αx1 = αx2 =1√2. (50)

2.. Paulijeva jednacina i Zemanov efekat 77

Za drugu vrednost σx2 = −1, lako se nalazi:

βx1 = −βx2, (51)

odnosno:

βx =

βx1

−βx1

. (52)

Na osnovu uslova normiranja sledi:

βx1 =1√2. (53)

Prema tome:

αx =1√2

1

1

, (54)

βx =1√2

1

−1

. (55)

Slicno se moze izvesti:

αy =1√2

1

i

. (56)

βy =1√2

1

−i

. (57)

2. Paulijeva jednacina i Zemanov efekat

Hamiltonijan sistema koji se krece u potencijalu U(~r) i u magnetskom polju:

H =(~p + e ~A)2

2m+ U(~r). (58)

Za div ~A = 0:

H =(− ~

2

2m∇2 + U(~r)− i~e

m~A∇+

e2

2m~A2

). (59)

Za homogeno magnetsko polje orijentisano duz z ose ( ~B = B~ez), simetricna kalibracija (srednja vrednost dve

Landauove kalibracije; videti poglavlje o cestici u elektromagnetskom polju) ima oblik:

~A =12

(−y, x, 0)B, (60)

dok je za proizvoljni pravac:

~A =12( ~B × ~r). (61)

78 8. Spin

Dalje je:

− i~em

~A · ∇ = − i~e2m

( ~B × ~r) · ∇ = − i~e2m

(~r ×∇) · ~B =e

2m~L · ~B. (62)

Ovde je korisceno:

~L = ~r × ~p. (63)

Sprovedimo sada klasicnu analizu kretanja elektrona, kako bi odredili znacenje razmatranog clana u hamil-

tonijanu. Ako se jedan elektron krece po kruznici, struja je:

I = − ev

2πr. (64)

Algebarska vrednost intenziteta magnetskog momenta je (S je povrsina kruznice):

µ = IS = − ev

2πrπr2 = −evrm

2m= − e

2mL. (65)

Dakle, za jedan elektron:

~µ = − e

2m· ~L. (66)

U kvantnoj mehanici je potrebno zameniti fizicke velicine operatorima, pa razmatrani clan postaje:

− i~em

~A · ∇ =e

2m~L · ~B = −~µ · ~B. (67)

Ovaj clan odgovara potencijalnoj energiji interakcije magnetskog polja ~B sa magnetskim momentom ~µ:

Hint = −~µ · ~B. (68)

Treba primetiti da je:

~µ = −µB

~~L, (69)

gde je:

µB =e~2m

, (70)

Borov magneton. Vrednost Borovog magnetona je:

µB = 5, 75× 10−5 eV/T, (71)

sto znaci da upravo definisana potencijalna energija interakcije magnetskog polja i magnetskog momenta elektrona

u slobodnom prostoru ima vrednost oko 1 meV na 20 T.

Na osnovu Dirakove relativisticke teorije, za magnetski moment elektrona se dobija slican rezultat:

~µs = − e

2mg~S, (72)


gde g predstavlja Landeov g faktor. Treba primetiti da je ovaj izraz slican izrazu (66), uz postojanje faktora g.

Koristeci Borov magneton, lako se zapise:

~µs = −gµB

~~S, (73)

odnosno:

~µs = −12gµB~σ. (74)

Na osnovu relativisticke kvantne mehanike, Landeov g faktor ima vrednost g = 2 za slobodni elektron. Kvantna

elektrodinamika daje popravku za g faktor sloobodnog elektrona: g = 2, 002319314. Objasnjenje i potpuno

poklapanje eksperimentalne i teorijske vrednosti g predstavlja veliki uspeh kvantne elektrodinamike. Treba

primetiti da je ~µ predstavljen matricom, s obzirom da je ~σ predstavljen matricom.

Hamiltonijan za elektron sa spinom (I je jedinicna matrica):

H =(~p + e ~A)2

2mI + U(~r)I − ~µs · ~B. (75)

Poslednji clan je uveden po analogiji sa ~µ · ~B.

Po analogiji sa Schrodingerovom jednacinom za elektron bez spina u magnetskom polju, moguce je napisati

jednacinu za elektron sa spinom:

i~∂Ψ∂t

= HΨ. (76)

Ovde je Ψ dvokomponentni spinor talasnih funkcija. Svaka komponenta spinora zavisi od prostornih koordinata

i vremena:

Ψ =

Ψ1(~r, t)

Ψ2(~r, t)

, (77)

gde Ψ1 predstavlja talasnu funkciju stanja spin gore, a Ψ2 talasnu funkciju stanja spin dole. Poslednja jednacina

naziva se Paulijeva jednacina. Ona je zapravo sistem od dve nestacionarne diferencijalne jednacine, jer je Hamil-

tonijan elektrona sa spinom matrica 2× 2, jer sadrzi Paulijeve matrice (uzeto je g = 2):

~µs · ~B = −µB · ~σ · ~B. (78)

Na osnovu:

H =(~p + e ~A)2

2mI + U(~r)I + µB~σ · ~B (79)

i vrednost skalarnog proizvoda ~σ · ~B:

~σ · ~B = σxBx + σyBy + σzBz =

Bz Bx − iBy

Bx + iBy −Bz

, (80)

80 8. Spin

moze se pisati eksplicitna forma dve jednacine u sistemu:

(~p + e ~A)2

2mΨ1 + U(~r)Ψ1 + µBBzΨ1 + µB(Bx − iBy)Ψ2 = i~

∂Ψ1

∂t, (81)

(~p + e ~A)2

2mΨ2 + U(~r)Ψ2 − µBBzψ2 + µB(Bx + iBy)Ψ1 = i~

∂Ψ2

∂t. (82)

Interesantan slucaj je magnetsko polje orijentisano duz z ose: ~B = B~ez. Tada se, uz zamenu Ψ1 = ψ1e−iEt/~ i

Ψ2 = ψ2e−iEt/~ dobija:

(~p + e ~A)2

2mψ1 + U(~r)ψ1 + µBBψ1 = Eψ1, (83)

i

(~p + e ~A)2

2mψ2 + U(~r)ψ2 − µBBψ2 = Eψ2. (84)

Obe jednacine se mogu pisati u formi:

(~p + e ~A)2

2mψ1,2 + U(~r)ψ1,2 = E′ψ1,2, (85)

gde je:

E = E′ ± µBB. (86)

gde se gornji znak odnosi na spin gore, a donji znak na spin dole. Stanja su razdvojena za energiju 2µBB, kao

sto je prikazano na slici. Efekat razdvajanja (cepanja) energija cestica sa spinom u magnetskom polju naziva se

Zeemanov efekat.

Spinor talasnih funkcija se normira slicno kao svojstveni vektori nekog matricnog problema, ali treba uzeti

u obzir da komponentne talasne funkcije zavise od prostornih koordinata, pa je uslov:

∫ψ†(~r)ψ(~r)dV = 1. (87)


S obzirom da je:

ψ†ψ =[ψ∗1 ψ∗2

]

ψ1

ψ2

= |ψ1|2 + |ψ2|2, (88)

uslov normiranja se svodi na: ∫(|ψ1|2 + |ψ2|2)dV = 1. (89)

predavanja iz kvantne mehanike -...

Documents