resolución de problemas aritméticos verbales en la educación infantil

Resumen

La resolución de problemas puede cons-tituir el motor de la construcción delconocimiento numérico en los primerosaños. Describimos un taller de resoluciónde problemas aritméticos para últimocurso de Educación Infantil, diseñadopara una clase que sigue un métodode aprendizaje por proyectos. Dentrode un ambiente de plena libertad paraelegir materiales y procedimientos deresolución, los niños inventan sus propiasestrategias, las discuten dentro del gru-po, y deciden cuál será la estrategia«oficial» del grupo.

Palabras clave

Educación Infantil, métodos de proyec-tos, resolución de problemas.

Abstract

Problem solving can constitute the motorfor the construction of numerical know-ledge in the early years. We describe anarithmetical problem solving workshopin kindergarten, designed for a group

that follows a project approach. Withinan atmosphere of total freedom to choose manipulatives and proceduresof resolution, children invent their ownstrategies, discuss them within the group,and decide which strategy will be the«official» one for the group.

Key words

Early Childhood Education, ProjectApproach, Problem Solving.

Introducción

La experiencia de investigación que des-cribimos en este trabajo, se desarrolla enun grupo de 14 niños y niñas de 5 y 6años, en el último curso de EducaciónInfantil, en la que se sigue una metodo-logía de proyectos. En este contexto seinscribe el relato de la implementaciónde un taller de resolución de problemas,que permitirá al lector presenciar la evo-lución del pensamiento matemático delos niños a lo largo de tres meses del cur-so. Nosotros, como profesores-investiga-dores, partimos de la premisa teórica deque, en el aprendizaje de las matemá-

Indivisa, Boletín de Estudios e Investigación, 2007, Monografía IX, pp. 23-47ISSN: 1579-3141

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Resolución de problemasaritméticos verbales en la

Educación Infantil: Unaexperiencia de enfoque

investigativo

Carlos de Castro Hernández y Beatriz Escorial González

CSEU La Salle, Universidad Autónoma de Madrid

ticas, es importante encontrar un equili-brio entre distintos tipos de experiencias.Por una parte, los proyectos suponensituaciones en las que suele producirseun aprendizaje significativo. Dado queson los niños los que, de forma autóno-ma, tratan de abordar un problema, lasestrategias que utilizan suelen estar basa-das en sus conocimientos previos. En estasituación, es fácil pensar que los nuevosconocimientos se integrarán en lasestructuras cognoscitivas que poseen losalumnos y que el aprendizaje será signi-ficativo. Por otra parte, el aprendizajeen los proyectos es también funcional,pues es un aprendizaje que surge de lanecesidad de resolver problemas prác-ticos, y por tanto, cabe pensar que seráun aprendizaje aplicable a un contextoextraescolar. Sin embargo, en matemá-ticas también ocupa un lugar primordialel aprendizaje de destrezas. El conteo,la comparación de números, la lecturay escritura de números, la suma y la res-ta, son todas destrezas numéricas. Elaprendizaje de destrezas requiere decierta sistematicidad. Para aprender asumar, no basta con hacer una o dossumas; para aprender a leer o a escribirnúmeros, es necesario algo más queescribir algún número ocasionalmenteen el desarrollo de un proyecto. El apren-dizaje matemático que se produce enlos proyectos es incidental, no sistemáti-co. Dado que en los proyectos no sesabe de antemano los contenidos quese van a aprender, podría suceder quelos niños hicieran una suma, o escribieranvarios números, pero también puedeocurrir que no se pongan en juego nin-guno de estos conocimientos. En todocaso, el salto que hay de la realizaciónde una suma o la escritura de variosnúmeros al aprendizaje de la suma o dela lectura y escritura de números, es muygrande. Aún siendo cierto que el apren-dizaje de destrezas numéricas requierade un trabajo sistemático, no implicaque las tareas que realizan los alumnos,

para hacer este aprendizaje, deban serrepetitivas, mecánicas o carentes de sig-nificado para los niños. La comprensióndebe ser un objetivo educativo irrenun-ciable y los procesos de enseñanzadeben tener siempre en cuenta el inte-rés de los niños y las niñas.

En este trabajo describimos el desarrollode un taller de resolución de problemasaritméticos verbales llevado a cabo enun aula de Educación Infantil, con niñosy niñas de 5 y 6 años. Este trabajo conproblemas aritméticos ha sido propues-to como una alternativa a la enseñan-za tradicional de la aritmética, en la queel aprendizaje de las operaciones arit-méticas suele preceder siempre a laresolución de problemas. Inspirados entrabajos en los que este enfoque seinvierte, y se trabaja a través de la reso-lución de problemas con niños quetodavía no han aprendido a realizaroperaciones aritméticas (Carpenter,Fennema, Franke, Levi y Empson, 1999;Fosnot y Dolk, 2001; Warfield y Yttri, 1999)elaboramos una propuesta de taller deresolución de problemas.

Esta propuesta se enmarca dentro delenfoque investigativo que asumimoscomo modelo teórico para abordar losprocesos de enseñanza y aprendizaje delas matemáticas en la Educación Infan-til (Baroody, 2003; Fosnot y Dolk, 2001). Enel enfoque investigativo, las matemáti-cas se consideran simultáneamentecomo una red de conceptos y procedi-mientos y como una forma de pensar oun proceso de investigación. De acuer-do con este planteamiento, el aprendi-zaje de reglas, procedimientos y fórmu-las debe realizarse con comprensión yprocurando que el aprendizaje sea sig-nificativo. A su vez, se concede granimportancia al desarrollo del pensamien-to matemático a través del razonamien-to y la resolución de problemas. Los niñosson considerados como capaces de


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construir activamente su conocimiento(construcción que es mediada y guiadapor el profesor a través de propuestas deactividades previamente planificadas)aunque también a través de experien-cias de investigación que surgen duran-te el proceso de aprendizaje (como losproyectos). El objetivo del enfoque inves-tigativo es el aprendizaje de reglas, pro-cedimientos y fórmulas de un modo sig-nificativo, pero también deben adquirirsecompetencias de razonamiento, repre-sentación, comunicación y resolución deproblemas (Baroody, 2003).

Consideramos el taller de problemas untipo de actividad complementaria ycompatible con el enfoque de proyec-tos. Es complementaria porque aportala sistematicidad necesaria para favore-cer el aprendizaje de la resolución deproblemas y, a medio plazo, el aprendi-zaje de la aritmética. Es compatible, por-que comparte con los proyectos elcorazón de sus presupuestos educati-vos: está basada en el interés de losniños y las niñas, sus acciones estánorientadas hacia una meta que les dasentido, se favorece el desarrollo de laautonomía intelectual de los pequeños,y el aprendizaje es el resultado de laconstrucción social de conocimientodentro del grupo.

La planificación deltaller: la búsqueda de un contextopara la resolución de problemas

Antes de comenzar a describir la expe-riencia, será útil hacer una breve refle-xión sobre el tipo de problemas emple-ados en la misma. Los problemasaritméticos verbales que se suelen plan-tear, del tipo: «María tenía 10 caramelosy se comió 6…», corren a menudo el ries-

go de convertirse en problemas excesi-vamente «escolares». En algunas oca-siones extremas, estos problemas dege-neran en meros pretextos para laaplicación de alguna operación aritmé-tica recién aprendida. En experienciasprevias sobre resolución de problemascon enunciados de este tipo, los peque-ños nos decían al terminar un problema:«Dinos otra adivinanza.» Este comentarioevidencia que los niños no toman el pro-blema como real. Algunos niños acep-tan bien este tipo de problemas «hipoté-ticos», aunque no respondan a lademanda de una situación real. Por elcontrario, en otras ocasiones, los proble-mas sí son auténticos problemas reales.Por ejemplo, cuando los pequeños jue-gan a disfrazarse de piratas, se planteanproblemas del tipo: ¿Cuántos pañuelosnos faltan, si tenemos 6 y somos 9 pira-tas? En este caso, los niños no toman losproblemas como «adivinanzas», sinocomo un verdadero problema paraellos. Aunque sabemos que el trabajocon los dos tipos de problemas puededar resultados satisfactorios, pensamosque los problemas que los niños asumencomo propios (reales) suponen unmodelo más adecuado de situaciónpara el trabajo en resolución de proble-mas. Es más probable que una mayoríade alumnos se implique en el trabajo conproblemas reales que con problemashipotéticos. Los niños que etiquetamoscomo «buenos alumnos» progresan ensu aprendizaje a través de casi cualquiersituación de enseñanza. Sin embargo,los alumnos con dificultades de aprendi-zaje son más sensibles a la necesidad dedar sentido a la actividad que realizan.En la Educación Infantil debemos estarespecialmente atentos a los factoresafectivos. En esta etapa educativa asu-mimos como principio pedagógico quelas actividades que planteamos a losniños deben contar siempre con el inte-rés de los pequeños (Copley, 2000). Si nosomos capaces de implicar a la mayo-


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Resolución de problemas aritméticos verbales en la Educación Infantil:Una experiencia de enfoque investigativo

ría de los niños en el trabajo, algunospueden perder el interés y convertirseen un obstáculo para la dinámica de laclase, al no aceptar las normas del fun-cionamiento del taller.

La dificultad que afrontamos los profe-sores relativas al carácter de los proble-mas es que los problemas reales apare-cen sólo de vez en cuando. Resulta muydifícil provocar la aparición de un pro-blema real, y casi imposible que lasvariables implicadas en el mismo, comoel tamaño de los números, se ajusten ala planificación del profesor y a las nece-sidades de aprendizaje del grupo. Enesta situación, el reto a asumir es encon-trar una situación que resulte real paralos niños, o que estos tomen como tal, yque constituya un contexto rico que per-mita el planteamiento de problemas detodo tipo.

En nuestra experiencia, esta situaciónvino dada por la realización de una visi-ta que los alumnos realizan una vez alaño. Todos los años, los niños y niñas delColegio van a una Granja Escuela apasar varios días. Los pequeños cono-cen en la granja a un personaje, elduende Pitutín, encargado del cuida-do de los animales y las plantas. Todaslas noches les deja caramelos a los niñosmientras duermen. Los pequeños seacuerdan de él durante todo el cursocon discusiones tales como si existe ono, si le han visto, o si es el único duen-de del mundo que existe.

Esta situación supondrá el punto de ini-cio para el taller de resolución de proble-mas. Un día, los niños reciben una cartade Pitutín. El duende les pide ayuda pararesolver algunos problemas que se leplantean en el cuidado de los animalesde la granja. Para los niños, ayudar alduende en sus tareas es una gran respon-sabilidad y, sobre todo, un gran honor.Además, Pitutín les pide a los niños una

respuesta por carta, lo que obligará a lospequeños a iniciarse en la escritura mate-mática. Este añadido se revelará funda-mental en el proceso, pues hará que tra-temos las matemáticas y el lenguaje enun contexto globalizador, lo que parecemuy adecuado para estas edades. Pocoa poco, los niños irán teniendo que expli-carle a Pitutín cómo resolver el problema(no bastará con darle el resultado) y seirán iniciando en la escritura de sentenciasnuméricas. Las sesiones de trabajo duranuna hora aproximadamente. En cadauna de ellas se resuelven uno o dos pro-blemas. El contexto de la granja y las pro-puestas de problemas de Pitutín, que losniños toman desde el principio como rea-les, acompañan a los niños durante todala experiencia.

La maestra interviene lo menos posible,y siempre de forma indirecta. No da lasolución correcta, ni propone un proce-dimiento como idóneo. Cuando un niñoda una respuesta que no tiene sentidodentro del contexto del problema, inten-ta hacérselo ver a través de una pregun-ta: «¿Es posible que si Pitutín tiene 15bellotas, y las reparte entre cinco cer-dos, les toquen 15 bellotas a cada uno?¿Quince a uno, quince al otro,…?» Por elcontrario, cuando un procedimiento leparece digno de ser resaltado, pide alalumno que lo ha propuesto que lo expli-que otra vez y pregunta a todos si hanentendido cómo lo ha resuelto su com-pañero. La maestra también intervienepara valorar la validez de las explicacio-nes que dan los pequeños de los proce-dimientos empleados. Sin embargo, aun-que es la maestra la que decide sobrela validez de una explicación, exponelos criterios de su valoración a los alum-nos: «Hay que explicarlo bien para quelos demás entiendan cómo lo hemoshecho, para que puedan decir si estánde acuerdo o no», etc. De acuerdo conestos criterios, no se darán como válidasexplicaciones del tipo: «Son seis porque


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lo he pensado». Las explicaciones quedan los niños tienen un doble valordidáctico. Por una parte, ayudan a susautores a articular su pensamiento paraproducir la explicación, aumentando lacomprensión sobre el proceso. Por otraparte, constituyen una enseñanza paralos oyentes, que sustituye en cierta medi-da la enseñanza de la maestra.

La selección de los problemas

Un punto clave en el diseño del taller deresolución de problemas, ha sido la elec-ción de los problemas que se plantearí-an a los pequeños. En este trabajo, portipos de problemas nos referimos a lascategorías semánticas de los problemas.En este punto, hemos seguido la clasifi-cación de Carpenter y otros (1999). Así,contemplamos, dentro de los problemasde estructura aditiva, las categorías decambio creciente y decreciente, com-binación y comparación. Dentro de losproblemas de estructura multiplicativa,planteamos problemas de multiplica-ción, división reparto y división agrupa-miento. Dada la edad de los participan-tes, no nos ha parecido oportuno incluirotras categorías más complejas, comolos problemas de comparación multipli-cativa. En la tabla 1 sintetizamos los tiposde problemas y las estrategias máscomunes para su resolución.

Para la selección de los tipos de proble-mas, es necesaria una referencia teóri-ca clara para que la dificultad de losproblemas sea adecuada. Hemostomado esta referencia del trabajo deClements (2004). En él se sintetizan resul-tados de múltiples investigaciones enPsicología del Aprendizaje de las Mate-máticas y en Didáctica de la Matemá-tica, con el objetivo de establecer unmarco curricular para fundamentar lapráctica educativa en la Educación

Infantil. Resumimos las principales apor-taciones de este trabajo relativas alaprendizaje de los números, operacio-nes y resolución de problemas, paraniños de 5 y 6 años (último curso de Edu-cación Infantil) en los párrafos siguien-tes de la presente sección.

En cuanto a las destrezas de conteo oral,los niños de esta edad deberían: contarverbalmente hasta cien (aunquemuchos niños no alcanzan este objetivohasta el primer curso de Educación Pri-maria), contar hacia atrás desde diez,contar a saltos de diez en diez hasta cieny contar hacia adelante a partir de unnúmero pequeño (menor o igual que 5)sin contar los anteriores (sin empezar des-de el uno). En el conteo de objetos,deben ser capaces de producir, contan-do los objetos, una colección de hasta 20objetos. También deben ser capaces deleer y escribir números de un dígito1. En laresolución de problemas, comienza elproceso de traducción de problemasverbales y sus soluciones a sentenciasnuméricas y al revés, la dotación de sig-nificado a las sentencias numéricas, cre-ando para ellas un enunciado verbal.Los problemas adecuados para estasedades son: Problemas de cambio cre-ciente y decreciente con incógnita enla cantidad final, problemas de combina-ción con incógnita en el total, y algunosproblemas de comparación sencillos yde cambio con la cantidad de cambiodesconocida. Por el contrario, algunosproblemas de combinación con una de


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1 En nuestro trabajo, los niños estaban aprendien-do a leer y a escribir números de dos cifras hasta el20 cuando comenzó el taller de problemas. Cada15 días aproximadamente, los pequeños jugabanuna partida de bingo. Al «cantar» el número, utiliza-ban una recta numérica para hacer la correspon-dencia entre los símbolos escritos y las palabras dela secuencia numérica recitada. Los demás niñosbuscaban también en la recta numérica la formaescrita correspondiente a la palabra-número pro-nunciada por el compañero.


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Problemas de suma y resta

Problema Descripción de la estrategia

Cambio creciente (cantidad final desconocida)Elena tenía 3 caramelos y se compró 5 cara-melos más. ¿Cuántos caramelos tiene ahora?

Cambio creciente (cantidad de cambio des-conocida)Jesús tenía 3 cacahuetes. Clara le dio algunoscacahuetes más. Ahora Jesús tiene 8 cacahue-tes. ¿Cuántos cacahuetes le dio Clara?Cambio decreciente (cantidad final desco-nocida)Había 8 focas jugando en la nieve. Tres de ellasse fueron a nadar. ¿Cuántas focas quedanjugando?Cambio decreciente (cantidad de cambiodesconocida)Había 8 personas en el autobús. Algunas deellas se bajaron en la parada. Ahora quedantres personas en el autobús. ¿Cuántas se baja-ron en la parada?Comparación (diferencia desconocida)Merche tiene 3 pegatinas. Raúl tiene 8 pega-tinas. ¿Cuántas pegatinas tiene Raúl más queMerche?

Cambio creciente (cantidad inicial descono-cida)Bárbara tenía algunos libros en su casa. Fue ala biblioteca y tomó prestados tres libros más.Ahora tiene en total 8 libros en su casa. ¿Cuán-tos libros tenía Bárbara al principio?

Juntar todosSe forma un montón con 3 objetos y otro con5. Se juntan los dos montones y se cuenta eltotal de los objetos.Añadir hastaSe forma un conjunto con 3 objetos. Se vanañadiendo objetos a este conjunto hasta quehay un total de 8 objetos. La respuesta se hallacontando el número de objetos añadidos.Quitar Se forma un conjunto con 8 objetos. Se quitantres de ellos. La respuesta es el número de obje-tos que quedan.

Quitar hastaSe forma un conjunto con 8 objetos. Se vanquitando objetos hasta que queden tres. Larespuesta es el número de objetos que hemosquitado.

Correspondencia uno a unoSe forman un conjunto de tres objetos y otro deocho objetos. Emparejamos cada elementode un conjunto con un elemento del otro has-ta que se acaban los elementos en alguno delos dos conjuntos. La solución es el número deobjetos que han quedado sin emparejar en elconjunto mayor.Ensayo y errorSe forma un conjunto con varios objetos. Seañade un conjunto de tres objetos al conjun-to inicial y se cuentan los elementos del con-junto resultante. Si la cuenta final es de 8,entonces la respuesta es el número de objetosdel conjunto inicial. Si no es 8, se prueba conotro conjunto inicial.

Problemas de multiplicación y división

Problema Descripción de la estrategia

MultiplicaciónPablo tiene 4 cajas de lápices. Hay 6 lápices encada caja. ¿Cuántos lápices tiene Pablo entotal?División agrupamiento (medida)Pablo tiene 24 lápices. Los lápices están guar-dados en cajas y hay 6 lápices en cada caja.¿Cuántas cajas de lápices tiene Pablo?División repartoBenjamín tiene 6 cajas de lápices con el mis-mo número de lápices en cada caja. En totaltiene 24 lápices. ¿Cuántos lápices hay en cadacaja?

AgrupamientoSe forman 4 grupos con 6 objetos en cada gru-po. La solución se obtiene contando el núme-ro total de contadores que hay.MedidaSe forman, con 24 objetos, grupos de 6 obje-tos. La solución se obtiene contando el núme-ro de grupos.RepartoSe reparten 24 objetos en 6 grupos poniendoel mismo número de objetos en cada grupo.Se cuenta el número de objetos en uno de losgrupos para hallar la solución.

Tabla 1: Tipos de problemas y estrategias de resolución mediante modelización directa

las partes desconocida y algunos pro-blemas de comparación más avanza-dos, pueden ser demasiado complica-dos para la Educación Infantil y seránecesario tener cuidado con ellos. Seespera que los niños resuelvan todosestos problemas mediante la modeliza-ción directa con materiales concretos(como objetos o dedos), o empleandoestrategias de conteo, como el conteoa partir del primer número.

En lo concerniente al aprendizaje de losprimeros hechos numéricos, los niñoscomienzan a buscar y utilizar patrones yrelaciones para desarrollar estrategiasde razonamiento numérico. Por ejem-plo, aprenden que sumar uno a unnúmero equivale a decir la siguientepalabra de la secuencia de conteo.Este aprendizaje resulta favorecido porel hecho de que, en torno a los 4 años,los niños comienzan a indicar directa-mente (sin repetir la secuencia de con-teo hasta dicho número) cuál es elnúmero siguiente de un número entre 2y 9. También comienzan los niños adominar las descomposiciones aditivasde los 10 primeros números. Este apren-dizaje se ve reforzado por la capacidadde representar, sin contarlas, pequeñascantidades con los dedos.

En cuanto a los problemas de estructu-ra multiplicativa, los niños podrán resol-ver problemas de multiplicación, divi-sión reparto (repartiendo hasta 20objetos entre 2 a 5 personas), divisiónagrupamiento (hasta 20 objetos en gru-pos de 2 a 5 objetos). Para resolver todosestos problemas, los niños utilizarán estra-tegias informales de modelización direc-ta. Los problemas de multiplicación ydivisión agrupamiento podrán emple-arse más adelante, en primer curso deEducación Primaria, para fundamentarlos conceptos relativos al valor posicio-nal (utilizando grupos de diez objetos).

Para terminar, como orientación gene-ral relativa al tamaño de los números, lascantidades que aparecen en los enun-ciados nunca deben ser superiores a los20 objetos, pero deberían situarse pre-feriblemente en torno a los 10 objetos.

El desarrollo de la experiencia: Las sesiones de trabajo

La primera sesión de trabajo comienzaal advertir Beatriz (la maestra) a los alum-nos que guarda para ellos una sorpresamuy grande. La emoción es máxima:¿Qué será? Los niños se sientan en laalfombra y Beatriz les ofrece un peque-ño sobre verde. Beatriz explica a lospequeños que ha llegado un sobre anombre de «los Caballos» (el nombreque los niños han puesto al grupo) alColegio Las Naciones de Madrid. Enton-ces Irene se pone en pié para leer elnombre del remitente. Al terminar depronunciar las sílabas de «Pi-tu-tín», laemoción se desborda: «¡Pitutín nos haescrito a nosotros!», «¡Nos ha escrito unacarta!» Todos los niños comienzan a can-tar a coro la canción del duende: «Pitu-tín es el mejor duende del lugar. Cadadía Pitutín sale a trabajar con su amigoGusanito; luego a descansar…»

Figura 1. Los pequeños reciben la carta con gran emoción.


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Después, en medio de un ambiente deexaltación (figura 1), Beatriz lee la carta.Pitutín cuenta en ella a los niños que tie-ne muchos problemas en la granja y quenecesita su ayuda. En esta situación, lospequeños comienzan el taller de proble-mas resolviendo los primeros encargosde Pitutín. Beatriz lee el primer problema:

Beatriz: Antes teníamos tres cerditos viet-namitas.

Nacho: ¿Qué son cerditos vietnamitas?[Nacho es el niño que aparece en elcentro de la figura 1, el único que noparece emocionado por la carta].

Beatriz: ¡Ah! Claro que tú no estuviste enla granja [el año pasado].

Nacho: No. Me puse malo. [Dos añosantes tampoco había podido ir por-que todavía no estaba en el colegio,de modo que Nacho no había esta-do nunca en la granja. Todos losdemás han ido ya dos años].

Beatriz: Los cerditos vietnamitas son máspequeños que los cerditos normalesy son de color negro.

Diego: ¡Yo entré, yo entré! ¡Habíamuchos cerdos!

Beatriz: [Sigue leyendo] En la granjaescuela teníamos tres cerditos antesy han nacido cuatro más. ¿Cuántostenemos en total?

Este pequeño diálogo ilustra la diferen-cia entre problemas reales e hipotéticosque señalábamos en los párrafos inicia-les. Para Nacho, Pitutín es un descono-cido y sus problemas son situacionesextrañas y ajenas a él. Es comprensibleque al inicio no muestre un grado deimplicación tan grande como el de suscompañeros. En cambio, para Diego,la situación es totalmente contextuali-zada, relevante y afectiva, y respondecon mucha emoción: «¡Yo entré, yoentré! ¡Había muchos cerdos!»

Entre expresiones de admiración, por elsorprendente nacimiento de los cuatro

cerditos, algún niño dice que son cua-tro, otro ocho, y otro cincuenta. La pri-mera reacción de los pequeños es la deintentar adivinar el resultado. Es una esti-mación inicial que nos da idea delconocimiento infantil acerca del tama-ño de los números. Para los pequeños,adivinar el resultado se convertirá enuna especie de juego durante el taller.

Beatriz: Un momento. Ahora lo vamos apensar. Pitutín, debe ser que no sabesolucionarlo. Por eso nos ha pedidoa nosotros ayuda. Ahora nos vamos atener que poner a pensar todos paraayudar a Pitutín.

María: Y no podemos buscarle porquees tan diminuto…

El primer problema propuesto para eltaller es un problema de cambio cre-ciente en el que la incógnita es la can-tidad final. Este tipo de problemas es delos más sencillos entre los problemas arit-méticos verbales. En la primera sesiónestamos más interesados en que los niñosconozcan el funcionamiento del tallerde resolución de problemas que en elpropio problema en sí. Los niños vancomprendiendo a lo largo del taller quepueden utilizar cualquier material y quehay que razonar las respuestas que dan.También van desarrollando su autono-mía intelectual y su autoconcepto como«pequeños matemáticos» al comprobarque tienen una gran capacidad mate-mática para resolver problemas. Al noestar precedida la resolución de proble-mas por explicaciones magistrales, todala actividad matemática desarrolladapor los pequeños estará basada en suspropias estrategias informales. Poco apoco Pitutín les irá mandando otro tipode problemas, de distinta dificultad,cuando se hayan familiarizado con todo.

Sentados cada uno en su sitio, los niñosvan pidiendo a Beatriz lo que piensan quevan a necesitar para la resolución del pro-


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blema. Algunos piden papel, otros la tabla100, otros la recta numérica y algunos…los pies. Así comienza la resolución del pri-mer problema. Muchos han pedido mate-rial, pero no saben que tienen que hacer.Varios de los que han pedido un papel,cuentan con los dedos y luego apuntanel resultado. Los que habían pedido latabla 100, usan también los dedos. Algu-nas de las que tenían papel, preguntanqué tienen que escribir. Los que han pedi-do la recta numérica, después pidenpapel. Poco a poco, los niños seleccio-narán ellos mismos los materiales que lesresultan útiles, y dejarán de usar unos yrepetirán con otros.

Diego pone tres rayitas pequeñas y lue-go cuatro. Lo borra y escribe el núme-ro siete, pero luego explicará que lo hahecho con los dedos. Las que habíandicho que necesitaban los pies, pregun-tan a Beatriz que para qué y utilizantambién los dedos (de las manos). Alprincipio, cuesta mucho entrar en ladinámica de la resolución de proble-mas pero, poco a poco, van diciendoque ya saben la solución y entonces,cuando todos dicen que han acaba-do, se lleva a cabo la puesta en común.

Beatriz: Vamos a explicar todos lo quenosotros creemos, la conclusión a laque hemos llegado, y todo el mun-do va a escuchar. Decimos quénúmero creemos y porqué creemosque es ese número.

Julieta: El siete. Porque he contado. Beatriz: ¿Cómo lo has contado? Julieta: Hay tres y hay cuatro. Y enton-

ces he contado: uno, dos, tres, cua-tro, cinco, seis, siete. [Lo ha hechoponiendo 3 dedos en una mano y 4dedos en la otra.]

Nacho: Ocho. Mira: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.[Pone 4 dedos en una mano y 4dedos en la otra.] ¿Por qué ponescuatro en esta mano? Porque hannacido cuatro.

Beatriz: Vale. Y ¿Cuántos tenía? Nacho: Tres. Beatriz: ¿Tres o cuatro? Nacho: Tres. Uno, dos, tres, cuatro, cin-

co, seis y siete. Siete (figura 2).

Figura 2. Nacho modeliza el problemacon los dedos.

Beatriz sabe que el procedimiento queha empleado Nacho es correcto. Poreso le pregunta sobre la parte en la quese localiza el fallo (la memoria de losdatos) para que Nacho rectifique su res-puesta por sí mismo. Es importante distin-guir entre un error matemático y un sim-ple fallo para darle el tratamientoadecuado en el aula.

Illya: Siete. Porque he contado [Señalaen la tabla 100]: uno, dos, tres,… siete.

Beatriz: ¿Por qué has contado hasta siete?Illya: Porque creía que eran esos. Beatriz: Tienes que explicar porqué has-

ta 7, porque puedes contar hasta 7 opuedes contar hasta 200. ¿Por quécuando has llegado a 7 te has para-do ahí?

Illya: Porque, porque… Porque luego mehe parado ahí, para pensar a ver siera ése. […]

Beatriz: [Nicolás, da una respuesta pare-cida a la de Illya.] Nico. Es que no noslo estás explicando. «Por que pensá-bamos que era eso», no es una res-puesta, ¿entiendes? Es que así nos-otros no podemos aprender de cómolo habéis hecho. Es que os tenéis queesforzar un poco más en explicarlo.


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Durante la discusión de los problemascon los niños, Beatriz trata de alcanzardos objetivos: en primer lugar, los peque-ños deben entrar en la dinámica deltaller y comprender qué sentido tienenlas explicaciones que deben dar. Sondescripciones del procedimiento paraayudar a los demás a aprender, parapoder justificar la respuesta y para poderdebatir con ellos y convencerles.

Figura 3. Nicolás e Illya usando losdedos y la tabla 100.

Otro aspecto curioso, que se ve refleja-do en las transcripciones, es que losniños suelen primero resolver el proble-ma con los dedos, pero luego acudena la tabla 100 (figura 3). En este caso,no utilizan la tabla para obtener un resul-tado que ya conocen. Sin embargo, dala sensación de que, para los niños, tie-ne más valor el uso de la tabla que elde los dedos. Quizá por los números quetiene escritos, o por lo útil que ha resul-tado la tabla para leer y escribir núme-ros en otros momentos del curso (como,por ejemplo, cuando los niños jugabanal bingo).

A continuación, vemos cómo Cristinaestá haciendo la transición entre dosestrategias distintas: «contar todos», quees la estrategia básica de modelizaciónpara este tipo de problemas (ver tabla1) y «contar a partir del primero». Estaúltima estrategia consiste en comenzar

diciendo el primer número (el tres) e ini-ciar el conteo a partir del mismo, avan-zando tantos pasos en la secuencia deconteo como objetos hay que añadir(cuatro): «cuatro, cinco, seis y siete». Ladestreza de comenzar a contar verbal-mente a partir de un número distinto deuno (como el tres), sin contar los núme-ros anteriores, es compleja en Educa-ción Infantil. Muchos niños no logranhacerlo hasta la Educación Primaria.También observamos en la transcripcióncómo Paula L. utiliza la misma estrate-gia de juntar todos, con la variante derepresentar las cantidades con líneas enel papel en lugar de emplear los dedos.Esta opción se revelará interesante cuan-do afrontemos un problema del mismotipo cuyas cantidades no puedan serrepresentadas con los dedos.

Cristina: Porque lo he hecho así: 1, 2, 3.Luego he ido hasta cuatro con losdedos 1, 2, 3, 4 y luego he visto quees 7.

Beatriz: ¿Has puesto 3 en una mano y 4en otra?

Cristina: No. He puesto 3 en una manoy luego he contado: 4, 5, 6 y 7.

Paula L.: He contado. Me ha salido 7. Enel papel he puesto líneas. En un lado4, y en el otro 3, y me han salido 7.

Todavía dentro de la primera sesión detrabajo, Beatriz plantea el segundo pro-blema de Pitutín: «En la granja escuelahay cuatro patos y cinco patitas.¿Cuántos patos y patas hay en total?»Los niños lo van pensando y lo solucio-nan bastante rápido aplicando las mis-mas estrategias que para el problemaanterior. Vemos otra vez que los alum-nos son capaces de corregir sus fallos(como en el caso de Diego), y que aveces tienen dificultad en recordar losdatos del problema.

Diego: Lo había pensado mal, porque tehabía escuchado cinco y cinco. [Al


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leerles Beatriz el problema, Diegohabía respondido inmediatamenteque había 10.]

Nacho: Nueve. He contado: 1, 2, 3, 4 yme he parado en el cuatro (señaladel 1-4 en la tabla 100) y después hecontado 1, 2, 3, 4 y 5 (señalando del1-5 de nuevo en la tabla) ¿Y cómosabes que son 9? Porque si estos sonsolo tres y estos se incluyen, pues…son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Beatriz: Es que no lo entiendo lo quedices.

Nacho: Me he equivocado. Lo hehecho con los dedos.

En el caso de Nacho, volvemos a pre-senciar a un alumno resolviendo el pro-blema e intentando reinterpretar el pro-cedimiento empleado trasladándolo ala tabla 100. La técnica para resolver elproblema con la tabla 100 consiste encontar primero cuatro casillas, detenién-dose en el cuatro, y luego avanzar cin-co casillas más, a partir del cuatro, parallegar al nueve. El uso de la tabla 100 esun procedimiento intermedio entre elde juntar todos y el de contar a partirdel primero. Dado que Nacho conocela respuesta correcta, pero su explica-ción del procedimiento en la tabla esincorrecta, lo más probable es que hayautilizado la estrategia de juntar todos.

Figura 4. Intento de explicación utilizando la tabla 100.

Inés: Diez. Porque he ido contando. Conlos dedos he puesto cinco y cuatro. 1,2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9. Huy, me ha salido9. Sin querer puse un poco de cinco[Puso dos cincos; uno en cada mano]

Beatriz: ¿Qué número crees que es? Inés: Nueve, pero me ha salido diez.

[Quiere decir que ha escrito 10 en elpapel como solución. En la figura 6aparece tachado y escrito como«01»].

Beatriz: Vale. ¿Qué puedes hacer conel 10?

Inés: Borrarlo o tacharlo.

Varios niños ponen cinco dedos encada mano y después quitan uno deellos. A algunos niños, como Inés, se lesolvida quitar el dedo que sobra; otros síse acuerdan de quitarlo. Parece que lesresulta más cómodo poner diez dedosque nueve, dejando el dedo meñiquebajado. Esta estrategia puede conside-rarse una estrategia de «compensa-ción», que podríamos describir como: 5 + 4 = 5 + 5 – 1.

Figura 5. Ejemplo de escritura de losresultados y de sentencias numéricas.

En la figura 5 vemos una iniciación a laescritura de los resultados del problema:el 7 y el 9. También comprobamos lasdificultades que supone para niños deinfantil la escritura de números en nues-tro sistema de numeración: vemos escri-to 01 en lugar de 10. Por último, apare-cen las primeras sentencias numéricas,aunque no respeten completamente


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las convenciones sintácticas de la escri-tura aritmética: Inés escribe «5 = + 4» enlugar de «5 + 4 =». Con todo, la escritu-ra de sentencias numéricas y númerosde dos cifras son contenidos más pro-pios de la Educación Primaria que deInfantil. La situación de tener que enviarla respuesta por escrito a Pitutín, alientaa los pequeños a escribir en una situa-ción significativa (para comunicar la res-puesta). Fieles a nuestra inspiración en elconstructivismo, pensamos que el sen-tido de la escritura debe preponderar,en estas edades, sobre la ortografía ola sintaxis de la misma.

La sesión finaliza con una brevísimapuesta en común en que los resultadosencontrados por la mayoría de los niños(7 y 9 respectivamente) ganan por acla-mación.

Segunda sesión

En la primera sesión, los pequeños utili-zan mayoritariamente la estrategia de«juntar todos». Esta es una estrategia demodelización directa que consiste enrepresentar las dos cantidades, para des-pués contar el total de los objetos queforman las dos cantidades juntas. Dadoque las cantidades que había que juntareran de 3 y 4 cerdos, en un problema, yde 4 y 5 patos, en el otro, los niños pudie-ron resolver ambos problemas emplean-do sus manos, y representando cadacantidad con los dedos de una de lasmanos. La idea que guió la selección delproblema para la segunda sesión fue lade «obligar» a modificar esta estrategiainicial, manteniendo el tipo de proble-ma, pero empleando dos númerosmayores que cinco (que no pudieran serrepresentados con las manos). Así, el pro-blema planteado es de cambio crecien-te, con incógnita en la cantidad final:«Antes, Pitutín tenía en el corral 6 gallinasy a Pitutín le han regalado 7 más ¿cuán-tas gallinas tiene ahora?»

Es la segunda vez que los niños van atrabajar en resolución de problemas.Han recibido la segunda carta de Pitu-tín en la que les daba las gracias por losproblemas anteriores y les mandaba dosmás. Se entabla una conversación sobreduendes. Irene les hace saber que «Pitu-tín, aunque sea tan diminuto, puede lle-var los huevos de Pascua hasta el jar-dín». En lo referente a los problemas, noles dará tiempo para resolver dos en unasesión, así Beatriz los distribuye en dossesiones. Es la primera vez que los niñosy niñas van a usar los «Multilink» (cubosencajables) en este curso. Cuando sepresenta el material, los pequeños dicenconocerlo; durante el curso anterior, lousaban en momentos de juego librepara hacer construcciones (algún niñolo llama «body milk»). También se intro-ducen las cuentas de los collares comonuevo material. Se hace hincapié enque, a pesar de tener Multilink, cuentas,papel y lápiz, dedos, recta numérica, ola tabla 100, se puede usar todo elmaterial que se desee.

Como en la sesión anterior, los niños tra-bajan individualmente para despuésproceder a la puesta en común. Prime-ro tendrán que decir el número de lasolución y luego la explicación. Será unasesión en la que habrá que insistir muchoen el tipo de razonamiento que no esválido. Por último, se votará la soluciónque se le dará a Pitutín.

Julieta: Ocho. Porque he pensado quees así. He puesto seis más siete y hecontado. Ocho; cinco en una mano,porque son seis [y no le caben en unamano], y uno en otra: cinco más uno[repite]. He contado de nuevo enesta mano y salen ocho.

Julieta ha levantado cinco dedos en sumano izquierda y uno en la derechapara representar seis gallinas. A conti-nuación, tiene que añadir siete gallinas


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más. Para ello, utiliza primero los cuatrodedos que tiene libres de la mano dere-cha. Una vez se le acaban los dedos,sigue contando hasta siete con la mañoizquierda (en la que tenía puestos cincodedos). Así, al final del procedimiento, aJulieta le quedan tres dedos en la manoizquierda y cinco en la derecha, paraun total de ocho dedos, que es la solu-ción que da. Se olvida de que ha teni-do que quitar los cinco dedos inicialesde la mano izquierda para poder con-cluir el procedimiento de conteo conlas manos. En este procedimiento,vemos la dificultad que origina la modi-ficación de los datos numéricos, con-servando la misma estructura del pro-blema de la sesión anterior. La mismaestrategia, de juntar todos, ya no pue-de aplicarse fácilmente con los dedos.Por otra parte, como se ve en la figura6, todos los niños tienden a escribir losdatos y el resultado cuando resuelvenel problema.

Figura 6. El problema es difícil de resolver con los dedos.

Casi todos los alumnos adaptan correc-tamente la estrategia de juntar todos,pasando de implementarla con losdedos a realizarla con los cubos enca-jables. Dado que los pequeños estáncomenzando a leer, la maestra les leeel enunciado. Algunas veces, los niñosno recuerdan los datos. Esto le ocurre aSandra, que es capaz de rectificar paradar la respuesta correcta.

Sandra: Catorce. He puesto ocho aquíy uno, dos… seis; seis aquí. [Sandraforma dos filas: una con 6 cubos yotra con 8. La de 6, son las gallinasde antes y la de 8, las de después.Luego lo junta. Entonces se da cuen-ta de que eran 7 gallinas y quita uncubito y lo guarda].

Beatriz: ¿Cuántos tienes que quitar?Sandra: Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis,

siete. [Mira la barra de ocho, cuentahasta siete y comprueba que le sobrauno.] Me sobra uno. Uno, dos… seis;y uno, dos… seis, siete. [A continua-ción, junta las dos filas y cuenta has-ta trece.]

Paula V.: Uno, dos… doce y trece. Noporque mi cabeza me lo ha dicho,sino porque yo lo sabía. Había 6 enun lado y 7 en el otro. Es que yo ya losabía porque hago sumas en mi casay me acuerdo de las sumas siempreque estoy aquí. He puesto 6 en unlado y 7 en el otro, porque lo sabía,porque me acordaba que la sumaera así y es así.

Figura 7. Paula utiliza la modelizacióndirecta con cubos.

Paula demuestra haber aprendido loque no vale como explicación de unprocedimiento al decir: «No porque micabeza me lo haya dicho…» La expli-cación verbal no es demasiado buena,pero el procedimiento (juntar todos) seadivina perfectamente en sus manipu-laciones físicas (figura 7).


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Varios niños y niñas escriben el trece ensus hojas, gracias al trabajo que han rea-lizado previamente. Por un lado, todoslos días hay un encargado que escribela fecha; por otro, aproximadamentecada 15 días, los niños juegan una par-tida al bingo. En ella tienen que apren-der a leer y a escribir números emple-ando como instrumento la tabla 100.Antes de realizar la votación, Beatrizexplica a los pequeños:

Tenéis que pensar en las explicacionesde los demás y en la vuestras; no enquien quiere tener razón. A Pitutín hayque decirle el número de verdad, no elque he dicho yo porque yo lo he hechoy creo que es verdad. No. Hay que escu-char a los demás. Si los demás hanhecho una cosa mejor que la nuestra, ytienen razón, habría que decir que nosparece bien, aunque sea algo distinto alo nuestro.

Tras la votación gana 13 por ampliamayoría. Todos menos Irene, que siguepensando en 11. Algunas de las expli-caciones de los niños, resultan de lo máscuriosas. Por ejemplo, Inés argumenta:«No porque mi cabeza me lo diga [expli-cación considerada oficialmente comono válida], sino porque tengo unassumas en un cuaderno que me llevé undía a la ‘pisci’, cuando estaba malita, yno podía y las ‘hací’ las sumas con mimamá.» Como vemos, el proceso decomprender las características y las fun-ciones de una explicación, es lento y lle-vará todavía mucho tiempo su desarro-llo.

Tercera sesión

El problema a resolver en la tercerasesión es el siguiente: «Pitutín tiene 6 galli-nas y cada gallina pone 2 huevos.¿Cuántos huevos tiene Pitutín?» Afron-tamos un problema «de multiplicación»en Educación Infantil. Esperamos que

los niños utilicen una estrategia demodelización de agrupamiento (tabla1). Hay una pequeña ruptura con res-pecto a los problemas anteriores, queeran de estructura aditiva. Las estrate-gias previamente utilizadas en el taller,dejan de ser válidas en esta situación. Laadaptación de los procedimientos eneste caso, no está en el material emple-ado, sino en la propia estrategia demodelización. Es imposible para los niñosy las niñas afrontar este problema deforma mecánica; será necesario exhi-bir un pensamiento flexible para selec-cionar una técnica de resolución ade-cuada.

Figura 8. Aspecto general del grupodurante el taller.

La actividad se desarrolla según elpatrón de los días anteriores e incorpo-rando a los materiales empleados el pri-mer día, los de la sesión anterior. Algúnniño pregunta: «¿Y la pizarra? ¿La pode-mos usar?» Desde ese momento, usa-rán la pizarra en todas las sesiones.Como siempre, antes de intentar resol-ver el problema, los niños intentan adi-vinar (estimar o hacer alguna valora-ción sobre) el resultado. Nacho dice:«Bea, ¿a que no pueden ser cuatro?»Algunos empiezan con un material y lue-go cambian a otro con total libertad.

Nicolás: Siete. He ponido [sic] en caday luego he estado contando porque


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pensaba que era así. He estado con-tando las piezas que había. Separéasí uno, dos, tres, cuatro, cinco. Mefalta uno. Puse seis y luego dos y con-té. Y salen 8. Ahora me salen 8.

Beatriz: ¿Por qué 6?Nicolás: Porque eran 6 gallinas.Beatriz: ¿Y 2?Nicolás: Porque cada vez ponían 2 huevos.

Como indicábamos en la introduccióna esta sección, los niños muestran siem-pre tendencia a emplear su conocimien-to anterior. En este caso, Nicolás selec-ciona mal el conocimiento anterior quedebe utilizar. En lugar de tratar de mode-lizar, lo más fielmente posible, el enuncia-do verbal del problema, aplica mecáni-camente el procedimiento de juntartodos, que no se ajusta bien a la situa-ción presente. En la figura 10 vemoscomo Aínvar resuelve el problema pormodelización directa empleando laestrategia de agrupamiento. Previamen-te, puede verse en la transcripción cómohabía reinterpretado el problema ase-mejándolo a los problemas de combi-nación planteados en sesiones anteriores.

Aínvar: Ocho, porque he cogido pie-zas. Las he hecho así de una en unay después he ido contando uno,dos,… y las he juntado.

Beatriz: ¿Por qué 8?Aínvar: Porque las gallinas eran 6 y le

dan unas nuevas, ¿no?Beatriz: No, ese es el problema del otro

día. Hoy era que ponían huevos. Nole regalaron gallinas.

Aínvar: Como cada una pone dos…[Aínvar forma grupitos de dos y resuel-ve el problema inmediatamente].

Carmen: Doce. He hecho lo de siem-pre: he utilizado papel para escribirel resultado, Multilink para ver cuán-tos hay, y la recta numérica parasaber qué número era [cómo se escri-be el resultado]. Uno, dos,…, diez,once, doce. Doce.

Figura 9. Estrategia de agrupamiento.

El trabajo de Carmen es extraordinaria-mente sistemático. Además, ella tieneuna gran capacidad para sacar el máxi-mo provecho de cada material y paradescribir su procedimiento. Beatriz advier-te que algunos niños están distraídos yno desea que se desperdicie la ocasiónde que Carmen haga de maestra parasus compañeros. Su procedimiento esigual al empleado por los demás niños yniñas que han conseguido resolver elproblema, pero incorpora detalles quelo hacen óptimo para constituirse en pro-cedimiento «oficial» del grupo.

Figura 10. Uso del agrupamiento concubos y la recta numérica para

escribir el resultado.

Beatriz: ¿Alguien más tiene 12? ¿Julietay Nacho? Pues escuchad todos los


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que tienen 12 y los que no. A ver siCarmen lo ha pensado igual que vos-otros para que salga 12.

Carmen: He puesto los huevos; 6 huevosen cada gallina, y me ha salido 12.

Beatriz: ¿Seis huevos en cada gallina?Carmen: No. Dos huevos en cada galli-

na. En esta gallina dos, en esta dos,en esta dos, en esta dos, en esta dosy en esta dos.

Diego: Yo no lo he entendido. [Algunosalumnos representan por separadolas gallinas y los huevos pero Carmenha representado solamente los hue-vos.]

Carmen: He puesto dos huevos en cadagallina. [Ha hecho grupitos de 2.]Estos son los huevos de cada gallina[señalando uno de los grupos].

Diego: ¡Ah, ya! ¡Ya!Cristina: Bea. Creo que me he equivoca-

do.Beatriz: ¿Te has equivocado? No pasa

nada. Para eso venimos al colegio: aaprender. Porque si lo supiéramostodo, no vendríamos. ¿Por qué creesque te has equivocado?

Cristina: Porque me parece bien lo queha hecho Carmen.

Beatriz: ¿A que como ella lo ha explica-do, tú lo has entendido?

Con esta última frase, Beatriz enfatiza laimportancia de que se intente explicarlo mejor posible cómo se ha realizadoel problema. A su vez, observamos laefectividad de la intervención indirec-ta de la maestra al llamar la atenciónde la clase sobre la explicación de Car-

men. En una etapa en la que imperanel egocentrismo y el deseo de imponerel criterio propio, que los alumnos entrenen el razonamiento matemático renun-ciando al propio a favor del ajeno, cons-tituye todo un logro.

Diego: Uno, dos, tres,…, veintitrés, vein-ticuatro. Veinticuatro. Porque he cogi-do una [fila] larga. He hecho el mismotrabajo que antes y lo que he hechoes poner dos en cada gallina y enton-ces lo que me salió era esto.

Beatriz: ¿Por qué una tan larga? ¿Hastaqué número?

Diego: Hasta lo que aprendimos [en lasesión de problemas anterior]. Hastalo de las gallinas. Así que lo coloquéahí. Y era lo mismo.

Beatriz: Pero, ¿cuántas gallinas tenemosahora?

Diego: Seis.Beatriz: ¿Con cuántas lo has hecho?

¿Con la cantidad de gallinas del otrodía?

Diego: Uno, dos… cinco, seis. Seis. Y éstastambién sobran [separando lasdemás].

Beatriz: ¿Qué número te sale?Diego: Uno, dos… once, doce. Doce.

En la sesión anterior, el grupo había abor-dado el enunciado: «Pitutín tenía en elcorral 6 gallinas y a Pitutín le han rega-lado 7 más ¿cuántas gallinas tiene aho-ra?» Diego, que conserva en su memo-ria el problema y su resultado, hareinterpretado el enunciado ajustandoel número de gallinas al «número real


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Figura 11. Distintos momentos del procedimiento de Diego.

de gallinas» (trece) que actualmentehay en la granja (según el resultado delproblema del día anterior). El procedi-miento empleado es correcto y Diego,sin ninguna dificultad, corrige los datospara dar inmediatamente la respuestacorrecta de 12.

Irene: Cinco. Porque yo estaba contan-do con mis manos: uno, dos, tres, cua-tro, cinco... Porque... Yo... No... No meacuerdo.

Beatriz: ¿Sigues pensando que es 5?Irene: Sí... [Dudosa].Beatriz: A veces nos puede pasar lo que

a Cristina [que nos damos cuenta denuestro error cuando nos convence lasolución que ha dado otro compa-ñero].

Irene: Creo que es 12, como Diego yCarmen.

Los alumnos que no han alcanzado unasolución correcta, tampoco son capa-ces de justificar y defender su propues-ta de solución. En esta situación, Beatrizles alienta a comparar su procedimien-to con otros. Así, muchos alumnos vanreconociendo que otros procedimien-tos realizados por compañeros parecentener más sentido que los suyos propios.Poco a poco, como vemos en la res-puesta final de Irene, la solución de Die-go y Carmen va adquiriendo un esta-tus distinto, al pasar de ser unapropuesta individual al procedimientomayoritariamente apoyado por el gru-po.

Inés: Cuatro.Beatriz: Después de todo, [lo discutido

por los compañeros] ¿sigues pensan-do que está bien?

Inés: Sí... Ya no me acuerdo [de cómo lohe hecho].

Beatriz: No nos vale. Esfuérzate y cuén-tanos cómo lo has hecho.

Diego: Sí, [como] una campeona. Note rindas. Yo no me rindo.

Como vemos en la intervención de Die-go, los niños comienzan a entrar en ladinámica del trabajo al comprenderque el esfuerzo por explicar el procedi-miento es parte de la tarea, tan impor-tante o más que la solución ofrecida. Elaliento de los niños, a los compañerosque tienen que esforzarse en dar unaexplicación, es continuo. En estas cir-cunstancias, el ámbito de lo afectivojuega un papel primordial:

Julieta: Doce, porque lo he ido separan-do. He ido contando con las manosuno, dos, tres, cuatro, cinco, seis... Ydespués... No me acuerdo tanto.

Beatriz: Vale pero queremos escucharte[tu explicación].

Alguno: ¡Sí, venga!Diego: ¡No te rindas, Juli!

Como hemos visto en la narración dela sesión de resolución de problemas,hubo interferencias entre esta sesión y laanterior, bien por la temática (ambosproblemas eran «de gallinas») o por eltipo de problema (los niños abordabanun problema «de hacer grupos iguales»después de haber resuelto tres de «jun-tar dos cantidades»). Varios niños y niñasreinterpretaron el enunciado para ase-mejarlo al que habían resuelto en lasdos sesiones anteriores.

Cuarta sesión

En esta sesión, se plantea el siguienteproblema: «Pitutín tenía 14 pavos en lagranja y se le han perdido 5. ¿Cuántostiene al final?»

Durante el trabajo sobre el problema,alguno escribe 14 –5 en la pizarra peroluego no hace referencia a ello en suexplicación. Como siempre, alguno uti-liza el papel para no olvidarse de la solu-ción. Aparece, ocasionalmente, el tra-bajo por parejas. Discuten las solucionesy ponen en común lo que cada una ha


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pensado. Algunos niños utilizan variosmateriales. Por ejemplo, Sandra utilizalos cubos encajables para determinarla solución, la recta numérica para sabercómo se escribe, y el papel para apun-tar la solución y que no se le olvide. Enla puesta en común, como siempre, losniños tienen que decir primero el núme-ro de patos que creen que le quedan aPitutín, y después explican el porqué.

Inés da el diez como respuesta, pero nosabe explicar cómo lo ha hecho. Noobstante, demuestra comprender quées una explicación válida al hacer refe-rencia a parte del repertorio de expli-caciones que no lo son: «No porque melo haya dicho mi cabeza. No porqueme lo haya dicho un compañero». Final-mente, sólo puede añadir: «No meacuerdo.»

Diego: Nueve [Se ha equivocado alcontar, pero él mismo se va a corregir].He cogido los Multilink. Como los teníatodos sueltos, he hecho una torre decatorce: Uno, dos,…, trece, catorce. Losiba uniendo cada vez. Así digo: uno,dos,…, once, doce. Me faltan dos. Uno,dos,…, trece, catorce. Y quito cinco:uno, dos, tres, cuatro, cinco. Y quito esto,y queda: uno, dos,…, nueve. Nueve.Entonces digo: «Esta es la solución.»

La solución de Diego es la mayoritariadentro del grupo. No obstante, algunosniños emplean la estrategia de «juntartodos», formando un grupo de 14 cubosy otro de 5, uniendo todos los contado-res, y contando el total de los mismos.Beatriz ayuda a los niños a comprenderla situación descrita en el problemapara que vean que la respuesta no tie-ne sentido.

Beatriz: A ver. Pitutín tiene 14 patos, sele pierden 5, ¿y tiene 19?

Alguno: «Jopé.» [Dándose cuenta de lacontradicción].

Beatriz: ¿Tiene más patos.Cristina: Sí.Beatriz: ¿Se le pierden los patos y ahora

tiene más? Cuando a ti se te pierdealgo, ¿tienes más o menos?

Cristina: Menos.Beatriz: Entonces, Pitutín además de

duende es mago porque cuando sele pierde algo, en vez de tenermenos, tiene más.

Cristina: Me he equivocado.

Por último, la solución propuesta porNacho es, con diferencia, la más sofisti-cada de todas. Al final de la sesión, enla votación, será la estrategia elegidapor abrumadora mayoría para enviar aPitutín. Todo ello a pesar de que muchosniños ¡no la comprendan!

Nacho: Nueve. [Lo he hecho] en la piza-rra (figura 12). Le he quitado 5 y hecontado, y son 9. [Lo repite para quelos demás lo entiendan.] He puestohasta 14 y le he quitado 5 números yquedan 9.

Figura 12. Utilizando la recta numéricaescrita.

El procedimiento, al realizarse connumerales escritos, en lugar de emple-ar cubos encajables, resulta bastantemás abstracto para la mayoría de loscompañeros. Varios niños dicen: «Yo nolo he entendido»; Aínvar añade: «¡Loexplica tan deprisa!» La estrategia de«poner 14 cubos, quitar 5, y contar losque quedan» es la más fácil de com-prender, la más cercana. Llama la aten-ción, por otro lado, la necesidad de


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reproducir la recta numérica, en lugarde utilizar la que ya está expuesta en elaula.

Quinta sesión

En la quinta sesión, se plantea el siguien-te problema: Pitutín tiene 15 bellotasmágicas y quiere repartirlas entre 5 cer-dos. ¿Cuántas bellotas le tocan a cadacerdo para que todos tengan las mis-mas?

Se trata de un problema de divisiónreparto. La sesión transcurre igual quelas sesiones anteriores y se emplean losmismos materiales. Los niños piden variasveces que se repita el enunciado. Sur-gen comentarios como: «Chupao» (Car-men) o «Vale, vale» (Diego) que dan lasensación de que los pequeños vancomprendiendo las normas del funcio-namiento de las sesiones de problemas.Necesitan saber bien los datos y qué tie-nen que hacer.

No todos los niños resuelven el proble-ma. Algunos dan respuestas absurdas(como 30 o 15) sin advertir que las mis-mas no tienen sentido en el contextodel problema. Otros indican que no seles ha ocurrido nada. Algunos, como Ill-ya, dan la solución correcta pero no soncapaces de explicar cómo han obteni-do la misma. Finalmente, algunos danla respuesta correcta acompañada deuna explicación satisfactoria.

Nicolás: Tres. Porque si no, a los otros cer-dos no les tocaría. Todos estos son lacomida de los cerdos (separandopara distinguir los cubos correspon-dientes a cada cerdo). En total, hayuno, dos, tres […] catorce y quince.Quince bellotas.

Beatriz: [Pidiendo aclaraciones para ase-gurarse de que entiende la estrate-gia] Hay 15 bellotas y… ¿Las has pues-to en grupitos de 3 para cada cerdo?

¿Esto es lo que le toca a un cerdo,esto a otro, esto a otro,... uno, dos,tres, cuatro y cinco cerdos?

Nicolás: Sí.Beatriz: [A los demás] Él dice que 5 cerdos

y 3 bellotas a cada cerdo. Salen entotal 15 bellotas y no sobran ni faltan.

Figura 13. Estrategia basada en elensayo y error.

Cristina: Tres. Lo he escrito en la pizarray lo he hecho en la recta numérica. Hebuscado primero el 15 y he contado tres(agrupa en la recta numérica 1, 2 y 3con la mano), tres (agrupa 4, 5 y 6), tres(agrupa 7, 8 y 9), tres (agrupa 10, 11 y 12)y tres (agrupa 13, 14 y 15) y así no mesobra ninguno.

Figura 14. Ensayo y error con la rectanumérica.


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Carmen: Tres. También en la rectanumérica. Como siempre como teníaque pensar cómo se escribe, eso lohe hecho con Julieta. Luego lo hepasado aquí y luego he ido otra vezaquí y he ido pensando (coge Multi-link). Y he ido contando. Primero cua-tro en cada, pero bueno, me sobra-ba uno porque me salía 16 y nadamás 4. Luego he intentado poner 3,no 2, 2, 2,... y me sobraban. He pues-to 3, 3 y me ha salido. (Carmen tieneseparados los cerdos y las bellotascon Multilink, arriba los cerdos y deba-jo las bellotas que le toca a cadauno. Contando los Multilink de arribale salen 5 cerdos y contando los deabajo salen 3 bellotas para cada cer-do y en total 15 bellotas) luego lo heapuntado aquí (en papel) para queno se me olvide.

Figura 15. Carmen representa lasbellotas, y también los cerdos.

Diego: He hecho 5 cerdos aquí. Aquítengo 15, pues 3 para cada uno.

Beatriz: Pero, ¿cómo lo has hecho?¿Uno, uno, uno o a ver si 3, 4, 2,...?

Diego: No, no. Lo he hecho... Los Multi-link son cerdos. Mira. Primero teníamenos. Me faltaban 3. No. Tres. Sí. Mefaltaban 3 y entonces vi... Puse 4 paracada cerdo y algunos se quedabansin comida. Claro, algunos con menoso con ninguna y entonces me ocu-rrió esto:

Diego resuelve el problema por ensayoy error. Al principio, reparte sólo 12 bello-tas entre los 5 cerdos dándoles, respec-tivamente: tres, tres, tres, dos y una bello-tas (figura 16, a la izquierda). La fila decinco cubos que aparecen arriba, lige-ramente separados, representa los cer-dos. Después, modifica el reparto dan-do a los cerdos, respectivamente:cuatro, tres, tres, dos y ninguna bellotas.En ese momento se da cuenta de queestá repartiendo sólo 12 bellotas en lugarde 15 y añade las tres que faltan. A con-tinuación, inicia otro tipo de reparto mássistemático: da primero una bellota acada cerdo y ve que le sobran bellotas.Sigue repartiendo una más, y le siguensobrando. Finalmente, da tres a cadacerdo y comprueba que no le sobra nin-guna (figura 16, a la derecha). Diegoha resuelto el problema por modeliza-ción directa: primero por ensayo y errory después empleando una estrategiade reparto más sistemática.

Figura 16. Otro ejemplo de ensayo y error en el reparto.

Nacho: Tres para 5 cerdos. A cada cer-do 3 porque así no sobran, porque siponiéramos [sic] 5 en cada cerdo,nos faltarían. Antes yo creía que tení-an que tener cada cerdo 2 ó 5 y hepensado en 3.

Beatriz: Pero no vale. Mira Diego, Car-men, Nico y Cris han llegado a la mis-ma solución y lo han hecho de mane-ras distintas y además lo han sabidoexplicar.

Nacho: Es que no lo sé. Es que me dabaun poco de «stress».


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María: ¿Qué es eso?Nacho: Que me ponía un poco nervioso.

Los niños votan que se deben dar tresbellotas para cada cerdo. Dado quedeben elegir una explicación para dar-le a Pitutín, votan también para elegirla que más les satisface. Las explicacio-nes que más les gustan son la de Cristi-na con 4 votos, la de Carmen con 3, lade Diego con 2 y la de Nico, con 1 voto.

Sexta sesión

En la sexta sesión de trabajo se planteael siguiente problema: Pitutín tenía 8patos en la granja y un día llegaron unoscuantos más. Desde entonces hay 14patos en la granja. ¿Cuántos patosvinieron más? Se trata de un problemade cambio creciente que tiene porincógnita la cantidad de cambio. Sudificultad estriba en que no se puedemodelizar fácilmente, pues tras repre-sentar la cantidad inicial, no se puedeañadir a esta la cantidad de cambio(como ocurre cuando la incógnita esla cantidad final) pues ésta es precisa-mente la incógnita.

Cristina: Seis. Y he usado la recta numé-rica. Estaba en catorce. ¿Eran cator-ce, no, Bea?

Beatriz: Pitutín tiene ocho y luego ca-torce.

Cristina: Estaba en catorce [Lo señalacon el dedo]. No, perdona. Estabaen ocho [señala el ocho y cuentadesde allí hasta catorce] y he hecho:uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis. Y asítiene catorce.

Beatriz: [A alguno que no estaba escu-chando] ¿Os habéis enterado lo queha hecho Cristina?

Éstos: No.Beatriz: A ver Cristina, repítelo por favor.

Estamos muy atentos. [Cristina lo repi-te.] ¿Lo entendéis? [Algunos niñosdicen que sí y otros que no.]

Carmen: No le he entendido nada. [Cris-tina lo repite, otra vez más.]

Figura 17. Uso de la recta numéricapara resolver el problema.

María utiliza una técnica especial paradistinguir los dos tipos de patos: los queya estaban, de los que vinieron volando(figura 18). Para los que vinieron volan-do, utiliza sólo un cubito de Multilink paracada pato; para los que ya estaban,utiliza dos cubitos unidos. Así, sólo tieneque añadir desde ocho hasta catorce,distinguiendo los que había antes de losque han llegado para contar los quehan venido (seis). Para distinguir los quehabía de los que han venido en estetipo de problemas, algunos niños utili-zan colores distintos para unos y otros o,simplemente, mantienen separados losdos grupos de objetos (Carpenter yotros, 1999).

Beatriz: ¿Cuántos tenía Pitutín?María: Ocho. He cogido más y los he

puesto encima de uno (de cada uno,se refiere. Pone un pato recién llega-do sobre otro que ya estaba). Deéste, de éste, de éste, de éste, deéste y de éste.

Beatriz: ¿Y por qué te has parado enseis?

María: Porque así me salían catorce(cuenta el conjunto total de patosque tiene y le da catorce).


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Figura 18. Los pájaros que estaban y los que vinieron volando.

Nacho ha estado intentando utilizar elbingo y no ha obtenido ninguna respues-ta satisfactoria. Durante toda la sesión,ha estado muy pendiente de las expli-caciones de sus compañeros y se ha idoenterando de todo lo que iban hacien-do, interviniendo e incluso corrigiéndolesen algunos casos. Durante todas lassesiones de resolución de problemas, fueel único en utilizar el bingo. Dado quehabía una libertad plena para utilizarunos materiales u otros, se le permitióintentarlo con este «material» sin comen-tarle nada. Da la impresión de que com-prende el problema pero que sólo lemotiva probar a resolverlo con un mate-rial novedoso. La mayoría de los niñoshan repetido con materiales que les hanresultado útiles a lo largo de las sesiones.En cambio, Nacho ha probado distintosmateriales: los dedos, la tabla 100, loscubos encajables, la pizarra, la rectanumérica, el bingo... Daba la sensaciónde que los problemas propuestos se lequedan pequeños y que Nacho procu-raba para sí nuevos retos intelectualescomo estrategia de auto-motivación.

Discusión y conclusiones

Comenzamos este apartado con algu-nos comentarios provocados por las

actuaciones de los pequeños. Aunquela teoría nos permite prever de formabastante ajustada cuáles van a ser suscomportamientos, siempre queda unapuerta abierta a la sorpresa. Para empe-zar, es importante reseñar la significa-ción de introducción en el proceso deresolución de los problemas de algunasmodificaciones de gran calado con res-pecto a los enfoques tradicionales. Lanecesidad de dar una respuesta y unaexplicación del procedimiento, prime-ro oralmente y después por escrito, o eluso de la votación para seleccionar elprocedimiento «oficial» dentro del gru-po, han dado lugar a cambios sustan-ciales y profundos en la actividad infan-til. Esta variante se introduce paraintentar sacar a los niños del egocen-trismo que todavía caracteriza algunasde sus actuaciones. Si los niños no hubie-ran estado «obligados» a dar una res-puesta común, no habrían escuchadotan atentamente la explicaciones delos demás. Seguramente, se hubieranlimitado a intentar resolver el problemay a dar una respuesta, fuese esta correc-ta o no. Esto se nota en las primerassesiones, en que los niños intentan darmás respuestas de compromiso, comopara «salir del paso». A medida que vancomprendiendo la dinámica del taller,se esfuerzan más en emitir respuestascorrectas; cuando no las consiguen,están más atentos a las explicacionesde los demás, para poder votar correc-tamente. La atención a las explicacio-nes de los compañeros requiere granesfuerzo para los niños de esta edad. Elcontenido de la discusión es lo suficien-temente abstracto para obligarles amantener una atención constante,mucho mayor que cuando conversanen la asamblea sobre dónde han idode vacaciones. Generalmente, en estasasambleas, cada uno cuenta «su histo-ria» y puede, si quiere, dejar de prestaratención a lo que cuentan los demás.Aunque a los cinco años los niños man-


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tienen más la atención, y son capacesde enfrascarse en largas discusiones, elcontenido tan complejo de las «conver-saciones matemáticas» que manteníanen esta ocasión les obligaba a un sobre-esfuerzo considerable. Los niños termi-naban la discusión contentos, pero can-sados. Era un gran esfuerzo quesuponemos que Pitutín merecía.

Figura 19. Sonia utiliza el dibujo paramodelizar el problema.

Algo que nos ha llamado la atención,en el desarrollo de la experiencia, esque ningún niño ha utilizado el dibujopara modelizar los problemas. Lospequeños de estas edades suelen dedi-car mucho tiempo al dibujo y éste cons-tituye para ellos un tipo de representa-ción muy cercana. Una posibleexplicación es que no consideraran eldibujo como una estrategia admisible.Aunque durante todo el proceso se insis-tió en que podían utilizar el material quequisieran, hubiera sido conveniente ani-marles explícitamente a resolver algúnproblema «dibujándolo». Para ilustrareste comentario, proponemos el ejem-plo de Sonia, una alumna de cincoaños, resolviendo (en una experienciaanterior) un problema de división-repar-to: «Tengo 15 caramelos y los quiero

repartir entre mis 3 hermanos. ¿Cuántospuedo dar a cada uno?»

Vemos como Sonia utiliza la estrategiade modelización directa de «reparto».Para ello, dibuja los 15 caramelos y a«sus tres hermanos». Después, vatachando los caramelos a medida quelos cambia de posición para adjudicar-los a alguno de los hermanos. Finalmen-te, cuenta el número de caramelos decada hermano para dar la solución(figura 19). Ciertamente, el uso del dibu-jo es un poderoso heurístico2 para laresolución de problemas. Es importanteque los pequeños se acostumbren des-de pequeños a este uso del dibujo yque, poco a poco, los dibujos emplea-dos para resolver problemas vayan pro-gresivamente esquematizándose. Así,los niños irán aprendiendo que no esnecesario dibujar «todos los detalles»,sino que basta representar dos o trescaracterísticas relevantes de la situa-ción a fin de resolver el problema.

También resulta sorprendente con quéflexibilidad son capaces los niños de rein-terpretar un problema de cambio, conla cantidad de cambio desconocida,como problema de combinación conuna parte desconocida, y cómo soncapaces de resolver estos problemas apli-cando la estrategia de «quitar». De acuer-do con nuestras referencias teóricas,esperamos que esta destreza surja másadelante. Sin embargo, algunos alumnosla desarrollan antes y, todavía en la Edu-cación Infantil, ofrecen muestras llamati-vas de su capacidad de abstracción.

Otro de los puntos que merece la penaresaltar es el uso de la recta numérica


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2 Los heurísticos son estrategias generales de reso-lución de problemas, independientes del conteni-do del problema. En general, hacer un dibujo de unproblema es algo que ayuda en la búsqueda desoluciones.

(que tienen los alumnos expuesta en laclase o que elaboran escribiendo enpapel o en la pizarra) para resolver pro-blemas. Se sabe que el paso de lasestrategias de modelización directa alas de conteo supone un gran dominiodel conteo, obligando a veces a losniños a un doble conteo (Carpenter yotros, 1999), muy difícil a los cinco años.Por ejemplo, en los problemas de cam-bio creciente con la cantidad de cam-bio desconocida (por ejemplo: «Tengo3 caramelos, me dan algunos más yahora tengo 8. ¿Cuántos me handado?»), algunos niños cuentan desdeel 3 hasta el 8 a medida que van levan-tando dedos. Después, cuentan losdedos que han levantado y dicen: «cin-co». La ejecución de esta estrategiasupone que los niños sepan contar apartir de 3, sin empezar el conteo desdeel uno, y que sean capaces de un dobleconteo. En efecto, al efectuar el proce-dimiento, parece como si se dijera: «Ten-go 3. Añado 1 y tengo 4; añado 2 y ten-go 5; añado 3 y tengo 6; añado 4 ytengo 7; añado 5 y tengo 8». Un conteose hace verbalmente: 3. 4, 5, 6, 7 y 8;otro conteo se hace con los dedos (ensilencio): añado 1, 2, 3, 4 y 5. El uso de larecta numérica evita este doble con-teo. Podemos situarnos en el númerotres y, simplemente, contar los números(cinco) que hay hasta el ocho. La rec-ta numérica puede así considerarsecomo un auxiliar de gran valor en estasedades, hasta que los niños son capa-

ces de construir la recta numérica men-tal y alcanzar el dominio de las estrate-gias de conteo más sofisticadas.

Finalmente, en cuanto a la organizacióny el funcionamiento del taller, dos ele-mentos han sido los que han supuestoun añadido de valor fundamental en laexperiencia: la necesidad de elaboraruna respuesta por escrito, y el hecho deque la respuesta debiera ser grupal, noindividual. Más allá de los efectos posi-tivos de que los niños se iniciasen en laescritura de números y sentencias numé-ricas, o de que presentasen sus solucio-nes a los compañeros, debemos seña-lar una idea fundamental: Todo el tallerestuvo orientado a promover la cons-trucción social del conocimiento, den-tro de la pequeña sociedad del grupo.Los aspectos individuales y grupales delaprendizaje se han articulado en unapropuesta en la que, una comunidadde pequeños matemáticos, ha desarro-llado una genuina actividad matemáti-ca. Pensamos que esta experiencia, quese ofrece para la reflexión de las perso-nas responsables de la Educación deniños y niñas de Educación Infantil,posee el valor de integrar adecuada-mente las ideas de los métodos de pro-yectos con la necesidad de que elaprendizaje de las matemáticas puedaser sistemático, a la vez que significativo,y responda a las necesidades matemá-ticas de la vida diaria de los pequeños.

Dirección de contacto:

Carlos de Castro Hernández y Beatriz Escorial GonzálezCentro Superior de Estudios Universitarios La SalleC/ La Salle, 1028023 MADRIDE-mail: [email protected] y [email protected]


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Referencias

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resolución de problemas aritméticos verbales en la educación infantil

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