redemat - m©todos num©ricos e estat­sticos 1 m©todos num©ricos e...

Download REDEMAT - M©todos Num©ricos e Estat­sticos 1 M©todos Num©ricos e Estat­sticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 7: M©todos num©ricos para equa§µes

Post on 17-Apr-2015

105 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Slide 1
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 1 Mtodos Numricos e Estatsticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 7: Mtodos numricos para equaes diferenciais 1 a ordem Passos mltiplos 2 a ordem
  • Slide 2
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 2 Equaes diferenciais de 1 a ordem Mtodos numricos so usados quando no possvel obter uma soluo geral, ou a forma dela to complicada que seu uso no prtico. Uma equao diferencial de 1 a ordem tem a forma, e em geral podemos escrev-la como: Problema do valor inicial - uma equao diferencial - uma condio que deve ser satisfeita pela soluo
  • Slide 3
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 3 Os mtodos que estudaremos partem da idia de que o espao da varivel independente (x) pode ser discretizado, formando uma rede x 0 x 1 = x 0 +h x 2 = x 1 +h....... h o passo. O valor da funo em cada ponto da rede calculado a partir de expanses em srie de Taylor.
  • Slide 4
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 4 Mtodo de Euler ou Euler-Cauchy O valor de y para um passo h dado pela expanso: Como em geral h pequeno, suprimimos os termos de ordem O(h 2 ): h 2, h 3,..... Resultando na aproximao
  • Slide 5
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 5 O que resulta no processo iterativo A omisso dos termos de ordem superior a 2 causa erros de truncagem (que podem ocorrer junto a erros de arredondamento).
  • Slide 6
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 6 Exemplo: passo h=0,2 O erro no (em geral) conhecido. Podemos estim-lo utilizando um passo h=2h
  • Slide 7
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 7 Mtodo de Euler melhorado (2 a ordem) Mtodo chamado de preditor-corretor.
  • Slide 8
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 8 Exemplo: o mesmo visto anteriormente
  • Slide 9
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 9 Mtodo de Runge-Kutta (4 a ordem) Se f(x,y) no depender de y, o mtodo reduz-se regra de integrao de Simpson
  • Slide 10
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 10 Comparao entre os mtodos
  • Slide 11
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 11 Qual o valor mais adequado para o passo h? Se a funo f varia muito com y, ento h deve ser pequeno, para evitar erros de truncagem. Em geral, adota-se a proposta de que h h/2 se K 0,05 h 2h se 0,01 K h no muda se 0,05 K 0,01 Estimativa de erro:
  • Slide 12
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 12 Mtodos para eq. dif. de segunda ordem P.V.I. Novamente o problema obter os valores de y n e y n para a seqncia x 1 = x 0 + h; x 2 = x 0 + 2h;... Comeamos mais uma vez pelas expanses em srie de Taylor da funo e de sua derivada:
  • Slide 13
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 13 O mtodo mais simples consiste em desprezar os termos em derivadas de ordem y ou superiores 1 o passo: 2 o passo:
  • Slide 14
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 14 Runge-Kutta-Nystrm Valores iniciais: x 0, y 0, y 0 passo h Sada
  • Slide 15
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 15 Equaes diferenciais parciais Uma equao dita quasilinear se for linear nas derivadas mais altas:
  • Slide 16
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 16 Equaes de diferenas para Eq. de Laplace e Poisson Laplace Poisson Vamos ver o caso mais simples em duas dimenses (x e y): (x-h,y)(x,y)(x+h,y) h kkkk (x,y-k) (x,y+k)
  • Slide 17
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 17 (x-h,y)(x,y)(x+h,y) h kkkk (x,y-k) (x,y+k)
  • Slide 18
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 18 Para as derivadas segundas, desprezando os termos O(h 4 ), temos Juntando as aproximaes das derivadas primeiras e segundas, fazendo h=k, obtemos a equao de diferenas correspondente equao de Poisson:
  • Slide 19
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 19 Para f(x,y) = 0 temos a equao de Laplace. h chamado de o comprimento da malha (mesh size). Equaes elpticas - em geral - devem levar em conta problemas de contorno (condies previamente definidas numa dada fronteira - espacial, por exemplo). Casos mais comuns: Dirichlet: se u definido na fronteira C Neumann: se u n = u/ n (derivada na direo normal) definida na fronteira. Para resolver o problema, necessrio criar uma malha.: ns da rede ou da malha (P ij ) Fronteira C
  • Slide 20
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 20 Exemplo Uma placa de 12 cm de lado tem suas bordas mantidas s temperaturas mostradas na figura. Quais os valores das temperaturas no interior da placa? Ser escolhido um comprimento h = 4 cm. 12 x y u=0 u=100 R u=0 u=100 P 02 P 10 P 20 P 01 P 11 P 21 P 12
  • Slide 21
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 21 A equao de transferncia de calor u t = c 2 (u xx +u yy ) Para o regime estacionrio u t = 0, a equao se reduz de Laplace u xx +u yy = 0 Para cada ponto da malha, temos a seguinte equao: u i+1,j + u i-1,j + u i,j+1 + u i,j-1 -4 u i,j = 0 P 11 : - 4u 11 + u 21 + u 01 + u 12 + u 10 = 0 - 4u 11 + u 21 + 100 + u 12 + 100 = 0 - 4u 11 + u 21 + u 12 = - 200 u i+1,j u i-1,j u i,j+1 u i,j-1 u i,j
  • Slide 22
  • REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos 22 - 4u 11 + u 21 + u 12 = -200 u 11 - 4u 21 + u 22 = -200 u 11 - 4u 12 + u 22 = -100 u 21 +u 12 - 4u 22 = -100 Dando como resultados u 11 = u 21 = 87,5 (88,1) u 12 = u 22 = 62,5 (61,9)