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Métodos Numéricos e Estatísticos. Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 7 : Métodos numéricos para equações diferenciais 1 a ordem Passos múltiplos 2 a ordem. Equações diferenciais de 1 a ordem. - PowerPoint PPT Presentation

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  • Mtodos Numricos e EstatsticosProf. Marcone Jamilson Freitas Souza

    Aula 7: Mtodos numricos para equaes diferenciais 1a ordem Passos mltiplos 2a ordem

    REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos

  • Equaes diferenciais de 1a ordemMtodos numricos so usados quando no possvel obter uma soluo geral, ou a forma dela to complicada que seu uso no prtico.

    Uma equao diferencial de 1a ordem tem a forma,e em geral podemos escrev-la como:Problema do valor inicial- uma equao diferencial- uma condio que deve ser satisfeita pela soluo

    REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos

  • Os mtodos que estudaremos partem da idia de que o espao da varivel independente (x) pode ser discretizado, formando uma redex0 x1= x0+h x2= x1+h.......

    h o passo .O valor da funo em cada ponto da rede calculado a partir de expanses em srie de Taylor.

    REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos

  • Mtodo de Euler ou Euler-CauchyO valor de y para um passo h dadopela expanso:

    Como em geral h pequeno, suprimimos ostermos de ordem O(h2): h2, h3, .....

    Resultando na aproximao

    REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos

  • O que resulta no processo iterativoA omisso dos termos de ordemsuperior a 2 causa erros de truncagem(que podem ocorrer junto a erros dearredondamento).

    REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos

  • Exemplo:

    passo h=0,2

    O erro no (em geral) conhecido. Podemos estim-loutilizando um passo h=2h

    REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos

    Plan1

    nExatoerro

    00.0000.0000.0000.0000.000

    10.2000.0000.0400.0210.021

    20.4000.0400.0880.0920.052

    30.6000.1280.1460.2220.094

    40.8000.2740.2150.4260.152

    51.0000.4880.7180.230

    Plan2

    Plan3

    Plan1

    n

    00.0000.0000.0000.0000.000

    10.4000.0000.1600.0400.040

    20.8000.1600.3840.2740.114

    31.2000.544

    Plan2

    Plan3

  • Mtodo de Euler melhorado (2a ordem)Mtodo chamado de preditor-corretor.

    REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos

  • Exemplo:o mesmo visto anteriormente

    REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos

    Plan1

    nExatoerro

    00.0000.00000.02000.00000.0000

    10.2000.02000.06840.02140.0014

    20.4000.08840.12740.09180.0034

    30.6000.21580.19950.22210.0063

    40.8000.41530.28740.42550.0102

    51.0000.70270.39460.71830.0156

    Plan2

    Plan3

  • Mtodo de Runge-Kutta (4a ordem)Se f(x,y) no dependerde y, o mtodo reduz-se regra de integraode Simpson

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  • Comparao entre os mtodos

    REDEMAT - Mtodos Numricos e Estatsticos

    Plan1

    nExatoerro

    00.0000.0000000.0214000.0000000.000000

    10.2000.0214000.0704180.0214030.000003

    20.4000.0918180.1302880.0918250.000007

    30.6000.2221060.2034140.2221190.000012

    40.8000.4255210.2927300.4255410.000020

    51.0000.7182510.4018210.7182820.000031

    Plan2

    Plan3

    Plan1

    nExatoerro

    00.0000.0000000.0214000.0000000.000000

    10.2000.0214000.0704180.0214030.000003

    20.4000.0918180.1302880.0918250.000007

    30.6000.2221060.2034140.2221190.000012

    40.8000.4255210.2927300.4255410.000020

    51.0000.7182510.4018210.7182820.000031

    Erro

    EulerEuler melhoradoRunge-Kutta

    0.0000.0000000.0000.00000.000000

    0.2000.0214030.0210.00140.000003

    0.4000.0918250.0520.00340.000007

    0.6000.2221190.0940.00630.000012

    0.8000.4255410.1520.01020.000020

    1.0000.7182820.2290.01560.000031

    Plan2

    Plan3

  • Qual o valor mais adequado para o passo h?Se a funo f varia muito com y, ento h deve ser pequeno, para evitar erros de truncagem. Em geral, adota-se a proposta de queh h/2 se K 0,05h 2h se 0,01 K h no muda se 0,05 K 0,01Estimativa de erro:

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  • Mtodos para eq. dif. de segunda ordemP.V.I.Novamente o problema obter os valores de yn e yn para a seqncia x1 = x0 + h; x2 = x0 + 2h; ...Comeamos mais uma vez pelas expansesem srie de Taylor da funo e de sua derivada:

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  • O mtodo mais simples consiste em desprezaros termos em derivadas de ordem y ou superiores1o passo:2o passo:

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  • Runge-Kutta-NystrmValores iniciais:x0, y0, y0passo hSada

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  • Equaes diferenciais parciaisUma equao dita quasilinear se forlinear nas derivadas mais altas:

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  • Equaes de diferenas para Eq. de Laplace e PoissonLaplace

    PoissonVamos ver o caso mais simples em duas dimenses (x e y):

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  • (x-h,y)(x,y)(x+h,y)hhk

    k(x,y-k)(x,y+k)

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  • Para as derivadas segundas, desprezando os termos O(h4),temosJuntando as aproximaes das derivadas primeiras e segundas,fazendo h=k, obtemos a equao de diferenas correspondente equao de Poisson:

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  • Para f(x,y) = 0 temos a equao de Laplace. h chamado de o comprimento da malha (mesh size).Equaes elpticas - em geral - devem levar em conta problemas de contorno (condies previamente definidas numa dada fronteira - espacial, por exemplo). Casos mais comuns:

    Dirichlet: se u definido na fronteira C

    Neumann: se un=u/n (derivada na direo normal) definida na fronteira.

    Para resolver o problema, necessriocriar uma malha.: ns da rede ou da malha (Pij)Fronteira C

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  • ExemploUma placa de 12 cm de lado tem suas bordas mantidas s temperaturas mostradas na figura. Quais os valores das temperaturas no interior da placa? Ser escolhido um comprimento h = 4 cm.12xy12u=0u=100u=100u=100Ru=0u=100u=100P02P10P20P01P11P21P12

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  • A equao de transferncia de calor ut = c2(uxx+uyy)Para o regime estacionrio ut = 0, aequao se reduz de Laplace uxx+uyy = 0Para cada ponto da malha, temos a seguinte equao:ui+1,j + ui-1,j + ui,j+1 + ui,j-1 -4 ui,j = 0P11: - 4u11 + u21 + u01 + u12 + u10 = 0 - 4u11 + u21 + 100 + u12 + 100 = 0 - 4u11 + u21 + u12 = - 200ui+1,jui-1,jui,j+1ui,j-1ui,j

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  • - 4u11+ u21+ u12 = -200 u11- 4u21 + u22 = -200 u11- 4u12 + u22 = -100 u21 +u12- 4u22 = -100

    Dando como resultados

    u11 = u21 = 87,5 (88,1)

    u12 = u22 = 62,5 (61,9)

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