razred 6 - prirucnik

7/26/2019 Razred 6 - Prirucnik

http://slidepdf.com/reader/full/razred-6-prirucnik 1/85

MATEMATIKA 6

PRIRUČ

NIK ZA NASTAVNIKE



Poštovane kolegice i kolege,

Pred Vama je udžbenički komplet za matematiku šestog razreda devetogodišnje osnovne

škole. Sastavljen je od udžbenika, radne sveske sa zadacima za uvježbavanje i

vodiča/ priručnika za nastavnike i rađen je u skladu sa nastavnim planom i programom za 6.

razred devetogodišnje osnovne škole.

Udžbenički komplet koji se nalazi pred vama nije baziran na mehaničkom, suhoparnom

izlaganju matematičkih sadržaja, pravila i operacija. Glavni cilj ovakvog pristupa je želja za

promjenom uloge učenika u nastavi. Učenik nije samo pasivan slušalac, nego aktivan

sukreator vlastitog učenja i podučavanja. Na ovaj način se kod njega nastoji razvijati

mišljenje, jer je cijeli koncept usmjeren ka postupnom oblikovanju misaonog procesa, čime se

podstiču i jačaju sposobnosti uma. „Sposobnosti uma“, po Pijažeu i Bruneru, „treba

upotrebljavati da bi se one razvijale, jer logika nije urođena, nego se neprestano gradi, zato

prvi zadatak nastave je pravilno razvijanje mišljenja“.

Novi nastavni plan program za matematiku u devetogodišnjoj osnovnoj školi zato uvodi

postupke koji formiraju različite oblike mišljenja i predlaže aktivnosti koje zahtijevajuneposredno interaktivno umsko surađ ivanje uč enika. Nastavnik ne prenosi matematičke

sadržaje, nego posreduje između učenika i koncepata i pojmova, tako reći, spremnih za

upotrebu. Kako kaže Delors (1998): “Nastavnici moraju prilagoditi svoj odnos sa učenicima,

zamijeniti ulogu soliste s onom pratećeg vokala (nisu više jedini izvor informacija nego

pomažu učenicima tražiti, organizirati i upravljati znanjima) – voditi ih, a ne oblikovati”.

Zato ovako zamišljen koncept ne podrazumijeva jednostavni transfer znanja, kojeg učenicima

treba utisnuti u svijest, kao u tabula rasa, nego njegovu aktivnu participaciju u kreiranju

postupaka i realizacije nastavnih sadržaja, jer ne treba zanemariti da učenici u tom uzrastu

ponekad imaju neku svoju logiku za pojedine matematičke operacije. Nastavnik treba

omogućiti da se ti različiti koncepti prodiskutiraju i koncenzusom odaberu oni najprihvatljivijiza sve sudionike.

Namjena novog plana i programa za matematike, također, nije da učenici uč e matematiku,

nego da je otkrivaju, o tome razmišljali i nadograđuju svoje znanje na bazi vlastitih spoznaja.

Osobenost matematičkog mišljenja je rješavanje problema. Ne rijetko su matematičke teorije i

koncepti stvarani u situacijama u kojima je trebalo riješiti problem, gdje do tadašnja sredstva i

načini rješavanja, nisu mogla pomoći. Imperativ je poticati učenike na kreativnost u različitim

postupcima i aktivnostima spoznavanja pomoću vlastitog razmišljanja i konceptualizacije.

Temeljna karakteristika nastave matematike je pravilno rješavanje problema. Zato trebaosnovne matematičke pojmove izvoditi iz konkretnih problemskih situacija za koje će učenici

pokazati interes i znatiželju za traženje njihovih rješenja. Problemi se pojavljuju kao potreba,

intelektualni interes ili znatiželja, pa motivaciju shvatamo kao suštinski faktor procesa učenja

i podučavanja matematike, jer rješavanje problema omogućava i podstiče razumijevanje

različitih matematičkih koncepata i sadržaja.

Učenici će nastojati da razumiju problem, ako budu njime zahvaćeni i koji bi, rješavajući te

probleme iz tih situacija izlazili sa ushićenjem uznemireni i zadovoljni. Time će oni

matematiku doživljavati kao nešto što je korisno za život. Zato novi koncept nastave

matematike uvodi sklad između rješavanja konkretnih situacija iz života i učeničke inicijative

i spremnosti za postavljanje pitanja i traženje odgovora.



Matematika nije neko unaprijed zadano i sklopljeno znanje, nego usađeno aktivno

razmišljanje, zato je zadatak nastavnika, ne da prenosi matematičke sadržaje i znanje, nego da

kod učenika stalno podstiču i ohrabruju njihovo zanimanje i radoznalost, te spoznavanje

potreba za matematikom.

Najprije, nastavnik improvizira problemsku situaciju, a zatim vodi i podržava učenike u

njihovom vlastitom nastojanju za traženje mogućih rješenja. Nastavnik nikada ne ograničava

učenike u njihovoj samostalnosti u traženju vlastitih puteva do rješenja, što možda ne sadrži

formativnu stranu matematičkog obrazovanja. Ali ako učenik ne rješava problem sam,

zasigurno se njegove sposobnosti mišljenja neće razvijati, niti će se ostvariti razumijevanje,

pa ni usvajanje matematičkih pojmova i koncepata.

Pošto se u drugoj trijadi devetogodišnje osnovne škole pojavljuju konkretne stvari i konkretne

operacije, nastava se ne smije svesti na apstraktnu ravan, nego na konkretnu ravan, prije svega

ona mora biti očigledna. Kao što znamo, učenici, prilikom usvajanja matematičkih pojmova,

prolaze tri ravni: konkretnu, slikovitu i ravan sa simbolima.

U šestom razredu je, još uvijek, vrlo važna konkretno-iskustvena ravan, pa je to jedna od

obaveznih stepenica u razvoju kognitivnih procesa, zato se učenici moraju uklju

čiti uoblikovanje matematičkih pojmova uz spremnost domišljate upotrebe različitih didaktičkih

sredstava.

Glavne nastavne metode su, prije svih, iskustveno učenje, posmatranje i objašnjavanje

(tumačenje). Pomoću njih će učenici u šestom razredu moći usvojiti različite matematičke

sadržaje: skupove, relacije i preslikavanja, aritmetiku, sadržaje iz geometrije i algebre.

Pri tome bi nastavnici trebali poštovati različite sposobnosti kod učenika, podstičući ih na

razvijanje pozitivnog odnosa prema matematici i povjerenja u vlastite matematičke

sposobnosti. Zbog velikih razlika među učeničkim sposobnostima, u nastavi matematike treba

posebnu pažnju posvetiti individualizaciji i diferencijaciji postupaka i zahtjeva.

Gore navedeno smo nastojali ispoštovati pri pisanju, kako ovog priručnika, tako i udžbenika i

radne sveske sa vježbama za utvrđivanje.

U priručniku nudimo šablonizirane primjere za pojedine nastavne jedinice. Najprije je

naveden nastavni cilj, koji bi učenici trebali dostići. Zatim se tamo, gdje trebaju, navode

didaktička sredstva. Kao ključne riječi su navedene osnovne riječi ili pojmovi s kojima se

učenici upoznaju, a koje trebaju usvojiti.

Svaka nastavna jedinica (pri tome nije uvijek bila namijenjena za jedan školski sat, nego je

moguće sadržaje izvesti za dva ili više časova, zavisno od individualnog pristupa u planiranjusvakog nastavnika, te od sastava djece u odjeljenju) je podijeljena u tri dijela i to na uvod ili

motivaciju, obradu te ponavljanje i utvrđivanje.

U utvrđivanju je predviđeno više primjera aktivnosti, odnosno zadataka. Naravno, nije

neophodno da nastavnik obradi sve navedene aktivnosti, odnosno da obradi sve predložene

zadatke. To bi bilo preambiciozno od autora. Kolegama, nastavnicima se ostavlja na volju da

ih dopune svojim planiranim aktivnostima, koje su sami kreirali.

Na kraju su još metodičko-didaktičke smjernice, sa kojima nastavnicima skrećemo pažnju na

šta moraju biti obazrivi, da bi učenici pravilno formirali osnovne matematičke pojmove i

koncepte. Za svaki dio iz matematičkih sadržaja je moguće naći zadatke ili u udžbeniku



(uključujući one na kraju za utvrđivanje) ili u radnoj svesci, kojima se mogu potkrijepiti i

utvrditi pređeno gradivo.

U priručniku su još prilozi sa raznim slikama i skicama, koje nastavnik može fotokopirati na

papir, odnosno foliju za upotrebu u obradi određenih nastavnih jedinica.

Udžbenik je napisan, prije svega, za učenike, zato smo na početku udžbenika predstavili

glavne junake ove knjige: Selmu i Jacu, te Niku i Mirzu, koji će skupa sa nama savladavati

predviđene matematičke sadržaje.

U udžbeniku smo pokušali sve nove pojmove predstaviti sa problemskim situacijama, koje su

učenicima bliske i poznate, jer su uzete sa ilustracijama iz učeničkog miljea. U svakoj

nastavnoj jedinici je napisan nastavni cilj, kao informacija namijenjena, prije svega

nastavnicima, ali mogla biti od pomoći i roditeljima.

Na nekim stranicama se pojavljuju nagovještaji, koji su dati u ruke Jace, Selme, Nike i Mirze,

kako bi ih učenici sa većim zanimanjem pročitali. Ovi nagovještaji, koji podsjećaju na strip,

pomažu učenicima pri shvatanju matematičkih pojmova, tako da ih podsjećaju na neka

matematička znanja ili vještine, koje oni ve

ć posjeduju, a koja se u obra

đivanim sadržajimasamo dublje proučavaju. Ova tehnika omogućava junacima udžbenika da predlažu učenicima

svoje strategije računanja koje su prihvatljive od većine učenika.

Radnu svesku sa vježbama za utvrđivanje smo pripremali kao komplement udžbenika, jer se

tu mogu naći primjeri i zadaci kojih u udžbeniku nema, a koji su dovoljni za kvalitetno

utvrđivanje i usvajanje matematičkih sadržaja od strane učenika, odnosno, za postizanje

zadanih ciljeva i zato je nastavnici upotrebljavaju u nastavnim satima koji su namjeneni

grupnom radu i fleksibilnoj diferencijaciji. Koristeći to, nastavnici će postići da svi učenici

budu uspješni, svako u zavisnosti od svojih sposobnosti, mogućnosti, te afiniteta i interesa.

Pristupi koji su prezentirani u ovom kompletu podrazumijevaju puno otvorenih pitanja koja setiču uvođenja novina u odnosu na ustaljeni tradicionalni pristup. Namjera nam je da

predočimo učenicima, roditeljima, a naročito nastavnicima, neke novije pristupe i poglede,

koji mogu zadovoljiti zahtjeve iz filozofije koncepcije osnovnog devetogodišnjeg

obrazovanja.

Ona podrazumijeva da se svi resursi trebaju iskoristiti kako bi se ostvarila teza: dijete – uč enik

u centru aktivnosti (pažnje). Kao ljudi od matematičke i nastavničke struke, bili bi smo veoma

zadovoljni, kada bi naš rad rezultirao većim zadovoljstvom učenika i nastavnika i kada bi

učenici intenzivnije shvaćali i doživljavali matematiku kao prijateljicu i nekoga ko im

omogućava ljepši i ugodniji život.

Autori



PRIJEDLOG PLANA REALIZACIJE PROGRAMSKIHSADRŽAJA IZ MATEMATIKE ZA VI RAZRED OSNOVNE

DEVETOGODIŠNJE OSNOVNE ŠKOLE



MATEMATIKAVI RAZRED 4 sata sedmično

140 sati godišnjePODRUČJA CILJEVI OČEKIVANI REZULTATI

Z n

a

n j e

Sticanje znanja:- poznavanje i upotrebu

matematičkih simbola,- usvajanje pojma skupa, unije,

presjeka, razlike i direktnog

produkta skupova,

- usvajanje pojma relacije i

funkcije,

- poznavanje koordinatne prave

i koordinatne ravnine,

- usvajanje različitih uglova,

jedinica za mjerenje uglova,

mjerenje uglomjerom,

- računanje mjernim brojevimaza kutove ( ):,,, ⋅−+ ,

- grafičkog prenošenja,

uspoređivanja, sabiranja i

oduzimanja uglova,

- usvajanje procedura četiri

osnovne računske operacije u

skupu N0 i Q+,

- usvajanje znanja o

višecifrenim brojevima,

razlomcima (decimalnim

brojevima) i njihovoj strukturi,

- o jednačinama i

nejednačinama s nepoznatom

"na jednom mjestu",

- o rješavanju aritmetičkih

(brojevnih) izraza,

- upotreba brojeva u različitim

kontekstima, u drugim

predmetima i svakodnevnom

životu,

- usvajanje postupaka za četiriračunske operacije s razlomcima

i decimalnim brojevima,

- računanje postotka,

- računanje aritmetičke sredine

dva ili više brojeva,

- računanje pomoću džepnog

računala.

Učenik će znati:- matematičkim simbolima

zapisati dva ili više zadanihskupova,

- prepoznati relaciju, odnosnofunkciju,

- nacrtati zadanu ugao, kao i

već nacrtani izmjeriti

uglomjerom,

- znat će računski sabirati,

oduzimati, množiti i dijeliti

uglove,

-

grafički sabirati, oduzimati imnožiti uglove,

- prepoznati, razumjeti i

pravilno koristiti

matematičke simbole,

- prepoznati brojeve prve

milijarde i brojeve skupa N0,

njihov položaj na brojnom

polupravcu i njihovu

strukturu ,

- sa sigurnošću obavljati

računanja u skupu N0

rješavati matematičke izraze,

- modelirati matematičke

izraze prema zadanim

(tekstualnim) uslovima,

- prepoznati i rješavati zadatke

date riječima (i problemske

zadatke),

- procijeniti i provjeriti tačnost

rezultata,

-

obavljati sve četiri računskeoperacije u skupu Q

+,

- rješavat će jednostavne

jednadžbe i nejednadžbe u

Q+,

- naučit će izračunavati

postotak od zadanog broja,

kao i aritmetičku sredinu za

dva ili više brojeva,

- računati pomoću džepnog

računala.



S p o s o b n o s t i i v j e š t i n e

Razvijanje sposobnosti ivještina:- poređenja,

- nizanja,

- slijeđenja niza uputa,

- prostornog organiziranja i

orijentiranja,

- vizualizacije i vizuelnog grupiranja,- procjenjivanja,

- prepoznavanja obrasca,

- induktivnog mišljenja,

- induktivnog i analognog

zaključivanja,

- različitih načina matematičkog

izražavanja i komuniciranja,

- matematičkog jezika,

- prikupljanja, selektiranja i

korištenja informacija

Učenik će moći:- promatrajući otkrivati nova

svojstva u okruženju i logički ih

povezivati,

- nakon obavljenog zapažanja

izvoditi zaključke,

- raditi po određenom planu,

- pripremati se za određenonapredovanje,

- koristiti pomagala za crtanje

uglova, paralelnih i okomitih

pravaca,

...

- matematičkim jezikom moći

izražavati opće ideje

V r i j e d n o s t i i s t a v o v i

Razvijanje spoznaja odruštvenim vrijednostima:- razvijanje argumentacije u

branjenju ličnih stavova i stavova

drugih,

- o važnosti donošenja sudova na

osnovu provjerenih činjenica i

izgrađenih kriterija,

- rada, posebno kolektivnog(timskog) rada,

- pozitivnim crtama osobnosti,

- važnost radovanja osobnom

uspjehu, kao i uspjehu drugih,

- ocjenjivanje i samoocjenjivanje na

osnovu objektivnog i konstruktivnog

vrednovanja,

- samopouzdanja i samoaktualizacije,

- uloge kritičkog mišljenja i

zaključivanja u donošenju različitih

odluka.

Učenik će:- pokazivati više zanimanja za

timski rad i socijalizaciju,

- naučiti da sluša argumentaciju i

kritički preispituje osobne stavove

i stavove drugih,

- učenik će naučiti prepoznavati

unutrašnje vlastito razmišljanje i

vlastito prosuđivanje,

- poboljšati ličnu "listu" motiva,

emocija i doživljaja,

- pokazati više altruizma

(čovjekoljubivosti, spremnosti da

se pomogne drugima), pokazati

više senzibiliteta prema matematici

i kritičkom mišljenju uopće,

- prepoznati važnost matematičkih

znanja u rješavanju problema i

sveprisutnosti matematike u

univerzumu.



Pregled programskih sadržaja – Tematski plan nastavnog gradivaiz matematike za VI razred devetogodišnje osnovne škole

Tema 1. Skupovi, relacije i preslikavanje - 25 časova

Tema 2. Kružnica, krug, ugao (kut) - 15 časova

Tema 3. Prirodni brojevi - 15 časova

Tema 4. Djeljivost u skupu N0 - 15 časova

Tema 5. Razlomci - 60 časova

Pismene zadaće (u svakom polugodištu po 2pismene zadaće sa ispravkom i analizom) - 8 časova

Informativni časovi - 2 časa

Ukupno 140 časova



Orjentacioni raspored programskih sadržaja nastave matematike za VI raškole

MJESEC

I BROJČASOVA

CILJEVI TEMA I TEMATSKE JEDINICE

S E

P T

E

M

B

A

R

1 6 č a s o v a

Obrazovni: učenici trebaju usvojiti skup

i elemente skupa kao osnovni pojam;

uređen par, jednakost uređenih parova i

drugu koordinatu uređenog para; trebaju

definirati relaciju, odnosno funkciju;

trebaju znati nacrtati tačke na

koordinatnom pravcu i u koordinatnom

sistemu u ravni.

Vaspitni (odgojni): razvijanje osjećaja za

urednost, preglednost, preciznost i

istrajnost u radu.

Funkcionalni: usvajanje elementarne

matematičke kulture neophodne za

shvatanje uloge i uspješne primjene

matematike u različitim oblastima

djelatnosti čovjeka

TEMA 1: SKUPOVI, RALACIJE IPRESLIKAVANJE

TEMATSKE JEDINICE

1) Skupovi, primjeri, označavanje i

zadavanje

2)

Brojnost i jednakost skupova; prazanskup i podskup

3) Presjek, unija i razlika

4) Uređeni par; Dekartov proizvod

skupova

5) Geometrijske figure kao skupovi

tačaka

6)

Relacije: pojam i graf relacije

7) Relacija ekvivalencije i poretka

1

2

1

2

2

2

2

2

3

3

3

4

2



O

K

T

O

B

A

R

1 6 č a s o v a

Obrazovni: učenici trebaju znati koji su

osnovni pojmovi u geometriji (tačka,

prava, ravan, prostor i skup), a koji su

izvedeni pojmovi (duž, izlomljena linija,

mnogougao, kružnica, krug, središnji

ugao…); naučiti jedinice za uglove.

Stepene povezati sa stepenima iz

geografije radi povezivanja gradiva; treba

usvojiti crtanje, mjerenje, uspoređivanje i

računske operacije sa uglovima

Vaspitni (odgojni): razvijati osjećaj za

urednost pri crtanju, za posmatranje

raznih uglova i njihovih veličina, razvijati

odgovornost za samostalno obavljanje

zadataka, izgraditi pozitivne osobine

ličnosti

Funkcionalni: učenik mora usvojiti i

razviti matematički jezik, mora naučiti

definirati pojmove koji ga okružuju a

osnovne pojmove razumjeti, uočiti

sličnost između algebarskih i

geometrijskih zadataka

8) Funkcije ( preslikavanja)

9) Injekcija; sirjekcija i bijekcija

10) Koordinatna poluprava i koordinatni

sistem u ravni

TEMA 2. KRUŽNICA, KRUG; UGAO(KUT)

TEMATSKE JEDINICE

1) Izlomljena linija, mnogougao

(mnogokut), kružnica i krug

2) Prava i kružnica i dvije kružnice

3) Ugao – elementi i obilježavanje

4) Konveksni i nekonveksni uglovi;

vrste uglova

5) Središnji ugao, kružni luk i tetiva

6) Prenošenje i uspoređivanje uglova

4

5

5

5

2

6

6

7

7

7



N O

V E

M

B

A R

1 6

č a s o v a

Obrazovni: Učenici trebaju savladati sve

računske operacije; insistirati na

skraćenom dijeljenju i množenju; koristiti

olakšice. Vježbati zadatke sa više

računskih operacija i zagrada, uvježbati

red računskih operacija, rješavati zadatke

sa općim brojevima i bez zadatih

vrijednosti općeg broja, koristiti svojstvaračunskih operacija.

Vaspitni: razvijati misaonost i logičnost

kroz rješavanje različitih zadataka,

razvijanje prirodnosti i prirodnih

logičnosti u radu sa prirodnim brojevima,

razvijanje i jačanje samopouzdanja u

vlastitu sposobnost učenja i zaključivanja

Funkcionalni: Svjesno preuzimanje

odgovornosti za urađeno. Pozitivan odnos

prema radu, kao i volja za rad i za

iskazivanje pozitivnih rezultata rada.

7) Prenošenje i uspoređivanje uglova

8) Grafično sabiranje i oduzimanje

uglova

9)

Vrste uglova: puni, opruženi, tupi,pravi, oštri, nula-ugao. Susjedni i

usporedni.

10) Mjerenje uglova – jedinice (stepen,

minuta, sekunda); uglomjer

11) Računske operacije sa mjernim

brojevima za uglove

12) Komplementni i suplementni uglovi

TEMA 3. PRIRODNI BROJEVI

TEMATSKE JEDINICE

1) Skup N i N0

2) Sabiranje i oduzimanje prirodnih

brojeva i osobine (svojstva)

7

7

7

7

2

8

2

8

8

9

9

2



D E

C

E

M

B

A

R

1 8 č a s o v a

Obrazovni: učenici trebaju znati rastaviti

složen broj na proste faktore, trebaju znati

prepoznati brojeve koji su djeljivi sa: 2, 3,

4, 5, 6, 9, 10, 15...; trebaju znati odrediti

najmanji zajednički sadržalac kao i

najveći zajednički djelilac. Moraju

razlikovati proste od složenih brojeva kao

i relativno proste brojeve.

Vaspitni (odgojni): razvijanje logičkog i

stvaralačkog mišljenja; razvijanje

maštovitosti i sposobnosti percepcije

bitnog od nebitnog, razumijevanje

materije i problema.

Funkcionalni: adaptivnost i fleksibilnost

u prihvaćanju promjena, interes za

rješavanje problema i zadataka timskim

radom.

3) Množenje i dijeljenje prirodnih

brojeva i osobine (svojstva)

4) Izrazi sa promjenljivim

5) Pridruživanje brojeva po datom

pravilu (brojna vrijednost izraza)

TEMA 4: DJELJIVOST U N0

TEMATSKE JEDINICE

1) Dijeljenje u skupu N0

2) Faktori i sadržioci prirodnog broja

3) Djeljivost zbira, razlike i proizvoda

4) Djeljivost dekadskim jedinicama i

brojevima 2 i 5

5) Djeljivost sa 4 i 25

6) Djeljivost sa 3, 9, 6 i 15

7) Prosti i složeni brojevi

8) Rastavljanje složenih brojeva na

proste faktore

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1



J A

N

U A

R

4 č a s a

9) Zajednički djelioci brojeva. Najveći

zajednički djelilac (mjera)

1

10) Zajednički sadržalac i najmanji

zajednički sadržalac

1



Obrazovni: učenik usvaja pojam cijelog,

polovine, trećine... kao i zapis istih;

crtežima pokazuje zadane brojeve i čita

nacrtane dijelove kako bi zapamtio zapis.

Preko mjernih brojeva: površine, dužine i

vremena i odgovarajućih zadatakaodređuje razlomke izražene manjim

odgovarajućim jedinicama, radi računske

operacije sa razlomcima, rješava različite

jednačine i nejednačine pomoću osobina

računskih operacija, računa postotak

(procenat), rješava razmjeru kao

jednakost dvaju razlomaka (primjena na

nastavi geografije, izračunavanje

udaljenosti na karti)

Vaspitni (odgojni): razvijanjeinduktivnog mišljenja, procjenjivanja,

različiti načini matematičkog izražavanja

i komuniciranja korištenjem

matematičkog jezika. Konvergentna i

divergentna produkcija ideja.

Funkcionalni: usvajanje pojmova cjeline

i jedinke i opće odnose između nečega i

kolektiviteta (cjeline), odgovarajuće

tekstualne zadatke izražavati

matematičkim jezikom i pomoću

jednačina i nejednačina

TEMA 5. RAZLOMCI

TEMATSKE JEDINICE

1) Pojam razlomka. Brojnik i nazivnik

2) Razlomci veći i manji od 1

3) Proširivanje i skraćivanje razlomaka

4) Uspoređivanje razlomaka

5) Razmjera (omjer)

6) Decimalni i postotni zapis razlomka,

postotak (procenat)

7) Pridruživanje tačaka brojnog

polupravca razlomcima

1

21

1

2

1

1

1

1

1

F E B R U A R

1 6

č a s o v a



8) Sabiranje i oduzimanje razlomaka

istih nazivnika

9) Sabiranje i oduzimanje razlomaka

različitih nazivnika

10) Osobine sabiranja razlomaka

11) Sabiranje i oduzimanje decimalnih

brojeva

12) Jednačine sa sabiranjem i

oduzimanjem razlomaka

13) Nejednačine sa sabiranjem i

oduzimanjem

1

1

1

1

1

1 M A

R T

1 7 č a s o v a



A

P

R

I L

1 7 č a s o v a

14) Množenje razlomka prirodnim

brojem i razlomak kao dio prirodnog

broja

15) Množenje razlomka razlomkom i

osobine množenja

16) Množenje decimalnih brojeva

dekadskim jedinicama

17) Množenje decimalnog broja

prirodnim brojem i decimalnog broja

decimalnim brojem

18) Dijeljenje razlomka prirodnim

brojem i dijeljenje razlomka

razlomkom

19) Dijeljenje decimalnih brojeva

dekadskim jedinicama

20) Dijeljenje decimalnog broja

prirodnim i decimalnim brojem

17

17

18

18

18

18

19



M

A

J

1 6 č a s o v a

21) Periodični decimalni brojevi

22) Aritmetička sredina datih brojeva

23) Brojni izrazi sa zagradama

24) Izrazi sa promjenljivim veličinama

25) Jednačine sa množenjem i

dijeljenjem

26) Nejednačine sa množenjem i

dijeljenjem

19

19

19

19

19

20



J U N I

4 č a s a

1) Džepno računalo i računanje pomoću

njega

2) Problemski zadaci za vrhunske

matematičare

20

23



PRIRUČNIK



SKUPOVI, RELACIJE, PRESLIKAVANJE

SKUPOVI. PREDSTAVLJANJE, BROJNOST I JEDNAKOST. PODSKUP

Nastavni cilj:

Učenik je usvojio pojam skupa, i njegovo različito

predstavljanje. Učenici znaju pojmove brojnosti

skupa i podskupa, te slove pod kojima su dva

skupa jednaka. Učenici znaju pojam praznog skupa

sa njegovim praktičnim primjenama.

udžbenik

str. 10

udžbenik

str. 12

udžbenik

str. 14

UVOD (MOTIVACIJA)

• Pojam skupa

Učenici posmatraju ilustracije na stranici 10 u udžbeniku. Slobodno daju svoje komentare nanjih, obraćajući pažnju na elemente pojedinih skupova. Nastavnik/ca ih potiče da pronađu još

nekoliko primjera iz neposrednog okruženja.

• Brojnost i jednakost skupa i podskup.

Učenici posmatraju svoj razred, kao skup učenika. Prebrojavajući ga dolazi se do pojma

brojnost skupa, a ako se uzmu imena učenika koja počinju sa slovom „A“, dolazi se do

zaključka da je taj skup, podskup sadržan u početnom skupu svih učenika u razredu.

OBRADA

a. Posmatrajući ilustracije na stranicama 10 i 11 učenici pokušavaju definirati pojam

skupa. Uz pomoć nastavnika, dolaze do zaključka da je pojam skupa - osnovni pojam.

Nastavnik/ca bira primjere skupova pogodnih za ilustraciju različitih tipova

predstavljanja. Ovdje se učenicima predstavlja Venov dijagram kao veoma pogodan

način predstavljanja skupova. Nastavnik pokazuje različite načine predstavljanja

skupova, a onda to učenici rade u četveročlanim grupama (zadatak 2 i 4 sa stranice 14

u udžbeniku).

b. Analiziranjem primjera skupova iz okruženja, dolazi se do pojmova prebrojivih i neprebrojivih skupova. Učenici posmatraju plakat sa imenima učenika iz svogodjeljenja. Zajedno zaključuju da se skup R učenika iz njihovog razreda prebrojiv i

određuju n(R).

c. Koristeći ilustracije sa stranice 17 učenici usvajaju pojam praznog skupa. Koristeći

ilustracije na stranici 17 ili 18, lako će se doći do pojma podskupa datog skupa. Uočiti

da je svaki skup i prazan skup, podskup tog skupa. Koristeći grupni rad, treba

uvježbati pronalaženje svih podskupova datih skupava (na stranici 18).



udžbenik

str. 15

udžbenik

str. 17

udžbenik

str. 18

Ključne riječi:

Skup, element skupa, Venov dijagram, opisnopredstavljanje skupova, brojnost i jednakostskupova, prazan skup, podskup skupa.

UTVRĐIVANJE I PROVJERAVANJE

Nastavnik formira četveročlane grupe i dijeli im radne listiće sa zadacima kojima se utvrđuje

pređeno gradivo. Na kraju predstavnici grupa referišu rezultate i zapisuju na tabli. O

eventualnim različitim rezultatima se vodi rasprava i analiziraju se pristupi i uočavaju

eventualne greške.

• Rješavamo zadatke iz udžbenika na stranici 14 i 20 i u radnoj svesci na stranici 4 i5.

DIDAKTIČKO-METODIČKE SMJERNICE

Učenici su tokom ranijeg školovanja razvrstavali elemente u odnosu na jednu, odnosno dvije

osobine. Razvrstavanje je udruživanje elemenata po određenim osobinama i rezultat toga je

skup. Učenici trebaju usvojiti pojmove elementa (člana) skupa, podskupa, te bi trebali znati

oblikovati i tumačiti Venov dijagram i ostale načine predstavljanja skupova.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________




PRESJEK, UNIJA I RAZLIKA SKUPOVA

Nastavni cilj:

Učenik je usvojio pojam presjeka, unije i razlike

skupova. Izgradio je vještine baratanja sa tim

operacijama.

udžbenik

str. 21

udžbenik

str. 22

udžbenik

str. 23

UVOD (MOTIVACIJA)

• Presjek skupova

Učenici posmatraju i analiziraju ilustracije na stranici 21 u udžbeniku iz kojih se nazire pojampresjeka skupova, koji se temelji na osobini da se njegovi elementi nalaze i u jednom i u

drugom skupu, istovremeno.

• Unija skupova

Analizirajući sliku sa stranice 23 ili udruživanjem skupa dječaka i skupa djevojčica iz

razreda, učenici dolaze do spoznaje potrebe uvođenja pojma unije skupova. Uočavaju razliku

operacija unija skupova i sabiranje (da li je moguće sabirati kruške i jabuke, odnosno da li je

moguće naći njihovu uniju).

•

Razlika skupova

Slično, pokazati sličnost operacija oduzimanja brojeva i razlike skupova.

OBRADA

a. Posmatrajući ilustracije i zadatke na stranici 22 učenici dolaze do pojma presjeka

skupova. Zajedno sa nastavnikom, oni formuliraju definiciju i zapisuju je u svoje

sveske. Koristeći zadatke 1, 2 i 3 na stranici 22, organizirati grupni rad u

četveročlanim grupama sa po jednim zadatkom.O rezultatima, predstavnici grupa izvještavaju ostale učenike, te zapisuju na tabli. O

eventualim neslaganjima u rezultatima kod istih zadataka, vodi se diskusija i istraga o

eventualnim greškama. Na pogodnim primjerima nastavnik navodi učenike da

isprobaju osobine komutativnosti i asocijativnosti operacije presjeka skupova.

b. Koristeći primjer na strani 24 učenici provjeravaju rezultat i primjenjuju zakone

komutacije i asocijacije. Nastavnik ukratko izriče tvrdnje o spomenutim

zakonitostima. Kao i u prethodnom, koristeći iste grupe, rješavaju se zadaci na stranici

25 i na isti način diskutiraju rješenja i rješavaju eventualne nesuglasice.



udžbenik

str. 24

udžbenik

str. 26

udžbenik

str. 27

Ključne riječi:

Skup, element skupa, Venov dijagram, opisnopredstavljanje skupova, brojnost i jednakostskupova, prazan skup, podskup skupa.

c. Koristeći osobine da se elementi skupa sadrže u prvom, a ne sadrže u drugom skupu,

uvesti učenike u pojam razlike skupova i odmah uočiti da ne vrijedi zakoni komutacije

i asocijacije. O tome nastavnik ukratko sastavlja tvrdnje, koje učenici zapisuju i

naglašavaju nekom drugom bojom. Kao i u prva dva slučaja, formirane grupe rade

zadatke na strani 27 i nakon toga diskutiraju o rješenjima i pronalaze kompromis u

rješavanju spornih situacija.


Nastavnik formira četveročlane grupe i dijeli im radne listiće sa zadacima kojima se utvrđuje

pređeno gradivo. Na kraju predstavnici grupa referišu rezultate i zapisuju na tabli. Oeventualnim različitim rezultatima se vodi rasprava i analiziraju pristupi i uočavaju eventualne

greške.

• Rješavamo zadatke iz radne sveske na stranici 6.


Učenici usvajaju pojam presjeka, unije i razlike skupova uz naglašavanje predstavljanja na

Venovom dijagramu.

Tokom časa više puta ponoviti šta je presjek, unije i razlika skupova, te naglasiti da su upresjeku dva skupa oni elementi koji se nalaze i u jednom i u drugom skupu, istovremeno, da

su u uniji dva skupa oni elementi koji se nalaze u jednom ili drugom, te da su u razlici dva

skupa oni elementi koji se nalaze u prvom, a ne nalaze u drugom skupu.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________




UREĐENI PAR. DEKARTOV PROIZVOD SKUPOVA.

Nastavni cilj:

Učenici znaju razliku između para i uređenog para

elemenata. Znaju to povezati sa praktičnim

primjerima. Učenici znaju pojam Dekartovog

proizvoda skupova, te načine njegovog

predstavljanja.

udžbenik

str. 28

udžbenik

str. 29

udžbenik

str. 30

UVOD (MOTIVACIJA)

• Uređeni par elemenata

Podstaknuti ilustracijama na stranici 28 učenici pronalaze u prirodi parove i među njima,

uređene parove.

• Dekartov proizvod

Predstaviti situaciju šahovskog meča između dvije ekipe, gdje svaki igrač prve ekipe mora

igrati sa svakim igračem druge. Ovu situaciju povezati sa skupom svih uređenih parova,

kojima je prvi element iz prvog, a drugi element iz drugog skupa.

OBRADA

a. Uz pomoć ilustracija na stranicama 28 i 29 dovesti učenike u situaciju da znaju

razlikovati uređene parove od obič nih parova elemenata. Koristeći rad u parovima,

doći do više primjera uređenih parova. Jedan učenik će rezultate tog rada zapisivati na

tabli. Svi zajedno diskutiraju rješenja i zajednički rješavaju eventualne nedoumice. Uz

pomoć nastavnika se dolazi do formulacije o jednakosti dva uređena para, te upoznaje

načini predstavljanja uređenog para elemenata.

b. Iz praktičnog problema određivanja parova igranja šahovskog meča između dvije

ekipe, dovesti do pojma skupa svih uređenih parova, kod kojih je prvi element iz

prvog skupa, a drugi element iz drugog, tj. Dekartovog proizvoda. Nastavnik ćepozvati nekog učenika da na tabli predstavi skupove A i B sa po 5 elemenata –

početnim slovom prezimena igrača. Svi zajedno će odrediti sve parove, kojima je prvi

element iz prvog, a drugi element iz drugog skupa. U prihvaćanju ovog pojma,

učenicima može pomoći i primjer na stanici 31, koji može još poslužiti kod brojnosti

Dekartovog proizvoda, u zavisnosti od brojnosti početnih skupova. Ovaj zaključak,

nastavnik zapisuje na tabli, a učenici ga naglašavaju drugom bojom u svojim

sveskama.



udžbenik

str. 31

udžbenik

str. 32

Ključne riječi:

Par elemenata, uređeni par, Dekartov proizvod skupova,predstavljanje Dekartovog produkta skupova.

c. Koristeći drugi primjer na stranici 31, nastavnik predstavlja dva načina prikazivanja

Dekartovog proizvoda skupova. Zajedno sa učenicima se dolazi do pojma Dekartov

kvadrat, kao u primjeru na stranici 32.


Kroz formiranje četveročlanih grupa i podjelu radnih listića sa po jednim zadatkom sa stranice

32, učenici uvježbavaju formiranje Dekartovog proizvoda i njegovog predstavljanja. Na kraju

predstavnici grupa referišu rezultate i zapisuju na tabli. O eventualnim različitim rezultatima

istih zadataka se vodi rasprava i analiziraju eventualni različiti pristupi te uo

čavaju eventualnegreške.

• Rješavamo zadatke iz radne sveske na stranici 7.


Učenici usvajaju pojam uređenog para, znaju ga zapisivati i šematski predstaviti.

Kroz uvježbavanje na temu Dekartov proizvod, uvijek ponavljati definiciju uređenog para.

Uočiti povezanost Dekartovog proizvoda sa praktičnim situacijama. Insistirati na modeliranju

uz pomoć praktičnih primjera, a tek onda generalizirati i saopštavati i zapisivati tvrdnje.

Dekartov proizvod uvijek vezati sa nekim načinom njegovog predstavljanja.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________




RELACIJE. RELACIJA EKVIVALENCIJE I PORETKA.

Nastavni cilj:

Učenici znaju uočiti relaciju i predstaviti je na

razne načine, znaju njene osobine, te kada je neka

relacija – relacija ekvivalencije, a kada poretka.

udžbenik

str. 39

udžbenik

str. 40

udžbenik

str. 41

UVOD (MOTIVACIJA)

• Relacija i njeno predstavljanje

Nastavnik ukratko predstavlja učenicima svijet relacija, odnosno praktičnim primjerima iz

okruženja, zajedno konstatira da su relacije svugdje oko nas, npr.: veza između učenika ibrojeva u dnevniku, učenika i ocjena iz zadnjeg kontrolnog rada itd. Učenici uočavaju da

moraju postojati dva skupa, čiji će elementi biti u određenoj relaciji, a uz pomoć nastavnika

oni to povezuju sa Dekartovim proizvodom. Uočavaju značaj Venovog dijagrama i mrežastog

načina predstavljanja.

• Relacija ekvivalencije i relacija poretka

Koristeći ilustraciju i primjer na stranici 43 uoči se praktičnost zadane relacije. Učenici će

shvatiti suštinu te relacije, a uz pomoć nastavnika, kao i njene osobine: refleksivnosti,

simetričnosti i tranzitivnosti, koji vrijede u prirodi kao zakoni.

OBRADA

a. Uz pomoć ilustracija na stranici 39 pokazati učenicima praktičan primjer relacije i

različite načine njenog predstavljanja. Uz pomoć nastavnika učenici usvajaju

matematičku relaciju sa stranice 41.

Dovesti učenike u situaciju da znaju razlikovati uređene parove od obič nih parova i

predstavljaju je šematski i kao skup uređenih parova. Nakon toga, koristeći zadatke sa

stranice 42, učenici u grupama po 4 rješavaju zadatak, predstavnici prezentiraju

rješenja, a o eventualnim različitim pristupima i rezultatima se vodi rasprava i postiže

koncenzus.

b. Koristeći primjer sa stranice 43 nastavnik zajedno sa učenicima formulira tvrdnje o

osobinama relacija: RST i antisimetričnost, sa adekvatnim zapisivanjem pomoću

matematičkih simbola. Na primjerima sa stranice 45, učenici, uz pomoć nastavnika,

uvježbavaju ispitivanje osobina danih relacija.

c. Nastavnik, na osnovu usvojenih pojmova, definira relacije ekvivalencije i poretka, te

potpunog poretka.



udžbenik

str. 43

udžbenik

str. 44

udžbenik

str. 46

Ključne riječi:

Relacija, graf relacije, refleksivnost, simetričnost,antisimetričnost i tranzitivnost. Relacijeekvivalencije i relacija poretka.


Koristeći zadatke sa stranice 47 organizuje se grupni rad po 4 učenika, na uobičajeni način

rada, sa razmjenom iskustava između različitih grupa. O eventualnim različitim iskustvima

vodi se rasprava do postizanja koncenzusa o pravilnim rješenjima.

• Rješavamo zadatke iz radne sveske na stranici 11, 12 i 13.


Učenici usvajaju pojam relacije na osnovu niza praktičnih primjera iz okruženja. Dati poticaja

učenicima da pronalaze sebi prilagodljive primjere, bez ustručavanja.

Kroz rad na primjerima, stalno dovoditi u vezu relacije i Dekartovog proizvoda posmatranih

skupova.

Ne treba insistirati da učenici znaju definicije i tvrdnje, nego ih poticati da nađu primjer, na

kome mogu objasniti osobine relacije, te odrediti da li je ona relacija, ekvivalencije, poretkaili potpunog poretka.

Učenicima ove dobi je teško simbolima zapisivati zaključke u postupcima ispitivanja osobina

relacija. Dovoljno je da znaju opisati postojanje navedenih osobina.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________




FUNKCIJE. VRSTE FUNKCIJA. KOORDINANTNI SISTEM U RAVNI.

Nastavni cilj:

Učenici shvataju pojam funkcije i znaju je

predstaviti na razne načine; shvataju pojmove

injekcije, sirjekcije i bijekcije, te znaju prikazati

tačke u koordinantnom sistemu.

udžbenik

str. 48

udžbenik

str. 49

udžbenik

str. 51

UVOD (MOTIVACIJA)

• Funkcije (preslikavanja)

Nastavnik navodi učenike da daju primjere funkcija iz njihovog okruženja, bez udubljivanje u

korektnost izrečenih primjera.

• Injekcija, sirjekcija i bijekcija.

Koristeći praktičnu situaciju, kao npr. na stranici 52, učenici će shvatiti suštinu vrsta

preslikavanja.

OBRADA

a.

Uz pomoć ilustracija na stranici 48 pokazati učenicima praktičnost pridruživanja.Pokazati sličnost funkcije sa relacijom, te objasniti u čemu je razlika. Nastavnik

ukratko formulira potrebne stavove oko funkcija, kao što je to na stanici 49. On treba

pažljivo uvesti funkciju zapisanu formulom, navodeći nekoliko preslikavanja

određenih tačaka, te formiranjem tabele sa vrijednostima promjenjive i vrijednostima

slika.

b. Koristeći primjer 1 iz stranice 51, pozvati učenika da na tabli zajedno s nastavnikom

predstavi funkciju f(x)=x+2 tabelarno ili kao skup uređenih parova.

c. Koristeći primjere sa stranica 52 i 53, nastavnik oprezno uvodi pojam injekcije,

sirjekcije i bijekcije. Ukratko se zapisuje definicije ovih pojmova.

d. Nastavnik uvodi pojam koordinatnog sistema u ravni, dovodeći to u vezu sa mrežnim

načinom prikazivanja relacija. Koristeći primjer sa stranice 54, nastavnik zajedno sa

učenicima unosi u ravan određen broj tačaka. Ističući važnost koordinatnog sistema za

budući rad u matematici i životu, nastavnik ukratko izriče difiniciju koordinatnog

sistema u ravni i ističe Dekarta kao najzaslužnijeg za njegovo uvođenje u matematici.

e. Nastavnik postavlja zadatak iz primjera na stranici 56. Nakon kraćeg vremena on

poziva učenika da zadatak riješi na tabli.

Nakon toga pomoću grupnog rada, uvježbava se predstavljanje funkcija u koordinatni sistem,

na uobičajen način za grupni rad, akcentirajući razmjenu stečenih iskustava.



udžbenik

str. 52

udžbenik

str. 54

udžbenik

str. 55

Ključne riječi:



Koristeći zadatke sa stranice 56 (udžbenik) i 14 – 17 (radne sveska) nastavnik organizira

grupni rad po 4 učenika, na uobičajeni način rada, sa razmjenom iskustava između različitih

grupa. O eventualnim različitim iskustvima vodi se rasprava koja dovodi do prihvatljivih

rješenja.


Učenici usvajaju pojam pridruživanja i funkcije izme

đu dva skupa. Znaju šta je domena ikodomena. Znaju pronaći primjere iz praktičnih situacija, te odrediti prirodu i vrstu

preslikavanja.

Održavati princip postupnosti i kauzalnosti kroz povezanost preslikavanja i relacija.

Nije potrebno insistirati da učenici znaju ispisati definicije i tvrdnje, jer za neke od njih to

pričinjava poteškoće. Bitnije je gajiti razumijevanje i ispravan stav o funkcijama,

predstavljanju, vrstama te koristima od funkcija.

Bitno je da učenici prihvate Dekartov koordinatni sistem kao nešto što je korisno. Dovesti u

vezu Koordinatni sistem sa koordinatama na geografskim kartama.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



KRUŽNICA. KRUG. UGAO.

IZLOMLJENA LINIJA. KRUŽNICA I KRUG. PRAVA I KRUŽNICA.ODNOS DVIJU KRUŽNICA.

Nastavni cilj:

Učenici shvataju pojam mnogougaone linije i

mnogougla (poligona). Učenici znaju konstruirati

kružnicu danog poluprečnika, znaju razlikovati

krug od kružnice. Znaju odrediti u kom su odnosu

prava i kružnica, kao i međusobni odnos dviju

kružnica.

udžbenik

str. 58

udžbenik

str. 59

udžbenik

str. 60

UVOD (MOTIVACIJA)

•

Izlomljena linija. Mnogougao (poligon).Pomoću štapića učenici formiraju razne izlomljene linije, a onda i zatvorene izlomljene linije.

Zapisuju ih u sveske, pomoću geometrijskog pribora. Moguće je da učenici sami izvedu

definiciju izlomljene linije i mnogougla.

• Krug i kružnica.

Nastavnik iznosi problem radnika za uređenje parkova oko formiranja zasada ruža u lijehama

u obliku krugova. Učenici iznose ideje kako da pomognu radniku da uspješno uradi posao. Uz

pomoć nastavnika oni dolaze do definicije kružnice i kruga.

• Prava i kružnica. Odnos dvije kružnice.

Učenici iznose poklopce od galona u kružnom obliku i štap. Na upit nastavnika u kom odnosu

mogu biti poklopac (krug) i štap (prava), učenici, nakon isprobavanja, odgovaraju na koje su

situacije naišli. O tome pojedinačno (ili kao predstavnici grupe) obavještavaju ostale u razredu

i na kraju se pravi zajednički zaključak. Slično se radi samo sa dva poklopca od galona ili

nečeg drugog u kružnom obliku.

OBRADA

a.

Nakon uvoda, a uz pomoć ilustracija na stranici 58 i 59 učenici dolaze do pojmaizlomljena linija, zatvorena linija i mnogougla. Uz pomoć učenika, nastavnik

formulira definicije i učenici ih zapisuju u sveske. Grupnim radom (po 4 učenika)

mogu se rješavati zadaci formiranja pomoću štapića određeni mnogouglova (trougao,

četverougao, petougao itd.). O tome se vode zabilješke u sveskama i razmjenjuju

rezultati nakon završetka grupnog rada.

b. Koristeći vrtlarov problem i skice na stranici 58 učenici dolaze do pojma kružnice, i

uočavaju razliku između kružnice i kruga. Jedan učenik crta kružnicu na tabli sa

zadatim poluprečnikom, koristeći geometrijski pribor. Nakon toga učenici u parovima

crtaju kružnice zadanih poluprečnika.



udžbenik

str. 61

udžbenik

str. 62

udžbenik

str. 65

Ključne riječi:


c.

Koristeći zaključke iz uvoda, koji se tiču odnosa između kružnice i prave, učenici uz

monitoring nastavnika dolaze do zaključka kao na stranici 62, te ih zapisuju u svoje

sveske. To je prilika da se definira tangenta, sekanta, te tetiva i dijametar ili prečnik

kružnice i kružni luk. Sve definicije trebaju biti popraćene odgovarajućim crtežima sa

adekvatnim oznakama. Sve odnose između kružnice i prave posmatrati kroz operacije

u skupovima tačaka na pravoj i kružnici.

d. Nakon zaključaka iz uvoda, nastavnik navodi učenike na zaključak na stranici 65, te ih

zapisuje na tabli uz odgovarajuće crteže. I ovdje se kružnice posmatraju kao skupovi

tačaka i razni odnosi kružnica se definiraju pomoću operacija među skupovima tih

tačaka.


Koristeći zadatke sa stranice 64 i 66 (udžbenik) i 36 – 37 (radna sveska), nastavnik organizira

grupni rad po 4 učenika, na uobičajeni način, sa razmjenom iskustava između različitih grupa.

O eventualnim različitim iskustvima vodi se rasprava koja dovodi do prihvatljivih rješenja za

sve učenike i nastavnika.


Učenici usvajaju pojam izlomljene linije, te kako se dolazi do zatvorene izlomljene linije tj.do mnogougla. Treba respektirati učeničke stavove iako ne budu potpuno matematički tačne.

Razgovorom doći do usaglašavanja stavova.

Stalno održavati vezu sa pređenim gradivom, npr. posmatrajući prave i kružnice, kao skupove

tačaka, te vršeći operacije među tim skupovima.

Primjerenije je tražiti da učenici znaju konkretizirati problematiku kruga, te odnosa sa pravom

i drugim krugovima u praksi nego da izgovaraju suhoparne definicije i tvrdnje.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________




UGAO. VRSTE UGLOVA.

Nastavni cilj:

Učenici usvojili pojam ugla (kuta). Razumiju

pojmove: vrh, krak, ivice (rubovi) i unutrašnjost

ugla. Znaju vrste uglova i poznaju više načina

obilježavanja uglova. Znaju šta je centralni ugao,

luk i tetiva.

udžbenik

str. 67

udžbenik

str. 68

udžbenik

str. 70

UVOD (MOTIVACIJA)

• Ugao. Elementi ugla

Zajedno sa likovima iz udžbenika obnove se pojmovi ugla, poluprave, prave i osobine vezane

za uglove, a koji su učenici učili u 5. razredu. Ponove se elementi i poznati načini

obilježavanja uglova.

• Vrsta uglova.

Učenici, na osnovu skica na stranici 70, prave razliku između konveksnih i nekonveksnih

uglova, što je osnova za uvođenje pojmova oštrog, pravog, opruženog, tupog i udubljenog

ugla. Koristeći skice na stranici 72, učenici mogu doći do saznanja o centralnim uglovima,

luku i tetivi.

OBRADA

a. Koristeći ilustraciju na stranicama 67 i 68, učenici slične uglove crtaju u svoje sveske,

boje ih odgovarajućim bojama, utvrđuju šta je unutrašnjost, šta vanjska oblast, te

uočavaju glavni elementi ugla (vrh i kraci). Nastavnik uvodi sve vrste obilježavanja

uglova. Učenici koriste zadatke na stranici 22 radne sveske te popunjavaju tabele.

b. Koristeći ilustracije na stranici 71, učenici se upoznaju sa svim vrstama uglova i

njihovim osobinama. Koristeći zadatak 6 na stanici 23 (radna sveska), učenici

precrtavaju uglove i tabelu u svoje sveske. Zatim se dijele u četveročlane grupe i

nakon diskusije unutar grupe popunjavaju tabelu. Slijedi izvještavanje predstavnika

grupa i usaglašavanje, nakon eventualnih različitih pogleda.

c. Nastavnik dovodi u vezu uglove i krug, te postavlja situaciju da se vrh ugla poklopi sa

središtem kruga. Uočava se veza veličine centralnih uglova i pripadajućih tetiva i

lukova. Nastavnik/ca ukratko zapisuje odgovarajuće tvrdnje i definicije, nakon njihove

provjere. Zatim se rješava grupno (po 4 člana) zadatak br. 2 na stranici 73 udžbenika.



udžbenik

str. 71

udžbenik

str. 72

udžbenik

str. 73

Ključne riječi:

Ugao, unutrašnjost ugla, oštri, pravi, opruženi,tupi, udubljeni nulti i puni ugao. Centralni ugao,tetiva i luk.


Koristeći zadatke sa stranice 69, 71 i 73 (udžbenik), te i 22 i 23 (radna sveska), nastavnik

organizira grupni rad po 4 učenika, na uobičajeni način rada, sa razmjenom iskustava između

različitih grupa, gdje se nakon urađenih zadataka, o eventualnim različitim iskustvima vodi

rasprava o različitim pristupima i pravi dogovor koji će važiti za sve.


Učenici se stalno potiču na ponavljanje o pojmovima: krak, vrh, unutrašnja i vanjska oblast

ugla, centralni ugao, tetive i lukovi itd.

Nastavnik stalno prati da li učenici pravilno upotrebljavaju obilježavanje uglova.

Nastavnik ima od papira izrezane sve vrste uglova, koje učenici mogu koristiti pri rješavanju

zadataka.

Nastavnik svaki put provjerava rad učenika i odmah, zajedno sa njima, rješava nastale

probleme.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________




PRENOŠENJE I UPOREĐIVANJE UGLOVA. SUSJEDNI, UPOREDNI I UNAKRSNIUGLOVI. GRAFIČKO SABIRANJE I ODUZIMANJE UGLOVA.

Nastavni cilj:

Učenici znaju prenijeti zadani ugao i uspoređivati

ih po veličini, znaju odrediti susjedne, usporedne i

unakrsne uglove i odnose među njima, operacije

sabiranja i oduzimanja pomoću geometrijskog

pribora.

udžbenik

str. 74

udžbenik

str. 75

UVOD (MOTIVACIJA)

• Prenošenje ugla i uspoređivanje uglova

Uspoređivanje uglova je zgodno započeti sa uspoređivanjem „isječenih uglova“ od

raznobojnih papira. Zaključuju: ako unutrašnja oblast jednog ugla leži u istoj drugog, onda jeon manji od donjeg ugla.

Isječene uglove uspoređuju po veličini. Situacija se, zatim, prenosi na tablu.

• Susjedni, unakrsni i usporedni uglovi

Nastavnik/ca pokazuje učenicima, skice na stranici 76. Oni konstatiraju glavne osobine koje

imaju usporedni, susjedni i unakrsni uglovi.

• Grafičko sabiranje i oduzimanje uglova

Nastavnik crta na tabli dva oštra i dva tupa ugla i zamoli učenike da ih pravilno obilježe.Zatim, pred njih postavlja problem - da saberu dva oštra ugla, a onda da od jednog tupog,

oduzmu jedan oštri ugao. Ovu materiju treba povezati sa jednakosti dva centralna ugla i

prenošenjem uglova.

OBRADA

a. Koristeći ilustraciju na stranici 74, nastavnik, zajedno sa učenicima radi prenošenje

uglova, koristeći lenjir i šestar. Zatim se radi u grupama po 4 učenika na rješavanju

drugog primjera na stranici 75. Nastavnik prati rad grupa i priskače u pomoć onima

kojima je ona potrebna.

b. Koristeći ilustraciju na stranici 76, učenici crtaju slike u svoje sveske i zapisuju

osnovne informacije koje im daje nastavnika, a koje govore o odnosu usporednih,

susjedni i unakrsnih uglova.

c. Na osnovu uputa u skicama na stranici 77, nastavnik traži od učenika prijedloge za

sabiranje (oduzimanje) uglova. Nakon toga rade zajedno jedan primjer sabiranja i

jedan primjer oduzimanja uglova.



udžbenik

str. 76

udžbenik

str. 77

Ključne riječi:

Prenošenje uglova, uspoređivanje uglova poveličini, susjedni, usporedni i unakrsni uglovi,sabiranje i oduzimanje uglova pomoću šestara ilenjira.


Koristeći zadatke na stranici 77 (udžbenik), te zadatke na stranici 20 i 21 (radna sveska),

organizira se grupni rad po 4 učenika, a nakon toga se povede rasprava o teškoćama na koje

se nailazi u rješavanju i o najlakšim putevima za njihovo rješavanje.


Učenici u ovoj nastavnoj temi saznaju nešto od matematičke terminologije (usporedni,

susjedni uglovi). Zbir i razlika uglova, za razliku od računskog načina, određuje se isključivo

pomoću geometrijskog pribora (šestar i lenjir).

Zbog lakšeg prihvatanja pojma sabiranja i oduzimanja uglova dobro bi bilo da učenici sumu i

razliku nekih uglova dobijaju koristeći izrezivanjem i stavljanjem modela uglova od papira u

boji.

Kada određujemo sumu i razliku uglova pomoću šestara i lenjira, posebno je važno

napomenuti da se na oba ugla koje sabiremo, odnosno oduzimamo, kao i na slici zbira,

odnosno razlike nacrtamo luk sa jednakim poluprečnicima.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________




MJERENJE UGLOVA I JEDINICE ZA MJERENJE UGLOVA. PRETVARANJESTEPENA U MINUTE I SEKUNDE I OBRATNO. SABIRANJE I ODUZIMANJEUGLOVA.

Nastavni cilj:

Učenici znaju jedinice za mjerenje uglova i vladaju

mjerenjem i uspoređivanjem uglova pomoću

mjerenja uglomjerom. Znaju pretvarati stepene u

niže jedinice i obratno, te računskim putem znaju

sabirati i oduzimati uglove.

udžbenik

str. 78

udžbenik

str. 79

udžbenik

str. 80

UVOD (MOTIVACIJA)

•

UgloviUčenici od obojenog papira izrezuju uglove različitih veličina. Oštri uglovi se oboje npr.

plavom, prave - crvenom, tupe - zelenom, opružene - narandžastom, udubljeni - žutom bojom.

Sve uglove izmjere i uporede po veličini, od najmanjeg do najvećeg. Uz to se razgovara o

krakovima, vrhu i oznakama uglova.

OBRADA

a. Koristeći ilustracije sa stranice 78, učenici vrlo brzo savladaju mjerenje uglova, kao i

odnose između većih i manjih jedinica i obratno, te pretvaranje jednih u drugekoristeći operacije množenja i dijeljenja prirodnih brojeva. Korištenjem ilustracije sa

stranice 80, učenici pretvaraju stepene u minute, te minute i stepene u sekunde.

Učenici uzimaju sličan primjer i opisuju kako su radili.

b. Učenici određuju veličinu opruženog ugla pomoću dva stavljanja dva isječena prava

ugla. Ustanovljavaju da je opruženi ugao dva puta veći od pravog. To zapišemo uz

odgovarajuću sliku u svesci. Zatim se stavi tri prava ugla tako da imaju zajednički vrh

i da oblikuju udubljen ugao. Na kraju se pomoću četiri prava ugla formira puni ugao.

Sve se to zapiše sa odgovarajućim slikama u sveskama. Tako se dođe do pojma puni

ugao. Kao i kod drugih uglova, i ovdje učenici opisuju položaj krakova ugla. Vidi se

da je puni ugao četiri puta veći od pravog, a dva puta od opruženog ugla. Sve se tosimbolički napiše u sveske ispod odgovarajućih slika. Zatim se formiraju grupe po

četiri učenika i rade zadaci sa stranice 79 sa uobičajenim načinom rada, koje

podrazumijeva razmjenu iskustava na kraju rada.

c. Pomoću ilustracija na stranici 82 učenici se koriste iskustvima Jace, Mirze i Nike u

sabiranju i oduzimanju uglova. Uvijek se ima na umu odnos između većih i manjih

jedinica uglova. Operacije sabiranja i oduzimanja, ali i pretvaranje manjih u veće

ugaone jedinice i obratno se uvježbavaju grupnim radom (po 4 učenika) koristeći

zadatke na stranici 82.



udžbenik

str. 81

udžbenik

str. 82

Ključne riječiJedinice za mjerenje uglova, pretvaranje većih u manje

jedinice i obratno, mjerenje uglova, sabiranje i oduzimanjeuglova.


Koristeći zadatke na stranici 79, 81, 82 i 83 (udžbenik), te na stranici 24 – 31 (radna sveska),

organizira se grupni rad po 4 učenika, a nakon toga predstavnici grupa informiraju ostale

učenike u razredu o radu svoje grupe i o teškoćama na koje su nailazili, odnosno o tome šta je

išlo bez problema.


Nastavna materija je opet primjerena za izvođenje različitih aktivnosti, preko kojih će učenici

doći do novih iskustava, spoznaja i znanja.

Uvijek ponavljati šta učenici znaju o vrstama uglova, o mjerenju i crtanju uglova.

Kod sabiranja i oduzimanja uglova, stalno imati u podsvijesti odnose između stepeni, minuta i

sekunda. Istovremeno se vodi računa o pravilnom potpisivanju: stepeni ispod stepena, minute

ispod minuta itd. Naročito je značajno srediti rezultat sabiranja, ako je broj minuta ili sekundi

veći od 60.

Na početku nastavnik zadaje jedan zadatak sabiranja uglova i aktivno prati kako se učenicisnalaze prikupljajući iskustva i postupke učenika u sabiranju uglova što će pomoći oko

kreiranja strategija za podučavanje.

Također treba paziti na slučaj da je umanjenik sadržan od manjeg mjernog broja minuta i

sekundi od umanjioca, te, u tom slučaju, o pozajmljivanju jednog stepena za pretvaranja u

minute kako bi oduzimanje bilo moguće.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________




MNOŽENJE I DIJELJENJE UGLOVA. KOMPLEMENTNI I SUPLEMENTNIUGLOVI

Nastavni cilj:

Učenici znaju množiti i dijeliti mjerne brojeve uglova

prirodnim brojem, te pojmove komplementnih i suplementnih

uglova.

udžbenik

str. 84

udžbenik

str. 85

UVOD (MOTIVACIJA)

Učenici znaju da je opruženi ugao jednak dvostrukom proizvodu pravog ugla, da je puni ugao

jednak četiri prava ugla, ili da je puni ugao jednak dva opružena ugla. Postavlja se problem

proizvoda bilo kojeg mjernog broja ugla i prirodnog broja. Nastavnik podstiče razgovor o

problemu množenja i dijeljenja uglova sa prirodnim brojem. Saslušava ideje koje dobija od

učenika i dobija dragocjena iskustva, što se koristi u efektnijem postizanju ciljeva sata.

OBRADA

a. Ponavljajući odnos između pravog, opruženog i punog ugla, nastavnik postavlja jedan

lakši zadatak oko množenja i jedan sa dijeljenjem mjernih brojeva uglova sa prirodnim

brojem. Slično kao na stranici 84.

b. Koristeći zadatke sa stranice 84, učenici rade u četveročlanim grupama. Nastavnik

naglašava da učenici stalno moraju imati na umu odnos između stepena, minuta i

sekundi, kako bi mogli uraditi zadatke i rezultat napisati u prihvatljivom obliku (broj

minuta i sekundi mora biti manji od 60). Za neke učenike je dobro u grupnom radu

koristiti 6. zadatak na stranici 31 radne sveske. Poslije grupnog rada se pristupa

referiranju od predstavnika grupa o rezultatima i o problemima na koje su nailazili pri

rješavanju zadataka. Iskustva se podijele sa drugim učenicima. Nastavnik možeukratko napisati definiciju množenja i dijeljenja mjernih brojeva uglova prirodnim

brojem, pomoću stavova koje su iznijeli učenici na osnovu svojih iskustava.

c. Nastavnik saopštava učenicima da su, od bitne važnosti, uglovi koji se dopunjuju do

90o, odnosno 180

o, zbog primjene u trigonometriji u kasnijim razredima. Na osnovu

ilustracija na stranici 85 i 86 učenici upotpunjuju pojam komplementnih i

suplementnih uglova. To je prilika da se ponovi sabiranje i oduzimanje mjernih

brojeva uglova. Učenicima će svakako pomoći junaci iz udžbenika na stranici 86.



udžbenik

str. 86

Ključne riječiJedinice za mjerenje uglova, pretvaranje većih u manje jedinice iobratno, mjerenje uglova, sabiranje i oduzimanje uglova.


Koristeći zadatke na stranici 84 i 86 (udžbenik) i 34 – 35 (radna sveska), organiziara se grupni

rad po 4 učenika, a nakon toga predstavnici grupa izvještavaju svoje kolegice i kolege o

rezultatima rada svoje grupe ostale učenike u razredu. Eventualne teškoće i stečena iskustva

koriste za bogaćenje prakse svakog učenika, ali i nastavnika.


Koristeći znanja o pretvaranju većih ugaonih jedinica u manje i obratno, te odnosa između

pravog, opruženog i punog ugla, učenici uz pomoć nastavnika veoma brzo trebaju usvojiti

vještine množenja i dijeljenja mjernih brojeva uglova prirodnim brojem.

Nastavna materija je primjerena za izvođenje različitih aktivnosti, preko kojih će učenici doći

do novih iskustava, spoznaja i znanja, a naročito izgradnje vještina slušanja, iznošenja stavova

i razvijanja osjećaja za timski rad..

Vrste uglova stalno ponavljati, ali ih sada treba vezati za njihove mjerne brojeve.

Kao kod sabiranja i oduzimanja uglova, i ovdje treba stalno imati u podsvijesti odnose izmeđustepeni, minuta i sekunda.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



SKUP N I No PRIRODNIO BROJEVI

Nastavni cilj:

Učenik poznaje skup prirodnih brojeva.

Uspoređuje i uređuje prirodne brojeve po veličini.

Poznaje pojam sljedbenik prirodnog broja.

Razlikuje parne i neparne brojeve.

udžbenik str. 88 udžbenik str. 89

UVOD (MOTIVACIJA)

• Cifre i brojevi

Učenici posmatraju fotografije na stranici 88. Razgovaramo sa njima i zaključujemo gdje sve

srećemo brojeve i šta s njima izražavamo. Promišljamo sa kojim znacima oblikujemo zapise

pojedinačnih brojeva. Nastavnik poziva nekoliko učenika da zapišu po jedan broj na tabli,

pročitaju ga i kažu koje su brojke koristili za njegovo zapisivanje.

• Sastavimo brojeve

Učenici rade u grupama po tri ili četiri. Svaka grupa riješi zadatak na stranici 88. Nastavnik

pozove predstavnika svake grupe da objasni kako je njegova grupa riješila zadatak. Učenici

drugih grupa uspoređuju te rezultate sa svojim rezultatima te uočavaju sličnost ili razliku u

rješavanju. O eventualnim razlikama se kasnije porazgovara.

Nastavnik zatim pozove učenike da napišu sve trocifrene brojeve, koji se mogu sastaviti od

cifara 6, 2 i 0. Posebno razmisliti o položaju cifre nula (0).

OBRADA

a. učenici posmatraju ilustracije na stranici 89. Uz to nastavnik uvede pojam skupa

prirodnih brojeva. Zajedno izvedemo neke aktivnosti brojanja. Izbrojimo koliko nas je

u razredu, koliko je svjetiljki u učionici... Zatim počnemo brojati nešto što ne

možemo izbrojiti, na primjer: u dvorištu prebrojavamo kamenčiće, na livadi

prebrojavamo biljke... Ustanovimo da brojanje počinje sa jedan ( jedna, jedno), zatim

brojimo dok ne izbrojimo. Nekih stvari ima toliko da ih ne možemo izbrojiti, odnosno

za to bi nam trebalo puno vremena. Pošto brojanje počinjemo sa jedan, 1 je najmanji

broj, a 0 nije prirodan broj.

b. Nastavnik zapisuje na tabli brojeve 3, 5, 1, 2, 6, 4 i poziva na tablu učenika, da ih

poreda po veličini: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Uređenost prirodnih brojeva se može predstaviti nabrojnoj polupravoj, koju, također, nacrtamo na tabli, a učenici u svoje sveske.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Poluprava ima početak u tački 1, strelica pokazuje da se nikada ne može završiti brojanje.

Zaključimo da nema najvećeg prirodnog broja. To radimo na način što promišljamo: ako

prirodnom broju dodamo 1, dobijamo nasljednika tog broja, koji je opet prirodan broj. Taj

postupak se nikad ne završava, nego se dobijaju samo veći prirodni brojevi.

Kada se radi o uređenosti prirodnih brojeva, svaki od njih možemo uspoređivati po veličini.

Također, pojmove parnih i neparnih brojeva vežemo za pitanje: da li je cifra jedinica paran,

odnosno, neparan broj.



udžbenik

str. 93

udžbenik

str. 94

Ključne riječi:

Cifre, brojevi, prirodni brojevi, skup prirodnih brojeva,bezbrojno, brojna poluprava, sljedbenik, parni broj, neparnibroj, Venov prikaz, podskup.


• Veće, manje

Nastavnik zapisuje na tabli npr. 15 000 000. Učenici pročitaju broj, zatim svako od njih

zapisuje u svoju svesku broj koji je veći od broja sa table, i broj koji je manji od broja na

tabli. Tu se može dogovoriti kako da se upotrebljavaju znakovi < odnosno >, na primjer:

15 000 150 > 15 000 000, odnosno 268 < 15 000 000. Nastavnik prozove pojedine učenike da

pročitaju šta su zapisali. Aktivnost ponovimo sa različitim brojevima.

• Prikazi

Učenici rade u paru. Nastavnik napiše na tabli: B={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}.

Najprije, učenici opisuju skup B: šta su elementi skupa B?

Zatim nastavnik poziva učenike da formiraju Venov prikaz, u kojem će označiti sa S podskup

parnih brojeva, koji se nalaze u skupu B. Potom, učenici mogu obrazovati još dva skupa:

ponovo podskup S skupa B, parnih brojeva, te skup C, elemenata iz skupa B, većih od 18.

Zatim treba porazgovarati o presjeku i uniji skupova S i C. Da li postoji koji element skupa B,

koji se ne sadrži ni u skupu S ni u skupu C?

• Rješavamo zadatke iz udžbenika na stranici 93 i u radnoj svesci na stranici 48 i 49.


Učenici razlikuju pojmove cifre i broja. Cifre su znaci, s kojima oblikujemo zapis broja. Sam

zapis je broj. Broj 12 je manji od broja 17 . Znači: 12 17

Kada upoređujemo količine, govorimo, na primjer: broj 12 je manji od broja 17 . To

zapisujemo sa znacima 12<17.Učenici su se susretali sa prirodnim brojevima, a da ih tako nisu nazivali. Svi brojevi koje su

upotrebljavani u brojanju, različiti od nule su prirodni brojevi. Naglasimo da je broj 1

najmanji prirodan broj, a da nula nije prirodan broj. Učenici poznaju pojam sljedbenik i

prethodnik. Nekoliko predviđanja je potrebno pa da se uoči da najmanji prirodan broj nema

svog prethodnika. Pojam beskonačnog je za učenike još vrlo apstraktan, zato ga ne

upotrebljavamo. Uočimo da se postupak traženja sljedbenika prirodnih brojeva nikad ne

završava, nego se uvijek dobija veći prirodan broj. Korisno je ponoviti pojmove presjeka i

unije skupova, te oblikovati Venov dijagram.



SKUP N I No

SABIRANJE I ODUZIMANJE PRIRODNIH BROJEVA. OSOBINE.

Nastavni cilj:

Učenik poznaje zakon komutacije i asocijacije u

sabiranju prirodnih brojeva. Zna ulogu nule u

sabiranju prirodnih brojeva. Znaju naći nepoznate

elemente u razlici.

udžbenik

str. 96

udžbenik

str. 97

udžbenik

str. 98

Nastavni materijal:

Kocke za igru, žetoni, liste za zapisivanje rezultata

UVOD (MOTIVACIJA)

Učenici rade u parovima. Svaki par ima kockice i papir za zapisivanje rezultata, na kojem je

nacrtana tabela sa dva stupca. Nastavnik daje uputstvo: svaki od učenika reda kocke dvaput i

račun sabiranja bilježi u odgovarajući stupac, npr. 3 + 5 = 8. Na kraju pogledamo da li smo

dobili isti rezultat u slučaju kada su rezultati bili u obrnutom redu (5 + 3 = 8).

OBRADA

a. Iz aktivnosti sa kockicama za igru je moguće zaključiti da redoslijed sabiraka u sabiranju

prirodnih brojeva možemo mijenjati. Sažeto izložimo zakon o zamjeni mjesta sabiraka

(zakon komutacije): Ako dva broja sabiramo, svejedno je kojim ćemo redom sabirati

sabirke.

b. Nastavnik zapisuje na tabli račun, npr. 25 + 13 + 36 =

Ispod tog računa zapisuje još dva računa: (25 + 13) + 36 = i 25 + (13 + 36) =

Učenici objašnjavaju značaj zagrada, zatim računaju: (25 + 13) + 36 = 38 + 36 = 74 i 25

+ (13 + 36) = 25 + 49 = 74. Ustanovimo da oba puta dobijamo isti rezultat. Nastavnik,

ukratko navede zakon asocijacije (udruživanja) sabiraka: Svejedno je ako prvo saberemo prva ili druga dva sabirka.

Na stranici 98 u udžbeniku se može vidjeti ilustracija kako su Selma i Mirza računali.

Učenici sa različitim pristupima u sabiranju spoznaju upotrebu oba zakona: komutacije i

asocijacije. Računaju onako kako im je lakše, na premjer: 38 + (24 + 12) = 38 + 36 = 74 i

(38 + 12) + 24 = 50 + 24 = 74



udžbenik

str. 99

udžbenik

str. 100

Ključne riječi:

Sabiranje, sabirci, zbir, zagrade, zakon komutacije iasocijacije sabiraka, umanjenik, umanjilac, razlika.

c. Nastavnik pokazuje učenicima vezu između sabiranja i oduzimanja. Pokazati učenicima

kako za oduzimanje prirodnih brojeva ne vrijede zakoni komutacije i asocijacije.

Oduzimanje se provjerava sabiranjem: a – b = c ⇔ a = b + c. Primjenom ove

ekvivalencije kao i ekvivalencije: a - b = c ⇔ b = a - c, je moguće uvesti linearne

jednačene, koje će učenici moći rješavati kao što to rade na stranici 99 i 100 udžbenika.


Učenici rade u grupama po 4. Nastavnik im zadaje zadatke iz prvog zadatka stranice 54, radne

sveske sa zahtjevom da se sabiranje izvodi primjenom zakona komutacije asocijacije. Nakon

toga predstavnici grupa izvještavaju na koji način su riješili zadatke. O eventualnim razlikama

se povede rasprava.

Na isti način se radi sa zadatkom 4 na stranici 55 radne sveske.

Da se naglasak na pitanje: da li ovi zakoni vrijede za oduzimanje.

• Rješavamo zadatke iz udžbenika na stranici 98 i 100, te odgovarajuće u radnojsvesci.


U ovoj nastavnoj jedinici je važno učenicima dati do znanja važnost osobina sabiranja, te

njihove spretne upotrebe u računanju. Osobine je potrebno usvojiti na konkretnim primjerima,uočiti opravdanost njihove upotrebe. Ne insistirati na osobinama u apstraktnim ravnima, nego

isključivo u konkretnim primjerima.

Nastavnik pokazuje, najprije, nekoliko primjera spretnog rač unanja, a kasnije učenike ne

primorava da računaju onako kako je on računao, odnosno onako kako se njemu čini da je

najspretnije.

Učenici veoma često imaju svoj način razmišljanja pri izvođenju algoritama sabiranja i

oduzimanja. Svakako je bitno da učenici spoznaju uloge broja 0 pri sabiranju i oduzimanju

prirodnih brojeva i da to znaju na odgovarajući način upotrebljavati.



KUP N I No

MNOŽENJE I DIJELJENJE PRIRODNIH BROJEVA. OSOBINE.

Nastavni cilj:

Učenik poznaje zakon komutacije i asocijacije u

množenju prirodnih brojeva. Zna ulogu nule u

množenju prirodnih brojeva. Znaju naći nepoznate

elemente u proizvodu i količniku.

udžbenik

str. 101

udžbenik

str. 101

udžbenik

str. 103

Nastavni materijal:

Kocke za igru, žetoni, liste za zapisivanje rezultata

UVOD (MOTIVACIJA)

Nastavnik postavi žetone na grafoskop i

projicira sliku, ne na zid nego na tablu.

Učenici govore koliko je ukupno žetona.

Mogući su odgovori: Imamo 3 vrste po 5

žetona, ukupno 1553 =⋅ . Ili: Imamo 5

stupaca sa po 3 žetona, ukupno 1535 =⋅

žetona.

OBRADA

a.

U prebrojavanju žetona moguće je zaključiti da redoslijed faktora u množenju

prirodnih brojeva nije bitan. Sažeto se izloži zakon o zamjeni mjesta faktora (zakon

komutacije): Ako dva prirodna broja množimo, svejedno je kojim ćemo redom množiti

faktore.

b.

Sagledavajući ilustraciju na stranici 102 i 103 udžbenika, nastavnik zapisuje na tabli

račun 5 · 3 · 4 =

Ispod toga zapisuje još dva računa: 5 · (3 · 4)=, (5 · 3) · 4 =

c. Učenici ponove značaj i ulogu zagrada, te računaju: 5 · (3 · 4) = 5 · 12 = 60, (5 · 3) · 4

= 15 · 4 = 60

Ustanovi se da oba puta dobijamo isti rezultat. Nastavnik, ukratko, navede zakon

asocijacije (udruživanja) faktora: Svejedno je ako prvo pomnožimo prva dva faktora a

onda proizvod sa trećim, ili ako prvi faktor pomnožimo sa proizvodom druga dva faktora.

d.

Koristeći ilustraciju iz udžbenika na stranici 104, uvodi se pojam distribucijemnoženja u odnosu na sabiranje prirodnih brojeva.



udžbenik

str. 106

udžbenik

str. 107

Ključne riječi:

Množenje, faktori, djeljenik, djelilac, količnik, zagrade,zakon komutacije i asocijacije faktora.

e. Nastavnik dovodi u vezu dijeljenje prirodnih brojeva s množenjem, onako kako to

rade glavni likovi u udžbeniku na stranici 106 i 107. Naročito je važno da se usvoji

pravilo po kojem se uređuje prvenstvo računskih operacija u kombinaciji sa

zagradama. U tom smislu je pogodan primjer na stranici 107 udžbenika.

f. Povezanost množenja i dijeljenja te primjena dijeljenja i množenja prirodnih brojeva je

pogodno kroz rješavanje odgovarajućih linearnih jedna

čina, kao na stranici 108udžbenika


Nastavnik pripremi 4 listića na kojima je zapisano po 5 brojeva, na primjer:

Učenici biraju po jedna broj sa svakog listića, a onda radi odgovarajući račun množenja. U

računanju se koriste zakoni komutacije i asocijacije u svrhu olakšica i množenju, npr.

4 · 5 · 25 · 200 = (4 · 25) · (5 · 200) = 100 · 1000 = 100 000

Aktivnost ponoviti nekoliko puta.

• Rješavamo zadatke iz udžbenika na stranici 98 i 100, te odgovarajuće u radnoj

svesci.


U ovoj nastavnoj jedinici je važno naglasiti značaj osobina množenja i dijeljenja prirodnih

brojeva u konkretnim primjerima, naglašavajući korist od upotrebe tih osobina. To će u

nekoliko primjera pokazati nastavnik, tako da podstakne učenike na slične aktivnosti, bez

prisile da se osobine znaju samo iskazati kroz definicije i tvrdnje.

Kao i kod sabiranja i oduzimanja, i ovdje učenici veoma često imaju svoje vlastite pristupe pri

izvođenju algoritama množenja i dijeljenja. I ovdje je bitno da učenici spoznaju uloge broja 0

pri množenju i dijeljenju, naročito kada je nula u ulozi djelioca

11

4 38

100 3

4 30

5

40 8

11

25

50

18 15

200 0

4

35

70



SKUP N I No

IZRAZI SA PROMJENJIVIM. BROJNI IZRAZI.

Nastavni cilj:Učenici, uzimajući u obzir redoslijed računskih

operacija, izračunava vrijednost brojnog izraza.

Oni znaju koristiti zakon distribucije.

udžbenik

str. 109

udžbenik

str. 110

udžbenik

str. 111

Nastavni materijal:

Kocke od kartona ili plastike, čaše od jogurta, drvene bojice (žetoni), listovi za crtanje.

UVOD (MOTIVACIJA)Učenici rade u parovima. Svaki par imaju potrebne kocke od kojih naprave višespratnice po

uputama nastavnika: Napravite višespratnicu, koja ima prizemlje i 6 spratova, u prizemlju i

na svakom spratu ima po 4 stana. Dogovorimo se da svaki stan predstavimo sa jednom

kockicom. Kada učenici sazidaju višekatnicu, onda je još dograde sa kockama druge boje:

Prizemlju dodajte još 5 stanova, a prvom spratu 3 stana. Zatim učenici računaju broj stanova

zgradi i to zapisuju svoje sveske. Nastavnik pozove jednog učenika da račun zapiše na tabli i

da ga obrazloži. Ako se desi da ima učenika sa drugačijim računom, onda ga on zapisuje na

tabli i obrazloži rezultat.

OBRADA

a. Koristeći ilustraciju na stranici 109 udžbenika, učenici nacrtaju pravougonik Uz

pomoć nastavnika, oni dolaze do obrasca za računanje obima. Na primjeru svoje

sveske učenici će izmjeriti njene stranice i naći obim, kao što su to uradili Jaca i Niko

na 109 stranici.

b. Nakon defniranja pojma brojnog izraza, zajedno sa učenicima uraditi zadatak 1. na

stranici 111, a nakon toga učenici podijeljeni u četveročlane grupe rješavaju zadatke iz

primjera 3 na stranici 111.

c.

Ponavljajući zakon distribucije, nastavnik pojašnjava zadatke iz prvog primjera nastranici 112.

d. Nastavnik pojašnjava učenicima princip rada zagrada u računanju brojnih izraza i to

potkrepljuje sa primjerom 3. na stranici 110.

e. Koristeći pravila računanja sa zagradama, te redoslijed računskih operacija,

organizirati grupni rad sa učenicima koristeći zadatke na stranici 66 radne sveske.



udžbenik

str. 112

udžbenik

str. 113

Ključne riječi:

Izraz sa promjenjivim, brojni izraz, redoslijed računskihoperacija, upotreba zagrada.


Rješavanje zadataka iz udžbenika i radne sveske.


Učenici bi trebali uzimati u obzir redoslijed računskih operacija pri računanju brojnih izraza.

Poželjno je da učenici budu toga svjesni u konkretnim situacijama (kao npr. primjer broja

stanova u zgradama), gdje je količina prikazana brojnim izrazom, očigledno predstavljena.

Potrebno je stalno podsticati upotrebu i naglašavati prednosti upotrebe zakona distribucije na

konkretnim primjerima kako bi učenici spoznali njegovu suštinu.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



SKUP N I NO

DJELJIVOST U SKUPU NO

Nastavni cilj:

Učenici spoznaju kada je neki prirodan broj djeljiv

sa nekim drugim prirodnim brojem, razumiju šta

su faktori i sadržioci prirodnog broja, znaju kada je

neki prirodan broj djeljiv sa dekadskim jedinicama

2 i 5, 4 i 25, 3 i 9, 6 i 15.

udžbenik

str. 116

udžbenik

str. 117

udžbenik

str. 118

Nastavni materijal:

Klikeri, zrna kukuruza ili graha, listovi za crtanje,

UVOD (MOTIVACIJA)

Učenici rade u grupama po 4. Po uputama nastavnika, iz svojih kesica vade kuglice ili zrnca

kukuruza ili graha i prebroje ih, a rezultat zapišu na list. Jedan od učenika daje svakom

učeniku iz grupe po jednu zrnku. Nakon završenog dijeljenja, svaki od učenika prebroji svoja

zrna. O rezultatima dijeljenja predstavnik svake grupe referiše ostalim učenicima. U slučaju

da svi učenici u grupi imaju isti broj zrnaca, tada je provedeno dijeljenje bez ostatka, u

suprotnom je bilo dijeljenje sa ostatkom. Rezultate dijeljenja predstavnici grupe zapisuju na

tabli i obrazlažu rezultat.

OBRADA

a. Pomoću nekoliko jednostavnih primjera, kao što to rade Jaca i Mirza, nastavnik može

izvesti zaključak o dijeljenju sa i bez ostatka i napisati tvrdnje u općem obliku: a : b = c ⇔ a

= b · c ili a = b · c + r, gdje je r ostatak pri dijeljenju broja a brojem b.

b. Naglasiti da se svaki broj djeljiv npr. sa brojem 5, može napisati u obliku 5n, ako je djeljiv

bez ostatka, ili 5n+1, ako pri dijeljenu sa brojem 5 daje ostatak 1 itd. U tom smislu definirati

parne i neparne brojeve, kako je to urađeno na stranici 117 udžbenika.

c. Ako se ponovi vježba sa početka, ali sada predstavnik grupe dijeli svakom članu grupe, na

primjer po 3 zrna, pa ako svi dobiju isti broj zrnaca, tada se može izvesti zaključak da je dati

(ukupan) broj zrnaca djeljiv sa brojem 3 ili da je broj 3 faktor tog broja. U tom slučaju broj

koji predstavlja ukupan broj zrnaca je sadržilac broja 3. Nakon ovih razmatranja i još nekih

pokušaja sa drugim brojevima, nastavnik zapisuje definiciju kao na stranici 118 i 119

udžbenika.

d. Slično se može demonstrirati djeljivost zbira i razlike brojeva nekim brojem. Fiksirati

slučaj kada različite grupe sa različitim brojem zrnaca pri dijeljenju sa istim brojem dobiju

rezultat bez ostatka. Sastavljanjem ukupnih količina zrnevlja na jednu gomilu, može se

provjeriti da je ta količina također djeljiva sa istim brojem. To isto se može pokazati i za

razliku tih količina.



udžbenik str. 120 udžbenik

str. 122

udžbenik

str. 124

Ključne riječi:

Djeljivost brojeva, faktor, sadržilacbroja, djeljivost zbira i razlike brojevaistim brojem. Djeljivost sa dekadskimbrojevima, 2, 5, 4, 25, 3, 9, 6 i 15.

e. Dovodeći u vezu množenje sa dekadskim jedinicama, dijeljenje brojeva dekadskim

jedinicama, kao što rade Niko i Jaca na stranici 122, izvesti zaključak o dijeljenju prirodnih

brojeva sa dekadskim jedinicama.

f. Slično izvesti zaključak kada je u pitanju dijeljenje sa brojevima 2 i 5, 4 i 25, 3 i 9, te 6 i

15.

UTVRĐ

IVANJE I PROVJERAVANJERješavanje zadataka iz udžbenika (119, 121, 123) i radne sveske (strana 67).


Učenici bi trebali poznavati i osjećati djeljivost brojeva sa i bez ostatka. Ne insistirati da

učenici znaju definicije napamet, naročito tvrdnje u općem obliku, nego da djeljivost znaju

smjestiti u praktičan sadržaj ili situaciju.

Na osnovu praktičnih situacije učenici trebaju da osjećaju značenje pojma faktora i sadržioca

nekog broja. Djeljivost sa zadanim brojevima vezivati sa olakšice pri množenju i dijeljenju.

Nije potrebno da učenici znaju definicije djeljivosti sa nekim brojevima. Prikladnije je da oni

znaju tu praktično pokazati, poštujući i njihove vlastite algoritme.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



SKUP N I No

PROSTI I SLOŽENI BROJEVI. ZAJEDNIČKI DJELILAC I SADRŽILAC BROJEVA

Nastavni cilj:

Učenici spoznaju kada je neki prirodan broj prost,

a kada složen, kako ga mogu rastaviti na proste

faktore, odrediti najveći zajednički djelilac i

najmanji zajednički sadržilac.

udžbenik

str. 127

udžbenik

str. 128

udžbenik

str. 129

Nastavni materijal:

Kuglice, zrna kukuruza ili graha, listovi za crtanje,

UVOD (MOTIVACIJA)Učenici rade u parovima. Iz svoje kesice jedan od učenika uzima svoje kuglice. Najprije,

kuglice dijele na dva dijela, a onda na tri itd. Moguće je da se desi da se količina kuglica ne

može podijeliti na jednake dijelova. Uz pomoć nastavnika učenici mogu zaključiti koji su

prosti, odnosno složeni brojevi. Postupak se može ponoviti nekoliko puta. Jedan od učenika iz

svakog para informiše o kojem se broju radi i obrazloži njegovo svojstvo prostog, odnosno

složenog broja. Nastavnik poziva jednog učenika da rezultate bilježi na tabli u dvije kolone:

prostih, odnosno složenih brojeva.

U slučaju složenih brojeva, moguće je pokazati da svaki od njih može napisati u obliku

proizvoda prostih brojeva.

OBRADA

a. Na osnovu ispisanih primjera na tabli, nastavnik, uz asistenciju učenika, može pristupiti

definiranju prostih i složenih brojeva kao što je to na stranici 127 udžbenika.

b. Nastavnik uradi par primjera rastavljanja složenih brojeva na proste faktore kao što to rade

glavni likovi udžbenika na stranici 128, a zatim se formiraju grupe po 4 učenika. Nastavnik

im podijeli listiće sa po dva zadatka rastavljanja brojeva na proste faktore. Nakon urađenog

posla predstavnici grupa na tabli zapisuju rezultate uz obrazloženje.

c. Učenici u formiranim grupama ponovo razmatraju zadatke i uočavaju zajedničke faktore

datih brojeva. Uz pomoć nastavnika i ilustracija na 130 i 131 stranici udžbenika učenici

dolaze do pojma najveći zajednički djelilac. Nastavnik nenametljivo iskazuje definiciju NZD

brojeva na osnovu učeničkih spoznaja.

d. Koristeći pređeno gradivo, nastavnik predstavlja problem traženja broja koji sadrži neke

druge brojeve kao faktore, kao što je to urađeno na stranici 132 i 133 udžbenika. Nastavnik

pokazuje učenicima šematski prikaz traženja najmanjeg zajedničkog sadržioca brojeva. U

grupnom radu učenici uvježbavaju tehniku traženja NZS brojeva, nakon čega o rezultatima

rada izvještavaju odjeljenje. O eventualnim spornim slučajevima se vodi rasprava kao što je to

u slučaju relativno prostih brojeva (koji su djeljivi samo sa sobom i sa jedinicom).



udžbenik

str. 130

udžbenik str.

131

udžbenik str.

133

Ključne riječi:

Prosti i složeni brojevi, relativno prostibrojevi, najveći zajednički djelilac,najmanji zajednički sadržilac.


Rješavanje zadataka iz udžbenika (129, 133) i radne sveske (strana 68 - 70).


Učenicima treba prokazati pojmove prostih i složenih brojeva na prakti

čnim primjerima.Povezati NZS i NZD kao potrebu za primjenu u budućem radu (kod sabiranja razlomaka,

skraćivanja i proširivanje - samo načelno).

Pogled na bilo koji broj treba kod učenika izazivati pitanja o kojem se broju radi, da li se on

može rastaviti na proste faktore itd.

Nije potrebno da učenici znaju definicije kao u udžbeniku. Bitnije je da oni znaju suštinu i

potrebu rada sa brojevima, određivanje njihovih međusobnih veza, struktura, različitog

predstavljanja (kao proizvoda prostih brojeva).

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



RAZLOMCI

POJAM RAZLOMKA, BROJNIK I NAZIVNIK. RAZLOMCI VEĆI I MANJI OD 1

Nastavni cilj:

Učenici usvajaju pojam razlomka i znaju ih zapisivati.

Znaju kad je razlomak veći ili manji od 1. Znaju

razlikovati vrste razlomaka, te pretvarati neprave

razlomke u mješovite brojeve i obratno.

udžbenik

str. 136

udžbenik

str. 137

udžbenik

str. 138

Nastavni materijal:

Kuglice, žetoni, lončić, krug od papira, grafoskop.

UVOD (MOTIVACIJA)

Učenici rade u grupama po četiri. Svaka grupa pripremi 1m=10 dm trake i 10 žetona, te

lončić. Nastavnik na tabli napiše razlomak10

3. Učenici, zatim, razlomak prikazuju bojeći

odgovarajuću dužinu trake ili pomoću žetona. Nastavnik poziva jednog učenika da opiše kako

su u njegovoj grupi predstavili razlomak. Posebno se porazgovara o tome kako se predstavlja

razlomak pomoću žetona: imamo 10 žetona, 3 žetona smo stavili u lončić, što znači da je u

lončiću10

3 od svih žetona. Na takav način učenici mogu predstaviti i druge razlomke, npr.

10

2,

10

4,

10

5,

10

6,

10

7,

10

8 itd.

Pogledamo sliku na stranici 136. Koristeći se praktičnom situacijom, oko izrezaka pice,

porazgovara se učenicima o dijelovima pice na slikama. Nastavnik može napraviti ogled sa

krugom od obojenog papira, razrezanog na šestine, tako što ga stavi na grafoskop. Poslije

uzimanja po jednog dijela kruga, nastavnik pita po jednog učenika koliko je dijelova kruga

ostalo i tu situaciju napiše na tabli. Na tabli su nacrtane slike sa brojevima ispod: 16

6= ,

6

5,

6

4,

6

2,

6

1. Učenici uviđaju da je ispod svake (razlomačke) crte broj 6, što znači da je krug

podijeljen na 6 jednakih dijelova. Iznad crte su različiti brojevi, jer smo posmatrali slike sa

različitim brojem dijelova – šestina.

Također, učenici uviđaju da svi dijelovi desno od jedinice, manji od jednog cijela. Oni

uočavaju da su brojevi iznad crte manji od broja ispod crte.

OBRADA

a. Nastavnik uzima jedan od zapisanih razlomaka, npr.6

5 i ponovo ga piše sa većim

znacima. Saopštava da je upravo zapisao na tabli jedan razlomak, te da je broj iznad

crte brojilac, a ispod crte imenilac. Crtu naziva razlomačkom crtom. Nove pojmove

zapisuje pored razlomka. Nakon toga zajedno proučavaju sliku na stranici 137, gdje

uočavaju različite razlomke nastalih bojenjem odgovarajućih dijelova jednog cijela.



udžbenik str.

139

udžbenik

str. 140

udžbenik

str. 141

Ključne riječi:

Razlomak, brojilac, imenilac, razlomačkacrta, pravi i nepravi razlomci, mješovitibrojevi.

b.

Koristeći se slikama na stranicama 139, 140 i 141, učenici se uz pomoć nastavnika

upoznaju sa pojmovima pravog, nepravog, prividnog razlomka, te sa mješovitim

brojem. Predstavljajući praktične situacije u primjerima na stranici 141, učenici

uočavaju odnos između nepravog i razlomka i mješovitog broja. Pomoću primjera na

stranici 142, učenici uz pomoć nastavnika pretvaraju nepravi razlomak u mješoviti

broj i obratno. Nakon toga nastavnik pojašnjava i zapisuje na tabli nove pojmove.


Nastavnik organizira grupni rad koristeći radne listi

će sa odabranim zadacima na stranicama138 i 142 (udžbenik) i 71 – 75 (radna sveska).


Učenici u ovoj nastavnoj temi saznaju neke nove pojmove iz matematičke terminologije.

Nastavnik pažljivo uvodi učenike u dodir sa novim pojmovima, tako da oni osjete njihovo

značenje. Imenilac daje razlomku ime, znači da li se radi o polovinama, trećinama,

četvrtinama itd., dok brojilac kaže koliko smo dijelova uzeli. Između imenioca i brojioca je

razlomačka crta.

Učenici spoznaju da razlomci2

2,

3

3... predstavljaju, ustvari, jedno cijelo tj. predstavljaju

situaciju kada smo izabrali sve dijelove, na koje je cijelo podijeljeno.

Učenici moraju biti svjesni da ako je imenilac veći, to znači da smo cijelo podijelili na više

dijelova i da su dijelovi sa većim imeniocem manji od onih sa manjim imeniocem, npr.6

1 je

manja od3

1.

U zavisnosti od odnosa između brojioca i imenica, učenicima je jasno kada su razlomci manji,

odnosno veći od 1. Istovremeno u drugom slučaju oni znaju nepravi razlomak pretvoriti u

mješoviti broj npr.5

31

5

8= .

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



RAZLOMCI

PROŠIRIVANJE I SKRAĆIVANJE RAZLOMAKA. UPOREĐIVANJERAZLOMAKA. UPOREĐIVANJE RAZLOMAKA. RAZMJERA

Nastavni cilj:

Učenici znaju proširivati i skraćivati razlomke, znaju

uspoređivati razlomke po veličini i razumiju pojam

razmjere te znaju ga upotrijebiti u rješavanje

jednostavnijih problema.

udžbenik

str. 143

udžbenik

str. 144

udžbenik

str. 145

Nastavni materijal:

Kuglice, žetoni, lončić, krug od papira, grafoskop.

UVOD (MOTIVACIJA)

Učenici ponavljaju pojmove iz pređenog gradiva o razlomcima. Zatim se posmatra slika na

stranici 141. Učenici mogu zaključiti da se ista vrijednost cijelog može napisati na više načina

npr.2

1=

4

2=

6

3=

8

4=

10

5. Koristeći sliku neki učenici će primijetiti i druge primjere, kao što

su:3

1=

6

2=

9

3,

4

1=

8

2,

5

1=

10

2,

3

2=

6

4=

9

6... Pomoću slike se učenici mogu snaći u poređenju

razlomaka po veličini, na primjer u uspoređivanju razlomaka6

3 i

8

4,

7

7 i

9

7,

5

3 i

4

3.

OBRADAa. Učenici prate dijalog junaka iz udžbenika na stanici 143. Iz jednakosti

2

1=

4

2=

6

3=

8

4=

10

5, oni uočavaju da svaki slijedeći razlomak dobiven množenjem i

broioca i imenioca istim brojem (u ovom slučaj brojem 2). Nastavnik, na osnovu

tvrdnji učenika, izriče odgovarajuće tvrdnje i učenici ih zapisuju ispod odgovarajućih

zapisa u svojim sveskama. Nastavnik povezuje rastavljanje na proste faktore kao

potrebu da bi se uspješno obavilo skraćivanje razlomaka.

b. Koristeći se slikom na stranici 145, udžbenika nastavnik učenicima postavlja zadatke

uspoređivanja razlomaka sa istim brojiocima u prvom i sa istim imeniocem u drugomslučaju. Uz pomoć Selme na strani 146, učenici uočavaju potrebu proširivanja

razlomaka, kao postupka potrebnog kod uspoređivanja razlomaka po veličini.

c. Koristeći konkretnu situaciju na stranici 148, udžbenika, učenici uz pomoć nastavnika

uočavaju primjenu razlomaka na uvođenju pojma omjera. Nastavnik formira

četveročlane grupe u postavlja im zadatke iz primjera na stranici 149. Nakon urađenog

posla, predstavnici grupa koje prve urade zadatak izvještavaju ostale učenike i

postupak zapisuju na tabli. Eventualne nejasnoće se rješavaju na licu mjesta.



udžbenik str.

146

udžbenik

str. 148

udžbenik

str. 149

Ključne riječi:

Proširivanje i skraćivanje razlomaka,uspoređivanje razlomaka po veličini,razmjera.


Nastavnik organizira grupni rad u četveročlanim grupama sa radnim listićima i zadacima sa

stranica 146 i 147 (udžbenik) i 75 – 78 (radna sveska). Posao završiti izvještavanjem grupa o

rezultatima svog rada. Svi zadaci moraju biti napisani na tabli.


Učenici u ovoj nastavnoj temi saznaju da se svaki razlomak može napisati u beskonačno

različitih oblika, što omogućava proširivanje razlomaka.

U tom smislu je dobro da učenici shvate kada razlomci imaju istu vrijednost, uviđajući da su u

tom slučaju brojioci i imenioci sa istim međusobnim odnosima.

Nastavnik potvrđuje princip kauzalnosti upotrebom postupka rastavljanja na proste faktore

brojioca i imenica prilikom skraćivanja.

Važno je ispoštovati postupnost i princip od prostog ka složenom. To je bitno u slučaju

uspoređivanja razlomaka, gdje je bitno direktno odrediti odnos između razlomaka istihimenilaca.

Kada se tome doda vještina proširivanja razlomaka, neće biti teško učenicima shvatiti kako

treba uspoređivati razlomke po veličini.

Ovo gradivo učenici treba da osjete i dožive kao nešto sasvim prirodno, jer je to osnova za

mnoge dijelove matematike u starijim razredima.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



RAZLOMCI

DECIMALNI POSTOTNI ZAPIS RAZLOMKA. PRIDRUŽIVANJE TAČAKABROJNOG POLUPRAVCA RAZLOMCIMA.

Nastavni cilj:

Učenici poznaju dekadske razlomke, znaju pretvarati

decimalne bojeve u razlomke i obratno, te decimalne

brojeve i razlomke u procente. Učenici znaju

predstavljati razlomke na brojnoj pravoj.

udžbenik

str. 150

udžbenik

str. 152

udžbenik

str. 153

UVOD (MOTIVACIJA)

O problemu u udžbeniku na stranici 150 se vodi rasprava, koliki je udio čokoladnog, a koliko

pudinga od jagoda. Dijelovi se zapisuju sa dekadskim razlomcima. Vodi se razgovor o tomekoliko ti dijelovi iznose skupa. Zapiše se račun:

10

6+

10

4=

10

10.

OBRADA

a. Nastavnik saopštava da se dijelovi mogu napisati sa decimalnim brojevima, umjesto sa

dekadskim razlomcima. Ponovimo da brojilac razlomka govori koliko dijelova jednog

cijela smo uzeli. U tom primjeru imamo desetine koje zapisujemo pomoću zareza.

Prije zareza se zapisuju brojevi cijelih.

10

6

=0,6 10

4

=0,4.

b. Nacrtamo brojnu polupravu, na njoj označimo brojeve 0 i 1 (udaljenost među njima je

npr. 10 cm). Duž između 0 i 1 podijelimo na deset jednakih dijelova, zapišemo

desetine sa razlomkom i decimalnim brojevima. Nakon ovoga nastavnik izvede

zaključak i zapiše na tabli ključne definicije sa primjerima decimalnih razlomaka.

c. Proučimo problem na stranici 151 i o ilustraciji se povede razgovor o pitanju: koliko

slastič aru ostaje torte ako je prodao 3 desetine torte. Učenicima podijelimo dva kruga

podijeljene na deset jednakih dijelova. Izrežemo 3 desetine jedne torte i izračunamo

koliko torte je još ostalo slastičaru. Nakon dogovaranja zapiše se rezultat

10

71 .

Nastavnik obavještava učenike da se umjesto zareza negdje upotrebljavaju tačke, kao

što je to na kalkulatorima. Sada se piše 1.7 umjesto 1,7. O ovome nas obavještavaju i

Niko i Mirza na stranici 149 udžbenika. Nastavnik piše definicije i zaokružuje

izvedene jednakosti (kao na stranicama 152 i 153).

d. Govoreći o dekadskim razlomcima, sa imeniocem 100, nastavnik govori učenicima da

je 1% (1 procenat), ustvari, razlomak100

1. Nakon toga se dolazi do obrasca za

pretvaranje bilo kojeg razlomka u procenat (str. 154).



udžbenik

str. 154

udžbenik

str. 156

udžbenik

str. 157

Ključne riječi:

Decimalni broj, procenat, predstavljanjerazlomaka na brojnoj polupravoj.

e. Učenici ponove definiciju brojne poluprave (str.54). Koristeći ilustracije na stranici

154, učenici prave vezu između obojenih dijelova pravougaonika i tačaka na brojnoj

polupravoj. Učenici vide prednost predstavljanja razlomaka na brojnoj pravoj u

postupku uspoređivanja razlomaka ili decimalnih brojeva. Nakon nekoliko primjera i

koristeći uputstva junaka udžbenika na stranici 158, učenicima se saopštavaju pravila

oko uspoređivanja razlomaka i decimalnih brojeva po veličini.


U utvrđivanju gradiva se organizuje grupni rad u četveročlanim grupama sa radnim listićima

i zadacima sa stranica 155 i 158 (udžbenik) i 83 – 85 (radna sveska). Grupni rad organizirati

na uobičajen način, uključujući obaveznu razmjenu iskustava i otvoreno iznošenje eventualnih

različitih stavova.


Učenici u ovoj nastavnoj temi upoznaju decimalne brojeve i uočavaju njihovu vezu sa

razlomcima i procentima. Uočavaju tijesnu vezu između desetinskih razlomaka i procenata, te

decimalnih brojeva. Sa decimalnim brojevima, učenici zapisuju mješovite brojeve, koji poredcijela imaju dio sa desetinskim razlomkom. Nastavnik posvećuje veliku pažnju pravilnom

čitanju i zapisivanju decimalnih brojeva.

Radi kasnije upotrebe i računanja sa razlomcima i decimalnim brojevima, važno je da dijete

usvoji predstavljanje brojeva na brojnoj pravoj, pomoću koje je moguće efikasnije

uspoređivati razlomke i decimalne brojeve po veličini.

Kod učenika se pojavljuju problemi pri zapisivanju u oblik decimalnog broja, npr. razlomka

10

6. U takvim primjerima je preporučljivo da se brojevi 0,6 i 0,06 zapišu na tabli, da ih

učenici pravilno pročitaju i opišu. Nije suvišno da se oni predstave na brojnoj pravoj.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



RAZLOMCI

SABIRANJE I ODUZIMANJA RAZLOMAKA ISTIH I RAZLIČITIH NAZIVNIKAOSOBINE.

Nastavni cilj:

Učenici znaju sabirati i oduzimati razlomke sa istim i

različitim imeniocima i pri tom znaju koristiti osobine

komutativnosti i asocijativnosti.

udžbenik

str. 159

udžbenik

str. 160

udžbenik

str. 161

UVOD (MOTIVACIJA)

Problem sabiranja razlomaka istih imenilaca se može objasniti sa primjerom sabiranja soka u

pakovanju po 2 dl što je peti dio od jednog cijela ili

5

1. Učenici će lako spoznati da su dva

soka dvije petine itd. Lako je vidjeti da je 2 soka sabrano sa 2 soka ustvari 4 petine, što se

zapisuje5

2+

5

2=

5

4. Učenici od ranije znaju da je zbir 2 petine i 3 petine ustvari 5 petina ili

jedno cijelo, te je lako uvesti sabiranje mješovitih brojeva sa istim imeniocem, kod pravog

razlomka.

OBRADA

a. Nastavnik uz pomoć ilustracije na stranici 159, uz korištenje distributivnosti dijeljenja

u odnosu na sabiranje, izvodi pravilo za sabiranje razlomaka istih imenioca.

Odgovarajuću tvrdnju zapisuje na tabli. Nakon toga se urade primjeri na stranicama

159 i 160, gdje su sabrani dva mješovita broja, tako što su sabrani na dva načina. Prvi

sabiranjem prvo cijelih pa onda pravih pripadajućih razlika, a drugi pretvaranjem

mješovitog broja u nepravi razlomka, pa sabiranjem kao dva razlomka sa istim

imeniocem, a onda ponovno pretvaranjem u mješoviti broj. U skladu sa tim, nastavnik

traži od učenika da iskažu definiciju sabiranja razlomaka istih imenioca.

b. Koristeći distributivnost dijeljenja u odnosu na sabiranje, izvodi se pravilo za

oduzimanje razlomaka istih imenioca. Slično se radi kao kod sabiranja.

c. Nastavnik postavlja problem5

2+

4

3 i pita učenike za njihovo mišljenje o načinu

rješavanja. Učenici shvate brzo da je potrebno svesti razlomke na zajednički imenilac,

jer takve razlomke znaju sabirati. Isti postupak je i sa oduzimanjem. Nastavnik,

poštujući izrečene iskaze učenika, saopštava adekvatne definicije i tvrdnje. Na kraju se

uradi prvi primjer na stranici 163, na oba načina, ostavljajući učenicima na volju koji

će izbor biti njihov.

d. Kao i kod prirodnih brojeva, nastavnik navede učenike da prihvate da i kod sabiranja

razlomaka vrijede zakoni komutacije i asocijacije. Oni se demonstriraju sa po jednim

primjerom.



udžbenik str.

162

udžbenik

str. 163

udžbenik

str. 164

Ključne riječi:

Sabiranje razlomaka sa istim i različitimimeniocima. Oduzimanje razlomaka saistim i različitim imeniocima.Komutativnost i asocijativnost sabiranjarazlomaka.


U utvrđivanju gradiva se organizira grupni rad u četveročlanim grupama sa radnim listićima i

zadacima sa stranica 161 i 165 (udžbenik) i 118 i 119 (radna sveska). Grupni rad organizirati

na uobičajen način, uključujući obaveznu razmjenu iskustava i otvoreno iznošenje eventualnih

različitih stavova.

DIDAKTIČ

KO-METODIČ

KE SMJERNICEUčenici u ovoj nastavnoj temi primjenjuju dosad stečena znanja na konkretnim radnjama

sabiranja i oduzimanja razlomaka.

Na osnovu postupnosti, učenici shvataju sabiranje i oduzimanje razlomaka različitih imenilaca

na osnovu pravila kod istih radnji, ali sa razlomcima istih imenilaca. Povezuju sabiranje

razlomaka sa vještinom traženja zajedničkih sadržalaca prirodnih brojeva. Uviđaju kauzalnost

gradiva iz matematike i potrebu aktivnog odnosa u održavanju kondicije.

Na isti način učenici spoznaju korist od zakona komutacije i asocijacije u sabiranju

razlomaka, jer se složeniji zadaci (od više od dva sabirka, ili članova razlike) mogu punolakše uraditi zamjenom mjesta pa udruživanjem dijelova zbira ili razlike koji možda daju

cijele brojeve.

Uvijek učenicima govoriti na kredit da im je sabiranje običnih razlomaka osnova za uspješnije

savladavanje velikog broja tema iz matematik, počev od jednačina pa dalje.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



RAZLOMCI

SABIRANJE I ODUZIMANJA DECIMALNIH BROJEVA.

Nastavni cilj:

Učenici znaju sabirati i oduzimati decimalne brojeve.

udžbenik

str. 166

udžbenik

str. 167

UVOD (MOTIVACIJA)

Najprije ponoviti gradivo sa stranice 150 o decimalnom zapisu razlomka, te sabiranje i

oduzimanje razlomaka sa dekadskim imeniocima. Problem sabiranja i oduzimanja decimalnih

brojeva rješavati postavlajnjem konkretnih (životnih) primjera iz praktičnog života (kao na

stranici 166).

OBRADA

a. Razgovara se o situacijama u problemima na stranici 157. Problem sabiranja i

oduzimanja je lako riješiti pomoću pozicijske računaljke. U svakom slučaju, nastavnik

uradi par primjera, kao na stranici 167, dajući akcenat na pravilno potpisivanje. Na prvom

primjeru stranice 166 se pojavljuje račun: 34,75 + 36,45 =

D J d s3

3

4,

6,

7

4

5

5

7 1, 2 0

Naročito obratiti pažnju na slučajeve kada se u sabiranju dobije više od 10 odgovarajućih

dekadskih jedinica ili kod oduzimanja, kada veću dekadsku jedinicu oduzimamo od

manje, kao na primjeru koji naglašava učiteljica na stranici 167.

b. Sabiranje i decimalnih brojeva povezati sa sabiranjem razlomaka (ili mješovitih

brojeva) sa dekadskim razlomcima. Uraditi par primjera koristeći taj način, kao na stranici

167.

c. Posebno se razmatraju slučajevi upotrebe nule, naročito kada se sabiraju ili oduzimaju

decimalni brojevi sa različitim brojem decimalnih mjesta. Npr. 1,582 + 3,6 +2,11 ili

1,582 1,582

3,6 3,600

+ 2,11 + 2,110

7,292



udžbenik str.

168

Ključne riječi:

Sabiranje i oduzimanje cijelih brojeva,potpisivanje.


Ova materija zahtijeva dosta uvježbavanja, sve dok sabiranje i oduzimanje decimalnih

brojeva, za učenike ne postane rutinirano. Utvrđivanje je moguće izvesti prvo u grupama po

četiri, na uobičajen način, a zatim, podjelom radnih listića svim učenicima i upotreba

individualnog rada na pet vrsta zadataka. Na kraju posla je neophodno povesti raspravu o

tome gdje nastaju problemi i kako ih riješiti, odnosno koji zadaci ne predstavljaju problem.

U oba slučaja koristiti zadatke na stranici 168 (udžbenik) i 97 – 100 (radna sveska).

DIDAKTIČ

KO-METODIČ

KE SMJERNICEUčenici u ovoj nastavnoj temi primjenjuju dosad stečena znanja na konkretnim radnjama

sabiranja i oduzimanja decimalnih brojeva.

Učenici trebaju shvatiti značaj usvajanja ovog gradiva, kao potrebe za kvalitetniji život. To se

može potkrijepiti sa tekstualnim zadacima na stranici 168, gdje su prikazane praktične

situacije u kojima se svako od učenika može naći.

Kauzalnost se može uvidjeti u svođenju sabiranja i oduzimanja decimalnih brojeva na iste

operacije sa razlomcima.

Veoma je bitno naglasiti učenicima ulogu nule u sabiranju i oduzimanju decimalnih brojeva.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



RAZLOMCI

JEDNAČINE I NEJEDNAČINE SA SABIRANJEM I ODUZIMANJEMRAZLOMAKA.

Nastavni cilj:

Učenici znaju rješavati jednačine i nejednačine sa

sabiranjem i oduzimanjem razlomaka.

udžbenik

str. 169

udžbenik

str. 170

udžbenik

str. 171

UVOD (MOTIVACIJA)

Nastavnik nacrta na tabli vagu, koja je u stanju ravnoteže. Na jednoj strani vage naznači teret

od 2 cijela i 1 trećina kg a na drugoj 8 i po kilograma. Otvori se diskusija oko toga kojoj

strani treba i koliki teret dodati pa da imamo ravnotežu. Djeca spoznaju daće vaga biti ustanju ravnoteže ako su mase tereta na oba tasa jednake.

Sa druge strane se uoči za koliko je teret na težoj strani teži od mase tereta na lakšoj strani.

Uočimo koje mase tereta možemo dodavati dok se vaga ne dovede u stanje ravnoteže. To

može biti motiv za rješavanje nejednačina sa sabiranjem i oduzimanjem razlomaka.

OBRADA

a. Nastavnik napiše na tabli jednačinu x +312 =

218 . On učenicima objašnjava kakvu

vezu ima jednačina sa vagom. Znak jednakosti znači da imamo ravnotežu: na obje strane

jednačine su iste količine. Pitamo se, također, kolika količina se krije u znaku x, da bi

lijeva strana bila jednaka2

18 .

Ili: Koji broj moramo dodati broju3

12 , da bi se dobio zbir

2

18 . Rješavanjem problema

kao što to radi Mirza na stranici 169, dobije se rezultat x =6

16 . Nastavnik zapisuje i

zaokružuje napisano pravilo na tabli, koje govori o rješavanju jednačine kod koje je jedan

sabirak zbira nepoznat.

b. Slično se uradi zadatak na stranici 170, gdje je nepoznata veličina umanjenik ili

umanjilac. Nakon urađenog primjera na stranici 171, nastavnik ukratko zapisuje pravilo

rješavanja jednačina na tabli i zaokružuje ga drugom bojom.

c. Koristeći rezultate kod jednačina sa sabiranjem i oduzimanjem razlomaka, odmah se

uspostave pravila kao što su na stranici 172, a prije toga se urade primjeri na istoj stranici

udžbenika.



udžbenik

str. 172

udžbenik

str. 173

Ključne riječi:

Jednačine. Nejednačine. Rješavanje jednačina inejednačina.


Rješavanje jednačina i nejednačina je materija za čije usvajanje je potrebno niz alata i

postupaka, koji se proučavaju u ranije pređenom gradivu. Uvježbavanje ove materije je

uobičajeno zgodno za sve vrste i oblike rada, od individualnog do pojedinačnog.

Ova materija zahtijeva dosta uvježbavanja, sve dok sabiranje i oduzimanje decimalnih

brojeva, za učenike ne postane rutinirano. Utvrđivanje je moguće izvesti prvo u grupama po

četiri, na uobi

čajen na

čin, a zatim, podjelom radnih listi

ća svim u

čenicima i upotrebaindividualnog rada na pet vrsta zadataka. Na kraju posla je neophodno povesti raspravu o

tome gdje nastaju problemi i kako ih riješiti, odnosno koji zadaci ne predstavljaju problem.

U oba slučaja koristiti zadatke na stranici 168 (udžbenik) i 122 – 123 (radna sveska).


Učenici u ovoj nastavnoj temi primjenjuju dosad stečena znanja vezana za sabiranje i

oduzimanje razlomaka.

Za uvježbavanje je zgodno koristiti sve oblike rada, od pojedinačnog do rada u parovima igrupnog rada. Grupni rad je pogodan jer su učenici u grupnom radu opušteniji i oslobođeni

od eventualnih bojazni za pogrešne prijedloge. Pokazano je da učenici ponekad imaju svoje

algoritme i fazone u rješavanju zadataka koji im više pogoduju. Njih svakako, treba

prodiskutirati i uzeti u obzir prilikom građenja strategija podučavanja. Istraživanja su

pokazala da učenici uspješnije uče u timskom radu i zato ovaj način rada treba upotrebljavati,

gdje god je to moguće.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



RAZLOMCI

MNOŽENJE RAZLOMKA PRIRODNIM BROJEM. MNOŽENJE RAZLOMKARAZLOMKOM. OSOBINE MNOŽENJA RAZLOMAKA.

Nastavni cilj:

Učenici znaju množiti razlomke prirodnim brojem,

znaju izračunavati dijelove prirodnih brojeva izražene

razlomcima, te znaju množiti razlomak razlomkom,

koristeći osobine množenja razlomaka.

udžbenik

str. 175

udžbenik

str. 176

udžbenik

str. 177

UVOD (MOTIVACIJA)

Nastavnik se koristi konkretnim situacijama, kao što to rade Mirza i Niko na stranici 175,

pregledajući koli

činu meda smještenih u tegle u ostavi.

Pošto se prirodan broj može napisati kao razlomak (prividni), tada je jasno kako treba množiti

razlomak razlomkom.

OBRADA

a. Koristeći primjer sa stranice 175, nastavnik u dijalogu sa djecom, prebrojava i piše na tabli

rezultat razmatranja: kg4

33

4

15

4

35

4

3

4

3

4

3

4

3

4

3==⋅=++++ . Na osnovu ovoga učenici sami

izvedu definiciju množenja razlomka prirodnim brojem.

b. Na osnovu drugog primjera na stranici 175, učenici uviđaju primjenu množenja razlomka

prirodnim brojem. Nakon izrade i dva primjera na stranici 176, učenici će biti sposobni da

računaju dijelove od prirodnih brojeva izražene u razlomcima.

c. Koristeći se množenjem razlomaka prirodnim brojem, izvedemo pravilo koje se zapiše na

tabli i uokviri drugom bojom. Posebno obratiti pažnju na množenje mješovitih brojeva, kao

što je to urađeno u drugom primjeru na stranici 177.

d. Težište se prenosi na zadatke sa kombinovanim operacijama, kao što je treći primjer nastranici 177.

e. Koristeći se osobinama komutacije i asocijacije za množenje razlomaka, a koji proizilaze iz

istih osobina za množenje prirodnih brojeva, mogu se raditi složeniji zadaci na lakši način.



udžbenik str.

178

udžbenik str.

179

Ključne riječi:

Množenje razlomka prirodnim brojem, množenjerazlomka razlomkom. Komutativnost i asocijativnostmnoženja razlomaka.

Množenje razlomaka razlomkom je značajno jer se pomoću toga mogu računati dijelovi od

nekog broja, a koji su izraženi u razlomcima. Istovremeno, u kombinaciji sa drugim

operacijama, sabiranja i oduzimanja i upotrebom zagrada u pisanju brojnih izraza, mogu se

rješavati složeniji zadaci, koji su naročito izazovni za učenike, jer zadatak počinje sa

složenim, a završava se sa veoma jednostavnim izrazom.

Kao i u prošloj temi, utvrđivanje se može raditi sa nekoliko metoda, zavisno od sastava i

raspoloženja učenika, pa i nastavnika. U svakom slučaju rad na ovim zadacima učenicima

obezbjeđuje vještine potrebne u savladava ju kasnijih matematičkih tema.

U svakom slučaju se mogu koristiti zadaci na stranicama 176 i 179 (udžbenik) i 121 i 122

(radna sveska).


U ovoj temi učenici ističu vještine vještog baratanja razlomcima kada je u pitanje množenje

razlomaka razlomkom, ali i množenjem razlomaka zbirom ili razlikom razlomaka ili

množenje suma ili razlika razlomaka među sobno, što kod učenika izgrađuje vještine

postupnosti u rješavanju komplikovanijih problema.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



RAZLOMCI

DIJELJENJE RAZLOMKA PRIRODNIM BROJEM. DIJELJENJE RAZLOMKARAZLOMKOM.

Nastavni cilj:

Učenici znaju dijeliti razlomke prirodnim brojem,

znaju dijeliti razlomak razlomkom.

udžbenik

str. 184

udžbenik

str. 185

UVOD (MOTIVACIJA)

Nastavnik sa učenicima ponavlja dijeljenje prirodnih brojeva i zapisuje definicije:

a : b = c, b ≠ 0 i a = b · c. Koristeći analogiju može se dobiti dobra priprema za dijeljenje

razlomaka.

OBRADA

a. Koristeći razmišljanje Mirze i Nike na stranici 184, dolazi se do pravila dijeljenja razlomka

prirodnim brojem. Nakon urađenog primjera na stranici 184, nastavnik zapisuje pravilo

b

a

b

n x

y

xn

b

a=

⋅⇔=:

na tabli i okružuje ga drugačijom bojom krede.

b. Prethodni slučaj je prihvatljiv ako je brojilac razlomka djeljiv sa prirodnim brojem.

Problem se javlja kada to nije slučaj. Tada se uvodi pravilo:

b

a

nb

nan

nb

a

nb

an

b

a=

⋅

⋅=⋅

⋅⋅= ;: ,

nakon čega se urade primjeri na stranici 184.

c. Koristeći znanje iz prethodnog pasusa i činjenice da je prirodan broj, u stvari, prividni

razlomak, urade se zadaci (nastavnik zajedno sa učenicima) na stranici 185.

Obrati se pažnja na situaciju :

1=⋅

⋅=⋅

ab

ba

a

b

b

a,

gdje se za razlomakba uvodi pojam njegove recipročne vrijednosti

ab .

Nakon toga se razlomci dijele bez problema jer se njihovo dijeljenje svodi na množenje koje

je ranije usvojeno.

d. Posebnu pažnju posvetiti dijeljenju mješovitih brojeva, te količniku dva razlomka i

uvođenju pojma dvojni razlomak, te u diskusiji sa učenicima, doći do pravila rješavanja

dvojnog razlomka:

cb

d a

d

cb

a

d

c

b

a

⋅

⋅==: ,

nakon čega treba uraditi primjere na stranici 186, udžbenika.



udžbenik

str. 186

Ključne riječi:

Količnik razlomka i prirodnog broja, količnik razlomkai razlomka. Recipročna vrijednost razlomka, dvojnirazlomak.

Formirati grupe od po 4 člana na uobičajen način sa zadacima na radnim listovima sa stranica

184 i 186 (udžbenik), te 120 i 121 (radna sveska).


U ovoj temi učenici stiču vještinu baratanja razlomcima kada je u pitanje dijeljenje

razlomaka prirodnim brojem i dijeljenje razlomka razlomkom, sa i bez upotrebe recipročnihvrijednosti.

Nastavnik podcrtava usvojena pravila kao nešto sa čime je lakše živjeti, povezujući to sa

stvarnim životom.

Dijeljenjem i rješavanjem dvojnih razlomaka stvoren je odličan alat za rješavanje širokog

spektra zadataka sa kombinacijom svih vrsta operacija, ali i zagrada, sa promocijom principa

permanencije, tj. da sve što vrijedi za slične zadatke sa prirodnim brojevima, vrijedi i kod

razlomaka.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



RAZLOMCI

MNOŽENJE I DIJELJENJE DECIMALNIH BROJEVA DEKADSKIM, PRIRODNIMI DECIMALNIM BROJEM. PERIODIČNI DECIMALNI BROJ.

Nastavni cilj:

Učenici znaju množiti i dijeliti decimalne brojeve i

dekadske, prirodne brojeve, te množiti i dijeliti

decimalne brojeve sa decimalnim brojevima. Znaju

prepoznati decimalni periodični broj i odrediti njegov

pretperiod i period.

udžbenik

str. 180

udžbenik

str. 181

udžbenik

str. 182

UVOD (MOTIVACIJA)

Nastavnik sa učenicima prou

čava problem u prvom primjeru na stranici 180. Problem sezapisuje u obliku proizvoda:

0,26 ·10 =; 0,26 ·100 =

Postaviti pitanje učenicima kako riješiti ove zadatke. Uvažiti i ideje koje se svode na

pretvaranje decimalnog broja u razlomke, a onda množenje sa dekadskim brojem.

Provjeravajući rezultat dolazi se do slučaja kada treba uraditi slijedeće zadatke:

2,6 : 10 = i 26 : 100 =.

Učenici zaključuju šta se u ova dva slučaja dešava sa decimalnim zarezom.

Koristeći ova iskustva se lakše uvodi u operacije množenja i dijeljenja decimalnih brojeva

prirodnim i decimalnim brojem.

OBRADA

a. Fokusirajući se na problem iz uvoda na stranici 180, nastavnik postavlja probleme koje sa

učenicima rješava uz njihovo objašnjenje. Nakon toga se zapisuje kratka definicija koja se

zaokružuje u sveskama drugom bojom.

b. Slično se postupa kada je u pitanju množenje decimalnog broja prirodnim brojem idecimalnog broja decimalnim brojem. Učenici na osnovu, zajednički, urađenih primjera na

stranici 180, 181 i 182, uviđaju šta se dešava sa decimalnim zarezom u sva tri slučaja.

Nastavnik pomaže učenicima da iskažu definicija naznačenih operacija i na kraju se zapisuju

u svesku.

c. Fokusirajući se na provjeru množenja u sva tri slučaja, učenici zaključuju da se to svodi na

dijeljenje decimalnih brojeva sa dekadskim prirodnim i decimalnim brojem. U ovom slučaju

se uviđa da decimalni zarez, umjesto kretanja u desno, ide u lijevo za onoliko mjesta koliko

je decimalnim mjesta u djeljeniku i djeliocu.



udžbenik

str. 187

udžbenik

str. 190

udžbenik

str. 193

Ključne riječi:

Proizvod i količnik decimalnog broja idekadskog i prirodnog, te decimalnog broja.Periodični decimalni broj.

d. Nastavnik postavlja problem kada pretvaranje razlomka u decimalni broj ne završava sa

konačnim brojem decimalnih mjesta, kao što je to slučaj u zadacima na stranici 193

udžbenika. Nakon što se urade zadaci na stranici 193 i primjer na 194 strani, učenicima se

saopštavaju definicije periodičnih decimalnih brojeva, te njegovog sastava i mješovito

periodičnog broja.

Formirati grupe od po 4 člana na uobičajen način sa zadacima na radnim listovima sa stranice

180, 183, 188, 189, 192 i 194(udžbenik), te na stranicama 100-109 (radna sveska).


U ovoj temi učenici stiču vještine baratanja sa decimalnim brojevima, gdje je potrebno

upoznati učenike sa svim nepoznanicama i zamkama koje učenici doživljavaju.

Treba stalno ponavljati pravila operacija sa decimalnim brojevima, jer je njihova upotreba

ogromna naročito u drugim predmetnim oblastima (fizika, hemija...).

Dobro je povezati operacije sa decimalnim brojevima sa operacijama sa razlomcima, te

učenicima dati do znanja da mogu postojati različiti pristupi rješavanju matematičkih

problema, odnosno da poznavanje više načina u rješavanju problema predstavlja posebnuvrijednost.

Poslije obrade računskih operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja razlomaka i

decimalnih brojeva, otvara se polje uvježbavanja rješavanja složenijih zadataka sa

kombinacijama operacija i upotrebe svih vrsta zagrada, vodeći računa o prednosti računskih

operacija množenja i dijeljenja, nad sabiranjem i oduzimanjem.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



RAZLOMCI

ARITIMETIČKA SREDINA DATIH BROJEVA. BROJNI IZRAZI SAZAGRADAMA. IZRAZI SA PROMJENJIVIM VELIČINAMA.

Nastavni cilj:

Učenici znaju odrediti aritmetičku sredinu brojeva i

primijeniti je u praktičnim situacijama. Za određenu

vrijednost promjenjive veličine učenici znaju

izračunati vrijednost izraza sa promjenjivim i izraza

sa.

udžbenik

str. 195

udžbenik

str. 196

UVOD (MOTIVACIJA)

Nastavnik sa učenicima proučava problem u prvom primjeru na stranici 195, vezan za račun

prosječne temperature. U diskusiji sa u

čenicima se dolazi do zaklju

čka da

će prosje

čnatemperatura za tri dana biti količnik zbira izmjerenih temperatura sa brojem mjerenja.

Principom kauzalnosti i permanencije se rukovodimo kada je u pitanju račun sa brojnim

izrazima u zagradama i računom vrijednosti izraza sa promjenjivim veličinama za određene

vrijednosti tih veličina, jer je to obrađeno u poglavlju prirodnih brojeva.

OBRADA

a. Fokusirajući se na problem iz uvoda na stranici 195. nastavnik zapisuje matematički model

računa prosječne vrijednosti temperatura:

153

45

3

111618==

++

U diskusiji sa učenicima se izvede zaključak o računu prosječne vrijednosti tj. Aritmetičke

sredine brojeva. Podcrtavajući pravilo za račun aritmetičke sredine, učenici urade u svojim

sveskama zadatke koje je nastavnik napisao na tabli sa stranice 195. Na osnovu shvatanja

aritmetičke sredine, moguće je shvatiti da je skup razlomaka beskonačan skup, jer za svaka

dva susjedna razlomka postoji treći koji je između njih i koji je aritmetička sredina svojih

krajnjih susjeda.

b. Račun aritmetičke sredine se može nazvati i sređivanje određenog brojnog izraza. Sa

zagradama. Nakon izrade zadataka sa stranice 196, učenicima će biti izazovno srediti bilo kojisličan izraz.

c. Proširivanjem izraza i uvođenje u njegov sastav i promjenjive veličine, dobija se izraz sa

promjenjivim veličinama, koje nije ništa drugo nego poopćenje brojnih izraza sa zagradama.

Treba pitati učenike da li znaju za neke takve izraze i o njihovim prijedlozima ozbiljno

prodiskutiovati insistirajući na slobodnim izricanjem stavova učenika.



udžbenik

str. 197

udžbenik

str. 198

Ključne riječi:

Prosjek ili aritmetička sredina, brojni izraz sazagradama, izraz sa promjenjivim veličinama

Formirati grupe od po 4 člana za uvježbavanje. Formirati radne listove za grupni rad, koristeći

zadatke sa stranica 195, 196 i 198, udžbenika, te zadatke na stranicama 114 i 115, te 124 i

125 iz radne sveske.


U ovoj temi se upoznavaju sa računom aritmetičke sredine ili prosjeka. Oni trebaju shvatiti da

je taj račun zastupljen skoro u svakom segmentu života, od prosječne ocjene u razredu, školi,

svih pojedinačnih predmeta, prosjeka u učenju na nivou škole, do prosječnog prinosa pšenice

ili kukuruza po hektari ili prosječnom trošenju džeparca po danu.

Sređivanje brojnih izraza je prilika da se ponove operacije sa razlomcima i decimalnim

brojevima, te prednost u računanju.

Kada je u pitanju izraz sa promjenjivim veličinama, učenici treba da shvataju da su oni samo

uopćavanje nekih brojnih izraza i da za svaku vrijednost promjenjive imamo ponovio brojni

izraz.

Učenici treba da iskažu neke poznate obrasce (obim ili površina pravougaonika, kvadrata itd.)

i da shvate da se radi o izrazu sa promjenjivim veličinama, te da se radi o obrascima za

računanje vrijednosti brojnog izraza sa odgovarajuće vrijednostima promjenjivih.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



RAZLOMCI

JEDNAČINE I NEJEDNAČINE SA MNOŽENJEM I DIJELJENJEM.

Nastavni cilj:

Učenici znaju rješavati jednačine i nejednačine sa

množenjem i dijeljenjem razlomaka i decimalnih

brojeva.

udžbenik

str. 199

udžbenik

str. 200

udžbenik

str. 201

UVOD (MOTIVACIJA)

Nastavnik pita učenike: kako se rješavaju jednač ine i nejednač ine sa sabiranjem i

oduzimanjem razlomaka. Nakon povratnih informacija od učenika, on zapisuje opći oblik i

pravila za rješavanje:a · x = b, a≠ 0 i a · x = b⇒x = b : a ili x =

a

b,

x : a = b ⇒ x = b · a

dalje je jasno jer se radi o množenju ili dijeljenju razlomaka ili decimalnih brojeva.

Slično je sa nejdnačinama koje se nadovezuju na nejednačine sa sabiranjem i oduzimanjem

razlomaka.

OBRADA

a. Koristeći pravila iz uvoda, a koja vrijede za prirodne brojeve, urade se zadaci (zajedno

nastavnik sa učenicima) na stranici 199 i 200.

b. Sada se fokusiramo na slučaj kada je promjenjiva veličina u imeniocu razlomka, te

nakon napisanog pravila: i a : x = b⇒x =a : b ili x =b

a, rješavaju se primjeri na

stranici 200.

c. Koristeći isti princip permanencije, obrađuju se nejednačine sa množenjem i

dijeljenjem. Ovdje treba više povesti računa o grafičkom zapisivanju rješenja, jer je

poznato da to kasnije učenicima treba u skoro svim razredima, osnovne i srednje škole.

d. Nakon izrade zadataka na stranici 201 i 202, učenicima se posebno objasni razlika

između rješenja nejednačina sa znakom ≤ ili ≥ i > ili <, gdje se u prva dva slučaja u

rješenje uzima i krajnja tačka



udžbenik str.

202

udžbenik str.

203.

Ključne riječi:

Jednačine. Nejednačine. Rješavanje jednačina inejednačina.


Kada se rješavanju jednačina i nejednačina sa sabiranjem i oduzimanjem razlomaka i

decimalnih brojeva doda znanje množenja i dijeljenja razlomaka dobija se mogućnost

postavljanja, kopmplikovanijih zadataka – jednačina i nejednačina sa razlomcima i

decimalnim brojevima. Ovdje je potrebno dosta uvježbavanja, sve dok rješavanje jednačina i

nejednačina za učenike ne bude predstavljalo veliki problem.

Utvrđivanje je moguće izvesti prvo u grupama po četiri, na uobičajen način, a zatim,

podjelom radnih listića svim u

čenicima i upotreba individualnog rada na pet vrsta zadataka.Na kraju posla je neophodno, nakon prezentiranja rezultata u prvom slučaju i prezentaciji

rezultata, povesti raspravu o tome gdje nastaju problemi i kako ih riješiti, odnosno koji zadaci

ne predstavljaju problem.

U oba slučaja koristiti zadatke na stranici 200 i 203 (udžbenik) i 122 – 123 (radna sveska).


Učenici u ovoj nastavnoj temi primjenjuju dosad stečena znanja vezana za sabiranje i

oduzimanje, te množenja i dijeljenja razlomaka.

Za uvježbavanje je zgodno koristiti sve oblike rada, od pojedinačnog do rada u parovima i

grupnog rada. Grupni rad je pogodan jer su učenici u grupnom radu opušteniji i slobodniji u

iznošenju svojih stavova.

Grupni rad je pogodan za njegovanje timskog rada i stvaranja osjećaja za timski rad, te

razvijanje vještina slušanja i saopštavanja stavova sa argumentacijom, te poštivanja

različitosti.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



RAZLOMCI

DŽEPNO RAČUNALO I RAČUNANJE POMOĆU NJEGA.

Nastavni cilj:

Učenici znaju sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti

decimalne brojeva sa kalkulatorom. Znaju

upotrebljavati džepno računalo u rješavanju raznih

problema.

udžbenik

str. 204

udžbenik

str. 205

UVOD (MOTIVACIJA)

Učenici rade u parovima. Nastavnik zapiše na tabli nekoliko primjera. Npr.:

723 · 35 + (226 + 358) : 2 – 4897 : 83 =

(57 568 – 28 312) : 318 + 562 . 345 ·186 – 5 553 340 : 806 =

36 896 + 45 376 · 31 – 17 · 45 642 =

Učenici traže vrijednost tih izraza pomoću kalkulatora. Učenici u svakoj grupi uspoređuju

rezultate, pa ako dobiju različite rezultate ponovo računaju dok ne usaglase rezultat,

analizirajući gdje se moglo pogriješiti.

OBRADA

a. Učenik stavi sliku džepnog računala na grafoskop i pokazuje im kako se unose

decimalni brojevi. Napominje im da umjesto zareza ovdje koristimo decimalnu tačku.

Učenici u svoje kalkulatore unesu npr. 4,5. Nastavnik ih pozove da izračunaju vrijednost

izraza: 4,5 · 0,64 : 1,8 = . Izraz i njegovu vrijednost zapišu u svoje sveske. Pri tome ih

nastavnik upozori da rezultat zapišu sa decimalnim zarezom, a ne sa decimalnom tačkom:

4,5 · 0,64 : 1,8 = 1,6

Neki učenik može pravilno pročita zapis sa decimalnim brojevima.

b. Zajedno se pozabavimo zadatkom broj 3 na stranici 201. Najprije pročitamo zadatak,zatim čitajući još jednom zapisujemo podatke na tablu. Učenik zamoli nekog učenika da

ponovi zadatak svojim riječima. Prodiskutiramo kako bi smo ga mogli riješiti i zapišemo

odgovarajuće račune. Ako iz jednog kg brašna dobijamo 1,25 kg hljeba, onda će se iz 84

kg brašna dobiti 84 · 1,25 = 105 kg hljeba. Ako svaka vekna teži 0,5 kg, onda imamo 2

vekne za svaki kg, pa je to skupa 105 · 2 = 210 vekni, što se može izračunati i bez

upotrebe kalkulatora. Tu se može zaključiti da kalkulator upotrebljavamo kada se

susretnemo sa komplikovanijim računom. U drugom slučaju, zaključuje se da će sa istom

količinom brašna dobiti manje vekni sa masom vekni od 0,75 kg. Dakle, 105 kg hljeba:

0,75 kg = 140 vekni.

Zaključujemo da je kalkulator koristan i da ga upotrebljavamo kada smo u stisci sa

vremenom, kao što to kaže Selma na stranici 204. U tom smislu, učenici moraju steći

osjećaj da je kalkulator pomoćno sredstvo za računanje.



udžbenik

str. 206

udžbenik

str. 207.

Ključne riječi:

Kalkulator, pokazivač, uključeno/isključeno, tipka,brisanje, broj, decimalna tačka, računska operacija.


Nastavnik zapisuje neke račune dijeljenja, npr. na stranici 206, koji u rezultatu nemaju

decimalni zarez. Učenici rezultate ocjenjuju i postavljaju zareze na odgovarajuća mjesta.

Svoje odgovore provjeravaju pomoću kalkulatora.

U uvježbavanju se mogu koristiti još zadaci na stranicama 205 i 207 (udžbenik) i 128– 131

(radna sveska).


Učenici sistematično započinju svoje prve korake u računanju sa kalkulatorom, zato će takvi

koraci biti kratki i lagani.

Učenike moramo uvjeriti da, računanje sa džepnim računalom, na kraju, ne smijemo uzeti

zdravo za gotovo. Uvijek treba provjeriti da li dobijeni rezultat ima smisla.

Oni moraju spoznati da je kalkulator veoma korisno pomagalo, ako ga znaju pravilno i

pametno upotrijebiti.

Besmisleno je s njim računati vrijednosti izraza, koje ćemo brže izračunati na pamet (na

primjer 205 · 2; 3,5 · 1000; 240 + 130; 520 : 2...).

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________



P R I L O Z I



Postupak rješavanja problema

1. Pročitaj zadatak.

2. Podvuci i zapiši podatke.

3. Navedi plan rješavanja.

4. Napiši račune.

5. Zapiši odgovor.

6. Provjeri svoje rješenje.

.

razred 6 - prirucnik

Documents