6 razred - matematiskop - prirucnik

7/26/2019 6 Razred - Matematiskop - Prirucnik

http://slidepdf.com/reader/full/6-razred-matematiskop-prirucnik 1/183

Владимир Стојановић

MATEMATISKOP OSNOVNA [KOLA

МАТЕМАТИСКОП

МЕТОДИЧКИ ПРИРУЧНИКЗА НАСТАВНИКЕ МАТЕМАТИКЕ

ШЕСТИ РАЗРЕД



5 :Математика уџбеник за пети разред основне школе /

Владимир Стојановић. - 2. изд. Београд : Математископ,

2010 ( ). - 179 стр. : илустр. ; 26Крагујевац : Графостил cm

СТОЈАНОВИЋ Владимир, , 1940-

Тираж 3.000

ISBN - 7076-0978 86- 39-4COBISS.SR-ID 175695884

МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ Републике Србије донело је Решење бр.

650-02-00222/2008-06, од20.06.2008. којимсе одобрава издавањеи употреба

уџбеничког комплета МАТЕМАТИКА за пети разред основне школе, ЗБИРКА

ЗАДАТАКА и ПЛУС за додатну наставу, аутора Владимира Стојановића, као

уџбеничкикомплетза предмет Математика за пети разредосновне школеод

школске2008/2009. године.

V

Издавач

, Деспота Оливера 6, Београд

тел. тел/факс(011)3087-958, (011)2413-403 (011)380-70-90

www.matematiskop.co.rs

ИП МАТЕМАТИСКОП

За издавача

Нада Стојановић, директор

T 3.000

: " ",

ираж примерака

Штампа Графостил Крагујевац

ЦИП Каталогизација у публикацији

Народна библиотека Србије, Београд

-

Припрема за штампу

Жељко Хрчек

[email protected]

372.851(075 . 3) (076)

Рецензенти

Дана Ђилас, ОШ "Свети Сава", Београд

Величко Илић, наставник основне школе

Владимир Стојановић

МЕТОДИЧКИПРИРУЧНИКЗАНАСТАВНИКЕ МАТЕМАТИКЕ

(ШЕСТИ РАЗРЕД)

ЛекторЈованка Цветковић, професор

Уредник

проф. др Предраг Цветковић

37.016:51(075.2)



UPUTSTVOza korixeǌe Priruqnika

Pre nego xto poqne sa realizacijom nastave, nastavnik trebada prouqi predloeni plan. Ukoliko ima vixegodixǌe iskustvo,moe smatrati da pojedine nastavne teme treba drugaqije planira-ti. I autor ovog PRIRUQNIKA bi neke teme planirao na druginaqin. Qak je raspored nastavnih tema malo izmenio. Meutim,veina nastavnika, a zaqudo i nadzornika, smatra da je redosled gradiva u zvaniqnom programu obavezujui. Zbog toga je redosled obrade tema skoro isti kao u zvaniqnom programu.

Osim toga, da li e se raditi frontalno, odnosno u maǌimili veim, homogenim ili nehomogenim grupama, moe odluqiti

trenutna situacija.Budui da Priruqnik nije dostupan uqenicima, predlozi kon-trolnih vebi i pismenih zadataka u pet varijanti, bie ogromnapomo nastavnicima, jer mogu koristiti predloene zadatke i bezikakvih izmena.

Na kraju, jedno je sigurno – ovaj Priruqnik e svakako vixe-struko olakxati nastavniku pripremu i realizaciju nastave, a sa-mim tim doprinee i kvalitetu nastave.

Veliku pomo nastavnicima i uqenicima predstavǉa RADNASVESKA kontrolni i pismeni zadaci (izdaǌe Matematiskopa).

Sigurni smo i garantujemo da ete sa lakoom i sa odliqnimrezultatima realizovati nastavu ako Vi i Vaxi uqenici, uz ovajPriruqnik koristite nax ubenik MATEMATIKA 6, ZBIRKUZADATAKA i RADNU SVESKU.

Preporuqujemo Vam i zbirku PLUS VI za dodatnu nastavu.



4 Sadraj

SADRAJ

UPUTSTVOza korixeǌe Priruqnika 3

GLOBALNI (GODIXǋI) PLAN RADA 5

OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLAN RADAPO MESECIMA 6

REALIZACIJA NASTAVE PO QASOVIMA 20



GODIXǋI (GLOBALNI) PLAN RADA

Raspored nastavnih tema u Progamu nije najpogodniji za iz-voeǌe nastave. Radi razbijaǌa monotonije (prvo samo algebra,pa do kraja samo geometrija), naqiǌena je mala inverzija. PosleCELIH BROJEVA, planirana je tema TROUGAO, pa onda sledeRACIONALNI BROJEVI. Takav redosled se ve godinama odo-maio u xkolama i ubenicima. To vai i za Ubenik i Zbirkuzadataka IP MATEMATISKOPA-a.

Za realizaciju pismenih zadataka u drugom polugodixtu pla-nirana su po tri qasa. Novost je jedan pripremni qas. Jedan brojqasova ostavǉen je u rezervu. Ovi qasovi se mogu iskoristiti zaposebno usmeno proveravaǌe znaǌa uqenika koji nisu sposobni dasvoja znaǌa izraze iskǉuqivo pismenim putem, ukoliko se nisu iz-

gubili u nepovoǉnom ukrxtaǌu kalendara i rasporeda qasova.Red.Nastavna tema

Broj qas. Qasovabr. po temama Obrade Ostalo

0 Uvodni qas 1 1

1 Celi brojevi 20 8 12

2 Trougao 14 6 8

Prvi pismeni zadatak 3 3

2 Trougao 19 8 11

3 Racionalni brojevi 8 2 6

Drugi pismeni zadatak 3 3

Drugo polugodixte

3 Racionalni brojevi 28 9 194 Qetvorougao 4 2 2

Qetvrti pismeni zadatak 3 3

4 Qetvorougao 17 8 9

5 Povrxina qetvorougla i

trougla 17 6 11

Qetvrti pismeni zadatak 3 3

Ukupno 140 49 91



OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLANRADA PO MESECIMA

Napomena. Zbog raznih mogunosti uklapaǌa liqnog nedeǉnograsporeda u kalendar, granicu izmeu dva uzastopna meseca trebauzeti fleksibilno.

Nastavna sredstva definixe nastavnik prema raspoloivimmogunostima.



Operativni plan rada po mesecima 7



8 Operativni plan rada po mesecima



REALIZACIJA NASTAVE PO QASOVIMA

Zna se da dobro napravǉen plan predstavǉa polovinu obavǉenog posla . I, upravo, tako i treba shvatiti ponueni plan realizacije nastave , saqiǌen prema detaǉnom operativnom godixǌem planu .

Brojni su razlozi zbog kojih ni najiscrpniji plan nije mogu-e realizovati u potpunosti. Trenutna situacija u odeǉeǌu moenas uvek naterati da odustanemo od nekih detaǉa iz plana. U ra-znim odeǉeǌima moe doi do razliqitih odstupaǌa. Nastavnik,koji se paǉivo upusti u rexavaǌe nastalih problema, moe ”is-peglati” te probleme i nastaviti realizaciju nastave kao xto jeplanirao. Najjednostvnije je odustati od dela planiranog, ili do-puniti planirani qas nekim neophodnim obnavǉaǌem ili dodatnimobjaxǌeǌima. Na kraju, uvek je mogue rexeǌe ubacivaǌem dodat-

nog qasa sa neophodnim sadrajem.Qesto e se desiti da za rad na nekom qasu nedostaje vre-

mena za izradu svih planiranih zadataka. To se rexava prosto:preostale zadatke prikǉuqimo grupi za domai zadatak. Ako, pak,reximo sve xto je predvieno i imamo jox vremena, onda - ili po-novimo bitne qiǌenice sa tog qasa, ili uzmemo jox neki zadatakiz Zbirke.

Dobar nastavnik e svaki plan, makoliko da je dobar i mako-liko iscrpan, shvatiti kao izazov i svojim idejama dopuniti pla-nirano. Rezultati koji iz toga proizau posluie da nastavnikproveri ispravnost svojih ideja, ali i ideja autora ovog Priruq-nika .

U svakom sluqaju, ovaj Priruqnik sa Ubenikom i Zbirkom za-dataka od istog autora i istog izdavaqa olakxae nastavniku re-alizaciju nastave, a ubeeni smo da e i nastavnici i uqenici iǌihovi roditeǉi biti zadovoǉni nivoom i kvalitetom znaǌa kojeuz ovaj plan steknu uqenici.



21

1. QAS Prvo polugodixte

Uvodni qas Razgovor

Ciǉ Upoznavaǌe sa uqenicima i upoznavaǌe uqenika sa predme-

tom.

Tok qasa

Na ovom qasu svakom uqeniku treba posvetiti po minut. Kakoe tei ovi razgovori zavisi pre svega od toga da li je nastavnikistom odeǉeǌu predavao i u prethodnom razredu. U svakom sluqaju,ciǉ ovih razgovora je da se uqenici opuste i ohrabre.

Zatim, treba naglasiti da polovinu gradiva koje e se pro-uqavati predstavǉaju celi i racionalni brojevi, koji su veimdelom prouqavani u V razredu. Ostatak gradiva je geometrija: otrouglu i o qetvorouglu.

Uqenike treba uputiti na neophodnu literaturu i nabavku po-trebnog pribora (sveske, leǌiri, xestar). Zatim, upoznati ih samogunoxu nabavke qasopisa (npr., MATEMATISKOPA), poka-zati im uzorke i kratko ih upoznati sa sadrajima i mogunoxuuqexa u rexavaǌu nagradnih zadataka.

Svim uqenicima treba preporuqiti uqexe u Dodatnoj nasta-vi . Nije poeǉno u startu razdvajati ih na zainteresovane i neza-interesovane. Odmah im pokazati i preporuqiti neophodnu lite-raturu. (Na primer, PLUS VI, VODIQ ZA XAMPIONE, INO-STRANA JUNIORSKA TAKMIQEǋA i sl.)



22 Celi brojevi

2. QAS

Skupovi N i N o i brojevna poluprava Obnavǉaǌe

Frontalni rad Dijalog

Ciǉ Obnavǉaǌem gradiva nauqenog proxle godine pripremiti

teren za uvoeǌe pojma negativnog broja.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik , od 7. do 10. str.

Ponovimo pojmove skupova N i N o. Zatim, kao xto je opisano na8. i 9. strani ubenika, podsetimo se na predstavǉaǌe prirodnihbrojeva na brojevnoj polupravoj. Obratimo paǌu na uporeivaǌebrojeva na osnovu ǌihovog meusobnog poloaja na brojevnoj po-lupravoj. Izvodimo zakǉuqak da su svi prirodni brojevi vei od nule, jer su desno od poqetne taqke (nule) na brojevnoj polupravoj.Posebno, obratimo paǌu na ilustrovaǌe sabiraǌa i oduzimaǌana brojevnoj polupravoj, jer emo tu ideju koristiti kod sabiraǌai oduzimaǌa celih brojeva.

Reximo zadatke za Vebe sa 10. strane, a ako neki ne stignemoda uradimo na qasu, dajemo uqenicima za domai zadatak. Za rad na qasu moemo koristiti zadatke iz Zbirke za V razred, od 90.do 115. zadatka.



Celi brojevi 23

3. QAS

Negativni broj. Skup celih brojeva.Brojevna prava.

Obrada


Ciǉ Uvoeǌe pojmova: pozitivni brojevi (vei od nule), nega-

tivni brojevi (maǌi od nule), brojevna prava .


Rexavajui 6. zadatak iz Vebe sa 10. strane, uqenici su na-ixli na probleme koje do sada nisu rexavali: trebalo je oduzetivei boj od maǌeg: 12-16 i 0-3. Pitamo uqenike kako su rexiliovaj problem.

Na primerima duga i vodostaja, kao xto je opisano na 11. stra-ni Ubenika, ukazujemo na praktiqne primere u kojima je potrebnooduzimati vee brojeve od maǌih.

Zatim, uvodimo pojmove pozitivnih i negativnih brojeva (ve-ih od nule i maǌih od nule).Brojevnu polupravu, na kojoj smo prikazivali elemente skupa

N o, proxirimo ”levom polupravom”, kao xto je opisano na 11. i12. strani ubenika.

Uvodimo definiciju skupa Z celih brojeva i ǌegovih podsku-pova Z + i Z −.

Uoqimo primere brojevnih pravih iz okrueǌa (termometar,komandna tabla lifta).

Rexavamo primere 1, 2, 3, 4.

Domai zadatak Zbirka: 1, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 13.



24 Celi brojevi

4. QAS

Skup celih brojeva. Brojevna prava Uvebavaǌe

Rad u parovima Dijalog

Ciǉ Usvajaǌe pojmova celih brojeva, celih pozitivnih i celih

negativnih brojeva.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 7. do 9. str.

Parove formiraju uqenici koji sede u jednoj klupi. Zajednorexavaju postavǉene zadatke. Nastavnik izvodi na tablu, po pra-vilu, onog uqenika koji slabije vlada materijom. Ocenu upisujesvakom od uqenika iz para.

Ponovimo pojmove: prirodni brojevi, negativni celi brojevi,pozitivno i negativno. Zatim, ponovimo skupove N , N 0 i Z (nabra-

jaǌem elemenata).Rexavamo iz Zbirke zadatke: 2, 4, 7, 8.Ponovimo pojam brojevne prave, predstavǉaǌe celih brojeva,

pozitivni i negativni brojevi na brojevnoj pravoj.Reximo zadatke 12 i 15 iz Zbirke.

Domai zadatak Zbirka: 9. i 14. zadatak.



Celi brojevi 25

5. QAS

Suprotni brojevi. Apsolutna vrednost.Uporeivaǌe celih brojeva.

Obrada


Ciǉ Uvoeǌe novih pojmova: suprotni broj i apsolutna vrednost

broja, relacije vee i maǌe u skupu celih brojeva.


Ponovimo pojmove: pozitivan broj i negativan broj, i ǌihovopredstavǉaǌe na brojevnoj pravoj. Zatim, koristei se brojevnompravom, uvodimo pojam suprotnih brojeva. Koristei qiǌenicu da

je negativnom broju suprotan pozitivan broj, izvedemo pravilo:−(−k) = k.

Reximo primere 1 i 2 sa 15. straneDefinixemo apsolutnu vrednost, kao na 15. i 16. strani Ube-

nika. Onda, reximo Vebe 1, 2, 3 i primer 3.Koristei princip da je od dva broja vei onaj, koji je na

brojevnoj pravoj desno, definixemo uporeivaǌe celih brojeva.Reximo primer 4.

Domai zadatak Vebe: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.



26 Celi brojevi

6. QAS

Suprotni brojevi. Apsolutna vrednost.Uporeivaǌe celih brojeva

Uvebavaǌe


Ciǉ Utvrditi pojmove: suprotni broj i apsolutna vrednost bro-

ja. Posebno obratiti paǌu na uporeivaǌe negativnih brojeva.


Ponovimo pojam suprotnog broja.Reximo iz Zbirke zadatke 16, 17, 18 i 21.Ponovimo pojam apsolutne vrednosti celog broja.Reximo iz Zbirke zadatke 24, 25, 26 i 28.Ponovimo uporeivaǌe celih brojeva na brojevnoj pravoj. Za-

tim, ponovimo uporeivaǌe celih brojeva na osnovu znaka i apso-lutne vrednosti.

Reximo iz Zbirke zadatke: 34, 35, 36 i 39.

Domai zadatak Zbirka: 20, 23, 28, 29 b) i v), 40.



Celi brojevi 27

7. QAS

Sabiraǌe celih brojeva Obrada


Ciǉ Usvojiti pravila za sabiraǌe celih brojeva.


Najpre se podsetimo kako se sabiraǌe dva prirodna broja pri-kazuje na brojevnoj polupravoj, zatim, razmotrimo primere 1 i 2iz Ubenika. Imamo najpre jedan negativan sabirak, a onda i obanegativna sabirka.

Razmotrimo sabiraǌe dva cela broja na brojevnoj pravoj, kaoxto je prikazano na 20. strani Ubenika.

Uporeujemo rezultate navedenih zbirova, izvodimo praviloza sabiraǌe celih brojeva, kao na 21. strani. Vano je da uqeniciuoqe i zapamte jednostavan, ali bitan zakǉuqak: Zbir dva cela broja

uvek ima znak sabirka sa veom apsolutnom vrednoxu .Zatim, utvrdimo da je k + (−k) = 0 i k + 0 = 0 + k = k.Reximo primere 3 i 4.

Domai zadatak Vebe (str. 21): 1, 2, 3, 4, 5.



28 Celi brojevi

8. QAS

Sabiraǌe celih brojeva Uvebavaǌe


Ciǉ Utvrditi pravilo za sabiraǌe celih brojeva.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 14. i 15. str.

Ponovimo pravilo za sabiraǌe. Onda, uzimajui najmaǌe poqetiri sluqaja (sve kombinacije pozitivnih i negativnih sabira-ka), iz zadatka 51, ponovimo ilustrovaǌe zbira na brojevnoj pra-voj. Zatim, rexavamo zadatak 52, koristei nauqeno pravilo zasabiraǌe celih brojeva.

Zatim, rexavamo zadatke 54, 55, 58, 60, 65.Onda reximo zadatke 68. i 69.

Domai zadatak Zbirka: 57, 59, 61, 62, 67.



Celi brojevi 29

9. QAS

Oduzimaǌe celih brojeva Obrada


Ciǉ Proxiriti pojam razlike a − b na sluqaj a < b.


Podsetimo sa na oduzimaǌe prirodnih brojeva i prikazivaǌeoduzimaǌa na brojevnoj pravoj. Takoe se podsetimo na osobinusuprotnog broje:

k + (−k) = 0

Zatim, definixemo oduzimaǌe celih brojeva preko sabiraǌa,kao xto je opisano na 23. strani Ubenika:

p − q = p + (−q )

Reximo primer 1.Definixemo promenu celog broja a u ceo broj b. U tom sluqaju

broj a se promeni za b − a.Onda reximo primere 2 i 3.Oduzimaǌem uporeujemo brojeve. Na primer, ako je a − b > 0,

onda je a > b. (Vidi 25. strana u Ubeniku).Definixemo rastojaǌe izmeu taqaka M (m) i N (n) na brojev-

noj pravoj: M N = |m − n|.Rexavamo vebe 1, 2, 3 i 4.

Domai zadatak Vebe: 5, 6, 7, 8, 9, 10. Zatim, iz Zbirke zadaci

63, 71, 72, 73, 75, 78.



30 Celi brojevi

10. QAS

Osobine sabiraǌa celih brojeva Uvebavaǌe

Rad u nehomogenim grupama Dijalog

Ciǉ Na konkretnim primerima uoqimo zakone koje vae za sabi-

raǌe u skupu celih brojeva.


Nehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe.Proxle godine nauqili smo da je zbir dva prirodna broja uvek

prirodni broj. Meutim, razlika dva prirodna broja, a − b, pred-stavǉa prirodni broj, samo ako je a > b. (skup prirodnih brojevazatvoren je u odnosu na sabiraǌe, ali ne i u odnosu na oduzimaǌe).Skup celih brojeva zatvoren je u odnosu na sabiraǌe i u odnosuna oduzimaǌe.

Navodei primere, pokaemo da je a + b = b + a (komutativnostsabiraǌa), zatim a + (−a) = 0, i a + 0 = 0 + a = a, kao i osobinu

asocijativnosti.Rexavamo primere 1 i 2. (Nastavnik postavi zadatak, a grupa

koja nae rexeǌe, prijavi to nastavniku. Kad utvrdi da je veibroj grupa rexio zadatak, izvodi jednog od uqenika na tablu. Naj-qexe izvodi onog predstavnika grupe, kog eli da aktivira. Reeizvodi najboǉeg. Ocena koju ovaj uqenik zaslui daje se celoj gru-pi, svim pojedincima koji su u toj grupi.)

Onda, uqenici (grupe) zakǉuqe da su jednakosti i nejednakostisaglasne sa operacijama sabiraǌa i oduzimaǌa.

Zatim, uvodimo pravilo ”minus ispred zagrade ”, kada je uzagradi zbir ili razlika.

Reximo primer 3.

Domai zadatak Vebe: 1, 2, 3, 4, 5, 6, i iz Zbirke zadaci: 53,

56, 63, 74, 96, 98, 99, 100, 101.



Celi brojevi 31

11. QAS

Jednaqine Obrada


Ciǉ Rexavaǌe elementarnih jednaqina na osnovu definicije zbi-

ra i razlike celih brojeva.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik , od 29. do 31. strane

U jednakostima a + b = c i m − n = d, ako su data dva broja,moemo izraqunati trei broj. Pritom, koristimo osobine zbi-ra i razlike dva cela broja. Ovim dolazimo do pojma jednaqine irexavaǌa (rexeǌa) jednaqine.

Rexavamo primer 1. Insistiramo da rexeǌe jednaqine uvek treba proveriti .

Rexavamo primere 2. i 3.Izvodimo zakǉuqak o naqinu rexavaǌa jednaqina oblika:x + a = b i a − x = b.

(Jednaqina x−a = b je isto xto i x+a = b, jer je x−a = x+(−a)).Usput rexavamo primere 4 i 5.Zatim, rexavamo i zadatak, veba 2.

Domai zadatak Vebe: 1, 3, 4, 5 i iz Zbirke zadatak 114.



32 Celi brojevi

12. QAS

Jednaqine Uvebavaǌe


Ciǉ Usvajaǌe tehnike rexavaǌa jednaqina i jednostavne prime-

ne jednaqina.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 21. i 22. strana

Ponovimo pojmove: jednaqina i rexeǌe jednaqina.Zatim, rexavamo zadatke: 106, 107, 108. Obavezno vrximo pro-

veru rexeǌa.Rexavamo zadatak 110.Onda, reximo tekstualne zadatke 113 i 116.Na kraju, rexavamo jednaqine sa apsolutnim vrednostima, za-

datak 111.

Domai zadatak Zbirka: 109, 117, 118, 112.



Celi brojevi 33

13. QAS

Mnoeǌe celih brojeva Obrada


Ciǉ Odreivaǌe znaka proizvoda dva cela broja. Izvesti pra-

vilo za mnoeǌe celih brojeva.


Na osnovu praktiqnog primera, kao xto je opisano u Ubenikuutvrdimo da je proizvod pozitivnog i negativnog broja negativanbroj.

Zatim, koristei se suprotnim brojem, pokaemo da je proiz-vod dva negativna broja pozitivan broj. Uverimo se da je apsolutnavrednost proizvoda jednaka proizvodu apsolutnih vrednosti, kaoxto je pokazano u Ubeniku.

Izvodimo pravilo za mnoeǌe celih brojeva. (Prvo odreuje-mo znak, pa apsolutnu vrednost proizvoda).

Reximo primer 1.Podsetimo se da za mnoeǌe vae zakoni komutativnosti i

asocijativnosti i istaknemo mnoeǌe sa 0, 1 i (−1).Reximo primer 2. i podsetimo se na distributivnost mnoe-

ǌa u odnosu na zbir.Onda prouqimo znak stepena celog broja.Reximo primer 3.

Domai zadatak Vebe: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.



34 Celi brojevi

14. QAS

Mnoeǌe celih brojeva Uvebavaǌe


Ciǉ Usvajaǌe tehnike mnoeǌa celih brojeva.


Ponovimo pravilo za mnoeǌe celih brojeva.Rexavamo iz Zbirke zadatke 121. i 122.Zatim, radimo zadatke 123. i 124.Koristei se zakonima komutativnosti i asocijativnosti, re-

xavamo zadatke 128. i 130.Podsetimo se na znak stepena celog broja, pa reximo zadatke

132. i 135.




Celi brojevi 35

15. QAS

Deǉeǌe celih brojeva Obrada


Ciǉ Deǉeǌe uporediti sa mnoeǌem celih brojeva.


Ponovimo o deǉeǌu u skupu prirodnih brojeva, posebno bezostatka – deǉivost. Ponovimo pojmove: deǉenik, delilac i koliq-nik. Broj nula u deǉeǌu. (Vidi 39. stranu u Ubeniku).

Budui da se deǉeǌe definixe preko mnoeǌa (ako je a = d · q ,d = 0, onda je a : d = q ), to se znak koliqnika odreuje kao i znakproizvoda.

Reximo primer 1, pa izvedemo pravilo za deǉeǌe celih brojeva.

Naglasimo: deǉeǌe nulom nije definisano.

Reximo primer 2.Prelazimo na deǉeǌe sa ostatkom. Koliqnik sa ostatkom defi-nixemo kao i u skupu N o. Posebno istiqemo da je ostatak deǉeǌasa d broj r, takav da je 0 ≤ r < |d|. Ova qiǌenica zahteva oprez. Naprimer ako delimo −29 sa −6, onda koliqnik nije 4, kao u sluqaju29 : 6, nego 5, jer je.

−29 = 5 · (−6) + 1.

Ostatak deǉeǌa je broj 1Reximo primer 3.

Domai zadatak Vebe: 1, 2, 3 i 148 zadatak iz Zbirke.



36 Celi brojevi

16. QAS

Deǉeǌe celih brojeva Uvebavaǌe


Ciǉ Utvrditi postupak deǉeǌa celih brojeva i uoqiti osobine

deǉeǌa.


Obnovimo definiciju deǉeǌa bez ostatka.Reximo zadatke: 146, 147.Zatim, radimo zadatak 152.Ponovimo deǉeǌe sa ostatkom, pa rexavamo zadatke 153 i 154.Zatim, reximo zadatak 155.

Domai zadatak 150, 151, 157.



Celi brojevi 37

17. QAS

Izrazi sa celim brojevima Obrada


Ciǉ Uoqavaǌe prioriteta pri izraqunavaǌu vrednosti brojev-

nog izraza.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik od 40. do 42. str.

Pojam izraza poznat je iz mlaih razreda pa odmah na xkolskojtabli napixemo nekoliko izraza, na primer: 2 ·(−5)− 8 : (−4)− (−8);2k − n : (−3) + 5 · (−7); −10 : (−2) + (−3) · (−3) − 2 · (−7). Od uqenikaoqekujemo da znaju xta je izraz i da razlikuju brojevni izraz iizraz s promenǉivom.

Odredimo (izraqunamo) vrednosti dvaju napisanih brojevnihizraza. Zatim, reximo primer 1, sa poukom da su mnoeǌe i de-ǉeǌe operacija koje su starije od sabiraǌa i oduzimaǌa. (Prvose mnoi i deli, pa onda sabira i oduzima).

Reximo primer 2, takoe brojevni izraz.Zatim se podsetimo na osobine raqunskih operacija, kao xto

je prikazano na 44. strani Ubenika. Za svaku navedenu osobinu,sastavimo odgovarajui brojevni izraz.

Onda, prelazimo na izraze s promenǉivom. Za odreenu vred-nost promenǉive, moemo odrediti odgovarajuu vrednost izraza.

Reximo primer 3.Rezimiramo redosled raqunaǌa .Reximo primer 4.Zatim, ako imamo dovoǉno vremena, rexavamo Vebe 1 i 2, sa

42. strane.

Domai zadatak Vebe koje nismo uradili na qasu. Iz zbirkezadaci: 156, 162, 163.



38 Celi brojevi

18. QAS

Brojevni izrazi Uvebavaǌe


Ciǉ Snalaeǌe u sreivaǌu brojevnih izraza sa izmexanim ra-

qunskim operacijama i zagradama.


Ponovimo osobine operacija: sabiraǌe, oduzimaǌe, mnoeǌei deǉeǌe.

Zatim, ponovimo redosled operacija . (Ubacujemo i stepenovaǌe,operaciju koja je starija od mnoeǌa i deǉeǌa).

Rexavamo zadatke 131. i 149. iz Zbirke.Zatim, izraqunavamo vrednosti sledeih brojevnih izraza, u

kojima se pojavǉuje stepenovaǌe.a) 8 · (−5)3 − 5 · (22 − (−4)3) + (−2)6 : (−4)3;b) 81 : (−3)3 − (−3)5 : (−9) + 125 : (−5)2;

v) 3 · (−5)3 · 23 − 103 : (−2)3 + 52 · (−2)4 − 6 · (−10)3 : 12.Onda, ukǉuqimo aktivnije uqenike u proces izvoeǌa nastave.

Uqenici sami ”smisle” neke brojevne izraze u kojim su zastupǉe-ne operacije sabiraǌa, oduzimaǌe, mnoeǌa i stepenovaǌa celihbrojeva.

(Izbegavamo deǉeǌe, zbog mogueg izlaska iz skupa celih brojeva). Te izraze rexavaju uqenici, koje odrede sastavǉaqi izraza.Tako se malo igramo matematike.

Domai zadatak Zbirka: 175.



Celi brojevi 39

19. QAS

Izrazi sa promenǉivom Uvebavaǌe


Ciǉ Izraqunavaǌe brojevne vrednosti izraza zamenom promen-

ǉive nekom celobrojnom vrednoxu.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 28. do 30. str.

Podsetimo se na pojam izraza s promenǉivom veliqinom. Vred-nost ovakvog izraza zavisi od vrednosti promenǉive veliqine.

Reximo zadatak 172. iz Zbirke.Zatim, rexavamo zadatke redom: 164, 161, 168.Onda, rexavamo zadatak 167. a), b) i ).Vrednost promenǉive i odgovarajua vrednost izraza su dve

odgovarajue vrednosti, pa mogu zameniti uloge. Tako se moe tra-iti vrednost promenǉive za koju izraz ima zadatu vrednost.

(To su, ustvari, jednaqine, a traena vrednost promenǉive je

rexeǌe te jednaqine).Rexavamo jednostavne primere, kao:Zadatak . Odredi vrednost promenǉive, ako izrazm kao:a) a − 5 ima vrednost −3;b) m + 3 ima vrednost 0;v) 2k + 6 : (−2) ima vrednost −5.Zatim, reximo zadatak 160 iz Zbirke.

Domai zadatak 165, 166, 167 v), g) , d), 170.



40 Celi brojevi

20. QAS

Celi brojevi Sistematizovaǌe


Ciǉ Zaokruiti znaǌe i popuniti praznine u znaǌu o celim

brojevima. Formiraǌe izraza na osnovu opisa (teksta).


Nehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe.Naqin rexavaǌa zadatka i evaluacije rada uqenika sprovodi-

mo kao xto je opisano u pripremi 10. qasa.Ponovimo o redosledu izraqunavaǌa vrednosti brojevnog iz-

raza. (Vidi obojeni tekst na 28. strani Zbirke).Reximo zadatak 150. v), g), e).Zatim, rexavamo zadatak 160. v) i d), pa zadatak 169.Onda, rexavamo zadatke 171 i 173.Rexavaǌe praktiqnih zadataka qesto se svodi na izraqunava-

ǌe vrednosti izraza. Do odgovarajuih izraza dolazimo na osnovuteksta zadatka (izvrximo ”matematiqko modeliraǌe” teksta).

Rexavamo zadatke 155, 158, 159.Zatim, reximo jox i zadatak 174.

Domai zadatak Radna sveska: Prva kontrolna veba (str. od

5. do 9.).



Celi brojevi 41

21. QAS

Prva kontrolna veba.(Celi brojevi)

Kontrola znaǌa

Pismeni rad

Uqenici dobijaju listie sa odxtampanim tekstovima zadata-

ka. (Proqitajte ponovo UPUTSTVO na 3. strani!)

Grupa A)

1. Dat je skup S = {−3, 7, −6, 0, −1, −4, 3, 6, 2}.

a) Odredi skup T , qiji su elementi suprotni brojevi elemena-ta skupa S .

b) Skupu S odredi podskup N svih negativnih brojeva.

v) U skupu S odredi elemente sa najveim i najmaǌom apso-lutnom vrednoxu.

2. Odredi vrednost brojevnog izraza:

(−6 · (15 − 18) − (−17 − (−5)) : −(−3) − 2 · (−4)) : (−11)).3. Od broja n treba oduzeti zbir brojeva 5 i −17, pa tome do-dati razliku brojeva −3 i −7. Napixi odgovarajui izraz iodredi mu vrednost za n = −2.

4. Rexi jednaqinu: 23 − (−x) = 14.

5. Odredi koliqnik q i ostatak r pri deǉeǌu −77 : 8.

Grupa B)

1. Nacrtaj brojevnu pravu, tako da je OA = 1 cm.

a) Na brojevnoj pravoj oznaqi taqke: A(−2), B(3), C (−5), D(1).

b) Kolike su duine AC i AD?v) Ispixi cele brojeve k, takve da je −2 ≤ k < 3.


(8 · (−2) − 3 · (−5)) : (42 : (−6) − 4 · (−2)).

3. Nai brojevnu vrednost izraza m − (n − 3 p − (−9)) − 4 p : (−2),ako je m = −3, n = 2 − |2m| i p = m + n.

4. Rexi jednaqinu: −5 − (x − 7) = −2.

5. Odredi koliqnik q i ostatak r pri deǉeǌu 93 : (−13).



42 Celi brojevi

Grupa V)

1. Dat je skup S = {−1, −5, 3, −8, 0, −4, 8, 5, 10, 1}.

a) Odredi podskup M skupa S , takav da on sadri suprotanbroj svakog svog elemenata.

b) Izraqunaj zbir i razliku najmaǌeg i najveeg elementaskupa S .

v) Odredi one elemente x skupa S koji zadovoǉavaju uslov−x ∈ N 0.


(−18 : (−2) − 35 : (−5)) : (−2 · (−3) − (−50) : (−5)).

3. Od zbira brojeva −b i −6 oduzmi razliku brojeva 9 i a. Na-pixi odgovarajui izraz. Zatim, odredi brojevnu vrednostdobijenog izraza za a = −3 i b = −9.

4. Rexi jednaqinu: 2 − |x| = −3.

5. Odredi koliqnik q i ostatak r pri deǉeǌu −103 : (−9).

Grupa G)

1. Dat je skup M = {7, −11, 5, 0, −7, −2, 9, 2, 3}

a) Odredi skup N podskupa M , qiji su elementi nenegativni.

b) Sloi elemente skupa M u rastui niz, od najmaǌeg donajveeg.

v) Odredi razliku najvee i najmaǌe apsolutne vrednostielemenata skupa M .


(44 : (−4) − 20 : (−5) − 5 · (−11)) : (−2)

3. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza 2a−(−3)·(−b)+ab−(−a−b),ako je a = −5 i b = 3 − (−a) − 2| − a|.

4. Rexi jednaqinu: −12 − x = −7.

5. Odredi koliqnik q i ostatak r pri deǉeǌu −97 : 8.



Celi brojevi 43

Grupa D)

1. Dat je skup N = {−8, 2, 1, 0, 8, −2, 9, −9, 5, 11}.

a) Odredi skup P , qiji elementi p zadovoǉavaju uslov

(− p + 1) ∈ N .

b) Odredi skup A, qiji su elementi apsolutne vrednosti ele-menata skupa N .

v) Elemente skupa A sloi u opadajui niz, od najveeg donajmaǌeg.


(2 · (−8) − 5 · (−3)) : (12 : (−3) − 3 − 4 · (−2)) + 7 · (5 + 2 · (−3)).

3. Od proizvoda brojeva −2 i (3 − m) oduzmi koliqnik brojeva−2n i (2 p + 5). Napixi odgovarajui izraz. Odredi vrednostdobijenog izraza za n = −3, m = −n − 7 i p = m + 2n − 1.

4. Rexi jednaqinu: 1 − (8 − (−x)) = −5.

5. Odredi koliqnik q ostatak r pri deǉeǌu −87 : (−14).



44 Trougao

22. QAS

Pojam trougla. Vrste trougla Obrada


Ciǉ Upoznavaǌe sa elementima trougla i vrstama trouglova


Obnovimo pojmove: zatvorena izlomǉena linija, mnogougao ,unutraxǌa oblast mnogougla.

Definixemo trougao. Na osnovu poznatih elemenata mnogougla(iz gradiva V razreda), uqenici izvode pojmove: stranice, temena,unutraxǌost i unutraxǌi uglovi trougla.

Nastavnik objaxǌava naqin oznaqavaǌa stranica (AB = c,BC = a i AC = b) i unutraxǌih uglova trougla (α, β , γ , odnosnoA, B, C ). Definixe pojmove naspramna stranica, naspramnoteme i naspramni ugao.

Naglaxavamo: stranice i unutraxǌi uglovi su osnovni elemen-ti trougla , koji odreuju vrste i najbitnije osobine trougla.Navodimo vrste trouglova prema meusobnim odnosima duina

stranica (jednakostraniqni, jednakokraki i raznostrani) i vrstetrouglova prema najveim unutraxǌem uglu (oxtrougli, pravou-gli i tupougli). Na tabli i u svesci crtamo modele ovih trouglo-va.

Zatim, rexavamo primere 1 i 2, kao i zadatke za vebe, ko-liko stignemo do kraja qasa.

Domai zadatak Zbirka: 176, 177, 178, 179, 182, 184.



Trougao 45

23. QAS

Odnos stranica trougla Obrada

Frontalni rad Heuristiqka metoda

Ciǉ Otkrivaǌe nejednakosti izmeu stranica trougla.


Koristimo pripremǉene xtapie: tri od 60 cm i po jedan od 50 cm, 30 cm, 20 cm, 10 cm (uqenici su upoznati sa ǌihovim dui-nama) i komad debǉe bakarne ice (duine oko 1 m).

Nastavnik vodi eksperiment, tako xto izvodi uqenike na ta-blu i trai da sklope trougao od ponuenih xtapia, kao xto jeopisano na 47. strani u Ubeniku. (Kombinujemo tri xtapia qijesu duine: 60 cm, 20 cm, 30 cm zatim 50 cm, 20 cm i 30 cm i 60 cm,50 cm, 30 cm). Uqenici izvode zakǉuqke.

Onda, od bakarne ice naqinimo trougao, kao na slici u Ube-

niku. Pritiskom na teme C

, pokaemo da je AC

+CB > AB

.Iz izvedenih eksperimenata uqenici izvode zakǉuqke o nejed-nakostima izmeu stranica trougla.

Onda, rexavamo primere 1, 2 i 3.Zatim, izvodimo izuzetno znaqajan zakǉuqak, da su tri raz-

liqite taqke A, B, C , kolinearne ako je AB + BC = AC . (Odavdedobijamo da su A, B, C kolinearne taqke i ako je AC − BC = AB).

Rexavamo jox i Vebe 1 i 2.

Domai zadatak Vebe 3, 4, 5 i iz Zbirke 186.



46 Trougao

24. QAS

Odnosi stranica trougla Uvebavaǌe


Ciǉ Utvrditi praktiqno znaqeǌe nejednakosti trougla


Ponovimo o odnosu stranica u trouglu:– zbir dve stranice vei je od tree;– razlika dve stranice maǌa je od tree.Ako je AB + BC = AC tada su tri razliqite taqke A, B i C

kolinearne (pripadaju jednoj pravoj).Reximo zadatak 186. u sluqajevima kad dui ne odreuju tro-

ugao, dati obrazloeǌe.Zatim, rexavamo zadatke 187, 188, 189.Onda, izvlaqimo zakǉuqak: Ako su date duine dveju stranice

trougla, na primer a cm

i b cm

, kolika moe biti duina treestranice ? (Odgovor |a − b| < c < a + b).Rexavamo zadatke 190, 191, 193.Na kraju, reximo i zadatak 199.




Trougao 47

25. QAS

Dokaz u geometriji Obrada


Ciǉ Ukazati na svrhu i neophodnost dokaza u geometriji. Na

jednostavnim primerima pokazati kako se izvodi dokaz.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik od 52. i 53. str.

Prouqavaǌe ravnih geometrijskih figura moe biti olakxa-no qiǌenicom da se mnoge figure mogu verno nacrtati. Meutim,”oqiglednost” crtea moe nas navesti na pogrexne zakǉuqke raz-log moe biti nepreciznost crtea, nemogunost preciznog mere-ǌa (uporeivaǌa) i sl. Na primer, moe nam izgledati da su dvenacrtane prave paralelne, ali nam to crte ne garantuje. (Ne mo-emo proveriti da li se, produavaǌem nacrtanih linija, one mo-gu dovesti do preseka).

Da bismo utvrdili da je neko tvreǌe taqno moramo ga doka-

zati. (Videti tekst na 52. strani Ubenika).Postupak dokazivaǌa ilustrujemo rexavaǌem primera 1.Moemo dokazati i sledea tvreǌa.1. Neka je prava p normalna na du AB i prolazi kroz sredixte

dui. Ako je P taqka na pravoj p, dokai da je AP = BP .( Dokaz. AB su simetriqne u odnosu na p i P simetriqno sa P ,

pa je AP simetriqno sa BP , pa je zbog toga, AP = BP ).2. Prave m i n, normalne na pravu a, paralelne su meusobno.

Dokaz. Koristimo uglove s paralelnim kracima (gradivo Vrazreda).

Domai zadatak Vebe 1 i 2, Zbirka 201, 202, 203.



48 Trougao

26. QAS

Uglovi trougla Obrada


Ciǉ Upoznavaǌe bitnih osobina uglova trougla.

Tok qasa Osnovni tekst . Ubenik od 53. do 58. str.

Ponovimo pojmove uporednih i suplementnih uglova. Zatim,posebno naglasimo vane teoreme o uglovima s paralelnim kraci-ma (teoreme ❶, ❷ i ❸, u Ubeniku navedene na 54. strani, a nauqeneu V razredu).

Definixemo spoǉaxǌi ugao trougla kao uporedan odgovaraju-em unutraxǌem uglu. (Ako je α unutraxǌi ugao, onda je α1 odgo-varajui spoǉaxǌi i α +α1 = 180◦. Takoe je β +β 1 = γ +γ 1 = 180◦).

Zatim, dokaemo teoremu T 1 (γ 1 = α + β ) i izvedemo zakǉuqakda je spoǉaxǌi ugao vei od nesusednog unutraxǌeg ugla .

Onda, dokaemo teoremu o zbiru unutraxǌih uglova u bilokom trouglu.Za spoǉaxǌe uglove utvrdimo: α1 + β 1 + γ 1 = 360◦.Rexavamo primere 1, 2, 3 i 4.Posebno istiqemo zakǉuqak o uglovima sa normalnim kracima

(primer 5).Reximo i primer 6.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.



Trougao 49

27. QAS

Uglovi trougla Uvebavaǌe


Ciǉ Primena osobina uglova trougla.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 36. do 39. str.

Ponovimo definiciju spoǉaxǌeg ugla trougla i ǌegove oso-bine (T-1). Zatim, ponovimo tvreǌa:

α + β + γ = 180◦ i α1 + β 1 + γ 1 = 360◦.Rexavamo zadatke 206, 209. a), b), ) i 207.Zatim, rexavamo zadatke 210, 212, 223.Na kraju, rexavamo zadatke 240 i 241.

Domai zadatak 209. v), g), d), e), ), 215, 220, 225.



50 Trougao

28. QAS

Uglovi trougla Uvebavaǌe


Ciǉ Utemeǉiti znaǌe o uslovima trougla


Upoznavaǌe osobina unutraxǌih i spoǉaxǌih uglova u tro-uglu je jedan od osnovnih zadataka iz geometrije trougla i geome-trije uopxte. Treba na odabranim zadacima utvrditi nivo znaǌauqenika i po potrebi zadrati se na uvebavaǌu pojedinih osobi-na.

Za svaki postaǉeni zadatak treba saqekati da ga rexe sve gru-pe (grupe qine uqenici iz dve susedne klupe). Po potrebi pomoigrupi koja je u zaostatku.

Prvo rexavamo zadatke redom: 208, 216, 211, 214.

Poxto reximo sve zadatke (u svim grupama) rexavamo zadat-

ke: 213, 214, 217.Zatim, rexavamo zadatke problemskog tipa: 218, 219, 221.Onda, rexavamo zadatke za koje imamo odgovarajuu sliku: 238

i 245.

Domai zadatak 228, 230, 233, 237, 244.



Trougao 51

29. QAS

Odnos izmeu stranica i uglova trougla Obrada


Ciǉ Uporediti uglove u trouglu naspram jednakih i naspram

razliqitih stranica i obrnuto.


Ponovimo definiciju osne simetrije, osobine simetrale duii simetrale ugla.

Izraqunaj dokaz u geometriji, dokazali smo, ako je P taqkana simetrali dui AB, tada je AP = B P (25. qas). Koristei seovom osobinom simetrale dui, kao i simetralom ugla, uverimo seda su u trouglu naspram jednakih stranica jednaki uglovi (Teore-ma T-4) i obrnuto (T-6). Onda dokaemo Teoremu T-5 (u trouglunaspram vee stranice, vei je i ugao).

Vai i obrnuto: naspram veeg ugla u trouglu je vea stranica .Onda reximo primer 1, o unutraxǌim uglovima jednakostra-

niqnog trougla (uglovi su po 60◦).Daǉe, rexavamo primere 2, 3, 4 i 5.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 5, 6 na 60. str.



52 Trougao

30. QAS

Odnos izmeu stranica i uglova trougla Uvebavaǌe


Ciǉ Usvojiti relacije izmeu uglova i odgovarajuih stranica

trougla.


Ponovimo odnose uglova naspram jednakih i uglova naspramnejednakih stranica i obrnuto, odnose stranica naspram jednakihi naspram nejednakih uglova.

Kako se ove osobine odraavaju na pravougle trougle (hipote-nuza i katete)?

Kako se ove relacije odravaju na jednakokrake trouglove?Reximo zadatke: 249, 252, 253.Zatim, rexavamo zadatke koje su postavǉeni i slikom, a ne

samo tekstom: 260, 263, 265, 266.

Reximo jox i zadatke 257 i 258.

Domai zadatak 250, 253, 254, 256.



Trougao 53

31. QAS

Stranice i uglovi trougla Uvebavaǌe


Ciǉ Primena odnosa stranica i odgovarajuih uglova trougla.


Ponovimo nejednakosti trougla i odnose stranica i odgovarajuih uglova u trouglu.

Rexavamo redom zadatke: 192, b) i v), 194, 200, pa 186. b).Zatim, konstatujemo da za potvrdu nejednakosti trougla nije neop-hodno proveriti sve kombinacije, npr.: a + b > c, a + c > b i b + c > a.(Vidi u Zbirci tekst Ukratko, na strani 33. qetvrti pasus).

Onda rexavamo zadatke: 255, 259, 261, 262, 267, 269.

Domai zadatak 198, 200, 264, 269.



54 Trougao

32. QAS

Trougao Sistematizovaǌe


Ciǉ Utvrditi i povezati nauqene osobine trougla


Grupu qine uqenici iz dve susedne klupe.Obnovimo nejednakosti trougla i rexavamo zadatke: 195, 196,

197.Obnovimo osobine unutraxǌih i spoǉaxǌih uglova u trouglu i

rexavamo zadatke: 224, 229, 234, 235, 243.Obnovimo uzajamne odnose stranica i odgovarajuih uglova tro-

ugla .Rexavamo zadatke: 253, 256, 268, 269, 270.

Domai zadatak Radna sveska: Druga kontrolna veba (od 10.

do 14. strane).



Trougao 55

33. QAS

Druga kontrolna veba(trougao)

Kontrola znaǌa

Pismeni rad

Uqenici dobijaju odxtampane listie sa zadacima.Zadaci

Grupa A)

1. Kojoj vrsti pripada trougao, kome su unutraxǌi uglovi 37◦23

i 52◦37?2. Stranice trougla ABC su a = 9 cm i b = 5 cm. Duina strani-

ce c izraava se celim brojem centimetara. Koliko je takvihtrouglova?

3. Unutraxǌi uglovi trougla ABC su α = 110◦ i β = 35◦. Pore-aj po veliqini stranice ovog trougla.

4. Jedan unutraxǌi ugao trougla je 40◦, a ostala dva se razli-kuju za 5◦. Odredi unutraxǌe uglove tog trougla.

5. Prema podacima sa slike levo, dokai da je x = β

Grupa B)

1. Kojoj vrsti pripada trougao kome su spoǉaxǌi uglovi 158◦19

i 131◦

51

?2. Odredi sve mogue trouglove obima 12 cm sa celobrojnim du-inama stranica a, b, c, izraenim u centimetrima.

3. Poreaj po veliqini, od najvee do najmaǌe, stranice trou-gla ABC , ako su mu unutraxǌi uglovi γ = 73◦ i β = 56◦.

4. Izraqunaj unutraxǌe uglove trougla ABC , ako mu je A za26◦ vei, a B za 15◦ maǌi od C .

5. Dui K N i LP na slici gore desno, seku se u taqki M . Znamoda je K = P . Dokai da je N = L.



56 Trougao

Grupa V)

1. Unutraxǌi uglovi trougla M N P su M = 40◦11 i N =49◦49. Kojoj vrsti pripada trougao M N P ?

2. Duine stranica trougla ABC izraavaju se celim brojemdecimetara. Znamo da je b = 2 dm i c = 6 dm. Kolika moebiti duina stranice a?

3. Trougao ABC ima spoǉaxǌe uglove β 1 = 141◦ i γ 1 = 97◦. Da listranice ovog trougla zadovoǉavaju uslov: a < b < c? Obra-zloi odgovor.

4. Jedan unutraxǌi ugao trougla je 52◦, a druga dva odreujurazmeru 2 : 1. Odredi nepoznate uglove trougla ABC .

5. Na slici levo je ABC = AEB. Dokai da je x = y.

Grupa G)

1. Trougao ima jedan unutraxǌi ugao od 32◦25 i jedan spoǉa-xǌi ugao od 122◦25. Kojoj vrsti pripada ovaj trougao?

2. Trougao ima obim 1 dm, a duine svih stranica izraene sucelim brojem centimetara. Odredi sve trouglove koji zadovo-ǉavaju ove uslove. Ima li meu ǌima jednakokrakih?

3. U trouglu ABC znamo unutraxǌe uglove γ = 78◦ i α = 48◦.Sloi stranice a, b, c ovog trougla u opadajui niz (od naj-due do najkrae).

4. Izraqunaj unutraxǌe i spoǉaxǌe uglove trougla, kome spo-

ǉaxǌi uglovi odreuju produenu razmeru 11 : 8 : 5.5. Na slici gore desno je M Q = P Q. Na osnovu datih podataka,

odredi x.



Trougao 57

Grupa D)

1. Trougao ABC ima spoǉaxǌe uglove od 131◦46 i 126◦14. Kojojvrsti pripada ovaj trougao?

2. Odredi sve jednakokrake trouglove obima 19 cm, kojima seduine stranica izraavaju celim brojem centimetara.

3. U trouglu ABC je unutraxǌi ugao β = 38◦ i spoǉaxǌi ugaoα1 = 105◦. Sloi stranice trougla ABC po veliqini, od naj-maǌe, do najvee.

4. Odredi unutraxǌe i spoǉaxǌe uglove trougla, kome unutra-

xǌe uglove odreuju produenu razmeru 3 : 8 : 4.5. Trouglovi ABC i ABD na slici su jednakokraki. Odredi unu-

traxǌe uglove trougla ABC .



58 Trougao

34. QAS

Konstrukcije nekih uglova Obrada


Ciǉ Koristei se uglovima jednakostraniqnog i jednakokrakog

pravouglog trougla i simetralama uglova, konstruisati bez uglo-

mera uglove, kao: 60◦

, 30◦

, 90◦

, 120◦

, 45◦

itd.


Podsetimo se na mere pravog i opruenog ugla. Zatim, ponovi-mo: unutraxǌi uglovi jednakostraniqnog trougla u unutraxǌi uglo-vi pravouglog jednakokrakog trougla .

Zatim, reximo primer 1 uz konstataciju da se na taj naqindobija ugao od 60◦, i to bez upotrebe uglomera.

Zatim, reximo primer 2. Pritom, za konstrukciju pravog uglakoristimo pravougli trougao za crtaǌe. Konstatujemo da smo naovaj naqin uspeli da odredimo uglove od 90◦ i 45◦, bez korixeǌa

uglomera.Ponovimo definiciju i konstrukciju simetrale ugla (gradivo

V razreda). Onda, konstruixemo prav ugao, bez korixeǌa pravo-uglog trougla, pomou simetrale opruenog ugla.

Zatim, rexavamo primere 3, 4 i 5.

Domai zadatak Vebe 1 i 2 sa 63. strane ubenika.



Trougao 59

35. QAS

Konstrukcije nekih uglova Uvebavaǌe


Ciǉ Usvojiti logiku i tehniku konstruisaǌa nekih uglova bez

korixeǌa uglomera.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 42. do 44. strane.

Ponovimo konstrukcije uglova od 60◦, 30◦, 90◦ i 45◦. Ugloveod 30◦ i od 45◦ konstruixemo na dva naqina: 30◦ = 60◦ : 2 i 30◦ =90◦ − 60◦, a 45◦ = 90◦ : 2 i 45◦ je unutraxǌi ugao pravouglog jedna-kokrakog trougla.

Zatim , konstruixemo uglove od 15◦ (kao polovinu ugla od 30◦,odnosno qetvrtinu ugla od 60◦) i 105◦, kao 90◦ + 15◦.

Onda, rexavamo iz Zbirke zadatke 271, 272 i 275.Daǉe, rexavamo zadatak 276.

Domai zadatak Zbirka 274, 277, 278.



60 Pismeni zadatak

36. QAS

Priprema za prvi pismeni zadatak Obnavǉaǌe


Ciǉ qasa Rexavaǌe bitnih primera odgovarajueg nivoa, pri-

premiti uqenike za prvi pismeni zadatak.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirks, od 7. do 44. strane.

Formiramo grupe od uqenika koji sede u dve susedne klupe.Naqin rada u nehomogenim grupama opisali smo u pripremi 10.

qasa. Za razliku od 10. qasa, ovog puta neemo upisivati ocene. Tonaglasimo na poqetku qasa, da bi se uqenici opuxteno pripremaliza predstojei pismeni zadatak. Ako kroz rexavaǌe zadataka tre-ba posebno naglasiti neki vaan podatak, onda na tablu izvodimoboǉe uqenike.

Treba napraviti presek kroz celo gradivo, obraeno od poqet-ka xkolske godine. Izbor zadataka zavisi od procene znaǌa uqe-

nika.Moemo, na primer, rexavati sledee zadatke iz Zbirke: 20,

23, 30, 38, 47, 55, 66, 75, 78, 88, 112 a), b), v) 117, 131, 143, 151,154, 171, 197, 225, 233, 237, 264.

Od navedenih zadataka nastavnik bira one koji se uklapaju uǌegovu viziju i procenu o znaǌu uqenika u konkretnom odeǉeǌu.

Domai zadatak Radna sveska: Prvi pismeni zadatak (od 15.

do 18. strane).



Pismeni zadatak 61

37. QAS

Prvi pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Pismeni rad

Na listiima odxtampani su zadaci za svakog uqenika. Dajemopredlog u pet grupa: A, B, V, G, D.

Grupa A)

1. Od proizvoda broja suprotnog sa −5 i broja −7 oduzmi pro-izvod broja −8 i broja koji je suprotan sa −9.

2. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza(m − (−n)) · (n22 − (−m)2 + n · (−m) − m : (1 + n),ako je m = 3 i n = −4.

3. U trouglu ABC je α = 56◦4715 i spoǉaxǌi ugao β 1 = 125◦1517.Odredi uglove β i γ .

4. Bez upotrebe uglomera, koristei se samo leǌirom i xesta-rom , konstruixi ugao od 105◦.

5. Na slici levo je BD = C D i α + ϕ = 84◦. Odredi ugao β .

Grupa B)

1. Izraqunaj vrednost izraza(18 : (−3) − (−6) : (−2)) : (−180 : (60 : (−3)) − (180 : (−10))) : (−3)).

2. Izraqunaj brojevnu vrednost izrazaM = −3 − | − a| − 2 · (−b) + (−2) · |2 − b|, ako jea = −(−3) · (−5) − (−2) i b = 2 − |a| + (−3) · (−a) − (−4) · (−2).

3. Unutraxǌi uglovi trougla ABC odnose se kao 7 : 11 : 6. Od-redi spoǉaxǌe uglove tog trougla.

4. Koristei se samo leǌirom i xestarom, bez korixeǌa uglo-mera, konstruixi ugao od 67◦30.

5. Na slici gore desno je AD = BD. Dokai da je CD > AD.



62 Pismeni zadatak

Grupa V)

1. Od koliqnika broja −28 sa −7 oduzmi proizvod broja −6 sabrojem koji je suprotan broju 4.

2. Odredi ceo broj k, tako da je vrednost izraza 4 : (3 + k) tako-e ceo broj. Nai sva rexeǌa za k i odgovarajue vrednostiizraza.

3. U trouglu ABC je α = α1 i β = α1 − 17◦15. Odredi uglove β 1,γ i α.

4. Konstruixi ugao od 75◦, koristei se samo leǌirom i xesta-

rom (bez korixeǌa uglomera).5. Na stranici AB trougla ABC data je taqka D, tako da je

AC = C D. Ako je ugao β maǌi od α za 21◦, odredi ugao BC D.

Grupa G)

1. Izraqunaj vrednost izraza:

(3 · (−6) − 30 : (−2)) : (42 : (−3) − (21 − 8 · (−8)) : (−5))+(−3) · 0 · 7.

2. IzraqunaJ brojevnu vrednost izraza

N = −5 − 2 · | − a| + 3 · (−b) + (−3) · | − b + 3|, ako je

b = −2 · | − 3| − (−18) : (−2) i a = 7 − |b − 1| − (−2) · (−b).

3. Spoǉaxǌi uglovi trougla ABC odnose se kao 5 : 9 : 6. Odrediunutraxǌe uglove ovog trougla.

4. Bez korixeǌa uglomera, koristei se samo leǌirom i xe-starom, konstruixi ugao od 37◦30.

5. U trouglu ABC je AC = BC . Simetrala ugla α seqe simetra-lu ugla γ u taqki S , tako da je ASC = 108◦. Uporedi duinestranica AB i BC .



Pismeni zadatak 63

Grupa D)

1. Razlici brojeva −7 i −31 dodaj koliqnik broja −72 i broja suprotnog sa −6 i dodaj proizvod broja −8 sa apsolutnomvrednoxu broja −4.

2. Odredi brojevnu vrednost izraza

P = m(n − p(−m + 1) − p) − 3(−n) + 9

gde je m = −3, n = −(m − 1) i p = −(−m − n) − 2.

3. U trouglu ABC je α1 = 98◦1725 i γ = 57◦2345. Odredi unu-traxǌe uglove α, β i γ trougla ABC .

4. Koristei se samo leǌirom i xestarom, bez korixeǌa uglo-mera, konstruixi ugao od 52◦30.

5. Na osnovu podataka sa slike dokai da je BD = C D.



64 Pismeni zadatak

38. QAS

Ispravka pismenog zadatka Uvebavaǌe


Ciǉ Ukazati na sistematske i pojedinaqne grexke, uz pouku o

naqinu otklaǌaǌa tih grexaka.

Tok qasa

Nastavnik saopxtava i analizira opxte rezultate. Ukoliko jebilo masovnih grexaka, ukazuje na ǌih i na potrebu i naqin kakoda se isprave. Zatim, istiqe i jox neke uoqene karakteristiqnegrexke.

Naravno, treba iskoristiti svaku priliku da se neke pozitiv-ne qiǌenice istaknu i uqenici pohvale, jer pohvala daje pozitiv-nije i blagotvornije efekte nego kritika.

Onda se komentari ilustruju rexavaǌem zadataka na xkolskojtabli. Ako je potrebno ukazati na vixe detaǉa, pojedine zadatkeradi sam nastavnik.

Poeǉno je da se uradi svih pet zadataka, a ako nema vremenaza sve grupe, treba uraditi bar po jedan zadatak iz svake grupe.



Trougao 65

39. QAS

Podudarnost trougla Obrada

Frontalni rad Demonstrativna metoda

Ciǉ Prikazujui pripremǉene modele, trouglove iz pribora za

crtaǌe, simetriqne slike i sliqno, uvesti pojam podudarnih tro-

uglova, kao figura koje se nekim kretaǌem mogu dovesti do pokla-paǌa.


Podsetimo se xta podrazumevamo pod jednakim duima i pod jednakim uglovima. To su podudarne dui, odnosno podudarni uglo-vi.

Dve podudarne dui mogu se poklopiti meusobno – poklope imse krajevi. Podudarni uglovi takoe se mogu poklopiti – poklopeim se temena i kraci.

Kao xti je navedeno u primerima 1, 2, 3, i 4, pokaemo da

se i odgovarajui trouglovi mogu dovesti do potpunog poklapaǌa(poklope se sva temena, sve stranice i sve uglovi).

Pored ovog vida poklapaǌa konstruktivnim putem, nastavnikprikae poklapaǌe pripremǉenih modela, naqiǌenih od kartona,drveta i sliqno.

Posebno se istakne model iz primera 4, u kojem je neophodnokretaǌe kroz treu dimenziju.

Na osnovu toga definixemo podudarne trouglove i ǌihove osnov-ne osobine, kao xto je navedeno u Ubeniku.

Reximo zadatke iz Vebe, 1 i 2.

Domai zadatak Zbirka, 281, 282, 283, 284, 285.



66 Trougao

40. QAS

Osnovna pravila o podudarnosti.Stavovi SSS i SUS

Obrada


Ciǉ Oslaǌajui se na ranije uoqene primere poklapaǌa trou-

glova, formulisati pravila podudarnosti SSS i SUS.


Iz definicije podudarnih trouglova zakǉuqujemo: ako dva tro-ugla imaju jednake sve parove odgovarajuih stranica i sve paroveodgovarajuih uglova, onda su ova dva trougla podudarna.

Postavǉamo pitaǌe: Moemo li utvrditi da su dva trougla podudarna, a da ne proveravamo jednakosti svih parova osnovnih ele-menata (xest uslova)?

Kao xto je opisano na 67. strani Ubenika zakǉuqimo najpreda je dovoǉna jednakost dva para uglova, da bi se moglo tvrditida to vai i za trei par uglova.

Daǉe, izvodimo pravilo (trei stav podudarnosti), koji krat-ko oznaqavamo sa SSS (stranica, stranica, stranica). Onda, re-ximo primer 1. Na ovom primeru uoqimo kakvu korist moemoizvui iz dokaza o podudarnosti dva trougla (strana 68. Ube-nika). Zatim, reximo primer 2 i pokaemo kako se korixeǌemstava SSS moe dokazati teorema T-4.

Onda, izvodimo pravilo SUS (prvi stav podudarnosti)Na kraju, rexavamo primere 3, 4 i 5.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, sa 71. i 72. str. i 286. zadatak

iz Zbirke.



Trougao 67

41. QAS

Stavovi SSS i SUS Uvebavaǌe


Ciǉ Uoqiti dva trougla koji ispuǌavaju uslove iz stavova SSS

i SUS, kao i koje su korisne posledice dokazane podudarnosti.


Ponovimo xta se podrazumeva pod podudarnim figurama (po-klapaǌe figura). Zatim, osobinu podudarnih trouglova (jednakiparovi odgovarajuih osnovnih elemenata). Onda ponovimo stavo-ve SSS i SUS, pa rexavamo sledee zadatke redom: 287, 288, 289,290, 291.

Za svaki od rexenih zadataka traimo da uqenici utvrde dvebitne qiǌenice.

– koje su uslovi korixeni za dokazivaǌe podudarnih trou-glova;

– koji je korisni zakǉuqci izvedeni iz ove podudarnosti, papovezati sa zahtevom zadatka. (Na kraju, ponovo proqitati tekstzadatka.)

Svaki put, kad se izvodi zakǉuqak da su dva trougla podudarnatreba naglasiti ”po stavu SSS (ili SUS)”.

Zatim, rexavamo zadatke 294, 295.Na kraju, reximo jox i zadatak 293.

Domai zadatak 292, 296, 297, 298.



68 Trougao

42. QAS

Pravila o podudarnosti.Stavovi USU i SSS.

Obrada


Ciǉ Upoznati se sa preostalim stavovima podudarnosti trou-

glova. Uoqiti ǌihovu primenu, posebno kod jednakokrakih i pra-vouglih trouglova.


Stavove podudarnosti tretiramo kao aksiome, pa samo navodi-mo formulacije, bez izvoeǌa dokaza. Tako navodimo i drugi stavpodudarnosti, kratko stav USU.

Rexavamo primere 1 i 2.Zatim, pokaemo kako se korixeǌem stava USU moe ele-

gantno dokazati teorema T-6.Onda, analiziramo uslove za qetvrti stav podudarnosti (stav

SSU). Na 73. strani je objaxǌeno i ilustrovano zaxto se navo-di uslov da su uglovi naspram jednog para jednakih stranica istevrste (oba oxtra, oba tupa, ili oba prava).

Ovaj stav vrlo qesto koristimo pri dokazivaǌu podudarnostipravouglih trouglova.

Rexavamo primer 3, pa dokaemo teoremu T-8, koja istiqe da je visina na osnovicu kod jednakokrakog trougla ujedno i simetra-la osnovice, simetrala ugla kod vrha i simetrala trougla.

Reximo jox i primer 4.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3 sa 76. str. Ubenika.



Trougao 69

43. QAS

Stavovi USU i SSU Uvebavaǌe


Ciǉ Uoqiti najqexe sluqajeve primene stavova USU i SSU.


Podsetimo se na drugi i qetvrti stav podudarnosti (USU iSSU). Uporedimo uslove sa stavovima SSS i SUS. Konstatujemoda jednakost tri para odgovarajuih, tzv. nezavisnih elemenata, uodreenim kombinacijama.

Rexavamo zadatke redom: 306, 307, 308, 309, 310, u kojima seprimeǌuje stav USU.

Zatim, rexavamo zadatke 312, 316 i 317 (stav SSU).

Domai zadatak 311, 315, 318, 319.



70 Trougao

44. QAS

Primena podudarnosti.Analogni elementi

Obrada


Ciǉ Istai xta se korisno dobija dokazivaǌem podudarnosti

trouglova, posebno uoqiti koji elementi podudarnih trouglova od-govaraju jedni drugima (analogni elementi ).


Koristei tri odreena odgovarajua para osnovnih elemena-ta utvrdimo podudarnost dva trougla. Onda, izvodimo zakǉuqak o

jednakosti i ostalih parova odgovarajuih (analognih) elemenata.Za ilustraciju reximo sledei zadatak.

Trouglovi ABC i KLM su podudarni, jer je AB = K L, A = K i B = L (po stavu USU ), vidi sliku.

Iz ove podudarnosti sledi jednakost i drugih analognih ele-menata.

Dopuni jednakost: AC = ; LM = , M = .Daǉe, definixemo visine i teixne dui trougla. Uoqimo

odgovarajue (analogne) visine i teixne dui podudarnih trou-glova.

Rexavamo primere 1, 2, 3 i 4. U svakom od primera insisti-ramo na uoqavaǌu analognih elemenata, kao i na objaxǌeǌima zbogqega ih smatramo analognim.

Treba naglasiti: uoqavaǌe jednakih analognih elemenata je naj-vanija posledica dokazane podudarnosti trouglova .Definixemo veoma vanu du, sredǌu liniju trougla. Na-

stavnik proceǌuje da li moe izloiti dokaz ǌenih osobina, iliih prosto navodi.

Rexavamo primer 5. Naglasimo znaqaj osobine hipotenuzine teixne dui . (Treba je zapamtiti.)

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3 sa 80. strane Ubenika.



Trougao 71

45. QAS

Primene podudarnosti Uvebavaǌe


Ciǉ Primeniti jednakost analognih elemenata kod podudarnih

trouglova, na primer kod visina, teixnih dui, sredǌa linija

trougla.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 51. i 52. strana.

Ponovimo rezultate koje smo dobili rexavajui primere naproxlom qasu. Upoznajemo uqenike na vanost dobijenih zakǉuqa-ka, koje treba zapamtiti:

– Podudarni trouglovi imaju jednake odgovarajue (analogne)visine i teixne dui.

– U jednakokrakom trouglu jednake su meu sobom visine kojeodgovaraju kracima i jednake su teixne dui koje odgovara-

ju kracima trougla.

– Hipotenuzina teixna du jednaka je polovini hipotenuze.

– Sredǌa linija trougla paralelna je naspramnoj stranici i jednaka je polovini te stranice.

Reximo redom zadatke 321, 323, 325, 327, 328.

Domai zadatak 322. 324, 326, 329, 330.



72 Trougao

46. QAS

Jednakokraki i jednako-straniqni trougao

Obrada


Ciǉ Uoqiti bitne osobine jednakokrakih trouglova, posebno onih

koje se primeǌuju na druge figure. Istai savrxenost jednako-straniqnog trougla, kao pravilnog mnogougla.


Dobro poznavaǌe osobina jednakokrakih trouglova olakxavaprouqavaǌe trouglova. Zbog toga se podseamo na najvanije oso-bine, koje smo do sada upoznali.

– Naspram jednakih stranica (krakova) jednaki su uglovi (naosnovici).

– Naspram jednakih uglova jednake su stranice. (Trougao je jed-

nakokraki, ako ima dva jednaka ugla.)– Visina na osnovicu je simetrala jednakokrakog trougla.Ponovimo i osobine utvrene prethodnog qasa.Rexavajui, potom, primere 1, 2, 3, 4, 5, uoqavamo jox neke

zanimǉive osobine.Zatim, istiqemo posebno znaqajan, pravougli jednakokraki tro-

ugao, sa oxtrim uglovima od 45◦ i hipotenuzinom visinom, koja je jednaka polovini hipotenuze.

Onda, uoqavamo osobine jednakostraniqnog trougla, koji spadau tzv. pravilne mnogouglove.

Visina polovi jednakostraniqni trougao. ǋegova polovina jeizuzetno vaan pravougli trougao, kod kojeg posebno uoqavamo ox-

tre uglove od 30◦

i 60◦

i qiǌenicu da je hipotenuza dva puta veaod maǌe katete.Rexavamo, na kraju, zadatak 338. iz Zbirke.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6 sa 83. strane Ubenika.



Trougao 73

47. QAS

Jednakokraki i jednako-straniqni trougao

Uvebavaǌe


Ciǉ Primena osobina jednakokrakih trouglova.


Ponovimo brojne osobine jenakokrakih trouglova, neke uoqe-ne prethodnog qasa. (Ugao na osnovici je oxtar, simetrala spo-ǉaxǌeg ugla kod vrha, paralelna je osnovici, γ 1 = 2α, gde je γ 1spoǉaxǌi ugao kod vrha i sl.)

Rexavamo redom zadatke: 332, 333, 335, 336, 340, 353, 357, 361,369, 370, 377.

Domai zadatak Radna sveska, Trea kontrolna veba, od 19.

do 23. strane.



74 Trougao

48. QAS

Trea kontrolna veba(trougao)

Kontrola znaǌa

Pismeni rad

Svaki uqenik dobija listi sa odxtampanim tekstovima zada-taka.

Grupa A)

1. Na slici levo je ugao γ = ACB, jednakokrakog trougla ABC sa osnovicom AB. Konstruixi ugao α = BAC .

2. Trouglovi ABC i KLM se delimiqno preklapaju. Znamo da jeAL = BK , zatim AC = K M i B C = LM . Dokai da je 1 = 2.

3. U trouglu ABC je AC = BC . Spoǉaxǌi ugao kod temena C je97◦. Odredi unutraxǌe uglove trougla ABC .

4. Trougao ima unutraxǌe uglove α = 30◦ i β = 60◦. Zbir du-ina najmaǌe i najvee stranice je 21 cm. Odredi duinunajvee stranice ovog trougla.

Grupa B)

1. Bez korixeǌa uglomera, konstruixi ugao od 165◦.2. Na slici je N Q = P Q, a prava M Q polovi ugao N M P . Do-

kai da je M N = M P .



Trougao 75

3. Visina, koja odgovara osnovici AB jednakokrakog trouglaABC , sa krakom odreuje ugao od 23◦30. Odredi unutraxǌeuglove trougla ABC .

4. Stranicu BC jednakostraniqnog trougla ABC produi pre-ko taqke C do taqke D. Obim trougla ABD je 48 cm, a obimtrougla ACD je 3,5 dm. Koliki je obim trougla ABC ?

Grupa V)

1. Na slici levo su unutraxǌi ugao β i spoǉaxǌi ugao α1 tro-ugla ABC . Konstruixi unutraxǌe uglove α i γ .

2. Na slici desno je KM = LM = 1 dm. Taqka S je sredixte

dui LM , a S = 90◦

. Ako obim trougla KM N iznosi 27 cmkoliki je obim trougla KLM ?

3. U jednakokrakom trouglu ABC sa osnovicom AB, simetralaugla β sa krakom AC odreuje ugao od 23◦. Odredi unutraxǌeuglove trougla ABC .

4. Pravougli trougao P QR ima unutraxǌi ugao R = 60◦ i naj-krau stranicu duine 4 cm. Hipotenuzina visina je du P N .Odredi duine odseqka N Q i RN .

Grupa G)

1. Bez korixeǌa uglomera konstruixi ugao od 255◦

.2. Na slici dole levo jednake su dui: AB = CD. Sem toga,

jednaki su meu sobom uglovi α i δ . Dokai da je x = y.

3. U jednakokrakom trouglu M N P , simetrala kraka N P , seqekrak M P po ouglom od 33◦. Odredi unutraxǌe uglove trou-gla M N P .

4. Unutraxǌi uglovi trougla ABC su BAC = 45◦ i ACB =108◦. Neka je CD visina trougla. Dokai da je BC = 2AD.



76 Trougao

Grupa D)

1. Bez korixeǌa uglomera konstruixi ugao od 195◦.

2. Dui B E i CD na slici seku se u taqki P , tako da je 1 = 2i AB = AD. Dokai da je BC = DE .

3. U tupouglom jednakokrakom trouglu M N P , sa osnovicom N P ,visina P H odreuje sa krakom P M ugao od 21◦30. Odrediunutraxǌe uglove trougla M N P .

4. Jednakokraki trougao ABC , sa osnovicom AB, ima unutraxǌiugao BAC = 75◦ i visinu AD. Dokai da je BC = 2AD.



Trougao 77

49. QAS

Osnovne konstrukcije trouglova Obrada


Ciǉ Pokazati, pre svega, da su trouglovi koji ispuǌavaju uslo-

ve iz stavova podudarnosti, tim uslovima potpuno odreeni i mogu

se konstruisati.


Prouqavajui podudarnost trouglova i osobine elemenata tro-ugla, utvrdili smo, da elementi trougla ne mogu biti proizvoǉni.Na primer, tri dui koje ne zadovoǉavaju nejednakosti trougla,ne mogu biti stranice nekog trougla. Ugao trougla mora biti ma-ǌi od opruenog ugla (mere maǌe od 180◦), a takoe zbir uglova(dva ugla) maǌi je od opruenog. To su bitna saznaǌa, koja stalnoimamo na umu pri konstruisaǌu trougla .

Rexavaǌe konstruktivnog zadatka ima faze: analiza (traeǌe

rexeǌa), konstrukcija (crtaǌe modela – rexeǌa korak po korak,uz detaǉan opis rada), dokaz (da dobijeno rexeǌe zadovoǉava po-stavǉene zahteve) i diskusiju (kada ima rexeǌe, ako ima, kolikoih je, ako nema, kad i zaxto nema rexeǌa).

Prvo konstruixemo trouglove koji ispuǌavaju uslove iz sta-vova podudarnosti (SSS, SUS, USU, SSU). Reximo, najpre, de-taǉno primere 1, 2, 3, 4.

Zatim, rexavamo konstrukcije u kojima se do rexeǌa dolazi,posredno, tako xto se prvo odredi deo traenog trougla. Tada semeu zadatim elementima pojavǉuju i visine, teixne dui, po-lupreqnici nekih odreenih krugova (npr. opisanog kruga) i sl.

Reximo primere 5 i 6.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3 sa 88. strane Ubenika i primeri

1 i 2 sa 58. i 59. strane Zbirke.



78 Trougao

50. QAS

Konstrukcije trouglova Uvebavaǌe

Rad u parovima Dijaloxko-heuristiqka metoda

Ciǉ Konstruisaǌe trouglova koji su odreeni pojedinim ele-

mentima koji nisu osnovni (visine, teixne dui i sl.).

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 57. i 61. str.

Prvo reximo osnovne konstrukcije iz zadataka 381 v) i ), 382b), 383 b).

Zatim, konstruixemo pravougli trougao, zadatak 385. b) i d)i jednakokraki, zadatak 386. a).

Reximo jox zadatke: 391. a), v) i 392. a).Za svaki zadatak obavimo samo analizu i konstrukciju, a sa-

mo u jednostavnijim sluqajevima i u zadacima koji nemaju rexeǌa(kao npr. 381. )) izvrximo diskusiju i eventualno dokaz.

Domai zadatak 381. g), 382. v), 383. g), 385. v), 389. b), 388. b),

391. b) i d), 392. b).



Trougao 79

51. QAS

Trougao i krug Obrada

Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda

Ciǉ Pokazati da za svaki trougao postoji taqno jedna kruni-

ca koja sadri sva temena trougla i taqno jedna krunica koja

dodiruje sve stranice trougla.


Kao xto je opisano na 88. strani Ubenika, postavimo proble-me: moe li se kroz bilo koje dve ili kroz bilo koje tri taqke,konstruisati krunica? Na kraju, problem se svodi na pitaǌe: da li za svaki trougao postoji krunica, koja prolazi kroz sva temena trougla ?

Najpre pokaemo da postoji taqka koja je jednako udaǉena od temena trougla (taqka u kojoj se seku simetrale stranica).

Zatim, dokaemo teoremu T-9, iz koje sledi zakǉuqak da svaki trougao ima svoju opisanu krunicu .

Onda, reximo praktiqan problem – primer 1.Potom reximo i primer 2.Posle toga, uqenici nacrtaju u svesku proizvoǉan trougao.

(Nastavnik moe da postavi uslove, tj. da podeli uqenike na grupe,koje izaberu razliqite vrste trouglova.) Zatim, svi konstruixusimetrale unutraxǌih uglova odabranih trouglova.

Zakǉuqujemo: simetrale unutraxǌih uglova imaju jednu zajed-niqku taqku .

Onda, dokaemo teoremu T-10.Zatim, nastavnik izabere trougao, a dva uqenika na tabli (na

smenu) konstruixu opisanu i upisanu krunicu.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6 sa 92. strane.



80 Trougao

52. QAS

Trougao i krug Uvebavaǌe


Ciǉ Konstruisaǌe upisane i opisane krunice za razne vrste

trouglova i primene ovih krunica.

Tok qasa Osnovna literatura Zbirka, 61. i 62. str.

Ponovimo tvreǌa tepreme T-9 i teoreme T-10.Reximo zadatak 396. Utvrdimo: Kako se odreuje centar opi-

sane krunice? Xta je polupreqnik ove krunice?Zatim, reximo zadatke 397 i 398. Xta se moe zakǉuqiti o

centru opisane krunice ?Onda, reximo zadatak 400.Reximo zadatke 407, 410 i 408. Xta se moe zakǉuqiti o cen-

tru upisane krunice .Reximo jox zadatak 402.

Domai zadatak 399, 401, 403, 404, 405.



Trougao 81

53. QAS

Visine i teixne dui trougla Obrada

Frontalni rad Dijaloxko – heuristiqka metoda

Ciǉ Uoqiti analogiju izmeu osobina simetrala stranica i

uglova i osobina visina i teixnih dui trouglova.


Ponovimo pojam visine trougla. Nacrtamo jedan oxtrougli i jedan tupougli trougao. Konstruixemo jednu visinu oxtrouglogtrougla i visinu iz oxtrog ugla u tupouglom trouglu. Konstatu-

jemo: u prvom sluqaju visina je u trouglu, a u drugom sluqaju jevan trougla.

Zatim, nacrtanim trouglovima konstruixemo i preostale dvevisine. Onda, nacrtano pravougli trougao i ǌegove tri visine(primer 1).

Svaki uqenik crta u xkolskoj svesci. Onda, analiziramo cr-

tee uqenika i sliku na tabli.Uqenici izvode zakǉuqak da se visine trougla (prave koje

sadre visine) seku u jednoj taqki. Tu taqku nazivamo ortocentar.Nastavnik moe, po sopstvenoj proceni, dokazati ovo tvreǌe, kaoxto je u Ubeniku dato u neobaveznoj formi.

Zatim, reximo praktiqan primer 2.Ponovimo pojam teixne dui.Onda, rexavamo primer 3. (Svaki uqenik bira trougao ABC

po sopstvenom nahoeǌu).Ponovo zajedno analiziramo dobijene konstrukcije.Zakǉuqujemo: Teixne dui trouglova seku se u jednoj taqki .(Nastavnik moe i da dokae tvreǌe, kao xto je opisano u

Ubeniku.)Zajedniqka taqka je teixte, koje deli svaku teixnu liniju

na delove, koji se odnose kao 2:1.Reximo primer 4.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5 sa 96. strane.



82 Trougao

54. QAS

Visine i teixne dui Uvebavaǌe


Ciǉ Konstruisaǌe ortocentra i teixta za razne vrste trou-

glova i ǌihova primena.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka 63. i 64. str.

Obnovimo pojmove visine i teixne dui trouglaXta je orto centar? Xta je teixte ? Osobine teixta ?Rexavamo zadatke redom: 411, 412, 413, 414, 415.Zatim, rexavamo zadatke 416, 417, 418.

Domai zadatak 419, 420.



Trougao 83

55. QAS

Qetiri znaqajne taqke trougla Sistematizovaǌe


Ciǉ Povezati i zaokruiti znaǌa o centru upisane krunice,

centru opisane krunice, ortocentru i teixtu trougla.


Na prethodnim qasovima utvrdili smo da svaki trougao imaopisanu i upisanu krunicu, ortocentar i teixte.

Centar opisane krunice, centar upisane krunice, ortocen-tar i teixte, predstavǉaju tzv. qetiri znaqajne taqke .

Rexavamo primer 1 (svaki uqenik crta u svojoj svesci). Onda,zajedniqki otkrivamo: kakve poloaje u odnosu na trougaonu liniju imaju znaqajne taqke .

Utvrujemo da su centar upisane krunice i teixte uvek utrouglu. Orto centar i centar opisane krunice mogu biti u tro-

uglu (oxtrougli trougao), na trougaonoj liniji (pravougli trou-gao) ili van trougla (tupougli trougao).

Zatim, reximo primer 2, uz komentare i zakǉuqke o poloa- jima znaqajnih taqaka.

Domai zadatak Vebe 1 i 2. Radna sveska qetvrta kontrolna

veba (od 24. do 28. strane).



84 Trougao

56. QAS

Qetvrta kontrolna veba (trougao) Kontrola znaǌa

Pismeni rad

Uqenici dobijaju listie sa odxtampanim tekstovima zadata-ka

Grupa A)

1. Datom trouglu ABC konstruixi ortocentar H opixi kru-nicu oko ovog trougla.

2. Konstruixi trougao ABC , kome su date stranice a = 3 cm,c = 4 cm i teixna du ta = 3, 5 cm.

3. Konstruixi jednakokraki trougao K LM sa osnovicom K L, ko-

me je ugao na osnovici 75

◦

i krak LM = 4 cm.4. Konstruixi trougao P QR, kome je data stranica P Q i orto-centar H (slika gore desno).

Grupa B)

1. Opixi krunicu oko datog trougla M N P . Onda, konstruixiǌegovo teixte T .

2. Konstruixi trougao ABC , kome su date stranice a = 2, 5 cmi c = 3, 5 cm i ugao β = 45◦.

3. Konstruixi pravougli trougao P QR kome je dat ugao P QR =22◦30 i kateta P R = 3 cm.

4. Na slici gore desno je pravougli trougao ABC i ǌegovo te-ixte T . Ako je AB = 4, 8 cm, odrediti duinu dui CT .



Trougao 85

Grupa V)

1. Datom krugu preciznom konstrukcijom odredi centar O. Za-tim, leǌirom izmeri polupreqnik.

2. Konstruixi trougao ABC , kome je stranica c = 5 cm, a ugloviα = 60◦ i β = 45◦.

3. Konstruixi jednakokraki trougao M N P , kome je data osnovi-ca M N = 6 cm i ugao M P N = 105◦.

4. Konstruixi trougao KLM , kome je nacrtana stranica KL nagorǌoj slici. Taqka S na slici je centar upisane krunicetrougla KLM .

Grupa G)

1. Trougli P QR na slici konstruixi ortocentar H i tei-xte T .

2. Konstruixi trougao ABC , kome su date stranice b = 3, 5 cm ic = 5 cm i visina hc = 3 cm.

3. Konstruixi pravougli trougao KLM , kome su date kateteKL = 5 cm i KM = 4 cm.

4. Taqka T na slici je teixte pravouglog trougla ABC . Znamoda je M T = 17 mm. Kolika je duina polupreqnika kruniceopisane oko trougla ABC ? Obrazloi rexeǌe.



86 Trougao

Grupa D)

1. Datom trouglu na slici dole levo konstruixi opisanu kru-nicu sa centrom O i upisanom krunicom sa taqkom S .

2. Konstruixi trougao ABC , kome je data stranica c = 5 cm,ugao α = 30◦ i teixna du tb = 3, 5 cm.

3. Konstruixi jednakostraniqni trougao M N P , kome je visinah = 4 cm.

4. Na slici gore desno je stranica KL i teixte T trouglaKLM . Konstruixi trougao KLM .



Racionalni brojevi 87

57. QAS

O razlomcima ukratko Obnavǉaǌe


Ciǉ Obnavǉaǌem osnovnih pojmova o razlomcima, iz gradiva pe-

tog razreda (skraivaǌe, proxirivaǌe, uporeivaǌe, decimalni

zapis), pripremiti teren za rad sa racionalnim brojevima.


Ponovimo pojam razlomka: a

b je koliqnik celog broja a, a ∈ N 0,

sa prirodnim brojem b. (Pritom, a je brojilac , b je imenilac , a

” ” razlomaqka crta, koja oznaqava deǉeǌe.)

Ponovimo xta su: prividni razlomci (brojilac je deǉiv ime-niocem), pravi (maǌi od 1) i nepravi (vei od 1). Nepravi razlom-ci se mogu izraziti u obliku zbira celog broja i pravog razlomka .

Takav zapis nazivamo mexovitim brojem. Na primer: 236

= 3 56

. (Ni-

je mexoviti broj 23

6 = 2

11

6 , jer

11

6 nije pravi razlomak.)

Ako brojilac nije deǉiv imeniocem, onda se deǉeǌem brojio-ca sa imeniocem dobija decimalni zapis razlomka . Ponovimo pojamperiodiqnog decimalnog broja .

Reximo zadatke 1, 2, 3 iz Vebe, str. 103.Ponovimo skraivaǌe i proxirivaǌe razlomaka.Reximo Vebe 4. i 5.Ponovimo uporeivaǌe razlomaka .Reximo Vebe 6, 7 i 8.

Domai zadatak Zbirka: 421, 422, 423, 424, 425, 428, 429, a) i

d), 430 v) i d).



88 Racionalni brojevi

58. QAS

Skup racionalnih brojeva Obrada


Ciǉ Uvoeǌe negativnih racionalnih brojeva. Prikazivaǌe ra-

cionalnih brojeva na brojevnoj pravoj. Skraivaǌe, proxirivaǌe

i uporeivaǌe racionalnih brojeva, apsolutna vrednost.


Ponovimo: brojevna poluprava i predstavǉaǌe racionalnih brojeva (gradivo V razreda).

Proxirimo brojevnu polupravu ”levom” polupravom. Dobilosmo brojevnu pravu. Svakom broju na desnoj polupravoj odgovarana levoj polupravoj simetriqan broj. (Taqki na desnoj polupravojodgovara taqki, simetriqna u odnosu na taqku O, na levoj polu-pravoj.) Ranije smo to utvrdili za cele brojeve, a sada tvreǌeproxirujemo i na razlomke (sl. 1. u Ubeniku). Tako dobijemo skup racionalnih brojeva . Levo od O su taqke qije koordinate su maǌeod 0, tj. negativni racionalni brojevi .

Definixemo skupove Q+ i Q−, pa je Q = Q− ∪ {0} ∪ Q+ skup racionalnih brojeva .

Reximo primer 1.Definixemo pojam suprotnog broja i pojam apsolutne vredno-

sti racionalnog broja (97. strana u Ubeniku).Poxtujui pravilo za odreivaǌe znaka koliqnika, dolazimo

do zakǉuqka, da je racionalni broj a

b koliqnik celog broja a sa

prirodnim brojem b.Reximo primere 2, 3 i 4.

Konstatujemo da se u skup Q proxirivaǌe, skraivaǌe i upore-ivaǌe vrxi po istim principima, kao u skupu Q+ (uqili smo u Vrazredu).

Reximo i primer 5.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6 na 109. strani Ubenika.




59. QAS

Sabiraǌe u skupu Q+ Obnavǉaǌe


Ciǉ Podsetiti se na pravila o sabiraǌu razlomaka i osobine

sabiraǌa, pojam mexovitog broja i sabiraǌe decimalnih brojeva.


Ponovimo pravilo za sabiraǌe razlomaka , koji imaju jednakeimenioce (gradivo V razreda).

(a + b) : c = a : c + b : c, odnosno a : c + b : c = (a + b) : c, a odavde

zakǉuqujemo: a

c +

b

c =

a + b

c .

Sabiraǌe celog broja sa razlomkom rexavamo sliqno tran-sformisaǌe mexovitog broja.

Ako su razlomci sa razliqitim imeniocima, onda ih proxi-ravaǌem dovodimo na jednake imenioce, pa sabiramo.

a

b +

c

d =

a · d

b · d +

b · c

b · d =

a · d + b · c

b · d

Reximo primer 1.Zatim, ponovimo sabiraǌe decimalnih brojeva (razlomaka u de-

cimalnom zapisu), pa reximo primer 2.

Ako se sabiraju brojeve oblika a

b sa decimalnim brojevima,

onda brojevi oblika a

b izrazimo u decimalnom obliku, ili deci-

malne brojeve svedemo na oblik a

b, pa onda sabiramo. (Vidi tekst

na 112. strani Ubenika).

Onda, rexavamo Vebe sa 112. strane: 1, 2, 3, 4.

Domai zadatak Zbirka: 456. 457, 458, 459, 460.




60. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe u skupu Q Obrada


Ciǉ Koristei se iskustvima iz sabiraǌa u skupu Q+ i sabi-

raǌa i oduzimaǌa celih brojeva, izvesti pravila za sabiraǌe i

oduzimaǌe u skupu Q.


Konstatujemo da se pravila za sabiraǌe i oduzimaǌe celihbrojeva mogu primeniti i u skupu Q. Pri tome, postupaǌe pri sa-biraǌu i oduzimaǌu decimalnih brojeva, na razlikuje se od rada

sa celim brojevima. Kod razlomaka oblika a

b, kombinujemo ovo pra-

vilo sa postupkom koji koristimo u skupu Q+. (Vidi tekst na 113.strani Ubenika.)

Jox naglasimo da je u sluqaju mexovitog broja, na primer:

−3 25

= −

3 + 25

= − 17

5 .

Podsetimo sa na definiciju razlike

a − b = a + (−b),

pa reximo primer sa 114. strane Ubenika.Zatim, navodei konkretne primere, podsetimo se na osobine

sabiraǌa, primeǌene na skupu racionalnih brojeva. (Na primer:asocijativnost, komutativnost, saglasnost jednakosti sa sabira-ǌem, pravilo ”minus ispred zagrade” i sl.)

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5, sa 115. strane Ubenika.




61. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe u skupu Q Uvebavaǌe


Ciǉ Temeǉno uvebati sabiraǌe i oduzimaǌe u skupu Q, uzima-

jui u obzir sve kombinacije pozitivnih i negativnih sabiraka.


Ponovimo pravilo za sabiraǌe celih brojeva, pa pravilo zasabiraǌe u skupu Q i definiciju razlike dva broja.

Onda, rexavamo zadatke iz Zbirke, redom 461 (po izboru), 462a), b), v), g), 463 (po izboru), 464, 465, a) , 469, 471 (po izboru),473, 474.

Domai zadatak Radna sveska: Peta kontrolna veba (od 29.

do 33. strane).




62. QAS

Peta kontrolna veba (Racionalnibrojevi)

Kontrola znaǌa

Pismeni rad

Ciǉ Ovo je tzv. ”blic kontrolna veba”, koja se radi 25-30 mi-

nuta. Nastavniku je bitno da proceni pripremǉenost uqenika za

planiranu obradu operacija sa racionalnim brojevima. Uqenici-ma ove veba je upozoreǌe i ukazivaǌe na eventualne ”praznine”u znaǌu o racionalnim brojevima.

Zadaci su odxtampani na listiima.

Grupa A)

1. Odredi tri racionalna broja, koji se na brojevnoj pravoj na-

laze izmeu brojeva −2

5 i −

3

5.

2. Xta je vee i za koliko: 121

2 − 30 ili 4

3

4 − 22?

3. Izraqunaj: −3, 4 −

6, 5 − 2 15

− 7 12

.

4. Razlomke −3

2,

5

4, −

9

8, −

6

5 dovedi na zajedniqki brojilac, pa ih

uporedi i sloi u opadajui niz, od najveeg do najmaǌeg.

Grupa B)

1. Odredi tri racionalna broja p, q , r, tako da je−0, 1 < p < q < r < 0, 1.

2. Za koliko je apsolutna vrednost razlike brojeva 31

2 i −5

5

6

vea od broja 7 1

12 ?3. Odredi uzajamno proste cele brojeve p i q takve da je

p

q =

1

36 + 1

3

8 −

1

7

12 −

11

24 −

1

18

.

4. Razlomke 5

6, −

2

3, −

7

12, −

3

4 dovedi na zajedniqki imenilac pa

ih uporedi. Onda ih sloi u rastui niz, od najmaǌeg donajveeg.




Grupa V)

1. Odredi tri prava razlomka a, b, c, takva da je

a > 9

10 > b >

4

5 > c.

2. Od zbira brojeva 31

3 i −3

2

5 oduzmi broj −1

1

6.

3. Izraqunaj: 21

4 − (1, 75 − 4) − 2

7

10.

4. Brojeve: −4

5, −

3

2, −

5

4, −

3

8, −

3

4, poreaj u rastui niz, od naj-

maǌeg do najveeg.

Grupa G)

1. Odredi pet racionalnih brojeva, koji se na brojevnoj pravoj

nalaze izmeu brojeva −1

4 i

1

4.

2. Za koliko je razlika brojeva 125

9 i −

−3

1

2

maǌa od razlike

brojeva 72

3 i −4

5

6.

3. Odredi uzajamno proste cele brojeve m i n takve da jem

n = 1

5

6 − 1

3

4 + 1

2

3 − 3.

4. Razlomke 20

11, −

15

8 , −

5

3, −

30

17, dovedi na zajedniqki brojilac,

pa ih uporedi. Sloi ih u niz, od najveeg do najmaǌeg.

Grupa D)

1. Odredi tri racionalna broja m, n i p, tako da vae nejedna-

kosti: − 1

10 > m > n > p > −

1

5.

2. Za koliko je razlika broja 3,01 i broja −88, 49 vea od zbirabrojeva 99,48 i −53, 98?

3. Izraqunaj: 5, 6 − 7

30 −

7

1

3 − 1

2

15

.

4. Razlomke 3

4, −

2

3, −

5

8, −

5

6, dovedi na zajedniqki imenilac, pa

ih uporedi. Zatim ih sloi u niz, od najveeg do najmaǌeg.




63. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe u skupu Q Uvebavaǌe


Ciǉ Postii visok nivo u tehnikama sabiraǌa i oduzimaǌa u

skupu racionalnih brojeva.


Pored zadatak iz Zbirke, uradiemo i neke zadatke sa posled-ǌe kontrolne vebe. Sa vebe rexavamo one zadatke, sa kojima suuqenici imali problema.

Prvo rexavamo odabrane zadatke sa kontrolne vebe.Zatim, rexavamo iz Zbirke zadatke: 463, 465, 468, 470, 471.

Domai zadatak 466, 467, 472, 476.




64. QAS

Skup racionalnih brojeva Sistematizovaǌe


Ciǉ Sabiraǌe i oduzimaǌe sa primenom, vebati na primerima

sa ”izmexanim” racionalnim brojevima razliqitih oblika.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 66. do 78. strane.

Umexnost u sabiraǌu (i oduzimaǌu) racionalnih brojeva, pred-stavǉa jednu od bitnih karika u matematiqkom obrazovaǌu. Poseb-no je vaan princip svoeǌa zajedniqki imenilac, jer se on obi-lato koristi tokom kasnijeg izuqavaǌa algebre.

O tome nastavnik upoznaje uqenike, a onda prelazi na vebaǌe,koristei se zadacima iz zbirke.

Rexavamo sledee zadatke: 434, 435, 437, 438, 440, 443, 448,475, 478, 480.

Domai zadatak 442, 445, 449, 477.




65. QAS

Priprema za pismeni zadatak Obnavǉaǌe


Ciǉ Vebajui primere odgovarajueg nivoa, pripremiti uqe-

nike za drugi pismeni zadatak.


Pripremu za ovaj pismeni zadatak obavimo na standardan na-qin, opisan u pripremi 36. qasa.

Izmeu ostalih, za vebaǌe moemo rexavati i sledee za-datke iz Zbirke: 441, 450, 452, 453, 454, 455, 472, 476, 477, 479.

Domai zadatak Radna sveska: Drugi pismeni zadatak (od 34.

do 37. strane).




66. QAS

Drugi pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Pismeni rad

Uqenici dobijaju pripremǉene listie sa odxtampanim tek-stovima zadataka.

Grupa A)

1. Razlomak −504

792 dovedi na neskrativ oblik.

2. U lonac od sedam i po litara nasuto je 21

8 litara vode, pa je

dosuto jox 3 7

12 litara. Koliko se litara jox moe doliti, pa

da taj lonac bude pun do vrha?

3. Prema slici dole levo odredi visinu hc trougla ABC .

4. Konstruixi jednakokraki trougao K LM , osnovice K L, ako mu je krak LM = 4 cm i teixna du koja odgovara kraku 3 cm.

Grupa B)

1. Razlomak −216288

dovedi na neskrativ oblik.

2. Xta je vee, −35

6−

1

2

3

−

−5

1

4

ili −

3

4−

−4

2

3

+

−1

1

12

?

3. Na slici gore je AB = K L. Kolika je duina dui KM ?4. Konstruixi pravougli trougao M N P sa pravim uglom P ,

ako mu je kateta N P = 3, 5 cm, a ǌoj odgovarajua teixnadu ima duinu 4 cm.




Grupa V)

1. Razlomak −180


2. Za koliko je 13

5−

5

6−

2

3 − 1

1

5

vee od izraza 2

1

2−

1

2

5

− 4

3

4?

3. Jednakokraki trougao KLM , sa osnovicom KL, ima visinuKN . Pri tom je LKN = 21◦. Odredi unutraxǌe uglove tro-ugla KLM . Moe li ovaj trougao biti tupougli?

4. Taqke D i S su sredixta dui AB i M N . Koristei se po-

dacima sa slike, dokai da su trouglovi ABC i M N P podu-darni.

Grupa G)

1. Razlomak −−648


2. Koji je broj za 1,092 maǌi od razlike brojeva 1,33 i −8, 682?

3. Spoǉaxǌi ugao kod vrha C jednakokrakog trougla ABC izno-si 128◦. Koliki je ugao izmeu simetrale ugla α i visine ha

ovog trougla?

4. Konstruixi pravougli trougao M N P , sa pravim uglom kod temena P , ako je M = 15◦ i hipotenuzina visina je duine2 cm.




Grupa D)

1. Razlomak 210

−120 dovedi na neskrativi oblik.

2. Xta je vee i za koliko: 25

6 − 2

1

5 −

−1

3

4

ili

− 7

12 −

−3

5

12

− 1

1

3?

3. Du CD je visina jednakostraniqnog trougla ABC . Na pro-duetku visine, iza taqke D, odreena je taqka E , tako da jeCE = AB. Odredi unutraxǌe uglove trougla BDE .

4. Dui tk i ta su teixne dui jednakokrakih trouglova KLM i ABC . KL i AB su osnovice. Na osnovu podataka sa slike,dokai da je AB = K S .




67. QAS

Ispravka pismenog zadatke Uvebavaǌe




Tok qasa Uobiqajeni tok ispravke pismenog zadatka, kao xto je

opisano u planu rada za 39. qas.




68. QAS

Celi i racionalni brojevi Sistematizovaǌe


Ciǉ Napraviti rekapitulaciju operacija na skupovima celih i

racionalnih brojeva.


Budui da je prvih tridesetak qasova drugog polugodixtapredvieno za nastavak obrade racionalnih brojeva, potrebno jeuqenike za to pripremiti. Onda, svaki slobodni deo od preosta-lih qasova do kraja prvog prvog polugodixte treba iskoristitiza vebaǌe nauqenih operacija sa racionalnim brojevima. Zadat-ke birati iz Zbirke.

Za domai zadatak uqenicima preporuqiti da jox jednom uradezadatke iz xkolske i domae sveske u vezi sa racionalnim broje-vima. Takoe, treba im preporuqiti da se podsete na mnoeǌe i

deǉeǌe razlomaka, xto su nauqili u petom razredu.Preostala dva qasa do kraja polugodixta ostavǉamo u rezer-

vi. Mogu se iskoristiti, ili su ve iskorixeni, kao uslovǉendodatak u planu realizacije neke od tema u proteklom polugodi-xtu. Mogu biti iskorixeni za proveru, odnosno utvrivaǌe ne-kih ocena, a moda ih ”pojede” i nepogodan nedeǉni raspored qa-sova.

69. qas rez. Tema:Tok qasa

70. qas rez. Tema:Tok qasa




71. QAS Drugo polugodixte

Izrazi, jednaqine i nejednaqine Obrada


Ciǉ Primena osobina sabiraǌa i oduzimaǌa.


Sreivaǌe izraza i izraqunavaǌe brojevne vrednosti izraza,predstavǉa elementarnu tehniku u matematici. Zbog toga, ovom de-lu nastave treba pokloniti dovoǉno paǌe. Kod izraza u kojim jezastupǉeno samo sabiraǌe i oduzimaǌe, treba obratiti posebnupaǌu na pravilo ”minus ispred zgrade”. Brisaǌe (izostavǉaǌe)zagrade, ispred koje je ”minus”, zahteva promene svih znakova ”+”i ”−” u zagradi. To emo primeniti rexavaǌem primera 1.

Sreivaǌe izraza s promenǉivim veliqinama ima dve varijante. Jedna je oslobaaǌa od zagrada i uproxavaǌe izraza sa

zadravaǌem slovnih oznaka za promenǉive. Druga je izraqunava-ǌe brojevne vrednosti izraza za date brojevne vrednosti promen-

ǉivih. Navodimo izraz 0, 75 −

1

1

2 − a

na 116. strani Ubenika.

Zatim, reximo primer 2.Onda, rexavamo jednaqine tipa x + a = b i a − x = b, koje smo

upoznali u 6. odeǉku Prve glave.Reximo primere 3 i 4.Zatim, rexavamo nejednaqine, takoe jednostavnog oblikax + a > b, x + a < b, a − x > b i a − x < b.Reximo primere 5 i 6.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, sa 118. i 119. strane.




72. QAS

Izrazi, jednaqine Uvebavaǌe


Ciǉ Odreivaǌe vrednosti izraza sa promenǉivom veliqinom i

rexavaǌe jednostavnijih jednaqina.


Nastavǉamo sa uvebavaǌem tehnike sreivaǌa izraza. Prvosredimo nekoliko brojevnih izraza.

Reximo zadatke: 471 a), v), z), 472 a), v), d) i 470 b) i g).Zatim, prelazimo na izraze s promenǉivim veliqinama. Rexi-

mo zadatke 481 i 482.Onda reximo jednaqine iz zadatka 488 a) i b) i 489 a) i v).

Domai zadatak 483, 484, 485, 488 v) i g) , 489 b).




73. QAS

Jednaqine, nejednaqine Uvebavaǌe


Ciǉ Rexavaǌe i primena jednaqina i nejednaqina.


Podsetimo se: jednaqina x + a = b ima rexeǌe x = b − a, arexeǌe jednaqine a − x = b je x = a − b.

Rexavamo zadatke 488 v) i d).Zatim, rexavamo jednaqinu sa apsolutnom vrednoxu iz za-

datke 489 g). Reximo i zadatak 490.Ponovimo: nejednaqina x + a > b ima rexeǌe x > b − a. Reximo

zadatke 494 v) i g).Ponovimo: nejednaqina a − x > b ima rexeǌe x < a− b, a rexeǌe

nejednaqine a − x < b je x > a − b.

Reximo zadatke: 494 a), b) i ).Zatim, reximo nejednakost sa apsolutnom vrednoxu. Reximozadatak 495 a).

Reximo i zadatak 496.

Domai zadatak 488 ), 489 d), 491, 492, 493, 494 b), 497.




74. QAS

Mnoeǌe u skupu Q+ Obnavǉaǌe


Ciǉ Priprema terena za mnoeǌe i deǉeǌe racionalnih broje-

va.


Proxle godine nauqili smo mnoeǌe i deǉeǌe razlomaka uskupu Q+. Za mnoeǌe koristimo pravilo

a

b ·

c

d =

a · c

b · d.

Iz ovog izvodimo pravilo za mnoeǌe razlomka celim brojem:

k · a

b =

k · a

b ili

a

b · k =

a · k

b .

Radi jednostavnijeg raqunaǌa, treba nastojati da se pre mno-eǌa skrate qinioci.Rexavamo primere 1 i 2.Podsetimo se na pojam reciproqne vrednosti razlomka:

Za a = 0 je a

b ·

b

a = 1; Broj

b

a je reciproqna vrednost broja

a

b.

Reximo primer 3.Onda, podsetimo se na pravilo za mnoeǌe decimalnih broje-

va. To qinimo objaxǌavajui sve etape izraqunavaǌa proizvoda5, 8 · 7, 35 (kao na 121. strani Ubenika).

Reximo primer 4.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4 sa 121. i 122. strane Ubenika

i iz Zbirke: 501, 502, 503, 504, 505.




75. QAS

Mnoeǌe racionalnih brojeva oblika p

q Obrada


Ciǉ Povezati pravila za mnoeǌe celih brojeva i za mnoeǌe

razlomaka.


Obnovimo pravila za mnoeǌe dva razlomka i za mnoeǌe raz-lomaka celim brojem, kao xto smo uqinili prethodnog qasa.

Za mnoeǌe u skupu Q ovome treba samo dodati pravilo za od-reivaǌe znaka proizvoda. (Proizvod dva broja pozitivan je samoako su oba qinioca istog znaka, tj. ako su oba pozitivna, ili obanegativno.) To je kao kod mnoeǌa u skupu celih brojeva.

Reximo primere 1 i 2.Podsetimo se na pojam reciproqna vrednosti broja, rexavaǌem

primera 3.Primetimo da su brojevi 1 i −1 sami sebi reciproqni.

Kako se odreuje 1

3 nekog broja a ili

2

5 broja a? Znamo od pro-

xle godine, tj je 1

3 · a, odnosno

2

5 · a. Zatim, reximo primer 4.

Na kraju, ako imamo vremena, reximo 2. zadatak Vebe sa 124.strane.

Domai zadatak Zbirka 508. i Vebe 1 i 3.




76. QAS

Mnoeǌe racionalnih brojeva Uvebavaǌe


Ciǉ Usvajaǌe tehnike mnoeǌa razlomaka: prvo skrati, pa onda

mnoi.


Ponovimo pravilo a

b ·

c

d =

a · c

b · d i odreivaǌe znaka proizvoda.

Onda, reximo zadatke 506 i 507.Zatim, reximo zadatke 511 i 514.Onda sreujemo izraze tipa a(b + c) i (b + c) · a.Reximo zadatke 509 a) i v) i to na dva naqina.Prvi put ”ispoxtujemo zagradu”, pa prvo izvrximo operaciju

oduzimaǌa u zagradi, a onda mnoimo.Drugi put, koristimo pravilo za oslobaaǌe od zagrade (oso-

bina distributivnosti mnoeǌa u odnosu na sabiramo i oduzima-ǌe):

a(b ± c) = a · b ± a · c.

Na kraju, reximo nekoliko zadataka sa stepenima: 515 a), b),v), g), d) i 516 a), b) i v).

Domai zadatak 509, 510, 512, 515, 516, 517.




77. QAS

Mnoeǌe decimalnih brojeva Obrada


Ciǉ Usvojiti pravilo mnoeǌa decimalnih brojeva: 1. odredi

znak; 2) odredi cifre proizvoda; 3) postavi decimalnu zapetu.


Videli smo da se mnoeǌe decimalnih brojeva svodi na mnoe-ǌe celih brojeva, a onda se decimalnom zapetom odvoji odgovara-

jui broj decimala. (Videti plan rada za 74. qas). Na kraju, joxodredimo znak proizvoda, kao kod mnoeǌa celih brojeva. Prin-cip mnoeǌa decimalnih brojeva najboǉe se vidi pri rexavaǌuprimera 1.

Mnoeǌe decimalnih brojeva zahteva paǌu, pa je potrebnodosta vebaǌa, da bi se nivo tehnike rada podigao na nivo ruti-

ne. Rexavamo primer 2.Za odreivaǌe reciproqne vrednosti decimalnog broja, najbo-

ǉe je prvo decimalni broj dovesti na oblik a

b. To posebno dolazi

do izraaja kod periodiqnih decimalnih brojeva. (Neizvodǉivo je, na primer, direktno deǉeǌe 1 : 0, 18.) Reximo primer 3.

Zatim, reximo primer 5. Onda imamo jedan qinilac u obli-

ku a

b, a drugi u obliku decimalnog broja. Pre mnoeǌa treba oba

qinioca svesti na oblik a

b, ili oba na oblik decimalnog broja.

Ako ima vremena do kraja qasa, preporuqǉivo je rexavaǌe iprimera 4. Ne treba insistirati da to znaju svi uqenici.

Domai zadatak Vebe 1 i 3 (i eventualno 2).




78. QAS

Mnoeǌe decimalnih brojeva Uvebavaǌe


Ciǉ Kombinovati mnoeǌe racionalnih brojeva u raznim obli-

cima.


Ponovimo pravilo za mnoeǌe decimalnih brojeva (sa odrei-vaǌem znaka proizvoda).

Podsetimo se na jednostavan postupak mnoeǌa decimalnogbroja dekadnom jedinicom. Reximo zadatak 521.

Onda se podsetimo na jednostavno mnoeǌe u sluqaju kad je je-dan mnoilac oblika: 0,1; 0,01; 0,0001 i sl. Reximo zadatak 523.

Zatim, vebamo opxtu tehniku mnoeǌa, rexavajui zadatak 524.

Ponovimo pojam reciproqne vrednosti broja, pa reximo zada-tak 527.

Na kraju, sredimo nekoliko izraza u kojima se uz decimalne

brojeve pojavǉuju i brojevi oblika a

b. Reximo zadatke: 526 g) i

z), 528 b) i 529 a).

Domai zadatak 522, 525, 526, 528, 530.




79. QAS

Osobine mnoeǌa u skupu Q Uvebavaǌe


Ciǉ Navoeǌem konkretnih brojevnih izraza uveriti se da vae

navedene osobine mnoeǌa u skupu Q.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik , od 126. do 128 str. i

Zbirka, od 86. do 88. str.

Mnoeǌe racionalnih brojeva je tzv. operacija zatvorena na skupu Q. To znaqi, ako je a ∈ Q i b ∈ Q, onda je i a · b ∈ Q. Na osnovupravila za mnoeǌe razlomaka, ovo mnoeǌe se svodi na mnoeǌecelih brojeva. Zbog toga ovde vae isti zakoni, kao za mnoeǌecelih brojeva.

Navodimo te zakone, kao xto je to uqiǌeno na 125. strani Ube-nika. Takoe, jednakost je saglasna sa mnoeǌem racionalnim bro-

jem.

Rexavaǌem primera 1, 2, 3, uveravamo se u funkcionisaǌeovih zakona.

Kao vana primena zakona asocijativnosti mnoeǌa, pojavǉu- ju se operacije sa stepenima.

Upoznaemo se sa stepenima rexavajui primere 4 i 5 i zadatak 538 iz Zbirke.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, sa 128. strane Ubenika i iz

Zbirke: 532, 533, 535.




80. QAS

Deǉeǌe racionalnih brojeva Obrada


Ciǉ Koristimo znaǌe iz prethodnog razreda (o deǉeǌu u skupu

Q+) i pravilo za odreivaǌe znaka koliqnika.


Proxle godine nauqili smo pravilo za deǉeǌe razlomkom. Ov-de, na 127. strani Ubenika, vidimo kakao se dolazi do tog pravila:

Za c = 0 je a

b :

c

d =

a

b ·

d

c =

a · d

b · c.

Znak koliqnika odreuje kao i kod deǉeǌa (i mnoeǌa) celihbrojeva.

Reximo primer 1.Naglasimo, i na konkretnom primeru pokaemo, deǉeǌe raci-

onalnih brojeva nije komutativna operacija . (U Ubeniku to je po-

tvreno na koliqniku −179

: 815

.)

Onda, objasnimo deǉeǌe razlomka celim brojem.Razlikujemo sluqajeve kad je brojilac razlomka deǉiv celim

brojem i kad nije deǉiv. U navedenom sluqaju, deǉeǌe se vrxi nadva naqina:

14

15 : (−7) =

14 : (−7)

15 ili

14

15 : (−7) =

14

15 :

−

7

1

=

14

15 ·

−

1

7

.

Izvedeno pravilo potvrdimo na konkretnim brojevima, kao xto je navedeno u Ubeniku, pa reximo primer 2.

Zatim, prikaemo deǉeǌe decimalnih brojeva na dva naqina,kao u primeru 3.

Onda, reximo primere 4 i 6 i eventualno primer 5.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5, strana 131. i 132.




81. QAS

Deǉeǌe racionalnih brojeva Uvebavaǌe


Ciǉ Vebaǌe tehnike deǉeǌa racionalnih brojeva.


Ponovimo pravilo za deǉeǌe razlomaka:

za c = 0, a

b :

c

d =

a

b·

d

c =

a · d

b · c i potkrepimo ga primerom (recimo:

21

7 :

−

9

14

).

Zatim, ponovimo dva sluqaja deǉeǌa razlomaka celim brojem

i potkrepimo ih konkretnim primerima, −31

3 : (−5) i 2

4

5 : (−21).

Onda, reximo zadatke 514 i 543.Ponovimo pravilo za deǉeǌe decimalnim brojem, pa reximo

zadatke 542 i 544.Obratimo posebno paǌu na deǉeǌe decimalnih brojeva de-

kadnom jedinicom i brojevima tipa 0,001. Reximo zadatak 545.

Domai zadatak 546, 547 b) i v), 548 i 549.




82. QAS

Mnoeǌe i deǉeǌe u skupu Q Uvebavaǌe


Ciǉ Kombinovano deǉeǌe racionalnih brojeva u sluqajevima

kad deǉenik i delilac nisu istog zapisa.


Grupe qine uqenici iz dve susedne klupe.Ponovimo pravila za mnoeǌe i deǉeǌe razlomaka. Posebno

istaknemo sluqajeve kad je jedan od brojeva ceo.Rexavamo nekoliko zadataka usmeno, bez zapisivaǌa. To su za-

daci 539 i 540.Zatim, reximo zadatke redom: 513, 518, 519, 520, 522, 525, 528,

537, 547.





83. QAS

Izrazi. Dvojni razlomci Obrada


Ciǉ Sreivaǌe izraza sa racionalnim brojevima. Svoeǌe dvoj-

nog razlomka na obiqan razlomak.


Podsetimo se na redosled raqunaǌa brojevne vrednosti izrazau kojem se pojavǉuju operacije sabiraǌa, oduzimaǌa, mnoeǌa ideǉeǌa. Uloga zagrada u izrazima.

Prvo rexavamo primere 1 i 2, u kojima raqunamo brojevnevrednosti brojevnih izraza.

Onda, reximo primer 3, u kojem se trai brojevna vrednostizraza s promenǉivom veliqinom.

Zatim, uoqavamo posebnu vrstu izraza, koje nazivamo dvojnimrazlomcima. Dvojni razlomak nije nixta drugo, do koliqnik dva

izraza sa racionalnim brojevima. Najjednostavniji sluqaj je ko-liqnik dva razlomka:

Za c = 0,

a

bc

d

= a

b :

c

d =

a · d

b · c.

Moe se zapamtiti i direktno

a

bc

d

= a · d

b · c. (Proizvod spoǉa-

xǌih qlanova odreuje brojilac, a proizvod unutraxǌih daje ime-nilac rezultata. (”Unutraxǌi qlanovi su brojevi uz glavnu ra-zlomaqku crtu.)

Rexavamo primer 4.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4 sa 134. strane.




84. QAS

Izrazi Uvebavaǌe


Ciǉ Sreivaǌe izraza sa promenǉivom veliqinom i sloenijih

dvojnih razlomaka.


Ponovimo: redosled raqunaǌa vrednosti brojevnog izraza.Rexavamo zadatke 551. i 522.Ponovimo pojam dvojnog razlomka i dva pravila kojim se on

svodi na obiqan razlomak.Reximo zadatke: 557 a), b), v) i 558.Zatim, reximo zadatke: 561 a) i 562 g)

Domai zadatak 553, 557 g), d), ), 559 a), 563 a).




85. QAS

Izrazi Uvebavaǌe

Rad u homogenim grupama Dijalog

Ciǉ Sreivaǌe izraza raznih nivoa teine, prilagoenih radu

sa homogenim grupama, u tri nivoa znaǌa.


Uqenici se grupixu, po qetiri do xest u svakoj grupi. Grupese formiraju u tri kvalitetom odreena nivoa: A je elementar-ni, B sredǌi i V vixi nivo. Nastavnik predlae uqenicima da sesami odluqe za nivo A, B ili V, a ako je potrebno, sam izvrxi se-lekciju. Zadaci se pripreme unapred, na odxtampanim listiima.Rexavaju se jedan, po jedan.

Kad sve grupe rexe svoj prvi zadatak, rexeǌa se demonstri-raju na tabli, pa se prelazi na rexavaǌe drugog zadataka i td.

Mogui izbor zadataka po grupama (konaqan izbor diktira si-

tuaciju u razredu):Grupa A): 547 ), 555, 557 d), 559 v), 562.Grupa B): 553 v), 554, 559 b), 561 v), 564 a).Grupa V): 556, 554, 563 v) 563 v), 564 b).

Domai zadatak Radna sveska: Xesta kontrolna veba (od 38.

do 42. strane).




86. QAS

Xesta kontrolna veba(Racionalni brojevi)

Kontrola znaǌa

Pismeni rad


Grupa A)

1. Rexi jednaqinu: 2, 25 − x = 43

4.

2. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza −55

7·

−

1

9

·

2

1

10 :

−

1

6

.

3. Koliko iznosi 3

11 od −

1

1

9 − 2

1

3

?

4. Uprosti dvojni razlomak

−21

3 −−1

1

64 2

3.

Grupa B)

1. Rexi nejednaqinu: 5, 75 ≥ 31

2−x. Rexeǌe prikai na brojevnoj

pravoj.

2. Izraqunaj −1, 12 · (−2, 025) + 1, 76 · (−3, 375).

3. Xta je vee i za koliko: qetiri petine od −55

8 ili minus dve

treine od 5

1

4 ?

4. Uprosti dvojni razlomak−1

1

9

12

3

.




Grupa V)

1. Rexi jednaqinu 23

5 = 1, 15 − x.

2. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza

2

1

5 − 4

1

3

:

−5

1

3

.

3. Koliko iznosi 9

10 od 3

1

8 :

−3

3

4

?

4. Uprosti dvojni razlomak

−21

2

+ 1

6−

5

6 − 2, 5

.

Grupa G)

1. Rexi nejednaqinu 31

3 − x < 1

1

9. Rexeǌe prikai na brojevnoj

pravoj.

2. Izraqunaj: −3, 2 · (−11) · (−2, 035) + 45, 7 · (−8, 3 : (−5)).

3. Xta je maǌe i za koliko: minus tri sedmine od 5

12 ili pet

xestina od −

3

14 ?

4. Uprosti koliqnik 61

4 :

62

3

−8

9

.

Grupa D)

1. Rexi jednaqinu: 2

3 − x = 2, 5 − 1

1

6.

2. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza 1

2 −

2

3 : −12

3.

3. Koliko iznosi −12

3 od 1

1

2 ·

5

5

6 − 3

2

5 :

3

4

?

4. Uprosti koliqnik−3

1

3

41

6

: 11

5.




87. QAS

Jednaqine u skupu racionalnih brojeva Obrada


Ciǉ Rexavaǌe jednostavnih jednaqina korixeǌem osobina ra-

qunskih operacija u skupu Q.


Do sada smo rexavali jednaqine u kojima je nepoznata veliqi-na samo x. Sada emo razmatrati jednaqine kod kojih e nepoznatabiti oblika ax ili x : a, gde je a, a = 0, racionalni broj.

Najjednostavnija takva jednaqina je oblika ax = c, gde je a = 0.ǋeno rexeǌe je x = c : a.

Rexavamo primer: −21

4·x = 3

3

5 (vidi na 134. strani). Dobijemo

rexeǌe x = 33

5 : −2

1

4 = −13

5.

Rexeǌe treba obavezno proveriti! Zatim, razmatramo jox malo sloenije jednaqine:

ax + b = c, zatim b − ax = c

Rexavamo primer 1.Onda, reximo jednaqinu sa apsolutnom vrednoxu (reximo

primer 2.).Posle toga razmatramo i jednaqine oblika:

x

a = c,

x

a + b = c i b −

x

a = c, a = 0

Reximo primer 3.

Takoe razmatramo i jednaqine oblika a : x = c i sliqne, pareximo primer 4.Zatim, upoznajemo se sa tekstualnim zadacima, qije rexavaǌe

dovodi do jednaqina navedenih oblika.Reximo primere 5. i 6.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, sa 138. i 139. strane.




88. QAS

Jednaqine Uvebavaǌe


Ciǉ Rexavaǌe jednaqina raznih oblika i jednostavnijih tekstu-

alnih zadataka.


Najpre rexavamo jednostavne jednaqine uoqenih oblika. Rexa-vamo redom zadatke: 566 a), b), v), g), 567 a), b), v).

Onda, rexavamo i jednaqine sloenijeg izgleda.Rexavamo zadatke: 566 d), ), e), ), z).Zatim, reximo jednaqine sa apsolutnom vrednoxu. Tu su za-

daci 570 a) i b).Na kraju reximo neki tekstualni zadatak : 571, 572, 576.

Domai zadatak 568 b), d), ), 570 v), 574, 579.




89. QAS

Jednaqine sa primenom Uvebavaǌe


Ciǉ Rexavaǌe tekstualnih zadataka. Jednostavna primena jed-

naqina u geometriji.


Ponovimo rexavaǌe jednaqina raznih oblika.Usput reximo zadatke: 567 ), g), d) i 568 v).Zatim, reximo zadatke 569 a) i v).Onda, rexavamo tekstualne zadatke: 573, 577, 578, 580.

Domai zadatak 569 g) i d), 570 g), 575.




90. QAS

Nejednaqine u skupu Q Obrada


Ciǉ Odreivaǌe rexeǌa nejednaqine povezati sa rexeǌem od-

govarajue jednaqine.


U odeǉku 3.4 rexavamo samo postavǉene nejednaqine oblikaa + x > b (odnosno a + x < b) i a − x > b (odnosno a − x < b), koriste-i se osobinama sabiraǌa i oduzimaǌa.

Sada, za a = 0, rexavamo nejednaqine oblika:ax > c (odnosno ax < c) i x : a > c (odnosno x : a < c).Najpre razmotrimo kako se izraz ax, za a = 0, meǌa kad x raste

i kad x opada. Kao xto je opisano na 139. strani: kad x raste, ondaza a > 0 proizvod ax raste, a kad je a < 0 proizvod ax opada.

Odatle zakǉuqujemo kako se navedene nejednaqine rexavaju ko-

rixeǌem rexeǌa odgovarajuih jednaqina.Rexavamo primer 1, pa primer 2, uz prikazivaǌe rexeǌa na

brojevnoj pravoj. Onda, rexavamo nejednaqine oblika x : a > c,odnosno x : a < c, primer 3.

Zatim, koristei se prethodnim idejama, rexavamo nejednaqi-ne ax + b > c, b − ax > c (i sliqne).

Reximo primer 4.Na kraju, reximo i jedan tekstualni primer, koji se svodi na

rexavaǌe nejednaqine, primer 5.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3 sa 143. strane.




91. QAS

Nejednaqine Uvebavaǌe


Ciǉ Jednostavni primeri primene nejednaqina. Prikazivaǌe re-

xeǌa nejednaqine na brojevnoj pravoj.


Ponovimo kako se rexavaju nejednaqine tipa ax > c, ax < c,x : a > c, x : a < c, za a = 0.

Onda, reximo zadatke 581 a), b), v).Zatim, ponovimo kako se rexavaju nejednaqine tipa:ax + b > c, ax + b < c, b − ax > c, b − ax < c, za a = 0.Onda rexavamo zadatke: 581 g), d), )Zatim, rexavamo zadatke: 582 b), d), ) i 583 a), b).Rexavamo, zatim, nejednaqine sa apsolutnim vrednostima (zadatak

585 a), v)).

Na kraju reximo zadatak 588.

Domai zadatak 582 a), g), 583 v), 584, 585 v), 589.




92. QAS

Procenti Obrada


Ciǉ Uvesti pojam procenta kao obiqnog dekadnog razlomka sa

imeniocem 100. Objasniti potrebu za uvoeǌem procenta, pre sve-

ga kao mere za promene.


Req ”procenat” je svakodnevno jedna od najqexe korixenih”struqnih” reqi. To je sasvim prirodno, jer je procenat univer-zalna mera za promene ”svega i svaqega”. Stalno se nexto meǌa, ate promene izraavamo razlomcima: za koliko se svojih delova tonexto promenilo. Dakle, merimo promene, pa nam treba jedinicamere, tj. jedinica promene. Meunarodna jedinica za promene jeprocenat, u oznaci 1 %:

1 % = 1100 = 0, 01.

Na primer, kao xto je navedeno u ubeniku, ako je hleb posku-peo sa 25 dinara na 30 dinara, onda je poskupǉeǌe 5 dinara po kg.Koliko je to u procentima?

5

25 =

20

100 = 20 % = 0, 2 (proxirili smo razlomak sa 4).

Navodimo najqexe korixene brojeve procenata, izraene natri naqina: broj %, razlomak sa imeniocem 100 i decimalni zapis.

Po dogovoru, broj procenata oznaqavamo sa p %.Stvarnu promenu, procentni iznos , oznaqavamo sa P .Osnovnu veliqinu, glavnicu , qiju promenu merimo, oznaqavamo

sa G. Glavnica ima 100 %.Zatim, uz odgovarajue komentare, rexavamo primere redomod 1. do 12.

Domai zadatak Vebe, 1, 2, 3, 4, sa 149. strane.




93. QAS

Procenti Uvebavaǌe


Ciǉ Uoqiti razliqite kombinacije u odreivaǌu jedne nepo-

znate veliqine izmeu tri povezane: glavnica, broj procenata i

procentni iznos.


Podsetimo se: procenat je stoti deo (neqega) i slui kao mera za promene . Ukupna koliqina promene , izraena u jedinicama mereposmatrane veliqine, je procentni iznos. Veliqina qije promene(stote delove) merimo, je glavnica.

Na primer, ako je cena mesa od 400 din po kg, poveana za 5 %,

onda je stvarno poveaǌe cene za 20 dinara. ( 5

100 · 400 = 20.) Ovde

je glavnica 400 dinara (G = 400 dinara), broj procenata je 5 %

( p = 5 %) i procentni iznos je 20 dinara (P = 20 dinara).Veliqine G, p i P su uzajamno zavisne i, ako znamo dve, treu

moemo izraqunati.

Po definiciji je 1 % = 1

100 = 0, 01 pa emo na nekoliko primera

uoqiti vezu izmeu ova tri zapisa.Rexavamo zadatke: 591 b), d), ), z), 592 a), v), j), l).Ako znamo p i G, odreujemo P (rexavamo zadatke 593 a), v),

d), svaki na dva naqina).Ako znamo G i P , odreujemo p % (rexavamo zadatke 594 a),

e), z), svaki na dva naqina).Ako znamo p i P , odreujemo glavnicu G. (Rexavamo zadatke

595 a), b), g), ). Na primer d): 0, 125G = 11, 5 pa je G = 11, 5 :0, 125 = 92.)

Domai zadatak Delovi zadataka 591, 592, 593, 594 i 595, koji

nisu uraeni na qasu.




94. QAS

Procenti – primena Uvebavaǌe


Ciǉ Uoqiti praktiqnu primenu i znaqeǌe procenata.


Podsetimo se na znaqeǌe pojma: glavnica (G), procenat (1 % =1

100 = 0, 01), broj procenata od glavnice ( p %) i procentni iznos

(stvarna promena, P ).Dakle, raqun sa procentima, to je, zapravo, raqun sa razlom-

cima u jednom od zapisa: a

100, decimalni broj ili %.

Rexavamo praktiqne probleme, u kojima iz teksta prepoznajemoveliqine G, p i P i izraqunavamo jednu nepoznatu, kad su preostaledve poznate.

Rexavamo zadatke: 596, 599, 600, 601, 602, 604, 606, 607, 608,612.

Ukoliko nije potroxeno vreme, do kraja qasa rexavamo jox ne-ke od zadataka sa 99. i 100. strane Zbirke. Obrnuto, ako nije bilodovoǉno vremena da reximo sve predviene zadatke, vixak dajemoza domai rad.

Domai zadatak 597, 598, 603, 605, 611.




95. QAS

Procenti Sistematizovaǌe


Ciǉ Potvrditi nauqeno o procentima, i to u tri nivoa znaǌa.

Tok qasa Osnovni tekst Pripremǉeni listii.

Pravilno poznavaǌe i korixeǌe procenata, danas predsta-vǉa deo opxte i poslovne kulture. Nepoznavaǌe suxtinskog znaǌaprocenata stvara pogrexne iluzije, xto se, kao karikatura, vidii u primerima 11. i 12. u ubeniku.

Homogene grupe koje smo formirali tokom realizacije 85. qa-sa, ostaju u istom sastavu, osim ako neko od uqenika ne eli dapromeni nivo. Naqin rada je isti kao na 85. qasu.

Predlog zadataka po grupama (koji moe da se razlikuje u sva-kom odeǉeǌu).

Nivo A: 591 v) i k), 592 e) i j), 593 j) i n), 594 v), 595 d), 605Nivo B: 591 i) i j), 592 d) i l), 594 ), 595 ), 597, 609, 613

Nivo V: 591 i) i j), 592 z) i k), 595 i), 609, 613, 614

Domai zadatak 610, 615




96. QAS

Opxta svojstva racionalnih brojeva – pregled Obrada


Ciǉ Istai osobine koje ima struktura odreena skupom Q, ra-

qunskim operacijama (sabiraǌe, oduzimaǌe, mnoeǌe i deǉeǌe) i

relacijama jednakosti i nejednakosti.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik 149. i 150 str.

Uverili smo se da se raqun sa racionalnim brojevima svodina raqun sa celim brojevima. Zbog toga, zakoni koji vae u skupucelih brojeva, uz odreena specifiqna ograniqeǌa i obrazloeǌa,vae i u skupu Q.

Osobine racionalnih brojeva sistematizujemo, kao xto je opi-sano u Ubeniku. Poeǉno je da za svaku navedenu osobinu uqenicisastave bar po jedan odgovarajui primer sa konkretnim brojevi-ma.

Domai zadatak Zbirka: 513, 536, 539.




97. QAS

Jednaqine, nejednaqine, procenti Sistematizovaǌe


Ciǉ Priprema za naredne kontrolne znaǌa.


Nehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe.Konaqna realizacija teme za ovaj qas zavisi od rezultata i

pokazanog znaǌa uqenika. Ukoliko tako oceni, nastavnik moe uze-ti u obzir i obnavǉaǌe jednaqina i nejednaqina zadatih na 79. i80. strani Zbirke.

Potrebno je svakako ponoviti principe rexavaǌa jednaqina inejednaqina i sve tri varijante problema o procentima (izraqu-navaǌe jedne od veliqina G, P , p).

Treba odabrati po tri jednaqine i nejednaqine, a rexeǌa ne-

jednaqina prikazati na brojevnoj pravoj i u obliku intervala.Pripremiti i tri do pet zadataka o procentima, preteno zadatketekstualnog tipa.

Domai zadatak Radna sveska: Sedma kontrolna veba (od 43,

do 47. strane).




98. QAS

Sedma kontrolna veba (jednaqine,nejednaqine, izrazi, procenti)

Kontrola znaǌa

Pismeni rad

Uqenici dobijaju listie sa odxtampanim tekstovima svojihzadataka.

Grupa A)

1. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza A = m : n − p, gde je

m = −131

2, n = 6

3

4 i p = 1

2

3 · (−1, 35).

2. Rexi nejednaqinu 0, 8x − 9

10 < −2 : 3

1

3. Rexeǌe predstavi na

brojevnoj pravoj.

3. a) Broj 16 % izrazi u obliku decimalnog broja i u obliku a

b.

b) Razlomak 7

20 izrazi u obliku procenata.

4. Popust na cenu od 1280 dinara iznosi 144 dinara. Koliki jepopust u procentima?

Grupa B)

1. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza B = a

b : c, gde je a = 6

1

4,

b = 11

4 − 3

1

2 − 2

1

8 i c = 1

7

5.

2. Rexi jednaqinu − 1

10 − 3

1

5x = 1, 5.

3. a) Broj 7,5 % izrazi u obliku decimalnog broja i u oblikurazlomka.

b) Razlomak 13


4. Opruga se izduila za 12,5 %, odnosno za 11,5 centimetara.Kolika je sada duina ove opruge?




Grupa V)

1. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza B = p + q − r, ako je

p = − 9

10 :

−1

1

5

, q = 2

2

9 · 1

2

25 i r = −2

1

3.

2. Rexi nejednaqinu 3, 2 − 11

4x > 2

1

4 : (−7, 5). Rexeǌe predstavi

na brojevnoj pravoj3. a) Broj 17,5 % izrazi u obliku razlomka i u obliku decimal-

nog broja.

b) Razlomak 1125

izrazi u obliku procenata.

4. Od 6,4 litara alkohola isparilo je 0,36 litara. Koliko pro-cenata alkohola je isparilo?

Grupa G)

1. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza 22

3 + (a + b) · c, gde je

a = −21

3 :

−1

2

5

, b = −

1

3 i c = 5

1

4 ·

−

6

7

.

2. Rexi jednaqinu −1

4 − 2

1

2 · x = −2, 75.

3. a) Broj 2,5 % izrazi u u obliku decimalnog broja i u oblikurazlomka.

b) Razlomak 3


4. U gradu ima 2109 penzionera, xto predstavǉa 14,25 % graa-na. Koliko stanovnika ima ovaj grad?

Grupa D)

1. Izraqunaj brojevnu vrednost izraza −m

n − p

, gde je

m = 23

4 − 0, 25, n = −1

1

2 i p = 1

1

6.

2. Rexi nejednaqinu 1 23

< 2 12

− 1 19

x. Rexeǌe predstavi na bro-

jevnoj pravoj.3. a) Broj 12,5 % izrazi u u obliku decimalnog broja i u obliku

razlomka.

b) Razlomak 13


4. Cena od 120 dinara sniena je i sada je 55,50 dinara. Koliki je popust u procentima?



132 Qetvorougao

99. QAS

Vrste qetvorouglova Obrada


Ciǉ Upoznavaǌe sa vrstama qetvorouglova i sa elementima qe-

tvorouglova.


Podsetimo se na definiciju mnogougla, pa na definiciju qe-tvorougla. Zatim, definixemo, konveksan i nekonveksan qetvoro-ugao. Uoqimo razliku izmeu qetvorougla i zatvorene izlomǉenelinije od qetiri dui sa samopresekom. Ubudue obraujemo samokonveksne qetvorouglove.

Istaknemo osnovne elemente qetvorougla i obeleavaǌe. Uvo-dimo pojmove susednih i naspramnih temena, uglova i stranica ipojam dijagonala.

Onda, definixemo posebne vrste qetvorouglova: paralelogram,

pravougaonik , romb, kvadrat, trapez, deltoid .Svaki od definisanih qetvorouglova konstruixemo, obraa-

jui pri tome paǌu na bitne karakteristike i meusubne odnosestranica i uglova. Konstruisane figure moraju biti verne origi-nalima. Ako su uglovi pravi, konstruixemo zaista prave uglove(pravougaonik, kvadrat). Ako su stranice paralelne, konstruixe-mo paralelne prave onako kako se to pravilno qini (paralelogram,trapez). Ako su stranice jednake, mi ih konstruixemo da budu jed-nake (romb, kvadrat). Na taj naqin uoqavamo vizuelne karakteri-stike qetvorouglova.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6, na 153. i 154. strani;

Zbirka: 617, 629, 624.



Qetvorougao 133

100. QAS

Uglovi qetvorougla Obrada


Ciǉ Prouqavane osobina unutraxǌih i spoǉaxǌih uglova qe-

tvorougla.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik , 154. do 156. str.

Bitne konstante qetvorougla jesu zbir unutraxǌih uglova izbir spoǉaxǌih uglova.

Koristei se poznatom qiǌenicom da je zbir unutraxǌih uglo-va trougla jednak 180◦ (to ponovimo na poqetku qasa), nastavnikmoe oqekivati da uqenici sami dokau tvreǌe:

Zbir unutraxǌih uglova u svakom qetvorouglu je 360◦.Reximo primer 1.Zatim, primenimo dobijeni zakǉuqak na rexavaǌe primera 2.Onda, ponovimo definiciju spoǉaxǌeg ugla trougla, pa na

isti naqin definixemo spoǉaxǌe uglove qetvorougla. Konstan-tujemo da je za proizvoǉan qetvorougao ABCD ispuǌen uslov:

α + α1 = 180◦ = β + β 1 = γ + γ 1 = δ + δ 1.Reximo primer 3.Na kraju, traei odgovore na pitaǌa a), b), v), g), postavǉena

na 155. strani, nalazimo neposrednu primenu tvreǌa o zbirovimaunutraxǌih i spoǉaxǌih uglova qetvorougla.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6, sa 156. strane.



134 Qetvorougao

101. QAS

Uglovi qetvorougla Uvebavaǌe


Ciǉ Uoqavaǌe veza meu uglovima kod raznih vrsta qetvorou-

glova.


Ponovimo osobine uglova qetvorougla: zbir unutraxǌih uglo-va, definicija spoǉaxǌeg ugla i zbir spoǉaxǌih uglova.

Rexavamo zadatke 626, 627, 629, 632.Zatim, rexavamo zadatke 637 i 638.




Qetvorougao 135

102. QAS

Uglovi qetvorougla Uvebavaǌe


Ciǉ Primene osobina unutraxǌih i spoǉaxǌih uglova qetvo-

rougla.


Grupe qine uqenici iz dve susedne klupe. Radimo na standar-dan naqin, uobiqajen za nehomogene grupe.

Ponovimo: α+β +γ +δ = 360◦, α+α1 = 180◦ = β +β 1 = γ +γ 1 = δ +δ 1i α1 + β 1 + γ 1 + δ 1 = 360◦.

Rexavamo zadatke redom: 630, 631, 633, 635.Zatim, sa posebnom paǌom, rexavamo zadatak 636. Svakako

treba animirati xto vei broj uqenika, da ove zadatke rexavajubez pomoi nastavnika.

Zatim, rexavamo zadatke u kojim se vrxi dokazivaǌe nekih

osobina, koje su uslovǉene poznatim osobinama uglova qetvorou-gla: 639, 643, 645.

Domai zadatak 640, 641, 642, 644.



136 Pismeni zadatak

103. QAS



Ciǉ Rexavaǌem karakteristiqnih zadataka obnoviti bitne de-

love gradiva od poqetka drugog polugodixta.


Na osnovu analize postignutih rezultata i efekata nastave od poqetka drugog polugodixta, izmeu ostalog i rezultata sa dve po-sledǌe kontrolne vebe, nastavnik odabira zadatke iz obraenihnastavnih oblasti, za koje je procenio da su ih uqenici u maǌojmeri usvojili.

Konaqan izbor zadataka za rad na ovom qasu moe se razliko-vati i u paralelnim odeǉeǌima u kojim predaje jedan nastavnik.

Mogui xiri izbor zadataka iz Zbirke: 554, 559, 564, 508,574, 579, 582 a), v), e), ), 584, 585, 603, 605, 609, 613, 614.

Domai zadatak Radna sveska: Trei pismeni zadatak (od 48.

do 51. str.).



Pismeni zadatak 137

104. QAS

Trei pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Pismeni rad

Uqenici dobijaju unapred pripremǉene listie sa odxtampa-nim tekstovima zadataka.

Grupa A)

1. Izraqunaj vrednost izraza

−3

1

8 −

−6

3

4

·

−1

1

3

−

−3

1

3

.

2. Odredi ugao α, koji je komplementan svojoj jedanaestini.

3. Uprosti izraz

1

6 − 2, 5

−21

2 −

5

6

.

4. U deset litara dvadesetqetvoroprocentnog rastvora alkoho-la treba doliti qiste vode, tako da se dobije rastvor sa 8 %alkohola. Koliko litara qiste vode treba doliti?

5. Odredi unutraxǌe uglove α, β , γ i δ qetvorougla ABCD, ako je γ prav ugao, ugao α je dva puta vei od β , a spoǉaxǌi ugaoβ 1 je za 30◦ vei od ugla δ 1.

Grupa B)

1. Izraqunaj koliko iznosi −3

4 od −2

2

9 :

−6

2

5

.

2. Ako od broja 11

6 oduzmemo neki broj pomnoen sa −1

1

4, pa dobi-

jenu razliku podelimo sa −2, 5, dobiemo broj koji nije maǌi

od −71

2. Odredi nepoznati broj.

3. Uprosti izraz −1 613

·1

1

7 − 0, 4

−0, 6 − 7

20

.

4. Ako platimo raqun za struju do 5. aprila, platiemo 12 %maǌe, tj. dobiemo popust od 75 dinara. Koliko treba da pla-timo posle 5. aprila?

5. Unutraxǌi uglovi qetvorougla ABCD obrazuju produenurazmeru 4 : 7 : 8 : 5. Odredi unutraxǌe uglove ovog qetvorou-gla.



138 Pismeni zadatak

Grupa V)

1. Izraqunaj vrednost izraza−8

2

3 − (−4, 5) ·

−1

1

3

:

3

2

3 − 5, 5

.

2. Odredi ugao β , koji je suplementan svojoj qetvrtini.

3. Uprosti izraz

−95

6 −

−7

1

3

6, 75 − 51

2

:

−1

1

4

.

4. Sveska je poskupela sa 80 dinara na 104 dinara, a olovka je sa55 dinara poskupela na 72,60 dinara. Xta je vixe poskupelo?

5. Qetvorougao ABCD ima unutraxǌi ugao β = 60◦ i spoǉaxǌeuglove β 1 = 112◦ i δ 1 = 49◦. Odredi unutraxǌe uglove qetvo-rougla ABCD.

Grupa G)

1. Koliko iznosi −12

5 od

−1

1

14

:

−1

1

4

?

2. Odredi ugao ϕ, koji je suplementan svojoj petnaestini.

3. Uprosti izraz

56

− 1, 25

−12

3

· 11

5 − 1

2

15

4. U 100 litara qiste vode dodato je 25 litara stoprocentnog(qistog) alkohola. Koliko procenata alkohola sadri dobi-

jeni rastvor?

5. Spoǉaxǌi uglovi qetvorougla su: 11ϕ, 12ϕ, 14ϕ i 8ϕ, gde je ϕneki ugao. Odredi u stepenima mere unutraxǌih uglova ovogqetvorougla.



Pismeni zadatak 139

Grupa D)

1. Izraqunati vrednost izraza −4, 2 ·

−2

1

7 − 3

5

6 −

−3

1

2

− 4

2

5.

2. Ako se zbir broja 1,5 i proizvoda nekog broja sa 21

2, pomnoi

sa 31

3, dobie se broj −

5

6. Odredi nepoznati broj.

3. Uprosti izraz

61

4 : 2

1

8 − 1, 25 + 3

1

2−1 5

7.

4. Cena kǌige smaǌena je za 39 dinara, tj. za 7,5 %. Kolika jenova cena kǌige?

5. Qetvorougao ABCD ima spoǉaxǌi ugao α1 = 100◦. Ostalispoǉaxǌi uglovi jednaki su meu sobom. Odredi unutraxǌeuglove ovog qetvorougla.



140 Pismeni zadatak

105. QAS





Tok qasa Uobiqajeni tok ispravke pismenog zadatka, kao xto je

opisano u planu rada za 39. qas.Trei pismeni zadatak specifiqan je zbog qiǌenice da se ovim

zakǉuquje prouqavaǌe skupa racionalnih brojeva. Zbog toga, na-stavnik treba posebno da analizira rezultate koje se uqenici po-kazali u rexavaǌu prva qetiri zadatka.

Ako bude prilike da se, posle redovno planiranog 142. qasa,obnavǉa gradivo, onda to treba uqiniti, pre ostalih tema, sa sku-pom racionalnih brojeva.



Qetvorougao 141

106. QAS

Centralna simetrija Obrada


Ciǉ Uvesti pojam centralne simetrije i osobina centralno si-

metriqnih dui, radi razumevaǌa odgovarajuih osobina parale-

lograma. (To je tema sledeeg qasa.)


Podsetimo se na osnu simetriju i reximo primer 1. Tre-ba izvui pouku da su osno simetriqne figure podudarne i da seuoqi razlika u odnosu na centralnu simetriju, koju emo sadaprouqavati.

Onda, definixemo centralnu simetriju. Naglaxavamo da jecentar simetrije, na sl. 12 taqka S , sama sebi simetriqna.

Zatim, reximo primer 2, gde je centar simetrije van duiAB, koju preslikavamo. Onda, preslikamo pravu, primer 3.

Uoqavamo, ako je centar simetrije prave p na pravoj p, ona sepreslikava u sebe samu. Konstatujemo (vano je) da se svaka duAB, simetrijom u odnosu na svoje sredixte, preslikava u BA.

Onda, dokaemo najvaniju osobinu centralne simetrije, for-mulisanu teoremom Q-11. Ovim se istiqe veza centralne simetri-

je i paralelnosti.Primerom 4 pokazujemo da su centralno simetriqne figure

podudarne meusobno. Takoe vaan zakǉuqak izvodimo rexavaju-i primer 5.

Onda, dokaemo teoremu Q-12, veoma bitnu za osobine para-lelograma.

Na kraju, uvodimo pojam centralno simetriqnih figura.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5 sa 160. strane i iz Zbirke:

647 i 648.



142 Qetvorougao

107. QAS

Paralelogram Obrada


Ciǉ Osobine elemenata paralelograma (uglova, stranica, dija-

gonala, visina).


Ponovimo jednostavnu definiciju paralelograma: paralelogram je qetvorougao kome su parovi naspramnih stranica paralelni meu-sobno.

Iz ove proste definicije, korixeǌem i osobina centralnesimetrije, izvlaqimo i dokazujemo sve karakteristiqne i bitneosobine paralelograma.

Osobine unutraxǌih uglova, koje izvodimo bez dokazivaǌa,direktna su posledica paralelnosti naspramnih stranica. (Na-spramni uglovi su jednaki, a uglovi na krajevima jedne stranicesuplementni su.)

Ako nastavnik proceni da su uqenici dorasli tome, moe imdokazati i obrnuto tvreǌe: Ako su oba para naspramnih uglova qe-tvorougla jednaki meusobno (na primer: α = γ i β = δ ), onda je toparalelogram. (Videti rexeǌe zadatka 668 iz Zbirke.)

Onda, dokaemo jednu od najbitnijih osobina, teoremu Q-13.Vai i obrnuto tvreǌe, teorema Q-14, ali ǌen dokaz ostavǉamoradoznalim uqenicima.

Navodimo i osobinu Q-15, koja je posledica teoreme Q-12.Zatim, dokaemo i vanu osobinu, da se dijagonale paralelogra-

ma polove , teorema Q-16, i obrnuto tvreǌe, teoremu Q-17. Iz-vlaqimo, takoe vaan zakǉuqak: svaki paralelogram je centralnosimetriqan (i obrnuto).

Na kraju, reximo primere 1, 2. i 3.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sa 164. strane.



Qetvorougao 143

108. QAS

Paralelogram Uvebavaǌe


Ciǉ Primena opxtih osobina paralelograma.


Ponavǉamo redom osobine paralelograma, koje smo upoznaliprethodnog qasa i primeǌujemo ih na rexavaǌe zadataka.

Prvo, ponovimo osobine uglova svih qetvorouglova, pa osobinenaspramnih i susednih uglova paralelograma.

Rexavamo zadatke 651, 652 i 654.Ponovimo tvreǌa teorema Q-13, Q-14 i Q-15, pa reximo za-

datke 657, 660, 662, 667.Ponovimo tvreǌa teorema Q-16 i Q-17, pa reximo zadatak

661.

Reximo i zadatak 674

.

Domai zadatak 653, 656, 658, 659, 663.



144 Qetvorougao

109. QAS

Vrste paralelograma Obrada


Ciǉ Uoqavaǌe posebnih osobina romba, pravougaonika i kvadra-

ta.

Tok qasa Osnovni tekst Ubenik , od 164. do 169. strane.

U odeǉku 4.1. definisali smo posebne vrste paralelograma:romb, pravougaonik i kvadrat, koji se izdvajaju po svojim speci-fiqnim osobinama.

Ponovimo definiciju romba , pa dokaemo teoremu Q-18, kaoxto je opisano na 164. i 165. strani.

Istiqemo posebna svojstva romba, koja su ekvivalentna defi-niciji (potpuno odreuju romb). To su tvreǌa, koja su na 165.strani prekrivena crvenom bojom. Onda, reximo primere 1 i 2.

Zatim, pokaemo kako se, na osnovu osobina romba, koriste-

i samo xestar i ravan leǌir, konstruixe prava kroz datu taqku,paralelna datoj pravoj (primer 3).

Ponovimo definiciju pravougaonika , pa dokaemo vanu teore-mu Q-19. Istaknimo i druge karakteristiqne osobine pravougao-nika, koje su na 167. strani prevuqene crvenom bojom.

Onda, definixemo kvadrat, koji je istovremeno i pravouga-onik i romb, pa ima sve specifiqne osobine i pravougaonika iromba.

Osobine kvadrata istaknute su na strani 167. i prevuqene pla-nom bojom.

Na kraju, reximo primer 4.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6 sa 168. i 169. strane.



Qetvorougao 145

110. QAS

Vrste paralelograma Uvebavaǌe


Ciǉ Primene osobina paralelograma.


Ponovimo definiciju i osnovne osobine romba. Zatim, reximozadatke: 677, 676 i 681.

Onda, ponovimo definiciju i osobine pravougaonika, pa rexi-mo zadatke: 685, 686, 687, 688.

Zatim, ponovimo definiciju i osobine kvadrata, pa reximozadatke: 694, 691, 696.

Domai zadatak 679, 680, 683, 690, 692, 698, 702.



146 Qetvorougao

111. QAS

Simetriqnost paralelograma Obrada


Ciǉ Za sve vrste paralelograma uoqiti ǌihove simetrije.


Prouqavajui opxte osobine paralelograma, utvrdili smo da je svaki paralelogram centralno simetriqan, i obrnuto, svaki cen-tralno simetriqan qetvorougao je paralelogram (posledice teore-ma Q-16 i Q-17). Centar simetrije je preseqna taqka dijagonala.

Dokaemo osobinu datu na 169. strani (slika 35), pa reximoprimer 1.

Zatim, posmatramo simetriqnost posebnih vrsta paralelogra-ma redom: romba, pravougaonika i kvadrata (strane 170. i 171.).

Za svaki od paralelograma crtamo odgovarajuu sliku i ozna-

qavamo centre i ose simetrije.Onda, rexavamo Vebe 1, 2, 3, 4 sa 171. strane.




Qetvorougao 147

112. QAS

O qetvorouglu Sistematizovaǌe


Ciǉ Utvrivaǌe osobina qetvorouglova i ǌihove primene. Pri-

prema za narednu kontrolu znaǌa.


Nehomogene grupe formiramo na uobiqajen naqin. Qine ih uqe-nici iz dve susedne klupe.

Obnavǉamo redom opxte i posebne osobine qetvorouglova, naj-pre, osobine unutraxǌih i spoǉaxǌih uglova.

Reximo zadatke 627 d) i ), 634, 641.Ponovimo opxte osobine paralelograma, pa reximo zadatke:

655, 664, 669, 673.Ponovimo posebne osobine redom: romba, pravougaonika, kva-

drata, pa reximo zadatke redom: 679, 680, 692, 698.

Ako neki zadatak ostane nerexen zbog nedostatka vremena, osta-vǉamo ga za domai rad.

Domai zadatak Radna sveska: Osma kontrolna veba (od 52.

do 59. strane).



148 Qetvorougao

113. QAS

Osma kontrolna veba (qetvorougao) Kontrola znaǌa

Pismeni rad


Grupa A)1. U paralelogramu jedan unutraxǌi ugao sedam puta je vei

od drugog unutraxǌeg ugla. Odredi unutraxǌe uglove togparalelograma.

2. Simetrala ugla A pravougaonika ABCD, u kome je AB > BC ,seqe stranicu CD u taqki P . Odseqci, koje taqka P odreujena stranici CD, odnose se kao 4 : 1. Odredi stranice ovogpravougaonika, ako mu je obim 15 cm.

3. Na slici dole je paralelogram ABCD. Na osnovu podataka saslike dokai da je qetvorougao AMCN paralelogram.

4. Nacrtaj krug k i dva ǌegova uzajamno normalna preqnika ABi CD. Kojoj vrsti pripada qetvorougao ACBD?

Grupa B)

1. Jedan spoǉaxǌi ugao paralelograma je prav. Odredi unutra-xǌe uglove tog paralelograma.

2. Od ice duine 6 dm, naqiǌen je pravougaonik. Odredi du-ine stranica, ako se one odnose kao 5 : 3.

3. Na slici gore je paralelogram KLMN . Na osnovu podatakasa slike, dokai da je i qetvorougao K P M Q paralelogram.

4. Na stranici AB kvadrata ABCD date su taqke M i N , takveda je AM = M N = N B. Dui CM i DN seku se u taqki P .Dokai da je CD = DP .



Qetvorougao 149

Grupa V)

1. Izraqunaj unutraxǌe uglove α, β , γ i δ qetvorougla, ako jeα = 5β , γ = 7β i δ = 3β .

2. U kvadrat je upisana krunica polupreqnika 3,5 cm. Koliki je obim kvadrata?

3. Na slici dole je paralelogram ABCD. Na osnovu podataka saslike dokai da je i qetvorougao BEDF paralelogram.

4. Simetrala ugla BAD pravougaonika ABCD seqe dijagonaluBD u taqki N . Taqke M i P su podnoja normala iz N na

stranice AB i AD. Dokai da je AMNP kvadrat.

Grupa G)

1. Odredi unutraxǌe uglove paralelograma, ako mu je zbir dvaunutraxǌa ugla 143◦.

2. Simetrala ugla BAD paralelograma ABCD polovi strani-cu CD. Obim paralelograma je 27 cm. Odredi duine stra-nica ovog paralelograma.

3. Na slici gore je paralelogram KLMN . Na osnovu podatakasa slike, dokai da je i qetvorougao K P M Q paralelogram.

4. Preqnici AC i BD kruga k seku se pod uglom od 45◦. Kojojvrsti pripada qetvorougao ABCD?



150 Qetvorougao

Grupa D)

1. Dva unutraxǌa ugla paralelograma razlikuju se za 33◦. Od-redi unutraxǌe uglove ovog paralelograma.

2. Na stranici LM kvadrata KLMN date su taqke P i Q, takve

da je LP = M Q < KL

2 . Dokai da je KQ = N P .

3. Na slici je paralelogram ABCD. Na osnovu podataka sa sli-ke, dokai da je i qetvorougao AMCN paralelogram.

4. Od komada ice duine 30 cm naqiǌen je paralelogram. Du-ine stranica paralelograma razlikuju se za 4 cm. Odrediduine stranica.



Qetvorougao 151

114. QAS

Konstrukcije paralelograma Obrada

Frontalni rad Heuristiqka i dijaloxka metoda

Ciǉ Koristei se iskustvima iz konstruisaǌa trouglova, re-

xavamo probleme konstruisaǌa paralelograma.


Konstrukcije paralelograma svodimo na konstrukcije trouglo-va. Ideju nam daje qiǌenica da dijagonala deli paralelogram nadva podudarna trougla, a sa obe dijagonale paralelogram se delina dva para podudarnih trouglova.

Za konstrukciju trougla trebaju tri nezavisna elementa (vi-deli smo u odeǉku 2.12). Kod paralelograma to je najvixe jedanugao i neke dve dui.

Da bismo rexili traenu konstrukciju, naqiniemo skicu iobaviti analizu zadatka.

Rexavamo redom primere 1, 2, 3, 4, koji se svode na elementar-ne konstrukcije trouglova. Rexavaǌe obavezno poqiǌemo skicom,na kojoj su jasno oznaqeni dati elementi, kao xto je prikazano uubeniku.

Zatim, reximo primer 5. Ovog puta moemo i bez skice, uko-liko znamo konstrukciju simetrale dui i znamo da su dijagonalekvadrata ǌegove ose simetrije.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5, 6 sa 174. strane.



152 Qetvorougao

115. QAS

Konstrukcije paralelograma Uvebavaǌe

Rad u parovima Heuristiqka metoda

Ciǉ Koristei osobine posebnih vrsta paralelograma, rexava-

ti konstruktivne probleme.


Rexavajui konstrukcije raznih vrsta paralelograma, uoqa-vamo da za konstrukciju pravougaonika treba znati samo dva neza-visna elementa (trei uslov je prav ugao). Romb je takoe odreensa dva elementa (trei uslov je jednakost susednih stranica). Kva-drat je odreen samo jednom dui.

Sve ovo konstruixemo pri rexavaǌu sledeih zadataka: 712,714, 718, 719, 722 i 725 a) i b).

Domai zadatak 711, 717, 720, 723, 725 v) i g).



Qetvorougao 153

116. QAS

Trapez Obrada


Ciǉ Uoqavaǌe osobina stranica i uglova trapeza, i osobine

sredǌe linije trapeza.


Podsetimo se na definiciju trapeza. Paralelne stranice suosnovice trapeza , a neparalelne nazivamo kracima .

Visina trapeza je rastojaǌe izmeu osnovica. Za prouqavaǌetrapeza veoma je bitno ǌegovo razlagaǌe na paralelogram i trou-gao, kao xto je prikazano na slici 49. i opisano na 175. strani.

Takoe je znaqajna i transformacija trapeza sa osnovicama a,b i visinom h u trougao osnovice a + b i odgovarajue visine h.To je prikazano na sl. 50. Na ovoj slici je posebno naglaxena du,koja spaja sredixta M i N krakova. Ova du M N je sredǌa du (ili sredixna linija, ili medijana) trapeza. Navodimo vanuteoremu Q-20, koja kae da je sredǌa linija trapeza paralelnaosnovicama i jednaka poluzbiru osnovica.

Uglovi trapeza, pored opxtih osobina kojim se odlikuju sviqetvorouglovi, zbog paralelnosti osnovica, imaju jox jednu poseb-nu osobinu:

Uglovi na krajevima jednog kraka trapeza, suplementni su .Reximo primer 1.Ukoliko raspolaemo sa dovoǉno vremena, reximo i Vebe 3,

4 i 5 sa 177. strane.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 6 i iz Zbirke: 727 i 732.



154 Qetvorougao

117. QAS

Trapez Uvebavaǌe


Ciǉ Posebno istai osobine uglova i sredǌe linije trapeza.


Ponovimo definiciju trapeza i osobine uglova trapeza.Reximo zadatke: 728, 729, 734.Zatim, ponovimo definiciju i osobine sredǌe linije trapeza.Onda, reximo zadatke: 736, 737, 735.Na kraju reximo zadatke 739 i 740.

Domai zadatak 730, 731, 733, 738.



Qetvorougao 155

118. QAS

Vrste trapeza Obrada


Ciǉ Upoznavaǌe sa posebnim osobinama pravouglih i jednako-

krakih trapeza.


Trapeze razlikujemo prema unutraxǌim uglovima (kosougle ipravougle) i izdvajamo trapez kome su kraci jednaki (jednakokrakitrapez).

Na tabli crtamo odgovarajue vrste trapeza, pravougli, na nasl. 52 i jednakokraki, kao na sl. 53.

Prouqavajui modele sa sl. 52 i sl. 53, zakǉuqujemo da se pra-vougli trapez (sa dva prava ugla) razlae na pravougaonik i pra-vougli trougao (na sl. 52 trougao BC E ). Jednakokraki trapez raz-lae se na paralelogram i jednakokraki trougao. Na osnovu ovograzlagaǌa izvodimo zakǉuqak da su dva ugla na krajevima (svake)osnovice jednakokrakog trapeza jednaki meu sobom.

Reximo zadatke 726 a) i b) iz Zbirke.Zatim, reximo primere 1, 2. i 3.Reximo i Vebe 2. i 3.

Domai zadatak Vebe 1, 4, 5 i 6 sa 179. i 180. strane.



156 Qetvorougao

119. QAS

Vrste trapeza Uvebavaǌe


Ciǉ Utvrditi posebne osobine pravouglih i jednakokrakih tra-

peza.


Ponovimo o vrstama trapeza i ǌihovim razlagaǌima i osobi-nama.

Pravougli trapez ima taqno dva prava ugla. Maǌi krak je vi-sina trapeza.

Jednakokraki trapez ima jednake uglove na krajevima osnovicei ima jednake dijagonale (primer 1 na 178. strani).

Rexavamo zadatke: 741, 742, 743.Zatim, rexavamo zadatak 746.Onda, radimo zadatke: 747, 750, 752, 753.

Domai zadatak 744, 745, 748, 755.



Qetvorougao 157

120. QAS

Konstrukcije trapeza Obrada


Ciǉ Forsirati samostalno rexavaǌe konstrukcija.


Radi dobijaǌa ideje za rexavaǌe konstrukcije trapeza (ana-lizu) treba paǉivo prouqiti razlagaǌa trapeza na paralelo-gram i trougao. Treba na xkolskoj tabli prikazati ta razlagaǌa,kao xto je prikazano na slikama 49 (175. strana), 52 i 53 (stra-na 178). Treba prouqiti i transformaciju trapeza na sl. 50 (175.strana).

Za konstrukciju proizvoǉnog trapeza treba znati qetiri ne-zavisna elementa. Reximo primer 1.

Za pravougli i jednakokraki trapez trebaju po tri nezavisna

elementa.Reximo primere 2, 3, 4.Zatim, reximo Vebe 4. i 6. sa 182. strane.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 5.



158 Qetvorougao

121. QAS

Konstrukcije trapeza Uvebavaǌe


Ciǉ Kroz konstrukcije trapeza produbiti znaǌa o osobinama

trapeza.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka 119. strana.

Ponovimo: razlagaǌe trapeza na paralelogram i trougao. Raz-motrimo tri sluqaja.

Prvo, razlaemo proizvoǉan trapez, pa reximo zadatke 756a), 757 g) i 758 g).

Zatim, razlaemo jednakokraki trapez, pa reximo zadatke 760b) i v).

Na kraju, razlaemo pravougli trapez i rexavamo zadatke 763a) i v), 764 g).

Domai zadatak Radna sveska, Deveta kontrolna veba (od 57.

do 61. strane).



Qetvorougao 159

122. QAS

Deveta kontrolna veba (qetvorougao) Kontrola znaǌa

Pismeni rad

Uqenicima se podele pripremǉeni listii sa odxtampanimtekstovima zadataka.

Grupa A)

1. Jedan unutraxǌi ugao trapeza je γ = 118◦. Odredi unutraxǌeuglove ovog trapeza, ako je α − β = 13◦.

2. Konstruixi paralelogram ABCD, kome je stranica AB = 3, 5 cm,ugao α = 75◦ i dijagonala AC = 4 cm.

3. Dijagonala jednakokrakog trapeza deli sredǌu liniju na od-seqke duina 3 cm i 7 cm. Ako je krak duine 8 cm, odrediunutraxǌe uglove trapeza.

4. Konstruixi jednakokraki trapez ABCD, kome su osnovice duinaa = 6 cm i b = 2 cm i jedan unutraxǌi ugao 45◦.

Grupa B)

1. Unutraxǌi uglovi na jednoj osnovici razlikuju se za 21◦

. Zakoliko se razlikuju uglovi na drugoj osnovici?

2. Konstruixi romb kome je obim 16 cm i polupreqnik upisanekrunice 3 cm.

3. U jednakokrakom trapezu jedan ugao je od 60◦. Odredi duineosnovica, ako je krak duine 8 cm, a sredǌa linija je 9 cm.

4. Konstruixi pravougli trapez, kome je visina h = 2, 5 cm, ma-ǌa osnovica b = 3 cm i vea dijagonala 4,5 cm.

Grupa V)

1. U pravouglom trapezu najvei ugao je sedam puta vei od naj-

maǌeg ugla. Odredi unutraxǌe uglove tog trapeza.2. Konstruixi paralelogram ABCD, kome je dijagonala BD =5 cm, stranica AB = 6 cm i visina koja odgovara straniciAB, duine DN = 3 cm.

3. Dijagonala AC trapeza ABCD, seqe sredǌu liniju M N u taq-ki P , tako da je M P : P N = 2 : 5 i P N − M P = 18 cm. Odrediduine osnovica AB i CD trapeza.

4. Konstruixi trapez ABCD, kome su date osnovice AB = 5 cm,CD = 2 cm, krak AD = 3 cm i dijagonala AC = 4 cm.



160 Qetvorougao

Grupa G)

1. Simetrala ugla na veoj osnovici M N jednakokrakog trape-za M N P Q seqe drugu osnovicu u taqki S , pod uglom od 26◦.Odredi unutraxǌe uglove tog trapeza.

2. Konstruixi pravougaonik ABCD, ako mu je data stranicaAB = 4 cm, a ugao izmeu te stranice i dijagonale je 30◦.

3. Dijagonale AC i BD trapeza seku sredǌu liniju M N u taq-kama P i Q, tako da je M P = P Q = 7 cm. Ako je AB veaosnovica, kolike su duine osnovica ovog trapeza?

4. Konstruixi pravougli trapez, kome je visina h = 2, 5 cm, du-i krak c = 3 cm i kraa dijagonala d1 = 4 cm.

Grupa D)

1. Koliki su unutraxǌi uglovi pravouglog trapeza, kome se dvaugla razlikuju za 109◦?

2. Konstruixi paralelogram ABCD, kome su dijagonale AC =4, 5 cm i BD = 3 cm, a visina na stranicu AB je 2,5 cm.

3. Osnovice trapeza ABCD su a i b, a sredǌa linija je M N =12 cm. Odredi duine osnovica, ako je a : b = 5 : 3.

4. Konstruixi jednakokraki trapez M N P Q, kome je kraa osno-vica P Q = 2 cm, krak je duine 3 cm, a jedan unutraxǌi ugao je od 135◦.



Povrxina qetvorougla i trougla 161

123. QAS

Pojam povrxine. Jednake povrxi Obrada

Frontalni rad Kombinovana metoda

Ciǉ Uvesti pojam povrxine. Pretvaraǌe jednakih povrxi jedne

u druge.


Nastavnik pripremi modele od qvrxeg kartona, naqiǌene pre-ma slikama 1, 2, 5 i 7 iz ubenika i, eventualno, prema slici 10sa 188. strane.

Ponovimo pojmove: mnogougao, trougao, krug , mnogougaona povrx i kruna povrx . Uqenici uoqavaju da svaka od figura sa sl. 1,pokriva deo povrxi stola, odnosno klupe. (Nastavnik koristi pri-premǉene modele).

Onda, koristei se modelom naqiǌenim prema sl. 2, objaxǌa-vamo kako se povrxi mogu uporeivati po veliqini i zakǉuqimo

da podudarne povrxi zahvataju jednake delove ravni. (Objaxǌeǌai seckaǌa povrxi opisani su na 184. strani.)

Definixemo povrxinu povrxi (strana 184.)Koristei modele prema sl. 5, objasnimo kako se razlagaǌem

pokazuje da nepodudarni trapezi imaju jednake povrxine.Zatim, prema modelu sa sl. 7 (kosougli paralelogram, pravou-

gaonik i dva podudarna pravougla trougla), dopuǌavaǌem pokaemo jednakost povrxina pravougaonika i paralelograma.

Zatim, reximo primere 1. i 2. i (eventualno) demonstriramomodel Djudenija sa sl. 10. i igru Tangram sa sl. 11.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3 sa 188. strane.

Uqenicima naloiti da za sledei qas donesu makaze i lepak.



162 Povrxina qetvorougla i trougla

124. QAS

Jednake povrxi Uvebavaǌe


Ciǉ Pretvaraǌe jednakih povrxi, posebno povrxi trougla, pa-

ralelograma i trapeza.


Ponovimo pojam povrxine i osobine (povrxine podudarnih fi-gura, zbir povrxina, razloivo i dopunski jednake povrxine).

Za povrxi jednakih povrxina kaemo da su jednake .Ponovimo, xta podrazumevamo pod pojmom pretvaraǌe ravne po-

vrxi u jednake povrxi . (Moemo koristiti modele korixene pret-hodnog qasa, na primer, modele naqiǌene prema slikama 5 i 10).

Onda, rexavamo zadatke 766 i 767.Zatim, rexavamo zadatak 768 i utvrdimo da postoje dva raz-

liqita rexeǌa.Sve ove i naredne zadatke rexavaju uqenici samostalno. Kori-

ste se papirima i makazama, eventualno i lepkom (ili selotejpom).Tako, kroz igru prepoznaju jednake povrxi, ali i upoznaju osobinetrouglova i qetvorouglova.

Reximo jox i zadatke 769, 770 i 773.





125. QAS

Povrxina pravougaonika Obrada


Ciǉ Dopuniti dosadaxǌa znaǌa o povrxinama bilo kog pravo-

ugaonika i kvadrata.


Ponovimo pojam povrxine i osobine.Podsetimo se da odranije znamo da izraqunamo povrxinu pra-

ougaonika (P = a · b) i kvadrata (P = a2).Poredei povrxine datog pravougaonika i datog kvadrata, kao

u primeru 1, dolazimo do jedinice za mereǌe povrxine, do pojma jediniqnog kvadrata.

Onda, definixemo povrxinu proizvoǉne ravne figure kao po-zitivan broj, onako kako je opisano na 190. strani.

Reximo primer 2.

Zatim, rexavaǌem primera 3, dolazimo do formule za povr-

xinu kvadrata, P = d2

2 , gde je d duina dijagonale.

Reximo i primer 4. Treba svakako animirati uqenike da sa-mi rexe ovaj primer, jer e tako ubedǉivije shvatiti praktiqnuprimenu znaǌa o povrxinama.

Na kraju, rexavamo Vebe 1, 2, 3 sa 192. strane.

Domai zadatak Zbirka: 776 i 779.




126. QAS

Povrxina pravougaonika Uvebavaǌe


Ciǉ Samostalno rexavaǌe problema o povrxinama pravougao-

nika (i posebno kvadrata)


Ponovimo formule za izraqunavaǌe povrxina i obima pravo-ugaonika i kvadrata.

Pri rexavaǌu zadataka, nastavnik se ukǉuquje samo kroz even-tualna sugestivna pitaǌa. Uqenici rade u parovima (iz iste klu-pe) i do rexeǌa dolaze bez pomoi nastavnika.

Rexavamo zadatke: 778, 777, 781.Zatim, rexavamo zadatke 780 i 783.Na kraju, reximo zadatke 782 i 785.

Domai zadatak 784, 786, 787, 788.




127. QAS

Povrxina paralelograma Obrada


Ciǉ Koristei iskustva iz pretvaraǌa paralelograma u pravo-

ugaonik, izvesti formulu za povrxinu paralelograma.


Podsetimo se kako se paralelogram pretvara u pravougaonikiste povrxine (zadatak 766. iz Zbirke).

Zatim, kao xto je objaxǌeno na 192. i 193. strani, uz pomo sl.16, pokaemo da su paralelogram stranice a i odgovarajue visineha i pravougaonik, kome su stranice duina a i ha jednaki. Otudaiz povrxine ovog pravougaonika, dobijemo formulu P = aha za po-vrxinu paralelograma. Logiqno, ako poemo od druge stranice b,dobiemo i formulu P = b · hb. Onda, reximo primer 1.

Zatim, dobijenu formulu primenimo na romb, pa reximo pri-mer 2.

Koristei se metodom dopuǌavaǌa, kao xto je prikazano na

sl. 17, dolazimo do nove formule za povrxinu romba: P = d1 · d2

2 ,

gde su d1 i d2 duine dijagonale romba.Reximo primer 3.Zatim, rexavamo Vebe 1, 2, 3 sa 194. strane.

Domai zadatak Zbirka: 791, 796.




128. QAS

Povrxina paralelograma Uvebavaǌe


Ciǉ Primena formule za povrxinu paralelograma i posebno za

povrxinu romba kome su date dijagonale.


Ponovimo formulu za povrxinu paralelograma, pa reximo zadatke 791 a) i b), 792, 793, 794.

Na osnovu rexeǌa ovih zadataka uqenici uoqe da je najkraerastojaǌe izmeu dve naspramne stranice paralelograma jednakoodgovarajuoj visini.

Zatim, rexavamo zadatak 795.Ponovimo formule za povrxinu romba, pa reximo zadatke 796

a), b), 797 i 798.

Domai zadatak 801, 802, 803, 804.




129. QAS

Povrxina paralelograma Uvebavaǌe


Ciǉ Izraqunavaǌe povrxina paralelograma i sloenih figura,

koje se mogu razloiti na paralelograme.


Ponovimo formule za povrxine pravougaonika, kvadrata, pa-ralelograma i posebno romba. Za svaku pojedinu formulu uqenicinavode elementarni primer sa konkretnim dimenzijama. (Na pri-mer, za povrxinu proizvoǉnog paralelograma koristimo formule:P = a · ha, konkretno, za a = 8 cm i h6 = 6 cm, bie P = 8 · 6 = 48 cm2

i P = b ·hb, konkretno, za b = 2 dm i hb = 5 cm je P = 20·5 = 100 cm2 =1 dm2 i sl.)

Onda, rexavamo zadatke: 785, 786, 787, 789.Zatim, reximo i zadatke: 799, 801, 802, 804.





130. QAS

Povrxina trougla Obrada


Ciǉ Koristei se povrxinom paralelograma ili povrxinom pra-

vougaonika, uqenici samostalno dolaze do formule za povrxinu

trougla.


Jedan uqenik izae pred xkolsku tablu, nacrta proizvoǉan pa-ralelogram i ǌegovu dijagonalu. Xta se moe zakǉuqiti? (Qekamoodgovor: Dijagonala deli paralelogram na dva podudarna trougla .)Pitamo: 1◦ Kolika je povrxina ovog paralelograma ? 2◦ A, kolika je,onda, povrxina trougla? (koji predstavǉa polovinu paralelogra-ma).

Uqenici samostalno dolaze do formule za povrxinu trougla:

P = 12

a · ha.

Daǉe, po analogiji, P = 1

2b · hb =

1

2c · hc.

Reximo primere 1, 2, 3.Zatim, sliqno prethodnom, koristei se pravougaonikom (kao

na sl. 19) uqenici nalaze povrxinu pravouglog trougla: P = 1

2a · b.

Prema prethodno izvedenoj povrxini proizvoǉnog trougla, za pra-vougli takoe vai P = c · hc. (Obavezno, kod obe formule, istai:a i b su katete, c je hipotenuza, a hc hipotenuzina visina.)

Reximo primer 4.

Zatim, odredimo formule za jednakokraki pravougli trougao.(Znamo da je c = 2hc.) Dakle: P =

a2

2 ili P =

c2

4 ili P = h2

c .

Reximo primer 5.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, 5 sa 198. strane.




131. QAS

Povrxina trougla Uvebavaǌe


Ciǉ Primene formula na proizvoǉne trouglove.


Ponovimo formule za povrxine:

proizvoǉnog trougla: P = 1

2aha =

1

2bhb =

1

2chc;

pravouglog trougla: P = 1

2a · b =

1

2c · hc (a i b su katete);

jednakokrakog pravouglog trougla: P = a2

2 =

c2

2 = h2

c .

Onda, rexavamo zadatke: 806, 807, 808.Zatim, rexavamo zadatke: 809, 811, 812, 816.Reximo i zadatak 818.

Domai zadatak 810, 813, 814, 815, 822, 823.




132. QAS

Povrxina trougla Uvebavaǌe


Ciǉ Izraqunavaǌe povrxina sloenih povrxi kombinovaǌem

povrxina trouglova i paralelograma.

Tok qasa Osnovni tekst

Najpre obnovimo povrxinu trougla rexavajui zatake 817,819 i 826.

Zatim, rexavamo kombinovane zadatke u kojim se prepliu po-vrxine trouglova i paralelograma. Dakle, rexavamo zadatke: 821,824, 829, 830.

Zatim, reximo zadatak 833.

Domai zadatak 834, 839, 831, 832, 850.




133. QAS

Povrxina trougla i paralelograma Sistematizovaǌe


Ciǉ Rexavaǌe problema razliqitih nivo znaǌa.


Naqin formiraǌa homogenih grupa opisali smo na ranijimqasovima. Sastavi novih grupa ne treba da budu isti, kao u pret-hodnim sluqajevima.

Jedan od moguih izbora zadataka po nivoima je:Nivo A: 783, 786, 799, 814, 827, 841.Nivo B: 789, 804, 816, 827, 842.Nivo V: 805, 820, 842, 845, 849.

Domai zadatak Radna sveska: Deseta kontrolna veba (od 62.

do 66. strane).




134. QAS

Deseta kontrolna veba (povrxine) Kontrola znaǌa

Pismeni rad


Grupa A)

1. Pravougli trougao ima katete a = 12 cm i b = 9 cm. Ako jehipotenuzina teixna du tc = 7, 5 cm, kolika je hipotenuzinavisina hc?

2. Ako jednu stranicu pravougaonika poveamo za 3 cm, a drugusmaǌimo za 3 cm, dobiemo kvadrat povrxine 196 cm2. Kolika

je povrxina pravougaonika?

3. Koliki deo povrxine pravougaonika na slici levo je osenqen?Rezultat izrazi u procentima. Rezultat detaǉno obrazloi.

4. Izraqunaj povrxinu osenqene povrxi na slici desno. Kvadra-ti mree imaju stranice duine 0,5 cm.




Grupa B)

1. Trapez ima jednu osnovicu b = 1 dm, visinu h = 6 cm i povr-xinu P = 87 cm2. Odredi duinu osnovice a.

2. Ako se stranica kvadrata produi za 3 cm, povrxina se po-vea za 57 cm2. Koliko u procentima iznosi poveaǌe povr-xine?

3. Koliki deo povrxine pravougaonika na slici levo je osenqen?Rezultat izrazi u procentima. Detaǉno obrazloi rexeǌe.


Grupa V)

1. Poznat je tzv. egipatski trougao. To je pravougli trougao sastranicama duina 3, 4 i 5. Ako su dimenzije ovog trougladate u decimetrima, koliko u centimetrima iznosi duinahipotenuzine visine?

2. Baxta oblika paralelograma, povrxine 10 ari i 80 m2, imanajkrau duinu 27 m i najkrau xirinu 24 m. Kolika jeduina ograde oko ove baxte?

3. Taqke M i N na stranicama kvadrata ABCD, izabrane su ta-ko da je AM = 2M D i CN = 2BN . Uporedi povrxine figura,koje su na slici levo oznaqene sa P 1, P 2 i P 3.





Grupa G)

1. Zbir osnovica jednakokrakog trapeza je 28 cm. Povrxina tra-peza je 84 cm2, a krak je duine 12 cm. Koliki je ugao na veojosnovici?

2. Duine stranica pravougaonika odreuju razmeru 3 : 1. Ako jepovrxina tog pravougaonika 432 cm2, kolike su mu stranice?

3. Taqke M i N su sredixta stranica pravougaonika ABCD,sa slike levo. Ako je povrxina ovog pravougaonika 15,5 dm2,kolika je povrxina trougla AMN ?


Grupa D)

1. Romb obima 1 metar ima povrxinu 2 dm2. Odredi duinu po-lupreqnika krunice upisane u taj romb.

2. Ploqice parketa imaju dimenzije 4 cm puta 30 cm. Kolikoovakvih ploqica treba za parketiraǌe poda sobe, xirine 4metra, duine 4,5 metara?

3. Koliki deo povrxine pravougaonika na slici levo je osenqen.Rezultat izrazi u procentima. Detaǉno obrazloi rexeǌe.





135. QAS

Povrxina trapeza Obrada


Ciǉ Pretvaraǌem trapeza u trougao ili u paralelogram, izve-

sti formulu za povrxinu trapeza.


Kao u odeǉku 4.8, na sl. 50, transformixemo trapez ABCDu trougao AED, sa osnovicom AE = AB + C D = a + b. Kao xto se

jasno vidi na sl. 22 i kao xto je opisano na 199. strani, povrxinatrapeza ABCD jednaka je povrxini trougla AED. Otuda dobijamo

formulu za povrxinu trapeza: P = 1

2(a + b) · h, ili, budui da je

sredǌa linija trapeza m = 1

2(a + b), bie takoe P = m · h.

Reximo primere 1 i 2.

Zatim, razmatramo sloenu figuru, qiju povrxinu izraquna-vamo tako xto je razloimo na trapeze, koje znamo da izmerimo.Reximo primer 3.

Na kraju, reximo i primere 4, 5, 6.

Domai zadatak Vebe 1, 2, 3, 4, sa 201 strane.




136. QAS

Povrxina trapeza Uvebavaǌe


Ciǉ Primena formula za povrxinu na razne vrste trapeza.


Ponovimo formule za povrxinu trapeza:

P = 1

2(a + b) · h, odnosno P = m · h.

Onda, rexavamo zadatke: 851, 852, 853, 854.Zatim, rexavamo zadatke: 856, 857, 858.Na kraju, reximo i zadatak 863.





137. QAS

Povrxina trapeza Uvebavaǌe


Ciǉ Rexavaǌe sloenijih problema sa povrxinama i praktiq-

nih zadataka.


Ponovimo formule za povrxinu trapeza.Rexavamo zadatke u kojim se data figura razloi ili dopuni,

radi lakxeg raqunaǌa.Reximo zadatke: 859, 860, 868.Zatim, reximo zadatke 864 i 865.Reximo i sledee sloenije sluqajeve: 861, 866.

Domai zadatak 869, 870.



178 Pismeni zadatak

138. QAS



Ciǉ Rexavaǌem zadataka razliqitih teina u homogenim gru-

pama, pripremiti teren za zavrxni pismeni zadatak.


Postupiti kao na 103. qasu.

Domai zadatak Radna sveska: Qetvrti pismeni zadatak .



Pismeni zadatak 179

139. QAS

Qetvrti pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Pismeni rad

Nastavnik pripremi listie sa odxtampanim tekstovima za-dataka.

Grupa A)

1. U qetvorouglu ABCD je DAB = 90◦. Dijagonala AC polo-vi prav ugao i deli BC D na delove od 25◦ i 58◦. Odrediunutraxǌe uglove qetvorougla ABCD.

2. Duine stranica pravougaonika odnose se kao 7 : 5. Ako jeobim pravougaonika 9 dm, kolika mu je povrxina?

3. Dijagonale dele sredǌu liniju trapeza na tri jednaka dela.Ako je visina trapeza 10 cm i maǌa osnovica 14 cm, izraqunajpovrxinu trapeza.

4. Konstruixi trapez ABCD, ako su mu osnovice AB = 4 cm,krak BC = 3 cm i ugao β = 45◦.

Grupa B)

1. Jedan unutraxǌi ugao trapeza je 135◦, a spoǉaxǌi ugao kod temena naspram datog ugla je 110◦. Odredi unutraxǌe ugloveovog trapeza.

2. Ako jednu stranicu pravougaonika poveamo za 6 cm, a drugusmaǌimo za 4 cm, dobiemo kvadrat povrxine 289 cm2. Koliki

je obim pravougaonika?

3. Jednakokraki trapez ima veu osnovicu 1,5 dm i visinu 4,5 cm.Ako su uglovi na veoj osnovici po 45◦, kolika je povrxina

trapeza?4. Konstruixi trapez KLMN , ako mu je vea osnovica KL =

12 cm, dijagonale KM = 7 cm i LN = 8 cm, a visina 6 cm.



180 Pismeni zadatak

Grupa V)

1. Simetrala unutraxǌeg ugla paralelograma seqe jednu ǌego-vu stranicu pod uglom koji je jednak jednom od unutraxǌihuglova paralelograma. Odredi taj ugao.

2. Ako se povrxina kvadrata smaǌi za 11 cm, povrxina mu sesmaǌi za 429 cm2. Koliko u procentima iznosi smaǌeǌe po-vrxine?

3. Pravougli trapez sa tupim uglom od 135◦ ima povrxinu 256 cm2.Dua osnovica je tri puta vea od krae osnovice. Odredi

duine osnovica.4. Konstruixi trapez ABCD, ako su mu osnovice AB = 6 cm i

CD = 2 cm, krak AD = 3 cm i ugao α = 75◦.

Grupa G)

1. Dijagonala K M trapeza KLMN normalna je na osnovice. Onadeli trapez na dva trougla, od kojih je jedan jednakokraki. Od-redi unutraxǌe uglove ovog trapeza, ako je najmaǌi od ǌih30◦.

2. Kuhiǌski pod je dimenzija 4 metra puta 3,5 metara. Treba gapoploqati keramiqkim ploqicama oblika pravougaonika du-ine 25 cm i xirine 20 cm. Koliko komada ovih ploqica tre-ba da se poploqa pod u kuhiǌi?

3. Trapez visine 11 cm ima povrxinu 132 cm2. Ako je jedna osno-vica dva puta vea od druge, odredi duine osnovica.

4. Konstruixi trapez ABCD, kome je maǌa osnovica CD = 4 cmkrak BC = 5 cm, dijagonala AC = 7 cm i visina h = 4 cm.

Grupa D)

1. Odredi unutraxǌe uglove paralelograma, ako mu je zbir dvaunutraxǌa ugla jednak 217◦45.

2. Duine kateta pravouglog trougla stoje u razmeri 3 : 5. Ako je povrxina trougla 187,5 cm2, kolike su duine kateta?

3. Trapez povrxine 162 cm2 ima jednu osnovicu AB = 5 cm, krakBC = 3 cm i unutraxǌe uglove α = 45◦ i β = 60◦.

4. Konstruixi trapez kome je vea osnovica AB = 5 c m krakBC = 3 cm, i unutraxǌi uglovi α = 45◦ i β = 60◦.



Pismeni zadatak 181

140. QAS



Tok qasa

Uobiqajeni tok ispravke pismenog zadatka kao xto je opisanou planu rada za 39. qas.




141. QAS

Qetvorougao sa normalnim dijagonalama Obrada


Ciǉ Uopxtiti iskustva sa povrxinama romba i kvadrata.


Podsetimo se da romb ima normalne dijagonale i ako su dija-

gonale date, povrxina romba se raquna po formuli: P = d1 · d2

2 .

Zatim, koristei se slikom 25, podsetimo da ova formula va-i za svaki qetvorougao kome su dijagonale normalne. Vai i za

kvadrat, ali su dijagonale kvadrata jednake, pa je P = 1

2d · d =

d2

2 .

Reximo primere 1, 2, 3.Zatim, uradimo i neobavezan primer, dat pri dnu 203. strane,

zbog ǌegove praktiqnosti.

Domai zadatak: Vebe 1, 2, 3 sa 204. strane.




142. QAS

Qetvorougao sa normalnim dijagonalama Uvebavaǌe


Ciǉ Rexavaǌe kombinovanih primera.


Ponovimo formulu koja slui za izraqunavaǌe povrxine sva-kog qetvorougla, koji ima meusobno normalne dijagonale:

P = 1

2d1 · d2.

6 razred - matematiskop - prirucnik

Documents