metodicki prirucnik 7 razred

Владимир Стојановић

MATEMATISKOP OSNOVNA [KOLA

MATEMATISKOP

METODI^KI PRIRU^NIK

SEDMI RAZRED

ZA NASTAVNIKE MATEMATIKE

MATEMATISKOP

Vladimir Stojanovi}

METODI^KI PRIRU^NIK ZA NASTAVNIKE MATEMATIKE

Za izdava~a

Nada Stojanovi}, direktor

Urednik

Dr Ninoslav ]iri}

Тираж

Штампа:

CIP - Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd

@eqko Hr~ek

Priprema za {tampu

СТОЈАНОВИЋ, ВладимирМетодички приручник за наставнике математике :

седми разред / Владимир Стојановић. - Београд :Математископ, 2007 (Београд : Верзал, Београд). 144 стр. :граф. прикази, табеле ; 24 цм

Тираж 00

19 3

а) Математископ - Настава - Методика -Приручници

06327052

5

COBISS.SR-ID 1

ISBN 86-7076-0 -

37 .1 3 : 51(035)

(SEDMI RAZRED)

[email protected]

Recenzenti

Ilija Mitrovi}, savetnik za nastavu O[

[evala Haxiefendi}, profesor O[

Izdava~, Despota Olivera 6, Beograd

tel. (011)3087-958, (011)2413-403 tel/faks (011)380-70-90IP MATEMATISKOP

www.office matematiskop.co.@ rs

SADR�AJ

UPUTSTVOza korix�eǌe Priruqnika 5

GLOBALNI (GODIXǋI) PLAN RADA(i pismenih zadatak) 6

OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLAN RADAPO MESECIMA 7

DETAǈAN PLAN IZVO�EǋA NASTAVEPO QASOVIMA 19

UPUTSTVOza korix�eǌe Priruqnika

Pre nego xto poqne sa realizacijom nastave, nastavnik trebada prouqi predlo�eni plan. Ukoliko ima vixegodixǌe iskustvo,mo�e smatrati da pojedine nastavne teme treba drugaqije planira-ti. I autor ovog PRIRUQNIKA bi neke teme planirao na druginaqin. Qak bi i raspored nastavnih tema izmenio. Me�utim, ve-�ina nastavnika, a zaqudo i nadzornika, smatra da je redosledgradiva u zvaniqnom programu obavezuju�i. Zbog toga je redosledobrade tema isti kao u zvaniqnom programu.

Osim toga, da li �e se raditi frontalno, odnosno u maǌimili ve�im, homogenim ili nehomogenim grupama, mo�e odluqititrenutna situacija.

Na kraju, jedno je sigurno – ovaj Priruqnik �e svakako vixe-struko olakxati nastavniku pripremu i realizaciju nastave, a sa-mim tim doprine�e i kvalitetu nastave.

Veliku pomo� nastavnicima i uqenicima predstavǉa RADNASVESKA kontrolni i pismeni zadaci (izdaǌe Matematiskopa).

Sigurni smo i garantujemo da �ete sa lako�om i sa odliqnimrezultatima realizovati nastavu ako Vi i Vaxi uqenici, uz ovajPriruqnik koristite nax u�benik MATEMATIKA 7, ZBIRKUZADATAKA i RADNU SVESKU.

Preporuqujemo Vam i zbirku PLUS VII za dodatnu nastavu.

GLOBALNI (GODIXǋI) PLAN RADA(i pismenih zadatak)

Red.Nastavna tema

Broj qas. Qasovabr. po temama Obrade Ostalo0 Uvodni qas 1 11 Realni brojevi 16 7 92 Pitagorina teorema 16 7 9

3Celi i racionalni alge-barski izrazi

4 2 2

Prvi pismeni zadatak 3 3


22 9 13

Drugi pismeni zadatak 3 3


3 1 2

Drugo polugodixte


10 2 8

4 Mnogougao 13 6 75 Zavisne veliqine 7 3 4

Tre�i pismeni zadatak 3 35 Zavisne veliqine 10 3 76 Krug 15 6 97 Sliqnost 2 1 1

Qetvrti pismeni zadatak 3 37 Sliqnost 8 2 6

Ukupno 139 49 90Napomena. Za pismeni su predvi�ena 3 qasa (po jedan za prijemni, izra-du i ispravku). Predvi�eno je 9 kontrolnih ve�bi. U drugom plugodixtu5-6 qasova ostaje kao rezerva za kraj nastavne godine.

OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLANRADA PO MESECIMA

Napomena. Zbog raznih mogu�nosti uklapaǌa liqnog nedeǉnograsporeda u kalendar, granicu izme�u dva uzastopna meseca trebauzeti fleksibilno.

Nastavna sredstva definixe nastavnik prema raspolo�ivimmogu�nostima.

8 Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima

Operativni (orijentacioni) plan rada po mesecima 9

DETAǈAN PLAN IZVO�EǋA NASTAVEPO QASOVIMA

Nastavne teme za svaki qas OBRADE novog gradiva, pod is-tim naslovom obra�ene su u U�BENIKU u izdaǌu IP MATEMA-TISKOP. U uvodnom tekstu pripreme svakog qasa uz boksOsnovni tekst navodi se koja kǌiga se koristi (U�benik ili Zbir-ka) sa navedenim brojevima strana.

Na neispisanim delovima strana detaǉnog plana nastavnikupisuje liqna zapa�aǌa o nivou ostvareǌa i eventualne primedbeo kojima �e voditi raquna pri planiraǌu nastave slede�e xkolskegodine.

Ako pri OBRADI novog gradiva neki planirani deo ne buderealizovan, on se prenosi na poqetak prvog slede�eg qasa, predvi-�enog za uve�bavaǌe.

Ako se neki zadaci iz u�benika, predvi�eni za rad na qasuOBRADE novog gradiva, ne urade na tom qasu, oni se pridodajuDoma�em zadatku . Isto treba uqiniti i sa eventualnim vixkomzadataka planiranim za rad na qasovima UVEBAVAǋA.

Preporuqǉivo je da nastavnik na qasu rexava i druge zadat-ke, iz sopstvene prakese. Predlo�eni plan rada mo�e i treba dase mestimiqno meǌa i oboga�uje idejama nastavnika, realizatoranastave.

Neke napomene, koje su detaǉno navedene u prvom delu Priruq-nika, a kasnije bi trebalo da se ponavǉaju, ovde nisu ponavǉane.Poxto se radi o Planu rada, dovoǉno ih je napisati prvi put. (Tosu najqex�e napomene o naqinu rada u parovima i u grupama, zatimizvo�eǌa qasova sa temom: ”Ispravka pismenog zadatka” i sliqno.)

Priruqnik u formi CD-a omogu�ava nastavniku da odxtampapo potrebi bilo koju stranicu. To �e bitno olakxati pripremulisti�a za Kontrolne ve�be i Pismene zadatke.

20 Realni brojevi

1. QAS Prvo polugodixte

Uvodni qas Razgovor

Ciǉ Upoznavaǌe sa uqenicima i upoznavaǌe uqenika sa temamakoje su na programu u VII razredu.

Tok qasaZavisno od toga da li prvi put predaje u odeǉeǌu, ili im

je ve� predavao, nastavnik se predstavi uqenicima. Zatim prozo-ve sve uqenike i sa svakim malo popriqa. Posle toga, nastavnikpredoqi uqenicima xta �e se uqiti ove godine. Sve teme imajufundamentalni znaqaj. Teme iz geometrije predstavǉaju nastavakproxlogodixǌe geometrije. U algebarskom delu prvi put �emo sesresti sa va�nim pojmovima: iracionalni brojevi i polinomi. Po-trebno ih je dobro savladati da bi se bez texko�a uqila matema-tika tokom daǉeg xkolovaǌa.

Zatim, nastavnik izlo�i svoj naqin rada i nivo zahteva, kakvusaradǌu oqekuje na qasu i u doma�em radu, na koji naqin �e bitivrednovan rad uqenika.

Nastavnik uqenicima predoqava razne mogu�nosti uqestvova-ǌa na takmiqeǌima (Druxtva matematiqara, Arhimedesa, Misli-xe, Kengura) i preporuqi im odgovaraju�u literaturu (na primer:STAZAMA XAMPIONA, INOSTRANA JUNIORSKA TAKMI-QEǋA u izdaǌu IP MATEMATISKOP).

Svim uqenicima ponudi se uqestvovaǌe na dodatnoj nastavi.Radi ve�e samostalnosti uqenika i boǉe organizacije dodatne na-stave, nastavnik im ponudi da se kolektivno snabdeju odgovara-ju�om kǌigom PLUS VII, koji sa U�benikom i Zbirkom zadatakapredstavǉa u�beniqki komplet, odobren od Ministarstva prosve-te Republike Srbije.

Realni brojevi 21

2. QAS

Kvadrat racionalnog broja Obrada

Frontalni rad Dijalog

Ciǉ Podse�aǌe na bitne osobine kvadrata broja, pre svega da

je a2 ≥ 0. Uoqiti zatim zaxto nije uvek a2 > a. Nauqiti pravilaza kvadriraǌe proizvoda i koliqnika.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 7. do 11. strane.

Podsetimo se na pojam kvadata broja preko izraqunavaǌa po-vrxine kvadrata. Kvadrat broja definixemo kao proizvod broja sasamim sobom, kao na 8. strani u�benika. Rexavamo redom primere1, 2, 3. Iz rezultata Primera 3 zakǉuqujemo zbog qega je a2 ≥ 0.

Rexavaǌem Primera 4 proverimo kako su uqenici prihvatiliopisane osobine.

Daǉe, prouqimo odnos izme�u |a| i |a|2, kao na 9. strani u�be-nika.

Prouqimo pravila za kvadriraǌe proizvoda i koliqnika. Po-sebno insistiramo na isticaǌu (i razumevaǌu) uslova b �= 0, priprimeni pravila za kvadriraǌe koliqnika.

Obratimo pa�ǌu na primer 5.Raspolo�ivo vreme do kraja qasa iskoristimo da ponovimo

nauqe pojmove i pravila. Sve to ilustrujemo rexavaǌem odabranihzadataka za Ve�be sa 11. strane u�benika.

Doma�i zadatak Zadaci od 1. do 6. sa 11. strane u�benika (oni

koje nismo rexavali na qasu).

22 Realni brojevi

3. QAS

Kvadrat racionalnog broja Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvrditi osobine kvadrata racionalnog broja i pravilaobra�ena prethodnog qasa.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 7. do 12. strane.

Ponovimo pojmove i osobine nauqene prethodnog qasa. Uputi-mo uqenike da kao podsetnik koriste i obojeni tekst Ukratko sa 7.strane Zbirke.

Rexavamo zadatke: 1. a) i b), 2. g), �) i �), 4. b), g), d), 5,7. a), 8, 16. b) i �).

Ako ima vremena, rexi�emo i zadatke 20 a) i 32 b)

Doma�i zadatak 3 e), �) i �), 5, 6, 7 g), 9, 13, 16, 30, 35.Ukoliko su uqenici odliqno shvatili pojmove i ponu�ene za-

datke rexavaju brzo i lako, treba im zadati jox: 10, 18, 22.

Realni brojevi 23

4. QAS

Rexavaǌe jednaqine x2 = a, a ≥ 0.Kvadratni koren

Obrada

Frontalni rad Heuristiqka metoda

Ciǉ Pravilno definisati kvadratni koren kao nenegativan broj.

Razlikovati rexeǌe jednaqine x2 = a (dva rexeǌa) od broja√

a.


Kao xto je opisano na 12. strani u�benika, uoqimo da zavisnood veliqine koju odre�ujemo, jednaqina x2 = 16 mo�e imati samojedno rexeǌe (x = 4, ako je x stranica kvadrata, koja mora bitipozitivna ) ili dva rexeǌa (x = 4 ili x = −4, ako se tra�i broj,jer je 42 = 16 i (−4)2 = 16).

Zatim, rexavamo jednaqinu x2 = a2 (12. i 13. strana), pa jed-naqinu x2 = a, a ≥ 0, u sluqajevima kad je a = k2. Usput rexavamoredom primere 2 i 3 (strane 13. i 14.).

Uvodimo pojam kvadratnog korena, kao na strani 14. u�benikai utvrdimo osobinu: za a ≥ 0 je (

√a)2 = a. Zatim, reximo primere

4 i 5.Uz ponavǉaǌe nauqenih pojmova, reximo odabrane zadatke iz

date ve�be.

Doma�i zadatak Rexiti zadatke 1, 2, 3, 4, Ve�be sa 15. i 16.

strane (one koje nismo rexavali na qasu). Zatim, proqitati tekst”nije - nego” sa 16. strane. Rexiti iz zbirke zadatke 51 i 52.

24 Realni brojevi

5. QAS

Jednaqina x2 = a. Kvadratni koren Uve�bavaǌe


Ciǉ Pravilno tumaqeǌe pojma korena (za a ≥ 0 je√

a = k, gde

je k ≥ 0 i k2 = a). Posebno obratiti pa�ǌu na sluqaj kada korennije definisan, tj. kad je potkorena veliqina negativna. Rexavamoi jednaqinu

√x = a.


Ponovimo rexavaǌe jednaqine x2 = a2, (reximo zadatak 36 a),b), d), i)).

Ponovimo rexavaǌe jednaqine x2 = a, a ≥ 0 (reximo zadatak37 d), �), �)).

Ponovimo pojam kvadratnog korena (reximo zadatke: 45 a), b),v), e) i 46 v), �), e)).

Istaknemo da√

a nije definisana za a < 0 i to potvrdimo po-zivaju�i se na definiciju kvadratnog korena. Reximo zadatak 52.i zadatak 54 v), g).

Koriste�i se rastavǉaǌem brojeva na proste qinioce, rexa-vamo zadatak 54 v), g).

Istiqemo: iz definicije korena, za a ≥ 0 i k ≥ 0, iz√

a = k,sledi da je a = k2. Zatim, rexavamo zadatak 43 a), v), g), �), z).

Doma�i zadatak Zbirka: 37 g), z), i), j), 39 a), �), e), 41 a), 50,

53 a), �), e), 49 a), d), �).

Realni brojevi 25

6. QAS

Kvadratni koren. Jednakost√

a2 = |a|. Obrada

Frontalni rad Heuristiqko-dijaloxka metoda

Ciǉ Koriste�i se definicijom kvadratnog korena i definici-

jom apsolutne vrednosti, utvrditi da je√

a2 = |a|.


Kao xto je opisano u u�beniku, utvrdimo da je√

a2 = a, ako jea ≥ 0, i

√a2 = −a, ako je a < 0. Ovo treba ilustrovati konkret-

nim primerima, kao xto je uqiǌeno na 16. i 17. strani u�benika,ali tra�iti da i uqenici sami navode sliqne primere. Pita�emouqenike, da li ih dobijeni rezultati asociraju na neki odranijepoznati pojam. Ako sami ne uoqe analogiju sa apsolutnom vredno-x�u, treba ih navesti na to zahtevima da odrede, npr. | − 5| i dauporede sa

√| − 5|2 i sl. Navesti uqenike da samostalno zakǉuqeda je

√a2 = |a|.

Zatim, rexavamo primere 1 i 2 sa 18. strane.Ponovimo nauqeni zakǉuqak i rexavamo Ve�be sa 18. strane.

Preostale ve�be (koje nismo stigli da reximo na qasu) dati zadoma�i zadatak.

Doma�i zadatak (Jox i) Zbirka: 56, 58, 61, 62, 66, 68.

26 Realni brojevi

7. QAS

Iracionalni brojevi Obrada


Ciǉ Izraqunavaǌem decimalnog zapisa brojeva√

2 i√

3, ali ijox nekih, navesti uqenike na zakǉuqak da ovi i jox mnogi kvadrat-ni koreni nisu racionalni brojevi. Uoqiti razliku u decimalnimzapisima racionalnih i iracionalnih brojeva.


Kao xto je opisano na 19. i 20. strani u�benika, pokuxavamoda odredimo racionalni (decimalni) zapis brojeva

√2 i

√3. Pri-

ka�emo kako je Aristotel dokazao da√

2 nije racionalan broj. (Neinsistiramo da uqenici izvode takve dokaze). Bitno je da uqeniciuoqe i zapamte da

√2,

√3,

√5,

√6, . . . nisu racionalni brojevi. To

su iracionalni brojevi.Zatim, navodimo uqenike da sami zakǉuqe da je decimalni za-

pis iracionalnog broja sa beskonaqno mnogo neperiodiqnih deci-mala. Zatim, rexavamo primer 1 sa 21. i 22. strane.

Ponovimo kako smo doxli do pojma iracionalnog broja. Zatim,rexavamo Ve�be sa 22. strane.

Doma�i zadatak Zbirka: 73, 74, 77.

Realni brojevi 27

8. QAS

Iracionalni brojevi Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvrditi pojam iracionalnog broja. Uoqiti da postoje ira-cionalni brojevi koji nisu kvadratni koreni, kao 2,0200200020 . . .

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 19. i 20. strana.

Ponovimo pojmove nauqene prethodnog qasa, kao xto je navede-no u tekstu Ukratko, na 19. strani zbirke. Zatim, rexavamo zada-tak 71 a) i b).

Ponovimo zakǉuqak: ako racionalni broj k nije kvadrat ne-kog racionalnog broja, onda je

√k iracionalan broj, pa rexavamo

zadatak 74.Ponovimo zakǉuqak o decimalnom zapisu iracionalnog broja,

pa reximo zadatak 72.Daǉe rexavamo zadatke 79 a) i 80 a) i g).

Doma�i zadatak Zbirka: 78, 79, 80 i neobavezno (dobrovoǉno)75 i 76.

28 Realni brojevi

9. QAS

Realni brojevi i brojevna prava. Obrada


Ciǉ Uoqiti da unija disjunktnih skupova racionalnih i iraci-onalnih brojeva odre�uje skup svih tzv. realnih brojeva. Pokazatida taqkama brojevne prave odgovaraju svi racionalni i svi iraci-onalni brojevi.


Najpre uoqimo kako se kombinovaǌem poznatih iracionalnihbrojeva sa racionalnim dobijaju novi iracionalni brojevi. Dakle,rexavamo primere 1 i 2 sa 23. strane.

Definixemo skup iracionalnih brojeva. Zatim, definixemoskup realnih brojeva.

Ponovimo ukratko kako se odre�uju taqke brojevne prave saracionalnim koordinatama. Onda, kao xto je opisano u u�beniku,prika�emo kako se na brojevnoj pravoj pribli�no odre�uju taqkesa koordinatama

√2 i

√3. Treba obavezno naglasiti da �emo ka-

snije videti kako se ove taqke odre�uju sasvim taqno, pa navestikao to mo�emo uqiniti za

√2 (primer 3). Uradimo primer 3, a

eventualno i konstrukciju du�i du�ine√

5, opisanu na strani 27.Rexavamo Ve�be date na kraju odeǉka.

Doma�i zadatak Zbirka: 81 a), b), v), 82 a), b), v), 83, 84, 85, 86,87.

Realni brojevi 29

10. QAS

Decimalni zapis realnog broja.Pribli�na vrednost realnog broja. Obrada


Ciǉ Podseti�emo se na pojam pribli�ne vrednosti (zaokrugǉi-

vaǌe decimalnih brojeva) i utvrditi kako se odre�uju pribli�ne(decimalne) vrednosti iracionalnih brojeva.

Osnovni tekstU�benik, od 28. do 30. strane i Zbirke, 6, 32. i 33. strana.

Tok qasaU V razredu nauqili smo kako se odre�uje pribli�na decimal-

na vrednost racionalnog broja, zaokrugǉivaǌem na odre�en brojdecimala. Sliqno postupamo i sa decimalnim zapisima iracio-nalnih brojeva. Navodimo sluqaj broja

√2, kao xto je opisano na

28. i 29. strani u�benika, uz odre�ivaǌe grexke zaokrugǉivaǌa. Za-tim, navodimo kako se postupa kad je prva izostavǉena decimalairacionalnog broja cifara 5. Onda, reximo primer 1.

Zatim, upoznajemo uqenike sa tablicama kvadratnih korena,koje su date u zbirci, na stranama 6, 32 i 33. Objasnimo kako sekoriste ove tablice i to potvrdimo rexavaju�i primer 2.

Na kraju, rexavamo redom Ve�be date na kraju odeǉka. Preo-stale zadatke iz Ve�bi dajemo za doma�i zadatak.

Doma�i zadatak (Jox i) zbirka: 91, 97.

30 Realni brojevi

11. QAS

Decimalni zapis, pribli�na vrednost Uve�bavaǌe


Ciǉ Uve�bati odre�ivaǌe pribli�nih decimalnih zapisa ira-cionalnih brojeva i korix�eǌe tablica kvadratnih korena, kojesu date u Zbirci na 6, 32 i 33 strani.


Uz podse�aǌe na pravila o zaokrugǉivaǌu decimalnih zapisabrojeva, rexavamo zadatke 91 v), g), d), �).

Onda, prika�emo uputstvo za upotrebu tablica kvadratnihkorena. (Vidi tekst Ukratko na strani 23.). Onda, rexavamo za-datak 91 e) i �).

Zatim, rexavamo zadatke: 93 g), �), z), k), 94 a), d), �), 96 i100.

Ukoliko raspola�emo sa dovoǉno vremena, rexi�emo zadatke95 b) i 98 b).

Doma�i zadatak 92, 93, 94, 95 i neobavezno (dobrovoǉno) 99.

Realni brojevi 31

12. QAS

Raqunske operacije sairacionalnim brojevima Obrada


Ciǉ Nauqi�emo kako se kvadratni koreni mno�e i dele. Na osno-

vu toga vrxi�emo delimiqno korenovaǌe (izvlaqeǌe qinioca is-pred korena), pa �emo sabirati i oduzimati sliqne korene.


Rexavaǌem primera 1, strana 31, dolazimo do pravila za ko-rene proizvoda i koliqnika:

Za a ≥ 0, b ≥ 0 je√

a · b =√

a · √b i

Za a ≥ 0, b > 0 je√

a

b=

√a√b.

Ova pravila se mogu primeniti i u obrnutom smislu. (Na pri-mer, va�i: za a ≥ 0 i b ≥ 0 je

√a · √b =

√a · b). To ponekad mo�emo

iskoristiti da uprostimo raqun sa korenima. Navodimo primer2, strana 32, a onda uoqavamo kako se koren mo�e uprostiti deli-miqnim izvlaqeǌem ispred korena (tekst iza rexeǌa primera 2).Zatim, reximo primer 3.

Na kraju, rexavamo zadatke 1, 2, 3 Ve�bi sa 34. strane.Napomena. Tekst sa strane 33, o upore�ivaǌu korena ostavǉa-

mo za 14 qas.

Doma�i zadatak 101, 102, 106 a), b), v), g), 108, 109.

32 Realni brojevi

13. QAS

Raqunske operacije sairacionalnim brojevima. Uve�bavaǌe


Ciǉ Uve�bati operacije mno�eǌa, deleǌa, sabiraǌa i oduzi-maǌa korena.


Ponovimo pojmove i operacije, navedene u tekstu Ukratko, na25. strani zbirke, osim dva posledǌa reda ovog teksta. Pritom,rexavamo redom odgovaraju�e zadatke: 101 �), e) i �), 102 v), g) ie). Zatim, rexavamo zadatke: 103. a), d), �), 104 a), b), e), 105 a),b), 107. a), b), v), 110. a), b), 111 v), �) i 114.

Doma�i zadatak 103 b), v), g), �), 104 g), d), �), 106 d), �), z),

i), 111 a), b), g), d), 112.

Realni brojevi 33

14. QAS

Raqunske operacije sairacionalnim brojevima Uve�bavaǌe

Rad u parovima Dijalog

Ciǉ Nauqi�emo upore�ivaǌe korena. Za one koji �ele da nauqevixe, prikaza�emo postupak racionalisaǌa iracionalnih imeni-laca.

Osnovni tekst U�benik, 33. i 34 i Zbirka 28. strana

Tok qasaSada i ubudu�e, parove qine uqenici koji sede u istoj klupi.Najpre ponovimo nauqeno, rexavaju�i zadatke iz zbirke, red-

om: 104 z), 106 e), �), 107 g), d), 110 e), 112 g), 113, 116.Zatim, poka�emo kako se porede koreni (tekst na 33. strani

u�benika, ispred primera 4 i rexavaǌe primera 4).Onda rexavamo zadatke 117 a) i 118 b) iz zbirke.Za one koji �ele da nauqe vixe, poka�emo postupak raciona-

lisaǌa imenioca (zeleno osenqen tekst ispred Ve�be).Reximo i zadatak 1. Dodatka (na dnu 28. strane) iz zbirke.

Doma�i zadatak 4. Zadatak iz Ve�bi sa 34. strane zatim, iz

zbirke zadaci: 117. 118 a), g), 119, 120. a neobavezno 2. i 3. izzbirke (dodatak, strana 29).

34 Realni brojevi

15. QAS

Osnovna svojstva operacijas realnim brojevima. Sistematizovaǌe


Ciǉ Uoqiti kako se zakoni raqunskih operacija, do sada prime-ǌivanih u skupu racionalnih brojeva, primeǌuju na skupu realnihbrojeva

Osnovni tekst U�benik, 35. i Zbirka od 29. do 31. strane.

Tok qasaOsnovna svojstva (zakone) navodimo iz u�benika (36. strana)

ili iz Zbirke (tekst Ukratko na 29. strani). Obe osobine ilu-strujemo rexavaju�i iz zbirke zadatke redom: 121, 122.

Daǉe, rexavamo primer 1 sa 35. strane u�benika, pa zatim izZbirke: 123 i 124.

Doma�i zadatak Zbirka: 126, 127, 128 i neobavezno 129.

Realni brojevi 35

16. QAS

Realni brojevi Obnavǉaǌe

Rad u nehomogenim grupama Dijalog

Ciǉ Ukratko ponoviti osnovne osobine i pravila, radi pripre-me za kontrolnu ve�bu.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik i Zbirka, prva glava.

Nehomogene grupe qine po qetiri uqenika iz dve susedne klupe.Sve grupe rexavaju iste zadatke. Grupa koja rexi zadatak prija-vǉuje se nastavniku. Kad svi (ili skoro svi) do�u do rexeǌa, na-stavnik izvodi na tablu jednog predstavnika jedne od grupa koji sunajbr�e rexili zadatak. Po pravilu, na tablu ne izlazi najboǉiiz grupe. Nagrada za uspexno rexeǌe pixe se celoj grupi. Timese stimulixe timski rad.

Nastavnik zadaje jedan, po jedan zadatak. Slede�i zadaje, kadje prethodni rexen.

Izbor zadataka zavisi od proceǌenog opxteg nivoa znaǌa uqe-nika u odeǉeǌu.

Za osredǌi nivo znaǌa, izbor zadataka mogao bi biti iz zbir-ke, redom: 27 v), 31, 49 �), 50 z), 66 b), 67, 98 a), 102 �), 111 g),112 v), 117 v).

Doma�i zadatak Zadaci iz RADNE SVESKE kontrolni i pi-smeni zadaci, prva kontrolna ve�ba.

36 Realni brojevi

17. QAS

Prva kontrolna ve�ba.(Realni brojevi) Kontrola znaǌa

Svaki uqenik dobija list sa odxtampanim zadacima. Na listupixe ime uqenika, a ne ”grupa A”, ”grupa B” itd. To �e onemogu-�iti dogovaraǌa uqenika koji rexavaju iste zadatke.

Grupa A)

1. Koriste�i se rastavǉaǌem na proste qinioce doka�i da je7056 kvadrat nekog prirodnog broja n. Odredi n.

2. Rexi jednaqine: a) x2 = 0, 04; b)√

2x = 6.

3. Izraqunaj√

(√

3 − 2)2 − 2.

4. Izraqunaj (uprosti izraz): (7√

6 −√27 + 3

√3 − 2

√96) · √3.

5. Bez korix�eǌa tablica korena utvrdi da li je ve�i broj 3√

5ili broj 4

√3.

Grupa B)

1. Rastavǉaǌem na proste qinioce poka�i da je 11025 kvadratnekog prirodnog broja. Odredi taj prirodni broj.

2. Rexi jednaqinu: a) x2 = 614; b)

√0, 1x = 3.

3. Izraqunaj 5 −√

(√

5 − 5)2.

4. Izraqunaj (uprosti izraz): (√

8 −√150 + 3

√54 − 2

√2) :

√3.

5. Bez korix�eǌa tablica korena utvrdi koji je broj ve�i, 2√

5ili 3

√2.

Grupa V)

1. Rastavi na proste qinioce broj 5184 i utvrdi da on predsta-vǉa kvadrat prirodnog broja. Kog broja?

2. Rexi jednaqine: a) x2 = 1, 69; b)√

3x = 0, 6.

3. Izraqunaj√

(1 −√3)2 + 1.

4. Izraqunaj (uprosti izraz): 15√

6 : (√

20 − 2√

12 + 3√

27 − 2√

5).5. Bez korix�eǌa tablica kvadratnih korena utvrdi da li je

ve�i broj −4√

3 ili broj −5√

2.

Realni brojevi 37

Grupa G)

1. Rastavǉaǌem na proste qinioce utvrdi da li je 15876 kvadratprirodnog broja. Ako jeste, odredi taj prirodni broj.

2. Rexi jednaqinu: a) (x + 5)2 = 49; b)√

10x = 16.

3. Izraqunaj√

(−2)2 −√

(√

2 − 2)2.

4. Izraqunaj (uprosti izraz): (√

28 + 3√

6 −√216 − 2

√7) :

√2.

5. Bez korix�eǌa tablica kvadratnih korena utvrdi xta je ve-�e, 9 ili 4

√5.

Grupa D)

1. Rastavi na proste qinioce broj 28224 i utvrdi da on pred-stavǉa kvadrat prirodnog broja. Kog broja?

2. Rexi jednaqinu: a) 8 − 2x2 = 0; b)√

4x =23.

3. Izraqunaj 1 +√

(1 −√2)2.

4. Izraqunaj (uprosti izraz):√

2 · (2√48 − 3√

24 − 4√

12 +√

54).5. Bez korix�eǌa tablica kvadratnih korena utvrdi koji je broj

ve�i, −52√

63 ili −4, 5√

28.

38 Pitagorina teorema

18. QAS

Pitagorina teorema – dokaz Obrada


Ciǉ Upoznavaǌe sa Pitagorinom teoremom. Izraqunavaǌe du-�ina kateta i hipotenuze korix�eǌem Pitagorine teoreme.


O navodnom otkri�u ove popularne teoreme postoji legendao kupatilu i podnim ploqicama, koje su pomogle Pitagori da ot-krije ovu osobinu. Ovu anegdotu svakako treba ispriqati na qasu(36. i 37. strana u u�beniku). Zatim, formulixemo teoremu (na 37.strani su dati i obrazlo�ene dve formule).

Dokaz teoreme (strana 37 i 38 u u�beniku) daje se u jednojod najjednostavnijih varijanti. Ne treba insistirati da uqeniciznaju dokaz. Mo�e se navesti interesantan podatak, da je poznatooko 400 dokaza ove teoreme. Interesantni su dokazi Euklida i DaVinqija, navedeni u zelenom boksu na 40. i 41. strani. (Uqenicimatreba preporuqiti da proqitaju ova dva dokaza).

Uoqavamo da je jednakost c2 = a2 + b2 veza izme�u tri strani-ce pravouglog trougla, koja omogu�ava izraqunavaǌe du�ine jed-ne stranice, ako su ostale dve poznate. To potvrdimo rexavaǌemPrimera 1 sa 39. strane.

Zatim, radimo zadatke date za Ve�be na 39. i 40. strani u�be-nika.

Doma�i zadatak Zbirka, 131, 132, 133.

Pitagorina teorema 39

19. QAS

Pitagorina teorema Uve�bavaǌe


Ciǉ Uoqiti razne mogu�nosti primene Pitagorine teoreme radiizraqunavaǌa du�ina kateta ili hipotenuze uoqenih pravouglihtrouglova.


Ponovimo osnovno tvr�eǌe Pitagorine teoreme, koje va�i zasvaki pravougli trougao. Formulaciju teoreme iskazuju uqenici,a nastavnik intervenixe u sluqaju pogrexke ili nepotpune for-mulacije. (Ako treba, nastavnik podse�a uqenika i na stihove izNuxi�eve ”Autobiografije”). Nastavnik insistira na isticaǌutri praktiqne veze izme�u kateta i hipotenuze:

c2 = a2 + b2 a2 = c2 − b2 b2 = c2 − a2

Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 131 b) i v), 132 a) i g),133 a), 134, 139, 141 i eventualno 138.

Doma�i zadatak 135, 135, 137, 142, 144, 148, 151.


20. QAS

Obrnuta Pitagorina teorema Obrada

Frontalni rad Dijaloxko-demonstrativna metoda

Ciǉ Uoqiti praktiqno znaqeǌe i va�nost obrnute Pitagorineteoreme. Insistirati na uoqavaǌu razlike u tvr�eǌu Pitagorinei obrnute Pitagorine teoreme.


Ponovimo Pitagorinu teoremu. Insistiramo na isticaǌu ”uslo-va i posledica”: ako je trougao pravougli (ima prav ugao), onda jea2 + b2 = c2.

Nastavnik istiqe da su Egip�ani, Vavilonci, Kinezi, mnogopre Pitagorinog doba znali da su, na primer, trouglovi sa strani-cama du�ina 3, 4 i 5 (egipatski trougao) ili 5, 12 i 13, pravouglii uoqili su da je 32 +42 = 52, odnosno da je 52 +122 = 132 (tekst datna 41. strani u�benika).

Uvodimo pojam Pitagorinog trougla. Zatim, radimo 1. zadatakiz Ve�be sa 43. strane.

Pitamo uqenike da li oni znaju neki sliqan primer. Onda po-stavimo pitaǌe: ”Da li je pravougli svaki trougao u kojem va�ijednakost a2 + b2 = c2, gde su a, b, c du�ine stranica”?

Nastavnik nacrta trougao ABC u kome je a2 + b2 = c2 i odre-di taqku C1 kao na slici sa 42. strane. Istiqe da je, koriste�ise ovom slikom, Euklid dokazao navedeno tvr�eǌe. Uz eventualnupomo� nastavnika, uqenici doka�u ovu tvrdǌu, pa urade primer 1i 2 sa 42. strane.

Zatim, nastavnik objasni xta se doga�a ako je a2 + b2 > c2 ilia2 + b2 < c2, gde je c najdu�a stranica. (tekst pri dnu 42. strane).Onda rexavamo zadatke 2 i 3 iz Ve�be.



21. QAS

Obrnuta Pitagorina teorema Uve�bavaǌe


Ciǉ Uoqiti praktiqne primene obrnute Pitagorine teoreme.


Parovi se formiraju od uqenika koji sede u istoj klupi.Ponovimo tvr�eǌa Pitagorine i obrnute Pitagorine teoreme.

Uoqavamo bitnu razliku.Pitagorina teorema: ako trougao ima prav ugao naspram stra-

nice c, onda je a2 + b2 = c2.Obrnuta Pitagorina teorema: ako je a2 + b2 = c2, onda je na-

spram stranice c ugao prav.Ponovimo uslove za oxtrougli i pravougli trougao.Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 157 b), g) i d), 159, 161,

162, 164, 166.

Doma�i zadatak 160, 163, 165, 169.


22. QAS

Primena Pitagorine teoreme nakvadrat i pravougaonik. Obrada

Rad u parovima Heuristiqka metoda

Ciǉ Uoqiti da dijagonala deli kvadrat (pravougaonik) na dvapravougla trougla i uspostaviti vezu izme�u du�ina stranica idijagonala.


Parovi su uqenici koji sede u jednoj klupi.Uoqimo da dijagonala deli kvadrat na dva pravougla trougla.

(Nastavnik nacrta na tabli sliku kvadrata datu na 43. straniu�benika). Onda uqenici primene Pitagorinu teoremu i odrede

vezu d = a√

2 i, uz eventualnu pomo� nastavnika, vezu a =d√

22

.Zatim, rexavamo primere 1 i 2.Onda, nastavnik postavǉa pitaǌe: ”Mo�emo li du�inu dija-

gonale pravougaonika izraziti preko du�ina ǌegovih stranica”?Uqenici prvo rexavaju na mestu, a onda jedan od ǌih demon-

strira na tabli dobijemo rexeǌe.Potom rexavamo primere 3 i 4.Pri kraju qasa ponovimo dobijene zakǉuqke i eventualno re-

ximo neki od zadataka datih za Ve�bu.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, 5 iz u�benika.


23. QAS

Kvadrat i pravougaonik Uve�bavaǌe


Ciǉ Utemeǉiti primenu Pitagorine teoreme na kvadrat i pra-vougaonik.


Ponovimo vezu izme�u du�ine dijagonale i stranica pravouga-onika. Zatim, rexavamo zadatke: 171 (po izboru nastavnika), 176,177, 178.

Zatim, ponovimo vezu izme�u du�ine stranice i dijagonalekvadrata, pa rexavamo zadatke: 172 a), 173 b) i v), 174 a) 184.

Doma�i zadatak 171, 172 b), g), 173 a), 175, 181, 182, 188.


24. QAS

Primena Pitagorine teoreme na trougao. Obrada


Ciǉ Uoqiti vezu izme�u stranica jednakokrakog (jednakostra-

niqnog) trougla i odgovaraju�e visine. Posebno uoqiti veze iz-me�u stranica jednakokrakog pravouglog trougla i trougla kojipredstavǉa polovinu jednakostraniqnog trougla.


Ponovimo osnovnu i obrnutu Pitagorinu teoremu. Rexavaǌemzadatka 148 iz Zbirke uka�emo na uobiqajenu primenu teoreme.

Nacrtajmo na tabli jednakostraniqni trougao, kao na 46. stra-ni u�benika i odredimo vezu izme�u a, h i P (46. i 47. strana uu�beniku). Reximo primer 1, pa pre�emo na odre�ivaǌe polupreq-nika upisane i opisane kru�nice (strana 48).

Zatim, reximo primere 2 i 3.Potom odredimo vezu izme�u du�ina osnovice, kraka i visine

na osnovici u proizvoǉnom jednakokrakom trouglu (49. strana uu�beniku), pa reximo primer 4.

Onda, prouqimo pravougli jednakokraki trougao, kao xto jeizlo�eno na 49. i 50. strani u u�beniku, pa reximo primer 5.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, 5 sa 50. strane u�benika.


25. QAS

Jednakostraniqni i jenakokraki trougao Uve�bavaǌe


Ciǉ Posebno insistiramo na prepoznavaǌu jednakokrakog pra-

vouglog trougla (polovina kvadrata) i pravouglog trougla saoxtrim uglovima od 30◦ i 60◦ (polovina jednakostraniqnog tro-ugla).


Ponovimo veze uoqene u jednakostraniqnom trouglu (h, P , r iR izra�eno preko du�ine stranice), kao u tekstu Ukratko na 42.strani Zbirke.

Zatim, rexavamo zadatke 191 a) i g), 193 g).

Podsetimo se na vezu a =2h

√3

3u jednakostraniqnom trouglu,

pa reximo zadatke 192 a) i d) i 194.Onda rexavamo zadatke o proizvoǉnom jednakokrakom troglu,

198 a) i 204 b).Ponovimo veze iz pravouglog jednakokrakog trougla i reximo

zadatke 195 b) i 196 a)Na kraju reximo zadatak 210.

Doma�i zadatak 192 v) i �), 193 a) i b), 196 v), 198 b) i v), 202,206, 211.


26. QAS

Primena Pitagorine teoreme naparalelogram i deltoid. Obrada


Ciǉ Izraqunavaǌe du�ina dijagonala i visina paralalogramai dijagonala deltoida.


Ponovimo osobine paralelograma.Kao xto je izlo�eno na strani 51, poka�emo kako visine para-

lelograma sa stranicama i dijagonalama odre�uju pravougle tro-uglove. Rexavaǌem primera 1 poka�emo kako se tu koristi Pita-gorina teorema.

Zatim se podsetimo na osobine romba i izvedemo vezu izme�udu�ina dijagonala i stranice (strana 53. u u�beniku).

Reximo primer 2.Nacrtamo deltoid, uka�emo na osobine ǌegovih dijagonala i

pravougle trouglove koje one odre�uju.Rexavamo zadatke 1, 2, 3 iz Ve�be na kraju ovog odeǉka.

Doma�i zadatak 216 a) i g), 219, 221 a), 227 a).


27. QAS

Paralelogram i deltoid Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvrditi primenu Pitagorine teoreme kod paralelogramai deltoida, a posebno kod romba.


Ponovimo vezu a2 =(

d21

2

)2

+(

d22

2

)2

, koja karakterixe romb, pa

rexavamo zadatke: 216 b) i v), 217 a) i b), 218.Zatim, rexavamo zadatke 222 i 223, koji se odnose na proiz-

voǉni paralelogram.Ponovimo osobine deltoida i rexavamo zadatke 228 i 227 b).

Doma�i zadatak 217 v) i g), 221 b) i v), 220, 224, 227 v).


28. QAS

Pitagorina teorema i trapez Obrada

Frontalni rad Dijaloxko-heuristiqka metoda

Ciǉ Na osnovu poznavaǌa primene kod trougla i paralelograma,primeniti Pitagorinu teoremu na trapez.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 55. do 57. srtane.

Podsetimo se kako se trapez razla�e na paralelogram i trou-gao. Uoqimo da se razlagaǌem jednakokrakog trapeza dobija i jed-nakokraki (mogu�e jednakostraniqni) trougao, a kod pravouglogtrapeza imamo pravougli trougao. Na slikama kao xto su na 54. i55. strani u�benika, uoqavamo jox i pravougle trouglove kojima jevisina trapeza jedna kateta, a hipotenuza je krak ili dijagonala.Rexavaǌem najpre primera 1 i 2, a zatim Ve�bi 1, 2, 3, 4 sa 56.strane, uqenici samostalno otkrivaju kako se Pitagorina teoremakoristi kod trapeza.

Doma�i zadatak 231 a), 232 b), 237 a) 240, 242.


29. QAS

Pitagorina teorema i trapez Uve�bavaǌe


Ciǉ Utemeǉiti primenu Pitagorine teoreme kod trapeza, a po-sebno kod jednakokrakog trapeza.


Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi.Ponovimo osobine trapeza. Podsetimo se da je sredǌa lini-

ja trapeza paralelna osnovicama i jednaka poluzbiru osnovica.Ponovimo i formulu za povrxinu trapeza (tekst Ukratko na 48.strani).

Rexavamo zadatke iz zbirke: 231 b), 233 b) i v), 234, 236, 239,243.

Doma�i zadatak 232 a), 233 g), 235, 244.


30. QAS

Pitagorina teorema Sistematizovaǌe


Ciǉ Povezati znaǌe o primeni Pitagorine teoreme na trouglovei qetvorouglove.

Osnovni tekstU�benik, od 36. do 56. i Zbirka od 34. do 50. strane.

Tok qasaNehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe.Izabrati karakteristiqne zadatke iz primene Pitagorine te-

oreme, sa te�ixtem na one delove za koje nastavnik misli da sumaǌe uspexno savladane od strane uqenika.

Radi se na naqin uobiqajen za nehomogene grupe. (Videti tekstpripreme za 16. qas.)

Predlog izbora zadataka za ovaj qas: 135, 136, 140, 152, 169,175, 183, 211, 207, 229, 241, 246.

Doma�i zadatak zadaci iz RADNE SVESKE, kontrolni i pis-meni zadaci, druga kontrolna ve�ba.


31. QAS

Druga kontrolna ve�ba(Pitagorina teorema) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Prema podacima sa slike levo odredi du�inu du�i AD = x.

2. Prema podacima sa slike desno poka�i da je KLM pravouglitrougao.

3. Izraqunaj povrxinu paralelograma ABCD, ako je BC = 29 cm,AC = 52 cm i visina koja odgovara stranici AB je 20 cm.

4. Izraqunaj povrxinu jednakokrakog trapeza kome je krak 25 cm,maǌa osnovica 11 cm i visina 24 cm.

Grupa B)

1. Prema podacima sa slike levo odredi du�inu du�i x = BD.

2. Na slici desno su oznaqene du�i KL, KN , LN i MN . Odredidu�inu du�i x = KM .

3. Izraqunaj obim i povrxinu pravougaonika kome je dijagonala58 cm i jedna stranica 4 dm.

4. Osnovice trapeza su 14 cm i 46 cm, a uglovi na jednoj osno-vici su 45◦. Izraqunaj povrxinu i du�inu dijagonale ovogtrapeza.


Grupa V)

1. Prema podacima sa leve slike, odredi du�inu du�i CB = x.

2. Na osnovu podataka sa slike desno, poka�i da je �MNP = 90◦.

3. Izraqunaj obim kvadrata koji ima istu povrxinu kao pra-vougaonik sa stranicom du�ine 15 cm i dijagonalom du�ine25 cm. Raqunaj na dve decimale.

4. Izraqunaj povrxinu trapeza kome su uglovi na jednoj osnovi-ci 60◦, krak je du�ine 26 cm, a zbir osnovice je 34 cm.

Grupa G)

1. Du�ina stranice AB trougla ABC na slici levo je 25. Premapodacima sa slike odredi du�inu du�i x = AC.

2. Prema podacima sa desne slike, izraqunaj povrxinu trouglaKLM .

3. Na stranici BC kvadrata ABCD data je taqka P , takva da jeAP = 1 dm i �BAP = 30◦. Kolika je povrxina kvadrata?

4. Osnovice jednakokrakog trapeza su 28 cm i 1 dm, a krak jedu�ine 41 cm. Kolika je povrxina trapeza?


Grupa D)

1. Prema podacima sa leve slike, odredi du�inu du�i AC.

2. Izraqunaj povrxinu trougla KLM na slici desno. Broj√

3raqunaj na dve decimale.

3. Romb obima 1 metar ima dijagonalu du�ine 14 cm. Kolika jepovrxina romba?

4. Jednakokraki trapez ima krak du�ine 34 cm. Ako je ve�a osno-vica du�ine 5 dm i visina 3 dm kolika je povrxina?


32. QAS

Konstrukcija primenomPitagorine teoreme Obrada


Ciǉ Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruisa�emo du�i

qije se du�ine izra�avaju iracionalnim brojevima oblika√

3,√

5,√6 i sl.


Najpre se podsetimo kako smo u odeǉku 1.5 konstruisali du�iqije su du�ine

√2 i

√5. Zatim, navodimo uqenike da uoqe da ove

du�i predstavǉaju hipotenuze trouglova sa celobrojnim du�inamakateta, kao xto je opisano na 57. strani u�benika. Onda konstrui-xemo na tabli trougao kome je jedna kateta du�ine 1 i hipotenuzadu�ine 2. Uqenici izraqunavaju du�inu druge katete (tre�a slikana strani 57).

Zatim, rexavamo primere 1, 2, 3, 4, 5, 6, iz u�benika. Svakorexeǌe objaxǌavaju uqenici, uz eventualnu malu pomo� nastavni-ka.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, 5 sa 61. strane u�benika.


33. QAS

Konstrukcije (Pitagorina teorema) Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvrditi primenu Pitagorine teoreme pri konstruisaǌukorena i kvadrata datih du�i.


Podsetimo se na konstrukcije koje smo rexavali prethodnogqasa i rexavamo zadatke iz Zbirke : 251 (deo), 252 (deo), 254, 256,258 a) i b).

Doma�i zadatak Preostali zadaci iz 251. i 252, zatim, zadaci253, 257, 259.

56 Celi i racionalni algebarski izrazi

34. QAS

Stepen sa prirodnim izlo�iocem Obrada


Ciǉ Prouqavaǌe osobina stepena racionalnih brojeva. Poseb-no obratiti pa�ǌu na stepene brojeva 0, 1, −1, 2 i 10. Objasnitiulogu stepena osnove 2 i osnove 10 u savremenom �ivotu.


Stepen se definixe kao proizvod jednakih qinilaca. Oznaka an

je skra�eni zapis ”entog stepena” broja a, i to

a · a · · · a︸︷︷︸n qinilaca

= an

Broj a je osnova, a n je izlo�ilac. Usvajamo jox da je a1 = a.Na poqetku qasa uqenici izraqunavaju razne date stepene. (Re-

xavamo primere 1 i 2.Zatim, uoqavamo stepene nule i brojeva 1 i −1, strana 64. u�be-

nika. Na istoj strani je primer 3, u kome se uoqava kako vrednoststepena an zavisi od uslova |a| < 1 ili |a| > 1.

Posle toga razmatramo stepene broja 10 i specifiqno odre-�ivaǌe ”reda veliqine” broja, kao i poseban naqin zapisivaǌavelikih brojeva (sa mnogo cifara). Sve to je opisano na 65. i 66.strani u�benika.

Na kraju (strana 66.) objaxǌavamo (uz maksimalnu interak-ciju uqenika) ulogu stepena broja 2 u registrovaǌu kapacitetamemorije raqunara. Onda rexavamo primer 5.

Doma�i zadatak Ve�be sa 67. strane. Treba proqitati tekst podnaslovom ”Zapamti”!

Celi i racionalni algebarski izrazi 57

35. QAS

Stepen sa prirodnim izlo�iocem Uve�bavaǌe


Ciǉ Uqvrstiti znaǌe o stepenima.


Ponovimo nauqene osobine stepena (rekst Ukratko na 52. stra-ni).

Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 261, 262, 263, 264 a), v),d), e) i z), 265 a), 273, 275 a) i v).

Doma�i zadatak 264 b), g), �), i), 265, 266, 268, 270, 272.


36. QAS

Operacije sa stepenovima Obrada


Ciǉ Nauqiti kako se mno�e, dele i sabiraju stepeni istih os-nova.


Ponovimo definiciju stepena. Onda nastavnik zadaje proiz-vod dva stepena iste osnove, kao na 67. strani u�benika. Na krajuuqenici samostalno izvode zakǉuqak da je am · an = am+n. Ondarexavamo primere 1 i 2.

Zatim, sliqno prethodnom, uz vo�eǌe od strane nastavnika,uqenici otkrivaju pravilo: za a �= 0 i m > n je am : an = am−n iam : am = 1. (Vidi 68. stranu u�benika). Onda, reximo primer 3.

Sabiraǌe i oduzimaǌe stepene zahteva posebnu pa�ǌu, jer sene mogu sabrati bilo koja dva stepena. (Pratimo tekst na 69. i 70.strani u�benika.)

Reximo primere 4 i 5.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2 i 3 sa 70. i 71. strane.


37. QAS

Operacije sa stepenovima Uve�bavaǌe


Ciǉ Tehniku mno�eǌa, deǉeǌe i sabiraǌa stepena dovesti nazadovoǉavaju�i nivo.


Ponovimo tekst Ukratko sa 55. strane. Zatim, rexavamo za-datke iz zbirke: 276, 277, 278 a), b), 279 v) i g).

Zatim, rexavamo zadatak 284 a). Pritom koristimo i defini-ciju kvadrata broja. Raqunamo:((

12

)3

· 0, 52

)2

:14

=

((12

)3

· 0, 52

)·((

12

)3

· 0, 52

):

14

itd.Podsetimo se kakvi stepeni mogu da se saberu, pa reximo za-

datke 287 i 288.

Doma�i zadatak 278 v) i g), 279 a) i b), 280, 281, 283, 284 b),289.

60 Pismeni zadatak

38. QAS

Pripreme za prvi pismeni zadatak Obnavǉaǌe


Ciǉ Uputiti uqenike na obnavǉaǌe onog gradiva koje �e bitiobuhva�eno prvim pismenim zadatkom.

Osnovni tekst U�benik i Zbirka, prva i druga glava.

Tok qasaPosle zavrxene obrade teme REALNI BROJEVI, nastavnik

analizira efekate nastave i nivo znaǌa uqenika, posebno za sva-ko odeǉeǌe. To isto qini i kada zavrxi sa obradom teme PITA-GORINA TEOREMA. Posebno analizira rezultate prve i drugekontrolne ve�be. Na osnovu donetih zakǉuqaka planira sadr�ajovog qasa. Te�ixte rada bi�e one teme i tehnike u kojim su uqe-nici maǌe postigli u dosadaxǌem radu.

Pri izboru zadataka za ovaj qas nastavnik vodi raquna da sene udaǉava od sadr�aja zadataka koje je pripremio za prvi pisme-ni zadatak. Izbor zadataka je takav da uqenike usmeri ka pravimpripremema za pismeni zadatak.

Veliku pomo� predstavǉa RADNA SVESKA, kontrolni i pi-smeni zadaci, pa uqenike treba uputiti da (za doma�i rad) ve-�baju odgovaraju�e zadatke iz ove kǌige.

Doma�i zadatak Zadaci iz RADNE SVESKE, kontrolni i pi-smeni zadaci, prvi pismeni zadatak.

Pismeni zadatak 61

39. QAS

Prvi pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Svaki uqenik dobija list sa odxtampanim zadacima. Od petzadataka, po jedan je ra�en u xkoli, dat za doma�i zadatak, uzetiz Zbirke i iz Radne sveske.

Napomena. Nastavnik dozvoli uqenicima da koriste tablicekvadratnih korena iz Zbirke zadataka, najvixe 5 minuta, dovoǉnoda na�u korene za ona tri broja koja imaju u 1. zadatku.

Grupa A)

1. Koriste�i se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dvedecimale

√107 − 2

√8, 57 + 15

√0, 0924.

2. Izraqunaj vrednost izraza√

(1 +√

2)2 −√

(1 −√2)2.

3. Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruixi kvadrat po-vrxine 10 cm2. Zatim, koriste�i se dobijenom slikom, kon-struixi kvadrat povrxine 20 cm2.

4. Romb ima jedan unutraxǌi ugao od 30◦. Ako mu je obim 88 cm,kolika mu je povrxina?

5. Odredi povrxinu i obim pravouglog trapeza, kome su kraci28 cm i 53 cm i ve�a dijagonala 10 dm.

Grupa B)

1. Koriste�i se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dvedecimale 6

√0, 73 − 25

√0, 0743 +

√792.

2. Izraqunaj vrednost izraza√

3 +√

(1 −√3)2 −

√(3 − 2

√3)2.

3. Koriste�i se Pitagorinom teoremom, konstruixi kvadrat po-vrxine 17 cm2. Zatim, koriste�i se dobijenom slikom kon-struixi kvadrat povrxine 8,5 cm2.

4. Taqka M je sredixte stranice AB kvadrata ABCD. Na stra-nici AD data je taqka N , takva da je AN = 2DN . Ako je MN =1 dm, koliki je obim kvadrata ABCD?

5. Pravougli trapez ima dijagonale du�ina 13 cm i 2 dm. Akomu je jedna osnovica du�ine 16 cm, kolika je povrxina?

62 Pismeni zadatak

Grupa V)

1. Koriste�i se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dvedecimale√

0, 0083 − 2√

475 + 7√

8, 53.2. Izraqunaj vrednost izraza

2√

12 − 2√

8 −√48 +

12√

32 + 2√

9.

3. Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruixi kvadrat po-vrxine 15 cm2. Zatim, nacrtaj kvadrat stranice 2 cm. Kori-ste�i ova dva nacrtana kvadrata, konstruixi tre�i kvadratpovrxine 19 cm2.

4. Na osnovu podataka sa slike

izraqunaj povrxinu paralelograma ABCD.5. Izraqunaj povrxinu i obim pravouglog trapeza, kome je ve�a

osnovica 9 cm, ve�a dijagonala 15 cm i ve�i krak 13 cm.

Grupa G)

1. Koriste�i se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dvedecimale

√208 + 3

√0, 0793 − 9

√5, 04.

2. Izraqunaj vredost izraza√(2√

3 − 3√

2)2 +√

(−4√

3)2 +(√

3√

2 − 2√

3)2

.

3. Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruixi kvadrat po-vrxine 13 cm2, pa koriste�i se dobijenom slikom konstruixiivadrat povrxine 26 cm2.

4. Normala iz temena B pravougaonika ABCD na dijagonalu ACdeli ovu dijagonalu na odseqke du�ine 32 cm i 18 cm. Izra-qunaj povrxinu i obim pravougaonika.

5. Uglovi na maǌoj osnovici trapeza su po 135◦. Jedan krak imadu�inu 10

√2 cm, a maǌa osnovica je 10 cm. Kolika je povr-

xina trapeza?

Pismeni zadatak 63

Grupa D)

1. Koriste�i se tablicama kvadratnih korena, izraqunaj na dvedecimale 20

√0, 0814 − 6

√0, 07 + 3

√230.

2. Izraqunaj vrednost izraza 3√

8 − 2√

27 + 3√

12 − 5√

18.3. Koriste�i se Pitagorinom teoremom, konstruixi kvadrat po-

vrxine 7 cm2. Zatim, koriste�i se dobijenom slikom, konstru-ixi kvadrat povrxine 14 cm2.

4. Na osnovu podataka sa slike, izraqunaj povrxinu datog pra-vougaonika.

5. Najve�i ugao pravouglog trapeza je 120◦. Ako je du�i krak8 cm i kra�a dijagonala 13 cm, izraqunaj povrxinu i obimtrapeza. Raqunaj

√3 = 1, 73.

64 Pismeni zadatak

40. QAS

Ispravka prvog pismenog zadatka Sistematizovaǌe


Ciǉ Ukazivaǌe na sistemske i pojedinaqne karakteristiqne gre-xke, uz pouku.

Tok qasaNastavnik javno analizira postignute rezultate. Ukoliko je

bilo masovnih grexaka, ukazuje na ǌih i na potrebu i naqin is-pravǉaǌa grexaka. Zatim, istiqe i druge karakteristiqne pojedi-naqne grexke, ne imenuju�i ko ih je naqinio.

Pohvala daje pozitivne i blagotvorne efekte, pa treba isko-ristiti svaku priliku da se neke pozitivne qiǌenice istaknu iuqenici pohvale.

Onda se komentari ilustruju rexavaǌem zadataka na xkolskojtabli. Treba rexiti svih pet zadataka, koje biramo iz raznih gru-pa.


41. QAS

Stepen proizvoda, koliqnika i stepena Obrada


Ciǉ Koriste�i se definicijom stepena izvesti pravila za ste-penovaǌe proizvoda, koliqnika i stepena.


Na poqetku qasa ponovimo: definiciju stepena, mno�eǌe i de-ǉeǌe stepena istih osnova.

Koriste�i se dosadaxǌim saznaǌima uqenika, nastavnik na-vodi uqenike da sami izvedu pravilo za stepen proizvoda: (a · b)n =an · bn. (Videti tekst na 71. strani u�benika.)

Zatim, izvodimo zakǉuqak da va�i i obrnuta jednakost, tj. daje an · bn = (a · b)n. Kao xto je opisano na 71. strani u�benika, po-ka�emo kako se primenom obrnutog pravila pojednostavi proizvod0, 46 · 2, 56.

Zadr�avaju�i inicijativu, nastavnik navodi uqenike da izvo-

de i pravilo: za b �= 0 je(a

b

)n=

an

bn, odnosno (a : b)n = an : bn, ali i

an : bn = (a : b)n.Usput rexavamo primere 1, 2 i 3.Zatim, izvodimo pravilo za stepenovaǌe stepena, (am)n = am·n

i obrnuto pravilo: amn = (am)n = (an)m. Onda, rexavamo primere4 i 5.

Ukoliko je preostalo vremena do kraja qasa, nastavnik demon-strira nejednakosti iz boksa pod naslovom ”xta je ve�e”, s krajaodeǉka. U protivnom, preporuqi uqenicima da to sami proqitaju.

Doma�i zadatak Ve�be, 1, 2, 3, 4 sa 74. strane i iz zbirke za-daci 296 i 303.


42. QAS

Stepen proizvoda, koliqnika i stepena Uve�bavaǌe


Ciǉ Utemeǉiti nauqene operacije sa stepenima.


Ponovimo pravila za stepenovaǌe proizvoda, koliqnika i ste-pena, kao i obrnuta pravila.

Onda rexavamo zadatke iz zbirke: 291, 292, 293,294. Ukolikoje zadovoǉan kvalitetom znaǌa koje pokazuju uqenici, nije neop-hodno da se na tabli rexavaju sve varijante ovih zadataka (od a)do �)).

Zatim, rexavamo zadatke 297 i 299.Onda, rexavamo ”usmeno” zadatak 309.

Doma�i zadatak 295, 296, 298, 300, 308, 310.


43. QAS

Algebarski izrazi Obrada


Ciǉ Upoznati vrste i naqin formiraǌa algebarskih izraza.


Kao xto je opisano na 75. i 76. strani, definixemo kako seformira algebarski izraz. U formiraǌu algebarskih racionalnihizraza uqestvuju iskǉuqivo racionalni brojevi, a od raqunskihoperacija samo sabiraǌe, oduzimaǌe, mno�eǌe i deǉeǌe. Sve toilustrujemo u primeru 1.

Izrazi s promenǉivim veliqinama dobijaju razne vrednosti,za razne vrednosti promenǉivih. Prilikom izraqunavaǌa vredno-sti izraza, poxtujemo redosled izlagaǌa.

Reximo na tabli primere 2 i 3.Onda, uqenici sastave nekoliko racionalnih algebarskih iz-

raza i raqunaju ǌihove vrednosti.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3 sa 78. strane.


44. QAS

Algebarski izrazi Uve�bavaǌe


Ciǉ Izraqunavaǌe vrednosti racionalnih algebarskih izraza.


Ponovimo: pojam i formiraǌe racionalnih algebarskih izra-

za. Nastavnik na tabli napixe, na primer, a, x, −3,25, b, 0, 2 i

tra�i od uqenika da svaki sastavi po jedan racionalni izraz, kom-binovaǌem najmaǌe tri od napisanih brojeva.

Zatim, rexavamo iz zbirke zadatke: 316, 317, 318.Ponovimo kako se odre�uju brojevne vrednosti racionalnih iz-

raza sa promenǉivim veliqinama, pa rexavamo zadatke: 319, 320,321.

Doma�i zadatak 322, 323, 324.


45. QAS

Celi algebarski izrazi - polinomi Obrada


Ciǉ Upoznavaǌe sa pojmom polinoma i naqinom formiraǌa po-linoma. Posebnu pa�ǌu posve�ujemo monomima, jer se operacije sapolinomima svode na operacije sa monomima.


Polinom se definixe kao racionalni izraz bez deǉeǌa pro-menǉivom veliqinom, kao xto je opisano na 78. strani u�benika.

Rexavamo primer 1.Onda, definixemo monom i opixemo naqin na koji se formi-

ra monom. Zatim, koriste�i se pojmom monoma definixemo binom,trinom itd.

Rexavamo primer 2 i 3.Daǉe. Pa�ǌu fokusiramo na monome. Definixemo pojmove: ko-

eficijent, promenǉivi(glavni) deo monoma, stepen monoma i sliq-ni monomi. Tom prilikom reximo primer 4.

Sliqni monomi se sabiraju. Zbir dva sliqna monoma je ǌimasliqan monom ili broj nula. Navodimo primere, kao na 81. straniu�benika.

Jasno definixemo zbir sliqnih monoma (sabiraju se samo ko-eficijenti). Nesliqni monomi se ne sabiraju.

Oqigledno je da zbir dva monoma ne mora biti binom, pa sebinom definixe kao zbir dva nesliqna monoma.

Rexavamo usput primer 5.

Doma�i zadatak Ve�be sa 82. strane i zadaci iz zbirke: 326,327, 328, 329.


46. QAS

Polinom Uve�bavaǌe


Ciǉ Bli�e upoznavaǌe sa monomima. Pojam kanoniqnog oblikamonoma.


Ponovimo pojam polinoma, posebno pojam monoma. Zatim, pono-vimo pojam koeficijenta i primenǉivog dela monoma, kao i sliqnemonome.

Rexavamo zadatke 327 i 329.Onda, ponovimo pojam stepena monoma i rexavamo zadatke 331,

332, 340.Ponovimo sabiraǌe monoma, pa reximo zadatak 330.Po definiciji, proizvod dva monoma je monom. Kad se izvrxi

mno�eǌe svih odgovaraju�ih promenǉivih (po pravilu za mno�eǌestepena istih osnova) dobija se tzv. kanoniqni oblik monoma.

Rexavamo zadatak 333.

Doma�i zadatak 334, 335, 336, 337, 338.


47. QAS

Polinomi – sre�eni oblik Obrada


Ciǉ Sticaǌe navike da se polinomi zapisuju po opadaju�im ilipo rastu�im stepenima promenǉivih, poxto se prethodno saberusliqni monomi.

Osnovni tekstU�benik, 83. i 84. strana, Zbirka, 66. i 67. strana.

Tok qasaPonovimo pojmove: sliqni monomi, zbir sliqnih monoma i ste-

pen monoma. Monom bez promenǉive nazivamo slobodnim qlanompolinoma.

Monom sa najvixim stepenom u datom polinomu odre�uje stepentog polinoma.

Kao xto je navedeno na 83. strani u�benika, polinom je sre�enako nema sliqnih monoma, a qlanovi su slo�eni redom po opadaju-�im ili po rastu�im stepenima.

Zatim, reximo primer 1, pa zadatke 1 i 2. iz Ve�be na 84.strani.

Na kraju rexavamo zadatak 343 iz zbirke.

Doma�i zadatak 341, 342, 344, 345.


48. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe polinoma Obrada


Ciǉ Budu�i da je, po definiciji, zbir dva polinoma opet poli-nom, bavimo se sre�ivaǌem zbira polinoma.


Ponovimo, po definiciji polinoma, ako su P i Q polinomionda su P +Q, P −Q, −P +Q i −P −Q tako�e polinomi. Prema to-me, sabiraǌe polinoma P i Q izvodimo tako xto sredimo polinomP + Q. Nastavnik navodi uqenike da sve zakǉuqke o sabiraǌu po-linoma samostalno uoqe i definixu. Navodimo i pojam suprotnihpolinoma. Razliku polinoma P i Q definixemo kao zbir polinomaP sa polinomom −Q, koji je suprotan polinomu Q. (Sve ovo izlo-�eno je u u�beniku na 84. i 85. strani).

Rexavamo primere 1 i 2.Budu�i da su qlanovi polinoma racionalni brojevi, to za sa-

biraǌe polinoma va�i zakoni komutativnosti, asocijativnosti i

P + (−P ) = 0.

(Videti 86. stranu u u�beniku.)Rexavamo primer 3 sa 86. strane.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, strana 86.


49. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe polinoma Uve�bavaǌe


Ciǉ Uve�bavaǌe tehnike sre�ivaǌa zbira i razlike polinoma.


Ponovimo stav koji sledi iz definicije da je zbir dva poli-noma polinom (a tako�e i razlika dva polinoma). Insistiramo dase dobijeni zbir ili razlika doveve na sre�eni oblik.

Rexavamo iz zbirke zadatke: 346, 347, 348.Zatim, rexavamo zadatak: 349, pa 352.

Doma�i zadatak 350, 353, 555 a) i b).


50. QAS

Stepeni i polinomi Sistematizovaǌe


Ciǉ Priprema za kontrolnu vr�bu .

Osnovni tekstU�benik, od 62 do 86. i Zbirka od 52. do 69. strane.

Tok qasaRadi se na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama.

Izbor zadataka se meǌa od odeǉeǌa do odeǉeǌa. Nastavnik birakarakteristiqne zadatke, najmaǌe po dva za svaki odeǉak. Zadacise obavezno rexavaju na mestu (kolektivno - po grupama) i rexeǌademonstriraju na tabli pojedinci koje odabere nastavnik.

Uqenike treba podsetiti da ponove nastavnu temu ”Konstruk-cije primenom Pitagorine teoreme ”, jer �e na kontrolnoj ve�bijedan zadatak biti iz te oblasti.

Doma�i zadatak Odgovaraju�i zadaci iz RADNE SVESKE, ”kon-trolni i pismeni zadaci”, tre�a kontrolna ve�ba.


51. QAS

Tre�a kontrolna ve�ba (Pitagorinateorema, stepeni, polinomi) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Koriste�i se Pitagorinom teoremom konstruixi du� qija jedu�ina

√7 cm.

2. Izraz(214 · 64) : (16 · 28)

(128 · 24) : 25napixi kao stepen sa osnovom 2.

3. Ako je n prirodni broj, izraqunaj125n+2

5n · 25n+1.

4. Odredi vrednost izraza A =x − 2x2 + 5

x2 − 4, za x = 3 i za x = 2.

5. Ako je A = 5a4 − 8a3b + 2a2b2 − 4ab3 − b4, B = a4 + 3a3b − 5a2b2 −2ab3−2b4 i C = −4a4−5a3b−7a2b2−10ab3−5b4, odredi polinomA + B − C.

Grupa B)


√10 cm.

2. Izraz(38 · 32) : 81

(34 : 3) · (310 : 39)napixi u obliku stepena sa osnovom 3.

3. Ako je n prirodni broj, izraqunaj 4 · 0, 5n−5 · 12 ·(

12

)8−n

.

4. Izraqunaj vrednost izraza B =x2 + 23 − x

, za x = −1 i za x = 3.

5. Ako je A = 5x3 − 4x2 − 7x + 10, B = −3x3 + 3x2 − 13x + 2 iC = x3 − x2 − 12x + 12, odredi polinom C − A − B.


Grupa V)


√8 cm.

2. Izraz (322 ·25)3 : (512 ·24)3 napixi u vidu stepena sa osnovom 2.

3. Ako je n prirodni broj izraqunaj(2n+2)3

(2n+1)2 · 2n.

4. Izraqunaj vrednost izraza B =3x

x2 − 1za x = −2 i za x = 1.

5. Ako je A = 5a4 − 8a3b + 2a2b2 − 4ab3 − b4, B = a4 + 3a3b − 5a2b2 −6ab3−2b4 i C = −4a4 +5a3b−7a2b2 +10ab3−5b4, odredi polinomA − B + C.

Grupa G)


√18 cm.

2. Izraz(272 · 3)5 · 93

(813 · 32)2napixi u obliku stepena sa osnovom 3.

3. Ako je n prirodni broj, izraqunaj8n+2 · (4n+1)2

16n−1 · (2n+2)3.

4. Izraqunaj vrednost izraza G =x + 74 − x2

za x = −2 i x = 3.

5. Ako je A = 7a3 + 10a2 − 9a − 13, B = 5a3 − 2a2 + 6a − 8 i C =5a2 − 4a3 − 3a − 4, odredi polinom A + B − C.

Grupa D)


√20 cm.

2. Izraz(26 · 32)4 · 43

(45 · 26)2 · 64 napixi u obliku stepena sa osnovom 4.

3. Ako je n prirodni broj izraqunaj9n+1 · 27n · (3n+2)3

(81n+1)2.

4. Odredi vrednost izraza D =1 + x2

x2 + 2x, za x = 0 i za x = 3.

5. Ako je A = 5a4 − 8a3b + 2a2b2 − 4ab3 − b4, B = a4 + 3a3b − 5a2b2 −6ab3 − 2b4 i C = 4a4 + 5a3b + 7a2b2 + 10ab3 − 5b4, odredi polinomB + C − A.


52. QAS

Mno�eǌe polinoma Obrada


Ciǉ Mno�eǌe polinoma svesti na mno�eǌe i sabiraǌe monoma.Pravilo ”svaki qlan sa svakim” dokazati geometrijski.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik od 87. do 90. strane.

Podsetimo se na mno�eǌe monoma, pa reximo Primer 1. Zatimse podsetimo na distributivnost mno�eǌa u odnosu na sabiraǌe ioduzimaǌe. Uqenici samostalno zakǉuquju kako se polinomi mno-�e monomima. Reximo primer 2. i definixemo pravilo mno�eǌapolinoma monomom. (Vidi tekst na 87. i 88. strani u�benika.)

Nastavnik nacrta na xkolskoj tabli sliku sa 88. strane, kojaprikazuje pravougaonik dimenzija (a + b) i (c + d). Koriste�i sejednakox�u povrxina, uqenici (ili nastavnik) dokazuju teoremu omno�eǌu dva binoma:

(a + b)(c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d.

Iz toga se formulixe pravilo ”svaki sa svakim” za mno�eǌedva polinoma.

Reximo primer 3.Budu�i da su vrednosti polinoma racionalni brojevi, za mno-

�eǌe polinoma va�i zakon komutativnosti, asocijativnosti i di-stributivnosti u odnosu na sabiraǌe i oduzimaǌe (strana 89.u�benika)

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, i 3, sa 89. i 90. strane.


53. QAS

Mno�eǌe polinoma Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvrditi operaciju mno�eǌa polinoma.


Ponovimo pravilo o mno�eǌu monoma, polinoma monomom i dvapolinoma.

Rexavamo zadatke 356 a), b), v) i g), 357 a), 358 b) v) i d), 360a) i g), 364.

Doma�i zadatak 356 d), �), e) i �), 357 b) i v), 360 b) i v),

361 �), 363 a), 365 a), 367 a).


54. QAS

Operacije s polinomima Obrada


Ciǉ Po definiciji, zbir, razlika ili proizvod dva polinomaje novi polinom. Na kombinovanim primerima proveravamo ovajprincip.


Sabiraǌem, oduzimaǌem ili mno�eǌem dva polinoma dobijamonovi polinom, koji treba srediti.

Uz maksimalno uqex�e uqenika u rexavaǌu zadataka na xkol-skoj tabli, ostvarujemo postavǉeni zadatak. U skladu sa tekstomu u�beniku, nastavnik prati ili vodi uqenike.

Rexavamo na xkolskoj tabli redom primere 1, 2, i 3.Shvataju�i polinom kao racionalan algebarski izraz, odre�u-

jemo vrednosti polinoma za razne vrednosti promenǉivih. Rexa-vaju�i primer 4, uoqavamo i posebnu vrednost promenǉive, kojojodgovara vrednost polinoma ”nula”. Ako je, na primer P (x1) = 0,onda je x1 (odnosno x = x1) tzv. ”nula polinoma”.

Rexavaǌem primera 4 uoqavamo princip: Ako je polinom P (x)jednak M(x) · N(x) i ako je M(x1) = m i N(x1) = n, onda jeP (x1) = m · n.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, i 4, 93. strana.


55. QAS

Operacije s polinomima Uve�bavaǌe


Ciǉ Usavrxavaǌe ideje sre�ivaǌa polinoma.


Podsetimo se na naqine sabiraǌa, oduzimaǌa i mno�eǌa po-linoma, i na zakone koji va�e u primeni ovih pravila. (TekstUkratko na 72. strani.)

Zatim, rexavamo na xkolskoj tabli zadatke: 371 a) i b), 372a) i b), 373 a), 374 a), 375 a) i b).

Doma�i zadatak 371 v) i g), 372 v) i g), 374 b), 375 g).


56. QAS

Kvadrat binoma Obrada


Ciǉ Usvajaǌe formule za kvadriraǌe binoma.


Ponovimo pojam kvadrata broja. Primenimo to na kvadrat bi-noma (a + b), uz primenu dokazane teoreme o proizvodu dva binoma.Uqenici samostalno, na mestu i na xkolskoj tabli, raqunaju kva-drat zbira, (a + b)2 i kvadrat razlike (a − b)2. Nastavnik istiqexta treba zapamtiti kao formulu (strana 93. u�benika).

Zatim, dolazimo do opxteg pravila kvadriraǌa zbira dva ne-sliqna monoma

(I + II)2 = I2 + 2 · I · II + II2.

Primenimo nauqena pravila pri rexavaǌu primera 1.Zatim, navodimo primenu kvadrata binoma u geometriji i re-

xavamo primer 2.Primenimo pravilo i na sluqaj iracionalnih brojeva, npr.

izraqunamo (√

3 − 2)2.Dobro je iskoristiti nekoliko minuta od zavrxnice qasa (ako

je toliko na raspolagaǌu), pa pokazati kako se na lagan naqin iz-raqunavaju kvadrati brojeva oblika 25, 35 itd.Uqenike uputiti daproqitaju o kvadratu trinoma (strana 95).

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3 i 4 na 95. i 96. strani


57. QAS

Kvadrat binoma Uve�bavaǌe


Ciǉ Uve�bavaǌe tehnike kvadriraǌa binoma.


Ponovimo formule za kvadrat zbira i kvadrat razlike, kao iopxtu formulu za (I + II)2.

Rexavamo zadatak 376, onako kako je opisano u postavci. Da-kle, raqunamo na dva naqina, na primer, zadatak d): (3x − 2)2 =(3x − 2) · (3x − 2) i mno�imo po pravilu ”svako sa svakim; drugorexeǌe je po formuli: (3x − 2)2 = (3x)2 + 2 · 3x · (−2) + (−2)2 itd.

Reximo jox i zadatak 377 l) i ǉ).Onda rexavamo zadatak 378.

Doma�i zadatak 377 od a) do k), 379, 382 a), b), v).


58. QAS

Kvadrat binoma Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvrditi tehniku kvadriraǌa binoma i uoqiti primeneovih formula.


Grupe qine uqenici iz dve susedne klupe.Radimo na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama (kao

na 16. qasu).Ponovimo pravilo (I + II)2 = I2 + 2 · I · II + II2.Rexavamo zadatke: 382 d) i z), 383 a) i b).Zatim, rexavamo zadatke: 379 a), g) i d), pa zadatak 380.Onda reximo zadatak 387 a) i b).Na kraju uradimo i dva zadatka iz geometrije, 389 i 390.

Doma�i zadatak 378 v) i g), 381, 384 a) i b), 385 a), 387 v) i d),

388 b).


59. QAS

Polinomi Sistematizovaǌe


Ciǉ Obnoviti i povezati nauqeno o polinomima.

Osnovni tekstU�benik od 83. do 95. i Zbirka, od 63. do 75. strane.

Tok qasaIzbor grupa i rad sa ǌima sprovodimo na uobiqajeni naqin.Izbor zadataka mo�e se meǌati od odeǉeǌa do odeǉeǌa, zavi-

sni od dostignutog nivoa znaǌa uqenika..Primer izbora zadataka (iz Zbirke) 337 a) i v), 345 g), 351

g) i d), 355 b), v) i g), 362 g), 366 d), 368 a) i v), 375 v), 380 d),386 a).

Doma�i zadatak RADNA SVESKA kontrolni i pismeni zada-ci (qetvrta kontrolna ve�ba).


60. QAS

Qetvrta kontrolna ve�ba (polinomi) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Izraqunaj: 3xy2 · (−5x3) + 2x2y · 4x2y.2. Oslobodi se zagrada u izrazima:

a) (2x2 − 0, 5)2; b) (1 + 3√

2)2.3. Doka�i identiqnost, tj. doka�i da leva i desna strana jed-

nakosti predstavǉaju isti polinom:(ax + by)2 − (ay + bx)2 = (a2 − b2)(x2 − y2).

4. Ako je M = 3− x, N = 2x + 1 i P = 2 + 5x− x2, odredi polinomA = P − M · N .

Grupa B)

1. U praznu zagradu upixi odgovaraju�i monom.(−7a2b) − ( ) = 10a2b.

2. Oslobodi se zagrada u izrazima:a) (5m + 0, 1n)2; b) (

√5 − 3

√2)2.

3. Sredi polinom: (12x + 5)2 − (8x − 1)2 − (10x + 7)(8x + 3).4. Ako je M = x + 2, N = x2 − 2x + 6 i P = 3− 2x, odredi polinom

B = N − M · P .

Grupa V)

1. Izraqunaj:23x · 2x4 −

(−5

2x2

)·(− 2

15x3

).

2. Oslobodi se zagrada u izrazima:

a)(

12n − 6p

)2

; b) (√

2 +√

8)2.

3. Doka�i identiqnost, tj. doka�i da leva i desna strana jed-nakosti predstavǉaju isti polinom.(x + 2)2 − 2(2 − x)(x + 2) + (2 − x)2 = 2x(2x − 1) + 2x.

4. Ako je M = 2x − y, N = x + 2y i P = x + y, odredi polinomV = P 2 − M · N + xy.


Grupa G)

1. U praznu zagradu upixi odgovaraju�i monom.12a3x3 + ( ) = −8a3x3.

2. Oslobodi se zagrada u izrazima:

a)(

x2 + 112y

)2

; b) (2√

3 −√2)2.

3. Sredi polinom: (ax + by)2 − (a2 + b2)(x2 + y2) − 2abxy.4. Ako je M = 2x−3, N = 2−x i P = 2x2 −2x+5, odredi polinom

G = P − M · (−N).

Grupa D)

1. Izraqunaj 4x · 2y2z + 3y · (−2xyz) − yz · (−xy).2. Oslobodi se zagrada u izrazima

a) (0, 2x − 5yz2)2; b) (2√

3 + 3√

2)2.3. Proveri da li je taqna jednakost:

(2x − 1)(8x + 5) − (4x − 3)(4x + 3) = 2(x + 2).4. Ako je M = x − y, N = 2x + y, P = 2y − x, odredi polinom

D = 2 · M2 + N · P .


61. QAS

Razlika kvadrata Obrada


Ciǉ Uvo�eǌe formule za razliku kvadrata dva monoma, uz geo-metrijski dokaz formule.


Nastavnik postavǉa (na xkolskoj tabli) zadatak da se pomno�edva polinoma

(a + b)(a − b)

Jedan uqenik iza�e i izraquna proizvod (a2 − b2).Slede�i zadatak (postavi nastavnik):”Uoqimo monome 2a i 3x. Naqinite dva binoma, razliku i zbir

ovih monoma. Zatim, pomno�ite dva dobijena binoma”.Svi rade na mestu, a jedan uqenik demonstrira rexeǌe na ta-

bli. Uz eventualnu pomo� nastavnika, izvlaqimo zakǉuqak (tekstna 96. strani u�benika).

Zatim, nastavnik, uz asistenciju uqenika, izvodi geometrijskidokaz (vidi u u�beniku).

Onda reximo primere 1 i 2.Zatim, navodimo kako se razlika kvadrata dva broja (u u�be-

niku navedeno 7652 − 2352) mo�e jednostavno izraqunati primenomizvedene formule.

Rexavamo primer 3.

Doma�i zadatak Ve�be 1 i 2 sa 98. strane.


62. QAS

Razlika kvadrata Uve�bavaǌe


Ciǉ Uve�bati formulu za razliku kvadrata i uoqiti ǌene pri-mene.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 76. strana.

Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi. Radimo na naqinkoji je uobiqajen za parove.

Podsetimo se na formulu za razliku kvadrata, zatim rexava-mo zadatke iz zbirke: 391 b), �), e), �), 393 v), g), 394 a), b), 395a), b), �).

Doma�i zadatak 391 v), d), z), 392, 394 v), 395 g), d).

Pismeni zadatak 89

63. QAS

Priprema za drugi pismeni zadatak Obnavǉaǌe


Ciǉ Uputiti uqenike da se xto boǉe pripreme za pismeni zada-tak.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik i Zbirka, druga glava.

U zavisnosti od dostignutog nivoa znaǌa o stepenima i poli-nomima, nastavnik pripremi za svako odeǉeǌe odgovaraju�e zadat-ke, radi obnavǉaǌa znaǌa. Zadaci se rade na naqin uobiqajen zarad u nehomogenim grupama, uz obavezno ponavǉaǌe znaqeǌa poj-mova, definicija i formula. Grupe qine uqenici koji sede u dvesusedne klupe.

Doma�i zadatak Iz RADNE SVESKE ”kontrolni i pismenizadaci”, drugi pismeni zadatak

90 Pismeni zadatak

64. QAS

Drugi pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Izraqunaj (2x3y2z)3 · 9(xy3z3)4 : (6x5y9z6)2, x �= 0, y �= 0, z �= 0.2. Sredi polinom (x + 2)2 + 2(2 − x)(x + 2) + (2 − x)2 + 3(x − 2).3. Koriste�i se formulom za razliku kvadrata, izraqunaj na

jednostavan naqin 450, 52 − 350, 52.4. Sliqno prethodnom zadatku izraqunaj na jednostavan naqin

2997 · 3003.5. Izraqunaj obim i povrxinu pravouglog trougla kome je jedna

kateta 21 cm, a druga kateta je za 9 cm kra�a od hipotenuze.

Grupa B)

1. Izraqunaj(

x4y3

(x3y3)2

)3

:(

x5y

(x3y2)3

)2

, gde je x �= 0 i y �= 0.

2. Sredi polinom 4(x−6)−x2(2+3x)−x(5x−4)+3x2(x−1)+4(x−1)2.3. Koriste�i se formulom za razliku kvadrata, izraqunaj na

jednostavan naqin(

658

)2

−(

138

)2

.

4. Sliqno prethodnom zadatku, skrati razlomak1892 − 1682

862 − 1032.

5. Izraqunaj obim i povrxinu pravouglog trougla kome je jednakataeta 8 cm, a hipotenuza je za 2 cm du�a od druge katete.

Grupa V)

1. Izraqunaj(2a2bc4)4 · (3a2b4c3)3 : (4a3b4c7)2

(3a2b2c3)3, a �= 0, b �= 0, c �= 0.

2. Sredi polinom (x − 7)2 − 2(5 − x)(7 − x) + (x − 5)2 − (10 − x).3. Koriste�i se formulom za razliku kvadrata, izraqunaj na

jednostavan naqin 63, 252 − 36, 752.4. Sliqno prethodnom zadatku, izraqunaj na jednostavan naqin

5013 · 4987.5. Izraqunaj obim i povrxinu pravouglog trougla kome je jedna

kateta 11 cm, a hipotenuza je za 1 cm du�a od druge katete.

Pismeni zadatak 91

Grupa G)

1. Izraqunaj vrednost izraza(x2y4)3 : (xy6)2

(x3y2)4 : (x6y2)2, ako je x = 2y �= 0.

2. Sredi polinom (x+2)(x2 − 2x+4)− (x− 2)(x2 +2x+4)− (x− 4)2.3. Koriste�i se formulom za razliku kvadrata, izraqunaj na

jednostavan naqin(

4234

)2

−(

714

)2

.

4. Sliqno prethodnom zadatku skrati razlomak1252 − 1902

1152 − 802.

5. Izraqunaj povrxinu i obim pravouglog trougla kome je jednakateta 7 cm, a hipotenuza i druga kateta razlikuju se za 1 cm.

Grupa D)

1. Uprosti izraz(8a2b3)2 · (4a3b2)3

(22a2b)4:

128a2b · (4ab2)2

(8ab)3, gde je a �= 0,

b �= 0.2. Sredi polinom 4(a + 1)2 − (a + 2)2 + 3(a + 1)(3 − a).3. Koriste�i se formulom za razliku kvadrata izraqunaj na jed-

nostavan naqin 773, 752 − 226, 252.4. Sliqno prethodnom zadatku, izraqunaj na jednostavan naqin

3991 · 4009.5. Izraqunaj povrxinu i obim pravouglog trougla, kome je jedna

stranica 13 cm, a druga stranica je za 1 cm kra�a od dijago-nale.

92 Pismeni zadatak

65. QAS

Ispravka pismenog zadatka Sistematizovaǌe


Ciǉ Ukazivaǌe na sistemetske i pojedinaqne grexke, uz pouku onaqinu otklaǌaǌa tih grexaka.

Tok qasaUobiqajeno za ispravku pismenog zadatka (vidi 40. qas).


66. QAS

Rastavǉaǌe monoma i binoma na qinioce Obrada


Ciǉ Nauqiti kako da se dati polinom, ako je mogu�e, predstaviu obliku proizvoda nekih polinoma.


Ponovimo rastavǉaǌe slo�enog broja na proste qinioce (98.strana). Zatim, uqenici, uz eventualnu pomo� nastavnika, zakǉuqeda je promenǉivi deo monoma ve� napisan u obliku proizvoda, pa,ako rastavimo na qinioce koeficijent, rastavili smo i monom naqinioce. Zatim, reximo primer 1.

Nastavnik na xkolskoj tabli napixe binome a · b + a · c i a2 − b2

i postavi zahtev da uqenici ova dva binoma napixu u vidu proi-zvoda. Kad dobije pozitivne odgovore, nastavnik podvuqe zakǉuqke,kao xto je opisano na 99. strani. Onda, rexavamo primer 2.

Svaki od rexenih sluqajeva prokomentarixe se i obaveznose mno�eǌem proveri rezultat. Nastavnik se posebno zadr�i nasluqaju �), kad u zagradi ostaje broj 1.

Daǉe, rexavamo primere 3 i 4.Zatim, reximo primer 5 i istaknemo da se zbir kvadrata,

a2 + b2, ne mo�e rastaviti na qinioce.Zainteresovane uqenike uputimo da proqitaju tekst pod naslo-

vom ”Zbir i razlika kubova” na 102. strani.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4 sa 102. strane.


67. QAS

Binomi i monomi. Rastavǉaǌe na qinioce Uve�bavaǌe


Ciǉ Posti�i zadovoǉavaju�u tehniku i brzinu u rastavǉaǌumonoma i binoma na qinioce.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 77. do 79. strane.

Ponovimo xta se podrazumeva pod rastavǉaǌem monoma na qi-nioce, pa reximo zadatak 396.

Ponovimo xta znaqi rastaviti binom na qinioce i koje me-tode smo upoznali (tekst Ukratko 77. strana). Zatim, rexavamozadatke 397 od a) do �), 398 a), b), v), g).

Onda, rastavimo na qinioce razlike kvadrata, zadaci: 399 oda) do �) i 400 a), b), v), g).

Podsetimo se da zbir kvadrata ne mo�emo rastaviti na qini-oce.

Onda, reximo slo�enije sluqajeve, zadatke 401 a), b), v), 403a), b) i 404 b).

Na kraju, reximo i zadatak 407 v).

Doma�i zadatak 397 e), �), z), i), 398, 399 e), �), z), i), j), k),

400 d), 402, 404 v), 406.


68. QAS



Ciǉ Uputiti uqenike na bitne teme koje bi trebalo uve�batitokom zimskog raspusta.

Tok qasaZavisno od kvaliteta znaǌa po pojedinim odeǉeǌima, nastav-

nik napravi izbor zadataka u vezi sa svakim obra�enim nastavnimjedinicama iz polinoma. Posebno upu�uje uqenike da za slede�epolugodixte dobro prouqe operacije s polinomima, kvadrat bino-ma i razliku kvadrata.

Doma�i zadatak Iz RADNE SVESKE ”kontrolni i pismenizadaci” proraditi prve qetiri kontrolne ve�be i prva dva pi-smena zadatka.


69. QAS Drugo polugodixte

Polinomi Obnavǉaǌe


Ciǉ Povezivaǌe sa temama obra�enim krajem prvog polugodixta.

Osnovni tekst ”Kontrolni i pismeni zadaci”.

Tok qasaPonavǉamo nauqena pravila o polinomima (kvadrat binoma,

razlika kvadrata). Rexavamo zadatke o polinomima zadate u tre-�oj i qetvrtoj kontrolnoj ve�bi i u prvom pismenom zadatku (kon-trolni i pismeni zadaci).


70. QAS

Rastavǉaǌe trinoma na qinioce Obrada


Ciǉ Primena formula za kvadrat binoma.


Podsetimo se na pravilo o izvlaqeǌu zajedniqkog qinioca predzagradu i reximo primer 1.

Zatim se podsetimo na kvadriraǌe binoma (na primer, izra-qunamo (x2 − 3a)2), pa se posebno zadr�imo na znaqeǌu pravila uobliku (I + II)2 = I2 + 2 · I · II + II2.

Uqenici se upu�uju da otkriju da li je neki dati trinom kva-drat binoma (kao xto je opisano na 104. strani u�benika). Posebnose insistira na proveru qlana 2 · I · II.

Onda, rexavamo primer 2.Zatim, kombinujemo izvlaqeǌe pred zagradu sa kvadratom bi-

noma i reximo primer 3.Zainteresovanim uqenicima se preporuqi da iz u�benika pro-

qitaju tekst iz zelenog boksa, pod naslovom ”kvadratni trinom”.



71. QAS

Rastavǉaǌe trinoma na qinioce Uve�bavaǌe


Ciǉ Sticaǌe rutine u prepoznavaǌu kvadrata binoma.


Ponovimo izvlaqeǌe pred zagradu i formulu za kvadrat bi-noma. Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke. Posebnu pa�ǌu svakiput obra�amo na onaj qlan trinoma, koji u kvadratu binoma qini2 · I · II. Prva va�na opaska: Znak ovog qlana odre�uje da li je upitaǌu kvadrat zbira ili kvadrat razlike. Druga opaska: da li jeto zaista qlan 2 · I · II ili samo liqi na ǌega?

Rexavamo zadatke redom: 411 a), b), 412 v), g), 413 a), b), 414,416 a), b), v).

Zatim, rexavamo kombinovane sluqajeve, zadaci 418 a), b), 419a) i 420 a).

Doma�i zadatak 411 v), g), 412 a), d), 415 a), b), 416 g), 418 v),

g), 419 b).


72. QAS

Razlika kvadrata i kvadrat binoma Obnavǉaǌe


Ciǉ Priprema za rastavǉaǌe na qinioce raznih polinoma.


Uz pravila o razlici kvadrata i kvadratu binoma, ponovimoizvlaqeǌe pred zagradu.

Rexavamo zadatke redom: 391 a), b), v), g), 392 v), d), �), 394g), 395 d), 378 a), b), d), �), 380 a), b), d), 382 �), 388 g).

Doma�i zadatak 401 g), d), �), e), �), 403 v), g), d), 405, 415 g),

d), �), z).


73. QAS

Rastavǉaǌe polinoma na qinioce Obrada


Ciǉ Prepoznati kojoj vrsti pripada dati polinom, radi odre-�ivaǌa metode koju �emo primeniti pri rastavǉaǌu na qinioce.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik 107. strana.

Ponovimo metode koje smo do sada koristili za rastavǉaǌepolinoma na qinioce (izvlaqeǌe pred zagradu, razlika kvadrata,kvadrat binoma). To je do sada bilo jednostavno, jer smo u startuznali kojoj vrsti pripada dati polinom.

Da bismo rastavili bilo koji polinom, ako ne mo�emo odmahda otkrijemo kojoj poznatoj vrsti pripada, moramo smisliti odgo-varaju�u strategiju (tekst na 107. strani u�benika).

Izlo�enu strategiju uve�bavamo rexavaju�i primere 1 i 2.Kad se na polinom primeni odre�eni postupak i on se rasta-

vi na qinioce, onda treba utvrditi da li se i neki od dobijenihqinilaca mo�e jox rastaviti (vidi primer 2a)).

Doma�i zadatak Ve�be na strani 109, zadatak 1.


74. QAS

Rastavǉaǌe polinoma na qinioce Uve�bavaǌe


Ciǉ Prepoznati kojoj vrsti pripada polinom koji treba rasta-viti na qinioce.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 77. do 81. strane

Podsetimo se na definisanu strategiju koju primeǌujemo kadne znamo kojoj vrsti pripada zadati polinom. Onda rexavamo za-datke: 421 i 422 a), b), v), g), d), �), e).

Obratimo pa�ǌu na trinome koji liqe na kvadrat binoma, anisu kvadrati binoma, kao x3 − 6x2y + 36xy2. Prvo izvuqemo predzagradu zajedniqki qinilac: x(x2 − 6xy + 36y2). Trinom u zagradiliqi na (x − 6y)2, ali nije to. Naime, (x − 6y)2 = x2 − 12xy + 36y2, au datom primeru na mestu monoma −12xy, stoji −6xy.

Sliqno uoqavamo, na primer, kod polinoma 2a2 + 4a + 8.Uqenicima treba preporuqiti da sami prorade metodu grupi-

saǌa qlanova, kao xto je opisano u zelenom boksu na 109. strani ida rastave neke od polinoma iz zadatka 423.

Doma�i zadatak 422 �), z), i), j), 419 v) g), d).


75. QAS

Rastavǉaǌe polinoma (jednaqine) Uve�bavaǌe


Ciǉ Koriste�i se poznatom osobinom da je, npr. A · B = 0 ako jeA = 0 ili B = 0 i rastavǉaǌem polinoma na qinioce, rexava�emojednaqine koje do sada nismo upoznali.

Osnovni tekst U�benik, 107. i 108. i Zbirka, 81. strana.

Tok qasaRastavimo na qinioce nekoliko polinoma, na primer: 398 v),

�), i) i 399 e), j), 401 v). Time pripremimo teren za planiranorexavaǌe jednaqina.

Tra�imo odgovor na pitaǌe: ”Kada je proizvod jednak nuli”?Uz oqekivani odgovor: ”Kada je bar jedan od qinilaca nula”. Onda,dolazimo do zakǉuqka

A · B = 0, ako je A = 0, ili B = 0;A · B · C = 0, ako je A = 0, ili B = 0, ili C = 0 itd.Rexavamo jednaqinu 2x2 − 10x = 0, datu na 107. strani u�beni-

ka i rexavamo kao xto je u u�beniku opisano. (Treba kod uqenikanegovati naviku da se rexeǌe uvek proveri.)

Onda, rexavamo primer 3. Zatim, rexavamo zadatak 2. iz ve-�be sa 109. strane (onoliko koliko nam raspolo�ivo vreme do kra-ja qasa dozvoli).

Doma�i zadatak Zbirka: 424 a), v), g), 425 g), d), �), e).


76. QAS

Primene polinoma Uve�bavaǌe


Ciǉ Ukazati na razne primene polinoma, pre svega za uqenikekoji �ele da znaju vixe.

Tok qasaNeke od primena polinoma sreli smo na prethodnim qasovima.

Podsetimo se kroz zadatke.Reximo zadatke: 395 g), 407 a); b), 379 �), 380 �).Rexili smo jednaqine, npr.: 424 �) 425 b), z).Mo�emo rexavati i ovakve jednaqine:1. Izraqunaj (

√3 − 2)2, pa rexi jednaqinu: x −√

3 =√

7 − 4√

3.2. Izraqunaj (2 −√

5)2, pa rexi jednaqinu: x +√

5 =√

9 − 4√

5.Polinomi imaju veliku primenu kod deǉivosti brojeva. Na

primer, reximo zadatke 336. i 337.Zatim, rexavamo zadatak:3. Ako je n prirodni broj, doka�i da je vrednost polinoma

P (n) = n3 + 5n deǉiva sa 6, za svako n.Rexeǌe: P (n) = n3−n+6n = n(n2−1)+6n = (n−1) ·n ·(n+1)+6n.

Prvi sabirak je proizvod tri uzastopna prirodna broja, pa je jedanod ǌih deǉiv sa 3 i bar jedan je paran broj. Zbog toga je prvisabirak deǉiv sa 2 · 3 = 6, a 6n je tako�e deǉivo sa 6.

Reximo jox jedan zadatak.

4. Odredi sve celobrojne vrednosti razlomka R =n2 + 1n − 1

, gde

je n prirodan broj.

Rexeǌe. R =n2 + 1n − 1

=n2 − 1 + 2

n − 1=

n2 − 1n − 1

+2

n − 1=

(n − 1)(n + 1)n − 1

+2

n − 1odnosno R = (n+1)+

2n − 1

, a ovo je ceo broj za n ∈ {−1, 0, 2, 3}.Celobrojne vrednosti razlomka su redom: −1, −1, 5, 5. Dakle, imamodve tra�ene vrednosti, R = −1 ili R = 5.


77. QAS


Rad u homogenim grupama Dijalog

Ciǉ Proveriti razne nivoe znaǌa uqenika.

Tok qasaNastavnik saopxtava da je pripremio zadatke za pripremu pi-

smene ve�be, i to u tri nivoa. Uqenicima predla�e da se samiodluqe za nivoe: A (elementarni), B (vixi), V (najvixi). U pro-tivnom sam ih rasporedi, ako izostane inicijativa uqenika. Uqe-nici se podele u homogene grupe, po 5 do 6 uqenika. Svakoj grupinastavnik daje pripremǉen listi� sa zadacima odgovaraju�ih ni-voa.

Grupe rade zadatke na mestu i prijavǉuju nastavniku kada ihrexe. Posle otprilike 15 minuta samostalnog rada, nastavnik po-ziva predstavnike grupa da rexeǌa demonstriraju na xkolskoj ta-bli. Izlaze redom predstavnici grupa: A, B, V, A, B, V, A, . . . idemonstriraju rexeǌa zadataka koje zahteva nastavnik.

Predlog sadr�aja listi�a (zadaci su iz Zbirke)A) 348 g), 355 b), 368 v), 380 �), 395 b), 417 v).B) 355 v), 373 g), 384 v), 394 v), 419 d), 410 a).V) 355 g), 375 v), 405 g), 419 v), 420 �), 410 b).

Doma�i zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni za-daci” – peta kontrolna ve�ba.


78. QAS

Peta kontrolna ve�ba(Rastavǉaǌe polinoma) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Rastavi na qiniocea) 84xy3; b) 3xy2 + 6xy3 − 15x2y2.

2. Koriste�i se polinomima, izraqunaj na jednosatavan naqin

745· 81

5.

3. Rastavi na qinioce 5m5n2 − 80mn2.4. Rastavi na qinioce 24ab − 18a2 − 8b2

5. Rexi jednaqinu 4x3 + 14x2 = 0.

Grupa B)

1. Rastavi na qiniocea) −60ab2x3; b) 24a2b3x2 + 8ab3 − 12a2b3x.

2. Koriste�i se polinomima, izraqunaj na jednostavan naqin4000, 7 · 3999, 3.

3. Rastavi na qinioce 2x4 − 32.

4. Rastavi na qinioce 3a2 +13b2 − 2ab.

5. Rexi jednaqinu: 9x2 − 4 = 0.

Grupa V)

1. Rastavi na qiniocea) −168m3x2; b) 20a2b3 − 15a3b2 + 10a2b2.

2. Koriste�i se polinomima, izraqunaj na jednostavan naqin

1137· 104

7.

3. Rastavi na qinioce x5 − x.4. Rastavi na qinioce 20x2y − 50x3 − 2xy2.5. Rexi jednaqinu 16x2 = 8x − 1.


Grupa G)

1. Rastavi na qinioce:a) 150ab3c; b) 12xy3 + 4xy2 − 8xy4.

2. Koriste�i se polinomima izraqunaj na jednostavan naqin

9938· 1005

8.

3. Rastavi na qinioce 162 − 2y4.

4. Rastavi na qinioce a2x +12ax2 + 0, 5a3.

5. Rexi jednaqinu 2x3 − 18x = 0.

Grupa D)

1. Rastavi na qiniocea) −180ab5; b) 9ax3 − 3ax2 − 12a2x2.

2. Koriste�i se polinomima izraqunaj na jednostavan naqin300, 8 · 299, 2.

3. Rastavi na qinioce a5b − ab5.

4. Rastavi na qinioce 4xy − 8y2 − 12y.

5. Rexi jednaqinu 2x3 − 12x2 + 18x = 0.

Mnogougao 107

79. QAS

Vrste mnogouglova Obrada


Ciǉ Podse�aǌe na pojam mnogougla i vrste mnogouglova.


Pojam mnogougla sretali smo tokom prethodnih godina uqeǌa,a pojedine vrste smo izuqavali sa dosta detaǉa.

Obnovimo pojmove: izlomǉena linija, zatvorena izlomǉena li-nija, mnogougaona linija i mnogougao (u u�beniku na 110. i 111.strani).

Zatim, definixemo unutraxǌost mnogougla, pa konvensne i ne-konveksne mnogouglove.

Vrste mnogouglova prema broju stranica i oznaqavaǌe eleme-nata (temena, uglovi, stranice, dijagonale) izlo�imo kao na 112.strani u�benika.

Za svaki pojam o kojem se govori, uqenik ili nastavnik nacrtana xkolskoj tabli odgovaraju�u sliku.

Reximo primer 1 i Ve�be 1, 2, 3, 4, sa 112. strane.

Doma�i zadatak Zbirka: 426, 427, 428, 429, 430.

108 Mnogougao

80. QAS

Uglovi mnogougla Obrada


Ciǉ Odrediti zbir unutraxǌih i zbir spoǉaxǌih uglova pro-izvoǉnog mnogougla.


Podsetimo se na pojmove unutraxǌih i spoǉaxǌih uglova tro-ugla i qetvorougla (uopxte, mnogougla) i veza: α + α1 = 180◦ =β + β1 = . . .

Obnovimo zbir unutraxǌih uglova u trouglu i u qetvorouglu,kao i zbir spoǉaxǌih uglova trougla i qetvorougla.

Postavimo pitaǌe: ”Koliki je zbir unutraxǌih uglova u mno-gouglu koji ima n uglova”?

Nastavnik nacrta sliku kao na 113. strani u�benika i navodiuqenike da do�u do formule

Sn = (n−2)·180◦. (U u�beniku objaxǌeno na 113. i 114. strani.)Zatim, reximo primere 1 i 2.Koriste�i se formulom za zbir unutraxǌih uglova, izvodimo

zakǉuqak da u svakom mnogouglu zbir spoǉaxǌih uglova iznosi360◦. (Videti obrazlo�eǌe na 115. strani.)

Onda, ponovimo xta smo nauqili, pa rexavamo Ve�be sa 115.strane. Ako neki zadatak ne do�e na red, ostavimo ga za doma�izadatak.


Mnogougao 109

81. QAS

Uglovi mnogougla Uve�bavaǌe


Ciǉ Primene osobina uglova mnogougla.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 84. do 85. strana.

Obnovimo osobine uglova koje smo nauqili prethodnog qasa(tekst Ukratko na 84. strani).

Rexavamo zadatke redom: 432, 433, 435, 438, 439.Zatim, rexavamo zadatke: 445, 446, 447.

Doma�i zadatak 437, 440, 441, 442, 449.

110 Mnogougao

82. QAS

Dijagonale mnogougla Obrada


Ciǉ Odre�ivaǌe veze izme�u broja temena i broja dijagonalamnogouglova.


Na osnovu definicije dijagonale (du� qiji su krajevi dva ne-susedna temena) izvodimo zakǉuqak da se iz jednog temena n-touglamo�e povu�i (n−3) dijagonale. (Ne brojimo teme iz kojeg konstrui-xemo dijagonale i dva susedna temena.) Odgovaraju�i tekst i slikesu na 116. strani u�benika.

Onda, reximo primere 1 i 2.Koriste�i prethodni zakǉuqak, prebrojimo sve dijagonale mno-

gougla (sa n stranica), kao xto je opisano na 117. strani u�benika.Zatim, reximo primere 3 i 4.Na kraju, obnovimo xta smo nauqili, pa rexavamo Ve�be sa

118. strane. Ono xto preostane, ostaje za doma�i zadatak.

Doma�i zadatak Jox i Zbirka: 451, 453, 458, 459 a), 460 a).

Mnogougao 111

83. QAS

Dijagonale mnogougla Uve�bavaǌe


Ciǉ Povezati osobine uglova i dijagonala mnogougla.


Ponovimo formule, D1 = (n− 3) i Dn =n(n − 3)

2, (tekst Ukrat-

ko na 86. strani), pa rexavamo zadatke iz zbirke: 452, 454, 456,457.

Zatim, rexavamo zadatke, koji se povezuju sa ranije nauqenimvezama o uglovima mnogougla: 459 b) i v), 460 b) i v), 461.

Rexavamo i zadatke 462, 463 i 469.

Doma�i zadatak 455, 464, 465, 467.

112 Mnogougao

84. QAS

Pravilni mnogouglovi Obrada


Ciǉ Upoznavaǌe sa osobinama pravilnih mnogouglova.


Pravilni mnogougao je onaj kome su jednake sve stranice i jed-naki svi unutraxǌi uglovi. Odranije znamo dva takva mnogougla(jednakostraniqni trougao i kvadrat).

Dokazujemo da se oko pravilnog mnogougla mo�e opisati kru-�nica, a odatle zakǉuqujemo da su centralni uglovi ove kru�ni-ce nad stranicama mnogougla jednaki me�usobno. Dakle, centralniugao pravilnog xestougla je 60◦, odakle izvlaqimo posebne osobineovog mnogougla. (Videti tekst na 119. strani.)

Zatim, izvodimo formule za spoǉaxǌi i unutraxǌi ugao pra-vilnog mnogougla i rexavamo primere 1, 2 i 3 (strana 120).

Onda, zakǉuqujemo da je centralni ugao jednak spoǉaxǌem(ϕn = βn), pa definixemo karakteristiqni trougao pravilnog mno-gougla i upisanu kru�nicu pravilnog mnogougla (strana 121).

Reximo primer 4.Na kraju, uoqimo i opixemo simetrije pravilnih mnogouglova.

Mnogouglovi sa neparnim brojem temena imaju samo osne simetrije,a mnogouglovi sa parnim brojem temena su i centralni simetriqni(122. i 123. strana).


Mnogougao 113

85. QAS

Pravilni mnogouglovi Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvrditi osobine pravilnih mnogouglova


Ponovimo o uglovima pravilnih mnogouglova, pa rexavamo za-datke: 471, 472 a), b), v), 475 a), 476 b).

Ponovimo o karakteristiqnom trouglu, pa reximo zadatak 472.Ponovimo o simetrijama pravilnih mnogouglova, pa reximo

zadatke 487 i 488.Rexavamo i zadatke: 428, 425, 491, i 494.

Doma�i zadatak 473 g) i d), 475 b) i v), 477, 480 v), 483, 484,490.

114 Mnogougao

86. QAS

Mnogouglovi Sistematizovaǌe


Ciǉ Sistematizovaǌe i diferenciraǌe ukupnog znaǌa uqenikao mnogouglovima.

Tok qasaIzbor homogenih grupa i naqin rada opisan je u toku qasa 77.

Konaqan izbor zadataka za ovaj qas, na pripremǉenim listi�ima,vrxi nastavnik na osnovu proceǌenog znaǌa uqenika.

Dajemo jedan predlog izbora zadataka u tri nivoa.A) 435, 446, 454, 462, 478, 490.B) 435, 452, 458, 465, 488, 492.V) 449, 450, 466, 470, 482, 493.

Doma�i zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni za-daci”, xesta kontrolna ve�ba.

Mnogougao 115

87. QASXesta kontrolna ve�ba (mnogougao) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Mere unutraxǌih uglova mnogouglova odre�uju produ�enurazmeru 19 : 18 : 36 : 29 : 33. Odredi ove uglove.

2. Koji pravilni mnogougao ima spoǉaxǌi ugao od 18◦?3. Zbir unutraxǌih uglova mnogougla je 1260◦. Koliko ovaj mno-

gougao ima dijagonala?4. U pravilnom petouglu ABCDE izraqunaj �ABD.

Grupa B)

1. Mere spoǉaxǌih uglova mnogougla odre�uju produ�enu raz-meru 7 : 5 : 10 : 6 : 9 : 8. Odredi unutraxǌe uglove.

2. Koliko dijagonala ima pravilni mnogougao koji ima unutra-xǌi ugao od 150◦?

3. Iz jednog temena mnogougla mno�e se povu�i najvixe 11 dija-gonala. Koliki je zbir unutraxǌih uglova ovog mnogougla?

4. Doka�i da su sve dijagonale pravilnog petougla jednake me�usobom.

Grupa V)

1. Mere unutraxǌih uglova mnogougla odre�uju produ�ene raz-meru 15 : 13 : 16 : 9 : 11 : 17 : 19. Odredi ove uglove.

2. Odredi unutraxǌi i spoǉaxǌi ugao pravilnog mnogougla,ako mu je centralni ugao ϕ = 22◦30′.

3. Mnogougao ima 6 puta vixe dijagonala nego stranica. Kolikije zbir unutraxǌih uglova tog mnogougla?

4. Simetrale dveju susednih stranica pravilnog mnogougla sekuse pod uglom od 15◦. Koji je to mnogougao?

Grupa G)

1. Mere spoǉaxǌih uglova mnogougla obrazuju produ�enu raz-meru 9 : 12 : 10 : 15 : 11 : 17 : 16. Odredi unutraxǌe uglove ovogmnogougla.

2. Koji pravilni mnogougao ima unutraxǌi ugao sedam puta ve-�i od spoǉaxǌeg? Koliki je unutraxǌi ugao?

3. Svi spoǉaxǌi uglovi mnogougla iznose po 15◦. Koliko dija-gonala ima ovaj mnogougao?

4. U pravilnom xestouglu ABCDEF izraqunaj �CAD.

116 Mnogougao

Grupa D)

1. Mere unutraxǌih uglova mnogougla obrazuju produ�enu raz-meru 13 : 5 : 12 : 9 : 7 : 14. Odredi te uglove.

2. Koliko dijagonala ima mnogougao kome zbir svih spoǉaxǌihi svih unutraxǌih uglova iznose 1980◦?

3. Ukupan broj dijagonala pravilnog mnogougla 5 puta je ve�a odbroja dijagonala koje se mogu povu�i iz jednog temena. Kolikije centralni ugao tog mnogougla?

4. U pravilnom petouglu ABCDE dijagonale AC i BE seku se utaqki M . Doka�i da je CM = EM = AB.

Mnogougao 117

88. QAS

Konstrukcije pravilnih mnogouglova Obrada


Ciǉ Konstruisaǌe pravilnih mnogouglova za n ∈ {3, 4, 6, 8, 12}i pribli�no crtaǌe, uz korix�eǌe uglomera, za ostale pravilnemnogouglove.


Odavno znamo konstrukcije pravilnih mnogouglova za n = 3,n = 4 i n = 6. Za konstrukciju pravilnih mnogouglova (xestaromi leǌirom), uz datu odgovaraju�u du� (stranica ili polupreq-nik upisane ili opisane kru�nice) navodimo primere 1, 2, 3 i 4(strana 124. 125. i 126.). Ove primere rexavamo na xkolskoj tabli.

Za pribli�no crtaǌe koristimo uglomer. (Primeri 5 i 6,prikazuju crtaǌe pravilnog petougla i pravilnog sedmougla).

Tekst o pravilnom sedamnaestouglu treba proqitati uqenici-ma, kao neobavezno xtivo.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, sa 127. strane.

118 Mnogougao

89. QAS

Konstrukcije pravilnih mnogouglova Uve�bavaǌe


Ciǉ Jasno razlikujemo taqne konstrukcije leǌirom i xestarom,od pribli�nog crtaǌa uz pomo� uglomera.


Ve�bamo najpre konstrukcije za n = 3, n = 4, n = 6 i n = 8.Rexavamo zadatke: 496 a), 497 b), 498, 500 i 501.

Zatim, pribli�no crtamo petougao, desetougao i devetougao,rexavaju�i zadatke: 503 a), 506 a) i 507.

Doma�i zadatak 499, 402, 505, 509.

Mnogougao 119

90. QAS

Obim i povrxina mnogougla Obrada


Ciǉ Odre�ivaǌe povrxine i obima nekih pravilnih mnogouglo-va.


Podsetimo se najpre na poznate formule za jednakostraniqnitrougao i kvadrat. Obim mnogougla se definixe kao zbir du�i-ne svih stranica. U vezi s tim rexavamo primere 1 i 2 na 128.strani.

Zatim, koriste�i se formulom za povrxinu jednakostraniqnog

trougla, odredimo povrxinu pravilnog xestougla: P =3a2

√3

2.

Povrxinu bilo kog pravilnog mnogougla izra�avamo kao zbirpovrxina svih ǌegovih karakteristiqnih trouglova. (Videti tekstna 129. strani.)

Zatim, rexavamo primere 3 i 4.Na kraju, navodimo kako se mo�e izraqunati (pribli�no) po-

vrxina bilo kog zadatog mnogougla, primer 5.Treba preporuqiti uqenicima da proqitaju tekst o pravilnom

dvanaestouglu i osmouglu na 132. strani.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3 na 131. strani.

120 Mnogougao

91. QAS

Obim i povrxina mnogougla Uve�bavaǌe


Ciǉ Izraqunavaǌe povrxina i obima pravilnih i nepravilnihmnogouglova.


Ponovimo nauqene formule (tekst Ukratko na 92. strani).Zatim, rexavamo redom zadatke: 511, 512 e), 513, 514, 515, 519,

521, 522, 527.Pri rexavaǌu zadataka 512 i 527 koristimo slike i objaxǌe-

ǌa iz boksa sa 132. strane u�benika.

Doma�i zadatak 512 g), d), �) 516, 517, 518, 520, 524, 526.

Zavisne veliqine 121

92. QAS

Pravougli koordinatni sistem u ravni Obrada


Ciǉ Uvo�eǌe pojma pravouglog koordinatnog sistema u ravni iodre�ivaǌe polo�aja taqke u koordinatnoj ravni.


Podsetimo se na preslikavaǌe brojeva na taqke brojevne prave(strana 133.).

Uvodimo pravougli Dekartov koordinatni sistem. Na primerutaqke P na slici (134. strana), opisujemo kako se odre�uje polo�ajtaqke u koordinatnoj ravni.

Uvodimo pojmove uzajamno normalnih koordinatnih osa (apsci-sa i ordinata). Zajedniqka taqka osa je koordiatni poqetak, taqkaO(0, 0). Na 133, 134. i 135. strani, delom kroz primere 1 i 2, ob-jaxǌavamo kako se u koordinatnom sistemu odre�uje taqka datihkoordinata (primer 1) i kako se odre�uju koordinate taqke kojaje oznaqena u koordinatnoj ravni (primer 2).

Zatim, kao xto je opisano na 137. strani, uvodimo pojam kva-dranata. Tako�e, razmatramo kako se meǌaju koordinate ako taqkupreslikamo simetrijom u odnosu na neku koordinatnu osu ili si-metriqno u odnosu na koordinatni poqetak.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, sa 138. strane.

122 Zavisne veliqine

93. QAS

Koordinatni sistem Uve�bavaǌe


Ciǉ Usvajaǌe pojma koordinatnog sistema, koordinatnih osa ikoordinata taqke u pravouglom koordinatnom sistemu.


Obnavǉamo pojmove uvedene prethodnog qasa, a utvr�ujemo ihrexavaǌem zadataka redom: 536, 537, 538, 539, 540, 541.

Doma�i zadatak 542, 543, 544, 545.


94. QAS

Du� i mnogougao u koordinatnom sistemu Obrada


Ciǉ Mereǌe du�ine du�i u koordinatnom sistemu i povrxinatrouglova i qetvorouglova.


Najpre razmatramo odre�ivaǌe du�ina du�i koje su paralel-ne koordinatnim osama i povrxine trougla kojima su stranica iodgovaraju�a visina paralelne koordinatnim osama (primeri 1 i2, strana 138. i 139. u u�beniku).

Zatim, odre�ujemo du�inu kosih du�i, koriste�i se Pitago-rinom teoremom (primer 3).

Reximo i primer 4.Na kraju, uqenike uputimo na opxti sluqaj odre�ivaǌa du�i-

ne du�i, prikazan u zelenom boksu. Preporuqujemo uqenicima danauqe formulu: d =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2, gde je d du�ina du�i

odre�ene taqkama A(x1, y1) i B(x2, y2).Zatim, rexavamo zadatak 1 iz Ve�be.



95. QAS

Du� i mnogougao u koordinatnom sistemu Uve�bavaǌe


Ciǉ Mereǌe du�ine i povrxine kad su du�i i ravne figurezadate koordinatama.


Podsetimo se na formule za odre�ivaǌe du�ine du�i MN , akoje M(x1, y1) i N(x2, y2):

MN =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

(tekst Ukratko na 98. strani).Zatim, prema datom uputstvu, rexavamo zadatak 546.Onda rexavamo zadatke sa oznakom �, to je 547 a), b)) i zadatke

oznaqene sa � (to je 548 a) i b)).Zatim, primenimo Pitagorinu teoremu pri rexavaǌu zadatka

549.Na kraju, rexavamo zadatak 551 a), b) i v).

Doma�i zadatak 547 v), g), 548 v), g), 550, 551 g), d), �), 554 a).


96. QAS

Grafiqko predstavǉaǌe podataka Obrada


Ciǉ Uvo�eǌe dijagrama (grafikona) u koordinatni sistem.


Razmatra�emo promene para uzajamno zavisnih veliqina. Akopar ǌihovih odgovaraju�ih vrednosti predstavǉaju brojevi x i y,onda taqka A(x, y) mo�e da se postavi u koordinatni sistem. Ako nataj naqin unesemo u koordinatni sistem vixe parova odgovaraju-�ih vrednosti, onda spajaǌem odgovaraju�ih taqaka, po redosleduizvrxenih promena, dobijamo slikovit prikaz ove zavisnosti dvejupromenǉivih. Dobijena slika je grafikon (ili dijagram).

Na primeru 1 (strana 141 i 142) pokazujemo kako se crta gra-fikon, ali i kako se sa grafikona odre�uju novi parovi (x, y)zavisnih veliqina.

Daǉe, kroz rexavaǌe primera 3, produbǉujemo steqena sazna-ǌa.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3 i 4 sa 144. i 145. strane.


97. QAS

Grafiqko predstavǉaǌe podataka Uve�bavaǌe


Ciǉ Shvataǌe pojma grafikona i uvo�eǌe pojma histograma.


Razmotrimo kako se ”pravi” grafikon. Uzmemo primer iz tek-sta Ukratko, na 99. i 100. strani.

Zatim, nastavnik postavi zadatak 566 i rexavaǌe prepustiuqenicima, uz eventualne maǌe intervencije, prete�no postavǉa-ǌem izabranih pitaǌa.

Na isti naqin uqenici rexevaju zadatak 557, a onda i 558.Odgovore na svako od pitaǌa a), b), v), g) prokomentarixe i na-stavnik.

Zatim, rexavamo zadatak 559, analiziraju�i pa�ǉivo svakood pitaǌa a), b), v), g).

Onda, nastavnik objasni grafiqki prikaz u obliku histogramai rexavamo zadatak 563.

Doma�i zadatak Svaki uqenik treba da u svom okru�eǌu na�eprimer nekog procesa ili istra�ivaǌa koji je pogodan za grafiq-ko predstavǉaǌe. Te primere demonstriramo slede�eg qasa. Svakiprimer �e pripremiti par uqenika. Parove izaberu sami uqeniciizme�u sebe.


98. QAS

Grafiqko predstavǉaǌe podataka Uve�bavaǌe


Ciǉ Razviti kod uqenika sposobnost da odre�ene procese pred-stave grafiqki, ali i da umeju sa grafika proqitati podatke.

Tok qasaUqenici demonstriraju zadatke i rexeǌa zadataka koje su sa-

mi uoqili i formulisali za doma�i zadatak. Za svaki nacrtangrafikon (ili histogram) nastavnik insistira na qitaǌu podata-ka sa grafikona. Qitaǌe sa grafikona obavǉaju uqenici koji nisuuqestvovali u definisaǌu problema.

Pred kraj qasa nastavnik preuzima inicijativu i rexava sle-de�e zadatke sa histogramima: Ve�ba 4 sa 145. strane u�benika,zatim zadaci 564 i 565 iz zbirke.


128 Pismeni zadatak

99. QAS

Priprema za tre�i pismeni zadatak Obnavǉǌe


Ciǉ Diferenciraǌe znaǌa uqenika u vezi gradiva nauqenog udrugom polugodixtu.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik i Zbirka.

Raspore�ivaǌe uqenika u homogene grupe na tri nivoa znaǌavrxi se na uobiqajeni naqin. Prema sopstvenoj proceni o uspe-xnosti uqenika u savla�ivaǌu gradiva, nastavnik priprema trivrste listi�a sa zadacima nivoa A (elementarni), B (vixi) i V(najvixi), sliqno izboru predlo�enom za 77 qas.

Doma�i zadatak Iz RADNE SVESKE ”kontrolni i pismenizadaci”, predvi�eni za tre�i pismeni zadatak.

Pismeni zadatak 129

100. QAS

Tre�i pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Rastavi na qinioce polinom 3a4b3 − 12a2b3.2. Izraqunaj (

√3 − 2)2, pa rexi jednaqinu x −√

3 =√

7 − 4√

3.3. Ako je zbir unutraxǌih uglova mnogougla 2880◦, koliko dija-

gonala ima taj mnogougao?4. Konstruixi pravilan xestougao upisan u kru�nicu preqnika

5 cm. Izraqunaj povrxinu i obim tog xestougla.5. U pravouglom koordinatnom sistemu dat je trougao sa teme-

nom A(6, 1), B(0, 9) i C(−15, 1). Izraqunaj povrxinu i obimtrougla ABC.

Grupa B)

1. Rastavi na qinioce polinom 16 − 8x2 + x4.2. Izraqunaj (2 −√

5)2, pa rexi jednaqinu x√

5 − 2 =√

9 − 4√

5.3. Ukupan broj dijagonala pravilnog mnogougla 8 puta je ve�i

od broja dijagonala koje se mogu povu�i iz jednog temena. Od-redi unutraxǌi ugao tog mnogougla.

4. Konstruixi pravilni xestougao obima 27 cm. Kolika je ǌe-gova povrxina? Raqunaj na dve decimale.

5. Trougao je dat u pravouglom koordinatnom sistemu temeni-ma M(−2,−1), N(2, 2), P (−6, 2). Izraqunaj obim i povrxinutrougla MNP .

Grupa V)

1. Rastavi na qinioce polinom 5xy7 − 45x3y5.

2. Izraqunaj (1 −√2)2, pa rexi jednaqinu 2x +

√2 =

√3 − 2

√2.

3. Spoǉaxǌi ugao kod temena A pravilnog mnogougla je 15◦. Ko-liko dijagonala ima ovaj mnogougao?

4. Konstruixi pravilan xestougao opisan oko kruga polupreq-nika 3 cm. Izraqunaj povrxinu i obim tog xestougla.

5. Trougao ABC dat je u pravouglom koordinatnom sistemu te-menima A(−4, 7), B(−4,−5), C(1, 7). Izraqunaj povrxinu obimovog trougla.

130 Pismeni zadatak

Grupa G)

1. Rastavi na qinioce polinom 1 − 18y2 + 81y4.

2. Izraqunaj (2 −√7)2, pa rexi jednaqinu x − 2 =

√11 − 4

√7.

3. Jedan mnogougao ima ukupno 119 dijagonala. Koliki je zbirunutraxǌih uglova tog mnogougla?

4. Konstruixi pravilan xestougao kome je ve�a dijagonala 7 cm.Izraqunaj obim i povrxinu tog xestougla.

5. U pravouglom koordinatnom sistemu dat je trougao temeni-ma M(−1, 2), N(3,−1), P (3, 5). Izraqunaj obim i povrxinutrougla MNP .

Grupa D)

1. Rastavi na qinioce polinom 2m3n2 − 18m3n4.2. Izraqunaj (

√2 −√

3)2, pa rexi jednaqinu x +√

3 =√

5 − 2√

6.3. Koliko dijagonala ima pravilni mnogougao qiji unutraxǌi

ugao je 165◦?4. Konstruixi pravilni xestougao kome je maǌa dijagonala du-

�ine 4 cm. Izraqunaj povrxinu i obim tog xestougla.5. Trougao KLM dat je u pravouglom koordinatnom sistemu te-

menima K(−6, 6), L(−6,−2), M(9,−2). Izraqunaj povrxinu iobim trougla KLM .

Pismeni zadatak 131

101. QAS



Ciǉ Ukazivaǌe na sistematske i pojedinaqne grexke, uz pouku onaqinu otklaǌaǌa tih grexeka.

Tok qasaUobiqajeno za qas ispravke pismenog zadatka. (Vidi 40. qas.)Praksa je pokazala da veliki broj uqenika ne usvoji pravilno

pojam apsolutne vrednosti, a posebno jednakost√

a2 = |a|. Zbog to-ga bi trebalo posebno obratiti pa�ǌu na drugi zadatak i rexitibar dva sluqaja. Na primer:

Grupa B)

2. (2 −√5)2 = 22 + 2 · 2 · (−√

5) + (−√5)2 = 4 − 4

√5 + 5 = 9 − 4

√5.

Rexeǌe jednaqine: x√

5 − 2 =√

9 − 4√

5. Prema prethodnom re-

zultatu je x√

5− 2 =√

(2 −√5)2. Prema jednakosti

√a2 = |a| imamo:

x√

5 − 2 = |2 − √5|. Daǉe, kako je 2 <

√5, to je 2 − √

5 < 0, pa je|2 −√

5| = −(2 −√5) = −2 +

√5.

Data jednaqina dobija oblik: x√

5 − 2 = −2 +√

5, a odatle jex√

5 =√

5, pa je konaqno x = 1.


102. QAS

Direktna proporcionalnost Obrada


Ciǉ Grafiqki prikazati zavisnost dve promenǉive veliqine,vezane jednakox�u y = kx, gde je k pozitivna konstanta.


Razmatra�emo parove veliqina, qije su promene uzajamne za-visne (prouzrokovane). Navedemo neke primere.

Put koji pre�e automobil, pri brzini od 50 km na qas, zavisiod trajaǌa (vremena) putovaǌa

Visina raquna pri kupovini lubenice po ceni od 20 dinara zakilogram, zavisi od mase lubenice.

Nastavnik tra�i od uqenika da i sami opixu neke sliqne pa-rove promenǉivih veliqina.

Daǉe, kroz rexavaǌe primera 1, 2, 3 i 4 i i analiziraǌe me-�usobnih odnosa parova promenǉivih veliqina, nastavnik uvodipojam direktne proporcionalnosti, y = kx, odnosno

y

x= k, gde je

pozitivna konstanta k tzv. koeficijent proporcionalnosti.Kao xto smo nauqili u prethodnom odeǉku (96. i 97. qas),

grafikone koristimo za qitaǌe potrebnih podataka (kao xto smouqinili u primeru 1).

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, sa 149. strane.


103. QAS

Direktna proporcionalnost Uve�bavaǌe


Ciǉ Grafiqko prikazivaǌe promena raznih vrsta zavisnih, di-rektno proporcionalnih veliqina.


Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi.Ponovimo pojam direktno proporcionalnih veliqina (tekst

Ukratko na 103. i 104. strani).Rexavamo niz karakteristiqnih zadataka. Rexeǌa na xkolskoj

tabli i neophodne komentare i zakǉuqke izvode uqenici, uz even-tualnu minimalnu pomo� nastavnika.

Rexavamo zadatke redom: 566, 567, 568, 569.Zatim, rexavamo zadatke 1. i 4. iz Ve�be sa 149. strane u�be-

nika.Na kraju, reximo zadatke 573 i 575.



104. QAS

Obrnuta proporcionalnost Obrada


Ciǉ Grafiqki prikazati promene parova obrnuto proporcional-nih veliqina.


Kao xto je opisano na poqetku 150. strane, navedemo praktiqanprimer (odnos broja radnika i vremena rada) para zavisnih veli-qina, kod kojih pove�avaǌe jedne uslovǉava smaǌeǌe druge veli-qine. Nastavnik tra�i da i uqenici navedu neke sliqne primerezavisnih veliqina.

Onda, rexavamo primere 1 i 2. Sa grafikona iz primera 1qitamo tra�ene podatke, kao xto je opisano na 150. strani u�be-nika.

Zatim, analiziramo zavisne promenǉive iz ovih primera i za-kǉuqujemo da se one opisuju jednakox�u xy = k, gde je k pozitivnakonstanta, koeficijent proporcionalnosti.

Onda doka�emo osobinu obrnuto proporcionalnih veliqina:za odgovaraju�e parove vrednosti (x1, y1) i (x2, y2) va�i x1 : x2 =y2 : y1, odnosno

x1

x2=

y2

y1(strana 152).

Zatim, rexavamo i preostale dva primera navedena u u�beni-ku. Zakǉuqak iz primera 4 treba zapamtiti.

Doma�i zadatak Ve�ba 1, 2, 3, 4, 5 sa 154. strane.


105. QAS

Obrnuta proporcionalnost Uve�bavaǌe


Ciǉ Me�u praktiqnim primerima zavisnih promenǉivih uoqitiobrnuto proporcionalne.


Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi.Ponovimo pojam obrnute proporcionalnosti (tekst Ukratko na

105. strani).Zatim, nastavnik prepuxta uqenicima inicijativu u rexava-

ǌu zadataka 576, 577, 578.Onda, rexavaju zadatke, koje su prethodnog qasa dobili za do-

ma�i zadatak. To su zadaci 1, 2 i 4 iz Ve�bi sa 154. strane u�be-nika.

Doma�i zadatak 579 i 580.


106. QAS

Primene proporcionalnosti Uve�bavaǌe


Ciǉ Osobine direktno i obrnuto proporcionalnih veliqina pri-meniti na praktiqne situacije.


Iz definicija i nauqenih osobina direktno i obrnuto propor-cionalnih veliqina izvodimo va�ne zakǉuqke:

a) Ako su (x1, y1) i (x2, y2) parovi odgovaraju�ih vrednostidirektno proporcionalnih veliqina, onda je

x1 : x2 = y1 : y2.

b) Ako je req o parovima obrnuto proporcionalnih veliqina,onda je

x1 : x2 = y2 : y1 i y1 : y2 =1x1

:1x2

.

(Videti 155. i 156. stranu u�benika.)Zatim, rexavamo primer 1, koji nastavnik iskoristi da obja-

sni kako se postavǉaju strelice koje definixu razmere. Tako�e jebitno kako na osnovu odgovora vixe ili maǌe odre�ujemo direk-tno i obrnuto proporcionalne veliqine.

Uqenici daǉe, uz diskretno pra�eǌe nastavnika, rexavaju pri-mere 2, 3 i 4, sa 157. i 158. strane.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, 5 sa 158. strane.


107. QAS

Primene proporcionalnosti Uve�bavaǌe


Ciǉ Rexavaǌe praktiqnih problema korix�eǌem proporcional-nosti zavisnih veliqina.


Ponovimo praktiqne osobine proporcionalnih veliqina (tekstUkratko sa 106. strane).

Uqenici na tabli rexavaju zadatke redom: 584, 582, 585, 586,588, 589, 592, 593.

Doma�i zadatak 581, 583, 587, 590, 591.


108. QAS

Svojstva proporcija Obrada


Ciǉ Ista�i i koristiti praktiqne osobine proporcija.


Ponovimo definiciju proporcije. Zatim, istaknemo va�ne prak-tiqne osobine:

Iz a : b = c : d, sledi a · d = b · c i a = ck, b = dk, gde je kpozitivna konstanta (strana 159. u u�beniku).

Rexavamo primere 1, 2, i 3.Zatim, izvedemo (doka�emo) osobinu.Iz a : b = c : d sledi (a + b) : (c + d) = a : c = b : d i(a − b) : (c − d) = a : c = b : d, (c > d).Zatim, reximo i primer 4 (strana 161).Ukoliko je do kraja qasa ostalo dovoǉno vremena, rexavamo i

Ve�be 2 i 3.

Doma�i zadatak Ve�be sa 161. strane.


109. QAS

Svojstva proporcija Uve�bavaǌe


Ciǉ Primena praktiqnih osobina proporcija.


Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi.Ponovimo osobine koje smo istakli prethodnog qasa (tekst

Ukratko sa 108. strane).Onda, na naqin uobiqajen za rad u parovima, uqenici, uz dis-

kretno uqex�e nastavnika, rexavaju zadatke: 601, 602, 603, 604,605.

Zatim, rexavaju zadatke: 608, 610, 612.

Doma�i zadatak 606, 607, 611, 614.


110. QAS

Zavisne veliqine Sistematizovaǌe


Ciǉ Sistematizovaǌe i diferenciraǌe ukupnog znaǌa uqenikau vezi sa zavisnim veliqinama.

Tok qasaIzbor homogenih grupa i naqin rada opisan je u toku qasa 77.

Izbor zadataka za ovaj qas, po nivoima zahteva, na pripremǉenimlisti�ima, vrxi nastavnik na osnovu proceǌenog znaǌa uqenika.

Ugledni predlog izbora zadataka u tri nivoa zahteva.

A) 549, 562, 571, 579, 596, 613

B) 552, 559, 573, 579, 597, 609

V) 555, 560, 575, 579, 600, 615

Doma�i zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni za-daci”, zadaci za sedmu kontrolnu ve�bu.


111. QAS

Sedma kontrolna ve�ba(zavisne veliqine) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Odredi du�inu du�i AB, ako je A(−7,−3) i B(5, 2).2. Ako slavinu odvrnemo do kraja u kadu se nalije 15 litara

vode u minutu. Naqini tabelu i grafikon za prvih 10 minutatoqeǌa.a) U kadu na 1 cm dubine staje 6 litara vode. Sa grafiko-na proqitaj posle koliko vremena dubina vode u kadi iznosi12 cm.b) Kolika �e dubina vode biti u kadi posle 7 minuta?

3. Beraqi jabuka obrali su vo�ǌak povrxine 2 hektara za 15dana, rade�i dnevno po 8 sati. Beraqi se dogovore da drugi,isti toliki vo�ǌak (2 hektara), oberu za 10 dana. Za kolikosati moraju produ�iti radno vreme, da bi izvrxili plan?

4. Odredi x i y ako je x : y = 559

: 1313

i 3x − y = 39.

Grupa B)

1. Odredi du�inu du�i MN , ako je M(0,−4) i N(−5, 8).2. Ako za qeliqnu oprugu zakaqimo teg od 1 kg, opruga se izdu-

�i za 3 cm. Za svaki novi teg od 1 kg izdu�i se jox za 3 cm.Nacrtaj grafikon, tako da je na osi x oznaqena masa tega.a) Sa grafikona proqitaj koliko se izdu�i opruga ako se oka-qi masa od 3,5 kg.b) Urox je okaqio svoju torbu s kǌigama i opruga se izdu�ilaza 7,5 cm. Kolika je masa Uroxeve torbe s kǌigama?

3. U radionici za izradu �onova za 6 radnih dana napravilisu 714 pari �onova. Koliko �e pari �onova proizvesti istagrupa radnika za 17 radnih dana?

4. Komad legure od 312 kg dobijen je mexaǌem gvo��a i cinka urazmeri 7 : 5. Ako se za istu koliqinu legure upotrebi 20 %cinka vixe, za koliko treba smaǌiti koliqinu gvo��a?


Grupa V)

1. Odredi du�inu du�i AB, ako je A(5, 9) i B(−3, 3).

2. Loptica za tenis pada sa krova solitera, sa visine od 125 me-tara. U prvoj sekundi padne taqno 5 metara, a onda, u svakojslede�oj sekundi pada za 10 metara vixe nego u prethodnoj.Naqini tabelu i odgovaraju�i grafikon. Vreme padaǌa ozna-qi na x osi, a sa y obele�i visinu u metrima, tj. udaǉenostod tla. Sa grafikona proqitaj:a) Na kojoj je visini loptica posle 2,5 sekunde?b) Za koje vreme loptica padne do polovine visine?

3. Znamo da 6 radnika zavrxi odre�eni posao za 25 radnih dana.Koliko jox radnika treba zaposliti da bi posao bio zavrxenza 15 radnih dana?

4. Imamo 16 litara razbla�enog soka, koji smo dobili sipaǌemkoncentrovanog vo�nog sirupa u qistu vodu. Koliqine vode isirupa su u razmeri 5 : 3. Ako dolijemo jox 2 litara qistevode, u kojoj �e razmeri biti koliqine vode i koncentrovanogsirupa?

Grupa G)

1. Odredi du�inu du�i MN , ako je M(6,−8) i N(−9, 0).

2. Oǉa priprema kǌigu za xtampu rade�i 6 dana po tri satadnevno. Nacrtaj grafikon koji pokazuje zavisnost broja satidnevnog rada (y sati) od broja radnih dana (x dana). Sa gra-fikona proqitaj koliko sati dnevno treba da radi Oǉa, ako�eli da posao uradi za 9 dana.

3. U vo�ǌaku su xǉive i jabuke. Xǉiva ima 35 %, a jabuka imavixe za 24 stabala. Koliko je xǉiva u vo�ǌaku?

4. Koliko litara 40-procentnog rastvora sir�eta treba pome-xati sa 45 litara 75-procentnog rastvora sir�eta, ako semexaǌe vrxi u razmeri 8 : 15?


Grupa D)

1. Odredi du�inu du�i PQ, ako je P (−13, 4) i Q(7,−11).2. Tokom jednog dana merena je temperatura vazduha, na svaka

dva sata. Rezultati su uneti u tabelu.

x sati 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24u ◦ C 8 3 2 5 9 14 16 15 11 9 7 6

Nacrtaj odgovaraju�i grafikom. Sa grafikona proqitaj tem-peraturu u 11 qasova. U koliko je sati temperatura vazduhabila 10◦ C?

3. Xest traktora uzore ǌivu za 12 radnih dana. Za koliko bidana pre roka istu ǌivu uzoralo 8 traktora?

4. U leguri bronze, bakar i kalaj su pomexani u razmeri 11 : 7.Kolika je masa bronze, ako je pomexano 22,4 kg kalaja?

144 Krug

112. QAS

O krugu ukratko Obnavǉaǌe


Ciǉ Obnoviti poznate osobine kruga, radi pripreme iz izuqa-vaǌa novih pojmova.


Krug je jedna od najznaqajnijih ravnih figura. O krugu znajui ǉudi koji nisu uqili xkolu, a tokom istorije ǌime su se bavilinajve�i umovi.

Ponovimo o krugu sve xto smo ranije nauqili, poqev od defi-nicije. Posebno �emo ista�i pojmove: centar, polupreqnik, preq-nik, tetiva, luk, centralni ugao, tangenta, seqica. Istiqemo qiǌe-nice da je krug centralno i osno simetriqan, sa beskonaqno mnogoosa simetrije. Zatim, da svaki trougao i svaki pravilni mnogougaoimaju opisanu i upisanu kru�nicu. Sve to je navedeno u u�beniku(od 162. do 165. strane), i to prirodnim redosledom. Najva�nijeqiǌenice su posebno istaknute. To su qiǌenice koje uqenici trebada znaju, a ako su zaboravili, neka ih ponovo nauqe.

Posebno istiqemo sluqaj kad se dva kruga dodiruju, spoǉa(O1O2 = r1 + r2) i iznutra (O1O2 = |r1 − r2|). Ako je A dodirnataqka dva kruga, onda su taqke O1, O2 i A kolinearne.

Tokom izlagaǌa, nastavnik crta odgovaraju�e slike na xkol-skoj tabli, a uqenici u svojim sveskama.


Krug 145

113. QAS

Centralni i periferijski ugao Obrada


Ciǉ Uoqiti vezu izme�u centralnog i periferijskog ugla nadistom tetivom, pa utvrditi da je periferijski ugao nad preqnikomprav.


Koriste�i se podudarnox�u trouglova, najpre doka�emo da ukrugu (i u podudarnim krugovima) jednakim tetivama odgovarajujednaki centralni uglovi, a va�i i obrnuto (primer 1).

Zatim, definixemo periferijski ugao nad datim lukom (teti-vom) i pojam periferijskog i ǌemu odgovaraju�eg centralnog ugla.

Onda, doka�emo teoremu o periferijskom i centralnom uglu(strana 167.), pa reximo primere 2 i 3 (strana 168).

Zatim, istaknemo bitnu posledicu dokazane teoreme: ugao nadpreqnikom je prav. U vezi sa tim proqitamo (ispriqamo) priqu oAdamu Riseu (zeleni boks na 171. strani).

Onda, reximo primer 4 (strana 169), pa navedemo kako jete qiǌenice iskoristio arapski matemetiqar Abu Hasan (zeleniboks).

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4 i 6 sa 172. strane.

146 Krug

114. QAS

Centralni i periferijski ugao Uve�bavaǌe


Ciǉ Primene osobina centralnih i periferijskih uglova.

Osnovni tekstU�benik, 170. strana i Zbirka, od 111. do 116. strane.

Tok qasaPonovimo o centralnom i periferijskom uglu (definiciju i

odnose sa odgovaraju�im tetivama i lukovima), posebno teoremu otetivnom i centralnom uglu i uglu nad preqnikom.

Rexavamo zadatke iz zbirke: 616, 617, 619, 624, 627.Sa posebnom pa�ǌom rexavamo primere 5 i 6 (strana 170.

u u�beniku), uz nastojaǌe da uqenici sami (ili uz malu pomo�nastavnika) do�u do rexeǌa.

Uvodimo pojam tangentnih du�i iz date taqke na dati krug.Onda, rexavamo zadatke iz zbirke: 626, 630, 632, 634, 640.

Doma�i zadatak 618, 620, 622, 625, 629, 638, 649.

Krug 147

115. QAS

Uglovi u krugu Uve�bavaǌe


Ciǉ Proxiriti znaǌa o krugu (tetivni qetvorougao, tangentni

ugao), radi ve�eg anga�ovaǌa radoznalih uqenika.

Osnovni tekst U�benik, boksovi na 171. i 172. strani.

Tok qasaObnovimo odnos izme�u centralnog i odgovaraju�eg perife-

rijskog ugla, ugao nad preqnikom i o tangentnim du�ima. Onda,reximo zadatke: 623, 633, 643, 650.

Definixemo tetivni qetvorougao i postavimo zadatak: ”Akoje ABCD tetivni qetvorougao, izraqunaj β + δ”. (Videti zeleniboks na 171. strani.)

Uqenici samostalno dolaze do rexeǌa.Istiqemo da dobijeni zakǉuqak va�i za svaki tetivni qetvo-

rougao, ali da va�i i obrnuto. (Ako je zbir naspramnih uglovaqetvorougla jednak 180◦, oko qetvorougla se mo�e opisati krug.)

Reximo zadatak 5. iz Ve�be sa 172. strane.Definixemo (i nacrtamo) tangentni ugao (slika na 172. stra-

ni) i formulixemo zahtev:”Doka�i da je tangentni ugao koji odgovara tetivi AB jednak

periferijskom uglu koji odgovara toj tetivi”.Uqenici samostalno dokazuju tvr�eǌe.Reximo zadatak iz zelenog boksa na 172. strani.


148 Krug

116. QAS

Obim kruga Obrada


Ciǉ Pokazati da se obim kruga ne mo�e taqno odrediti i ukaza-ti da koliqnik O : 2r ima konstantnu, ali iracionalnu vrednost.


Nastavnik pripremi ”krojaqki metar” (traku od platna) i parokruglih predmeta, radi izvo�eǌa ogleda o obimu kruga.

Uqenike treba upoznati sa problemom mereǌa du�ine krivelinije i klasiqno nerexivim problemom mereǌa kruga. Zatim, kaoxto je opisano na 173. i 174. strani, koriste�i se Arhimedovomidejom upisivaǌa i opisivaǌa pravilnih mnogouglova, utvrdimo

da je 3 <O

2r< 3, 146. Zatim, definixemo broj π =

O

2ri istaknemo

ǌegovu iracionalnost. Navedemo da se najqex�e koriste pribli-

�ne vrednosti: 3,14 i227

i reximo primer 1.Onda, navedemo primere eksperimenata opisanih na 175. stra-

ni u�benika, pa na qasu izvedemo jox neki sliqan eksperiment,koriste�i se donetim ”krojaqkim metrom”.

Poka�emo kako se pamti π ≈ 3, 14159 . . . . (obojeni tekst pri dnu175. strane).

Rexavamo Ve�be 1, 2, 3 sa strane 176.

Doma�i zadatak 656 a), b), 657 a), b), 659.

Krug 149

117. QAS

Obim kruga Uve�bavaǌe


Ciǉ Koristiti razliqite pribli�ne vrednosti broja π. Prime-na na opisane i upisane kru�nice mnogouglova.


Ponovimo ukratko priqu o mereǌu kruga i formulu za obim.Uqenici navedu nekoliko pribli�nih vrednosti broja π. (Videtitekst Ukratko na 116. strani.)

Rexavamo zadatke 656 v), d), �), 657 v), 660.Zatim, upoznajemo obim polukruga (pola kru�nice plus preq-

nik) i rexavamo zadatke: 658 a) i 659 b).Onda merimo opisane i upisane kru�nice poznatih mnogouglo-

va. Rexavamo zadatke: 666 a) i 667 b), 670.

Doma�i zadatak 656 g), 658 b), v), 661, 663, 666 v), 667 a), 669.

150 Krug

118. QAS

Broj π Obrada

Frontalni rad Monoloxka metoda

Ciǉ Ista�i znaqaj broja π u praksi i u razvoju nauke.


Obnoviti o mereǌu obima kruga, o definiciji broja π i ǌe-govim pribli�nim vrednostima. Treba prepriqati ili proqitatitekst iz u�benika, jer, jedan xkolski qas je najmaǌe xto mo�emouqiniti da istaknemo veliku ulogu broja π u prirodi i nauci.

Pored navedenih primera, mogu se ista�i jox neka pojavǉiva-ǌa broja π. Na primer, g = 9, 81 . . . je iz fizike poznata gravitacija,a√

g = 3, 13 . . . ≈ π.Mo�emo ispriqati i neku anegdotu.Na primer: ”Na Aǉasci je vrlo hladno, a na hladno�i se sve

skupǉa, pa je tamo π = 3”. (To je tzv. ”eskimsko π”.)Zanimǉivo je da je 1897. godine skupxtina ameriqke dr�ave

Indijane (radi jednostavnijih izraqunavaǌa) donela zakon po ko-me broj π iznosi taqno 4.

Krug 151

119. QAS

Du�ina kru�nog luka Obrada


Ciǉ Izraqunavaǌe du�ine i obima figura koje su delom ogra-niqene kru�nim lukovima.


Ponovimo osobinu da jedanakim centralnim uglovima odgova-raju jednaki kru�ni lukovi, i obrnuto.

Zatim, podsetimo se koje mere imaju uglovi kojima odgovara:polukru�nica, cela kru�nica i qetvrtina kru�nice. Kao xto jeopisano na 179. strani u�benika, izvedemo zakǉuqak da su du�inakru�nog luka i veliqina odgovaraju�eg centralnog ugla direktnoproporcionalne.

Kao xto smo uqili u odeǉku 5. 6, uqenici izvedu formulu zadu�inu kru�nog luka (strana 179. u u�beniku).

Rexavamo redom primere od 1. do 5.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4 na 181. i 182. strani.

152 Krug

120. QAS

Du�ina kru�nog luka Uve�bavaǌe


Ciǉ Primene formule za du�inu kru�nog luka.


Ponovimo odnose izme�u du�ine kru�nog luka i du�ine odgo-varaju�eg centralnog ugla i formulu za du�inu luka. Obnovimo ivezu izme�u centralnog i periferijskog ugla.

Rexavamo zadatke iz zbirke: 676 a), b), v), 677 b), v), 678 g),682, 685.

Doma�i zadatak 677 a), 678 b), 680 b), g), 684, 686.

Krug 153

121. QAS

Povrxina kruga Obrada


Ciǉ Pribli�no izraqunavaǌe povrxine kruga.


Obnovimo o izraqunavaǌu obima kruga, o problemima koje stva-ra kriva kru�na linija i pojam broja π. Podsetimo se na pribli-�ne vrednosti broja π.

Zatim, nastavnik definixe problem poznat kao problem kva-drature kruga i naglasi da je dokazano da je ovo nerexiv problem,pa povrxinu kruga, kao i obim, raqunamo pribli�no.

Koriste�i se idejom indijskog matematiqara Bhaskare iz XIIveka, nastavnik prika�e kako se dolazi do formule P = r2π. (Vi-deti 183, stranu u u�beniku).

Zatim, rexavamo primere 1, 2, 3, 4, 5.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, 5 sa 186. strane.

154 Krug

122. QAS

Povrxina kruga Uve�bavaǌe


Ciǉ Primene formule za povrxinu kruga.


Ponovimo formulu P = r2π, pa rexavamo zadatke iz zbirke:691 a), v), d), 692 v), 693 a), �), 694 a), 695 b).

Rexavamo primer 6 sa 184. strane u�benika i uvodimo pojamkru�nog prstena. Onda, reximo zadatak 703 a) i b).

Zatim, reximo zadatke: 696 a), g), 697 b), 700 a).

Doma�i zadatak 696 d), 697 g), 698, 699 a), 704, 708.

Krug 155

123. QAS

Krug Sistematizovaǌe


Ciǉ Sistematizovaǌe i diferenciraǌe znaǌa uqenika u vezi sakrugom.

Tok qasaUobiqajen naqin rada sa homogenim grupama, detaǉno opisan

u pripremi 77. qasa.Predlog izbora zadataka u tri nivoa, sa pripremǉenim listi-

�ima.

A: 621, 639, 662, 681, 699 b).

B: 642, 652, 671, 683, 701.

V: 654, 645, 674, 687, 709.

Doma�i zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni za-daci”, osma kontrolna ve�ba.

156 Krug

124. QAS

Osma kontrolna ve�ba (krug) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Prema podacima sa slike dole levo odredi nepoznate uglove�x i �y. Obrazlo�i!

2. Tetiva AB du�ine 12 cm deli kru�nu liniju na dva nejed-naka dela. Kolika je du�ina ve�eg od dva luka, ako je ABCjednakostraniqni trougao upisan u datu kru�nicu. (π = 3, 14)

3. Na krugu polupreqnika 6 cm dat je luk du�ine 7,536 cm. Od-redi periferijski ugao β, koji odgovara ovom luku.

4. Povrxina kru�nog prstena je 263,76 cm2. Ve�i polupreqnikje 12,5 cm. Koliki je maǌi polupreqnik?

Grupa B)

1. Prema podacima sa slike gore desno odredi nepoznate uglove�x i �y. Obrazlo�i!

2. Oko trougla ABC opisana je kru�nica. Nad stranicama AB,BC, CA du�ine lukova su redom 41,88 cm, 83,76 cm i 62,82 cm.Odredi unutraxǌe uglove trougla ABC. (π = 3, 141).

3. Koliki je preqnik kruga u kome luku du�ine 78,5 cm odgovaraperiferijski ugao 22◦30′? (π = 3, 14).

4. Obim kruga se pove�ao za 30 %. Za koliko je procenata pove-�ana povrxina kruga?

Krug 157

Grupa V)

1. Prema podacima sa slike dole levo odredi nepoznate uglove�x i �y. Obrazlo�i!

2. Oko kvadrata KLMN opisana je kru�nica. Stranica KL, du-�ine 10 cm, deli kru�nicu na dva luka. Kolika je du�inamaǌeg luka?

3. Obim kruga je 43,96 cm. Koliki luk odgovara centralnom ugluod 43◦12′?

4. Maǌi polupreqnik kru�nog prstena je du�ine 2√

7 cm. Akoje povrxina kru�nog prstena 65,94 cm2, odredi du�inu ve�egpolupreqnika. (π = 3, 14;

√7 = 2, 65).

Grupa G)

1. Trougao ABC na slici gore desno je jednakostraniqni. Odre-di nepoznate uglove �x i �y. Obrazlo�i!

2. Oko trougla MNP opisan je krug. Kru�ni luk nad stranicomMN predstavǉa dve petine obima kruga, a luk nad stranicomMP je tri osmine obima. Odredi unutraxǌi ugao trouglaMNP kod temena M .

3. Na krugu preqnika 9 cm dat je luk du�ine 16,656 cm. Kolikicentralni ugao odgovara ovom luku? (π = 3, 14).

4. Povrxina kruga se smaǌila za 64 %. Za koliko se procenatasmaǌio ǌegov obim?

158 Krug

Grupa D)

1. Xestougao ABCDEF na slici dole je pravilan. Odredi ne-poznate uglove �x i �y. Obrazlo�i!

2. Oko pravilnog xestougla stranice 15 cm opisana je kru�ni-ca. Stranica AB deli kru�nicu na dva luka. Odredi du�inumaǌeg luka. (π = 3, 14).

3. U krugu polupreqnika 12 cm dat je periferijski ugao 37◦30′.Odredi du�inu luka koji odgovara datom uglu. (π = 3, 14).

4. Izraqunaj povrxinu polukruga kome je obim 25,705 dm. Raqu-naj π na tri decimale.

Krug 159

125. QAS

Povrxina kru�nog iseqka Obrada


Ciǉ Izraqunavaǌe povrxina delova kru�ne povrxi.


Tok qasaKru�ni iseqak je deo kru�ne povrxi zahva�en sa dva polupreq-

nika. Sliqno kru�nom luku, zakǉuqujemo da su povrxina iseqka iogovaraju�i centralni ugao direktno proporcionalne veliqine.

Koriste�i se ovim zapa�aǌem, uqenici samostalno izvode for-mulu za povrxinu iseqka:

Pi =r2πα

360. (Videti 186. stranu u�benika.)

Zatim, rexavamo primere 1 i 2.Nastavnik postavi zadatak: ”Odredi vezu izme�u du�ine luka

i povrxine iseqka”.Kao xto je opisano na 187. strani, dobijamo

Pi =r · l2

.

Onda, reximo primer 3.Zatim, reximo primer 4. Tamno plavo obojenu figuru na slici

nazivamo kru�ni odseqak. ǋegova povrxina, kao xto je objaxǌenona 188. strani je

P0 = Pi − P�Reximo i primer 5.

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4, 5, 6 na strani 189.

160 Krug

126. QAS

Povrxina kru�nog iseqka Uve�bavaǌe


Ciǉ Kombinovaǌe raznih formula vezanih za mereǌa u krugu.


Ponovimo definicije kru�nog iseqka i kru�nog odseqka i for-mule za ǌihove povrxine (tekst Ukratko 124. strana).

Rexavamo zadatke iz Zbirke 711 a), g), 712, 713, 715, 717, 720.

Doma�i zadatak 714, 716, 718, 723.

Sliqnost 161

127. QAS

Proporcionalne veliqine Obrada


Ciǉ Prouqavaǌe produ�enih proporcija.

Osnovni tekst U�benik, od 190. do 194. strane.

Tok qasaPonovimo definiciju proporcije i ǌene osobine. Posebno na-

glasimo osobinu:

Izy1

x1=

y2

x2= k, sledi y1 = kx1 i y2 = kx2.

Dakle, proporcija predstavǉa jednakost dve jednake razmere.Uvodimo pojam produ�ene proporcije, koja predstavǉa jedna-

kost vixe od dve jednake razmere:y1

x1=

y2

x2=

y3

x3=

y4

x4= k,

odakle je: y1 = kx1, y2 = kx2, y3 = kx3, y4 = kx4.Dogovoreno je da se produ�ena proporcija zapisuje i kao

y1 : y2 : y3 : y4 = x1 : x2 : x3 : x4 (vidi 191. stranu u u�beniku).Rexavamo primere 1 i 2.Zatim, rexavamo problem kako se iz obiqnih proporcija do-

bija produ�ena proporcija. U tom ciǉu reximo primer 3.Zatim, reximo i primer 4, pa definixemo razmeru du�i, kao

xto je opisano na 193. strani.


162 Sliqnost

128. QAS

Proporcionalne veliqine Uve�bavaǌe


Ciǉ Primene produ�enih proporcija

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 127. i 128. strana.

Parove qine uqenici koji sede u istoj klupi. Radimo na naqinuobiqajen za rad u parovima.

Ponovimo definicije i osobine proporcija i produ�enih pro-porcija. (Tekst Ukratko, strana 127.) Sliqno obiqnoj proporciji,za produ�ene proporcije va�i osobina:

Iz a : b : c = m : n : p, sledi

(a + b + c) : (m + n + p) = a : m = b : n = c : p.

Ponovimo definiciju razmere dve du�i.Rexavamo zadatke iz zbirke: 726, 727, 729, 731, 733, 735.

Doma�i zadatak 728, 730, 732, 734.

Pismeni zadatak 163

129. QAS

Priprema za qetvrti pismeni zadatak Obnavǉaǌe


Ciǉ Sistematizovaǌe znaǌa iz druge polovine drugog polugo-dixta.

Tok qasaNa uobiqajan naqin, opisan u pripremi za 38. qas, nastavnik

odabira teme i zadatke, sa ciǉem da uqenike usmeri da se dobropripreme za qetvrti pismeni zadatak. Ovaj qas se mo�e bitno raz-liqito organizovati i u dva paralelna odeǉka sedmog razreda,shodno sastavu odeǉeǌa i kvalitetu znaǌa uqenika.

Doma�i zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni za-daci”, qetvrti pismeni zadatak.

164 Pismeni zadatak

130. QAS

Qetvrti pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Sa jednim �akom cementa izmexa se 0,45 m3 betona. Koli-ko kilograma cementa treba za betoniraǌe ploqe zapremine2,34 m3? U jednom �aku ima 50 kg cementa.

2. Spoǉaxǌi uglovi trougla ABC zadovoǉavaju uslove

α1 : β1 = 2 : 3 i α1 : γ1 = 3 : 5.

Odredi unutraxǌe uglove trougla ABC.

3. U kru�nicu je upisan trapez sa osnovicama AB i CD. Ako jeBC = 15 cm, koliko je AD?

4. Kru�nom iseqku povrxine 1256

cm2 odgovara luk du�ine 713

cm.

odredi centralni ugao iseqka i polupreqnik kruga.(

π =227

)5. Taqka O je centar kruga, a taqka S je sredixte preqnika po-

lukruga na slici. Izraqunaj povrxinu i obim polumeseca,osenqenog na slici. (π = 3, 14).

Pismeni zadatak 165

Grupa B)

1. Jasmina je proxlog meseca dobro radila i zaradila 15 % vi-xe od redovne plate, pa je primila 55200 dinara. Ovog mesecaje podbacila normu i primila 6000 dinara maǌe od redovneplate. Da li je Jasmina za posledǌa dva meseca zaradila vi-xe ili maǌe od redovne plate?

2. Aca, Branka i Vera uplatili su redom 6, 10 i 9 kombinacijaigre LOTO. Dogovorili su se da ukupan iznos nagrade podeledirektno srazmerna broju upla�enih kombinacija. Dobili sunagradu u iznosu od 30750 dinara. Kako su podelili novac?

3. Na datu kru�nicu iz taqke A povuqene su tangente AB i AC,koje se seku pod uglom od 45◦. Koliki je �ABC?

4. Centralnom uglu od 67◦30′ odgovara luk du�ine 14,13 dm. Ko-lika je povrxina odgovaraju�eg iseqaka? (π = 3, 14).

5. Izraqunaj povrxinu i obim osenqene figure na slici levo.

Grupa V)

1. Aca je meǌao evre za dolare. Za 155 evra dobio je 217 dola-ra. Mixa je meǌao 350 dolara za evre. Koliko je evra dobioMixa?

2. Napravǉena je legura od bakra, gvo��a i kalaja, koji su pome-xani u produ�enoj razmeri 6 : 11 : 9. Gvo��a je upotrebǉenoza 5 kg vixe nego kalaja. Koliko je legure pripremǉeno?

3. U oxtrouglom trouglu ABC du�i AM i BN su visine. Doka-�i da se oko qetvorougla ABMN mo�e opisati kru�nica.

4. U jednom krugu luku du�ine 18,8 cm odgovara iseqak povrxi-ne 56,52 cm2. Koliki je periferijski ugao nad ovim lukom?(π = 3, 14).

5. Trougao na slici gore desno je jednakostraniqan. Izraqunajpovrxinu i obim osenqene figure.

166 Pismeni zadatak

Grupa G)

1. Osam radnika je istovarilo ugaǉ iz vagona za 9 sati. Slede�enedeǉe ista koliqina ugǉa mora biti istovarena za 6 sati.Koliko novih radnika treba anga�ovati slede�e nedeǉe?

2. Odredi a, b i c iz uslova:a

8=

b

5,

a

6=

c

5i a + b − c = 38.

3. Iz taqke P konstruisane su tangente PM i PN na kru�nicusa centrom C. Doka�i da je MN normalno na CP .

4. Kru�nom iseqku povrxine 45,216 cm2 odgovara periferijskiugao od 40◦30′. Kolika je du�ina odgovaraju�eg luka? (π =3, 14).

5. Xestougao na slici dole levo je pravilan. Izraqunaj povr-xinu osenqene figure.

Grupa D)

1. Jedna brigada planirala je da ugovoreni posao zavrxi za 25dana. Me�utim, posle 5 dana rada, uvideli su da �e kasni-ti celih 10 dana, ako do kraja budu radili 6 sati dnevno,kao xto su qinili do sada. Za koliko sati moraju produ�itiradno vreme, da bi posao zavrxili u ugovorenom roku?

2. Odredi x, y i z iz uslova: x + y + z = 205, x : z = 4 : 9 iy : z = 5 : 6.

3. Du� AB je preqnik date kru�nice. Ako je C taqka u krugu,van du�i AB, doka�i da je ugao �ACB tup.

4. U jednakostraniqniqni trougao upisana je kru�nica obima18,84 cm. Kolika je povrxina opisanog kruga? (π = 3, 14).

5. Polupreqnici krugova na slici gore desno su du�ina 6 cm i9 cm. Izraqunaj obim i povrxinu osenqenog dela.

Pismeni zadatak 167

131. QAS



Ciǉ Ukazivaǌe na sistemske i pojedinaqne karakteristiqne gre-xke, uz pouku.

Tok qasaNastavnik javno analizira postignute rezultate. Ukoliko je

bilo masovnih grexaka, ukazuje na ǌih i na potrebu i naqin is-pravǉaǌa grexaka. Zatim, istiqe i druge karakteristiqne pojedi-naqne grexke, ne imenuju�i ko ih je naqinio.

Pohvala daje pozitivne i blagotvorne efekte, pa treba isko-ristiti svaku priliku da se neke pozitivne qiǌenice istaknu iuqenici pohvale.

Onda se komentari ilustruju rexavaǌem zadataka na xkolskojtabli. Treba rexiti svih pet zadataka, koje biramo iz raznih gru-pa.

168 Sliqnost

132. QAS

Sliqni trouglovi Obrada


Ciǉ Definisa�emo sliqne trouglove, kao trouglove sa jednakimparovima odgovaraju�ih unutraxǌih uglova.


Posmatramo figure kao na slici u u�beniku (194. strani).(Dobro je da sliqne slike nastavnik pripremi ili ima sliqnefigure u svom kabinetu). Uoqavamo koje figure upadǉive liqe.Kao xto je opisano u u�beniku na 194. i 195. strani, zakǉuqimo dao sliqnosti figure (trouglova) odluquju unutraxǌi uglovi.

Na osnovu ovih zapa�aǌa definixemo sliqne trouglove, kaoxto je opisano i naglaxeno na 195. strani.

Rexavaju�i redom primere 1 i 2 zakǉuqimo da su odgovara-ju�e stranice sliqnih trouglova proporcionalne (196. strana).

Zatim, rexavamo primer 3.Na osnovu osobina jednakosti utvrdimo da iz

�A1B1C1 ∼ �A2B2C2 i �A2B2C2 ∼ �A3B3C3,

sledi da je i

�A1B1C1 ∼ �A3B3C3.

Zatim, na osnovu zbira unutraxǌih uglova u trouglu, utvrdi-mo da su dva trougla sliqna ako imaju jedaka dva para odgovaraju�ihunutraxǌih uglova, na primer, ako je α = α1 i β = β1.

Daǉe, rexavamo primer 4, 5 i 6.

Doma�i zadatak Ve�ba 1, 2, 3 sa strana 198. i 199.

Sliqnost 169

133. QAS

Sliqni trouglovi Uve�bavaǌe


Ciǉ Daǉe prouqavaǌe osobina sliqnih trouglova.


Ponovimo definiciju sliqnih trouglova i teoremu o sliqnimtrouglovima (prvi stav sliqnosti). Zatim, ponovimo osobine dasu odgovaraju�e stranice sliqnih trouglova proporcionalne.

(Vidi tekst Ukratko sa 128. i 129. strane.)Onda, rexavamo zadatke iz zbirke: 736, 737, 738, 739, 740, 741.

Doma�i zadatak 742, 745, 746, 747.

170 Sliqnost

134. QAS

Sliqni trouglovi Uve�bavaǌe


Ciǉ Prepoznavaǌe sliqnih trouglova.


Parove qine uqenici koji sede u istim klupama. Radimo nanaqin uobiqajen za rad u parovima.

Ponovimo definiciju sliqnih trouglova i ǌihove osobine.Zatim, rexavamo zadatke iz zbirke: 742, 743, 744, 747, 748,

749, 752, 753.

Doma�i zadatak 750, 751, 754, 755.

Sliqnost 171

135. QAS

Primene sliqnosti Obrada


Ciǉ Povezati paralelnost i sliqnost.


Podsetimo se da su dva ugla sa paralelnim kracima jednaki,ako su oba oxtra, oba tupa ili oba prava. To nam ukazuje da para-lelnost stranica i sliqnost trougla mogu da se ukrste.

Nacrtamo ugao pOq i preseqemo ǌegove krake sa dve paralelneprave a i b, kao xto je prikazano u u�beniku na 199. strani. Uqeni-ci lako uoqe sliqne trouglove OAA1 i OBB1, pa izvuku zakǉuqak oproporcionalnosti odgovaraju�ih odseqaka (poznata Talesova te-orema, koju treba neobavezno pomenuti na qasu.)

Nastavnik ispriqa legendu o Talesu i quvenom mereǌu visineKeopsove piramide uz pomo� senke.

(Videte tekst na 199. strani.)Onda, rexavamo primer 1 sa 200. strane, koriste�i se sliq-

nom idejom.Rexavaǌem primera 2 pokaza�emo kako se uz pomo� sliqnih

trouglova mogu izmeriti du�ine mnogih nedostupnih du�i (obje-kata).

Zatim, reximo klasiqne geometrijske zadatke, istaknute u pri-merima 3, 4 i 5 (strana 201. i 202.)

Doma�i zadatak Ve�be 1, 2, 3, 4 na 202. strani.

172 Sliqnost

136. QAS

Primena sliqnosti Uve�bavaǌe


Ciǉ Uoqimo sliqne figure u okru�eǌu i iskoristiti osobinekoje su posledice sliqnosti.


Ponovimo zakǉuqak o proporcionalnim odseqcima izme�u pa-ralelnih pravih – Talesovu teoremu. (Tekst Ukratko na 131. stra-ni.)

Reximo, zatim, nekoliko zadataka sa uglovima, du�ima i tro-uglovima, u kojim primenimo ovu teoremu. To su zadaci: 756, 758,759, 761, 762.

Zatim, reximo zadatke u kojima dolazi do primene sliqnostiu naxem prirodnom okru�eǌu. Rexavamo zadatke 765, 768 i 769.

Doma�i zadatak 757, 760, 763, 764, 770.

Sliqnost 173

137. QAS

Sliqnost Sistematizovaǌe


Ciǉ Obnoviti karakteristiqne probleme iz sliqnosti i prime-ne sliqnosti.

Tok qasaNehomogene grupe formiraju se na uobiqajeni naqin, od uqe-

nika iz dve susedne klupe.Odabrane zadatke rexavamo na mestu i na xkolskoj tabli, kao

xto inaqe qinimo u radu sa nehomogenim grupama. Izbor zadataka,koji najvixe zavisi od koliqine usvojenih znaǌa uqenika (razli-qito od odeǉeǌa, do odeǉeǌa), ovog puta treba da bude izvrxenpa�ǉivije nego inaqe. Trebalo bi ponuditi zanimǉivije zadat-ke, imaju�i na umu qiǌenicu da se xkolska godina zavrxava, painteresovaǌe uqenika opada.

Doma�i zadatak RADNA SVESKA ”kontrolni i pismeni za-daci”, deveta kontrolna ve�ba.

174 Sliqnost

138. QAS

Deveta kontrolna ve�ba(krug, sliqnost) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Oko pravouglog trougla ABC, sa katetama AC = 1 dm i BC =24 cm, opisana je kru�nica. Taqka C deli luk ̂ACB u razmeri1 : 3. Izraqunaj povrxinu kru�nog odseqka odre�enog katetomBC. (π = 3, 14)

2. Ako je a : b : c = 213

: 556

: 312

i 3c − b = 18, odredi a, b i c.

3. Pravougli trouglovi ABC i A1B1C1 su sliqni. Pravi uglo-vi su �C = �C1 = 90◦. Preqnik opisanog kruga trougla ABCje du�ine 6 dm. Ako je B1C1 = 3 dm i polupreqnik opisanogkruga trougla A1B1C1 je 25 cm, odredi stranice trougla ABC.

4. Nacrtaj du� MN = 7 cm, pa na ǌoj odredi taqke P i Q, takoda je MP : PQ : QN = 2 : 5 : 4.

Grupa B)

1. U krug preqnika 4 cm upisan je pravougaonik KLMN , tako dataqka L deli luk ̂KLM u razmeri 2 : 1. Izraqunaj povrxinuodseqka kojeg na krugu odre�uje maǌa stranica pravougaonika(π = 3, 14).

2. Odredi x, y i z, ako je x : y : z = 0, 75 : 1, 25 : 1, 5 i x+y +z = 42.

3. Stranice trougla ABC su a = 21 cm, b = 35 cm i c = 28 cm, aobim sliqnog trougla A1B1C1 je 48 cm. Odredi du�ine stra-nica trougla A1B1C1.

4. Jedno drvo na ravnom terenu ima senku du�ine 21 metar. Isto-vremeno, vertikalno postavǉen xtap du�ine metar i po, bacasenku du�ine 140 cm. Koliko je visoko drvo?

Sliqnost 175

Grupa V)

1. U krugu preqnika 1 dm upisan je jednakokraki trougao sauglom kod vrha �BAC = 45◦. Kolika je povrxina odseqka kojegna krugu odre�uje osnovica sa maǌim odgovaraju�im lukom?(π = 3, 14).

2. Ako je a : b : c = 3, 5 : 212

: 4 i a + b + c = 30, odredi a, b i c.

3. Trouglovi ABC i A1B1C1 sliqni su i �C = �C1 = 90◦. Trou-gao ABC, kome je kateta AC = 14 cm, upisan je u krug preqnika5 dm. Polupreqnik opisanog kruga trougla A1B1C1 je du�ine40 cm. Odredi du�ine stranica trougla A1B1C1.

4. Du� AB na slici je du�ine 9 cm. Odredi du�ine du�i x = PDi y = CP .

Grupa G)

1. Oko xestougla ABCDEF povrxine 24√

3 cm2 opisana je kru-�nica. Izraqunaj povrxinu maǌeg od dva odseqka, kojeg od-re�uje dijagonala AC.

2. Odredi x, y i z, ako je 2x : 4y : 5z = 9 : 14 : 25 i x + y + z = 39.3. Trougao A1B1C1 ima stranice: a1 = 18 cm, b1 = 3 dm i c1 =

16 cm. Najdu�a stranica ǌemu sliqnog trougla ABC je 12 cm.Odredi stranice trougla ABC.

4. Doka�i da su sliqni trouglovi KLM i RST na slici.

176 Sliqnost

Grupa D)

1. Izraqunaj povrxinu kru�nog iseqka odre�enog lukom du�ine10,99 cm, kome odgovara periferijski ugao 52◦30′. (π = 3, 14).

2. Odredi m, n i p ako jem

2:n

3:z

4= 7 : 6 : 5 i m + n + z = 39.

3. Trouglovi ABC i A1B1C1 su sliqni. Stranice trougla ABCsu a = 12 cm, b = 6 cm i c = 10 cm. Odredi du�ine stranicatrougla A1B1C1 ako je B1C1 − A1C1 = 15 cm.

4. Odredi du�inu du�i x = RS na slici.

Sliqnost 177

139. QAS

Sliqnost Obnavǉaǌe


CiǉOd 139. do (eventualno) 146. qasa plan rada �emo praviti u

hodu, zavisno od kalendara, uklapaǌa ovolikog broja qasova, kaoi od nivoa znaǌa svakog odeǉeǌa posebno.

Na konaqan plan rada mo�e bitno uticati i potreba da se iz-vrxi poneka naknadna (usmena) kontrola znaǌa.

Ukoliko bude mogu�e obnavǉaǌe gradiva, kao xto je ovde pred-lo�eno (od 139. do 142 qasa), onda to treba uqiniti u ciǉu upu�i-vaǌa uqenika na pojmove bitne za nastavak izuqavaǌa matematike.

Do kraja planiramo obnavǉaǌe gradiva.

140. qas O krugu Rad u parovima

141. qas Polinomi Rad u parovima

142. qas Realni brojevi Rad u parovima

143. qas Rezervni qas

144. qas Rezervni qas

metodicki prirucnik 7 razred

Documents