przyk‚adowe zadania z rozwi…zaniami

Download Przyk‚adowe zadania z rozwi…zaniami

Post on 11-Jan-2017

241 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Przykadowe zadania z matematyki

    na poziomie rozszerzonym

    wraz z rozwizaniami

    Zadanie 1. (0-1)

    Funkcja okrelona wzorem ( ) 3 4f x x= dla wszystkich liczb rzeczywistych

    A. nie ma miejsc zerowych. B. ma dokadnie jedno miejsce zerowe. C. ma dokadnie dwa miejsca zerowe. D. ma wicej ni dwa miejsca zerowe. Rozwizanie: C

    Zadanie 2. (0-3)

    Niech 21

    log 7m = . Wyka, e ( )

    7

    3 1log 27

    m

    m

    = .

    Rozwizanie (I sposb)

    Zauwamy, e 7

    21

    1 1log 21

    log 7 m= = .

    Zatem

    ( )37 7 7 7 7 721 1 1

    log 27 log 3 3log 3 3log 3 log 21 log 7 3 1 37

    m

    m m

    = = = = = =

    .

    To koczy dowd. Rozwizanie (II sposb) Zauwaamy, e ( )

    ( ) ( ) 37 7 7 7 7 73 1 1 21

    3 1 3 log 21 1 3 log 21 log 7 3log log 3 log 277

    m

    m m

    = = = = = =

    ,

    co koczy dowd.

    Zadanie 3. (0-2)

    Oblicz najmniejsz liczb naturaln n speniajc nierwno 2 10 2 13 1 3 30

    n

    n

    oraz 1a b+ = , to 1

    4ab .

    Rozwizanie (I sposb) Korzystamy z nierwnoci midzy redni arytmetyczn i geometryczn:

    1

    2 2

    a bab

    + = ,

    czyli 1

    4ab .

    To koczy dowd. Rozwizanie (II sposb)

    Z zaoenia mamy 1b a= . Przeksztacamy nierwno 1

    4ab w sposb rwnowany

    ( )1

    14

    a a ,

    2 10

    4a a + ,

    2

    10

    2a

    .

    Ta nierwno jest prawdziwa. To koczy dowd. Rozwizanie (III sposb)

    Oznaczmy: 1

    2a x= + ,

    1

    2b x= . Wwczas

    21 1 1 1

    2 2 4 4ab x x x

    = + =

    ,

    co koczy dowd.

    Zadanie 8. (0-5)

    Wyznacz wszystkie wartoci parametru m, dla ktrych funkcja f okrelona wzorem

    ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2f x m x m x= + przyjmuje wartoci dodatnie dla kadej liczby rzeczywistej.

  • Rozwizanie Funkcja ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2f x m x m x= + w zalenoci od parametru m jest liniowa lub kwadratowa. Rozwamy dwa przypadki: 1. Gdy 2 1 0m = , to funkcja f jest liniowa.

    1. Dla 1m = funkcja ma wzr ( ) 4 2f x x= + , wic 1m = nie spenia

    warunkw zadania. 2. Dla 1m= funkcja ma wzr ( ) 2f x = , wic 1m= spenia warunki zadania.

    2. Gdy 2 1 0m , to funkcja f jest kwadratowa. Funkcja kwadratowa przyjmuje wartoci dodatnie dla kadej liczby rzeczywistej x, gdy parabola bdca jej wykresem ley w caoci nad osi Ox. Funkcja ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2f x m x m x= + ma t wasno, kiedy zachodz warunki:

    1. 2 1 0m > , 2. 0 < .

    Pierwszy warunek jest speniony dla ( ) ( ), 1 1,m + .

    Warunek 0 < jest speniony, gdy

    ( ) ( )2 2

    4 1 8 1 0m m < ,

    ( ) ( ) ( )2

    1 2 1 1 0m m m + < ,

    ( )( )1 1 2 2 0m m m < ,

    ( ) ( )1 3 0m m < ,

    ( ) ( )1 3 0m m + < ,

    ( ) ( ), 3 1,m + .

    Zatem funkcja kwadratowa przyjmuje wartoci dodatnie dla ( ) ( ), 3 1,m + .

    Uwzgldniajc oba przypadki, otrzymujemy ( ) ), 3 1,m + .

    Zadanie 9. (0-1)

    Granica 3

    5lim

    3x

    x

    x

    +

    jest rwna

    A. B. 0 C. 6 D. + Rozwizanie : A

    Zadanie 10. (0-2)

    Oblicz ( )

    3

    3

    2 3lim

    1 4n

    n n

    n

    +

    .

    Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinicia dziesitnego otrzymanego wyniku. Rozwizanie

  • Obliczamy granic ( )

    3

    3 2

    3 3

    3

    32

    2 3 1lim lim 0,03125

    321 4 14

    n n

    n

    n n n

    n

    n

    n

    + + = = =

    .

    Poniewa 1

    0,0312532

    = , wic naley zakodowa cyfry: 0, 3, 1.

    Zadanie 11. (0-2)

    Dany jest nieskoczony cig geometryczny ( )na o wyrazach dodatnich taki, e

    1

    3

    4a = ,

    3

    1

    3a = . Oblicz sum wszystkich wyrazw tego cigu.

    Rozwizanie

    Pierwszy wyraz i trzeci wyraz tego cigu s odpowiednio rwne: 1

    3

    4a = ,

    3

    1

    3a = .

    Poniewa 23 1a a q= , std 2 3

    1

    4

    9

    aq

    a= = . Zatem

    2

    3q = lub

    2

    3q = . Wyrazy cigu s

    dodatnie, wic 2

    3q = . Poniewa

    21

    3q = < , wic

    1

    3

    3 3 94

    21 4 1 41

    3

    aS

    q= = = =

    .

    Suma S wszystkich wyrazw nieskoczonego cigu geometrycznego ( )na o wyrazach

    dodatnich jest rwna: 9

    4S = .

    Zadanie 12. (0-2)

    Dana jest funkcja f okrelona wzorem 4

    2

    2 15( )

    6

    xf x

    x

    +

    =

    dla wszystkich liczb rzeczywistych

    x, takich e 6x i 6x . Oblicz warto pochodnej tej funkcji w punkcie 1x = . Zakoduj cyfr jednoci i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinicia dziesitnego obliczonego wyniku. Rozwizanie Obliczamy pochodn:

  • ( )( ) ( ) ( )( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )( )

    ( )

    4 2 4 2

    22

    3 2 4 4 2

    2 22 2

    2

    2 15 6 2 15 6

    6

    8 6 2 2 15 2 2 24 15,

    6 6

    2 2 24 15 2 37 741 2,96.

    25 255

    x x x xf x

    x

    x x x x x x x

    x x

    f

    + +

    = =

    + + + +

    = =

    + + = = = =

    Naley zakodowa cyfry: 2, 9, 6.

    Zadanie 13. (0-3)

    Dana jest funkcja f okrelona wzorem ( ) 34 2 1f x x x= + dla wszystkich liczb rzeczywistych. Uzasadnij, e prosta l o rwnaniu 10 9 0x y + = jest styczna do wykresu

    funkcji f. Rozwizanie Zapisujemy rwnanie prostej l w postaci kierunkowej 10 9y x= + .

    Wyznaczamy pochodn funkcji f: ( ) 212 2f x x = .

    Zauwaamy, e dla 1x = oraz dla 1x = pochodna funkcji f ma warto 10 i rwna si wspczynnikowi kierunkowemu prostej l. Obliczamy warto funkcji f w punkcie 1x = : ( )1 1f = oraz w punkcie 1x = :

    ( )1 3f = .

    Punkt o wsprzdnych ( )1, 1 ley na prostej l, natomiast punkt o wsprzdnych

    ( )1,3 nie ley na tej prostej. Zatem prosta o rwnaniu 10 9 0x y + = jest styczna do

    wykresu funkcji f, co koczy dowd.

    Zadanie 14. (0-7)

    Rozpatrujemy wszystkie ostrosupy prawidowe trjktne, w ktrych suma promienia okrgu opisanego na podstawie ostrosupa i wysokoci tego ostrosupa jest rwna 24. Wyznacz promie okrgu opisanego na podstawie tego z ostrosupw, ktry ma najwiksz objto. Oblicz t objto. Rozwizanie Oznaczamy: A, B, C - wierzchoki podstawy ostrosupa. S - wierzchoek ostrosupa. O - rodek okrgu opisanego na podstawie ostrosupa. Niech x AO BO CO= = = oznacza promie okrgu opisanego na podstawie ostrosupa

    oraz h SO= oznacza wysoko tego ostrosupa. Wwczas 24x h+ = .

  • Wysoko AD w trjkcie ABC jest rwna 3

    2

    ABAD

    = . Zatem promie x okrgu

    opisanego na trjkcie ABC (podstawie ostrosupa) jest rwny: 3 32

    3 2 3

    AB ABx = = ,

    std 3AB x= . Wyznaczamy pole podstawy ostrosupa: 2

    3 3

    4

    xP = .

    Ponadto z rwnoci 24x h+ = otrzymujemy 24h x= , gdzie 0 24x< < .

    Zatem objto tego ostrosupa jest okrelona wzorem: ( )2

    1 3 324

    3 4

    xV x= , czyli

    ( )3 23

    244

    V x x= + .

    Naley obliczy, dla jakiego x speniajcego nierwno 0 24x< < funkcja V okrelona

    wzorem ( ) ( )3 23

    244

    V x x x= + przyjmuje warto najwiksz.

    Rozwaamy funkcj ( ) 3 224f x x x= + okrelon dla kadej liczby rzeczywistej x.

    Wyznaczamy pochodn tej funkcji f : ( ) 23 48f x x x = + .

    Nastpnie obliczamy miejsca zerowe pochodnej: 1

    16x = , 2

    0x = . Ponadto:

    ( ) 0f x < w kadym z przedziaw ( ),0 oraz ( )16,+ ,

    ( ) 0f x > w przedziale ( )0,16 .

    Zatem funkcja f jest malejca w kadym z przedziaw ( ,0 oraz )16,+ i rosnca

    w przedziale 0,16 .

    Poniewa ( ) ( )3

    4V x f x= dla ( )0,24x , wic w przedziale ( )0,24x funkcja ( )V x ma

    ekstremum w tym samym punkcie, w ktrym funkcja ( )f x . Std wynika, e w punkcie

    16x = funkcja V przyjmuje warto najwiksz.

    Objto ostrosupa jest rwna: ( )3 23

    16 24 16 512 34

    V = + = .

    Objto ostrosupa prawidowego trjktnego jest najwiksza i rwna 512 3V = , gdy promie okrgu opisanego na podstawie jest rwny 16 .

    Zadanie 15. (0-7)

    Rozwaamy wszystkie prostokty, ktrych dwa wierzchoki le na odcinku AB, gdzie

    ( )1,4A = i ( )1,4B = , a pozostae dwa na paraboli o rwnaniu 22 2y x= + (zobacz

    rysunek). Wyznacz wymiary tego z prostoktw, ktry ma najwiksze pole. Oblicz to pole.

  • Rozwizanie Niech punkty C i D le na paraboli 22 2y x= + , a punkty E i F le na odcinku AB (zob.

    rysunek). Oznaczmy przez x odlego punktu D od osi Oy.

  • x x

    h

    h

    Wwczas punkt D ma wsprzdne ( )2, 2 2D x x= + , punkt C ma wsprzdne

    ( )2, 2 2C x x= + . Punkty E i F le na prostej o rwnaniu 4y = , zatem ich wsprzdne s rwne: ( ),4E x= i ( ), 4F x= .

    Wyznaczamy dugoci bokw CD i DE prostokta CDEF: 2CD x= oraz 22 2DE x= dla 0 1x< < .

    Zatem pole prostokta CDEF jest okrelone wzorem: ( ) ( )22 2 2P x x x= , czyli

    ( ) 34 4P x x x= + dla 0 1x< < .

    Rozwaamy funkcj ( ) 34 4f x x x= + okrelon dla kadej liczby rzeczywistej x.

    Wyznaczamy pochodn tej funkcji f : ( ) 212 4f x x = + .

    Nastpnie obliczamy miejsca zerowe pochodnej: 1

    3

    3x =

    , 2

    3

    3x =

    .

    Ponadto:

    ( ) 0f x < w kadym z przedziaw 3,3

    oraz 3 ,3

    +

    ,

    ( ) 0f x > w przedziale 3 3,3 3

    .

    Zatem funkcja f jest malejca w kadym z przedziaw 3,3

    oraz 3 ,3

    +

    i

    rosnca w przedziale 3 3,3 3

    .

    Poniewa ( ) ( )P x f x= dla ( )0,1x , wic w przedziale ( )0,1x funkcja ( )P x ma

    eks

Recommended

View more >