protein diag plus_lyseis

Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687 Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555

Σελίδα .1.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Έστω μία συνάρτηση f σε ένα διάστημα , . Αν G είναι μία παράγουσα της f στο,

, τότε να αποδείξετε ότι f t dt G G

.

Α2. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού.

Α3. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα , του πεδίου

ορισμού της;

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας δίπλα από το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση την λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι Σωστή ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Αν 0x x

lim f x 0

τότε f x 0 κοντά στο 0x .

β) Ισχύει ότι x x για κάθε x .

γ) Ισχύει ότι x 0

x 1lim 1

x

.

δ) Κάθε συνεχής συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημό της, σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση

2x 1

f x x 1

με 2

x 1

f x f 2 xlim 12

x 1

Β1. Να αποδείξετε ότι f 1 4 και 2 .

Β2. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα.

Β3. Να αποδείξετε ότι 2x 1 2 x 4 x 2 1 x .


Σελίδα .2.

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι

2

f xf x2e

e 1f x

για κάθε x με f 0 0 , f x 0 .

Γ1. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f.

Γ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

Γ3. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα.

Γ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f την ευθεία y x και τις ευθείες x 0 και x 1 .

ΘΕΜΑ Δ

Έστω f : 0, παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν:

Η παράγωγος f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, .

f 1 1

h 0

f 1 5h f 1 hlim 0

h

Θεωρούμε ακόμα την παραγωγίσιμη συνάρτηση g η οποία είναι τέτοια ώστε f x 1

g xx 1

και την συνάρτηση x g x g με x 1, και 1 .

Να αποδείξετε ότι:

Δ1. Είναι f 1 1 καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x 1 .

Δ2. Η συνάρτηση φ είναι γνησίως αύξουσα και στην συνέχεια να λύσετε στο την ανίσωση

2 2 4 48 6 8 5 2 6 2 5x x x x , όπου η συνάρτηση είναι

η αρχική της συνάρτησης φ.

Δ3. Η συνάρτηση g είναι κυρτή και ότι η εξίσωση f 11 x x έχει

ακριβώς μία λύση για x 1 .

Επιμέλεια Διαγωνίσματος: Ευθύμης Κατσιμπράς Μαθηματικός


Σελίδα .1.

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Θεωρία σελίδα 217



Α4. α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό

ΘΕΜΑ Β

Β1. 22

1 1

1 2 12lim 12 lim 12

1 1x x

f x f f x ff x f x

x x

2

1 1

1 2 1lim lim 12 1

1 1x x

f x f f x f

x x

Για το 2

1

1lim

1x

f x f

x

θέτω 2x y . Για 1x έχω 1y και x y επομένως

1 1

1 11lim lim 2 1

11y y

f y f yf y ff

yy

, αφού

1

11 lim

1y

f y ff

y

Για το

1

2 1lim

1x

f x f

x

θέτω 2 2x y x y . Για 1x έχω 1y κ

1 1

1 1lim lim 1

2 1 1y y

f y f f y ff

y y

.

1 2 1 1 12 3 1 12 1 4f f f f .

Ακόμα

1

1 4

12 4 0 2

x

f

xf x x

2 4 2 .


Σελίδα .2.

Β2. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με

1 4f x x x

1 4 0f x x , αφού

1 1 1x x 1 4 4 0x

και f συνεχής στο ως παραγωγίσιμη επομένως η f είναι κοίλη στο .

Β3. Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f , fC στο

1, 1A f είναι 1 1 1y f f x με 0 1 1

1 1 2 1 1f

.

Άρα 1 1

1 4 1 1 4 4y x y x

14 3y x

.

Η συνάρτηση f είναι κοίλη στο επομένως η εξίσωση εφαπτομένης βρίσκεται πάνω από

την fC στο 1, 1A f . Άρα,

14 3f x x

2

1 12 1 4 3

xx x

2

1 12 4 2

xx x

2

1 2 1 1x x .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Έχουμε ότι

2:

2 2

f xe

f x f x f x

f x

f xe e f x f x e f x

e

2 2f x f x f x f x

e f x e f x e e x

0

0 0

2 0x

f x f x

f

e e x c c

.

2 112 2 2

f x

f x f x

g x e

g xe e x g x x x

g x g x

2 21 2 2 1g x x g x g x x g x

2

2 2 2 22 1 1g x x g x x x g x x x .

Θεωρούμε συνάρτηση h x g x x , επομένως

2 2 21 1h x x h x x . Η εξίσωση 0h x δεν έχει ρίζες στο ,

επομένως 0h x και συνεχής, άρα η h διατηρεί σταθερό πρόσημο με

00 0 1 0

fh g e και επομένως 0h x , άρα


Σελίδα .3.

2 2 21 1 1h x x g x x x g x x x

21f x

e x x

2ln 1f x x x .

Γ2. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με 2

2 2

21

12 1

1 1

x

xf xx x x

Επομένως 0f x στο και f συνεχής επομένως f στο .

Γ3. Η f είναι παραγωγίσιμη στο με

2

2 2 2

1

2 1

1 1 1

xxf xx x x

0 0f x x

0 0 0f x x x

Η συνάρτηση παρουσιάζει σημείο καμπής το 0 0f .

Γ4. 1

0

f x x dx όπου f x x γιατί η συνάρτηση f είναι κοίλη στο 0,1 και

επομένως η fC βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της σημείο 0, 0f που είναι

0 0 0y f f x με 0 0f και 2

10 1

1f x f

x

, άρα

0 1 0y x y x . Επομένως

11 1 12

0 0 00

1

2 2

xx f x dx f x dx x f x dx

1 1

1

0 20 0

1 1 11

2 2 1x f x x f x dx f x dx

x

1 1

2

2 00

1 2 1ln 1 2 ln 1 2 1

2 22 1

xdx x

x

1

2 ln 1 22

.

ΘΕΜΑ Δ

Δ1.

0 0

1 5 1 1 11 5 1lim 0 lim 0h h

f h f f h ff h f h

h h


Σελίδα .4.

Για το

0

1 5 1limh

f h f

h

θέτω

11 5

5

xh x h

. Όταν 0h τότε 1x ,

επομένως

1 1

1 1lim 5 lim 5 1

1 1

5

x x

f x f f x ff

x x

.

Για το

0

1 1limh

f h f

h

θέτω 1 1 1h x h x h x . Όταν 0h

τότε 1x , επομένως

1 1

1 1lim lim 1

11x x

f x f f x ff

xx

.

Άρα 5 1 1 0 4 1 0 1 0f f f f .

Για 0,1x έχω f γνησίως αύξουσα άρα 1 1 0x f x f και f συνεχής

στο 0,1 άρα f γνησίως φθίνουσα στο 0,1 .

Για 1,x έχω f γνησίως αύξουσα άρα 1 1 0x f x f και f συνεχής

στο 1, άρα f γνησίως αύξουσα στο 1, . Επομένως η συνάρτηση f

παρουσιάζει ελάχιστο για 1x το 1 1f .

Δ2. Η είναι παραγωγίσιμη, αφού g παραγωγίσιμη στο 1, με

1

01

f x fx g x

x

αφού 1 1f x f και 1 0x για κάθε

1,x και αφού συνεχής έχουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο 1, .

Για την ανίσωση θεωρούμε 1h x x x όπου h παραγωγίσιμη στο

με 1 1h x x x h x x x .

Για γν.αύξουσα

1 1 1 0x x x x x x

0h x και h

συνεχής άρα h γνησίως αύξουσα στο . Η ανίσωση γράφεται

γν.αυξ.

2 4 2 48 5 2 5 8 5 2 5h

h x h x x x 2 4 2 44 4 0x x x x

2 0

2 2 24 0 4 0x

x x x

2 4 2 2x x .

Δ3. Η συνάρτηση g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 1, με g x g x

2

1 111

1 1

f x x f xf xg x

x x

.


Σελίδα .5.

Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση f στο 1, x

Η f είναι συνεχής στο 1, x ως παραγωγίσιμη και παραγωγίσιμη στο 1, x

Άρα, υπάρχει τουλάχιστον ένα 1, x τέτοιο ώστε 1

1

f x ff

x

1 1 2f x f x f

2

2

1 11

1

f x x f xg x

x

2

1

1

x f x fg x

x

01

f x fg x

x

για κάθε 1,x αφού για

γν. αυξ.f

x f f x

0f x f . Η εξίσωση 1 1x f x έχει προφανή ρίζα την

x αφού 1

1 1 1 0x

x f x

που ισχύει γιατί

0g g . Θα δείξουμε ότι η ρίζα αυτή είναι και μοναδική.

Θεωρούμε 1 1K x x f x παραγωγίσιμη στο 1, με

1

1 1 11

fK x x f K x x

1K x x g . Για γν. αυξ. g x xg

x g x g

0x g x g άρα 0K x για κάθε ,x και K x

συνεχής στο , επομένως K x γνησίως αύξουσα στο , .

Για x

γν. αυξ.

0g x xg

g x g x g x g

Άρα 0K x για κάθε ,x και K x συνεχής στο , άρα K x είναι

γνησίως φθίνουσα στο , . Επομένως η συνάρτηση K x παρουσιάζει ολικό

ελάχιστο για x το 0K . Άρα 0K x K και η εξίσωση

1 1x f x έχει μοναδική την ρίζα την x .

Επιμέλεια Διαγωνίσματος: Ευθύμης Κατσιμπράς Μαθηματικός

protein diag plus_lyseis

Education