prostor d 0 1 -...

Prostor D[0, 1]

Seminar stochasticke modelovanı v ekonomii a financıch

Katedra pravdepodobnosti a matematicke statistikyMatematicko-fyzikalnı fakultaUniverzita Karlova v Praze

Martin Branda

3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 1 / 53

Obsah

1 Prostor D

2 Skorohodova topologie

3 Separabilita

4 Uplnost

5 Kompaktnost v D

6 Pravdepodobnostnı mıry na D


Prostor D

Obsah

1 Prostor D


3 Separabilita

4 Uplnost

5 Kompaktnost v D



Prostor D

Prostor D[0,1]

D = D[0, 1] - prostor zprava spojitych funkcı na [0, 1], jejichz limityzleva existujı, tj.

Pro 0 ≤ t < 1, x(t+) = lims↓t x(s) existuje a platı x(t+) = x(t).

Pro 0 < t ≤ 1, x(t−) = lims↑t x(s) existuje.

(CADLAG functions)

C ⊂ D

Je mozne rozsırenı na funkce s hodnotami v jinem separabilnımuplnem metrickem prostoru V nez R s metrikou v a borelovskouσ−algebrou V.


Prostor D

Prostor D

Pro x ∈ D a T ⊂ [0, 1] polozıme

wx(T ) = w(x , T ) = sups,t∈T

|x(s)− x(t)|.

Modul spojitosti funkce je pak roven

wx(δ) = w(x , δ) = sup|s−t |≤δ

|x(s)− x(t)|,

= sup0≤t≤1−δ

wx([t , t + δ]), 0 < δ ≤ 1.

Nutna a postacujıcı podmınka pro stejnomernou spojitost na [0, 1] je

limδ→0

wx(δ) = 0.


Prostor D

Prostor D

LemmaPro kazde x ∈ D a pro kazde ε > 0 existujı body0 = t0 < t1 < · · · < tv = 1 takove, ze

wx([ti−1, ti)) < ε, i = 1, 2, . . . , v . (1)

⇒Existuje jen konecne mnoho bodu takovych, ve kterych velikostskoku funkce presahne danou mez.

Prvky D majı nejvyse spocetne mnoho skoku.

Prvky D jsou omezene, tj. ‖x‖ = supt∈[0,1] |x(t)| < ∞.

Prvky D mohou byt stejnomerne aproximovany jednoduchymi (pocastech konstantnımi) borelovsky meritelnymi funkcemi.


Prostor D

Prostor D

Mnozinu {ti} nazveme δ−rıdkou, jestlize platı

min1≤i≤v

(ti − ti−1) > δ. (2)

Definujeme modul

w ′x(δ) = w(x ′, δ) = inf

{ti}max1≤i≤v

wx [ti−1, ti), (3)

kde infimum bereme pres δ−rıdkou mnoziny.

Nutna a postacujıcı podmınka pro x ∈ D:

limδ→0

w ′x(δ) = 0. (4)


Prostor D

Prostor DPorovnanı modulu

Platı

w ′x(δ) ≤ wx(2δ), pokud δ < 1/2. (5)

Dukaz. Interval [0, 1) muze byt rozstepen na intervalky [ti−1, ti)splnujıcı δ < ti − ti−1 ≤ 2δ.


Prostor D

Prostor DPorovnanı modulu

Naopak

wx(δ) ≤ 2w ′x(δ) + j(x), (6)

kde maximalnı absolutnı skok je definovan jako

j(x) = sup0≤t≤1

|x(t)− x(t−)|. (7)

Dukaz. Najdeme takovou δ-rıdkou {ti}, ze platı wx [ti−1, ti) < w ′x(δ) + ε.

Pokud |s − t | ≤ δ, potom s a t lezı bud v jednom intervalu [ti−1, ti) nebov sousednıch dvou, tj. rozdıl |x(t)− x(s)| je nejvyse w ′

x(δ) + ε v prvnımprıpade a 2w ′

x(δ) + ε + j(x) ve druhem prıpade.


Skorohodova topologie

Obsah

1 Prostor D


3 Separabilita

4 Uplnost

5 Kompaktnost v D





V C jsou dve funkce podobne v topologii, pokud graf jedne funkcemuze byt prenesen na graf druhe pomocı ”stejnomerne maletransformace” souradnic (casu).

V D umoznıme take transformace souradnic (casu): ”Casnemuzeme merit spolehliveji nez polohu”.



Skorohodova topologieMetrika (?)

Necht Λ znacı trıdu ryze rostoucıch spojitych funkcı z [0, 1] na [0, 1];λ0 = 0 a λ1 = 1 pro λ ∈ Λ.Pro x , y ∈ D polozıme

d(x , y) = inf{ε > 0 : ∃λ ∈ Λ :

supt|λt − t | = sup

t|t − λ−1t | < ε,

supt|x(t)− y(λt)| = sup

t|x(λ−1t)− y(t)| < ε.

}

Ekvivalentne pomocı supremove normy

d(x , y) = infλ∈Λ

{‖λ− I‖ ∨ ‖x − yλ‖

}, (8)

kde It = t .



Skorohodova topologieMetrika (?)

Necht Λ znacı trıdu ryze rostoucıch spojitych funkcı z [0, 1] na [0, 1];λ0 = 0 a λ1 = 1 pro λ ∈ Λ.Pro x , y ∈ D polozıme

d(x , y) = inf{ε > 0 : ∃λ ∈ Λ :

supt|λt − t | = sup

t|t − λ−1t | < ε,

supt|x(t)− y(λt)| = sup

t|x(λ−1t)− y(t)| < ε.

}Ekvivalentne pomocı supremove normy


{‖λ− I‖ ∨ ‖x − yλ‖

}, (8)

kde It = t .



Skorohodova topologieMetrika

d(x , y) ≥ 0; d(x , y) = 0 ⇒ (x(t) = y(t) ∨ x(t) = y(t−)) ⇒ x = y .

d(x , y) = d(y , x); λ ∈ Λ ⇒ λ−1 ∈ Λ a definice.d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y , z); λ1, λ2 ∈ Λ ⇒ λ1 · λ2 ∈ Λ:

‖λ1λ2 − I‖ ≤ ‖λ1 − I‖+ ‖λ2 − I‖,‖x − zλ1λ2‖ ≤ ‖x − yλ2‖+ ‖y − zλ1‖.

Tato metrika definuje Skorohodovu topologii.



Skorohodova topologieKonvergence I

(Stejnomerna) vzdalenost

ρ(x , y) = ‖x − y‖ = inf{ε > 0 : sup

t∈[0,1]|x(t)− y(t)| < ε

}. (9)

(↪→ stejnomerna konvergence)

Prvky xn ∈ D konvergujı k x ve Skorohodove topologii, prave kdyzexistujı funkce λn ∈ Λ takove, ze limn→∞ xn(λnt) = x(t)stejnomomerne v t a limn→∞ λnt = t stejnomomerne v t .

Prvky xn ∈ D konvergujı k x stejnomerne, potom konvergujı takeve Skorohodove topologii.



Skorohodova topologieKonvergence II

Pr. xn = I[0,α+1/n) → x = I[0,α) ve Skorohodove topologii, alexn(t) → x(t) selze v t = α.

Skorohodova konvergence implikuje konvergenci xn(t) → x(t) vbodech spojitosti x :

|xn(t)− x(t)| ≤ |xn(t)− x(λnt)|+ |x(λnt)− x(t)|. (10)

Je-li x vsude (stejnomerne) spojita, potom Skorohodovakonvergence implikuje stejnomernou konvergenci.

Skorohodova topologie zuzena na C odpovıda stejnomerne topologii.



Skorohodova topologiePrıklad - neuplnost prostoru D

Pr. Polozıme xn = I[0,1/2n], λn(1/2n) = 1/2n+1.

Pokud λn je linearnı na [0, 1/2n] a [1/2n, 1], pak‖xn+1λn − xn‖ = 0 a ‖λn − I‖ = 1/2n+1.

Pokud λn nezobrazuje 1/2n na 1/2n+1, potom ‖xn+1λn − xn‖ = 1.

Tedy d(xn, xn+1) = 1/2n+1 a posloupnost xn je d-cauchyovska.Pro t > 0 platı xn(t) → 0, avsak d(xn, 0) = 1, tedy posloupnostnekonverguje (k prvku z D) ve ST.



Skorohodova topologieEkvivalentnı (?) metrika (?)

Hledame metriku d0, ktera je ekvivalentnı metrice d , ale za nız jeprostor D uplny:

Potrebujeme casove deformace λ, ktere jsou blıze identite, tj.takove, aby podıl (”sklon funkce ”) (λt − λs)/(t − s) byl blızky 1,resp. jeho logaritmus byl blızky 0.

Pro neklesajıcı λ na [0, 1] splnujıcı λ0 = 0 a λ1 = 1 definujemenormu

‖λ‖0 = sups<t

∣∣∣∣logλt − λs

t − s

∣∣∣∣ . (11)

(Hlıdame sklon deformace casu.)



Skorohodova topologieEkvivalentnı (?) metrika

d0(x , y) = infλ∈Λ

{‖λ‖0 ∨ ‖x − yλ‖},


{‖λ− I‖ ∨ ‖x − yλ‖

}.

Je d0 metrika? (‖λ‖0 =∥∥λ−1

∥∥0, ‖λ1λ2‖0 ≤ ‖λ1‖0 + ‖λ2‖0)




Pro u > 0 platı |u − 1| ≤ e| log u| − 1, tedy

sup0≤t≤1

|λt − t | = sup0≤t≤1

t

∣∣∣∣λt − λ0t − 0

− 1

∣∣∣∣ ≤ e‖λ‖0− 1. (12)

Tedy pouzitım v ≤ ev − 1 dostavame

d(x , y) ≤ ed0(x ,y) − 1. (13)




Lemma

Pokud d(x , y) < δ2 a δ ≤ 1/2, potom

d0(x , y) ≤ 4δ + w ′x(δ). (14)



Skorohodova topologieDukaz lemmatu

Vezmeme ε < δ a δ-rıdkou mnozinu {ti}, pro kterou platıwx [ti−1, ti) < w ′

x(δ) + ε pro kazde i . Dale vezmeme µ ∈ Λ takove, ze

supt|x(t)− y(µt)| = sup

t|x(µ−1t)− y(t)| < δ2

a

supt|µt − t | < δ2.

(Prepis definice d .)




Jelikoz µ a λ souhlası na bodech ti , dostavame

|(λti − λti−1)− (ti − ti−1)| < 2δ2 < 2δ(ti − ti−1).

Dıky linearite funkce λ platı predesly vztah pro s, t ze stejnehointervalu [ti−1, ti ] a z trojuhelnıkove nerovnosti obecne. Potom

log(1− 2δ) ≤ logλt − λs

t − s≤ log(1 + 2δ).

Pouzitım vztahu | log(1± u)| ≤ 2|u| pro |u| ≤ 1/2 dokoncıme dukaz.



Skorohodova topologieEkvivalentnı metrika

Veta

Metriky d a d0 jsou ekvivalentnı.



Skorohodova topologieNeuplnost prostoru D - pokracovanı

Pr. Polozıme xn = I[0,1/2n], λn(1/2n) = 1/2n+1.

Pokud λn je linearnı na [0, 1/2n] a [1/2n, 1], pak‖xn+1λn − xn‖ = 0 a ‖λn − I‖ = 1/2n+1.

Pokud λn nezobrazuje 1/2n na 1/2n+1, potom ‖xn+1 − xn‖ = 1.

NOVE: Sklon λn mezi [0, λn0] a [1/2n, λ(1/2n)] je 1/2, z cehozvyplyva, ze d0(xn, xn+1) = ‖λn‖0 = log 2.

Tedy xn nenı d0-cauchyovska (a tudız nic nekazı).


Separabilita

Obsah

1 Prostor D


3 Separabilita

4 Uplnost

5 Kompaktnost v D



Separabilita

SeparabilitaPomocne lemma

Necht mnozina σ = {su} splnuje 0 = s1 < s2 < · · · < sk = 1, potomdefinujeme zobrazenı Aσ : D → D takto:Obrazem Aσx je po castech konstantnı funkce rovna x(su−1) naintervalu [su−1, su), u = 1, . . . , k , a Aσx(1) = x(1).

Platıli jista podmınka ”regularity”, je obraz blızko svemu vzoru vmetrice d .

LemmaPokud max(su − su−1) ≤ δ, potom d(Aσx , x) ≤ δ ∨ w ′

x(δ).


Separabilita

SeparabilitaDukaz (naznak)

Definujeme dve funkce: ζ(t) = su−1 pro t ∈ [su−1, su), ζ(1) = 1;λ(t) = su pro t ∈ [su−1, su), λ(0) = 0.

Aσx(t) = x(ζt).

Pro dane ε najdeme δ-rıdkou mnozinu takovou, ze platıwx [ti−1, ti) < w ′

x(δ) + ε.

Jelikoz platı ti − ti−1 > δ ≥ sv − sv−1, λti roste s i , tedy homuzeme linearne interpolovat na prvek Λ; platı supt |λt − t | ≤ δ.

Dale se ukaze, ze|Aσx(t)− x(λ−1t)| = |x(ζt)− x(λ−1t)| ≤ w ′

x(δ) + ε.Platı, nebot ζt a λ−1t lezı vzdy ve stejnem intervalu [ti−1, ti).


Separabilita

SeparabilitaVeta

VetaProstor D je separabilnı.

(tj. existuje spocetna husta podmnozina.)


Separabilita

SeparabilitaDukaz

Necht Bk je mnozina obsahujıcı funkce konstantnı na kazdem intervalu[(u − 1)/k , u/k), u = 1, . . . , k s racionalnımi hodnotami a s racionalnıhodnotou v jedne. Potom mnozina B =

⋃k Bk je spocetna a husta.

(Pro dane x a ε najdeme k takove, ze k−1 < ε a w ′x(k−1) < ε. Podle

lemmatu platı d(x , Aσx) < ε se σ = {u/k}. Urcite najdeme takovey ∈ Bk , ze d(y , Aσx) < ε; tedy d(y , x) < 2ε.)


Uplnost

Obsah

1 Prostor D


3 Separabilita

4 Uplnost

5 Kompaktnost v D



Uplnost

UplnostVeta

Veta

Prostor D je uplny vzhledem k metrice d0.


Uplnost

UplnostDukaz vety

Stacı ukazat, ze kazda d0-cauchyovska posloupnost ({xk}) obsahujed0-konvergentnı podposloupnost ({yn}). Necht tedyd0(yn, yn+1) < 1/2n, potom Λ obsahuje µn takove, ze

‖µn‖0 < 1/2n

a

supt|yn(t)− yn+1(µnt)| < 1/2n.

(Pouhy prepis definice metriky.)


Uplnost

UplnostDukaz vety

Hledame funkci y v D a funkce λn, pro ktere ‖λn‖0 → 0 a|yn(λ

−1n t)− y(t)| → 0 stejnomerne. (Ty se pokusıme zkonstruovat z

toho, co mame, a pomocı stejnomerne konvergence.)

Je mozne ukazat, ze pro pevne n je posloupnost µn+m . . . µn+1µn

cauchyovska, tedy stejnomerne konverguje

λnt = limm→∞

µn+m . . . µn+1µnt . (15)

Funkce λn je neklesajıcı spojita a se spravnymi ”okraji”. Jestepotrebujeme ukazat, ze ‖λn‖0 je konecna!


Uplnost

UplnostDukaz vety

∣∣∣∣logµn+m . . . µn+1µnt − µn+m . . . µn+1µns

t − s

∣∣∣∣≤ ‖µn+m . . . µn+1µn‖0

≤m∑

j=0

∥∥µn+j∥∥0 ≤ 1/2n−1.

Pokud m →∞, pak ‖λn‖0 ≤ 1/2n−1. Tedy λn ∈ Λ.


Uplnost

UplnostDukaz vety

Z definice λn je zrejme, ze λn = λn+1µn, coz je ekvivalentnıλ−1

n+1 = µnλ−1n . Potom

supt|yn(λ

−1n t)− yn+1(λ

−1n+1t)| = sup

s|yn(s)− yn+1(µns)| < 1/2n.

Tedy funkce yn(λ−1n t) ∈ D jsou stejnomerne cauchyovske a konvergujı

stejnomerne k y(t) ∈ D. Pouzije-li ‖λn‖0 → 0, dostavamed0(yn, y) → 0.


Kompaktnost v D

Obsah

1 Prostor D


3 Separabilita

4 Uplnost

5 Kompaktnost v D



Kompaktnost v D

Kompaktnost v D

VetaNutne a postacujıcı podmınky, aby mnozina A byla relativne kompaktnıve Skorohodove topologii, jsou

supx∈A

‖x‖ < ∞ (16)

a

limδ→0

supx∈A

w ′x(δ) = 0. (17)

(Arzela-Ascoliho veta: podmınky supx∈A |x(0)| < ∞ alimδ→0 supx∈A wx(δ) = 0.)


Kompaktnost v D

Kompaktnost v DDukaz (postacitelnost) - idea

Postacitelnost:

Najdeme konecnou ε-sıt v A vzhledem k d , tedy A je totalneomezena vzhledem k d .

Najdeme konecnou ε-sıt v A vzhledem k d0, vuci nız je prostor Duplny. Tedy A je totalne omezena vzhledem k d0.

Totalne omezena mnozina v uplnem prostoru je relativnekompaktnı.


Kompaktnost v D

Kompaktnost v DDukaz (postacitelnost)

Necht α = supx∈A ‖x‖ a H je konecna ε-sıt v [−α, α] pro dane ε.

Najdi δ < ε takove, ze w ′x(δ) < ε pro vsechna x ∈ A.

Aplikujeme lemma na σ = {su}: max(su − su−1) < δ, tedy mamed(x , Aσx) < ε.

Necht B je konecna mnozina y konstantnıch na kazdem [su−1, su)a nabyvajıcıch hodnot z H, y(1) ∈ H.

Urcite najdeme takove y ∈ B, ze d(y , Aσx) < ε.

Tedy B je konecna 2ε-sıt v A, tedy A je totalne omezena vzhledemk d .


Kompaktnost v D

Kompaktnost v DDukaz (postacitelnost)

Pro dane ε′ > 0 najdi δ′ takove, ze platı 4δ′ + w ′x(δ′) < ε′ pro

vsechna x ∈ A (druha podmınka).

Vıme, ze A je d-totalne omezena, tedy najdeme konecnou B′,ktera je (δ′)2-sıt vzhledem k d .

Tedy B′ je ε′-sıt vzhledem k d0, pouzijeme-li lemma o vztahumetrik.


Kompaktnost v D

Kompaktnost v DDukaz (nutnost) - pomocne lemma

Definice

Rekneme, ze funkce f je polospojit a zhora v x, jestlize

∀ε>0∃δ>0 ρ(x , y) < δ ⇒ f (y) < f (x) + ε. (18)

VetaFunkce f je polospojita zhora vsude, prave kdyz urovnove mnoziny{x : f (x) < α} jsou otevrene pro vsechna α ∈ R.

LemmaPro pevne δ je funkce w ′(·, δ) horne polospojita v x.


Kompaktnost v D

Kompaktnost v DDukaz (nutnost) - pomocna veta

VetaPokud fn(x) ↘ 0, n →∞ pro kazde x a pokud jsou funkce fn vsudehorne polospojite, potom je konvergence stejnomerna na kazdekompaktnı mnozine.


Kompaktnost v D

Kompaktnost v DDukaz (nutnost)

Nutnost:

Prvnı podmınka je vlastne vzdalenost kompaktnı mnoziny odnulove funkce.

Druha podmınka vyplyva z hornı polospojitosti w ′(·, δ) a predchozıvety.


Kompaktnost v D

Kompaktnost v DII

Novy modul

w ′′x (δ) = w ′′(x , δ) = sup

t1≤t≤t2:t2−t1≤δ

{|x(t)− x(t1)| ∧ |x(t2)− x(t)|

}.

Platı

w ′′x (δ) ≤ w ′

x(δ).

Opacna nerovnost neplatı, napr. xn = I[0,n−1), w ′′x (δ) = 0 a w ′

x(δ) = 1pro n > δ−1.


Kompaktnost v D

Kompaktnost v DII

VetaNutna a postacitelna podmınka, aby mnozina A byla relativnekompaktnı ve Skorohodove topologii, je

limδ→0

supx∈A

w ′′x (δ) = 0,

limδ→0

supx∈A

|x(δ)− x(0)| = 0, (19)

limδ→0

supx∈A

|x(1−)− x(1− δ)| = 0.

(Dukaz pres ekvivalenci podmınek v obou vetach.)


Pravdepodobnostnı mıry na D

Obsah

1 Prostor D


3 Separabilita

4 Uplnost

5 Kompaktnost v D




Pravdepodobnostnı mıry na DProjekce

Pro 0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tk ≤ 1 definujeme projekci πt1,...,tk z D do Rk

πt1,...,tk (x) = (x(t1), . . . , x(tk )).

π0 a π1 jsou spojite; πt , 0 < t < 1 je spojita tehdy a jen tehdy, kdyz x jespojita v t .



Pravdepodobnostnı mıry na DMeritelnost projekce

VetaProjekce πt je meritelna vzhledem k borelovskym σ-algebram D/R,projekce πt1,...,tk je meritelna vzhledem k D/Rk .



Pravdepodobnostnı mıry na DDukaz - idea

Polozme

hε(x) = ε−1∫ t+ε

tx(s)ds.

Konvergence xn ve Skorohodove topologii implikuje stejnomernoukonvergenci k x v bodech spojitosti, tj. az na mnozinu Lebesgueovskemıry 0. Protoze xn jsou stejnomerne omezene, platı

limn→∞

hε(xn) = hε(x).

Tedy hε(·) je spojita ve Skorohodove topologii. Z prave spojitostivyplyva

hm−1(x) → πt(x), m →∞. (20)




Definujeme trıdu konecne-dimenzionalnıch mnozin Df jako π−1t1,...,tk

Hpro H ∈ Rk .

Konecne dimenzionalnı rozdelenı pravdepodobnosti P na (D,D) jsoumıry Pπ−1

t1,...,tk.



Reference

P. Billingsley (1999). Convergence of probability measures. JohnWiley and Sons, Second Edition.

W. Rudin (2003). Analyza v realnem a komplexnım oboru.Academia, Praha.



Dekuji za pozornost.


prostor d 0 1 -...

Documents