prostor stanja uvod
DESCRIPTION
racunarska simulacijaTRANSCRIPT
-
Osnovne akademske studije PREDMET: Upravljanje sistemima TEMA: Uvod u prostor stanja Predmetni nastavnik: Prof. dr Milorad Stanojevi Asistent: mr Marko ogatovi
-
Prostor stanja
Model sistema u prostoru stanja opisuje neki sistem od korienjem n diferencijalnih jednaina prvog reda umesto matematikog modela odreenog diferencijalnom jednainom n-tog reda. Vektorsko-matrini oblik modela u prostoru stanja linearnog sistema je definisan na sledei nain
x t Ax t Bu ty t Cx t Du t
pri emu se prva jednaina naziva jednainom stanja, a druga jednaina jednainom izlaza.
-
Sa x t , u t , y t su definisani sledei vektori:
1
2
1n n
x tx t
x t
x t
je vektor stanja,
1
2
1r r
u tu t
u t
u t
je vektor ulaza, dok je
1
2
1m m
y ty t
y t
y t
vektor izlaza.
-
Dalje, sa A, B , C i D su definisani sledee matrice: A, dim A n n , je matrica stanja B , dim B n r , je ulazna matrica C , dimC m n , je matrica izlaza i D , dim D m r , je izlazno-ulazna matrica.
-
CST funkcija ss Stvara model u prostoru stanja i vri konverziju u model u prostoru stanja
sys = ss(a,b,c,d) sys_ss = ss(sys) sys = ss(d)
sys = ss(a,b,c,d) stvara objekat model u prostoru stanja opisujui vremenski kontinualni model u prostoru stanja
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
Za model sa n stanja, m izlaza i r ulaza
-
A je matrica dimenzija nxn, B je matrica dimenzija nxr, C je matrica dimenzija mxn, D je matrica dimenzija mxr, Ukoliko nema matrice D mogue je napisati D = 0 bez obzira na dimenzije. sys_ss = ss(sys) konvertuje objekat modela dinamikog sistema sys u objekat modela u prostoru stanja. Izlaz sys_ss je ekvivalentan modelu u prostoru stanja. Ova operacija je poznata kao realizacija prostora stanja. sys = ss(d) specificira statiku matricu pojaanja D i ekvivalentan je sa
sys = ss([],[],[],d)
-
CST funkcija ssdata Pristupa parametrima modela u prostoru stanja
[a,b,c,d] = ssdata(sys)
[a,b,c,d] = ssdata(sys) vraa matrine podatke A, B, C, D iz objekta modela u prostoru stanja sys. Ukoliko je sys objekat funkcije prenosa ili ZPK objekat, prvo se vri njegova transformacija u model u prostoru stanja, a nakon toga se vraaju matrini podaci.
-
Primer 1. Diferencijalnu jednainu
2
1 0 02
d dy t a y t a y t b u tdt dt
napisati u vidu vektorske-diferencijalne jednaine stanja sistema i jednaine izlaza. Na osnovu dobijenog modela i vrednosti parametara 1 3a , 0 2a i 0 1b korienjem CST funkcije ss formirati objekat prostora stanja. Ukoliko izdvojimo kao promenljive stanja
1 1 2
2
2 2 0 1 02
0 1 1 2 0
dx t y t x t y t x tdt
d d dx t y t x t y t a y t a y t b u tdt dt dt
a x t a x t b u t
-
Jednaina stanja u matrinom obliku e glasiti
1 1
0 1 02 2
0 1 0x t x tu t
a a bx t x t
dok e jednaina izlaza biti
1
2
1 0x t
y tx t
.
Objekat prostora stanja A = [ 0 1 -2 -3]; B = [0;1]; C = [1 0]; sys=ss(A,B,C,0)
-
Reenje a = x1 x2 x1 0 1 x2 -2 -3 b = u1 x1 0 x2 1 c = x1 x2 y1 1 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model.
-
Primer 2. Proirimo jednainu y t ay t bu t u sledei oblik
3 2
2 1 0 03 2
d d dy t a y t a y t a y t b u tdt dt dt
.
Napisati jednainu stanja sistema i jednainu izlaza. Na osnovu dobijenog modela i vrednosti parametara 32 2a , 1 3a , 0 2a i 0 1b korienjem CST funkcije ss formirati objekat prostora stanja. Usvojimo promenljive stanja na sledei nain
1 1 2
2
2 2 32
2 3 2
3 3 0 1 2 02 3 2
0 1 1 2 2 3 0
dx t y t x t y t x tdt
d dx t y t x t y t x tdt dtd d d dx t y t x t y t a y t a y t a y t b u tdt dt dt dt
a x t a x t a x t b u t
-
Jednaina stanja u matrinom obliku e glasiti
1 1
2 2
3 0 1 2 3 0
0 1 0 00 0 1 0
x t x tx t x t u tx t a a a x t b
dok e jednaina izlaza biti
1
2
3
1 0 0x t
y t x tx t
.
Objekat prostora stanja formiramo korienjem sledeeg skript programa A = [0 1 0; 0 0 1; -2 -3 -3/2]; B = [0 0 1]'; C = [1 0 0];
-
sys=ss(A,B,C,0); [An,Bn,Cn,Dn] = ssdata(sys); An Bn Cn Dn Reenje An = 0 1.0000 0 0 0 1.0000 -2.0000 -3.0000 -1.5000 Bn = 0 0 1 Cn = 1 0 0 Dn = 0
-
Primer 3. Posmatramo mehaniki sistem prikazan na slici. Napisati model u prostoru stanja za taj sistem.
Sili u(t) koja deluje na klip suprotstavljaju se sila elastinosti opruge uo(t), sila priguenja up(t) i sila inercije ui(t). Jednaina ravnotee sila glasi 1 2i p ou t u t u t u t my t k y t k y t
-
Primenom LT uz nulte poetne uslove dobijamo
2 1 2U s ms k s k Y s . Stoga opis ulaza-izlaza u frekventnom domenu sistema glasi
21 2
1Y s U sms k s k
.
Kada je m=1, k1=3 i k2=2, tada e impulsni odgovor sistema biti
21 13 2 1 2
Y ss s s s
Izveemo dinamiku jednainu stanja sistema. Usvojimo pomeraj i brzinu za promenljive stanja:
-
1 1 2
2 12 2 1 2
1x y x y x
k kx y x y x x um m m
Vektorska jednaina stanja e glasiti
1 12 1
2 2
0 1 01
x xuk kx x
m m m
,
dok e jednaina izlaza biti
12
1 0x
yx
.
-
Objekat prostora stanja za vrednosti parametara m=1, k1=3 i k2=2 mogue je dobiti korienjem skript programa m = 1; k1 = 3; k2 = 2; A = [0 1;-k2/m -k1/m]; B = [0;1/m]; C = [1 0]; sys=ss(A,B,C,0); disp('A=') disp(sys.A) disp('B=') disp(sys.B) disp('C=') disp(sys.C) disp('D=') disp(sys.D)
-
Reenje A= 0 1 -2 -3 B= 0 1 C= 1 0 D= 0
-
Primer 4. Za RLC kolo dato na slici napisati model u prostoru stanja.
11 1 1 1 2
21 2 2 1 1
2
0
i
o
o
di tv t L R i t R i tdt
di tR i t L v t R i tdt
dv ti t Cdt
-
uz pretpostavku da je ulazni signal iu t v t i izlaznim signal oy t v t , struje 1i t i 2i t mogu da budu klasifikovane kao stanja
3x t i 2x t , sa izlazom ov t , kao stanjem 1x t .
1 1
2 2 2 2
3 1 3 1
o odx t v t x t v tdtdx t i t x t i tdtdx t i t x t i tdt
2
1 12 2 1
2 2 2
1 11 2 1
1 1 1
1
1
1
o
o
i
d v t i tdt Cd R Ri t v t i t i tdt L L Ld R Ri t i t i t v tdt L L L
-
1 2
1 12 1 1 3
2 2 2
1 13 2 3
1 1 1
1
1
1
x t x tC
R Rx t x t x t x tL L L
R Rx t x t x t u tL L L
1oy t v t x t
Korienjem prethodnih jednaina model sistema u prostoru stanja moe biti napisan kao
1 11 1
2 22 2 2
3 31 1
11 1
1
2
3
10 00
1 01
0
1 0 0
Cx t x tR Rx t x t u t
L L Lx t x t
R R LL L
x ty t x t
x t
-
Primer 5. Napisati jednainu stanja za elektrinu mreu prikazanu na slici u zavisnosti od promenljivih stanja Li , Cu .
1
1 22
LL C
C CL
di tu t R i t L u tdtu t du ti t i t i t C
R dt
-
Ove jednaine se mogu napisati kao:
1
2
1 1
1 1
LL C
CL C
di t R i t u t u tdt L L L
du t i t u tdt C R C
odakle se dobija jednaina stanja kao
1
2
11
1 10
L L
C C
Ri t i tL Ld u tL
dt u t u tC R C
.
-
Primer 6. Za kolo na slici napisati jednainu stanja. Promenljive stanja su 1u i 2u .
Vai sledee
2 2 1 22
2 1
2 1 11
1
0u t u t u t u t du tCR R dt
u t u t du tCR dt
-
Transformacijom dobijamo
11 2
1 1 1 1
21 2
1 2 2 1 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1
du t u t u tdt R C R C
du t u t u t u tdt R C C R R R C
odakle se dobija jednaina stanja kao
1 1 1 11 1
2 22 2
1 2 2 1 2
1 101
1 1 1 1R C R Cu t u td u t
dt u t u t R CR C C R R