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P. Serrano OPERADORES DIFERENCIALES Y TEORÍA DE CAMPOS Página 1 de 19

PROGRAMA DE OPERADORES DIFERENCIALES Y TEORÍA DE CAMPOS 1. La recta real. Teoría de funciones. Variación de una función.

1.1. Concepto de derivada y de integral. 2. Sistemas de coordenadas.

2.1. Espacio geométrico ordinario. Sistema cartesiano, definición y base. 2.2. Cambio de base en un sistema cartesiano. 2.3. Sistema curvilíneo. Vectores naturales. Líneas y superficies coordenadas. 2.4. Diversos sistemas curvilíneos. 2.5. Cambio de base en un sistema curvilíneo.

3. Campos escalares y vectoriales. Variación de campos. 3.1. Campo escalar. Derivada direccional. Gradiente de un campo escalar.

3.1.1. Definición intrínseca y significado físico del gradiente en coordenadas curvilíneas. 3.2. Campo vectorial. Variación de un campo vectorial. Gradiente de un campo vectorial.

3.2.1. Divergencia de un campo vectorial. Definición intrínseca y significado físico. 3.2.2. Rotacional de un campo vectorial. Definición intrínseca y significado físico.

3.3. Operadores diferenciales. 3.3.1. Laplaciano de un campo escalar. 3.3.2. Laplaciano de un campo vectorial

3.4. Propiedades de los operadores diferenciales. 3.5. Composición de operadores diferenciales.

4. Teoremas integrales. Anexo A. Sistema curvilíneos. Definición y expresiones de los operadores diferenciales. Anexo B. Sistema cilíndrico. Definición y expresiones de los operadores diferenciales. Anexo C. Sistema esférico. Definición y expresiones de los operadores diferenciales.

Anexo D. Sistemas bipolares. Definición en 2D. Anexo E. Sistemas biangulares. Definición en 2D. Anexo F. Sistemas bipolares y biangulares en 3 dimensiones. Definición y expresiones de los operadores diferenciales. Anexo G. Sistemas de coordenadas parabólicas. Definición y expresiones de los operadores diferenciales. Anexo H. Sistemas de coordenadas elípticas. Definición y expresiones de los operadores diferenciales. Anexo I. Sistemas de coordenadas esferoidales oblatas. Definición y expresiones de los operadores diferenciales. Anexo J. Sistemas de coordenadas esferoidales prolatas. Definición y expresiones de los operadores diferenciales. Anexo K. Sistemas de coordenadas biesféricas. Definición y expresiones de los operadores diferenciales.


1. La recta real. Teoría de funciones. Variación de una función.

En la formación del estudiante de ingeniería han ido apareciendo diversos conjuntos de números. En su etapa joven comenzó con los Números Naturales; con ellos comenzó a contar y trabajó con la operación suma. Posteriormente al utilizar la operación resta manejó los números negativos y el número cero, lo cual dio lugar a la aparición de los Números Enteros.

Con el uso de la operación división aparecen los Números Racionales. Podría parecer que todos estos números se pueden representar sobre una recta o un eje y que dicho eje ya está completo, sin embargo, al estudiar nuevas operaciones como la raíz cuadrada (√2), o la geometría (número ), o investigar en cálculo, se comprueba que hay un conjunto infinito de números que no se pueden representar como cocientes, son los Números Irracionales. El conjunto de los números se llaman Números Reales y rellenan totalmente el eje de los números.

Tomando tres ejes ortogonales se pueden representar todos los puntos del espacio. A todo el espacio de tres dimensiones se le llamará EGO (Espacio Geométrico Ordinario).

Sin embargo, en ocasiones, la colocación de los números sobre la Recta Real, tampoco es suficiente y al trabajar con la operación raíz cuadrada de los números negativos, es preciso ampliar el conjunto de los números y aparecen los Números Imaginarios (a+ib). Este conjunto de números tiene aplicaciones interesantes, pero muy específicas para resolver problemas concretos y en ingeniería se trabajará casi siempre con los números reales.

1.1. Concepto de derivada y de integral.

Dentro de la Ingeniería, una de las ramas de las matemáticas más útiles es el cálculo infinitesimal, concebido en el siglo XVII por Newton y Leibnitz. Dentro del cálculo uno de los capítulos más manejados es la Teoría de Funciones: Un primera definición de la Teoría de Funciones podría ser la asignación de valores a cada uno de los puntos de la recta real, mediante un criterio matemático. Este criterio podría ser mediante funciones matemáticas del tipo: = ( ) Donde x representa todos los puntos de la recta real e y representa el valor que se asigna al punto x, definido por una función o expresión matemática ( ). Desde un punto de vista matemático queda clara esta asignación, y permite la definición de unos ejes cartesianos (del matemático francés Descartes), donde sobre el eje horizontal o eje de abscisas se sitúa la recta real de los números x, sobre el eje vertical se situarán los valores y asignados a cada punto x; este eje vertical también tiene todos los valores de los números reales.


Pero para el ingeniero no es suficiente. En sus cálculos necesita saber cuánto varía el valor de la función = ( ) al pasar de un punto x a otro muy próximo a él, por ejemplo al punto ( + Δ ); de esta forma, es preciso utilizar el concepto matemático de derivada. También necesitará conocer el valor del área encerrada por una función y el eje OX, por lo cual utilizará el concepto de integral.

De estos dos conceptos, derivada e integral, precisará conocer la relación entre ambos y todos los conocimientos de cálculo diferencial e integral necesarios. Todos estos conceptos se desarrollan en la correspondiente asignatura de cálculo.

A veces se puede hacer una extensión del concepto de función de una variable (el eje x) a todo el plano. Sería el caso de asignar a los puntos del plano OXY el valor de la cota topográfica. De esta forma si se considera el conjunto de puntos del plano horizontal OXY, y a cada uno de esos puntos se le asigna un valor = ( , ); ésta sería la definición matemática mediante una función explícita, en otros casos no es posible y se hace mediante una función explícita ( , , ) = 0. En ingeniería a veces no es posible definir las funciones y vale la definición numérica, por ejemplo al hacer un levantamiento nivelación topográfica.

2. Sistemas de coordenadas.

2.1. Espacio geométrico ordinario. Sistema cartesiano, definición y base.

Dado un espacio puntual formado por los puntos del espacio de la geometría ordinaria se considera una estructura afín con un espacio vectorial, asignando a cada punto del espacio un vector del espacio vectorial, que es el vector de posición del punto. En este espacio vectorial se puede definir una métrica y se puede considerar como un espacio puntual afín euclídeo.

El sistema cartesiano de referencia del espacio puntual Un está formado por un punto fijo (el cual se considera como el origen de referencia) y una base ( ) del espacio vectorial asociado. Esta base cumple todas las condiciones de las bases de un espacio vectorial. Se representaran por {0, }.

Se llaman coordenadas contravariantes de un punto a las componentes contravariantes del vector posición de ese punto, considerado el punto a partir del sistema cartesiano de referencia.

En ingeniería se trabaja siempre en el espacio euclídeo habitual de tres dimensiones y todo el trabajo de estos apuntes se refiere a este espacio euclídeo tridimensional. En ocasiones alguna definición se podría hacer en el plano, por lo que es preciso aumentar una dimensión de manera adecuada.


2.2. Cambio de base en un sistema cartesiano.

De acuerdo a la estructura de un espacio vectorial, en cualquier momento se puede cambiar de base o de origen de referencia, de acuerdo a las leyes de los espacios vectoriales1. = + += + += + + ; = ≠ 0

La matriz C que forma el determinante se llama matriz de cambio de base y debe ser de rango 3 (en el espacio geométrico ordinario), es decir, el determinante debe de ser no nulo.

Desde el punto de vista del algebra lineal, las componentes de la nueva base son escalares (números reales) y la matriz de cambio de base es una matriz de escalares, cuyo determinante es un escalar que deberá ser distinto de cero.

2.3. Sistema curvilíneo. Vectores naturales. Líneas y superficies coordenadas.

Desde el punto de vista de la ingeniería, el álgebra lineal no es suficiente y en ocasiones es preciso definir nuevas bases que no sean vectores fijos, es decir que la nueva base sea variable y dependa del punto que se considera, diferente para cada punto. Ello se consigue haciendo que los escalares (fijos y constantes) de las componentes de la nueva base, no sean fijos, sino que sean funciones.

Se llama sistema de coordenadas curvilíneas a cualquier criterio que permita establecer una aplicación biyectiva entre cada punto del espacio puntual afín euclídeo y un conjunto de n=3 números reales dados en un cierto orden.

El concepto de “cualquier criterio” es muy amplio y ambiguo, por lo que solamente se considerarán aquellos criterios que puedan expresarse de forma matemática para su posterior tratamiento, en general son criterios geométricos. Por ejemplo: un criterio puede ser el que define el sistema de coordenadas cilíndricas (distancia de un punto al eje OZ, ángulo de la proyección del vector de posición sobre el plano OXY con el eje OX y cota Z del punto); sin embargo esta definición debe poder expresarse matemáticamente, por ejemplo:

Por tanto, implica la existencia de la aplicación entre las coordenadas cartesianas y los tríos2 de las coordenadas curvilíneas a través de las funciones: Xi = xi (u1,u2,u3) 3

1Estos conceptos de espacio vectorial y de cambio de base se desarrollan en las correspondientes asignaturas de Matemática y más concretamente en el Álgebra2 Se hablará de trío por estar sobre un sistema cartesiano de tres dimensiones, en el cual se desarrolla el ámbito de la ingeniería.


De acuerdo a este criterio, siempre será preciso comenzar a definir el sistema de referencia {O,ei}. En el espacio geométrico ordinarios (EGO), a veces se omite este paso fundamental, por entenderse que la base es el sistema básico ortonormal, en el cual los vectores básicos tienen módulo unidad y son ortogonales entre sí.

Se definen todos los puntos del espacio por sus coordenadas que son las componentes del vector posición. A continuación, a ese mismo punto fijo e inmóvil se le asigna el conjunto de los tres parámetros, por ejemplo del sistema cilíndrico (p1,O1,z1), aplicando uno de los dos métodos bien a través de las relaciones geométricas, o bien a través de las relaciones funcionales.

En ocasiones hay sistemas en los que las relaciones geométricas no son fáciles de obtener y se trabaja directa y exclusivamente con las relaciones funcionales.

Al igual que sucedía en el álgebra lineal, el sistema debe cumplir una serie de condiciones. Por ejemplo el rango de variación de las coordenadas cartesianas es −∞ < < ∞;−∞ < < ∞;−∞ << ∞ y de esta forma se define todo el espacio de tres dimensiones. Se debe considerar biunicidad entre los puntos del espacio y los tríos de números representes un solo punto. En muchas ocasiones las nuevas coordenadas no abarcan todo el rango de la recta real de la nueva variable, por ejemplo en el caso de coordenadas cilíndricas, en el cual la primera variable debe ser siempre positiva { > } y la segunda variable debe estar comprendida en el rango 0 < ≤ 2 .

El cálculo infinitesimal impone otra condición adicional, debido a que posteriormente se exigirá a las funciones que admitan derivadas segundas continuas, por lo cual se exigirá que el determinante jacobiano de las funciones (y su inverso) que definen las coordenadas curvilíneas sea no nulo.

= ( , , )( , , ) = ≠ 0

Al igual que en el cálculo infinitesimal se estudia lo que sucede en el entorno de un punto, también se va a considerar un punto M cualquiera definido por su vector de posiciónOM = xı + yȷ + zk, y por tanto tiene por coordenadas (x, y, z). También a ese punto le corresponde el trio {u1, u2, u3} del sistema curvilíneo que se considera.

3 En general, las variables de los sistema de coordenadas curvilíneas se nombrarán con la denominación genérica de u1,u2,u3. En los casos habituales de sistemas conocido se cambian por la denominación geométrica de estas variables; es el caso de las coordenadas cilíndricas, cuyas variables se denominan (ρ, θ, z)


En ese punto se considera el subconjunto de todos los puntos que mantienen alguna de sus coordenadas constantes y formarían los planos del triedro centrado en M, se llamaran superficies coordenadas. Las rectas de ese triedro serían los puntos que mantienen dos de sus coordenadas fijas y una de las coordenadas permanece variable. Se llamarán líneas coordenadas.

La misma consideración se puede hacer, si en lugar de considerar el sistema cartesiano se considera un sistema curvilíneo. Considerando las tres líneas que tienen fijas dos de las coordenadas curvilíneas y variable a la otra, se puede demostrar que existen estas líneas coordenadas si el sistema está bien definido con el jacobiano de la definición no nulo.

Definidas las líneas coordenadas se estudiara un ente geométrico que es el vector de posición del punto M. Se quiere estudiar como varía este vector cuando el observador se mueve por una línea coordenada y se pasa del punto M al punto M’.

La variación del vector posición es la diferencia: ´ = – ´Desde el punto de vista del cálculo infinitesimal, al vector variación se le puede notificar como: ℎ = ( )

Se trata de un vector que depende del punto M y de la línea coordenada. Este vector es la variación del vector posición al moverse por una línea coordenada y se llama vector natural. Por el punto M pasan tres líneas coordenadas y por tanto a cada punto le corresponden tres vectores naturales.


ℎ = ( ) = ( ) =

Estos vectores naturales dependen de cada punto, existen siempre por ser derivables las funciones xi; son intrínsecos, es decir no dependen del origen O y tienen carácter básico ya que cumplen la condición de que la matriz de cambio de base (el jacobiano) sea no nulo.

2.4. Diversos sistemas curvilíneos. En teoría, se pueden definir tantos sistemas de coordenadas como funciones xi se quieran inventar, pero en la práctica solo tienen sentido aquellos sistemas que tienen utilidad práctica. Escasamente llegan a una docena los sistemas con interés.

La selección de un sistema coordenado debe depender de las condiciones necesarias o de la simetría del problema. Los más habituales son el sistema cartesiano, el cilíndrico y el esférico.

Las extensiones de dos a tres dimensiones en general se hacen de dos formas: a través de levantar la coordenada Z (por ejemplo para pasar de coordenadas polares planas a coordenadas cilíndricas) o a través de generar un giro o revolución alrededor del eje Z, como en el caso de las coordenadas esféricas.

Otros sistemas de coordenadas se definen con la geometría de las cónicas: coordenadas parabólicas, elípticas, biesféricas, etc.

La siguiente tabla indica una clasificación de los sistemas coordenados, si vienen de una traslación hacia el eje OZ, o si está generado por un giro.

Eje de traslación Eje de rotación Ninguno

Cartesiano (3 ejes) Confocal elipsoidal

Circular cilíndrico Circular cilíndrico

Polares esféricas

Elíptico cilíndrico Esferoidal prolato o alargado

Esferoidal oblato o aplastado

Parabólico cilíndrico Parabólico

Bipolar Toroidal

Biesférico

Cónico

Confocal paraboidal

Los diferentes sistemas de coordenadas no se usan como un ejercicio matemático. En realidad es un problema de ingeniería cuya definición cumple una geometría muy concreta y cuya solución en la geometría cartesiana es complicada y cuyas expresiones en la geometría adecuada es sencilla.

Se trata de funciones, que en coordenadas cartesianas son de la forma: = ( , , ) ; = ( , , ) + ( , , ) + ( , , )

Estas expresiones f, gj pueden ser complicadas y sin embargo se podrían considerar en otro sistema


= ( , , ) ; = ( , , )ℎ + ( , , )ℎ + ( , , )ℎ

En el nuevo sistema las expresiones de las componentes puede ser mucho más sencilla. A veces la solución matemática en el sistema cartesiano se “disfrazará” diciendo que una integral se resuelve haciendo un cambio de variable. Seguramente si la integral tuviese sentido ingenieril no se debería plantear en ese sistema y trabajando en el sistema adecuado se llegaría a la misma integral anterior “ya cambiada la variable”.

Se trata de utilizar sistemas en los cuales la complejidad no esté en las funciones gij sino en la base hi. = = ℎ

(La primera g1 difícil y la base sencilla y la segunda al revés, las componentes fáciles y la base complicada)

Esto requiere del conocimiento de los distintos sistemas de coordenadas y de las expresiones de las operadoras diferenciales en estos sistemas.

En los anexos se indican algunos de estos sistemas y las expresiones de los operadores diferenciales en ellos.

2.5. Cambio de base en un sistema curvilíneo.

Dado un sistema curvilíneo a través de sus ecuaciones funcionales xi = xi (uj), se define a continuación la base de los vectores naturales.

Debe recordarse que estos vectores naturales no son fijos sino que varían para cada punto. Esta es la gran ventaja de utilizar un sistema de coordenadas adecuado a cada problema de ingeniería. Las expresiones que en cartesianas serian complicadas, en el sistema adecuado pasa a ser muy sencillas y la complejidad queda en la base de los vectores naturales, por ello debe manejarse estos vectores naturales con seguridad y soltura.

La base de los vectores naturales obtenidos directamente de la definición del sistema ℎ = se llama base contravariante.

Al igual que en el álgebra lineal, se puede calcular la matriz G formada por los productos escalares de los vectores naturales.

= = ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ | | = ≠ 0 Los elementos de esta matriz son funciones que corresponden a los productos escalares de vectores funcionales.

En general todos los sistemas habituales se refieren al sistema cartesiano y no se suelen plantear (aunque es posible) pasar directamente entre distintos sistemas curvilíneos, por ejemplo: directamente al sistema cilíndrico, al esférico o a las parabólicas.

Dado un sistema curvilíneo y la correspondiente base de vectores naturales o contravariantes, se puede definir otra base de vectores llamada base covariante que se define como el conjunto de tres vectores {hj} tales que:


ℎ · ℎ = = 1 0 00 1 00 0 1 Es decir los vectores de la base covariante son tales que el producto escalar con la base contravariante es cero o uno.

También se puede demostrar fácilmente la relación entre la base contravariante y la covariante: ℎ = ℎ = ℎ ℎ = ℎ Por tanto a partir de un sistema cartesiano ortonormal se puede definir cualquier sistema curvilíneo. En este sistema curvilíneo se define la base contravariante como la base de los vectores naturales, y definidos éstos, se puede definir la base covariante de la anterior que cumple las indicaciones estipuladas anteriormente.

Por consiguiente, se tienen definidas tres bases: la ortonormal, la contravariante y la covariante. Cualquier vector del espacio vectorial se podrá definir siempre en cualquiera de ellas.

3. Campos escalares y vectoriales. Variación de campos. En ingeniería es habitual trabajar en tres dimensiones y considerar una zona tridimensional (subespacio) del EGO. A cada punto del espacio se le asigna un determinado escalar (por ejemplo presiones, o temperaturas) o bien un vector (por ejemplo, velocidades o aceleraciones).

Se define campo escalar a cualquier criterio que asigna a todos los puntos de un subespacio un escalar. Se define campo vectorial a cualquier criterio que asigna a todos los puntos de un subespacio un vector. Estos criterios no pueden ser arbitrarios y deben ser útiles, por lo cual el criterio de asignación del escalar o del vector deberá ser un criterio matemático.

Los campos escalares se representan por las superficies equiescalares o equipotenciales, que es el lugar geométrico de los puntos que tienen asignado el mismo valor escalar. Los campos vectoriales se representan por los propios vectores o por las líneas de campo o trayectorias, la trayectoria es la curva en la cual el vector asignado es tangente a dicha curva; también se puede considerar como el camino que sigue un punto si se considera que el vector asignado fuese una velocidad.

Definido el campo escalar o vectorial, y al igual que en la teoría de funciones, interesará conocer cómo varía el valor del campo alrededor de un punto cualquiera. Debe tenerse en cuenta que un campo escalar solamente varía en el valor del número, pero en un campo vectorial, el vector asignado a cada punto puede variar en módulo y en dirección.

3.1. Campo escalar. Derivada direccional. Gradiente de un campo escalar.

Se comienza por considerar que se trabaja en el sistema cartesiano ortonormal, cada punto ( , , ) en el cual se quiere conocer el valor del escalar vendrá definido por su vector posición. Se trata de un vector de origen el origen de coordenadas (punto (0.0.0) y de extremo el punto considerado ( , , ). La expresión del vector posición del punto será = + + .


Se supone el campo escalar definido a partir de un sistema cartesiano ortonormal mediante las funciones ( , , ). Fijado el punto ( , , ), interesa conocer la dirección en la cual la variación del escalar sea máxima y el valor de esta variación máxima. Para ello se define el operador gradiente. Al punto considerado se le asigna un vector llamado gradiente que, en coordenadas cartesianas, tiene la expresión:4 = + +

El campo vectorial gradiente mide la máxima variación de los valores de en cada punto del espacio. A veces se utiliza operador nabla: ∇ = + + aplicado al campo escalar . ∇ = = + +

A partir de ahora, el concepto de gradiente es el mismo que el concepto de derivada o de variación, pero definido para campos y no para funciones (en realidad, la teoría de funciones es un apartado de la teoría de campos).

Pero además de conocer el valor de la máxima variación y la dirección en que se produce, se precisará conocer la variación en ese punto, pero en cualquier otra dirección definida por un versor cualquiera = + + ; | | = 1 . Para conocer la variación de un campo escalar en cualquier punto del espacio, se utiliza la derivada direccional, que es la variación del campo escalar en una dirección determinada y se define como el producto escalar del gradiente por el versor de la dirección considerada. También se podría definir la derivada direccional, como la proyección del vector gradiente sobre la dirección considerada. = · = + +

El concepto de gradiente también se puede considerar como el caso de que a cada punto se le asigna un campo escalar f, e inmediatamente a ese mismo punto se le asigna un nuevo campo vectorial llamado campo de gradientes, que tienen una definición matemática claramente estructurada.

Existe por tanto una relación entre unos campos escalares y otros vectoriales asignados a cada punto. De momento a partir del campo escalar es fácilmente obtenible el campo vectorial. Posteriormente se estudiará el caso inverso, es decir, dado un campo vectorial, deducir el campo escalar, del cual su campo de gradientes sea el campo vectorial originalmente definido.

3.1.1. Definición intrínseca y significado físico del gradiente en coordenadas curvilíneas

Dado un campo escalar ∈ , diferenciable en él, a partir del EGO se definen unas coordenadas curvilíneas {ui}. Se define gradiente del campo escalar U a la expresión: = ℎ

Esta expresión es la expresión de un vector; el segundo paréntesis es la base a la que está referido el vector (que es la base covariante) y el primer paréntesis es la componente del vector gradiente en la base covariante. El primer paréntesis es la derivada parcial de la función U que define el gradiente, 4 En el siguiente apartado se expondrá la expresión del gradiente en un sistema curvilíneo.


que es sencilla de obtener; el segundo paréntesis que corresponde a la base covariante, es necesario unos cálculos previos, ya que en el sistema curvilíneo, es fácil de obtener la base contravariante que son los vectores naturales; a partir de estos vectores se pueden calcular fácilmente la base de vectores covariantes.

La siguiente ecuación recuerda, la relación entre la base contravariante y la covariante. La primera línea se expresa esta relación entre las bases mediante los índices de Einstein y la segunda mediante la notación matricial ℎ = ℎ ; ℎ = ℎ ℎ = ℎ ; ℎ = ℎ 5 El gradiente de un campo escalar U es un campo vectorial al menos de la clase C0, definido en la base covariante. El gradiente tiene carácter intrínseco por tratarse de un vector, del cual está perfectamente definido su base y sus componentes en esa base; posteriormente se podrá cambiar a otra base (a la cartesiana original, a la base contravariante, etc.). = ℎ = ℎ = ℎ

La expresión del gradiente en el sistema cartesiano ortonormal se obtiene fácilmente, considerando que en este sistema la matriz G es la matriz unidad I, y que por tanto la base covariante coincide con la contravariante. La expresión del gradiente en esta base cartesiana ortonormal será: = ℎ = ℎ = + +

Que coincide con la expresión del gradiente en el apartado anterior.

3.2. Campo vectorial. Variación de un campo vectorial. Gradiente de un campo vectorial. Un campo vectorial esta formado por vectores referidos a un origen y una base. La variación de un vector es difícil de medir por su carácter espacial, se deben medir la variación del modulo y la variación de la dirección o si se prefiere la variación de sus tres componentes.

Se define gradiente de un campo vectorial a un campo tensorial definido mediante la expresión = ⊗ ℎ

En esta expresión la operación entre los dos vectores de la derecha es el producto tensorial entre ambos cuyo resultado es un vector de n2 componentes. Esta sobreabundancia de información hace que este tensor no sea fácilmente manejable, se use poco y que haya recurrir a otros operadores que van a dar una información simplificada sobre la variación del campo tensorial. Estos operadores son la divergencia y el rotacional

5Se recuerda que la matriz G es la matriz de los productos escalares de los vectores naturales.


3.2.1. Divergencia de un campo vectorial. Definición intrínseca y significado físico. Dado un campo vectorial definido en coordenadas contravariantes de un sistema curvilíneo = ( , , )ℎ + ( , , )ℎ + ( , , )ℎ , en el cual las funciones fi son derivables y por tanto pertenecientes a la clase C1, se define la divergencia del campo vectorial, como un nuevo campo escalar definido como el producto escalar de la derivada del campo respecto a las coordenadas curvilíneas por la base natural. = · ℎ

Esta definición tiene importantes propiedades: En primer lugar es el producto escalar de dos vectores, y por ello tiene carácter intrínseco, es decir no depende de la base a la que estén referidos dichos vectores. Lo cómodo es que la base a la que están referidos dichos vectores sea la base contravariante y en ella el producto escalar es fácil de operar; de hecho el segundo vector del producto escalar son los propios vectores naturales y el producto escalar de los vectores naturales entre sí, es la matriz G del sistema curvilíneo.

Operando y considerando las propiedades de los vectores naturales, se llega a una definición de la divergencia que es de uso habitual6: = 1 ( ) = 1 + +

Debe tenerse cuidado, ya que en muchas ocasiones en la literatura científica no se especifica la base en la que se trabaja y a veces se trabaja en la base física, que es la base contravariante pero de los versores, lo cual hace que cambian algunas expresiones de los operadores, y en concreto de la divergencia. LA expresión anterior es absolutamente general para la base contravariante.

Esta expresión de la divergencia, en el sistema cartesiano se simplifica aún más, ya que el valor del determinante vale g=1 y la divergencia en cartesianas tiene la expresión: = + +

La divergencia, en el sistema cartesiano, también se puede notificar como (∇ · ). El significado físico de la divergencia se puede observar a través del teorema de la divergencia, particularizado para campos vectoriales y que también se llama teorema de la divergencia. Este teorema tiene la expresión: ( ) =

El significado de la divergencia en un volumen cerrado, es el resultado del flujo a lo largo de la superficie que define el volumen.

6g es el determinante de la matriz G. Se trata, por tanto de una expresión funcional, que en los sistemas habituales es relativamente sencilla.


3.2.2. Rotacional de un campo vectorial. Definición intrínseca y significado físico. Dado un campo vectorial definido en coordenadas contravariantes de un sistema curvilíneo = ( , , )ℎ + ( , , )ℎ + ( , , )ℎ ∈ , se define el rotacional del campo vectorial, como un nuevo campo vectorial, definido como el producto vectorial de la derivada del campo respecto a las coordenadas curvilíneas por la base natural, cambiada de signo = − ∧ ℎ = ℎ ∧ El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial, que tiene carácter intrínseco, puesto que se trata de la operación producto vectorial, que es intrínseca. Esta propiedad de carácter intrínseco significa, que los dos vectores de la operación se pueden poner en cualquier sistema de ecuaciones y la operación del producto vectorial es única, únicamente falta definir en qué sistema de coordenadas se representa el vector resultante de la operación. Generalmente se trabajará siempre en el sistema curvilíneo considerado en cada momento y el resultado se obtendrá en la base natural.

En la práctica se utilizan expresiones más útiles del determinante como la siguiente, en la cual en la última fila las componentes del vector se deben poner en la base recíproca o covariante ( el resultado final está en la base de los vectores contravariantes):

= 1 ℎ ℎ ℎ 3 = 1 − ℎ + − ℎ + − ℎ 3

Se hace el mismo comentario que para la divergencia: Debe tenerse mucho cuidado con la base en la que se trabaja.

En el sistema cartesiano, la base contravariante y la covariante coinciden y por tanto las componentes de cualquier vector también son iguales, y el rotacional tiene la expresión:

= = − + − + −

En cartesianas el rotacional también puede notificarse como (∇ ∧ ) Para un campo de vectores plano donde F representa el campo de velocidades de un fluido en dicho plano, se puede usar una rueda de palas (o molino) centrada en un punto P para medir el valor del potencial en dicho punto P. Situada la rueda de palas centrada en el punto P con el eje perpendicular al plano se observa como giraría esta rueda de palas. Un valor no nulo del rotacional significa que el la rueda de palas rotaria si se sitúa en el fluido. En 3D la idea del rotacional es similar pero mas difícil de ver, en el sentido que el rotacional simultáneamente define la tendencia a rotar en todas las posibles direcciones.

3.3. Operadores diferenciales de segundo orden. 3.3.1. Laplaciano de un campo escalar.

Dado un campo escalar U definido en coordenadas contravariantes de un sistema curvilíneo en el cual la función es derivable y por tanto perteneciente a la clase C1, se define el laplaciano del campo


escalar, como un nuevo campo escalar definido como la divergencia del gradiente del campo escalar U. Se simboliza con el símbolo Δ o bien como ∇ ∆ = ∇ = ( ) En general en los diferentes sistemas curvilíneos se aconseja trabajar siempre a partir de la definición anterior, desarrollando los operadores gradiente y divergencia. El desarrollo en diferentes sistemas curvilíneos permite obtener diferentes expresiones como es: ∆ = + ( ) En un sistema de referencia cartesiano, el segundo miembro de la anterior expresión es nulo y resulta ∆ =

Si además es ortonormal = , es decir el sistema cartesiano habitual, la expresión del laplaciano se reduce a: ∆ = + + En coordenadas cartesianas el laplaciano también puede notificarse como (∇ · ∇ = ∇ )

3.3.2. Laplaciano de un campo vectorial. Es un operador que tiene poco uso en el campo de la ingeniería, se utiliza en la Física y como desarrollo matemático. En caso de utilizarse se recomienda que se use su definición y que se desarrolle, los operadores parciales que aparecen en su definición:

Dado un campo vectorial ∈ , se define el campo vectorial laplaciano de como: Δ = ( ) − ( ) Como se puede observar es una combinación de los operadores diferenciales de primer orden.

3.4. Propiedades de los operadores diferenciales. a) Los operadores diferenciales se pueden agrupar formando múltiples combinaciones, como en

el caso del laplaciano de un campo vectorial. b) Los operadores diferenciales tienen carácter intrínseco, y por tanto se pueden trabajar con

ellos independientemente del sistema de coordenadas. c) Los operadores diferenciales son lineales y se puede plantear una combinación lineal de ellos. d) Los operadores diferenciales se pueden aplicar a campos compuestos formados por

productos escalares o vectoriales de otros campos.

4. Teoremas integrales. Los teoremas integrales se pueden plantear desde el punto de vista de las funciones o se pueden interpretar desde un punto de vista del cálculo integral con ayuda de los operadores diferenciales.


Teorema de Stokes-Riemann o del rotacional.

Desde un punto de vista funcional se puede definir como: ( + + ) = − + − + − Este teorema de Stokes (y el siguiente teorema) pueden tener una interpretación vectorial si se define un campo vectorial f y se le aplican unos conceptos matemáticos, como es la circulación de un vector a lo largo de una curva o el flujo de un campo vectorial a lo largo de una línea o una superficie: · = .

El enunciado del teorema de Stokes indica “que la circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva C es igual al flujo del rotacional del campo a través de cualquier superficie lisa y orientable que tenga por borde la curva C” Teorema de Gauss-Ostrogradski o de la divergencia Se define como: + + = ( + + )

Este teorema admite también una interpretación vectorial, suponiendo un campo vectorial f y los correspondientes operadores diferenciales.

El resultado final se llama Teorema de la Divergencia y tiene la expresión: ̅ = ̅.

En el enunciado de este teorema de la divergencia indica que “la integral de la divergencia de un campo vectorial diferenciable extendida a un volumen V encerrado por una superficie cerrada, lisa y orientable S es igual al flujo del campo vectorial a través de la superficie S”.

Estos dos teoremas expresan la utilidad de los operadores diferenciales para expresar propiedades independientemente del sistema de coordenadas utilizado.


Anexo A. Sistema curvilíneos. Definición y expresiones de los operadores diferenciales.


Anexo B. Sistema cilíndrico. Definición y expresiones de los operadores diferenciales.


Anexo C. Sistema esférico. Definición y expresiones de los operadores diferenciales.

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