8.-operadores diferenciales (1) (1)

7/21/2019 8.-operadores diferenciales (1) (1)

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Operador Diferencial.- Un operador es un objeto matemático que convierte una

función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una

función diferente llamada la función derivada. PodemosDefinir el operador derivada D que al actuar sobre una función diferenciable

produce la derivada de esta, esto es:

Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales

= , = ′ , = ′′ ,………., = () ,Es posible construir la siguiente combinación lineal con los operadores diferenciales

= +……..

Donde , , … , son constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar el

Operador Polinomial de orden n.

La utilidad de este objeto matemático quedara clara si hacemos la siguiente

definición

= −− ⋯ . = −− +….+

= () −(−)+….+

() ′

(1)

(2)



Por otro lado, recordemos que una ecuación diferencial lineal de orden n con

coeficientes constantes es una ecuación de la forma

() −(−) +….+() = () (3)

por lo tanto, (3) se puede escribir de una manera compacta como

= () (4)

El operador polinomial es lineal, esto significa que tiene las siguientes propiedades

1.- Si () y () son dos funciones diferenciables de orden n, entones

() () =α , donde y son constantes.

2.- Si ; ; …() son n soluciones de la ecuación diferencial homogénea

=0 entonces

ℎ = ()+

()+….+

()es también una

solución.

3.- Si ℎ() es una solución de = 0 y () es una solución de = ()entonces = ℎ () es una solución de = ()



4.-Si , () ,…. , son soluciones particulares de las respectivas n

ecuaciones

= ; = ;…… . =

resulta entonces que

⋯ = ⋯ implica que

= ⋯ es una solución de

= ⋯



Ejemplo: Encuentre una ecuación particular de = 3las soluciones particulares son, respectivamente

= 2; = 15 45 ; = 3por lo tanto, una solución particular de la ecuación diferencial es

=

2

1

5

4

5

3 = 1 1

5 4

5



Al operador diferencial también se le pueden agregar las siguientes propiedades.

Consideremos los operadores

= −− ⋯ .

= −− ⋯ . +

(5)

(6)



Propiedad .- Sea Operador Polinomial de orden n, entonces

± = (±)± (1)

Ejemplo .- Obtener la siguiente derivada

8 8

8 +20 8

factorizando en esta expresión 8 y sustituyendo las derivadas por el operador

correspondiente tendremos:

8 8

8 +20 8 = 8 20 8

= 3 8 3 20 8

= 3 8 3 20 8 =952

PRIMERA PROPIEDAD DEL OPERADOR DERIVADA



Aplicación a las ecuaciones diferenciales ordinarias

Esta primera propiedad puede aplicarse también a la determinación de una solución

particular

, de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes; esto

es, de la ecuación (1) donde ± es una constante y una función escalar,

podemos entonces multiplicar dicha expresión por

1

±

1

± = 1

±

1

(±)±

⇛ 1 ± = 1

± ±

Nota:Se debe hacer notar que en la expresión, () corresponde al

polinomio inverso de () y que representa realmente procesos de integración

(2)



Ejemplo .- Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial lineal no

homogénea 3

2 = 10

Solución: Aplicando el concepto de polinomio diferencial tenemos

(3 2)=0

Donde el CFS es : ,

por tanto la solución homogénea de la ecuación diferencial es:

ℎ =

Solución particular Empleando Operador Diferencial o Derivada

(3 2)

=

10

⇛ =

(−+)10

Aplicando a esta expresión la primera propiedad del operador diferencial se

obtiene

= 10

(4)3(4)2)

= 53

∴ =

53



Ejemplo .- Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial lineal no

homogénea 3

2 = 10−

Solución: Aplicando el concepto de polinomio diferencial tenemos

(3 2)=0

Donde el CFS es : ,


ℎ =


(3 2)

=

10−

⇛ =

(−+)10

−

Aplicando a esta expresión la primera propiedad del operador diferencial se

obtiene

= 10

(4)3(4)2) −

= 13

−

∴ =

13

−



SEGUNDA PROPIEDAD DEL OPERADOR DERIVADA

Consideremos en este caso funciones de tipo senoidal y cosenoidal como

; cos ; ; cos ; . = ( )Aplicando sucesivamente el operador derivada a esta función hasta la cuarta

derivada tendremos

= = acos( ) (a)

= = ( )

= = cos( ) (c)

= = sen( )

De las expresiones anteriores se observa que la función trigonométrica ( )se repite en (b) y (d) donde es sustituida por y por

(b)

(d)



= ( )Aplicando sucesivamente el operador derivada a esta función hasta la cuarta

derivada tendremos

= = a( ) (a)

= = ( )

= = sen( ) (c)

= = cos( )

(b)

(d)

De las expresiones anteriores se observa que la función trigonométrica ( )se repite en (b) y (d) donde es sustituida por y por



Ejemplo.- Realizar la siguiente operación

3 2

3 2

3 2Solución:

Factorizando la función (3 2) y utilizando el operador derivada se obtiene

( )(3 2)

Al desarrollar se tiene

( )(3 2)= 9 9 (3 2)= 8 9 (3 2)

= 8D 3 2 9 3 2= 24 3 2 9 3 2




2 4

2 4 2 4

Solución:

Factorizando la función cos(2 4) y utilizando el operador derivada se obtiene

( )(2 4)

Al desarrollar se tiene

( )(2 4)= 4 4 cos(2 4)= 3 4 cos(2 4)

= 3D 2 4 4 2 4= 6 2 4 4 2 4



APLICACIÓN DE LA SEGUNDA PROPIEDAD DEL OPERADOR A LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS

La demostración de esta propiedad considerando operadores inverso es similar a la

demostración de la primera propiedad, tomando en cuenta la siguiente fórmula deEuler

= cos ()Una aplicación de esta propiedad la tenemos en la determinación de una solución

particular de una ecuación diferencia

Ejemplo .-Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial

5

6 = 20cos(4)Solución: Aplicando el concepto de polinomio diferencial tenemos

(5 6)=0

Donde el CFS es : −, −


ℎ = − −




(5 6)=20cos(4) ⇛ = (++) 20cos(4x)

= (−++) 20cos(4x); = 16 =

(−) 20cos(4x);

= (−) 4

cos(4x);

Multiplicando el operador inverso por++ se tiene

= (−)

++ 4cos(4x); = +

(−) 4cos(4x); = 16

= +(−−) 4cos(4x); = 2 4cos(4x);

⇛

= 4(4) 8cos(4) =

4

cos(4)

⇛

∴ = − − 45 4 25 cos(4)



TERCERA PROPIEDAD DEL OPERADOR DERIVADA

En está propiedad se considera una función cualquiera de , llamada ()multiplicada por la función exponencial ± es decir

= ±()Aplicando el operador derivada en forma sucesiva a la expresión anterior se

obtiene

±

= ±

±

()Esta propiedad nos permite anteponer la exponencial al operador derivada,

afectando éste último únicamente a la función ()Si en lugar del operador

aplicamos a éste tipo de funciones un

(), entonces

() ± = ±( ± ) ()

(2)

(3)



Ejemplo .-Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial

5

6 = 20sen(4)Solución:

Aplicando el concepto de polinomio diferencial tenemos

(5 6)=0 ℎ = − −


= (++) 20sen(4x) = 16 =

(−++) 20sen(4x); = (−) 4sen(4x);

= +(−) 4sen(4x); = +(−−) 4sen(4x);

⇛

⇛ =

2 4sen(4x); ⇛

= 4(4) 8sen(4) = - 4 sen(4)

⇛




Solución:

Aplicando la ecuación (2) se obtiene

(( 2)2 2 6)(4)

(2 6)(4)

= (6 2)(4x)

= (16 6 2)(4) Propiedad 2

= (6 14)(4)= 6 4 14(4)= 24(4) 14(4)



APLICACIÓN DE LA TERCERA PROPIEDAD DEL OPERADOR A LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS

Demostración de está propiedad considerando operadores inversos.

Si en la ecuación (3) hacemos el siguiente cambio

= 1 ± ()

se tendrá

() ± 1 ± () = ±( ± ) 1 ± ()

() ± 1 ± () = ±()⇛

multiplicando ambos miembros por ()

1() () ± 1

± () = 1() ±()



⇛ () ±() = ±

± ()

Una aplicación de esta propiedad la tenemos en la determinación de una

de una

ecuación diferencial

Ejemplo.- Determinar la solución general de la siguiente ecuación diferencial:

6 11 6 = 8()Solución

Solución homogénea:

conjunto fundamental de solución es −, − , −

ℎ = − − −

Solución particular:

(6 11 6) = 8()Empleando las Propiedades del Operador Derivada



= 8 1 6 11 6 ()

Aplicando la tercera propiedad del operador derivada

= 8 1 2 6 2 11 2 6 sen(x)

⇛ = 8 1 12 47 60 sen(x)Aplicando la segunda propiedad del operador derivada

= 8 1(1) 12(1) 47 60 sen(x)

⇛ = 8 1

() 12 47 60 sen(x)



⇛ = 8 146 48 sen(x)

multiplicando por−−

= 8 46 4846 48 146 48 sen(x)

= 8 46 4821160 2304 sen(x)

⇛⇛

= 8 46 4821160(1)2304 sen(x)⇛

⇛ = 8 46 48

4420 sen(x)

= 84420 46 48()⇛

=

8

4420

46 48()⇛



Ejemplo: 2 3 () = 1 3 ()

= ( 1) 3 ()

= ( 1) cos 2 3 3

= 2 3 6 2 3 3

= 4 2 3

4 2Teorema : Si = −− ⋯ . es un operador polinomial diferencial con coeficientes constantes y () es una

función n veces diferenciable, entonces:

=



Ejemplo: Evaluar la siguiente expresión: 3 −

al comparar la forma de esta expresión con la de teorema anterior, vemos que

= 2, = Por lo tanto, si hacemos

2 = 2 2 3 = 5 9



Ejemplo 1.3

Obtener la soluci on general de la siguienteecuaci on diferencial lineal no

homog enea



se obtiene que

3 − =

=− 9 15 6

− 2

=

− 5 9

Ejemplo: Evaluar la siguiente expresión:

1.- = 02.- 4 4 = 03.- 5 4 = 04.- 4 = 0



SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON EL OPERADOR

POLINOMIAL

El método puede aplicarse a ecuaciones diferenciales de orden , ya que si se tiene

que …… = ()entonces se puede definir la función como

= …… y lo que queda es resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden

= ()Una vez resuelta la ecuación para

se sustituye en

…… = ()

Repitiendo el proceso

= …… ⇒ = ()



Integrando:

…… = ()

Esta repetición nos llevará entonces hasta la solución (). Para resolver ecuacionesdel tipo

() −(−) +….+() = ; ≠ 0es decir, con coeficientes constantes, :

Ejemplo : Resolver la ecuación

´´´ 2´´ ´ 2 =

Al escribir esta ecuación utilizando el operador diferencial resulta

2 2 = ⇒ 1 1 2 =

Si llamamos = 1 2 entonces se puede ver que

1 =

⇒ =

⇒ =



Conocida la función entonces se tiene que

1 2 =

Repetimos el proceso, pero ahora hacemos = 2 , por lo tanto

1 = ⇒ =

⇒ = 13

2 −

⇒ 2 = 13 2 −

Integrando una vez más:

2 = 1

3

2 −

∴ = 112 − −

Ejemplo : Resolver la ecuación

=



EL OPERADOR INVERSO

Los operadores suelen tener su inversa, esto significa que si

= () ⇒ −() = −()()ℎ = −()()⇒

Donde ℎ(x) es una solución particular de = (). Notemos que esto

significa que

− = …… . .

Ejemplo : Evaluar −(2 3)

Se tiene entonces lo siguiente:

−(2 3)= − (2 3) = − 3 = 3 =



El operador inversa de , es decir − puede también representarse como

() debe quedar claro que su significado radica en el hecho de que al actuar

sobre () produce una solución particular Está ultima notación resulta ser a

veces más conveniente y dependiendo de la forma de ()

Sí: = −− ⋯ . =

entonces

= 1() () = 1 1 ⋯ − − ()

=

1 ⋯ −− () ;

≠ 0donde el término ( 1 ⋯ −− )/ es la expansión

en la serie de 1/()



Nota:

= 0

= − −− ⋯ . = = = 0

= − ⋯ . + =

entonces se puede seguir factorizando. Por lo tanto, en general:

esto significa que

= 1() () = 1

− ⋯ .+ ()

= +⋯.++ ()



Muchos cálculos se simplicarán notablemente por la forma que pueda tener la

función ()

Si :

=

=

Note que si = 0, entonces:

=

() =

; ≠ 0

Porque es constante

Ejemplos: Encontrar una solución particular de 2 3 = 5Solución:

2 3 = 5Aquí = 3, = 2, = 1, = 5, = 0 por lo tanto:

=

() =

;



2.- Encontrar una solución particular de 4 3 9 = 5

Solución: 4 3 9 = 5

Aquí = 9, = 3, = 4, = 5, = 2

= () 5 =

+ +

5 = 1

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