operadores diferenciales con matlab

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTOBAL

DE HUAMANGA.

ESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL.

APLICACIN DE LOS OPERADORES DIFERANCIALES Y

TEOREMAS INTEGRABLES EN LA MECANICA.

ASIGNATURA: DINAMICA (IC-246)

ALUMNOS:

MEDINA QUISPE, Luis Alberto. MEDINA QUISPE, Jhonatan Alexander. PRADO TAQUIRE, Brigmar. DE LA CRUZ CISNEROS, Juan junior.

DOCENTE: ING. CRISTIAN CASTRO PEREZ.

AYACUCHO-PERU

2014

ndice general

1 Operadores vectoriales diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1 Gradiente. 31.1.1 Aplicacin de la gradiente a la mecnica vectorial usando Matlab R2012a. . . 3

1.2 Divergencia. 51.2.1 Aplicacin de la divergencia a la mecnica de fluidos usando Matlab R2012a. 6

1.3 Rotacional. 71.3.1 Aplicacin del rotacional a la mecnica de fluidos usando Matlab R2012a. . . . 7

2 Teoremas integrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1 Teorema de Green. 92.1.1 Aplicacin del teorema de green para hallar momentos de inercia usando Matlab

R2012a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Teorema de Stokes. 112.2.1 Aplicacin del teorema de Stokes a la mecnica de fluidos usando Matlab R2012a.

12

2.3 Teorema de la divergencia de Gauss. 142.3.1 Aplicacin del teorema de la divergencia de Gauss al electromagnestismo usando

Matlab R2012a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Bibliografa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1 Operadores vectoriales diferenciales.

Para poder realizar las operaciones con uso de los operadores vectoriales diferenciales, se tiene queconocer el operador vectorial diferencial nabla .

=x

i+y

j+ z

k

Este operador vectorial posee propiedades anlogas a las de los vectores comunes. Es til para definirtres cantidades que aparecen en ciertas aplicaciones y que se conocen como gradiente, divergencia yrotacional. El operador tambin se conoce como nabla.

1.1 Gradiente.

Definicin 1.1Sea (x,y,z) una funcin escalar definida y diferenciable en cada punto (x,y,z) en ciertaregin del espacio [es decir, define un campo escalar diferenciable].Entonces, el gradientede , que se denota con o grad , se define como sigue:

=(x

i+y

j+ z

k) =

x

i+y

j+ z

k

Observe que define un campo vectorial.

1.1.1 Aplicacin de la gradiente a la mecnica vectorial usando Matlab R2012a.

Problema 1.1 Hallar el momento del vector fuerza ~F respecto al punto M (2,1,1), siendo ~v =

grad en el punto P(1,3,0) y siendo (x,y,z) = 1x2+ y2+ z2

. sus unidades estan en el S.I

Solucin:Lo primero que hacemos es hallar la gradiente de la funcin (grad ), usando Matlab R2012a tenemos:


Para graficar la gradiente hacemos lo siguiente en matlab:

1.2 Divergencia. 5

Por lo tanto:

(x

)P=

(x/(

x2+ y2+ z2) 3

2

)P=0,032(

y

)P=

(y/(

x2+ y2+ z2) 3

2

)P=0,095(

z

)P=

(z/(

x2+ y2+ z2) 3

2

)P= 0

~v = 0,032i+0,095 j

El momento generado por el vector fuerza ~F sobre~r = (1,2,1)El momento sera:

~M =0,095i+0,032 j+0,159k [Nm]

1.2 Divergencia.

Definicin 1.2

Suponga que V (x,y,z) =V i+V j+V k est definida y es diferenciable en cada punto (x,y,z)en una regin del espacio (es decir, V define un campo vectorial diferenciable).Entonces,ladivergencia de V , que se denota con .V o div V , se define como sigue:

.V =(x

i+y

j+ z

k).(V i+V j+V k)

=Vx

i+Vy

j+V z

k

Aun cuando V es un vector, .V es un escalar.


1.2.1 Aplicacin de la divergencia a la mecnica de fluidos usando Matlab R2012a.

Problema 1.2 Sea el movimiento en rgimen permanente definido en coordenadas eulerianas ydado por el campo de velocidades: ~v = (3x2 2y)i+(x 3y) j [m/s].Demostrar que el fluido escompresible,cuando la linea de corriente pasa por x=1m.Solucin: Para que el fluido sea compresible se tiene que cumplir .~v 6= 0, resolviendo en matlabtenemos:

La grfica seria de la siguiente forma:

Este grfico muestra la divergencia de los datos de vectores en el plano XY, el uso del color es para indicar ladivergencia.

1.3 Rotacional. 7

1.3 Rotacional.

Definicin 1.3

Suponga que V (x,y,z) = V1 i+V2 j+V3k es un campo vectorial diferenciable.Entonces, elrotacional o rotacin de V, que se denota x~V , rotacional V o rot V, se define como sigue:

V =(x

i+y

j+ z

k) (V1 i+V2 j+V3k)

V =(V3y V2

z

)i+(V1 z V3

x

)j+(V2x V1

y

)k

1.3.1 Aplicacin del rotacional a la mecnica de fluidos usando Matlab R2012a.

Problema 1.3 Dado el campo de velocidades : ~v = (5x2y)i+ 10(yz+ x) j+ 12k[m/s]. Hallar lavelocidad angular total de la partcula en el punto P(3,1,2).

Solucin:La velocidad angular en un fluido esta dado por ~ = 12 (rotV ) =

12 (V ), resolviendo en matlab

tenemos:


La grfica seria de la siguiente forma:

la velocidad angular total de la partcula en el punto P(3,1,2) ser:

~ =12

rotVP

=12(10yi+(105x2)k)P

=12(10i35k)

= 5i17,5k = 18,20[rad/s]

2 Teoremas integrables.

2.1 Teorema de Green.

Definicin 2.1Suponga que R es una regin cerrada en el plano xy, limitada por una curva simple cerrada, C,y que M y N son funciones continuas de x e y que tienen derivadas continuas en R. Entonces:

c

Mdx+Ndy =

R

(Nx M

y

)dxdy

donde C se recorre en la direccin positiva (en sentido contrario al movimiento de las maneci-

llas del reloj).A menos que se diga otra cosa, siempre supondremos que

significa que la

integral est descrita en el sentido positivo.

2.1.1 Aplicacin del teorema de green para hallar momentos de inercia usando MatlabR2012a.

Problema 2.1 Determinar el momento de inercia respecto al eje x de una disco hueco homogneode radio interno 20cm y radio externo 50cm y de masa 4kg.


Solucin:sabemos que el momento de inercia ser :Ix =

D

y2dA, donde es la densidad superficial del

disco hueco, supuesta constante dado que es homognea.Esta regin no es simplemente conexa, pero se puede extender el teorema de Green a este tipo deregiones con agujeros, siendo:

D

(Nx M

y

)dA =

C2

(Mdx+Ndy)

C1

(Mdx+Ndy)

Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. Para

ello debemos encontrar funciones M, N tales que:(Nx M

y

)= y2 N = 0M =1

3y3

Parametrizando las dos curvas tenemos:

C2 {x = 50 cos t dx =50sentdt y = 50sent dy = 50cos tdt para 0 t 2pi .C1 {x = 20 cos t dx =20sentdt y = 20sent dy = 20cos tdt para 0 t 2pi .Aplicando el teorema de green tenemos:

Ix =

c2

13

y3dx+c1

13

y3dx

Resolviendo en matlab tenemos:

2.2 Teorema de Stokes. 11

La grfica del rea seria de la siguiente forma:

Entonces:

reemplazando m = 4kg

Ix = 725m

Ix = 2900kg.cm2

2.2 Teorema de Stokes.

Definicin 2.2Suponga que S es una superficie abierta, de dos lados, limitada por una curva C cerrada queno se interseca a s misma (curva simple cerrada), y suponga que A es una funcin vectorialde posicin con derivadas continuas. Entonces:


c

A dr =

s

(A) ndS =

s

(A) dS

donde C se recorre en la direccin positiva.

2.2.1 Aplicacin del teorema de Stokes a la mecnica de fluidos usando Matlab R2012a.Problema 2.2 Dado el campo de velocidades de un fluido dado por V (x,y,z) = (2x 1)i+(y+x) j+(Z y) k[m/s2], calcular la circulacin del vector velocidad de rotacin( ) a lo largo de lalinea de corriente que pasa sobre un recipiente cilindrico con radio de 2m y altura de 6m.

Solucin:La circulacin de un campo de velocidad es su integral a lo largo de una lnea cerrada. Recordemosque la razn entre la circulacin del campo de velocidades y el rea de la superficie encerrada porla curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo,entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto lmite no rotar.Aplicando el teorema de Stokes, la circulacin del vector velocidad estar dado por:

=

s

(V ) ndS

Parametrizando la ecuacin del cilindro(x2+ y2 = 4) tenemos:r (r,) : x = r cos y = rsen z = 6 para 0 r 20 2pi

2.2 Teorema de Stokes. 13

Donde:

Hallando el rotacional del campo de velocidades:

Por tanto la circulacin del vector velocidad ser de la siguiente forma:

= 2pi

0

20

rdrd

Resolviendo en matlab :

Entonces el vector velocidad de rotacion es : = 4pi [rad/s]


El comando em matlab para la grfica de la superficie cilndrica es la siguiente:

2.3 Teorema de la divergencia de Gauss.

Definicin 2.3Suponga que V es el volumen limitado por una superficie cerrada S y que A es una funcinvectorial de posicin con derivadas continuas. Entonces:

V

.AdV =

S

A.ndS =S

A.dS

donde n es la normal positiva (dirigida hacia fuera) a S.

2.3.1 Aplicacin del teorema de la divergencia de Gauss al electromagnestismo usan-do Matlab R2012a.

Problema 2.3 Dado la distribucin de carga = (7x3+1

3)ax [

Cm2

].Hallar la carga total que seproduce sobre un cubo de 4m de arista, centrado en el origen y con las aristas paralelas a los ejes.La grfica sera de la siguiente forma:

2.3 Teorema de la divergencia de Gauss. 15

La carga total estar determinada por el teorema de la divergencia de gauss:

Q = .dS =

Vol

(.)dV

Hallando el valor de la divergencia . en matlab :

Hallando los lmites de integracin de la integral triple:x{2,+2} y{2,+2} z{2,+2}Entonces la integral quedara de la siguiente forma:

Q =

Vol(.)dV =

+22

+22

+22

(7x2)dxdydz

Resolviendo la integral triple en matlab:


El comando em matlab para la grfica de la superficie cbica es la siguiente:

CONCLUSIONES SOBRE EL TRABAJO REALIZADO.1 El presente trabajo ayud a entender de una manera ms especfica sobre el uso de los ope-

radores diferenciales y teoremas integrables en aplicaciones de la mecnica, los cuales sonmuchos.Y el cual es como base para el curso de Dinmica.

2 Se desarroll los problemas con ayuda del software de MATLAB, con el cual se pudo desarro-llar las operaciones y grficas correspondientes, para tener una mejor idea sobre como actanen los espacios vectoriales los operadores diferenciales particularmente.

3 Bibliografa.

1 MURRAY R. SPIEGEL Anlisis Vectorial. Segunda edicin.

2 Mara del Carmen Surez Clculo integral y aplicaciones con Matlab.

3 Cesar Lopez MATLAB. Calculo Diferencial. Una y Varias Variables.

4 Jos Vicente Romero . Mara Dolores Rosell , ,Ricardo Zalaya Bez Fundamentos mate-mticos para la ingeniera con MATLAB.

5 Cesar Perez MATLAB y sus aplicaciones a las ciencias e ingeniera.

6 Adolfo Canahuari Condori Superficies con MATLAB.

Operadores vectoriales diferenciales.Gradiente.Aplicacin de la gradiente a la mecnica vectorial usando Matlab R2012a.

Divergencia.Aplicacin de la divergencia a la mecnica de fluidos usando Matlab R2012a.

Rotacional.Aplicacin del rotacional a la mecnica de fluidos usando Matlab R2012a.

Teoremas integrables.Teorema de Green.Aplicacin del teorema de green para hallar momentos de inercia usando Matlab R2012a.

Teorema de Stokes.Aplicacin del teorema de Stokes a la mecnica de fluidos usando Matlab R2012a.

Teorema de la divergencia de Gauss.Aplicacin del teorema de la divergencia de Gauss al electromagnestismo usando Matlab R2012a.

Bibliografa.

operadores diferenciales con matlab

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