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Tabla de contenido Página
Operadores diferenciales y sistemas de ecuaciones 3
Operadores diferenciales 3
Operador anulador 6
Definición 6
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 9
Solución de un sistema, método de los operadores 9
Resumen 15
Bibliografía recomendada 15
Autoevaluación formativa 17
5
2
Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN
Facultad de Ingeniería de Sistemas.
Sistema de Educación Abierta y a Distancia.
Santa Fe de Bogotá, D.C.
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escrito del Presidente de la Fundación.
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3
Operadores diferenciales y sistemas de ecuaciones En este fascículo definiremos el concepto de operador diferencial y lo
emplearemos para encontrar el operador anulador de una función; ade-
más trabajaremos la solución de sistemas de ecuaciones por el método
de los operadores.
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Explica el concepto de operador anular y lo aplica correctamente.
Encuentra el operador anulador para una función.
Soluciona sistemas de ecuaciones lineales por el método de operado-
res.
Operadores diferenciales
A menudo se utiliza el símbolo D para representar la primera derivada
de una función, 2
D para la segunda derivada y así sucesivamente, es
decir, n
D representa la n-ésima derivada de una función; en símbolos
podemos escribir:
n
nn
dx
ydyD
dx
ydyD
dx
dyDy ;;
2
22
en términos de esta notación, la ecuación diferencial lineal de orden n
con coeficientes constantes
)(xgyadx
dya
dx
yda
dx
yda
n
n
nn
n
n
011
1
1
puede escribirse como
5
4
)(xgyayDayDayDan
n
n
n
0
1
1
1
1
o
)(xgyaDaDaDan
n
n
n
0
1
1
1
1
al polinomio en términos de D
0
1
1
1
1 aDaDaDan
n
n
n
se le llama operador diferencial lineal de orden n abreviado como
)(DP .
Si consideramos todos los coeficientes de )(DP constantes, se pue-
den afirmar dos cosas:
1. )(DP es factorizable.
2. Los factores de )(DP satisfacen la propiedad conmutativa.
Por ejemplo,
i) El operador diferencial
DDD 2510 23
se puede factorizar como
))(( 55 DDD o 25)( DD
ii) 23
DD puede factorizarse como )( 12 DD
iii) 34 D es un operador diferencial que no tiene factorización en los
reales; sin embargo, podríamos factorizarlo usando complejos, pero en
este momento sólo nos interesaremos en los reales.
La afirmación (2) nos dice que podemos conmutar los factores del
operador diferencial, veamos un ejemplo.
5
5
Ejemplo
Si )(xfy tiene segunda derivada, entonces
yDD
yDDyDD
))((
))((
53
351522
debemos, para probar esto, ver que yDD ))(( 53 es lo mismo
que
yDD ))(( 35
para hacerlo comencemos por
yDD ))(( 53
y llamamos
yyyDV 55 ')(
así:
yyy
yyyy
yyyydx
d
VDV
VDyDD
152
1535
535
3
353
'''
''''
''
)())((
Ahora trabajemos con yDD ))(( 35 y veamos que obtenemos el
mismo resultado:
yyy
yyyy
yyyydx
d
VDV
VDyDD
152
1553
353
5
535
'''
''''
''
)())((
5
6
así podemos escribir que yDD ))(( 53 = yDD ))(( 35
14.1
Factoriza el operador diferencial dado y demuestra que sus factores
son conmutativos. (Observa el desarrollo del último ejemplo)
1. 164 2 D 2. 92 D 3. 1242 DD
4. 232 2 DD 5. DD 84
Operador anulador
Definición
Si )(xfy es una función derivable al menos n veces, se llama
operador anulador de f :
01
1
1 aDaDaDan
n
n
n
si
001
1
1
)(xfaDaDaDan
n
n
n
Ejemplo
i) El operador anular de kxf )( es D porque 0Dk .
ii) El operador anular de:
a. xxf )( es 2
D ya que 02 xD
b. 5
xxf )( es 6
D ya que 056 xD
c. 867 34 xxxf )( es 5
D ya que 07 45 )( xD y
por tanto 0867 345 xxD
d. x
exf )( es )( 1D ya que 01 xxxxxeeeDeeD )(
e. x
exf)( es )( D veamos
5
7
0 xxxxxeeeDeeD )(
f. x
xexf)( es
2)( D veamos
0
222
2
2
222
22
222
xxxxx
xxx
xx
xexeexee
xexeDxeD
xeDDxeD
)(
En la tabla que sigue hemos resumido, de manera general, los operado-
res anulares para varias funciones; adicionamos uno para la combina-
ción de exponenciales con funciones trigonométricas seno y coseno.
Operador Anulado Función que Anula
nD
121 nxxx ,,,,
nD )(
xnxxxexexxee 12
,,,,
nDD )(222 2
xsenex
xsenexxsenxexsene
xex
xexxxexe
xn
xxx
xn
xxx
1
2
1
2
,,,,
cos
,,cos,cos,cos
El anulador de )()( xgxf es el producto de los anulado-
res.
Ejemplo
Encontremos el operador anulador para:
a. xx
xeexf23 65 )(
5
8
)( 3D anula a x
e35 y
22)( D anula a x
xe26
por tanto el producto de estos anuladores anula la suma de funciones
así:
06523 232 xx
xeeDD
veamos:
0
535
53
6445443
625236523
33
3
2232
2232232
xx
x
xx
xxxx
eeD
eD
xeDDeDDD
xeDeDDxeeDD
.
)(
b. xexfx 2cos)( ,
Aquí, de acuerdo con nuestra tabla 21 ,
Entonces:
0252
o
022112
2
222
xeDD
xeDD
x
x
cos
cos.
c. xesenxexfxxcos)(
2 , el anulador de senxe
x es
)( DDD 22 y el anulador de xe
xcos
2 es )( 542 DD , por
tanto
0542 222 xeseneDDDDD
xxcos
14.2
Encuentra el operador diferencial que anule la función dada:
1. 2261 xx 2. )( xx 813 3. xx 5106 cos
4. senxex3 5. xxx cos 2913
5
9
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Dos o más ecuaciones diferenciales ordinarias que contienen las deriva-
das de dos o más funciones desconocidas de una sola variable inde-
pendiente conforman un sistema de ecuaciones diferenciales simultá-
neas; son ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales:
a.
x
x
edt
dyx
dt
dx
edt
dyx
dt
dx
5
52
b.
ydt
xd
yxdt
yd
75
32
2
2
2
2
La solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es el conjunto de
funciones derivables )(tgx , )(xfy , )(thz , etc, que satis-
facen cada ecuación del sistema en algún intervalo I .
La búsqueda de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales
puede llevarse a cabo por varios métodos; nosotros vamos a utilizar uno
conocido como el método de los operadores en donde empleamos
los operadores diferenciales que hemos trabajado.
Solución de un sistema, método de los operadores
Para solucionar un sistema de ecuaciones diferenciales podemos hacer
uso del principio de eliminación algebraico, pero en este caso no multi-
plicamos una ecuación por una constante para luego sumarla con otra
ecuación; lo que haremos es aplicar sobre las ecuaciones diferenciales
una combinación apropiada de derivadas (operadores diferenciales) de
tal forma que al sumar (restar) dichas ecuaciones, la ecuación resultante
5
10
pueda resolverse por alguno de los métodos conocidos. Veamos algu-
nos ejemplos.
Ejemplo
Consideremos el sistema
xdt
dy
yxdt
dx
2
podemos escribir este sistema como
0
02
dt
dyx
yxdt
dx
si hacemos uso de operadores diferenciales tenemos
(2) 0
(1) 02
Dyx
yxD
si aplicamos el operador D a la ecuación (1) y luego le restamos (2)
obtenemos
02
0
02
xxDD
Dyx
yxDD
o
(3) 0122 xDD
la ecuación auxiliar de (3) es
22 112 mmm
de donde la raíz 1m es real y repetida, así la solución de (3) es
(3) 21
ttteCeCtx )(
5
11
Ahora, si multiplicamos la ecuación (2) por 2D y la sumamos con
(1) obtenemos:
0 2
0 2
022
yDyD
yxD
DyDxD
o
0122 yDD
la ecuación auxiliar es
22 112 mmm
de donde la solución corresponde a:
(4) 43
ttteCeCty )(
Ahora, si sustituimos las soluciones (3) y (4) en (1) tenemos que
042321 etttCCeCCC
de donde
213 CCC y 24 CC
así la solución es
tt
tt
teCeCCty
teCeCtx
221
21
)(
)(
Ejemplo
Resolvamos
teyxy
yxx
4
1
'
'
Podemos ordenar y reescribir nuestro sistema con operadores diferen-
ciales como:
5
12
(2) 41
(1) 13
teyDx
yxD
si aplicamos 1D a (1) y le restamos (2) obtenemos
texxDD 4113
o
(3) 4122 t
exD
para resolver (3) debemos buscar hx y px ; resolvemos la homogénea:
022
xD
la ecuación auxiliar es
022
xm
de donde 2m es raíz real y repetida, por tanto la solución es
tt
h teCeCtx2
2
2
1 )(
Ahora, resolvamos (3) en busca de px , como en (3)
tetg 41)(
suponemos una solución de la forma:
t
p eCkx 3
sus derivadas son:
t
p
t
p
eCy
eCy
3
3
"
'
Si reemplazamos px y sus derivadas en (3) y hacemos uso del método
de coeficientes indeterminados tenemos:
tttt
t
eeCkeCeC
exDxxD
41444
4144
333
2
o
ttekeC 4143
5
13
de donde
43 C y
4
1k
así
t
p ex 44
1
por tanto la solución general es:
ttt
ph
eteCeC
txtxtx
44
1 2
2
2
1
)()()(
Vamos a buscar la solución )(ty del sistema, multiplicando (2) por
3D y sumándole (1) se obtiene
(4) 1822
teyD
Resolvemos la ecuación homogénea
022
yD
la ecuación auxiliar es
022m
la raíz 2m es real y de multiplicidad 2, por tanto
tt
h teCeCy2
4
2
3
Ahora, buscamos la solución particular de (4) empleando coeficientes
indeterminados; llevando a cabo el procedimiento obtenemos:
t
p ey 84
1
así la solución general es:
ttt
ph
eteCeC
yyty
84
12
4
2
3
)(
5
14
Si sustituimos )(tx y )(ty en (2) la ecuación que resulta es
02
24
2
413 ttteCCeCCC
de donde
213 CCC y 24 CC
así las soluciones de nuestro sistema son
ttt
ttt
eteCeCCty
eteCeCtx
84
1
44
1
2
2
2
21
2
2
2
1
)(
)(
14.3
Resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales dado.
1.
yxdt
dy
yxdt
dx
2
74
2.
txdt
dy
tydt
dx
3.
2
14
dt
dyx
ydt
dx
4.
0 22-
02 5
2
2
yDx
yxD 5.
t
t
edt
dyx
dt
dx
edt
dyx
dt
dx
5
52
6.
0
2
2
yxdt
dx
dt
xd
edt
dy
dt
dx t
7.
xDz
zDy
yDx
8. t
t
eDzyx
DzDyxD
ezDx
2
0 1
5
15
En este fascículo hemos trabajado los operadores diferenciales y el ope-
rador diferencial anular; además, hemos resuelto sistemas de ecuacio-
nes diferenciales por el método de los operadores; se ha hecho eviden-
te que para resolver un sistema de ecuaciones debemos emplear los
métodos de resolución de ecuaciones que conocemos.
Rainville, Earl D. y Otros. Ecuaciones Diferenciales. México: Ed. Prentice
Hall. octava edición, 1997, cap. 6
Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.
México: Ed. Inter. – Thomson Editores, sexta edición, 2000, cap. 8
5
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5
17
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 14
Nombre_____________________________________________________________________
Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________
Ciudad __________________________________________ Semestre _________________
1. Encuentra el operador diferencial que anule la función:
xesenxexxcos
2
2. Resuelve el sistema de ecuaciones:
0
0
0 6
dt
dzyx
zdt
dyx
ydt
dx