Prof.ssa Claudia Adduce

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IDRODINAMICA DELLE GRANDI MASSE

Università degli Studi Roma Tre

Laurea Magistrale 2008/2009

Ingegneria Civile per la Protezione del Territorio dai Rischi Naturali

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OBIETTIVI DELL’IGM

- L’obiettivo dell’IGM è lo studio dei flussi di grande scala che si verificano sulla terra (o altrove come nell’astrofisica).

- Tale disciplina si occupa dello studio del moto di fluidi sia in fase liquida (correnti oceaniche, roccia fusa all’interno della terra) che gassosa (flussi di aria nell’atmosfera terrestre, atmosfera di altri pianeti), ma con una restrizione rispetto alla scala del moto.

- Esempi di moti che non rientrano nell’ambito dell’IGM sono: il trasporto solido, le correnti in pressione e le correnti a superficie libera.

- Esempi di moti che rientrano nell’ambito dell’IGM sono: gli anticicloni di grande dimensione, i vortici che si distaccano dalla Corrente del Golfo, i Meddies (Mediterranean Eddies), la grande macchia rossa di Giove.

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OBIETTIVI DELL’IGM

- Questi esempi di moto pur verificandosi in sistemi differenti ed in forme diverse, sono governati dalla medesima dinamica.

- Tali fenomeni si verificano a grande scala e sia la rotazione dell’ambiente (della terra o di un altro pianeta), che le differenze di densità (masse di aria calda e fredda, acqua dolce o salata) assumono un’importanza rilevante.

- L’IGM comprende la dinamica dei fluidi rotanti e stratificati.

- Esempi tipici dell’IGM riguardano: le previsioni del tempo e i cambiamenti climatici (per quanto riguarda l’atmosfera), le onde, i vortici e le correnti (per quanto riguarda l’oceano).

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URAGANI

Uragano Frances durante il suo passaggio sulla Florida (settembre 2004). Diametro della tempesta 830 Km, velocità dei venti 200 Km/h.

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GRANDE MACCHIA ROSSA DI GIOVE

Emisfero sud di Giove in cui è visibile la Grande Macchia Rossa di Giove (è un vortice). E’ visibile l’ombra della luna di Giove (Io), di dimensioni comparabili con la nostra luna.

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AMBITI APPLICATIVI DELL’IGM

L’IGM riveste una notevole importanza in quanto grazie ai recenti progressi della ricerca si è in grado oggi di prevedere: sia il percorso degli uragani, sia, a scale ancora maggiori, il passaggio ogni 3 o 5 anni di una massa anomala di aria calda lungo l’oceano pacifico tropicale e la costa occidentale del Sud America (El Niño).

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EFFETTO DELLA ROTAZIONE

- La rotazione terrestre introduce nell’equazione del moto due termini di accelerazione, che nel sistema di riferimento rotante possono essere interpretati come forze: la forza di Coriolis e la forza centrifuga. La forza centrifuga non ha in realtà nessun ruolo nei flussi geofisici, mentre la forza di Coriolis avrà un’importanza cruciale sul moto di tali flussi.

- L’effetto principale della forza di Coriolis è quello di imporre ad un fluido omogeneo una rigidità verticale, in tal modo il flusso si presenta come un movimento a “colonne”, ovvero tutte le particelle sulla stessa verticale si muovono alla stesso modo.

- La scoperta di questa proprietà è dovuta a Taylor che pur avendo dimostrato la proprietà della rigidità verticale matematicamente, non credendo che tali risultati fossero corretti realizzò degli esperimenti di laboratorio per confutare la sua teoria.

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RIGIDITA’ VERTICALE

- In realtà gli esperimenti di laboratorio dimostrarono che la teoria di Taylor era esatta. Infatti se si inserisce del colorante all’interno di un fluido omogeneo e in rapida rotazione si possono osservare delle strisce verticali, che dopo alcune rotazioni formano delle spirali.

- Nei flussi atmosferici e oceanici a grande scala questo stato di perfetta rigidità verticale non si verifica, in quanto la rotazione non è sufficientemente rapida ed il fluido non è a densità omogenea.

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EFFETTO DELLA STRATIFICAZIONE

- I flussi geofisici sono costituiti da fluidi a diversa densità (masse d’aria calda e fredda o acque dolci e salate), per cui anche la stratificazione, dovuta all’effetto della forza di gravità, riveste un’importanza notevole.

- La forza gravitazionale tende a far andare sul fondo il fluido più denso ed a sollevare quello meno denso. In condizione di equilibrio il fluido risulta stratificato stabilmente, ovvero è disposto per strati orizzontali. Un eventuale moto del fluido disturba tale equilibrio, che la gravità tende sistematicamente a ristabilire. Piccole perturbazioni producono le “onde interne”, mentre perturbazioni più elevate possono provocare il mescolamento o la convezione.

- Un esempio dell’effetto della stratificazione è dato dalla forte resistenza al moto che un’imbarcazione può sperimentare quando naviga in condizioni di calma apparente (dead waters), come documentato da Nansen.

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ONDE INTERNE

Questo fenomeno è dovuto alla presenza di onde interne ed è stato studiato in laboratorio da Ekman. Durante il periodo delle “dead waters” si crea uno strato di acqua relativamente dolce, sovrastante l’acqua salata oceanica, e di spessore comparabile con il pescaggio della nave. In questo modo la nave muovendosi perturba l’equilibrio esistente provocando delle onde interne fra i due strati fluidi, che causano una notevole resistenza al moto.

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SCALE DEL MOTO

- Le scale del moto sono quantità dimensionali che esprimono l’ordine di grandezza delle variabili considerate. Normalmente si considerano grandezze di scala per il tempo, la lunghezza e la velocità.

- Esempio 1: dead water

In questo esempio si osservano oscillazioni di lunghezza d’onda circa pari alla lunghezza della nave, L, che rappresenta la scala delle lunghezze. La velocità della nave rappresenta la scala delle velocità, U, mentre la scala dei tempi è data da T=L/U .

- Esempio 2: uragano Frances

Come scala delle lunghezze si sceglie la dimensione caratteristica dell’uragano L=800 Km, come scala delle velocità si utilizza la velocità dei venti superficiali provocati dall’uragano U=60 Km/h e come scala dei tempi si ha T=55.6 h, che rappresenta il tempo dopo il quale l’uragano cambia direzione (circa 2 giorni).

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SCALE DEL MOTO

- Per valutare l’effetto della stratificazione è necessario introdurre ulteriori grandezze di scala: la densità media 0, l’intervallo di variazione della densità e l’altezza all’interno della quale si verifica la variazione di densità, H.

- Esempio 4: stratificazione nelle dead waters

Nel fenomeno delle dead waters una scala per la densità è 0=1025 Kg/m3 (densità di entrambi gli strati fluidi), la scala della variazione di densità =1 Kg/m3 (differenza di densità fra lo strato inferiore e quello superiore), la scala dell’altezza è H=5 m (spessore dello strato superiore).

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QUANDO LA ROTAZIONE INFLUENZA IL MOTO?

Per rispondere a questa domanda è necessario calcolare la velocità di rotazione dell’ambiente, , definita come:

Poiché la terra ruota simultaneamente una volta al giorno attorno a se stessa ed una volta all’anno attorno al sole, il valore di per la terra si compone di due termini:

2/24 ore + 2/365.24 giorni = 2/1 giorno siderale ≈ 7.29 10-5 rad/s

Il giorno siderale, pari a 23 ore 56 minuti e 4.1 secondi, rappresenta l’intervallo di tempo che intercorre fra il momento in cui una stella fissa (molto distante dalla Terra) è vista un dato giorno ed il momento nel giorno successivo in cui è vista alla stessa angolazione e nello stesso punto sulla terra.

erivoluzionunaditempo

radianti

2

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QUANDO LA ROTAZIONE INFLUENZA IL MOTO?

Se il moto del fluido evolve per un tempo dello stesso ordine di grandezza o superiore al tempo di una rivoluzione, allora il fluido “sente” l’effetto della rotazione dell’ambiente.

Si definisce la grandezza adimensionale, , come

Se 1 la rotazione modifica il moto del fluido, sulla Terra questo accade quando T>24 ore.

Anche i moti caratterizzati da scale dei tempi più piccole (1) e da distanze percorse sufficientemente lunghe, possono essere influenzati dalla rotazione. Si può definire, a partire dalla scala della lunghezza, L, e della velocità, U, un secondo criterio

TT

/

moto del tempi dei scala

erivoluzion una di tempo

22

L

U

ULUvelocitàaLanzadislapercorrereaimpiegafluidoilchetempo

erivoluzionunaditempo

2

/

/2

t

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QUANDO LA ROTAZIONE INFLUENZA IL MOTO?

Se la rotazione modifica il moto del fluido.

L = 1 m U ≤ 0.012 mm/s

L = 10 m U ≤ 0.12 mm/s

L = 100 m U ≤ 1.2 mm/s

L = 1 km U ≤ 1.2 cm/s

L = 10 km U ≤ 12 cm/s

L = 100 km U ≤ 1.2 m/s

L = 1000 km U ≤ 12 m/s

L = 6371 km U ≤ 74 m/s

(raggio terrestre)

1ΩL

2πε

U

1717

QUANDO LA STRATIFICAZIONE INFLUENZA IL MOTO?

Masse fluide a diversa densità sotto l’azione della gravità tendono a disporsi secondo strati orizzontali, per minimizzare l’energia potenziale. In figura è mostrato un profilo verticale di densità misurato nel mar Adriatico durante il mese di maggio.

Un moto dei fluidi, che tenderebbe a far salire il fluido più denso e a far scendere quello meno denso, disturba tale equilibrio ed aumenta l’energia potenziale, producendo una diminuzione dell’energia cinetica ed un conseguente rallentamento del flusso. L’effetto della stratificazione si può valutare confrontando energia potenziale ed energia cinetica. Se è la scala delle variazioni di densità ed H è la scala delle altezze, una tipica perturbazione alla stratificazione consiste nel sollevare un elemento fluido di densità 0+ per un altezza H e, per la conservazione del volume, far scendere un elemento fluido di densità 0

della stessa quota.

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QUANDO LA STRATIFICAZIONE INFLUENZA IL MOTO?

La variazione di energia potenziale per unità di volume è:

Se la scala di velocità del fluido è U, l’energia cinetica per unità di volume è pari a: .

Si può definire il rapporto dell’energia

Se 1 l’energia cinetica necessaria a perturbare la stratificazione è insufficiente (<<1 ) o dello stesso ordine di grandezza della variazione di energia potenziale (1 ) la stratificazione modifica il flusso.

Se >>1 le variazioni di energia potenziale si verificano a causa di piccole variazioni di energia cinetica la stratificazione difficilmente modifica il flusso.

per la stratificazione assume lo stesso significato di per la rotazione.

gHgHgH 00

2021 U

gH

U

2021

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MOTO DI UN FLUIDO STRATIFICATO IN AMBIENTE ROTANTE

Se la rotazione e la stratificazione hanno entrambi effetto sul moto ovvero e .

e

Se si considera un fluido di densità 0, con variazione di densità , che occupa uno spessore H su un pianeta rotante a velocità e soggetto ad un’accelerazione gravitazionale g, allora L rappresenta la lunghezza caratteristica del moto.

Sulla terra (=7.29 x10-5 s-1 e g=9.81 m/s2), in atmosfera (0=1.2 Kg/m3, =0.03 Kg/m3, H=5000 m), in oceano (0=1028 Kg/m3, =2 Kg/m3, H=1000 m) si ottengono le seguenti scale delle lunghezze e delle velocità:

Latm 500 Km Uatm 30 m/s

Loce 60 Km Uoce 4 m/s

Rappresentano: le dimensioni e le velocità tipiche dei venti nelle formazioni meteorologiche; la larghezza e la velocità tipiche delle correnti oceaniche.

gHU 0 /gHL 01ΩLπU2ε 122

0 gHU ΩUL

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DIFFERENZE TRA ATMOSFERA ED OCEANI

I moti (dell’aria in atmosfera e dell’acqua marina negli oceani) che sono studiati dall’IGM hanno scale caratteristiche che vanno dalle decine di Km alla dimensione della terra.

Esempi di fenomeni atmosferici sono: le brezze costiere, i cicloni, gli anticicloni.

Esempi di fenomeni oceanici sono: i flussi di estuario, i vortici oceanici di grande dimensione, le correnti oceaniche (corrente del golfo).

In generale i flussi oceanici sono più lenti e più confinati di quelli atmosferici. Infatti la maggior parte dei processi oceanici sono causati dalla presenza di confini laterali (continenti, isole), che sono assenti in atmosfera.

I moti atmosferici sono spesso fortemente dipendenti dal contenuto di umidità dell’aria (nubi, precipitazioni).

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DIFFERENZE TRA ATMOSFERA ED OCEANI

Atmosfera

Fenomeno Lunghezza Velocità Durata

Micro turbolenza 10–100 cm 5–50 cm/s pochi secondi

Temporali pochi km 1–10 m/s poche ore

Brezze marine 5–50 km 1–10 m/s 6 ore

Tornado 10–500 m 30–100 m/s 10–60 minuti

Uragani 300–500 km 30–60 m/s giorni-settimane

Venti montani 10–100 km 1–20 m/s giorni

Formazioni meteorologiche 100–5000 km 1–50 m/s giorni-settimane

Venti prevalenti globale 5–50 m/s stagioni-anni

Variazioni climatiche globale 1–50 m/s decadi ed oltre

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DIFFERENZE TRA ATMOSFERA ED OCEANI

Oceani

Fenomeno Lunghezza Velocità Durata

Microturbolenza 1–100 cm 1–10 cm/s 10–100 s

Onde interne 1–20 km 0.05–0.5 m/s minuti-ore

Maree scala di bacino 1–100 m/s ore

Risalita costiera 1–10 km 0.1–1 m/s diversi giorni

Fronti 1–20 km 0.5–5 m/s pochi giorni

Vortici 5–100 km 0.1–1 m/s giorni-settimane

Correnti prevalenti 50–500 km 0.5–2 m/s settima-stagioni

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DIFFERENZE TRA ATMOSFERA ED OCEANI

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DIFFERENZE TRA ATMOSFERA ED OCEANI

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DIFFERENZE TRA ATMOSFERA ED OCEANI

Forzanti

La forzante primaria che produce i processi atmosferici è la radiazione solare (forzante termodinamica).

L’oceano ha diverse forzanti: le maree sono dovute ad una forzante gravitazionale (luna e sole); la superficie dell’oceano è soggetta alla forzante dei venti, che inducono le correnti oceaniche; l’evaporazione e le precipitazioni agiscono come forzanti termodinamiche che modificano le correnti esistenti.

Provenienza-direzione dei flussi

I meteorologi sono interessati a conoscere la provenienza dei venti, quindi si riferiscono alle velocità dell’aria attraverso la direzione di provenienza (un vento orientale è un vento proveniente da est, ovvero diretto verso ovest).

I navigatori sono sempre stati interessati a conoscere dove una corrente li avrebbe condotti, di conseguenza gli oceanografi designano le correnti attraverso la loro direzione di propagazione (una corrente orientale è una corrente diretta verso est, ovvero proveniente da ovest).

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ACQUISIZIONE DATI E SIMULAZIONI NUMERICHE

Acquisizione dati

Per lo studio dell’IGM è utile l’acquisizione di dati atmosferici ed oceanografici.

Grandezze scalari: pressione, temperatura, vapor d’acqua, precipitazione, salinità, livello del mare.

Grandezze vettoriali: velocità dei venti e delle correnti

Simulazioni numeriche

Le equazioni che descrivono i fenomeni dell’IGM non possono essere risolte analiticamente, tranne che in rari casi e dopo aver fatto numerose semplificazioni. I computers non sono in grado di risolvere equazioni differenziali, di conseguenza le equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) che descrivono l’IGM devono essere trasformate in una sequenza di operazioni aritmetiche.

Esistono differenti modelli per la simulazione numerica dell’IGM, che si differenziano per tipologia e dimensione (locali, regionali, globali).