problem a rio de matemtica financier a 25[1]

Instituto Pedagógico Rural “El Mácaro” Prof. José Antonio Martínez García

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO PEDAGÓGICO RURAL “EL MÁCARO”

DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA

TURMERO.- ESTADO ARAGUA

MANUAL DE MATEMÁTICA

FINANCIERA(Adaptado al Programa Sinóptico de la asignatura)

Prof. José Antonio Martínez García

Turmero, Agosto de 2005.

1


INTRODUCCIÓN.

Ante la dificultad de encontrar, en las bibliotecas del Instituto Pedagógico Rural “El

Mácaro”, libros de Matemática Financiera adaptados a la realidad venezolana, se

escriben estas notas sobre operaciones aritméticas aplicadas transacciones

comerciales.

En primera instancia, porque sirve de guía para desarrollar el Programa Analítico

de la asignatura, basado en el Programa Sinóptico, tanto para los docentes como

para los alumnos.

Se presenta este Manual de Matemática Financiera dividido en cuatro unidades,

las cuales son:

Unidad I: Conceptos Matemáticos básicos.

Unidad II: El Interés Simple.

Unidad III: El Interés Compuesto.

Unidad IV: Rentas

El Autor espera que este producto sea utilizado en las extensiones del IPREM y

agradece, de antemano, cualquier sugerencia u observación que los usuarios

tengan a bien hacer llegar por el correo electrónico [email protected]

Prof. José Antonio Martínez García

Instituto Pedagógico Rural “El Mácaro”

Departamento de Ciencia y Tecnología

UNIDAD I

CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS.

2


La asignatura Matemática Financiera, correspondiente al Diseño Curricular de la

Especialidad de Educación Rural, en el Instituto Pedagógico Rural “El Mácaro”,

tiene como propósito general Proporcionar a los participantes los conocimientos

básicos y la práctica necesaria para resolver problemas de Matemática Financiera

Básica. Por esta razón, se considera imprescindible repasar las operaciones

aritméticas a utilizar en el desarrollo del curso. Estas operaciones fueron aprendidas

en los cursos de Educación Básica y Educación Media; la experiencia del autor

indica que, tal vez por falta de uso, tales operaciones se olvidan, por lo que se

fracasa en el aprendizaje de los conceptos de matemática Financiera.

Tomando como base lo anteriormente expuesto, se presenta a continuación una

síntesis de operaciones aritméticas, con su sustento formal, a fin de que sea una

referencia futura del trabajo en la asignatura Matemática Financiera.

Conjuntos Numéricos

Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,… son conocidos como números

naturales ya que se derivan en forma natural del proceso de contar.

Para “sumar” dos cualesquiera de dichos números, digamos 6 y 3, empezamos

con 6 (o con 3) y contamos hacia la derecha tres (o 6) números para obtener 9.

Debido a que no hay un número natural mayor que todos los demás, siempre la

suma de dos números naturales es un número natural, es decir, siempre es posible

la suma.

Para restar 3 de 8, a partir de 8 contamos 3 números hacia la izquierda hasta 5. La

operación de resta (o sustracción), sin embargo, no puede ser efectuada en todos

los casos. Por ejemplo, 7 no puede ser restado de 4 ya que solamente hay tres

números a la izquierda de 4. Para que siempre sea posible efectuar la resta, es

necesario crear nuevos números para colocarlos a la izquierda de los naturales. El

primero de ellos, 0, es conocido como cero, y los demás -1, -2, -3, -4,… son

conocidos como enteros negativos. Estos nuevos números junto con los naturales

(llamados ahora enteros positivos y representados como +1,+2, +3, +4,…) forman el

conjunto

3


…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,…

que no tiene principio ni fin. Las operaciones de suma y resta (es decir, contar hacia

adelante o hacia atrás) siempre es posible, sin excepción. Por razones practicas el

símbolo + se omite.

Para sumar dos enteros, como +6 y -2, empezamos con +6 y contamos hacia la

izquierda (dirección indicada por el signo de -2) dos unidades hasta +4, o

empezamos con -2 contamos hacia la derecha (dirección indicada por el signo de

+6) seis unidades hasta +4. ¿Cómo sumaría -6 y -2?

Si se quiere operar fácilmente con números positivos y negativos, es necesario

evitar el proceso de contar. Para hacerlo, consideramos el hecho de que +8 y -8

están a ocho unidades del 0. Esta cantidad de unidades desde un número hasta el 0

recibe el nombre de valor absoluto del número. Formalmente se denota por ,

donde A es entero. Su definición se da por

Con esto en mente y recordando las tablas de sumar y multiplicar, se utilizan las

siguientes reglas:

Regla 1: Para sumar dos números con signos iguales, se suman los valores

absolutos y se mantiene el signo común.

Regla 2: Para sumar dos números con diferente signo, se resta el menor valor

absoluto del mayor valor absoluto, manteniéndose el signo del mayor valor

absoluto.

Regla 3: Para multiplicar dos números o dividir un número por otro (no nulo), se

multiplica o dividen los valores absolutos, anteponiendo al resultado “+”, cuando

sean de igual signo, o “-“, cuando sean de diferente signo.

Al aplicar la Regla 3, no siempre el resultado es un entero, por lo que hay que

construir nuevos símbolos (números) para que estos resultados de división tengan

4


sentido. De aquí que, si a y b son enteros, con b≠0, se define y recibe el

nombre de fracción común. Así tenemos. Por ejemplo, que

. Si a < b, se dice que la fracción es propia. Caso

contrario, se dice impropia.

Con las fracciones se realizan las operaciones aritméticas de suma, resta,

multiplicación y división, lo que permite la resolución de ecuaciones de primer grado,

bien definidas, y algunas de segundo grado, en el contexto de la matemática

financiera.

Las reglas operatorias para las fracciones son:

Suma algebraica:

, si , entonces

Multiplicación:

División:

(Nota: Debe evitarse hablar de “aplicar la

doble c”, ya que esta no es ninguna regla matemática; sólo mnemotécnica)

Otro término utilizado en Matemática Financiera es el de Razón. Este concepto

también se asocia al de división, por lo que no es de extrañarse que se acepte la

definición siguiente: Una razón entre dos enteros a y b es su comparación por

cociente, es decir . Se llama Proporción a una igualdad de razones, esto es,

dados los enteros a, b, c y d, la expresión constituye una proporción. Los

enteros involucrados en la proporción se conocen como cuartas proporcionales. Una

5


notación utilizada para la proporción indicada anteriormente es , por lo

que a y d se conocen como “extremos” y c y d como “medios”. De aquí la expresión

“el producto de los extremos es igual al producto de los medios”, pues

Ahora bien, reescribiendo la proporción, por ejemplo concluimos que “en

una proporción, dadas tres cuartas proporcionales, podemos calcular el valor de la

otra”. Este hecho es conocido como aplicación de una regla de tres. Pero hay que

tener cuidado con dicha aplicación. Antes de aventurarse a aplicar una regla de tres,

debe considerarse la relación de correspondencia entre las variables involucradas,

esto es, si son proporcionales y , en caso de serlo, si es directa o inversa. ¿Cómo

averiguarlo? Observemos los gráficos siguientes

X Y0 01 22 43 64 85 10

Figura 1

En la Fig. 1 a medida que aumenta “x”, aumenta “y”, en la misma proporción 2.

Notemos que, exceptuando el par (0,0), con los demás pares podemos establecer lo

siguiente

6


En este caso hablamos de una Proporcionalidad Directa. Pero, ¿Cómo asociar la

información gráfica con las proporciones y la regla de Tres?

Lo anteriormente expuesto se “acostumbra” plantearlo así:

a ---------- 5 se concluye que a = 3 6 ----------10

El otro gráfico es el siguiente

X Y

0,25 8,00

0,50 4,00

1 2,000

2 1,000

3 0,667

4 0,500

5 0,400

En la Fig. 2 a medida que aumenta “x”, disminuye “y”, en la misma proporción 2.

La Proporcionalidad es Inversa. En la tabla se observa que

Lo anteriormente expuesto se “acostumbra” plantearlo así:

a ---------- 5

se concluye que a = 3

0,667 -------0,4

7


Otros tipos de números son los no racionales, esto es, los que no pueden ser

expresados como el cociente de dos enteros (no pueden escribirse como

fracciones). Generalmente surgen cuando tratamos de resolver ecuaciones con

potencias enteras, por ejemplo, y otras. Para

resolver el problema, recordemos las propiedades de la potenciación y del cálculo

logarítmico, el cual se resume a continuación: Sea b > 0 un número fraccionario y

sea a un racional (que puede ser expresado como una fracción).

Potenciación Logaritmación

Estas propiedades se aplican, algunas veces, en cálculo financiero, por lo que no

deben dejarse de lado. Aunque se tenga una buena calculadora científica o se

trabaje con Excel, el operador debe indicar cuál o cuáles operaciones utilizar.

Tanto por ciento

El tanto por ciento es una proporcionalidad que se establece con relación a cada 100

unidades. Se expresa por el símbolo %, por lo que el significado de éste es

8


.

Ejemplo. Si con una inversión durante un mes, de Bs. 500 000, se obtiene un

rendimiento de Bs. 30 000, ¿Qué rendimiento corresponde a Bs. 100 de inversión?

Se establece la proporción

Ejercicios

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1.- Calcular el

2.- Efectuar las operaciones indicadas

3.- ¿Qué por ciento de

4.- Hallar x si el 7% de x es 5,25.

5.- ¿De qué número es 20 el 25%?

6.- Un Abogado recupera el 90% de una demanda de Bs. 20 000 000 y cobra, por

concepto de servicios, el 15% de la suma recuperada. ¿Cuánto recibirá el cliente?.

7.- Una persona compra un T.V. por Bs. 358 000, incluyendo el IVA. ¿Cuál es el

precio del T.V.?

8.- El presupuesto presentado por un contratista, para la construcción de un nuevo

edificio, ascendía a Bs. 48 000 000. De esta cantidad, el 19% era para plomería, el

34% era para materiales y suministros, y el 36% para mano de obra. El resto

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constituiría la ganancia del contratista. Halle la cantidad correspondiente a cada

partida mencionada.

9.- En un examen de Matemática Financiera aprobaron 27 alumnos, los cuales

constituían el 75% del total del curso. Calcular el número de alumnos del curso.

10.- Un hombre puede cancelar una hipoteca de una casa en 6 años si cada año

ahorra Bs. 4 700 000, lo cual constituye el 16% de sus ingresos anuales. Calcular los

ingresos anuales y el monto de la hipoteca.

11.- J.A. Martínez compró una computadora valorada en Bs. 1 800 000, con un

descuento del 7%. La factura tiene fecha 10 de Marzo, y se ofreció un descuento del

3% por pago dentro de los 10 días siguientes. ¿Qué cantidad pagó Martínez el 23 de

Marzo?

12.- Demostrar que una ganancia del 40% sobre el precio de venta de un artículo

equivale a una ganancia del 66% sobre su costo.

13.- Un comerciante ofrece un artículo con un 10% de descuento. Si previamente

había incrementado el precio en 10%, ¿Ganó o perdió en la operación?

11


UNIDAD II

EL INTERÉS SIMPLE

Desde el principio de las civilizaciones, el hombre ha necesitado de transacciones

económicas, bien sea por trueques (intercambio de Bienes Materiales) o con la

utilización del dinero. Todas estas operaciones se registraban en “libros”, naciendo

así la ciencia contable. Las operaciones aritméticas allí registradas, a su vez, dieron

inicio a la Matemática Mercantil o Financiera. En este Capítulo se estudia la relación

entre el dinero puesto en juego en diversas transacciones comerciales y el tiempo de

vida de las mismas.

Por todos es conocida la compra a créditos. En ella, la Deuda es cancelada o

pagada, en un solo pago o en pagos sucesivos. Dependiendo del cálculo de la

ganancia, se habla de Interés Simple o Compuesto. En el capítulo IIi se tratará el

Interés Compuesto.

Se define el Interés Simple como aquel en el cual los intereses devengados en un

período no ganan interés en el siguiente período. Por ejemplo, si depositamos hoy

Bs. 5 000 000 en una cuenta que paga 0,5 % mensual de interés simple, y no

retiramos los intereses mensualmente , entonces al cabo de tres meses tendremos

un total acumulado de

Bs.

Esta clase de interés tiene, actualmente, la desventaja de que, al no capitalizar los

intereses, éstos pierden poder adquisitivo con el tiempo y al final de la operación

financiera se tendrá una suma total no equivalente a al original, o sea, el valor

acumulado allí no será representativo del valor inicial. Por esta razón, hoy día, esta

clase de interés no se aplica, y si existe operación donde no se cobran intereses

sobre los intereses, éstos deben pagarse periódicamente, ya sea al principio o al

final del período.

El cálculo resultado del cálculo anterior pudo obtenerse por la identidad

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En esta relación se utilizan los términos:

: Capital inicial de la operación (en Bs.)

: Tasa (o Rata) de interés ( )

: Tiempo que dura la operación.

: Monto o Valor Final de la operación (en Bs.)

Debe tenerse en cuenta la homogeneidad entre las unidades de i (frecuencia) y n

(tiempo), esto es, debe cumplirse que

Antes de continuar, se considerará que las tasas en los problemas son anuales si no

se dice otra cosa. De igual forma, para efectos de cálculo se tomará el año comercial

(360 días), también si no se dice otra cosa.

Ejercicio: Completar la Tabla siguiente.

(Bs.)

6000000 12 5 meses

3500000 9 meses 4000000

1%

trimestral

Año y

medio5680000

1 11 200

50000 11,5 55000

Estos problemas pueden resolverse con ayuda del Programa Excel de Microsoft.

Esta es una Hoja de Cálculo que tiene predefinidas todas las fórmulas de

Matemática Financiera. Veamos un ejemplo,

Tasa Tiempo

anual Años

mensual Meses

semanal semanas

trimestral trimestres

semestral semestres

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Capital Inicial(Bs.) Interés(mensual) Tiempo(meses) Valor Final2000000 0,25 9 Bs. 2.045.000,00 2500000 0,5 9,5 Bs. 2.618.750,00 3000000 0,75 10 Bs. 3.225.000,00 3500000 1 10,5 Bs. 3.867.500,00 4000000 1,25 11 Bs. 4.550.000,00 4500000 1,5 11,5 Bs 5.276.250,00 5000000 1,75 12 Bs 6.050.000,00 5500000 2 12,5 Bs 6.875.000,00 6000000 2,25 13 Bs. 7.755.000,00 6500000 2,5 13,5 Bs. 8.693.750,00 7000000 2,75 14 Bs. 9.695.000,00 7500000 3 14,5 Bs .10.762.500,00 8000000 3,25 15 Bs 11.900.000,00 8500000 3,5 15,5 Bs 13.111.250,00 9000000 3,75 16 Bs 14.400.000,00 9500000 4 16,5 Bs.15.770.000,00 10000000 4,25 17 Bs.17.225.000,00

Tabla generada por Excel XP

Para utilizar esta herramienta informática, el usuario debe conocer las fórmulas

muy bien, ya que el programa no tiene todos los casos.

Ecuaciones de Valor: En algunas ocasiones es conveniente para un deudor

cambiar el conjunto de sus obligaciones por otro conjunto. Para efectuar esta

operación , tanto como el deudor como el acreedor deben estar de acuerdo en la

tasa de interés que ha de utilizarse en la transacción y en la fecha en que se llevará

a cabo 8ª menudo llamada Fecha Focal).

Este procedimiento se basa en la equivalencia de las dos operaciones financieras

en un momento dado. Veamos un ejemplo.

En la fecha, B debe Bs. 1 500 000 por un préstamo con vencimiento en 6 meses,

contratado originalmente a años a la tasa de 4% y debe, además, Bs. 2 500 000

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con vencimiento en 9 meses, sin intereses. Él desea pagar Bs. 2 000 000 de

inmediato y liquidar el saldo mediante un pago único dentro de un año. Suponiendo

un rendimiento del 5% y considerando la fecha focal dentro de un año, calcular el

pago único mencionado.

Solución.

El valor final del préstamo con intereses es 1 500 000( 1+ 0,04x1,5)= 1 590 000

Bs.

Designemos por X el pago único a calcular. Construyamos una línea de tiempo

Bs. 1 590 000 Bs. 2 500 000 F.F.

Bs. 2 000 000 6 meses 9 meses 12 meses

X

Calculando cada valor en la fecha focal e igualando la suma del valor resultante de

las obligaciones originales con el de las nuevas obligaciones, tenemos:

1. Problemas de Interés Simple

Formulas de Interés Simple

I = C * t * i

VF =C (1 + i * t)

C =VF (1 + i * t)-1

VF = C + I

I = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa.

Calcular el interés simple comercial de:

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a. Bs2.500.000 durante 8 meses al 8%.

C = Bs2.500.000 t = 8 meses i= = 0,00667

I = 2.500.000 * 8 * 0,00667 =Bs.1.334.000, 00 Respuesta

b. Bs.600.00 durante 63 días al 9%.

I =Bs.600.000 t =63 días i = = 0, 00175

I =600.000 * 63 * 0, 00175=Bs.66150

Bs.12.000 durante 3 meses al 8½ %.

C =12.000 t =3 meses i =0,0071

I =12.000 * 3 * 0,0071= Bs. 255,6

c. Bs.150.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre, del mismo año.

C =Bs.150.000 i = = 0,000028 t =167 días

I =150.000 * 0,000028 * 167= Bs.7014

Calcular el interés simple comercial de:

a. Bs. 500.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual.

C = Bs.500.000 i = = 0, 0075 t =116 meses

3años + 2 meses + 20 días =36 meses + 2 meses + meses = 38,67

meses

I =500.000 * 38,67 * 0,0075 =Bs.145012,5

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Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresa en meses por lo que debe transformarse el tiempo también a meses

b. Bs.800.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual.

C = Bs.800000 t =7,5 meses i = 0,015

I = 800.000 * 7,5 * 0,015= Bs90 000. Respuesta

2. Un señor pago Bs.2.500.000, 20 por un pagaré de $2.400.000, firmado el 10 de abril de 1996 a una tasa de 41/2 %de interés. ¿En qué fecha lo pagó?

VF = Bs.2.500.000, 20 C =Bs.2.400.000 i = 0,045 t =?

t = 0,93 años Respuesta 16 de marzo de 1997

Un inversionista recibió un pagaré por valor de Bs.120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo maño lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?

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Una persona debe cancelar Bs.140.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagaré tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?

Valor del vencimiento

.Luego, la morosidad es

Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de Bs. 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe Bs. 19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le descontó el pagaré?

La tasa annual es 9,18%

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Una persona debe Bs.20.000 con vencimiento a 3 meses y Bs16.000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año).

Vf1=20.000(1+ * 9)= 21.200

Vf2=16.000(1+ * 4)= 16.426,67

Deuda = 21.200 + 16.426,67

Deuda = 37.626,67

Pagos

P1 = x (1+ * 6) =1,04 x

P2 = x

Pagos =P1 +P2

Pagos =2,04 x

Deuda = Pagos

37.626,67=2,04 x

Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno /Respuesta

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Nota: En este problema, como en todos los similares, debe llevarse los valores de las deudas a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder efectuar operaciones sobre estos valores.

2. Problemas de Descuento

Formulas para Descuento Real

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 + d * t)-1

Las formulas son iguales a las de interés simple; he aquí sus equivalencias.

i = d tanto por ciento/tasa de descuento

I = D descuento

VF =VN valor nominal

C =VP valor presente

Formulas de Descuento Comercial

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 - d * t)

Determinar el valor líquido de los pagarés, descontados en un banco a las tasas y fechas indicadas a continuación:

a. Bs.200.000 descontados al 10%, 45 días de su vencimiento.

200.000(1- * 45)= 197500

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b. Bs.180.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.

180.000(1- * 2)=177300

c. Bs.140.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el 18 de septiembre del mismo año.

140.000(1- * 95)=137044,4

d. Bs10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14 de febrero del año siguiente.

100.000(1- * 86)=97611,1

2.2. Alguien vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio de cierto año:

a. Bs.200.000 de contado

b. Un pagaré por Bs.200.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año.

c. Un pagaré por Bs.300.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo año.

Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de la venta.

a. 200.000 contado

b. 200.000(1- * 92)=195400

a. 300.000(1- * 153)=288525,0

Total =200.000 + 195400 + 288525 = Bs. 683925

Un pagaré de Bs.100.000 se descuenta al 10% y se reciben del banco Bs.97.890. Calcular la fecha de vencimiento del pagaré.

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100.000=97.890 (1+0,1 * t) → t = 0,21 años

Luego,

0,22 años * 12 meses/años = 2,64 meses = 2 meses y 19 días

El Banco Ganadero descuenta un pagaré por Bs.8.000.000 al 10%, 90 días antes de su vencimiento, 5 días después lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la utilidad del Banco Ganadero.

8.000.000(1- * 90)=7.800.000

8.000.000(1- * 75)= 7.850.000

Utilidad 7.850.000-7.800.000= 50.000

¿Qué tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700 dólares, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron 666,67 dólares netos?

700=666,67(1 + i 60) → i = 0,00083324 diarios

i = 0, 30 anual = 30%

¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron 146,52 dólares, si se descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento?

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146,52 = VF (1 - * 85)

VF = 165,68

3. Transformación de Tasas

Método de igualación

Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente

(1+ )4/12 = (1 + ntnm)12/12

T. nominal trimestral capitalizable mensualmente = 0, 196 19,6%.

Del 24% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.

(1+ 0,24)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2

Tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente =5,6 % Respuesta.

Del 12% nominal anual capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente.

(1+ )4/4 = (1 + )4/4

Tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente =0,07 7%.

Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.

(1+ 0,22)2/6 = (1 + e b)6/6

Tasa efectiva bimensual = 0,06852 6,85% Respuesta.

Del 30% nominal bimensual capitalizable semestralmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable anualmente.

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(1+ * 3)2 = (1 + ntca)

Tasa nominal trimestral capitalizable anualmente = 0,69 69%

Del 52% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.

(1+ 0,52)1/2 = (1 + ntcs * 2)2/2

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UNIDAD III.

Interés compuesto

En el Interés Compuesto, el Monto calculado en un período pasa a formar parte del

capital inicial para el período siguiente, esto es, el interés genera interés.

a. 4. Problemas de Interés Compuesto

Formulas de Interés Compuesto:

M = C (1 + i)n

C = M (1 + i)-n

M = monto o también llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempo

Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para disponer de Bs.20.000.000 al cabo de 10 años.

i = 0,15 efectiva trimestral

n = 10 años

M = 20.000.000

C =?

C = 20.000.000 (1+ )-10(4)

C =4.586.757,506

¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de Bs.200000 que paga el 3% anual, para que se convierta en Bs. 750000?

n =? C = 200000 i = 0,03 M =750000

25


42,38 años = 42 años, 4 meses y 15 días

Hallar el valor futuro a interés compuesto de Bs.100, para 10 años:

a. al 5% efectivo anual

M = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89

b. al 5% capitalizable mensualmente

M = 100 (1 + ) 10(12) =164,20

c. al 5% capitalizable trimestralmente

M = 100 (1 + ) 10(4) =164,36 Respuesta

d. al 5% capitalizable semestralmente

M = 100 (1 + ) 10(2) =163,86 Respuesta

Hallar el valor futuro de Bs.200.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses.

VF = 200.000(1 + 0,08) 10+ (4/12) = 443.005,20

¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente?

(1+ )4/2 = (1 + )2/2

26


i =0,0808 8,08% Respuesta

Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual Bs.10.000 se convierten en Bs.12.500, en 5 años.

12.500 = 10.000 (1 + )10

i =0,0451= 4,51%

¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de Bs.6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en Bs.10.000?

10.000=6.000 (1+ )n

n = 13,024 semestres

n = 6,512 años

¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?

M =2

C = 1

2=1(1+ i) 10

i = 7,17% sociedad maderera

-------------

M = 1(1+ )

M =1,8140 no duplico

Respuesta es más conveniente la sociedad maderera

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Una inversionista ofreció comprar un pagaré de Bs.120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual. Calcular el precio ofrecido.

C = 120.000(1 + 0,08)-3

C = 95.259,87

Hallar el VF a interés compuesto de Bs.20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible mensualmente.

VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89. Por otra parte,

VF = 20.000(1 + ) 120 = 32.940,19 convertible mensualmente.

EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO.

1.- Se coloca un capital de Bs. 9000000 a los 14%, capitalizables trimestralmente, durante un año. Calcular el monto generado.

2.- ¿En cuánto tiempo se triplica un capital, si se acuerda una tasa del 17% semestral?

3.- ¿Qué capital se necesita para generar un monto de Bs. 12000000 al cabo de 3 años, con una tasa del 9% cuatrimestral?

4.- Si un capital invertido pasó de Bs. 7040000 a Bs. 7936389,30 en 4 meses, ¿Cuál fue la tasa anual aplicada?

5.- Un padre coloca Bs. 500000 en una cuenta de ahorros al nacer su hijo. Si la cuenta paga el % convertible semestralmente, ¿Cuánto recibiría el hijo al cumplir los 18 años de edad?

6.- Se estima que un terreno boscoso, cuyo valor es de Bs. 22000000, aumentará su valor cada año en 4% sobre el valor del año anterior durante 12 años. Calcular el valor final del terreno.

7.- ¿A qué tasa nominal, convertible mensualmente, el monto de Bs. 2000000 será Bs. 2650000 en 6 años?

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8.- El 2 de Enero de 2003, se colocó a plazo fijo un capital de Bs. 2000000 al 21%, capitalizable mensualmente. En Abril de este año la tasa bajó a 18% y en Octubre bajó a 14%. ¿Cuánto se retiraría el 3 de Noviembre?

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UNIDAD IV

Anualidades o Rentas

Una Anualidad es una serie de Pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo. Ejemplos de Anualidades son abonos semanales, pagos de renta mensuales, dividendos trimestrales sobre acciones, pagos semestrales de interés sobre bonos, primas anuales en pólizas de seguros de vida, etc.

. Problemas de Anualidades Vencidas

Formulas de Anualidades Vencidas

Valor futuro

Valor presente

F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

Problemas resueltos:

Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.

(a) Bs.2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.

Valor futuro

24.331,34 Valor presente0,04

(b) Bs.4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.

30


(c) Bs.200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.

Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $.20.000 de contado; $.1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $.2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual.

i =0,09/12=0,0075

26.775,10 + 1.983,10 + 20.000 = 48758,20.

31


¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, si se carga el 12% con capitalización mensual?

i =0,12/12=0,01

41.292,33 + 1.836,45 + 14.000 = 57.128,78

Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%.

En el ejercicio anterior, se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la producción.

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1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 23

53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8

694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03

En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.

24968,25(1 + 0,08)7 =42.791,16

1.500(1 + 0,08)18= 5994,02

42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60

33


Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.

0,06 /12 =0,005 tasa mensual

Problemas de Anualidades Anticipadas

Formulas de Anualidades Anticipadas

Valor futuro

Valor presente

F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de $3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente.

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Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad: (a) $400.000 de contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000, al finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?

Oferta b

;

P+190000 = 231494,80+190000 = 421494,80

35


Oferta c

25.000(1 +0,08)-4 = 183.757,46

215.737 + 183.757,46 = 399494,46

Respuesta = Oferta b es la más conveniente.

¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes, durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensualmente?

Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo?

2’000.000 * 0.10= 200.000

2’000.000 - 200.000 = 1’800.000

1´800.000 = A

36


A = 301.239,17.

Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente.

8.000 = A

A = 634,85 .

Un empleado consigna $300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000?

30.000 = 300

n = 1447,7 meses≈120 años y 8 meses

Problemas de Anualidades Diferidas

Formulas para anualidades diferidas

Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen un periodo de gracia.

Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de

37


$2.400.000. suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse.

VF = 2.400.000

VF = 65.165.073,43

En el problema anterior, hállese el valor de utilidad que espera obtener, en el momento de la adquisición de los yacimientos.

VP = 20.542.748,85

20.542.748,85 (1 + 0,08)-6 = 12.945.416

Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción.

VP = 400.000

VP = 4587968,487 (1 + 0,06)-5 = 3428396,95

38


Alguien deposita $100.000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se pague, a él o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertible mensualmente?

VF = 100.000 (1 + 0,005)120 = 181.939,67

181939,67 = 2.500

n = 90,13

Respuesta = 7 años 7meses

Una deuda contraída al 8% nominal, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20.000 c/u, con la primera obligación por pagar dentro de 2 años. Sustituirla por una obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagándose la primera de inmediato.

20.000 (1+0,04)-4 = 119.707,7136

39


119.707,71 = A

A = 6.204,98 Respuesta anualidades trimestrales

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Bibliografía

1.- A. Redondo (1986)Curso Práctico de Matemática Financiera. Ediciones Centro

Contable Venezolano.

2.- Orrego D., José N. (1978) Cálculo Mercantil a su alcance. Editorial Norma

3.- Lista B., Jesús. (1985) Matemáticas Mercantiles. Mc Graw- Hill

4.- Universidad Nacional Abierta. Matemática III (Administración y Contaduría).

Caracas, Venezuela.

5.-Cissell, R. Matemáticas Financieras. Editorial CECSA

6.- Ayres, F. (1967) Matemáticas Financieras. Mc Graw-Hill

7.- Alfredo Díaz Mata – Víctor Manuel Aguilera G. Matemáticas Financiera. Segunda

Edición. Editorial Mc. Graw Hill. Ejercicios Propuestos. 1.998

8.- Lincoyan Protus G. Matemáticas Financiera. Cuarta Edición. Editorial Mc Graw Hill.

Cuarta Edición. Ejercicios Propuestos. 1.997

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problem a rio de matemtica financier a 25[1]

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