manual matemtica ii 2012 2

INTRODUCCION

La presente Guía de Ejercicios y Problemas de Matemática II para el estudiante

representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinación Académica y el Área

de Matemática vienen realizando en cada semestre académico. Su elaboración está

decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la

Asignatura de Matemática II, en la Unidad Académica de Estudios Generales.

Esta Guía que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicación de cada una

de las sesiones de aprendizaje que se realizarán en el presente semestre académico 2012 - I,

por lo que está dividida en tres unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades

son: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales, Límite y Continuidad de una

Función Real de Variable Real y, Derivadas e integrales.

Es nuestra intención y propósito, que la presente guía sea en un instrumento básico de

trabajo para el estudiante, por tanto es indispensable la consulta permanente con la bibliografía

recomendada. Asimismo, esperamos que contribuya a la formación profesional y académica de

cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de Matemática II,

así como también el de mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje.

La Coordinación del Área de Matemática

MATEM ÁTICA I I SEMESTRE ACADÉMICO 2012 - I

ESTUDIOS GENERALES 01

SEMANA 1

MATRICES

DEFINICIÓN

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos ij

a dispuestos en filas y columnas. Estos

elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las

letras mayúsculas , , A B C , etc.

Representación General:

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

. . . . . . .

. . . . . . .

.

.

. . . . . . .

n

n

m nm m m x n

A

a a a

a a a

a a a

=

Orden de una matriz

El orden de una matriz queda determinado por el número de filas y columnas que tenga la

matriz.

Si, [ ]ij m n

A a×

= es una matriz , entonces i = 1 ; 2 ; 3 ; ……… ; m, y j = 1 ; 2 ; 3 ; …; n.

determinan el orden, que en este caso es m x n . Los subíndices indican la posición del

elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por

ejemplo el elemento 12

a está en la fila 1 y en la columna 2.

CONSTRUCCIÓN DE MATRICES

EJERCICIOS:

Construir las siguientes matrices:

1) 2 3

2 ;

[ ] / ;

2ij ijx

i j i j

A a a i ji j

− =

= = −≠

2) 3 2

( 2 ) ; [ ] /

( 3 ) ;

i

jij ijx

i jA a a

i j

− == =

− ≠

3) 2 2

1 ;[ ] /

1 ;ij ijx

x i jA a a

y i j

+ == =

− ≠ 4)

3 3

2 ;[ ] /

2 ;

i

ij ijx

i jB b b

j i j

<= =

+ ≥



5) 3 3

3 ,[ ] /

2 ,ij ijx

j i i jC c c

i j i j

+ <= =

− ≥ 6)

3 2

1 ;[ ] /

4 ; ij ijx

i jC c c

i j

− ≥= =

<

7) 3 3ij x

D d = / ;

2 3 ;

2 3

j i

j iij

i jd

i j

− >=

+ ≤ 8)

2 3

max ( , ) ; [ ] /

min ( , ) ;ij ijx

i j i jC c c

i j i j

≥= =

<

9) 3 2ij x

E a = / 2 2

3

2

i j

ijji

; i j

e i j ; i j

; i j

+

<

= + =− >

10) 2 3ij x

E e = /

i

i jij

j

j ; i j

e ; i j

i ; i j

⋅

<

= =

>

IGUALDAD DE MATRICES

Las matrices [ ]ij m n

A a×

= y [ ]m nij

B b×

= son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y

sus entradas correspondientes son iguales.

ij ijA B a b= ⇔ = , para todo ,i j

EJERCICIOS:

Si las matrices A y B son iguales, entonces:

1. Calcule: E s m p= + + si:

0,5 2 7

4 0

11 3

7

S

A s

p

−

=

+

y

16 2 7

4 0

3 7m

B s

m s

−

= −

2. Calcule: E xy xz yz= + + si:

0, 2 1 7

4 0

11 8

3

x

A y

z

=

−

y

25 1 7

4 0

8 3y

B y

x y

= −

3. Calcule: 6

x y zE

+ += si:

6 2 8

4 2

x yA

z x y

− =

− + y

6 8

2 5B

=

4. Calcule: 12E xz

z= + si:

2 2[ ]

ij xA a= / a ij =

,

2 ,

i j i j

i i j

+ =

≠ y

3

2 2

x

x yB

x y z−

− =

+



TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La transpuesta de una matriz A se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y se

denota TA . El orden original es m x n y el orden de TA es n x m.

Propiedades

� ( )T TA A=

� ( ) T T TA B A B+ = +

� ( )T Tk A k A⋅ ⋅=

MATRICES ESPECIALES

Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene solo una fila.

Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene solo una columna.

Matriz Cero o Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero.

Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas y se denota

nA . En una matriz cuadrada de orden n, las entradas nnaaaa ,......,,, 332211 forman la

diagonal principal.

Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde todas las entradas que se encuentran fuera

de la diagonal principal son ceros.

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal

principal son iguales.

Matriz Identidad: Es una matriz diagonal donde todas las entradas que pertenecen a la

diagonal principal son iguales a uno.

Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas debajo de la

diagonal principal son ceros.

Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por encima de la

diagonal principal son ceros.

Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A= .

Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A=− . En una matriz

antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son todos igual a cero.



EJERCICIOS:

1. Si: 1 3

1 0

x yA

z

− + =

+ es una matriz nula, calcule E x y z= + + .

2. Si:

2

2

2 4 0

3 0

0 1 0

x

B z

y

−

= −

es una matriz diagonal, halle los valores de , , x y z

3. Si:

2 1 4

4 4 1

2 4 2 6

a m p

N mp b n

b ta

− − −

= − + + − +

es una matriz escalar, halle: E am bn pt mnp= + + +

4. Si:

3 0 ,25

2

6 8 7

x

x y

A z yz

+ = −

es una matriz simétrica, halle x y

Ez

+=

5. Si:

5 0, 25

7 0 6

4 3 1

x

y z

y z

M y

x z+

−

= − −

es una matriz simétrica, calcule: 2x y

Ez

+=

6. Si:

4 2 5

5 12 243

2 3 4y z

x y

x y

A

−

−

+

=

es una matriz simétrica, calcule 2 3E x y z= + +

7. Halle los valores de a, b y c, si

0 1 3

1 0 1

2 3 0

Aa

b c

= − −

es antisimétrica.

8. Si:

2 1 1

1 4

3 0

a b x x y

A a b

y z

− + + −

= + −

es antisimétrica, calcule x y z

Eb a

+ +=

−

9. Si:

5

5 9

6 3 0

a b d c

A c

a

− +

= − − −

, es antisimétrica, calcule: a b c

dE

+ +=

10. Sea M la matriz antisimétrica dada por:

( )

3 1

aa m n m n

M p b m n

c

+ − = +

−

,

Calcule: E ma nb p c= + + +



OPERACIONES CON MATRICES

ADICIÓN DE MATRICES

Si ij

A a = y ij

B b = son matrices de orden m x n, entonces la suma A B+ es la matriz

de orden m x n, que se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B .

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (escalar), entonces la matriz k A⋅ ,

tiene el mismo orden m x n y se obtiene al multiplicar cada entrada por k .

Propiedades

Sean A , B , C y O matrices del mismo orden, O es la matriz nula y k , 1

k , 2

k son

números reales:

1. A B B A+ = + 5. 1 2 1 2

( ) A Ak k k k A+ = +

2. ( ) ( )A B C A B C+ + = + + 6. 1 2 1 2

( ) ( )Ak k k k A=

3. O OA A A+ = + = 7. O OA =

4. ( )A Bk k A k B+ = + 8. O Ok =

SUSTRACCIÓN DE MATRICES:

Dado que ( 1 )B B− = − , se define: ( )A B A B− = + −

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Sea A una matriz de orden m x n y B una matriz de orden n x p, entonces el producto AB

es la matriz C de orden m x p cuyas entradas ij

c , se obtienen al sumar los productos de las

entradas de la fila “i” de la matriz A , con sus respectivas entradas de la columna “j” de la

matriz B .

Propiedades

1. ( ) ( )A BC AB C= 3. ( )A B C AC BC+ = +

2. ( )A B C AB AC+ = + 4. ( )T T TAB B A=



EJERCICIOS:

1. Un fabricante de zapatos para niños, damas y caballeros los produce en color negro, blanco

y gris. La capacidad de producción (en miles de pares) en la Planta de Santa Anita está

dada por la siguiente matriz:

3 0 2 4 2 0

4 0 2 0 1 8

1 4 2 4 2 2

A

=

La producción en la Planta de la Victoria está dada por la matriz:

3 6 3 2 2 0

5 6 2 8 1 6

2 4 4 8 8

B

=

a) Halle la representación matricial de la producción total de cada tipo de zapatos en

ambas plantas.

b) Si la producción en Santa Anita se incrementa en un 50% y de la Victoria en un 25%,

hallar la matriz que represente la nueva producción total de cada tipo de calzado.

2. Un fabricante de polos para niños, damas y caballeros los produce en color negro, rojo y verde. La producción (en miles de polos) en la fábrica de Ate está dada por la siguiente

matriz:

1 8 3 6 1 2

3 2 4 0 4 4

2 8 3 4 1 4

A

=

La producción en la fábrica de la Villa el Salvador está dada por la matriz siguiente:

2 0 1 0 4 0

3 0 1 0 2 0

4 0 5 0 3 0

B

=

a) Determine la representación matricial de la producción total del fabricante.

b) Halle la producción total de polos color rojo para niños.

c) Halle la producción total de polos color Negro para damas.

d) Si la producción en la fábrica de Ate disminuye en un 50% y en la fábrica de Villa el

Salvador se incrementa en un 30%, hallar la matriz que represente la nueva producción

total.

Negro

Gris

Blanco

Negro

Gris

Blanco

Negro

Rojo

Verde

Niños Damas Caballeros

Negro

Rojo

Verde






3. La empresa distribuidora de autos Toyota Mitsui de San Borja presenta las ventas, del mes de Diciembre, de los autos Toyota modelo Yaris y Corolla mediante la matriz A siguiente:

30 40 50

25 20 30 A

=

Mientras que las ventas en la Av. La Marina está representada por la matriz B

siguiente:

25 50 40

30 20 35 B

=

a) Indique el modelo y color de auto más vendido en cada local.

b) Escriba una matriz que represente la venta total de ambos locales e indique el modelo y color de auto que menos se vendió en el mes de Diciembre.

4. Juan y Manuel son dos hermanos empresarios de la zona industrial de Villa el Salvador,

fabricantes de camas de una plaza, plaza y media y dos plazas en colores blanco, cedro y nogal. La producción mensual de la fabrica administrada por Manuel se representa mediante la matriz M siguiente:

Una plaza Plaza y media Dos plazas

15 20 27

10 18 28

12 16 30

M

=

Mientras que la producción mensual de la fábrica administrada por Juan está dado por la matriz N siguiente:

Una plaza Plaza y media Dos plazas

14 22 26

11 15 30

12 13 31

N

=

a) Indicar el modelo y color de cama, que es más fabricada, por cada uno de los hermanos.

b) Halle la matriz que representa la producción total mensual.

c) Halle la producción total de camas de dos plazas en color cedro. d) Halle la producción total de camas de una plaza en color blanco.

Yaris

Corolla

Color Negro Color rojo Color Plata

Color Negro Color rojo Color Plata

Yaris

Corolla

Blanco

Cedro

Nogal

Blanco

Cedro

Nogal



5. Una fabrica ensambladora de automóviles de los modelos M1, M2 y M3, en sus dos plantas A y B ubicados en la ciudad de Tacna. Los ingresos mensuales en dólares en el mes de diciembre es representado por la siguiente matriz:

M1 M2 M3

10000 12000 13000

9000 11000 14000

Mientras que los costos de producción mensuales en dólares del mes de diciembre es como se muestra en la siguiente matriz:

M1 M2 M3

9000 9000 10000

7000 8000 11000

a) Matricialmente, halle la utilidad en la planta A.

b) Matricialmente, halle la utilidad en la planta B. c) Halle la matriz utilidad.

6. Dadas las matrices 5 7

2 4A

=

, 2 22 xB I A= − y BAC += .

Calcule:

a) ( )C B A− b) ( ) ( 2 )T TC B C+ −

7. Si 22

3x

IA = , 4 1

0 3B

− =

, 2 TBC = y

5 0

1 2D

=

− ,

Halle: ( ) 2 TA B C DB A− − −

8. Si, 2 1

0 5

A

− =

, 1 3

4 0

B

− =

y 2 2

3x

BC I += . Calcular: 2 ( ) TP B A B C B= − − +

9. Si 3 1

4 2A

− = −

y 2 1

3 5T

B−

= − , determine la matriz X si se cumple:

2 3 ( ) 5 4 ( 2 )T T T TA A B X A B+ − + = −

10. Si 4 3

2 1T

A−

= ,

2 23

xB I= y

5 0

2 1C

− =

, determine la matriz X si se cumple:

2 3 ( ) 3 3T T TBC A C X B A+ − + =

Planta A

Planta B

Planta A

Planta B



11. Dadas las matrices: 2 1

1 0

A

− =

; 35 50

1 7

B

= −

; 2 2

0 4

C

− = −

, halle la matriz X si

se cumple: ( ) 4 2 ( )T T T TA B AC X B A C+ − + = + −

12. Halle la matriz X en: ( 3 ) 3 ( )T T T TA B X A AB C+ − = + − . Si

3 7 33

349

7

A

− =

, 1 4

2 3

B

= −

y 3T TC B A I= − 22x

13. Un agente de bolsa vendió a un cliente 220 acciones del tipo A, 160 del tipo B, 150 del tipo

C y 260 del tipo D. Si las acciones se venden a $ 10; $22, $ 40 y $ 50 por acción

respectivamente, determine el valor total de la transacción comercial en forma matricial.

14. Un comerciante de TV LED tiene 12 TV de 20”, 15 de 32”, 7 de 42” y 14 de 47”. Los TV de

20” tienen un precio de S/. 920, los de 32” a un precio de S/. 1840, los de 47” a S/. 3580 y

los de 42” a S/. 2350. Exprese el inventario en forma matricial y diga el precio total.

15. En una tienda de ropa deportiva para hombres, se venden tres modelos de buzos: modelo

A, modelo B y modelo C. Si los precios por cada modelo son S/. 300, S/. 420 y S/. 360

respectivamente, calcule en forma matricial, la recaudación total por la venta de 30, 45 y 60

buzos de cada modelo respectivamente.

16. En una elección regional un grupo contrato los servicios de una empresa de relaciones

públicas para promover a su candidato mediante tres formas: por teléfono, llevando volantes

a la casa y mediante cartas. El costo por cada contacto establecido se obtiene mediante la

matriz:

Costo por contacto

$ 0,20

$ 0,65

$ 0,25

El número de contactos establecidos en dos ciudades adyacentes, se calcula mediante la matriz: Teléfono volante carta

230 160 120

150 300 140

a) Halle la cantidad total que se gasto en la ciudad A

b) Halle la cantidad total que se gasto en la ciudad B

Ciudad A

Ciudad B

Teléfono

Volante

Carta



17. Una empresa fabrica billeteras, carteras y maletines en dos plantas A y B. Las unidades

vendidas en el mes de Febrero se muestran en la siguiente matriz:

Billeteras Carteras Maletines

250 120 110

130 350 150

Las utilidades obtenidas por cada unidad vendida se muestra en la matriz :

Planta A Planta B

$ 3 $ 4

$ 8 $ 9

$ 1 0 $ 1 2

Mediante el producto de matrices, calcule:

a) La utilidad obtenida en la planta A

b) La utilidad obtenida en la planta B.

Planta A

Planta B

Billeteras

Carteras

Maletines



SEMANA 2

MÉTODO DE REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMA COMPATIBLE - INCOMPATIBLE

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL

11 13 11

21 22 21

31 32 33 31

12

23

a x a y a z b

a x a y a z b

a x a y a z b

+ + =

+ + =

+ + =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

x

y

z

=

11

21

31

b

b

b

Donde:

La Matriz A es la matriz de Coeficientes.

La Matriz X es la matriz de Incógnitas.

La Matriz B es la matriz de las constantes o términos independientes.

MATRIZ AUMENTADA

[ ] A B =

11 12 13 11

21 22 23 21

3131 32 33

a a a b

a a a b

ba a a

EJERCICIOS:

Expresar en su forma matricial los siguientes sistemas:

a)

=−−−

−=−

−−=

015

217

4216

zyx

xzy

zyx

c)

+=+−

−+=

zyx

zyx

468

324

b)

5 9 2

3

7

7 0

y z x

z xy

x y z

+ = − − −

= + + − =

d)

1

4 2 3 0

2 3

4

s r

r s t

ts

= +

− − − − =

− − =

AX B=



REDUCCIÓN DE MATRICES

Consiste en reducir una matriz, para eso primero veamos que características tiene una matriz

reducida.

Una matriz se dice que es matriz reducida, si satisface lo siguiente:

� Si una fila no consiste solamente de ceros, entonces la primera entrada diferente de cero en

la fila, llamada entrada principal, es 1; mientras que todas las demás entradas de su columna, son ceros.

� En cada fila, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada

diferente de cero de cada fila arriba de él.

� Todas las filas que consistan únicamente de ceros están en la parte inferior de la matriz.

Para transformar a una matriz a su forma reducida, se ejecutan Operaciones elementales

sobre filas de la matriz, estas son:

1° x yF F↔ : Intercambio de filas. Se cambian la fila xF por la fila yF .

2° xk F : Multiplicación de un escalar por una fila. El número real “ k ” diferente de cero,

multiplica a la fila xF .

3° x yF Fk + : Suma de “ k ” veces una fila a otra fila. K veces la fila xF se suma a la fila yF .

( La fila xF no se altera ).

OBSERVACIÓN: Cuando una matriz pueda obtenerse a partir de otra por una o más

operaciones elementales sobre filas, decimos que las matrices son equivalentes.

EJERCICIOS:

1. Determinar si cada matriz que se muestra a continuación es reducida o no (justifique su respuesta):

a) 1 0

0 2

b)

3 01

3 0 3

c)

1 0

0 0

d)

1 0 0

0 0 1

e) 1 0 0 4

0 1 1 0

f)

1 0 0

0 1 6

g)

1 0 0 3

0 1 0 1

h)

410

001

i)

1 0 2

0 1 0

0 0 0

j)

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

k)

0 1 0 2

0 0 1 5

0 0 0 0

l)

0 0 1 0

0 1 0 2

0 0 0 0



Ejemplo:

Reducir la matriz

Solución:

1098

795

442

1

(1 / 2) F

1098

795

221

1 2

( 5) F F− +

−−

1098

310

221

1 3( 8) F F− +

−−

−−

670

310

221

2

( 1) F−

−− 670

310

221

2 1( 2) F F− +

1 0 4

0 1 3

0 7 6

− − −

2 3

(7) F F+

−

1500

310

401

3(1 / 15) F

−

100

310

401

3 1

(4) F F+

100

310

001

3 2

( 3) F F− +

100

010

001

Por lo tanto, la matriz reducida de

2 4 4

5 9 7

8 9 10

A

=

es

1 0 0

0 1 0

0 0 1

B

=

.

2. Haciendo uso de las operaciones elementales, reducir las siguientes matrices:

a) 4 0

105

−

b)

0 3

7 0

−

c)

4 2

2 4

4 1

−

d) 0 0 8

0 6 10

e)

4 8 6

2 4 3

1 2 3

f)

0 0 6

1 1 0

3 0 1

g)

2 / 3 1 4 / 3

3 / 2 1 1

2 8 12

−

− −

h)

4 3 1

3 2 4

10 2 6

−

i)

4 0 6 2

1 4 2 2

3 3 3 12

−

2 4 4

5 9 7

8 9 10

A

=



Para resolver un sistema lineal, reduciremos la matriz aumentada [ ] A B .

CLASIFICACIÓN:

De acuerdo a sus soluciones, pueden ser:

1. Sistema Compatible. Es aquel sistema que tiene solución y puede ser:

a) Determinado. Cuando tiene solución única.

b) Indeterminado. Cuando tiene Infinitas soluciones (solución paramétrica).

2. Sistema Incompatible. Es aquel que no tiene solución.

Atendiendo a sus términos independientes:

a) Homogéneos. Cuando todos los términos independientes son nulos.

b) No Homogéneos. No todos sus términos independientes son nulos.

Ejemplos:

Por el método de reducción resolver:

a)

=+

=+

72

1953

yx

yx

Solución:

Debemos reducir a la matriz aumentada: 3 5 19

1 2 7

3 5 19

1 2 7

1 2

F F↔ 1 2 7

3 5 19

1 2

( 3) F F− + 1 2 7

0 1 2

− −

2( 1) F−

1 2 7

0 1 2

2 1

( 2) F F− + 1 0 3

0 1 2

La última matriz es reducida y corresponde a 3

2

x

y

=

= , entonces es un

Sistema Compatible Determinado (solución única)

b)

=−

=−

163

642

yx

yx

Solución:

Debemos reducir a la matriz aumentada 2 4 6

3 6 1

−

−



2 4 6

3 6 1

−

− ( ) 1

1/2 F 1 2 3

3 6 1

−

−

1 2( 3) F F− +

1 2 3

0 0 8

−

−

2( 1/8 ) F−

1 2 3

0 0 1

−

2 1( 3) F F− +

1 2 0

0 0 1

−

La última matriz es reducida y corresponde a 2 3

0 1

x y− =

= , entonces observamos un absurdo

( 0 1= ), por lo que el sistema es incompatible (no tiene solución).

EJERCICIOS:

Por el método de reducción resuelva los siguientes sistemas indicando el tipo de sistema y de

solución:

a) 2 12

3 8

x y

y x

+ =

− = b)

6 2 10

4 2 1 0

x y

y x

− =

+ − =

c) 2 5 10

6 15 3

x y

x y

+ =

= − − d)

3 4 7

2 9

x y

y x

+ =

− + =

e) 2 2 4

5 5 1

x y

x y

− =

= + f)

2 5 10

6 15 3

x y

x y

+ =

= − −

g) 0,2 0,5 1

0,3 0,2 2

x y

y x

− =

− = h)

0,3 0,4 1

0,3 0,5 2

x y

x y

− =

− = −

i)

3 5

5 1

2

y x

yx

= −

−=

j)

13 2

23

yx

yx

= +

= −

k) 1

7 14

22

5 5

yx

yx

+ =

= −

l)

2 4

3 2

5 3

x y z

x z

x y z

+ + =

− = −

− − =



m)

6 4 10

2 3 3

0

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ − =

− + − =

n)

2 0

2 3 5

4 3

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = −

+ − =

o)

1

2 5

2 4 6

x y

x z

y z

+ =

+ =

− = −

p)

2 4 6 0

2 3 0

2 1 0

x y z

z y

x y z

+ + − =

+ − =

+ + − =

q) 2 2 0

3 4 0

x y

x y

+ =

− = r)

4 7 0

2 3 0

x y

x y

+ =

+ =

s)

2 0

5 4 0

5 0

x y

x y

x y

− =

+ =

− =

t)

0

0

2 5 0

x y z

x z

x y z

+ + =

− =

− − =



SEMANA 3

SISTEMA COMPATIBLE (SOLUCIÓN PARAMÉTRICA)

APLICACIONES DE LOS SISTEMAS LINEALES

Ejemplo:

Por el método de reducción resolver:

a)

=−−

=−

−=−+

42

3

12

zyx

yx

zyx

Solución:

Debemos reducir a la matriz aumentada

1 1 2 1

1 1 0 3

2 1 1 4

− −

− − −

1 1 2 1

1 1 0 3

2 1 1 4

− −

− − −

1 2

( 1 ) F F− +

1 1 2 1

0 2 2 4

2 1 1 4

− −

− − −

1 3

( 2 ) F F− +

1 1 2 1

0 2 2 4

0 3 3 6

− −

− −

2)2

1( F−

1 1 2 1

0 1 1 2

0 3 3 6

− −

− − −

2 1

( 1 ) F F− +

1 0 1 1

0 1 1 2

0 3 3 6

−

− − −

2 3

( 3 ) F F+

1 0 1 1

0 1 1 2

0 0 0 0

−

− −

La última matriz es reducida y corresponde a

−=−

=−

2

1

zy

zx , entonces, hacemos

+−=

+=

=

ry

rx

rz

2

1 , Rr ∈

por lo que el sistema es compatible indeterminado (solución paramétrica).



EJERCICIOS:

Por el método de reducción, resuelva los siguientes sistemas indicando, el tipo de sistema y de solución:

a) 2 3

5 10 15

x y

y x

+ =

− = b)

33

23 2

xy

y x

= + −

= +

c)

3 4

822

3 3

x y

x y

− =

− =

d)

33

5 5

21

14 14

y x

yx

= +

+ =

e)

6

6 12

5 2 6

x y z

x y z

y z

+ − =

+ + =

+ =

f)

3 1

3 3 9

3 2 9 7

x z

x z

x y z

+ =

= −

+ + =

g)

5 1

2 17

2 16 4

x y z

y x z

x y z

− − =

+ = +

+ = −

h)

2 4 6 2

2 3

3 4

x y z

y z

x y z

− + =

+ = −

− + =

i)

2 3 12 0

3 2 5 0

4 14 0

x z y

x z y

x z y

+ + =

− + =

+ + =

j)

2 2 0

3 2 0

3 0

x y z

x y z

x y z

+ − =

+ + =

+ + =

APLICACIONES

Resuelva los siguientes problemas, utilizando el método de reducción de matrices.

1. Un empresario compró acciones mineras y comerciales de los tipos A y B respectivamente. Cada acción del tipo A la adquirió a S/.10 y cada acción del tipo B la adquirió a S/.15. Si se

sabe que compró 900 acciones entre las del tipo A y las del tipo B y que invirtió S/.11000 en la compra. ¿Cuántas acciones del tipo A y del tipo B adquirió el empresario?

2. Una compañía vende teléfonos celulares de los modelos C1 y C2. El precio de venta

unitario del modelo C1 es de S/.150 y el del modelo C2 es de S/.200. En el mes de Febrero la compañía vendió 200 celulares entre lo dos modelos y su ingreso total en ese mes fue de S/.34000. ¿Cuántos celulares de cada tipo se vendieron durante el mes de febrero?

3. En una empresa textil se fabrican chompas y camisas cuyos precios de venta unitario se fijan en $ 25 y $ 20 respectivamente. Los costos totales ascienden a $ 12000 y se desea fabricar 700 prendas en total. Halle la cantidad de chompas y camisas que se debe fabricar

para obtener una utilidad de $ 4000.



4. Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. Suponga que cada modelo A requiere 10 partes del tipo I y 14 partes del tipo II, mientras que cada modelo B requiere 8 partes del tipo I y 6 partes del tipo II. Si La fábrica puede obtener 850 partes del tipo I y 930

partes del tipo II, ¿cuántos automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las partes disponibles?

5. Una sastrería tarda 1 hora en cortar y 3 horas en coser un traje tejido. Para confeccionar

un traje de lana peinada, tarda 1 hora en el corte y 2 horas en el cosido. En un día de trabajo, la sastrería dispone de 8 horas para el corte y 20 horas para el cosido. Determine la cantidad de trajes de cada tipo que deberá producirse en un día, si la sastrería funciona a

plena capacidad.

6. En un taller de carpintería se fabrican escritorios y vitrinas. Para la fabricación de un escritorio se necesitan emplear 2 horas en el Departamento de Corte y 3 horas en el

Departamento de Ensamblaje y para la fabricación de una vitrina se necesitan emplear 3 horas en el Departamento de Corte y 4 horas en el Departamento de Ensamblaje. El taller dispone en total de 234 horas para el Departamento de Corte y 330 horas para el

Departamento de Ensamblaje. Halle el número de escritorios y vitrinas que se pueden fabricar si se utilizan la totalidad de horas disponibles en cada Departamento.

7. Una fábrica de pantalones y camisas tiene un costo fijo mensual de $800, el costo de

producción unitario (mano de obra y material) es de $30 y $20 respectivamente. Si el costo total mensual es de $3600 y se fabricaron 120 prendas entre pantalones y camisas, calcule la cantidad de pantalones y camisas producidas en un mes.

8. Una fábrica de zapatos y zapatillas tiene un costo fijo mensual de $1000. El costo de producción por par (mano de obra y material) es de $40 y $20 respectivamente. Si el costo total mensual es de $3000 y se fabricaron 70 pares entre zapatos y zapatillas, calcule la

cantidad de pares de zapatos y zapatillas producidas en un mes.

9. La empresa “Dulces SAC” fabrica, envasa y vende mermelada y puré de manzana. Por cada unidad de mermelada que vende, la ganancia es de $6 y por cada unidad que vende de

puré la ganancia es de $ 9. La empresa determinó que por cada 3 frascos de mermelada vende 2 frascos de puré. Así que para el próximo año la empresa desea obtener una utilidad de $72000. ¿Cuántas unidades de puré deberá vender?.

10. Una fábrica de muebles, que produce mesas y roperos, tiene un costo fijo mensual de $500. El costo de producción unitario (mano de obra y material) es de $300 y $400 respectivamente. Si el costo total es de $10500 y se fabricaron 30 muebles entre mesas y

roperos, calcule la cantidad de mesas y roperos producidos en un mes.

11. Una tienda comercial ofrece dos modelos diferentes de memorias USB B1 y B2. El precio de venta del modelo B1 es de $30 y del modelo B2 es de $40. Si en el mes de Enero la

tienda vendió 400 memorias USB entre los dos modelos y su ingreso total en ese mes fue de $15000, determine el número de memorias USB de cada tipo que se vendieron durante el mes de Enero.



12. Una fábrica de muebles, que produce camas y modulares, tiene un costo fijo mensual de $13000. El costo de producción unitario (mano de obra y material) es de $800 y $700 respectivamente. Si el costo total mensual es de $50000 y se fabricaron 50 muebles entre

camas y modulares, determine la cantidad de camas y modulares producidos en un mes.

13. Una fábrica elabora dos productos A y B. Por cada unidad que vende de A la ganancia es de $8 y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $11. De la experiencia se ha

encontrado que puede venderse 25% más de A que de B. Para el año siguiente el fabricante desea una ganancia total de $42000. ¿Cuántas unidades de cada producto debe vender?

14. Una compañía tiene ingresos gravables por $ 312000. El impuesto a la Sunat es el 25% de

la parte que queda después que el impuesto al Municipio ha sido pagado. El impuesto al Municipio es el 10% de la parte que queda después que el impuesto a la Sunat ha sido pagado. Encuentre el monto pagado a la Sunat y al Municipio.

15. Un fabricante produce 3 artículos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida es de $1, $2 y $3 respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por año y los costos de producción por cada unidad son $4, $5 y $7 respectivamente. El año siguiente se

producirán y venderán un total de 11000 unidades entre los 3 productos y se obtendrá una utilidad total de $ 25000. Si el costo total será de $80000, ¿cuántas unidades de cada producto deberán producirse el año siguiente?.



SEMANA 4

MATRIZ INVERSA. SISTEMA DE ECUACIONES

MATRIZ INVERSA

Definición. Una matriz cuadrada A se dice que es invertible (o no singular), si existe una

matriz denotada por 1A

− tal que: 1 1A A A A I

− −⋅ == ⋅ . A la matriz 1

A− se le llama matriz

inversa de A .

Cálculo de la matriz inversa de orden “n” (Método de Gauss - Jordan)

Sea A , una matriz cuadrada de orden “n”. Para calcular la matriz inversa de A , denotada por 1

A− , se sigue los siguientes pasos:

1º. Se construye una matriz de la forma: [ ] A I donde I es la matriz identidad. A esta matriz

se le llama matriz aumentada.

2º Utilizando las operaciones elementales sobre filas se transforma (si es posible) la matriz A ,

en la matriz identidad: 1 I A− . La matriz que resulta en el lado derecho, será la matriz

inversa de A .

Ejemplo 1.

Calcular la matriz inversa de 3 7

1 2A

=

Solución:

Formando la matriz aumentada de A : 3 7 1 0

1 2 0 1

A I

Aplicando operaciones elementales sobre fila: 1 2 0 1

3 7 1 0

1 2 0 1

0 1 1 3

−

1 0 2 7

0 1 1 3

−

−

1 I A−

Por tanto: 1 2 7

1 3A

− − =

− es la matriz inversa de A .

−3F1 + F2

F1 ↔ F2

−2F2 + F1



Ejemplo 2.

Calcular la matriz inversa de

1 1 3

2 1 4

3 2 2

A

−

= − −

Solución:

Formando la matriz aumentada de A :

1 1 3 1 0 0

2 1 4 0 1 0

3 2 2 0 0 1

−

−

−

A I

Aplicando operaciones elementales sobre fila:

1 1 3 1 0 0

0 1 2 2 1 0

0 5 11 3 0 1

−

− −

− −

1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 7 5 1

−

− −

− − −

1 0 1 1 1 0

0 1 2 2 1 0

0 0 1 7 5 1

−

− −

−

1 0 0 6 4 1

0 1 0 16 11 2

0 0 1 7 5 1

−

− −

− −

1 I A−

Por tanto: 1

6 4 1

16 11 2

7 5 1

A−

−

= − −

− −

es la matriz inversa de A .

Propiedades

a) 1A A I− ⋅ = b) 1 1 1( )A B B A− − −⋅ = ⋅

c) 1 1( )A A− − = d) 1( )I I− =

e) 1 1( ) ( )T TA A− −= f) 1 1 1( )A Ak k− − −=⋅ ⋅ ; 0k ≠ , k ∈�

−2F1 + F2

−3F1 + F3

F2 + F1

−5F2 + F3

− F3

−F3 + F1

2F3 + F2



SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Resolución por el Método de la Matriz Inversa

El sistema 12 1

21 22 2

11

a x a y b

a x a y b

+ =

+ = , se puede expresar como:

1

21 22 2

11 12b

b

a a x

a a y

⋅ =

A X B

Simbólicamente AX B= , donde:

A es la matriz de los coeficientes.

X es la matriz columna de variables.

B es la matriz columna de las constantes

Multiplicando a ambos miembros por 1A− (por la izquierda), se tiene: 1 1A AX A B− −=

de donde: 1IX A B−= , por lo tanto: 1X A B−=

Este procedimiento es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas, siempre y cuando exista 1A− .

Ejemplo:

Resolver el sistema 5 23

2 11 49

x y

x y

+ =

+ =

Solución:

Formando la matriz de coeficientes: 1 5

2 11A

=

.

Hallando su matriz inversa: 1 5 1 0

2 11 0 1

1 5 1 0

0 1 2 1

−

1 0 11 5

0 1 2 1

−

− entonces: 1 11 5

2 1A

− − =

−

Como: 1X A B−= 11 5 23 8

2 1 49 3

x

y

−= ⋅ =

−

por tanto: 8x = ; 3y =

−2F1 + F2

−5F2 + F1



EJERCICIOS:

1. Calcular la inversa de las siguientes matrices:

3 1

5 2A

=

, 2 3

3 5B

− − =

, 3 7

2 5C

=

, 3 5

2 4D

=

2. En cada caso, halla una matriz X , tal que AX B= .

a) 3 4

2 3A

=

, 2 3

1 4B

− =

b) 2 5

1 3A

=

, 6 2

4 1B

=

3. En cada caso, halla una matriz X , tal que XA B= .

a) 5 7

2 3A

=

, 1 5

2 3B

− =

− b)

2 5

3 8A

=

, 4 3

2 1B

=

−

4. Resuelve la ecuación matricial 2A AX B= + , si: 3 5

4 7A

=

y 1 2

3 4B

=

−

5. Resuelve la ecuación matricial 3 TA BX B= − , si: 2 3

1 4B

− =

y 1 4

2 7B

=

6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el método de la matriz inversa.

a) 2 3 13

5 7 11

x y

x y

+ =

− = − b)

4 3 15

3 5 14

x y

x y

− =

− = c)

6 5 20

9 23

x y

x y

+ =

− =

d) 2 11

7 2 13

x y

x y

+ =

− = e)

3 5 10

3 8 23

x y

x y

+ =

− = f)

5

6 7 30

x y

x y

+ =

− =

g) 4 1

11 3 5

x y

x y

− =

− = h)

3 2 6

4 3 25

x y

x y

− =

− = i)

5 7 9

3 4 11

x y

x y

+ = −

− + = −

7. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el método de la inversa.

a)

3 10

2 4 20

3 2 2 28

x y z

x y z

x y z

− + =

− + =

+ − =

b)

3 2 2 15

2 10

2 16

x y z

x y z

x y z

− + =

− + + =

− + =

c)

4 5 6

3 2 9

2 3 2 4

x y z

x y z

x y z

− + =

+ − =

+ − =

d)

2 3 4

3 2 7

4 3

x y z

x y z

x y z

+ − =

− + =

+ − =

, e)

4 2 12

2 3 5

3 2 5

x y z

x y z

x y z

− + =

+ − =

− − =

,



DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz es un número real asociado a una matriz cuadrada A, que se

denota por: A .

DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 2

a bA

c d

=

a bA ad bc

c d= = − , ejemplo:

2 3( 2 )( 5 ) ( 3)( 4 )

4 52A

−− − −

−= = =

DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 3 (REGLA DE SARRUS)

a b c

A d e f

g h i

=

( ) ( )

a b c a b

A d e f d e aei bfg cdh ceg afh bdi

g h i g h

= = + + − + +

Ejemplo: 2 1 3

0 4 5

3 2 0

A

−

= − −

Propiedades

1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos ceros, entonces: 0A =

2. Si una matriz A tiene dos filas o columnas iguales, entonces: 0A =

3. Si una matriz A es triangular superior o inferior, entonces A es igual al producto de las

entradas de la diagonal principal.

4. Si “ k ” es una constante y A una matriz de orden “n”, entonces: nA Ak k=

5. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes A B A B⋅ = ⋅

6. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta TA A=

7. Si A es una matriz invertible: 11

AA

− =

36 20 0

2 1 3 2 1

0 4 5 0 4 (0 15 0) ( 36 20 0) 41

3 2 0 3 2

0 15 0

A

− −

− −

= − = − + − − − + =

− −

−



MÉTODO DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES

Dado el sistema 11 12 1

21 22 2

a x a y b

a x a y b

+ =

+ =

,

Denotamos: 11 12

21 22

a aA

a a

=

1 12

2 22

x

b aA

b a

=

11 1

21 2

y

a bA

a b

=

luego: xA

xA

= yA

yA

= siempre que 0A ≠

Este método es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas, siempre que 0A ≠

Ejemplo 1

Resolver por el método de Cramer: 2 5 11

3 4 6

x y

x y

− =−− + =

Solución:

2 58 15 7

3 4A

−= = − = −

−,

11 544 30 14

6 4xA

− −= = − + = − , luego

14

7x

−=

− ∴∴∴∴ 2x =

2 1112 33 21

3 6yA

−= = − = −

−, luego

21

7y

−=

− ∴∴∴∴ 3y =

Ejemplo 2

Resolver el sistema:

2 3

3 2 2 20

3 5 29

x y z

x y z

x y z

− + = −

+ − =

+ − =

utilizando el método de Cramer.

Solución:

( ) ( )

2 1 1 2 1

3 2 2 3 2 20 2 9 2 12 15 9 5 14

1 3 5 1 3

A

− −

= − = − + + − − + = − − = −

−



( ) ( )

3 1 1 3 1

20 2 2 20 2 30 58 60 58 18 100 148 176 28

29 3 5 29 3

xA

− − − −

= − = + + − + + = − = −

−

( ) ( )

2 3 1 2 3

3 20 2 3 20 200 6 87 20 116 45 107 51 56

1 29 5 1 29

yA

− −

= − = − + + − − + = − + = −

−

( ) ( )

2 1 3 2 1

3 2 20 3 2 116 20 27 6 120 87 69 27 42

1 3 29 1 3

zA

− − −

= = − − − − + − = − = −

luego: 28

214

xx

A

A

−= = =

− ;

564

14

yy

A

A

−= = =

− ;

423

14

zz

A

A

−= = =

−

EJERCICIOS:

1. Calcule los siguientes determinantes:

a)

2 1 5

3 4 1

0 6 1

− −

−

b)

4 2 3

1 4 5

3 1 7

−

−

−

c)

5 0 2

3 2 4

0 1 6

−

− − d)

3 2 1

0 5 2

2 3 7

−

−

e)

4 2 5

1 3 6

3 1 2

−

−

−

f)

7 1 3

5 3 4

2 6 5

− − g)

2 1 3

4 4 1

2 6 5

−

− −

h)

6 1 2

2 3 5

2 8 3

−

− −

2. En cada caso halle el valor de x si se cumple que:

a) 2 3 4 1

103 2 5

x x

x x

− −=

+ + b)

42

7

x x

x

+= − c)

4 0 0

8 9 0 220

9 7 5

x + =

d) 0a x b

b c x

−=

− e).

1 0 0

3 0 3

5 6 4

x

x

− = −

− +

f. )

1 6 2

0 2 7 108

0 0 1

x

x

+ −

− =

g)

1 2 3

1 3 0

1

x

x x

= h)

2 6 5

1 2 3 12

1 x x

−

= i)

2 1

3 2 5 53

2 4

x

x

−

=

−



3. Utilizando el método de Cramer resuelva los siguientes sistemas:

a) 3 8

2 5

x y

x y

− =

+ = b)

3 2 4

5 3 25

x y

x y

+ = −

− = c)

11 3 7

2 5 21

x y

x y

+ = −

+ =

d) 2 5 25

4 7 1

x y

x y

− + =

+ = e)

7 8 26

6 11 43

x y

x y

+ =

+ = f)

9 5 7

7 4 37

x y

x y

+ =

− =

Calcular el valor de x en: Calcular el valor de z en:

g) .

2 3 1

3 2 12

3 2 5

x y z

x y z

x y z

+ − = −

− − = −

− − = −

h)

4 3 2 14

3 5 2 23

2 5 6

x y z

x y z

x y z

+ − =

+ + =

− − = −

Calcular el valor de y en: Calcular el valor de x en:

i) .

5 6 7 31

3 5 3 4

4 3 2 5

x y z

x y z

x y z

+ − =

+ + =

+ − =

j).

6 5 4 28

5 3 3 17

2 2 5 13

x y z

x y z

x y z

− + =

− + =

+ + =

Calcular el valor de z en: Calcular el valor de y en:

k) .

3 2 1

3 2 43

4 28

x y

x z y

x z

− = −

+ + = −

+ = −

l)

3 2 1

4 28

3 2 43

x y

z x

x z y

− = −

+ = −

+ + = −

Calcular el valor de x en: Calcular el valor de z en:

m) .

0 ,2 0,3 0,4 2,7

0,3 0,1 0,5 3,1

0,7 0,2 0,4 4

x y z

x y z

x y z

+ + = −

− − =

− − =

n)

7 7 7 0

13 13 2 13 3 13

5 3 5 2 5 3 5

x y z

x y z

x y z

+ − =

− − = −

− + =



APLICACIONES

Resuelve, utilizando el método de Cramer o de la matriz inversa, según se indique.

1. La empresa “Textiles del Perú” produce pantalones y faldas, con un costo de producción

unitario de S/. 90 y S/. 60 respectivamente y con un costo fijo mensual de S/. 6000.

Sabiendo que el costo total mensual es de S/. 16800 y que cada pantalón se vende a

S/. 200 y cada falda a S/.180, que generan un ingreso total mensual de s/. 26800. Determine

la cantidad de pantalones y faldas producidas en un mes.

2. Oscar y Alfredo trabajan en la misma empresa y sus ingresos diarios se diferencian en 20

soles. Oscar es quien tiene mayor ingreso pero trabaja durante 15 días mientras que Alfredo

trabaja 26 días. Si Alfredo ha ganado 580 soles más que Oscar, calcule el ingreso diario de

cada uno.

3. La empresa “Lanificios del Perú” tiene costos fijos de S/. 5000, produce pantalones y

camisas siendo los costos unitarios de producción de S/. 40 y S/. 30 respectivamente. Si

los costos totales son de S/. 30 000 y se desean producir 700 prendas entre pantalones y

camisas. Calcule el número de pantalones y camisas a producir.

4. La empresa H&B fabrica y envasa mermelada de fresa y puré de manzana. Por cada unidad

de mermelada que vende la ganancia es de S/. 6 y por cada unidad de puré que vende la

ganancia es de S/. 9. Se vendieron 500 unidades entre mermelada y puré siendo la

ganancia total de S/. 3900. ¿Cuántas unidades de cada producto se vendieron?

5. Una empresa que fabrica artículos de cuero, tiene un costo fijo mensual de S/.10000. Si

produce carteras y correas, con un costo de producción unitario (mano de obra y material)

de S/. 40 y S/. 30 respectivamente y con un costo total mensual fue de S/. 20000 y, además

se fabrican 300 artículos (entre carteras y correas). Calcule la cantidad de carteras y

correas producidas en el mes.

6. Una empresa exportadora de artículos de lana de vicuña tiene un costo fijo mensual de

S/. 5000. Sabiendo que produce chompas y faldas donde el costo de producción es de

S/. 80 y S/. 70 respectivamente. Además el costo total mensual es de S/. 15600. Cada

chompa se vende S/. 200 y cada falda a S/. 180 y la venta total del mes es de S/. 26800.

Calcule la cantidad de chompas y faldas producidas en el mes.

7. Una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere 1 hora de

mano de obra para pintarlo y 1/2 hora de mano de obra para pulirlo, el modelo B requiere de

1 hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos. Durante cada hora que la línea

de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para

pintura y 80 horas de mano de obra para pulirlo. ¿Cuántos automóviles de cada modelo

pueden terminarse cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra?



8. Una fundidora produce dos esculturas diferentes de bronce. El departamento de fundición

dispone de un máximo de 136 horas de trabajo por semana y el departamento de acabado

tiene un máximo de 124 horas de trabajo por semana. La escultura A necesita 12 horas para

fundición y 8 horas para acabado; y la escultura B necesita 8 horas para fundición y 12

horas para acabado. Si la planta debe funcionar a su máxima capacidad, ¿cuántas

esculturas de cada tipo debe producir cada semana?

9. Escritorios Nacionales tiene plantas para la producción de escritorios en Surco y en La

Molina. En la planta de Surco, los costos fijos son de $ 16000 por año y el costo de

producción de cada escritorio es de $ 90. En la planta de La Molina, los costos fijos son de

$ 20000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de $ 80. El año siguiente la

compañía quiere producir en total de 800 escritorios. Determine la producción de la planta

de La Molina para el año próximo si el costo total de cada una debe ser el mismo.

10. Una fábrica tiene plantas para la producción de puertas en dos distritos diferentes de Lima:

Los Olivos y San Juan de Miraflores. En la planta de los Olivos los costos fijos son de

S/.20000 y el costo de producción es de S/ 150 soles por cada puerta. En la planta de San

Juan de Miraflores los costos fijos son de S/ 25400 y el costo de producción es de S/.180

por cada puerta. El año siguiente la compañía quiere producir 520 puertas. Determine la

producción de cada planta para el próximo año, si el costo total de cada una debe ser el

mismo.

11. Una empresa tiene dos plantas para la fabricación de mochilas. Una esta ubicada en La

Victoria y la otra en Los Olivos. En la planta de la Victoria, los costos fijos mensuales

ascienden a $ 5900 y el costo unitario de producción a $ 25. En la planta de los Olivos, los

costos fijos son de $ 9000 y el costo unitario de producción es de $ 30. Si se desea fabricar

1400 mochilas mensuales, halle la producción de cada planta, sabiendo que los costos

totales mensuales en cada planta deben ser iguales.



SEMANA 5

LÍMITES

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

Es importante conocer el comportamiento de una función ( )f x , cuando los valores de la

variable independiente “ x ”, estén muy cerca de un número especificado que llamaremos 0x .

Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más cercanos al número 0x .

Ejemplo Si ( )3 1

1

xf x

x

−=

−

Observamos que el punto 0 1x = no está en el dominio de la función. En la tabla adjunta

escribimos algunos valores para la variable independiente x , en el entorno de 1, y calculamos

los valores correspondientes de la función ( )f x :

1x < 1x >

x 0,95 0,99 0,995 0,999 1,001 1,005 1,01 1,05

( )xf 2,8525 2,970 2,9850 2,9970 3,0030 3,0150 3,0301 3,1525

De la tabla podemos observar que, mientras el valor de “x” se aproxima al número 1, el valor de

( )f x se aproxima al número 3.

Deducimos, intuitivamente, que el límite de la función ( )f x cuando x “tiende” a 1; es 3.

Esto se simboliza:

3

1

13

1limx

x

x→

−=

−

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

El límite de una función ( )f x , cuando la variable x se aproxima a un valor dado 0x , es el

número real “L” , (siempre que exista), al cual se aproxima la función, esto se simboliza:

( )lim0

x xf x L

→= , se lee: “ El límite de ( )f x cuando x tiende a 0x es L ”



ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS

Sean k , 0x números reales y n un entero positivo. Entonces:

1. 0

limx x

k k→

= 2. 0

0

limx x

xx→

= 3. 0

0

lim n n

x xxx

→=

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Sean k , 0x números reales y n un numero entero positivo y f , g funciones con límites:

0

( )limx x

f x L→

= y 0

( )limx x

Mg x→

=

Entonces:

1. 0 0

( ) ( )lim limx x x x

Lf x f xk k k→ →

= =

2. [ ]0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x

f x g x f x g x L M→ → →

=+ + = +

3. [ ]0 0 0



=− − = −

4. [ ]0 0 0



=⋅ ⋅ = ⋅

5. 0

0

0

( )( )

( ) ( )

lim

limlim

x x

x xx x

f xf x L

g x Mg x

→

→→

= = , siempre que 0M ≠ .

6. [ ]0 0

( ) ( )lim lim

n

n n

x x x xf x f x L

→ →

=

=

7. ( ) ( )00

lim lim nnn

x x x x

f x f x L→ →

= =



FORMA INDETERMINADA: ( )00

Cuando en una función ( )f x reemplazamos la variable por un valor dado “x0” y nos da la

forma indeterminada 0/0 , es posible calcular el 0

( )limx x

f x→

; previamente se debe factorizar o

racionalizar ( )f x con la finalidad de “eliminar” la indeterminación.

Ejemplo 1 Calcular 2

21

2

2 3limx

x x

x x→

+ − + −

Solución: ( )2

21 1

( 1)( 2)2 ( 1)( 3)2 3

lim limx x

x xx x

x xx x→ →

− ++ − =− ++ −

1

( 2) ( 3)

limx

x

x→

+=

+

4

3=

Por tanto: ( )2

21

2 3 42 3

limx

x x

x x→

+ − =+ −

Ejemplo 2 Calcular 7

2 3 7

limx

x

x→

+ −−

Solución: 7 7

2 3 2 3 2 3 7 7 2 3

lim limx x

x x x

x x x→ →

+ − + − + += ⋅− − + +

( )

22

7

2 3lim

( 7)( 2 3)x

x

x x→

+ −=

− + +

7

( 7)lim

( 7)( 2 3)x

x

x x→

−=

− + +

7

1lim( 2 3)x x→

=+ +

6

1=

Por tanto: 7

2 3 1lim7 6x

x

x→

+ − =−



EJERCICIOS:

Calcular los siguientes límites

1. 3 (9 )lim

x→ 2. 4

2 lim

xx

→− 3. ( )2

22 3lim

x

x x→ −

+ −

4. 2

2

3 1

2 1limy

y

y→

+

− 5.

2

6

3limx

x

x→

−

− 6.

2

22

3 2

4 3limx

x x

x x→−

− +

− +

7. 2

2

3 10

11limx

x x

x→

+ − −

8. 2

23

5 24

12limx

x x

x→−

− −

− 9.

1

8

3limx

x

x→−

−

−

Forma indeterminada ( )00

10. 4

1

1

1limx

x

x→

−

− 11.

2 4

4

12limx

x

x x→

−

− − 12.

22

2

4limx

x

x→−

+

−

13. 2

22 3

3 2

3 4 4lim

x

x x

x x→ −

− −

− − 14.

2

2

4 4

2lim

x

x x

x→ −

+ +

− − 15.

2

2 4

9 20

3 4limx

x x

x x→

− +

− −

16. 2

2 2

2limx

x

x→

+ −

− 17.

2 3

3

7 4lim

x

x

x→ −

+

+ − 18.

2

0

1 1limx

x

x→

− −

19. 0

9 3

16 4limx

x

x→

+ −

+ − 20.

2 2

limx a

b x b a

x a→

− − −

− 21.

2

0

3

3 1 1limx

x x

x→

+

+ −

22. 2

22

5 6

3 10limx

x x

x x→−

+ +

− − 23.

2

1

2

1limx

x x

x→

− +

− 24.

23

3

2 3limx

x

x x→−

+

+ −

25. 0

2

4 2

9 3limx

x

x x→

+ −

+ 26.

4

2 2

1 3limx

x

x→

− −

− − 27.

4

2 1 3

2 2limx

x

x→

+ −

− −

En los siguientes ejercicios, calcule la constante c de modo que el límite exista. Para ese valor de c determinar el límite.

a) 2

21

2 1

limx

x x c

x→

+ +

− b)

2

22

3 7 4

limx

x x c

x→

− +

−

c) 2

22

5 6

limx

x x c

x x→

+ +

+ − d)

2

24

2 8

limx

x x c

x x→−

− +

+ −

e) 2

23

4 2 15

limx

x x c

x x→

− +

+ − f)

2

22

5 4 12

limx

x x c

x x→−

+ +

− −



4

6

2

y

x

LÍMITES LATERALES

Consideremos una función por tramos:

2 ; 2

( ) 34 ; 2

x si xf x

x si x

<= + >

Podemos observar que cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la izquierda ( 2)x < , la función se aproxima al número 4; esto se simboliza:

2

( ) 4limx

f x−→

=

Asimismo, cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la derecha ( 2)x > , la función se aproxima al número 6, esto se simboliza:

2( ) 6lim

xf x

+→=

DEFINICIÓN. Una función ( )f x tiene límite en “ a ” si los límites laterales en “ a ” son iguales; esto es:

Lxfax

=→

)(lim ↔ Lxfxfaxax

==+− →→

)(lim)(lim

Verifique si existen los existen los siguientes límites:

1. 2 2 1 ; 1

( ) 4 1 ; 1

x si xf x

x si x

+ ≤=

− > a)

1

limx

f (x)+→

b) 1

limx

f (x)−→

c) 1

( )limx

f x→

2.

2 4 ; 2

( ) 2

5 2 ; 2

xsi x

f x x

x si x

−<

= − − >

a) 2

limx

f (x)+→

b) 2

limx

f (x)−→

c) 2

limx

f (x)→

3.

2

2 ; 1

1( )

3 ; 18

x xsi x

xf x

xsi x

− < −

= + >

a) 1

( )limx

f x+→

b) 1

( )limx

f x−→

c) 1

( )limx

f x→

4.

3

2

8 ; 24

( )3 3 3 ; 2

2

xsi x

xf x

xsi x

x

− > −

= + − < −

a) 2

( )limx

f x+→

b) 2

( )limx

f x−→

c) 2

( )limx

f x→



5. Dado: 3

2

1 ; 2( )

3 ; 2

Ax si xf x

x x si x

+ >=

+ < , calcule el valor de A , si existe

2( )lim

xf x

→.

6. Dado:

3 2

2

3 1 ; 1

( ) 1 ; 1

3 1 2

Bx x si x

f x xsi x

x

+ − ≤

= −>

+ −

, calcule el valor de , B si existe 1

( )limx

f x→

.

7. Halle el valor de a y b si existen 1

( )limx

f x→−

y 3

( )limx

f x→

;

2 1 ; 1

( ) ; 1 3

5 ; 3

x si x

f x ax b si x

x si x

− ≤−

= − − < <

− >

8. Halle el valor de c y k si existen 2

( )limx

f x→−

y 1

( )limx

f x→

;

2 3 ; 2

( ) 5 ; 2 1

32 ; 1

x c si x

f x cx k si x

x si x

+ < −

= − − ≤ ≤ >

9. Dada la gráfica de la función ( )f x , calcule si existen los siguientes límites;

10. Dada la gráfica de la función ( )f x , calcule si existen los siguientes límites;

a) 1 3

( )limx

f x+→ −

b) 1 3

( )limx

f x−→ −

c) 1 3

( )limx

f x→ −

d) 1 2

( )limx

f x+→ −

e) 1 2

( )limx

f x−→ −

f) 1 2

( )limx

f x→ −

g) 21

( )limx

f x+→

h) 21

( )limx

f x−→

i) 12

( )limx

f x→

2−3−

1−

1

3

4

2 x

y

a) 11

( )limx

f x+→

b) 11

( )limx

f x−→

c) 11

( )limx

f x→

d) 1 2

( )limx

f x+→ −

e) 1 2

( )limx

f x−→ −

f) 1 2

( )limx

f x→ −

g) 21

( )limx

f x+→

h) 21

( )limx

f x−→

i) 12

( )limx

f x→

2−

3−

1 2

8

4

9

x

y



SEMANA 6

CONTINUIDAD

Continuidad de funciones

Una función ( )f x es continua en a ∈� si y sólo si, se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. Existe ( )f a , es decir a pertenece al dominio de ( )f x .

2. Existe el ( )limx a

f x→

, es decir los limites laterales existen y son iguales

( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a

f x f x f x→ → →+ −

= =

3. ( )= ( )limx a

f a f x→

OBSERVACIONES

� Una función polinomial es continua en todo su dominio.

Ejemplo 1 3( ) 2 3 1, f x x x x R= + + ∈

3

3 3

3

Sea :

) ( ) 2 3 1, existe.

) ( ) 2 3 1 2 3 1, existe.

) ( ) ( ) 2 3 1

lim lim

lim

x ax a

x a

a R

i f a a a

ii f x x x a a

iii f a f x a a

→→

→

∈

= + +

= + + = + +

= = + +

∴ f es continua en a R∈

� Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es cero, y es continua en cualquier otro punto de su dominio.

Ejemplo 2

Analizar la continuidad de la función: 2

2 1( )

9

xf x

x

+=

−



2

2

Si 3 :

2 (3) 1 7) (3) , 3

03 9

Si 3 :

2 ( 3) 1 5) ( 3) , 3

0( 3) 9

x

i f f x

x

i f f x

=

+= = = ∃ ∴ =

−

= −

− + −− = = = ∃ ∴ = −

− −

es discontinua en

es discontinua en

EJEMPLOS

1. Analizar la continuidad de la función: 2

3 1, 0

( ) , 0 1

2 1, 1

x x

f x x x

x x

− <

= ≤ ≤

− >

Solución:

2

2 2

0 0

0 0 0

2

2 2

1 1

1

Si 0 :

) ( ) 0 0

) 0 0; 3 1 3( 0 ) 1 1

( ) ( ) ( )

0

Si 1:

) (1) 1 1

) 2 1 2(1) 1 1; 1 1

lim lim

lim lim lim

lim lim

lim

x x

x x x

x x

x

x

i f x

ii x x

f x f x f x

f x

x

i f

ii x x

+ −→ →

+ −→ → →

+ −→ →

→

=

= =

= = − = − = −

⇒ ≠ ⇒ ∃

∴ =

=

= =

− = − = = =

⇒

es discontinua en

1

( ) 1

) (1) ( ) 1

1

limx

f x

iii f f x

f x

→

=

= =

∴ =es discontinua en

2. Hallar los valores de a y b , si:

3 , 1

( ) 3 1, 1 2

2 1, 2

x a x

f x a x

bx x

− <

= − ≤ <

+ ≥

es continua en todo su dominio.



Solución:

• Nos basta analizar la continuidad en 1x = y 2x = , pues esto va generar que se formen ecuaciones que nos permitirá hallar el valor de “ a ” y “b ”.

• Como ( )f x es continua en 1x = , basta observar que:

1 1

(1) ( ) ( )lim limx x

f f x f x+ −→ →

= =

Luego: (1) 3 1f a= − ; 1

(3 1) 3 1limx

a a+→

− = − ; 1

(3 ) 3limx

x a a−→

− = −

⇒ 3 1a − = 3 a− ⇒ 1a =

• Como ( )f x es continua en 2x = , basta observar que:

2 2

(2) ( ) ( )lim limx x

f f x f x+ −→ →

= =

Luego:

(2) 2 (2) 1f b= + ; 2

(2 1) 2 (2) 1limx

bx b+→

+ = + ; 2

(3 1) 3 1limx

a a−→

− = − ;

⇒ 4 1b + = 3 1a − ⇒ 4 1b + = 3(1) 1− = 2 ⇒ 1 4b =

TIPOS DE DISCONTINUIDAD

1. Discontinuidad removible o evitable. Una función tiene discontinuidad removible o

evitable en un punto “ a ” cuando existe ( )limx a

f x→

pero es diferente de ( )f a ó

( )a Df x∉ .

Ejemplo:

5

4

3

( )f x

3

4 ( )f x



OBSERVACIÓN

a) En el primer gráfico, (3) 5f = pero3

( ) 4limx

f x→

= ,

luego ∴ f discontinua removible en 3x =

b) En el segundo gráfico, (3)f no existe, sin embargo,3

( ) 4limx

f x→

=

∴ ( )f x discontinua removible en 3x =

2. Discontinuidad no removible o inevitable. Una función tiene discontinuidad en un

punto “ a ” cuando no existe ( )limx a

f x→

, o al menos uno de los límites laterales en “ a ” es

∞.

Ejemplo

OBSERVACIÓN

a) En el primer gráfico, 2

( ) 5limx

f x+→

= y 2

( ) 9limx

f x−→

=

⇒ 2

( )limx

f x→

∃ ∴ f es discontinua no removible en 2x =

b) En el segundo gráfico, 4

( ) 3limx

f x+→

= y 3

( ) limx

f x−→

= + ∞

⇒ 4

( )limx

f x→

∃ ∴ f es discontinua no removible en 4x =

2

5

9

4

3



EJERCICIOS:

I. En los siguientes problemas, utilice la definición de continuidad para mostrar que la función dada es continua en el punto indicado.

a. ( ) 3 8 , 2f x x x x= − = b. ( )23

, 02

xf x x

x= =

− c. ( )

3, 3

9

xf x x

x

−= = −

d. ( ) 3 , 1f x x x= = − e. ( ) 2 3 , 0f x x x= − = f. ( )3 8

, 22

xf x x

x

−= = −

−

II. Encuentre los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones e indique de qué tipo se trata:

a. 4

( )2

xf x

x

+=

− b.

2

3( )

9

xf x

x

−=

− c.

2

2

4( )

1

xf x

x

+=

−

d. 2

2

1( )

4

x xf x

x

− +=

− e.

2

2

4( )

16

x xf x

x

−=

− f.

3

7( )

xf x

x x

−=

−

III. Analice la continuidad de las siguientes funciones:

a.

2 1 ; si 1

( ) 1

2 ; si 1

xx

f x x

x

−≠

= −

=

b.

2

2

3 2 ; si 2

2 4( )

2 4 ; si 2

4

x xx

xf x

xx

x

− +≠

−=

− = −

c.

4 1 ; 1

( ) 5 ; 1

2 3 ; 1

x si x

f x si x

x si x

+ <

= =

+ >

d.

3 8 ; 2

2

( ) 3 ; 2

2 1 ; 2

xsi x

x

f x si x

x si x

−<

−= =

− >

e.

2 1 3 ; 1

1( )2 1

; 13

x xsi x

xf xx

si x

+ + − < −=

+≥

f. 2

4 2 ; 1

( ) 3 ; 1 4

6 ; 4

x si x

f x x x si x

x si x

− <

= − < ≤

>

g.

2 1 ; 2

( ) 6 ; 2 8

4 3 ; 8

x si x

f x si x

x si x

− < −

= − ≤ ≤

+ >

h.

2 2 1 ; si 7

( ) 1 ; si 7 9

2 ; si 9

x x x

f x x x

x x

+ − <

= + ≤ ≤ − >

i) 2

2 ; 2

4( ) ; 2 3

2

5 ; 3

x x

xf x x

x

x

− <

−= ≤ <

+ ≥

j)

3

1 ; si 0

3

2 1( ) ; si 0 2

3

8 ; si 2

xx

x

xf x x

x x

−< +

−

= ≤ < − ≥



IV. Calcule el valor de las constantes, sabiendo que las funciones son continuas en todo su dominio.

1. 3 ; 1

( ) 3 ; 1

ax xf x

ax x

+ ≥=

− <

2. 2 ; 1( )

3 ; 1

x a xf xx

+ ≠

==

3.

22 4 ; 2

( ) 6 ; 2 4

3 2 ; 4

ax b si x

f x si x

ax b si x

+ <

= ≤ ≤ − >

4.

2 2 5 ; 1

( ) 8 2 ; 1 3

2 ; 3

ax b si x

f x x si x

ax b si x

+ − <

= − ≤ ≤ + − >

5.

2 ; 2

( ) 3 ; 2 1

6 2 ; 1

x a si x

f x ax b si x

x b si x

+ < −

= + − ≤ ≤ − >

6.

3 1 ; 1

( ) ; 1 3

4 ; 3

x si x

f x ax b si x

x si x

− < −

= + − ≤ < − ≥

7.

1 ; 1

( ) 4 ; 1 2

2 8; 2

x si x

f x si x

bx si x

+ <

= ≤ < − ≥

8.

2

2

3 1 ; 1

( ) 1 ; 1

3 1 2

ax x si x

f x xsi x

x

+ − ≤

= −>

+ −

9.

2 2 1; 2

( ) 2 1 ; 2

3 3 ; 2

mx n si x

f x x si x

n mx si x

+ + <

= + = − + >

10. 3

2

2 ; 3

( ) 27 ; 3

3

m x si x

f x xsi x

x x

+ ≥

= −<

−



SEMANA 7

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN:

Sea )(xf una función definida en cada punto del intervalo I ∈� , entonces se dice que )(xf es derivable en el punto x I∈ , si existe el límite siguiente:

0

( ) ( ) lim

h

f x h f x

h→

+ −

Si a la derivada de una función se le denota por: ( )' xf o por ( )xdf

dx y se lee “la derivada de

)(xf en el punto x ”, entonces por definición se tiene:

0

( )

( )( ) ( )

lim h

xx

f x h f x

h

dff

dx →

+ −= =′

Ejemplos:

Halle la derivada de las funciones siguientes usando la definición.

a) 23)( −= xxf b) ( ) 23 2 5f x x x= − + c) ( ) 2 1f x x= +

Solución:

a) 0

( )( ) ( )

' l imh

xf x h f x

fh→

+ −=

[ ]

0

( )3( ) 2 (3 2)

' l imh

xx h x

fh→

+ − − −=

0

( )3 3 2 3 2

' l imh

xx h x

fh→

+ − − +=

0

( )3

' l imh

xh

fh→

=

0

( ) 3' l imh

xf

→

= 3)(' =xf .

b) 0

( )( ) ( )

lim´h

xf x h f x

fh→

+ −=

[ ]2 2

0

( )3( ) 2( ) 5 (3 2 5)

' limh

xx h x h x x

fh→

+ − + + − − +=



[ ]2 2 2

0

( )3( 2 ) 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh→

+ + − − + − + −=

[ ]2 2 2

0

( )3 6 3 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh→

+ + − − − − + −=

2 2 2

0

( )3 6 3 2 2 5 3 2 5

' limh

xx xh h x h x x

fh→

+ + − − + − + −=

2

0

( )6 3 2

' limh

xxh h h

fh→

+ −=

0

( )(6 3 2)

' limh

xh x h

fh→

+ −=

0

( )(6 3 2)

6 2' limh

xh x h

f xh→

+ −= = − ( ) 6 2´ xf x= − .

c) 0

( )( ) ( )

' l imh

xf x h f x

fh→

+ −=

0

( )2( ) 1 2 1

' limh

xx h x

fh→

+ + − +=

0

( )( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)

( 2 2 1 2 1)

' limh

xx h x x h x

fh x h x→

+ + − + + + + += ×

+ + + +

0

( )(2 2 1 2 1) 2

( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)

' limh

xx h x h

fh x h x h x h x→

+ + − −= =

+ + + + + + + +

0

( )2 2

( 2 2 1 2 1) ( 2 1 2 1)

' limh

xfx h x x x→

= =+ + + + + + +

( )2 1

2 2 1 2 1

' xfx x

= =+ +

.

REGLAS DE DIFERENCIACIÓN

Si )(xf y )(xg son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces:

1) Si, ( )xf k= , es una función constante, entonces: ( ) 0' xf =

2) Si, ( ) nf x x= , n∀ ∈� , entonces: 1( )' n

f x nx −=

3) [ ] ( )( ) xx fk f k=⋅ ⋅′ ′ , donde k es constante.

4) ( ) ( )( ) ( ) x xx x f gf g ± =± ′ ′ ′



INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.

Sea ( )y f x= una función definida en I , I ⊂ � , cuya gráfica sea la siguiente:

Si: )()()( 0000 xfxxfxf −∆+=∆

Entonces, en el triángulo rectángulo MPN, )( 0xf∆ representa la longitud del cateto

PN, de igual manera que 0x∆ representa

la del MP.

De aquí se tiene que : )()(

0

0 αtgx

xf=

∆

∆

Pero si hacemos ,00 →∆x

Entonces: 0

0

0

0 0

( )( )l im

x

f xf x

x∆ →

∆=

∆′ .

Esto quiere decir que, geométricamente, la derivada de una función en un punto debe interpretarse como: la pendiente de la tangente geométrica a la curva de la función f , en

el punto considerado ( )0 0, ( )x f x .

RECTA TANGENTE Y NORMAL

La recta tangente es una recta que corta en un punto a una curva. La recta normal es una recta que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente.

La ecuación de la recta tangente TL a la gráfica

de ( )y f x= en el punto ( )0 0,x y y pendiente LT

m

está dada por : 0 0( )LT

y y x xm− = − .

Pero sabemos que la pendiente de la recta tangente en 0x es la derivada de 0( )f x : 0( )´

LTf xm = .

Entonces, la ecuación de la recta tangente es:

0 0 0( )( )y y f x x x− = −′

La ecuación de la recta normal NL a la gráfica de

( )y f x= en el punto ( )0 0,x y de pendiente LN

m , está dada por: 0 0( )LN

y y x xm− = − .

Pero sabemos que: 1

LNLT

mm

= − . Entonces, la ecuación de la recta normal es:

0 0

0

1( )

( )y y x x

f x− = − −

′

0x

0 0x x+ ∆

P

N

M

0( )f x

0 0( )f x x+ ∆

( )f x

α

x

y

0

0 0( ; )P x y

NL

TL

( )f x



Ejemplo:

Halle la ecuación general de la recta tangente y de la normal a la parábola: 22 8 5y x x= − +

en el punto (1, 1)P − .

Solución:

Derivando 2( ) 2 8 5f x x x= − + , se tiene: ( ) 4 8f x x= −′ .

Evaluando la derivada en 1x = : 4)1(' −=f , luego:

La ecuación general de la recta tangente es:

1 4 ( 1)y x+ = − − → : 4 3 0TL x y+ − = .

La ecuación general de la recta normal es:

11 ( 1)

4y x+ = − → : 4 5 0TL x y− − = .

EJERCICIOS:

I. Utilizando la definición, encuentre la derivada de las siguientes funciones:

1. 34)( −= xxf 5. ( ) 1f x x= +

2. 2( ) 3 4f x x x= − + 6. ( ) 3 6f x x= +

3. 6 1

( )3 2

xf x

x

−=

+ 7. ( ) 4 1f x x= −

4. 3 5

( )4 2

xf x

x

+=

− 8.

5 2( )

3

xf x

+=

II. Determine la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de las funciones siguientes:

1.- 2( ) 4 5 2 f x x x= − + . en (2, 8)P 2. 2( ) 5 3 1 f x x x= − + , en (2, 37)P

3. 654)( 2 ++= xxxf , en 1x = 4. 3

1 23 xxy −= en 0=x

5. 2

( )1

f x xx

= −+

, en 2x = . 6. ( )( )2( ) 3 2f x x x= − + ; en 0x =



III. Utilizando las diferentes reglas de diferenciación halle la derivada de las siguientes funciones y evalúe en el punto dado:

1. )(xf = 5 31 26

4 3x x x+ − ; 2x = 2. )(zf = 1/2 2/3 1/41

2 3 5

x x x+ − ; 1x =

3. ( )f x = 3/5x ( )22 3 3x x+ − ; 1x = 4. )(xf = 24x (3 38 2x x− − ); 1x =

5. 1

( ) x

f xx

+= ; 4x = 6. 525)( 2 ++−= bxxxxf ; 1x =

7. 2 / 3 3

1/ 3

2 3 2( )

4

x zx xf x

x

+ −= ; 8x = 8. 3 2 1

( ) 2 2 3f x x x xx

− = − +

; 8x =

9. ( )1 2 4/3

4

5 2 3( )

x x xf x

x

− − −

−

− −= ; 1x = 10. )(xf =

2

3

(3 4 3)x x

x

− +; 64x =

11. )(tf = 3 6

2

5 2 7x x x

x

− + ; 64x = 12. )(xf = 32 7)(3( xxxx −− ) ; 1x =

13. ( ) ( )42 3( ) 2 1f x x x= − + ; 1x = .



SEMANA 8

LA DERIVADA DE UN PRODUCTO, COCIENTE Y POTENCIA

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

REGLAS DE DERIVACIÓN

Si )(xf y )(xg son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces se define:

1) Deriva de un producto.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x ⋅ = ⋅ +′

′ ′

2) Derivada de un cociente.

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

f x f x g x f x g x

g xg x

⋅ −=

′ ′ ′ , si ( ) 0xg ≠

3) Derivada de una potencia.

( ) ( )1

( )( ) ( )n n

n f xf x f x− = ⋅⋅

′′

4) Derivada de funciones exponenciales.

( ) ( )( ) ln

f x f xf x aa a

= ⋅ ⋅

′′ , donde a ∈� .

( ) ( )( )

f x f xf xe e = ⋅

′′ , donde e es la constante de Euler.

Caso particular ( ) 'x xe e=

5) Derivada de funciones logarítmicas.

( )ln ( )

( )

f xf x

f x=

′′ , caso particular:

1ln x

x=

′

ln

( )( )

( )b

f xLog f x

f x b⋅

= ′ ′

, caso particular: ln

1( )

b bLog x

x ⋅

= ′



NOTA

Es conveniente, antes de derivar algunas funciones logarítmicas, aplicar algunas propiedades

de los logaritmos, para reducir su dificultad. Estas propiedades son las siguientes:

1) ln lnna an= 2) ln( . ) ln lna b a b= +

3) ln( ) ln lna

a bb

= − 4) ln

loglnb

aa

b= (cambio de base)

EJERCICIOS:

I. Derive las siguientes funciones:

1. ( 3)( 1)

( )( 2)

x xf x

x

+ −=

+ 2. ( )

107( )4

xf xx

−=+

3. 2( ) 2 3f x x x= − 4. 2 23( ) (4 3 2)f x x x= + −

5. 3 24 2 5( ) x xf x e + += 6.

33 6 2( ) x xf x e + −=

7. 3

5( ) ( 3) 2x

f x x −= 8. 24 3 6( ) (7 8) xf x x e ++=

9. ( )1

1( ) ln

x

xf x

+

−= 10. ( ) ( )2 3 3 2lny x x= + +

11. ( ) ( )2 21 2lny x x x= + − + 12. ( )2 1lny x= +

13. ln

2

xy

x=

+ 14. ( )34 2 1lny x x= + −

15. ( ) ( )32

1 2lny x x= + + 16.

1 ln

1 ln

xy

x

+=

−

17. 2 ln(2 1)y x x= + 18. 3 2ln( 2 5 ) 4 2y x x x x⋅= + + −

19. ( )2

5log 1y x x= + + 20.

x x

x xy

e e

e e

−

−

−=

+

21.

2

22

1

x xy log

x

−=

+ 22.

( ) ( )

( )

22

32

1 1

4

lnx x

y

x

+ −

=

+

23. 3

2 4

6 5 ( 4 5)

( 7 8) 8 1 ln

x xy

x x

+ − = + +

⋅

⋅ 24.

45

7

4 3 ( 2 7 )

( 2 7 ) 3 2 ln

x xy

x x

+ + = − +

⋅

⋅

25. ( )( )1ln 1

xy x

+= + 26. ln( ) (1 )x x

f x e= +

27. ( )lnxe

y x= 28 2 1( ) xf x x

+=



II. APLICACIONES:

1. Encuentre la ecuación general de la recta tangente a la curva

2 1( )

2

xy f x

x

−= =

− que pasa por el punto (1,0) .

2. Halle la ecuación general de la recta tangente a la curva: ( ) 2 3 1f x x x= − + , en

2x = .

3. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 2( 2 )

( )x - x

y f xx

= = , en el punto ( 4 ) ( ), k f x∈ .

4. Sea 1

( )3

xy f x

x

−= =

+ . Hallar la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la

recta normal, en el punto de abscisa 1.

5. Encontrar la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de la

función: 1

( )1

xy f x

x

+= =

− que pasa por el punto ( 2 ) ( ), k f x∈ .

6. Halle la ecuación general de la recta tangente y normal a la curva 2

( )1

f x xx

= −+

, en

el punto donde 2x = .

7. Sea : 2

23

3 6( )

xy g x

x

−= = , halle la ecuación general de la recta tangente y normal a

la gráfica de ( )y g x= que pasa por el punto (1, ) ( )g xk ∈ .

8. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva:

2

3

5 2

1( )

x

xf x

e

e

+

+= en 0=x .

9. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva ( ) 4 3lnxy f x= = + que pasa

por el punto (1, 2 ) .

10. Halle la ecuación general de la recta tangente y normal a la curva 2 2( ) ( 1) xy f x x e −= = + en el punto ( 2 , 5 ) .

11. Halle la ecuación general de la recta normal a la curva: 3 ln (2 3)( ) ( 2)

xf x x e −

= − ,

en el punto donde 2x = .

12. Determinar la ecuación general de la recta tangente a la curva ( ) ( 3) (3 1) 3lnf x x x= + ⋅ + + en el punto ( 0 , 3 ) .



SEMANA 10

INCREMENTO Y RAZÓN DE CAMBIO.

RAZONES DE CAMBIO RELATIVAS Y PORCENTUALES.

APLICACIONES A LA ECONOMÍA.

Sea ( )y f x= una función definida en el intervalo 1 2,x x

entonces calculamos:

2 1

2 2 1( ) ( )

1

x x x

y y y f x f x

∆ = −

∆ = − = −

donde x∆ es un símbolo que representa el cambio de la variable x , es decir el incremento de la variable

1x a la posición

2x . Lo mismo denotamos para la variable y .

Ejemplo 1.

Para la función 24 2y x x= − + , calcular el incremento de “ x ” y el incremento de “ y ” para

11x = − ,

22x =

Solución:

2 1 2 ( 1) 3x x x∆ = − = − − =

1

2 1

2

2

2

4 2( 1) ( 1) 4 2 1 74 7 3

4 2(2) (2) 4 4 4 4

yy y y

y

= − − + − = + + =→ ∆ = − = − = −

= − + = − + =

Concluimos que el incremento de y negativo significa una disminución de la función, lo cual

quiere decir que al aumentar x en tres unidades, la función y disminuye en tres unidades.

Ejemplo 2.

El volumen de ventas de gasolina (número de litros vendidos por día) es ( )1000 200q p= − , en

donde p es el precio por litro en nuevos soles. Calcular el incremento en el volumen de ventas

de gasolina que corresponde a un incremento en el precio por litro, de 3,50 nuevos soles a 3,70

nuevos soles. ¿Cuál es el incremento en el precio?

Solución:

2 1 3,70 3,50 0,20∆ = − = − =p p p nuevos soles /litro.

1

2 1

2

1000(200 3,50) 196500 litros/dia196300 196500 200

1000(200 3,70) 196300 litros/dia

q

q q qq

= − =→ ∆ = − = − = −

= − =

l/día.

Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 20 céntimos, el volumen de ventas

disminuye en 200 litros diarios.



INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN EN FORMA GENERAL

2 1 2 1x x x x x x∆ = − → = + ∆ , como se puede ver en la gráfica.

2 1 2 1( ) ( )y y y f x f x∆ = − = − . por lo tanto, sustituyendo 2x se tiene que:

( ) ( )1 1+ ∆ −∆ = f x x f xy

Para cualquier incremento de x , a partir de un valor conocido de x .

En general, para cualquier valor de x y cualquier incremento de x se tiene que:

( ) ( )∆ = + ∆ −y f x x f x

Ejemplo 3.

Sea 2( ) 4f x x= − . Se pide:

a) Calcular el incremento de y si 3, 0,8= ∆ =x x

b) Calcular el incremento de y si 3x = , para cualquier incremento de x .

c) Calcular el incremento de y para cualquier valor de x y cualquier incremento de x .

Solución:

a) ( ) ( ) (3 0,8) (3) (3,8) (3)∆ = + ∆ − = + − = −y f x x f x f f f f

22(3,8) 4 (3) 4 10,44 5 5, 44 ∆ = − − − = − = y

b) 2 2( ) ( ) (3 ) (3) (3 ) 4 (3) 4y f x x f x f x f x ∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ − − −

[ ]29 6 ( ) 4 9 4y x x ∆ = + ∆ + ∆ − − −

2 25 6 ( ) 5 6 ( )y x x x x∆ = + ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ .

c) 2 2( ) ( ) ( ) 4 4y f x x f x x x x ∆ = + ∆ − = + ∆ − − −

2 2 2 22 ( ) 4 4 2 ( )y x x x x x x x x ∆ = + ∆ + ∆ − − − = ∆ + ∆

2( )f x

y∆

( )y f x=

Q

P

x∆

1x 2

x

1( )f x



RAZÓN (TASA) DE CAMBIO PROMEDIO Para la función ( )y f x= , la razón de cambio promedio de la función de x a x x+ ∆ (es decir

de 1x a 2x ) se define como:

2 1

2 1

( ) ( ) y yy f x x f x

x x x x

−∆ + ∆ −= =

∆ ∆ − =

varvar

cambio en la iable y

cambio en la iable x

Ejemplo 1.

Sea ( ) 2 5= −f x x . Encontrar la tasa de cambio promedio cuando 3 y 4x x= ∆ = Solución:

(7) (3) 2(7) 5 2(3) 5 9 1 3 1 2 10.5

4 4 4 4 4 2

y f f

x

∆ − − − − − −= = = = = = =

∆

Ejemplo 2.

Para cierto fabricante, el costo de producción de q toneladas por semana de un producto químico, expresado en dólares está dado por: = +( ) 50000 60C q q y el ingreso correspondiente

por la venta de q toneladas semanales de producto químico, expresado también en dólares, está dado por = − 2( ) 300 0,03r q q q . La compañía actualmente produce 4 000 toneladas por

semana, pero desea incrementar la producción a 4 200 toneladas de producto químico

semanales, calcular:

a) El incremento semanal en los costos de producción.

b) El incremento semanal en los ingresos.

c) El incremento semanal en las utilidades.

d) La tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas.

Solución:

a) [ ] [ ](4200) (4000) 50000 60(4200) 50000 60(4000) 302000 290000∆ = − = + − + = −C C C

$12000∆ =C

b) 2 2(4200) (4000) 300(4200) 0,03(4200) 300(4000) 0,03(4000) ∆ = − = − − − r r r

730 800 720 000 $10 800∆ = − =r

c) ( ) ( )2 2300 0,03 50000 60 300 0,03 50000 60U r C q q q q q q= − = − − + = − − −

( )20,03 240 50000 4200 (4000)U q q U U U= − + − → ∆ = − 2 20,03(4200) 240(4200) 50000 0,03(4000) 240(4000) 50000U ∆ = − + − − − + −

428 800 430 000 $ 1 200.00U∆ = − = −



Otra forma:

10800 12000 $ 1 200∆ = ∆ − ∆ = − = −U r C

d) 1,200

6200

∆ −= = −

∆

U

q. Lo que significa que, en promedio, por la tonelada adicional producida y

vendida por semana, la utilidad disminuye en $6. RAZONES DE CAMBIO RELATIVAS Y PORCENTUALES

La razón de cambio relativa esta definida como: ( )

( )

'f xRCR

f x=

La razón de cambio porcentual esta definida como: ( )

100( )

'f xRCP

f x= ×

APLICACIONES A LA ECONOMIA

Función de costo total.

La función de costo total de un fabricante, ( )C f q= , nos da el costo total C de producir y comerciar q unidades de un producto. La razón de cambio de C con respecto a q se llama costo marginal. Así,

Costo marginal ' dC

Cdq

= =

Interpretamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad adicional producida.

Función de costo promedio.

Si C es el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio

por unidad C es:

C

Cq

=

Además, la función costo total se puede hallar utilizando: C q C= ⋅ .

Función de ingreso total.

La función de ingreso total para un fabricante, esta dada por la ecuación ( )r f q pq= =

que establece el valor total recibido al vender q unidades de un producto cuando el precio

por unidad es p .



Función de ingreso marginal.

El ingreso marginal se define como la razón de cambio del valor total recibido, con respecto al

número total de unidades vendidas. Por consiguiente, el ingreso marginal es solamente la derivada de r r con respecto a q :

Ingreso marginal ' drr

dq= =

El ingreso marginal indica la rapidez con la que el ingreso cambia, respecto a las unidades

vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional

de producción.

Ejemplo 1.

El costo total en dólares de producción de q libras de cierta sustancia química está dado por 245 5C q= + . Determine el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.

Solución:

Derivamos la función costo: ' 10C q= entonces '(3) 10(3) 30C = = , es decir, si la

producción se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa aproximadamente en 30

dólares.

Ejemplo 2.

El costo medio unitario en la producción de q unidades es 2100000

0.002 0.4 50C q qq

= − + + .

Determine la función del costo marginal y, en base a esta función, calcule el costo marginal

luego de producir 40 unidades.

Solución:

Para hallar el costo marginal, primero debemos hallar el costo total, y esto se logra

multiplicando el costo promedio por la cantidad, es decir:

3 20.002 0.4 50 100000C Cq q q q= = − + +

La función del costo marginal se halla al derivar el costo total, es decir:

2' 0.006 0.8 50= − +C q q (función de costo marginal)

Entonces, el costo marginal luego de producir 40 unidades es:

'(40) 9.6 32 50 $27,60C = − + = aproximadamente por la unidad adicional

producida; es decir por la unidad 41.



Ejemplo 3.

Un fabricante vende un producto a 3 50+q dólares/unidad. Determine la ecuación del ingreso

marginal y el ingreso marginal para 100=q .

Solución:

El ingreso es =r pq , entonces ( ) 23 50 3 50= = + = +r p q q q q q

Por lo tanto, el ingreso marginal es ' 6 50= +r q . Para 100=q , el ingreso marginal será:

='(100) $650 por una unidad adicional vendidar .

Interpretación: Por la unidad adicional vendida (la unidad 101), se tiene un incremento en

el ingreso de aproximadamente $ 650.

Función Utilidad

La función utilidad total por la producción y venta de q unidades, es la ecuación:

U r C= = −Ingresos - Costos

donde r es el ingreso recibido por vender q unidades y C el costo de producir q

unidades.

Función de utilidad marginal

Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades

producidas y vendidas, es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de

una unidad adicional. Por consiguiente, la utilidad marginal es solamente la derivada de U con respecto a q :

' ' ' = −U r C

Ejemplo 4.

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 210 0,01 700+ + =p q q y la

función de costo es 21000 0,01= +C q . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la

utilidad marginal para 100=q unidades.

Solución:

Sabemos que la utilidad está dada por ( ) ( ) ( )= −U q r q C q y que el ingreso es =r pq . Por lo

tanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por q para obtener la

función ingreso:



2 2 10 700 0,01 70 0,1 0,001→= − − = − −p q q p q q 2 3 ( ) 70 0,1 0,001→ = = − −r q pq q q q

( ) ( )2 3 2 3 2( ) 70 0,1 0,001 1000 0,01 0,001 0.11 70 1000U q q q q q q q q= − − − + = − − + −

2'( ) 0,003 0.22 70U q q q= − − + .

Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en 100=q simplemente sustituimos este valor de

q en dicha función. Es decir:

2(100) 0.003(100) 0.22(100) 70 30 22 70 $94U ′ = − − + = − − + = , que es la ganancia aproximada,

por la unidad adicional producida y vendida.

EJERCICIOS

1 La aceptación de cierto pisco dependerá del tiempo que tenga en el mercado de acuerdo

a la siguiente función 50 150

( )1

At

tt

−=

−, donde A es la aceptación expresada en puntos

y t es el tiempo en meses. Hallar la razón de cambio de la aceptación con respecto al

tiempo dentro de 3 meses.

2 Debido a la depreciación, el valor de cierta maquinaria después de t años, está dada por 800000 60000 , donde 0 10V t t= − ≤ ≤ . Determinar que tan rápido cambia el valor de la

maquinaria con respecto al tiempo a los 2 años. Interprete el resultado.

3 Sea ( )10( ) 296

qf q qe −

+= la función de demanda del producto de un fabricante.

Halle la razón de cambio de dicha función con respecto a la cantidad ""q cuando se

demandan 10 unidades.

4 Sea 2500 2p q= − la ecuación de demanda del producto de un fabricante, donde x es el número de artículos demandados y p es su precio unitario en dólares. Halle la razón de

cambio del precio con respecto a los artículos demandados, cuando éstos son 5. Interprete el resultado.

5 Sea: (100 )(50 )p q q= − + la función de demanda del producto “A” de un fabricante. Encuentre la razón de cambio del precio “ p ” (en dólares), con respecto a la cantidad “ q ” (unidades). ¿Qué tan rápido cambia el precio con respecto a “ q ” cuando 30q = ?

6 El numero estimado de niños recién nacidos infectados de VIH a través del contacto con la madre, a nivel mundial, está dado por la siguiente función:

3 2( ) 0, 2083 3,0357 44,0476 200, 2857f t t t t= − + + + ; 0 12t≤ ≤ , donde ( )f t se mide en

miles y t en años, con 0t = al inicio del año 1990. ¿con qué rapidez aumentó el numero

estimado de niños infectados de VIH de esta manera al inicio del año 2000?



7 Sea 2100p q= − la función de demanda del producto de un fabricante. Encuentre la razón de cambio del precio “ p ” por unidad con respecto a la cantidad “ q ”. ¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto a “ q ” cuando 5=q ? (Suponga que p está

dado en dólares)

8 Para la función de costo 20, 4 4 5C q q= + + encuentre la razón de cambio de C con respecto a q cuando 2q =

9 El costo total por producir q unidades es 24 40 50C q q= + + . Determinar la razón de

cambio de “C” con respecto a q cuando se producen 20 unidades. Interprete el

resultado.

10 Un sociólogo estudia varios programas que pueden ayudar en la educación de niños de edad preescolar en cierta ciudad. El sociólogo cree que “ x ” años después de iniciado un programa particular, ( )f x miles de niños estarán matriculados, donde

210( ) (12 )

9f x x x= − , 0 12x≤ ≤

a) ¿A qué razón cambiará la matrícula después de 3 años de iniciado el programa?

b) ¿A qué razón cambiará la matrícula después de 9 años de iniciado el programa?

11 Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de

educación en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que una persona con “ x ” años de educación, antes de buscar empleo regular puede esperar

recibir un ingreso anual medio de y dólares anuales, donde 5/ 25 5900= +y x ,

4 16≤ ≤x

Encuentre la razón de cambio del ingreso con respecto al número de años de educación y evalúela cuando 9=x .

12 La función de demanda para cierto producto es 100

20p

q=

+ , donde p es el precio en

dólares para q unidades. Encuentra el ingreso marginal para 30q = . Interprete el

resultado.

13 Supongamos que cuesta qqqC 156 23 +−= dólares producir “ q ” radiadores cuando la

producción es de 8 a 30 unidades. En un determinado taller usualmente se producen 10 radiadores al día. Aproximadamente ¿cuánto más costará producir un radiador adicional

cada día?

14 La función de costo C , de fabricación de una jabonera en soles está en función del número de jaboneras “ q ” a ser producidas mediante la fórmula )5ln(400 += qC .

Encuentre el costo marginal cuando el número de jaboneras producidas es de 35 unidades.



15 La función de costos de una unidad productora de helados ha sido estimada como:

260114,0 2 ++= qqC donde C es el costo total de electricidad por hora en soles y q la cantidad de helados producido. Determine el costo marginal para 20=q . Interprete el

resultado.

16 La función de costo total de una fábrica de medias está dada por 2000328,0750,669,48410 qqC −+−= donde “ q ” es la producción en docenas de

pares y C el costo total. Encuentre la función de costo marginal y evalúela cuando 5000=q .

17 La función de costo promedio de una fábrica que produce ventiladores de mano, está

dada por: 2 100000,002 0,4 50C q q

q= − + + , donde C está en dólares. Determine el

costo marginal de producir 40 unidades. Interprete el resultado.

18 Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es: 2 77000, 03 0, 6 4,5C q q

q= − + + ,

encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen 100 unidades? ¿Cuál es el costo total?

19 Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es 2 50000,0001 0,02 5C q q

q= − + + ,

encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen 50 unidades?

20 Suponga que el costo, en dólares, de producir q lavadoras es 21,01002000 qqC −+=

a) Encuentre el costo promedio por lavadora en la producción de las primeras 100 unidades.

b) Encuentre el costo marginal cuando se producen 100 unidades.

21 La función de ingreso total de la Empresa San Martín S.A. dedicada a la producción de

piensos (alimento especial) para aves viene dada por 2330 qqI −= , donde “ q ” es la

cantidad de toneladas de piensos vendidas por dicha empresa en un año. Determine el ingreso marginal para 3=q toneladas. Interprete el resultado.

22 La ecuación de la demanda del producto de un fabricante está dada por 5000

25p

q=

+ , en

donde q son los artículos demandados y p es el precio de cada artículo. Determinar la función del ingreso marginal y evaluarla cuando 100=q .

23 Suponga que el ingreso obtenido al vender “ q ” lavadoras es 1

20000 1

= −

rq

dólares.

Determine el ingreso marginal cuando se producen 100 lavadoras.



24 Si la ecuación de la demanda del producto de un fabricante es : 500

150

pq

= ++

(donde

“ p ” está en dólares) encuentre la función de ingreso marginal. Además calcule el ingreso marginal cuando 50q = .

25 La función de demanda para el producto de un fabricante es 250 0,2 0,003p q q= − − y

la función de costo es 2( ) 500 0,3C q q= + . Halle la utilidad marginal de producir y

vender 80 unidades, sabiendo que p y C están en dólares. Interprete el resultado.

26 La función de utilidad de una empresa, en miles de dólares, está dada por ( ) 50ln( 1) 90= + −U x x , donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Halle la

utilidad marginal cuando se fabrican y venden 10 unidades.

27 La asociación de consumidores de Lima ha realizado una medición para valorar el nivel de satisfacción por el servicio de restaurantes de comida criolla en la ciudad en un periodo determinado, lo que arrojó la siguiente función de utilidad: 2200 2 150U q q= − + . Se pide:

a) Calcule la expresión de la utilidad marginal para la comida criolla.

b) Si el consumo de dicho servicio aumenta de 25 unidades a 100 unidades en el periodo analizado, ¿cómo se comportará la satisfacción obtenida de él por parte de los

consumidores? Interprete su resultado.

28 Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un monopolista es:

400 2p q= − y que la función de costo promedio es 400

0, 2 4C qq

= + + , donde q es el

número de unidades y, p y C se expresan en dólares por unidad. Halle la utilidad

marginal e interprete el resultado.

29 Un fabricante de lápices estima que el precio al que puede vender un lápiz es

4 0,001p q= − y el costo por producir q lápices al día es de ( ) 2 1,2 10C q q q= + +

Se pide encontrar las funciones costo marginal, ingreso marginal y beneficio marginal.

30 Supóngase que un fabricante vende un producto a : 30 0,3= −p q ( “ p ” en dólares “ q ”

es cantidad en unidades). Además “ r ” es el ingreso total en dólares.

a) Encuentre la razón de cambio relativo de r con respecto a q

b) Cuando 10=q encuentre la razón de cambio relativo de r .

c) Encuentre la razón de cambio porcentual de r cuando 20=q

31 Sea la función de demanda para el producto de un fabricante 2200 2 21= − + +p q q

a) Encuentre la razón de cambio relativa de “ p ” respecto a “ q ” cuando 3=q .

b) Encuentre la razón de cambio porcentual “ p ” respecto a “ q ” cuando 3=q .



32 La función de ingreso para el producto de un fabricante es 3 22 90 1200= − +r q q q , siendo q el número de unidades vendidas y r el ingreso en miles de soles. El fabricante

actualmente vende 20 unidades por semana, pero está considerando incrementar las ventas a 24 unidades. Halle el incremento en el ingreso. Determine la tasa de cambio promedio del ingreso por las unidades extra vendidas.

33 Para el producto de un monopolista la función de costo total, está dada por 3 210 60 90 1200C q q q= − + + , calcula el incremento en los costos si la producción q

cambia de 5 a 7 unidades diarias. Determine la tasa de cambio promedio del costo por las unidades extra producidas.

34 La función de costo de cierto artículo es 3 20,032 16 4000 320000C q q q= − + + , calcula el incremento en los costos si la producción q cambia de 100 a 105 unidades. Determina la

tasa de cambio promedio del costo por las unidades extra producidas.

35 La función de utilidad de una compañía está dada 20,004 40 20U q q= − + − , para 0 65q≤ ≤ . El fabricante actualmente produce y vende 50 unidades diariamente, pero

está considerando incrementar las ventas a 53 unidades. Calcula el incremento en la

utilidad. Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por las unidades extra vendidas

36 Las ecuaciones de ingreso y de costo de cierto producto de un fabricante son 230 0,30r q q= − y 4,5 100C q= + respectivamente, donde q es el número de unidades.

Calcula los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad si q cambia de 40

a 42 unidades. Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por unidad extra

producida.



SEMANA 11

DERIVACIÓN IMPLÍCITA Y LOGARÍTMICA

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

EXTREMOS RELATIVOS

DERIVACIÓN IMPLÍCITA: Se utiliza cuando la variable ( )y f x= no se puede despejar.

Se sabe que: 1( ) ( ) ( )n nf x nf x f x

− = ⋅ ′

Además ( )y f x= , entonces si reemplazamos se tiene: ( ) 1n ny ny y−= ⋅′ ′

Derive las siguientes funciones en forma implícita y evalúe en el punto (0 0,x y ), determinado:

1) 2 2 2x y+ = ; 0

1x = ; 0

1y =

2) 2 2 4x xy y− + = ; 0

2x = ; 0

2y =

3) 3 33 6 1x yx y+ − + = − ; ( ) 1 ; 1

4) 3 6xy xy+ = ; 0

3x = ; 0

1y =

5) 5 2 2 43 5 93y y x x+ + = ; ( 2 )

1y =

6) 2 212y x x y+ = ; ( 4 )

12y =

7) 2 22 xx y x ye+ = + ; ( 0 )

1y =

8) 2

1

2

xy x xy

y− = ;

( 4 )1y =

9) 2 232 3 22y xy x+ = + ; ( 2 )

4y =

10) 2 3 2 31 x yx y e +

+ + = ; ( ) 0 ; 1

11) 5 3(2 3 ) 2x y yx x y− = − ; ( ) 1 ; 1

12) 2 6xy x y− = − ; ( ) 4 ; 4

13) 1 2 2 0x x y x+ + − = ; ( ) 1 ; 1

14) 2 2 2 2 22( ) 25( )x y x y+ = − ; ( ) 3 ; 1



15) 2 2 4 2( 1) (4 )x y y x= + − ; ( ) 0; 1−

16) 2 2

2

2 5 1 42 2 ln( )

y x xx y

y

− += + + ; ( ) 0 ; 1

17) 1 23 2 8

y xx ye e− −

+ = ; ( ) 2 ; 1

Solución 5:

5 2 2 43 5 93y y x x+ + =

3'.5 4 +yy 2 22 '( ) ( 2 )yy x y x + + 320 0x =

4 2 2 35 . ' 6 . ' 6 20 0y y x yy xy x+ + + =

21)2( =↔= xy , 1=y

4 2 2 35(1) ' 6(2) (1) ' 6(2)(1) 20(2) 0y y+ + + = , 172

'29

y = −

DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA

Se utiliza el método tomando logaritmo natural a ambos lados, luego se desdobla utilizando las

propiedades del logaritmo y por último se deriva.

Ejemplo:

Utilizando la diferenciación logarítmica derive la función: 2 4 3

(5 1) 2( )

(1 ) (2 )

x xf x

x x

⋅− +=

− −

Solución:

Tomando logaritmo se tiene: 2 4 3

(5 1) 2ln ln

(1 ) (2 )

x xy

x x

⋅− +=

− −

Aplicando propiedades de los logaritmos en el segundo miembro se tiene:

2 4 3ln ln(5 1) 2 ln(1 ) (2 )y x x x x⋅= − + − − −

2 4 3ln ln(5 1) ln 2 ln(1 ) ln(2 )y x x x x= − + + − − − −

21ln ln(5 1) ln( 2) 4 ln(1 ) 3 ln(2 )

2y x x x x= − + + − − − −



Derivando ambos miembros:

y

y=

′ 2

2

(5 1) ( 2) (1 ) (2 )14 3

(5 1) 2 ( 2) (1 ) (2 )

x x x x

x x x x

′ ′ ′ ′− + − −+ ⋅ − ⋅ − ⋅

− + − −

y

y=

′2

4( 2 ) 3( 1)5 1

5 1 2( 2) 1 2

x

x x x x

− −+ − −

− + − −

y

y=

′2

5 1 8 3

5 1 2( 2) 1 2

x

x x x x+ + +

− + − −

y =′2

5 1 8 3

5 1 2( 2) 1 2

xy

x x x x

⋅ + + + − + − −

y =′2 4 3

(5 1) 2

(1 ) (2 )

x x

x x

⋅− +

− −2

5 1 8 3

5 1 2( 2) 1 2

x

x x x x

⋅ + + + − + − −

EJERCICIOS:

Encuentre 'y por medio de la diferenciación logarítmica y evalúe donde corresponde.

1. 5 3 2(5 4) ( 6)( 1)y x x x= − − + 2. 25. 9. 3y x x x= + − +

3. 3 4

(7 2)

(5 ) (8 1)

xy

x x

−=

− + 4.

32 5 2

2 3

( 2) 8( )

(3 2 1)

x xf x

x x

⋅+ +=

+ +

5. 3 2

2

(4 5)

( 2) (6 5)

xy

x x

−=

− − ; 1x = 6.

(3 2)(5 2)

(2 3)

x xy

x

+ −=

− ; 2x =

7. 2

35

(3 5)xy

x

+= ; 1x = 8.

2 3

3 2

(2 1) 4 3

xy

x x

−=

− −

; 1x =

9. 2 4

3 4

(6 5) 6 5

3 6 3

x xy

x x x

− −=

− + −

; 1x = 10. ( )

( ) ( )

63

22

3 2 2 1

1 5 4

x xy

x x x

− ⋅ −=

− + −

; 1x =

11. ( )

( )

43

22

9 1

8 2 5

x xy

x x

− +=

− − ; 3x = 12.

( )

( )

32

22

3 9 1

2 2 7 2

x xy

x x x

− +=

− − − ; 3x =



DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

Cuando se deriva una función ( )y f x= se obtiene ( )'f x que también es una función. Si se

deriva esta función la nueva función que se obtiene se denomina segunda derivada y se le denota como ( )''f x . De manera análoga si se deriva la segunda derivada se obtiene otra

función llamada tercera derivada. A las derivadas que se obtienen de esta forma se llaman

derivadas de orden superior.

Las notaciones que se usan para las derivadas de orden superior son:

dy df

dx dxy = =′ , primera derivada de la función ( )f x .

2 2

2 2

d y d f

dx dxy = =′′ , segunda derivada de la función ( )f x .

3 3

3 3

d y d f

dx dxy = =′′′ , tercera derivada de la función ( )f x .

n n

n n

nd y d f

dx dxy = = , n − esima derivada de la función ( )f x .

Ejemplo:

Dada la función: 4 34 3 5 1y x x x= − + − , halle ( )'''f x y evalúe en 1x =

Solución:

3 216 9 5'y x x= − + → 248 18''y x x= − → 96 18'''y x= −

→ (1) 96 18 78'''y = − =

EJERCICIOS:

Halle la derivada indicada de las siguientes funciones y, evalúe en el punto correspondiente.

a. 3 25 6 4 2y x x x= − + + ; '''y ; 0

x = 1

b. ( ) 8f t t= − ; )('' tf ; 0

t = 4

c. 1

4 2y

x=

+ ;

2

2

d y

dx ;

0x = 1

d. 1

1

xy

x

+=

− ; ''y ;

0x = 2

e. 5 xy e= ;

2

2

d y

dx ;

0x = 1/5

f. ln (4 2)y x= − ; '''y ; )0(

x = 1

g. 3

( )1

xf x

x=

+ ;

3

3

d y

dx ; 0x = .



MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces:

� f es creciente en I si y solo si ( ) 0 f x x I> ∀ ∈′ .

� f es decreciente en I si y solo si ( ) 0 f x x I< ∀ ∈′ .

Sea f una función con dominio en el intervalo I . Si c I∈ y si ( ) 0 f c =′ o ( ) f c′ no existe,

entonces el valor de c es un punto critico de f .

Ejemplo 1: Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 2 3( ) 4f x x x= + .

Solución:

La derivada de 2 3( ) 4f x x x= + es ( ) 2 (4 3 )f x x x= +′ . La función es creciente en aquellos

intervalos para los cuales ( ) 0f x >′ . Luego f es creciente para todo 0x > y 4 / 3x < − , es

decir en el intervalo 0, +∞ y , 4 / 3−∞ − .

f es decreciente si ( ) 0f x <′ , luego es decreciente para todo 0x < y 4 / 3x > − , o sea en el

intervalo 4 / 3, 0−

Ejemplo 2:

Determine los puntos críticos de la función definida por 4/3 1/3( ) 4f x x x= + .

Solución:

1/3 2/3

2 /3

( 1)4 4 4( ) ( )

3 3 3´ ´

xf x x x f x

x

−⇒

+= + = ⋅ . Tenemos que ( ) 0´f x = en 1x = − . y la

derivada no existe en 0x = . Luego 1 ; 0x = − son los puntos críticos.

1. En los siguientes ejercicios encontrar los puntos críticos:

a) 2( ) 8f x x x= − b) 3 21 1( ) 2

3 2f x x x x= + −

c) 3 2( ) 4 2f x x x= − d) ( ) ( 1)( 2)f x x x x= − −

e) 4 3 2( ) 4 2 12f x x x x x= + − − f) 1

( )1

xf x

x

−=

+

g) 5 34 13( ) 3 4

5 3f x x x x= − + + h)

22( ) xf x e=



2. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:

a) 2( )f x x= b) 2( ) 2 1f x x x= + −

c) 2( ) 2( 3) 5f x x= − + d) 2( ) 8f x x x= −

e) 2( ) 4 3f x x x= − + f) 2( ) 3 21f x x x= +

g) 3( )f x x= h) 3 2( ) 4 2f x x x= −

i) ( ) ( 1)( 2)f x x x x= − − j) 3( ) 3f x x x= −

k) 3 2( ) 3 1f x x x= + − l) 3 2( ) 6 9f x x x x= + +

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Sea ( )f x una función continua en el intervalo abierto ,a b . Sea c un punto de ,a b .

Tenemos lo siguiente

a) Si, ( ) 0

( ) 0

f x a x c y

f x c x b

> < <

< < <

′

′

en todo punto de

en todo punto de

Entonces ( )f c es un valor máximo relativo de la función.

b) Si, ( ) 0

( ) 0

f x a x c y

f x c x b

< < <

> < <

′

′

en todo punto de

en todo punto de

Entonces ( )f c es un valor mínimo relativo de la función.

REGLA PARA DETERMINAR LOS EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

Para determinar los extremos relativos de la función ( )f x se procede de la siguiente manera:

1. Se halla ( )´f x .

2. Se encuentran los puntos críticos de la función, o sea aquellos puntos tales que ( ) 0 ´ ( )´ ´f x o f x= no existe.

3. Se aplica el criterio de la primera derivada a cada punto crítico.



Ejemplo:

Determinar los máximos o mínimos relativos, de la función 3 2( ) 6 9f x x x x= − +

Aplicamos la regla dada:

1˚ . Derivada de la función: ( ) 3( 3)( 1)f x x x= − −′ .

2˚ . Puntos críticos: 1, 3x = ambos anulan a la derivada.

3˚ . Si, 1 3x< < entonces ( ) 0f x <′ , y si 3, ( ) 0x f x> >′ ; luego en 3x = la función tiene

un mínimo relativo.

Si 1x < entonces ( ) 0f x >′ , y si 1 3x< < , entonces ( ) 0f x <′ , luego en 1x = la

función tiene un máximo relativo.

EJERCICIOS:

1.- Determine, para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos relativos

a) 3( ) 12 4 4f x x x= − + b) 3 2( ) 3 1f x x x= + −

c) 3 2

( ) 63 2

x xf x x= − − d) 4( ) 32 48f x x x= − +

e) 2( ) 4 3f x x x= − + f) 3 2( ) 3 2f x x x= − +

g) 4 3( ) 4 12f x x x= − + h) 3 22( ) 4 6 2

3f x x x x= − + +

i) 5( ) 6f x x= + j) ( )3 21( ) 6 9 6

6f x x x x= − + +

k) 2 2( ) ( 12)f x x x= − l) 3 2( ) 2 9 12f x x x x= − + −

m) 3 2( ) 6 9f x x x x= + + n) 3 211( ) 2 10 2

2f x x x x= − − +



SEMANA 12

EXTREMOS ABSOLUTOS

APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Determinación de los extremos absolutos de una función contínua en un intervalo

cerrado

1) Determinación de los valores de la función en los puntos críticos de f en ,a b .

2) Determinación de los valores de ( ) ( )f a y f b .

3) El mayor valor determinado en los pasos 1) y 2) será el valor máximo absoluto, y menor

valor determinado en los pasos 1) y 2), será el mínimo absoluto.

Ejemplo:

Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de la función 3 2( ) 3 9f x x x x= + − definida en

el intervalo [ ]4, 4−

Solución:

( ) 3( 1)( 3) 0 3,1'f x x x x= − + = → = − .

Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene:

( 3) 27 ; (1) 5 ; ( 4) 20 ; (4) 68f f f f− = = − − = = , entonces:

En 4x = se produce un máximo absoluto en [ ]4, 4− , que es (4) 68f = .

En 1x = se produce un mínimo absoluto en [ ]4, 4− , que es (1) 5f = − .

1.- Hallar los máximos absolutos y mínimos absolutos de cada función en el intervalo indicado.

a) [ ]( ) 4 3 , 3, 1f x x x= − ∈ − − b) [ ]2( ) , 1, 2f x x x= ∈ −

c) [ ]3( ) , 1,1f x x x= ∈ − d) [ ]2( ) 4 3, 1,3f x x x= − +

e) [ ]3 2( ) 3 7, 0,5f x x x x= − + ∈ f) [ ]2( ) 2( 3) 5, 0,5f x x= − +

g) [ ]2( ) 3 21 , 1,2f x x x= + h) [ ]3 2( ) 2 2, 1, 2f x x x x= − + +

i) [ ]3

( ) 1 , 4, 43

xf x x= − + − j) [ ]

4 2

( ) 3 , 4, 44 2

x xf x = − + −



−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Si ( )y f x= es una función, y los puntos en donde la segunda derivada se anulan se denomina

puntos de inflexión, es decir en 0x se tiene un punto de inflexión si 0( ) 0f x =′ .

Si 1x es punto critico es decir 1( ) 0f x =′ ó no existe 1( ) 0f x =′ .

Si, ( ) 0f x >′′ , entonces existe mínimo en 1x x=

Si ( ) 0f x <′′ , entonces existe máximo en 1x x=

Si, ( ) 0f x >′′ , , ( )x a b f x∀ ∈ ⇒ es cóncava hacia arriba.

Si, ( ) 0f x <′′ , , ( )x a b f x∀ ∈ ⇒ es cóncava hacia abajo.

Ejemplo:

Sea 4 3 24( ) 4

3f x x x x= + − . Determine los extremos relativos de ( )f x aplicando el criterio de

la segunda derivada. Utilice esta información para dibujar la gráfica de ( )f x .

Solución:

Tenemos que:

( )f x =′ 3 24 4 8x x x+ − ( )f x⇒ =′′ 212 8 8x x+ − , al considerar ( ) 0f x =′

4 ( 2)( 1) 0 2, 0, 1x x x x+ − = ⇒ = − que vienen a ser los puntos críticos de ( )f x .

Para determinar si existe o no un extremo relativo en alguno de estos puntos críticos, se

considera el signo de la segunda derivada en ellos. Los resultados se resumen en la siguiente

tabla

( )f x

( )´f x

( )´́f x

Conclusión Concavidades

2= −x

32

3− 0 +

f tiene un valor

mínimo relativo

Cóncava

hacia arriba

0=x 0 0 - f tiene un valor

máximo relativo

Cóncava

hacia abajo

1=x 5

3− 0 +

f tiene un valor

mínimo relativo

Cóncava

hacia arriba



2. Determine para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos

relativos, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Trace la curva que

representa a cada función.

a) 3( ) 12 4 4f x x x= − + b) 3( ) 12 12f x x x= − +

c) 3 21 1( ) 6

3 2f x x x x= − − d) 4( ) 32 48f x x x= − +

e) 2( ) 4 3f x x x= − + f) 3 2( ) 3 2f x x x= − +

g) 4 3( ) 4 12f x x x= − + h) 3 22( ) 4 6 2

3f x x x x= − + +

i) 5( ) 6f x x= + j) ( )3 21( ) 6 9 6

6f x x x x= − + +

k) 5 3( ) 5f x x x= − l) 2 4( ) 12 2f x x x= + −

m) 4 3 24( ) 4

3f x x x x= + − n) 4 2( ) (1/ 8)( 8 )f x x x= − −

o) 3 4( ) 10 4f x x x= − + − p) 4 3( ) 8f x x x= −



APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS

MAXIMIZACIÓN DEL INGRESO

Ejemplo:

La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es: 80

, 0 q 804

qp

−= ≤ ≤ ,

donde q es el número de unidades y p el precio por unidad, en dólares. ¿Para qué valor de q

se tendrá un ingreso máximo?. ¿Cuál es el ingreso máximo?.

Solución:

Sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Como:

Ingreso = (precio) (cantidad), tenemos: r pq= =280 80

,4 4

q q qq

− −⋅ = donde .800 ≤≤ q

Haciendo 0dr

dq= , obtenemos: r =′

80 20,

4

qdr

dq

−= = ⇒ 80 2 0q− = ; ⇒ 40q =

Luego: (10)r =′80 20

154

−= + ⇒ (50)r =′

80 1005

4

−= −

Examinando la primera derivada para 0 40q≤ < tenemos / 0dr dq > , por lo que r es

creciente. Si 40q > , entonces / 0dr dq < , por lo que r es decreciente. A consecuencia de

que a la izquierda de 40 tenemos que r es creciente y a la derecha de r es decreciente, concluimos que 40q = da el ingreso máximo absoluto, esto es,

280

4

q qr

−= ⇒

280(40) (40)400

(40) 4r

−= =

MINIMIZACIÓN DEL COSTO PROMEDIO

Ejemplo:

La función de costo total de un fabricante está dada por : 2

3 4004

qC q= + + , donde C es el

costo total de producir q unidades. Si C está en dólares, ¿Para qué nivel de producción será el

costo promedio un mínimo? ¿Cuál es este mínimo?.

+ -

0 10 40 50 80



Solución:

La función a minimizar es el costo promedio C . La función de costo promedio es:

C =

2

3 4004004 3

4

qq

qC

q q q

+ +

= = + +

Aquí q debe ser positiva. Para minimizar C , diferenciamos:

C =′ 2

2 2

16001 400

4 4

qd C

dq q q

−= − =

para obtener los valores críticos, resolvemos 0d C

dq= ⇒ 2 1600 0,q − =

luego: ( 40)( 40) 0q q− + = . ⇒ 40q = (ya que 0q > ).

C =′2

2

1600

4

q

q

− ⇒ (10)C =′

2

2

(10) (1600) 15

4(10) 4

−= −

(50)C =′2

2

(50) 1600 9

4(50) 100

−= +

Entonces, como 0 40q< < es decreciente, 40q > es crecientes ⇒ en 40q = hay un mínimo absoluto.

Maximización del número de beneficiarios de los servicios de salud

Ejemplo:

Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico de servicios de salud, entonces al cabo de t años, n miles de personas adultas recibiría

beneficios directos, donde: 3

26 323

tn t t= − + ; 12. t 0 ≤≤

¿Para qué valor de t es máximo el número de beneficiarios?

Solución:

haciendo 0dn

dt= , tenemos: 2 12 32 0

dnn t t

dt′ = = − + =

10 40 50

_ +



( 4)( 8) 0t t⇒ − − = entonces: 4t = ; 8t =

Como el dominio de n es el intervalo cerrado [ ]0,12 , el valor máximo absoluto se obtiene

evaluando en los puntos críticos y en los extremos de dicho intervalo:

Si, 0t = , entonces 0n = ,

Si, 4t = , entonces 160

3n =

Si, 8t = , entonces 128

3n =

Si, 12t = , entonces 96n = .

, así se tiene un máximo absoluto en 12t = .

ADVERTENCIA:

El ejemplo anterior ilustra que no se debe ignorar los extremos cuando se determinan extremos

absolutos en un intervalo cerrado.

EJERCICIOS:

1. La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es 5 30p q= − + . Halle el

precio que maximiza el ingreso.

2. La función de demanda para el producto de un monopolista es de 3300

( ) 150P q qq

= − + − ,

donde 70 ; 110q ∈ . Si el precio está en dólares por unidad, determine:

a) El nivel de producción que maximiza el ingreso.

b) El ingreso máximo.

c) El precio para ese ingreso.

[ ]3

26 32 0,123

tn t t= − + en

t

96

4 8 12

326 32

3

tn t t= − +

n



3. La función de demanda para el producto de un monopolista es: 1600 20p q= − , si el

monopolista quiere que el nivel de producción se encuentre en 50 75q≤ ≤ , donde “ q ” es el

número de unidades producidas. Determine:

a) El nivel de producción que maximiza el ingreso.

b) El ingreso máximo.

c) El precio para ese ingreso.

4. Un fabricante ha determinado que el costo total C , de producir un determinado articulo, está dado por la función de costo: 20, 05 5 500C q q= + + . ¿Para qué nivel de producción

será mínimo el costo promedio por unidad?

5. El costo por hora (en dólares) de operar un automóvil está dado por: 20,12 0,0012 0,08C s s= − + ; 30 60s≤ ≤ , donde s es la velocidad en km por hora. ¿A

qué velocidad el costo por hora es mínimo?.

6. La ecuación de costo promedio de un comerciante que vende pantalones, está dada por:

34000, 6 60C q

q= − + , donde C está en dólares y q es el número de unidades

producidas. Determine:

a) El nivel de producción que minimiza el costo.

b) El costo mínimo.

7. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares por

unidad) está dado por: C = 2 2002 36 210 ,q q

q− + − donde 2 10q≤ ≤ .

a) ¿A qué nivel dentro del intervalo 2,10 debe fijarse la producción para minimizar el

costo total? . ¿Cuál es el costo total mínimo?

b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo 5,10 , ¿qué valor de q

minimizaría el costo total?.

8. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es 72 0,04p q= − , y la función

de costo es 500 30C q= + . Si el costo está expresado en dólares, halle:

a) El nivel de producción que maximiza la utilidad.

b) El precio que maximiza la utilidad.

c) La utilidad máxima.

9. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares por

unidad) está dado por : 2 15002 42 192C q q

q= − − + , donde 3 12q≤ ≤ . Determine el

nivel de producción que minimiza el costo y el costo mínimo.



10. Un fabricante puede producir, cuando mucho, 120 unidades de cierto artículo cada año. La

ecuación de demanda para ese producto es 2 100 3200p q q= − + , y la función de costo

promedio del fabricante es C = 22 1000040

3q q

q− + . Determine la producción q que

maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad máxima, si el precio y el costo promedio

están en dólares.

11. La ecuación de demanda para cierto producto es 2 72007 ,p q q

q= − + y tiene un costo fijo

mensual de $1200 y el costo variable es de $80.

a) Determine el nivel de producción que maximiza la utilidad.

b) Halle la utilidad máxima.

12. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es: 72 0,04p q= − y la

función de costo total 500 30C q= + , donde q ∈ [ ]100,500 . Si el precio y el costo

están en dólares, halle:


b) El precio que maximiza la utilidad.

c) La utilidad máxima

13. Para un monopolista la función de demanda es de ( ) 600 2P q q= − , y la de costo 2( ) 3300 480C q q q= − − , donde 80 ; 110q ∈ . Si el precio y el costo están en dólares

por unidad, determine:


b) La utilidad máxima.

c) El precio para esa utilidad.

14. Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad ( )R x , viene dada en

función de la cantidad que se invierte x , en miles de soles, por la siguiente expresión: 2( ) 0, 001 0, 4 3,5R x x x= − + +

a) ¿Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad?

b) ¿Qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan, para obtener la máxima

rentabilidad?.

c) ¿Cuál será la rentabilidad máxima que se obtendrá?.



15. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertido, según la formula: 2( ) 0, 002 0,8 5R x x x= − + − , donde ( )R x representa la

rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad de x dólares. Determine, teniendo en

cuenta que disponemos de 500 dólares:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto se debe de invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad



SEMANA 13

LA INTEGRAL INDEFINIDA

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN

DEFINICIÓN: La función :F I →⊆� � es una antiderivada o primitiva de una función

:f I →⊆� � si y sólo si: ( ) ( ), [ , ]= ∀ ∈ =F x f x x I a b

Si ( )F x k+ , es la familia de antiderivadas de ( )f x .

DEFINICIÓN: Si ( )F x es una antiderivada de ( )f x sobre un intervalo [ , ]I a b= , es decir,

( ) ( )´F x f x= , entonces:

( ) ( )G x F x k= + se demostrará por:

( ) ( ) ( )G x f x dx F x k= = +∫ , ∀ ∈x I

Llamaremos integral indefinida de ( )f x

Al término ( )f x se le llama integrando

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRACIÓN

1. dx x k= +∫ 3. ( ) ( )cf x dx c f x dx=∫ ∫

2. 1

1

nn x

x dxn

k+

= ++∫ ; 1n ≠ − 4. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫

Donde k se le llama constante de integración.

Ejemplos

I. Halle la antiderivada de las siguientes funciones:

a) 265)( 23 −+= xxxf b) 87)( 4 +−= xxxf c) 3 2

2

4 6( )

x xf x

x

− +=



solución de a)

3 2 3 2(5 6 2 ) 5 6 2dxI x x x dx x x dx xdx= + − = + −∫ ∫ ∫ ∫

3 1 2 13 2 5 6

5 6 2 23 1 2 1

x xI x dx x dx xdx x k

+ +

= + − = + − ++ +∫ ∫ ∫

4 352 2

4I x x x k= + − +

II. Encuentre ( )f x , sujeta a las condiciones iniciales dadas:

a) ( ) 5 4 , (2) 3 / 4f x x f= − =′

b) 2( ) 3 8 , (1) 2f x x x f= + =′

c) 2( ) 2 , (1) 0, (1) 1f x x x f f= − − = =′′ ′

d) ( ) 1, (0) 0, (0) 6y x x y y= + = =′′ ′

e) ( ) 2 3 , (1) 1, ( 1) 3, ( 2) 4y x x y y y= − = − = − = −′′′ ′′ ′

f) ( ) 2 , ( 1) 3, (3) 10, (0) 12y x x y y y= − = = =′′′ ′′ ′

g) ( ) 1, (0) 1, (0) 2, (0) 4y x x y y y= − + = = =′′′ ′′ ′

Solución de a)

( ) ( )( ) 5 4

df x df xf x x

dx dx= ⇒ = − ⇒′ ( ) 5 4f x x dx dx= −∫ ∫

254

2

xx k= − +

25( ) 4

2 ;

xf x x k= − +

3

(2) 4

f = ⇒

2

3

4

x

y

=

=

23 5 5(2) 4(2)

4 2 4= k k− + ⇒ = −

25 5 ( ) 4

2 4f x x x⇒ = − −



III. Halle la integral indefinida de las siguientes funciones:

1. 4dx∫ 2.

1

24 x dx∫ 3. 5 xdx−∫

4. 2

3 dx∫

5. 6

2 dx

x∫ 6. 5x dx∫

7. 9

1 dx

x∫ 8. ( 3) x dx−∫

9. 3 4

1 2( ) x dxx x

+ −∫

10 5( 2 4) x x dx− +∫ 11 3 2(8 7 10) x x dx+ −∫

12 2 2

5( 4 3 1)x x dx

x+ − +∫

13 9

3

4(2 6 5) x x dx

x− + −∫

14 2( 1) x dx+∫ 15 2(2 3) x dx−∫

16 (2 4)( 5) x x dx− +∫ 17 2 2( 4 )( 1) z z z dz− +∫

18 3 5 2

7 2

( )2

x x xdx

x

+ −

∫ 19

6 4

2

18 3( )

6

x xdx

x

+

∫

20 2( 3 1) xt x dx− +∫ 21 3 4( 3 6) za z dz− +∫

22 ( 3 ) x x x dx+∫ 23 2 3(2 3)( 6 ) x t x dx− +∫

24 3( 1)( ) x x x dx+ +∫ 25

3

3

( )( )

x x x xdx

x

− +

∫

26 4 1/26 3 9

( ) 3

x x x xdx

x

+ − +

∫ 27

3 28 3 2( )

4

x x xdx

x

− −

∫

28 3 2

3

7 3 2( )

x xdx

x

+ +

∫ 29

3 1/ 2 3/ 27 2 6( ) x x x x

dxx

−− + −

∫



IV. APLICACIONES

a) Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es 20, 03 1, 8 6, 5

dCq q

dq= − + y el costo fijo es de $ 2400 , donde es el número de

unidades producidas. Halle la función de costo y el costo cuando el nivel de producción

es de 100 unidades.

b) Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es 20, 6 0,8 9,5

dCq q

dq= − + y el costo fijo es de $ 1800, donde es el número de

unidades producidas. Halle el costo promedio cuando se producen 200 unidades.

c) Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es: 24( 5) 8dC

q qdq

= − − .

Si el costo de producir 12 unidades es de $ 738, donde q es el número de unidades

producidas, determine el costo promedio de producir 30 unidades.

d) Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es 4(3 ) 80dC

qdq

= + +

y el costo de producir 40 unidades es de $ 6900, donde q es el número de unidades

producidas. Determine el costo promedio cuando el nivel de producción es de 50

unidades.

e) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es 29 200

drq q

dq= − , donde es el número de unidades producidas. Determine el ingreso

cuando se producen y venden 50 unidades.

f) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal, para un

determinado producto es 15 2300dr

qdq

= + , donde es el número de unidades

producidas. Encuentre la función de demanda.

g) Para cierta fabrica de artesanías, su función de ingreso marginal está dada por:

2275 4 3dr

q qdq

= − − , donde q es el número de unidades producidas. Halle la función de

demanda, si cuando se producen 50 artículos el ingreso es de $ 5000.

h) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal viene dado por (3 10)

502

dr q q

dq

−= + (en dólares), para q unidades producidas. Encuentre el precio

para 30q = .



i) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es 2 400dr

qdq

= − ,

donde es el número de unidades producidas. Halle el precio cuando se demandan

120 unidades, si cuando se producen 30 artículos el ingreso es de $ 4200.

j) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal viene dado por 20, 03 5

drq

dq= − (en dólares), para q unidades producidas. Se sabe que al vender 10

productos se obtiene un ingreso de $1000. Encuentre el precio cuando la demanda es

de 20 unidades.

Solución de b)

2 20, 6 0,8 9, 5 (0, 6 0,8 9, 5)dC

q q dC q q dqdq

= − + ⇒ = − +

Integrando:

2 3 2 (0, 6 0,8 9,5) 0, 2 0, 4 9, 5 C q q dq C q q q k= − + ⇒ = − + +∫

Hallando la constante de integración

De CT CV CF= + si no hay producción ( 0q = ) , entonces el costo total es igual al

costo fijo, luego: 3 2 1800 0, 2(0) 0, 4(0) 9, 5(0)C CF k= = = − + +

1800 k=

La función de costo es: 3 2 0, 2 0, 4 9, 5 1800C q q q= − + +

Hallando el costo promedio: 2 1800 0, 2 0, 4 9, 5

CC q q

q q= = − + +

Evaluando en 200: (200)C = 2 1800 0, 2(200) 0, 4(200) 9, 5 7938, 5

200− + + =

Cuando se producen 200 unidades el costo promedio es de $ 7938,5.

Solución de c)

2 24( 5) 8 (4 20 8 )dC

q q dC q q dqdq

= − − ⇒ = − −

Integrando:

2 (0, 6 0,8 9, 5) dC q q dq= − +∫ ∫

32 2

4 (4 20 8 ) 20 4

3

qC q q dq C q q k= − − ⇒ = − − +∫



Hallando la constante de integración:

Del dato: 12q =

32

4(12) 738 20(12) 4(12)

3C k⇒ = = − − + 750 k⇒ − =

La función de costo es:

La función de costo promedio es:

El costo promedio cuando se producen 30 unidades es:

Solución de e)

2 29 200 (9 200 )dr

q q dr q q dqdq

= − ⇒ = −

Integrando: 2 3 2 (9 200 ) 3 100r q q dq q q k= − = − +∫


De: r pq= , si 0 0q r= ⇒ =

3 2 0 3(0) 100(0) 0r k k= = − + ⇒ =

Entonces la función de ingreso es: 3 2 3 100r q q= −

El ingreso cuando de producen y venden 50 unidades es:

3 2 (50) 3(50) 100(50) $ 125000r = − =

Solución de i)

2 2 2400 ( 400) ( 400) dr

q dr q dq dr q dqdq

= − ⇒ = − ⇒ = −∫ ∫

Integrando:

32

4 20 4 750

3

qC q q= − − −

24 750 20 4

3

C qC q

q q= = − − −

24(30) 750 (30) 20 4(30) $ 1035

3 30C = − − − =

32 ( 400) 400

3

qr q dq r q k= − ⇒ = − +∫




Del dato: si 30q = entonces 4200r = , luego:

3(30) 4200 400(30)

3r k= = − +

Efectuando operaciones se tiene que:

La función de ingreso es: 3

400 72003

qr q= − +

La función de demanda es: 2 7200

4003

qr pq p

q= → = − +

El precio cuando se demanda 120 unidades es:

2(120) 7200 (120) 400 $ 4460

3 120P = − + =

7200 k=



SEMANA 14

TÉCNICAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

FORMULAS DE INTEGRACION

1. lndx

dx xx

k= +∫ 4.

1( )

( ) ( )1

nf xn

f x f x dxn

k

+

′ = + +∫

2. ( ) ( )( ) f x f xf x dx ke e′ = +∫ 5.

( )ln ( )

( )

f xdx f x

f xk

′= +∫

3. ( )

( )( )ln

f xf x

f x dxa

ka

a′ = +∫

Calcular las integrales siguientes:

1) 4 1

1

xdx

x

+

−∫ 2) 9

2

xdx

x

+

+∫ 3) 6 2

2 4

xdx

x

−

−∫

4) 5

2

xdx

x

+

−∫ 5) 2 7

3

xdx

x

+

+∫ 6) 2 4

1

xdx

x

+

+∫

7) 2

5

2 4

xdx

x −∫ 8) 2

3 3

2 5

xdx

x x

+

+ −∫ 9) 2

3

3 1

2 2 1

xdx

x x

−

− +∫

10) 4 2

3

( 1)xdx

x

+

∫ 11) 32 3( 1) x x

x dxe −−∫ 12) 43 4( 1)2x x

x dx++∫

13) 2 2( ) at bt

at dtb e −−∫ 14) 54 5( 1) 2x x

x dx−− ⋅∫ 15)

ln

xdx

x∫

16) ln(ln )

ln

xdx

x x∫ 17) 2ln ( 1)

1

xdx

x

+

+∫ 18) 2

x x

dxx

e e

e

−

∫

19)

1

xdx

xe

e +∫ 20) 2

4

1

xdx

xe

e +∫ 21) 4

x x

dxx

e e

e

−

∫

22) 3 2

16 4

4 2 5

xdx

x x

−

− +∫

23) 2

3 3

1

4 12 6

xdx

x x

+

+ +∫ 24)

23

2

(2 )

xdx

x

−

−∫



25) 2

3 3

1 2

xdx

x−∫ 26) 2 2 4( 1) 4 2 x x x x dx+ + +∫

27) 32 4 6 2(2 1) x x

x dxe + −+∫

28) 2

5 10 1

(20 20).4x x

x dx+ +

+∫

29) 32 3 5( 1) x x

x dxe − −−∫ 30) 24 8 9(24 24) x x

x dxe + ++∫

31) 2

2 2 1

(2 1).5x x

x dx− +

−∫ 32) 3

2 3

7( 1).3x x

x dx−

−∫

33)

1

2

1(1 )

xx dx

xe

−

+∫ 34) 43 4 4( )x

x x dxe +∫

35) ln2

x

dxx∫ 36)

ln5 (1 ln )x x

x dx⋅ +∫

37)

22 ln( 1)

2 1

xx

dxx

e + −

−∫ 38)

2

2

1ln( 2 )

2

xx x dx

x x

++

+∫

39) 2

2

6 3ln

4 4

xx x dx

x x

−−

−∫ 40) 3 1 ln x

dxx

+

∫

APLICACIONES

1. En la manufactura de un producto los costos fijos por semana son de $ 8000. Si la función

de costo marginal es: 2 3

500 3( )5 40

q qdC

dq= + − donde C es el costo total de producir

unidades del producto. Encuentre la función costo total y el costo de producir 50 unidades.

2. Un fabricante ha determinado que la función costo marginal es 20, 03 20dC

q qdq

= − + ,

donde es el número de unidades producidas. Si los costos fijos son de $ 3500, determine

la función de costo total y el costo promedio de producir 70 unidades.

3. Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es: 23( 2)

710

dC q

dq

−= + . Si

el costo de producir 6 unidades es de $ 90, donde q es el número de unidades producidas,

determine el costo cuando se producen 30 unidades.



4. En la manufactura de un producto el costo marginal es: 21000 2 (5 )dC

q qdq

= − −

donde C es el costo total de producir unidades del producto. Si cuando se producen 30

unidades el costo asciende a $ 5800, halle el costo promedio cuando el nivel de producción

es de 60 unidades.

5. Si la función de ingreso marginal para el producto de un fabricante es: 0 , 7 35dr

qdq

= + ,

donde es el número de unidades producidas. Determine el precio cuando se demandan 60

unidades.

6. Para cierta compañía la función de ingreso marginal, para un determinado producto, está

dada por: 23 50dr

q qdq

= − , donde es el número de unidades producidas. Determine el

precio cuando se demandan 80 unidades, si cuando se producen y venden 25 unidades el

ingreso es de $ 1200.

7. Si el ingreso marginal en miles de dólares en la producción de “ q ” unidades de un producto

viene dado por 2

( )9

qr q

q=

+′ y el ingreso es nulo a un nivel de producción cero.

Determine la función de ingreso ( )r q y calcule dicho ingreso para un nivel de producción de

100 unidades.

8. La utilidad marginal diaria de una empresa está dada por 2

( ) 2900

xU x

x

′ = − ++

. Si la

empresa pierde $130 por día cuando solo vende 40 unidades por día, determina la función

de utilidad de esta empresa.

9. Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es: 23( 2)

710

dC q

dq

−= + . Si

el costo de producir 6 unidades es de $ 90, donde q es el número de unidades producidas,

determine el costo promedio cuando se producen 30 unidades.

10. Para el producto de un fabricante, la función de ingreso marginal es: (10 3 )

1502

dr q q

dq

+= − , para q unidades producidas . Si el ingreso está en dólares,

determine el precio cuando se demandan 30 unidades.



SEMANA 15

INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Sea ( )f x una función continua, entonces:

P1. ( )b

a

c dx c b a= −∫ , donde c es una constante

P2. ( ) ( ) b b

a a

cf x c f x dx=∫ ∫ , donde c es un número real arbitrario

P3. ( ) ( ) ( ) ( ) b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫

P4. Si a c b< < , se cumple: ( ) ( ) ( ) b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

P5. Si c d> , entonces ( ) ( ) d c

c d

f x dx f x dx= −∫ ∫

P6. ( ) 0 a

af x dx =∫

P7. Si ( ) 0f x ≥ para todo x en [ ],a b , entonces ( ) 0 b

a

f x dx ≥∫

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [ ],a b :

� Parte I: Si la función G está definida por ( ) ( ) x

aG x f t dt= ∫ , para todo x en [ ],a b

entonces si ( )f x es continua , ( )G x es diferenciable sobre [ ],a b y se cumple que:

( ) ( )G x f x=′ , es decir ( ) ( )x

a

df t dt f x

dx=∫ .

� Parte II: Si F es cualquier antiderivada de f ó llamada también primitiva de f en [ ],a b ,

entonces: ( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a= −∫



EJERCICIOS:

Calcule en cada caso las integrales definidas:

1.

3

225 dx∫

2.

2

145 dx

−∫

3.

23 2

1(2 8) x x dx

−+ −∫

4.

03 2

2(4 2 )x x x dx

−+ −∫

5.

23 2

1

44

3x x x dx

−

+ +

∫

6. 2

3 2

1

12 5

3x x x dx

− +

∫

7.

4 22

20

5 3 6

x xdx

x

− +

∫

8. ( ) ( )

12

210 2 3 2 x x x dx

−− +∫

9.

14 3

0

5 4

2 3 x x x dx

− +

∫

10.

3 52

21

9 3 8

x xdx

x−

+ −

∫

11.

23 2

1

4 3 2

5 2 5 x x x dx

−

+ +

∫

12.

24 3 2

0

5 3 22

3 2 5 x x x x dx

+ − −

∫

13. ( ) ( )

12

218 2 6 2 x x x dx

−+ +∫

14. ( ) ( )

12

13 1 4 x x x dx

−+ +∫

15. ( ) ( )

32 3 2

15 8 9 3 x x x dx− +∫

16. ( ) ( )

1

02 3 4 1 x x dx− −∫

17.

18 2

1

6 72

8 3 x x dx

−

− +

∫

18.

04 2

1

5 3 4

2 4 3 x x x dx

− +

∫



APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS

CÁLCULO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA:

Sea : ; f a b → � una función continua en su dominio, tal que [ ]( ) 0, ; f x x a b≥ ∀ ∈ . El

área de la región S limitada por la grafica de ( )f x , las líneas , x a x b= = y el eje de las

abcisas, se determina mediante una integral definida de la forma siguiente:

Donde F es la antiderivada de f ; es decir 'F f= . Esto nos indica que conociendo F (la primitiva de f ) se puede evaluar la integral definida, con solo evaluar f en los extremos

del intervalo [ ] ; a b .

Ejemplo

Calcular el área de la región limitada por la curva ( )f x , de acuerdo a la grafica siguiente:

Solución:

El área queda definida por:

( ) b

aA f x dx=∫

4 4 4

21 1 1

112 2 2

A x dx x dx dxxx

= + = +∫ ∫ ∫

4

1

1 1 12 2 2 (4) (1) 4 1

A xx

= − = − − −

263

4A u=

( ) ( ) ( ) ( )b

af x dx F b F aarea S = = −∫

a b

( )f x

y

x

y

x

2

1( ) 2f x x

x= +

1 4



CÁLCULO DEL ÁREA BAJO DOS CURVAS:

El área de la región limitada por dos funciones, ( )f x y ( )g x y por las líneas verticales

, x a x b= = , queda determinada por:

[ ]( ) ( )b

aA f x g x dx= −∫

Ejemplo 1:

Hallar el área limitada por las curvas, de acuerdo a la grafica siguiente:

Solución:

2( ) 3f x x= −

y

x

( ) 1g x x= − +

Hallando los límites de integración, para lo cual se

igualan las dos funciones:

21 3 x x− + = − 2 2 0 x x→ − − =

( 2)( 1) 0 x x→ − + = 2 ; 1 x x→ = = −

y

x1−

2

y

xa

( )f x

( )g x

b



El área queda definida por: [ ]( ) ( )b

aA f x g x dx= − =∫ [ ]

22

1(3 ) ( 1) x x dx

−− − − +∫

2

1

3 2 8 1 12 2 4 2

3 2 3 3 2x x

A x −

= − + + = − + + − + −

29

2A u=

Ejemplo 2:

Hallar el área limitada por las curvas: ( )f x x= y ( )f x x= .

Solución:

Para realizar la grafica se resuelve el sistema:

y x

y x

=

=

de donde se obtiene: 0 , 1x x= = . Las curvas se intersectan en los puntos (0;0) y (1;1) . Bosquejando la grafica se tiene:

luego: [ ]( ) ( ) =b

af x g xA dx−= ∫ [ ]

1

0x x dx−∫

1 3 / 2 2 3 / 2 23 / 2 2

0

(1) (1) (0) (0)

2 2 23/ 2 3/ 2 3/ 2

x xA

= − = − − −

21

6A u= .

y

x 1

( )f x x=( )f x x=

y



Ejemplo 3:

Hallar el área de la región limitada por la curva 2 4 12y x x= − − + y las líneas 2x = − y 4x = .

Solución:

Para bosquejar la grafica hallamos el vértice de la parábola y su intercepción con el eje x:

Hallando el vértice a partir de: ; ( )2 2

b bV f

a a

− −

, entonces: ( )2;16V −

Hallando las intercepciones con el eje x:

2 24 12 0 4 12 0x x x x− − + = → + − = ( 6)( 2) 0x x→ + − = 1 2 6 ; 2x x→ = − =

( )

22 32 2

12 2

4 12 2 123

xA x x dx x x

− −

= − − + = − − +

∫ 2

1

1288 88 24 8 24

3 3 3A u

= − − + − − − =

( )

44 32 2

22 2

4 12 2 123

xA x x dx x x

= − − − + = − − − +

∫2

2

5664 832 48 8 24

3 3 3A u

= − − − + + − − + =

2128 56 184

3 3 3TA u= + =

Ejemplo 4:

Hallar el área de la región limitada por las curvas 2y x= , 28y x= − , 1x = y 1x = −

Solución:

Para bosquejar la grafica de cada parábola hallamos sus vértices:

El vértice de 2y x= es: ( )0; 0V ; el vértice de 28y x= − es: ( )0;8V

Hallando las intercepciones de las parábolas:

2 2 2 28 2 8 0 4 0x x x x= − → − = → − =

( 2)( 2) 0x x→ + − = 1 2 2 ; 2x x→ = − =

Graficando 1x = − y 1x = . Luego:

( )

11 32 2

1 1

28 8

3

xA x x dx x

− −

= − − = −

∫

3 32(1) 2( 1)

8(1) 8( 1)3 3

A−

= − − − −

y

x

16

2− 2 46−

y

x

8

22− 11−

222 22 22 22 44

3 3 3 3 3

A u

= − − = + =

1A

2A



Ejemplo 5:

Hallar el área de la región limitada las curvas xxy −= 2 y 210 xy −= .

Solución:

Para bosquejar la grafica de cada parábola hallamos sus vértices:

El vértice de xxy −= 2 es: 1 1;

2 4V −

; el vértice de 210 xy −= es: ( )0;10V

Hallando las intercepciones de las parábolas:

2 2 210 2 10 0x x x x x− = − → − − =

(2 5)( 2) 0x x→ − + = 1 2

5 ; 2

2x x→ = = −

El área limitada por las parábolas es:

( )

5522

3 22

2 2

210 2 10

3 2

x xA x x dx x

− −

= − + = − +

∫

3 2 3 22(5 / 2) (5 / 2) 2( 2) ( 2)

10(5 / 2) 10( 2)3 2 3 2

A− −

= − + − − − +

125 25 16

25 20 212 8 3

A

= − + − − + +

2425 38 425 38 729

24 3 24 3 24

A u

= − − = + =

y

x

10

52

2−



EJERCICIOS:

1. Calcular el área de la región sombreada, de cada una de las graficas siguientes:

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

x

y2 9y x= − +

4 x

y

3( ) 4f x x x= −

y

x

( )1y x x= ±

4

y

x

3y x=

3− 2

y

x

2 1y x= +

2

x

y

2 6y x x= − −

4



(g) (h)

(i) (j)

(k) (l)

( ) 4f x x= +

y

x

2( ) 16f x x= −

( 4 , 0 )−

y

x

( 3 , 7 )

2( ) 16f x x= −

x

y2y x=

y x=

x

y

2 4 3y x x= − +

2 2 3y x x=− + +

y

x

162y x=

y

x

3y x=

4y x=



(m) (n)

2. Hallar el área de la región limitada por la curva 24y x= − y las líneas: 1 , 3x x= = .

3. Hallar el área de la región limitada por la curva 2 4y x= − y las líneas: 2 , 2x x=− = .

4. Hallar el área de la región limitada por las curvas 2 9y x= − , 29y x= − , 1x = y 1x = −

5. Hallar el área de la región limitada por las curvas 22y x x= − y y x=− .

6. Hallar el área de la región limitada por las curvas 28 4y x x= + − y 2 2y x x= − .

7. Hallar el área de la región limitada por la curva 3y x= y las líneas: 0 , 4x x= = .

8. Hallar el área de la región limitada por las curvas 34y x= − y 4 4y x= − .

x

y

2 3( ) 3f x x x= −

2( ) 3g x x x= −

x

y2 3( ) 2f x x x= − +

2( ) 2f x x x= −



SEMANA 16

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida es ampliamente aplicada en la economía. Esto se observa cuando se tiene

como información la razón con la que varían los ingresos y los costos según la producción

(ingresos y costos marginales, respectivamente) y si se quisiera encontrar las funciones de

ingreso y costo. Asimismo, la integral definida puede aplicarse al cálculo de utilidades netas,

depreciación de maquinarias, excedencia del consumidor o del productor, etc. Veamos algunos

casos.

APLICACIONES

1. La tonelada de un mineral cuesta $ 46. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el

precio estará cambiando a una razón de cambio dada por la siguiente fórmula:

20,09 0,0006d P

xd x

= + , donde P es el precio.

a) ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas?

b) ¿Se debe vender todo el mineral posible ahora o se debe de esperar dentro de 10

semanas?

Solución:

Como 2 2 0,09 0,0006 ( 0,09 0,0006 )

d Px dP x dx

d x→= + = +

Integrando: ( )10 10

2 3

00 0 ,09 0,0006 0 ,09 0,0002 dP x dx x x = + = + ∫

El precio dentro de 10 semanas será:

103 0

46 0,09 0,0002P x x= + +

Entonces: 46 1,1 47 ,1P = + = .

a) Dentro de diez semanas la tonelada costará 47,1 dólares.

b) Se debe de esperar 10 semanas para vender todo el mineral posible.



2. Para cierto fabricante la función de ingreso marginal es 2( ) ( 3 60 )R x x x= − + . Calcula

el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 15 a 20 unidades, si el

ingreso esta en dólares.

Solución:

Al integrar la función de ingreso marginal se obtiene la función de ingreso y al evaluarla

se tiene el incremento, entonces:

2 2( 3 60 ) ( 3 60 ) dR

x x dR x x dxdx

= − + → = − +

Integrando: ( )2020 3 2 202 3 2

1515 15

3 603 60 30

3 2

x xR x x dx x x

− = − + = + = − +

∫

[ ] [ ]3 2 3 2(20) 30(20) (15) 30(15) 8000 12000 3375 6750 625R = − + − − + = − + − − + =

El incremento en el ingreso cuando la demanda varia de 15 a 20 unidades, es de 625

dólares.

3. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de ( ) 2

1 50R x x= + dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón

2 ( ) 200 5R x x= + dólares por año.

a) Durante cuantos años el segundo plan será más rentable.

b) Calcule el exceso de la Utilidad Neta, si se invierte en el segundo plan en lugar del

primero, durante el periodo obtenido en la parte a).

Solución:

a) El segundo plan será mas rentable hasta que las funciones de ambos planes sean iguales: ( ) ( )1 2R x R x= , entonces se tiene:

2 2 250 200 5 5 150 0x x x x+ = + → − − =

( 10)( 15) 0x x→ + − =

1 1 10 ; 15x x→ = − =

el segundo plan es mas rentable durante 15 años.



b) El exceso de utilidad neta (EUN), está dado por:

( ) ( ) ( )15 15

2 2

0 0200 5 50 150 5EUN x x dx x x dx = + − + = + −

∫ ∫

[ ]15 2 32 3

0

5(15) (15)5150 150(15) 2250 562, 5 1125 1687, 5

2 3 2 3

x xx

= + − = + − = + − =

El exceso de utilidad es de 1687,5 dólares.

4. Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón de 2( ) 5000 20R x x= − dólares por año y costos que se acumulan a razón de 2( ) 2000 10C x x= + dólares por año.

a) ¿Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria?

b) ¿Cuales son las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo

obtenido en la parte a)?

Solución:

a) El uso de la maquinaria será rentable mientras que el ritmo al que se generan los ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que ( ) ( )R x C x= ,

entonces:

2 2 25000 20 2000 10 100 0x x x− = + → − =

( 10)( 10) 0x x→ + − =

1 1 10 ; 10x x→ = − =

El uso de la maquinaria es rentable durante 10 años.

2 ( ) 200 5R x x= +

21 ( ) 50R x x= +

150 x

y

EUN



b) Dado que la ganancia neta generada por una maquinaria, durante cierto período de

tiempo, está dada por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y su

costo total de operación y mantenimiento, se puede determinar esta ganancia por la

integral definida:

( ) ( ) ( )10 10

2 2 2

0 05000 20 2000 10 3000 30GN x x dx x dx = − − + = −

∫ ∫

10

3 30

3000 30 3000(10) (10) 29000x x = − = − =

Las ganancias netas ascienden a 29000 dólares.

EJERCICIOS

1. La compañía minera “Buenaventura” vende la tonelada de cobre a $ 58,5. Los estudios

indican que dentro de “ x ” semanas, el precio por tonelada estará cambiando a una razón

de cambio dada por la función: 20,012 0,05d P

x xd x

= − , donde P es el precio.

a) Halle el precio de la tonelada de cobre dentro de 5 semanas.

b) ¿Debe la compañía vender todo el cobre posible ahora, o esperar dentro de 5

semanas?

2. La Empresa Graña y Montero Petrolera S.A. vende el barril de petróleo a $ 92,52. Los

estudios de mercado indican que dentro de “ x ” meses, el precio del barril estará

cambiando a una razón dada por la siguiente función: 20, 0084 0, 012dP

x xdx

= +− ,

donde P es el precio.

a) Halle el precio del barril de petróleo dentro de dos meses.

b) ¿La Empresa debe vender todo el petróleo posible ahora o debe de esperar dentro de

tres meses?.

3. El costo marginal en una empresa está dado por 0 ,02'( ) 1,2 xC x e= . Hallar el incremento

en los costos totales, si la producción aumenta de 80 a 110 unidades.



4. En cierta fábrica, el costo marginal es ( )2

3 4q − dólares por unidad cuando el nivel de

producción es “ q ” unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si el nivel

de producción aumenta de 6 a 10 unidades?

5. Una fabrica determina que su ingreso marginal está dado por: 2 2500

dr q

dq q

=+

. Halle

el ingreso cuando la venta aumenta de 0 a 120 productos.

6. Se estima que dentro de “ x ” meses la población de Tumbes cambiará a una razón de 2x x+ personas por mes. ¿En cuánto crecerá la población de Tumbes durante los

próximos 3 años?

7. En el Distrito Federal de México los especialistas han determinado que el número de

personas infectadas por la gripe H1N1 tipo A, cambia a razón de 2, 2 2, 2idPt

dt= − donde

iP es el numero de personas infectadas y t es el tiempo en semanas. Determine el

número de personas infectadas en los próximos dos meses.

8. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de ( ) 2

1 40R x x= + dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón


a) Durante cuantos años el segundo plan será más rentable.

b) Calcule el exceso de la Utilidad Neta, si se invierte en el segundo plan en lugar del

primero, durante el periodo obtenido en la parte a).

9. Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón de 2( ) 9260 25R x x= − dólares por año y costos que se acumulan a razón de 2( ) 3500 15C x x= + dólares por año. Halle:

a) El numero de años en que es rentable el uso de la maquinaria.

b) Las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo de la parte a).

10. Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es 2( ) 4(25 )D q q= − dólares por unidad. Halle la cantidad total de dinero que los

consumidores están dispuestos a gastar para obtener 3 unidades del artículo.

11. Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es 2( ) 4(25 )D q q= − dólares por unidad.

a) Halle el excedente de los consumidores si el artículo se vende a $ 64 por unidad.

b) Trace la curva de demanda e interprete el excedente de los consumidores como un

área.



12. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de 2

1 ( ) 100R x x= + dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de


a) ¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?

b) ¿Cuánto exceso de utilidad ganará si invierte en el segundo plan en lugar del primero

durante el periodo obtenido en la parte a)?.

c) Interprete el exceso de utilidad obtenida en la parte b), como el área entre dos curvas.

13. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de 0,12

1 ( ) 60 xR x e= dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de 0,08

2 ( ) 160 xR x e= dólares por año.

a) ¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?.

b) ¿Cuánto exceso de utilidad ganara si invierte en el segundo plan en lugar del primero



14. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de 2( ) 6025 10R x x= − dólares al año y origina costos que se acumulan a la razón de 2( ) 4000 15C x x= + dólares por año.

a) ¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?.

b) ¿Cuánto exceso de utilidad ganará si invierte en el segundo plan en lugar del primero,



15. Suponga que cuando tiene x años, cierta maquinaria industrial genera ingresos a la razón

de 2( ) 6025 8R x x= − dólares por años y origina costos que se acumulan a la razón de 2( ) 4681 13C x x= + dólares por año.

a) ¿ Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria?.

b) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo

obtenido en la parte a)?.

manual matemtica ii 2012 2

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