UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICAFACULTAD DE INGENIERIA CIVILEstadstica

UNIVERSIDAD NACIONALSAN LUIS GONZAGA DE ICA

FACULTAD: Ingeniera Civil

TEMA: Probabilidades

CURSO: EstadsticaDOCENTE:Econ. Ricardo Cavero Donayre ALUMNO: Gastiabur Quinteros, Cheddi. Hernndez Chocano, Juan Melchor. Tampe Daz, Marquinho Adilson Santos. Vargas Aldoradn, Micky Rey. Romn Canelo, Andrs Martn. Cantoral Olazabal, Gino Florencio.

CICLO: FIC III A

ICA-PERU 2014

Dedicatoria:

Dedicado a MIS PADRES Y maestros, por llevarme a cumbres mejores.

PresentacinEste presente trabajo de investigacin, trata acerca de las probabilidades, en la cual dar a conocer de la gran importancia que tienen en nuestra vida cotidiana yLo mucho que nos pueden servir al querer saber cuan cerca estamos de obtener algo seguro o cun lejos estamos que eso ocurra.Ya que la teora de la probabilidad se usa extensamente en reas como la estadstica, la fsica, la matemtica, la ciencia y la filosofa para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecnica subyacente de sistemas complejos.Pues hablare de sus propiedades como adems de la probabilidad condicionada, asi como el famoso teorema de bayes entre otros. Ya que La idea de Probabilidad est ntimamente ligada a la idea de azar y nos ayuda a comprender nuestras posibilidades de ganar un juego de azar o analizar las encuestas.

PROBABILIDAD1. DEFINICIONEs la parte de las matemticas que estudia los fenmenos aleatorios.1.1 NOCIONES DE PROBABILIDAD Experimentos o fenmenos aleatorios: son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cul de stos va a ser observado en la realizacin del experimento.EJEMPLO: lanzar una moneda, tirar un dado, extraer una carta de una baraja ,etc. Espacio muestral: es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.EJEMPLO: En un dado, E= {1, 2, 3, 4, 5,6} Suceso aleatorio: es un acontecimiento que ocurrir o no, dependiendo del azar.EJEMPLO: del experimento aleatorio: extraer una carta Un suceso ser: Que resulte un mltiplo de 5 y sea roja1.2 DEFINICIN CLSICA DE PROBABILIDADLa probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razn entre el nmero de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el nmero total de casos posibles n.

La probabilidad es un nmero (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.La probabilidad de no ocurrencia de un evento est dada por q, donde:

2. PROPIEDADESSea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de cada suceso es un nmero que verifica: 1. Cualquiera que sea el suceso A, P(A) 0. 2. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unin es igual a la suma de sus probabilidades. = P() = P(A) + P(B).La probabilidad total es 1. P(E) = 1.1. P() = 1 - p( a ) 2. P( ) = 0 3. Sia b p( b ) = p( a ) + p( ) 4. Sia b p( a ) p( b ) 5. Si a1 , a2 , ... , ak , son incompatibles dos a dos, entonces:P( a1 a2... ak ) = p( a1 ) + p( a2 ) + ... + p( ak )

6. P( ) = p( a ) + p( b ) - p( ) 7. Si el espacio muestral e es finito y un sucesos es a={x1 , x2 , ... , xk} , entonces:P( a ) = p( x1 ) + p( x2 ) + ... + p( xk )8. 9. La frecuencia relativa del suceso A:

EJERCICIO: En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas simultneamente, cul es la probabilidad de que salga una bola de cada color?Solucin:Calcularemos los casos posibles del experimento y los casos favorables al suceso del enunciado para aplicar la regla de Laplace.Los casos posibles son las distintas formas de extraer 3 bolas entre 90. Como el orden no debe tenerse en cuenta, estos casos son:

Los casos favorables son 15 30 45 = 20 250. stas son las formas de agrupar tres bolas de distinto color. La probabilidad pedida es:

2.1 OPERACIONES CON SUCESOS.Dados dos sucesos, A y B, se llaman:Unines el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.

Interseccines el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B.

Diferenciaes el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Suceso contrarioEl suceso =E - A se llama suceso contrario de A.

Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningn elemento comn. Es decir, cuando = (A y B son disjuntos) Ejemplo:En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos: A = "sacar un nmero par". B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 5".

C = {4,6} = "obtener un 4 un 6". D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 6".

F = {1,3} = "obtener un 1 un 3". G = "obtener un mltiplo de 3".

A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales. C est contenido en A. Luego = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un nmero par. B y C son incompatibles, ya que B C = y complementarios, al cumplirse BC = E. = "sacar un nmero par" {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E. A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso interseccin de los sucesos "sacar un nmero par" y "obtener un mltiplo de tres" es "sacar un 6". B-D = B = {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un nmero impar" = . C y F son incompatibles puesto que C F = .3 MTODOS PARA CALCULAR LAS PROBABILIDADES Regla de la adicinLa regla de la adicin o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) si A y B son no excluyentes. Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B. Regla de la multiplicacinLa regla de la multiplicacin establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o ms eventos estadisticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes DISTRIBUCIN BINOMIALLa probabilidad de ocurrencia de una combinacin especfica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribucin binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no.1. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observacin.2. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.3. La probabilidad de xito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.Para aplicar esta distribucin al calculo de la probabilidad de obtener un nmero dado de xitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren tres valores: el nmero designado de xitos (m), el nmero de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de xito en cada ensayo (p). Entonces la probabilidad de que ocurran m xitos en un experimento de n ensayos es: P (x = m) = nCm Pm(1P)nm Siendo nCm el nmero total de combinaciones posibles de m elementos en un con junto de n elementos. En otras palabras P(x = m) = m!/{m!(nm)!}pm(1p)nm4. PROBABILIDAD CONDICIONADA. Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de B tomando como espacio muestral A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A.

De esta igualdad se deduce: P( BA ) = P( B/A ) P( A )La frmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C: P( AB C ) = P( A ) P( B/A ) P( C/A B ) Esta frmula admite una generalizacin para un nmero cualquiera de sucesos.

Ejemplo:Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un nmero impar:Definimos los sucesos A="sacar 3" y B= {1,3,5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si sabemos que ha salido un nmero impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A slo 1.5. PROBABILIDADES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTESEl conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre s. Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre s si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) = P( B ) P( A/B ) = P( A ) Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre s si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) P( B ) P( A/B ) P( A ) Como consecuencia inmediata de la definicin se tiene: Dos sucesos A y B son independientes si se cumple: P( A B ) = P( A ) P( B )

Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez:P( A B ) = P( A ) P( B )

P( A C ) = P( A ) P( C )

P( B C ) = P( B ) P( C )

P( A B C ) = P( A ) P( B ) P( C )Ejercicio Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P(B)=0.6; P( )=0.58. a. Son independientes A y B?b. Si M A, cul es el valor de P (/ )? Solucin:a. Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A B ) = P( A ) P( B ) P( ) = P[(A B)c] = 1 - P(AB)

Por tanto, P(AB) = 1 - P( ) = 1 -0.58 = 0.42

Por otro lado, P( A ) P( B ) = 0.7 0.6 = 0.42

Luego, A y B son independientes, pues P( A B ) = P( A ) P( B ) = 0.42B.MA . Por tanto,

6. TABLAS DE CONTINGENCIA Y DIAGRAMAS DE RBOL.En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y prctico organizar la informacin en una tabla de contingencia o en un diagrama de rbol.Las tablas de contingencia y los diagramas de rbol estn ntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fcilmente uno de ellos y a partir de l podemos construir el otro, que nos ayudar en la resolucin del problema.

Conversin de una tabla en diagrama de rbolLas tablas de contingencia estn referidas a dos caractersticas que presentan cada una dos o ms sucesos.A TOTAL

B P( A B ) P( B ) P( B )

P( A ) P( ) P( )

TOTAL P( A ) P( ) 1

En el caso de los sucesos A, , B y , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta.

Dicha tabla adopta la forma del diagrama de rbol del dibujo. En ste, a cada uno de los sucesos A y se les ha asociado los sucesos B y .

Sobre las ramas del diagrama de rbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones anlogas a: Conversin de un diagrama en tabla de contingenciaDe manera recproca, dado el diagrama de rbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente si ms que utilizar la expresinP( BA ) = P( B/A ) P( A ),para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla. Ejercicio Un taller sabe que por trmino medio acuden: por la maana 3 automviles con problemas elctricos, 8 con problemas mecnicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas elctricos, 3 con problemas mecnicos y 1 con problemas de chapa.a. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde. b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecnicos. c. Calcula la probabilidad de que un automvil con problemas elctricos acuda por la maana. Solucin:En las tablas de contingencia, con las frecuencias absolutas y los porcentajes, respectivamente, pueden verse recogidos los datos del enunciado.ELCTRICOS MECNICOS CHAPA TOTAL

MAANA 3 8 3 14

TARDE 2 3 1 6

TOTAL 5 11 4 20

ELCTRICOS MECNICOS CHAPA TOTAL

MAANA 0.15 0.40 0.15 0.70

TARDE 0.10 0.15 0.05 0.30

TOTAL 0.25 0.55 0.20 1.00

Las respuestas a las cuestiones planteadas basta leerlas en las tabla. As, se obtiene:a. El 30% de los automviles acude al taller por la tarde. b. El porcentaje de vehculos ingresados con problemas mecnicos es el 55%. c. La probabilidad buscada es:P(acuda por la maana/tiene problemas elctricos) = 3/5 = 0.6

Ejercicio Una compaa de seguros hace una investigacin sobre la cantidad de partes de siniestro fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio, automvil y "otros", se obtiene la siguiente relacin de datos:El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automviles fraudulentos; el 3% son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes por automvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos. a. Haz una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no fraudulentos. b. Calcula qu porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cul a la de automviles y cul a "otros". Aade estos datos a la tabla. c. Calcula la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. Cul ser, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios? Solucin:a. y b. La tabla de porcentajes con los datos del enunciado y los totales es la siguiente: INCENDIO AUTOMVIL OTROS TOTAL

FRAUDULENTOS 6 1 3 10

NO FRAUDULENTOS 14 29 47 90

TOTAL 20 30 50 100

b. c. Es fcil ver sobre la tabla que la probabilidad de escoger al azar un parte fraudulento es del 10%. La probabilidad condicionada que se pide es: P(FRAUDE/INCENDIO)=6/20=0.3

7. PROBABILIDAD TOTAL.Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen: 1. Son incompatibles dos a dos, Ai Aj = La unin de todos ellos es el suceso seguro, Teorema de la probabilidad totalSea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresin:

Ejercicio Una compaa dedicada al transporte pblico explota tres lneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero lnea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera lnea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobs se avere es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada lnea. Determina la probabilidad de que, en un da, un autobs sufra una avera.Solucin:El suceso "sufrir una avera" (Av) puede producirse en las tres lneas, (L1, L2, L3). Segn el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de rbol adjunto, tenemos:P(Av) = P(L1) P(Av/L1) + P(L2) P(Av/L2) + P(L3) P(Av/L3) == 0.6 0.02 + 0.3 0.04 + 0.1 0.01 == 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

EjercicioUna empresa del ramo de la alimentacin elabora sus productos en cuatro factoras: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de produccin total que se fabrica en cada factora es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y adems el porcentaje de envasado incorrecto en cada factora es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. Cul es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?Solucin:Llamando M = "el producto est defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factoras y, por tanto, segn el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de rbol adjunto, tenemos:

P(M) = P(F1) P(M/F1) + P(F2) P(M/F2) + P(F3) P(M/F3) + P(F4) P(M/F4) == 0.4 0.01 + 0.3 0.02 + 0.2 0.07 + 0.1 0.04 == 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028 8. TEOREMA DE BAYES.Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresin:

En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, as como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la informacin del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagrama de rbol. Ejercicio Tres mquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fbrica. Los porcentajes de produccin defectuosa de estas mquinas son del 3%, 4% y 5%.a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la mquina B. c. Qu mquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? Solucin:Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La informacin del problema puede expresarse en el diagrama de rbol adjunto. a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) P(D/A) + P(B) P(D/B) + P(C) P(D/C) == 0.45 0.03 + 0.30 0.04 + 0.25 0.05 = 0.038 b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparndolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

Ejercicio: Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, cul es la probabilidad de haber sido extrada de la urna A?Solucin:Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de rbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

BIBLIOGRAFIA www.google.com www.wiquipedia.com.pe libros de matemtica fundamentos de estadstica bsica ING. Ubaldo Quispe Quiroz Etadistica Mximo Mitacc

PROBABILIDADES.