Notas de aula

M501 Probabilidade, Estatstica e Processos Estocsticos

Dayan Adionel Guimares

Novembro de 2007

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Agradecimento

Aos professores:

Dr. Jos Marcos Cmara Brito Dr. Carlos Alberto Ynoguti

M.Sc. Estevan Marcelo Lopes

agradeo muito por terem gentilmente disponibilizado suas notas de aula, apostilas e slides sobre Probabilidade, Estatstica e Processos Estocsticos, a partir dos quais estas notas de aula foram elaboradas.

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Aula n Data Tema Teoria de conjuntos Contedo Introduo. Teoria de conjuntos: Lei de De Morgan. Princpio da Dualidade. Definies para probabilidade: por freqncia relativa, axiomtica e clssica.

Objetivos Ao final da aula os alunos devero ser capazes de: 1) definir corretamente os conceitos de experimento, resultado, evento e espao amostral; 2) realizar operaes com conjuntos. 3) conceituar probabilidade. 4) realizar clculos simples relacionando probabilidade com a teoria de conjuntos.

Definio de experimento, resultado, evento e espao amostral.

Seja o EXPERIMENTO correspondente ao lance de uma moeda, para o qual so esperados, obviamente, os RESULTADOS cara e coroa. Vamos definir o EVENTO correspondente ocorrncia de cara nos dois primeiros lances da moeda, num total de 3 lances. Ento teremos o ESPAO AMOSTRAL:

CCC CCK CKC CKK KCC KCK KKC KKK

Onde C = cara e K = coroa. O nmero de possveis resultados 23 = 8. Quantas vezes o evento definido ocorre? Resposta: duas vezes. Perceba que posso me referir ao resultado correspondente aos possveis eventos e, neste caso, teremos os 8 possveis resultados listados acima, que compem o espao amostral.

Conjuntos

Seja o lance de um dado e o evento correspondente observao de um nmero de pontos menor que 4.

Na figura, S o espao amostral e A o conjunto referente ao evento definido.

Seja um outro evento referente observao de um nmero de pontos maior que 1:

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Aqui A + B = 1, 2, 3, 4, 5 e 6, que corresponde ao espao amostral, neste caso, por coincidncia. AB o conjunto com os elementos 2 e 3.

Lei de de-Morgan

Vamos aplicar a lei de de-Morgan na igualdade abaixo:

( )A B C AB AC+ = +

Ao aplicarmos a forma genrica de de-Morgan, devemos ter cuidado com a interpretao. Aplicando esta forma, ns simplesmente MANTEMOS A IGUALDADE ENTRE OS TERMOS. Isto no significa que, ao aplicarmos a regra genrica, mantemos a igualdade com a expresso original. Portanto, se no quisermos modificar o resultado da expresso original, temos que fazer como acima, ou seja, aplicar a forma especfica do de-Morgan.

O que mais importante? Reposta: as relaes c

c

i ii i

A A = e

cc

i ii i

A A = .

Teoremas com conjuntos.

Exemplo: vamos mostrar a validade de

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Exerccio: mostrar a validade dos demais teoremas referentes a conjuntos.

Definio de probabilidade por freqncia relativa

Exemplo: suponha que voc tenha a tarefa de determinar se uma moeda justa ou no. Se efetuarmos um nmero bastante grande de lances da moeda, registrando um dos resultados (por exemplo, a ocorrncia de cara) no final do experimento vamos obter o nmero de resultados favorveis, nA e o nmero de lances, n. Dividindo nA por n obteremos uma estimativa da probabilidade de ocorrncia de cara. Se este valor estiver convergindo para 0,5 medida que aumentamos n, podemos afirmar que a moeda justa. Caso contrrio podemos afirmar que ela no justa. Perceba que nossa inferncia estatstica (opinio a partir do resultado) ser to mais precisa quanto maior o valor de n.

Exerccio: uma aplicao direta deste conceito em telecomunicaes na determinao da probabilidade de erro de bit em um sistema qualquer. Esta probabilidade de erro normalmente denominada na prtica de BER (bit error rate) ou taxa de erro de bit. Descreva um procedimento que lhe permita estimar a BER em um sistema real, utilizando o conceito de freqncia relativa.

Definio clssica de probabilidade

Seja novamente o EXPERIMENTO correspondente ao lance de uma moeda, para o qual so esperados os RESULTADOS cara e coroa. Vamos definir o EVENTO correspondente ocorrncia duas caras num total de 3 lances. Ento teremos o ESPAO AMOSTRAL:

CCC CCK CKC CKK KCC KCK KKC KKK No espao amostral podemos notar a ocorrncia de 3 eventos favorveis, contra 8 possveis. Portanto, a probabilidade de ocorrncia de 2 caras de 3/8.

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Exemplo: Uma clula em um sistema de comunicaes mveis possui 5 canais, que podem estar livres (L) ou ocupados (O). Tem-se que: a) O espao amostral consiste de 32 combinaes de 5 canais com as possveis opes L e O em cada um dos canais, o que leva a 32 pontos.

Seja 0 canal livre e 1 canal ocupado. Ento teremos os possveis resultados:

b) Admitindo que os pontos do espao amostral so EQUIPROVVEIS, ou seja, tm a mesma probabilidade de ocorrncia, a probabilidade de uma chamada do tipo conferncia, que precisa de 3 canais livres para ser completada, ser bloqueada por falta de canal livre de:

Podemos observar no espao amostral que temos 16 ocorrncias favorveis ao evento definido (3 ou mais canais ocupados, o que levar ao bloqueio da chamada) em 32 situaes possveis. Portanto, a probabilidade de bloqueio de 16/32 = 0,5.

FIM DA AULA

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Aula n Data Tema Teorema de Bayes

Contedo Probabilidade conjunta. Probabilidade condicional e a Regra de Bayes. Eventos Independentes.

Objetivos Ao final da aula os alunos devero ser capazes de: 1) Definir corretamente os conceitos de probabilidade conjunta e condicional. 2) Saber escrever a expresso do Teorema de Bayes e utiliz-la. 3) Conceituar eventos independentes.

Probabilidade conjunta Como o nome sugere, esta probabilidade refere-se ocorrncia conjunta de dois ou mais eventos.

Exemplo Num jogo de dados, vamos analisar a probabilidade conjunta referente a dois lances do dado. Os possveis nmeros de pontos observados so:

S 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

A partir dessas possibilidades e do conceito clssico de probabilidade, podemos realizar clculos. Por exemplo, vamos determinar a probabilidade de um nmero mpar de pontos no primeiro lance e um nmero 3 no segundo lance.

Ento a probabilidade procurada P[mpar, 3] = 3/36.

Probabilidades marginais Utilizando o conceito de probabilidades marginais possvel obter, a partir do conhecimento de probabilidades conjuntas, probabilidades simples (ou marginais). Por exemplo, dada uma probabilidade conjunta P[A,B], podemos obter P[A] ou P[B]. Obtemos P[A] somando todas as probabilidades conjuntas em que A fixo e B qualquer. Assim, obtemos P[B] somando as probabilidades conjuntas em que B fixo e A qualquer dos possveis valores.

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No exemplo anterior, podemos, a partir de P[mpar, 3], obter a probabilidade de o segundo lance apresentar o nmero 3 somando todas as probabilidades correspondentes a 3 no segundo lance e qualquer valor no primeiro, ou seja:

Probabilidade condicional uma probabilidade de ocorrncia de um evento, obtida tendo-se o conhecimento de que um outro evento ocorreu. Em outras palavras, a probabilidade obtida sobre um evento, com uma informao adicional sobre a ocorrncia de outro. Representa-se a probabilidade de ocorrncia de um evento A, dado que um evento B ocorreu por P[A | B] => l-se probabilidade de A dado B. A probabilidade condicional relaciona-se com a probabilidade conjunta por meio da importante relao:

Verificando:

Exemplo: Em uma caixa h 100 resistores cujas resistncias e tolerncias so mostradas na tabela a seguir. Um resistor selecionado da caixa ao acaso. Calcule a probabilidade do resistor ser de 47 ohms dado que ele tem tolerncia de 5% e calcule a probabilidade dele ter tolerncia de 5% dado que a resistncia de 100 ohms.

Perceba que neste exemplo temos uma sutil diferena em ralao ao clculo da probabilidade conjunta. O clculo de P[47 , 5%] corresponde ao seguinte experimento: se retirarmos da caixa um resistor qualquer, a probabilidade dele ser de 47 ohms E ter tolerncia 5% P[47 , 5%] = 28/100. J o clculo

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de P[47 | 5%] significa que retiramos um resistor da caixa, constatamos que sua tolerncia de 5% e queremos, DADA esta informao adicional, calcular a probabilidade do resistor ter valor 47 ohms.

P[47 | 5%] = P[47 , 5%]/ P[5%] = (28/100)/(62/100) = 28/62.

Exerccio Determinar a probabilidade do resultado da jogada de um dado ser um nmero menor do que 4 nas seguintes situaes: a) se no temos nenhuma informao. b) se sabemos que o resultado foi mpar.

Os possveis resultados so: 1 2 3 4 5 e 6. a) queremos calcular P[D < 4] = 3/6 b) agora queremos calcular P[D < 4 | D mpar] = P[D < 4 , D mpar]/P[D mpar] = (2/6)/(3/6) = 2/3.

Desafio A partir do entendimento da lgica do experimento computacional Prob_Conjunta.vsm, implementado no VisSim/Comm, implemente um experimento capaz de estimar as probabilidades calculadas no exerccio 1.

Exerccio para casa Utilizando a teoria de conjuntos e a relao entre probabilidade condicional e conjunta, mostre a validade da expresso:

Teorema de Bayes Este importante teorema permite que calculemos a probabilidade condicional P[A|B] a partir do conhecimento de P[B|A]:

Exemplo Um transmissor envia um bit zero (evento A0) ou um bit 1 (evento A1) atravs de um um canal de comunicao binrio simtrico. O canal ocasionalmente causa erro, de modo que um zero transmitido pode ser recebido como 1 e um 1 transmitido pode ser recebido como 0. A probabilidade de erro p = 0.1, independente do bit transmitido. A probabilidade de um bit 0 ser transmitido 0.6. Sejam B0 e B1 os eventos: um bit 0 foi recebido e um bit 1 foi recebido, respectivamente. Calcule as seguintes probabilidades: P(B0), P(B1), P(B1|A0), P(A0|B0), P(A0|B1), P(A1|B0), P(A1|B1). Este canal tem a representao abaixo:

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P[B0] a probabilidade de receber 0. P[B1|A0] a probabilidade de receber 1, tendo transmitido 0 = p. P[A1|B0] a probabilidade de ter transmitido 1, tendo recebido 0, e assim por diante...

Eventos independentes Dois eventos so ditos independentes se ocorrncia de um deles no tem influncia na ocorrncia dos demais. Em outras palavras, o dado sobre a ocorrncia de um determinado evento no adiciona nenhuma informao determinao da probabilidade de ocorrncia de outro evento, ou seja: P[A | B] = P[A]. Substituindo este resultado na expresso que relaciona probabilidade conjunta com condicional obtemos:

P[A,B] = P[A|B]P[B] = P[A]P[B]

O que significa que, para eventos independentes, a probabilidade de ocorrncia conjunta dos eventos o produto das probabilidades de cada evento.

Exemplo O lance de duas moedas corresponde a eventos independentes (no h nenhuma influncia do resultado de um lance no resultado do outro lance). Sendo assim, a probabilidade de ocorrncia de cara no primeiro lance e de cara no segundo de 0,5x0,5 = 0,25. Perceba que j havamos calculado este mesmo valor a partir da definio clssica de probabilidade: 1 ocorrncia sobre 4 possveis = = 0,25.

FIM DA AULA

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Aula n Data Tema Mtodos de contagem - 1 Contedo Mtodos de contagem: amostragem com e sem reposio, com e sem ordenao.

Objetivos Ao final da aula os alunos devero ser capazes de utilizar a teoria dos mtodos de contagem para resolver problemas sobre probabilidade.

Definio de amostragem A amostragem se refere escolha aleatria de um nmero k de objetos dentro de uma populao com n objetos.

Definio de reposio Realizamos uma reposio quando retornamos um objeto selecionado populao sob anlise, antes que um prximo objeto seja selecionado.

Seja, por exemplo, o processo de seleo de 2 bolas de um conjunto de 5 bolas numeradas. Suponhamos que a primeira bola retirada tenha o nmero 3. Se o experimento COM reposio, significa que a prxima bola a ser retirada poder ser, inclusive, a prpria bola de nmero 3. Se no houver reposio, a bola 3 (neste exemplo) estar fora das opes de escolha da segunda bola.

Definio de ordenao

Dizemos que um experimento COM ordenao, quando a ordem dos objetos relevante, ou seja, diferentes ordenaes de um mesmo conjunto de objetos geram diferentes resultados para o experimento.

Como exemplo, se retirarmos na primeira tentativa a bola de nmero 3 e na segunda a bola de nmero 5 num experimento COM ordenao, significa que retirar a bola 5 e depois a bola 3 corresponde a um outro resultado possvel. Se no nos preocupamos com a ordenao, os resultados (3,5) e (5,3) so idnticos.

Princpio fundamental da contagem

Definio geral: Seja um experimento E, composto de sub-experimentos E1, E2, ..., Ek, com os nmeros de possibilidades n1, n2, ..., nk. O nmero de possibilidades do experimento E dado por i

in .

Por exemplo, seja uma prova com 4 questes (4 sub-experimentos), onde o nmero de possveis respostas para as questes 3, 2, 4 e 6, respectivamente. Ento, o nmero de possveis formas distintas (experimento) de se resolver tal prova de 3 x 2 x 4 x 6 = 144.

Exemplo 1.28 Yates: Seja um experimento correspondente ao lance de uma moeda. Obviamente este experimento tem duas possibilidades (cara e coroa). Seja um outro experimento, correspondente ao lance de um dado. Este experimento possui 6 possibilidades. O experimento combinado lanar a moeda e lanar o dado ter ento 2 x 6 = 12 possibilidades: (cara, 1), (cara, 2), (cara, 3), (cara, 4), (cara, 5), (cara, 6), (coroa, 1), (coroa, 2), (coroa, 3), (coroa, 4), (coroa, 5) e (coroa, 6).

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Amostragem COM reposio e COM ordenao

Teorema 1.14 do Yates: Dado um conjunto com n objetos distintos, h nk maneiras diferentes de selecionar k objetos, com reposio e levando-se em conta a ordenao.

Exemplo 1.34 Yates: de quantas formas possveis podemos gerar seqncias binrias com 10 bits? Resposta: n = 2 (temos um conjunto com dois bits: 0 e 1) e queremos selecionar, com reposio, 10 bits. Ento teremos 210 = 1.024 possveis formas diferentes de selecionar estes 10 bits.

Exemplo 1.35 Yates: Quantas palavras de 4 letras podem ser produzidas a partir do alfabeto (A Z)? Resposta: o conjunto tem 26 letras = n. Estamos selecionando palavras de 4 letras e, portanto, k = 4. Ento teremos 264 = 456.976 palavras.

Dos dois exemplos anteriores podemos extrair uma regra interessante: para sabermos quantas palavras existem em um alfabeto de tamanho n, simplesmente elevamos n ao tamanho da palavra.

Exemplo slide 31: Num conjunto de 5 bolas numeradas temos 52 = 25 possibilidades de seleo de 2 bolas com reposio e considerando a ordenao, como podemos verificas abaixo:

Amostragem SEM reposio e COM ordenao (permutao)

Exemplo slide 32: Como exemplo, seja determinar o nmero de possibilidades de retirada de 2 bolas de um conjunto de 5, sem reposio e levando em conta a ordenao. Teremos os resultados:

A este tipo de contagem denominamos PERMUTAO de 2 objetos distintos em 5. Genericamente seu valor dado por

n(n 1)(n 2)...(n k +1)

Para o exemplo acima teremos: 5x4 = 20 possveis permutaes dos nmeros de 2 bolas retiradas em 5.

Exemplo slide 33: Vamos ver o que acontece se em n objetos selecionarmos sem reposio e com ordenao os n objetos. Basta fazer k = n na expresso anterior, o que leva a n!. Assim, com 5 bolas temos 5! = 120 possveis formas de selecionar 5 bolas, considerando a ordem e sem reposio.

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Multiplicando o numerador e o denominador da expresso anterior por (n k)! obtemos uma forma alternativa de clculo na amostragem sem reposio e com ordenao:

( )! !( 1)( 2)...( 1) ( 1)( 2)...( 1) ( )! ( )!n k n

n n n n k n n n n kn k n k

+ = + =

Exemplo 1.30 Yates: Quantas possibilidades existem na seleo de trs cartas de um baralho, sem reposio? Resposta: neste caso n = 52 e k = 3, num processo de amostragem sem reposio e com ordenao. Ento teremos n(n 1)(n 2)...(n k +1) = 52x51x50 = 132.600 possibilidades.

Frmula de Stirling: certas calculadoras e at softwares de matemtica tm sua limitao no clculo fatorial. Quando o argumento for muito elevado, a frmula de Stirling apresenta-se como uma tima aproximao. Ela dada por:

12! 2 n nn n epi +

Amostragem SEM reposio e SEM ordenao (combinao)

Exemplo slide 35: no exemplo das 5 bolas retirando-se 2, suponha que no nos importamos com a ordenao, ou seja, os resultados (2,3) e (3,2), por exemplo, so idnticos. Desta forma teremos as possibilidades:

O clculo destas possibilidades chamado de COMBINAO e realizado por meio do chamado coeficiente binomial:

!!( )!

n n

k k n k

=

Dizemos que estamos interessados no nmero de combinaes de k elementos em n elementos. Para o exemplo logo acima teremos: 5!/(2!3!) = 120/12 = 10.

Exemplo 1.31 Yates: Qual o nmero de diferentes mos de 5 cartas num jogo de poker? Resposta: 52!/(5!47!) = 2.598.960.

Na prxima aula veremos mais um exemplo de utilizao da amostragem sem reposio e sem ordenao no jogo da Mega-Sena. Em seguida finalizaremos o assunto referente aos mtodos de contagem e faremos alguns exerccios de fixao.

FIM DA AULA

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Aula n Data Tema Mtodos de contagem - 2

Contedo Continuao do estudo dos mtodos de contagem referentes a amostragem com e sem reposio, com e sem ordenao.

Objetivos Ao final da aula os alunos devero ser capazes de: utilizar a teoria dos mtodos de contagem para resolver problemas sobre probabilidade.

Exemplo: SenaM501 e Mega-Sena:

Suponha que voc esteja criando seu prprio jogo da SENA. Ele contm N nmeros e os sorteios so de K nmeros. Um jogador pode tentar a sorte apostando em J nmeros. Numa primeira verso do jogo, qual voc denominou SENA-M501, foi estipulado que N = 6, K = 2 e J = 2 ou 3. Pede-se ento:

a) Calcule C, o nmero possvel de combinaes de dois nmeros na SENA-M501. Liste as possveis combinaes.

615

2N

CK

= = =

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6)

b) Calcule P2 , a probabilidade de um jogador ganhar na SENA-M501 apostando em dois nmeros.

Se apostarmos em qualquer par de nmeros, poderemos observar que haver um evento favorvel contra 15 eventos possveis e, portanto, P2 = 1/15.

c) Calcule P3 , a probabilidade de um jogador ganhar na SENA-M501 apostando em trs nmeros.

Observamos abaixo que, por exemplo, se o jogador apostar nos nmeros 2, 3 e 5 ele ter 3 eventos favorveis sua premiao. Portanto P3 = 3/15 = 1/5.

Observando os nmeros apostados e as possibilidades de acertar no sorteio, percebemos que as trs possibilidades marcadas acima nada mais so do que o nmero de combinaes de 2 elementos em 3, ou seja

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3 3! 32 2!(3 2)!

= =

d) A partir dos resultados dos itens b e c determine a expresso de clculo de PJ , a probabilidade de um jogador ganhar em uma verso genrica da SENA-M501 que contenha N nmeros, sorteios de K nmeros e apostas de J nmeros.

Observando os resultados b e c, percebemos que na definio clssica de probabilidade o numerador,

correspondente ao nmero de eventos favorveis, ser JK

e o denominador, correspondente ao

nmero total de possibilidades, ser NK

. Ento, a probabilidade procurada ser: J

JK

PNK

=

e) Mostrar que n k n j nj k j k k

=

.

f) Sabendo que a MEGA-SENA real possui 60 nmeros e sorteios de 6 nmeros, calcule P6, P7, P8, P9 e P10, as probabilidades de um jogador ganhar apostando em 6, 7, 8, 9 e 10 nmeros. Para facilitar a interpretao dos resultados, faa um grfico com os valores encontrados.

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6 7

8 9 10

6 76 61.997E-8 , 1.398E-760 606 6

8 9 106 6 65.593E-7 , 1.678E-6 , 4.195E-660 60 606 6 6

J

JK

P P PNK

P P P

= = = = =

= = = = = =

No grfico ao lado a escala logartmica no eixo das probabilidades torna mais fcil a leitura dos valores envolvidos. Isto acontece em situaes em que os valores de probabilidade no seguem um comportamento linear, caso em que uma escala linear seria mais adequada.

Com o objetivo de se acostumar a este tipo de representao logartmica, muito utilizado em telecomunicaes, faa como exerccio a leitura dos valores de probabilidade da forma mais precisa que puder. Compare sua leitura com os valores exatos obtidos anteriormente.

Amostragem COM reposio e SEM ordenao

O nmero de modos diferentes de escolher k objetos de um conjunto de n objetos distintos com reposio e sem ordenao dado por:

Exemplo slide 35, porm com reposio: no exemplo das 5 bolas numeradas, suponha que retiramos uma bola da caixa aleatoriamente e, aps recoloc-la de volta, selecionamos a segunda bola. Qual o nmero de possibilidades de escolha das duas bolas, sem nos preocuparmos com a ordem em que elas so escolhidas?

As possibilidades sero:

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De onde conclumos que, de fato h

1 5 1 2 6 6! 720 15 possibilidades2 2 2!(6 2)! 48

n kk

+ + = = = = =

Podemos resolver tambm assim:

1 ( 1 )! 6! 15 possibilidades!( 1 )! 2!4!

n k n kk k n k k

+ += = =

+

Experimentos seqenciais e diagrama de rvore

Como complemento estude o item 1.8 da apostila, p. 16-19, objetivando entender como se aplica o diagrama em rvore na soluo de problemas com experimentos seqenciais. Refaa os exemplos 1.13 a 1.16 para certificar-se de que entendeu o que estudou.

O diagrama de rvore pode ser considerado como uma ferramenta para a soluo de problemas probabilsticos em que o experimento sob anlise consiste de uma seqncia de sub-experimentos. Nesta seqncia, um sub-experimento depende do resultado de sub-experimentos anteriores. A utilizao dessa ferramenta em M501 no obrigatria, podendo ser vista apenas como uma forma adicional que os alunos podero utilizar para resolver exerccios ou questes de provas.

FIM DA AULA

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Aula n Data Tema Exerccios de fixao Contedo Exerccios de fixao sobre probabilidade.

Objetivos Permitir que os alunos revisitem os conceitos tericos e conheam exemplos de aplicao destes conceitos na soluo de problemas.

1) Estabelecer a relao entre a PERMUTAO de k objetos em k, a COMBINAO de k objetos em n e o nmero de POSSVEIS k-uplas ORDENADAS DISTINTAS em n.

Como exemplo, seja os n elementos, n = 4: 1, 2, 3 e 4, com k = 2. As possveis combinaes so n

k

= 42

= 6:

1,2 1, 3, 1,4 2,3 2,4 3,4

Os possveis pares ordenados distintos so n(n 1)(n 2)...(n k + 1) = 4x3 = 12:

1,2 1,3, 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 4,1 4,2 4,3

O nmero de permutaes possveis com cada combinao k! = 2! = 2.

Por analogia verificamos ento que: n(n 1)(n 2)...(n k + 1) = nk

k!

2) Mostre que se P(A) = P(B) = 1, ento P(AB) = 1.

Percebemos que se P[A] = P[B] = 1, a nica possibilidade de fazer com que P(AB) seja um resultado vlido em termos de probabilidade ter P(AB) = 1. Neste caso, ento P(AB) = 1.

3) Mostre que P[Ac] = 1 P[A].

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4) Usando diagramas de Venn, faa um exemplo que mostre que P(AB) = P(A) + P(B) P(AB).

Seja o exemplo abaixo, onde S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, AB = {3} e AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Percebemos que P(AB) a probabilidade de ocorrncia dos elementos {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Nas probabilidades de ocorrncia dos elementos e A e dos elementos de B, o nmero 3 aparece duas vezes e, portanto, precisa ser eliminado da dupla contagem retirando-se a interseo entre A e B.

Vejamos os valores numricos: P[A] = 3/8, P[B] = 4/8, P[AB] = 6/8, P(AB) = 1/8. De fato P(AB) = P(A) + P(B) P(AB): 6/8 = 3/8 + 4/8 1/8.

5) Usando diagramas de Venn, faa um exemplo que mostre que P(AB) P(A) + P(B).

Utilizando os resultados do exerccio anterior conclumos que P(AB) = P(A) + P(B) se no houver interseo entre os eventos A e B. Por outro lado, P(AB) < P(A) + P(B) se existir alguma interseo. Portanto, com estas nicas possibilidades mostramos o que o exerccio pede, ou seja P(AB) P(A) + P(B).

6) Mostre que para eventos A, B e C quaisquer: P[ABC] = P[A] + P[B] + P[C] P[AB] P[AC] P[BC] + P[ABC].

OBS: repita o exerccio utilizando diagramas de Venn.

7) Um sistema de comunicao de microondas conecta os equipamentos de edio de uma emissora de rdio ao sistema de transmisso por meio de trs links, conforme ilustrado a seguir. Tais links podem falhar de forma independente com probabilidades P1, P2 e P3. Qual a probabilidade de falha no sistema de comunicao como um todo?

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Soluo por 1 P[sistema no falhar]

Soluo pela unio dos eventos individuais de falha

A probabilidade de falha em um sistema serial como este a probabilidade da UNIO dos eventos de falha. Vejamos: P[falha] = P[falha link1 falha link 2 falha link 3] = P1 + P2 + P3 P1P2 P2P3 P1P3 + P1P2P3.

8) Repita o exerccio 7 considerando que os links esto em paralelo. Da soluo deste exerccio voc tirar uma concluso muito til soluo de problemas deste tipo.

Agora o sistema falhar se todos os links falharem ao mesmo tempo. Portanto estamos interessados na probabilidade conjunta de falha dos links. Como os eventos de falha so independentes, P[falha] = P[falha link 1 falha link 2 falha link 3] = P[falha link1, falha link 2, falha link 3] = P1P2P3.

Assim, conclumos: sistemas em paralelo tm probabilidade de falha igual INTERSEO dos eventos de falha (probabilidade conjunta). Sistemas e srie tm probabilidade de falha igual UNIO dos eventos de falha. Sistemas combinados tm probabilidades de falha calculadas pela combinao destes eventos de falha.

Outros exerccios para casa

9) Se retirarmos, de uma nica vez, 3 bolas de uma caixa com 10 bolas numeradas, qual a probabilidade de retirarmos o conjunto de bolas (1, 2, 3), nesta ordem?

10) Se retirarmos, de uma nica vez, 3 bolas de uma caixa com 10 bolas numeradas, qual a probabilidade de retirarmos o conjunto de bolas (1, 2, 3), em qualquer ordem?

11) Num sorteio, 60 bolas numeradas de 1 a 60 so misturadas em uma gaiola rotativa e depois, uma a uma, so retiradas. Qual a probabilidade de se retirar os nmeros 1, 33, 27, 45, 46 e 59 nas primeiras 6 retiradas?

12) Num sorteio, 60 bolas numeradas de 1 a 60 so misturadas em uma gaiola rotativa e depois, uma a uma, so retiradas. Qual a probabilidade de se acertar 6 nmeros em 6 retiradas, apostando 7 nmeros?

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13) Associar a coluna da esquerda coluna da direita, apresentando os clculos pertinentes aos trs casos listados na coluna da direita.

(A) 720 (B) 56 (C) 7.776 (D) 3.628.800 (E) 120 (F) 10 (G) 30 (H) 40.320

( ) o nmero de possveis resultados de uma corrida com 10 competidores, listando-se apenas as trs primeiras posies (pdio de 3 lugares).

( ) o nmero de diferentes palavras de 8 bits que pode ser formado a partir de 5 uns e 3 zeros.

( ) o nmero de resultados diferentes que podem ser obtidos lanando-se 5 dados de uma vez e observando a soma do nmero de pontos de cada lance.

FIM DA AULA

22

Aula n Data Tema Variveis aleatrias - 1 Contedo Introduo s variveis aleatrias.

Objetivos Ao final da aula os alunos devero ser capazes de: 1) definir corretamente o conceito de varivel aleatria (v.a.). 2) realizar clculos de probabilidade por meio da Funo de Distribuio Cumulativa (FDC).

Varivel aleatria definio simplificada

Uma varivel aleatria (v.a.) nada mais do que o mapeamento dos resultados aleatrios de um experimento em nmeros que vo ser, por conseqncia, aleatrios. Como exemplo, seja o experimento de se lanar uma moeda 2 vezes consecutivas e seja o evento correspondente contagem do nmero de caras observado. Podemos ento definir uma varivel aleatria X que corresponda a este evento. A varivel aleatria X ter aqui os seguintes valores {0, 1 e 2}.

Eventos equivalentes

Quando calculamos probabilidades a partir de representaes com diagramas de Venn obtemos resultados idnticos queles obtidos por meio das variveis aleatrias correspondentes. Por exemplo, o conjunto referente ocorrncia de cara em dois lances consecutivos no exemplo anterior tem associao equivalente ocorrncia do valor 2 da varivel aleatria X definida.

Funo de Distribuio Cumulativa (FDC)

Num primeiro momento, vamos nos contentar apenas com a definio matemtica da FDC, que :

onde a letra F (sempre maiscula) indica que estamos nos referindo a uma FDC; o sobrescrito X (sempre maisculo) est associado varivel aleatria a que a FDC se refere; x (sempre minsculo) significa um valor especfico para a varivel aleatria e P[X x] a probabilidade da varivel aleatria X assumir um valor menor ou igual a x.

Exemplo: Vamos determinar a FDC da v.a. X, sendo X o nmero de caras (C) em trs arremessos de uma moeda ideal, ou seja, X assume apenas os valores 0, 1, 2 e 3. Para uma moeda justa, as probabilidades para cada resultado so 1/8, 3/8, 3/8 e 1/8, respectivamente, valores estes obtidos por meio da definio clssica de probabilidade, seja operando no espao amostral de caras e coroas ou com os valores da varivel aleatria. Por exemplo, 3/8 a probabilidade de ocorrncia de duas caras: este valor pode ser obtido dividindo-se o nmero de eventos favorveis apario de duas caras (3) pelo nmero total de possibilidades (8) ou dividindo-se o nmero de eventos favorveis apario do valor 2 da v.a. (3) pelo nmero total de possibilidades (8).

23

FX(x) simplesmente a soma das probabilidades de ocorrncia dos resultados que so menores ou iguais a x, ou seja: P[X 0] = 1/8, P[X 1] = 1/8 + 3/8 = 1/2, P[X 2] = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8 e P[X 3] = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1. Como resultado temos a FDC ilustrada a seguir:

Propriedades da FDC

1)(0 xFX

Estes so os possveis valores para a FDC

0)(lim =

xFXx

A FDC comea sempre em zero, no importa o quanto esquerda do grfico.

1)(lim =

xFXx

A FDC termina sempre em um, no importa o quanto direita do grfico.

A FDC uma funo no decrescente de x, isto , se a < b, ento FX(a) FX(b). Em outras palavras, se a < b o valor da FDC no ponto a ser sempre menor ou igual ao valor da FDC no ponto b.

[ ] ( ) ( )X XP a X b F b F a< =

Podemos utilizar esta propriedade para calcular probabilidades. Por exemplo, na FDC abaixo seja calcular a probabilidade da v.a. X assumir os valores entre 2 e 3, ou seja, queremos calcular P[2 X 3] = FX(3) FX(2) = 0,9 0,5 = 0,4.

24

Se a FDC contnua em um ponto b, ento o evento {X = b} tem probabilidade nula. Isto significa que a probabilidade de ocorrncia de um valor especfico de uma v.a. que tem FDC contnua nula. No exemplo logo acima, se fizermos o ponto da esquerda, a, se aproximar cada vez mais do ponto 3, teremos FX(3) FX(a) cada vez menor. No limite, quando estivermos a um valor infinitesimal distante do ponto 3, FX(3) FX(a) ser P[X = 3] = 0.

[ ] ( ) ( )X XP a X b F b F a =

Esta propriedade, de aplicao bastante til, diz que a probabilidade da v.a. X assumir valores entre a e b determinada pela subtrao do valor da FDC no ponto b do valor da FDC imediatamente esquerda de a.

Para o exemplo anterior, P[2 X 3] = FX(3) FX(2) = 0,9 0,5 = 0,4. No caso do jogo das moedas, suponha que quisssemos a probabilidade de X assumir o valor 2. Ento teramos: P[X = 2] = P[2] P[2] = 7/8 1/2 = 3/8.

Se a FDC contnua, [ ] [ ] [ ] [ ]P a X b P a X b P a X b P a X b< < = < = < = . Isto significa que incluir ou no os valores especficos de a e b no clculo de probabilidades no altera o resultado. Podemos tambm interpretar esta propriedade lembrando que a probabilidade de ocorrncia de um valor especfico de uma v.a. cuja FDC contnua nula e, portanto, incluir ou no este valor nulo no clculo torna-se indiferente.

Exerccio para casa

Para a FDC abaixo, pede-se: a) Recalcular [| 1 | 1/ 2] 1 [1/ 2 3/ 2] 1 [ (3/ 2) (1/ 2)] 7 /16X XP x P X F F > = = = . b) Calcular P[X = 1,5].

Tipos de variveis aleatrias

Os tipos de v.a. esto associados s possibilidades para os valores da v.a.. Por exemplo, numa transmisso de dados, a varivel aleatria pode ser a ocorrncia dos bits zeros e uns. Portanto, e obviamente, os valores desta v.a. so discretos e iguais a 0 ou 1. Por conseqncia, a correspondente FDC ser tambm discreta:

25

Uma varivel aleatria contnua pode assumir quaisquer valores dentre os nmeros reais na faixa em que tal v.a. existe. Por exemplo, suponha que a vazo mxima no cano da COPASA que alimenta sua residncia com gua seja de 1 m3/hora e a mnima seja de 0. Em um determinado momento, a vazo poder ter qualquer valor real entre 0 e 1 m3/hora, como ilustrado pela FDC da v.a. em questo:

Uma varivel aleatria mista, como o nomesugere, pode assumir valores discretos e contnuos. Sua FDC , portanto, composta de partes discretas e de partes contnuas, conforme ilustrao a seguir:

Na prxima aula iniciaremos com o estudo da funo densidade de probabilidade (FDP), a qual possui associao direta com a FDC. Em seguida estudaremos vrios tipos de variveis aleatrias discretas e contnuas.

FIM DA AULA

26

Aula n Data Tema Variveis aleatrias - 2

Contedo Funo densidade de probabilidade para v.a. contnuas e discretas. Densidades condicionais.

Objetivos Continuao do estudo de variveis aleatrias: Funo densidade de probabilidade para variveis aleatrias discretas e contnuas. Densidades condicionais. Histograma.

Funo massa de probabilidade (FMP)

A funo massa de probabilidade simplesmente representa em um grfico as probabilidades de ocorrncia de cada um dos valores de uma v.a. discreta. Como exemplo, seja uma v.a. que pode assumir os valores {0, 1, 2, 3} com probabilidades 0.3, 0.2, 0.4 e 0.1, respectivamente. Teremos a seguinte FMP e correspondente FDC:

Matematicamente: pX(xk) = P[X = xk]

Funo densidade de probabilidade (FDP)

Para entendermos o conceito de FDP, vamos analisar um exemplo: suponha que coletamos a estatura de 100 alunos do Inatel, obtendo os mais variados valores. Suponha que, dentro da faixa de valores encontrados, criamos 7 sub-faixas (ou classes) e contamos quantos alunos tm estatura dentro daquela sub-faixa. Um possvel resultado seria:

27

Com este exemplo acabamos aprendendo o conceito de HISTOGRAMA, ou seja, a figura acima o histograma que mostra a distribuio da estatura dos alunos consultados.

Se, no limite, fizermos cada sub-faixa ter uma largura tendendo a zero, teremos como resultado uma funo contnua que mostrar, mais uma vez, como as estaturas dos alunos consultados se distribui. A esta funo contnua damos o nome de funo densidade de probabilidade. Para o exemplo, teremos:

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.90

1

2

3

4

Valores de X

Freq

ncia

re

lativ

a

A relao entra uma funo densidade de probabilidade e uma funo de distribuio cumulativa dada por:

( )( ) XXdF xf x

dx=

ou seja, determinamos a FDP de uma v.a. por meio da derivada da funo de distribuio cumulativa. Portanto, a FDC determinada pela integral da FDP.

Funo densidade de probabilidade (FDP) para v.a. discretas

A FDP de uma v.a. discreta determinada simplesmente substituindo os traos da FMP por funes impulso, conforme ilustrado a seguir. O uso de representaes diferentes de um impulso, na figura, no corresponde a um erro.

Matematicamente, ( ) ( ) ( )X X k kk

p x p x x x=

28

Funo densidade de probabilidade (FDP) para v.a. contnuas

Aproveitando a definio de FDP dada anteriormente, definimos a FDP de uma varivel aleatria contnua por meio de uma funo contnua de rea unitria. A FDP representa a densidade de probabilidade no ponto x no seguinte sentido: a probabilidade de X estar em um intervalo pequeno na vizinhana de x:

Na definio de histograma, vimos um exemplo referente estatura de um grupo de alunos do Inatel. Vimos, naquele exemplo, que fazendo as sub-faixas tenderem a zero teramos como resultado uma funo contnua. Se normalizarmos esta funo resultante de forma que tenha rea unitria, o resultado ser uma forma aproximada da FDP da estatura dos alunos do Inatel.

Propriedades de uma PDF

Para v.a. contnuas temos as seguintes propriedades:

A primeira propriedade diz que uma FDP no pode ter valores negativos, o que implicaria em valores negativos de probabilidade.

A segunda propriedade permite que calculemos probabilidades a partir de uma FDP. Por exemplo, a probabilidade da v.a. X estar entre os valores a e b, denotada por [ ]P a X b , calculada pela integral da FDP entre os pontos a e b.

A terceira propriedade apenas repete o que j estudamos, ou seja, a FDC a integral da FDP e a FDP a derivada da FDC.

29

A ltima propriedade uma condio para que possamos calcular probabilidades a partir do clculo de rea sob a FDP. Como exemplo, suponha que uma v.a. X tenha valores somente entre 1,4 e 2. Portanto, a probabilidade de X estar entre 1,4 e 2 ser a rea da FDP correspondente entre os pontos 1,4 e 2. Este valor dever ser, obviamente, igual a 1.

Para v.a. discretas temos as seguintes propriedades:

A primeira propriedade diz que uma FDP no pode ter valores negativos, o que implicaria em valores negativos de probabilidade.

A segunda propriedade permite que calculemos probabilidades a partir de uma FDP. Por exemplo, a probabilidade da v.a. X assumir os valores 1, 2 e 7 dada pela soma das probabilidades de ocorrncia dos valores 1, 2 e 7, lidas diretamente no eixo vertical da FDP.

A terceira propriedade apenas repete o que j estudamos, ou seja, a FDC a integral da FDP, agora na verso discreta em que a integral se torna um somatrio. Assim, para determinarmos a FDC a partir da FDP, basta ir acumulando os valores de probabilidade a cada valor da v.a. discreta. Para determinarmos a FDP a partir da FDC, basta plotar no eixo horizontal, em cada valor da v.a., um impulso cuja amplitude igual ao correspondente salto da FDC.

A ltima propriedade uma condio para que possamos calcular probabilidades a partir do clculo de rea sob a FDP. Como exemplo, suponha que uma v.a. X tenha valores somente entre 1,4 e 2. Portanto, a probabilidade de X estar entre 1,4 e 2 ser a rea da FDP correspondente entre os pontos 1,4 e 2. Este valor dever ser, obviamente, igual a 1.

Densidades condicionais

Densidades condicionais so aquelas que nos permitem obter informaes probabilsticas sobre uma v.a. com um conhecimento adicional sobre o experimento correspondente. Por exemplo, ao fazermos apostas em um hipdromo, se sabemos que um determinado cavalo est machucado ou doente, mesmo sendo um campeo, diminumos nossa confiana em apostar nele.

A funo de distribuio condicional de uma v.a. X, dado o conhecimento do evento B definida por:

[ , ]( | ) [ | ] [ ]XP X x BF x B P X x B

P B

= =

30

Determina-se a funo densidade de probabilidade de uma v.a. contnua da mesma forma que definimos anteriormente, ou seja, pela derivada da FDC:

( | ) ( | )X Xdf x B F x Bdx=

Para uma v.a. discreta, a FMP condicional dada por:

[ , ]( | ) [ | ] [ ]k

X k kP X x Bp x B P X x B

P B=

= = =

Exemplo: o tempo de vida X de uma mquina tem distribuio exponencial. Vamos determinar a FDC e a FDP condicionadas ao evento A = {X > t}, ou seja, a mquina ainda se encontra em funcionamento no instante t:

[ ]{ } { }( | ) [ | ] [ ]XP X x X t

F x X t P X x X tP X t >

> = > =>

Por meio da figura a seguir percebemos que os eventos no numerador acima no tm interseo quando x t e tm interseo quando x > t em t < X x.

Ento teremos a FDC condicional:

0,( | ) ( ) ( )

,

1 ( )X X X

X

x t

F x X t F x F tx t

F t

> = >

Diferenciando a FDC em relao a x obtemos a FDP condicional:

( )( | ) ,1 ( )

XX

X

f xf x X t x tF t

> =

Exerccio para casa: usando o resultado do exemplo anterior, determine a estimativa do tempo de vida da mquina estar entre 2,5 a 3 unidades de tempo, conhecendo-se ou no conhecendo-se o dado adicional: a mquina est em funcionamento em t = 2.

Conceito de histograma estudo dirigido

Faa uma pesquisa sobre o conceito de HISTOGRAMA em livros e/ou pginas da Internet sobre estatstica. Como sugesto, tente resolver a questo por meio da enciclopdia Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Histogram. Faa um resumo sobre o assunto, contendo ao menos um

31

exemplo da utilizao de histogramas em anlises estatsticas. Estabelea a relao entre um histograma e uma funo densidade de probabilidade em termos de seu formato e da sua normalizao para probabilidade total unitria (rea unitria).

Histograma FDP

Suponha que temos um conjunto de 100 valores de uma varivel aleatria discreta e queremos, a partir deste conjunto, determinar a FMP da v.a. em questo. Contando o nmero de ocorrncias de cada valor e construindo o correspondente histograma obtivemos o resultado:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

Valores de X

Freq

nci

a de

oco

rrn

cia

Utilizando o conceito de probabilidade por freqncia relativa, podemos calcular a probabilidade de ocorrncia de cada valor dividindo o nmero de ocorrncias de um valor pelo nmero total de valores, o que nos levaria a:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

Valores de X

Proba

bilid

ade

Entretanto, pelo fato de termos utilizado um nmero muito pequeno de amostras, as probabilidades estimadas podem ter valores bastante incorretos. Vejamos o que acontece se aumentarmos o nmero de valores disponveis para 10.000. Com este valor as estimativas de probabilidade por freqncia relativa se tornaro bastante precisas e, por conseqncia, a FMP estimada ser tambm bastante precisa, conforme ilustrado a seguir:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2000

4000

6000

Valores de X

Freq

nci

a de

oco

rrn

cia

32

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

Valores de X

Proba

bilid

ade

Para uma varivel aleatria contnua, a regra que pode ser extrada do exemplo anterior tambm vlida: quanto maior o nmero de valores da v.a. considerados na construo do histograma, mais este histograma se assemelhar FDP da v.a. em questo. No devemos nos esquecer, no entanto, que a aproximao do histograma da FDP se dar com as medidas adicionais: largura das sub-faixas (ou classes) to pequenas quanto possvel e normalizao do histograma para que tenha rea unitria.

A seguir temos o histograma de uma v.a. contnua, construdo a partir de 100 amostras desta v.a..

35 40 45 50 55 60 650

5

10

15

20

25

Valores de X

Freq

n

cia

de o

corr

nci

a

Veja agora o histograma construdo com 10.000 amostras da v.a. contnua, normalizado para rea unitria e com classes bem estreitas. Observe a grande semelhana com a FDP real da v.a. em questo.

FIM DA AULA

33

Aula n Data Tema Variveis aleatrias - 3

Contedo Continuao do estudo de variveis aleatrias: Variveis aleatrias discretas mais comuns; Variveis aleatrias contnuas mais comuns.

Objetivos Ao final da aula os alunos devero ser capazes de: 1) realizar clculos de probabilidade envolvendo as variveis aleatrias discretas e contnuas estudadas.

Varivel aleatria discreta de Bernoulli

utilizada para modelar qualquer fenmeno aleatrio que possa ser descrito como tendo dois estados. Por exemplo: ligado/desligado, aceso/apagado, cara/coroa, bit0/bit1, etc... Adicionalmente, uma v.a. de Bernoulli pode modelar qualquer fenmeno aleatrio ao qual se possa associar a um evento de interesse A uma probabilidade de ocorrncia p = P[A], a partir de uma funo indicadora IA que assume o valor 1 sempre que o evento de interesse ocorrer e 0 quando no ocorrer. Por exemplo, suponha que associamos o valor 1 ocorrncia de uma descarga eltrica dentro do Campus do Inatel e 0 fora do Campus. Se p a probabilidade de um raio atingir o Campus, o evento em questo pode ser modelado por uma v.a. de Bernoulli com probabilidade de sucesso p.

Abaixo temos a FMP para esta varivel.

Varivel aleatria discreta Binomial

Esta varivel est associada ao nmero de sucessos em n testes de Bernoulli. Por exemplo, suponha que a probabilidade de uma lmpada queimar p. Portanto, para este experimento, sucesso significa a lmpada queimar. Num conjunto de n lmpadas, a probabilidade de x lmpadas queimarem dada pela distribuio Binomial.

A FMP para uma v.a. Binomial dada a seguir.

34

Num outro exemplo, suponha que queremos calcular a probabilidade de termos mais de 5 bits errados em um bloco de n bits, num sistema de comunicao em que o canal causa erros de bit com uma probabilidade p. Neste caso, o sucesso no teste de Bernoulli corresponde a um erro de bit. Ento, a probabilidade de termos 5 ou mais erros em n bits ser calculada por:

P[X 5] = 1 P[X < 5] = 4

01 (1 )x n x

x

np p

x

=

.

Varivel aleatria discreta de Poisson

Uma v.a. de Poisson modela fenmenos aleatrios em um intervalo de observao. Por exemplo, a taxa de solicitaes de chamadas telefnicas encaminhadas a uma central de comutao de solicitaes por segundo. Em um determinado intervalo de observao T, o nmero de solicitaes segue uma distribuio de Poisson. Nesta distribuio = T o nmero mdio de ocorrncias do evento no intervalo considerado.

Num outro exemplo, o nmero de clientes que chegam a uma fila de espera em um Banco durante um determinado intervalo de observao T segue uma distribuio de Poisson, onde = T o nmero mdio de clientes que chegam ao banco neste intervalo e a taxa de chegada dos clientes (clientes/segundo).

Aproximao de Poisson para a distribuio Binomial

Quando n grande os clculos envolvendo a distribuio Binomial apresentam um complicador que o clculo fatorial presente no coeficiente binomial. Nestes casos, adicionalmente quando p tem valor pequeno, a distribuio de Poisson aproxima-se da distribuio Binomial, ou seja:

( )( ) 1 ,!

xn xx

X

np x p p e np

x x

= =

Como exemplo, suponha que queremos calcular a probabilidade de um bloco de 1.000 bits ter 5 ou mais bits em erro, num sistema de comunicao em que a probabilidade de erro de bit de 1103. Neste exemplo o sucesso no teste de Bernoulli, que corresponde probabilidade p = 1103 est associado ao erro em um bit. Aqui, se tentarmos aplicar diretamente a distribuio Binomial, que modela eventos como o descrito, teremos problema para calcular o valor do coeficiente binomial por causa do valor de n = 1.000. Como p tem valor pequeno,podemos usar a aproximao de Binomial para Poisson, com = np = 1.00010-3.

35

Varivel aleatria discreta Geomtrica

Usamos esta distribuio sempre que queremos modelar um experimento no qual estamos interessados em contar o nmero de insucessos antes que o primeiro sucesso ocorra. Por exemplo, suponha que queremos determinar X, o nmero necessrio de lances de um dado antes que o nmero 3 (3 pontos) aparece pela primeira vez. A varivel aleatria X tem distribuio Geomtrica.

Esta varivel dita SEM MEMRIA. Para ilustrar este conceito, no exemplo do dado se ainda no ocorreu um sucesso aps lanar-se o dado um determinado nmero de vezes, o nmero de insucessos adicionais at a ocorrncia do primeiro sucesso continua tendo uma distribuio Geomtrica. Por exemplo, se aps lanarmos o dado 5 vezes no observamos a ocorrncia de um sucesso (3 pontos, para o caso), a probabilidade de aparecer 3 pontos aps mais 3 lances continua sendo calculada por pX(x) para x = 3.

Varivel aleatria contnua Uniforme

Uma v.a. contnua tem distribuio Uniforme quando as probabilidades de ocorrncia da v.a esto uniformemente distribudas dentro da faixa de valores onde ela existe. Por exemplo, na FDP abaixo, se calcularmos a probabilidade da v.a. assumir valores entre a e a + , encontraremos o mesmo valor que entre b e b .

Como exemplo, quando amostras de um sinal de udio so quantizadas, gera-se um erro entre a amostra quantizada e o valor real da amostra do sinal. Este erro tem distribuio Uniforme de q/2 a +q/2, onde q o passo de quantizao (distncia entre um nvel de quantizao e seus vizinhos mais prximos).

Num outro exemplo, quando transmitimos um sinal num canal de comunicao mvel sem fio, como acontece em sistemas celulares, a fase do sinal recebido aleatria com distribuio Uniforme entre pi

36

e pi, ou seja, o sinal recebido pode assumir qualquer valor de fase dentro destes limites, com a mesma probabilidade.

Varivel aleatria contnua Exponencial

Utilizamos uma distribuio Exponencial para modelar eventos que, com o passar do tempo, tm menor probabilidade de ocorrncia. Por exemplo, a durao de uma chamada telefnica uma v.a. com distribuio exponencial, pois a probabilidade de uma chamada durar menos tempo maior que a probabilidade de durar mais tempo.

A v.a. exponencial tambm utilizada para modelar o tempo de vida de algumas mquinas e equipamentos. Neste caso, quanto mais o tempo passar, menor a probabilidade de ocorrncia de falha. Assim, um automvel, por exemplo, tem mais chance de apresentar defeito nos primeiros dois meses de uso do que nos dois meses seguintes ao primeiro ano de uso. Obviamente este modelo se aplica ao intervalo de tempo antes que falhas comeam a aparecer por envelhecimento ou desgaste de peas.

Como vimos anteriormente, o nmero de chegadas de clientes em uma fila tem distribuio de Poisson. Neste caso, o intervalo entre as chegadas tem distribuio Exponencial, ou seja, mais provvel que os intervalos entre chegadas consecutivas sejam menores; intervalos elevados entre chegadas consecutivas so mais raros.

A seguir tem-se a FDP para a varivel aleatria Exponencial.

Varivel aleatria contnua Gaussiana

A distribuio Gaussiana tem uso muito freqente em vrias reas do conhecimento. Por exemplo, ela caracteriza grande parte dos fenmenos aleatrios naturais e o rudo trmico em sistemas de telecomunicaes. Adicionalmente, sob uma grande faixa de condies a varivel aleatria Gaussiana pode ser usada para aproximar a distribuio da soma de um grande nmero de variveis aleatrias independentes com distribuio qualquer.

A seguir tem-se a FDP para a varivel aleatria Gaussiana, onde podemos notar a presena dos parmetros (mdia) e (desvio padro). A mdia, ou valor mais provvel, corresponde posio central da PDF. O desvio padro est associado disperso da FDP, ou seja, quanto maior o valor de , mais dispersos os valores da v.a. em questo estaro em relao sua mdia.

37

Clculo numrico de rea de uma Gaussiana via funo erfc(x) ou Q(x)

Quando os problemas sobre probabilidade envolvendo uma v.a. Gaussiana demandam clculos de rea da FDP, nos deparamos com um obstculo: o clculo da rea sob a cauda de uma Gaussiana no tem soluo analtica exata. Nestes casos utilizamos as funes erfc(x) e Q(x) cujo objetivo permitir um clculo numrico dessa rea. Tais funes so definidas por meio das expresses:

22( ) expx

erfc x u dupi

= 21( ) exp

22 xuQ x du

pi

=

Estas funes se relacionam por meio de:

( )( ) 2 2erfc x Q x= 1( ) 2 2xQ x erfc = .

Muitos softwares de clculo e at calculadoras mais modernas contm ao menos uma dessas funes embutidas. Ainda assim, muitas referncias contm tabelas de valores destas funes para uma grande faixa de argumentos. Como alternativa, a expresso a seguir corresponde expanso da funo erfc(x) em uma srie. Para 50 ou mais termos no somatrio, o valor obtido com a srie se aproxima bastante do valor exato da funo. Verifique esta afirmao como exerccio.

A funo Q(x) possui algumas aproximaes, conforme ilustrado na figura a seguir, onde se pode identificar claramente em que faixa de valores do argumento tais aproximaes so mais ou menos precisas.

38

Na apostila define-se ainda a funo

21( ) exp22

xu

x dupi

=

,

para a qual se apresenta uma tabela de valores no Apndice F desta apostila.

Portanto, observando a definio da funo Q(x) dada anteriormente, facilmente chegamos relao:

( ) 1 ( )x Q x =

Ento, para uma v.a. Gaussiana de mdia e desvio padro , a FDC pode ser calculada por meio de:

( ) 1Xx xF x Q

= =

FIM DA AULA

39

Aula n Data Tema Variveis aleatrias - 4 Contedo Variveis aleatrias mltiplas. Funes e transformaes de variveis aleatrias.

Objetivos Ao final da aula os alunos devero ser capazes de: 1) realizar clculos de probabilidade envolvendo variveis aleatrias mltiplas, funes de variveis aleatrias e transformaes de variveis aleatrias.

Variveis aleatrias mltiplas

Variveis aleatrias mltiplas surgem em problemas nos quais estamos interessados no evento combinado de dois ou mais experimentos ou no evento combinado referente repetio de um mesmo experimento.

Como exemplo, quando analisamos o lance de um dado definimos uma nica varivel aleatria. Se lanarmos dois dados ou repetirmos o lance de um nico dado, criaremos duas variveis aleatrias sobre as quais poderemos extrair informaes probabilsticas.

A funo de distribuio cumulativa conjunta para duas v.a. contnuas definida por:

Atravs desta funo conseguimos obter probabilidades associadas ocorrncia conjunta das variveis em questo.

Independncia de variveis aleatrias

Se as variveis aleatrias em questo so independentes, encontramos a FDC ou a FDP conjuntas pela multiplicao das FDCs ou FDPs de cada uma das v.a. envolvidas, ou seja:

Como exemplo, sejam duas variveis aleatrias Gaussianas X e Y, independentes e de mesmo desvio padro. A FDP conjunta ser dada pelo produto das correspondentes FDPs. O resultado ser:

2 2

2 2

2 2

2 2

( , ) ( ) ( )1 ( ) 1 ( )

exp exp2 22 2

1 ( ) ( )exp

2 2

XY X Y

X Y

X Y

f x y f x f yx y

x y

pi pi

pi

=

=

+ =

40

Se esboarmos esta funo teremos como resultado a curva a seguir:

Assim como qualquer FDP, a integral em todas as variveis deve ter valor unitrio:

Obtendo densidades marginais a partir de densidades conjuntas

A partir do conhecimento de densidades conjuntas, podemos determinar a FDC ou a FDP de cada uma das v.a. envolvidas. Nestes casos as FDPs ou FDCs obtidas so denominadas de densidades marginais. Para v.a. contnuas, encontramos a FDP de uma das variveis integrando a FDP conjunta na outra varivel:

Para variveis aleatrias discretas, encontramos a FMP (ou FDP) de uma das variveis somando todas as probabilidades referentes outra varivel, ou seja:

( ) ( , )X i XY i jj

f x f x y

=

= ( ) ( , )Y i XY i ji

f y f x y

=

=

Transformao de FPDs

A transformao de FDPs uma ferramenta bastante til para que tenhamos condies de conhecer a FDP simples (unidimensional) ou conjunta (multidimensional) de variveis aleatrias que foram geradas pela modificao de outras variveis aleatrias.

Embora haja ferramentas que permitem a transformao de FDPs conjuntas com qualquer nmero de variveis aleatrias, veremos apenas os casos particulares nos quais: a) um valor de uma das variveis

41

corresponde a um nico valor da outra e b) um par de valores de uma das variveis conjuntas corresponde a um nico par de valores da outra.

Transformao de FPDs de primeira ordem

Sejam X e Y duas v.a. relacionadas por meio de Y = g(X), onde g(X) qualquer funo que mapeia um valor da v.a. X em um nico valor da v.a. Y. Encontramos a FDP de Y utilizando a expresso:

onde |g(X)| o mdulo da derivada de g(X) e g1(y) a funo inversa de y, ou seja, simplesmente a funo g(X) reescrita de tal forma que a varivel x fique isolada. Por exemplo, se y = g(x) = ax + b, g1(y) = x = (y b)/a.

Transformao de FDPs de segunda ordem

Quando o problema de transformao envolve duas variveis aleatrias, respeitada a condio acima, ou seja, um par de valores das variveis U e V tm somente um par de valores correspondentes das variveis X e Y, e vice-versa, utilizamos as expresses a seguir:

onde J( . ) denominado Jacobiano da transformao e dado pelo determinante:

Apenas para relembrar, o determinante de uma matriz 2 2 calculado da seguinte maneira:

a bad bc

c d=

FIM DA AULA

42

Aula n Data Tema Exerccios de fixao Contedo Exerccios de fixao sobre variveis aleatrias.

Objetivos Permitir que os alunos revisitem os conceitos tericos e conheam exemplos de aplicao destes conceitos na soluo de problemas.

1) O tempo de espera, X, para transmisso em um sistema de comunicao varia segundo um comportamento exponencial parametrizado por , isto P[X > x] = e-x , x > 0. Encontre a FDC de X. Encontre P[T < X 2T] para T = 1/.

Soluo no slide 14

2) O tempo de espera X de um usurio em um sistema de filas zero se ele encontra o sistema livre e exponencialmente distribudo se ele encontra o sistema ocupado. As probabilidades de ele encontrar o sistema livre ou ocupado so p e (1 p), respectivamente. Encontre a FDC de X.

Soluo no Slide 16

3) Um sistema de comunicao transmite informao binria atravs de um canal que introduz erros aleatoriamente distribudos com probabilidade e = 103. O transmissor transmite cada bit de informao trs vezes (cdigo de repetio) e o receptor decide sobre o bit transmitido com base em uma lgica majoritria. Qual seria a probabilidade do receptor errar a deciso?

Soluo no Slide 24

4) As solicitaes de chamadas em ligaes telefnicas chegam central de comutao numa taxa de solicitaes por segundo. Sabendo que o nmero de solicitaes em um determinado intervalo uma varivel de Poisson, encontre a probabilidade de no haver solicitaes de chamadas em um intervalo de t segundos. Encontre tambm a probabilidade de haver n ou mais solicitaes nesse intervalo.

Soluo no Slide 27

5) O nmero de acessos a uma pgina da Internet em qualquer intervalo de observao uma v.a. de Poisson. Suponha que a pgina do Inatel recebe em mdia 2 acessos por segundo. Pede-se: a) Qual a probabilidade de no haver nenhum acesso no intervalo de 0,25 segundos? b) Qual a probabilidade de haver no mais que 2 acessos no intervalo de 1 segundo?

Soluo a Seja N(T) o nmero de acessos em T segundos. Para T = 0,25 s , = T = 2 acessos/segundo 0,25 segundo = 0,5 acessos. P[N(0,25) = 0] =

00,50,5(0) 0,607

0!Xp e= =

Soluo b Para T = 1 s , = T = 2 acessos/segundo 1 segundo = 2 acessos. P[N(1) 2] =

0 1 222 2 2

0

2 2 2( ) 0,6770! 1! 2!Xx

p x e e e =

= + + =

43

6) Usando a aproximao da distribuio Binomial com a distribuio de Poisson, resolva: a probabilidade de erro de bit em um sistema de comunicao de 103. Encontre a probabilidade de um bloco de 1.000 bits ter 5 ou mais bits em erro.

Soluo

Neste caso temos um tpico exemplo onde a distribuio Binomial parece ser aplicvel, pois queremos encontrar a probabilidade de ocorrncia de um determinado nmero de sucessos (erros de bit), x, em um nmero n de eventos de Bernoulli. Entretanto, no clculo com a distribuio Binomial h o coeficiente binomial que requer que n! seja determinado. Neste exerccio, como n = 1.000, o clculo exato seria impraticvel. Em situaes como esta podemos aproximar a distribuio Binomial pela distribuio de Poisson, quando, adicionalmente, p tem valor pequeno.

Para calcularmos P[X 5] torna-se mais fcil calcular 1 P[X < 5]:

O parmetro , neste caso, o nmero mdio de bits em erro em um bloco de 1.000 bits. Portanto, = np = 1.000103 = 1. Ento,

7) O tempo de vida X de uma mquina tem distribuio exponencial. Determine a FDC e a FDP condicionadas ao evento A = {X > t}, ou seja, a mquina ainda se encontra em funcionamento no instante t.

Soluo parcial no Slide 44. Dica para encontrar o intervalo de interseo: ver notas da aula 17. Para a soluo deste problema precisamos lembrar, do Captulo 1, que: P[A|B] = P[A,B]/P[B] = P[AB]/P[B]. Assim podemos escrever:

[ ] [ ]{ },{ } { } { }( | ) [ | ] [ ] [ ]XP X x X t P X x X t

F x X t P X x X tP X t P X t > >

> = > = => >

Para determinarmos a interseo contida na expresso acima vamos utilizar a figura a seguir, de onde percebemos que no haver interseo enquanto x t. Ento, [ ]{ } { }P X x X t > = 0 para x t. Para x > t temos que calcular P[t < X < x] = FX(x) FX(t). Ento teremos:

0,( | ) ( ) ( )

,

1 ( )X X X

X

x t

F x X t F x F tx t

F t

> = >

44

Finalmente, derivando a FDC encontraremos a FDP de X:

( )1 ( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) 1 ( )

XX X X X

X X

d d f xf x F x F x F tdx F t dx F t

= = =

para x > t e fX(x) = 0 em caso contrrio.

8) Usando o resultado do exerccio anterior, estime de forma aproximada a probabilidade de o tempo de vida da mquina estar entre 2,5 a 3 unidades de tempo, conhecendo ou no se conhecendo o dado adicional: a mquina est em funcionamento em t = 2.

Soluo

A seguir temos as FDPs e FDCs referentes ao problema. Ambas foram plotadas de acordo com a distribuio exponencial em sua verso original e em sua verso condicionada, de acordo com o exerccio anterior. Podemos calcular P[2,5 X 3] pela rea sob as FDPs ou por meio da subtrao dos valores das FDCs nos pontos 3 e 2,5, como ilustrado nas figuras.

Curiosamente P[2,5 X 3 | X > 2] maior que P[2,5 X 3]. Este resultado nos diz que o fato de conhecermos a situao de funcionamento da mquina no instante t = 2 eleva a expectativa de que a mquina esteja funcionando entre 2,5 e 3 unidades de tempo.

Por outro lado, se estivssemos interessados na probabilidade da mquina estar funcionando num intervalo de 0,5 unidades de tempo aps o instante 0 e aps o instante 2, tendo notado que a mquina ainda no apresentou falha at o instante 2, chegaramos aos mesmos resultados.

45

Estes exemplos nos mostram que uma v.a. com distribuio Exponencial no tem memria sobre as ocorrncias do passado, ou seja, enquanto o evento de interesse no ocorrer, a probabilidade de ocorrncia futura deste evento a mesma que aquela que seria calculada considerando-se o instante 0 como referncia. Por esta razo a v.a. com distribuio Exponencial dita sem memria. Perceba que temos a mesma denominao dada varivel com distribuio Geomtrica, o que faz sentido, pois podemos dizer que a Geomtrica a verso discreta da Exponencial.

Outros exerccios para casa

1) Estude o Exemplo 1.12 na pgina 15 da apostila e, por induo, a partir dos resultados P[k = 0], P[k = 1], P[k = 2] e P[k = 3], comprove a validade da expresso para a funo densidade de probabilidade da distribuio Binomial apresentada no slide 23 do Captulo 2.

2) Sabendo que a estatura dos alunos do Inatel segue uma distribuio Gaussiana de mdia 1,65 m e desvio padro de 0,1 m, determine a probabilidade de um estudante escolhido aleatoriamente ter estatura maior ou igual a 1,90 m.

3) Esboce, utilizando uma FDP Gaussiana fX(x), os significados dos clculos realizados pelas funes erfc(u), (u) e Q(u) em termos de rea sob fX(x).

4) Dada a FDP conjunta abaixo, onde X e Y so v.a. contnuas independentes, determine fX(x). Dica: para resolver a integral que faz parte da soluo do problema, reescreva-a utilizando a ltima diretiva do Apndice A.5 da apostila, pgina 236.

2 2

2 21 ( ) ( )( , ) exp

2 2X Y

XYx yf x y

pi

+ =

5) Duas linhas de produo fabricam certo tipo de pea. A capacidade de produo em qualquer dia de 5 peas na linha I e de 3 peas na linha II. O nmero de peas realmente produzido em cada dia pelas duas linhas uma v.a., onde (X,Y) representa o nmero de peas produzidas pela linha I e pela linha II, conjuntamente. A tabela a seguir fornece a distribuio de probabilidades conjunta de (X,Y). Calcule as probabilidades marginais e esboce as correspondentes FMPs.

A ttulo de curiosidade, veja como ficaria a FMP conjunta para o problema em questo:

46

6) As v.a. X e Y tm FDP conjunta dada pela expresso a seguir. Pede-se: a) determine as FDPs marginais de X e de Y. b) com base nos resultados obtidos, responda: as v.a. em questo so independentes? Justifique. Dica: utilize como auxlio a 4 diretiva de integrais indefinidas do Apndice A.4 da apostila, pgina 235.

( ), 0, 0( , )

0, caso contrrio

x y

XYe x yf x y

+ =

7) Seja X uma v.a Gaussiana com FDP dada pela expresso abaixo. Pede-se: a) determine a FDP de Y = aX + b. b) a partir do resultado obtido, determine Y e Y por comparao com a expresso de fX(x).

2

21 ( )( ) exp

22X

XXX

xf x pi

=

8) As variveis aleatrias R e tm a FDP conjunta dada a seguir. Utilizando as relaes entre as variveis X, Y, R e tambm dadas abaixo, determine a FDP conjunta de X e Y, pede-se: a) determine as FDPs marginais de X e de Y. b) responda: X e Y so ou no so v.a. independentes? Justifique.

2

2 2( , ) exp2 2Rr rf r

pi

=

( )2 2 arctan / cosR X Y Y X X R= + = =

9) Seja X uma v.a. Gaussiana com FDP dada pela expresso abaixo e seja Y = (X )/. Mostre que fY(y) uma v.a. Gaussiana de mdia 0 e desvio padro 1.

2

22

1 ( )( ) exp22

Xxf x

pi

=

10) Para melhor fixar os conceitos, refaa os exemplos da apostila e dos slides, referentes aos assuntos estudados no Captulo 2.

FIM DA AULA

47

Aula n Data Tema Mdias estatsticas - 1

Contedo Mdias Estatsticas de Variveis Aleatrias: mdia de variveis aleatrias discretas e contnuas, mdia de funes de variveis aleatrias, mdia da soma e do produto de variveis aleatrias, momentos.

Objetivos

Ao final da aula os alunos devero ser capazes de: 1) conceituar o significado de mdia de uma v.a. discreta ou contnua. 2) calcular a mdia para v.a. discretas ou contnuas. 3) calcular a mdia da soma e do produto de v.a. discretas ou contnuas. 4) calcular os momentos de ordem n de uma v.a. discreta ou contnua. 5) interpretar os momentos de 1 e 2 ordens para v.a. de tenso ou de corrente. 6) aplicar os conceitos acima em clculos de probabilidade.

Conceito de mdia de uma varivel aleatria

A importncia deste conceito reside no fato de que um determinado experimento aleatrio no permite que conheamos um resultado futuro qualquer, mas, se conhecemos algum comportamento de tendncia mdia referente a este experimento melhor que no conhecer nada. Em outras palavras, fenmenos aleatrios no permitem que tenhamos conhecimento preciso sobre um valor futuro, mas, felizmente, permite que tenhamos um conhecimento sobre seu comportamento mdio.

Seja uma v.a. X que pode assumir K valores x1, ..., xK. Suponha que o experimento foi repetido N vezes, sendo m1, ..., mK o nmero de tentativas favorveis aos resultados x1, ..., xK, respectivamente. Ento o valor mdio de X dado por:

( ) 1 21 1 2 2 1 21 KK K Km m mX m x m x m x x x xN N N N= + + + = + + +

No limite, quando N , mi

/N tende probabilidade de ocorrer xi. Portanto tem-se:

1( )

K

i X ii

X x p x=

=

O valor mdio de uma v.a. muitas vezes denominado de valor esperado e representado pelo operador E[X], onde se l: mdia de X, valor esperado de X, ou ainda esperana de X. A letra grega (mu) tambm muito utilizada para identificar a mdia de uma varivel aleatria. A mdia indica, em grande parte dos casos, a regio da FDP ou da FMP com valores mais provveis para a v.a. em questo. Excluem-se desta interpretao as variveis aleatrias com distribuio uniforme e outras cuja densidade ou a funo massa de probabilidade no sejam maiores em torno da mdia.

Exemplo Usando o histograma a seguir, estime o valor mdio da v.a. Binomial X com parmetros n = 10 e p = 0,2. Compare com o clculo exato de E[X], lembrando que a FMP Binomial dada por:

( ) (1 )x n xXn

p x p px

=

48

Realizando o clculo aproximado teremos:

0 11.000 1 27.000 2 31.000 3 20.0001[ ]4 8.000 5 2.500 6 200 0 0 0 0100.000

[ ] 1,947

E X

E X

+ + + + + + + + + +

Realizando o clculo exato a partir da FMP Binominal teremos:

10 1010

0 0

10[ ] ( ) 0,2 0,8 2x xx x

E X xp x xx

= =

= = =

Como concluso, observamos que o clculo por meio do histograma se aproximou muito do clculo exato da mdia da v.a. Binomial em questo.

Exemplo Sendo x1 correspondente ao valor 1 da v.a. Binomial, ou seja x1 = 1, calcule a probabilidade P[X = x1] e compare com o valor m1/N estimado a partir do histograma do exemplo anterior.

Realizando o clculo aproximado pela definio de probabilidade por freqncia relativa, teremos:

27.000[ 1] 0,27100.000

P X = = .

Realizando o clculo exato a partir da FMP Binomial teremos:

1 10 110[ 1] 0,2 0,8 0,2681

P X = = =

Mais uma vez observamos a similaridade entre os resultados obtidos por meio do clculo aproximado e do clculo terico.

49

Mdia de uma varivel aleatria discreta e de uma funo de uma v.a. discreta

Os exemplos anteriores so, nitidamente, exemplos associados a v.a. discretas. Ento podemos formalizar os resultados obtidos afirmando que a mdia de uma v.a. discreta qualquer pode ser calculada por:

1[ ] ( )

K

i X ii

X E X x p x=

= =

Se a varivel em questo funo de uma outra varivel, ou seja, se Y = g(X), mdia calculada por meio de:

Mdia de uma varivel aleatria contnua e de uma funo de uma v.a. contnua

[ ] ( )XX E X x f x

= =

Se a varivel em questo funo de uma outra varivel, ou seja, se Y = g(X), mdia calculada por meio de:

x

Exemplo Calcular a mdia de uma v.a. contnua com distribuio Uniforme entre q/2+ e +q/2+.

Mdia da soma de variveis aleatrias

A mdia da soma de variveis aleatrias igual soma das mdias individuais. Para duas v.a. teremos:

50

[ ] [ ] [ ]E X Y E X E Y+ = +

Exemplo Sejam dois conjuntos de blocos de madeira. A altura dos blocos do primeiro conjunto uma v.a. X e a altura dos blocos do segundo conjunto uma v.a. Y, cujas mdias so E[X] e E[Y]. Suponha agora que colocamos, um a um, os blocos do segundo conjunto sobre os blocos do primeiro. A altura dos blocos compostos ser uma v.a. Z = X + Y, cuja mdia ser, obviamente, E[Z] = E[X + Y] = E[X] + E[Y].

Mdia do produto de variveis aleatrias independentes

Se as v.a. so independentes, a mdia do produto destas variveis igual ao produto das mdias individuais. Para duas variveis teremos:

[ ] [ ] [ ]E XY E X E Y=

Exemplo Suponha que o seguinte jogo seja inventado: lana-se uma moeda 3 vezes por rodada, definindo-se a v.a. X como sendo o nmero de caras obtido a cada rodada. Os possveis valores desta v.a. sero xi = 0, 1, 2 e 3. Faz-se a mesma coisa com outra moeda, agora associada v.a. Y. Ganha o jogo quem acertar o nmero de caras do evento combinado W = XY. Para aumentar suas chances de ganhar voc poderia apostar no valor E[XY]. Ento vejamos: calcule este valor para: a) moedas justas e b) moedas com probabilidade de cara p = 0,4. c) interprete os resultados e a influncia da probabilidade de cara ou coroa de cada moeda na sua aposta.

Nitidamente as v.a. em questo so independentes, pois o lance de uma moeda no influencia o lance da outra. Ento, E[XY] = E[X]E[Y]. Adicionalmente, percebemos que cada v.a. conta o nmero de sucessos (caras) em n = 3 experimentos de Bernoulli. Portanto, X e Y so v.a. Binomiais. Assim teremos:

a)

Obviamente E[Y] ter o mesmo valor. Ento E[W] = E[X]E[Y] = 2,25

b)

Para este caso, [W] = E[X]E[Y] = 1,44

51

c) Observe que os valores das mdias individuais e da mdia de W no so nmeros inteiros, ou seja, neste caso as mdias no representam os valores mais provveis, dado que no possvel que o nmero de caras seja 1.5, 2.25, 1.2 ou 1.44.

Para uma anlise mais aprofundada, em sendo independentes os eventos em questo, a densidade de probabilidade conjunta o produto das densidades individuais. Para o problema teremos o produto de duas Binomiais com n = 3 e p = 0,5 para o item a e n = 3 e p = 0,4 para o item b. A seguir tm-se as distribuies de probabilidade pXY(x,y), para x = 0, 1, 2 e 3 e y = 0, 1, 2 e 3. Observe que para p = 0,5 os valores mais provveis so 1 e 2, tanto para X quanto para Y. Portanto, apostar nos resultados 1, 2 ou 4 para o produto voc teria a mesma chance de ganhar. Observe agora que para p = 0,4 os valores mais provveis so 1 para X e para Y. Portanto, apostar no resultado 1 para o produto aumentar sua chance de ganhar.

p = 0,5 p = 0,4

Como complemento, veja as correspondentes FMPs. As barras de maior amplitude (em vermelho) indicam os valores mais provveis para o experimento.

p = 0,5 p = 0,4

Momentos para uma varivel aleatria

A mdia de uma v.a. no tem somente o significado estudado at aqui. Se modificarmos uma v.a., por exemplo elevando-a a um expoente inteiro, definimos um outro tipo de mdia cujo significado fsico depender da natureza da v.a. em questo. Mdias calculadas desta maneira so genericamente

52

denominadas de momentos. Mais adiante veremos alguns significados fsicos de interesse para o nosso curso, quando as v.a. sob anlise so obtidas a partir de sinais aleatrios de tenso ou de corrente.

O n-simo momento de uma v.a. X definido como o valor esperado da n-sima potncia de X:

[ ] ( )n n XE X x f x dx

=

O n-simo momento central de uma v.a. X seu momento ao redor de seu valor mdio m, e dado por:

[( ) ] ( ) ( )n n XE X X x X f x dx

=

O segundo momento central de uma v.a. X chamado de varincia e calculado por meio de:

2 2 2var[ ] [( ) ] ( ) ( )X XX E X X x X f x dx

= = =

Observe que o clculo do valor esperado de uma v.a. contnua corresponde integral do produto da sua FDP pelo argumento A do operador E(A), substituindo as v.a. em letra maiscula pela varivel minscula correspondente. Para v.a. discreta faz-se observao anloga.

Vamos agora expandir a expresso de definio da varincia:

( )[ ] [ ] [ ]

22 2 2

2 2 2 2

[ ] 2 [ ] [ ]

2 [ ]X E X E X E X XE X E X

E X E X E X E E X E X E X

= = +

= + =

De onde tiramos o importante resultado:

2 2 2[ ] [ ]X E X E X =

Exemplo Usando o resultado anterior vamos determinar a varincia de uma varivel aleatria Gaussiana. Encontraremos como resultado:

[ ] ( )22 2 2 2 2var( )X E X E X = = + = .

Propriedades da varincia

A varincia de uma constante nula: se X = a sempre, var[X] = var[a] = 0.

A varincia independe da mdia: Se Y = X + b, var[Y] = var[X] + var[b] = var[X].

Se Y = aX, var[Y] = a2var[X].

53

Alguns significados fsicos para os momentos

Considere um sinal aleatrio de tenso ou corrente X(t) e suas possveis realizaes X(t,1)... X(t,4), conforme ilustrao a seguir. Se amostrarmos este conjunto de formas de onda em t1 e t2, o conjunto de amostras compor as variveis aleatrias X(t1), ou simplesmente X1 e X(t2), ou simplesmente X2, com valores x1 e x2. Suponha adicionalmente que as caractersticas estatsticas de X1 e X2 no dependem dos valores especficos de t1 e t2, mas dependem somente do intervalo t2 t1.

Poderemos ter os seguintes significados fsicos envolvendo X, se o sinal amostrado for um sinal aleatrio de tenso:

FIM DA AULA

54

Aula n Data Tema Mdias estatsticas - 2

Contedo Mdias Estatsticas de Variveis Aleatrias continuao: momentos conjuntos, variveis aleatrias descorrelacionadas, ortogonais e independentes, coeficiente de correlao.

Objetivos

Ao final da aula os alunos devero ser capazes de: 1) conceituar momentos conjuntos, especialmente o primeiro momento conjunto (correlao) e o primeiro momento conjunto central (covarincia). 2) realizar, na prtica, estimativas de um momento qualquer a partir de amostras. 3) conceituar o significado do coeficiente de correlao, calcular seu valor e interpretar o resultado. 4) conceituar o significado de variveis aleatrias descorrelacionadas, ortogonais e independentes.

Momentos conjuntos

Os momentos conjuntos para um par de variveis aleatrias so definidos por:

Os momentos conjuntos centralizados (desconsiderando-se as mdias) so definidos por:

Como estimar na prtica os momentos de uma varivel aleatria

Em grande parte dos problemas prticos no temos conhecimento prvio das densidades de probabilidade das variveis aleatrias envolvidas, o que nos impede de realizar os clculos exatos dos momentos de interesse. Ainda assim, se tivermos um nmero suficientemente grande de amostras das v.a. sob anlise podemos estimar seus momentos e, utilizando histogramas, estimar at suas densidades de probabilidade para que clculos futuros ou a comprovao das estimativas possam ser realizados.

Pois bem, inicialmente perceba que todos os momentos estudados tm em sua definio um clculo de valor esperado do tipo E[Y] = E[g(X)]. Recorde agora que o valor esperado nada mais do que a mdia da v.a. definida segundo o argumento g(X). Ento, se tivermos uma grande quantidade de amostras da v.a. original X, podemos aplicar a eles a transformao dada por g(X) e tentar realizar um clculo to prximo quanto possvel de:

1 1

1 1[ ] [ ( )] lim lim ( )N N

i iN Ni iE Y E g X y g x

N N = =

= = =

Exemplo Vamos estimar alguns momentos para uma v.a. X para a qual foram obtidas as amostras xi , i = 1, 2... 100, mostradas no quadro a seguir. Suponha que tais amostras foram obtidas a partir da medida da estatura de 100 alunos do Inatel.

55

Mdia = primeiro momento: 100

1

1[ ] 1,663100X ii

E X x=

= =

Valor quadrtico mdio = segundo momento: 100

2 2

1

1[ ] ( ) 2,773100 ii

E X x=

=

Varincia = segundo momento central: 100

2 2 3

1

1[( ) ] var[ ] ( ) 7,255 10100X i Xi

E X X x =

= =

Desvio padro = raiz quadrada da varincia: 3var[ ] 7,255 10 0,085XX = = Clculo alternativo da varincia: 2 2 2 2[ ] [ ] 2,773 1,663X E X E X = = = 37,255 10

1.729 1.753 1.662 1.738 1.638 1.785 1.705 1.674 1.575 1.671

1.623 1.671 1.718 1.520 1.676 1.687 1.834 1.696 1.758 1.596

1.569 1.589 1.722 1.631 1.673 1.585 1.708 1.744 1.628 1.628

1.736 1.536 1.813 1.520 1.655 1.677 1.817 1.565 1.689 1.784

1.752 1.612 1.671 1.627 1.794 1.672 1.662 1.651 1.701 1.646

1.744 1.688 1.532 1.572 1.740 1.561 1.787 1.664 1.618 1.717

1.629 1.660 1.629 1.659 1.599 1.692 1.915 1.635 1.786 1.540

1.691 1.623 1.587 1.680 1.577 1.654 1.608 1.620 1.764 1.557

1.693 1.638 1.672 1.799 1.830 1.555 1.579 1.640 1.543 1.640

1.750 1.559 1.476 1.775 1.444 1.561 1.631 1.606 1.753 1.676

Abaixo se tem o histograma para a v.a. em questo e uma funo densidade de probabilidade gaussiana sobreposta. Embora possamos supor que tal v.a. tem distribuio Gaussiana, apenas um nmero bastante elevado de amostras permitiria que o histograma convergisse, em formato, para a FDP procurada. Talvez chegssemos concluso que tal v.a. no Gaussiana...

Correlao entre variveis aleatrias

A correlao entre duas v.a. dada pelo primeiro momento conjunto destas variveis, ou seja:

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A correlao entre duas variveis aleatrias oferece uma informao sobre a tendncia de uma varivel em funo da tendncia de outra. Por exemplo, se o valor de uma v.a. cresce, o valor da outra tem grande chance de crescer se a correlao entre tais variveis for elevada.

Covarincia entre variveis aleatrias

A covarincia entre duas v.a. dada pelo primeiro momento central conjunto destas variveis, ou seja:

A covarincia tem o mesmo significado da correlao, mas elimina a influncia da mdia destas variveis nos clculo. Por esta razo pode nos dar uma informao mais precisa sobre a tendncia de uma v.a. em relao outra, o que poderia ser camuflado pelo clculo de correlao se as v.a. envolvidas tiverem mdias elevadas.

Coeficiente de correlao entre variveis aleatrias

O grau de correlao entre duas variveis aleatrias X e Y pode ser medido pelo coeficiente de correlao:

XYXY

X Y

K

=

Sua faixa de valores vai de 1 a +1. Uma interpretao para este coeficiente sugere que ele nos oferece uma medida da quantidade de informao que ganhamos sobre Y ao observar X e vice-versa. Por exemplo, XY > 0 sugere que se X tem valor elevado em relao sua mdia, Y tambm ter. Quando X baixo provvel que Y tambm o seja. Quando XY < 0 temos o comportamento inverso, ou seja, se X tem valor alto em relao sua mdia, Y ter valor baixo e vice-versa.

Exemplo preo da saca de caf e a cotao da Bolsa de New York: suponha que queiramos investigar a influncia da cotao da Bolsa de New York (v.a. X) no preo da saca de caf (v.a. Y) aqui no Brasil na semana seguinte. Para resolvermos este problema devemos ter, obviamente, um histrico que mostre como a Bolsa e o preo da saca variaram num perodo passado to grande quanto possvel. Suponhamos que as variaes observadas em 10 semanas tenham o aspecto ilustrado a seguir:

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Por observao percebemos que no h grande influncia da cotao de um no preo do outro. Se utilizarmos o clculo de correlao entre as correspondentes v.a. poderemos ter a informao falsa de que as cotaes so correlacionadas, pois os valores mdios de ambas as v.a. so elevados, o que possivelmente elevar o valor estimado para a correlao. Entretanto, se utilizarmos o coeficiente de correlao, que depende da covarincia (correlao entre as v.a. sem levar em conta as mdias), teremos a informao precisa sobre a correlao que queremos conhecer. Para o grfico exemplificado, bem provvel que tenhamos um valor baixo para XY.

Variveis aleatrias descorrelacionadas

Duas variveis aleatrias so ditas descorrelacionadas se sua covarincia ou seu coeficiente de correlao so nulos. Neste caso a correlao entre tais variveis pode ser calculada pelo produto das suas mdias.

Variveis aleatrias descorrelacionadas KXY = 0 E[XY] = E[X]E[Y]

Variveis aleatrias ortogonais

Duas variveis aleatrias so ditas ortogonais se sua correlao nula. Observando a expresso do clculo da covarincia percebemos que para que a correlao seja nula a covarincia deve ser nula (devem ser descorrelacionadas) e a mdia de uma das v.a. ou de ambas deve ser nula.

Variveis aleatrias ortogonais E[XY] = 0 KXY = 0 e uma ou as duas mdias nula

Variveis aleatrias independentes

Recordando, duas ou mais variveis aleatrias so ditas independentes se a FDP ou a FDC conjuntas puder ser calculada pelos produtos das FDPs ou FDCs de cada uma das v.a. envolvidas:

Variveis aleatrias independentes FXY(x,y) = FX(x)FY(y), fXY(x,y) = fX(x)fY(y)

Adicionalmente teremos:

E[XY] = E[X]E[Y] KXY = 0 var[X + Y] = var[X] + var[Y] E[X | Y = y] = E[X] e E[Y | X = x] = E[Y]

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FIM DA AULA

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Aula n Data Tema Mdias estatsticas - 3

Contedo Mdias Estatsticas de Variveis Aleatrias Funo caracterstica para variveis aleatrias e para a soma de variveis aleatrias independentes.

Objetivos Ao final da aula os alunos devero ser capazes de: 1) determinar a aplicao da funo caracterstica de uma varivel aleatria. 2) determinar a aplicao da funo caracterstica da soma de v.a. independentes. 3) realizar clculos de momentos de uma v.a. a partir da funo caracterstica.

Funo Caracterstica para variveis aleatrias

O clculo de momentos na forma direta, como definido anteriormente, s vezes bastante complexo e em certos casos intratvel matematicamente. Nestes casos tem-se como opo o uso da funo caracterstica. Conceitualmente, operar com a funo caracterstica anlogo a operar no domnio da freqncia quando os clculos no domnio do tempo so complexos ou intratveis.

A funo caracterstica de uma varivel aleatria X definida como a mdia estatstica:

( ) [ ] ( )j X j x Xj E e e f x dx

Pode-se ver a funo caracterstica como uma transformada de Fourier da FDP da v.a. em questo. Portanto possvel obter a FDP a partir da funo caracterstica, usando a transformada inversa:

1( ) ( )2

j xXf x e j d pi

=

A grande aplicao da funo caracterstica consiste no fato de se observar que a sua derivada n-sima avaliada no ponto = 0 fornece o n-simo momento da v.a. X, o que leva ao chamado Teorema do Momento:

0

( )[ ] ( )n

n n

n

d jE X jd

=

=

Portanto podemos usar a funo caracterstica para determinar os momentos de uma v.a. quando o clculo destes momentos a partir da definio for mais complicado.

Exemplo Vamos determinar a mdia e a varincia de uma v.a. Exponencial cuja FDP dada a seguir. Use o conceito de funo caracterstica.

, 0( )0 , 0

x

Xe xf x

x

=

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[ ]2

0 0 0

/( )( ) 1[ ] ( ) [ ] ( )n

n n

n

d jd j jE X j E X j jd d j

= = =

= = = =

[ ]22 2 22 3 2

00

2 22 2 2

/( ) 2 2[ ] ( ) ( ) ( )2 1 1Var[ ] [ ] [ ]

d jE X j j

d j

X E X E X

==

= = =

= = =

Como exerccio, refaa os clculos por meio dos conceitos de mdia e de varincia e compare os resultados com aqueles obtidos via funo caracterstica.

Funo Caracterstica para a soma de v.a. independentes

Em muitos problemas prticos estamos interessados em analisar o resultado da soma de v.a. independentes. Mais uma vez a funo caracterstica se mostra ser uma ferramenta bastante til simplificao dos clculos.

Sejam as variveis aleatrias Xi, i = 1, 2, ..., n, independentes entre si e seja Y formada a partir da soma destas v.a.:

1

n

ii

Y X=

=

A funo caracterstica para este caso dada pelo produto das funes caractersticas de cada uma das variveis Xi, ou seja:

1( ) ( )

i

n

Y Xi

j j =

=

Funo Caracterstica para a soma de v.a. independentes e identicamente distribudas (i.i.d.)

Adicionalmente, se as. v.a. em questo forem identicamente distribudas, a funo caracterstica da soma destas v.a. igual n-sima potncia da funo caracterstica de uma delas:

[ ]( ) ( ) nY Xj j =

Ento, para determinarmos a FDP da soma de v.a. i.i.d. basta fazer a transformada inversa do resultado obtido a partir da expresso anterior. Caso tomssemos o caminho de calcular a FDP diretamente, teramos que fazer n convolues entre as FDPs de cada uma das v.a. Xi , o que poder ser bem mais complexo.

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FIM DA AULA

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Aula n Data Tema Exerccios de fixao Contedo Exerccios de fixao sobre mdias estatsticas de variveis aleatrias.

Objetivos Permitir que os alunos revisitem os conceitos tericos e conheam exemplos de aplicao destes conceitos na soluo de