presentacion taller juegos 15 12

Introduccin Juegos de Agarrar El Juego de Nim Juegos en Grafos Suma de Juegos Final

Teora del Juego - Juegos CombinatorialesImparciales

Carlos Gmez

Taller de Resolucin de ProblemasEscuela de Matemtica

Universidad de El Salvador

Estudio de Casos


Esquema

Introduccin

Juegos de Agarrar

El Juego de Nim

Juegos en Grafos

Suma de Juegos


Outline

Introduccin

Juegos de Agarrar

El Juego de Nim

Juegos en Grafos

Suma de Juegos


Introduccin

Con facilidad podemos nombrar juegos de entretenimiento Tambin existen una rea vasta de juegos en economa y

poltica Competencia entre firmas, conflicto entre la direccin y

trabajadores, pasar una ley, etc. son ejemplos de casosque residen en el rea de teora del juego

Existen juegos en el rea de biologa y psicologa


Caracterizaciones y notacin

Los juegos son caracterizados por un nmero de jugadoresque interactan, posiblemente amenazando a otros y formandocoaliciones, toman acciones bajo ciertas condiciones yfinalmente reciben beneficio o premio o castigo o prdidasmonetarias.

Denotaremos por n al nmero total de jugadores y seaN = {1, 2, . . . , n} el conjunto de los jugadores.


Estudiamos en su mayora juegos donde n = 2. Nota de inters: Cuando tratamos el caso en que n = 1

entonces el sub-rea es llamada Teora de Decisin.Solitario y rompecabezas son ejemplos de esto.

En algunos casos podemos suponer un nmero infinito dejugadores.


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Introduccin

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Juegos Combinatorios

Los juegos combinatorios son juegos donde n = 2, seposee informacin perfecta y no hay acciones aleatoriascon ganar-perder como nicos resultados.

Tal juego esta determinado por un conjunto de posicioneshasta que una posicin terminal es alcanzada.

Juegos imparciales son aquellos en los cuales el conjuntode movimientos desde cualquier posicin es igual paraambos jugadores, de otra forma son juegos no imparciales.

Son ajedrez y damas juegos imparciales?


Juegos de Agarrar

Aqu hay reglas para un juego imparcial combinatorio simple deremover fichas.

1. Existen dos jugadores, I y II2. Hay 21 fichas en la mitad de la mesa.3. Las nicas movidas consisten en remover uno, dos o tres

fichas del montn.4. Jugadores se alternan con jugador I empezando.5. El jugador que remueve la ltima ficha gana (si no puedes

mover pierdes).El mtodo para solucionar este problema se llama induccininversa. Puedes recordarlo?


Que es un Juego Combinatorio?

1. Existen dos jugadores.2. Hay un conjunto de posibles posiciones en el juego.3. Las reglas del juego especifican cuales son las movidas

legales. Dependiendo de esto el juego puede ser imparcialo no imparcial.

4. Los jugadores se alternan.5. El juego termina cuando un jugador no puede hacer un

movimiento.Reglas normales: El ltimo jugador en mover gana.Reglas misre: El ltimo jugador en mover pierde.

6. El juego termina en un nmero finito de movimientos noimportando como se juegue.

7. No se permiten movimientos al azar ni simultneos niescondidos, no empates.


Posicin P, Posicin S

Regresando al juego de agarrar, vemos que 0, 4, 8, 12, 16,... son posiciones ganadoras para el jugador Previo (el queacaba de jugar) y que 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, ... songanadoras para el Siguiente jugados a mover.

Las posiciones P en este caso son entonces aquellosenteros divisibles por 4.

En juegos imparciales combinatorios, podemos hallarcales posiones no P y cuales son posiciones S a travs deinduccin utilizando el proceso de etiquetar descrito en lasiguiente diapositiva.


Algoritmo para hallar posiciones P y S

1. Etiquetar cada posicin terminal como posicin P.2. Etiquetar cada posicin que puede alcanzadar una

posicin P en un movimiento como S.3. Hallar aquellas posiciones que estn a un movimiento de

una posicin S y etiquetarlas como posicin P.4. Si no hay mas posiones que etiquetar parar, de otra forma

regresar al paso 2.

Esta claro que la estrategia de moverse en posiciones P gana.De una posicin P tu oponente solo se puede mover a unaposicin S (1). De all te puedes mover a una posicin P (2).Eventualmente el juego termina en la posicin terminal y ganas(1).


Propiedades caractersticas

Posiciones P y s son definidas recursivamente por lassiguientes 3 afirmaciones:

1. Todas las posiones terminales son posiones P.2. De cada posicin S, existe al menos una se mueve a

posicin P.3. De cada posicin P, todo movimiento cae en posicin S.


Juegos de Substraccin

Este tipo de juegos combinatorios tiene el Juego deAgarrar como caso especial.

Sea S un conjunto de enteros positivos. El juego conconjunto de substraccin S procede as:De un montn de fichas (n fichas) dos jugadores jueganalternadamente. Un movimiento consiste en remover sfichas del montn donde s S. El ltimo que mueva gana.


Caso especial

IAnalizemos el caso con conjunto de substraccinS = {1, 3, 4} al tratar de encontrar todos sus posiciones P.IExiste una sola posicin terminal, 0.IDe all, 1, 3, 4 son posiciones S.IPero 2 debe ser una posicin P ya que el nico movimientolegal es a 1, que es posicin S.IEntonces 5 y 6 deben ser posiciones S ya que pueden sermovidos a 2.IAhora 7 es una posicin P ya que solo puede moverse a 6, 4o 3, los cuales son posiciones S.ISimilarmente vemos que 8, 10, 11 son posiciones S, 9 es unaposicin P, 12 y 13 son posiciones S y 14 es una posicin P.Esto se extiende por induccin.IPor lo que P = {0, 2, 7, 9, 14, 16, . . .} que son el conjunto deenteros no negativos con residuo 0 o 2 modulo 7. S = P c.


x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 . . .

posicin P S P S S S S P S P S S S S P . . .

El patrn PSPSSSS de longitud 7 se repite infinitamente.Quin gana si hay 100 fichas, el primer jugado o el segundojugador.


Juego de agarrar (versin misre)

Considera la versin misre del juego de agarrar donde elltimo jugador en mover pierde. El objetivo es forzar a tuoponente en tomar la ltima ficha. Analiza este juego. Cualesson las posiciones P?


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El Juego de Nim

El juego ms famoso de juegos de agarrar es el juego de Nim. Existen 3 montones de fichas conteniendo x1, x2 y x3

fichas respectivamente. Dos jugadores toman turnos agarrando fichas. Cada movimiento consiste en seleccionar un montn y

remover fichas. Se pueden remover tantas fichas solamente del montn

seleccionado como se desee. El ganador es el jugador que remueve la ltima ficha.


Analisis Preliminar

Existe slo una posicin terminal: (0, 0, 0) lo cual es unaposicin P.

La solucin de Nim con un montn es trivial:cualquier posicin de la forma (0, 0, x) es una posicin S(x > 0).

Posiciones con dos montones de fichas iguales sonposiciones P. Porque?

Si hay fichas en los tres montones la situacin es mscomplicada.

Describiremos la solucin utilizando el concepto de laSuma Nim.


Suma Nim

La suma nim de dos enteros no negativos es su suma "sinllevar" mdulo 2.

Denotemos por x = (xmxm1 . . . x1x0)2, x en base 2. La suma nim de dos enteros se encuentra expresado los

enteros en base dos y sumando en mdulo 2 loscomponentes individuales correspondientes.


Definicin

DefinicinLa suma nim de (xm . . . x0)2 y (ym . . . y0)2 es (zm . . . z0)2, y loescribimos como (xm . . . x0)2 (ym . . . y0)2 = (zm . . . z0)2,donde zk = xk + yk(mod 2), eso es, zk = 1 si xk + yk = 1 y zkde otra forma.


Ejemplos

I101102 1100112 = 1001012. Esto dice que 22 51 = 37. Esms fcil ver la suma nim de esta forma:

22 = 101102

51 = 1100112

suma nim = 1001012 = 37


Propiedades

La suma nim es asociativa (x (y z) = (x y) z) yconmutativa (x y = y x) ya que la suma en mdulo 2los es.

Por lo que podemos escribir x y z sin ambigedad. Adems 0 es la identidad para la suma (0 x = x). Cada nmero es su propio negativo (x x = 0). Por lo que si x y = x z implica y = z.

Falta responder la pregunta: Qu tiene que ver la suma nimcon el juego Nim?


Teorema

Teorema de BoutonUna posicin (x1, x2, x3) en Nim es una posicin P si y solo sila suma nim de los componentes es cero, x1 x2 x3 = 0.


Ejemplo y Nim con ms montones

Como ejemplo (4, 12, 8) es una posicin P ya que:

4 = 1002

12 = 11002

8 = 10002

suma nim = 00002 = 0

Nim con un nmero mayor de montones. Como lodemostraremos a continuacin, el teorema de Bouton seextiende no solo para el caso de tener 3 montones sino paracualquier n predefinido.


Demostracin del Teorema de Bouton

Sea P el conjunto de posiciones Nim con suma nim cero y seaS el complemento de ese conjunto. Verificaremos lascondiciones definidas.

1. Todo posicin terminal esta en P . Por que es esto cierto?

2. De cada posicin en S, existe un movimiento a la posicin P .Aqu esta como construimos ese movimiento.De la suma nim en columna, vemos a la columna ms a laizquierda con un nmero impar de 1s. Cambiamos cualquierade los nmeros que tienen un 1 en esa columna a un nmerotal que hayan un nmero par de 1s en cada columna. Esto lohace el nmero menor puesto que cambiamos un 1 que estabaen la posicin ms significativa en cero. Por lo que esto haceun movimiento legal en P .


3. Cada movimiento de una posicin P va a una posicin S. Si(x1, x2, . . .) esta en P y x1es cambiado a x1 < x1 entonces nopodemos tener x1 x2 = 0 = x1 x2 , porque? Porlo que x1 x2 6= 0 implicando que (x1, x2, . . .) esta en S.Estas tres propiedades muestran que P es un conjunto deposiciones P.


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Juegos de Grafos

Ahora damos una descripcin equivalente de los juegoscombinatorios utilizando grafos dirigidos.

Esto es hecho identificando posiciones en el juego convrtices en los grafos y movimientos con bordes de elgrafo.

De all definiremos una funcin conocida como la funcinSprague-Grundy que contiene ms informacin que saberslo la posiciones P y S.


Definicin de un grafo dirigido

DefinicinUn grafo dirigido, G, es un par (X,F ) donde X es un conjuntono vaco de vrtices (posiciones) y F es una funcin que dapara cada x X un subconjunto de x , F (x) X. Para cadax X. F (x) representa la posicin al cual el jugador puedemover de x (llamado los seguidores de x). Si F (x) es vaci, xes llamado una posicin terminal.


Un juego ganar-perder de 2 personas podra ser jugado en talgrafo G = (X,F ) estipulando una posicin inicial x0 X yutilizando las siguientes reglas:

1. Jugador I mueve primero, empezando en x0.2. Jugadores alternan movimientos.3. En posicin x, el jugador que mueva solo puede escoger

una posicin y F (x).4. El jugador que esta en la posicin terminal en su turno, y

por lo tanto no puede mover, pierde.Para evitar complicaciones, nos restringimos a grafos que sonprogresivamente acotados (tal que cualquier camino sea menoro igual a un n Z). Asumimos que X es finito, no cclico.


Ejemplo

El juego de substraccin con conjunto de substraccinS = {1, 2, 3} y n fichas, puede ser representado como unjuego de grafos.

Que sera X en este caso? A que sera igual F (0)? A qu sera igual F (k)?


La Funcin Sprague-Grundy

DefinicinLa funcin Sprague-Grundy del grafo (X,F ) es una funcin g,definida en X y tomando valores enteros no negativos tal que

g(x) = mn {n 0 : n 6= g(y) para y F (x)} . (1)

IEn otras palabras g(x) es el menor entero no negativo noencontrado en los valores Sprague-Grundy de los seguidoresde x.ISi definimos el mnimo excluyente, o mex, de un conjuntono negativo de enteros como el menor de los enteros que noesta en el conjunto, entonces podramos escribir simplemente

g(x) = mex {g(y) : y F (x)} . (2)


Ejemplo

Hallar los valores Sprague-Grundy del siguiente juego degrafos:


La funcin g(x) es definida recursivamente. g(x) es definido en trminos de g(y)para todos los

seguidores y de x. La recursin empieza propiamente. Si x es una posicin terminal, a que es igual g(x)? A que es igual g(x) si el seguidor de x es una posicin

terminal?


Uso

Posiciones x para las cuales g(x) = 0 son posiciones Pmientras que las dems son posiciones S. El procedimientoganador es terminar despues de cada movimiento en unvrtice con valor Sprague-Grundy cero. Esto es fcil al ver lascondiciones:

1. Si x es una posicin terminal, g(x) = 0.2. A la posicin x para el cual g(x) = 0, todo seguidor y de x

es tal que g(y) 6= 0.3. A la posicin x para el cual g(x) 6= 0, existe al menos un

seguidor y tal que g(y) = 0.

La funcin Sprague-Grundy contiene ms informacin que sololas posiciones P y S. Pero ese tema no se abordara en estacharla.


Otro ejemploUtilizando la siguiente figura ilustramos una vez ms la formaen como hallar los valores SG.


SG aplicado al juego de substraccin

Cul es la funcin Sprague-Grundy del juego de substraccincon conjunto substraccin S = {1, 2, 3}?


Al Menos la Mitad

Considere el juego de un montn con la regla que se tienenque remover al menos la mitad de las fichas. La nica posicinterminal es cero. Podemos calcular la funcin Sprague-Grundyinductivamente como:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .g(x) 0 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 . . .

Vemos que g(x) puede ser expresado como el exponente de lamenor potencia de de 2 mayor que x: g(x) = mn

{k : 2k > x

}.


La Funcin SG en grafos ms generales

Veremos que pasa en grafos que no son progresivamenteacotados.

Supongamos que la hiptesis de grafos progresivamenteacotadas es debilitado a requerir solo que el grafo seaprogresivamente finito.

Un grafo que es progresivamente finito si cualquiercamino tiene una longitud finita.

Un ejemplo de un grafo que es progresivamente finito perono progresivamente acotado es considerar un juego comoen el grafo mostrado a continuacin donde el primermovimiento es escoger un nmero de fichas de un montny despus seguir las reglas del juego de Nim.


Del camino inicial cada camino tiene una longitud finita.Pero el grafo no es acotado puesto que no hay limitesuperior de la longitud del camino de la posicin original.

La teora de Sprague-Grundy puede ser extendida agrafos progresivamente finitos pero induccin transfinitatiene que ser utilizado. El valor SG de la posicin originalsera el menor numero ordinal mayor que todos loseneteros, usualmente denotado por .


Valores SG para grafos cclicos

Nuevos problemas surgen si se permite utilizar grafoscclicos. La funcin SG que satisfaga las condicionespueden no existir.

Aqu hay un ejemplo de un caso en el que ningn jugadorpierde jugando racionalmente, porque?.

En este caso la funcin Sprague-Grundy no existe.


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Suma de Juegos Combinatorios

Dado varios juegos combinatorios, se puede formar unnuevo juego.

Dadas posiciones iniciales en cada uno de los juegos, losjugadores alternan movimientos.

Un movimiento para un jugador consiste en seleccionarcualquiera de los juegos y hacer un movimiento legal sloall.

El juego contina hasta que todos los juegos alcanzan unaposicin terminal.

El jugador que movi de ltimo es el ganador. Este nuevo juego es llamado suma de juegos

(disjuntos).


Suma de n juego de grafosDefinicinSuponer que tenemos n grafos progresivamente acotados,G1 = (X1, F1), . . . , Gn = (Xn, Fn). Los podemos combinar enun nuevo grafo, G = (X,F ), llamada la suma de G1, G2, . . . , Gndenotado por G = G1 + . . . + Gn como sigue. El conjunto X devrtices es el producto Cartesiano X = X1 . . .Xn. Este esel conjunto de los vrtices (x1, x2, . . . , xn) tal que xi Xi paratodo i. Para los vrtices x = (x1, . . . , xn) X, el conunto de losseguidores de x es definido como

F (x) = F (x1, . . . , xn) =F1(x1) {x2} . . . {xn} {x1} F2(x2) . . . {xn} . . . {x1} {x2} . . . Fn(xn).


Por lo tanto una movida de x = (x1, . . . , xn) consiste enmover exactamente uno de los xi a uno de sus seguidores(un punto en Fi(xi)).

El juego de grafos jugado e G es llamado suma de losjuegos de grafos G1, . . . , Gn.

Si cada grafo Gi es progresivamente acotado, entonces lasuma G es progresivamente acotado tambin.

El mximo nmero de movidas del vrtice x = (x1, . . . , xn)es la suma del mximo nmero de movimientos en cadauno de los grafos.

El juego de Nim de 3 montones puede ser consideradocomo la suma de 3 juegos de Nim, cada uno con unmontn.


El siguiente teorema nos da un mtodo para obtener lafuncin Sprague-Grundy de la suma de juego de grafoscuando la suma de la funciones Sprague-Grundy de cadauno de los juegos es conocida.

Revisaremos la nocin de la suma nim. Esto puede considerarse una dramtica generalizacin del

teorema de Bouton.


Teorema Sprague-Grundy

TeoremaSi gi es la funcin Sprague-Grundy de Gi, i = 1, . . . , n,entonces G = G1 + . . . + Gn tiene funcin Sprague-Grundyg1(x1, . . . , xn) = g(x1) . . . gn(xn).


Demostracin

Sea x = (x1, . . . , xn) un punto arbitrario de X. Seab = g1 . . . gn(xn).Debemos mostrar dos cosas para la funcin g(x1, . . . , xn) :

1. Para cualquier entero no negativo a < b , existe unseguidor de (x1, . . . , xn) que tiene valor g igual a a.

2. No seguidor de (x1, . . . , xn) tiene valor g igual a b.De all, el valor SG de x, siendo el menor valor SG no asumidopor sus seguidores, debe ser b.


Demostracin de (1)

Para mostrar (1), sea d = a b, y k sea el nmero de dgitos enla expansin binaria de d, tal que 2k1 d < 2k y d tiene un 1es la posicin k (desde la derecha). Ya que a < b, b tiene un 1en la posicin k y a tiene 0 all.Ya que b = g1(x1) . . . gn(xn), existe al menos un xi tal quela expansin binaria de gi(xi) es 1 en la posicin k. Supongapor simplicidad que i = 1. Entonces d g1(x1) < g1(x1) por loque hay un movimiento de x1 a algn x1 cong1(x

1) = d g1(x1). Entonces el movimiento de (x1, . . . , xn) a

(x1, . . . , xn) es una movida legal en G y

g1(x1) g2(x2) . . . gn(xn) = d g1 . . . gn(xn) = d b = a


Demostracin de (2)

Finalmente, para mostrar (2), suponemos lo contrario, que(x1, . . . , xn) tiene un seguidor con el mismo valor g, ysuponemos sin prdida de generalidad que envuelve unmovimiento en el primer juego.Lo que significa que suponemos que (x1, x2, . . . , xn) es unseguidor de (x1, x2, . . . , xn) y queg1(x

1) . . . gn(xn) = g1(x1) . . . gn(xn). Por la ley de

cancelacin g1(x1) = g(x1). Pero esto es una contradiccinpuesto que no podemos tener a un seguidor con el mismovalor SG.


Observacin

Una observacin interesante es que el teorema implica quecada juego imparcial progresivamente acotado cuando seconsideran individualmente el comportamiento de uno de loscomponente del juegos, observamos que el comportamientoes como si fuera alguna variacin del juego Nim.


Suma de Juegos de SubstraccinDenotemos por G(m) el juego de substraccin de un montncon conunto de substraccin Sm = {1, 2, . . . ,m}, en la cual sepueden remover de 1 a m fichas del montn. Por lo tantogm(x) x (modm + 1) y 0 gm(x) m.Considere la suma de tres juegos de substraccin. En el primero, m = 3 y la pila tiene 9 fichas. En el segundo, m = 5 y la pila tiene 10 fichas. Y en tercero, m = 7 y la pila tiene 14 fichas.

De esta forma tenemos el juego G(3) + G(5) + G(7) y laposicin inicial es (9, 10, 14).El valor de la posicin inicial esg(9, 10, 14) = g3(9) g5(10) g7(14) = 1 4 6 = 3.Una movida ptima es cambiar la posicin en el juego G(7) atener un valor Sprague-Grundy de 5. Esto solo puede serhecho removiendo una ficha de la pila de 14, dejando 13.


Par si no Todo - Todo si Impar

Considere el juego con una pila con la regla que tu puedesremover:

1. Un nmero par de fichas si no es todo el montn.2. Todo el montn dado que haya un numero impar de fichas.

Hay dos posiciones terminales, cuales?


Calculamos inductivamente,

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .g(x) 0 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 . . .

y vemos que g(2k) = k 1 y g(2k 1) = k para k 1.Supongamos que este juego consiste de 3 pilas de tamaos10, 13 y 20. Los valores SG son g(10) = 4, g(13) = 7 yg(20) = 9. Ya que 4 7 9 = 10 no es cero, este es unaposicin S. Una movida ganadora sera cambiar el valor SG de9 a 3.Para esto removemos 12 fichas de la pila de 20 dejando 8, yaque g(8) = 3.


Una suma de tres juegos diferentes

Suponga que usted esta jugando el juego de agarrar de 3 pilas.

Para la primer pila hay 18 fichas, las reglas son las deljuego previo: Par si no todo - Todo si impar.

Para la segunda pila de 17 fichas , la regla deAl-Menos-la-Mitad aplica.

Para la tercera pila de 7 fichas, la regla de Nim aplica.


Solucin

IPrimero, encontramos el valor SG de las tres pilas que son 8,5 y 7 respectivamente.IEsto tiene una suma Nim de 10 y por lo tanto es una posicinS.IPuede cambiarse a una posicin P al cambiar el valor SG dela primera pila a 2.IDe lo trabajado anteriormente, esto ocurre para pilas de 3 y 6fichas.INo podemos movernos de 18 a 3 pero podemos movernosde 18 a 6.IAs, una ptima solucin es sustraer 12 fichas de la pila de18 fichas dejando 6 fichas.


Preguntas?


Gracias.

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