Uniwersytet im. Adama Mickiewiczaw Poznaniu

Wydział Fizyki

Praca Magisterska

„Splątanie w procesie generacji drugiejharmonicznej przy obecności nieliniowości Kerra”

Wojciech Kotłowski

Promotor pracy:dr hab. Krzysztof Grygiel

Zakład Optyki Nieliniowej, Wydział Fizyki UAM

Poznań 2006

Dziękuję promotorowi dr. hab. Krzysztofowi Gry-gielowi za inspirację, pomoc i opiekę.Dziękuję również prof. Ryszardowi Tanasiowi i dr.hab. Adamowi Miranowiczowi za owocne i wiele da-jące konsultacje.Na koniec, dziękuję rodzicom, braciom i Ani za ciepłoi wsparcie.

Streszczenie

W pracy przedstawiono tworzenie stanów splątanych i mierzenie splątaniaw nieliniowych procesach optycznych — generacji drugiej harmonicznej orazefekcie Kerra. Skupiono się przede wszystkim nad splątaniem dla zmiennychciągłych, w przybliżeniu gaussowskim. Procesy nieliniowe zostały zanali-zowane na dwa sposoby: poprzez formalizm wejścia-wyjścia za pomocą równańLangevina, oraz w obrazie Schrodinger, poprzez równania master, równaniaFokkera-Plancka i równania ewolucji korelacji kwantowych. Przedstawiono iporównano wyniki dla obu przypadków.

Abstract

In the thesis, creation of entangled states and measures of entanglement wereconsidered in the nonlinear optical processes — second harmonic generation andKerr effect. We focused mainly on the entanglement measures for continuousvariable systems, using the Gaussian approximation. The nonlinear processeswere analysed from two points of view: using the input-output formalism andLangevin equation, and in the Schodinger picture, using the master equation,Fokker-Planck equations and equations for evolution of quantum correlations.The results for both approaches were presented and compared.

6

Dziękuję promotorowi dr. hab. Krzysztofowi Gry-gielowi za inspirację, pomoc i opiekę.Dziękuję również prof. Ryszardowi Tanasiowi i dr.hab. Adamowi Miranowiczowi za owocne i wiele da-jące konsultacje.Na koniec, dziękuję rodzicom, braciom i Ani za ciepłoi wsparcie.

Oświadczenie

Ja, niżej podpisany Wojciech Kotłowski, student Wydziału Fizyki Uniw-ersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, oświadczam, że przedkładanąpracę pt. „Splątanie w procesie generacji drugiej harmonicznej przy obecnościnieliniowości Kerra” napisałem samodzielnie. Oznacza to, że przy pisaniu pracy,poza niezbędnymi konsultacjami, nie korzystałem z pomocy innych osób, a wszczególności nie zlecałem opracowania rozprawy lub jej istotnych części innymosobom, ani nie odpisywałem tej rozprawy lub jej istotnych części od innychosób.Równocześnie wyrażam zgodę na to, że gdyby powyższe oświadczenie okazało

się nieprawdziwe, decyzja o wydaniu mi dyplomu zostanie cofnięta.

...................................................

9

Spis treści

Wstęp 11

1 Elementy optyki kwantowej 151.1 Kwantowanie pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Stany kwantowe pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Stany Focka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Stany koherentne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3 Stany ścieśnione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Funkcje kwaziprawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Funkcja Glaubera-Sudarshana . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Funkcja Husimiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3 Funkcja Wignera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Stany gaussowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5 Równania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.1 Równanie master . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.2 Równanie Fokkera-Plancka . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.3 Równanie Langevina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Wybrane zjawiska nieliniowe w optyce kwantowej 292.1 Nieliniowe sprzężenie fal elektromagnetycznych . . . . . . . . . . 292.2 Generacja drugiej harmonicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 Opis klasyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2 Opis kwantowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Optyczny efekt Kerra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.1 Opis klasyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2 Opis kwantowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Miary splątania 393.1 Definicja splątania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Postulaty miar splątania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Splątanie w przestrzeni Hilberta o skończonym wymiarze . . . . 413.4 Splątanie dla zmiennych ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.1 Wybrane miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.2 Kryterium nieseparowalności . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.3 Kryterium EPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

10

4 Splątanie w procesie generacji drugiej harmonicznej 494.1 Opis układu i równania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Analiza równań na klasyczne amplitudy koherentne . . . . . . . . 524.3 Macierze korelacji i miary splątania . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4 Analiza wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Splątanie przy obecności nieliniowości Kerra 675.1 Równania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2 Analiza równań klasycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3 Macierze korelacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4 Analiza wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Analiza splątania przy generacji drugiej harmonicznej w obrazieSchrodingera (równania Fokkera-Plancka) 796.1 Równania ruchu na kumulanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2 Dwuczasowe funkcje korelacji i macierz spektralna . . . . . . . . 846.3 Porównanie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Podsumowanie 91

Bibliografia 93.

11

Wstęp

Wynalezienie lasera zapoczątkowało rozwój nowej dziedziny optyki, zajmu-jącej się nieliniowym oddziaływaniem światła z materią. Generacja drugiej har-monicznej za pomocą rubinowego lasera w krysztale kwarcu była pierwszymzjawiskiem tego typu [38]. Wkrótce odkryto inne efekty optyki nieliniowej,takie jak mieszanie wielu fal czy optyczny efekt Kerra. Wszystkie te zjawiskazostały już dziesiątki lat temu dokładnie zbadane, poznane i opisane. Wkrótcejednak potem powróciły w tematyce nowych badań, gdy zaczęto je analizowaćuwzględniając kwantową naturę światła. Ujawniły one swoje nowe oblicze, przyokazji przyczyniając się do rozwoju optyki kwantowej jako całości. Ich opis za-wierał nowe elementy, takie jak kwantowe korelacje światła, ścieśnione stanypola, statystyki fotonów (bunching i antibunching), dystrybucje kwazipraw-dopodobieństwa, itd [4, 28, 31, 42]. Okazuje się, że wraz z rozwojem nowejdziedziny nauki — informatyki kwantowej — zjawiska te powracają po raz kole-jny, i po raz kolejny w innym kontekście.W roku 1982 amerykański fizyk Richard Feynman jako pierwszy poruszył

temat symulacji układów kwantowych na klasycznych komputerach. Niepokoiłogo, że zasoby klasycznej maszyny, potrzebne do symulacji układu kwantowego,rosną wykładniczo wraz z rozmiarem układu. Zasugerował rozwiązanie prob-lemu, widząc w komputerach opartych na prawach mechaniki kwantowej, więk-sze możliwości obliczeniowe, w tym możliwość efektywnej symulacji każdegoukładu kwantowego. Ziarno zostało zasiane i, początkowo nieśmiało, z cza-sem coraz szybciej zaczęła się wyłaniać nowa nauka, traktująca o możliwościachobliczeniowych ukrytych w prawach mechaniki kwantowej. Już w roku 1985David Deutsch [10] zaproponował model uniwersalnego komputera kwantowegoi podał pierwszy problem, który może na takim komputerze zostać rozwiązanyznacznie szybciej, niż na jakimkolwiek komputerze klasycznym. Wydaje się jed-nak, że zainteresowanie obliczeniami kwantowymi wybuchło na dobre dopiero wroku 1994, kiedy to matematyk Peter Shor przedstawił wielomianowy algorytmfaktoryzacji liczb na komputerze kwantowym. Efektywny algorytm rozkładu naczynniki pierwsze, z uwagi na niezwykle ważne zastosowania i brak jakiegokol-wiek efektywnego algorytmu klasycznego, wzbudził ogromne zainteresowanie iprzyspieszył rozwój dziedziny. Pojawiły się nowe algorytmy i zaczęto rozpoz-nawać więcej problemów o praktycznym zastosowaniu (jak np. przeszukiwaniebaz danych), które mogą zostać rozwiązane efektywniej.Równocześnie rozwijała się kwantowa teoria informacji [32], która na

podobieństwo jej klasycznej wersji, postawiła sobie za cel próbę opisu przekazy-wania i przetwarzania kwantowej informacji oraz spojrzenie na mechanikę kwan-tową z tego punktu widzenia. Udało się otrzymać kwantowe odpowiedniki klasy-cznych twierdzeń Shannona, rozwinąć teorię kodowania, wprowadzić kwantowe

12 Wstęp

kody poprawiające błędy, metody kwantowej kryptografii. Przy okazji tychbadań coraz bardziej zdawano sobie sprawę z wyjątkowej roli jaką odgrywa znanejuż niemalże od początków istnienia mechaniki kwantowej zjawisko, jakim jestsplątanie [16].Splątanie, początkowo opisywane wyłącznie w sposób jakościowy, jako

niezwykła cecha mechaniki kwantowej, odróżniająca ją od mechaniki klasycznej,z czasem zaczęło być opisywane w sposób coraz bardziej ścisły, ilościowy [35].Pierwsze z prac, pokazujące nierówności, jakie musiałyby spełniać wszystkiezmienne klasyczne, zarazem łamane przez prawa mechaniki kwantowej, zostałyprzedstawione przez Johna Bella [1]. Opisywały korelacje, jakim podlegają zmi-enne opisujące stany kwantowe i wskazywały na ich niezwykłe cechy, których nieposiadają ich klasyczne odpowiedniki. Z czasem zaczęto wprowadzać ilościowysposób pomiaru splątania poprzez współczynniki, które otrzymały nazwę miarsplątania. Jedną z nich okazała się znana z kwantowej teorii informacji entropiavon Neumanna [32, 35], co podkreśla istotne związki z tą dziedziną. Mimo, żeudało się znaleźć miarę dla układów złożonych z dwóch podukładów opisanychwektorami w przestrzeni Hilberta (tzw. stany czyste), w ogólnym przypadku dodziś piętrzy się sporo trudności. Stan układu jest wtedy opisywany za pomocąmacierzy gęstości, istnieją stany nie będące stanami czystymi — mieszane. Wtym przypadku okazała się, że nie ma jedynego właściwego sposobu mierzeniasplątania. Pojawiło się wiele miar, wszystkie spełniające własności, jakichod miar splątania oczekiwano. Jeszcze gorzej sytuacja wygląda w przypadkuukładów kwantowych składających się więcej niż z dwóch podukładów, teoriaw tym wypadku nie jest jeszcze wystarczająco dobrze rozwinięta.W końcu, są układy, dla których pojęcie splątania pojawiło się w literaturze

już w słynnej pracy Einsteina, Rosena i Podolskiego [16], mianowicie układyciągłe, czyli opisywane w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta. Wtym przypadku sytuacja jest o tyle trudna, że istnieje mnogość stanów, w ja-kich mogą występować tego typu układy i jak na razie nie ma teorii opisującejsplątanie w przestrzeni wszystkich możliwych stanów ciągłych. Przestrzeń ta-kich stanów jest praktycznie tak duża, jak przestrzeń Hilberta funkcji. Udałosię natomiast rozwinąć teorię przy ograniczeniu do pewnej dosyć uniwersalnej inaturalnej klasy stanów — stanów opisywanych w tzw. reprezentacji Wignerafunkcjami gaussowskimi, zwanych w skrócie stanami gaussowskimi [8]. Stanyte bardzo często występują w mechanice kwantowej (jak np. stan podstawowyoscylatora harmonicznego), a również wiele stanów można nimi przybliżać zdobrą dokładnością. Wydaje się, że stany gaussowskie spełniają w mechan-ice kwantowej podobnie ważną rolę, jak rozkłady normalne w rachunku praw-dopodobieństwa.Kwantyzacja światła w optyce kwantowej polega na przypisaniu każdemu

modowi pola kwantowego oscylatora harmonicznego. Opis pola elektromagnety-cznego jest więc opisem za pomocą zmiennych ciągłych. Stąd splątanie w reżimietakich zmiennych odgrywa szczególnie istotną rolę w tej dziedzinie. Z uwagina ograniczenie się wyłącznie do stanów gaussowskich, wyjątkowo ważna podwzględem mierzenie splątania staje się macierz kowariancji takich stanów, zwanatakże macierzą korelacji. To w niej ukryte są pełne informacje o stanie, a jed-nocześnie, z uwagi na jej skończony wymiar, stanowi ona pomost między teoriąsplątania dla zmiennych ciągłych i teorią w skończenie wymiarowej przestrzeniHilberta.Co ciekawe, macierze korelacji dla stanów w optyce kwantowej już od dawna

Wstęp 13

były obiektem zainteresowania badań w tej dziedzinie, przy okazji wyznaczaniastatystyk fotonów czy analizy stanów ścieśnionych [14]. Narzędzia potrzebnedo analizy splątania są więc w optyce kwantowej już od dawna gotowe. Jakwspomniano, w ostatnim czasie powstaje też dobra teoria splątania w przypadkuzmiennych ciągłych, otwiera się więc pole do badań nad zjawiskami optycznymi,umożliwiającymi generowanie i operacje na stanach splątanych.Okazuje się, że do tej roli świetnie nadają się dobrze znane zjawiska nielin-

iowe. Właśnie dlatego pojawiły się one ponownie jako przedmiot badań, tymrazem analizowane pod względem ich własności związanych z tworzeniem stanówsplątanych światła. Stawka jest duża, gdyż układy o takich własnościach mogąstanowić istotną rolę w tworzeniu najpotężniejszej znanej maszyny obliczeniowej— komputera kwantowego, dla którego nie znaleziono jeszcze dobrej technologiina fizyczną realizację.Niniejsza praca zajmuje się właśnie pomiarami splątania w przypadku

układów wykazujących dwa rodzaje nieliniowości — generację drugiej harmon-icznej oraz efekt Kerra.Pierwszy z rozdziałów wprowadza czytelnika w narzędzia optyki kwan-

towej — kwantyzację pola elektromagnetycznego, opis stanów pola, funkcjekwaziprawdopodobieństwa oraz równania ruchu dla układu przy obecnościotaczającego go tzw. rezerwuaru. Wszystkie te narzędzia zostaną wykorzys-tane w dalszej części pracy.Rozdział drugi opisuje wykorzystywane nieliniowe zjawiska optyczne — gen-

erację drugiej harmonicznej i efekt Kerra. Został zamieszczony zarówno opisklasyczny (a właściwie półklasyczny— kiedy światło jest opisywane klasycznymirównaniami Maxwella, a ośrodek jest traktowane kwantowomechanicznie), jak ikwantowy.W rozdziale trzecim definiujemy splątanie i opisujemy, w jaki sposób można

je mierzyć. Mniej uwagi poświęcamy układom skończonym, którymi niebędziemy się tutaj zajmować, natomiast bardziej skupiamy się na przypadkuzmiennych ciągłych.Czwarty z rozdziałów opiera się w dużej mierze na pracy [21] i opisuje

konkretny układ z nieliniowym ośrodkiem generującym drugą harmoniczną zpunktu widzenia dwóch miar splątania. W rozdziale tym używane są narzędzia,opisane w poprzednich trzech rozdziałach wstępnych.W rozdziale piątym nadal skupiamy się nad tym samym układem,

wprowadzamy jednak dodatkową nieliniowość — optyczny efekt Kerra. Badanesą zmiany w strukturze splątania w zależności od siły tego efektu i porównujesię wyniki z rozdziałem wcześniejszym.Szósty z rozdziałów to powrót do układu z rozdziału czwartego, jednak za

pomocą zupełnie różnych narzędzi. Celem jest tutaj przede wszystkim porów-nanie wyników przy zastosowaniu innego formalizmu.Kończymy podsumowaniem, w którym przedstawiamy zbiorcze rezultaty

oraz nakreślamy plany przyszłych badań, które mogłyby stanowić kontynuacjętej pracy.

14 Wstęp

15

Rozdział 1

Elementy optyki kwantowej

1.1 Kwantowanie pola

Rozpoczniemy od wprowadzenia formalizmu pozwalającego na skwantowanieswobodnego pola elektromagnetycznego. Pole klasyczne w próżni opisane jestczterema równaniami Maxwella [20, 23]:

∇ ·E = 0 (1.1)

∇ ·B = 0 (1.2)

∇×E = −∂B

∂t(1.3)

∇×B =1c2∂E

∂t(1.4)

przy czym E jest wektorem natężenia pola magnetycznego, B — wektoremindukcji magnetycznej, zaś c — prędkością światła w próżni.Oba pola można wyrazić poprzez odpowiednie potencjały — skalarny V dla

pola elektrycznego oraz wektorowy A dla pola magnetycznego. Przy ustalaniupotencjałów istnieje swoboda w ich pełnym określeniu, nazywana cechowaniem.Sprowadza się ona do doboru dywergencji, odpowiedniej w danym problemiefizycznym. Przyjęcie cechowania kulombowskiego:

∇ ·A = 0 (1.5)

sprowadza równania Maxwella do postaci równania falowego na potencjał wek-torowy [20, 23]:

−∇2A +1c2∂2A

∂t2= 0 (1.6)

Aby rozwiązać równanie (1.6) potrzebne są jeszcze warunki brzegowe. Przyj-mując ich periodyczną postać na obszarze (sześcianie) o boku L, równaniefalowe spełnione jest przez dowolną falę płaską z odpowiednią wartością wektorafalowego k:

kx

nx=ky

ny=kz

nz=

2πL

nx, ny, nz ∈ Z (1.7)

16 1.1. Kwantowanie pola

oraz częstością ωk = ck, gdzie k = |k|.Ze względu na liniowość równania falowego, dowolna superpozycja fal płas-

kich również spełnia (1.6), a ze względu na zupełność zbioru tych funkcji,dowolne rozwiązanie równania (1.6) jest superpozycją fal płaskich:

A(r, t) =∑

k

Ake−i(ωkt−k·r) + A∗

kei(ωkt−k·r) (1.8)

W celu dokonania kwantyzacji pola, należy jeszcze sprowadzić funkcję Hamil-tona pola wielomodowego do postaci kanonicznej oscylatora harmonicznego,poprzez wprowadzenie zmiennych kanonicznych qk oraz pk [28, 42], zdefin-iowanych poprzez relacje:

Ak =1√

4ε0V ω2k

(ωkqk + ipk)ek (1.9)

A∗k =

1√4ε0V ω2

k

(ωkqk − ipk)e∗k (1.10)

Funkcja Hamiltona (energia) pola wyrażona w tych zmiennych będzie miałanastępującą postać:

H =∑

k

Hk =∑

k

12(ω2

kq2k + p2

k) (1.11)

Mając oscylator harmoniczny, można dokonać jego kanonicznej kwantyzacji.Najbardziej użyteczne dla dalszych rozważań będzie dokonanie tego poprzezwprowadzenie dla każdego modu pola operatorów kreacji i anihilacji, ak oraza†k [27, 28, 31, 42], spełniających bozonowe reguły komutacji:

[ak, a†k′ ] = δkk′ (1.12)

[ak, ak′ ] = [a†k, a†k′ ] = 0 (1.13)

Potencjał wektorowy, który odtąd staje się operatorem, można wyrazićpoprzez:

Ak =√

~2ε0V ωk

ekak (1.14)

gdzie ε0 jest przenikalnością elektryczną, a ek wektorem polaryzacji. Ostate-cznie otrzymujemy więc następującą postać potencjału wektorowego:

A(r, t) =∑

k

√~

2ε0V ωkek

ake

−i(ωkt−k·r) + a†kei(ωkt−k·r)

(1.15)

oraz operatorów pola:

Ek = i

√~ωk

2ε0Vek

ake

−i(ωkt−k·r) − a†kei(ωkt−k·r)

(1.16)

Bk = i

√~

2ε0V ωkk × ek

ake

−i(ωkt−k·r) − a†kei(ωkt−k·r)

(1.17)

Rozdział 1. Elementy optyki kwantowej 17

Hamiltonian wyrażony za pomocą operatorów kreacji i anihilacji będzie miałnastępującą postać:

H =∑

k

Hk =∑

k

~ωk

(a†kak +

12

)(1.18)

1.2 Stany kwantowe pola

Stany kwantowe swobodnego pola elektromagnetycznego można wyrazić zapomocą różnych reprezentacji. Poniżej przedstawione zostaną zarówno stanywłasne hamiltonianu, jak również stany koherentne i ścieśnione, wraz z relacjamizachodzącymi między nimi.

1.2.1 Stany Focka

Podstawową bazą stanów w optyce kwantowej są stany własne hamiltonianu,tzw. stany Focka |nk〉:

Hk|nk〉 = ~ωk

(nk +

12

)|nk〉 (1.19)

będące równocześnie stanami własnymi operatora liczby obsadzeń nk = a†kak:

nk|nk〉 = nk|nk〉 (1.20)

Z tej właśnie przyczyny są one często nazywane stanami n-fotonowymi. Dzi-ałanie operatorów kreacji i anihilacji na te stany przedstawia się w następującysposób:

a†k|nk〉 =√nk + 1|nk + 1〉 (1.21)

ak|nk〉 =√nk|nk − 1〉 (1.22)

Rekursywnie używając równania (1.21) pokazuje się, że każdy stan Fockamożna otrzymać ze stanu próżni poprzez nk-krotne zadziałanie operatoremkreacji, wraz z odpowiednim unormowaniem:

|nk〉 =(a†k)nk

√nk!

|0〉 (1.23)

Zauważmy na koniec, że na skutek separowalności hamiltonianu, stan polawielomodowego faktoryzuje się, tzn. może zostać przedstawiony w postaciiloczynu tensorowego stanów pola dla poszczególnych modów:

|n〉 = |nk1〉 ⊗ |nk2〉 ⊗ . . . = |nk1 , nk2 , . . .〉 (1.24)

1.2.2 Stany koherentne

Stany koherentne najprościej wprowadza się jako stany własne operatoraanihilacji:

a|α〉 = α|α〉 (1.25)

18 1.2. Stany kwantowe pola

Można jednak wyprowadzić ten warunek, żądając aby stany koherentne„przypominały” klasyczne stany pola w tym sensie, że energia pola liczonaklasycznie (Hclass = ~ωk〈a†〉〈a〉) była równa średniej energii liczonej kwantowo(Hquant = ~ωk〈a†a〉) [28], lub, co równoważne, żądając spójności pola we wszys-tkich rzędach.Poprzez zadziałanie operatorem a w iloczynie 〈n|a|α〉 raz w lewą, raz w

prawą stronę, otrzymujemy poprzez rozwinięcie rekurencji następujący wynik[42]:

〈n|α〉 =αn

√n!〈0|α〉 (1.26)

Używając tego wyniku w rozwinięciu względem bazy stanów fokowskich,otrzymujemy:

|α〉 = 〈0|α〉∑

n

αn

√n!|n〉 (1.27)

a z warunku normalizacji 〈α|α〉 = 1:

〈0|α〉 = e−|α|2

2 (1.28)

Stany koherentne nie są jednak ortonormalne, gdyż z (1.27) wynika:

|〈α|β〉|2 = e−|α−β|2 (1.29)

Tym niemniej, są one układem zupełnym, a z faktu, że jest ich więcej niżstanów fokowskich, nazywa się je układem przepełnionym.Wgląd w naturę stanów koherentnych uzyskuje się poprzez wprowadzenie

operatora przesunięcia [28, 34, 42]:

D(α) = eαa†−α∗a (1.30)

Powyższą formułę wyprowadza się, uzyskując, poprzez wstawienie do (1.27)równań (1.28) i (1.23), następujące wyrażenie:

|α〉 = e−|α|2

2

∑n

(αa†)n

n!|0〉 = e−

|α|22 eαa† |0〉 (1.31)

Dodatkowo, ponieważ a|0〉 = 0, zachodzi 1|0〉 = e−α∗a|0〉, tym samym:

|α〉 = e−|α|2

2 eαa†e−α∗a|0〉 (1.32)

lub korzystając z twierdzenia Bakera-Haussdorffa [42, 28]:

|α〉 = eαa†−α∗a|0〉 = D(α)|0〉 (1.33)

Korzystając z definicji operatora, można dowieść następujących równości:

D−1(α)a†D(α) = a† + α∗ (1.34)

D−1(α)aD(α) = a+ α (1.35)

co pokazuje, że stany koherentne są niczym innym jak przesuniętym (w sensieamplitudy) stanem próżni fotonowej.

Rozdział 1. Elementy optyki kwantowej 19

Na koniec zauważmy, że nie można stworzyć podobnej bazy dla stanów włas-nych operatora kreacji. Można pokazać [34], że żaden taki stan nie byłby nor-malizowalny.

1.2.3 Stany ścieśnione

Pomimo, że operatory kreacji i anihilacji nie są hermitowskie, można ut-worzyć dwie ich hermitowskie kombinacje [28, 41, 42]:

X1 = a+ a† (1.36)

X2 = i(a† − a) (1.37)

Z reguł komutacji (1.12) i (1.13) wynika następująca reguła komutacji dlaX1 i X2:

[X1, X2] = 2i (1.38)

Łatwo też pokazać, że w stanie koherentnym nieoznaczoności obu operatorówsą równe jedności. Równocześnie wykorzystując wynikającą z reguł komutacjizasadę nieoznaczoności Heisenberga:

∆X1∆X2 > 1 (1.39)

wnioskujemy, że zmniejszenie nieoznaczoności jednego z operatorów poniżej jed-ności implikuje zwiększenie nieoznaczoności drugiego z operatorów. Stany, dlaktórych ∆Xi 6 1 dla i równego 1 lub 2, nazywamy stanami ścieśnionymiGenerowanie stanów ścieśnionych może być opisane za pomocą operatora

ściskania S(ξ) wraz z operatorem przesunięcia D(α):

|α, ξ〉 = D(α)S(ξ)|0〉 (1.40)

gdzie operator ściskania zdefiniowany jest jako:

S(ξ) = e12 (ξ∗a2−ξa†2) (1.41)

W ogólności, ξ jest wielkością zespoloną, ξ = reiθ, przy czym moduł r określastopień ściskania, zaś faza θ kierunki ściskania, tzn. określa operatory:

X1

(θ

2

)= ae−i θ

2 + a†ei θ2 (1.42)

X2

(θ

2

)= i(a†ei θ

2 − ae−i θ2 ) (1.43)

wzdłuż których ściskanie prowadzi do minimum oznaczoności (są to osie główneelipsy nieoznaczoności).Korzystając z definicji, możemy obliczyć wartości średnie i wariancje opera-

torów kreacji i anihilacji w stanach ścieśnionych:

〈α, ξ|a|α, ξ〉 = α (1.44)

〈α, ξ|a†|α, ξ〉 = α∗ (1.45)

20 1.3. Funkcje kwaziprawdopodobieństwa

〈α, ξ|aa|α, ξ〉 = α2 − eiθ cosh r sinh r (1.46)

〈α, ξ|a†a|α, ξ〉 = |α|2 + sinh2 r (1.47)

Stąd łatwo otrzymujemy już wariancje operatorów X1 i X2 w stanieścieśnionym:

(∆X1)2 = e−2r cos2θ

2+ e2r sin2 θ

2(1.48)

(∆X2)2 = e2r cos2θ

2+ e−2r sin2 θ

2(1.49)

co uzasadnia nazwanie S(ξ) operatorem ściskania.

1.3 Funkcje kwaziprawdopodobieństwa

Baza stanów koherentnych umożliwia, dzięki przepełnieniu, reprezentacjęstanów kwantowych w postaci diagonalnej. Pozwala to na wprowadzenie funkcjio argumentach zespolonych, opisujących stan układu, na podobieństwo ze-społów statystycznych w przestrzeni fazowej. Należy jednak podkreślić, że niejest to podobieństwo daleko idące, ze względu na fakt, że kwantowe funkcjerozkładu mogą przyjmować wartości ujemne i osobliwe. Co więcej, ze względuna nieprzemienność mnożenia w mechanice kwantowej, przy każdym porządkuoperatorów (normalnym, antynormalnym, symetrycznym), średnie i momentywyższego rzędu należy liczyć przy użyciu innej funkcji rozkładu. Większość tegopodrozdziału oparta jest na [41, 42].

1.3.1 Funkcja Glaubera-Sudarshana

Funkcję Glaubera-Sudarshana, zwaną też funkcją P (α) definiuje się jakoreprezentację macierzy gęstości w bazie stanów koherentnych, tj:

ρ =∫P (α)|α〉〈α|d2α (1.50)

wraz z warunkiem normalizacji∫P (α)d2α = 1 (1.51)

Jest to reprezentacja diagonalna i nie jest oczywistym fakt istnienia takiejreprezentacji dla stanu opisanego daną macierzą gęstości. Można pokazać, żejeśli istnieje funkcja:

χ(n)(ξ, ξ∗) = Trρeiξ∗a†eiξa

(1.52)

to jest ona transformatą Fouriera funkcji P (α), tzn. odwrotna transformataFouriera daje:

P (α) =1π2

∫Trρeiξ∗a†eiξa

e−iξ∗α∗

e−iξαd2ξ (1.53)

Rozdział 1. Elementy optyki kwantowej 21

Funkcja P (α) pozwala w prosty sposób wyznaczyć średnie wartości normal-nie uporządkowanych operatorów kreacji i anihilacji:

Trρ(a†)nam =∫P (α)〈α|(a†)nam|α〉d2α =

∫P (α)(α∗)nαmd2α (1.54)

Jeszcze prościej można powyższe średnie wyznaczyć dzięki znajomościfunkcji charakterystycznej:

Trρ(a†)nam =∂n+m

∂(iξ∗)n∂(iξ)mχn(ξ, ξ∗)

∣∣∣ξ=ξ∗=0

(1.55)

Ponieważ macierz gęstości stanu koherentnego |β〉 równa jest ρ = |β〉〈β|,funkcja P (α) jest wtedy osobliwa i równa

P (α) = δ(2)(α− β) (1.56)

Jeszcze większą osobliwość P (α) przejawia w stanach n-fotonowych. Możnapokazać, że dla stanu |n〉 funkcja ta jest pochodną delty Diraka:

Pn(α) =n∑

m=0

1(m!)2

n!(n−m)!

∂2m

∂αm∂α∗mδ(2)(α) (1.57)

Na koniec warto zauważyć, że funkcja Glaubera-Sudarshana przyjmuje dlapewnych stanów wartości dodatnie i spełnia warunki klasycznej funkcji rozkładuprawdopodobieństwa. Stany takie mają odpowiedniki klasyczne, dzięki czemufunkcja P (α) może służyć jako kryterium „nieklasyczności” (nieseparowalności)stanów kwantowych.

1.3.2 Funkcja Husimiego

Aby liczyć średnie z antynormalnego uporządkowania iloczynów operatorówkreacji i anihilacji, można wprowadzić antynormalną funkcję charakterystyczną:

χ(a)(ξ, ξ∗) = Trρeiξaeiξ∗a†

(1.58)

Pozwala ona na wyznaczanie następujących średnich:

Trρ(ama†)n =∂n+m

∂(iξ)m∂(iξ∗)nχa(ξ, ξ∗)

∣∣∣ξ=ξ∗=0

(1.59)

Podobnie, jak w przypadku funkcji normalnej, można wyznaczyć odwrotnątransformatę Fouriera antynormalnej funkcji charakterystycznej:

Q(α) =1π2

∫Trρeiξaeiξ∗a†

e−iξ∗α∗

e−iξαξd2α (1.60)

Jest to właśnie funkcja Husimiego. Oczywiście, możemy powrócić do funkcjicharakterystycznej poprzez transformatę Fouriera funkcji Q(α):

χ(a)(ξ, ξ∗) =∫Q(α)eiξ∗α∗

eiξαd2α (1.61)

co po podstawieniu do (1.59) daje natychmiast:

22 1.3. Funkcje kwaziprawdopodobieństwa

Trρam(a†)n =∫Q(α)αm(α∗)nd2α (1.62)

co oznacza, że funkcję Q(α) stosuje się w analogiczny sposób do P (α), ale przyantynormalnym porządku operatorów.Można również pokazać, że funkcja Q(α) wyraża się prostym wzorem:

Q(α) =1π〈α|ρ|α〉 (1.63)

a ze względu na dodatnią określoność macierzy gęstości, funkcja Husimiegojest również dodatnio określona. Z powyższego wzoru można natychmiastpoliczyć wartości tej funkcji dla stanu koheretnego |β〉:

Q(α) =1π〈α|β〉〈β|α〉 =

1πe−|α−β|2 (1.64)

oraz dla stanu n-fotonowego:

Q(α) =1π〈α|n〉〈n|α〉 =

1π

|α|2n

n!e−|α|

2(1.65)

Powód, dla którego funkcja Q(α) zachowuje się w tak „porządny” sposóbstaje się widoczny po znalezieniu relacji między nią a funkcją P (α):

Q(α) =1π〈α|(∫

P (β)|β〉〈β|d2β

)|α〉 =

1π

∫e−|α−β|2d2β (1.66)

Funkcja Q(α) jest więc splotem P (α) z funkcją gaussowską, co powoduje jej„rozmazanie”.

1.3.3 Funkcja Wignera

Rozważone zostały zarówno normalne, jak i antynormalne uporządkowaniaoperatorów. Pozostaje jeszcze jedno uporządkowanie, zwane symetrycznym, dlaktórego funkcję charakterystyczną definiujemy w następujący sposób:

χ(s)(ξ, ξ∗) = Trρeiξa+iξ∗a†

(1.67)

Podobnie, jak w poprzednich przypadkach, wprowadzamy odwrotną trans-formatę Fouriera:

W (α) =1π2

∫Trρeiξa+iξ∗a†

e−iξ∗α∗

e−iξαξd2α (1.68)

definiując w ten sposób funkcję Wignera.Związki między funkcjami charakterystycznymi otrzymać można korzystając

z twierdzenia Bakera-Hausdorffa:

Trρeiξ∗a†+iξa

= Tr

ρeiξ∗a†eiξa

e−

|ξ|22 = Tr

ρeiξaeiξ∗a†

e|ξ|22 (1.69)

Rozdział 1. Elementy optyki kwantowej 23

a stąd:

χ(s)(ξ, ξ∗) = e−|ξ|22 χ(n)(ξ, ξ∗) (1.70)

χ(s)(ξ, ξ∗) = e|ξ|22 χ(a)(ξ, ξ∗) (1.71)

Korzystając z tych wzorów oraz z (1.68) otrzymujemy związek międzyW (α)i P (α):

W (α) =2π

∫e−2|α−β|2P (β)d2β (1.72)

Na podstawie tego wzoru można wyznaczyć wartość funkcji Wignera dlastanu koherentnego:

W (α) =2πe−2|α−β|2 (1.73)

oraz, po dużo bardziej skomplikowanych obliczeniach, dla stanu n-fotonowego:

W (α) =2π

(−1)ne−2|α|2Ln(4|α|2) (1.74)

gdzie Ln(x) jest n-tym wielomianem Laguerra.Pozostaje pytanie, jakiego typu średnie można wyznaczać za pomocą funkcji

Wignera. Okazuje się, że można liczyć momenty rozkładu symetrycznieuporządkowanych operatorów, tzn. porządku (a†)nams składającego się zewszystkich

(n+m

n

)możliwych porządków iloczynu n operatorów kreacji i m op-

eratorów anihilacji:

Trρ(a†)nams =∫W (α)(α∗)nαmd2α (1.75)

lub poprzez funkcję charakterystyczną:

Trρ(a†)nams =∂n+m

∂(iξ)m∂(iξ∗)nχs(ξ, ξ∗)

∣∣∣ξ=ξ∗=0

(1.76)

1.4 Stany gaussowskie

Stany gaussowskie na potrzeby tej pracy będą zdefiniowane jako stany kwan-towe opisane za pomocą wielomodowej funkcji Wignera postaci:

W (α) =1

(2π)n/2|Σ|1/2e−

12 (α−µ)T Σ−1(α−µ) (1.77)

gdzie α = (α1, . . . , αn) jest wektorem zmiennych dla poszczególnych modów, µ— parametrem, a Σ rzeczywistą, symetryczną macierzą kowariancji (korelacji).W szczególności przydatna będzie definicja funkcji dla dwóch modów α1 i

α2 bez członów liniowych w wykładniku:

W (α1, α2) =1

(2π)|Σ|1/2e−

12 (reα1,imα1,reα2,imα2)

T Σ−1(reα1,imα1,reα2,imα2) (1.78)

oraz odpowiednia funkcja charakterystyczna:

24 1.5. Równania ruchu

χ(s)(α1, α2) = e−12 (reα1,imα1,reα2,imα2)

T Σ(reα1,imα1,reα2,imα2) (1.79)

Definiujemy dla obu modów hermitowskie operatory:

X11 = a1 + a†1 (1.80)

X12 = i(a†1 − a1) (1.81)

X21 = a2 + a†2 (1.82)

X22 = i(a†2 − a2) (1.83)

oraz przedstawiamy macierz korelacji z następującą numeracją elementów:

Σ =

C11

11 C1112 C12

11 C1212

C1121 C11

22 C1212 C12

22

C2111 C21

12 C2211 C22

12

C2121 C21

22 C2212 C22

22

(1.84)

Korzystając z (1.76) możemy wyznaczyć elementy macierzy korelacji:

Cklmn =

12〈Xk

mXln + X l

nXkm〉 − 〈Xk

m〉〈X ln〉 (1.85)

Zauważmy na koniec, że funkcja gaussowska jest w pełni opisana przez mo-menty rozkładu do drugiego rzędu włącznie i za ich pomocą można wyznaczyćwszystkie wyższe momenty.

1.5 Równania ruchu

W mechanice kwantowej, ewolucja wektora falowego |ψ(t)〉 opisana jest rów-naniem Schrodingera:

i~∂

∂t|ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉 (1.86)

W układach otwartych, do opisu stanu kwantowego trzeba często użyć ogól-niejszego formalizmu macierzy gęstości ρ, dla której równanie ruchu wyglądanastępująco:

d

dtρ = − i

~[H, ρ] (1.87)

W pracy będą również używane równania ruchu w obrazie Heisenberga:

d

dtA(t) =

i

~[H(t), A(t)] +

∂

∂tA(t) (1.88)

oraz w obrazie oddziaływania, przytoczone później.Reszta tego podrozdziału zostanie poświęcona przeglądowi metod opisu

układu otwartego, będącego w kontakcie z dużo większym układem, zwanymrezerwuarem. Większość tego podrozdziału oparta jest na pracy [28].

Rozdział 1. Elementy optyki kwantowej 25

1.5.1 Równanie master

Dla przykładu przyjmujemy pełny hamiltonian układu w postaci:

H = Hs +Hr + V (1.89)

gdzie

Hs = ~ωa†a (1.90)

jest hamiltonianem układu (tutaj w prostej postaci oscylatora harmonicznego,tj. reprezentacji modu pola elektromagnetycznego, dla uproszczenia obliczeń),

Hr =∑

j

~ωj b†j bj (1.91)

to hamiltonian rezerwuaru (wiele modów traktowanych jako oscylatory harmon-iczne),

V = ~∑

j

(gj a†bj + g∗j b

†j a) (1.92)

jest hamiltonianem oddziaływania między układem a rezerwuaremZakładając, że w czasie t0 układ i rezerwuar zaczynają być w kontakcie i nie

wykazują między sobą korelacji, możemy przyjąć, że pełna macierz gęstości obuukładów ρsr faktoryzuje się:

ρsr(t0) = ρs(t0)ρr(Hr) (1.93)

Definiując operator gęstości i hamiltonian oddziaływania w obrazie oddzi-aływania (odpowiednio, V i Psr):

ρsr(t) = e−i(Hs+Hr)(t−t0)/~Psr(t)ei(Hs+Hr)(t−t0)/~ (1.94)

VI(t− t0) = ei(Hs+Hr)(t−t0)/~Ve−i(Hs+Hr)(t−t0)/~ (1.95)

(1.96)

otrzymujemy równanie ruchu w obrazie oddziaływania:

∂

∂tPsr = − i

~[VI(t− t0), Psr] (1.97)

Następnie definiujemy macierz gęstości układu w obrazie oddziaływania:

ρ(t) = TrrPsr (1.98)

Całkując równanie (1.97) i rozwijając do drugiego rzędu włącznie, używającprzybliżenia:

d

dtρ(t+ τ) ' ρ(t+ τ)− ρ(t)

τ(1.99)

a następnie biorąc ślad po rezerwuarze, otrzymujemy:

26 1.5. Równania ruchu

d

dtρ(t) ' − i

~τ

∫ τ

0

dτ ′TrrVI(τ ′)Psr(t) (1.100)

− 1~2τ

∫ τ

0

dτ ′∫ τ ′

0

dτ ′′TrrVI(τ ′)VI(τ ′′)Psr(t)− VI(τ ′)Psr(t)VI(τ ′′)+ adj.

Wyrażamy następnie hamiltonian oddziaływania w następującej postaci:

VI(τ) = ~a†F (τ) + ~aF †(τ) (1.101)

gdzie:F (τ) = −i

∑j

gj bjei(ω−ωj)τ (1.102)

Wykonując ślad po rezerwuarze napotykamy na średnie typu〈F (τ ′)F †(τ ′′)〉r, które używając przybliżenie Markowa (o nieskończeniekrótkiej pamięci rezerwuaru) można przyrównać do:

〈F (τ ′)F †(τ ′′)〉r = 2πD(ω)〈b(ω)b†(ω)〉rδ(τ ′ − τ ′′) (1.103)

gdzie D(ω) jest gęstością stanów. Takie przybliżenie prowadzi do redukcji całekpostaci: ∫ τ

0

∫ τ ′

0

dτ ′′〈F (τ ′)F †(τ ′′)〉r =γτ

2〈b(ω)b†(ω)〉r (1.104)

gdzie γ = 2πD(ω)|g(ω)|2 jest współczynnikiem tłumienia. Ostatecznie, przyj-mując 〈b†(ω)b(ω)〉r = n, otrzymujemy równanie master w obrazie oddziaływa-nia:

d

dtρ =

γ

2(n+ 1)(a†aρ(t)− aρ(t)a†)− γ

2n(ρ(t)aa† − a†ρ(t)a) + adj. (1.105)

1.5.2 Równanie Fokkera-Plancka

Równanie master jest równaniem operatorowym. Możliwe jest jednak przek-ształcenie tego równania do postaci cząstkowego równania różniczkowego, zaw-ierającego zmienne zespolone. Dokonuje się tego poprzez wyrażenie macierzygęstości w postaci rozwinięcia na stany koherentne (1.50) i podstawieniado (1.105). Korzystając z rozwinięcia (1.31), łatwo otrzymać następującetożsamości:

|α〉〈α|a =(

∂

∂α∗+ α

)|α〉〈α| (1.106)

a†|α〉〈α| =(∂

∂α+ α∗

)|α〉〈α| (1.107)

Wykonując całkowanie przez części przy założeniu, że w granicach |α| → ∞funkcja P (α) znika, może usunąć pochodne przy wyrażeniach |α〉〈α|. Przykład-owo:

Rozdział 1. Elementy optyki kwantowej 27

∫d2αP (α, t)α

∂

∂α|α〉〈α| = −

∫d2α

(∂

∂α(αP (α, t))

)|α〉〈α| (1.108)

Ostatecznie, po przyrównaniu ze sobą wyrazów podcałkowych stojących przy|α〉〈α|, otrzymujemy równanie Fokkera-Plancka:

d

dtP (α, t) =

γ

2

(∂

∂α(αP (α, t)) + c.c.

)+ γn

∂2

∂α∂α∗P (α, t) (1.109)

Współczynniki stojące przy pierwszym z wyrazów po prawej stronie (przypierwszych pochodnych) równania nazywa się macierzą dryftu, podczas gdywspółczynniki przy drugim z wyrazów (przy drugich pochodnych) — macierządyfuzji. Równanie określa ewolucję czasową funkcji kwaziprawdopodobieństwadla oscylatora harmonicznego, reprezentującego mod pola. Podobne równaniezostanie później przedstawione dla hamiltonianu opisującego generację drugiejharmonicznej.

1.5.3 Równanie Langevina

Dotychczasowy opis odbywał się w obrazie oddziaływania, lub po prostychprzekształceniach — w obrazie Schrodingera. Można jednak podobną analizęprzeprowadzić w obrazie Heisenberga, w którym to operatory posiadają następu-jące równania ruchu:

d

dta(t) = −iωa(t)− i

∑j

gj bj(t) (1.110)

d

dtbj(t) = −iωj bj(t)− ig∗j a(t) (1.111)

Całkując drugie z równań otrzymujemy:

bj(t) = bj(t0)e−ωj(t−t0) − ig∗j

∫ t

t0

dt′a(t′)e−iωj(t−t′) (1.112)

Następnie podstawiając (1.112) do (1.110), otrzymujemy:

d

dta(t) = −iωa(t)− i

∑j

gj bj(t0)e−ωj(t−t0) (1.113)

−∑

j

|gj |2∫ t

t0

dt′a(t′)e−iωj(t−t′)

Zwróćmy uwagę, że przechodząc do układu rotującego ze swobodną częstoś-cią operatorów (tj. do obrazu oddziaływania):

A(t) = a(t)eiωt (1.114)

następnie wprowadzając operator szumu:

28 1.5. Równania ruchu

F (t) = −i∑

j

gj bj(t0)e−ωj(t−t0) (1.115)

oraz dokonując ponownie przybliżenia Markowa, tym razem dla drugiego członupo prawej stronie równania (1.113), otrzymujemy ostatecznie:

d

dtA(t) = −γ

2A(t) + F (t) (1.116)

Równanie to nazywane jest często kwantowym równaniem Langevina, zuwagi na podobieństwo do równań z siłami Langevina opisujących ruchyBrowna.

29

Rozdział 2

Wybrane zjawiskanieliniowe w optycekwantowej

Skonstruowanie lasera w latach 60. dało możliwości techniczne do rozwojudziedziny badającej nieliniowe oddziaływanie światła z materią, zwanej optykąnieliniową [4, 24, 38, 41]. Za jej początek uważa się eksperyment generacjidrugiej harmonicznej światła przeprowadzony przez Frankena [17], za pomocąrubinowego lasera na krysztale kwarcu. W późniejszym czasie zaobserwowanowiele innych zjawisk nieliniowych, opisanych i wyjaśnionych na gruncie teoriielektromagnetyzmu (klasycznej i kwantowej).W tym rozdziale celem jest przedstawienie dwóch znanych zjawisk nielin-

iowych — generacji drugiej harmonicznej i optycznego efektu Kerra — zarównojęzykiem fizyki klasycznej, jak i kwantowej. Opis poprzedzi wstęp dotyczącybardziej ogólnych równań opisujących oddziaływania padającej fali elektromag-netycznej na układ o nieliniowej polaryzacji. Większość tego rozdziału będzieoparta na pracach [4, 38].

2.1 Nieliniowe sprzężenie fal elektromagnety-cznych

W reżimie klasycznym, propagacją fal elektromagnetycznych rządzą równa-nia Maxwella. W przypadku analizowania światła w materii, wygodniej jednakjest posługiwać się inną ich postacią. Pod wpływem fali elektromagnetycznej,atomy ulegają polaryzacji, indukując dodatkowy ładunek, zwany związanym.Można go otrzymać, rozwijając pełen ładunek w szereg multipolowy i ucinającna drugim wyrazie:

ρ = ρ0 −∇ · P + . . . (2.1)

gdzie P jest wektorem polaryzacji, a∇·P = ρzw ładunkiem związanym. Podob-nie można uczynić z prądem J :

30 2.1. Nieliniowe sprzężenie fal elektromagnetycznych

J = J0 +∇ ·M +∂P

∂t+ . . . (2.2)

gdzie M jest wektorem magnetyzacji (polaryzacji magnetycznej). Następniedefiniując wektor indukcji elektrycznej D i natężenia pola magnetycznego Hjako:

D = ε0E + P (2.3)

H =1µ0

B −M (2.4)

otrzymujemy następujący układ równań materiałowych[20, 23]:

∇ ·D = ρ0 (2.5)

∇ ·B = 0 (2.6)

∇×E = −∂B

∂t(2.7)

∇×H = J0 +∂D

∂t(2.8)

Po obustronnym zadziałaniu operatorem rotacji na równanie (2.7) i podstaw-ieniu równania (2.8), przy zaniedbaniu wektora magnetyzacji i stałego prądu,otrzymujemy równanie opisujące propagację fali w ośrodku nieliniowym [38]:(

∇× (∇×) +1c2∂2

∂t2

)E(r, t) = −µ0

∂2

∂t2P (r, t) (2.9)

Rozwijając powyższe wektory na nieskończony szereg fal płaskich:

E(r, t) =∑

i

Eiei(ki·r−ωit) (2.10)

P (r, t) = P (1)(r, t) + P NL(r, t) (2.11)

P (1)(r, t) =∑

i

χ(1)(ωi) · Eiei(ki·r−ωit) (2.12)

P NL(r, t) =∑m

PNLeikm·r−iωmt (2.13)

otrzymujemy następujący zbiór równań dla każdej częstości ω:(∇× (∇×) +

ω2

c2ε·)

E(k, ω) = µ0ω2P NL(km, ωm = ω) (2.14)

Prawa strona zależy od wartościE dla innych ω, co powoduje, że równania tesą do siebie nieliniowo sprzężone. Odtąd będziemy zakładali, że fala propagujesię w kierunku osi z. Dodatkowo, ponieważ transfer energii między falami stajesię zwykle istotny dopiero po przesunięciu fali o dystans dużo większy, niż jejdługość fali, stosujemy przybliżenie:∣∣∣∂2E(z)

∂z2

∣∣∣ ∣∣∣k∂E∂z

∣∣∣ (2.15)

Rozdział 2. Wybrane zjawiska nieliniowe w optyce kwantowej 31

Pole E może zostać zdekomponowane na część równoległą do k, E|| orazprostopadłą do k, E⊥. Otrzymujemy w ten sposób dwa równania falowe:

∇2E⊥ +ω2

c2(ε ·E)⊥ = −µ0ω

2P NL⊥ (ω, z) (2.16)

oraz:

∇ ·(ε0(ε ·E)|| + P NL

||

)= 0 (2.17)

Rozwijając laplasjan po lewej stronie (2.16), otrzymujemy:

∇2E⊥ = ei(kz−ωt)

(∂2

∂z2+ i2k

∂

∂z− k2

)E⊥(z) (2.18)

natomiast ze związku między k a ω (mogącego definiować k) wynika:

−k2E⊥ +ω2

c2(ε ·E)⊥ = 0 (2.19)

Równania te prowadzą wraz z przybliżeniem (2.15) do równania pierwszegorzędu:

∂E⊥∂z

=iµ0ω

2

2kc2P NL⊥ (ω, z)e−i(kz−ωt) (2.20)

Aby wprowadzić potrzebne przybliżenia, często rozwija się nieliniową po-laryzację indukowaną przez pole elektromagnetyczne w szereg potęgowy wzglę-dem amplitudy pola:

P NL(ω) = P (2)(ω) + P (3)(ω) + . . . (2.21)

przy czym:

P (n)(ω) = χ(n)(ω = ω1 + ω2 + . . .+ ωn) : E1(ω1)E2(ω2) . . .En(ωn) (2.22)

gdzie χ(n) jest tensorem n-tej rangi nieliniowej podatności elektrycznej. Takierozwinięcie wiąże się zwykle z możliwością zaniedbania pewnych członów nielin-iowych, np. ucięciu szeregu potęgowego na pewnym z wyrazów lub przyjęciutylko członów o pewnych wartościach częstości ω. W ten sposób tworzymyprostszy problem, opisując układ tzw. hamiltonianem efektywnym.

2.2 Generacja drugiej harmonicznej

Generacja drugiej harmonicznej jest zjawiskiem, w którym na skutek nielin-iowego oddziaływania z ośrodkiem, przy wchodzącej fali elektromagnetycznejo częstości ω tworzy się dodatkowa fala o częstotliwości dwukrotnie większej,2ω. Na początku przedstawiony zostanie opis klasyczny oddziaływania i równa-nia rządzące propagacją fali. W dalszej części podrozdziału, zjawisko generacjidrugiej harmonicznej opisane zostanie kwantowomechanicznie.

32 2.2. Generacja drugiej harmonicznej

2.2.1 Opis klasyczny

Przyjmiemy, że pole można zdekomponować na dwie fale płaskie o częstotli-wościach ω oraz 2ω, a z kolei każdą z nich na część prostopadła i równoległą. Do-datkowo, ponieważ generacja drugiej harmonicznej jest zjawiskiem nieliniowymdrugiego rzędu, ograniczymy do tego rzędu człony nieliniowe polaryzacji. Zrównań (2.16) i (2.17) otrzymujemy:

∇2E⊥(ωi) +ω2

i

c2(ε(ωi) ·E)⊥(ωi) = −µ0ω

2P(2)⊥ (ωi) (2.23)

oraz:

∇ ·(ε0E)||(ωi) + P

(2)|| (ωi) + P

(2)|| (ωi)

)= 0 (2.24)

gdzie ωi = ω, 2ω, P (2)(ω) = χ(2)(ω = 2ω − ω) : E∗(ω)E(2ω), P (2)(2ω) =χ(2)(2ω = ω + ω) : E(ω)E(ω). Co więcej, przyjmujemy fale w postaci

E(ω) = E1(z)ei(k1·r−ωt) (2.25)

E(2ω) = E2(z)ei(k2·r−2ωt) (2.26)

oraz wektory polaryzacji w postaci:

P (2)(ω) = P(2)1 (z)ei((k2−k1)·r−ωt) (2.27)

P (2)(2ω) = P(2)2 (z)ei(2k2·r−2ωt) (2.28)

Dalej przyjmiemy, że P(2)|| jest zwykle zaniedbywalne, co implikuje, że

E||(ωi)/E⊥(ωi) = tanαi jest stałe, gdzie αi jest kątem między E(ωi) orazE⊥(ωi). Tym samym otrzymujemy równanie:

∂

∂zEi(z) =

iµ0ω2i

2ki,z cos2 αiei ·P(2)

i ei∆kz (2.29)

przy czym ei jest jednostkowym wektorem wzdłuż kierunku Ei, natomiast ∆kjest różnicą wektorów falowych polaryzacji i pola elektrycznego. W szczegól-ności, rozpisanie tego równania dla generacji drugiej harmonicznej, przy założe-niu pełnego dopasowania faz (∆k = 0) prowadzi do następujących równań:

∂E1

∂z=

iω2

k1,z cos2 α12KE∗1E2 (2.30)

∂E2

∂z=

i(2ω)2

k2,z cos2 α2KE2

1 (2.31)

przy czym definiujemy K jako:

K =µ0

2e2 · χ(2)(2ω = ω + ω) : e1e1 (2.32)

=µ0

4e·χ

(2)(ω = −ω + 2ω) : e1e2 (2.33)

Rozdział 2. Wybrane zjawiska nieliniowe w optyce kwantowej 33

co wynika z reguł permutacyjnych dla χ(2). Przy odpowiedniej normalizacji, tj.zamianie zmiennych E1 → α1, E2 → α2, z → ξ, równania (2.30) i (2.31) możnazapisać w prostszej postaci:

d

dξα1(ξ) = κα∗1(ξ)α2(ξ) (2.34)

d

dξα2(ξ) = −1

2κα2

1(ξ) (2.35)

W dalszej analizie będziemy rozważali generację drugiej harmonicznej w re-zonatorze, stąd zmienna ξ zostanie zastąpiona zmienną czasową t. Co więcej,do powyższych równań można dodać człony odpowiadające za „siłę” wymusza-jącą dla poszczególnych modów (czyli zewnętrzne pole pompujące), a takżeodpowiadające za tłumienie. Nie będzie rozważany problem niedopasowaniafaz, tzn. założymy odtąd ∆k = 0. W dalszej części pracy będziemy posługiwaćsię równaniami [13, 36]:

d

dtα1(t) = −γ1α1(t) + κα∗1(t)α2(t) + ε1 (2.36)

d

dtα2(t) = −γ2α2(t)−

12κα2

1(t) + ε2 (2.37)

przy czym ε1, ε2 są klasycznym koherentnymi pola pompującymi, γ1, γ2 —współczynnikami tłumienia.

2.2.2 Opis kwantowy

Rozważymy oddziaływanie modu światła o częstości ω1 z drugim modemo podwojonej częstości ω2 ' 2ω1 w nieliniowym krysztale zamkniętym w in-terferometrze Fabry-Perota [14, 41]. Oba mody są napędzane koherentnymiwejściowymi polami o częstościach ωp i 2ωp. Układ opisany jest następującymhamiltonianem [14, 25]:

H = Hs +Hi (2.38)

gdzie Hs opisuję część hamiltonianu związaną z układem (odwracalną), nato-miast Hi część opisującą oddziaływanie z rezerwuarem (nieodwracalną):

Hs = ~ω1a†1a1 + ~ω2a

†2a2 + i~

κ

2(a†21 a2 − a2

1a†2) (2.39)

+ i~(ε1a†1e−iωpt − ε∗1a1e

iωpt) + i~(ε2a†2e−i2ωpt − ε∗2a2e

i2ωpt)

Hi = (a1Γ†c1+ a†1Γc1) + (a2Γ†c2

+ a†2Γc2) (2.40)

gdzie Γc1 i Γc2 są operatorami rezerwuarowymi (w porównaniu z równaniem(1.89) jest to hamiltonian oddziaływania z rezerwuarem już w obrazie oddzi-aływania, wyrażony za pomocą operatorów szumu kwantowego F ). Eliminując

34 2.2. Generacja drugiej harmonicznej

operatory szumu zgodnie z techniką opisaną w 1.5.1, otrzymujemy równaniemaster

∂

∂tρ = − i

~[Hs, ρ] + γ1(2a1ρa

†1 − a†1a1ρ− ρa†1a1)

+ γ2(2a2ρa†2 − a†2a2ρ− ρa†2a2)

+ 2γ1n1[[a1, ρ], a†1] + 2γ2n2[[a2, ρ], a

†2] (2.41)

gdzie γi są współczynnikami tłumienia, ni — liczbami termicznych fotonówwystępujących w rezerwuarze. Równanie master może zostać przekształconedo równania Fokkera-Plancka zgodnie z zasadami opisanymi w rozdziale 1.5.2.Zakładamy przy tym, że rezerwuar jest w stanie fotonowej próżni, n1 = n2 = 0,oraz dopasowanie częstości wymuszającej do częstości rezonatora, ω1 = ωp.Przekształcamy również operatory kreacji i anihilacji do obrazu oddziaływania,aby pozbyć się swobodnej ewolucji tych operatorów:

ai → aie−iωit (2.42)

a†i → a†ieiωit (2.43)

Po tych przekształceniach otrzymujemy następujące równanie:

∂

∂tP (α1, α2) =

∂

∂α1(γ1α1 − ε1 − κα∗1α2)P (α1, α2)

+∂

∂α∗1(γ1α

∗1 − ε∗1 − κα1α

∗2)P (α1, α2)

+∂

∂α2

(γ2α2 − ε2 +

κ

2α2

1)P (α1, α2)

+∂

∂α∗2

(γ2α

∗2 − ε∗2 +

κ

2α∗1

2)P (α1, α2)

+12∂2

∂α21

κα2P (α1, α2)+12∂2

∂α∗12 κα

∗2P (α1, α2) (2.44)

Należy skomentować, że w przypadku użycie zwykłej funkcji P (α1, α2),mogą pojawić się problemy wynikające z osobliwości tej funkcji dla pewnychstanów kwantowych. Użycie tzw. uogólnionej reprezentacji [12], opisanej zapomocą podwojonej liczby zmiennych (np. czterech zmiennych zespolonychα1, α

†1, α2, α

†2, przy czym α†i nie jest sprzężeniem zespolonym αi) zapobiega tego

typu sytuacjom, zapewniając poprawne zachowanie się funkcji P (α1, α†1, α2, α

†2).

Tym niemniej, będziemy używali równania Fokkera-Plancka do wyznaczenia mo-mentów, przez co używanie uogólnionej reprezentacji nie wydaje się konieczne.Istnieje możliwość rozważenia równań ruchu hamiltonianu drugiej harmon-

icznej w reprezentacji Heisenberga. Użyjemy tutaj metody przedstawionej wsekcji 1.5.3. Podobnie jak w poprzednim przypadku, sprowadzimy operatorykreacji i anihilacji do obrazu oddziaływania. Uzyskujemy następujące kwan-towe równania Langevina:

Rozdział 2. Wybrane zjawiska nieliniowe w optyce kwantowej 35

d

dta1(t) = −γ1a1(t) + κa†1(t)a2(t) + ε1 + F1(t) (2.45)

d

dta2(t) = −γ2a2(t)−

κ

2(a1(t))2 + ε2 + F2(t) (2.46)

przy czym operatory Fi(t) są operatorami szumu kwantowego. Jak zauważonow [9], można operatory te potraktować jako proporcjonalne do zewnętrznegopola próżni wnikającego do rezonatora. Stąd równania te możemy przepisaćjako:

d

dta1(t) = −γ1a1(t) + κa†1(t)a2(t) + ε1 + A1,in (2.47)

d

dta2(t) = −γ2a2(t)−

κ

2(a1(t))2 + ε2 + A2,in (2.48)

2.3 Optyczny efekt Kerra

Efektem Kerra nazywa się zmianę współczynnika załamania światła w nielin-iowym ośrodku na skutek przyłożonego pola elektrycznego [4, 6]. Istotnymczynnikiem odróżniającym ten efekt od innego efektu, zwanego efektem Pock-ela, jest fakt, że pojawiająca się różnica wartości współczynnika załamania jestproporcjonalna do kwadratu wartości pola elektycznego (podczas gdy w drugimwspomnianym efekcie — po prostu do jego wartości w pierwszej potędze).Wyróżnia się zwykle dwa rodzaje efektu Kerra — elektro-optyczny efekt Kerraoraz optyczny efekt Kerra.Pierwszy z nich wiąże się z przyłożeniem wolno zmieniającego się pola, np.

napięcia między dwoma końcami kryształu. Kryształ staje się wtedy dwójłomny.Drugi z efektów dotyczy przypadku, w którym samo padające światło wytwarzazmianę we współczynniku załamania na skutek indukowania w krysztale po-laryzacji. Właśnie tym drugim efektem będziemy się zajmować w tej pracy.

2.3.1 Opis klasyczny

Rozważmy przypadek światła monochromatycznego o częstości ω padającegona kryształ. W tym przypadku pierwszy człon w szeregu potęgowym polaryzacji(2.21) wystąpi tylko dla wartości ω i będzie odpowiadał za zwykły współczynnikzałamania dla światła. Drugi ze współczynników w szeregu wystąpi dla wartościω + ω = 2ω oraz ω − ω = 0 i odpowiedzialny będzie za, odpowiednio, generacjędrugiej harmonicznej oraz pojawienie się napięcia na krysztale. Dopiero trzeciwspółczynnik, a dokładniej jedna z jego składowych o częstości ω + ω − ω = ωbędzie związana z efektem Kerra [6]:

P (3) = 3χ(3)(ω = ω + ω − ω) : E(ω)E(ω)E∗(ω)= 3χ(3)(ω = ω + ω − ω) : |E(ω)|2E(ω) (2.49)

przy czym czynnik 3 przy podatności wynika z relacji permutacyjnych. Jeśliutniemy szereg potęgowy na trzecim wyrazie i dla prostoty założymy pełną

36 2.3. Optyczny efekt Kerra

symetrię (co pozwala zredukować tensorową naturę podatności do postaciskalarnej), całkowita polaryzacja będzie równa:

P (ω) = χ(1)E(ω) + χ(3)|E(ω)|2E(ω) = χeffE(ω) (2.50)

gdzie χeff jest efektywną podatność elektryczną, wyrażoną wzorem:

χeff = χ(1) + 3χ(3)|E(ω)|2 (2.51)

Następnie należy odnieść podatność elektryczną do współczynnika załama-nia:

n2 = ε0(1 + χ) (2.52)

gdzie n jest współczynnikiem załamania, a ε0 przenikalnością elektryczną próżni.Podstawiając do wzoru χeff , otrzymujemy:

n =√ε0(1 + χ(1) + 3χ(3)|E(ω)|2) (2.53)

Następnie rozwijamy pierwiastek w szereg potęgowy względem małegowyrazu ε03χ(3)|E(ω)|2, odcinając wyrazy powyżej pierwszego. Otrzymujemyostatecznie:

n =√ε0(1 + χ(1)) +

3ε0χ(3)

2√ε0(1 + χ(1))

|E(ω)|2

= n0 +3ε0χ(3)

2n0|E(ω)|2 (2.54)

Pozostaje uśrednić współczynnik po czasie, pamiętając, że 〈E(ω)2〉 =2|E(ω)|2 (przyjmując notację, zgodnie z którą amplituda pola stoi przy obueksponensach z ujemnymi i dodatnimi częściami). Dostajemy:

n = n0 +3ε0χ(3)

n0〈E(ω)2〉 = n0 + n2〈E(ω)2〉 (2.55)

gdzie

n2 =3ε0χ(3)

n0(2.56)

Tłumaczy to, że zmiana współczynnika załamania jest proporcjonalna dokwadratu wartości padającego pola elektrycznego.

2.3.2 Opis kwantowy

Rozważmy oddziaływanie pola elektromagnetycznego z nieliniowym ośrod-kiem w obecności optycznego efektu Kerra. Cały układ może być opisany zapomocą następującego hamiltonianu [29, 30, 39, 40]:

H = Hs +Hi (2.57)

gdzie, jak zwykle, Hs jest hamiltonianem układu, zaś Hi opisuje oddziaływaniez rezerwuarem:

Hs = ~ωa†a+~χ2a†2a2 + i~(εa†e−iωpt − ε∗aeiωpt) (2.58)

Rozdział 2. Wybrane zjawiska nieliniowe w optyce kwantowej 37

Hi = aΓ† + a†Γ (2.59)

gdzie Γ jest operatorem rezerwuarowym, ε— koherentnym polem pompującym,a χ stałą sprzężenie odpowiedzialną za efekt Kerra. Eliminując operatory szumuzgodnie z techniką z części 1.5.1 otrzymujemy następujące równanie master :

∂

∂tρ = − i

~[Hs, ρ] + γ(2aρa† − a†aρ− ρa†a1)

+ 2γn[[a, ρ], a†] (2.60)

gdzie n jest średnią liczbą fotonów w rezerwuarze. Podobnie, jak w przypadkugeneracji drugiej harmonicznej, wykorzystując reguły z części 1.5.2, zakładającstan próżni fotonowej rezerwuaru (n = 0), dopasowanie częstości fali pompu-jącej do częstości rezonatora (ωp = ω) oraz używając operatorów w obrazieoddziaływania, przekształcamy powyższe równanie do odpowiedniego równaniaFokkera-Plancka [40]:

∂

∂tP (α, t) = Lcl + Lqu (2.61)

gdzie Lcl i Lqu to wydzielone dwie części równania odpowiedzialne, odpowiednio,za klasyczne i kwantowe zachowanie układu:

Lcl =∂

∂α

(12γα− ε+ iχα|α|2

)P (α, t)

+

∂

∂α∗

(12γα∗ − ε∗ − iχα∗|α|2

)P (α, t)

(2.62)

Lqu = − i2∂

∂α(α2P (α, t)) +

i

2∂

∂α∗(α∗2P (α, t)) (2.63)

Podobnie, jak w przypadku generacji drugiej harmonicznej, użyteczne okażesię rozwiązywanie równań ruchu w obrazie Heisenberga. Zakładając, że opera-tory kreacji i anihilacji będą rozpatrywane w obrazie oddziaływania:

a → ae−iωt (2.64)

a† → a†eiωt (2.65)

otrzymujemy następujące równanie Langevina:

d

dta(t) = −γa(t)− iχa†a2 + ε+ F (t) (2.66)

gdzie operator F (t) jest operatorem szumu kwantowego.

38 2.3. Optyczny efekt Kerra

39

Rozdział 3

Miary splątania

3.1 Definicja splątania

Niewątpliwie, splątanie jest najistotniejszą cechą odróżniającą fizykę kwan-tową od klasycznej [35]. Początkowo, było traktowane w sposób jakościowy, jakoelement nieklasycznego zachowania się układu kwantowego. Z czasem jednak,rozpoczynając od prac Bella [1] nad nierównościami związanymi z korelacjami,zaczęto podejmować próby ilościowego opisu splątania. Stąd pojawiło się poję-cie miar splątania w układach kwantowych.Jak się okażę w dalszej części rozdziału, niezwykle istotną rolę przy definicji

splątania odgrywają tzw. lokalne operacje kwantowej i klasyczna komunikacja(LOCC). Nazwą tą określa się cały szereg możliwych operacji, włącznie z pomi-arami, dotyczących jednak tylko jednego z podukładów (stąd lokalne). Dochodzido tego wymiana dowolnej informacji klasycznym kanałem komunikacji. Istot-ność LOCC polega na tym, że odzwierciedlają one to, co rozumiemy poprzezklasyczne korelacje. Ich działanie nie wykracza poza możliwości informacyjnei obliczeniowe klasycznych układów. Stąd za ich pomocą nie można utworzyćstanu splątanego ze stanu niesplątanego. Co więcej, jeśli stan po operacjachLOCC wykazuje jakieś cechy splątania, można być pewnym, że cechy te musi-ały już istnieć przed wykonaniem operacji, gdyż LOCC nie są w stanie zwiększyćsiły splątania. Wszystkie terminy, które zostały tutaj wymienione, zostaną do-precyzowane w dalszej części rozdziału.Zanim zdefiniuje się miary splątania i poda własności, jakie powinny być

przez nie spełniane, należy zastanowić się nad samą definicją splątania. Możebyć ono uważane za własność układu kwantowego, w którym pojawiają się ko-relacje niemożliwe do osiągnięcia klasycznie [43]. Da się wyróżnić kilka własnościwskazujących czy dany układ jest splątany czy też nie [35]:

• Stany separowalne, tzn. takie, których macierz gęstości da się przedstawićw postaci sumy iloczynów tensorowych macierzy wszystkich podukładów:

ρtotal =∑

i

piρi1 ⊗ ρi

2 ⊗ . . . (3.1)

nie są splątane.

• Splątanie nie może wzrosnąć na skutek lokalnych operacji kwantowychi klasycznej komunikacji (LOCC) — postulat ten jest uzasadniony tym,

40 3.2. Postulaty miar splątania

że klasyczna komunikacja nie może zwiększyć nieklasycznych korelacji; cowięcej lokalne operacje kwantowe nigdy nie zmienią stanu separowalnegow nieseparowalny, tzn. nie doprowadzą do pojawienia się splątania.

• Splątanie nie może zmienić się pod wpływem lokalnych operacji uni-tarnych — z racji ich odwracalność, jakakolwiek zmiana byłaby sprzecznaz poprzednią własnością.

• Istnieją stany maksymalnie splątane — okazuje się, że każdy stan kwan-towy może zostać otrzymany poprzez zastosowanie LOCC ze stanu:

|ψmax〉 =|0, 0〉+ |1, 1〉+ . . . |d− 1, d− 1〉√

d(3.2)

(lub każdego innego stanu otrzymanego przez lokalnie unitarne transfor-macje) dla dwuczęściowego, d-wymiarowego układu.

3.2 Postulaty miar splątania

Od tego momentu ograniczymy się w rozważaniach tylko do układuzłożonego z dwóch części, ponieważ są najlepiej poznane i tylko takie będątematem niniejszej pracy.Celem wprowadzenia ilościowego opisu splątania (czyli miary splątania),

należy ustalić wpierw, jakie własności powinna posiadać taka miara, aby byłazgodna z własnościami i charakterem samego splątania. Przede wszystkim,będzie to funkcja:

E : H → R+ (3.3)

ρ 7→ E(ρ) (3.4)

gdzieH jest przestrzenią Hilberta. Zakłada się również normalizację dla maksy-malnie splątanego stanu (3.2):

E(|ψmax〉) = log d (3.5)

Poniżej przedstawiona zostaje lista postulatów, które powinny być spełnioneprzez każdą z takich miar [35] (choć nie wszystkie są spełniane przez istniejącemiary):

1. E(ρ) = 0 jeśli ρ jest separowalny

2. E nie rośnie (w sensie wartości średniej) przy operacjach LOCC:

E(ρ) >∑

i

piE

(AiρA

†i

TrAiρA†i

)(3.6)

gdzie Ai są tzw. operatorami Krausa [32] opisującymi pewne operacjeLOCC.

Rozdział 3. Miary splątania 41

3. Dla stanu czystego |ψ〉〈ψ| E redukuje się do entropii splątania (ang. en-tropy of entanglement) [32]:

E(|ψ〉〈ψ|) = (S TrB)(|ψ〉〈ψ|) (3.7)

przy czym S jest entropią von Neumanna (opisaną w następnej sekcji) aTrB jest operacją częściowego śladu po podukładzie B.

Poza wyżej wymienionymi pojawiają się jeszcze inne własności, nie są jednakogólnie przyjmowane:

1. Wypukłość — z matematycznego punktu widzenia miara splątania jestfunkcją wypukłą, tzn:

E

(∑i

piρi

)6∑

i

piE(ρi) (3.8)

2. Addytywność — mając n kopii stanu ρ, miara dla takiego stanu jest sumąmiar dla poszczególnych stanów, tj:

E(ρ⊗n) = nE(ρ) (3.9)

Odmianą tej własności, mniej restrykcyjną i bardziej akceptowalną jestregularyzowana (asymptotyczna) addytywność, mianowicie miara:

E∞(ρ) : = limn→∞

E(ρ⊗n)n

(3.10)

jest addytywna, natomiast miara E nie musi być.

3. Ciągłość — miara splątania jest funkcją ciągłą.

3.3 Splątanie w przestrzeni Hilberta o skońc-zonym wymiarze

Miary splątania zdefiniowane są i zbadane najlepiej w przypadku układuskładającego się z dwóch podukładów (dwóch kubitów) w skończenie wymi-arowej przestrzeni Hilberta (wymiar będzie oznaczany przez d). Rozpoczniemyanalizę od stanów czystych, tj. stanów, dla których macierz gęstości może byćprzedstawiona w postaci operatora rzutowego |ψ〉〈ψ| na jednowymiarową pod-przestrzeń. Taka macierz gęstości (i tylko taka) ma swój odpowiednik w postaciwektora stanu |ψ〉.Jak wspomniano już w przypadku kryteriów, jakie powinna spełniać

porządna miara splątania, musi ona w przypadku stanów czystych sprowadzaćsię do entropii splątania [2], która jest wprost związana z entropią von Neu-manna [32]. Sugeruje to natychmiast fakt istnienia tylko jednej miara dla stanówczystych, którą jest wyżej wspomniana entropia.Entropię von Neumanna S(ρ) definiuje się jako

S(ρ) = −Tr(ρ log ρ) (3.11)

42 3.3. Splątanie w przestrzeni Hilberta o skończonym wymiarze

na podobieństwo entropii klasycznej. Z kolei, entropią splątania nazywa sięentropię von Neumanna macierzy gęstości powstałej w wyniku wykonania częś-ciowego śladu na jednym z podukładów:

E(|ψ〉〈ψ|) def= S(TrA|ψ〉〈ψ|) = S(TrB|ψ〉〈ψ|) (3.12)

Zostało pokazane [11], że każda miara L na stanach czystych jest równoważnaentropii splątania, jeśli jest:

1. normalizowana na stanie singletowym,

2. addytywna na stanach czystych,

3. nierosnąca pod wpływem deterministycznych transformacji LOCC,

4. asymptotycznie ciągła na stanach czystych, tj dla każdych ciągów |φn〉,|ψn〉, zbieżnych do tej samej granicy (w sensie normy śladowej) zachodzi:

L(|φn〉)− L(|ψn〉)1 + log(dim H )

→ 0 (3.13)

Są to warunki bardzo ogólne, co uzasadnia przyjęcie jednej miary splątaniana stanach czystych.W przypadku stanów mieszanych, sprawa jest dużo bardziej skomplikowana.

Wyróżnia się szereg miar splątania, spełniających część lub wszystkie własnościwyszczególnione w części 3.2. Celem omówienia dwóch podstawowych miarnależy wpierw przyjrzeć się transformacji stanów kwantowych w asymptotycznejgranicy. Rozważmy n kopii stanu ρ. Niech pod wpływem transformacji LOCCstany te zostaną przekształcone w m stanów σ. Przez r oznaczmy sprawnośćtakiego przekształcenia definiowaną, jako r = m

n . Definiując miary splątania,będziemy rozważali supremum wśród takich wartości, czyli szukali jak najlepszejsprawności takiej transformacji. Co więcej, supremum będzie poszukiwane wprzypadku asymptotycznym, czyli dla n→∞.Na podstawie sprawności transformacji stanów pod wpływem LOCC, można

zdefiniować dwie miary, które okazują się bardzo istotne z punktu widzeniateorii splątania. Koszt splątania (ang. entanglement cost) [35] definiuje się jakonajlepszą sprawność konwersji n maksymalnie splątanych stanów (singletów) dom kopii danego stanu, którego splątanie mierzymy. Jeśli transformację LOCC,zachowującą ślad, oznaczymy przez Φ(·), koszt splątania EC definiujemy jako:

EC(ρ) = infr : lim

n→∞

[infΨD(ρ⊗n,Φ(|φmax〉⊗rn))

]= 0

(3.14)

przy czym D(·, ·) jest odpowiednią miarą odległości, np. normą śladową.Podobnie, można zdefiniować proces odwrotny, czyli konwersję n kopii

danego stanu ρ do m kopii stanu maksymalnie splątanego. Miara powstaław wyniku rozważania takiego procesu to destylowalne splątanie (ang. distillableentanglement) [35], ED. Definiuje się je w analogiczny sposób, jako:

ED(ρ) = supr : lim

n→∞

[infΨD(Φ(ρ⊗n), |φmax〉⊗rn)

]= 0

(3.15)

W tym przypadku jest to supremum, ponieważ chcemy uzyskać jak najwięk-szą liczbę kopii stanów maksymalnie splątanych z danej liczby kopii stanu ρ,

Rozdział 3. Miary splątania 43

podczas gdy w przypadku kosztu splątania było to infimum, gdyż wtedy z jaknajmniejszej liczby stanów maksymalnie splątanych chcieliśmy uzyskać danąliczbę kopii stanu ρ.Okazuje się, że miary te dla stanów czystych są sobie równe i obie

sprowadzają się do entropii splątania. Co więcej, dla dowolnych stanów zachodzibardzo silna własność, która pozwala traktować obie wielkości jako górne i dolneograniczenie na możliwe miary splątania. Mianowicie, przyjmując że dana mi-ara L(ρ) spełnia pierwszy i drugi z postulatów splątania (ma wartość zero dlastanów separowalnych i nie wzrasta pod wpływem LOCC), jest asymptotycznieciągła w sensie (3.13) oraz posiada swoją regularyzację:

L∞(ρ) = limn→∞

L(ρ⊗n)n

(3.16)

to zachodzi:

EC(ρ) 6 L∞(ρ) 6 ED(ρ) (3.17)

Poniżej wymienimy jeszcze dwie inne miary, pozostawiając dla czytelnościich angielskie nazwy (brak jest bezpośredniego lub powszechnie przyjętego ichtłumaczenia):

• Concurrence („współbieżność”) [44], zdefiniowana tylko dla kubitów (czyliwymiaru d = 2), jako:

C(ρ) = max0,√λ1 −

√λ2 −

√λ3 −

√λ4 (3.18)

gdzie λi są wartościami własnymi macierzy ρσy ⊗ σyρ∗σy ⊗ σy, gdzie

σy jest jedną z macierzy Pauliego, natomiast ρ∗ jest macierzą powstałąw wyniku sprzężenia wszystkich elementów macierzy ρ. Concurrence jestbezpośrednio związany ze szczególnym sposobem liczenia ogólniejszej mi-ary splątania — splątania formacji (ang. entanglement of formation).Concurrence przyjmuje wartość 0 dla stanów separowalnych oraz 1 dlastanów maksymalnie splątanych.

• Negativity („negatywność”), bazująca na kryterium splątania Peresa-Horodeckiego [33, 22], zdefiniowana jest jako:

N(ρ) = max

(0,−2

∑i

µi

)(3.19)

gdzie µi jest zbiorem ujemnych wartości własnych macierzy ρTB częś-ciowo transponowanej, przy czym transpozycja jest wykonana tylko dlaelementów z podukładu B. Tak zdefiniowana miara negativitiy przyjmujewartość 0 dla stanów separowalnych oraz 1 dla stanów maksymalnie splą-tanych. Miarę tą można zdefiniować również jako:

N(ρ) = ||ρTB || − 1 (3.20)

gdzie ||X|| = Tr√

X†Xjest normą śladową macierzy operatora. Obie

definicje są sobie równoważne. Aby miara stała się addytywna, wprowadza

44 3.4. Splątanie dla zmiennych ciągłych

się jej modyfikację znaną jako logarithmic negativity („logarytmicznanegatywność”):

EN (ρ) = log2 ||ρTB || (3.21)

3.4 Splątanie dla zmiennych ciągłych

Zdefiniowanie miar splątania w przypadku nieskończenie wymiarowejprzestrzeni Hilberta (lub inaczej — w przypadku zmiennych ciągłych) stajesię niezwykle trudnym zadaniem. Przykładowy problem, na jaki się napotyka,to następujący fakt: w dowolnie małym otoczeniu (w sensie normy śladowej)każdego czystego, separowalnego stanu, istnieje inny czysty stan z dowolnie dużąwartością entropii splątania! Co prawda efekt ten zanika w przypadku rozpa-trywania stanów o ograniczonej energii, tym niemniej zdefiniowanie solidnychmiar dla dowolnych stanów ciągłych nadal jest poza zasięgiem teorii splątania.Stąd ogranicza się często rozważania do zawężonej grupy stanów, mających wreprezentacji Wignera postać gaussowską (patrz 1.4) [35, 7].Stan gaussowski jest całkowicie opisany przy pomocy wartości średnich i mo-

mentów drugiego rzędu. W przypadku splątania średnie są nieistotne i pełnainformacja o splątaniu może zostać odczytana z macierzy kowariancji, nazy-wanej też macierzą korelacji (pomimo, że nie jest unormowana).Zanim przystąpimy od opisu stanów splątanych, należy wyszczególnić zestaw

operacji, jakie mogą być wykonywane na stanach gaussowskich. Przede wszys-tkim dopuszcza się branie kombinacji operatorów jako nowej bazy, co równoz-naczne jest z pewną transformacją liniową S. Jak wiadomo, macierz korelacjipod wpływem takiej transformacji ulegnie zmianie analogicznej do zmiany bazy,Σ = ST ΣS. Znak transpozycji zamiast przekształcenia odwrotnego pojawia sięstąd, że przekształcenie liniowe S musi spełniać ściśle określone własności, takaby nowe operatory X ′

i będące kombinacjami starych Xi, zachowywały dobrzeokreślone zasady komutacji:

[X ′i, X

′j ] = iσij (3.22)

gdzie:

σ =n⊕

t=1

(0 1−1 0

)(3.23)

jest macierzą symplektyczną. W przypadku zachowania takich zasad, odw-zorowania S muszą tworzyć rzeczywistą grupę symplektyczną Sp(2n,R). Możnapokazać, że dla dwuczęściowego stanu gaussowskiego warunkiem wystarczają-cym separowalności takiego stanu jest zachowanie zasad komutacji przy częś-ciowej transpozycji stanu (która w tym przypadku oznacza sprzężenie zespolonemacierzy gęstości, co jest równoważne odwróceniu czasu w równaniu ewolucji).Nie jest to niestety warunek konieczny.

3.4.1 Wybrane miary

Miary splątania występujące dla stanów gaussowskich są odpowiednikamimiar dla przypadku skończenie wymiarowego. Poniżej zostaną omówione tylko

Rozdział 3. Miary splątania 45

dwie z nich, których wyznaczenie jest stosunkowo łatwe [35]:

• Entropia splątania — zachowuje poprzednią definicję jako entropia vonNeumanna z częściowego śladu po jednej z części układu z macierzygęstości. Entropię w przypadku stanów gaussowskich można wyrazić wpełni poprzez tzw. symplektyczne wartości własne. Są one zdefiniowanejako wartości własne macierzy |iΣσ|, przy czym | · | oznacza wartośćbezwzględną (w przypadku macierzy wynikiem operacji jest macierzo wartościach własnych równych wartościom bezwzględnym pierwotnejmacierzy). Można pokazać, że jeśli jedna część układu składa się z nA

oscylatorów harmonicznych (np. modów światła), druga część z nB oscy-latorów, wtedy entropia splątania może zostać wyrażona w następującysposób:

S =nA∑i=1

(µi + 1

2log2

µi + 12

− µi − 12

log2

µi − 12

)(3.24)

gdzie µi są właśnie symplektycznymi wartościami własnymi podmacierzykorelacji ΣA, która powstaje poprzez wzięcie operacji śladu na po-dukładzie B (lub inaczej — marginalizację rozkładu po zmiennych B).Jest to dokładnie podmacierz korelacji związana ze zmiennymi z A.

• Logaritmic negativity — również ta miara pozostaje prosta do wyznaczeniaw przypadku stanów gaussowskich. Zakładając ponownie, że układ składasię z nA oscylatorów w jednej części oraz nB w drugiej, definiujemy częś-ciowo transponowaną macierz korelacji ΣTB jako macierzy stanu kwan-towego transponowanego ze względu na zmienne B. Wtedy wartość miarylogaritmic negativity można wyrazić jako:

EN = −n∑

i=1

log2(min1, µk) (3.25)

przy czym µk są symplektycznymi wartościami własnymi macierzy ΣTB

3.4.2 Kryterium nieseparowalności

Inne podejście, nie korzystające wprost z częściowej transpozycji stanu,zostało wprowadzone w [15], gdzie pokazano konieczny i wystarczający warunek,aby stan gaussowski był separowalny. Cała analiza zostanie przeprowadzona wprzypadku stanu składającego się z dwóch części, przy czym w każdej z nich zna-jduje się pojedynczy oscylator harmoniczny. Zakładamy więc, że układ opisy-wany jest za pomocą czterech operatorów, które tutaj zostaną nazwane x1, p1,x2, p2, oraz spełniają następujące reguły komutacji:

[xi, pj ] = iδij (3.26)

[xi, xj ] = [pi, pj ] = 0 (3.27)

Utwórzmy z tych par dwie ich kombinacje w następujący sposób:

46 3.4. Splątanie dla zmiennych ciągłych

u = |a|x1 +1ax2 (3.28)

v = |a|p1 −1ap2 (3.29)

przy czym a jest dowolną niezerową liczbą rzeczywistą. Korzystając znierówności operatorowej:

〈(∆xj)2〉+ 〈(∆pj)2〉 > |[xj , pj ]| = 1 (3.30)

oraz z separowalności stanu ρ:

ρ =∑

i

piρi1 ⊗ ρi2 (3.31)

można pokazać, że nowe operatory u i v muszą spełniać nierówność:

〈(∆u)2〉+ 〈(∆v)2〉 > a2 +1a2

(3.32)

Następnym elementem teorii z [15] jest wprowadzenie dwóch postaci stan-dardowych macierzy korelacji i pokazanie, że macierz korelacji każdego stanugaussowskiego może zostać sprowadzona do każdej z tych postaci poprzez wyko-nanie operacji LLUBO (local linear unitary Bogoliubov operations). Są to op-eracje o ogólnej postaci U = U1 ⊗ U2 (iloczyn tensorowy sugeruje właśnie ichlokalność), przy czym U(xj , pj)TU† = Hj(xj , pj)T , gdzie Hj jest rzeczywistąmacierzą o wyznaczniku równym jedności. Można pokazać [7], że LLUBOmożnasprowadzić do kombinacji operatorów ścieśniania i lokalnych rotacji na stanach.Poniżej przedstawiamy obie postacie standardowe pomijając dowody trans-

formacji (znajdujące się w [15]):

Postać standardowa I Każdy stan gaussowski ρ może zostać sprowadzonydo stanu o następującej macierzy korelacji:

ΣI =

n c

n c′

c mc′ m

(3.33)

przy czym n,m > 1, natomiast c, c′ są dowolnymi liczba rzeczywistymi.

Postać standardowa II Każdy stan gaussowski ρ może zostać sprowadzonydo stanu o następującej macierzy korelacji:

ΣII =

nr1

√r1r2c

nr1

c′√r1r2√

r1r2c mr2c′√r1r2

mr2

(3.34)

przy czym r1 i r2 są parametrami ściskania, spełniającymi następujące równości:

nr1− 1

nr1 = 1=

mr2− 1

mr2 − 1(3.35)

Rozdział 3. Miary splątania 47

√r1r2|c| −

|c′|√r1r2

=√

(nr1 − 1)(mr2 − 1)−

√(n

r1− 1)(

m

r2− 1)(3.36)

Mając stan gaussowski w drugiej postaci normalnej, można pokazać na-jważniejszy z wniosków zawartych w [15]: warunek konieczny i wystarcza-jący separowalności stanu gaussowskiego ρ. Stan ten jest separowalny wtedyi tylko wtedy gdy, przy wyrażeniu macierzy korelacji w postaci standardowej II,nierówność (3.32) jest spełniona przez następujące operatory:

u = a0x1 −c1|c1|

1a0x2 (3.37)

v = a0p1 −c2|c2|

1a0p2 (3.38)

przy czym:

a20 =

√mr2 − 1nr1 − 1

=

√m/r2 − 1n/r1 − 1

(3.39)

c1 =√r1r2c (3.40)

c2 =c′

√r1r2

(3.41)

gdzie m,n, c, c′, r1, r2 są elementami macierzy korelacji występującymi w jejpostaci standardowej II.Po bliższej analizie warunków twierdzenie, można pokazać [5], że nieoznac-

zoności operatorów u i v są równe, tzn:

〈(∆u)2〉 = 〈(∆v)2〉 (3.42)

a stąd nierówność (3.32) może zostać wyrażona w postaci iloczynowej:

√〈(∆u)2〉〈(∆v)2〉 < 1

2

(a0 +

1a0

)(3.43)

Sugeruje to wprowadzenie następującej miary splątania, nazwanej stopniemnieseparowalności [5]:

I =2√〈(∆u)2〉〈(∆v)2〉a0 + 1

a0

(3.44)

Nasuwa się następujące pytanie — czy I może rzeczywiście zostać nazwanamiarą? Z pewnością dyskryminuje stany splątane od separowalnych. Co więcejjest niezmiennicza przy lokalnych operacjach unitarnych (są to operacje LLUBO,a więc postać standardowa II nie zmienia się). Z definicji zawsze jest dodatnia.Co do pozostałych własności, autorowi tej pracy nie są znane żadne prace trak-tujące na ten temat.

48 3.4. Splątanie dla zmiennych ciągłych

3.4.3 Kryterium EPR

Termin paradoks EPR pochodzi z pracy Einsteina, Podolskiego i Rosena z1935 roku [16], w której to po raz pierwszy pojawiła się koncepcja splątania.Pojawienie się paradoksu EPR wiąże się z istnieniem w układzie korelacji kwan-towych pomiędzy parą niekomutujących zmiennych, w tym sensie, że pomiarjednej z obserwabli w układzie A pozwala wnioskować lepiej o układzie B [5].Aby zdefiniować kryterium EPR, wprowadzimy pojęcie warunkowej wari-

ancji jako:

〈(∆x1)2〉1|2 = mink〈(∆x1 − k∆x2)2〉 (3.45)

Minimum w tej postaci wariacyjnej jest osiągane jako „rzut” operatora x1

na układ 1 (jest to ścisłe przy odpowiednim zdefiniowaniu iloczynu skalarnegomiędzy operatorami jako korelacji między nimi przy założeniu hermitowskościtych operatorów), stąd:

〈(∆x1)2〉1|2 = 〈(∆x1)2〉 −〈(∆x1∆x2)〉〈(∆x2)2〉

(3.46)

a korzystając z macierzy korelacji w postaci (1.84):

〈(∆x1)2〉1|2 = C1111 −

|C1211 |2

C2211

(3.47)

Podobnie definiuje się warunkowe wariancje dla operatorów p1, x2, p2. Jakwidać, wszystkie one mogą zostać przedstawione wyłącznie w postaci elementówmacierzy korelacji. Co więcej, można pokazać, że jeśli zdefiniujemy stopieńparadoksu EPR jako:

εdef= 〈(∆x1)2〉1|2〈(∆p1)2〉1|2 (3.48)

(lub symetrycznie zamieniając indeksy 1 i 2), to dla stanów separowalnych musizachodzić ε > 1. Oznacza to, że jeśli ε < 1, to stan jest splątany, jest to więckryterium wystarczające splątania (ale nie konieczne). Sam stopień paradoksuEPR może służyć jako miara siły splątania między podukładami, choć, podob-nie jak w przypadku stopnia nieseparowalności, nie jest znane autorowi, czy (iktóre) aksjomaty miar splątania są w tym przypadku spełnione. Oczywiście, znierówności Cauchy’ego-Schwarza dla operatorów wynika, że ε > 0.

49

Rozdział 4

Splątanie w procesiegeneracji drugiejharmonicznej

Procesy nieliniowe okazują się bardzo dobrym sposobem generacji stanówsplątanych światła [21]. W szczególności, w tym rozdziale zajmiemy się analiząsplątania w przypadku generacji drugiej harmonicznej w rezonatorze. Na skutekobecności nieliniowego ośrodka między podstawowymmodem oraz generowanymmodem o podwojonej częstości tworzą się korelacje, pozwalające klasyfikowaćukład jako splątany. Analizowane jest światło wychodzące z rezonatora, używa-jąc do tego celu formalizmu wejścia-wyjścia [9, 19]. Podstawowym sposobemopisu układu są kwantowe równania Langevina, linearyzowane w punktachodpowiadających ustalonym stanom koherentnych klasycznych amplitud. Więk-sza część poniższego rozdziału pochodzi z pracy [21].

4.1 Opis układu i równania ruchu

Rozpatrywanym układem jest nieliniowy ośrodek zamknięty w rezonatorze,przedstawiony na rysunku 4.1. Rezonator składa się z dwóch półprzepuszczal-nych zwierciadeł, ośrodka umieszczonego między nimi, oraz dodatkowego zwier-ciadła (zwierciadło dolne na rysunku) umożliwiającego rozdzielenie promieniwchodzących i wychodzących (biegną w różnych kierunkach)). Jedno ze zwier-ciadeł półprzepuszczalnych (lewe) jest traktowane jako wpuszczające do rezona-tora światło wejściowe i wypuszczające wyjściowe. Drugie (prawe) — reprezen-tuje straty związane z kontaktem z rezerwuarem.

Aby wyprowadzić równania, posłużymy się hamiltonianem (2.38), jed-nak zgodnie z formalizmem wejścia-wyjścia [19], koherentne światło wejściowezostanie włączone do rezerwuaru. Tym samym otrzymamy równania podobnedo (2.47-2.48), ale bez obecności koherentnej amplitudy:

50 4.1. Opis układu i równania ruchu

(nieliniowe medium)

κa2γa1γ b2γb1γ

outa ,1ina ,1

outa ,2

ina ,2

inb ,1inb ,2

Rysunek 4.1: Schemat układu do analizy splątania przy generacji drugiej har-moczniej.

d

dta1(t) = −γ1a1(t) + κa†1(t)a2(t) + A1,in (4.1)

d

dta2(t) = −γ2a2(t)−

κ

2(a1(t))2 + A2,in (4.2)

przy czym zakładamy tutaj, że operatory A1,in i A2,in są równe tym amplitudomco do wartości średniej, tj. 〈A1,in〉 = ε1, 〈A2,in〉 = ε2.Zastosujemy teraz formalizm wejścia-wyjścia do wyznaczenia relacji między

polem wejściowym, wyjściowym i występującym w rezonatorze. Dodatkowo,zostanie uściślone, co rozumiemy przez A1,in oraz A2,in. Formalizm wejścia-wyjścia opiera się na kwantowych równaniach Langevina, przy czym szum kwan-towy:

F (t) = −i∑

j

gj bj(t0)e−ωj(t−t0) (4.3)

przybliża się całką po częstościach, zakładając dodatkowo, że gj nie zależą odczęstości i jest urojone (tzn. gj ≡ ig):

Rozdział 4. Splątanie w procesie generacji drugiej harmonicznej 51

F (t) = −g∫dωb(ω)e−ω(t−t0) (4.4)

Wprowadzając następujący operator:

ain(t) =1√2π

∫dωe−iω(t−t0)b0(ω) (4.5)

możemy napisać:

F (t) =√γain(t) (4.6)

Dla uczynienia uwagi przepiszemy tutaj całe równanie Langevina:

d

dta(t) = − i

~[a(t),Hs]−

γ

2a+

√γain(t) (4.7)

Okazuje się jednak, że gdy rozwiążemy równanie ruchu w obrazie Heisen-berga używając nie warunków początkowych, ale końcowych w równaniucałkowym postaci (1.113), otrzymamy analogiczne równanie, ale w odniesieniudo warunków wyjściowych zamiast wejściowych:

d

dta(t) = − i

~[a(t),Hs] +

γ

2a−√

γaout(t) (4.8)

Po odjęciu drugiego z równań od pierwszego otrzymamy szukaną zależność[9, 19, 31]:

aout(t) + ain(t) =√γa(t) (4.9)

W przypadku więcej niż dwóch wyjść z rezonatora powyższe związki za-chodzą dla każdego z osobna. W szczególności, dla dwóch wyjść można,porównując równania (4.7) i (4.1)-(4.2), uzyskać następujące równości:

A1,in =√

2γ1aa1,in +√

2γ1bb1,in (4.10)

A2,in =√

2γ2aa1,in +√

2γ2bb2,in (4.11)

przy czym założyliśmy tutaj następującą notację:

• γ1a, γ1b to połówkowe współczynniki tłumienia dla modu a1, odpowiedniodla pierwszego (a) i drugiego (b) wyjścia z rezonatora (dlatego w równani-ach opisujących pole wejściowe i wyjściowe występują przemnożone przez2, za to przy tłumieniu nie będą dzielone przez 2),

• γ2a, γ2b to połówkowe współczynniki tłumienia dla drugiego z modów a2,

• a1,in, b1,in to operatory pól wejściowych dla pierwszego z modów,odpowiednio dla pierwszego i drugiego wejścia,

• a2,in, b2,in to operatory pół wejściowych dla drugiego z modów, odpowied-nio dla pierwszego i drugiego wejścia.

52 4.2. Analiza równań na klasyczne amplitudy koherentne

Okazuje się również, że sumaryczne współczynniki tłumienia w równaniach(4.1)-(4.2) muszą w takim przypadku wynosić:

γ1 = γ1a + γ1b (4.12)

γ2 = γ2a + γ2b (4.13)

Równania ruchu zostaną rozwiązane poprzez podzielenie każdego z opera-torów na jego wartość średnią i fluktuację, tj.:

ai = 〈ai〉+ ∆ai = αi + ∆ai (4.14)

Następnie, zostanie rozwiązana wpierw wersja równań z całkowitym zanied-baniem szumów kwantowych, ∆ai(t) ≡ 0, co będzie odpowiadać równaniomklasycznym. Dalej, wprowadzone zostaną szumy kwantowe do pierwszego rzędu,tzn. jako równanie zlinearyzowane i na ich podstawie wyznaczone zostaną ko-relacje potrzebne do obliczenia stopnia splątania.

4.2 Analiza równań na klasyczne amplitudy ko-herentne

Zaniedbując szumy kwantowe, równania (4.1)-(4.2) można przekształcić donastępujących równań klasycznych:

α1 = −γ1α1 + κα∗1α2 + ε1 (4.15)

α2 = −γ2α2 −κ

2α2

1 + ε2 (4.16)

przy czym kropka nad zmienną oznacza pochodną czasową. Skoncentrujemy sięwyłącznie na stanach ustalonych, tj. punktach stałych dla tego układu równań[13]. W celu badania ich stabilności, należy wyznaczyć macierz Jakobiego wkażdym z takich punktów i zbadać jej wartości własne. Ogólna postać macierzyJakobiego dla układu (4.15)-(4.16) ma następującą postać:

J =

−γ1 κα2 κα∗1 0

κα∗2 −γ1 0 κα1

−κα1 0 −γ2 0

0 −κα∗1 0 −γ2

(4.17)

Nietrudno wyznaczyć wartości własne tej macierzy:

λ1, λ2 = −12(−|κα2|+ γ1 + γ2)±

12

√(−|κα2|+ γ1 − γ2)2 − 4|κα1|2(4.18)

λ3, λ4 = −12(|κα2|+ γ1 + γ2)±

12

√(|κα2|+ γ1 − γ2)2 − 4|κα1|2 (4.19)

Na podstawie tych macierzy można badać stabilność punktu stałego. Wprzypadku, gdy choć jedna wartość własna ma cześć rzeczywistą większą od 0,

Rozdział 4. Splątanie w procesie generacji drugiej harmonicznej 53

układ jest niestabilny. Jeśli jedna z wartości własnych wynosi 0, a pozostałe sąujemne, będziemy obserwować cykl graniczny. W końcu, przy wszystkich ujem-nych wartościach własnych mamy do czynienia ze stabilnym punktem stałym.Aby rozwiązać układ równań (4.15)-(4.16) w stanie ustalonym, przyrównu-

jemy pochodne α1, α2 do zera. Otrzymujemy w ten sposób układ równań alge-braicznych. Równanie drugie można natychmiast rozwiązać względem α2:

α2 =1γ2

(ε2 −

κ

2α2

1

)(4.20)

Podstawiając to do drugiego z równań, otrzymujemy, po niewielkich przek-ształceniach, wyrażenie na α1:

α21α

∗1 +

2γ1γ2

κ2α1 −

2ε2κα∗1 −

2γ2ε1κ2

= 0 (4.21)

Najprościej równanie to rozwiązać można poprzez podzielenie α1 na modułi fazę, tj. α1 = reiφ. Po podstawieniu tej postaci do (4.21) otrzymujemy dwarównania (część rzeczywistą i urojoną):

r3 −(

2ε2κ

)r cos 2φ+

(2γ1γ2

κ2

)r −

(2γ2ε1κ2

)cosφ = 0 (4.22)

sin 2φ+(γ2ε1κε2r

)sinφ = 0 (4.23)

Rozważmy wpierw rozwiązania równania z wartością φ = nπ, tzn. dlaktórych sinφ = 0 (nazwiemy je rozwiązaniami „w fazie”). Wtedy drugie zrównań jest tożsamościowo zerem, natomiast pierwsze sprowadza się do postaci[13]:

r3 + (B −A)r = C (4.24)

gdzie:

A =2ε2κ

(4.25)

B =2γ1γ2

κ2(4.26)

C =2γ2ε1κ2

(4.27)

Ilość pierwiastków rzeczywistych tego równania jest zależna od znaku wyz-nacznika:

δ =(C

2

)2

+(B −A

3

)3

(4.28)

Dla δ > 0 istnieje jeden pierwiastek rzeczywisty i z analizy wartości włas-nych wynika, że jest to rozwiązanie stabilne (wszystkie wartości własne ujemne).W przypadku δ < 0 mamy do czynienia z trzema pierwiastkami, z których za-wsze jeden opisuje rozwiązanie niestabilne, a dwa pozostałe — stabilne (układjest w stanie bistabilnym i to, do jakiego zbiegnie rozwiązania, zależy odwarunków początkowych, tzn. od basenu atraktora w jakim układ zaczyna

54 4.2. Analiza równań na klasyczne amplitudy koherentne

ruch w przestrzeni fazowej). Rozmaitość, na której δ = 0 (punkty bifurkacji)opisane są równaniem [13]:

ε2 = εc2 +32κ2(γ2ε1κ2

)2/3

(4.29)

gdzie εc2 = γ1γ2κ . Równanie to można wyznaczyć w prosty sposób, przyrównując

δ do zera. Same rozwiązania można wyznaczyć najprościej stosując metodęCardana rozwiązywania równań trzeciego stopnia. W ogólności będą to trzyrównania:

α(1)1 = Z1 + Z2 (4.30)

α(2)2 = −1

2(Z1 + Z2) + i

√3

2(Z1 − Z2) (4.31)

α(3)2 = −1

2(Z1 + Z2)− i

√3

2(Z1 − Z2) (4.32)

przy czym

Z1 =(C

2+√δ

)1/3

(4.33)

Z2 =(C

2−√δ

)1/3

(4.34)

Zauważmy, że dla δ > 0 tylko jedno z rozwiązań (α(1)1 ) jest rzeczywiste.

Rozwiązanie to staje się niestabilne przy δ < 0, natomiast dwa pozostałe pier-wiastki (już teraz rzeczywiste) są stabilne.Mogą jednak istnieć również rozwiązania „nie w fazie”, tzn. takie dla których

sinφ 6= 0. W równaniu (4.23) używamy tożsamości sin 2φ = 2 sinφ cosφ, pod-stawiamy do równania (4.22), dzięki czemu pozbywamy się z niego zmiennej φ.Ostatecznie otrzymujemy dwa równania:

cosφ = − C

2Ar(4.35)

r3 + (A+B)r = 0 (4.36)

Drugie z równań można sprowadzić do równania kwadratowego (dzieląc przezr, wiedząc że r 6= 0 z uwagi na pierwsze równanie). Jedynym „fizycznym”rozwiązaniem tego równania jest:

r =

√2κ

(|ε2| − εc2) (4.37)

istniejące dla ε2 6 −εc2. Badając stabilność układu, podstawiając do wzorówna wartości własne (4.18)-(4.19) rozwiązania r i φ, można wyznaczyć warunek,aby wszystkie wartości własne miały części rzeczywiste niedodatnie:

ε21 68κγ22

|ε2|2(|ε2| − εc2) (4.38)

Rozdział 4. Splątanie w procesie generacji drugiej harmonicznej 55

Podsumowując, w zależności od wartości parametrów, mamy do czynieniaz trzema typami rozwiązań: stabilnym „w fazie”, bistabilnym „w fazie” orazstabilnym „nie w fazie”. Wszystkie te rozwiązania pojawią się przy badaniusplątania w następnych sekcjach.

4.3 Macierze korelacji i miary splątania

Mając wyznaczone wartości klasycznych amplitud, można przystąpić dozejścia poziom niżej przy analizie równań (4.1)-(4.2) i uwzględnieniu szumukwantowego. Dokonujemy tego, podstawiając do tych równań wyrażeniapostaci (4.14), a następnie pozostawiając wyłącznie wyrazy do pierwszego rzęduwłącznie, tzn. zawierające ∆ai,∆a

†i , a odrzucając wyrazy wyższego rzędu, np.

zawierające ∆a†1∆a2. Otrzymujemy w ten sposób równania zlinearyzowane [21]:

∆˙a1 = −γ1∆a1 + κ(α∗1∆a2 + α2∆a†1) + ∆A1,in (4.39)

∆˙a2 = −γ2∆a2 − κα1∆a1 + ∆A2,in (4.40)

Ponieważ będziemy się starali uzyskać spektralną macierz korelacji, na-jwygodniej będzie przejść do dziedziny częstotliwościowej wykonując po obustronach równań transformatę Fouriera:

−iω∆a1 = −γ1∆a1 + κ(α∗1∆a2 + α2∆a†1) + ∆A1,in (4.41)

−iω∆a2 = −γ2∆a2 − κα1∆a1 + ∆A2,in (4.42)

Wprowadźmy dwie zmienne hermitowskie dla każdego modu, używając rów-nań (1.80)-(1.83). Następnie zdefiniujemy wektor kolumnowy:

∆X = (∆X11 ,∆X

12 ,∆X

21 ,∆X

22 ) (4.43)

oraz:∆Xin = (∆X1

1,in,∆X12,in,∆X

21,in,∆X

22,in) (4.44)

w analogiczny sposób (korzystając ponownie z definicji (1.80)-(1.83), ale zamiastmodów a1, a2 używając pól wejściowych A1,in, A2,in). Najlepszym sposobem za-pisania równań (4.41)-(4.42) za pomocą tych zmiennych jest utworzenie dwóchkombinacji równań — jedną przez dodanie do siebie obu równań, drugą przezodjęcie jednego równania od drugiego. Otrzymujemy w ten sposób układczterech równań liniowych, które zapisać można w postaci macierzowej:

(∆Xin) = A(∆X) (4.45)

gdzie macierz A przedstawia się następująco:

A =

γ1 − iω − κReα2 −κImα2 −κReα1 −κImα1

−κImα2 γ1 − iω + κReα2 κImα1 −κReα1

κReα1 −κImα1 γ2 − iω 0

κImα1 κReα1 0 γ2 − iω

(4.46)

56 4.3. Macierze korelacji i miary splątania

przy czym Reαi i Imαi to, odpowiednio, część rzeczywista i urojona koher-entnych amplitud. Następnie, korzystając z zależności (4.10)-(4.11), możemywyrazić wektor ∆Xin poprzez wektory ∆Xa,in i ∆Xb,in, przy czym:

∆Xa,in = (∆X11,a,in,∆X

12,a,in,∆X

21,a,in,∆X

22,a,in) (4.47)

∆Xb,in = (∆X11,b,in,∆X

12,b,in,∆X

21,b,in,∆X

22,b,in) (4.48)

gdzie składowe tych wektorów definiujemy znowu w analogiczny sposób do(1.80)-(1.83), ale zamiast zwykłych operatorów pól a1, a2 używamy operatorówa1,in, a2,in (w pierwszym przypadku) oraz b1,in, b2,in (w drugim przypadku), np.X2

1,a,in = a2,in + a†2,in, itp. Oczywiście, ∆ jak zwykle oznacza szum kwantowy(operator po odjęciu wartości średniej). Dzięki tym wektorom jesteśmy w staniezapisać równości (4.10)-(4.11) w postaci macierzowej:

(∆Xin) = Ma(∆Xa,in) + Mb(∆Xb,in) (4.49)

gdzie macierze Ma,Mb zdefiniowane są w sposób następujący:

Ma =

√

2γ1a√

2γ1a√

2γ2a√

2γ2a

(4.50)

Mb =

√

2γ1b√

2γ1b√

2γ2b√

2γ2b

(4.51)

Co więcej, równość (4.9) można również wyrazić w postaci macierzowej,definiując wektor:

∆Xout = (∆X11,out,∆X

12,out,∆X

21,out,∆X

22,out) (4.52)

przy czym ponownie definiujemy składowe wektora w sposób analogiczny do(1.80)-(1.83), ale używając operatorów a1,out, a2,out (są to operatory związane zlewym z wyjść rezonatora, z prawym z wyjść nie wiążemy operatora, ponieważnie interesujemy się tym wyjściem w naszej analizie). Przepisujemy (4.9) jako:

(∆Xout) = Ma(∆X)− I(∆Xa,in) (4.53)

gdzie I jest macierzą jednostkową, natomiast Ma została już wcześniej zdefin-iowana. Odwracając równanie (4.45), tzn:

(∆X) = A−1(∆Xin) (4.54)

oraz podstawiając do (4.53) otrzymujemy:

Rozdział 4. Splątanie w procesie generacji drugiej harmonicznej 57

(∆Xout) = MaA−1(∆Xin)− I(∆Xa,in)

= MaA−1[Ma(∆Xa,in) + Mb(∆Xb,in)]− I(∆Xa,in)

= (MaA−1Ma − I)(∆Xa,in) + MaA−1Mb(∆Xb,in)

= Sa(∆Xa,in) + Sb(∆Xb,in) (4.55)

gdzie w drugim kroku użyliśmy (4.49) oraz wprowadziliśmy macierze Sa =MaA−1Ma − I oraz Sb = MaA−1Mb. Pozwoliło nam to wyrażenie op-eratorów wyjściowych całkowicie poprzez operatory wejściowe. Aby wyz-naczyć korelacje między operatorami, musimy wprowadzić jeszcze macierz(∆Xout)(∆Xout)† (użyliśmy tutaj sprzężenia hermitowskiego zamiast zwykłejtranspozycji, ponieważ operatory X po transformacie Fouriera nie są już hermi-towskie), której każdy element jest równy iloczynowi pewnych dwóch operatorówXk

l,out i Xmn,out. Używając (4.55), otrzymujemy:

(∆Xout)(∆Xout)† = [Sa(∆Xa,in) + Sb(∆Xb,in)][(∆Xa,in)†S†a + (∆Xb,in)†S†b]

= Sa(∆Xa,in)(∆Xa,in)†S†a + Sa(∆Xa,in)(∆Xb,in)†S†b+ Sb(∆Xb,in)(∆Xa,in)†S†a + Sb(∆Xb,in)(∆Xb,in)†S†b

(4.56)

Aby wyznaczyć wartości funkcji korelacji, zauważmy, że 〈∆u∆v〉 = 〈uv〉 −〈u〉〈v〉. Korzystając z własności liniowości dla tej funkcji możemy zapisać:

〈∆Xout∆X†out〉 = Sa〈∆Xa,in∆X

†a,in〉S†a + Sa〈∆Xa,in∆X

†b,in〉S

†b

+ Sb〈∆Xb,in∆X†a,in〉S†a + Sb〈∆Xb,in∆X

†b,in〉S

†b

(4.57)

Zakładamy, że światło wejściowe jest początkowo w stanie koherentnym.Oznacza to, że wszelkie korelacje znikają (bo średnie z iloczynu operatorówfaktoryzują się) za wyjątkiem korelacji postaci 〈X1, X1〉 i 〈X2, X2〉 (gdzie Xi

jest dowolnym z operatorów X1i,a,in, X

2i,a,in, X

1i,b,in, X

2i,b,in), które to wynoszą w

stanie koherentnym 1. Stąd okazuje się, że 〈∆Xa,in∆X†a,in〉 i 〈∆Xb,in∆X

†b,in〉

są macierzami jednostkowymi, natomiast 〈∆Xa,in∆X†b,in〉 i 〈∆Xb,in∆X

†a,in〉

— macierzami zerowymi. Otrzymujemy więc ostatecznie:

〈∆Xout∆X†out〉 = SaS†a + SbS

†b

= (MaA−1Ma − I)(MaA†−1Ma − I) + MaA−1M2bA

†−1Ma

(4.58)

Żeby wyznaczyć macierz korelacji Σ wystarczy skorzystać z (1.85). Wpostaci macierzowej będzie to wyglądało w następujący sposób:

Σ =12(〈∆Xout∆X

†out〉+ 〈∆Xout∆X

†out〉T ) (4.59)

58 4.3. Macierze korelacji i miary splątania

Mając daną macierz korelacji, można wyznaczyć już miary splątania. Anal-iza splątania zostanie oparta przede wszystkim o stopień nieseparowalnościi stopień paradoksu EPR (patrz części 3.4.2 i 3.4.3). W pierwszym przy-padku, należy sprowadzić macierz korelacji do postaci standardowej II, wdrugim wystarczy postać standardowa I. Poniżej opiszemy metody sprowadza-nia macierzy korelacji do tych postaci.Aby uzyskać postać standardową I, wcale nie trzeba szukać odpowiednich op-

eracji LLUBO, ale wystarczy posłużyć się zachowanymi w tym procesie wielkoś-ciami. Zapiszmy macierz korelacji w pierwotnym kształcie w postaci blokowej,tzn:

Σ =

(Σ11 Σ12

Σ21 Σ22

)(4.60)

przy czym Σij to cztery podmacierze o rozmiarach 2 × 2. Przytoczymy tutajraz jeszcze wygląd macierzy korelacji w jej postaci standardowej I:

ΣI =

n c

n c′

c mc′ m

(4.61)

Zwróćmy uwagę, że postać standardowa I powstaje poprzez zadziałanielokalnymi operacjami o wyznaczniku 1 (LLUBO), tzn:

ΣI =

(V1

V2

)Σ

(V T

1

V T2

)(4.62)

Elementy macierzy można mnożyć blokowo, a ponieważ wyznacznik iloczynutrzech macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników, wiedząc, że V1, V2 mająwyznaczniki równe 1, łatwo można się przekonać, że wszystkie macierze Σij orazcała macierz Σ zachowują swój wyznacznik. Jest to wiedza wystarczająca dowyznaczenia współczynników n,m, c, c′. Mianowicie:

n2 = |Σ11| (4.63)

cc′ = |Σ12| (4.64)

m2 = |Σ22| (4.65)

|ΣI | = (nm− c2)(nm− c′2) = |Σ| (4.66)

gdzie | · | oznacza wyznacznik. Wartości n i m otrzymujemy natychmiast zpierwszego i trzeciego z tych równań (macierz korelacji jest dodatnio określona,stąd wyznaczniki nie mogą być ujemne). Używając drugiego i czwartego rów-nania jesteśmy w stanie wyznaczyć c i c′, rozwiązując równanie kwadratowe.Twierdzenie z [15] zapewnia nam istnienie odpowiedniego rozwiązania takiegorównania.Problem pojawia się w przypadku postaci standardowej II. Nie wchodząc w

szczegóły, omówione już w części 3.4.2, problem polega na znalezieniu takichparametrów r1, r2, aby były spełnione równania:

Rozdział 4. Splątanie w procesie generacji drugiej harmonicznej 59

nr1− 1

nr1 = 1=

mr2− 1

mr2 − 1(4.67)

√r1r2|c| −

|c′|√r1r2

=√

(nr1 − 1)(mr2 − 1)−

√(n

r1− 1)(

m

r2− 1)(4.68)

Twierdzenie z [15] mówi tylko o istnieniu rozwiązania. Parametry możnajednak znaleźć, sprowadzając oba równania do wielomianu wysokiego stopnia irozwiązując numerycznie problem znajdywania pierwiastków takiego wielomi-anu. Ponieważ rozwiązanie istnieje, będzie przynajmniej jeden pierwiastek (awłaściwie para liczb rzeczywistych dodatnich: r1, r2) spełniający równania. Os-tatecznej formy wielomianu nie podajemy, ponieważ jest bardzo skomplikowana.Szkicując jego wyprowadzenie — pierwsze z równań rozwiązuje się ze względu najeden z parametrów (rozwiązując równanie kwadratowe), następnie rozwiązanieto wprowadza się do równania drugiego. Dwukrotne przekształcanie równania ipodnoszenie go do kwadratu pozwala pozbyć się pierwiastków i daje ostateczniewielomian 12 stopnia. Nie jest znany autorowi inny sposób rozwiązania.Mając macierz w odpowiedniej postaci standardowej, wzór na stopień niesep-

arowalności (3.44) sprowadza się do:

I =

√C1

IC2I

k + 1k

(4.69)

gdzie:

CiI = kC11

ii +1kC22

ii − 2|C12ii | (4.70)

k =(C22

11 − 1C11

11 − 1

)1/2

(4.71)

przy czym współczynniki Cklmn są elementami macierzy ΣII (patrz również rów-

nanie (1.84)).W przypadku stopnia paradoksu EPR, można wyrazić go jako:

ε =(C11

11 −|C12

11 |2

C2211

)(C11

22 −|C12

22 |2

C2222

)(4.72)

przy czym wystarczy, że współczynniki macierzy pochodzą z ΣI (w postacistandardowej II ε ma taką samą wartość)

4.4 Analiza wyników

W ramach analizy wyników, zrekonstruowane zostały rezultaty z pracy [21].Ustalono, że analiza będzie się odbywać dla parametrów γ1a = 1, γ1b = 0.01,γ2a = 10, γ2b = 0.1, κ = 1 oraz ω = 0. Należy zwrócić uwagę, że w tymprzypadku zerowa wartość częstości oznacza częstość taką samą, jak naturalnaczęstość w rezonatorze, ponieważ operatory są już w obrazie oddziaływania,czyli układzie rotującym z naturalną częstością znajdującą się w hamiltonianie.

60 4.4. Analiza wyników

Parametry zostały dobrane w ten sposób przede wszystkim po to, aby mócporównać się z pracą [21].Wyniki zostają przedstawione dla różnych wartości zewnętrznych pól, przy

czym przedstawione zostały one po unormowaniu względem wartości kryty-cznych, tzn. jeśli ε1, ε2 są polami zewnętrznymi w równaniach ruchu, mybędziemy się posługiwać wielkościami αd

1 i αd2, które wyznacza się następująco:

αd1 =

ε1αc

1

(4.73)

αd2 =

ε2αc

2

(4.74)

gdzie:

αc1 =

(2γ1 + γ2)√

2γ2(γ1 + γ2)κ√

2γ1a(4.75)

αc2 =

γ1γ2

κ√

2γ2b(4.76)

są wartościami krytycznymi pól, występującymi również przy okazji analizowa-nia stabilności w równaniach klasycznych.Wyniki przedstawione są dla αd

1 ∈ [−0.03, 0.03] oraz αd2 ∈ [−2, 2]. Na

rysunku 4.2 znajdują się wartości stopnia EPR, przy czym im ciemniejszypunkt, tym silniejsze splątanie (punkty opisujące stany separowalne mają kolorcałkowicie biały), przy czym miara zaciemnienia jest logarytmiczna. Z kolei,na rysunku 4.3 widnieje ten sam wycinek przestrzeni parametrów, ale anali-zowaną miarą jest tutaj stopnień nieseparowalności. Już z porównania tychdwóch rysunków widać, że obie miary nie zawsze zgadzają się co do wartości.Co więcej, stopień nieseparowalności wskazuje dla małych wartości splątaniawyższą wartość od stopnia EPR, podczas gdy dla dużych wartości wydaje siębyć odwrotnie. Widać to dokładnie na rysunku 4.4, gdzie zostały umieszc-zone punkty zebrane z poprzednich dwóch rysunków, ale osie nie opisują jużparametrów, tylko wartości obu miar splątania. Przykładowo, jeśli dla danychwartości αd

1 i αd2 otrzymaliśmy np. I = 0.2 oraz ε = 0.3, to na wykresie pojawi

się punkt (0.3, 0.2). Z rysunku widać, obie miary są ze sobą silnie skorelowane,tym niemniej dla małych wartości stopnia EPR wykres nachylony jest bardziejw kierunku stopnia nieseparowalności (jest nad linią I = ε nachyloną pod kątemπ2 do osi), podczas gdy w dalszej części następuje sytuacja odwrotna. Zaskaku-jące jest, że istnieją stany separowalne (co widać po wartości I < 1) z dużymiwskazaniami ε (na rysunku widoczne jako poziome „warkocze” punktów). Istot-nym wnioskiem z powyższych rozważań jest również spostrzeżenie, że w procesiegeneracji drugiej harmonicznej, przy odpowiednim doborze parametrów, możezostać utworzone praktycznie dowolnie silne splątanie. Szczególne silne jest onona granicy rejonów, tzn. u góry rysunków 4.2 i 4.3 (granica między rejonemstabilnym i bistabilnym) oraz na dole (granica między rejonem „w fazie”, a „niew fazie”).Dokładne różnice między oboma miarami można zbadać na rysunku 4.5.

Przedstawia on ten sam obszar, ale tym razem zostały na nim zaznaczone sto-sunki wskazań obu miar. Kolor czerwony oznacza, że stopień nieseparowalności

Rozdział 4. Splątanie w procesie generacji drugiej harmonicznej 61

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

Rysunek 4.2: Wartości stopnia EPR w zależności od wartości pól pompującychαd

1 i αd2. Skala zaciemnienia jest logarytmiczna (w decybelach). Im bardziej

niebieski punkt, tym większe splątanie.

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

Rysunek 4.3: Wartości stopnia nieseparowalności w zależności od siły pól pom-pujących αd

1 i αd2.

62 4.4. Analiza wyników

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

stopie paradoksu EPR

sto

pie

nie

sep

aro

wal

no

ci

Rysunek 4.4: Wartości stopnia EPR i stopnia nieseparowalności. Każdypunkt na wykresie oznacza, że dla pewnych wartości αd

1 i αd2 otrzymaliśmy

równocześnie daną wartość stopnia EPR i stopnia nieseparowalności.

wskazuje silniejsze splątanie niż stopień EPR, kolor niebieski oznacza sytuacjęodwrotną.Prócz wykresu opisującego zależność między obiema miarami splątania,

zostały jeszcze dodane rysunki, opisujące co się dzieje ze splątaniem w miaręodstrajania częstości od częstości rezonatora, czyli dla niezerowych wartości ω.Rysunki 4.6 i 4.7 przedstawiają taką sytuację dla czterech różnych wartości ω,przy czym badany jest tylko stopień EPR. Jak widać, przy zwiększaniu ω, splą-tanie zmniejsza się. Jest to zupełnie spodziewany wniosek, ponieważ zwykleodstrojeniu częstości towarzyszy osłabnięcie wszelkich efektów i procesów fizy-cznych.

Rozdział 4. Splątanie w procesie generacji drugiej harmonicznej 63

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- 2

- 4

- 6

- −2

- −4

- −6

Rysunek 4.5: Wartości stosunku obu miar (I w stosunku do ε), podane w skalilogarytmicznej. Kolor czerwony oznacza, że I wskazuje na silniejsze splątanie,niebieski — ε wskazuje na silniejsze splątanie.

64 4.4. Analiza wyników

a)

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

b)

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

Rysunek 4.6: Wartości stopnia EPR przy różnych częstościach: a) ω = 0; b)ω = 0.5.

Rozdział 4. Splątanie w procesie generacji drugiej harmonicznej 65

c)

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

d)

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

Rysunek 4.7: Wartości stopnia EPR przy różnych częstościach (c.d. poprzed-niego rysunku): c) ω = 1; d) ω = 2.

66 4.4. Analiza wyników

67

Rozdział 5

Splątanie przy obecnościnieliniowości Kerra

W poprzednim rozdziale zbadano, w jaki sposób można tworzyć stany splą-tane przy użyciu hamiltonianu z nieliniowością odpowiadającą generacji drugiejharmonicznej. Naturalnym jest pytanie, jak kwestia splątania przedstawia sięw przypadku innych procesów nieliniowych? Mieszanie więcej niż dwóch falprowadziłoby do analizy większej ilości modów światła. Niestety, miary spląta-nia i teoria splątania w ogólności nie są jeszcze wystarczająco dobrze poznane,aby w tej pracy pokusić się o taką analizę. Interesujący jest tutaj natomi-ast przypadek uwzględnienia innych nieliniowości dotyczących mniejszej ilościmodów. W szczególności, dobrze znany efekt Kerra byłby ciekawym aspektemw przypadku analizy siły splątania. Niestety sam efekt Kerra nie wystarczy,ponieważ dotyczy on tylko jednego modu i nie opisuje żadnego oddziaływania(sprzęgania) między różnymi modami światła. Rozpatrywano natomiast liniowesprzężenie między dwoma układami kerrowskimi (przykładowo w [26]). W tejpracy skupimy się jednak na efekcie Kerra występującym równocześnie z nielin-iowością drugiego rzędu w postaci generacji drugiej harmonicznej. Pozwoli toodnieść się do rezultatów z poprzedniego rozdziału i odpowiedzieć na pytanie,czy w tym wypadku nieliniowość kerrrowska zmniejsza, czy może wzmacniasplątanie? Warto zauważyć, że efekt Kerra jest nieliniowością wyższego rzędu(trzeciego), co niestety będzie prowadziło do trudniejszej analizy i posiłkowaniasię w pewnym miejscu metodami numerycznymi.

5.1 Równania ruchu

Rozpatrywanym układem będzie, jak w poprzednim przypadku, nieliniowyośrodek zamknięty w rezonatorze. Postać rezonatora pozostanie taka sama,natomiast sam ośrodek będzie także wykazywał nieliniowości trzeciego rzędu, wszczególności - efekt Kerra.Aby wyprowadzić równania ruchu w tym przypadku, posłużymy się

ponownie hamiltonianem (2.38) (włączając, jak poprzednio, koherentne światłowejściowe do rezerwuaru). Dodamy do hamiltonianu układu dodatkowy członodpowiedzialny za efekt Kerra:

68 5.2. Analiza równań klasycznych

Hkerr =~χ2a†21 a

21 (5.1)

Zwróćmy uwagę, że oznacza to rozpatrywanie członu kerrowskiego tylko wpodstawowym modzie światła — zakładamy tutaj, że nieliniowości trzeciegorzędu w modzie o podwojonej częstości są zaniedbywalnie małe. Nie będziemytutaj ponownie wyprowadzać równań ruchu, które są w dużej mierze podobnedo tych związanych z generacją drugiej harmonicznej. Jedyny dodatkowy człon,jaki się w tym przypadku pojawia to, tylko dla podstawowego modu a1, wyraz−iχa†1a2

1 (analogicznie do równania Langevina (2.66) dla efektu Kerra). Możemywięc zapisać równania ruchu jako:

d

dta1(t) = −γ1a1(t) + κa†1(t)a2(t)− iχa†1(t)(a1(t))2 + A1,in (5.2)

d

dta2(t) = −γ2a2(t)−

κ

2(a1(t))2 + A2,in (5.3)

Przede wszystkim, trudnością będzie tutaj fakt istnienia wyrazu zawier-ającego iloczyn trzech operatorów — sytuacja taka nie miała miejsca przyograniczeniu się tylko do nieliniowości drugiego rzędu.Formalizm wejścia-wyjścia pozostaje taki sam, jak w poprzednim przypadku,

ponieważ nie ma na niego wpływu konkretna postać hamiltonianu zjawiska.Tym samym relacje (4.9) oraz (4.10)-(4.11) nadal obowiązują. Zachowamyrównież wszystkie oznaczenia na mody pola, parametry, pola wejściowe i wyjś-ciowe tak, aby były w pełni zgodne z poprzednim rozdziałem. Analizując równa-nia ruchu, postąpimy podobnie, dzieląc każdy operator na jego wartość średniąi fluktuację, tzn:

ai = 〈ai〉+ ∆ai = αi + ∆ai (5.4)

a następnie wykonując analizę osobno dla równań zaniedbujących szum kwan-towy oraz równań zlinearyzowanych, zawierających szum w pierwszej potędze.

5.2 Analiza równań klasycznych

Zaniedbując szumy kwantowe, równania (5.2)-(5.3) można przekształcić donastępujących równań klasycznych:

α1 = −γ1α1 + κα∗1α2 − iχα∗1α21 + ε1 (5.5)

α2 = −γ2α2 −κ

2α2

1 + ε2 (5.6)

W stosunku do poprzedniego rozdziału, pojawił się tutaj dodatkowy człontrzeciego rzędu, zawierający jednak wyłącznie zmienne dotyczące pierwszego zmodów. Ponownie, skoncentrujemy się tylko na stanach ustalonych. Ogólnapostać macierzy Jakobiego dla układu (5.5)-(5.6) ma następującą postać:

Rozdział 5. Splątanie przy obecności nieliniowości Kerra 69

J =

−γ1 − 2iχα∗1α1 κα2 − iχα2

1 κα∗1 0

κα∗2 + iχα∗21 −γ1 + 2iχα∗1α1 0 κα1

−κα1 0 −γ2 0

0 −κα∗1 0 −γ2

(5.7)

Zauważmy, że w przypadku χ = 0 macierz (5.7) sprowadza się do (4.17). Cowięcej, obie macierze różnią się od siebie tym, że w aktualnie rozpatrywanymprzypadku możemy zdefiniować sobie nowy współczynnik tłumienia (zespolony):

γ′1 = γ1 − 2iχα∗1α1 (5.8)

oraz inną wartość α2:

α′2 = α2 − iχ

κα2

1 (5.9)

Wtedy obie macierze przyjmą tą samą postać. Obserwacja ta nie będziewykorzystywana w trakcie analizy, pozwala jednak uprościć znajdywaniewartości własne macierzy (5.7). Są one następujące

λ1, λ2 = −12(−ζ + γ1 + γ2)±

12

√(−ζ + γ1 − γ2)2 − 4|κα1|2 (5.10)

λ3, λ4 = −12(ζ + γ1 + γ2)±

12

√(ζ + γ1 − γ2)2 − 4|κα1|2 (5.11)

gdzie:

ζ =√|κα2 − iχα2

1|2 − 4χ2|α1|4 (5.12)

Zauważmy, że ζ może być liczbą urojoną.Przyrównując pochodne α1, α2 do zera w (5.5)-(5.6), otrzymujemy układ

równań algebraicznych. Równanie drugie można natychmiast rozwiązać wzglę-dem α2:

α2 =1γ2

(ε2 −

κ

2α2

1

)(5.13)

tak samo, jak w przypadku generacji drugiej harmonicznej bez efektu Kerra.Podstawiając to do drugiego z równań, otrzymujemy, po niewielkich przeksz-tałceniach, wyrażenie na α1:

α21α

∗1 + i

2χγ2

κ2α2

1α∗1 +

2γ1γ2

κ2α1 −

2ε2κα∗1 −

2γ2ε1κ2

= 0 (5.14)

Niestety, w tym przypadku zapisanie α1 za pomocą modułu i fazy lub częścirzeczywistej i urojonej nie pozwala na rozwiązanie tego równania w analitycznysposób. Postaramy się więc równanie to rozwiązań numerycznie. Tak naprawdęmamy do czynienia jednak z dwoma równaniami, przy czym drugie z nich pow-staje poprzez sprzężenie (5.14). Celem znalezienia pierwiastków wielomianu,należy oba równania sprowadzić do jednego. Aby uprościć notację, wprowadz-imy sobie następujące współczynniki:

70 5.2. Analiza równań klasycznych

A =2ε2κ

(5.15)

B =2γ1γ2

κ2(5.16)

C =2γ2ε1κ2

(5.17)

K = 1 + i2χγ2

κ2(5.18)

Wtedy równanie (5.14) da się zapisać jako:

Kα21α

∗1 +Bα1 −Aα∗1 − C = 0 (5.19)

oraz równanie sprzężone:

K∗α∗21 α1 +Bα∗1 −Aα1 − C = 0 (5.20)

Należy z równania (5.19) wyznaczyć α∗1:

α∗1 =Bα1 − C

A−Kα21

(5.21)

i podstawić to do drugiego z równań (mianownik można zlikwidować przem-nażając drugie z równań przez (A−Kα2

1)2, spowoduje to jednak wzrost stopnia

wielomianu zawartego w równaniu). Po przekształceniach i uporządkowaniuwyrazów otrzymamy wielomian piątego stopnia na α1:

5∑i=0

ciαi1 = 0 (5.22)

gdzie:

c0 = ABC + CA2 (5.23)

c1 = −K∗C2 −B2A+A3 (5.24)

c2 = −BCK + 2BCK∗ − 2KAC (5.25)

c3 = B2K − 2KA2 −K∗B2 (5.26)

c4 = K2C (5.27)

c5 = K2A (5.28)

Następnie szukamy miejsc zerowych tego wielomianu, za każdym razemsprawdzając, czy spełniają one pierwotne równanie (5.19). Jeśli tak, wyz-naczamy α2 z równania (5.13). To jeszcze nie koniec, gdyż rozwiązania mogąbyć niestabilne. Sprawdzanie stabilności odbywa się w tym przypadku poprzezwyznaczenie wartości własnych dla każdych otrzymanych α1, α2 i pozostawieniutylko tych rozwiązań, dla których wszystkie wartości własne są niedodatnie.Okazuje się, że tak jak w przypadku bez efektu Kerra, otrzymujemy re-

jony stabilne (jedno rozwiązanie) i bistabilne (trzy rozwiązania, z czego jednoniestabilne). Niestety, ponieważ nie udało się uzyskać analitycznych wzorów

Rozdział 5. Splątanie przy obecności nieliniowości Kerra 71

na rozwiązania, nie jesteśmy również w stanie podać granicy rejonu bistabil-nego. Zwróćmy również uwagę, że wszystkie rozwiązania z członem kerrowskimsą „nie w fazie”. Najłatwiej się o tym przekonać przyglądając się równaniom(5.5)-(5.6), oczywiście z zerowymi wartościami pochodnych. Jeśli α1 miałobybyć rzeczywiste, wtedy zgodnie z drugim z równań, również i α2 musiałobybyć rzeczywiste. To oznaczałoby jednak, że wszystkie wyrazy w pierwszym zrównań są rzeczywiste za wyjątkiem członu zawierającego jednostkę urojoną i.Ponieważ część urojona musi się również zerować, oznaczałoby to, że jedynymrozwiązaniem „w fazie” jest trywialne rozwiązanie α ≡ 0.

5.3 Macierze korelacji

W celu dalszej analizy, musimy jak poprzednio uwzględnić szum kwan-towy. Dokonujemy tego, podstawiając do równań ruchu wyrażenia postaci (5.4),a następnie pozostawiając wyłącznie wyrazy do pierwszego rzędu włącznie.Otrzymujemy następujące równania zlinearyzowane [21]:

∆˙a1 = −γ1∆a1 − 2iχ|α1|2∆a1 + κ(α∗1∆a2 + α2∆a†1)− iχα2

1∆a†1 + ∆A1,in

(5.29)

∆˙a2 = −γ2∆a2 − κα1∆a1 + ∆A2,in (5.30)

Wykonując transformatę Fouriera, otrzymujemy:

−iω∆a1 = −γ1∆a1 − 2iχ|α1|2∆a1 + κ(α∗1∆a2 + α2∆a†1)− iχα2

1∆a†1 + ∆A1,in

(5.31)

−iω∆a2 = −γ2∆a2 − κα1∆a1 + ∆A2,in (5.32)

Dalszy ciąg obliczeń przebiega analogicznie, jak w poprzednim rozdziale.Znajdujemy dwie zmienne hermitowskie dla każdego modu (np. raz dodająci raz odejmując od siebie równania (5.31)-(5.32)), definiujemy wektory tychzmiennych w taki sam sposób jak w (4.43), (4.44) i (4.47)-(4.48). W ten sposóbzapisujemy układ czterech równań na ∆X macierzowo:

(∆Xin) = Akerr(∆X) (5.33)

gdzie macierz Akerr tym razem przedstawia się następująco:

Akerr =γ1 − iω − κReα2 − χImα2

1 −κImα2 + χReα21 − 2χ|α1|2 −κReα1 −κImα1

−κImα2 + χReα21 + 2χ|α1|2 γ1 − iω + κReα2 + χImα2

1 κImα1 −κReα1

κReα1 −κImα1 γ2 − iω 0

κImα1 κReα1 0 γ2 − iω

(5.34)

72 5.4. Analiza wyników

Dalsza analiza jest już zupełnie analogiczna, jak w poprzednim rozdziale, ztym że zamiast macierzy A stosujemy macierz Akerr. Ostatecznie otrzymujemywięc równania:

〈∆Xout∆X†out〉 = SaS†a + SbS

†b

= (MaA−1kerrMa − I)(MaA

†−1kerrMa − I) + MaA−1

kerrM2bA

†−1kerrMa

(5.35)

przy czym macierze Sa, Sb zdefiniowane są jak w (4.50) i (4.51). Macierz ko-relacji Σ wyznaczamy z (4.59). Podobnie, na podstawie elementów tej macierzy,wyznaczamy wartości stopnia nieseparowalności I oraz stopnia paradoksu EPRε, uprzednio sprowadzając je do postaci normalnej. Procedura ta niczym zu-pełnie nie różni się od przedstawionej pod koniec części 4.3.

5.4 Analiza wyników

W celu porównania wyników w przypadkach obecności (χ 6= 0) i nieobecności(χ = 0) efektu Kerra, analiza została przeprowadzona dla tych samych wartościparametrów, co w przypadku generacji drugiej harmonicznej w rozdzialepoprzednim. Dla wygody czytelnika, przepiszemy je w tym miejscu: γ1a = 1,γ1b = 0.01, γ2a = 10, γ2b = 0.1, κ = 1 oraz ω = 0. Pola zewnętrzne zostałyprzedstawione w takich samych granicach, tzn. dla αd

1 ∈ [−0.03, 0.03] orazαd

2 ∈ [−2, 2] (przy czym αd1, α

d2 oznaczają znormalizowane amplitudy tych pól -

patrz równania (4.73)-(4.74), (4.75) i (4.76)).Wyniki zostały przedstawione na kilku kolejnych rysunkach (patrz rysunki

5.1, 5.2, 5.3 i 5.4), osobno dla stopnia nieseparowalności, osobno dla stopniaparadoksu EPR. W każdym z przypadków wyznaczamy miary splątania dlaróżnych wartości parametru χ, czyli różnej siły efektu Kerra w stosunku dowartości sprzężenia drugiej harmonicznej κ. Pierwszy z rysunków jest zawszepowtórzeniem z poprzedniego rozdziału, ponieważ dla χ = 0 wszystkie rów-nania sprowadzają się do równań drugiej harmonicznej. Każdy kolejny przed-stawia wartości miary splątania przy wzrastającym χ. Z rysunków można wys-nuć następujące wnioski: dla małych wartości parametru χ splątanie wizualniewzrasta w dolnej części rysunku. Wzrost ten jest niewielki i wynika z faktu, żezmienia się granica między obszarami „w fazie” i „nie w fazie” z analizy gener-acji drugiej harmonicznej (choć określenia te nie są już poprawne w przypadkuobecności efektu Kerra, gdyż tam wszystkie rozwiązania są „nie w fazie”). Dalej,przy zwiększaniu χ, splątanie coraz bardziej zanika.Nasuwa się pytanie, skąd efekt obniżania splątania przy obecności członu

Kerrowskiego? Pewne bardzo heurystyczne wyjaśnienie można otrzymaćrozważając prostszy model hamiltonianu Kerra bez rezerwuaru, drugiej har-monicznej i pól wejściowych, z jednym modem:

H = ~ωa†a+~χ2

(a†)2a2 (5.36)

Wtedy równanie ruchu w obrazie Heisenberga będzie miało następującąpostać:

Rozdział 5. Splątanie przy obecności nieliniowości Kerra 73

a)

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

b)

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

Rysunek 5.1: Wartości stopnia EPR w przypadku obecności efektu Kerra.Wyniki dla a) χ = 0; b) χ = 0.02

74 5.4. Analiza wyników

c)

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

d)

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

Rysunek 5.2: Wartości stopnia EPR w przypadku obecności efektu Kerra (c.d.poprzedniego rysunku). Wyniki dla c) χ = 0.05; d) χ = 0.1

Rozdział 5. Splątanie przy obecności nieliniowości Kerra 75

a)

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

b)

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

Rysunek 5.3: Wartości stopnia nieseparowalności w przypadku obecności efektuKerra. Wyniki dla a) χ = 0; b) χ = 0.02

76 5.4. Analiza wyników

c)

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

d)

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

Rysunek 5.4: Wartości stopnia nieseparowalności w przypadku obecności efektuKerra (c.d. poprzedniego rysunku). Wyniki dla c) χ = 0.05; d) χ = 0.1

Rozdział 5. Splątanie przy obecności nieliniowości Kerra 77

d

dta = −iωa− iχa†a2 (5.37)

To równanie daje się scałkować. Można pokazać (najprościej poprzez pod-stawienie do równania) że jego rozwiązaniem jest:

a(t) = e−iωt−iχa†ata(0)

= e−iΩta(0) (5.38)

gdzie

Ω = ω − χa†a (5.39)

Otrzymujemy więc równanie z częstością w postaci operatorowej, jednak nieto jest najważniejsze. Zwróćmy uwagę, że przy przejściu do granicy klasycznejotrzymamy:

Ω = ω − χ|α|2 (5.40)

Oznacza to, że można interpretować obecność efektu Kerra w granicy klasy-cznej jako pojawienie się odstrojenia od częstości ω. Odstrojenie to nie jeststałe i zależy od wartości modułu α, tym niemniej w stanie ustalonym jeststałe i niezerowe. Ponieważ, jak już pisaliśmy, odstrojenie od częstości rezona-tora zawsze wiąże się z osłabieniem efektów kwantowych, może być to powódzmniejszenia się stopnia splątania w obecności efektu Kerra.

78 5.4. Analiza wyników

79

Rozdział 6

Analiza splątania przygeneracji drugiejharmonicznej w obrazieSchrodingera (równaniaFokkera-Plancka)

Dotychczasowa analiza splątania w nieliniowym ośrodku generującym drugąharmoniczną przeprowadzana była przy użyciu obrazu Heisenberga i równańLangevina, czyli formalizmu, w którym operatory podlegają ewolucji czasowej,a wartości średnie i korelacje liczone są w stanie początkowym. Dzięki temumożliwe było zastosowanie następujących narzędzi obliczeniowych:

• Formalizmu wejścia-wyjścia — użyty został, aby znaleźć relację międzypolem zewnętrznym, a polem wewnątrz rezonatora; polegał na odpowied-nim zdefiniowaniu operatorów wejściowych i wyjściowych, co później naty-chmiast prowadziło do relacji między nimi. Wykorzystano tutaj operatoryszumu pojawiające się w równaniach Langevina, wiążąc je właśnie z dzi-ałaniem pól zewnętrznych.

• Wyznaczenia macierzy spektralnej poprzez zastosowanie transformatyFouriera do wszystkich operatorów. Warto zauważyć, że niejawnie zostałytutaj użyte dwuczasowe funkcje korelacji. Mianowicie, jeśli transformatęoperatora x(t) zdefiniujemy jako:

x(ω) =1√2π

∫ ∞

−∞x(t)e−iωtdt (6.1)

to iloczyn transformat dwóch operatorów przyjmie postać:

x(ω)y(ω′) =12π

∫dt

∫dt′x(t)y(t′)e−i(ωt+ω′t′) (6.2)

80 6.1. Równania ruchu na kumulanty

Wzięcie wartości średniej po lewej stronie spowoduje, przy wykorzystaniuliniowości operatorów całkowania, że po prawej stronie pod całką pojawiąsię średnie postaci 〈x(t)y(t′)〉, czyli dwuczasowe funkcje korelacji.

Naturalnym jest pytanie, czy podobnej analizy nie można by przeprowadzićrównież w obrazie Schrodingera, a jeśli tak — czy wniosłaby coś nowego.Spróbujemy w tym rozdziale pokazać, że na oba pytania da się odpowiedziećpozytywnie. Będzie trzeba uporać się jednak z dwoma wymienionymi wyżejproblemami — mianowicie, jak połączyć to co się dzieje wewnątrz rezonatoraz polem wewnętrznym, skoro z równań w obrazie Schrodingera (równań masteri Fokkera-Plancka) znikają operatory rezerwuarowe (są „wyśladowane”), orazjak liczyć dwuczasowe funkcje korelacji, skoro same operatory nie podlegająewolucji czasowej.

6.1 Równania ruchu na kumulanty

Analiza będzie opierała się na równaniach ruchu opisujących kumulanty,tzn. korelacje między zmiennymi, w tym przypadku do drugiego rzędu włącznie[40]. Nie będziemy więc rozwiązywać równania Fokkera-Plancka celem uzyska-nia ewolucji funkcji rozkładu, spróbujemy natomiast wyznaczyć wartości ko-relacji, co faktycznie sprowadzi równanie cząstkowe do układ równań zupełnych.Oczywiście, możliwe byłoby użycie kumulant wyższych rzędów, tym niemniejskomplikuje to znacznie równania i opis układu [39].Równania na kumulanty mogą zostać wyprowadzone zarówno z równa-

nia master, jak i z równania Fokkera-Plancka, jednak w obu przypadkachkonieczne będzie dodatkowe założenie. W tym miejscu, dla wygody czytel-nika, przytoczymy ponownie oba równania (2.41) i (2.44), przy czym założymyna potrzeby pracy, że pompujące pola koherentne ε1, ε2 są rzeczywiste, tzn.ε∗1 = ε1, ε

∗2 = ε2, że stan rezerwuaru jest stanem próżni fotonowej (n1 = n2 = 0),

pole pompujące jest dopasowane do częstości rezonatora (ωp = ω) oraz że oper-atory są w obrazie oddziaływania:

∂

∂tρ =

κ

2[a†21 a2 − a2

1a†2, ρ] + ε1[a

†1 − a1, ρ] + ε2[a

†2 − a2, ρ]

+ γ1(2a1ρa†1 − a†1a1ρ− ρa†1a1)

+ γ2(2a2ρa†2 − a†2a2ρ− ρa†2a2) (6.3)

∂

∂tP (α1, α2) =

∂

∂α1(γ1α1 − ε1 − κα∗1α2)P (α1, α2)

+∂

∂α∗1(γ1α

∗1 − ε1 − κα1α

∗2)P (α1, α2)

+∂

∂α2

(γ2α2 − ε2 +

κ

2α2

1)P (α1, α2)

+∂

∂α∗2

(γ2α

∗2 − ε2 +

κ

2α∗1

2)P (α1, α2)

+12∂2

∂α21

κα2P (α1, α2)+12∂2

∂α∗12 κα

∗2P (α1, α2) (6.4)

Rozdział 6. Analiza splątania przy generacji drugiej harmonicznejw obrazie Schrodingera (równania Fokkera-Plancka) 81

Sposób wyznaczania równań na kumulanty pokażemy na przykładzie.Przyjmijmy, że chcemy np. wyznaczyć równanie na korelację 〈a1, a2〉. Ko-rzystając z definicji:

〈a1, a2〉 = 〈a1a2〉 − 〈a1〉〈a2〉 (6.5)

wyznaczamy pochodną czasową, używając wzoru na pochodną iloczynu, jako:

d

dt〈a1, a2〉 =

d

dt〈a1a2〉 − 〈a1〉

d

dt〈a2〉 − 〈a2〉

d

dt〈a1〉 (6.6)

W zależności od tego, z jakiego równania chcemy wyznaczyć ewolucję cza-sową kumulant, postępujemy w dwojaki sposób:

• W przypadku równania master pochodne poszczególnych elementów wyz-naczamy korzystając z definicji, tj.:

d

dt〈a1a2〉 =

d

dtTra1a2ρ = Tra1a2

˙ρ (6.7)

gdzie ostatnie równanie wynika z faktu, że operatory w obrazieSchrodingera są niezależne od czasu (jako symbolu pochodnej w ostatnimrównaniu użyto kropki). Następnie w miejsce pochodnej macierzy gęstości˙ρ wstawiamy prawą stronę równania (6.3) i przeprowadzamy stosowne up-roszczenia używając reguł komutacji.

• W przypadku równań Fokkera-Plancka pochodne wyznaczamy przy po-mocy reprezentacji stanów koherentnych, mianowicie:

d

dt〈a1a2〉 =

d

dt

∫α1α2P (α1, α2, t)d2α1d

2α2 =∫α1α2

d

dtP (α1, α2, t)d2α1d

2α2

(6.8)

Następnie w miejsce pochodnej funkcji P (α1, α2, t) wstawiamy prawąstronę równania (6.4); z pochodnymi po α1, α2 radzimy sobie całkującte człony przez części.

Oczywiście, powyższe rozważania dotyczą wszystkich kumulant, równieżtych pierwszego rzędu, tzn. wartości średnich. Jakąkolwiek z tych metod zasto-sujemy, dojdziemy do następującego zbioru równań:

82 6.1. Równania ruchu na kumulanty

d

dt〈a1〉 = −γ1〈a1〉+ ε1 + χ〈a†1a2〉 (6.9)

d

dt〈a2〉 = −γ2〈a2〉+ ε2 −

χ

2〈a2

1〉 (6.10)

d

dt〈a†1a1〉 = −2γ1〈a†1a1〉+ χ(〈a†21 a2〉+ 〈a2

1a†2〉) (6.11)

d

dt〈a†2a2〉 = −2γ2〈a†2a2〉 −

χ

2(〈a†21 a2〉+ 〈a2

1a†2〉) (6.12)

d

dt〈a1a1〉 = −2γ1〈a1a1〉+ χ(2〈a†1a1a2〉+ 〈a2〉) (6.13)

d

dt〈a2a2〉 = −2γ2〈a2a2〉 − χ〈a2

1a2〉 (6.14)

d

dt〈a1a2〉 = −(γ1 + γ2)〈a1a2〉+

χ

2(2〈a2

2a†1〉 − 〈a3

1〉) (6.15)

d

dt〈a†1a2〉 = −(γ1 + γ2)〈a†1a2〉+

χ

2(2〈a1a

†2a2〉 − 〈a†1a2

1〉) (6.16)

Równania na wszystkie pozostałe momenty drugiego rzędu da się otrzymaćz powyższych równań poprzez sprzężenie równania lub użycie reguł komutacjioperatorów kreacji i anihilacji. Niestety, po prawej stronie równań pojawiająsię wyrazy trzeciego rzędu. Aby w pełni rozwiązać problem, należałoby równieżnapisać równania na te momenty, ale wtedy po ich prawych stronach pojawiłybysię momenty czwartego rzędu. Ciąg ten jest nieskończony i musimy zdecydowaćsię na ucięcie go na pewnym wyrazie. To jest właśnie element, który powoduje,że metoda ta jest metodą przybliżoną.Przybliżenia dokonuje się, zakładając, że stan układu jest stanem gaus-

sowskim (patrz 1.4). Aby uprościć sobie zadanie, zapiszemy go w reprezen-tacji zmiennych (α1, α

∗1, α2, α

∗2), a nie — jak poprzednio — w reprezentacji

(Reα1, Imα1,Reα2, Imα2). Nowa reprezentacja pozwoli łatwiej uzyskać intere-sujące nas kumulanty. Nie pominiemy również wartości średnich przy zapisiestanu gaussowskiego, co więcej zapiszemy go od razu za pomocą funkcji charak-terystycznej Wignera:

χ(s)(α1, α2) = e−12 αT Σα+iµT α (6.17)

gdzie:α = (α1, α

∗1, α2, α

∗2) (6.18)

jest wektorem zmiennych, a

µ =(〈a1〉, 〈a†1〉, 〈a2〉, 〈a†2〉

)(6.19)

jest wektorem wartości średnich. Macierz korelacji Σ w reprezentacji takichzmiennych przyjmuje następującą postać:

Σ =

〈a1, a1〉 〈a1, a

†1〉 〈a1, a2〉 〈a1, a

†2〉

〈a†1, a1〉 〈a†1, a†1〉 〈a†1, a2〉 〈a†1, a

†2〉

〈a2, a1〉 〈a2, a†1〉 〈a2, a2〉 〈a2, a

†2〉

〈a†2, a1〉 〈a†2, a†1〉 〈a†2, a2〉 〈a†2, a

†2〉

(6.20)

Rozdział 6. Analiza splątania przy generacji drugiej harmonicznejw obrazie Schrodingera (równania Fokkera-Plancka) 83

przy czym x, y = 12 (xy + yx) oznacza symetryczny porządek operatorów.

Momenty dowolnych rzędów można wyznaczyć korzystając z równości:

⟨(a†1)

nam1 (a†2)

paq2

⟩=

∂n+m+p+q

∂(iα∗1)n∂(iα1)m∂(iα∗2)p∂(iα2)qχ(s)(α1, α2)

∣∣∣α1=α2=0

(6.21)

Ponieważ w definicji funkcji charakterystycznej stanu gaussowskiego wys-tępują tylko momenty pierwszego (średnie) i drugiego rzędu (elementy macierzykowariancji), wszystkie wyższe momenty można wyrazić poprzez momenty dodrugiego rzędu włącznie. W ten sposób jesteśmy w stanie pozbyć się wszystkichmomentów trzeciego rzędu z równań (6.9)-(6.16). Proces ten jest obliczeniowożmudny, stąd przedstawiamy tylko końcowe rezultaty. Wprowadzając oz-naczenia:

ξi = 〈ai〉 (6.22)

Bi = 〈a†i , ai〉 (6.23)

B12 = 〈a†1, a2〉 (6.24)

Ci = 〈ai, ai〉 (6.25)

C12 = 〈a1, a2〉 (6.26)

możemy układ równań (6.9)-(6.16), przy wyrażeniu momentów trzeciego rzęduza pomocą momentów rzędu drugiego, przedstawić w następującej postaci [40,39]:

ξ1 = −γ1ξ1 + ε1 + χ(ξ∗1ξ2 +B12) (6.27)

ξ2 = −γ2ξ2 + ε2 −χ

2(ξ21 + C1) (6.28)

B1 = −2γ1B1 + χ(B∗12ξ1 +B12ξ∗1) + χ(C∗1 ξ2 + C1ξ

∗2) (6.29)

B2 = −2γ2B2 − χ(B12ξ∗1 +B∗12ξ1) (6.30)

C1 = −2γ1C1 + 2χ(C12ξ∗1 +B1ξ2) + χξ2 (6.31)

C2 = −2γ2C2 − 2χC12ξ1 (6.32)

C12 = −(γ1 + γ2)C12 + χ(B12ξ2 − C1ξ1 + C2ξ∗1) (6.33)

B12 = −(γ1 + γ2)B12 + χ(C12ξ∗2 + ξ1B2 − ξ1B1) (6.34)

Dzięki tym równaniom jesteśmy w stanie wyznaczyć wszystkie korelacje dodrugiego rzędu. Dokonujemy tego, numerycznie całkując równania (metodaRunge-Kutty-Gilla). Analiza wyników [40] wskazuje różnego typu rozwiązania— punkty stałe, cykle graniczne, atraktory chaotyczne. Jednak przy doborzeparametrów, dla których będzie testowana ta metoda, zmienne zawsze trafiajądo punktu stałego odwzorowania. Można więc przyjąć, że od pewnego mo-mentu wszystkie kumulanty pozostają stałe, a ich wartości jesteśmy w stanienumerycznie wyznaczyć.

84 6.2. Dwuczasowe funkcje korelacji i macierz spektralna

6.2 Dwuczasowe funkcje korelacji i macierzspektralna

Przyglądnijmy się równaniu (6.2), opisującemu iloczyn transformat dwóchoperatorów. Biorąc wartość średnią po obu stronach równości i odejmująciloczyn średnich, otrzymamy:

〈x(ω), y(ω′)〉 =12π

∫dt

∫dt′〈x(t), y(t′)〉e−i(ωt+ω′t′) (6.35)

W szczególności, jeśli 〈x(t), y(t′)〉 jest stacjonarne, tj. zależy tylko od τ =t′ − t, po modyfikacji zmiennych i wykonaniu jednej z całek (otrzymując deltęDiraca) dostaniemy:

〈x(ω), y(ω′)〉 =∫〈x(t), y(t+ τ)〉e−iω′τdτδ(ω + ω′) (6.36)

Jeśli pod x i y podłożymy wszystkie kombinacje operatorów a1, a†1, a2, a

†2

(oznaczając je wspólnie jako wektor a) i wycałkujemy równanie pozbywając sięjednej z częstości i delty Diraka, otrzymamy ogólny wzór na macierz korelacjispektralnej :

S(ω) =∫〈a(t), aT (t+ τ)〉e−iωτdτ (6.37)

Istotnym elementem dalszej analizy będzie wprowadzenie różniczkowychrównań stochastycznych. Można pokazać [18, 31], że równanie Fokkera-Planckao ogólnej postaci:

d

dtP (x, t) = −

∑i

∂

∂xi(Ai(x, t)P (x, t))

+12

∑ij

∂

∂xi

∂

∂xj

(B(x, t)BT (x, t)

)ijP (x, t) (6.38)

można sprowadzić do stochastycznego równania różniczkowego:

dx

dt= A(x, t) + B(x, t)E(t) (6.39)

przy czym E(t) to zmienne losowe (fluktuujące siły) spełniające warunek:

〈Ei(t)Ej(t′)〉 = δ(t− t′) (6.40)

Równania te nie będą tutaj wyprowadzone, gdyż wykracza to poza temattej pracy. Wyprowadzenie to opiera się o zastosowanie tzw. reguł Ito. Zaintere-sowanych odsyłamy do [18].Oczywiście, równanie (6.39) jest niezwykle trudne do rozwiązania z uwagi

na dowolną postać wektorów A(x, t) oraz B(x, t). W pracy tej zastosu-jemy powyższe równania do bardzo szczególnego przypadku problemu generacjidrugiej harmonicznej. Korzystając z równania Fokkera-Plancka (6.4) jesteśmyw stanie otrzymać odpowiednie równania stochastyczne:

Rozdział 6. Analiza splątania przy generacji drugiej harmonicznejw obrazie Schrodingera (równania Fokkera-Plancka) 85

dα1

dt= ε1 + κα†1α2 − γ1α1 +

√κα2E1(t) (6.41)

dα†1dt

= ε1 + κα1α†2 − γ1α

†1 +

√κα†2E1(t) (6.42)

dα2

dt= ε2 −

κ

2α2

1 − γ2α2 (6.43)

dα†2dt

= ε2 −κ

2α†21 − γ2α

†2 (6.44)

przy czym αi, α†i nie są sprzężone zespolono, ale są to dwie niezależne zespolone

zmienne losowe. Oczywiście, nieprzypadkowo równania te są bardzo podobnedo równań Langevina. Aby rozwiązać interesujący nas problem, dokonamy lin-earyzacji tych równań:

dα

dt= Aα + BE (6.45)

przy czym α = (α1, α†1, α2, α

†2) oraz:

A =

−γ1 κα2 κα∗1 0

κα∗2 −γ1 0 κα1

−κα1 0 −γ2 0

0 −κα∗1 0 −γ2

(6.46)

jest macierzą dyfuzji, zaś:

BBT =

κα2 0 0 0

0 κα∗2 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

(6.47)

jest macierzą dryftu. W tym przypadku można pokazać [31, 18], że dwuczasowefunkcje korelacji w stanie stacjonarnym, 〈α(t)αT (t+ τ)〉, spełniają następującerównanie różniczkowe:

d

dτ〈α(t),αT (t+ τ)〉 = −A〈α(t),αT (t+ τ)〉 (6.48)

Używając tego równania, można pokazać, że normalnie uporządkowanamacierz korelacji spektralnej (6.37) wyraża się następującym wzorem [31]:

: (S) : (ω) = (A+iω)−1(A〈α(t),αT (t)〉+〈α(t),αT (t)〉AT )(AT−iω)−1 (6.49)

Zauważmy, że w ten sposób, jeśli znamy początkową wartość macierzy〈α(t),αT (t)〉, linearyzując proces, jesteśmy w stanie wyznaczyć macierz spek-tralną. Początkową wartość tej macierzy możemy wziąć z wyników wyliczeń z

86 6.3. Porównanie wyników

poprzedniego podrozdziału (wyznaczanie wartości kumulant), gdyż jest to poprostu macierz korelacji w dziedzinie czasowej.Pozostaje jeszcze jeden problem — w jaki sposób wyrazić macierz korelacji

spektralnej zewnętrznych modów pola? Dotychczas udało się ją wyznaczyć dlamodów wewnątrz rezonatora. Z pomocą przychodzi tutaj formalizm wejścia-wyjścia [9, 31]. Można pokazać, że między dwuczasowymi korelacjami modówwewnątrz i na zewnątrz zachodzą następujące relacje:

〈a†i,out(t), aj,out(t′)〉 =√γiγj〈a†i (t), aj(t′)〉 (6.50)

〈ai,out(t), aj,out(t′)〉 =√γiγj〈ai(t), aj(t′)〉 i 6= j (6.51)

〈ai,out(t), aj,out(t′)〉 =√γiγj〈ai(max(t, t′)), aj(min(t, t′))〉 i = j (6.52)

Wszystkie pozostałe korelacje można uzyskać z powyższych poprzez sprzęże-nie i relacje komutacji. Powyższe relacje nie będą dowiedzione, gdyż wymagająuprzedniej analizy formalizmu wejścia-wyjścia. Czytelny dowód znajduje się w[31]. Przy wyprowadzaniu tych równań używa się założenia, że pole wejściowejest w stanie koherentnym.Używając (6.50)-(6.52) jesteśmy w stanie natychmiast podać sposób

obliczenia normalnie uporządkowanej macierzy korelacji spektralnej pola wyjś-ciowego : Sout :

( : Sout : )ij =√γiγj( : S : )ij (6.53)

6.3 Porównanie wyników

Analizę przeprowadziliśmy dla takich samych parametrów, jak w rozdziałachpoprzednich, które dla wygody przypomnimy: γ1a = 1, γ1b = 0.01, γ2a = 10,γ2b = 0.1, κ = 1 oraz ω = 0. Pola zewnętrzne zostały przedstawione w takichsamych granicach, tzn. dla αd

1 ∈ [−0.03, 0.03] oraz αd2 ∈ [−2, 2] (przy czym

αd1, α

d2 oznaczają znormalizowane amplitudy tych pól - patrz równania (4.73)-

(4.74), (4.75) i (4.76)). Wyniki zostały przedstawione na rysunku 6.1 (stopieńEPR) oraz na rysunku 6.2 (stopień niesaprowalności), wraz z wynikami z rozdzi-ału (4), w celu porównania. Wnioski wypływające z rysunków są następujące:

• Udało się odtworzyć wyniki przy użyciu obrazu Schrodingera z dużadokładnością. Pokazuje to, że różne metody doprowadziły do bardzopodobnych rezultatów, co zdaje się potwierdzać wiarygodność wyników.

• Różnice są spowodowane przede wszystkim innymi wartościami zmien-nych α1, α2 w przypadku metody kumulant. Jest to spowodowane uży-ciem przybliżenia drugiego rzędu (gaussowskiego) w przeciwieństwie dometody z rozdziału 4, gdzie zostały one wyznaczone z równań klasycznych.Sugeruje to większą dokładność metody kumulant, tym niemniej:

• W przypadku metody kumulant użyte zostały dwa przybliżenia przy wyz-naczaniu spektralnej macierzy korelacji: przyjęcie koherentnego stanuświatła wejściowego oraz linearyzacja równań stochastycznych. Lepszerezultaty dałoby rozwiązanie równań stochastycznych w sposób w pełniogólny, numerycznie.

Rozdział 6. Analiza splątania przy generacji drugiej harmonicznejw obrazie Schrodingera (równania Fokkera-Plancka) 87

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

Rysunek 6.1: Wartości stopnia EPR w zależności od wartości pól pompującychαd

1 i αd2. Skala zaciemnienia jest logarytmiczna (w decybelach). Im bardziej

niebieski punkt, tym większe splątanie.

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- −2

- −4

- −6

- −8

- −10

- −12

- −14

Rysunek 6.2: Wartości stopnia nieseparowalności w zależności od siły pól pom-pujących αd

1 i αd2.

88 6.3. Porównanie wyników

Trudno więc jednoznacznie określić, która z metod dała wynik bliższy rzeczy-wistemu. Z pewnością jednak ich podobieństwo w obu przypadkach sugerujewiarygodność otrzymanych rezultatów.Dosyć interesującą analizę stanowią rysunki 6.3, 6.4 i 6.5. Wszystkie one są

różnicami między dwoma innymi wykresami. Rysunek 6.5 wskazuje na różnicew ramach metody kumulant między dwoma rozpatrywanymi miarami. Takirysunek już mieliśmy w przypadku metody w rozdziałach poprzednich. Nowoś-cią są natomiast rysunki 6.3 oraz 6.4. Pokazują one różnice dla danej miary,między dwoma podejściami, czyli dokładnie wskazują, co się zmieniło przy za-stosowaniu podejścia opartego na kumulantach w obrazie Schrodingera. Kolorczerwony wskazuje, że metoda linearyzacji daje silniejsze splątanie, niż metodakumulant, kolor niebieski — odwrotnie. Okazuje się, że największe różnice po-jawiają się dla obszaru niestabilnego (u góry rysunków) oraz „nie w fazie” (nadole rysunków). Wynika to jednak przede wszystkim z faktu, że w tych ob-szarach mamy do czynienia z dwoma rozwiązaniami (dwa rozwiązania stabilnew obszarze bistabilnym, natomiast w obszarze na dole rysunku są to współist-niejące rozwiązanie „w fazie” oraz „nie w fazie”). Różnice wynikają w znacznymstopniu z następującego powodu: w przypadku metody linearyzacji w obra-zie Heisenberga (opisanej w rozdziałach wcześniejszych) zawsze wybieraliśmyrozwiązanie, które wskazywało największe splątanie (spośród dwóch współist-niejących). W przypadku metody kumulant rozwiązanie zależy od przyjętychwarunków początkowych (symulujemy je w końcu numerycznie), stąd w za-leżności od punktu układ zbiega do jednego z dwóch punktów stałych, nie zawszedo tego samego, co powoduje widoczne różnice, ponieważ drugie z rozwiązańwykazuje zwykle mniejszy stopień splątania. W przypadku środkowej części ry-sunku (dla −1 6 αd

2 6 1) różnice nie są już tak chaotycznie rozłożone i wydająsię trochę mniejsze.

Rozdział 6. Analiza splątania przy generacji drugiej harmonicznejw obrazie Schrodingera (równania Fokkera-Plancka) 89

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- 2

- 4

- 6

- −2

- −4

- −6

Rysunek 6.3: Wartości stosunku stopnia EPR w przypadku wyznaczania w for-malizme Heisenberga i Schrodingera (metoda linearyzacji w stosunku do metodykumulant).

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- 2

- 4

- 6

- −2

- −4

- −6

Rysunek 6.4: Wartości stosunku stopnia nieseparowalności w przypadku wyz-naczania w formalzmie Heisenberga i Schrodingera.

90 6.3. Porównanie wyników

-2

-1

0

1

2

0.030.020.010-0.01-0.02-0.03

αd 2(moddrugiejharmonicznej)

αd1 (mod podstawowy)

[dB]

- 0

- 2

- 4

- 6

- −2

- −4

- −6

Rysunek 6.5: Wartości stosunku obu miar (I w stosunku do ε), podane w skalilogarytmicznej. Kolor czerwony oznacza, że I wskazuje na silniejsze splątanie,niebieski — ε wskazuje na silniejsze splątanie.

91

Podsumowanie

W niniejszej pracy porównano dwa rodzaje opisów oddziaływania światła znieliniowym ośrodku znajdującym się w rezonatorze. Z jednej strony, kwantowerównania Langevina (obraz Heisenberga) pozwalają, przy linearyzacji równań,w stosunkowo prosty sposób wyznaczyć spektralne macierze korelacji światłazarówno w rezonatorze, jak i wydostającego się na zewnątrz. Na tej podstawiejesteśmy już w stanie wyznaczyć miary splątania, takie jak stopień nieseparowal-ności czy stopień paradoksu EPR. Niebagatelną rolę odgrywa tutaj formalizmwejścia-wyjścia, pozwalający odnieść to co się dzieje w rezonatorze, do tego, codo rezonatora wpada i z rezonatora wychodzi.Z drugiej strony, użycie równania master i Fokkera-Plancka (obraz

Schrodingera) umożliwia dokładniejsze wyznaczenie korelacji pierwszego idrugiego rzędu poprzez zastosowanie przybliżenia gaussowskiego, czyli wykraczapoza zwykłe wyznaczenie wartości średnich z równań klasycznych. Trudność po-jawia się jednak w przypadku liczenia spektralnej macierzy korelacji, do którejwyznaczenia potrzebne są dwuczasowe funkcje korelacji, łatwiejsze do operowa-nia w obrazie Heisenberga. Udaje się je jednak uzyskać, znajdując równanieruchu, jakie spełniają przy linearyzacji macierzy dyfuzji, za macierz początkowąobierając macierz powstałą w wyniku przybliżenia gaussowskiego. Co więcej,wyniki dotyczące światła wychodzącego z rezonatora otrzymane są przy założe-niu, że światło wejściowe jest ciągle w stanie koherentnym.Wyniki w obu przypadkach są do siebie zbliżone. Sugerują, że za pomocą

procesu generacji drugiej harmonicznej da się uzyskać stany o dużym stop-niu splątania, w szczególności na granicy obszarów różnego typu rozwiązań— na granicy tej rozwiązania równań klasycznych zmieniają swoje właściwości(pojawiają się bifurkacje i różnice w fazie między polem pompującym i gen-erowanym w rezonatorze). Obie miary splątania w ogólności wskazują siłęsplątania podobnie, chociaż przy dokładniejszej analizie różnią się nieznacznieod siebie w pewnych przypadkach. Analiza ta wymagałaby prawdopodobniepoświęcenia większej uwagi w przyszłości.Pojawienie się efektu Kerra okazało się negatywnie działać na siłę splątania

stanów w analizowanym obszarze przestrzeni parametrów. Niewielki jego wzrostobserwowany jest jedynie przy małej wartości stałej Kerra, prawdopodobniena skutek zmiany granic jakościowo różnych rozwiązań. Przedstawiono pewnebardzo heurystyczne wyjaśnienie spadku siły splątania, choć trudno powiedzieć,czy oddaje ono pełnię powodów występowania tego zjawiska.Praca jest tylko zalążkiem możliwej analizy. Widać szereg kierunków, w

jakich analiza ta mogłaby się rozwinąć. Poniżej przedstawiamy możliwości dal-szych badań:

92 Podsumowanie

• Znacznie dokładniejszą analizę umożliwiłoby pełne numeryczne rozwiązy-wanie stochastycznych równań różniczkowych. Pozwoliłoby ono nadokładne prześledzenie ewolucji zmiennych stochastycznych opisującychukład i umożliwiłoby dokładne wyznaczenie dwuczasowych macierzy ko-relacji i macierzy spektralnej. Byłaby to dobra weryfikacja wynikówuzyskanych w tej pracy za pomocą metod przybliżonych. Jest to chybanajważniejszy kierunek badań, jaki można by podjąć.

• Możliwe byłoby dokładniejsze zbadanie efektów zachodzących dla innychparametrów. Zestaw parametrów, którym posługiwano się w pracy, został,w celach porównawczych, wzięty z [21]. Odpowiedź na pytania, jak wyglą-dają miary splątania dla innych wartości tych parametrów, lub jak na niewpływa w tym przypadku efekt Kerra, istotnie polepszyłaby naszą wiedzęo tych procesach. Dodatkowo, można by pokusić się o numeryczną opty-malizację parametrów tak, aby otrzymać ostatecznie stany o największejsile splątania. Oczywiście, należałoby się w tym wypadku zastanowić nadodpowiednim kryterium optymalizacji — czy miałaby to być po prostujak największa miara splątania (a jeśli tak — to która?), czy może średniawartość splątania na pewnym obszarze? Możliwości technik optymaliza-cyjnych (takich jak klasyczne algorytmy gradientowe przy pozyskaniu gra-dientu optymalizowanej funkcji poprzez analizę równań, lub nowoczesnealgorytmy takie jak np. algorytmy genetyczne) pozwoliłyby na wyznacze-nie takich warunków, przy których uzyskalibyśmy stany najbardziej splą-tane.

• Potrzebne byłoby rozpatrzenie innych miar splątania dla zmiennychciągłych, takich jak entropia splątania czy negativity. Pozwoliłoby to naszerszy wgląd w splątanie stanów i analizę porównawczą różnych miar,szczególnie ważną i istotną dla mało zbadanego przypadku zmiennychciągłych.

• Dokładniejszej analizy wymagałyby także uzyskane już wyniki pod wzglę-dem relacji między stopniem nieseparowalności i stopniem EPR. Częściowona te pytania odpowiada praca [5], tym niemiej nadal istnieje tutaj poledo badań.

• W całej pracy, w celu uproszczenia analizy, rozważane były tylko stanyustalone (punkty stałe). W ogóle nie poruszono tematu rozwiązań ni-estabilnych, chaotycznych, choć wiadomo, że w przybliżeniu gaussowskimtakie rozwiązania istnieją [39, 40]. Dużym wyzwaniem byłaby analizasplątania takich stanów i odniesienie wartości miar do współczynnikówznanych z dynamiki nieliniowej, takich jak np. wykładniki Lapunova.

Nieliniowe zjawiska optyczne, w szczególności generacja drugiej harmon-icznej i efekt Kerra, okazały się być znakomitymi źródłami splątanych stanówpola. Możliwości generowania stanów o praktycznie dowolnie silnym splątaniu,przy odpowiednim doborze parametrów, czynią z tych zjawisk ważne narzędzieprzy realizacji protokołów i algorytmów kwantowego przetwarzania informacji.Jest więc uzasadniona nadzieja, że nieliniowe efekty optyczne mogą grać istotnąrolę przy konstrukcji komputera kwantowego.

93

Bibliografia

[1] Bell, J. S., On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox, Physica 1, 195 (1964)

[2] Bennet, C. H., Bernstein, H., Popescu, S., Schumacher, B., Concentratingpartial entanglement by local operations Phys. Rev. A 53, 2046 (1996)

[3] Armstrong, J. A., Bloembergen, N., Ducuing, J., Pershan, P. S., Interactionbetween Light Waves in a Nonlinear Dielectric, Phys.Rev. 127, 1918 (1962)

[4] Bloembergen, N., Nonlinear Optics, W. A. Bejamin Inc., New York, Ams-terdam 1965

[5] Bowen, W. P., Schnabel, R., Lam, P. K., Ralph, T. C., Experimental char-acterization of continuous-variable entanglement, Phys. Rev. A 69, 012304(2004)

[6] Boyd, R. W., Nonlinear optics, Academic Press 2002.

[7] Braunstein, S., Squeezing as an irreducible resource, Phys. Rev. A 71,055801 (2005)

[8] Braunstein, S., Loock, van P., Quantum information with continuous vari-ables, Rev. of Mod. Ph., 77 (2005).

[9] Collett, M. J., Gardiner, C. W., Squeezing of intracavity and traveling-wavelight fields produced in parametric amplification, Phys. Rev. A., 30, 1386(1984)

[10] Deutsch, D., Quantum theory, the Church-Turing Principle and the uni-versal quantum computer, Proc. R. Soc. Lond. A, 400 (1985)

[11] Donald, M. J., Horodecki, M., Rudolph, O., The uniqueness theorem forentanglement measures, J. Math. Phys. 43, 4252 (2002)

[12] Drummond, P.D., Gardiner, C. W., Generalized P-representations in quan-tum optics 1980, J. Phys. A, 13, 2353

[13] Drummond, P. D., McNeil, K. J., Walls, D. F., Non-equilibrium transitionsin sub/second harmonic generation. I. Semiclassical theory, Opt. Acta 27,321 (1980)

[14] Drummond, P. D., McNeil, K. J., Walls, D., F., Non-equilibrium transitionsin sub/second harmonic generation. II. Quantum theory, Opt. Acta 28, 211(1981)

94

[15] Duan, L., Giedke, G., Cirac, J. I., Zoller, P., Inseparability Criterion forContinuous Variable Systems, Phys. Rev. Let. 84, 2722 (2000)

[16] Einstein, A., Podolsky, B., Rosen, N., Phys. Rev. 47, 777 (1935)

[17] Franken, P. A., Hill, A. E., Peters, C. W., Weinreich, G., Phys. Rev. Lett.7, 118 (1961)

[18] Gardiner, C. W., Handbook of Stochastic Methods, Springer 2005.

[19] Gardiner, C. W., Collett, M. J., Input and output in damped quantumsystems: Quantum stochastic differential equations and master equation,Phys. Rev. A, 31, 3761 (1985)

[20] Griffiths, D. J., Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa 2005

[21] Grosse, N. B., Bowen, W. P., McKenzie, K., Lam, P. K., Harmonic En-tanglement with Second-Order Nonlinearity, Phys. Rev. Lett., 96, 063601(2006)

[22] , P., Separability criterion and inseparable mixed states with positive partialtransposition, Phys. Lett. A 232, 333 (1997)

[23] Jackson, J. D., Elektrodynamika klasyczna, PWN, Warszawa 1987

[24] Kielich, S., Molekularna optyka nieliniowa,PWN, Warszawa 1986

[25] Levin, R. B., Collett, M. J., Walls, D. F., Second-harmonic generationinside a laser cavity with slowly decaying atoms, Phys. Rev. A 47, 2324(1993)

[26] Leoński, W., Miranowicz, A., Kerr nonlinear coupler and entanglement, J.Opt. B. 6, S37 (2004)

[27] Loudon, R., The Quantum Theory of Light, Oxford 1973

[28] Meystre, P., Sargent III, M., Elements of Quantum Optics, Springer, Berlin,1990

[29] Milburn, G. J., Coherence and chaos in a quantum optical system, Phys.Rev. A 41, 6567 (1990).

[30] Milburn, G. J., Holmes, C. A., Quantum coherence and classical chaos ina pulsed parametric oscillator with a Kerr nonlinearity, Phys. Rev. A 44,4704 (1991)

[31] Milburn, G. J., Walls, D. F., Quantum Optics, Springer, Berlin 1994

[32] Nielsen, M. A., Chuang, I. L., Quantum Computation and Quantum Infor-mation, Cambridge 2000

[33] Peres, A., Separability Criterion for Density Matrices, Phys. Rev. Lett. 77,1413 (1996)

[34] Perina, J., Quantum Statistics of Linear and Nonlinear Optical PhenomenaD. Reidel Publishing Company, 1984.

95

[35] Plenio, M. B., Virmani, S., An introduction to entanglement measures,arXiv:quant-ph/0504163 2006

[36] Savage, C. M., Walls, D. F., Optical chaos in second-harmonic generation,Opt. Acta 30, 557 (1983)

[37] Serafini, A., Decoherence & entanglement in continuous variable quantuminformation, Ph.D. Thesis, University of Salerno, Italy, 2004.

[38] Shen, Y. R., The Principles of Nonlinear Optics, Wiley, New York 1985

[39] Szlachetka, P., Grygiel, K., Bajer, J., Chaos and order in a kicked ahhar-monic oscillator: Classical and quantum analysis, Phys. Rev. E 48 (1993)

[40] Szlachetka, P., Grygiel, K., Chaos in Optical Systems, in: Modern Nonlin-ear Optics, Part 2, vol. 119, John Wiley & Sons, 2001

[41] Tanaś, R., Quantum Noise in Nonlinear Optical Phenomena, in: ModernNonlinear Optics, Part 1, vol. 119, John Wiley & Sons, 2001

[42] Tanaś, R., Wykłady z optyki kwantowej,http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas

[43] Tanaś, R., Ficek Z., Entangling two atoms via spontaneous emission, J.Opt. B 6, S90 (2004)

[44] Wootters, W. K., Entanglement of Formation of an Arbitrary State of TwoQubits, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)