Uniwersytet Jagielloński w Krakowie

Wydział Fizyki, Astronomii

i Informatyki Stosowanej

Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego

Michał Białończyk

Kody kwantowej korekcji błędów dla

wybranych modeli szumu

praca licencjacka wykonana pod kierunkiem

prof. dr. hab. Karola Życzkowskiego

Kraków 2013

1 Wstęp

Celem pracy jest przedstawienie problemu kwantowej korekcji błędów i zaprezentowanie przykła-

dów, dla których można znaleźć dokładne rozwiązanie korzystając z warunków Knilla-Laflamme’a.

W pierwszej sekcji wprowadzamy elementy formalizmu matematycznego używanego w teorii kwan-

towej informacji - macierze gęstości oraz operacje kwantowe. Przypominamy klasyczne twierdzenia, w

szczególności twierdzenie o przedstawieniu operacji kwantowej w postaci rozkładu Krausa. Prezentu-

jemy również przykłady i konkretne zastosowania omawianych pojęć.

W sekcji drugiej przedstawiamy początkowo w sposób intuicyjny, a dalej w sposób formalny za-

gadnienie kwantowej korekcji błędów dla zadanej operacji modelującej szum kwantowy. Podajemy do-

wód warunku koniecznego i wystarczającego istnienia podprzestrzeni kodowej (tzw. warunków Knilla-

Laflamme’a) wraz z pełną konstrukcją operacji odzyskiwania informacji kwantowej. Prezentujemy

również użyteczne narzędzie wykorzystywane w rozwiązywaniu warunków Knilla-Laflamme’a, miano-

wicie zakres numeryczny wyższego rzędu.

Sekcja 3 zawiera przykłady znajdowania podprzestrzeni kodowych korzystając z warunków Knilla-

Laflamme’a. Pierwszy przykład dotyczy tzw. losowego szumu unitarnego modelowanego dwoma ope-

ratorami Krausa - problem został rozwiązany w całości w pracy [1]. Drugi przykład jest opracowany

przez autora i zawiera rozwiązanie dla szumu modelowanego dwoma operatorami nieunitarnymi -

znaleziono kodowanie 1 kubitu za pomocą 2 kubitów.

2 Podstawowe pojecia i narzędzia

2.1 Macierze gęstości

Rozważamy zespoloną przestrzeń Hilberta H. W całej pracy zakładamy, że wymiar przestrzeni

jest skończony, dimH = N <∞ - w teorii informacji kwantowej przeważnie zajmujemy się układami

o skończonej liczbie stanów. Zbiór operatorów liniowych przeprowadzających przestrzenń H w siebie

oznaczamy B(H). Przestrzeń ta jest wyposażona w iloczyn skalarny 〈·, ·〉:

A ∈ B(H), B ∈ B(H)→ 〈A,B〉 = Tr(A†B) (1)

Przestrzeń B(H) z powyższym iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią Hilberta-Schmidta, HS.

Ma ona wymiar N2. Przestrzeń HS można przedstawić w postaci ([2]):

HS = H⊗H∗ (2)

gdzie H∗ oznacza przestrzeń dualną do H. To pozwala zapisać każdy operator liniowy w postaci:

A = a1 |ψ1〉 〈ϕ1|+ a2 |ψ2〉 〈ϕ2|+ . . . (3)

W przestrzeni B(H) definiujemy operatory dodatnie, zbiór tych operatorów oznaczamy P(H). Są

to operatory spełniające warunek:

A ∈ P(H) ⇔ ∀|ψ〉∈H 〈ψ|A|ψ〉 ­ 0 ⇔ ∃B∈B(H)A = BB† (4)

1

Można pokazać, że operator dodatni jest również operatorem hermitowskim ([3]) oraz że wymiar zbioru

P(H) jest równy N2.

Po tym wprowadzeniu podajemy definicję macierzy gęstości (często bedziemy stosować zamiennie

sformułowania ”macierz” oraz ”operator”):

Definicja 2.1. Macierzą gęstosci nazywamy macierz ρ operatora dodatniego na skończenie wymiaro-

wej przestrzeni Hilberta spełniającego warunek Trρ = 1.

Zbiór macierzy gęstości oznaczamy M(N ). Z poprzednich rozważań wynika, że ma on N2 − 1

wymiarów rzeczywistych. Jest on zbiorem wypukłym, którego punktami ekstremalnymi są macierze

dla tzw. stanów czystych. Macierz stanu czystego ma postać ρ = |ψ〉 〈ψ|. Widać stąd bezpośrednio, że

dla stanów czystych spełniona jest zależność ρ2 = ρ.

Przykład 2.1. Niech |e1〉, |e2〉,. . . |en〉 będzie bazą przestrzeni H, zaś |x〉 = a1 |e1〉+a2 |e2〉+. . . an |en〉unormowanym stanem (stan |x〉 jest stanem czystym). Macierz gęstości odpowiadająca temu stanowi

ma w bazie |e1〉, |e2〉,. . . |en〉 postać:

ρ = |x〉 〈x| = |x〉 ⊗ 〈x| =

|a1|2 a1a

∗2 . . .

a2a∗1 |a2|2 . . .

......

. . .

(5)

Macierze gęstości są uogólnieniem pojęcia stanu układu kwantowego - pozwalają opisywać sytu-

acje, kiedy stany występują z pewnym klasycznym rozkładem prawdopodobieństwa. Macierzy gęstości

używa się w teorii informacji kwantowej do reprezentowania stanów układów kwantowych.

Przykład 2.2. Rozważmy zbiór M(2). Jest to zbiór 3-wymiarowy, można go zanurzyć w R3. Każdą

hermitowską macierz 2× 2 ρ można sparametryzować w następujący sposób:

ρ =

12 − z x+ iy

x− iy 12 + z

(6)

Aby macierz ρ była dodatnia, musi spełniać warunek det(ρ) ­ 0 (jest to warunek konieczny i wystar-

czający, gdyż Tr(ρ) > 0). Oznacza to, że

x2 + y2 + z2 ¬ 14

(7)

Równanie powyższe określa kulęB3. Ponadto łatwo sprawdzić, że przyporządkowanie punktom (x, y, z) ∈B2 ⊂ R3 macierzy ρ określonych (6) jest homeomorfizmem. Otrzymaną kulę nazywamy kulą Blocha.

Stany czyste są punktami ekstremalnymi kuli, tworzą zatem sferę S2. Jest to dobrze znana z mechaniki

kwantowej sfera Blocha. Na tą sferę można również spojrzeć jako na zespoloną przestrzeń rzutową CP1

- ogólnie zbiór stanów czystych nad N wymiarową przestrzenią Hilberta jest przestrzenią CPN−1 ([2]).

Ponieważ każda macierz gęstości jest operatorem hermitowskim, istnieje baza ortonormalna |ei〉 i

liczby nieujemne µi, i = 1, . . . N takie, że

ρ =N∑i=1

µi |ei〉 〈ei| (8)

2

Przyjmując

|ψi〉 =√µi |ei〉 (9)

otrzymujemy przedstawienie macierzy gęstości ρ w postaci (wektory |ψi〉 są ortogonalne, lecz nieko-

niecznie unormowane do jedności):

ρ =N∑i=1

|ψi〉 〈ψi| (10)

Przedstawienie w postaci (10) dla pewnej bazy {|φi〉}Ni=1 nie jest jednoznaczne. Następujące twier-

dzenie ustala relację pomiędzy takimi przedstawieniami ([4]):

Twierdzenie 2.1. Zbiory wektorów {ψi}Ni=1 i {φi}Ni=1 generują tą samą macierz gęstości, tzn:

ρ =N∑i=1

|ψi〉 〈ψi| =N∑i=1

|φi〉 〈φi| (11)

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz unitarna u o wymiarze N ×N taka że dla każdego 1 ¬ i ¬ Nzachodzi

|ψi〉 =N∑j=1

uij |φj〉 (12)

2.2 Operacje kwantowe

Uogólnieniem równania Schrodingera dla macierzy gęstości jest

i~d

dtρ(t) = [H, ρ(t)] (13)

gdzie Ψ jest operatorem działającym w zbiorze macierzy gęstości, zaś H : H → H jest hamiltonianem

układu. Równanie to możemy przepisać w postaci:

d

dtρ(t) = Ψ(ρ(t)) (14)

gdzie Ψ :M(N ) →M(N ) jest pewnym odwzorowaniem. Powyższe równania obrazują ciągłą ewolucję

układu kwantowego - jednak w wielu sytuacjach mamy do czynienia z jednorazowym ”zaburzeniem”

układu kwantowego przez pewną operację Φ. Symbolicznie można zapisać:

ρ→ Φ(ρ), Φ: M(N ) →M(N ) (15)

Należy zatem określić jakie warunki musi spełniać operator Φ, aby powyższa operacja miała fizyczny

sens.

Pierwszym postulatem jest liniowość operatora Φ. Pozwala to zapisać działanie operacji w nastę-

pujący sposób w notacji indeksowej ([2]) :

ρ′ = Φ(ρ)⇒ ρ′mn = Φmn,kl ρkl (16)

Następnie należy przyjąć, że Φ przeprowadza macierze gęstości w macierze gęstości. Mamy zatem:

� ρ′ = (ρ′)† ⇔ Φmn,kl = Φ?nm,lk

3

� Trρ′ = 1⇔∑Nm=1 Φmm,kl = δkl

� ρ′ ∈ P(H)⇔ Φ(ρ) ∈ P(H)

Z fizycznego punktu widzenia te warunki są jeszcze za słabe - jeżeli rozszerzymy nasz układ tworząc

stan ρ⊗σ to żądamy, aby operacja Φ⊗I działając na ten rozszerzony stan była operatorem dodatnim.

Formalnie, wprowadzamy pojęcie k-dodatniości :

Definicja 2.2. Operator Φ: M(N ) →M(N ) nazywamy k-dodatnim, jeżeli dla dowolnego k-wymiarowego

rozszerzenia przestrzeni H : H → H ⊗ Hk operator Φ ⊗ Ik jest dodatni. Operator Φ jest całkowicie

dodatni (ang. completely positive) jeżeli jest k-dodatni dla każdego k.

Oczywiście jeżeli operator jest całkowicie dodatni, to jest również dodatni. Teraz możemy zdefi-

niować pojęcie odwzorowania kwantowego:

Definicja 2.3. Odwzorowaniem kwantowym (operacją kwantową, kanałem kwantowym) nazywamy

operator Φ: M(N ) →M(N ) który jest liniowy, całkowicie dodatni i zachowujący ślad.

Istnieje bardzo użyteczne przedstawienie kanałów kwantowych:

Twierdzenie 2.2. Operator liniowy Φ: M(N ) →M(N ) jest odwzorowaniem kwantowym wtedy i tylko

wtedy, gdy istnieją Ai ∈ B(H), i = 1, . . . N2 takie, że:

Φ(ρ) =N2∑i=1

AiρA†i ,

N2∑i=1

A†iAi = I (17)

Dowód można znaleźć w [2] lub [3]. Przedstawienie Φ zawarte w powyższym twierdzeniu nazywamy

rozkładem Krausa. Wynika z niego, że każde odwzorowanie kwantowe możemy określić za pomocą

rodziny operatorów:

A = {Ai : i = 1, . . . N2,N2∑i=1

A†iAi = I} (18)

Efektywnie liczba operatorów może być mniejsza od N2 - wtedy do N2 można dopełnić operatorami

zerowymi. Warunek∑N2

i=1A†iAi = I jest równoważny zachowywaniu śladu przez operację kwantową A

(bezpośredni dowód tego faktu można znaleźć w [3]). Bez tego warunku własność liniowości i całkowitej

dodatniości nadal jest spełniona.

Za pomocą rodzin operatorów Krausa modelujemy szumy zachodzące w układach kwantowych

lub podczas przesyłania informacji kwantowej. W dalszej części będziemy często jako przykładowo

A oznaczać zarówno rodzinę operatorów Krausa {Ai}N2

i=1 jak i operację kwantową M(N ) 7→ M(N ).

Poniższe przykłady pokazują szczególne przypadki kanałów kwantowych.

Przykład 2.3. Najogólniejszy proces pomiarowy możemy w mechanice kwantowej opisać rodziną

operatorów {Ai}ki=1 takich, żek∑i=1

A†iAi = I (19)

4

Operatorom tym przypisuje się liczby rzeczywiste będące wynikami pomiaru ai, i = 1, . . . k. Pomiar

wykonany na stanie ρ daje wynik ai z prawdopodobieństwem pi oraz stan przechodzi w ρi :

ρ→ ρi =AiρA

†i

Tr(AiρA†i ), pi = Tr(AiρA

†i ) (20)

Jeżeli operatory Ai są operatorami rzutowymi, zaś rodzina {Ai}ki=1 tworzy ortogonalny rozkład jed-

ności, to pomiar określony orzez tą rodzinę nazywamy pomiarem rzutowym .

Dla danych dwóch operacji kwantowych zadanych rodzinami A = {Ai, i = 1, . . . N2} i B = {Bi, i =

1, . . . N2} pojawia się pytanie, kiedy te operacje są równe. Odpowiedź daje następujące twierdzenie,

któe jest prostym wnioskiem z twierdzenie 2.1 (dowód można znaleźć w [4]).

Twierdzenie 2.3. Niech A = {Ai, i = 1, . . . N2}, B = {Bi, i = 1, . . . N2} bedą operacjami kwanto-

wymi w postaci Krausa. Operacje te są równe, tzn:

∀ρ∈M(N )A(ρ) = B(ρ)

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz unitarna u o wymiarze N2×N2 taka, że dla każdego 0 ¬ i ¬N2 zachodzi:

Ai =N2∑j=1

uijBj (21)

3 Kwantowa korekcja błędów

3.1 Warunki Knilla-Laflamme’a

Rozważmy operację kwantową A, która modeluje niepożądany szum układu kwantowego, zaburza-

jący przygotowany stan określony macierzą gęstości ρ. Pojawia się pytanie, czy znając postać operato-

rów Krausa za pomocą których wyraża się operacja A jest możliwe odzyskanie stanu ρ, tzn czy istnieje

operacja odwrotna do A. Problem polega na tym, że nawet jeżeli istnieje operator liniowy odwrotny

do A określony na obrazie A(M(N )), to zazwyczaj wyprowadza on stany spoza obrazu odwzorowania

A poza zbiór macierzy gęstości. Przykładowo istnieją 1 kubitowe operacje kwantowe, które powodują

”przeskalowanie” kuli Blocha ze skalą mniejszą od 1 - operacja odwrotna bedzie ”skalowaniem” o skali

większej od 1, zatem wyprowadzi część stanów poza zbiór macierzy gęstości. Należy zatem rozważyć

problem istnienia operacji odwrotnej na pewnej podprzestrzeni H. Jeżeli dla pewnej podprzestrzeni

V ⊆ H i pewnej operacji kwantowej R spełniony jest warunek:

(R ◦ A)|V (ρ) ∝ ρ (22)

to na podprzestrzeni V można zakodować informację i po zajściu błędu A ją odtworzyć przy pomocy

R. Informacja ρ jest zakodowana na podprzestrzeni V , jeżeli dla operatora rzutowego PV rzutującego

na przestrzeń V mamy :

PV ρ = ρ (23)

5

Zauważmy, że dla każdego ρ ∈ M(N ) PV ρPV należy do zbioru macierzy gęstości określonych na

podprzestrzeni V . Dlatego warunek, że na podprzestrzeni V można zakodować informację można

sformułować następująco: istnieje operacja kwantowa R taka, że :

∀ρ∈M(N )(R ◦ A)(PV ρPV ) ∝ PV ρPV (24)

Problem poszukiwania operacji R stanowi przedmiot teorii kwantowej korekcji błedów, działu teorii

kwantowej informacji (przeglądowym artykułem wprowadzającym do tej tematyki jest np. [5]).

Istnieje kryterium, jakie musi spełniać operacja kwantowa reprezentowana w postaci rodziny ope-

ratorów Krausa A = {Ai}N2

i=1, aby istniała dla niej podprzestrzeń kodu. Warunki te zostały zapro-

ponowane po raz pierwszy w pracy [6]. Sformułowanie tych warunków zawiera poniższe twierdzenie,

którego dowód zawiera konstrukcję operacji odzyskiwania R dla zadanego modelu szumu.

Twierdzenie 3.1. Niech odwzorowanie kwantowe modelujące szum będzie zadane rodziną niezerowych

operatorów Krausa A = {Ai : i = 1, . . . N2}. Wtedy podprzestrzeń V wyznacza kod kwantowej korekcji

błędu dla A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zespolona macierz Λ = λij o wymiarze N2 × N2 oraz

projektor P rzutujący na V spełniające dla każdego 1 ¬ i, j ¬ N2 następujące warunki

PA†iAjP = λijP (25)

Podane relacje zwane są w literaturze warunkami Knilla-Laflamme’a.

Dowód. (na podstawie [4]) (⇐) Niech dany będzie operator P i macierz λij spełniające warunki (25).

Skonstruujemy rodzinę operatorów R = {Ri}N2

i=1 która reprezentuje operację korekcji. Konstrukcja

składa się z następujących kroków:

1. Z warunków (25) wynika, że macierz Λ = λij jest hermitowska. Zatem istnieje macierz diagonalna

d i macierz unitarna u takie, że

d = u†Λu (26)

Sumując równania 25 zapisane dla i = j otrzymuje się

N2∑k=1

dkk = Trd = TrΛ = 1 (27)

Definiujemy operatory

Fk =N2∑i=1

uikAi, k = 1, 2, . . . N2 (28)

Korzystając z warunków (25) oraz (26) otrzymujemy:

PF †i FjP = dijP, 1 ¬ i, j ¬ l (29)

Te warunki są uproszczeniem (25) ponieważ d jest diagonalna - odwzorowanie określone przez

rodzinę F = {Fk}N2

k=1 jest tożsame z A (na mocy twierdzenia 2.3).

6

2. Stosujemy rozkład polarny dla operatora FkP przedstawiając go jako iloczyn macierzy unitarnej

i hermitowskiej:

FkP = Uk

√PF †kFkP =

√dkkUkP (30)

Ponieważ operator P na ogół jest osobliwy, macierz Uk nie jest wyznaczona jednoznacznie.

Ponadto z warunków 25 wynika że:

FkP 6= 0⇔ dkk 6= 0 (31)

Uszeregujmy operatory w rodzinę :

{F1, F2, . . . Fm} = {Fi}mi=1, m ∈ N (32)

w ten sposób, aby liczby d11, d22, . . . dmm były niezerowe.

3. Definiujemy operatory:

Pk = UkPU†k , k = 1, 2, . . .m (33)

Korzystając z (30) i (29) widzimy, że operatory Pk są ortogonalnymi operatorami rzutowymi:

PlPk =UlPF

†l FkPU

†k√

dlldkk= 0, k 6= l (34)

P 2k = Pk, P †k = Pk (35)

Zatem: (m∑i=1

Pi

)H =

(m⊕i=1

Pi

)H ⊂ H (36)

Ślad operatora rzutowego jest równy wymiarowi podprzestrzeni na którą rzutuje, zatem

TrPk = TrP = dimV (37)

Wynika stąd, że:

mdimV ¬ N (38)

Aby uzyskać ortogonalny rozkład jedności dodajemy operatory Pm+1 i Um+1:

Pm+1 = I−m∑i=1

Pi, Um+1 = I (39)

Rodzinę {Pi}m+1i=1 dopełniamy do {Pi}N

2

i=1 operatorami zerowymi, zaś {Ui}m+1i=1 operatorami jed-

nostkowymi.

4. Detekcja błędu odbywa się poprzez wykonanie pomiaru rzutowego określonego operatorami

{Pk}N2

k=1.

5. Korekcja odbywa się poprzez wykonanie kwantowej operacji określonej rodziną operatorów {U †k}N2

k=1.

6. Podsumowując, operacja odzyskiwania jest określona przez rodzinę operatorów Krausa:

R = {U †1P1, U†2P2, . . . U

†N2PN2} (40)

7

Aby to sprawdzić zauważmy, że dla dowolnej macierzy gęstości ρ i dla 1 ¬ k, l ¬ m zachodzi :

U †kPkFl√ρ = U †kP

†kFlP

√ρ = δkl

√dkkP

√ρ = δkl

√dkk√ρ (41)

ponieważ rozpatrujemy zacieśnienie macierzy gęstości do podprzestrzeni projektora P , a w 3 równości

korzystamy bezpośrednio z definicji Pk. Jeżeli k lub l jest równe m+ 1 powyższa równość zachodzi na

mocy łatwej do sprawdzenia toższamości:

Pm+1Pk = 0, 1 ¬ k ¬ m (42)

Teraz przyjmując, że korekcja odbywa się za pomocą odwzorowaniaR(σ) =∑k U†kPkσPkUk dostajemy

(sumowanie po indeksach spełniających 1 ¬ k, l ¬ N2):

R(A(ρ)) = R(F(ρ)) =∑k,l

U †kPkFl√ρ√ρF †l PkUk = ρ

∑k,l

δkldkk = ρ (43)

W ostatniej równości skorzystaliśmy z (27). Zatem rodzina

R = {U †i Pi}N2

i=1 (44)

reprezentuje poszukiwane odwzorowanie odzyskujące informację po wystąpieniu błedu opisanego ope-

racją A.

(⇒) Aby pokazać, że warunek (25) jest warunkiem koniecznym, załóżmy że rodzina operatorów

R = {Ri : i = 1, . . . N2} stanowi kwantową operację korekcji dla operacji błędu określonego przez

E = {Ei : i = 1, . . . N2} (W obu operacjach można dopełnić rodzinę operatorami zerowymi, aby uzy-

skać rodziny o N2 elementach). Określmy operację :

EC(ρ) = E(PρP ) (45)

Ale PρP należy do podprzestrzeni kodu - zatem dla każdego ρ

R(EC(ρ)) ∝ PρP (46)

Ponieważ obie strony powyższej równości są liniowe w ρ, stała proporcjonalności nie zależy od ρ. Zatem

podstawiając rozkłady Krausa: ∑ij

RjEiPρPE†iR†j = cPρP (47)

Ponieważ po lewej stronie jest operacja kwantowa, stała c musi być rzeczywista i nieujemna (operacja

kwantowa zachowuje dodatniość i hermitowskość). Zatem powyższa równość oznacza, że operacja

kwantowa realizowana przez rodzinę {RkEi}N2

i=1,k=1 (o mocy N4) jest równa operacji realizowanej

przez jeden operator Krausa√cP . Dopełniając ją operatorami zerowymi i korzystając z twierdzenia

2.3 otrzymujemy, że istnieje macierz unitarna W taka, że:

RkEiP = WkiP, 0 ¬ i, j ¬ N2 (48)

Liczby operatorów są większe niż N2, co oznacza że nie są one liniowo niezeleżne. Twierdzenie 2.3 jest

również prawdziwe w tym przypadku ([4]). Biorąc sprzężenie powyższej równości otrzymujemy, że:

PE†iR†kRkEjP = W ?

kiWkjP

8

Sumując powyższą równość względem k i korzystając z własności zachowania śladu przez R otrzymu-

jemy:

PE†iEjP =∑k

W ?kiWkjP = λijP (49)

co jest równoważne warunkom (25).

Aby dać pełny algorytm wyznaczania operacji odzyskiwania podajemy sposób obliczania rozkładu

polarnego wykorzystywanego w kroku 2 konstrukcji (równanie 30).

Przypuścmy, że dla danego operatora A chcemy znaleźć rozkład:

A = UJ, U †U = I, J ∈ P(H) (50)

Połóżmy:

J =√A†A (51)

J jest operatorem dodatnim, zatem hermitowskim i z twierdzenia spektralnego można go przedstawić

w postaci:

J =N∑i=1

µi |i〉 〈i| , λi ­ 0, 〈i| |j〉 = δij (52)

Liczby µi szeregujemy w taki sposób, aby dla i ¬ k µi > 0, zaś dla i > k µi = 0. Dla i ¬ k

przyjmujemy:

|ei〉 =Ai |i〉µi

(53)

Do zbioru {ei}ki=1 stosujemy ortogonalizację Grama-Shmidta i otrzymujemy zbiór ortonormalny {ei}Ni=1.

Określamy operator U w następujący sposób:

U =N∑i=1

|ei〉 〈i| (54)

Łatwo sprawdzić, że operator U jest unitarny, a ponadto dla i ¬ k zachodzi

UJ |i〉 = µi |ei〉 = A |i〉 (55)

za dla i > k mamy

UJ |i〉 = 0 = A |i〉 (56)

Zatem odwzorowania UJ i A są równe na bazie zadanej wektorami |i〉, zatem są równe na H. Jeżeli

A jest nieosobliwy, to J jest nieosobliwy i U jest zadane jednoznacznie jako AJ−1.

Szczególnym przypadkiem kwantowej korekcji błędów jest sytuacja, gdy na pewnej podprzestrzei

V układ jest w pewnym sensie ”odporny” na działanie szumu reprezentowanego pewną operacją

kwantową, tzn działanie szumu sprowadza się na tej podprzestrzeni do obrotu, czyli ewolucji unitarnej.

Do opisu takich sytuacji wprowadza się pojęcie podprzestrzeni odpornej na dekoherencję.

Definicja 3.1. Niech A = {Ai}N2

i=1 będzie operacją kwantową. Podprzestrzenią odporną na dekoheren-

cję (ang. decoherence free subspace) nazywamy taką podprzestrzeń V ⊆ H, że

∀ρ∈M(N )A(ρ) = UρU † (57)

9

gdzie macierz U zawężona do podprzestrzeni V jest unitarna, tzn. dla projektora P rzutującego na V

zachodzi

PU †UP = P (58)

Na koniec podajemy proste wnioski z twierdzenia 3.1.

Wniosek 3.1. Niech A = {Ai}N2

i=1 będzie operacją kwantową. Jeżeli operator rzutowy P i macierz

N2 ×N2 Λ spełniają warunki Knilla-Laflamme’a (25), to macierz Λ jest macierzą gęstości.

Dowód. Na początek zauważmy, że dodatniość operatora jest niezmiennikiem względem unitarnej

transformacji bazy. Istotnie, dla dowolnego operatora O ∈ B(H) i macierzy unitarnej U N× N zacho-

dzi:

∀|ψ〉∈H 〈ψ|O |ψ〉 ­ 0⇒ ∀|ψ〉∈H 〈Uψ|O |Uψ〉 (59)

ponieważ U jest izomorfizmem. Definiujemy operatory Fk jak jak w (28) i dostajemy równanie (29).

Załóżmy, że macierz Λ nie jest dodatnia. Wtedy istnieje 0 ¬ l ¬ N2 takie, że dll < 0. Ale wtedy

równanie:

PF †l FlP = (FlP )†(FlP ) = dllP (60)

nie może być spełnione, gdyż operator po lewej stronie jest dodatni, zaś po prawej nie - sprzeczność.

Dowód twierdzenia 3.1 zawiera rozumowanie pokazujące, że TrΛ = 1.

Następny wniosek zawiera kryterium, kiedy podprzestrzeń jest podprzestrzenią odporną na deko-

herencję.

Wniosek 3.2. Załóżmy, że macierz Λ wymiaru N2 × N2 i operator rzutowy P spełniają warunki

Knilla-Laflamme’a (25) dla pewnej operacji kwantowej A = {Ai}N2

i=1 . Wtedy operator P wyznacza

podrzestrzeń odporną na dekoherencję wtedy i tylko wtedy, gdy macierz Λ jest operatorem rzutowym,

tzn. Λ2 = Λ.

Dowód. (⇒) Załóżmy, że P rzutuje na podprzestrzeń odporną na dekoherencję. Wtedy istnieje macierz

U spełniająca warunek (58) dla operatora P taka, że:

A(PρP ) = UPρPU † (61)

To zaś oznacza, żeN2∑i=1

AiPρPA†i = UPρPU † (62)

Zatem odwzorowania kwantowe określone rodzinami {AiP}N2

i=1 i {UP} są równe. Zatem z twierdzenia

2.3 dostajemy, że istnieje macierz unitarna W wymiaru N2 ×N2 taka, że

AiP = Wi0UP, i = 1, . . . N2 (63)

Wymnażając powyższą równość ze swoim sprzężeniem i korzystając z własności U otrzymujemy:

λijP = PA†iAjP = W ?i0Wj0P (64)

10

Zatem

λij = W ?i0Wj0 (65)

(Λ2)ij =N2∑k=1

W ?i0Wk0W

?k0Wj0 = W ?

i0Wj0

N2∑k=1

(W †)0kWk0 = Λij (66)

(⇐) Wprowadzamy operatory Fk i macierz diagonalną d za pomocą równości (28) i (26). Łatwo

sprawdzić, że jeżeli Λ spełnia równość Λ2 = Λ, to również d2 = d. Ponieważ d jest macierzą gęstości

(patrz dowód wniosku 3.1) dla pewnego l zachodzi dll = 1, dkk = 0 dla k 6= l. Wynika stąd, że

PFk†FkP = (FkP )†FkP = 0⇒ FkP = 0, k 6= l (67)

Stąd otrzymujemy:

A(PρP ) = FlPρPF†l = FlPPρPPF

†l , (FlP )†FlP = P (68)

co kończy dowód.

3.2 Zakres numeryczny wyższego rzędu

Definicja 3.2. Zakresem numerycznym rzędu k, k ­ 1 dla danego operatora O ∈ B(H) nazywamy

zbiór:

Λk(O) = {λ ∈ C : POP = λP dla pewnego P ∈ Pk} (69)

gdzie Pk oznacza zbiór operatorów rzutowych rzutujących na podprzestrzeń k - wymiarową.

Dla k = 1 otrzymujemy znany zakres numeryczny macierzy, który można przedstawić w postaci:

Λ1(O) = W (A) = {〈ψ|O |ψ〉 , |ψ〉 ∈ H, || |ψ〉 || = 1} (70)

Zakres numeryczny macierzy można wykorzystać do badania kodów kwantowej korekcji błedów - war-

tość λij występująca w warunkach Knilla-Laflamme’a musi należeć do Λk(A†iAj) , jeżeli poszukujemy

kodu o wymiarze k. Z tego powodu zbadano szereg własności zakresów numerycznych - wyniki zawie-

rają prace [7], [8], [9], [10].

Po pierwsze zauważmy, że dla dowolnej macierzy O zachodzi:

ΛN (O) ⊆ . . . ⊆ Λ2(O) ⊆ Λ1(O) (71)

Własności topologiczne są zawarte w twierdzeniu:

Twierdzenie 3.2. Zbiór Λk(O) jest dla każdego k zbiorem zwartym. Λ1(O) jest dodatkowo zbiorem

wypukłym.

Intuicyjnie można spodziewać się, że zakresy numeryczne Λk(O) dla odpowiednio dużych k będą

”małe”, tzn Int(Λk(O)) jest zbiorem pustym. Jest tak rzeczywiście, zachodzi bowiem następujące

twierdzenie ([7]):

11

Twierdzenie 3.3. Jeżeli O jest macierzą N × N , zaś 2k > N , to Λk(O) jest zbiorem pustym albo

zbiorem jednoelementowym. Jeżeli

Λk(O) = {λ0}

to λ0 jest wartością własną O o krotnosci co najmniej 2k −N . W szczególności ΛN (O) jest niepusty

wtedy i tylko wtedy, gdy O jest proporcjonalna do macierzy jednostkowej.

Z drugiej strony, istnieje warunek pozwalający stwierdzić, że Λk(O) jest na pewno niepusty ([10])

Twierdzenie 3.4. Jeżeli O jest macierzą N ×N , zaś k spełnia warunek:

k <N

3+ 1 (72)

to Λk(O) jest zbiorem niepustym.

W [7] można znaleźć konstruktywny dowód twierdzenia opisującego kształt zbioru Λk(O) dla ma-

cierzy hermitowskich (konstruktywny w tym sensie, ze pozwala on znaleźć operatory rzutowe z definicji

3.2):

Twierdzenie 3.5. Niech O bedzie operatorem hermitowskim w przestrzeni N - wymiarowej H, zaś

a1 ¬ a2 ¬ . . . ¬ aN jego wartościami własnymi (być może nie wszystkie są różne). Dla k ­ 1 zachodzi:

Λk(O) = {λ ∈ R : ak ¬ λ ¬ aN−k+1} (73)

Praca [8] zawiera również próby uogólnienia powyższego twierdzenia na macierze normalne. Przy-

pomnijmy pojęcie otoczki wypukłej zbioru:

Definicja 3.3. Otoczką wypukłą coΓ zbioru Γ ⊆ C nazywamy najmniejszy zbiór wypukły zawierający

Γ, tzn :

coΓ = {t1z1 + . . .+ tmzm : t1 + . . .+ tm = 1, tj ­ 0, zj ∈ Γ} (74)

Twierdzenie 3.6. Niech O będzie operatorem normalnym CN → CN , k ­ 1, Sp(O) oznacza zbiór

wartości własnych operatora O. Niech ponadto:

Γm = {Γ ⊂ Sp(O) : #Γ = m} (75)

Wtedy :

Λk(O) ⊆⋂

Γ∈Γm

coΓ (76)

Innymi słowy, zakres numeryczny rzędu k jest podzbiorem wszystkich otoczek wypukłych N−k+1

- elementowych podzbiorów spektrum O. W pracy [8] postawiono hipotezę, dla operatorów normalnych

zawieranie (76) jes w istocie równoscią i zamieszczono zestawienie, dla jakich N i k jest ona prawdziwa.

W szczególności hipoteza jest prawdziwa dla N = 4 i k = 2. Korzystając z tego możemy określić zakres

numeryczny rzędu 2 dla macierzy unitarnej 4× 4 (wykorzystamy to w dalszej częsci):

Twierdzenie 3.7. Niech U będzie macierzą unitarną wymiaru 4×4 i niech zk = eiθk , k = 1, . . . 4 będą

wartościami własnymi U uszeregowanymi tak, że 0 ¬ θ1 ¬ θ2 ¬ θ3 ¬ θ4 < 2π. Zachodzą następujące

przypadki:

12

� Jeżeli wartości własne są parami różne, to Λ2(U) zawiera jeden punkt, będący przecięciem pro-

stych na płaszczyźnie zespolonej przechodzących przez z1 i z3 oraz z2 i z4 .

� Jeżeli dokładnie 2 z wartości własnych U są równe, θj = θk, to Λ2(U) = {zj}

� Jeżeli U ma dwie różne wartości własne z i w o krotności 2, to Λ2(U) jest odcinkiem na płasz-

czyźnie zespolonej łączącym z i w.

� Jeżeli U ma dwie różne wartości własne z i w z czego z ma krotność 3, to Λ2(U) = {z}

� Jeżeli U ma jedną wartość własną z, to Λ2(U) = {z}

4 Przykłady kodów kwantowej korekcji błędów

4.1 Losowy kanał unitarny

Niech przestrzeń H ma wymiar 4. Rozważmy odwzorownie kwantowe Ψ: M(4) → M(4) dane

wzorem:

Ψ(ρ) = pV ρV † + qWρW †, V V † = WW † = I, p+ q = 1 (77)

Odwzorowanie takie nazywamy losowym kanałem unitarnym, ponieważ obrót reprezentowany przez

V zachodzi z prawdopodobieństwem p, zaś przez W z prawdopodobieństwem q. Poszukujemy dwuwy-

miarowych podprzestrzeni kodowych. Odwzorowanie unitarne

ρ→ V †ρV (78)

nie ma wpływu na własności kodowania, zatem odwzorowanie Ψ jest równoważne odwzorowaniu

Ψ1(ρ) = V †Ψ(ρ)V (79)

Aby to uzasadnić można również skorzystać z twierdzenia 2.3. Wprowadzając U = V †W otrzymujemy

Ψ1(ρ) = pρ+ qUρU † (80)

Nasze odwzorowanie jest zatem reprezentowane przez rodzinę {√pI,√qU}. Obliczmy macierze wystę-

pujące w warunkach Knilla-Laflamme’a:

T11 = pI, T12 = T †21 =√pqU, T22 = qI (81)

Widać, że z warunków Knilla-Laflamme’a natychmiast otrzymujemy

λ11 = p, λ22 = 1− λ11 = q, λ21 = λ?12 (82)

Zauważmy, że aby rozwiązać problem wystarczy znaleźć λ ∈ Λ2(U) i odpowiadający operator rzutowy

P rzutujący na pewną dwuwymiarową podprzestrzeń:

PUP = λP ⇒ λ12 =√pqλ (83)

13

Rozwiążemy zagadnienie dla przypadku, gdy U ma różne wartości własne z1, z2, z3, z4 uszeregowane na

okręgu jednostkowym tak jak w załozeniu twierdzenia 3.7- pozostałe przypadki robi się analogicznie. Z

twierdzenia 3.7 wiadomo, że w tym przypadku istnieje tylko jedna odpowiednia wartość λ, spełniająca:

λ = αz1 + βz3 = γz2 + δz4, α+ β = γ + δ = 1, α, β, γ, δ ­ 0 (84)

Należy znaleźć operator rzutowy P . Niech wartosciom własnym z1, z2, z3, z4 odpowiadają wektory

własne |ϕ1〉, |ϕ2〉, |ϕ3〉, |ϕ4〉. Określamy następujące wektory (unormowane):

|ψ1〉 = a1 |ϕ1〉+ a3 |ϕ3〉 , |ψ2〉 = a2 |ϕ2〉+ a4 |ϕ4〉 , a1, a2, a3, a4 ∈ C (85)

Poszukiwany operator rzutowy określamy następująco:

P = |ψ1〉 〈ψ1|+ |ψ2〉 〈ψ2| (86)

Metoda znajdowania podprzestrzeni kodowej polega zatem na ”parowaniu” wektorów własnych. Ma

to związek ze strukturą zakresów numerycznych wyższego rzędu. Podstawiając P do warunku:

PUP = λP (87)

Otrzymujemy:

〈ψ1|U |ψ1〉 |ψ1〉 〈ψ1|+ 〈ψ2|U |ψ2〉 |ψ2〉 〈ψ2|+ 〈ψ1|U |ψ2〉 |ψ1〉 〈ψ2|+ 〈ψ2|U |ψ1〉 |ψ2〉 〈ψ1| =

= λ |ψ1〉 〈ψ1|+ λ |ψ2〉 〈ψ2| (88)

Korzystając z tego, że ψ1 i ψ2 należą do różnych podprzestrzeni niezmienniczych operatora U oraz z

tego, że operatory |ψ1〉 〈ψ1| i |ψ2〉 〈ψ2| są liniowo niezależne w B(H) otrzymujemy, że (87) sprowadza

się do równań:

〈ψ1|U |ψ1〉 = 〈ψ2|U |ψ2〉 = λ (89)

To jest zaś równoważne układowi:

z1|a1|2 + z3|a3|2 = λ

z2|a2|2 + z4|a4|2 = λ

|a1|2 + |a3|2 = 1

|a2|2 + |a4|2 = 1

(90)

Zauważmy, że otrzymaliśmy warunki tej samej postaci co (84). Z uszeregowania wartości własnych

na okręgu jednostkowym wiadomo, że istnieje λ = λ0 dla którego powyższy układ ma rozwiązanie -

jest to przecięcie odcinków z1z3 i z2z4 na płaszczyźnie zespolonej, które znajduje się wewnątrz otoczki

wypukłej z1, z2, z3 i z4. Wystarczy zatem przyjąć:

a1 =

√λ0 − z1

z1 − z3, a2 =

√λ0 − z2

z2 − z4, a3 =

√1− a2

1, a4 =√

1− a22 (91)

Powyższe wyrażenia są poprawnie określone, ponieważ z określenia λ0 wynika, że liczby λ0 − z1 i

z1 − z3 mają ten sam argument główny ; ich iloraz jest zatem liczbą rzeczywistą o module mniejszym

14

od 1. Pełne rozwiązanie problemu stanowi operator rzutowy P i macierz współczynników z równań

Knilla-Laflamme’a Λ :

P =

a2

1 a1a3 0 0

a1a3 a23 0 0

0 0 a22 a2a4

0 0 a2a4 a24

(92)

Λ =

p√pqλ0

√pqλ?0 q

(93)

4.2 Kanał kwantowy reprezentowany niekomutującymi operatorami Krausa

Niech przestrzeń H ma wymiar 4. Rozważmy następujące odwzorowanie kwantowe Φ: M(4) →M(4) , które modeluje pewien szum układu kwantowego:

Φ(ρ) = A1ρA†1 +A2ρA

†2 (94)

gdzie macierze A1, A2 mają w bazie |ϕ1〉 , |ϕ2〉 , |ϕ3〉 , |ϕ4〉 mają postać:

A1 =

√h1 0 0 0

0√h2 0 0

0 0√h3 0

0 0 0√h4

(95)

A2 =

√1− h1 0 0 0

0√

1− h2 0 0

0 0√

1− h3 cosφ√

1− h4 sinφ

0 0 −√

1− h3 sinφ√

1− h4 cosφ

=

√1− h1 0 0 0

0√

1− h2 0 0

0 0 B2

0 0

(96)

Parametrami tego modelu są kąt φ ∈ [0, 2π) oraz wektor liczb rzeczywistych ~h = (h1, h2, h3, h4)

spełniających warunek:

0 ¬ h1 ¬ h3 < h2 ¬ h4 ¬ 1 (97)

Macierz B2 o wymiarze 2 × 2 jest macierzą o strukturze podobnej do macierzy ortogonalnej, spełnia

ona B†2B2 = diag(1−h3, 1−h4). Widać, że A†1A1 +A†2A2 = I, zatem macierze A1, A2 są poprawnymi

operatorami Krausa. Postępując zgodnie z opisaną procedurą poszukiwania kodu kwantowej korekcji

błędów określamy macierze:

T11 = A†1A1, T12 = T †21 = A†1A2 oraz T22 = A†2A2. (98)

Niech rij =√hi(1− hj), i, j = 1, 2, 3, 4. Macierze T11 i T12 mają w bazie |ϕ1〉 , |ϕ2〉 , |ϕ3〉 , |ϕ4〉 postać:

T11 =

h1 0 0 0

0 h2 0 0

0 0 h3 0

0 0 0 h4

(99)

15

T12 =

r11 0 0 0

0 r22 0 0

0 0 r33 cosφ r34 sinφ

0 0 −r43 sinφ r44 cosφ

=

r11 0 0 0

0 r22 0 0

0 0 C2

0 0

(100)

Z postaci macierzy widać, że

[A1, A2] 6= 0, [T11, T12] 6= 0 (101)

Operatory A1, A2 oraz T11, T12 mają wspólną podprzestrzeń własną Lin(|ϕ1〉 , |ϕ2〉). Będziemy po-

szukiwać 2 wymiarowej podprzestrzeni kodowej V - celem jest zatem znalezienie operatora rzutowego

PV , dimV = 2. Pełne warunki Knilla-Laflamme’a mają postać:

PV T11PV = λ11PV

PV T12PV = λ12PV

PV T21PV = h21PV

PV T11PV = h22PV

Wystarczy rozwiązać warunki dla T11 i T12 - jeżeli λ11 i λ12 są rozwiązaniem dla pewnego PV , to

λ21 = λ?12 oraz λ22 = 1− λ11 są rozwiązaniem dla macierzy T12 i T22. Zdefiniujmy kombinacje liniowe

par stanów:

|ψ1〉 = a1 |ϕ1〉+ a2 |ϕ2〉 , |ψ2〉 = a3 |ϕ3〉+ a4 |ϕ4〉 , a1, a2, a3, a4 ∈ C (102)

Postulujemy następującą postać operatora PV :

PV = |ψ1〉 〈ψ1|+ |ψ2〉 〈ψ2| (103)

Aby operator ten był operatorem rzutowym wektory |ψ1〉 i |ψ2〉 muszą być znormalizowane.

Dla dowolnego operatora S : H → H warunek PV SPV = αPV oznacza, że:

〈ψ1|S |ψ1〉 = 〈ψ2|S |ψ2〉 = α, 〈ψ1|S |ψ2〉 = 0

W rozważanym przypadku wektory |ψ1〉 i |ψ2〉 należą do wzajemnie ortogonalnych podprzestrzeni

niezmienniczych operatorów T11 i T12, zatem dla nich drugi warunek jest spełniony automatycznie.

Ostatecznie warunki Knilla-Laflamme’a można zapisać w postaci:〈ψ1|T11 |ψ1〉 = 〈ψ2|T11 |ψ2〉 = λ11

〈ψ1|T12 |ψ1〉 = 〈ψ2|T12 |ψ2〉 = λ12(104)

Wyliczając to w bazie |ϕ1〉 , |ϕ2〉 , |ϕ3〉 , |ϕ4〉 otrzymujemy natępujący układ równań:

h1|a1|2 + h2|a2|2 = λ11

h3|a3|2 + h4|a4|2 = λ11

r11|a1|2 + r22|a2|2 = λ12

r33 cosφ|a3|2 + r34 sinφa?3a4 − r43 sinφa3a?4 + r44 cosφ|a4|2 = λ12

|a1|2 + |a2|2 = 1

|a3|2 + |a4|2 = 1

(105)

16

Z warunków normalizacji i pierwszych dwóch równań można obliczyć |a1|2 i |a3|2:

|a1|2 =λ11 − h2

h1 − h2, |a2|2 =

h1 − λ11

h1 − h2, |a3|2 =

λ11 − h4

h3 − h4, |a4|2 =

h3 − λ11

h3 − h4, (106)

Z trzeciego równania układu (105) otrzymujemy, że

λ12 =λ11 − h2

h1 − h2(r11 − r22) + r22 (107)

Z powyższych równań wynika, że λ11 oraz λ12 są rzeczywiste. Ponieważ r34 ­ 0, r43 ­ 0, z równania 4

układu (105) wynika, że a3, a4 są rzeczywiste. Zapisując to równanie w równoważnej postaci otrzymuje

się:

r33 cosφλ11 − h4

h3 − h4+ a3a4(r34 − r43) sinφ+ r44 cosφ

h3 − λ11

h3 − h4=λ11 − h2

h1 − h2(r11 − r22) + r22 (108)

Wprowadzamy oznaczenia:

p =r11 − r22

h1 − h2+ cosφ

r44 − r33

h3 − h4= p(~h, φ) (109)

q = −h2r11 − r22

h1 − h2+ r22 +

r33h4 − r44h3

h3 − h4cosφ = q(~h, φ) (110)

Równanie (108) przyjmuje postać:

a3a4(r34 − r43) sinφ = pλ11 + q (111)

Z równań (106) można wyrazić a3 oraz a4 przez λ11. Dla danego rozwiązania λ(0)11 są dwa przypadki:

1. (pλ(0)11 + q)(r34 − r43) sinφ ­ 0 - Wtedy a3 i a4 są tego samego znaku i przyjmujemy:

a3 =

√λ

(0)11 − h4

|h3 − h4|, a4 =

√h3 − λ(0)

11

|h3 − h4|(112)

2. (pλ(0)11 + q)(r34 − r43) sinφ < 0 - Wtedy a3 i a4 są różnych znaków i przyjmujemy:

a3 =

√λ

(0)11 − h4

|h3 − h4|, a4 = −

√h3 − λ(0)

11

|h3 − h4|(113)

Dla r34 = r43 lub sinφ = 0 równanie (111) ma rozwiązanie

λ11 = −qp

(114)

Dla r34 6= r43 i sinφ 6= 0 oznaczamy

s =r34 − r43

|h3 − h4|sinφ = s(~h, φ) (115)

Podnosząc równanie (111) do kwadratu otrzymujemy

s2(λ11 − h4)(h3 − λ11) = (pλ11 + q)2 (116)

17

Π 2 Π

Φ

0.05

0.07

0.08

0.09

0.1Λ11

Π 2 Π

Φ

0.05

0.07

0.08

0.09

0.1Λ11

Rysunek 1: Współczynniki kompresji λ11 w zależności od kąta φ dla ~h = (1/26, 1/10, 1/17, 1/5) -

rysunek po lewej przedstawia rozwiązanie (117), po prawej (118). Poziome linie to wartości h2 i h3. Z

wykresu mozna również odczytać przedziały dla których spełniony jest warunek (119)

Jest to równanie kwadratowe, które ma następujące rozwiązania:

λ(1)11 (~h, φ) =

−2pq − (h4 − h3)s2 −√

(2pq + (h4 − h3)s2)2 − 4(p2 + s2)(q2 + s2h3h4)2(p2 + s2)

(117)

λ(2)11 (~h, φ) =

−2pq − (h4 − h3)s2 +√

(2pq + (h4 − h3)s2)2 − 4(p2 + s2)(q2 + s2h3h4)2(p2 + s2)

(118)

Aby rozwiązanie istniało musi być spełniony warunek:

(2pq + (h4 − h3)s2)2 − 4(p2 + s2)(q2 + s2h3h4) ­ 0 (119)

Dodatkowo λ11 określona wzorami (117) lub (118) jest poprawnym rozwiązaniem problemu, jeżeli

spełnia warunek λ11 ∈ [h3, h2] = Λ2(T11). Dla danego ~h wzory (117) i (118) określają pewną funkcję

λ11(φ). Rysunek 1 przedstawia rozwiązania w zależności od kąta φ.

Podsumowując, jeżeli f1,2(φ) = λ(1,2)11 (φ) określają funkcje parametru φ zadane (117) i (118) to

zbiór kątów dla których istnieje rozwiązanie problemu kodowania w postaci 103 jest równy:

f−11 ([h3, h2]) ∪ f−1

2 ([h3, h2]) (120)

Dla danego rozwiazania λ11 współczynniki a3 i a4 są określone warunkami (112) lub (113). Szukany

operator P2 ma postać:

PV =

a2

1 a1a2 0 0

a1a2 a22 0 0

0 0 a23 a3a4

0 0 a3a4 a24

(121)

Macierz kompresji jest postaci:

Λ =

λ11λ11−h2h1−h2 (r11 − r22) + r22

λ11−h2h1−h2 (r11 − r22) + r22 1− λ11

(122)

18

Λ12

Rysunek 2: Zakres numeryczny Λ1(T12) macierzy T12 dla parametrów ~h = (1/26, 1/10, 1/17, 1/5) i

kąta φ = 0.1. Widać, że Λ1(T12) jest otoczką wypukłą zbioru Λ1(C2) ∪ {r1} ∪ {r2} na płaszczyźnie

zespolonej. Λ1(C2) jest elipsą o ogniskach w punktach będących wartościami własnymi macierzy C2.

Zakres numeryczny rzędu 2, Λ2(T12) jest podzbiorem zbioru zaznaczonego na rysunku; macierz T12

nie jest normalna. Rysunek został wygenerowany za pomocą strony [12].

19

Zauważmy, że istnieje punkt ~h w przestrzeni parametrów dla którego rozwiązanie istnieje dla cią-

głego zbioru kątów φ (rysunek 1). Ponieważ wyrażenia (117) i (118) są ciągłymi funkcjami parametrów

hi, istnieje otoczenie tego punktu w przestrzeni parametrów dla którego rozwiązania również istnieją

dla ciągłych przedziałów φ.

Rozważmy przypadek gdy h1 = h2 = h3 = h. Wtedy T11 = hI⊕ diag(h, h4), T12 =√

1− hI⊕C2 i

rozważając operator rzutowy w postaci:

P2 = |ϕ1〉 〈ϕ1|+ |ϕ2〉 〈ϕ2| (123)

natychmiast otrzymujemy rozwiązanie problemu (układu 104):

Λ =

h√h(1− h)√

h(1− h) 1− h

(124)

W tej sytuacji podprzestrzeń Lin(|ϕ1〉 , |ϕ2〉) jest podprzestrzenią odporną na dekoherencję (ang. de-

coherence free subscpace). Pojawia się pytanie czy w tym zdegenerowanym przypadku nie jest możliwe

rozszerzenie podprzestrzeni kodowej do 3 wymiarów. Rozważmy operator

P3 = |ϕ1〉 〈ϕ1|+ |ϕ2〉 〈ϕ2|+ |ψ2〉 〈ψ2| (125)

gdzie |ψ2〉 jest określony w równaniu 102. Wiadomo, że λ11 = h, λ12 =√h(1− h) = r = r11 = r22 =

r33. Dalej otrzymujemy:

〈ψ2|T11 |ψ2〉 = h⇒ h4|a4|2 = h|a4|2 (126)

Jeżeli h4 6= h to a4 = 0, a3 = 1. Dalej

〈φ3|T12 |φ3〉 = r ⇒ cosφ =r

r33= 1 (127)

i rozwiązanie istnieje tylko dla kątów skończonego zbioru kątów φ - macierze A1, A2, T11, T12 stają się

diagonalne. Jeżeli h4 = h argument, że a3 i a4 muszą być rzeczywiste powoduje, że,

〈ψ2|T12 |ψ2〉 ⇒ r cosφ = r (128)

zatem w tym przypadku również rozwiązanie istnieje tylko dla szczególnych kątów - macierze A1, A2,

T11, T12 są proporcjonalne do macierzy jednostkowej i problem staje się trywialny - żaden szum w

istocie nie występuje.

5 Podsumowanie

W niniejszej pracy przedstawiono teoretyczne aspekty kwantowej korekcji błędów oraz przykłady

znajdowania kodu dla konkretnego modelu szumu zadanego operacją kwantową w postaci Krausa.

Przykład z sekcji 4.2 zawiera oryginalną konstrukcję 2 wymiarowej podprzestrzeni kodowej dla

operacji kwantowej działającej w przestrzeni 4 wymiarowej (a zatem 1 kubit jest kodowany za pomocą

20

2 kubitów). Rozwiązywanie warunków Knilla-Laflamme’a jest bardziej złożone ze względu na to, że

zarówno operatory Krausa A1, A2 jak i operatory A†1A1 i A†1A2 nie mają wspólnej bazy wektorów

własnych, zaś operator A†1A2 nie jest normalny. Pokazano, że podprzestrzeni kodowej generalnie nie

da się rozszerzyć do 3 wymiarów nawet po przyjęciu dodatkowych założeń.

Punktem wyjścia do bardziej ogólnej analizy kanałów kwantowych pod kątem znajdowania pod-

przestrzeni kodowych i podprzestrzeni odpornych na dekoherencję może być praca [13]. W pracy tej

pokazano możliwości jakie daje zastosowanie twierdzenia Shemesha o wspólnych wektorach własnych

dwóch macierzy ([14]). Pozwala ono na znalezienie najmniejszej podprzestrzeni inwariantnej N dwóch

operatorów T11, T12, która zawiera wszystkie wspólne wektory własne tych operatorów. Wtedy jeżeli

istnieje przestrzeń kodu, to jest ona podprzestrzenią N i wystarczy ograniczyć się do badania operacji

kwantowej zawężonej do tej podprzestrzeni.

Literatura

[1] Man-Duen Choi, David W. Kribs, Karol Zyczkowski. Quantum Error Correcting Codes From The

Compression Formalism, Rep. Math. Phys., 58 (2006), 77-91.

[2] I. Bentgsson, K. Życzkowski, Geometry of Quantum States, Cambridge University Press, 2006.

[3] Ł. Skowronek, Quantum Entanglement and certain problems in mathematics, dostęne pod adresem

http://chaos.if.uj.edu.pl/ karol/prace/skowronek08.pdf

[4] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information. Cam-

bridge University Press, 2000.

[5] C. H. Benett, D.P. DiVincenzo, J. A. Smolin and W. K. Wooters: Phys. Rev. A 54 (1996), 3824

[6] Emanuel Knill and Raymond Laflamme. A theory of quantum error correcting codes. Physical

Review A, 55:900-911, 1997

[7] Man-Duen Choi, David W. Kribs, Karol Życzkowski. Higher-Rank Numerical Ranges and Com-

pression Problems, Lin. Alg. Appl., 418 (2006), 828-839.

[8] Man-Duen Choi, John A. Holbrook, David W. Kribs, Karol Życzkowski. Higher-Rank Numerical

Ranges of Unitary and Normal Matrices, Operators and Matrices 1, 409-426 (2007)

[9] Chi-Kwong Li, Nung-Sing Sze. Canonical forms, higher rank numerical range, convexity, totally

isotropic subspace, matrix equations, Proc. Amer. Math. Soc., 136:3013-3023. 2008

[10] Chi-Kwong Li, Yiu-Tung Poon, Nung-Sing Sze. Condition for the higher rank numerical range to

be non-empty, Linear and Multilinear Algebra, 57:365-368. 2009

[11] Krzysztof Majgier, Hans Maassen, Karol Życzkowski. Protected Subspaces in Quantum Informa-

tion, Quantum Inf. Process. 9, 343-367 (2010)

[12] http://numericalshadow.org/numerical-range:calculate

21

[13] Andrzej Jamiołkowski, Int. J. Quantum Inform., 10, 1241007 (2012)

[14] D. Shemesh, Linear Alg. Appl. 62, 11, (1984)

22