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• La matemática es como un juego y para ello hay que conocer las reglas del mismo.
• La matemática es una ciencia que tiene mas de 2000 años.
• Son el lenguaje y la ciencia de los patrones numéricos.
• Es la ciencia básica indispensable en el cambio y transformación continua del universo
Introducción a las matemáticas
“Las Matemáticas de ayer, hoy y para el mañana”
Objetivos • Ordenar el pensamiento.• Definición de axiomas • Plantear y desarrollar ejercicios y problemas
• Las Matemáticas son el arte de dar el mismo nombre a cosas distintas. Nuestro objetivo no ha de ser encontrar parecidos y diferencias, sino descubrir similitudes escondidas bajo discrepancias aparentes.
• El estudiante ha de construir y reconstruir un conjunto de competencias generales y específicas, referidas a la actividad intelectual, tales que le permitan un desempeño exitoso en las subsiguientes fases de su formación profesional.
• Elaborar los hábitos de disciplina y competencias cognoscitivas que les permitan formarse como profesionales altamente calificados, según los parámetros de calidad actuales.
LÒGICA• Razonar, pensar, analizar, observar, discutir…..
La lógica es el estudio de los métodos y principios usados al distinguir entre los argumentos correctos (buenos) y los argumentos incorrectos (malos).
El estudio de la lógica, especialmente la lógica simbólica como el estudio de cualquier ciencia exacta incrementara la capacidad de razonamiento.
El razonamiento es la clase especial de pensamiento llamada interferencia, en la que se sacan conclusiones partiendo de premisas.
Lo lógico no se interesa en el proceso real de razonamiento. A el le importa la corrección del proceso completado. Su pregunta siempre es: ¿se sigue la conclusión de las premisas usadas o supuestas? Si las premisas son un fundamento adecuado para aceptar la conclusión, si afirmar que las premisas son verdaderas garantiza afirmar la verdad de la conclusión, entonces el razonamiento es correcto. De otra manera es incorrecto. Los métodos y técnicas del lógico se interesa en todo razonamiento, sin atender al contenido del mismo, sino solo desde este punto de vista especial.
LÒGICAPENSAMIENTOEl pensamiento es la actividad y creación de la mente, dícese de todo aquello que es traído a
existencia mediante la actividad del intelecto.El término pensamiento es comúnmente utilizado como forma genérica que define todos los
productos que la mente puede generar incluyendo las actividades racionales del intelecto o las abstracciones de la imaginación; todo aquello que sea de naturaleza mental es considerado pensamiento, bien sean estos abstractos, racionales, creativos, artísticos, etc.
El pensamiento podemos definirlo también como la actividad mental no rutinaria que requiere esfuerzo, o como lo que ocurre en la experiencia cuando un organismo se enfrenta a un problema, lo conoce y lo resuelve.
Podríamos también definirlo como la capacidad de anticipar las consecuencias de la conducta sin realizarla.
El pensamiento implica una actividad global del sistema cognitivo con intervención de los mecanismos de memoria, atención, procesos de comprensión, aprendizaje, etc. Es una experiencia interna e intrasubjetiva.
El pensamiento tiene una serie de características particulares, que lo diferencian de otros procesos, como por ejemplo, que no necesita de la presencia de las cosas para que éstas existan, pero la más importante es su función de resolver problemas y razonar
UNIDAD I
I. LÒGICA PROPOSICIONAL
II. TEORIA DE CONJUNTOS
UNIDAD I
I. LÒGICA PROPOSICIONAL
II. TEORIA DE CONJUNTOS
Semana # 1
1.Lógica proposicional2.Proposición lógica3.Enunciados, variables4.Clases de proposiciones: simples y compuestas5.Operaciones lógicas
Semana # 1
1.Lógica proposicional2.Proposición lógica3.Enunciados, variables4.Clases de proposiciones: simples y compuestas5.Operaciones lógicas
Proposiciones Lógicas
Son enunciados u oraciones con sentido completo. Se los denota por variables proposicionales
Tipos de enunciados.cerradosabiertosvariables
Variables proposicionales (p, q, r, s,….etc)
Valor de verdad. (V o F), (1 o 0)
Clases de proposiciones Lógicas
I. Simples o atómicasej. Unix es un sistema operativo
ej. El multitester es un dispositivo electrónico
II. Compuestas o molecularesej. Unix es un sistema operativo y Word es un softwareej. Si m es par y n es entero entonces (n) m es positivo
OPERACIONES LÒGICAS
• OPERADORES LÒGICOS
• La negación: ( ~ ) ~ p no p• La conjunciòn: (Λ ) p Λ q p y q • La disyunción inclusiva: (v ) p v q p o q• La disyunción exclusiva: (∆ ) p ∆ q o p o
q • El condicional: (→ ) p → q si p
entonces q• El bicondicional: (↔ ) p ↔ q p si y
solo si q• La negación conjunta: (↓ ) p ↓ q
ni p ni q • La negación alterna: (↑ ) p ↑ q
no p o no q
Tabla de verdad clásica
p q p q
p q p v q p ∆ q p → q p ↔ q p ↑ q p ↓ q
V V
V F
F V
F F
V V
V F
F V
F F
V V V
V F F
F F V
F F F
V V V
V V F
F V V
F F F
V F V
V V F
F V V
F FF
V V V
V F F
F V V
F V F
V V V
V F F
F F V
F V F
V F V
V V F
F V V
F V F
V F V
V F F
F F V
F V F
EjerciciosEstablecer la fórmula molecular de las siguientes expresiones lógicas:
1.Escribimos a máquina o manuscribimos si y solo si no tenemos una computadora2.O bien 2<4 o bien m>n3.Unix y Linux son sistemas operativos si solo si autocad y ms Project son programas4.2 es múltiplo de 4 o es divisor de 6 siempre que 2 sea un número primo5.Si Word es un procesador de texto entonces o bien Excel es una hoja de cálculo o es un sistema operativo 6.Si llega el verano hace calor e iremos a la playa7.Julio no es Ingeniero ni abogado pero si es contador8.Si salimos temprano iremos de paseo no salimos temprano no iremos de paseo9.Si y solo si estoy enfermo iré al médico o si no iré a jugar fútbol y basquet10.Si no hay calor y no hay agua y no hay oxigeno y no hay nitrogeno y no hay carbono, no hay fotosíntesis
EjerciciosEstablecer la fórmula molecular de las siguientes expresiones lógicas y determinar su valor de verdad.1.Si 3> 1 y (– 2 )3 = – 8 entonces 1 es primo
2.Unix y Windows Xp. son sistemas operativos si solo si Word y Excel son software
3.Linux es un sistema operativo mientras que el multitester es un dispositivo electrónico.
4.2 es múltiplo de 8 o es divisor de 4 si y solo si 2 es natural o 2 no es primo
5.Si 2<3 y 2 no es un real entonces o bien 2 es par o ( 2 ! ) =1
6.Word es un procesador de texto si y solo si o bien Excel es una hoja de cálculo o bien es un sistema operativo
7.Geoogle no es un buscador informático pero si es parte lógica a menos que el mouse sea parte física
1. Tablas de verdad
2. Algebra proposicional
Semana # 2
Construcción de tablas de verdad
Recomendación para construir una tabla de verdad
1. Ver cuántas proposiciones simples existen en la expresión molecular, para realizar las combinaciones
2. Observar en que operador estará de verdad
3. Empezar en orden jerárquico a los conectivos lógicos y también en orden a primero los paréntesis, corchete, llaves, negaciones, etc.
Ej. 1Ej. 1
Construcción de tablas de verdad
p q ( p → q ) v ( p ↔ q )
V V
V F
F V
F F
V V V
F F F
V V F
V V V
Rta
Construcción de tablas de verdad
p q r { ( p ∆ q ) v ~ ( p ↔ ~ q )} → ~ r
V V V F V V F V V V V F F V V F F F
V F V V V F V V V
V F F V V F V F F
F V V V V F V V V
F V F V V F V F F
F F V F V V F V V
F F F F V V F F F
Ej. 2Ej. 2
Rta
Tautología Contradicción y Contingencia.
Tautología: Son expresiones moleculares siempre verdaderas
Ej1. p v ~ pEj2. (p → q ) v p
Contradicción: Son expresiones moleculares siempre FalsasEj. p ~p
Contingencia: Son expresiones moleculares que pueden ser verdaderas o falsasEj. ( p v ~p)→q
Semana # 3
Construir la tabla de verdad y diga si es tautología contradicción o contingencia
p q ( p → q ) v ~ (p ↔ q)
V V
V F
F V
F F
V V F V
F V V F
V V V F
V V F V
Tautologia
Ej. 1Ej. 1
Construir la tabla de verdad y diga si es tautología contradicción o contingencia
p q {( p v q ) → ~ (p ∆ q)} ↔ ~ {( p v q ) Λ ~ (p ↑ q)}
V V V V V F F F V V V F
V F V F F V F V V F F V
F V V F F V F V V F F V
F F F V V F V V F F F V
Contingencia
Ej. 2Ej. 2
LEYES LÒGICAS
Sirven para transformar expresiones moleculares en otras equivalentes.
Se aplican en circuitos lógicos y en circuitos digitales.
ej. Reducir aplicando leyes lógicas
1. q q ~ q p por absorción
Solución:
q ( q p por absorción q
Semana # 4
CIRCUITOS LÒGICOS
A) Circuitos en seriefunción Booleana
p ^ q p q
B) Circuitos en paralelo función Booleana p
q
p V q
p q p q
1 1 1 00 10 0
1 0 0 0
p q p v q
1 1 1 00 10 0
1 1 1 0
Ejemplos de Aplicación:
1.Grafique el circuito equivalente a: [ ( p q) v r ] (s v r)
p q s r r
2.Reducir el circuito al menor equivalente y analizarlo para que seaa) cerrado y b) abierto
p q q
p q q
•Funcion Booleana: [ ( p q) v ( p q) ] ( q v q)
•Reduciendo por leyes lógicas: p q
•Circuito equivalente p q
•Analisis: a) para que sea cerrado (pasa corriente) p: 1 q: 0
b) para que sea abierto (no pasa corriente)p: 1 q: 1p: 0 q: 1 o 0
CIRCUITOS DIGITALESCIRCUITOS DIGITALES
Semana # 5
a b
a . b a + b a b a ּס b
1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1
NOT AND OR OREX NOREX
NOR NAND
ba ba.
Puertas Básicas
Otras puertas
Ej. 2. Describa como esta compuesto el circuito
Semana # 6 LÓGICA CUANTIFICACIONAL
Es otra forma de conseguir valores de verdad utilizando cuantificadores existenciales y universales en funciones proposicionales.
FUNCIÓN PROPOSICIONAL
Son enunciados abiertos de la forma p(x) en la cual para evaluar se necesita reemplazar a la variable valores convenidos que pertenezcan a un cierto dominio.
EJEMPLO DE APLICACIÓN:
Dadas las funciones proposicionales p(x): x2 ≤ 9
q(x): x2 +1= 2xr(x) : x 2 < 4
Determinar el valor de verdad de la siguiente expresión
[ ( p( 2 ) q(-1) ) ↔ ~ p(-3) ] ∆ ~ r (2)
P(2): (2) 2 ≤ 9 …(V)Q(–1): (–1) 2 +1= 2(–1) …(F)P(–3): (–3) 2 ≤ 9 …(V)R(2): (2) 2 < 4 …(F)
EVALUANDO:
[ (V F) ↔ ~ (V) ] ∆ ~ (F)
[ F ↔ F ] ∆ V
V ∆ V
F
Tipos De Cuantificadores
Hay 2 clases de cuantificadores:
a) Cuantificador Existencial ( )Ej. 1 x N / x > 3Se lee: existe un “x” que pertenece a los números naturales tal que “x” sea mayor que 3
b) Cuantificador Universal ( )Ej. 2 x R Se lee: para todo “x” que pertenece a los números
reales, se cumple que x 2 +1 = 0
/ x 2 +1 = 0
Semana # 7
CAPÍTULO II
TEORÍA DE CONJUNTOS
Noción de Conjunto
Es la agrupación de elementos bien definidos y que tienen una característica en común.
Ejemplos:
A = {i, d, a, t}Se lee: A es el conjunto cuyos elementos son las letras de la palabra idat
Se lee: B es el conjunto cuyos elementos son los números naturales menores que 6
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Relación De Pertenencia ( )
Se hace de elemento a conjunto; y se denota por x A, caso contrario x A
Relación De Inclusiòn ( )
Se hace de conjunto a conjunto y se denota por A B, caso contrario A B
Ej. Dado los conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4, 6 } ; B = { 2, 3 } y C = { 0, 3, 4 }
Responder : V o F las siguientes proposiciones
1.3 A ( V ) 4. C A ( V )2.B A ( V ) 5. {6} A ( V )3.B A ( F ) 6. 0 y 3 C ( F )
Determinación de conjuntos
Cardinal y conjunto potencia
Cardinal de un conjunto: n(A) o Card(A)Es la cantidad de elementos que tiene dicho conjunto
Ej. A = { 1, 2, 4 }; n(A) = 3
Conjunto Potencia: P(A)Es aquel conjunto cuyos elementos son sub conjuntos que se pueden formar con los elementos de A
Calculo del n° de elementos de P(A): n(P(A)) = 2n(A)
A = {1,5}; hallar: a) n(P(A) b) P(A)
a)n(P(A)) = 2n(A) = 22 = 4b)P(A) = {{1},{5},{1,5},{ }}
Ej. B = { m, n,1, 2, 3 }; n(B) = 5
Unión: A B
Intersección: A B
Unión: A B
Intersección: A B
Semana # 8
ALGEBRA DE CONJUNTOS
}/{ BxAxxBA
}/{ BxAxxBA Diferencia: A – B
}/{ BxAxxBA }/{ AxBxxAB
Diferencia simétrica: A B
Complemento:AI
AI
)}(/{ AUxx
)}()(/{ ABxBAxxBA
CONJUNTO UNIVERSAL: (U)
Intersección: A B
CONJUNTO UNIVERSAL: (U)
Intersección: A B
Semana # 8
CONJUNTOS ESPECIALES
especìficoestudionenosconsideradsiendesqueelementoslostodosarelacionaquelreferenciaconjuntoquelaEs tan
}/{ BxAxxBA Diferencia: A – B
}/{ BxAxxBA }/{ AxBxxAB
Diferencia simétrica: A B
Complemento:AI
AI
)}(/{ AUxx
)}()(/{ ABxBAxxBA
Ej. Si: A={1, 2, 3, 5 }; B= { 0, 2, 3, 4 }; U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }Hallar:
{}}},4,0{},4{},0{{)(
162)(
}6,5,4,1,0{
}6,5,1{
}6,4,0{
}5,4,1,0{
}4,0{
}5,1{
}3,2{
}4,3,2,1,0{
4
!
!
!
ABP
BAnP
BA
B
A
BA
AB
BA
BA
BA
Semana # 9
PRODUCTO CARTESIANO (AxB)
BbAabaAxB /),(
1,3 , (1,5), (1,6), (2,3), (2,5), (2,6)
3,1 , (3,2), (5,1), (5,2), (6,1), (6,2)
AxB
BxA
Dados dos conjuntos arbitrarios no vacíos A y B se define el producto cartesiano A x B como el conjunto:
Ejemplo: Sean: A = {1, 2} y B = {3, 5, 6}entonces:
Nro. De Elementos Del Producto Cartesiano AxBEsta dada por: n(AxB) = n(A) x n(B)
En el ejemplo: n(AxB) = 2 x 3 = 6
EXAMEN PARCIAL
Semana # 10
UNIDAD II
I.RELACIONES Y FUNCIONESII.SUCESIONES NUMERICASIII.NUMEROS REALES
• Ecuaciones• Inecuaciones• Valor absoluto
RELACIONES BINARIAS
Son subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un producto cartesiano AxB
EJ. Dado A= {1} ; B = {2,4} AxB = { (1,2); (1,4)}
Nª de R.B = 22 = 4R1 = { (1,2) }R2 = { (1,4) }R3 = { (1,2); (1,4) }R4 = { }
CÀLCULO DEL No DE R.B. EN AxB
No de R.B. = 2n(A).n(B)
Semana # 11
Ej. Dado los conjuntos: A = {(x+4) / x N; x < 4}B = {(x+2)/ x Z; – 2< x < 3 }
Determinar: a) R1 = {(x,y) AxB / x = y+3} b) R2 = {(x,y) BxA / x + y = 7} c) R3 = {(x,y) AxA / x < y} d) R4 = {(x,y) BxB / x > y}
Soluciòn: A = {4, 5, 6, 7}B = {1, 2, 3, 4}
a) R1 = {(4,1); (5,2); (6,3); (7,4)}b) R2 = {(1,6); (2,5); (3,4)}c) R3 = {(4,5); (4,6); (4,7); (5,6);(5,7);(6,7)} d) R4 = {(2,1); (3,1); (3,2); (4,1);(4,2);(4,3)}
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÒN
: ( )
/( , )
: ( )
/( , )
: (2,3);(2,4);(3,7)
2,3
3,4,7
DOMINIO DR Dom R
DR x x y AxB A
RANGO RR Ran R
RR y x y AxB B
Ejemplo Sea R
DR
RR
RELACIÒN INVERSA
Definición: Si una relación tiene inversa, esta se denota por: R-1
y se define como:
RbaabR ),/(),(1
)3,5();2,4();2,3(
)5,3();4,2();3,2(1
R
RSi
Semana # 12PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS
( , ) ,R sera reflexiva a a R a A
( , ) ( , )R sera simetrica si a b R b a r
( , ) ( , ) ( , )R sera transitiva si a b R b c R a c R
( , )
R sera deequivalencia si esta cumpleconlas anteriores
es decir debe ser reflexiva simetrica y transitiva
1. PROPIEDAD REFLEXIVA
2. PROPIEDAD SIMÈTRICA
3. PROPIEDAD TRANSITIVA
4. PROPIEDAD DE EQUIVALENCIA
Ejercicios Resueltos:
)2,4();4,2();2,3();3,2();6,6();4,4();33();2,2(
8/),(
)6,2();6,3();4,2();4,3();3;2(
5/),(
)3,6();6,3();3,4();4,3();2,3();3,2(
)(/),(
)6,4();6,3();4,3();6,2();4,2();3,2();6,6();4,4();3,3();2,2(
)(/),(
mindet;6,4,3,2
4
4
3
3
2
2
1
1
R
elementosdeiaequivalencdeseaAxAyxR
R
elementoscontengaytransitivaseaAxAyxR
R
simétricaseayimparseayxAxAyxR
R
reflexivaseayyxAxAyxR
relacionessiguienteslasarerASi
.I AxBf .II
FUNCIONES
DEFINICIÓN
Dado dos conjuntos A y B no vacíos, podemos determinar una relación binaria R de A en B llamada función de A en B si y solo si verifica que:
Es decir si dos pares ordenados tienen sus primeras componentes iguales, para que sea función sus segundas componentestambién deben ser iguales.
cbfcayfbaSi ),(),(:
Semana # 13
Ejemplo de aplicación
1. Sea A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5}
Diga cual de las siguientes relaciones son funciones de A en B
R 1 = {(1,2); (2,3); (3,5)} Si es función
R2 = {(1,2); (2,3); (2,5)} No es función
Porque (2,3) y (2,5) tienen las mismas primeras componentes iguales pero sus segundas componentes son diferentes 3 ≠ 5
R3 = {(1,2); (2,4); (3,4)} Si es función
R4 = {(1,2); (3,2)} Si es función
R 5 = {(1,2); (2,3); (2,5), (3,5)}; No es función Porque (2,3) R5, pero 3 ≠ 5
Afyxx ),/(
Bfyxy ),/(
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
Dada una función f de A en B, el dominio es el conjunto de todas las primeras componentes y el rango es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de f.Es decir:
Dom (f) =
Ran (f) =
. : (2,3);(3,4);(3,5)
2,3
3,4,5
Ejm Si F
DF
RF
Dada la función f (2x – 1) = 4x2 – 3
Evaluar: f [ f ( 2) ]
Solución:Se recomienda hacer un cambio de variable en
2x – 1 = y x = (y+1)/2
entonces la nueva función será:
f (y) = 4 [(y+1)/2]2 – 3 = (y+1)2 – 3 = y2 + 2y – 1
f (y) = y2 + 2y – 1
Ahora evaluamos: f (2) = (2)2 + 2(2) – 1 f (2) = 7
Ahora f [ f ( 2) ] = f (7) = (7)2 + 2(7) – 1 f (7) = 62
Semana # 14TEORIA DE SUCESIONES NUMERICAS
OBJETIVO
Presentar una teoría básica de determinación y tipos de sucesiones así como también el estudio de las progresiones aritméticas y geométricas. Aquí detallamos una teoría intuitiva de convergencia de las sucesiones y una solución sencilla en los ejercicios y problemas.
DEFINICIÓN
Se denomina sucesión de números reales a toda función f: N R, es decir que para cada natural n > 0, le corresponde a la función un número real R = f(n).
PROGRESIÓN ARITMÉTICA (p.a)
Definición
Una p.a es una sucesión de números, en la cual un término diferente al primero restado de su inmediato anterior es siempre una constante denominada razón (r).
Sea ÷ a1, a2, a3,………a n – 1, an………….Se cumple que: a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = …………..
La razón será: r = an – a n – 1
Nota: Si r > 0 → la p.a es crecienteSi r < 0 → la p.a. es decreciente
Fórmulas y propiedades1. Razón: r = an – an – 1
2. Término enésimo: an = a1 + (n – 1) r
3. Número de términos: n = (an – a1)/r + 1
4. Término central: tc = (an+ a1)/2
• Suma de los n primeros términos: (sn)
a) sn = [ 2 a1 + (n – 1)r ] (n/2)
b) sn = (a1 + an)(n/2)
c) sn = (tc) (n/2) si n es impar
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
DEFINICIÓN
Es una sucesión de términos, en la cual uno de ellos diferente al primerodividido de su inmediato anterior es siempre una constante denominada razón (q).Sea ÷÷ t1, t2, t3,………t n – 1, tn, .………….
La razón será: q = tn / t n – 1
Nota:
Si q > 1 → la p.g. es creciente Si 0 < q < 1 → la p.g. es decreciente Si q < 0 → la p.g es alternada
Fórmulas y propiedades
1. razón: q = tn / tn – 1
2. término enésimo: tn = t1 .qn – 1
3. término central: tc = √t1.tn
4. Suma de los n primeros términos: (sn)
sn = t1.(q n – 1 )/(q – 1 )
Ejercicios de (p.a)
24015.16)15.(2
)2).(115()2(2)
378261.62)61).(21222
()
6116012
2122)
42)2).(121(2)
122;2;2::
))))
:122..,.........8,6,4,2).1
1515
6161
2121
1
1521
ssd
sssc
nnb
aaa
araqueobservamossoluciòn
sdscnbaa
halar
n
n
n
Ejercicios de (p.g)
126
)63(2)1
164(2)
1212
(2)
1110122
)2(1024
)2(22048)
128)2(2)2(2)
2048;2;2:
)))
:2048,.......16,8,4,2).1
6
6
6
110
1
1
7617
7
1
67
s
sc
nn
b
tta
tqtsoluciòn
scnbta
hallar
n
n
n
n
SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
INTRODUCCIÓN
El sistema de los números reales que ahora conocemos es el resultado de un enorme esfuerzo de reflexión y trabajo de los hombres de ciencias, en particular de los grandes matemáticos de la humanidad. Los enteros positivos como el 1, 2, 3, 4, ..... pueden encontrarse desde el comienzo de nuestra civilización. Enteros tan grandes como 100000 se usaban en Egipto aproximadamente en los años 300 antes de Cristo.
Un sistema de axiomas describen completamente los números reales. Partiendo de estos axiomas se deducen todas las propiedades de los números reales. Este método, llamado método axiomático del desarrollo de los números, también fue usado en el estudio y desarrollo de la geometría euclidiana:Un conjunto de axiomas para los números reales da inicio al estudio del sistema de los números reales, al cual se le llama Campo de los Números Reales.
OBJETIVO
Describir una gama de axiomas de los números reales que tienen por finalidad derivarse en una serie de propiedades básicas, para resolver ecuaciones e inecuaciones ya sea con valor o sin valor absoluto.
Semana # 15
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
:resueltosejercicios
0,;0: aRbRabaxformaladeSon
5/13
135
9442
922
218
132
21
41)2/3(2).2
5/16
165
4226
242062
2)5(4)3(2).1
x
x
xx
xx
xx
xx
x
x
xx
xxx
xxx
43/12
1243
331540
33)38(5
33)13(35
32)2/1(235).4
3
515
1263
26
233
232
1).3
x
x
xx
xx
xxx
xxxxx
x
x
xx
xxx
xxx
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
)(..........
).(..........
IIpnymx
Icbyax
De orden 2x2
13/8
13/162
13/4222
22)13/14(3:)(
13/14
1413:)()(
).........(669:3)(
).........(864:2)(
).(..........223
).(..........432).2
3
93
133)2(2:)(
2
105:)()(
)........(3333)(
)(..........1
)(..........1332).1
:
y
y
y
yIIen
x
xIVIII
IVyxxII
IIIyxxI
IIyx
Iyx
y
y
yIen
x
xIII
IIIyxxII
IIyx
Iyx
resueltosejercicios
7/5
7/102
7/2422
22)7/8(3:)(
7/8
87:)()(
).........(624:2)(
).(..........223
).(..........32).4
4
22:)(
2
642
6)2(2:)()(
)(..........2
)(..........62).3
y
y
y
yIIEn
x
xIIIII
IIIyxxI
IIyx
Iyx
x
xIIen
y
yy
yyIenII
IIyx
Iyx
Problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales
1. Julio dice a Rosa mi edad es el triple de tu edad y dentro de 5 años solo será el doble ¿Qué edad tenía Julio cuando nació Rosa
2. L a suma de lo dígitos de un número de 2 cifras es 7, si se invierte el número este excede al primero en 9 unidades. Determinar el complemento de dicho número
3. Por 2 IBM y 3 COMPAQ se paga $ 5400 . Si el precio de una IBM excede a la de una COMPAQ en $200. ¿ determinar el monto mínimo que se requiere para comprar una de cada marca?
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
0;,,;0: 2 aRcRbRacxbaxformaladeSon
aacbb
xGeneralSoluciòn2
4:
2
Semana # 16
simaginariasonraìceslassi
igualessonraìceslassi
realessonraìceslassi
acb
;0:
;0:
;0:
4
)(:ntediscriminadelAnàlisis2
642)(
61/6
21/)2(
;)(:
062:.
4)()(
/.
/
:;0
::Pr
621
2121
2121
2121
2
212
212
21
21
21
2
21
21
21
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
ecuaciònladeraìceslasxyxsiendoxxhallar
xxecuaciònladadaEjm
xxxxxx
acxx
abxx
aplicarpodemoscbxax
ecuaciònladeraìceslasxyxseaopiedades
Propiedades de las ecuaciones de segundo grado
3,1..12
423
242
242
2162
)1(2
)3)(1(4)2()2(
3;2;1:
3,1..0)1)(3(
1
3
032
032x:ecuaciònsiguientelaResolver
2
2
2
scxx
x
x
cbageneralsoluciònlaaplicando
scxx
x
x
xx
simpleaspaaplicando
x
4,4..0)4)(4(
04
0)4)(1(4
4
0:
;04
:"").5
22
2
2
2
scmm
m
m
acb
igualesseanraìceslasqueparacondiciòn
igualesseanmxx
ecuaciònladeraìceslasqueparamdevalorelHallar
DESIGUALDADES E INECUACIONES
DESIGUALDADES
Se dice que el número “a” es menor que “b” si en una recta de los reales “a” esta a la izquierda de “b”
– ∞ + ∞ R a b
Se denota por: (a < b)
Propiedades:
1). ;
RmmbmabaSi
Semana # 17
10
1:).5
/1/10:).4
:
:).3
0,//
0,//
).2
asicb
asicbaaSi
babaSi
dbca
dc
ybaSi
dbca
dc
ybaSi
mmbma
bmambaSi
mmbma
bmambaSi
cb
9,7)45(7459)5(
1244)4(
31
:45)
13,1)43(13431)4(
933)3(
31
:43)
3,131
622
15213
5123)
45)43))
;5,3)12(.)1
:
xx
xx
x
departimosxc
xx
xx
x
departimosxb
xx
x
x
xa
xcxbxa
hallarxsi
resueltosejercicios
INECUACIONES
Inecuaciones de primer grado
Son de la forma:
0,:;0 ayRbRadondebax
2,2
105
285
112362
)1(1)3/2(3)3(2
xx
x
x
xxxx
solucuòn
xxxx
Ejemplo 1.Ejemplo 1.
Ejemplo 2.Ejemplo 2.
,2/32/3
96
275
725
2252342
)1(25)3/2(3)2(2
xx
x
xx
xx
xxxx
solucuòn
xxxx
Ejercicios: (resolver)
7/2,7/2
27
664
16
4
16
6322
12
23
1
x
x
xx
xx
xxx
xxx
Ejemplo 3.Ejemplo 3.
INECUACIONES
Inecuaciones de Segundo grado
Son de la forma:
Ejercicios: (resolver)
0,,:;02 ayRcRbRadondecbxax
Ejemplo 2. Hallar el conjunto solución de x 2 – x – 6 0
Solución:
de x 2 – x – 6 0 ; por aspa simple
(x+2) (x – 3) 0
Aplicando 2: ab O (a 0 b 0) (a 0 b 0)
(x+2) 0 x – 3 0 (x+2 0 x – 3 0)
(x – 2 x 3 ) (x – 2 x 3) ( x 3 ) (x – 2 )
,32,x
2 3
1,00))(1(
:
01
).1
xxx
productocomotrabajasex
x
iasfraccionaresinecuaciondeEjm
0)4)(1)(3(
04
32).2
2
xxx
xxx
,43,1x
0;
0;
xsix
xsixx
Rxa ;0
Rxaa ; aa
baba .
0; bb
a
b
a
baba
VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÒN:
Al valor absoluto de un número real x, lo denotaremos por
Ejemplos: 3 = 3 – 3 = 3
1.Propiedades Básicas
Semana # 18
bababa
babba
bababba
bababa
aa
esinecuacioneecuacionesresolverparaopiedades
.5
.4
0.3
.2
00.1
Pr
1,1..11
4422
313133
)3(13313
313).2
242
042
042).1
SCxx
xx
xxxx
xxxx
xx
xx
x
x
..secint
)02(1
0321
)1(1211201
112).3
scentoncesciònerexixteno
xxx
xxx
xxxxx
xx
3,3/13/13
)3/1(
139
45345
5345
534).5
6,161
1222
7527
752).
xx
invierteseddesigualdalaypormosmultiplica
x
x
x
x
xx
x
x
x
,43,43
8262
721721
721).7
,3/71,13/7
3373
523523
523).6
xxx
xx
xx
x
xxx
xx
xx
x
Ing _ C.O.G/