SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II

“Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra

visión de ser competitivos e innovadores para tener

acreditación internacional y contribuir al desarrollo

sostenido.”

MATEMÁTICA I

Límites

de

Funciones

1

CONTENIDOS

2

Noción Intuitiva

Notación de Límite

Límites Básicos

Propiedades

Cálculo de Límites

Determinados

Indeterminados

Límites Laterales

NOCIÓN INTUITIVA

3

1

1)(

3

x

xxf

1

3

• Tabulemos y grafiquemos la función en cercanías de

x = 1

1

1)(

3

x

xxf

1x

1x

x

x

)(xf

)(xf

2.1 1.1 05.1 01.1

64.3 31.3 1525.3 0301.3

8.0 9.0 95.0 99.0

44.2 71.2 8525.2 9701.2

CONCEPTO DE LÍMITE

El límite de cuando tiende al

punto , es , cuya notación es:

Siempre que esté arbitrariamente

cerca a para todo lo

suficientemente cerca de NOTA.- Si no existe tal número , se dice que el límite no existe.

4

)(xf x

a L

LxfLimax

)(

)(xfL

L

.ax

ALGUNOS LÍMITES BASICOS

5

kkLimax

axLimax

nn

axaxLim

553

xLim

33

xLim

x

83

2

xLim

x

883

x

Lim

99

xLimx

14

1

xLim

x

TEOREMAS DE LÍMITES

kLxfLimkxkfLimaxax

)()(

MLxgLimxfLimxgxfLimaxaxax

)()()()(

MLxgLimxfLimxgxfLimaxaxax

.)().()().(

0,1

)(

1

)(

1

M

MxgLimxgLim

ax

ax

Sean dos funciones tales que

y k una constante, entonces

MxgLimyLxfLimaxax

)()(gyf

6

nLxfLimxfLim nn

ax

n

ax,)()(

nn

ax

n

axLxfLimxfLim

)()(

LxfLimxfLimaxax

)()(

)()()()(

xgLim

ax

xg

ax

axxfLimxfLim

0,)(

)(

)(

)(

M

M

L

xgLim

xfLim

xg

xfLim

ax

ax

ax

7

TEOREMAS DE LÍMITES

8

CÁLCULO DE LÍMITES

El calcular se realiza de la siguiente manera:

1°.- Reemplazamos x=a en la función f(x).

2°.- Si obtenemos una forma indeterminada:

tratamos de salvar el límite, para lo cual factorizamos

o racionalizamos, luego simplificamos y volvemos a

aplicar el paso 1°.

3°.- Si a pesar de aplicar el paso 2°, seguimos obteniendo

una forma indeterminada, concluimos que dicho límite NO

EXISTE.

00 1000

0

,,.,,,

)(xfLimax

Calcule los siguientes límites:

13

42

1 x

xLimx

x

xLimx 2

5

1

x-x

4x-

24xLim

0

0

1)1(3

4)1(2

12

15

4-)4(

4-42

12

42

4 xx

xLimx

124-)4(

4-42

9

12

2

21

4

012

0

10

12

42

4 xx

xLimx

34

4

4 xx

xLimx

34

4

4 xx

xLimx

7

1

3

1

4

xLimx

7

1

12

42

4

xx

xLimx

Calcule:

43

2092

2

4

xx

xxLimx

4

)1)(4(

)4)(5(

4

xx

xxLimx

1

5

4

x

xLimx 5

1

43

2092

2

4

xx

xxLimx 5

1

0

0

11

Calcule:

6

xx

xxxLímx

23

242

23

0

0

0

2

1

x2+x3

x+x2-x42

23

0xLim

2

1

12

Calcule:

23

124 2

0

xx

xxxLímx

23

124 2

0

x

xxLímx

0

0

3

2

xxx

xLimx 2

423

2

2

)1(2

22

2 xxx

xxLimx

)1(

2

2

xx

xLimx

xxx

xLimx 2

423

2

2

3

2

13

Calcule:

9 0

0

2

22

2

x

xLimx

2

22

2

x

xLimx

)22)(2(

42

2

xx

xLimx

)22)(2(

2

2

xx

xLimx

)22(

1

2 xLimx 4

1

)22(

)22(

x

x

2

22

2

x

xLimx 4

1

14

Calcule:

10 0

0

3

4

4 - 16x+

3 - 9x+

0xLim

4 - 16x+

3 - 9x+

0xLim

3) 9x+(

3) 9x+(

3) 9x+)(16 - 16(

4) 16x+)(9 - 9(

0

x

xLimx

3 9x+

4 16x+

0

xLim

4 - 16x+

3 - 9x+

0xLim

3

4

15

Calcule:

4) 16x+(

4) 16x+(

3) 9x+4)( 16x+4)( - 16x+(

4) 16x+3)( 9x+3)( - 9x+(

0

xLim

LÍMITES LATERALES

2 -3 -1

4

6

)(xf

)(2

xfLimx

)(2

xfLimx

)(3

xfLimx

)(3

xfLimx

4

4

1

6

No

existe )(

3xfLim

x

4)(2

xfLimx

DERECHA + DERECHA + IZQUIERDA -

IZQUIERDA -

LxfLimxfLimLxfLimaxaxax

)()()(16

Verificar si existen los siguientes límites

1,4

1,5)(

2

xx

xxxf

2,2

333

2,4

8

)(2

3

xsix

x

xsix

x

xf

)())())()111

xfLimcxfLimbxfLimaxxx

)())())()222

xfLimcxfLimbxfLimaxxx

2,84

21,23

1,1

)(

23

xaxbx

xaxbx

xx

xx

xf

Determinar el valor de a y b, si se sabe

que existen

)()(21

xfLimyxfLimxx

17

Dada la gráfica de la función

Calcular los siguientes límites )(xf

1 3 -2

-3

12

7

3

)())())() xfLimcxfLimbxfLimaxxx 222

)())())() xfLimfxfLimexfLimdxxx 111

)())())()333

xfLimixfLimhxfLimgxxx

3 7 NO EXISTE

12 -3 NO EXISTE

0 0 = 0 18

• Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es mas infinito si la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se designa :

•· Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es menos infinito si la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se designa:

Límites infinitos de una función en un punto: definición

x0+lim

1

| x | =

x0–lim

1

| x | =

x0lim

1

| x | =

Ejemplo: observando la gráfica de la

función f(x) = 1

| x | se ve que:

)(lim xfax

)(lim xfax

Límite infinito en un punto: definición formal

Ejemplo: En la medida en que x se acerca o 0, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?

x+lim

x + 1

x = +

x 1 0,1 0,01 0,01 0+

f(x) = (x+1)/x 2 11 101 1001 +

• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la derecha es infinito si para cada número K > 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) > K si a < x < a + d donde d es función del K elegido .

• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la izquierda es menos infinito si para cada número K < 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) < K si a – d < x < a donde d debe ser función de K.

De igual manera si x se acerca a 0 con valores negativos se ve que: x–lim

x + 1

x = –

Límites finitos en el infinito: Definición

x 10 102

103

104

+

f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001 1

Ejemplo (comportamiento en el infinito, límite finito) : En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?

Lxfx

)(lim

x+

lim x + 1

x = 1

Se dice que el nº L es el límite de f(x) cuando x tiende a infinito (menos infinito), si la distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera siempre que se tomen valores de x suficientemente grandes (en valor absoluto). De denota

Lxfx

)(lim

Límites infinitos en el infinito: Definición

x+

lim x2 = +

En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = x2?

x 10 102

103

104

+

f(x) = x2 102 104 106 108 +

Def: El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número real M se puede encontrar otro número real K tal que f(x) > M si x > K donde K debe ser función de M.

Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.

Ejemplo de comportamiento en el infinito: no existe límite

Cuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estas funciones seno y coseno no tienden a ningún valor, ya que oscilan entre 1 y –1. Ambos límites no existen.

Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0

Cuando el x a lim

P ( x ) Q ( x )

es indeterminado 0 0 siendo P(x) y Q(x) polinomios, pod e-

mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por (x – a)

x 3 lim

–18 + 21x – 8x 2 + x

3

x 2 – 9

= x 3 lim

(x – 3) 2 (x – 2)

(x – 3)(x + 3)

= x 3 lim

(x – 3)(x – 2)

(x + 3) =

0

6 = 0

Indet 0

0

x 3

2

lim –18 + 33 x – 20 x

2 + 4 x

3

9 – 12 x + 4 x 2 =

x 3

2

lim (x – 2)(2x – 3)

2

(2x – 3) 2 =

x 3

2

lim (x – 2) = –1

2

Indet 0

0

Cálculo de límites

Límites simples

Algunos límites típicos (trigonométricos y exponenciales)

x

x

lim

1 + a x

= e a , para todo a

Cuando las funciones verifican se pueden obtener directamente

por el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable x por el de a hacia el que tiende.

)()(lim afxfax

sen x

x 0 lim

x = 1

x

x lim

e x

p = , para todo p

ln x

x

lim x

p = 0 , para todo p > 0

Ejemplo de cálculo de indeterminaciones: tipo 0 .

= 0 + 5 . 0 + 7 . 0 = 0

1/x = y

Estas indeterminaciones se resuelven a veces operando previamente para

obtener una expresión más sencilla o reduciéndolas a otras del tipo 0 0 o

Recordando que x lim x p

e – x = 0

x lim (x

3 + 5x

2 + 7x)e

–x =

Indet 0 .

Recordando que x

x

X

ln lim

= 0

x 0

+ lim x

. ln x =

x 0 + lim ln x

1 x

= 0 y lim

– ln y

y =

5 x lim x 2 e –x +

x lim x 3 e –x + 7

x lim xe

–x =

Indet 0 .

Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo /

En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación.

ln x = y

x lim

– 2x 3 + 3x – 5

– x 3 – 2x + 5

=

Indet

x lim

–2 + 3

x 2 –

5

x 3

–1 – 2

x 2 +

5

x 3

= –2

–1 = 2

x lim

ln ( ln x )

ln x =

y lim

ln y

y = 0

Indet

Cuando el x lim

P ( x ) Q ( x )

es indeterminado

siendo P(x) y Q(x) polinomios,

podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia más alta de x que aparezca en ambos.

Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipos 0, 00

Indet 0

e0 = 1

ln

0lim 1x

x

xe e

Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos y expresando la función inicial como «la exponencial de su logaritmo».

x 0 + lim x x

=

Indet 0 0

x 0 + lim e

ln (x x ) =

x 0 +

lim e x ln x

=

1

lim x

x x

1

ln lim

x x

x e

Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 1

Indet 1

Indet 1

1

2x2 + x

4 = y

e8

Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresión de e

a como límite, combinada con un cambio de variable.

x lim

1 + 1 x

2x

= x lim

1+ 1 x

x 2

=

x lim

1+ 1 x

x 2

= e 2

x 0 lim ( 1 + 2x 2

+ x 4 )

4 x

2 =

x 0 lim

1 + 1

1

2x 2 + x

4

4

x 2 =

x 0 lim

1 + 1

1

2x 2 + x 4

1 2x 2 + x 4 ( 2x 2 + x 4 )

4 x 2

=

= y lim

1 + 1 y

y

x 0 lim

4 ( 2x 2 + x 4 ) x 2

= y lim

1 + 1

y y

x 0 lim ( 8 + 4x 2 )

=