INS13403 YAPI DİNAMİĞİ

1.HAFTA

Dersin Amacı

Yapı sistemlerinin matematik modellerinin kurulmasının kavranması, özellikle deprem hareketi gibi çeşitli dinamik kuvvetler etkisi altındaki yapı sistemlerinin dinamik davranışının belirlenmesi

Değerlendirme Ölçütleri

Ara Sınav

Kısa Sınav-I

Kısa Sınav-II

Ödev

Yarıyıl Sonu Sınavı

2

Ders Konuları

Yapı Dinamiğine Giriş

Tek serbestlik dereceli (TSD) sistemler

TSD sistemlerin sönümsüz ve sönümlü serbest titreşim analizi

Sönümsüz TSD sistemlerin harmonik yük etkisi altında zorlanmış titreşim analizi

Sönümlü TSD sistemlerin harmonik yük etkisi altında zorlanmış titreşim analizi ve kuvvet iletkenliği

Darbe yük etkisi ve genel yükleme

TSD, Lineer sistemlerin deprem davranışı

Eşdeğer yük ve spektral analiz

Çok serbestlik dereceli (ÇSD) sistemler

ÇSD sistemlerin sönümsüz serbest titreşim analizi

ÇSD, Lineer sistemlerin deprem davranışı

Mod süperpozisyon yöntemi (Modal Analiz)

Dinamik yükler etkisi altında yapıların burulması

Rijitlik merkezi

3

Kaynaklar

Chopra AK, Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall, Third Edition, New Jersey, 2007.

Chopra AK, (Çeviren: Hilmi LUŞ), Yapı Dinamiği: Teori ve Deprem Mühendisliği Uygulamaları, Palme Yayıncılık, Dördüncü Baskıdan Çeviri, İstanbul, 2015.

Zekai Celep ve Nahit Kumbasar, Deprem Mühendisliğine Giriş ve Depreme Dayanıklı Yapı Tasarımı, 2004.

Türkiye Bina Deprem Yönetmeliği 2018 (TBDY-2018)

4

Yapı Dinamiğine Giriş

Yapı Dinamiği, dinamik yükler etkisindeki yapı sistemlerinin dinamik analizini konu almaktadır. Dinamik denilince akla gelen zamana bağlı değişimdir. Yapı problemlerini ele alırsak, zamana bağlı olarak değişen yükler altında taşıyıcı sistemdeki gerilmelerin ve yerdeğiştirmelerinincelenmesini kapsar.

Dinamik yük, genliği, doğrultusu ve etkime noktası zamana bağlı olarak değişen yüklemedir.

t

P(t)

5

Yapılara gelen bazı dinamik yükler

• Depremler

• Rüzgarlar

• Hidrodinamik kuvvetler

• Makine titreşimler

• Patlamalar

6

İnşaat yapılarına etki eden dinamik yükler aşağıdaki gibi sınıflandırılabilir.

7

İnşaat yapılarına etki eden dinamik yükler aşağıdaki gibi sınıflandırılabilir.

8

Yapı dinamiği probleminin statik problemden farkı:

• Dinamik problemde iç kuvvetler ve yerdeğiştirmeler zamana bağlı olarak değişir.

• Dinamik analizde atalet kuvvetleri ortaya çıkar.

• Statik problem çözümünde sınır koşulları yeterliyken, dinamik analizde hem sınır koşullarına hem de başlangıç koşullarına ihtiyaç vardır.

9

P P(t)

Statik yükleme Dinamik yükleme

Dinamik yerdeğiştirme sırasında atalet kuvvetleri oluşur

Dinamik problemde dikkate alınan kuvvetler:

Harekete sebep olan dış yükler

Kirişe zıt yönde etki eden kuvvetler (hareketin ivmelenmesine karşı duran atalet kuvvetleri)

Kiriş kesitlerinde bu iki etkiye karşı duracak kesit tesirleri (iç kuvvetler) meydana gelir.

İç kuvvetlerin (kesit tesirleri) hesaplanabilmesi için atalet kuvvetlerinin belirlenmiş olması gerekir. Atalet kuvvetleri ise yerdeğiştirmelere dolayısıyla iç kuvvetlere bağlıdır.

Çözüm, yazılacak diferansiyel denklemin uygun sınır ve başlangıç koşulları altında çözülmesi ile mümkündür.

10

Yapı Dinamiğinde Kullanılan Bazı Kavramlar

• Analitik Model: Hesaplama aşamasında gerçek sistemle eşdeğer olacak ve daha kolay analiz edilebilecek şekilde basitleştirilmiş modelidir.

• Serbestlik derecesi: Kütlenin hareketini tanımlayan birbirinden bağımsız ötelenme yada dönme sayısına dinamik serbestlik derecesi denir.

• Periyot: Titreşim hareketlerinde, hareketin kendini bir kere tekrarı için geçen zamandır.

• Frekans: Birim zamanda yapılan periyodik hareket sayısıdır.

11

Büyüklük Birim Kısaltma

Kuvvet Newton N (kg m/sn2)

Kütle Kilogram kg

Uzunluk Metre m

Zaman Saniye s

Büyüklük Değişken

Yay rijitlik katsayısı k

Viskoz sönüm katsayısı c

Açısal frekans 𝜔 = 𝑘/𝑚

Frekans 𝑓 = 𝜔/2𝜋

Periyot 𝑇 = 2𝜋/𝜔

Bazı Temel Varsayımlar ve Kabuller• Her cismin bir kütlesi vardır ve bu kütle cismin hareketini belirleyen en

önemli etkenlerden biridir.

• Ağırlığı dünya yüzeyinde w olan bir cismin kütlesi m=w/g ile hesaplanır.

• Ağırlığın birimi Newton’ dur. (kgm/sn2)

• Duran bir cismin hareket etmesi için ivme kazanması gerekir. İvme ile kütleye etkiyen kuvvet arasındaki ilişki Newton’ un noktasal cisimler için geliştirip, Euler’ in genelleştirdiği yasalarla tanımlanır.

F=ma (F=mü)

• Değişkenlerin zamana göre türevleri üstlerine türev derecesi kadar nokta konularak gösterilecektir.

𝑑2𝑢

𝑑𝑡2= ü

12

D’Alembert İlkesi

• D'Alembert prensibine göre cisimlerin ivmesi, sanki üzerlerinde ivmelerinin tersi yönde ve ivmelerinin ve kütlelerinin çarpımına eşit büyüklükte bir kuvvet yaratır. Bu kuvvet yoktur, hayalidir. Ama bu kuvvetin varsayılmasıyla dinamik problemleri sanki statik problemleri gibi , cismin dengede olduğu var sayılarak çözülebilir.

• Bu yaklaşımla hareket denklemi:

F-mü=0

13

Kütle Dağılımı

• Modellemede sıkça yapılan önemli bir basitleştirme hacim içinde yayılı bir kütlenin belirli noktalarda toplandığını (toplu kütleli yaklaşım)varsaymaktır. Böylece sınırlı sayıda ve konumu belirli noktalarda hareket serbestliği olacağından sistemin serbestlik derecesine bir sınır gelir. Böylece hesaplamalarda kullanılan dif. denklemler kısmi değil adi diferansiyel denklem olur.

14

Hareket Denklemi Oluşturma YöntemleriTitreşim analizi yapılacak sistemin matematik modelinin oluşturulmasını

takiben literatürde mevcut yöntemlerden biri kullanılarak sistemin hareketini tanımlayan diferansiyel denklemler (hareket denklemleri) oluşturulur. Hareket denklemleri oluşturulurken farklı yöntemler kullanılabilir.

1. Newton’un 2. yasası (Cisme etkiyen kuvvetlerin toplamı cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir.)

2. Dinamik denge yöntemi (D’Alembert Prensibi)

3. Enerji yöntemi

4. Lagrange yöntemi

15

m

F(t)