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Power System Operation and Control de Allen J. Wood y Bruce F. Wollenberg

Power System Operation and Control de Allen J. Wood y Bruce F. WollenbergCapitulo 13 Flujo de Potencia Optimo(OP F: Optimal Power Flow)

Tarmeo Bernuy. Julio Alberto Mendoza Jaime, Enrique Martin

Flujo de Potencia Optimo1.- INTRODUCCIONEl flujo de potencia Optimo (OPF) fue discutido inicialmente por Carpentier (1962) y tomado en cuenta mucho tiempo despus como algoritmo exitoso que puede ser aplicado en la solucin de ecuaciones de sistemas de potencia en el da a da. Actualmente el uso del OPF se centra en la disponibilidad de tomarlo en cuenta en la seguridad del sistemas elctricos.Inicialmente considerbamos el despacho econmico con una sola restriccin es decirla potencia total generada es igual a la carga mas las perdidas:

As el despacho econmico resultaba en un problema de Lagrange con una sola restriccin:

2Realmente estamos diciendo que: la generacin debe obedecer las condiciones del flujo de potencia Es decir que: el flujo entero de potencia es una simple restriccin de igualdadLo que realmente sabemos es que el calculo del Despacho Econmico involucra una serie de restricciones, mas aun si deseamos optimizar los costos y la seguridad de los entes involucrados, es as que observamos que las:Restricciones de igualdad son las ecuaciones de balance de carga, que se obtienen al imponer una restriccin de balance de potencia activa y reactiva en todos los nodos del sistema. Restricciones de desigualdad consideran los lmites que deben satisfacer las unidades de SEP. Estas reflejan los lmites operativos impuestos a los dispositivos y al SEP, pueden ser: Lmites: de PG y QG , de t onmin y t off min , de velocidad de cambio de generac. de flujos de carga en las ramas, del cambiador de fase de un transformador, de las variables de control de los dispositivos FACTS, de emisin de contaminantes al medio etc.

Flujo de Potencia OptimoFlujo de Potencia OptimoSOLUCIN DEL FLUJO DE POTENCIA OPTIMOEl OPF es un problema de programacin matemtica demasiado extenso y difcil deresolver, para lo cual se han desarrollado tcnicas aplicadas satisfactoriamente, entre los ms trascendentes que se pueden citar estn: Mtodo del Gradiente Programacin lineal Programacin cuadrtica Mtodos de Newton Aproximaciones por descomposicin P-Q Mtodos por Punto Interior Algoritmos genticos Redes neuronales Programacin Evolutiva Bsqueda Tab Programacin por enjambre de partculas Caractersticas de algunos de estos mtodos:Mtodo de iteracin Lambda: Base de estndares de programa de despacho econmico on-line. Las prdidas las representa por la matriz B; las penalidades se calculan por un flujo de potencia externo. Pasa por alto limitaciones en el sistema de transmisin. No produce despacho de generacin que evite sobrecargas, violaciones del limite de tensin o de la restricciones de seguridad. Esta tcnica puede procesarse rpidamente. Mtodo del gradiente: De convergencia lenta y difcil para resolver en presencia de restricciones de desigualdad (inecuaciones).Mtodo de Newton: De muy rpida convergencia; presenta problemas con las restricciones de desigualdad. Programacin lineal (LPOPF): Es el ms desarrollado y ahora de uso comn. Trabaja fcilmente con restricciones de desigualdad. Las funciones objetivo y restricciones no lineales son manejadas por linealizacin.Mtodo de Punto interior: Es otro de los mtodos ms ampliamente desarrollado y utilizado para resolver OPF. Tiene la facilidad de manejar las restricciones de desigualdad.

Flujo de Potencia OptimoFlujo de Potencia OptimoFormulacin matemtica del OPFLa Funcin Objetivo en el OPF suele ser minimizado. En algunos casos, como la transferencia de Potencia, esta funcin puede ser maximizada. De forma general, el OPF puede ser formulado como un problema de optimizacin no lineal con restricciones y limites de variable de control y estado, que matemticamente se expresa como: Min f (x,u) sujeto a h(x,u) = 0 y g(x,u) < 0Donde: f (x,u) : funcin objetivo, es el criterio o ndice de desempeo usado para optimizar. Algunas funciones objetivo empleadas en un estudio de OPF son:

Costo de generacin. Prdidas de transmisin de potencia activa/reactiva. Costo por interrupcin de carga. Nmero de reprogramacin de los controles. Emisiones contaminantes por parte de los generadores trmicos.Flujo de Potencia Optimox Rn1 : vector de n1 variables de estado u Rn2 : vector de n2 variables de control h(x,u) = 0 : r restricciones de igualdad (lmites operativos de las variables de control)g(x,u) : m restricciones de desigualdad (restricciones operativas)Variable de control: Se ajustan para encontrar la solucin ptima y satisfacer las restricciones. Valor continuo (generacin de potencia activa) Valor discreto (posicin del tap de un transformador) Variable de estado: Se calculan a partir de las variables de control (dependientes). Ejm.:Potencia nodo slack, Voltaje nodos de carga, Potencia reactiva de generadores, ngulo de fase nodos (excepto el slack), Flujos de potencia en red de transmisin.

Flujo de Potencia OptimoFuncin Objetivo del Flujo de Potencia OptimoLa funcin objetivo del FPO es usualmente minimizarlo: g(Z) = 0Donde las variables del vector Z, son controles ajustables; tales como, magnitudes de tensin de barra, ngulos de fase, as como parmetros fijos del sistema, luego debemos partir las variables en un conjunto de variables de estado, variables de control y parmetros fijos.Restricciones en desigualdades : En MVA: En estado o variables de control:

El problema de FPO entonces consiste en minimizar (o maximizar) la funcin objetivo, sujeto a inecuaciones de restricciones y lmites de variables de control y de estado.

Flujo de Potencia OptimoMetodo de GradienteConsideramos la funcin objetivo al total de los costos de generacin. La funcin objetivo a minimizar es:

Donde la suma se extiende a todos los generadores del sistema de potencia, incluyendo a la barra de referencia.Definimos la variable desconocida x como:x = Otro vector y es definido como:y =

Flujo de Potencia OptimoDebido a que algunos parmetros son fijos y otros variables, dividimos el vector y en dos partes: u y p, tal como:Donde u denota el vector de control o ajuste de variables y p variables fijas o constantes en este punto.Finalmente, debemos definir un conjunto de m ecuaciones que gobiernan el flujo de potencia:x = Deseamos expresar que el costo funcin objetivo como una funcin de las variables de control y de variables de estado. Hacemos esta divisin de la funcin del costo como sigue:

Metodo de GradienteFlujo de Potencia OptimoDonde en el primer sumando no se incluya la barra de referencia. Pi son todas las variables independientes y Pref variables dependientes, Pi es un vector u y Pref una funcin de las red de tensiones y ngulos:Entonces la funcin de costo viene a ser:

Entonces podremos ajustar la ecuacin de Lagrange para la FPO como sigue:

Donde:x = Vector de variables de estadou = Vector de variables de controlp = Vector de parmetros fijos = Vector multiplicador de Lagrangeg = Conjunto de desigualdades de restricciones que representan las ecuaciones del flujo de potencia.

Flujo de Potencia OptimoEsta ecuacin de Lagrange es quizs mejor visto cuando es escrito de la siguiente manera:

Ahora tenemos una ecuacin de Lagrange con una nica funcin objetivo y m multiplicadores de Lagrange, una de cada m ecuaciones de flujo de potencia.Minimizando:

FO para la barra Slack:

Metodo de GradienteFlujo de Potencia OptimoNtese que la matriz vista en la ecuacin (13.18) en la transpuesta.La ecuacin (13.19) es el gradiente de la funcin de Lagrange con respecto a las variables de control. Aqu el vector en un funcin de derivadas de la funcin objetivo con respecto a las variables de control es:

El otro trmino en la ecuacin (13.19) , realmente consiste de una matriz de todos elementos ceros y alguno -1 en la diagonal, el cual corresponde a la ecuacin en g(x,u,p), donde la variable de control es presente. Finalmente en la ecuacin (13.20) consiste simplemente de la misma ecuacin de flujo de potencia.

Metodo de GradienteFlujo de Potencia OptimoLa solucin del mtodo de gradiente de un FPO es como sigue:Dado un conjunto de parmetros p fijos, asumir un conjunto de arranque de variables de control u.Resolver el flujo de potencia. Esto garantiza que la ecuacin (13.20) es satisfecha.Resolver la ecuacin (13.19) para lambda:Sustituir en la ecuacin (13.18) para obtener la gradiente de con respecto a las variables de control.

Metodo de GradienteFlujo de Potencia OptimoEl problema con el mtodo de gradiente radica principalmente en el hecho de que la direccin de la gradiente deber estar cambiando continuamente a menudo y esto conduce a una muy lenta convergencia. Para llegar con una convergencia mas rpida a la solucin, podremos usar en mtodo de Newton, donde tomamos la derivada de la gradiente con respecto a x, u y . Entonces el flujo de potencia ptimo viene a ser:

Esta matriz ecuacin en muy formidable garanta para computar y manipular. Esto es extremadamente esparcido y requiere de una especial lgica de esparcidez.El mtodo usual es de formar una restriccin de funcin es penalidad, como sigue:Esto es posible para reforzar las restricciones por la invencin de las funciones de penalidad exterior siguiente:

Metodo de Newton

Flujo de Potencia OptimoLa funcin de penalidad es mostrado en la siguiente figura:

Para resolver el FPO con las inecuaciones de restriccin de voltaje, nosotros agregamos la funcin de penalidad hacia la funcin objetivo f. La funcin resultante ser enorme la tensin de salida est en el lmite y as en FPO intentar forzar esto dentro de los lmites como minimizar el objetivo.Desde que el mtodo de Newton informacin de la segunda derivada en si misma y esto no hace gran dificultad en converger y este puede manejar las inecuaciones de restriccin muy bien. La dificultad con el mtodo de Newton surge el hecho de que cerca al lmite de penalidad es pequeo as que la solucin ptima tender a permitir la variable, un voltaje como en el ejemplo de arriba que flota sobre su lmite. Esto es aparentemente un procedimiento de cambio simple de alcanzar el valor de K puede eventualmente causar la matrices que sean mal condicionados y el mtodo fracasa. Cuando estos son pocos lmites a ser considerados con una funcin objetivo es poco profundo que es, la variabilidad de f con ajustes en las variables de control es muy baja, el mtodo de Newton es el mejor mtodo a usar.

PenalidadMetodo de NewtonFlujo de Potencia OptimoMtodo de programacin linealAnlisis de sensibilidad linealAntes de discutir con la discusin de los mtodos de programacin lineal y el de puntos interiores para el clculo de FPO, debemos desarrollar el concepto de anlisis de sensibilidad lineal. Los coeficientes de sensibilidad lineales dan indicacin del cambio de una de las cantidades del sistema (ejemplo : flujo de MW, flujo de MVA, tensin de barra, etc.) como otra cantidad es variada (ejemplo: salida de MW de un generador, posicin del TAP de un transformador, etc.) estas relaciones lineales son esenciales para la aplicacin de la programacin lineal). Ntese que como la variables ajustable es cambiada asumimos que la reaccin del sistema de potencia tanto como para mantener todas la ecuaciones de flujo resueltas. Como tal, los coeficientes de sensibilidad lineal puede ser expresado como derivadas parciales por ejemplo:

Muestra la sensibilidad del flujo en una lnea de transmisin (de i a j) con respecto a la potencia generada en la barra k.Programacin LinealLos mtodos de gradiente y de Newton para resolver los FPO sufren a partir de manejar las inecuaciones de las restricciones. La programacin lineal sin embargo es ideal para este manejo siempre que el problema a ser resuelto es tal que este puedes ser linealizado sin prdidas de precisin.La figura (13.14) muestra un tipo de estrategia a usar para crear un FPO usando programacin lineal. Las ecuaciones del flujo de potencia pueden ser para representaciones en DC y para ecuaciones en AC de un conjunto desacoplado o un completo clculo de ecuaciones de flujo de potencia en AC. Escoger el mtodo afectar la dificultad de obtener los coeficientes de sensibilidad linealizados y las pruebas de convergencia usadas.

Mtodos de programacin lineal

Condicones de flujo de potencia inicialResolucin de las ecuaciones de flujo de potenciaCreacin de la funcin objetivo linealObtencin de los Coeficientes de Sensiblidad de restriccionesAjustar y resolver la programacin lineal PL para ajustes de variables de control nuevosTest de convergenciaConvergenciaNo significa movimientos de variables de controlNo convergenciaNo significa los ajustes de una o mas variables de controlFig. 13.14Flujo de Potencia OptimoEn la informacin mostrada lneas abajo, mostramos como el FPO puede ser estructurado como una PL. Primero, atacaremos el problema de la expresin de la entrada y salida no lineal o funciones de costo como un ajuste de funciones lineales. Esto fue similarmente tratado en la seccin 7.9 para unidades hidroelctricas. Permite la funcin de costo ser F(Pi) y mostrados en la figura 13.5.Nosotros podemos aproximar esta funcin no lineal como una serie de lneas segmentadas y mostradas en la figura 13.6. Los tres segmentos podrn ser representados como Pi1, Pi2, Pi3 y cada segmento tendr una pendiente designada: si1, si2 y si3.Entonces la funcin costo por si misma es:

y:y finalmente:

Metodo de Programacin LinealPi1Pi2Pi3FiFiPiPiFig. 13.5. Caracterstica no lineal de la funcin costoFig. 13.6. La funcin costo linealizadaFlujo de Potencia OptimoFig. 13.6Metodo de Programacin LinealFlujo de Potencia OptimoFlujo de potencia ptimo con seguridad RestringidaInicioSolucin bsica del FPOAlgoritmo de muestreo de contingenciasNuevas contingencias?EndAdmitir nuevas contingencias a la lista de contingenciasResolver flujo de potencia en AC para 1er. Caso de contingenicaResolver flujo de potencia en AC para 2do. Caso de contingenicaResolver flujo de potencia en AC para ultimo Caso de contingenicaSalvar restricciones de contingenciaSalvar restricciones de contingenciaSalvar restricciones de contingenciaResolver el FPO con restriccionesMonitoreo de criterios de convergencia y parada ahsta el criterio definidoOperacin del sistema de potencia ptimo (sin contingencias)NOSIITERACION FPOITERACION DE MUESTREOS DE CONTINGENIAS