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POWER SYSTEM OPERATION AND CONTROL DE ALLEN J. WOOD Y BRUCE F. WOLLENBERG

Capitulo 13 Flujo de Potencia Optimo

(OP F: Optimal Power Flow)

Tarmeño Bernuy. Julio Alberto

Mendoza Jaime, Enrique Martin

Flujo de Potencia Optimo

1.- INTRODUCCIONEl flujo de potencia Optimo (OPF) fue discutido inicialmente por Carpentier

(1962) y

tomado en cuenta mucho tiempo después como algoritmo exitoso que puede ser

aplicado en la solución de ecuaciones de sistemas de potencia en el día a día.

Actualmente el uso del OPF se centra en la disponibilidad de tomarlo en cuenta en la

seguridad del sistemas eléctricos.

Inicialmente considerábamos el despacho económico con una sola restricción es decir

“la potencia total generada es igual a la carga mas las perdidas”:

Así el despacho económico resultaba en un problema de Lagrange con una sola

restricción:

0Load Losses iP P P

( ) ( )i Load Losses iL F P P P P

Realmente estamos diciendo que:

“la generación debe obedecer las condiciones del flujo de potencia”

Es decir que:

“el flujo entero de potencia es una simple restricción de igualdad”

Lo que realmente sabemos es que el calculo del Despacho Económico involucra una

serie de restricciones, mas aun si deseamos optimizar los costos y la seguridad de los

entes involucrados, es así que observamos que las: Restricciones de igualdad son las ecuaciones de balance de carga, que se obtienen

al imponer una restricción de balance de potencia activa y reactiva en todos los nodos del sistema.

Restricciones de desigualdad consideran los límites que deben satisfacer las unidades de SEP.

Estas reflejan los límites operativos impuestos a los dispositivos y al SEP, pueden ser: Límites: de PG y QG , de t onmin y t off min , de velocidad de cambio de generac.

de flujos de carga en las ramas, del cambiador de fase de un transformador, de las variables de control de los dispositivos FACTS, de emisión de contaminantes al medio etc.



SOLUCIÓN DEL FLUJO DE POTENCIA OPTIMOEl OPF es un problema de programación matemática demasiado extenso y difícil de

resolver, para lo cual se han desarrollado técnicas aplicadas satisfactoriamente, entre

los más trascendentes que se pueden citar están: Método del Gradiente Programación lineal Programación cuadrática Métodos de Newton Aproximaciones por descomposición P-Q Métodos por Punto Interior Algoritmos genéticos Redes neuronales Programación Evolutiva Búsqueda Tabú Programación por enjambre de partículas

Características de algunos de estos métodos: Método de iteración Lambda: Base de estándares de programa de

despacho económico on-line. Las pérdidas las representa por la matriz B; las penalidades se calculan por un flujo de potencia externo. Pasa por alto limitaciones en el sistema de transmisión. No produce despacho de generación que evite sobrecargas, violaciones del limite de tensión o de la restricciones de seguridad. Esta técnica puede procesarse rápidamente.

Método del gradiente: De convergencia lenta y difícil para resolver en presencia de restricciones de desigualdad (inecuaciones).

Método de Newton: De muy rápida convergencia; presenta problemas con las restricciones de desigualdad.

Programación lineal (LPOPF): Es el más desarrollado y ahora de uso común. Trabaja fácilmente con restricciones de desigualdad. Las funciones objetivo y restricciones no lineales son manejadas por linealización.

Método de Punto interior: Es otro de los métodos más ampliamente desarrollado y utilizado para resolver OPF. Tiene la facilidad de manejar las restricciones de desigualdad.


Flujo de Potencia OptimoFormulación matemática del OPFLa Función Objetivo en el OPF suele ser minimizado. En algunos casos, como la transferencia de Potencia, esta función puede ser maximizada. De forma

general, el OPF puede ser formulado como un problema de optimización no lineal con restricciones y limites de variable de control y estado, que matemáticamente se expresa como: Min f (x,u) sujeto a h(x,u) = 0 y g(x,u) < 0Donde: f (x,u) : función objetivo, es el criterio o índice de desempeño usado para

optimizar. Algunas funciones objetivo empleadas en un estudio de OPF son:

Costo de generación. Pérdidas de transmisión de potencia activa/reactiva. Costo por interrupción de carga. Número de reprogramación de los controles. Emisiones contaminantes por parte de los generadores térmicos.


x ∈ Rn1 : vector de n1 variables de estado

u∈ Rn2 : vector de n2 variables de control

h(x,u) = 0 : r restricciones de igualdad (límites operativos de las variables de control)

g(x,u) : m restricciones de desigualdad (restricciones operativas)

Variable de control: Se ajustan para encontrar la solución óptima y satisfacer las

restricciones.

Valor continuo (generación de potencia activa)

Valor discreto (posición del tap de un transformador)

Variable de estado: Se calculan a partir de las variables de control (dependientes).

Ejm.: Potencia nodo slack, Voltaje nodos de carga, Potencia

reactiva de generadores, Ángulo de fase nodos (excepto el slack),

Flujos de potencia en red de transmisión.

Flujo de Potencia OptimoFunción Objetivo del Flujo de Potencia Optimo

La función objetivo del FPO es usualmente minimizarlo: g(Z) = 0

Donde las variables del vector Z, son controles ajustables; tales como, magnitudes de tensión de barra, ángulos de fase, así como parámetros fijos del sistema, luego debemos “partir” las variables en un conjunto de variables de estado, variables de control y parámetros fijos.

Restricciones en desigualdades :

En MVA:

En estado o variables de control:

El problema de FPO entonces consiste en minimizar (o maximizar) la función objetivo, sujeto a inecuaciones de restricciones y límites de variables de control y de estado.

Flujo de Potencia OptimoMetodo de Gradiente

Consideramos la función objetivo al total de los costos de generación. La función objetivo a minimizar es:

Donde la suma se extiende a todos los generadores del sistema de potencia, incluyendo a la barra de referencia.

Definimos la variable desconocida “x” como:

x = Otro vector “y” es definido como:

y =


Debido a que algunos parámetros son fijos y otros variables, dividimos el vector “y” en dos partes: “u” y “p”, tal como:

Donde “u” denota el vector de control o ajuste de variables y “p” variables fijas o constantes en este punto.

Finalmente, debemos definir un conjunto de “m” ecuaciones que gobiernan el flujo de potencia:

x =

Deseamos expresar que el costo ó función objetivo como una función de las variables de control y de variables de estado. Hacemos esta división de la función del costo como sigue:

Metodo de Gradiente


Donde en el primer sumando no se incluya la barra de referencia. Pi son todas las variables independientes y Pref variables dependientes, Pi es un vector “u” y Pref una función de las red de tensiones y ángulos:

Entonces la función de costo viene a ser:

Entonces podremos ajustar la ecuación de Lagrange para la FPO como sigue:

Donde: x = Vector de variables de estado

u = Vector de variables de control

p = Vector de parámetros fijos

= Vector multiplicador de Lagrange

g = Conjunto de desigualdades de restricciones que representan las ecuaciones del flujo de potencia.

Flujo de Potencia OptimoEsta ecuación de Lagrange es quizás mejor visto cuando es escrito de la siguiente manera:

Ahora tenemos una ecuación de Lagrange con una única función objetivo y “m” multiplicadores de Lagrange, una de cada “m” ecuaciones de flujo de potencia.

Minimizando:

FO para la barra Slack:

Metodo de Gradiente


Nótese que la matriz vista en la ecuación (13.18) en la transpuesta.

La ecuación (13.19) es el gradiente de la función de Lagrange con respecto a las variables de control. Aquí el vector en un función de derivadas de la función objetivo con respecto a las variables de control es:

El otro término en la ecuación (13.19) , realmente consiste de una matriz de todos elementos ceros y alguno -1 en la diagonal, el cual corresponde a la ecuación en g(x,u,p), donde la variable de control es presente. Finalmente en la ecuación (13.20) consiste simplemente de la misma ecuación de flujo de potencia.

Metodo de Gradiente


La solución del método de gradiente de un FPO es como sigue:

1. Dado un conjunto de parámetros “p” fijos, asumir un conjunto de arranque de variables de control “u”.

2. Resolver el flujo de potencia. Esto garantiza que la ecuación (13.20) es satisfecha.

3. Resolver la ecuación (13.19) para lambda:

4. Sustituir en la ecuación (13.18) para obtener la gradiente de con respecto a las variables de control.

Metodo de Gradiente


El problema con el método de gradiente radica principalmente en el hecho de que la dirección de la gradiente deberá estar cambiando continuamente a menudo y esto conduce a una muy lenta convergencia. Para llegar con una convergencia mas rápida a la solución, podremos usar en método de Newton, donde tomamos la derivada de la gradiente con respecto a “x”, “u” y . Entonces el flujo de potencia óptimo viene a ser:

Esta matriz ecuación en muy formidable garantía para computar y manipular. Esto es extremadamente esparcido y requiere de una especial lógica de esparcidez.

El método usual es de formar una restricción de función es “penalidad”, como sigue:

Esto es posible para reforzar las restricciones por la invención de las funciones de penalidad exterior siguiente:

Metodo de Newton


La función de penalidad es mostrado en la siguiente figura:

Para resolver el FPO con las inecuaciones de restricción de voltaje, nosotros agregamos la función de penalidad hacia la función objetivo “f”. La función resultante será enorme la tensión de salida está en el límite y así en FPO intentará forzar esto dentro de los límites como minimizar el objetivo.

Desde que el método de Newton información de la segunda derivada en si misma y esto no hace gran dificultad en converger y este puede manejar las inecuaciones de restricción muy bien. La dificultad con el método de Newton surge el hecho de que cerca al límite de penalidad es pequeño así que la solución óptima tenderá a permitir la variable, un voltaje como en el ejemplo de arriba que flota sobre su límite. Esto es aparentemente un procedimiento de cambio simple de alcanzar el valor de K puede eventualmente causar la matrices que sean mal condicionados y el método fracasa. Cuando estos son pocos límites a ser considerados con una función objetivo es “poco profundo” que es, la variabilidad de “f” con ajustes en las variables de control es muy baja, el método de Newton es el mejor método a usar.

Penalidad

Metodo de Newton

Flujo de Potencia OptimoMétodo de programación lineal

Análisis de sensibilidad lineal

Antes de discutir con la discusión de los métodos de programación lineal y el de puntos interiores para el cálculo de FPO, debemos desarrollar el concepto de análisis de sensibilidad lineal. Los coeficientes de sensibilidad lineales dan indicación del cambio de una de las cantidades del sistema (ejemplo : flujo de MW, flujo de MVA, tensión de barra, etc.) como otra cantidad es variada (ejemplo: salida de MW de un generador, posición del TAP de un transformador, etc.) estas relaciones lineales son esenciales para la aplicación de la programación lineal). Nótese que como la variables ajustable es cambiada asumimos que la reacción del sistema de potencia tanto como para mantener todas la ecuaciones de flujo resueltas. Como tal, los coeficientes de sensibilidad lineal puede ser expresado como derivadas parciales por ejemplo:

Muestra la sensibilidad del flujo en una línea de transmisión (de i a j) con respecto a la potencia generada en la barra k.

Programación Lineal

Los métodos de gradiente y de Newton para resolver los FPO sufren a partir de manejar las inecuaciones de las restricciones. La programación lineal sin embargo es ideal para este manejo siempre que el problema a ser resuelto es tal que este puedes ser linealizado sin pérdidas de precisión.

La figura (13.14) muestra un tipo de estrategia a usar para crear un FPO usando programación lineal. Las ecuaciones del flujo de potencia pueden ser para representaciones en DC y para ecuaciones en AC de un conjunto desacoplado o un completo cálculo de ecuaciones de flujo de potencia en AC. Escoger el método afectará la dificultad de obtener los coeficientes de sensibilidad linealizados y las pruebas de convergencia usadas.

Métodos de programación lineal

Condicones de flujo de potencia inicial

Resolución de las ecuaciones de flujo de

potencia

Creación de la función objetivo lineal

Obtención de los Coeficientes de Sensiblidad de restriccionesAjustar y resolver la

programación lineal PL para ajustes de variables

de control nuevos

Test de convergenc

ia

Convergencia

No significa movimientos de variables de control

No convergencia

No significa los ajustes de una o mas variables de control Fig. 13.14


En la información mostrada líneas abajo, mostramos como el FPO puede ser estructurado como una PL. Primero, atacaremos el problema de la expresión de la entrada y salida no lineal o funciones de costo como un ajuste de funciones lineales. Esto fue similarmente tratado en la sección 7.9 para unidades hidroeléctricas. Permite la función de costo ser F(Pi) y mostrados en la figura 13.5.Nosotros podemos aproximar esta función no lineal como una serie de líneas segmentadas y mostradas en la figura 13.6. Los tres segmentos podrán ser representados como Pi1, Pi2, Pi3 y cada segmento tendrá una pendiente designada: si1, si2 y si3.Entonces la función costo por si misma es:

y:y finalmente:

Metodo de Programación Lineal

Pi1 Pi2 Pi3

Fi Fi

Pi Pi

Fig. 13.5. Característica no lineal de la función costo

Fig. 13.6. La función costo linealizada


Fig. 13.6

Metodo de Programación Lineal

Flujo de Potencia OptimoFlujo de potencia óptimo con seguridad Restringida

Inicio

Solución básica del FPO

Algoritmo de muestreo de contingencias

Nuevas contingenc

ias?End

Admitir nuevas contingencias a la lista

de contingencias

Resolver flujo de potencia en AC para

1er. Caso de contingenica


2do. Caso de contingenica


ultimo Caso de contingenica

Salvar restricciones de contingencia



Resolver el FPO con restricciones

Monitoreo de criterios de convergencia y parada ahsta el criterio definido

Operación del sistema de potencia óptimo (sin contingencias)

NO

SI

ITERACION FPO

ITERACION DE MUESTREOS DE CONTINGENIAS

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