Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Wyk lad 2

Postulaty mechaniki kwantowej

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

1 wymiar

Postulat

Stan cz ↪astki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(x , t) zależna odpo lożenia cz ↪astki x oraz czasu t.

Interpretacj ↪e fizyczn ↪a ma jedynie kwadrat modu lu funkcjifalowej

ρ(x , t) = |Ψ(x , t)|2 = Ψ∗(x , t)Ψ(x , t)

określaj ↪acy g ↪estość prawdopodobieństwa zdarzenia, że wchwili t cz ↪astka znajduje si ↪e w pozycji x .

Wyrażenie π(x , t) = |Ψ(x , t)|2 dx określaprawdopodobieństwo znalezienia w chwili t cz ↪astki winfinitezymalnie ma lym przedziale [x , x + dx ]

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

1 wymiar - przyk lady

Prawdopodobieństwo znalezienia cz ↪astki w przedziale < a, b >∫ ba|Ψ(x , t)|2 dx

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

3 wymiary

Postulat

Stan cz ↪astki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(r, t) zależna odpo lożenia cz ↪astki r = (x , y , z) oraz czasu t.

Interpretacj ↪e fizyczn ↪a ma jedynie kwadrat modu lu funkcji falowej

ρ(x , t) = |Ψ(r, t)|2

określaj ↪acy g ↪estość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w chwili tcz ↪astka znajduje si ↪e w pozycji r.

Przyk lad

Prawdopodobieństwo tego, że czastka znajduje si ↪e wewn ↪atrzsześcianu o kraw ↪edzi 2a umieszczonego w pocz ↪atku uk laduwspó lrz ↪ednych ∫ a

−a

∫ a−a

∫ a−a|Ψ(x , y , z , t)|2 dxdydz

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

3 wymiary - przyk lad

Definicje

wspó lrz ↪ednesferyczne:

x = r sin θ cosφ

y = r sin θ sinφ

z = r cos θ

element obj ↪etości wewspó lrz ↪ednychsferycznych:

dV = r 2 sin θdrdθdφ

Prawdopodobieństwo tego, że czastkaznajduje si ↪e wewn ↪atrz kuli o promieniu R∫ 2π

0

∫ π0

∫ R0|Ψ(r , θ, φ)|2 r 2 sin θdrdθdφ

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

N cz ↪astek, 3 wymiary

Postulat

Stan cz ↪astki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(r, t) zależna od po lożeńN cz ↪astek (x1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN) oraz czasu t.

Interpretacj ↪e fizyczn ↪a ma jedynie kwadrat modu lu funkcji falowej

ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2

określaj ↪acy g ↪estość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w chwili t:

cz ↪astka pierwsza znajduje si ↪e w pozycji (x1, y1, z1)

cz ↪astka druga znajduje si ↪e w pozycji (x2, y2, z2)

. . .

cz ↪astka N-ta znajduje si ↪e w pozycji (xN , yN , zN)

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

N cz ↪astek ze spinem, 3 wymiary

Postulat

Stan uk ladu w przestrzeni konfiguracyjno-spinowej określa funkcjafalowa Ψ = Ψ(q, t) zależna od po lożeń i spinów N cz ↪astek(x1, y1, z1, σ1, . . . , xN , yN , zN , σN) oraz czasu t.

Interpretacj ↪e fizyczn ↪a ma jedynie kwadrat modu lu funkcji falowej

ρ(q, t) = |Ψ(q, t)|2

określaj ↪acy g ↪estość prawdopodobieństwa zdarzenia, że w chwili t:

cz ↪astka pierwsza znajduje si ↪e w pozycji (x1, y1, z1) ze spinemσ1

cz ↪astka druga znajduje si ↪e w pozycji (x2, y2, z2) ze spinem σ2

. . .

cz ↪astka N-ta znajduje si ↪e w pozycji (xN , yN , zN) ze spinem σN

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Warunki porz ↪adności funkcji falowej

Funkcja falowa:

ma interpretacj ↪e probabilistyczn ↪a

musi spe lniać równanie różniczkowe II rz ↪edu (równanieSchrödingera)

Wniosek

Musimy narzucić na funkcj ↪e falow ↪a warunki:

skończoności

unormowania

ci ↪ag lości (wraz z pierwsz ↪a pochodn ↪a)

fizycznej jednoznaczności

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Zasada superpozycji stanów

Postulat

Jeśli Ψ1,Ψ2, . . . opisuj ↪a dozwolone stany uk ladu, to ich dowolnakombinacja liniowa

Ψ =∑i

CiΨi = C1Ψ1 + C2Ψ2 + . . .

również opisuje dozwolony stan uk ladu, w którymprawdopodobieństwo zaobserwowania stanu opisanego przez Ψiwynosi

Pi = |Ci |2 .

Unormowanie wymaga, żeby∑i

Pi =∑i

|Ci |2 = 1

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Symetria permutacyjna funkcji falowej

Sens fizyczny, czyli wartość |Ψ|2 nie może zależeć odsubiektywnego ponumerowania cz ↪astek nieodróżnialnych.

|ψ(q1, q2, . . . , qi , ..., qj , ...qN)|2 = |ψ(q1, q2, . . . , qj , ..., qi , ...qN)|2

Wniosek

ψ(q1, q2, . . . , qi , ..., qj , ...qN) = eiφψ(q1, q2, . . . , qj , ..., qi , ...qN)

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Bozony i fermiony

Postulat

Dla uk ladu bozonów

ψ(q1, q2, . . . , qi , ..., qj , ...qN) = ψ(q1, q2, . . . , qj , ..., qi , ...qN).

Dla uk ladu fermionów

ψ(q1, q2, . . . , qi , ..., qj , ...qN) = −ψ(q1, q2, . . . , qj , ..., qi , ...qN)

fermiony: elektrony, protony, neutrony, j ↪adra o nieparzystejliczbie nukleonów

bozony: fotony, j ↪adra o parzystej liczbie nukleonów

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Zakaz Pauliego

Wniosek

G ↪estość prawdopodobieństwa znalezienia dwóch identycznychfermionów w tym samym miejscu w przestrzeni i z t ↪a sam ↪awspó lrz ↪edn ↪a spinow ↪a wynosi 0.

Wniosek

Dwa identyczne bozony lub dwa identyczne fermiony różni ↪ace si ↪ewspó lrz ↪edn ↪a spinow ↪a mog ↪a znajdować si ↪e w tym samym miejscu wprzestrzeni.

nadprzewodnictwo

kondensacja Bosego-Einsteina

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Operatory w mechanice kwantowej

Postulat

Każdej wielkości mechanicznej A przyporz ↪adkowany jest operatorkwantowomechaniczny Â. Operator ten musi być liniowy (abyspe lniać zasad ↪e superpozycji) i hermitowski (aby jego wartościw lasne by ly rzeczywiste).

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Postać operatorów kwantowomechanicznych

Regu ly Jordana

x̂ = x

V̂ (x) = V (x)

p̂x = −i~∂

∂x

r̂ = r

p̂ = −i~∇

Przyk lad

T =p2

2m

T̂ =p̂2

2m= − ~

2

2m∇2 = − ~

2

2m∆

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Wynik pojedynczego pomiaru

Postulat

W wyniku pojedynczego pomiaru w lasności mechanicznej Auzyskana może być wy l ↪acznie pewna wartość w lasna ak operatoraÂ, która odpowiada funkcji w lasnej φk spe lniaj ↪acej zagadnieniew lasne

Âφk = akφk , k = 1, 2, . . .

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Degeneracja

Definicja

Jeżeli zbiór g funkcji w lasnych (liniowo niezależnych) operatora Âspe lnia równanie w lasne dla tej samej wartości w lasnej

Âφ(m)k = akφ

(m)k , m = 1, 2, . . . , g ,

to tak ↪a wartość w lasn ↪a określamy jako g -krotnie zdegenerowan ↪a, astany odpowiadaj ↪ace tym funkcjom w lasnym określamy jako stanyzdegenerowane.

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Ortogonalizacja

Twierdzenie

Funkcje w lasne odpowiadaj ↪ace różnym wartościom w lasnym s ↪aortogonalne, funkcje dla stanów zdegenerowanych nie musz ↪a byćortogonalne, ale zawsze możemy je zortogonalizować.

Popularne metody ortogonalizacji:

ortogonalizacja Grama-Schmidta:

〈φ1|φ2〉 = S ; φ′1 = φ1, φ2 = φ2 − Sφ1

ortogonalizacja symetryczna (symetryczny obrót wektorów)

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Zupe lność zbioru funkcji w lasnych

Twierdzenie

Zbiór funkcji w lasnych operatora kwantowomechanicznego Â

Âφk = akφk , k = 1, 2, . . .

jest zbiorem zupe lnym funkcji, tzn. dowoln ↪a funkcj ↪e stanu możnarozwin ↪ać w szereg funkcji w lasnych tego operatora

Ψ =∑i

ciφi |Ψ〉 =∑i

ci |φi 〉

Pojedynczy pomiar wielkości A w stanie opisanym funkcj ↪a Ψ dajewartość ai odpowiadaj ↪ac ↪a funkcji φi z prawdopodobieństwem |ci |

2.

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Wartość średnia

Twierdzenie

Wynik średni (spodziewany) wielkiej liczby pomiarów wielkościfizycznej A przeprowadzony na wielu uk ladach w tym samym staniepocz ↪atkowym opisanym funkcj ↪a falow ↪a Ψ wynosi

Ā =〈

Ψ|Â|Ψ〉

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Notacja Diraca

ψ ≡ |ψ〉 wektor

∫ψ∗φdτ ≡ 〈ψ|φ〉 iloczyn skalarny

∫ψ∗Âφdτ ≡

〈ψ|Âφ

〉≡〈ψ|Â|φ

〉iloczyn skalarny

P̂(|ψ〉) = |ψ〉 〈ψ| operator rzutowy w kierunku |ψ〉

1 =∑

i |ψi 〉 〈ψi | spektralny rozk lad jedynkiχ =

∑i |ψi 〉 〈ψi |χ〉 =

∑i |ψi 〉Ci

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Jednoczesna mierzalność

Dwie wielkości A i B s ↪a jednocześnie ostro mierzalne wtedy itylko wtedy, gdy odpowiadaj ↪ace im operatory komutuj ↪a.

Zasada nieoznaczoności dla jednoczesnych pomiarów wielkościfizycznych A i B:

σ2Aσ2B −

1

4

〈Ψ|[Â, B̂

]|Ψ〉2

Przyk lad

[x̂ , p̂x ] = i~, σ2xσ2px 1

4~2

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Spin cz ↪astek elementarnych

Postulat

Cz ↪astki elementarne posiadaj ↪a wewn ↪etrzny moment p ↪edunazywany spinem S = (Sx ,Sy ,Sz). Wielkości ostro mierzalne to:

kwadrat d lugości|S|2 = s(s + 1)~2

jedna ze sk ladowych

Sz = ms~, ms = −s,−s + 1, . . . , s − 1, s

ca lkowite s: bozony

po lówkowe s: fermiony

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Wspó lrz ↪edna spinowa

Postulat

Cz ↪astka o spinowej liczbie kwantowej s posiada dodatkowyspinowy stopień swobody i zwi ↪azan ↪a z nim wspó lrz ↪edn ↪aspinow ↪a σ.

Wspó lrz ↪edna spinowa ma charakter dyskretny i możeprzyjmować jedn ↪a z 2s + 1 wartości: −s,−s + 1, . . . , s − 1, s

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Spin elektronu

s =1

2

ms = −1

2,

1

2

σ = −12,

1

2

|S|2 = 34~2

Sz = −1

2~,

1

2~

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Funkcje spinowe

α(σ) =

{1, σ = 120, σ = −12

|α〉 =(

10

)β(σ) =

{0, σ = 121, σ = −12

|β〉 =(

01

)

Uk lad ortonormalny:

〈α|α〉 = 〈β|β〉 = 1〈α|β〉 = 0

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Operatory spinowe

Ŝx =12~σ̂x , Ŝy =

12~σ̂y , Ŝz =

12~σ̂z

σ̂x =

(0 11 0

)σ̂y =

(0 −ii 0

)σ̂z =

(1 00 −1

)

Ŝz |α〉 = 12~ |α〉Ŝz |β〉 = −12~ |β〉

~−1(

Ŝx ± i Ŝy)

=?

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Spin uk ladu cz ↪astek

ca lkowity spin: suma (wektorowa) spinów poszczególnychcz ↪astek

|S|2 = S(S + 1)~2

Sz = Ms~Ms = −S ,−S + 1, . . . ,S − 1, Sżadne wzbudzenie nie może przeprowadzić nieelementarnegobozonu w fermion a fermionu w bozon

uk lady z lożone z parzystej liczby fermionów s ↪a bozonami

uk lady z lożone z nieparzystej liczby fermionów s ↪a fermionami

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Stany singletowe i trypletowe

Uk lad dwóch elektronów:

s1 = s2 =12 ,ms1 = −

12 ,

12 ,ms2 = −

12 ,

12

stan singletowy uk ladu: S = 0,Ms = 0

stan trypletowy uk ladu: S = 1,Ms = −1, 0, 1k ↪at mi ↪edzy spinami elektronów:

singlet: 180◦, spiny antyrównoleg letryplet: 70.52◦, spiny ”równoleg le”

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Równanie Schrödingera zależne od czasu

Postulat

Swobodn ↪a ewolucj ↪e w czasie stanu kwantowomechanicznegowyznacza równanie Schrödingera zależne od czasu

ĤΨ(q, t) = i~∂Ψ(q, t)

∂t

równanie dyfuzji w urojonym czasie

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Ewolucja stanu w czasie

Znajomość hamiltonianu i funkcji falowej w danej chwili pozwalawyznaczyć dalsz ↪a ewolucj ↪e

Ψ′ = exp

(− it~

Ĥ

)Ψ

Twierdzenie

W trakcie ewolucji:

zachowana jest norma funkcji falowej

jeżeli hamiltonian nie zależy od czasu, to zachowana jestśrednia wartość energii

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Stany stacjonarne

Definicja

Stanem stacjonarnym nazywamy stan, w którym N-cz ↪astkowag ↪estość prawdopodobieństwa nie zmienia si ↪e w czasie:ρ(q, t) = |Ψ(q, t)|2 = ρ(q)

stany stacjonarne s ↪a możliwe tylko dla uk ladów zhamiltonianem niezależnym od czasufunkcja falowa dla stanów stacjonarnych musi mieć postaćΨ(q, t) = ψ(q)f (t) z czynnikiem zależnym od czasu o modulejednostkowym

Twierdzenie

Funkcja falowa stanu stacjonarnego ma postać

ΨE (q, t) = ψE (q) exp(−it E~

), gdzie cz ↪eść niezależna od czasu

wynika z zagadnienia w lasnego hamiltonianu ĤψE = EψE . Energiastanu stacjonarnego jest ostro zadana i wynosi E .

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Superpozycja stanów stacjonarnych

Ψ =k∑

i=1

ciΨi

Twierdzenie

Kombinacja liniowa k funkcji stanów stacjonarnychodpowiadaj ↪acych tej samej energii E jest funkcj ↪a stanustacjonarnego o energii E .

Twierdzenie

Kombinacja liniowa k funkcji stanów stacjonarnych, z którychprzynajmniej jeden nie odpowiada tej samej energii co pozosta le,nie jest funkcj ↪a stanu stacjonarnego.Reprezentuje ona stan onieostro zadanej energii, wyniki pojedynczych pomiarów należ ↪a dozbioru E1, . . . ,Ek , odpowiadaj ↪ace im prawdopodobieństwa zadanes ↪a kwadratami modu lów wspó lczynników kombinacji.

Stan Superpozycja Nieodróżnialność Operatory Wyniki pomiarów Spin Ewolucja

Perturbacje, z lota regu la Fermiego

Ψm,Ψk : stany stacjonarne - odpowiednio pocz ↪atkowy ikońcowy

V̂ (x , t) = v̂(x) exp (±iωt): periodyczna perturbacja, naprzyk lad pole elektryczne oscyluj ↪ace z cz ↪estości ↪a ω

vkm = 〈Ψk |v̂(x)|Ψm〉wkm: prawdopodobieństwo (na jednostk ↪e czasu) przej́scia zestanu pocz ↪atkowego do końcowego

Twierdzenie

wkm = |vkm|22π

~δ (Ek − Em ± ~ω)

StanSuperpozycjaNieodróznialnoscOperatoryWyniki pomiarówSpinEwolucja