Fizyka 2 Wykład 2 1

Mechanika kwantowa Schrödingera

Hipoteza de Broglie’a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona.

Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek

graniczny (gdy stała Plancka h 0 tj. jest małe w porównaniu z innymi wielkościami

fizycznymi).

Teoria ta idzie o wiele dalej niż hipoteza de Broglie’a:

Podaje nie tylko długość fali materii ale też wszystkie szczegóły jej propagacji

istnieje też relatywistyczna wersja mechaniki kwantowej

sformułowana przez Diraca.

Własności operatorów mechaniki kwantowej

Operator A:

przyporządkowuje funkcji f funkcję g - dzieje się to w przestrzeni funkcyjnej

(przestrzeń Hilberta)

Fizyka 2 Wykład 2 2

Przykłady:

Dla ostatniego przykładu można napisać równanie operatorowe:

Ważny wniosek:

kolejność działań jest w mechanice kwantowej istotna

Fizyka 2 Wykład 2 3

Definicja:

komutatorem nazywamy wyrażenie

o Operator C na ogół jest różny od zera.

o Jeśli C znika mówimy, że operatory komutują.

Przykład:

Proszę sobie sprawdzić, że

Zagadnienie własne, wartości i funkcje własne

Zagadnienie własne dla operatora Â

gdzie un(x) jest funkcja własną operatora  w stanie n zaś an jest wartością własną w

stanie n.

n może być liczba dyskretną albo też wielkością ciągłą.

Fizyka 2 Wykład 2 4

Jeżeli jednej wartości własnej an odpowiada więcej niż jedna funkcja własna un to

mówimy,że jest ona

zdegenerowana.

Stany zdegenerowane pojawiają się również w fizyce klasycznej: np. orbity planet są

zdegenerowane ze względu na energię tj. różnym kształtom orbit odpowiada ta sama

wartość energii.

Jednakże w fizyce klasycznej wielkości (w tym energia) nie są skwantowane.

Zbiór wartości własnych danego operatora nazywamy jego widmem.

Przykład:

Gdy operatorem jest operator energii - wartości własne to dozwolone w danym

układzie wartości energii.

Dla cząstki swobodnej energia jest wielkością ciągłą (widmo energii jest ciągłe). Na

ogół jednak widmo energii jest dyskretne (nieciągłe).

Przykład: Niech w przestrzeni jednej zmiennej x

gdzie i jednostka urojona

Fizyka 2 Wykład 2 5

Bez dodatkowych założeń Â miałby ciągłe widmo wartości własnych.

Żądamy jednak dodatkowo:

aby funkcje własne były periodyczne

Zagadnienie własne dla operatora Â:

Rozwiązaniem tego równania są funkcje własne

Z podstawienia an = kn

a więc co daje

Uwaga:

Skwantowanie wartości własnych kn pojawiło się jako skutek warunku

brzegowego (w przykładzie - warunku periodycznego).

Gdy L to różnice wartości własnych maleją do zera (widmo quasi-ciągłe)

Fizyka 2 Wykład 2 6

Oprócz operatorów różniczkowych oraz operatorów mnożenia są też inne.

Przykład:

Jedna z 3 macierzy Paulliego związanych ze spinem cząstki

z funkcjami własnymi:

Proszę sprawdzić (ćwiczenie do domu !), że wartościami własnymi tych funkcji są:

Operator hermitowski

Ważną rolę w mechanice kwantowej odgrywają operatory hermitowskie - mają one

rzeczywiste wartości własne

tak jak większość wielkości mierzonych w doświadczeniu (tj. obserwabli).

Funkcje własne tych operatorów są wektorami w przestrzeni Hilberta.

Fizyka 2 Wykład 2 7

W tej przestrzeni definiuje się dla nich iloczyn skalarny (rzut w przestrzeni Hilberta):

gdzie gwiazdka oznacza sprzężenie w sensie zmiennej zespolonej.

Funkcje własne należące do różnych wartości własnych są ortogonalne

Funkcje własne są unormowane

Zupełność funkcji własnych

Zbiór wszystkich funkcji własnych danego operatora hermitowskiego stanowi

bazę w przestrzeni funkcyjnej (przestrzeni Hilberta), w której ten operator działa.

Zatem:

jeśli )(rf

jest dowolnym stanem należącym do tej przestrzeni to można go rozwinąć

na szereg funkcji własnych

gdzie un są funkcjami własnymi operatora.

Suma rozciąga się po całym widmie tego operatora.

Jeśli widmo jest ciągłe suma ta przechodzi w całkę.

Fizyka 2 Wykład 2 8

Przykład:

Często stany f badanego układu rozwija się na funkcje własne operatora pędu ip

gdzie to operator nabla znany z elektrodynamiki.

Mówimy wtedy, że stan f został przedstawiony w reprezentacji pędowej

Współczynniki tego rozwinięcia wyznaczamy korzystając z iloczynu skalarnego w

przestrzeni Hilberta

Jest to działanie analogiczne jak w przestrzeni Euklidesa:

Niech będzie dany wektor zyx iii

32)3,2,1(

Aby znaleźć y-kową współrzędną tego wektora wykonuje się iloczyn skalarny

Fizyka 2 Wykład 2 9

Dany stany kwantowy (wektor stanu) może zostać rozwinięty na funkcje własne różnych

operatorów: otrzymujemy wtedy różne reprezentacje tego samego wektora stanu:

reprezentacja pędowa – rozwinięcie na funkcje własne operatora pędu

reprezentacja położeniowa - rozwinięcie na funkcje własne operatora położenia

reprezentacja energetyczna - rozwinięcie na funkcje własne operatora energii

i inne.

Fizyka 2 Wykład 2 10

Postulaty mechaniki kwantowej

Postulaty Fizyczne

operacja obserwacji

Każdemu rodzajowi obserwacji przyporządkowuje się zespół liczb stanowiących zbiór

wszystkich możliwych wyników obserwacji

Jeżeli są dwa rodzaje obserwacji A i B to wtedy na ogół kolejność wykonywania tych

obserwacji jest istotna tj. AB BA.

zasada odpowiedniości

Relacje klasyczne, w których nie występują pochodne zachodzą w mechanice

kwantowej po zastąpieniu wielkości klasycznych odpowiednimi operatorami

Przykład:

Niech ),,(ˆoraz),,(ˆzyx ppppzyxr

są operatorami położenia i pędu,

odpowiednio.

Wtedy operator momentu pędu otrzymuje się z relacji klasycznej:

jako przy czym np.

Fizyka 2 Wykład 2 11

Przykład:

Całkowita energia (mechaniczna), która w mechanice klasycznej wyraża się w

postaci: )(2

2

rVm

p

w mechanice kwantowej ma swój odpowiednik w postaci operatora Hamiltona

)ˆ(ˆ2

ˆˆ2

rVm

pH

Przykład:

Dana jest para mas M połączonych nieważkim prętem o długości 2d.

Układ ten wiruje swobodnie z prędkością kątową wokół osi przechodzącej przez

środek masy i prostopadłej do pręta.

Znaleźć kwantowe równanie ruchu i wartości własne takiego rotatora jeśli wiadomo:

a) klasyczne wyrażenie na energie kinetyczną w ruchu obrotowym

gdzie L moduł momentu pędu a I = 2Md2 - moment bezwładności

Fizyka 2 Wykład 2 12

b) operator kwadratu momentu pędu ma funkcje własne Ylm( , ) oraz wartości własne

l(l+1) ħ2 , l = 0,1,2,...

Odpowiedź:

poszukiwane równanie ruchu:

a energia własna tego układu:

zasada komplementarności

Każde dwie wielkości obserwowalne, z których jedna wiąże się z położeniem a

druga, , wiąże się z pędem spełniają związek przemienności

i]ˆ,ˆ[

Wielkości takie nazywamy komplementarnymi.

Zasada komplementarności pozwala konstruować operatory

Fizyka 2 Wykład 2 13

Przykład: Przyjmujemy reprezentację położeniową a więc, że

Aby był spełniony związek komutacyjny powyżej operator pędu musi przyjąć postać

Przykład:

Przyjmijmy tym razem reprezentację pędową: pp

Wtedy ta sama relacja komutacji wymaga aby

Wyniki obliczeń otrzymane z różnych reprezentacji są równoważne ale wybór

reprezentacji wiąże się z wyborem funkcji własnych, za pomocą których

obliczenia są wykonywane.

A to wiąże się ze stopniem trudności rachunkowych (podobnie jak w fizyce

klasycznej wybór układu współrzędnych).

Fizyka 2 Wykład 2 14

Pośredni wniosek z zasady komplementarności

Jeśli spełnione jest CBA ˆ]ˆ,ˆ[ dowodzi się, że

gdzie <. .> oznacza wartość średnią a nieoznaczoność A definiuje się

tj. jako odchylenie średnie standardowe.

Dla otrzymuje się

Jest to zasada nieoznaczoności Heisenberga

Są też inne wielkości spełniające tą zasadę jak np.

Fizyka 2 Wykład 2 15

postulaty matematyczne

Jedynymi możliwymi wynikami obserwacji  są odpowiednie wartości własne an

Wynikiem obserwacji  w stanie własnym un jest na pewno wartość własna an

Interpretacja:

pomiar idealny w stanie własnym nie zmienia tego stanu

Wartość średnia obserwacji w dowolnym stanie wyraża się wzorem

gdzie całkowanie rozciąga się po całej dziedzinie stanu

Fizyka 2 Wykład 2 16

Interpretacja 1:

1) niech badany stan będzie (unormowanym) stanem własnym tj. nu

2) Jeśli stan nie jest stanem własnym (zakładamy, że jest unormowany) to łatwo

wykazać

(Ćwiczenie !!!)

Interpretacja 2:

W stanie, który nie jest stanem własnym Â, za każdym razem jak będziemy

dokonywać obserwacji  otrzymamy różne wyniki; należą one do zbioru wartości

własnych an.

Wartość średnia jest średnią ważoną z wagami w postaci kwadratów modułów

(wielkości zespolone !) współczynników rozwinięcia stanu na funkcje bazy un.

Współczynniki rozwinięcia 2

nc mają przy tym więc sens prawdopodobieństwa

otrzymania wyniku an.