penyelesaian sistem persamaan linear dengan

Seminar matematika

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN

METODE ITERASI JACOBI

Nama : Baidilah

Nim : 09221008

Angkatan : 2009

PROGRAM STUDI TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) RADEN FATAH PALEMBANG

TAHUN 2012

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE ITERASI

JACOBI

A. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Masalah

Sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dengan n variabel

x1, x2, ..., xn (Anton, 2007: 24), dinyatakan dengan

a11x1 + a12x2 +......................+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 +......................+ a2nxn = b2

.......... + .............+....................+........... = .....

an1x1 + an2x2 +......................+ annxn = bn

Suatu persamaan linear tidak melibatkan hasil kali atau akar peubah, semua peubah

hanya muncul sekali dengan pangkat satu dan tidak muncul sebagai peubah bebas dari sebuah

fungsi trigonometri, logaritma, atau eksponensial (Anton, 2007:22). Berikut ini bukan persamaan

linear:

Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian (Anton, 2007:23), misalnya:

Jika kita mengalikan persamaan kedua dari sistem dengan ½ akan terbukti bahwa tidak

ada penyelasaian karena sistem ekuivalen yang di hasilkan, mempunyai persamaan yang

kontradisi

Sebuah sistem persaman yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai tak

konsisten, jika paling sedikit terdapat satu penyelesaian maka sistem itu di sebut konsisten.

Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan metode langsung atau dengan metode

iterasi. Dengan menggunakan metode langsung misalnya Gauss dan Variasi-variasinya. Dalam

metode eliminasi Gauss melibatkan banyak pembulatan galat, pembulatan yang terjadi pada

elimainasi gauss (maupun gauss-Jordan) dapat menyebabkan solusi yang diperoleh “jauh” dari

solusi sebenarnya. Dengan metode iterasi, galat pembulatan dapat diperkecil, karena kita dapat

meneruskan iterasi sampai solusi seteliti mungkin, sesuai denga batas galat yang kita

perbolehkan, dengan kata lain besar galat dapat dikendalikan sampai batas yang bisa

diterima(Munir,2010:173). Ada dua metode iterasi yang sering digunakan, yaitu metode Jacobi

dan metode Gauss-Seidel. Metode Jacobi dikenalkan oleh Carl Jacobi (1804-1851). Metode

iterasi Jacobi merupakan proses rekursi berulang untuk mendekati bilangan yang tidak di

ketahui. Sebagai titik awal pada rekursi tersebut di perlukan nilai awal dan biasanya adalah X0,

pada proses selanjutnya nilai yang sudah di ketahui tahapan sebelumnya X1 di pergunakan untuk

mencari nilai X pada tahapan selanjutnya X2. Proses tersebut terus berulang hingga di peroleh

nilai X yang sesungguhnya atau berhenti jika toleransi kesalahan tertentu telah di

capai.(Rumita,2009:302).

2. Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, permasalahan yang dibahas yaitu

bagaimana penurunan algoritma metode Jacobi?

bagaimana menganalisis galat secara numerik metode Jacobi?

bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode jacobi pada suatu

kasus?

3. Tujuan

Tujuan makalah ini adalah

menjelaskan tentang penurunan algoritma metode Jacobi

menjelaskan bagaimana menganalisis galat secara numerik metode Jacobi

menjelaskan bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan

metode jacobi

B. PEMBAHASAN

1. Penurunan Algoritma Jacobi

Kita bahas sistem persamaan linear(Anton, 2007:24):

a11x1 + a12x2 +......................+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 +......................+ a2nxn = b2

.......... + .............+....................+........... = .....

an1x1 + an2x2 +......................+ annxn = bn

persamaan ke-i dari persamaan di atas adalah ai1x1 + ai2x2 + aiixi +......................+ ainxn =

bi

dimana i = 1, 2, 3, ..., n.

dapat diekspresikan sebagai

Dengan i = 1,2,3,....................n

Sehingga dapat diperoleh penyelesaian persamaan ke-i

Sehingga algaritma metode jacobi dapat di apresiasikan sebagai(Rumita, 2009:303):

, k=1,2,3..........n

Untuk menyelesikan sistem persamaan linear dengan metode Jacobi diperlukan suatu

nilai pendekatan awal yaitu x0. Nilai x0 biasanya tidak diketahui dan dipilih x0=0.(Luknanto,

2001:50)

2. Analisis Error Pada Metode Jacobi

Menurut May(dalam Nugroho, 2003:3)Untuk menyelesaikan persamaan linear dengan

metode iterasi, koefisien matrik A dipecahkan manjadi dua bagian , N dan P, sedemikian

hingga A=N-1

P.perhatika bahwa :

Sehingga di peroleh:

N = diag(a11,a22,............ann)=

P =

Karena A=N-1

P maka:

A= x

A= x

A=

Dengan demikian, dapat di peroleh

Oleh karena itu, syarat cukup agar motode jocobi konvergen adalah:

Dengan demikian matode jacobi akan konvergen jika koefisien matrik dominan secara

diagonal, Artinya elemen pada diagonal utama merupakan nilai yang paling besar dari

jumlah setiap barisnya(Rumita, 2009:302). Dalam hal ini perlu dicatat bahwa menyusun

ulang persamaan akam membuat koefisien matrik dominan secara diagonal. Mengubah

bentuk persaman linear simultan menjadi bentuk eksplisit dari x1,x2,........xn. sebagai

berikut:

(a11 )x1 + a12x2 +......................+ a1nxn = b1

a21x1 +( a22 )x2 +......................+ a2nxn = b2

.......... + .............+....................+........... = .....

an1x1 + an2x2 +......................+ (ann )xn = bn menjadi :

Iterasi jacoby dapat dihentikan jika toleransi kesalahan tertentu talah tercapai

artinya : absolut nilai yang baru di kurang nilai sebelumnya di

bagi nilai yang baru dan di kali 100% harus kurang dari toleransi kesalahan.

Di mana adalah toleransi kesalahan yang di kehendaki.

3. Penerapan metode jacobi dalam kasus

Di berikan sistem persamaan linear :

-b + 2a = 3 (a)

4b + 2a + y = 11 (b)

2b + a + 4y = 16 (c)

Tentukan nilai a,b, dan y pada persamaan di atas dengan galat <0.01!....

dengan menggunakan metode jacobi, dapat diketahui bahwa sistem persamaan linear di atas

tidak konvergen. Hal ini dikarenakan sistem tersebut tidak dominan secara diagonal, oleh karena

itu untuk memperoleh penyelasaian yang konvergan sistem tersebut perlu diatur kembali agar

persamaan tersebut dominan secara diagonal, menjadi:

4b + 2a + y = 11

-b + 2a = 3

2b + a + 4y = 16

Sehingga menurut algoritma jacobi sistem persaman di atas dapat di bentuk menjadi

dengan mensubtitusikan nilai xo=1 maka di dapat

K B Galat b A Galat a y Galat y

0 1 - 1 - 1 -

Sehingga himpunan penyelasaian persamaan tersebut adalah a=1, b=2, y=3.

Dalam menyeselaikan sistem persamaan linear dengan metode iterasi, perhitungan

manual sangat tidak efisien(Nugroho, 2003:5). Oleh karena itu perlu di buat program-

program diantaranya dengan menggunakan delphi , seperti:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33,c1,c2,c3:real;

galatx3,x3lama,x3baru,x2baru,x1baru,galatx1,galatx2,x1lama,x2lama : real;

i:integer;

begin

a11:=4;a12:=2;a13:=1;c1:=11;

a21:=-1;a22:=2;a23:=0;c2:=3;

a31:=2;a32:=1;a33:=4; c3:=16;

galatx1:=1;galatx2:=1;galatx3:=1;

x3baru:=0;x2baru:=0;x1baru:=0;

x1lama:=1;

x2lama:=1;

x3lama:=1;

i:=1;

while (galatx1>0.01) or (galatx2>0.01) or (galatx3>0.01) do

1 2 50 2 50 3.25 69.2307

2 0.9375 113.333 2.5 20 2.5 30

3 0.875 7.1428 1.9687 26.987 2.90625 13.9784

4 1.0390 15.779 1.9375 1.5587 3.0703 5.343

... .... .... ......

11 1.0001 0.034 1.9999 0.005 3.0001 0.01

12 1.00002 0.008 2.0000 0.005 2.9999 0.006

begin

x1baru:=(c1-(a12*x2lama)-(a13*x3lama))/a11;



galatx1:=abs((x1baru-x1lama)/x1baru)*100;



x1lama:=x1baru;

x2lama:=x2baru;

x3lama:=x3baru;

listbox1.Items.add(inttostr(i));

listbox2.Items.Add(format('%8.5f',[x1baru]));

listbox3.Items.Add(format('%8.5f',[galatx1]));





i:=i+1;

end;

edit1.Text:=format('%8.4f',[x1baru]);



end;

diatas merupakan algoritma untuk metode jacobi dalam aplikasi delphi.

adapun tampilannya adalah sebagai berikut :

C. KESIMPULAN

1. Algoritma metode Jacobi adalah

, k=1,2,3..........n

Dengan niai pendekatan awal x0 biasanya dipilih nol

2. Untuk menganalisis galat metode jakobi kita kita bisa menggunakan

Di mana adalah toleransi kesalahan yang di kehendaki.

artinya : absolut nilai x yang baru di kurang nilai x sebelumnya di bagi nilai x yang baru dan

di kali 100% harus kurang dari toleransi kesalahan.

3. Dari persoalan sistem persaman linear 4b + 2a + y =11, -b + 2a + 3, 2b + a + 4Y = 11,

dengan galat <0,01% penyelesaian dengan menggunakan metode iterasi Jacoby hasil

untuk mendapatkan hasil ,b=1 galat b=0.008%, a= 2 galat a=0.005%, y=3 galat

y=0.006%. memerlukan 12 iterasi.

DAFTAR PUSTAKA

Rumita.2009.matrik persamaan linier dan pemrograman linier. Bandung: Rekayasa Sains

Munir, Renaldi.2008.metode numerik.bandung:informatika

Anton, Howard.2003.dasar-dasar aljabar linear. Tanggerang: Binarup aksara publisher

Luknanto, djoko.2001.metoda numerik. Yokyakarta : UGM

Nugroho, susilo.2003.penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iteras.jurnal

matematika.

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAR TARBIYAH

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) RADEN FATAH PALEMBANG

KARTU BIMBINGAN SEMINAR MATEMATIKA

Nama : Baidilah

Nim : 09221008

Program study : Tadris Matematika

Judul Seminar : penyelesaian sistem persamaan linear dengan Metode iterasi

jacobi

Pembimbing : Hartatiana M.Pd

no Tanggal Saran Paraf

penyelesaian sistem persamaan linear dengan

Documents