universiti putra malaysia penyelesaian … · "penyelesaian persamaan diofantus linear dengan...
TRANSCRIPT
UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOFANTUS LINEAR DENGAN ANGGARAN EKSPLISIT HASIL TAMBAH EKSPONEN
NOR WAHIDA DERAMAN.
IPM 2007 1
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOFANTUS LINEAR DENGAN ANGGARAN EKSPLISIT HASIL TAMBAH EKSPONEN
Oleh
NOR WAHIDA DERAMAN
Tesis Ini Dikemukakan Kepada Sekolah Pengajian Siswazah, Universiti Putra Malaysia, Sebagai Memenuhi Keperluan Untuk Ijazah
Master Sains
Mac 2007
Salam kasih dun sayang buat
Hj. Deraman B. Yusog Hjh. Hamidah Bt. Mamat,
Fadzlirahimi B. Ismail
Dan
Anis Sulwani Bt. Fadzlirahimi
Abstrak tesis yang dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia sebagai memenuhi keperluan untuk ijazah Master Sains
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOFANTUS LINEAR DENGAN ANGGARAN EKSPLISIT HASIL TAMBAH EKSPONEN
Oleh
NOR WAHIDA DERAMAN
Mac 2007
Pengerusi : Profesor Dato' Hj. Kame1 Ariffin bin Mohd Atan, PhD
Institut : Penyelidikan Matematik
Katakan x = ( XI, xz, ... , x,, ) suatu vektor dalam ruang Zfi dengan Z
menandakan gelanggang integer dan katakan q integer positif dan f suatu
polinomial dalam 5 berpekali unsur dalam Z. Hasil tambah eksponen yang
2idfCx) dihubungkan dengan f ditakrifkan sebagai, S(f;q) = z e , dengan x_
mengambil nilai dalam sistem reja terkecil modulo q.
Seperti yang telah ditunjukkan sebelum ini, kebanyakan anggaran adalah
bersandar kepada suatu nilai malar yang dihubungkan dengan polinomial
yang berkaitan secara tersirat. Penyelidikan ini tertumpu kepada mencari
anggaran hasil tambah eksponen, SEq) dengan fO polinomial kuadratik
dua, tiga dan empat pembolehubah berpekali dalam gelanggang integer p-
adic, 2,. Pendekatan yang dilakukan ialah dengan meneliti dan menguji set
penyelesaian Persamaan Diofantus Linear yang dihubungkan dengan
terbitan separa A&). Daripada kajian yang kami lakukan, keputusan yang
diperolehi adalah seperti berikut:
Pertama, katakan,f(~,~)=ax~ + bxy + cy2 + rx + sy + t. Biarkan, CY suatu
integer positif, 0 = - dan ul = min{ordp (4ac-bZ),6) atau ul = l+k dengan 13 1 i min{ord, 2a,ordp b) dan k < minford, b,ordp 2c). Jika N(f(x,y), pe) <
put , maka anggaran hasil tambah eksponen bagi f (x, y) ialah,
p(f; pa 5 P ~ ( a - ~ ) + u ,
Biarkan,
Kedua, katakan, f ( ~ , ~ , z ) = a,x2 + a, y2 + a3z2 + bpy + b2yz + b3xz + c,x +
c2y+c3z+d. (2a1b2-blb3)=a117 (b1b2-2a2b3)=a,27
2 (2a3b1 -b2b,)= a,, , (4a2a3 -b2 )=a,. Katakan, u2 I rnin {ordp 2a3, ord,
b2, ord, b3), u1= min{ordp (alla22-a12a21),8) atau ul = I+k dengan I I
min{ord, a1 1, ord, azl) dan k 2 min{ord, al2, ord, an). Jika N(f(x,y,z), pe )
i pu1+"2, maka anggaran h a d tarnbah eksponen bagi f (x, y, z) ialah, -
;pa] 5 p3b-eh+W.
Ketiga, Katakan, f(x,y,z,t) = a,x + a2y2 + a3z2 + a4t2 + b,xy + b2xz +
b3xt + b4yz + b5yt + b6zt + c,x + c2y + c3z + c4t + e. Biarkan, (2a1b5 - blb3) =CII,
ord, b3, ordp b5, ord, b6f7 u2 I min(ord, c13,0rd, C23, ordp ~33) u~ =
min{ord~ (a,,a2, -a12a2, ), 8 ) atau ul = l+k, dengan 1 I min{ordp all, ord,
a21) dan k I min{ord, al2, ord, an) . Jika NV(X,~,Z,~),~~) 5 put+u2+' , maka
anggaran hasil tarnbah eksponen bagif(x,y,z,t) ialah,
IS(f; pa 1 < p 4 ( a - e h + u 2 + u 3
Abstract of thesis presented to Senate of Universiti Putra Malaysia in fulfilment of the requirement for the degree of Master of Science
SOLUTION OF LINEAR DIOFANTUS EQUATION AND EXPLICIT ESTIMATION OF EXPONENTIAL SUM
NOR WAHIDA DERAMAN
March 2007
Chairman : Professor Dato' Hj. Kame1 Ariffin bin Mohd Atan, PhD
Institute : Mathematical Research
Let x_ = ( XI, XZ, . . . , x,, ) be a vector in a space Z" with Z the ring of integers
and let q be a positive integer and f a polynomial in g with coefficients in Z.
The exponential sum associated with f is defined as, SEq) =
2nif(x)
z e ,where the sum is taken over a set of least residues modulo q.
As has been shown previously, most of these estimates depend on a
constant value that is related to the polynomial implicitly. This research
concentrates on finding estimates to the exponential sum, SEq) where fO-
are two, three and four variables quadratic polynomials with coefficients in
the ring ofp-adic integers, 2,. The approach is by observing and examining
the sets of solutions of Linear Diophantine Equation associated with partial
derivatives of A&). In our work, we found that:
First, let,f(xry)=ax2 + bxy + cy2 + m + sy + t. Let a is the positive integer,
8 = - and ul = min {ord, (4ac-b2),6} or u1 = l+k with, 1 5 min{ord, 20, 13 ord, b} and k 5 min{ord, b, ord, 2c). If N(Ax,y), 5 p Y 1 , then the
estimation of the exponential sum associated with polynomial f(x,y) as
follows:
Second, let, f ( ~ , ~ , z ) = a , x ~ +aZy2 +a3z2 +b,xy+b,yz+b3xz+c,x+c,y+c3z
+d. Let, (2a,b2 - blb3) = a,, , (b,b, - 2a24) = a,, , (2a3b1 - 463) = a,, ,
(4a2a3 - b22)= a22. Let, u2 5 min ford, 2a3, ord, b2, ord, b3), ul= min{ord,
(alla22-a12a21),8) or ul = Z+k with, I I min{ord, all, ord, azl} and k 5
min{ord, 012, ord, an}. If N(&,y,z), pe) 5 pu1'"2, then the estimation of the
exponential sum associated with polynomial fix,y,z) as follows:
p(f ;pa) 5 P 3(a-e)tu1+u2
Third, let, j(x,y,z,t) = a,x + + a3z2 + a4t2 + b,xy + b2xz + b3xt + b,yz
+b5yt + b6zt + c,x + c2y + c,z + c4t + e. Let, (%b5 - 44) = cl17
(b1b5 -2a2b3)= c12 7 @2b5 - 464) = c13 9 @lb6 - b2b5 ) = c21,
vii
(cI2cz3 -c22c13)= ( ~ 2 1 ~ 3 3 -~31 '23 )= a21 , ( ~ 2 2 ~ 3 3 - ~ 3 2 ~ 2 3 ) = a22. Let, u3 ' rnin{ordp2a4, ord, b3, ord, bg, ordp bh}? u2 5 min{ord, c13,0rdp ~23, 0rdp '33)
and ul = min{ord, (a,,a,, - a,,a2, ), 8) or ul = l+k, with 1 5 min{ord, all,
U , + U 2 + U 3
ord, azl } and k 5 min {ord, a u , ord, a22). If NMx, y,z.t), pe) 5 p , then
the estimation of the exponential sum associated with polynomial f(x,y,z,t)
as follows:
... Vlll
PENGHARGAAN
Dengan nama Allah yang Maha Pemurah lagi Maha Mengasihani.
Kesyukuran yang tidak terhingga kehadrat Ilahi kerana dengan limpah
kurnia-Nya dapat saya menyiapkan tesis ini.
Pertama sekali jutaan terima kasih diucapkan kepada Pengerusi
Jawatankuasa Penyeliaan iaitu Prof. Dato' Dr. Hj. Kame1 Ariffin Bin Mohd
Atan di atas segala kesabaran, sokongan, bantuan, dorongan dan bimbingan
beliau dapat saya menyiapkan tesis ini.
Ribuan terima kasih juga diucapkan kepada Prof. Madya Dr. Mohamad
Rushdan Bin Mohd Said dan Prof. Madya Dr. Bekbaev Ural Djumaevich
kerana bantuan dan tunjukajar yang telah mereka berikan sepanjang saya
menyelesaikan tesis ini.
Akhir kata, saya ingin merakamkan penghargaan buat ahli keluarga
terutamanya ibu, ayah, suami dan anak kerana tidak jemu memberi
dorongan dan semangat sehinggalah penulisan ini selesai.
Saya mengesahkan bahawa satu Jawatankuasa Pemeriksa telah berjumpa pada 21 Mac 2007 untuk menjalankan peperiksaan akhir bagi Nor Wahida binti Deraman untuk menilai tesis Master Sains beliau yang bertajuk "Penyelesaian Persamaan Diofantus Linear dengan Anggaran Eksplisit Hasil Tambah Eksponen" mengikut Akta Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah lanjutan) 1980 dan Peraturan Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah lanjutan) 198 1. Jawatankuasa Pemeriksa tersebut telah memperakukan bahawa calon ini layak dianugeri ijazah berkenaan.
Ahli Jawatankuasa Pemeriksa adalah seperti berikut:
Noor Akma Ibrahim, PhD Profesor Madya Institut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Pengerusi)
Mat Rofa Ismail, PhD Profesor Madya Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (Pemeriksa Dalam)
Nik Mohd Airi Nik Long, PhD Pens yarah Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia (Perneriksa Dalam)
Hj. Ismail Abdullah, PhD Profesor Madya Pusat Kemahiran Komunikasi dan Keusahawanan Universiti Malaysia Perlis (Pemeriksa Luar)
Sekolah pengaji% Siswazah Universiti Putra Malaysia
Tarikh: 2 1 JUN 2007
Tesis ini telah dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia dan telah diterima sebagai memenuhi syarat keperluan untuk ijazah Master Sains. Ahli Jawatankuasa Penyeliaan adalah seperti berikut:
Dato' Kame1 Ariffin Mohd Atan, PhD Profesor Institut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Pengerusi)
Mohamad Rushdan Md. Said, PhD Profesor Madya Institut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Ahli)
Bekbaev Ural Djumavich, PhD Profesor Madya Institut Penyelidikan Matematik Universiti Putra Malaysia (Ahli)
AINI IDERIS, PhD Profesor d m Dekan Sekolah Pengajian Siswazah Universiti Putra Malaysia
Tarikh: 17 Julai 2007
PERAKUAN
Saya memperakui bahawa tesis ini adalah hasil kerja saya yang asli melainkan petikan dan sedutan yang tiap-tiap satunya telah dijelaskan sumbernya. Saya juga memperakui bahawa tesis ini tidak pernah dimajukan sebelum ini, dan tidak dimajukan serentak dengan ini, untuk ijazah lain sama ada di Universiti Putra Malaysia atau institusi lain.
Tarikh: 21 Mei 2007
xii
JADUAL KANDUNGAN
DEDIKASI ABSTRAK ABSTRACT PENGHARGAAN PENGESAHAN PERAKUAN SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN
BAB
PENGENALAN 1.1 Ringkasan Penyelidikan 1.2 Sorotan Literatur 1.3 Kepentingan Kajian 1.4 Pennasalahan
Muka Surat
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN LINEAR DENGAN BENTUK NORMAL SMITH 2.1 Pengenalan 2.2 Bentuk Normal Smith 2.3 Kesimpulan
SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN LINEAR DUA PEMBOLEHUBAH 3.1 Pengenalan 3.2 Penentuan Kekardinalan Set Penyelesaian Sepunya Kepada
Persamaan Terbitan Separa bagi Polinomial Kuadratik Dua Pembolehubah,f(x,y).
SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN LINEAR TIGA PEMBOLEHUBAH 4.1 Pengenalan 4.2 Penentuan Kekardinalan Set Penyelesaian Sepunya Kepada
Persamaan Terbitan Separa bagi Polinomial Kuadratik Tiga Pembolehubah, f(x,y,z).
... X l l l
PENGANGGARAN KEKARDINALAN SET PENYELESAIAN SEPUNYA KEPADA SISTEM PERSAMAAN TERBITAN SEPARA BAG1 POLINOMIAL KUADRATIK n-PEMBOLEHUBAH,f(xlq2,. . .& 66 5.1 Penentuan Kekardinalan Set Penyelesaian Sepunya Kepada
Sistem Persamaan Terbitan Separa bagi Polinomial Kuadratik Empat Pembolehubah,f(x,y,z,t) 66
5.2 Penganggaran Kekardinalan Set Penyelesaian Sepunya Kepada Sistem Persamaan Terbitan Separa bagi Polinomial Kuadratik n-Pembolehubah,f(xl ,x2,. . . ,xn)
PENGANGGARAN HASIL TAMBAH EKSPONEN 6.1 Pengenalan 6.2 Hasil Tambah Eksponen
6.3 Pengaggaran /~(f; 1 bagi polinomial kuadratik dua
pernbolehubah, f (x, y)
6.4 Penganggaran IS(^; pa 1 bagi polinomial kuadratik tiga
pembolehubah, f (x, y, z)
6.5 Penganggaran IS(^; pa 1 bagi polinomial kuadratik empat
pembolehubah, f (x, y, z, t )
KESIMPULAN DAN CADANGAN 7.1 Hasil Kajian 7.2 Kesimpulan 7.3 Cadangan
BIBLIOGRAFI APENDIKS BIODATA PELAJAR
xiv
SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN
mod
diag
col
rank
gcd
Nombor Perdana
Gelanggang Integer
Medan Nombor Nisbah
Gelanggang Integer p-adic
Medan Nombor Nisbahp-adic
n-rangkap pembolehubah (xl, x2, . . ., x,), n 2 1
m-rangkap polinomial V;,fi, . . ., fm), m 2 1
Hasil Tambah
Hasil Tarnbah Eksponen
Set (3 mod pa : f = 0 mod pa)
Kekardinalan bagi Set V%pa)
a Membahagi b
Penentu atau bilangan unsur bagi Matriks A
Matriks Transposisi bagi Matriks A
Modulo
Pepenjuru (diagonal)
Lajur (column)
Pangkat
Pembahagi Sepunya Terbesar
Kuasa tertinggi p yang membahagi a.
BAB 1
PENGENALAN
1.1 : Ringkasan Penyelidikan
Penyelidikan kami ditumpukan kepada masalah menentukan kekardinalan
sistem persamaan separa yang dihubungkan dengan A&), polinomial
kuadratik n-pembolehubah, dengan n = 2, 3 dan 4. hi merupakan salah satu
masalah yang telah dikaji oleh pengkaji-pengkaji terdahulu dalam usaha
untuk mencari anggaran terbaik kepada kekardinalan ini, umpamanya
Mohd. Atan (1989). Beliau telah menunjukkan bahawa, bagi sebarang
polinomial kuadratik banyak pembolehubah, &) dengan pekali dalam 2,
nilai IS(^; pa bagi p perdana dan a > 0 bergantung kepada ~ ( f ; pe )
dengan 0 = - . Iaitu, El
dengan ~ ( f ; pe ) rnenandakan kekardinalan bagi vlf; pe). Katakan
0 > 0 danf= Vi,fi, ..., fn), n-rangkap polinomial dalam gelanggang integer
p-adic Z&] dengan x = (xl, xr, ..., x,), kita pertimbangkan set
Kajian yang telah kami jalankan adalah dengan memerhatikan kekardinalan,
~ ( f 20) b agi sistem persamaan separa yang dihubungkan dengan
polinomial kuadratikfi~) dua, tiga dan empat pembolehubah.
Dalam Bab 2, kajian dimulakan dengan menyelesaikan sistem persamaan
terbitan separa fix) dengan menggunakan kaedah penurunan matriks ke
bentuk normal Smith. Penyelesaian diperolehi melalui perisian MAPLE9.
Walaupun kaedah ini lebih mudah dm cepat, namun keputusan yang
diperolehi kurang tepat dan penyelesaian bukan dalam bentuk (xl, xz, ..., x,).
Jadi, kajian diteruskan dengan menggunakan kaedah Cramer seperti yang
diterangkan dalarn Bab 3, Bab 4 dan Bab 5.
Dalam Bab 3, kajian dimulakan dengan polinomial kuadratik dua
pembolehubah,
~ ( x , ~ ) = a r ~ + bxy + cy2 + + sy + t
dengan pekali di dalarn set integer, 2. Kaedah yang digunakan adalah
penyelesaian secara langsung menggunakan Petua Cramer. Seterusnya,
kekardinalan bagi set v C ~ , , f,, ; p a ) dapat ditentukan.
Dari polinomial J(x,y) di atas, didapati h g s i terbitan separanya terhadap x
dan y, yang ditandakan olehf, danf, adalah seperti berikut:
fx (x,y) = 2ax + by + r
Katakan, m integer positif. Dari persamaan (1.2), sistem persamaan
kongruen linear modulo m yang akan diteliti adalah berbentuk:
2ax + b y + r - 0 (modm)
bx + 2cy + s = 0 (modm).
Dalam Bab 4 pula, kajian diteruskan dengan polinomial kuadratik tiga
pembolehubah,
f(x,y,z)=a1x2 + a, y2 + a3z2 + blxy + b2 yz + b3xz + clx + c2 y + c3z + d
dengan pekali dalam set integer, 2. Kaedah yang digunakan adalah sama
seperti dalam bab sebelumnya dan kekardinalan bagi set v(fX, fy , fz ; pa )
dapat ditentukan dengan fungsi terbitan separa f(x,y,z) terhadap x, y dan z
yang ditandakanf, f , danf, adalah seperti berikut:
Dari persamaan (1.2), sistem persamaan kongruen modulo m yang diteliti
adalah berbentuk:
(mod m)
(mod m)
(mod m).
Sementara itu dalam Bab 5 pula, bagi polinomial kuadratik empat
pembolehubah yang dikaji berbentuk,
f(x.y,z,t) = alx2 + aZy2 + a3z2 + a,t2 + blny + b2xz + b3xt + b4yz +
b,yt + b6zt + qx + c2y + c3z + c4t +e.
Dengan polinomial fix,y,z,t) ini, didapati fungsi terbitan separanya adalah
seperti berikut :
Sistem persamaan kongruen linear modulo m yang diteliti adalah terdiri
daripada polinomial separa yang dikaitkan dengan persarnaan f(x,y,z,t),
iaitu berbentuk:
(mod m)
(mod m)
(mod m)
(mod m).
Daripada penyelidikan kami, kekardinalan yang diperolehi dapat
menganggar hasil tarnbah eksponen bagi polinomial-polinomial yang
diperhatikan. Dalarn kes polinomial kuadratik dua pembolehubah, biarkan p
perdana, a > 0 dane = - . Maka, anggaran hasil tambah eksponen bagi [;I p(f ; p a ] 5 P 2(a-e)tu,
dengan ul = min ( 0 4 (4ac-b2)J) atau ul = I+k dengan I i min{ord, Pa,
ord, b) dan k 5 min (0% b, ord, 2c).
Seterusnya, bagi polinomial kuadratik tiga pembolehubah yang dikaji,
katakan p perdana, a! > 0 dan 8 = - . Maka anggaran h a d tarnbah ll eksponen bagi f (x, y, z) ialah,
2 (4a2a3 - b2 )= a,, 242 5 min {ord, 2a3, ord, b2, ord, b3), ul= min{ordp
(al la22-a12a21),t9) atau ul = I+k dengan I 5 min{ord, a1 1, ord, azl) dan k 5
min (ord, al2, ord, ~22). -
Manakala, bagi polinomial kuadratik empat pembolehubah pula, katakan p
perdana, W O dan 8 = - . Maka, anggaran hasil tambah eksponen bagi 1;J f(x,y,z, t) ialah,
('11'23 -'2lcl3)= 9 ('12'23 - '22'13 ) = '12 3 ('21'33 - '31'23 ) = a21 2
( c ~ ~ c ~ ~ - c ~ ~ c ~ ~ ) = a12, 243 S min{ord&r, ord, b3, ord, bs, ord, bd , u2 5
min{ord, c13,0rdp '23, ord, '33) dan UI = min{ord, (alla2, -a12a2,),8) atau
ul=l+k, dengan K min {ord, a , ,ordp dan klmin{ord, a12,0rdp a22).
1.2: Sorotan Literatur
Dalam Teori Nombor Analisis, ramai pengkaji telah memperihalkan
peranan penting hasiltambah eksponen. Diantaranya ialah Davenport
(1 959), Igusa (1 978) dan Schmidt ( 1 982). Hasil tambah eksponen
ditakri fkan sebagai
dengan hasiltambah dinilaikan bagi x dalam set lengkap reja modulo q.
Hardy dan Littlewood (1919), Deligne (1974), Loxton dan Vaughan (1985)
telah mengkaji hasil tarnbah S g q ) dengan f polinomial tak linear dalarn 2.
Hasiltambah S g q ) dalam kes satu pembolehubah telah dikaji oleh Hardy
dan Littlewood (1 9 19) berhubung dengan masalah Waring.
Pada tahun 1940 , Hua telah mendapati bahawa wujud E > 0, sedemikian
hingga
dengan c pemalar yang bersandar kepada m dan E sahaja. Keputusan Hua
telah diperbaiki oleh Jing-Run Chen (1977) ymg menunjukkan bahawa jika
kandungan bagi f -A0) perdana relatif terhadap q, maka
Anggaran Hua telah digunakan oleh Stechkin (1980) bagi menunjukkan
bahawa
untuk suatu pemalar mutlak positif c tertentu, dengan cV) menandakan
kandungan bagi f - AO). Pada tahun 1974 pula, Deligne menunjukkan
bahawa untuk suatu nombor perdanap,
dengan m adalah jumlah darjah bagi suatu polinomial f, apabila bahagian
homogen bagi f berdarjah terbesar adalah tak singular modulo p. Kajian
Deligne ini membuka jalan bagi mendapat anggaran yang lebih tepat bagi
I S g q ) I untuk polinomial am f dalam beberapa pembolehubah.
Seterusnya pada tahun 1962 pula, poligon Newton telah digunakan oleh
Walker dalam pembuktian Teorem Puiseux. Manakala pada tahun 1983,
Sathaye juga telah mempertimbangkan perluasan kaedah Newton-Puiseux
secara umum.
Pada tahun 1977, Koblitz membincangkan kaedah poligon Newton dalam
kes p-adic bagi polinomial dan ski kuasa di dalarn R,[x]. Penganggaran
pensifar bagi polinomial tersebut dihasilkan daripada sifat-sifat poligon
Newton yang berkaitan. Khususnya, jika h kecerunan suatu tembereng pada
poligon Newton bagi suatu polinomial f dengan panjangnya N, maka
terdapat N pensifar bagi f yang peringkat p-adicnya -h.
Untuk setiap nombor perdana p, katakan f = ( fi, fi, . . ., f, ) n-rangkap
polinomial dalam gelanggang p-adic 2, [x] dengan x = ( XI, x2, . . ., x,, ). Kita
pertimbangkan set V( $pa ) = ( g mod pa : f (g) - 0 mod pa) dan tandaan
N( j p a ) adalah kekardinalan bagi V(Lpa ) dengan a > 0 dan g mengambil
nilai bagi set lengkap reja modulo pa.
Pada tahun 1982, Loxton dan Smith telah menyelidiki penggunaan teknik
poligon Newton dan akhirnya menggunakan kaedah tersebut untuk
mendapatkan keputusan mereka, seperti di bawah.
Katakan, K medan nombor aljabar yang diterbitkan daripada punca-punca
ti,, 15 i 5 m bagi polinomial-polinomial f (x) dalam Z[x], Loxton dan Smith
telah menunjukkan bahawa
jika a > 6, dengan m adalah bilangan pensifar berbeza bagi f l x ) dan 6 =
ord, Dm, D(f) menandakan persilangan bagi fungsian utama
diterbitkan daripada f "' ( ~ i ) , i > 1, dengan ei gandaan pensifar ci ei !