a. pengertianbentuk umum persamaan diferensial order satu adalah = (,) a. persamaan linear persamaan...
TRANSCRIPT
A. PENGERTIAN
Persamaan DIFERENSIAL dapat didefinisikan sebagai persamaan yang
memuat satu atau lebih turunan-turunan. Sedangkan yang dimaksud dengan
persamaan sendiri adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda
sama dengan.
B. KLASIFIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pembagian persamaan diferensial ada 2 yaitu persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial sebagian. Pembagian persamaan diferensial ini
berdasarkan bergantung pada satu atau beberapa variabel bebas yang
digunakan dalam persamaan tersebut. Contoh persamaan diferensial biasa:( ) + ( ) + ( ) = ( ), sedangkan contoh persamaan diferensial
sebagian: ( , )+ ( , ) = 0C. SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
Sistem persamaan diferensial merupakan kumpulan dari persamaan
diferensial dan mempunyai suatu solusi dari kumpulan persamaan diferensial
tersebut.
D. ORDER PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. PENGERTIAN
Persamaan DIFERENSIAL dapat didefinisikan sebagai persamaan yang
memuat satu atau lebih turunan-turunan. Sedangkan yang dimaksud dengan
persamaan sendiri adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda
sama dengan.
B. KLASIFIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pembagian persamaan diferensial ada 2 yaitu persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial sebagian. Pembagian persamaan diferensial ini
berdasarkan bergantung pada satu atau beberapa variabel bebas yang
digunakan dalam persamaan tersebut. Contoh persamaan diferensial biasa:( ) + ( ) + ( ) = ( ), sedangkan contoh persamaan diferensial
sebagian: ( , )+ ( , ) = 0C. SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
Sistem persamaan diferensial merupakan kumpulan dari persamaan
diferensial dan mempunyai suatu solusi dari kumpulan persamaan diferensial
tersebut.
D. ORDER PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. PENGERTIAN
Persamaan DIFERENSIAL dapat didefinisikan sebagai persamaan yang
memuat satu atau lebih turunan-turunan. Sedangkan yang dimaksud dengan
persamaan sendiri adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda
sama dengan.
B. KLASIFIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pembagian persamaan diferensial ada 2 yaitu persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial sebagian. Pembagian persamaan diferensial ini
berdasarkan bergantung pada satu atau beberapa variabel bebas yang
digunakan dalam persamaan tersebut. Contoh persamaan diferensial biasa:( ) + ( ) + ( ) = ( ), sedangkan contoh persamaan diferensial
sebagian: ( , )+ ( , ) = 0C. SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
Sistem persamaan diferensial merupakan kumpulan dari persamaan
diferensial dan mempunyai suatu solusi dari kumpulan persamaan diferensial
tersebut.
D. ORDER PERSAMAAN DIFERENSIAL
Order persamaan diferensial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan
yang muncul dalam persamaan. Contoh: carilah order persamaan diferensial
berikut + + 2 = sin ( ), diperoleh order persamaan diferensial
diatas adalah 2.
E. SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Contoh soal:
Buktikan bahwa y1(t)= cos(t), dan y2(t)= sin(t) merupakan solusi dari′′ + = 0.
Penyelesaian:
y1(t)= cos(t)
y1′(t) = − sin(t)y1′′( ) = −cos ( )Jadi diperoleh y1′′( ) + y1 = −cos( ) + cos( ) = 0 (terbukti)
y2(t)=sin(t)
y2′( ) = cos( )y2′′( ) = −sin ( )Jadi diperoleh y2′′( )+ y2 = − sin( ) + sin( ) = 0 (terbukti)
F. PERSAMAAN LINEAR DAN TAK LINEAR
Persamaan diferensial linear adalah persamaan yang berbentuk
Sebagai berikut: ( ) ( ) + ( ) ( ) +⋯+ ( ) = ( ) sedangkan
persamaan yang tidak memenuhi bentuk yang demikian itu dinamakan
persamaan diferensial tidak linear. Contoh persamaan diferensial linear+ 2 = 1 sedangkan contoh persamaan diferensial tidak linear += 0
Bentuk umum persamaan diferensial order satu adalah = ( , )A. PERSAMAAN LINEAR
Persamaan umum + ( ) = ( ).Contoh soal: tentukan solusi umum dari + 3 = +Penyelesaian:
Kita mencari faktor integral terlebih dahulu
Diperoleh faktor integral= ( ) = ∫ = .
Kemudian kita kalikan persamaan dengan faktor integral sehingga kita
peroleh + 3 = +⟺ ( . ) = +⟺ . = ∫ . + ∫⟺ . = + ∫ ( )⟺ . = + . + +⟺ = + + +Jadi solusi umumnya: = + + +Contoh soal: tentukan solusi khhusus dari − = 2 , (0) = 1
Bentuk umum persamaan diferensial order satu adalah = ( , )A. PERSAMAAN LINEAR
Persamaan umum + ( ) = ( ).Contoh soal: tentukan solusi umum dari + 3 = +Penyelesaian:
Kita mencari faktor integral terlebih dahulu
Diperoleh faktor integral= ( ) = ∫ = .
Kemudian kita kalikan persamaan dengan faktor integral sehingga kita
peroleh + 3 = +⟺ ( . ) = +⟺ . = ∫ . + ∫⟺ . = + ∫ ( )⟺ . = + . + +⟺ = + + +Jadi solusi umumnya: = + + +Contoh soal: tentukan solusi khhusus dari − = 2 , (0) = 1
Bentuk umum persamaan diferensial order satu adalah = ( , )A. PERSAMAAN LINEAR
Persamaan umum + ( ) = ( ).Contoh soal: tentukan solusi umum dari + 3 = +Penyelesaian:
Kita mencari faktor integral terlebih dahulu
Diperoleh faktor integral= ( ) = ∫ = .
Kemudian kita kalikan persamaan dengan faktor integral sehingga kita
peroleh + 3 = +⟺ ( . ) = +⟺ . = ∫ . + ∫⟺ . = + ∫ ( )⟺ . = + . + +⟺ = + + +Jadi solusi umumnya: = + + +Contoh soal: tentukan solusi khhusus dari − = 2 , (0) = 1
Penyelesaian:
Kita mencari faktor integral terlebih dahulu
Diperoleh ( ) = ∫ =Kemudian kita kalikan persamaan dengan faktor integral sehingga kita
peroleh + = 2⟺ ( . ) = 2⟺ . = 2∫⟺ . = 2∫ ( )⟺ . = 2 + 2∫⟺ . = 2 + 2 +⟺ = 2 + 2 +Jadi solusi umumnya: ⟺ = 2 + 2 +Substitusikan syarat (0) = 1, sehingga diperoleh:⟺ 1 = 2 +⟺ = −1Jadi solusi khususnya: ⟺ = 2 + 2 −
B. PERSAMAAN TERPISAH
Persamaan umum = ( , )Contoh soal: tentukan solusi umum dari =Penyelesaian:= ⟺ (1 − ) = ⟺ ∫(1 − ) = ∫ ⟺ −= ⟺ 3 − = ⟺ = .Jadi solusi umumnya: = .Contoh soal: tentukan solusi khusus dari = (1 − 2 ) , (0) = −Penyelesaian:
Soa kita ubah ke dalam bentuk = (1 − 2 ) .
Sehingga kita peroleh = (1 − 2 ) ⟺ ∫ = ∫(1 −2 ) ⟺ = − +Setelah itu kita masukkan syarat (0) = −Sehingga kita peroleh = − .
Jadi solusi khususnya: = − −C. PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI
Persamaan umum + ( ) = ( )Contoh soal: tentukan persamaan umum dari − =Penyelesaian:− = dibagi dengan
Jelas diperoleh − = ………………………………(∗)Tulis = ⟺ = −4 ………………………………(∗∗)Substitusikan (∗∗) ke (∗)Jelas diperoleh − − = ⟺ + = 4 ………………(∗∗∗)Setelah ini kita bisa menggunakan cara untuk menyelesaikan persamaan
linear.
Faktor integral: ( ) = ∫ =Kalikan (∗∗∗)dengan faktor integral sehingga diperoleh+ = 4⟺ ( ) = 4⟺ = ∫ 4⟺ = ∫4 ( )⟺ = 4 − 4∫⟺ = 4 − 4 +ℎ ℎ = 4 − 4 +Jadi = 4 − 4 +
Untuk mencari solusi khusus setelah kita peroleh solusi awal kita hanya
langsung memasukkan syarat awal yang sudah tertera disoal.
D. PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK
Persamaan umum ( , ) + ( , ) = 0Sebelum mengerjakan sebuah persamaan diferensial dengan aturan
persamaan diferensial eksak terlebih dahulu harus di cek apakah memang
persamaan diferensial tersebut perlu diselesaiakan dengan persamaan eksak.
Contoh soal:
tentukan solusi umum dari (3 + 2 + ) + ( + ) = 0Penyelesaian:
Dipunyai ( , ) = (3 + 2 + ) ⟺ = 3 + 2 + 3 dan( , ) = ( + ) ⟺ = 2Karena ≠ maka persamaan ini tidak eksak dan kalau akan
menyelesaikan dengan eksak maka harus dibentuk menjadi persaman eksak.
Contoh soal: tentukan solusi umum dari persamaan berikut ini(2 + 4 ) + (2 − 2 ) = 0Penyelesaian:
Jelas ( , ) = (2 + 4 ) ⟺ = 4 ( , ) = (2 − 2 ) ⟺ = 2Karena ≠ sehingga persamaan ini tidak eksak dan agar bisa
diselesaikan dengan PD eksak maka harus dikalikan dengan ( )=⟺ = ( )⟺ ln = ( )⟺ ln = ( ) ( − )⟺ ln = ( − )⟺ ( ) = ( − )Kalikan persamaan awal dengan ( ) = ( − ) sehingga diperoleh( − ) (2 + 4 ) + ( − )(2 − 2 ) = 0
⟺ (2 − 4 ) + (2 + 2 ) = 0………………………… (∗)(∗)diperoleh ( , ) = (2 − 4 ) ⟺ =E. PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN
Persamaan umum = ( , ) =