parÇacik kİnematİĞİ-i

PARÇACIK KİNEMATİĞİ-I

Yrd. Doç. Dr. Nilgün DEMİR

Uludağ Üniversitesi Fen- Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü

[email protected]

NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi

Yüklü Parçacıkların Madde ile Etkileşmeleri

•Soft Çarpışmalar (b>>a)(İyonizasyon ya da eksidasyon)

•Sert Çarpışmalar (b~a) (Atomik elektronlarla etkileşmeler)

•Çekirdek alanı ile Coulomb etkileşmeleri (b<<a)(Rutherford saçılması ya da Bremsstrahlung)

•Ağır yüklü parçacıkların çekirdek etkileşmeleri

Parçacık demeti


a: klasik atom yarı çapı

b: etki parametresi

Elektromanyetik Etkileşmeler

Parçacıkların detekte edilebilmesi ve özelliklerinin incelenebilmesiiçin madde ile etkileşmeleri gerekir.En önemli etkileşme süreci EM (elektromanyetik) etkileşmelerdir.

Yüklü Parçacıklar: İyonizasyon sebebi ile sürekli enerji kaybı

Ağır yüklü parçacıklar (müon, pion, proton, alfa v.b.) Bethe-BlochHafif yüklü parçacıklar (Elektron ve pozitron)

elektron ve pozitronlar: Işıma ile enerji kaybı (Bremsstrahlung)Çekirdek alanından elastik saçılmalarAtomik elektronlar ile etkileşmeler (Bhabha, Mller)

Fotonlar:Foto-elektrik etki Compton SaçılmasıÇift Oluşumu



Ağır Yüklü Parçacıklar

M, ze, v

be-

Ağır yüklü parçacığın ortalama enerji kaybını basitçe modelleyelim;Serbest atomik elektronun, kütlesi=m, yükü= e, hızı=v ise (elektronu çarpışma sırasında durgun) Çarpışma sonunda elektronun kazandığı enerji, ağır yüklü parçacığın momentum impulsı ile hesaplanabilir;

dxEvedxdxdtEedtEeFdtIp )/()/(

Elektron tarafından kazanılan enerji; 2220

2

42

2220

2

422 1

)4(

2

422)(

bcm

ez

vbm

ez

m

pbE

eee

Eğer elektronların yoğunluğu Ne ise dx kalınlığında b ile b+db arasındaki mesafede bulunan elektronlara

kaybedilen enerjiyi hesaplarsak

b

db

cm

dxNez

m

dbdxbNpdVNbEbdE

e

e

e

ee 22

02

422

)4(

4

2

)2()()(

Gauss yasasından;

bv

zeIbzedxE

zedxbEAdE

0

2

00 2

2/)2(

Buradan birim uzunluk başına kaybedilen toplam enerji;

min

max222

0

42

2220

42

ln)4(

4

)4(

4/

b

b

cm

Nez

b

db

cm

NezdxdE

e

e

e

e

Durdurma Gücü

20

2

4 cm

er

ee Elektronun yarıçapı cv

A

NZN A

e Elektronun yoğunluğu

min

max2

222

2220

42

ln4

)4(

4/

b

b

A

ZzrcmN

b

db

cm

NezdxdE eeA

e

e

bmin; kafa kafaya çarpışma ele alınarak hesaplanabilir.

bmax ; Elektronların serbest değil kendi orbitallerinde dönmeleri hesaba katılarak ele alınmalıdır.


Ağır Yüklü Parçacıklar

Enerji Kaybı için Bethe-Bloch Formülü

Ağır yüklü parçacıklar için iyonizasyon ve eksidasyonile ortalama enerji kaybı, 1930’ larda kuantum mekaniksel olarak (spin 0) Bethe ve Bloch tarafından hesaplanmıştır.Enerji değeri <100’s GeV and b >>za (»z/137)

22

max22

2

222 2)

2ln(2

I

Wvmz

A

ZcmrN

dx

dE eeea

=0.1535MeV-cm2/g

ağır= mincident>>me

proton, k, ,

Gelen parçacık,z=gelen parçacığın yükü =v/c (gelen parçacık için)=(1-b2)-1/2

Wmax= bir çarpışmada transfer edilecek max.enerji

Temel Sabitler; re=elektronun klasik yarı çapıme=elektronun kütlesiNa=Avogadro sayısıc= ışık hızı

Absorplayıcı Ortam I=Ortalama iyonizasyon potansiyeliZ= Atom numarasıA=Atom ağırlığı= yoğunluk= Yoğunluk düzeltmesiC= Kabuk düzeltmesi

min

max2

222

ln4

/b

bNcmrzdxdE eee

Klasik dE/dx formülü


Düzeltilmiş Bethe-Bloch Formülü

C kabuk düzeltmesi, burada gelen parçacığın hızı bağlı elektronun orbital hızı ile kıyaslanabilir büyüklükte ya da daha küçüktür. ((b»z )

ortamdaki elektronun yük yoğunluğunun gelen parçacığın enine elektrik alanını üzerindeki etkisi 2ln+, (ortam için sabit)

Z

C

I

Wvmz

A

ZcmrN

dx

dE eeea

c

22)2

ln(2 22

max22

2

222

Elektron ve Pozitron için Enerji Kaybı

ÇarRadToplam dx

dE

dx

dE

dx

dE

Elektron ve pozitronların madde içindeki enerji kayıpları, ışıma ve çarpışma ile olmak üzere iki kısımda incelenir:

21200 cm

EZ

dx

dE

dx

dE

e

Çar

Rad

Yüksek enerjili elektronlar için radyasyon ile enerji kaybının çarpışma ile enerji kaybına oranı;

Elektronun madde içerisindeki Enerji kaybı



Elektron ve pozitronun iyonizasyon ve eksidasyon sebebiyle enerji kaybı hesabı biraz daha karmaşıktır:

spin ½ kütle daha küçükelektron için her iki parçacık aynı

Ağır parçacıkların enerji kaybına benzer formda;

Elektron ve Pozitron için Çarpışma ile Enerji Kaybı

Z

CF

cmIA

ZcmrN

dx

dE

eeea

c

2)())/(2

)2(ln(

12

22

2

222

burada , mec2 biriminde gelen parçacığın kinetik enerjisidir.

2

2

22

22 2ln)12(1

8

11

)1(

2ln)12(8/1)(

eF

32

2

32

2

)1(

4

)1(

10

)1(

1423

122ln2

)2(

4

)2(

10

)2(

1423

122ln2)(

eF

Çok yüksek enerjilerde F() terimi sabittir.


Enerji Kaybı Dağılımları

YükY

Yüklü parçacıkların madde içinde kaybettikleri enerjinin büyük bir kısmı ortalama enerji kaybından büyük ölçüde ayrılır. Özellikle ince absorplayıcılar (gazlar v.b.) için enerji kaybı dağılımı oldukça asimetriktir. Bu dağılım Landau Dağılımı ile parametrize edilir.

Enerji kaybı

P(E)dE

Landau kuyruğu

En muhtemel enerji kaybı

Ortalama enerji kaybı

Landau Fonksiyonu

/)EE(

e2

1)(f

mp

e2

1

xA

ZzcmrN eeA 2222

:yoğunluk (g/cm3), x:absorplayıcının kalınlığı (cm)

2222 cmxdx

dEe

Çok kalın materyaller içinEnerji kaybı dağılımı Gaussien dağılıma yaklaşır.


Işıma ile Enerji Kaybı (Bremsstrahlung) (b<<a)

Yüksek enerjili elektronlar ya da pozitronlar maddenin çekirdek alanındangeçerken Bremsstrahlung ışıması yaparak enerji kaybederler. Enerji kaybı için en baskın mekanizmadır.

3/12

2 183ln4

ZEr

A

ZN

dx

dEeA

Yarı-klasik bir hesaplama, relativistik parçacıklar için tesir kesidi

Elektronlar için tesir kesidi,

0X

E

dx

dE

rad

0/

0XxeEE

3/122

0 183ln4

ZrZN

AX

eA radyasyon uzunluğu (g/cm2)Elektronun enerjisinin 1/e

kadar azaldığı mesafe


Kritik Enerji (EC)

Elektronlar için yaklaşık olarak;

Müonlar için


Çeşitli absorplayıcı ortamlar için radyasyon uzunluğu (g/cm2)

Bazı materyallerin kritik enerjileri

Pb gibi ağır metallerde (e-+ 10-20 MeV üzerindeki enerjilerde)

Bremsstrahlung daha baskın


Elektron ve Pozitronların Atomik Elektronlarla Etkileşmeleri (b~a)

Bhabha saçılması

Messel ve Crawford Bhabha diferansiyel saçılma tesir kesidi:

)(112)(

342122

200 BBBB

E

mrnX

dE

Ed

p

eBhab

E0 : Gelen pozitronun enerjisi (MeV)Ep : Gelen pozitronun kinetik enerjisi (MeV): Gelen pozitronun ışık hızı cinsinden hızımikincil elektronun enerjisi (MeV)m)/ Ep

2

y=1/(1+)B1= 2-y2

B2= (1*2y)(3+y2)B3= B4+(1-2y)2

B4=(1-2y)3


Mller saçılması

Messel ve Crawford Mller diferansiyel saçılma tesir kesidi:

2''2122

200 11112)(

CCCE

mrnX

dE

Ed

e

elM

E0 : gelen elektronun enerjisi (MeV)Ee: gelen elektronun kinetik enerjisi (MeV)E: saçılan elektronun enerjisi (MeV)saçılan elektronun kinetik enerji kesri (T/T0)T: saçılan elektronun kinetik enerjisi’: 1-mC1= [(-1)/]2

C2= (2-1)/2


Pozitron Yok Olması:

Çeşitli etkileşmelerle yavaşlayıp durgun hale gelen Pozitron çevredeki bir elektron ile birleşerek yok olur.


Foton Etkileşmeleri

Fotoelektrik Etki (E birkaç MeV):Compton SaçılmasıÇift Oluşumu (E > birkaç MeV)

Şekilde, C ve Pb için toplam foton etkileşme tesir kesidinin enerjiye bağlı Değişimi gösterilmektedir.

pe), foto elektrik etki(rayleigh), rayleigh saçılması (atom tarafından saçılır,Enerjisi değişmez.)compton), compton saçılması(çekirdek alanında çift oluşumu(nuc), elektron alanında çift oluşumu(foto nükleer etkileşmelerBaşlangıç yoğunluğu N0 olan bir demeti, bir ortamıgeçtikten sonra yoğunluğundaki zayıflama;

dN=-Ndx ya da N(x)=N0e-x

lineer zayıflama katsayısı


Fotoelektrik Etki

Gelen foton (E = hatom tarafından absorplanır ve bir elektron (Ee) fırlatılır.

Ee= E - Eb

Eb: bağlanma enerjisi Fotoelektrik tesir kesitindeki süreksizlik, atomik elektronların farklı bağlanma enerjileri sebebiyledir.(K,L, v.b.)Fotoelektrik etki düşük enerjilerde baskındır ( < MeV) düşük enerjili elektron verir.Tesir kesidi, E -7/2 şeklinde düşer, Z4 ya da Z5 şeklinde artar (Ebirkaç MeV

Einstein, 1921 yılında fotoelektrik etkiyi açıklamak üzere yaptığı çalışma ile Nobel ödülü almıştır. Yayınlanan elektronun enerjisinin ’ nın enerjisine bağlı olduğunu yoğunluğundan bağımsız olduğunu göstermiştir.

2

2

7

5

cmEhv

Ze

2

5

cmEhv

Ze

Fotoelektrik olay, X-ışını enerji aralığında (keV) büyük tesir kesitine sahiptir. Bu tesir kesiti yaklaşık olarak aşağıdaki şekilde tanımlanır;


Compton Saçılması

Gerçek ’ nın bir atomik elektron ile esnek saçılması.

)cos1(1

)cos1(

hvvhhvK e

2/)cos1(1

cmhvhv

vh e

)())((

1cos ''

2

hhhh

cme

Enerji ve momentum korunumundan,

Compton saçılma tesir kesidi ilk kez 1929’ da QED Kullanılarak hesaplanmıştır.Klein-Nishina tesir kesidi Olarak bilinir:

)sin()(2

))cos1(1

)cos1(cos1(

]cos1(1[22

,

,

,

,2

,

,222

22

2

out

in

in

out

in

outee

E

E

E

E

E

Err

d

d

Yüksek enerjilerde (>>1) hemen hemen =0

Düşük enerjilerde ( )cos1(2

22

er

d

d


Çift Oluşumu

+ çekirdek e-e+ + çekirdek

Çekirdek alanındaki çift üretimi için eşik enerjisi 2mec2, elektron alanında 4mec2

İlk hesaplama Born yaklaşımı kullanılarak Bethe-Heitler tarafından 1934’ te yapılmıştır.

(E>>137mec2Z-1/3) çift üretimi tesir kesti hemen hemen sabit. Yüksek enerjilerde

pair = 4Z2re2 [7/9{ln(183Z-1/3) -f(Z)} -1/54]

pair = (7/9) brem

pair=(9/7) X0 Çift oluşumu için ortalama serbest yol


Çoklu Saçılmalar (Moliere Teorisi)

Parçacıklar madde içinden geçerken sadece enerji kaybetmez!!!Yolları boyunca çok küçük açılarla da saçılırlar.Bu saçılmalar atomun Coulomb alanı sebebiyledir ve elastik olarak ele alınır.Parçacığın enerjisi her bir saçılmada sabittir, sadece doğrultusu değişir.

Çoklu saçılma modelinde geniş açı saçılmaları ihmal edilir. Saçılma açısınınDağılımı hemen hemen Gaussien formundadır

]2

exp[2

1)(20

2

0

plane

plane

plane

d

dP

})/ln{038.01(/MeV6.13

000 XxXxzpc

c: hızp: momentumz: yüklü parçacığın yüküx/X0 : ortamın kalınlığı

0 : Moliere dağılımına fitten elde edilen değer.


Elektromanyetik Sağanak Gelişimi

• Elektromanyetik etkileşmelerin enerji kayıplarına katkısı, absorplayıcının cinsine ve parçacığın enerjisine bağlıdır.

• Yüksek enerjilerde

--- elektronlar baskın olarak Bremsstrahlung yolu ile enerjilerini kaybeder.

--- fotonlar da çift üretimi ile

• Bremsstrahlung süreci ile oluşan foton, elektron- pozitron çifti üretir, oluşan elektron ya da pozitron tekrar yeni bremsstrahlung fotonu üretir. Bu süreç Elektronun (ya da pozitron) enerjisi E>Ec olduğu sürece devam eder.

• E<Ec olduğunda iyonizasyon ve eksidasyon ile enerji kayıpları baskın olur.


Rossi Heitler Basit Sağanak (Shower) Modeli:

Bremsstrahlung’ tan oluşan fotonlar ve çift üretiminden meydana gelen elektron ve pozitronlar, E gelen parçacığın enerjisi olmak üzere,

açısı ile saçılırlar.

Bazı yaklaşımlar:

Elektronlar ve pozitronlar özdeş davranır.E>Ec için iyonizasyon ve eksidasyon enerji kaybı ihmal edilir.E>Ec enerjili her bir elektron ortamda 1X0 uzunluğunu geçtikten sonra enerjisinin yarısını Bremsstrahlung fotona verir.Sağanak gelişimi E=Ec de sona erer.E<Ec enerjili elektronlar ışıma yapamazlar, kalan enerjilerini çarpışmalarla tüketirler.

0Xpair


Radyasyon uzunluğu (X0)

E0>>Ec enerjili elektron ile başlar

1X0 1e- ve 1 (her biri E0/2 enerjili)

2X0 2e-, 1e+ ve 2 ( her biri E0/4 enerjili)..tX0

Parçacık sayısı t ileüstel olarak artar

e-,,e+, sayıları eşit

Sağanak;

Sağanak parçacıklarının herhangi bir E’ enerjisinesahip olduğu derinlik

Sağanakta enerjisi E’ denBüyük olan parçacık sayısı

E=Ec de max. parçacık sayısı


• Bir sağanağın boyuna gelişmesi, X0 uzunluğu ile temsil edilir.

• Elektronların çoklu Coulomb saçılmaları ile sağanakta yanlara doğru yayılmalar meydana gelir

Sağanak maksimuma ulaştığında sağanağın ortalam %90’ ıyarıçapı < 1X0 olan bir silindir içinde kalır.

Yanlara doğru genişleme Moliere yarıçapı (m) ile temsil edilir.

Sağanağın Enine ve Boyuna gelişim

parÇacik kİnematİĞİ-i

Documents