AKIŞKAN KİNEMATİĞİAKIŞKAN KİNEMATİĞİAkışkan kinematiği, harekete neden olan kuvvet ve momentleri dikkate almaksızın akışkan hareketinin tanımlanmasını konu alır. Bu bölümde aşağıdaki kavramlar üzerinde duracağız:

• Lagrange akış tanımlaması

• Euler akış tanımlaması

• Akım çizgileri, çıkış çizgileri, yörünge çizgileri, zaman çizgileri

• Maddesel türev

• Akışkan elemanların şekil değiştirme biçimleri

• Sistem ve kontrol hacmi

• Reynolds Transport Teoremi

Lagrange ve Euler TanımlamalarıLagrange ve Euler TanımlamalarıAkışkan kinematiği,akışkanların nasıl aktığının ve akışkan hareketinin nasıl tanımlanacağının incelenmesini konu alır.

•Parçacık dinamiğinin akışkan akışına uygulanmasında Lagrange tanımlaması denir ve her bir parçacığın hızının ve konumunun izlenmesini gerektirir. Bu yaklaşım Termodinamikten bilinen sistem yaklaşımına benzerdir.

•Akışkan akımının EULER tanımlamasında, akışkanın içerisinden girip çıktığı akış bölgesi veya kontrol hacmi adı verilen sonlu bir hacim tanımlanır. Böylece, sabit kütleli akışkan parçacıklarının konum ve hızlarının izlerinin sürülmesine gerek kalmaz. Bunun yerine kontrol hacmi içerisinde konumun ve zamanın fonksiyonu olan alan değişkenleri tanımlanır.

tzyxPP ,,,

tzyxVV ,,,

tzyxaa ,,,

ktzyxwjtzyxvitzyxuwvuV

,,,,,,,,,,,

Hız alanı:EULER yönteminde her nokta konum ve zamana bağlı olarak ifade edilir.

ÖRNEK 4-1: Durma NoktasıDaimi, sıkıştırılamaz, iki-boyutlu bir hız alanı, ( , ) (0.5 0.8 ) (1.5 0.8 )V u v x i y j

= = + + -

olarak verilmektedir. Bu akış alanındaki durma noktasını tespit ederek (x, y) = (2, 3) noktasındaki hız vektörünü çiziniz.

ÇÖZÜM:

Durma noktasında her iki hız bileşeni de (u ve v) sıfır olmalıdır.

0.5 0.8 0 0.625m

1.5 0.8 0 1.875m

u x x

v y y

= + = ® =-

= - = ® =+

Buna göre (x, y) = (-0.625, 1.875) noktası bir durma noktasıdır.

Verilen noktada hız bileşenleri hesaplanırsa, u = 2.10 m/s ve v = -0.900 m/s elde edilir.

u = 2.10 m/s

u = -0.900 m/s

Bileşke hız vektörü

İVME ALANINewton’un hareket yasasını bir akışkan parçacığına uygulayabiliriz. Bu durumda parçacığın ivmesi,

parçacıkparçacık

dVa

dt=

Öte yandan;

parçacık parçacık parçacık parçacık parçacık( ) ( ( ), ( ), ( ), )V t V x t y t z t t=

( )parçacık parçacık parçacıkparçacıkparçacık

parçacık parçacık parçacık

parçacık parçacık parçacık

, , ,dV x y z tdV dVa

dt dt dtdx dy dzV dt V V V

t dt x dt y dt z dt

= = =

¶ ¶ ¶ ¶= + + +

¶ ¶ ¶ ¶

Buradan,

Ancak,

parçacıkdx dt u= parçacıkdy dt v= parçacıkdz dt w=

ve Lagrange tanımlamasında parçacığın konum vektörü Euler tanımlamasında (x, y, z) konum vektörüne eşit olacağından,

( )parçacık , , ,dV V V V V

a x y z t u v wdt t x y z

¶ ¶ ¶ ¶= = + + +

¶ ¶ ¶ ¶

Akışkan parçacığı akış alanıyla hareket ettiğinden, parçacığın ivmesi, o konumdaki akış alanının ivmesine eşit olmak durumundadır. Buna göre,

( ) ( ), , ,dV V

a x y z t V Vdt t

¶

= = + ×Ѷ

İVME ALANI:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , , i j k

x y z x y z

GRADYEN Operatörü:

Yerel ivmeAdvektif (taşımsal) ivme

İvme alanının bileşenleri (Kartezyen koordinatlar):

x

y

z

u u u u ua u v w V u

t x y z t

v v v v va u v w V v

t x y z t

w w w w wa u v w V w

t x y z t

x y za a i a j a k

= + +

Advektif İvme = hızın konumsal değişiminden kaynaklanan ivmedir.

Akış daimi olmasına rağmen lüle içerisindeki hız akış yönünde artar.

ÖRNEK 4-2:

Büşra Şekil 4-8’de gösterilene benzer bir fıskiye kullanarak arabasını yıkamaktadır. Fıskiyenin giriş çapı 10 mm, çıkış çapı 5 mm ve uzunluğu 100 mm’dir (Şekil 49’a bakınız). Bahçe hortumu (ve fıskiye) içerisinden geçen suyun hacimsel debisi 3.2 L/dakika olup akış daimidir. Fıskiyenin eksen çizgisi boyunca hareket eden akışkan parçacığının ivmesini hesaplayınız.

ÇÖZÜM 4-2:

Akış daimi olduğundan ivmenin sıfır olacağı düşünülebilir. Ancak, bu daimi akış alanı için yerel ivme

sıfır olmasına rağmen, advektif ivme, sıfır değildir. 3

giriş 2 3 2giriş giriş

1 m 1 dakika4(3.2 L/dakika)( )( )

4 1000 L 60 s0.68m s

(10 10 m)u

A D

p p -@ = = =

´

V V

çıkış 2.72 m/su =2 2

çıkış giriş çıkış giriş çıkış giriş

ort çıkış giriş2 ( ) 2x

u u u u u uua

t x u x u u x

- - -D@ = = =

D D D + DYöntem A

xu

at

¶=

¶Daimi

u uu v

x y

¶ ¶+ +

¶ ¶ = 0

eksen çizgisi boyunca

v

uw

z

¶+

¶ = 0

eksen çizgisi boyun

or

c

t

a

2çıkış giriş çıkış giriş

w

u u u uuu

x x

+ -D@ =

D DYöntem B

Buna göre her iki yöntem de aynı sonucu vermektedir. Değerler yerine yazılırsa,

2 2 2 2çıkış giriş 2(2.72 m/s) (0.68 m/s)

34.7 m/s2 2(0.1)x

u ua

x

- -@ = =

D

MADDESEL TÜREV, D/Dt

( )DV

Dt t

¶= + ×Ñ

¶olarak tanımlanır ve hem yerel hem de advektif etkiyi dikkate alır.

Maddesel ivme ve bileşenleri:

( ) ( )

( )

( )

( )

, , ,

x

y

z

DV dV Va x y z t V V

Dt dt tu

a V utv

a V vtu

a V wt

¶= = = + ×Ñ

¶¶

= + ×Ѷ¶

= + ×Ѷ¶

= + ×Ѷ

ÖRNEK 4-3Örnek 4-1’deki daimi, sıkıştırılamaz, iki-boyutlu hız alanını ele alınız. (a) (x = 2 m, y = 3 m) noktasındaki maddesel ivmeyi hesaplayınız.

( , ) (0.5 0.8 ) (1.5 0.8 )V u v x i y j

= = + + -

ÇÖZÜM:

20 (0.5 0.8 )(0.8) (15 0.8 )(0) 0 (0.4 0.64 ) m s

xu u u u

a u v wt x y z

x y x

¶ ¶ ¶ ¶= + + +

¶ ¶ ¶ ¶

= + + + - + = +

20 (0.5 0.8 )(0) (15 0.8 )(0.8) 0 ( 1.2 0.64 ) m s

yv v v v

a u v wt x y z

x y y

¶ ¶ ¶ ¶= + + +

¶ ¶ ¶ ¶

= + + + - + = - +

(x = 2 m, y = 3 m) noktasında ax = 1.68 m/s2 ve ay = 0.720 m/s2 olur.

Örnek 4-1 ve Örnek 4-3’teki hız alanına ait ivme vektörleri. Ölçek üstteki ok ile gösterilmiştir . Siyah eğriler ise, hesaplanan hız vektörlerine göre çizilmiş bazı akım çizgilerinin yaklaşık şekillerini temsil etmektedir (Şekil 4-4’e bakınız). Durma noktası kırmızı daire ile gösterilmiştir.

AKIŞIN GÖRSELLEŞTİRİLMESİ

Akım Çizgisi: her yerde anlık hız vektörüne teğet olan eğridir.

Dönen beysbol topu. F. N. M. Brown son yıllarının çoğunu Notre Dame Üniversitesi’ndeki rüzgar tünellerinde duman görüntülemesi oluşturmaya ve bunu kullanmaya adamış biridir. Burada akış hızı 23.47 m/s ve top 630 devir/dakika ile dönmektedir

w

dz

v

dy

u

dx

V

dr

xy-düzlemindeki bir akış için:

bir akım çizgisi boyunca

dy v

dx u

æ ö÷ç =÷ç ÷çè ø

ÖRNEK 4-3 xy-düzleminde Akım Çizgileri—Analitik Çözüm

Denklem 4-1’deki daimi, sıkıştırılamaz, iki-boyutlu hız alanı için, akışın üst yarısının sağ tarafında (x > 0) birkaç akım çizgisi çiziniz ve Şekil 4-4’te çizilen hız vektörleri ile karşılaştırınız.

( , ) (0.5 0.8 ) (1.5 0.8 )V u v x i y j

= = + + -

1.5 0.8

0.5 0.8

dy v y

dx u x

-= =

+

1.5 0.8 0.5 0.8

dy dx

y x=

- +ò ò

1.8750.8(0.5 0.8 )

Cy

x= +

+Örnek 4-4’teki hız alanına ait akım çizgileri (siyah eğriler); karşılaştırma için Şekil 4-4’teki hız vektörleri de (kırmızı oklar) akım çizgilerinin üzerine eklenmiştir.

Yörünge Çizgisi (Pathlines)

• Yörünge çizgisi tek bir akışkan parçacığının belirli bir süre boyunca kat ettiği gerçek yoldur.

• Yörünge çizgisi bir akışkan parçacığının izlediği gerçek yörünge izlenerek oluşturulur.

başlangıç

başlangıç

0 0 0

0 0 0

, ,

t

t

t t t

x x V dt

x x udt y y vdt z z wdt

= +

= + = + = +

ò

ò ò ò

ÖRNEK: Aşağıdaki hız alanına ait yörünge çizgilerini ve t = 6 s’de parçacığın konumunu belirleyiniz. Parçacık başlangıçta (2, 8) noktasında bulunmaktadır.

0.3 0.3u v

V x i y j

= -

0

0

( )0.3

0

0

( )0.3

0

0

0.3 0.3 ( )

0.3 0.3 ( )

x t tt

x

y t tt

y

dx dxu x dt x t x e

dt x

dy dyv y dt y t y e

dt y-

= = ® = ® =

= =- ® =- ® =

ò ò

ò ò

0.3 6

0.3 6

( 6) 2 12.1 m

( 6) 8 1.32 m

x t e

y t e

´

- ´

= = =

= = =

t = 6 s’de parçacığın konumu:

t = 6 s’de parçacığın hız vektörü:

0.3( ) 0.3(12.1 1.32 ) 3.63 0.396V xi yj i j i j

= - = - = -

0.30

0.30

( )

( )

t

t

x t x e

y t y e-

=

=

Parçacığın yörünge çizgisinin denklemi:

Denklemlerinden t’yi yok etmek üzere bunları birbirleriyle çarparsak,

0.3 0.3 20 0 0 0 2 8 16 mt txy x y e xy x y-= Þ = = ´ =

AKIŞKAN ELEMANLARININ ŞEKİL DEĞİŞTİRME BİÇİMLERİ

a – Ötelenme

b – Dönme

c – Doğrusal şekil değiştirme

d – Kayma şekil değiştirmesi

Akışkan elemanları sürekli hareket halinde olduklarından, akışkanlar dinamiğinde akışkan elemanlarının hareketlerinin veya şekil değiştirmelerinin birim zamana göre tarif edilmesi daha uygundur.

• Birim zamandaki ötelenme: HIZ V ui vj wk

= + +

• Birim zamandaki dönme: AÇISAL HIZ

1 1 1

2 2 2

w v u w v ui j k

y z z x x y

w

æ ö æ öæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷= - + - + -÷ç çç÷ ÷÷ç çç÷ ÷ç çè ø¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è øDönme vektörü

xx yy zzu v w

x y ze e e

¶ ¶ ¶= = =

¶ ¶ ¶

• Doğrusal şekil değiştirme hızı: UZAMA HIZI

• Kayma şekil değiştirmesi hızı:

1 1 1

2 2 2xy zx yzu v w v v w

y x x z z ye e e

æ ö æ öæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷= + = + = +÷ç çç÷ ÷÷ç çç÷ ÷ç çè ø¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø

Kartezyen koordinatlarda ŞEKİL DEĞİŞTİRME HIZI tensörü

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

xx xy xz

ij xy yy yz

zx zy zz

u u v u w

x y x z x

v u v v w

x y y z y

w u w v w

x z y z

e e e

e e e e

e e e

æ ö æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶÷ç ÷ç÷+ + ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ç è ø¶ ¶ ¶ ¶ ¶è øæ ö÷ç ÷ç æ ö æ ö÷ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ç ÷ ÷ ÷ç çç ÷ ÷ ÷= = + +ç çç ÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø÷ç ÷ç ÷çè ø æ öæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶÷ç÷ç ÷+ +÷ çç ÷÷ çç ÷çè ø¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø z

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

Ötelenme, dönme, doğrusal şekil değiştirme, kayma şekil değiştirmesi ve hacimsel şekil değiştirmeyi gösteren bir akışkan elemanı.

Eğer akışkan sıkıştırılabilir ise, aynı zamanda hacimsel şekil değiştirme hızı da tanımlanabilir. HACİMSEL ŞEKİL DEĞİŞTİRME HIZI, doğrusal şekil değiştirme hızlarının toplamından oluşur:

1 1xx yy zz

D d u v w

Dt dt x y ze e e

¶ ¶ ¶= = + + = + +

¶ ¶ ¶V V

V VHacimsel şekil değiştirme hızı

ÖĞRENCİLER DİKKAT!..

ÖRNEK 4-6 İNCELENECEK

ÇEVRİNTİ VE DÖNÜMLÜLÜK

( )curlV V z =Ñ´ =

( )1 1curl

2 2 2V V

zw= Ñ´ = =

Çevrinti vektörü

Dönme vektörü

i j k

x y z

u v w

¶ ¶ ¶=

¶ ¶ ¶

Akış alanındaki bir noktada çevrinti sıfır değilse, uzayda o noktayı işgal eden akışkan parçacığı dönmektedir ve bu bölgedeki akış dönümlü olarak adlandırılır. Aynı şekilde, akış alanının bir bölgesinde çevrinti sıfır ise (veya yok denecek kadar küçük ise), bu bölgedeki akışkan parçacıkları dönmez ve akış dönümsüz olarak adlandırılır.

w v u w v ui j k

y z z x x yz

æ ö æ öæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷= - + - + -÷ç çç÷ ÷÷ç çç÷ ÷ç çè ø¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø

Kartezyen koordinatlar

Dönümsüz

Dönümlü

ÖRNEK 4-8 İki-boyutlu Akışta Dönümlülüğün Belirlenmesi

2( , ) ( 2 1)V u v x i xy j= = + - -

hız alanının dönümlü olup olmadığını belirleyiniz.

( 2 0) 2 0v u

k y k ykx y

z

æ ö¶ ¶ ÷ç ÷= - = - - =- ¹ç ÷ç ÷ç¶ ¶è øolduğundan bu akış alanı dönümlüdür.

Her bir ayrı akışkan parçacığı çevrinti vektörünün yarısına eşit olan bir açısal hızda dönmektedirler. Dönme vektörü sabit olmadığından bu bir rijit-cisim dönmesi akışı değildir. Daha doğrusu, dönme vektörü y ile doğrusal olarak değişmektedir. Daha detaylı bir analiz ile bu akış alanının sıkıştırılamaz olduğu gösterilebilir. Şekil 4-47’de akışkan parçasını gösteren gölgelendirilmiş alanlar her üç durumda da sabittir.

REYNOLDS TRANSPORT TEOREMİ, RTT

Akışkanlar mekaniğinde, kontrol hacimlerle çalışmak daha uygundur ve bu yüzden kontrol hacmindeki değişimler ile sistemdeki değişimler arasında bir bağlantı kurmak gerekir. Bir sistem için ve bir kontrol hacmi için, bir yaygın özelliğin birim zamandaki değişimleri arasındaki ilişki Reynolds Transport Teoremi (RTT) ile ifade edilir.

t anında KH ve SİSTEM üst üste çakışmaktadır. Zaman ilerledikçe KH yerinde sabit kalırken SİSTEM hareket etmektedir. t + t anında SİSTEM = KH – I + II olarak ifade edilebilir. B herhangi bir özellik, b ise bunun birim kütle başına düşen değeri olsun.

sis, KH, t tB B=

sis, KH, I, II, t t t t t t t tB B B B+D +D +D +D= - +

sis, sis, KH, KH, I, II, t t t t t t t t t tB B B B B B

t t t t+D +D +D +D- -

= - +D D D D

0tD ® için limit alınırsa,

I, 1 I, 1 1 I, 1 1 1 1t t t t t tB b m b b V t Ar r+D +D +D= = = DV

II, 2 II, 2 2 II, 2 2 2 2t t t t t tB b m b b V t Ar r+D +D +D= = = DV

I, 1 1 1 1giren I 1 1 1 1

0 0lim limt t

t t

B b V t AB B b V A

t t r

r+D

D ® D ®

D= = = =

D D

elde ederiz.

II, 2 2 2 2çıkan II 2 2 2 2

0 0lim limt t

t t

B b V t AB B b V A

t t r

r+D

D ® D ®

D= = = =

D D

sis KHgiren çıkan

dB dBB B

dt dt= - +

Öte yandan,

olarak ifade edilebilir.

net çıkan giren

KY

B B B bV n dA r= - = ×ò

DENKLEMİN GENELLEŞTİRİLMESİ:

cosV n V n q× =

KH

KH

dB db d

dt dtr= ò V yazılabileceğinden,

sis

KH KY

dB db d bV n dA

dt dt

r r= + ×ò òVSabit KH için RTT:

( )sis

KH KY

dBb d bV n dA

dt t

r r

¶= + ×

¶ò òVSabit KH için RTT:

VEYA:

Hareketli KH için RTT

sis

KH KY

bdB d

b d bV n dAdt dt

r r= + ×ò òV

KY

KH

( )

( )

b

b

V V V KY hareketli

V V V KH hareketli

= -

= -

İyi tanımlı giriş/çıkışlar söz konusuysa, ortalama değerler cinsinden RTT ifade edilebilir.

sisort ort ,ort ort ort ,ort

çıkan girenKH her bir çıkış için her birgiriş için

b bdB d

b d b V A b V Adt dt

r r r= + -å åò V