RİJİT (KATI) CİSMİN RİJİT (KATI) CİSMİN KİNEMATİĞİKİNEMATİĞİKİNEMATİĞİKİNEMATİĞİ

Katı cisimlerin hareketlerinin tanımlanması ve analizi iki

yönden önem taşır.

Birincisi sıkça karşılaşılan bir durum olup amaç, değişik

tipte kam, dişli, çubuk ve bu gibi makina elemanlarını

kullanarak belirli bir tip hareketin yaratılmasını,kullanarak belirli bir tip hareketin yaratılmasını,

iletilmesini veya kontrolünü sağlamaktır. Burada

hareketin tanımı mekanik bağlantının dizayn geometrisini

(konstrüksiyon geometrisini) sağlamak için gereklidir.

Ayrıca yaratılan hareket göz önüne alınarak hesaplanması

gereken kuvvetler de belirlenir.

İkincisi, bir katı cismin üzerine uygulanan yükler

altındaki hareketini belirlemektir. Örneğin bir roketin

jet itmesi ve kendi ağırlığı altında hareket ederken

yörüngesinin saptanması 2. tip bir problemdir.

Rijit Cisim Kabulü

Rijit cisim, aralarındaki uzaklıklar sabit kalan bir parçacıklar

topluluğu (kümesi) olarak tanımlanır. Böyle bir tanımın sonucu

olarak eğer bu cisme kendisiyle birlikte dönen bir eksen

takımı iliştirilirse cismin içinde alınan herhangi bir konum

vektörü cismin hareketinden etkilenmez ve sabit kalır.

Bu durum ideal olup kuvvetlerin etkisinde her cisim az da olsa

bir miktar biçim değiştirecek ve içinde onu oluşturan

parçacıklar küçük de olsa yer değiştireceklerdir. Fakat bu

değişiklikler, cismin bir bütün olarak yaptığı harekete kıyasla

büyük bir genellikle güven içinde ihmal edilebilecek kadar

küçük ve önemsiz kalırlar.küçük ve önemsiz kalırlar.

1. ÖTELENME (Translation)

1a. Doğrusal Ötelenme

Bu harekette katı cisim içerisindeki her nokta birbirine paralel doğrular

çizer. Katı cismin tanımı gereği tüm parçacıkların hızları ve ivmeleri her

an birbirine eşittir.

Katı Cismin Düzlemsel Hareketinin Sınıflandırılması

Roket test kızağı

1b. Eğrisel Ötelenme

Katı cisim içerisindeki her nokta hareket boyunca birbirine paralel

eğriler çizer. Bu hareket düzlemde sabit bir nokta (veya bu sabit

noktadan geçen ve hareket düzlemine dik olan sabit bir eksen)

etrafındaki dönme hareketiyle karıştırılmamalıdır. Çünkü dönme

hareketinde katı cismin üstündeki her nokta eş merkezli çemberler

çizer. Eğrisel ötelemede ise her nokta ayrı bir eğri çizer ve buçizer. Eğrisel ötelemede ise her nokta ayrı bir eğri çizer ve bu

eğriler birbirine paraleldir.

2. Sabit Bir Eksen (Nokta) Etrafında Dönme

Katı cismin içindeki tüm noktalar eşmerkezli daireler çizerler. Ek olarak

katı cisim içine çizilmiş her çizgi dönme noktasından geçsin veya

geçmesin eşit zaman aralıklarında eşit açılar süpürerek dönerler. Eğrisel

ötelemede katı cisim içine çizilen düz bir doğru kendisine paralelliğini

korurken sabit bir eksen etrafındaki dönmede aynı doğru orijinal

doğrultusunu koruyamaz.

A

B

C

A′′′′B′′′′

C′′′′

3. Genel Hareket

Katı cismin düzlem içinde dönme ve ötelenme hareketlerini aynı anda

birlikte yapmasından doğan harekettir. Bu hareket bir ötelenme ve ardından

bir dönme veya bunun tersi bileşenlerinden oluşur.

A

A′′′′

B′′′′

BB

ωωωωO

Krank (crank)

(sabit eksen etrafında dönme)

Piston kolu, biyel (connecting rod) (genel hareket)

Piston

(ötelenme)

mafsal

Şekilde katı cismin düzlemsel hareketinde cisim içinde

alınan 1 ve 2 gibi herhangi iki doğrunun açısal konumları

görülmektedir. Bu açısal konumlar keyfi olarak seçilen

herhangi bir referans doğrultusundan itibaren belirli

bir yön (+) alınarak ölçülebilir. Şekilde bu referans

doğrultusu yataydır.

Katı Cismin Düzlemsel Hareketinde Açısal Yer Değiştirme

12 θθ && = 12 θθ &&&& =

Katı cismin tanımı gereği β açısı invaryanttır (değişmezdir).∆θ2 = ∆θ1 sonlu zaman aralığı süresince θ2 = θ1 + β bağıntısınınzamana göre türevi;

Katı cismin düzlemsel hareketinde cismin içindeki bütün doğrularaynı açısal yer değiştirme, aynı açısal hız ve aynı açısal ivmeyesahiptir.

Açısal Hareket Bağıntıları

Katı cismin düzlemsel dönme hareketinde, açısal hız (ω) ve açısal ivme (α),

dönme düzlemi içinde cismin üstünde yer alan herhangi bir doğru parçasının

açısal konumunun 1. ve 2. zaman türevlerine eşittir.

dd

dt

d

θω

θθ

ω

&&

&==

2

dθdorαdθ ωdω

dt

dor

dt

d

θθθ

θθ

αωω

α

&&&&

&&&

==

====

2

2

Sabit açısal ivme durumunda;

( )2

00

020

2

0

2

1

2

tt

t

αωθθ

θθαωω

αωω

++=

−+=

+=

SABİT EKSEN ETRAFINDA DÖNME

Katı cismin O’ dan geçen ve şekil düzlemine dik olan sabit bir eksen

etrafındaki dönüşünü göz önüne alalım. Bu dönüş esnasında cismin

dönme ekseni üzerinde bulunmayan tüm noktaları O etrafında eş

merkezli çemberler çizerek döner. Cisme ait herhangi bir A noktasının

çizgisel hareketi ile OA doğru parçasının açısal hareketi arasında

aşağıdaki bağıntılar bulunur:aşağıdaki bağıntılar bulunur:

α

ωω

ω

ra

vrvra

rv

t

n

=

===

=

/22

Aynı bağıntılar vektörel olarak da ifade edilebilir. Bunun için katı cismin

açısal hızı ve açısal ivmesi dönme düzlemine (x-y düzlemi) dik

olan açısal hız ve açısal ivme vektörleriyle belirtilir.

αrω

v

rrvvv&vv

×== ω

kkrrrr

ααωω == ,

( ) ( ){ {

{ ( )43421

rvvrrr

vrv

rvrr

rra

rrdt

rdr

dt

dr

dt

dv

dt

da ××+×=×+×=×== ωωαω

ωω

{ {43421

rr

rvrv nt aa

rv

dtdtdtdt×=ωα

ωv

Bir sağ takım olan xyz eksen takımında cisim xy düzlemi

içinde dönerken ve saat ibrelerinin tersi yönünde

(sity) ise , tersine olarak saat

ibrelerinin yönünde (siy) ise olur.

kkrrrr

ααωω +=+= ,

αr

kkrrrr

ααωω −=−= ,

Doğal olarak α ve ω’ nın mutlaka aynı yönde olması

beklenmez.

1. Bir dişli çarkın açısal hızı ω = 12 – 3t2 ifadesine uygun olarak

kontrol edilmekte olup burada ω rad/s ve t saniyedir. t = 0’dan t=3 s’ye

net açısal yer değiştirme ∆θ ‘yı bulunuz. Ayrıca üç saniye boyunca dişli

çarkın toplam devir sayısını bulunuz.

PROBLEMLER

ÇÖZÜM

( ) ( )

rad

radttdttd

dtddt

d

9

933123

312 , 312

33

0

33

0

2

0

=∆

=−=−=−=

=⇒=

∫∫θ

θθ

ωθωθ

θ

ÇÖZÜM

( ) ( )

( ) 73

12 312

1622123

312 312

2 312 0312

33

32

32

0

31

2

0

2

0

22

2

1

−=−=⇒−=

=−=−=⇒−=

===−=

∫∫

∫∫

radttdttd

radttdttd

sttt

θθ

θθ

ω

θ

θ

t = 0 ve t = 3 s aralığında dişli çark durmuş mudur?

t=2 s’ de duruyor.

ÇÖZÜM

( )

66.3 23evir

2 1

23716

73

312 312

2

32

2

2

0

2

=⇒

=−+

−=−=⇒−= ∫∫

Nradd N

raddevir

rad

radttdttd

π

θθ

devir

2. Kayışla döndürülen kasnak ve bağlı olduğu disk artan açısal hız ile

dönmektedir. Belirli bir anda kayışın v hızı 1.5 m/s ve A noktasının

toplam ivmesi 75 m/s2’dir. Bu an için (a) kasnak ve diskin α açısal

ivmesini, (b) B noktasının toplam ivmesini ve (c) kayış üzerindeki C

noktasının ivmesini belirleyiniz.

PROBLEMLER

222

222

CB2

45

/456075

/6015.020

/ 20075.0

5.1

?ac)?ab)?a) / 75 / 5.1

a

sma

smRa

sradr

v

smasmv

A

A

C

AC

t

n

=−=

===

===

=====

ω

ω

α

ÇÖZÜM

2

222

222

2

2

/5.22075.0300

/5.37305.22/30075.020

/5.22075.0300

/30015.0

45

smra

smasmra

smra

sradR

a

C

B

B

B

A

n

t

t

=⋅=⋅=

=+=

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

===

α

ω

α

α

3. Bir redüktör ünitesinin tasarım özellikleri incelenmektedir.

Şekildeki gibi A dişlisine 4 saniyelik bir sürede zamanla saatin tersi

yönünde (sity) bir α açısal ivmesi kazandırmak için t=2 s’ de bir

döndürme momenti A dişlisine uygulandığı zaman B dişlisi 300 dev/dak

ile dönmektedir. t=6 s’de B dişlisinin hızını hesaplayınız.

PROBLEMLER

sity

ÇÖZÜM

srad

dakdevNst

B

B

/1060

2300

/3002

ππ

ω =⋅=

=⇒=

Temas noktasında A ve B dişlilerinin hızları aynıdır.

( ) ( ) sradbbvv ABABA /202 =⇒=⇒= πωωω

( )

( ) ( )dakdevN

sradbbst

stsradtt

dttddt

dt

B

BBA

AA

t

AA

AA

A

/59.414

/415.4326

)6(/83.8622

20

22

6

2

2

6

220

=

=⇒=⇒=

==⇒+=−

+=⇒=⇒+= ∫∫=

ωωω

ωπω

ωω

ααω

π

Mutlak Hareket Analizi (Absolute Motion)

Bu yaklaşımda cismin geometrisinden yararlanılır. Konumu

veya başka bir değişken uzunluğu diğer büyüklükler

cinsinden (açısal büyüklükler dahil) yazılıp bu ifadenincinsinden (açısal büyüklükler dahil) yazılıp bu ifadenin

ardışık zaman türevleri alınarak hız ve ivmeye ulaşılır.

r yarıçaplı disk düz ve yatay zeminde sağa doğru kaymadan

yuvarlanmaktadır. Diskin açısal hareketini, merkezin doğrusal hareketi

cinsinden belirleyiniz. Ayrıca çevresi üstündeki bir noktanın hız ve

ivmesinin x ve y bileşenlerini belirleyip bu nokta zeminle temas ettiği

andaki hız ve ivmesinin özel değerlerini bulunuz .

PROBLEM

Bağıl Hareket Analizi

Parçacığın kinematiğinde bağıl hız bağıntısını çıkarırken A ve B gibi

birbirinden bağımsız hareket eden iki parçacık incelenmişti. Bu

parçacıklar arasındaki bağıl hız bağıntısı

vvvvvv

+=

Şimdi A ve B aynı katı cisim üzerindeki iki nokta ise aralarındaki mesafe

sabit olacak ve bu noktalardan biri üzerinde duran bir gözlemci diğer

noktanın dairesel hareket yaptığını görecek.

BABA vvv /vvv

+=

Aynı katı cisim üzerindeki A ve B noktalarını göz önüne alalım.

Hareketli koordinat sisteminin orijini B noktasında olsun, bu durumda

A’ nın hareketi iki şekilde oluşuyormuş gibi düşünülebilir. Cisim önce

AB doğrusuna paralel olarak A′’B′ konumuna ötelenir, daha sonra B

noktası etrafında Δθ açısı kadar döner. Ötelenme ‘yi, B

etrafında dönme ise ’ yi verir. Bu iki yer değişiminin toplamıBAr /v

∆Brv

∆

rrrvvv

∆∆∆ +=

BAr /v

∆

BABA rrr /vvv

∆∆∆ +=

B referans nokta alınarak, A ‘nın toplam yer değiştirmesi

BABA rrr /vvv

∆∆∆ +=

∆θ sıfıra yaklaşırken ‘nin şiddeti r∆θ ’dir. ∆t zaman aralığına

bölerek ve limite geçerek bağıl hız bağıntısını elde ederiz;

BAr /v

∆

A ve B arasındaki r mesafesi sabittir.

BABA vvv /vvv

+=A ve B arasındaki r mesafesi sabittir.

Bağıl hızın şiddeti

yerine kullanarak;

{ ( ) { ( )trtrvt

BAt

BA ∆θ∆∆∆∆∆

/lim/lim0

/0

/→→

==v

θω &=ωrv BA =/

BAr /v

rv

rv BAvvv

×=ω/

yerine kullanarak; BAr / r

Böylece bağıl hız bağıntısı;

rvv BAvvvv

×+= ω

Burada, yönü sağ el kuralı ile belirlenen hareket düzlemine dik doğrultuda olan açısal hızdır.

Bağıl hız her zaman A ve B noktalarını birleştiren doğruya diktir.

ωv

Ötelenme Sabit eksen

etrafında dönme

Bağıl İvme

ifadesi zamana göre türetilirse

BABA vvv /vvv

+=

BABA vvv /&v&v&v +=

BABA aaa /vvv

+=elde edilir.

Katı cisim ω açısal hızı ve α açısal ivmesi ile dönüyor olsun. Bağıl hız

teriminden farklı olarak burada bağıl ivme teriminin biri teğetsel diğeri

normal olmak üzere iki bileşeni vardır. B’ ye yerleşik gözlemci yine A

noktasını, B merkezli ve BA=r yarıçaplı bir dairesel hareket yapıyor

gibi görür.

BABA aaa /+=

Bağıl ivmenin bileşenlerinin şiddeti;

( ) ( )tBAnBABA aaaa //

vvvv++=

( )( ) α

ω

rva

rrva

BAtBA

BAnBA

==

==

//

22// /

&

Vektörel formda; ( ) ( )ranBA

vvvv××= ωω/( ) ( )

( ) ra

ra

tBA

nBAvvv

×=

××=

α

ωω

/

/

( ) rraa BAvvvvvvv

×+××+= αωω

Bağıl aA/B ivmesinin (aA/B)t teğetsel bileşeni α’ nın yönüyle uyumlu

olarak daima BA doğrultusuna A noktasında diktir. (aA/B)n normal

bileşen ise daima A’ dan B’ ye yönelik olarak AB doğrultusu üzerinde

yer alır. Dolayısıyla vektör poligon çizilirken (aA/B)t BA’ ya dik

doğrultuda, (aA/B)n ise BA’ ya paralel doğrultuda ve A’ dan B’ ye yönelik

olarak alınır.

Bir mekanizmada hız ve ivme analizleri yapılırken önce daima

(sorulmasa bile) hız analizi yapılır. Sonra ivme analizine geçilir. Çünkü

hız analizinden elde edilecek olan açısal hız veya hızlar mutlaka ivme

analizinde kullanılacaktır.

Bazen bir mekanizmada bir noktanın hızını veya ivmesini bulmak için bu

noktaya iki ayrı yönden yaklaşılır. Bu şekilde bu noktanın hız ve ivmesi

iki kez yazılıp bunlar eşitlenerek arananlar bulunur.

1. Diskin O merkezi şekilde gösterilen hız ve ivmeye sahiptir. Disk

kaymadan yuvarlandığına göre A noktasının hızı ile B’nin ivmesini

görülen an için hesaplayınız.

PROBLEMLER

2. Üçgen plaka ABD siy’de sabit 3 rad/s açısal hıza sahiptir. Görülen

an için BC kolunun açısal hızı ve açısal ivmesini hesaplayınız.

PROBLEMLER

3. Şekildeki konumu içeren an için A noktasının hızı sağa doğru 3 m/s

ise B noktasının ivmesinin teğetsel bileşeni ile AB çubuğunun açısal

ivmesini hesaplayınız.

PROBLEMLER

4. OAE dilimine takılı esnek F bandına şekilde gösterildiği gibi 4 m/s

sabit hız verilmiştir. BD’nin OA’ya dik olduğu anda BD’nin açısal

ivmesini hesaplayınız.

PROBLEMLER

5. Belirli bir anda dişli şekildeki gibi bir açısal harekete sahiptir.

Bağlantı çubuğu üzerindeki A ve B noktalarının ivmelerini ve AB

bağlantı çubuğunun açısal hız ve açısal ivmesini belirleyiniz.

PROBLEMLER

6. Yatay yüzey üzerinde kaymadan yuvarlanan diskin O merkezi

şekilde gösterilen hız ve ivmeye sahiptir. Diskin yarıçapı 4.5 cm’dir. B

noktasının hızını ve ivmesini hesaplayınız.

PROBLEMLER

v =45 cm/s a =90 cm/s

37o

A

O4 cm

4.5 cm

vo=45 cm/s ao=90 cm/s2

10 cm

6 cm

B

x

y

x=2 cm2

4

1xy =