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Capítulo 21: Pandeo. Jorge Bernal

421

21 Pandeo

1. El pandeo en la construcción.

1.1. General.

El fenómeno de pandeo debe ser estudiado como algo posible, de pocas pro-

babilidades de suceso en la construcción. Es diferente a la flexión donde la elástica

o deformación de la viga se produce en el mismo instante de la aplicación de la

carga. El pandeo, en las columnas la mayoría de las veces viene contagiado por la

flexo compresión y debe ser resuelto con las ecuaciones clásicas de la estática.

En general existen pocos antecedentes de pandeo en las piezas a compresión

de los edificios, esto se puede justificar por los elevados coeficientes de seguridad

que se emplean en el cálculo y por las dimensiones mínimas establecidas por re-

glamentos. Pero no sucede lo mismo con los puntales que sostienen los encofrados

que no son calculados ni verificados; sus dimensiones y separación lo establecen

los capataces de obra desde la costumbre. Además en hormigón armado el nudo de

viga, losa y columna genera una fuerte rigidez en los extremos de las columnas y

reduce el efecto de la inestabilidad por pandeo (figura 21.1).

Figura 21.1

En las tareas de colocación del hormigón, las estadísticas nos indican la ma-

yor cantidad de sucesos de pandeo sucede en los esbeltos puntales que soportan las

cargas del hormigón fresco, los equipos y los operarios(figura 21.2).

Figura 21.2

Para salvar en parte el inconveniente de la interpretación adecuada del pan-

deo en piezas estructurales sometidas a compresión hemos separado el estudio en


422

dos partes. La primera, explica el fenómeno de pandeo desde ejemplos y sucesos,

la segunda parte se lo explica desde la teoría.

1.2. Interpretación.

En el año 1744 Leonhard Euler resuelve el problema del fenómeno de las ba-

rras esbeltas sometidas a cargas de compresión. Las ecuaciones que resuelven el

problema se conocen como “Ecuaciones de Euler”. La ingeniería en sus ondas de

empirismo y cientifismo quedó prendida a ésta última por el genio matemático de

Euler para resolver la cuestión entre carga y esbeltez en una columna.

La teoría clásica de Euler contiene hipótesis alejadas de la realidad; para in-

terpretar la columna emplea una fina línea recta que se dobla para una carga deter-

minada; la columna no es una línea inmaterial (figura 21.3).

Figura 21.3

La literatura científica de la construcción denomina “pandeo” a fenómenos

que están muy lejos de la teoría de Euler. Esta teoría se basa en la hipótesis de ba-

rra recta, material homogéneo y carga concentrada, todo de manera perfecta. Pero

la realidad es otra; no existe una columna de eje y lados con esas condiciones. El

material de la construcción tampoco es homogéneo, cualquier alteración, sea un

pequeño agujero o un cordón de soldadura hace al material imperfecto. Por último,

lo más difícil, casi imposible de lograr; la carga centrada sobre la columna.

Con lo anterior queremos explicar que si bien el suceso, desde la teoría se si-

gue llamando pandeo, desde la realidad es una flexo compresión. La historia de la

ingeniería destaca este suceso como el que mayor cantidad de fallas ha causada en

la construcción. Antes del advenimiento de materiales tales como los perfiles de

acero y piezas de hormigón armado, las columnas gozaban de buena estabilidad.

Porque en general, sus secciones eran robustas por ser construidas con materiales

como la piedra o mamposterías cerámicas (muros, bóvedas, arcos y otros). La es-

beltez de estas piezas resultaba baja y la rotura solo llegaba solo con el agotamien-

to del material. No había rotura de configuración geométrica.

Pero cuando aparece el hierro a fines del siglo XIX, las secciones de las pie-

zas estructurales comienzan a elevar su esbeltez. Tal es así que los primeros gran-

des desastres y derrumbes en obras de ingeniería, se produjeron por los efectos de

alguna de las distintas formas que puede presentar la flexo compresión del pandeo.


423

2. Conceptos.

La relación entre las cargas y la sección transversal lo vimos en los casos de

esfuerzos de tracción o compresión puros y utilizamos la superficie en cm2:

𝜎 =𝑃

𝑆(𝑐𝑚2)

En las piezas sometidas a flexión aparece otra entidad matemática que nos

indica la "forma" (W) de la sección transversal en cm3:

𝜎 =𝑀

𝑊(𝑐𝑚3)

En el estudio y cálculo de las elásticas de viga surge la relación I = Wh/2 con

la entidad de la inercia cm4:

𝑓 = 𝐶𝑞𝑙4

𝐸𝐼(𝑐𝑚4)

Ahora en el pandeo veremos una nueva relación el radio de giro "i" en el

numerador y la altura de la columna "s" en el denominador porque le interesa la

geometría transversal y también la longitudinal de la pieza.

𝜎𝑐𝑟𝑖𝑡 =𝑖2(𝑐𝑚2)

𝑠𝑘2(𝑐𝑚2)

𝜋2𝐸

Adquiere singular importancia el valor del “radio de giro”, porque es función

de dos configuraciones geométricas elevadas al cuadrado:

La transversal o radio de giro "i".

La longitudinal o longitud de pandeo "sk".

De esta manera hemos realizado un repaso de las tensiones o elásticas en

función de la geometría de la pieza.

2.1. Longitud de pandeo.

Es la distancia entre los puntos de inflexión de la deformada de la columna.

Ellas poseen diferentes condiciones de apoyos en sus extremos. Por ejemplo, el

puntal que soporta los encofrados, tiene apoyos simples que le permiten un libre

giro, esa columna es articulada en ambos apoyos y su longitud de pandeo es la

altura total.

Situación diferente se presenta con la columna de hormigón armado, que

forma parte de un edificio de varias plantas. Al existir continuidad tanto del


424

hormigón como de las barras de hierro, la columna se encuentra empotrda en

ambos extremos (figura 21.4).

Figura 21.4

Otro ejemplo es la columna de un tinglado (figura 21.5). Se encuentra

empotrada en el suelo y articulada en su extremo superior.

Figura 21.5

Tomamos la forma de la elástica del caso de ambos extremos articulados,

como unitario y la comparamos con todas las otras situaciones, obtenemos así las

diferentes longitudes de pandeo. Según lo anterior a las columnas podemos clasifi-

carlas desde las condiciones de borde, de la siguiente manera (figura 21.6):


425

Figura 21.6

Articulada - articulada:

Gira libremente en ambos extremos y su elástica o deformada tiene la for-

ma indicada en el dibujo. Es una media sinusoide. La longitud de pandeo

es igual a la altura total de la columna.

Empotrada - empotrada:

Los giros se encuentran impedidos en ambos extremos. La elástica se con-

figura mostrando una longitud de pandeo en su parte media igual a la mitad

de la longitud de la anterior.

Articulada - empotrada:

Se deforma libremente desde el extremo articulado. La longitud de pandeo

es la dos terceras partes superiores.

Empotrada - libre:

La elástica adquiere una conformación de una longitud doble de su altura,

como vemos la longitud de pandeo también será doble.

2.2. Radio de giro:

Esto ya estudiamos en estática de las formas, ahora lo recordamos. Es la raíz

cuadrada del cociente entre la inercia de la sección y su superficie, el radio de giro

es una distancia.

𝑖 = 𝐼

𝐹(𝑐𝑚)

I: momento de inercia de la sección → I = bh3/12 (cm4).

F: superficie de la sección → F = b.h (cm2).

La unidad es el centímetro. Para secciones rectangulares: i = 0,29 h.

2.3. Esbeltez.

Es la relación entre la longitud de pandeo y su menor lado, es una entidad

adimensional:

𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑒𝑧 =𝑠𝑘

𝑑

d: lado menor de la columna.

sk: longitud de pandeo.

No posee unidad, es adimensional.

2.4. Grado de esbeltez:

Es la relación entre la longitud de pandeo del elemento y su radio de giro,

también adimensional:

𝜆 =𝑠𝑘

𝑖

i: radio de giro.

δl: igual que los anteriores es adimensional.


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2.5. Relación entre “esbeltez” y “grado de esbeltez”.

Supongamos una columna cuadrada cuyos lados sean de 15 centímetros y

hacemos variar la altura. A los efectos comparativos mostramos los valores. En

general se utiliza como referencia el “grado de esbeltez”, pero algunas antiguas

normas siguen utilizando la “esbeltez”.

Altura Esbeltez Grado

esbeltez

200 13 46

250 17 58

300 20 69

350 23 81

400 27 92

La relación entre el grado de esbeltez y la esbeltez se mantiene constante y

es ≈ 3,5.

3. Columnas: sucesos.

Analizamos los sucesos de una columna en

función de la carga y sus dimensiones, son tres las

situaciones que se presentan: acortamiento, rotura

de configuración geométrica y la rotura del mate-

rial.

3.1. Acortamiento.

Figura 21.7

Es característica de cualquier material de-

formarse ante la acción de cargas (figura 21.7). Las

columnas sufren un acortamiento "δ" cuya magni-

tud es proporcional al valor de la carga aplicada en período elástico (Ley de Hoo-

ke). Según el tipo de material esta relación de carga y deformación puede pasar por

un período elástico y luego plástico, es el caso del hierro. En materiales frágiles la

rotura llega con períodos plásticos muy reducidos, como mampostería de ladrillos u

hormigón.

3.2. Rotura de la configuración geométrica:

Con materiales elásticos y cierta ductilidad como el acero

o la madera, se quiebra la geometría inicial antes que la rotura

del material.

Figura 21.8

La barra pasa de su configuración recta a la de una elásti-

ca de manera instantánea y sin aviso previo (figura 21.8). Esta

columna así deformada, si el material es elástico (hierro o made-

ra) seguirá resistiendo parte de la carga, pero si es de material

frágil (hormigón o cerámico) la rotura de geometría se acompa-

ña con rotura del material.


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3.3. Rotura del material:

Las columnas robustas de materiales frágiles la rotura sobreviene de manera

caso instantánea porque antes existe un reducido acortamiento.

Figura 21.9

La imagen muestra una columna construida de mampos-

tería común; la rotura es frágil (figura 21.9).

Desde las deformaciones la pieza pasa por tres fases:

(a) sin carga: e = 0 y δ = 0.

(c) con carga reducida: e = 0 y δ ≠ 0,

(c) con carga elevada: e ≠ 0 y δ ≠ 0.

El fenómeno pasa de compresión pura al de flexo compre-

sión y al final la rotura del material.

4. Vigas metálicas macizas: sucesos.

También en el alma de las vigas se presenta el fenómeno de pandeo, espe-

cialmente en aquellas que soportan grandes cargas y son construidas con acero.

Una viga constituida por un perfil normal PNI (doble te) puede resultar afectada

por alguna de las siguientes formas de pandeo (figura 21.10):

Figura 21.10

(1): En el extremo (posición 1) si la carga que proviene de las columnas su-

periores es muy elevada, y el alma del perfil es muy esbelto, se produce una dobla-

dura o también llamado abollamiento (figura 21.11).

Figura 21.11

Para evitar esta situación se colocan presillas o perfiles soldados en los ex-

tremos que le otorgan rigidez en esa región (figura 21.12).


428

Figura 21.12

(2): Debido a la formación natural de rutas de tensiones de compresión, el

alma (posición 2), tal como lo vimos en capítulos anteriores, se puede deformar

ingresando en pandeo (figura 21.12). Esta situación se presenta en el caso de vigas

cuyas almas resultan muy delgadas. La deformación se manifiesta mediante un

alabeo o abollamiento.

Figura 21.13

(3): Las alas del perfil (posición 3), están sometidas a esfuerzos de compre-

sión y pueden llegar a deformarse de dos maneras (figura 21.13):

a) Generando dobleces o alabeos ondulantes en el ala superior.

b) Produciendo un volcamiento total de la viga. Es el caso de pandeo lateral

de todo el cordón superior.

El primer caso se presenta cuando las alas son muy delgadas, mientras que el

segundo cuando la longitud de la viga y su altura son elevadas.

5. Vigas reticuladas: sucesos.

Pandeo de montantes externos: En estas vigas pueden presentarse las mismas

situaciones que en las macizas, pero el fenómeno se sitúa en elementos localizados

en las barras que componen el reticulado (diagonales, montantes y cordones).

(1): El montante (posición 1) puede pandear en forma individual, si las car-

gas superiores que apoyan sobre la viga son muy elevadas y la esbeltez del montan-

te muy grande (figura 21.14).

Figura 21.14

(2): Pandeo en las diagonales; en aquellos reticulados cuyas diagonales (po-

sición 2) trabajan a la compresión, y resultan muy largas, sin los arriostramientos

necesarios, también se produce pandeo (figura 21.15).


429

Figura 21.15

(3): Pandeo del cordón superior; al igual que las vigas macizas, se plantea el

alabeo parcial o total del cordón. En estos casos es conveniente tratar de armar los

elementos del reticulado, sometidos a compresión con piezas compuestas (figura

21.16). Se muestran los cordones, montantes y diagonales efectuados con dos perfi-

les ángulos soldados a una gruesa planchuela, conformando así el nudo.

En el caso de las cubiertas, las correas que apoyan sobre el cordón superior

de las cabriadas conforman piezas lineales que evitan el pandeo de los cordones

superiores (figura 21.17).

Figura 21.16

6. Cáscaras comprimidas: sucesos.

Si generalizamos y llamamos cáscaras a todos los elementos estructurales de

superficie con diferentes curvaturas, tales como bóvedas cilíndricas, cúpulas de

revolución, bóvedas de doble curvatura, bóvedas corrugadas y otras, podemos decir

que el pandeo se puede presentar en ellas (figura 21.17). En estas superficies some-

tidas a compresión, la inestabilidad se genera en función de las longitudes de los

elementos y de su espesor (esbeltez de superficie).

Figura 21.17

En el pandeo se observa un cambio brusco de forma. Esto lo podemos apre-

ciar mediante el ejemplo de la pelotita de ping pong; que si bien es una esfera, po-

demos asociarla a una cúpula de revolución (figura 21.18). Si le aplicamos con los

dedos una fuerza de compresión en paulatino aumento, observaremos que en un

momento dado, en forma instantánea pasa a otra configuración de equilibrio para

desde allí, continuar resistiendo.


430

Figura 21.18

En algunas superficies cilíndricas verticales, especialmente las construccio-

nes que se realizan de chapas delgadas para el acopio de cereales (silos), se observa

luego de fuertes vientos que los cilindros se abollan. El viento ejerció presiones de

compresión en una dirección y el cilindro ingresó en pandeo.

7. Estudio teórico de la carga de pandeo.

7.1. Introducción.

Para el estudio del pandeo se utilizan cuatro valores de las tensiones de com-

presión en columnas:

La tensión de rotura a compresión simple es que se obtiene de ensayos

sobre probetas robustas (no esbeltas) en laboratorio.

𝜎𝑟𝑜𝑡 =𝑃

𝑆

La tensión admisible de compresión es la que se indica en los diferentes

reglamentos para el dimensionado de piezas a compresión sin pandeo.

𝜎𝑎𝑑𝑚 =𝜎𝑟𝑜𝑡

𝛾

La tensión crítica de pandeo es el valor para el cual la columna ingresa al

estado de pandeo que depende del material y la esbeltez de la columna.

𝜎𝑐𝑟𝑖𝑡 =𝑖2

𝑠𝑘2 𝜋2𝐸

La tensión admisible de dimensionado al pandeo, es la tensión a utilizar

para el dimensionado de las columnas esbeltas.

𝜎𝑝 =𝜎𝑎𝑑𝑚

𝜔

Las estudiamos en los párrafos que siguen.

7.2. Tensión crítica de Euler.

A fines del siglo XVIII cuando Euler descubre su admirable fórmula, era

imposible la experimentación. Las herramientas para realizar los ensayos resulta-

ban rudimentarias e imprecisas. Por otro lado, no se le dio importancia a su teoría

de pandeo porque las piezas de las estructuras de esa época resultaban muy grandes

y robustas. Por ello la teoría permanece en el olvido por más de un siglo. Cuando

surgen los nuevos materiales de la construcción (acero y hormigón), se obtienen

secciones de columnas más pequeñas y con probabilidades de pandeo, entonces el

estudio realizado por Euler vuelve a tomar vigencia hasta nuestros días.


431

Euler resuelve la ecuación de la elástica de una columna deformada desde el

arte de la matemática, lo hace de manera brillante (figura 21.19).

Figura 21.19

La primera curva es la elástica de lo columna cuando ingresa en pandeo; es

la variación de la elástica "y" respecto de "x":

𝑦 = 𝑓 𝑥

La segunda curva es la variación de la inclinación de la tangente de la elásti-

ca:

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −

𝑀

𝐸𝐼= −

𝑃𝑦

𝐸𝐼

La tercer curva es variación de la tangente respecto de la curva anterior. Es

la ecuación diferencial de la elástica resulta:

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+

𝑃𝑦

𝐸𝐼= 0

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −

𝑃𝑦

𝐸𝐼= −

𝑀

𝐸𝐼

Euler soluciona esta ecuación y obtiene la carga crítica que provoca el pan-

deo:

𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡 =𝜋2

𝑠𝑘2 𝐸𝐼

E: módulo de elasticidad del material.

I: momento de inercia de la sección.

sk: longitud de pandeo.

También la podemos mostrar de otra manera, si a la expresión anterior la di-

vidimos por la sección, obtenemos la tensión crítica.

𝜎𝑐𝑟𝑖𝑡 =𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡

𝑆=

𝑖2

𝑠𝑘2 𝜋2𝐸

La esbeltez de la pieza:

𝜆 =𝑠𝑘

𝑖

Otra forma de escribir la expresión de la tensión crítica:


432

𝜎𝑐𝑟𝑖𝑡 =𝜋2𝐸

𝜆2

Esta expresión corresponde al caso simple de una columna articulada en sus

dos extremos. Si queremos estudiarla para otras condiciones de borde, sustituimos

la longitud de pandeo por sus correspondientes valores.

7.3. Tensión admisible de pandeo.

Método omega.

Este método simplificado utiliza un coeficiente de seguridad establecido en

tablas y determina las cargas y tensiones de pandeo. Ese coeficiente "ω" se lo ob-

tiene desde la siguiente maniobra matemática.

Distinguimos otra vez las diferencias:

Carga crítica o carga de rotura: es la que produce el fenómeno de pan-

deo y posible colapso de la columna según el material utilizado.

Carga de pandeo o carga admisible: es la carga que debe actuar sobre la

columna sin producir inestabilidad.

La tensión de pandeo:

𝜎𝑝 =𝑃𝑝

𝑆=

𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑎𝑛𝑑𝑒𝑜

𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛

Para obtener un coeficiente que dependa de la tensión admisible del material:

multiplicamos ambos miembros por la tensión admisible del material a la compre-

sión sin pandeo:

𝜎𝑝𝜎𝑎𝑑𝑚 =

𝑃𝑝𝜎𝑎𝑑𝑚

𝑆

𝜎𝑎𝑑𝑚 =

𝑃𝑝𝜎𝑎𝑑𝑚

𝑆𝜎𝑝=

𝑃𝑝

𝑆

𝜎𝑎𝑑𝑚

𝜎𝑝=

𝑃𝑝

𝑆𝜔

𝜎𝑎𝑑𝑚

𝜎𝑝= 𝜔 → 𝜎𝑝 =

𝜎𝑎𝑑𝑚

𝜔

Esta relación entre la tensión admisible del material y la tensión de pandeo

se encuentra en tablas y es función del tipo de material empleado en la columna y

de la esbeltez de la misma.

Una columna cuadrada de madera dura (σadm = 100 daN/cm2) de una altura

de 300 cm y lados de 15 cm, articulada en sus extremos tiene una esbeltez:

𝜆 =𝑠𝑘

𝑖=

300

0,29 ∙ 15=

300

4,35= 69


433

Tabla "ω" para columnas de madera.

De la tabla se obtiene ω = 1,85.

La tensión a utilizar para el dimensionado al pandeo será:

𝜎𝑝 =100

1,85= 54

𝑑𝑎𝑁

𝑐𝑚2

Método de la curva de esbeltez.

El siguiente método para el diseño de columnas de madera, pertenece a la

National Products Association y ha sido aceptado en las normas de numerosos

países. El método está basado en la fórmula de Euler y distingue tres tipos de co-

lumnas, según su esbeltez:

a) Columnas cortas.

b) Columnas intermedias.

c) Columnas altas.

Destacamos que en este método se utiliza la “esbeltez” (λ=lp/b).

Columnas cortas: Entran en colapso por aplastamiento sin pandeo. Se calcu-

lan con una tensión de pandeo σp que es igual a la tensión de compresión σadm indi-

cada por la Resistencia de Materiales. Estas columnas se ubican dentro de las es-

belteces de 0 < λ < 11.

Columnas intermedias: Las tensiones de pandeo se obtienen de afectar a la

tensión pura de compresión σadm de un factor reductor. Estas columnas pueden fa-

llar por pandeo o también por aplastamiento. La esbeltez se ubica entre 11 < λ1

<20.

Columnas esbeltas: Falla exclusivamente por pandeo (rotura de la geometría)

y la tensión de pandeo depende de la esbeltez y del módulo de elasticidad. Se ubi-

can en 20 < λ < 50.

El método es sencillo y de fácil conceptualización, especialmente al observar

el diagrama siguiente que fue concebido mediante la teoría junto a la experimenta-

ción (figura 21.20):


434

𝑘 = 0,671 𝐸

𝜎𝑎𝑑𝑚

𝜎𝑝 = 𝜎𝑎𝑑𝑚 1 −1

3 𝜆

𝑘

4

Figura 21.20

La tensión de trabajo (eje yy) se reduce en la medida que aumenta la esbeltez

(eje xx). En él destacamos los tres tipos diferentes de columnas: las cortas, las in-

termedias y las altas. Vemos que la tensión admisible de pandeo disminuye en la

medida que aumenta la esbeltez. Las curvas que le corresponden a cada una de las

columnas responden a las fórmulas que se indican en el diagrama.

La misma columna utilizada en el método "ω" la utilizamos como ejemplo:

Esbeltez: 300 / 15 = 20

𝑘 = 0,671 𝐸

𝜎𝑎𝑑𝑚= 0,671

70000

100≈ 18


3 𝜆

𝑘

4

= 100 1 −1

3

20

18

4

= 52

Valor similar al obtenido por el método "ω". Este método tiene la ventaja de

incorporar a sus parámetros el valor del módulo de elasticidad "E".


435

8. Aplicaciones.

8.1. Columna de madera, ambos extremos articulados.

Calcular la carga y tensión crítica de la columna cuadrada de madera dura

(figura 21.21):

figura 21.21

Datos:

Condiciones de borde: articulada en ambos extremos.

Material de columna: madera dura.

Módulo de elasticidad: E = 70.000 kg/cm2

Tensión de rotura: σrot = 225 kg/cm2

Tensión admisible: σadm = 85 kg/cm2

Longitud de pandeo: sk = h = 370 cm

Sección de columna: S = 10 . 10 = 100 cm2

Momento de inercia: I = 833 cm4

Radio de giro: 2,89 cm

Grado de esbeltez: λ = 128

Carga de rotura sin pandeo:

𝑃𝑟𝑜𝑡 = 𝜎𝑟𝑜𝑡 𝑆 = 225 ∙ 100 = 22.500 𝑘𝑔 = 225 𝑘𝑁

Con esta cargas se produce la rotura del material.

Carga admisible sin pandeo:

𝑃𝑎𝑑𝑚 = 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑆 = 85 ∙ 100 = 8.500 𝑘𝑔 = 85 𝑘𝑁

La tensión admisible se la adopta en función de las características de la ma-

dera, en especial el grado de irregularidad en sus fibras.

Carga crítica de pandeo:

𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡 =𝜋2

𝑠𝑘2 𝐸𝐼 = 4.200 𝑘𝑔 = 42 𝑘𝑁

𝜎𝑐𝑟𝑖𝑡 =𝜋2𝐸

𝜆2= 42 𝑘𝑔 = 0,42 𝑀𝑝𝑎

Los valores anteriores son los críticos, los límites antes del pandeo. Con esta

carga no rompe el material pero se quiebra de manera brusca la configuración ge-

ométrica de la columna. Si adoptamos un coeficiente de seguridad igual a 2,65

obtendremos la carga admisible:


436

𝑃𝑝 =𝑃𝐶

2,65=

4200

2,65≈ 1.600 𝑘𝑔 = 16 𝑘𝑁

En este caso la columna se encuentra a una tensión de trabajo:

𝜎𝑡𝑟𝑎𝑏 =𝑃𝑝

𝑆=

1600

100= 16 𝑘𝑔 = 0,16 𝑀𝑝𝑎

Una valor varias veces menor que la tensión de rotura del material sin pan-

deo.

Utilización del método omega.

Con el valor de la esbeltez de la pieza λ = 128 hallado antes, ingresamos a

la tabla de “coeficientes de pandeo” para maderas y determinamos el valor: ω =

5,48 cercano al obtenido en el punto anterior.

La tensión admisible de la madera es de 85 kg/cm2, entonces la carga de

pandeo será:

𝑃𝑝 =𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑆

𝜔=

85 ∙ 100

5,48= 1.551 𝑘𝑔

Valor muy cercano al hallado en el ejemplo anterior. Además si observamos

el omega de tablas con el hallado observamos su similitud. Las tablas se encuentran

en el Capítulo 13 de Tablas. Una esbeltez como la columna de estudio λ = 128 es

muy elevada, en la tabla figura en los últimos renglones.

8.2. Columna cuadrada de madera, articulada en un extremo y em-

potrada en el otro.

Determinaremos la carga que puede soportar la columna indicada (figura

21.22).

Figura 21.22

Datos:

Condiciones de borde: empotrada articulada.

Material: madera dura.

Sección cuadrada: 10 . 10 = 100 cm2

Módulo de elasticidad: 70.000 kg/cm2

Tensión admisible: 90 kg/cm2


437

Altura total de columna: 250 cm

Longitud de pandeo: lp = 0,7 . 250 = 175 cm

Esbeltez:

Esbelteces: λ1 = lp/b = 175 / 10 = 17,5

Esta esbeltez (relación entre altura y lado menor) se ubica en la zona de co-

lumnas intermedias por ser menor de 20.

Tensión de diseño:

Aplicación de la fórmula empírica indica en teoría:

𝑘 = 0,671 𝐸

𝜎𝑎𝑑𝑚= 18,71


3

17,5

18,71

4

= 67,04𝑘𝑔

𝑐𝑚2= 6,7 𝑀𝑃𝑎

Por efecto de pandeo la tensión admisible se reduce.

Figura 21.23

Para la columna anterior ingresamos con la esbeltez 17,5 y encontramos en

las ordenadas el valor ≈ 62 kg/cm2 cercano al calculado.


438

La carga de pandeo que puede soportar la columna:

𝑃𝑝 = 𝑆𝜎𝑝 = 100 𝑐𝑚2 ∙ 67,04 = 6.704 𝑘𝑔 = 67,0 𝑘𝑁

Los valores calculados mediante este método suelen ser mayores al del

método omega, por cuanto se ajusta más a la realidad, dado que se introduce en

cada caso el valor del módulo de elasticidad de la madera que empleamos en la

columna.

También al problema anterior lo podemos resolver utilizando los diagramas

de pandeo. Eligiendo el diagrama de tensión admisible y módulo de elasticidad

correspondiente, ingresamos con el valor de la esbeltez (abscisas) y obtenemos las

tensiones de pandeo en ordenadas (figura 21.23).

8.3. Columna rectangular de madera.

Ante el fenómeno de pandeo, como vimos, la capacidad portante de las co-

lumnas ya no sólo depende de la superficie de la sección. Ahora es necesario saber

diseñar las “formas” de las columnas. Adquiere singular importancia el valor del

“radio de giro”, porque es función de la configuración y traza de la sección. Para

interpretar bien este fenómeno, efectuaremos unos ejemplos. En ellos estudiaremos

la variación de la capacidad resistente de las columnas modificando las secciones

transversales (figura 21.24).

Datos:

Condición de borde: articulada en ambos extremos.

Altura total: 300 cm.

Tensión admisible: 80 kg/cm2

Lado menor: 10 cm

Lado mayor: 15 cm

Superficie: 150 cm2

Inercia: Ixx = 2812 cm4

Inercia: Iyy = 1250 cm4

Figura 21.24

Radios de giros:

𝐼𝑥𝑥 =𝑏𝑕3

12=

10 . 153

12= 2812

𝑖𝑥𝑥 = 𝐼𝑥𝑥𝐹

= 2812

150= 4,33


439

𝑖𝑦𝑦 = 𝐼𝑦𝑦

𝐹=

1250

150= 2,89

𝜆𝑥𝑥 =300

4,33= 69,28 → 𝜔 = 1,85

𝜆𝑦𝑦 =300

2,89= 104 → 𝜔 = 3,28

Capacidad de carga.

𝑃𝑥 =𝑆𝜎

𝜔𝑥=

150 ∙ 80

1,85= 6.486 𝑘𝑔

𝑃𝑦 =𝑆𝜎

𝜔𝑦=

150 ∙ 80

3,28= 3.658 𝑘𝑔

La columna pandeará según la sección de menor inercia; la capacidad por-

tante real será la de Py.

8.4. Columna de madera compuesta.

Al tirante anterior lo cortamos a lo largo para conformar una sección com-

puesta (figura 21.25).

Momento de inercia en el eje xx:

𝐼𝑥𝑥 = 2𝑏𝑕3

12= 2

5 . 153

12= 2812

Radio de giro:

𝑖𝑥𝑥 = 𝐼𝑥𝑥𝐹

= 2812

150= 4,33

Figura 21.25

Momento de inercia en el eje yy:

𝐼𝑦𝑦 = 2𝑏𝑕1

3

12− 2

𝑏𝑕23

12=

15 . 173

12−

15 . 73

12= 5.712 𝑐𝑚4

Radio de giro eje yy:

𝑖𝑦𝑦 = 𝐼𝑦𝑦

𝐹=

5712

150= 6,17 𝑐𝑚


440

Esbelteces:

𝜆𝑥𝑥 =300

4,33= 69,28 → 𝜔𝑥 = 1,85

𝜆𝑦𝑦 =300

6,17= 48,62 → 𝜔𝑦 = 1,63

Capacidad de carga:

𝑃𝑥 =𝑆𝜎

𝜔𝑥=

150 ∙ 80

1,85= 6.486 𝑘𝑔

𝑃𝑦 =𝑆𝜎

𝜔𝑦=

150 ∙ 80

1,63= 7.362 𝑘𝑔

Ahora la capacidad máxima es la correspondiente a Px y con una pequeña

adición de mano de obra y materiales hemos aumentado la capacidad de la colum-

na casi al doble.

Si además del cambio de forma de la sección realizamos un ajuste en las

condiciones de borde y logramos empotrar los dos extremos, la longitud de pandeo

será:

𝑠𝑘 = 0,5 ∙ 300 = 150 𝑐𝑚 𝜆𝑥 =150

4,33= 34,63 𝜔𝑥 = 1,30

𝑃𝑥 =𝑆𝜎

𝜔𝑥=

150 ∙ 80

1,30= 9.230 𝑘𝑔

Vemos que combinando de manera adecuada las formas y las condiciones de

borde, podemos aumentar notablemente las capacidades portantes de las columnas,

sin agregar material.

8.5. Columna metálica PNI 180.

Calculamos la carga que puede soportar una columna

metálica de un solo perfil metálico doble te (figura 21.26). Las

inercias según el eje "yy" y el "xx" son muy diferentes y por ello

la capacidad de carga en una y otra dirección también lo serán.

Figura 21.26

Datos:

sk: 300 cm

Ix: 1450 cm4 Iy: 81,3 cm

4

Ix: 7,21 cm iy: 1,71 cm

Sección: 27,90 cm2

σadm: 1400 kg/cm2

Resolución:

𝜆𝑥𝑥 =300

7,21= 41,6 → 𝜔𝑥 = 1,14


441

𝜆𝑦𝑦 =300

1,71= 175 → 𝜔𝑦 = 5,17

𝑃𝑥 =𝑆𝜎

𝜔𝑥=

27,9 ∙ 1400

1,14= 34.263 𝑘𝑔

𝑃𝑦 =𝑆𝜎

𝜔𝑦=

27,9 ∙ 1400

5,17= 7.555 𝑘𝑔

8.6. Columna metálica compuesta (2PNI 180).

Cambiamos el diseño transversal por una columna compuesta de dos perfiles

(figura 21.27).

Datos:

sk: 300 cm

Ix: 1450 cm4 Iy: 81,3 cm4

Ix: 7,21 cm iy: 1,71 cm

Sección: 2 . 27,90 cm2 = 55,8 cm2

σadm: 1400 kg/cm2

Figura 21.27

𝜆𝑥 = 𝜆𝑦 =300

7,2= 41,6 → 𝜔 = 1,14

𝑃𝑥 = 𝑃𝑦 =𝑆𝜎

𝜔𝑥=

55,8 ∙ 1400

1,14= 68.526 𝑘𝑔

La capacidad portante de esta nueva columna se aumenta nueve veces, mien-

tras el material hemos aumentado solo al doble. En todas las columnas compuestas,

se deben colocar presillas que impidan el pandeo individual de los perfiles.


442

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