teoria del pandeo
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Teoría del Pandeo
. ~
_.
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Estabilidad General
de un perfil individual o compuesto
en Compresión Pura
La
resistencia
a
compresión axial
de
un perfil depende
de la
estabilidad general
de éste
res istencia al pandeo).
Se
denomina carga
de pandeo a aquella solicitación
axial
bajo la cual el perfi l pi
erde su
pos ic ión recta inicial , deformándose a
causa
de
l
carga de compresión y la acción de
solicitaciones
secundarias
de flex ión o de t orsión o la acci
ón
si
mu
ltánea de
ambas
fl
exo-
tors i
ón
).
De
acue
rdo a las so li c itaciones
secundarias
que orig ina la
carga
de
pandeo
, se d i
stinguen los
siguientes tipos de
pandeo
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a Pandeo por flexión:
Se
presenta en secciones simétricas respecto
a uno o a
ambos
ejes en
los
que
al
estar
sometido a compresión axial , se flectan por pandeo
deformándose según él o
uno
de los planos de simetría. La flexión que se
produce no
induce
solicitaciones
de torsión ,
y
el
perfil
en
consecuencia
,
fallará solamente
por
flexión.
Si la columna tiene las mismas
condiciones
de apoyo en los planos de
pandeo
posibles
, la columna se pandeará
con
respecto al eje en que la
sección tenga menor
radio
de
giro.
Los elementos estructurales
con
cualquier
tipo
de sección transversal
pueden fallar de esta manera. Es el
caso más
general y
corriente.
~
D
,l
•
I
,
I
I
,
~
l
l
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b) Pandeo por torsión:
Lectura complementaria obligatoria: Gaylord
Págs
. 273 a 283 )
Este
tipo de pand eo se
presenta
en
columnas comprimidas
axial
mente
, y únicamente en
perfiles de
secciones
abiertas de planchas muy esbeltas con simetría puntual *), en las
que se
produce un giro en torno al
eje
longitudinal
del
pertil.
Como ejemplo de secciones que pueden estar afectas a
este tipo
de pandeo se tiene a
las
secciones
Z e I de
alas iguales
y
otras
secciones
poco corrientes como las
secciones
crucifomes
o
semejantes
.
*)
Simetría puntual:
secciones con más
de dos ejes de
simetría , o en
general,
secciones
en
que el centro de corte
y el
centro de rigidez coinciden.
Además , debe
cumplirse
que la columna
tenga
la misma
longitud
entre
apoyos
en
todas
las direcciones.
y
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cl Pandeopor flexotorsión:
Lectura complementaria obligatoria: Gaylord Págs. 284 a 288 )
Este
tipo
de pandeo se presenta en perfiles cuyas secciones tienen
un
eje de simetría
canales, tees
,
ángu
los dobles y ángulos simples
de
lados
iguales)
o ninguno
ángu lo
s
simples de lados desiguales). En
este t ipo
de secciones el perfil en comp resión axial se
com ienza a
flectar
por pandeo y s imultáneamente la flexión
produce
tensiones
de corte
no equilibradas , las que a su vez originarán solicitaciones de torsión en la sección. En
suma
el perfil fallará a
causa
de la acción combinada
de flexión
y torsión El
perfil se
flexiona
y
tuerce simultáneamente).
y
t t
.-
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TIPOS DE PANDEO POSIBLES
EN
PERFILES PLEGADOS
EN
FRIO
DE PLANCHAS
E
PEQUEÑO ESPESOR NORMA AISI)
P NDEO
LOC L
P NDEO
DlSTORSION L
P NDEO
L TER L
TORSION L
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Pandeo:
Corresponde a
un
fenómeno de inestabilidad elástica que
se
angina
en un
elemento estructural
esbelto cuando sobre éste actúa una cierta fuerza de compresión axial llamada carga crítica de
pandeo (P
c,it .
El fenómeno se caracteriza por una deformación transversal (flexión, flexotorsión o torsión de
magnitud indeterminada, que ocurre
al
alcanzarse la carga crítica.
Pandeo
que origina deformaciones
de flexión:
Para estudiar
el
pandeo que origina deformaciones por
flexión, se considerará ell elemento estructural de la
figura, sometido simultáneamente a cargas transversales
a su eje las que
le
originan flexión , a una carga axial que
le
origina compresión
.
A este tipo de elemento se le llama
viga/columna
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En general , para desarrollar el análisis correspondiente a la flexión de
un elemento estructural, se admite que las deformaciones que en
él
ocurren
son
pequeñas, por lo que se puede escribir las ecuaciones
de
equilibrio de fuerzas utilizando
la
geometria inicial del elemento
(e lemento no deformado), sin que por ello se incurra en errores
de
significación (Teoria
de rimer
Orden).
Considerando esa situación, al plantear
la
ecuación de momento, se
obtiene, en cualquier punto z
:
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Sin embargo, para estudiar
el
fenómeno de pandeo,
se
debe utilizar la Teoria
de
Segundo
Orden, que permite determinar
el
equilibrio de fuerzas utilizando
la
geometría de
la
barra
en
su
posición deformada:
. , . ~
'.---,r- -
. Qá
--,J
:
M z) = Mo Z) Py
Planteando
la
relación (de Mecánica de Sólidos), que
permite encontrar
la
elástica o ecuación de la posición
del eje deformado del elemento estructural,
se
tiene:
llamando:
se t
ie
n
e
Ecuación diferencial que permite resolver
el
problema de pandeo para
la
condición de cargas
yapoyos planteada.
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En caso de una columna sin cargas transversales:
y la ecuación diferencial de pandeo queda:
cuya solución general se puede obtener con la expresión :
y
=A
SENkz
+BCOSkz
+ Cz + D
incorporando las condiciones de borde que existan en los apoyos
y(O)=?
(d
y
) ?
dz
z-O) - .
(d
2
y) ?
2 z-O) - .
dz
(d
3
y) ?
3
z-Ol - .
dz
y L)=?
dy _
d
2
y _ d
3
y _
dz
) z-L) -
?
2 ) z-L) -
? 3
) z-L) -
?
dz dz
Las distintas condiciones de apoyo que existan producirán distintas formas de la elástica en
la situación de pandeo las que tendrán asociadas a
su
vez distintas cargas criticas o
cargas de pandeo ).
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L
y =A SENkz +
BCOSkz
+Cz +D
Asi , en el caso de columnas rotuladas-rotuladas:
•
•
I
Condiciones de borde:
y(O) O
d
y
) z
=
O
= O
= >
dz
M O)
=
O
= >
y(L) O
= >
e = o
M(L)=O
B O
=:>0=0
l
A
_ y
t
or l
Además, como:
t
Y
=
A
SEN z
L
Ll
ama
nd
o
o
a la deformación indeterminada) en el centro de la columna:
y(L/2)
= o
A
= /; y =
5 SEN:
z Ecuación de)a elástica)
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Para otras condiciones de apoyo, la elástica resulta distinta :
2L
e ,
I
I
•
I
•
•
•
•
,
- . t - - - - ~
Q(L) = P SENa
n
el inicio del pandeo:
SENa = Q(L)
P
COS
a=
1
a pequeño >
dy
Q(L)
SENa '
TANa =
dz) z=L)
= p
De la ecuación de la elástica:
1 d
3
y
Q(L)
= -
El
dz
3
) Z =L
Condiciones de borde:
y(O)=O
M L)=O
dy
1 d
3
y
dZ) Z=L = - P El dz3 ) Z=L
Resulta: Pcritica
1t 2EI
(2L)2
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Generalizando, para diversas condiciones de apoyo, se obtiene:
2EI
P _
1t
critic
KL)2
Conviene definir algunos términos:
I = l
p
=
longitud de pandeo: distancia entre puntos de inflexión de la elástica pandeada:
l
parámetro K se le llama coeficiente de Longitud Efectiva , o Coeficiente de
Pandeo ,
2EI
P
_ - . . : 1 t ~
critica
I
p
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APENDlCE
1
FACTORES K DE LONGITUD EFECI1VA
El fuaor
K de longitud efectiva de columnas ha sido ampliamente utilizado para e presar
la resisteooil en comf)resión
de
un miembro que fonna parte
de
un marco o una estruc
tura. en términos
e
la
resistenda
de
un miembro comprimido teórico, articulado
en
ambos extremos con las mismas características geométricas del miembro analizado.
A continuación se presentan algunos métodos para determinar este c;:oeficiente.
1
INTERPOlACION
ENTRE CASOS TEORICOS TIPICOS
Para fines de predimensionamiento. las condiciones
de
empotramiento pue<len asim
i-
larse a alguno de los casos ideales indicados en
la
tabla A1-1, Y
e
allí obtener un
Villor
aproximado
de K
Luego de efea:uado el predimensionamiento se podrá proceder con
alguno de los métodos indicados
miÍs
adelante.
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La
columna
pandeada
se indica
con
línea
de segmentos
Valor teórico
de K
Valor
de diseño recomendado
cuando
las
condiciones
ideales son aproximadas
T
y
?
\
\
COEFICIENTES DE LONGITUD EFECTIVA
Valores teóricos recomendados
(a)
(b)
(e) I
(d)
I
I I
,
V
¡? . . l
I
,
1\
I
,
,
,
¡ t
I
,
\
I
•
O.
7 l
,
\
/_1
I
O.5l I \ l
,
\
•
I
,
I
,
I
,
,
I
I t I t
0.5
0.7
1.0
1.0
0.65 0.80 1.2 1.0
SIMBOLOGIA
Rotación fija y traslación fija
Rotación
libre y traslación fija
Rotación fija y
traslación libre
unto
de cambio
de
curvatura
(e)
(f)
1
1
I I
¡? . .
o
,
I
I
,
o
I
2l
I
,
o
,
I
o
,
2l
I
,
,
,
,
,
,
,
,
-
I
,
L ~
t
2.0 2.0
2.1
2 0
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2
METODO
DE LOS ABACOS
Este método
s
basa en el pandeo
de
un subconjunto estructural como elde l figura
Al·l
suponiEndo
condiciones
ideales
que I IrlImentE
Existen
En
la
realidad
Estas
suposiciones
SOIl;
lo lo P
gl
C2
e I
B 6
C3
el
Fig
Al·l
Subconjunto de un marco no arriostrado usado
en
el
desarrollo de los á ~ c o s
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i)
El
comportamiento
es
elástico.
ii)
Todos los miembros
son e
sección constante.
¡ii Todas las unÍQnes son
rígidas.
iv) En los marcos arriostrados. las rotaciones en los extremos
opuestos de
las vigas
son
de
igual magnitud, produciendo rurvatura simple.
v}
En los maTeOS no arriostrados, las rotaciones en los extrt 'mos opuestos de las
vig S
son
de
igual magnitud, produciendo doble rurvatura.
vi ) El parámetro de rigidez
JPI l
d todas las columnas de un piso es el mismo.
vii)
l <I
rerni ión
¡;>fQlXlrcionada
a
un
nudo
)Or
las
vigas
que conrurren a
él
se
distribuye a los tramos de columna por encima y por deba
jo
del nudo en
propor
ción a los valores
VL de esos
tramos.
viii) Todas las columnas
de
un piso se pandean simultáneamente.
iXJ No existe un compresión significativa en las vigas.
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La solución del
pandeo
del subconjunto
mostrado
en la ligur. Al-l. pa .. el caso
en
que no existen amostr"amientos
que
impidan el desplazamiento lateral. conduce a
la siguiente ecuación:
GAG, 1t / K
- 6
=
t
K
(Al-l)
6 G. +G.) tg 1C /
K
en
que GA yGS son 1.. razones
de
rigidez enln las columnas yvigas que concurren
al extremo super;ur e inferior de la columna ver figura Al-l),
I
El
/ l.)
colWDIW
El
I L) o;Qillflll1<lS
G
- - A.... :-::::-:--:-:---:--
A
- L E f / L) vigas
AI-2a)
G. = ' (AI-2b)
l l
/ L ) vigas
•
•
ara
el caso
n
que existen aniostr amientos que impiden los desplazamientos
laterales, la ecuación
correspondiente
es:
G.G, ~ + GA
G.
_
tC
I K ) + tg Jl/2K - 1
4
K
2
tg 1C /
K)
(tC
/2K)
(A1-3)
La solución
a
estas ecuaciones
se
presenta en
los ábacos
de
la
figura"
1-2.
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NOTA: Para un análisis más completo se sugiere leer: ANEXO 7 de los COMENTARIOS a la Norma AISC 360 10 :
MÉTODOS
ALTERNATIVOS
DE
DISEÑO
POR
ESTABILIDAD
A
0 .1
COEFICIENTES K
COEF IC IENTES K
G
ARCO ARRIOSTRADO
MARCO NO ARRIOSTRADO
(t;)
- J, - J,
t t
3.( )
1( )
2 t;)
1S t;)
3 v
2 v
K
K
G.
G.
G.
G.
-
20
50
50
lO.
lO
10
100
to
5.
5
lO
•
0,9
1
20
,
20
,
2
lO
,
10
O,
• •
1
O,.
O
•
,.
0,7
0,7
5
•
O,,
0,7
O,,
•
,
,
O
O ,
J
3
O
0,<
0,3
O,J
2
2
0,_
1,5
0 2
0 2
I
I
, 1 0,1
I
O
O
•
°
O
bacos para
coeficientes
de ongitud efectiva
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En el empleo de los ábacos de la figura A1·2 se considerará lo siguiente:
G=10 cuando el extremo infenor
de
una columna se ha s u p ~ s t o roculado y la
fundación se ha diseñado consecuentemente.
G= l cuando el extremo inferior
de
una columna se
ha
supuesto empotrado y la
fundación Se ha diseñado para resistir el momento
de
empotTamienlo.
Si el extremo má s aLejado
de
una viga
qu
concurre
al
nudo
de
una columna i ~
distincotipo de fijación que el extremo que ~ g a
al
nudo se deberá modificar la longiCU<l
de
la viga en el cálculo de e en la forma siguiente:
al
en
marcos con desplazamiento
la
...
ral:
r =2. L
si
el extremo más alejado es rondado.
r
= 1.5L si
el extremo
más
alejado es emporrado.
b
en marcos s in desplazamiento lateral:
J = U2.0
si el
extremo más alejado es empotrado.
r
=
UI 5
si el extremo más alejado es rorulado.
En
sistemas enrejados considerar K= 1.
En columnas
de
marros arrioslTados con la carga repartida uniformemente en su altura
K= 0.73.
En columnas
de
marcos arriostrados. en las cuales existen dos argas distintas en
su
longiCUd
. se puede considerar K
=
0.25 0.75 P..fP ...
• En columnas
de
marros amomados con carga en los extremos y repartida K= 1.
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4. FORMUlAS APROXIIIL\DAS
PAR..<\.
REEMPlAZAR LOS AB..o\COS
Con
el fin
d@
posibititBr
resolu
ción
r.ípida de
las
ecuaciones
Al
YA
J
se
han
plant
eado formulaciones que aproximan. dentro
de márgenes estrechos Jos valores
obteni-
dos de ellas
y
de
los
ábacos basados en ellas.
Para marcos no arriostrados:
K =
11,6G
,G,
+4O(G
A
G,I 7.5
V G
A
7,5
Esta
expresión aproxima la
solución de la ecuación A1·1 con un
margen de
2 .
Para marcos arriostT3dos:
K G
O
4I
XG,
+0,
41)
V G
A
+ O,82)(G, 0,821
(A1-9l
(AI-IOl
Esta
expresión
aproxima
la
solución
de
la ecuaciónAI 3 con un margen
de
+ O,l y -1,5
.
El
valor
de
K de la
eroación
A1.9,
para
marcos
no
arriostrados
puede
modificarse del
modo
como
indica la ecuación
Al·7
para incorporar el efedo
de
las columnas biarticula
d s que
h y en
el piso
Análogamente los valores de GAyG8
pueden
modificarse como se indica en
l .
sección:2
para
tomar
en consideración las condiciones reales de
apoyo de extremos
lejanos de las
columnas que concurren nudo,
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OTRAS SITUACIONES
DE
COLUMNAS
Form
iI. de
pandeg
.n
plano de la
p.
L VACION
cen:hOll
~
ELEVACION
P ,
P
,
L
p.,
p.
{
P,,'
(Pu)_"'MAYOR P
u2
(PU)mifJ-P'
K== 0 . 75
K' 1
lPu)mu ·
P
+
P
UO
Pu·Pu
L
(P.) .
K=O.7
5
+0
.
25
'
lPu)me
lt
p
•
P
u
'
(Pu) ,u
Ip =KL
L
L
L12 J·- ·
\ Forma de pandlilo
PLANTA
en el plano d la
L-
cosa
(
Pu
) ...
K-OJ5+0
.
5 -
(Pu)m_
CUBIERTA
INCLINADA.
PERPENOIClLAR A LA CERCHA.
- - - - - . . v , - - - . J ;
Gr.mcos en Apuntes
O.en Acero· Elias Arze
PHC
.
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8 . COLUMNAS ESCALO:SAD.AS y Ul'I'lFOR.\1ES DE
EDIFIClOS
DIDUSTRIAI.ES
Las
columnas de edificios industriales con grúa pueden ser escalonadas (Ag. A1-3 YA1-4)
o uniformes
(Fig
.
A
1-4).
En
el análisis de columnas escalonadas se pueden utilizar
los
coeficientes Kque enrrega
la
Association oflron and Steel Engineers.
AISI :
, en el
Info rm
e Tém ico N°n , tablas El.I
a El.xll. Véase referenc
ia
3.
La figura A1-3 ind ica el proce
dim
iento.
/
' ~
P
-
/ Ao
ro
/
-
r",
V
-
/-
>
-
r,
- /
r.
e
Conjunto
P
u
=
P, P,
.p.P
.
=0
,85 A Fa
1 1::
L
.= ; 0;
4 ; l ~ E
. r Ir
.
•
S :z.
;=
,-;=
Á
.J
F,I E
rTI
K':
según
tablas
E.l.1
a E.l.XII
del
Estándar 13 de A1SE
K,.:según fig . A
1-2
.
Parte superior
P
u
= P,
o 0 ,
85
A F
Á
. aL
F f E
e.y r K ¡
Y
v
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Si se determina
la
tensión que origina
la
carga crítica:
Por definició
n:
P
critic
(J critica
A
r
=
radio de giro
_
I
r -
A
Se define
la
esbeltez de una columna como 'le , en que:
Con esta definición, se obtiene finalmente :
Tensión critica de pandeo para una columna idealmente perfecta : sin excentricidades
ni
curvatura inicial.
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l
diagrama teórico que resulta de graficar esta tensión corresponde a l parábola de Euler ,
F
column s cort s column s esbelt s
La parábola de Euler representa l situación última por pandeo, sin embargo, el diagrama tensional está
acotado por l resistencia del material , en el caso del acero, por l tensión de fluencia, La intersección de
l recta trazada por l tensión de fluencia con l parábola, define teóricamente dos tipos de columnas:
Las llamadas columnas cortas que debido a su poca esbeltez no alcanzan a pandearse pues antes se
plastifican,
y
las columnas esbeltas que no pueden alcanzar l fluencia por compresión en su sección
total pues antes se pandean,
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Ensave
a tracción
P
unt
o
IU
OMkI,, ,
: : c - _ ~
rkI.n liI __
Limite EIUtico
Limito
I o n ~ '
~ , - -
f
Pun to Inferior du
; u, n< ¡'
INo t i aneal.)
I PO
defonn clón
lal'.
EÜlllco
F
y
=Tensión de uenc i .
¡p =Tensión en limito do proporcionalidad
Se ha visto que la curva carga deformación de
columnas cortas de acero sometida a compresión
tiene una pronunciada región de no-linealidad en
comparación con el ensaye a tracción de una barra
de
acero dúctil, Esta no linealidad se debe
fundamentalmente a tensiones residuales producto
de
su fabricación . Además, al producirse el pandeo
de
columnas de esbeltez cercana al límite teórico,
estas presentan distinto grado
de
plastificación en
su sección, lo que las hace tener un comportamiento
elasto plástico que no es explicado por
t
ecuación
teórica de
l
carga critica.
La experiencia ha demostrado que la carga critica
de
pandeo para estas columnas queda mejor
determinada reemplazando E por El que es
variable, generándose la curva que se muestra en la
próxima figura.
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~ p
F
Tensión de Fluencia
~ p
Tensión en límite de
proporcion lid d
columnas cortas)
Pandeo inelástico
Las curvas son
tangentes entre sí
/
2 E
A
~ J
columnas esbeltas)
Pandeo elástico
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Tensión Crítica de Compresión
E (Kg/cm2)= 2100000
Fy (Kg/cm2) 2700
λ Fe Fcritica
10 207.262 2.685
. .
30 23.029 2.571
40 12.954 2.47450 8.290 2.356
60 5.757 2.219
. .
80 3.238 1.905
90 2.559 1.736
100 2.073 1.565
110 1.713 1.396120 1.439 1.231
Fcritica
130 1.226 1.074
140 1.057 927
150 921 808
160 810 710
170 717 629
2.000
2.500
.
180 640 561
190 574 504
200 518 454
210 470 412
220 428 376 500
1.000
1.500
Fcritica
230 392 344
240 360 316
250 332 291
0
10 30 5 0 7 0 9 0 1 10 13 0 1 50 170 19 0 21 0 2 30 250