58441468 pandeo lateral

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

1/151

DISEO DEESTRUCTURAS DE ACERO

FLEXIN 2(PANDEO LATERAL)

d

z

x

y

M

M

(a)

(b)

A

A

B

B

Mx

Mx Mx

Mxx

x

y

z

z

z

v

(c)

M

Mx

u

Mxx

y

v

Oscar de Buen Lpez de Heredia

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

2/151

DISEODE ESTRUCTURAS DE ACERO

CAPTULO 5FLEXIN 2 (PANDEO LATERAL)

Oscar de Buen Lpez de Heredia

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

3/151

Derechos Reservados 2002Fundacin ICA, A. C.

Av. del Parque No 91Colonia NpolesC.P. 03810 Mxico, D.F.Tel 56 69 39 85, 52 72 99 91, 52 72 99 15Ext. 4002-4079Ext. Fax 4083

email: [email protected]: [email protected]:// www.fundacion-ica.org.mx

ISBN 968-7508 97-3

Impreso en Mxico.
mailto:[email protected]:[email protected]://www.fundacion-ica.org.mx/http://www.fundacion-ica.org.mx/mailto:[email protected]:[email protected]

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

4/151

Flexin2 (Pandeo lateral) 3

CAPTULO 5. FLEXIN 2 (PANDEO LATERAL)

NDICE:

5.1 Introduccin ........................................................................................................ 7

5.2 Comportamiento de vigas en flexin pura ........................................................ 10

5.2.1 Vigas de diversas longitudes ................................................................. 11

5.3 Torsin ............................................................................................................. 13

5.3.1 Introduccin ........................................................................................... 13

5.3.2 Torsin pura o de Saint Venant ............................................................. 13

5.3.2.1 Barras de seccin transversal abierta formadas porrectngulos angostos ................................................................... 13

5.3.2.2 Barras de seccin transversal hueca de paredesdelgadas ...................................................................................... 14

5.3.3 Torsin no uniforme de barras de seccin transversal abiertay paredes delgadas ................................................................................. 18

5.4 Pandeo lateral elstico ...................................................................................... 25

5.4.1 Caso fundamental: vigas I en flexin pura ............................................. 25

5.4.1.1 Clculo del momento crtico ......................................................... 26

5.4.1.1.1 Vigas de seccin transversal rectangular,maciza o hueca ................................................................ 28

5.4.1.1.2 Vigas I de paredes delgadas ............................................ 28

5.4.2 Otras condiciones de apoyo y carga ...................................................... 29

5.4.2.1 Algunas soluciones aproximadas ................................................. 33

5.4.2.1.1 Momentos desiguales en los extremos ............................ 335.4.2.1.2 Carga concentrada en el punto medio ............................. 355.4.2.1.3 Otras condiciones de carga ............................................. 385.4.2.1.4 Otras condiciones de soporte lateral ................................ 42

5.4.3 Soportes laterales intermedios y vigas continuas .................................. 43

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

5/151

4 Flexin 2 (pandeo lateral)

5.5 Pandeo lateral inelstico .................................................................................... 55

5.5.1 Aspectos generales ............................................................................... 55

5.5.2 Criterios para determinar la resistencia ................................................. 58

5.6 Resistencia de diseo en flexin ....................................................................... 62

5.6.1 Miembros en los que el pandeo lateral no es crtico .............................. 62

5.6.1.1 Miembros que no se pandean ...................................................... 64

5.6.2 Miembros en los que el pandeo lateral es crtico ................................... 69

5.6.2.1 Pandeo lateral en el intervalo elstico .......................................... 69

5.6.2.2 Pandeo lateral inelstico .............................................................. 705.6.3 Normas tcnicas complementarias del reglamento del D.F .. 71

5.6.3.2.1 Frmulas simplificadas ..................................................... 765.6.3.2.2 Flexin no uniforme .......................................................... 77

5.6.4 Longitudes caractersticas ..................................................................... 78

5.6.5 Efectos del nivel en el que estn aplicadas las cargas .......................... 81

5.7 Contraventeo ..................................................................................................... 83

5.7.1 Introduccin ........................................................................................... 83

5.7.2 Diseo de elementos de contraventeo ................................................... 86

5.7.3 Imperfecciones iniciales ......................................................................... 88

5.7.4 Inelasticidad del elemento contraventeado ............................................ 89

5.7.5 Rigidez del sistema de contraventeo ..................................................... 90

5.7.6 Factores de resistencia y definiciones ................................................... 91

5.7.7 Contraventeo relativo para columnas y marcos ..................................... 91

5.7.7.1 Recomendaciones de diseo ....................................................... 91

5.7.8 Sistemas discretos de contraventeo para columnas .............................. 94

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

6/151

Flexin2 (Pandeo lateral) 5

5.7.8.1 Recomendaciones de diseo ....................................................... 94

5.7.9 Contraventeo continuo de columnas .................................................... 100

5.7.9.1 Recomendaciones de diseo ..................................................... 100

5.7.10 Sistemas de apoyo ............................................................................. 100

5.7.11 Columnas soportadas lateralmente en un patn ................................. 103

5.7.12 Pandeo de vigas y contraventeo lateral .............................................. 105

5.7.12.1 Contraventeo lateral ................................................................... 106


5.7.13 Contraventeo torsional ........................................................................ 109


5.8 Especificaciones AISC basadas en factores de carga y resistencia ................ 115

5.8.1 Resistencia de diseo .......................................................................... 118

5.8.1.1 Casos en que no es crtica ninguna forma de pandeo ................ 118

5.8.1.2 Estados lmite de pandeo lateral o local (>p) .......................... 119

5.8.1.2.1 Pandeo inelstico (pr) ................................................... 122

5.8.2 Casos en que Cbes mayor que 1.0 ..................................................... 122

5.9 Vigas de paredes delgadas ............................................................................. 136

5.10 Referencias ...................................................................................................... 138

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

7/151

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

8/151

Flexin 2 (Pandeo Lateral) 7

CAPTULO 5. FLEXIN 2 (PANDEO LATERAL)

5.1 INTRODUCCIN

Los elementos estructurales que trabajan en flexin, vigas, trabes armadas y armaduras,suelen tener resistencia y rigidez, en el plano de aplicacin de las cargas (alrededor, casisiempre, del eje de mayor momento de inercia), mucho mayores que en el normal a l,por lo que, a menos que se contraventeen adecuadamente, para evitar deflexioneslaterales y deformaciones por torsin, pueden fallar por pandeo lateral por flexotorsinantes de que se alcance su resistencia mxima en el plano. Esta forma de pandeo esespecialmente crtica durante la etapa de construccin, cuando no hay soportes laterales,o son muy diferentes de los definitivos.

El pandeo lateral por flexotorsin es un estado lmite de utilidad estructural en el que la

viga deformada se sale del plano de carga, desplazndose lateralmente y retorcindose;la resistencia disminuye, bruscamente, por los cambios en geometra, que originan torsiny flexin alrededor del eje de menor resistencia, y por la rpida plastificacin del material;puede evitarse colocando un contraventeo lateral espaciado y diseado adecuadamente,utilizando secciones transversales de rigidez torsional elevada, como las secciones encajn, o asegurando que el momento de diseo no sea mayor que el crtico de pandeo.

La variable que ms afecta la resistencia al pandeo lateral es la separacin entresecciones soportadas lateralmente. Otras variables importantes son: tipo y posicin de lascargas, restricciones a los desplazamientos de los apoyos y continuidad en ellos, forma delas secciones transversales, presencia, o ausencia, de elementos que restrinjan el alabeo

de secciones crticas, propiedades del material, magnitud y distribucin de esfuerzosresiduales, imperfecciones iniciales en geometra y carga, discontinuidades producidaspor cambios de seccin o agujeros, e interaccin con pandeo local.

En la Fig. 5.1 se muestra una viga de seccin I,apoyada de manera que sus extremospueden girar libremente alrededor de sus ejes centroidales y principales x y y, pero noalrededor del longitudinal z, sometida a flexin pura, producida por pares de magnitudesiguales y sentidos contrarios, aplicados en los extremos.

Uno de los patines, el superior en este caso, trabaja en compresin, y se encuentra encondiciones parecidas a las de una columna cargada axialmente; el otro patn est en

tensin.

Si los momentos crecen, el equilibrio del patn comprimido se vuelve eventualmenteinestable, y se pandea lateralmente; el patn en tensin trata de conservarse recto, lo queretrasa, pero no impide, el pandeo del comprimido; su influencia aumenta con la rigidezdel alma, que liga los dos patines entre s, de manera que es mayor en vigas de almagruesa y poco peralte.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

9/151

8 Flexin 2 (Pandeo Lateral)

x

d

z

x

y

M

M

(a)

(b)

A

A

B

B

Mx

Mx Mx

Mxx

x

y

z

z

z

v

(c)

M

M

u

Mxx

y

v

M

Fig. 5.1 Pandeo lateral de una viga I en flexin pura.

El patn comprimido se pandeara alrededor de su eje horizontal, que es el de menormomento de inercia, pero se lo impide el alma, por lo que se flexiona alrededor del

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

10/151


vertical, cuando los momentos alcanzan los valores crticos correspondientes. (Slo lasalmas muy esbeltas son incapaces de impedir el pandeo del patn en el plano vertical;este problema se estudia en el Captulo 6) .

Cualquier viga apoyada en los extremos y cargada en el plano del alma, con seccionestransversales que tengan un momento de inercia respecto al eje de flexin, x, mayor quealrededor del normal a l, y, puede pandearse lateralmente, a menos que ese fenmenose impida por medio de elementos exteriores; si Ixes apreciablemente mayor que Iy,comoen la mayora de las vigas, el pandeo lateral y el colapso pueden presentarse muchoantes de que los esfuerzos normales debidos a la flexin lleguen al lmite de fluencia.

Mientras las cargas, que actan en el plano del alma, permanecen por debajo de unacierta intensidad, la viga se deforma nicamente en ese plano, y su equilibrio es estable:si, por medio de un agente externo, se le obliga a adoptar una configuracin ligeramentedeformada lateralmente, recupera la configuracin plana al desaparecer aquel. Sin

embargo, cuando crecen las solicitaciones, llegan a ser posibles formas en equilibriodeformadas lateralmente y retorcidas, adems de la plana; la carga menor para la quepueden presentarse esas nuevas formas de equilibrio es la carga crtica de pandeo lateral

por flexotorsinde la viga.

El comportamiento es semejante al de las columnas en compresin axial; como en ellas,la terminacin del equilibrio estable se caracteriza por la aparicin de un nuevo tipo dedesplazamiento, fuera del plano original de carga, que no exista para solicitacionesinferiores a la crtica.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

11/151


5.2 COMPORTAMIENTO DE VIGAS EN FLEXIN PURA

Las curvas de la Fig. 5.2 muestran, en forma esquemtica, el comportamiento de la viga

en flexin pura de la Fig. 5.1; la curva M - , momento-rotacin en un extremo (Fig. 5.2a),

representa el comportamiento de la barra en el plano de carga, y las curvas M - u M - ,momento-desplazamiento lateral o momento-rotacin alrededor del eje longitudinal (Fig.5.2b), describen el pandeo lateral. Si la viga fuese perfectamente recta y no hubieseninguna excentricidad en los momentos aplicados en sus extremos, las curvas M -uy M-

seran como la representada con lnea llena, y el punto Acorrespondera al instante enque el equilibrio se bifurca; a partir de l la viga puede, en teora, admitir momentosmayores, mantenindose en su plano (trayectoria AB), o desplazarse lateralmente bajomomento prcticamente constante, segnAC.

(b)

A

B

(a)

Mcr

My

M

0 0

A

B

C

u,

Mcr

My

M

C

Bifurcacin delequilibrio

Efecto deimperfeccionesiniciales

Fig. 5.2 Comportamiento de una viga en flexin pura.

En las vigas reales no se presenta nunca la bifurcacin del equilibrio, pues siempre hayimperfecciones iniciales, que hacen que los desplazamientos laterales comiencen bajomomentos mucho ms pequeos que el crtico (curvas con lnea interrumpida, Fig. 5.2), yla falla no es por pandeo propiamente dicho. Sin embargo, esas pequeasimperfecciones no afectan mayormente las deformaciones calculadas suponiendo un

sistema ideal perfecto ms que cuando las cargas se acercan a los valores crticos de esesistema; cerca de la carga de pandeo, pequeos incrementos en las solicitacionesocasionan aumentos considerables en las deflexiones.

La determinacin de la curva accin-deformacin de vigas con imperfecciones iniciales eslarga y complicada, y rara vez se justifica en la prctica; en el diseo se utiliza la cargacrtica de pandeo de miembros inicialmente rectos como un lmite de la resistencia de lasvigas reales aunque, como se mencion arriba, el pandeo propiamente dicho, porbifurcacin del equilibrio, no se presenta nunca. Muchos estudios de laboratorio y una

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

12/151


larga prctica de diseo han demostrado que este procedimiento es razonable yproporciona resultados satisfactorios.

En resumen, cuando el momento M se aproxima al valor crtico, aparecen

desplazamientos uy relativamente grandes y, para fines prcticos, puede considerarseque Mcres el momento mximo que la viga puede resistir. Mientras Mes menor que Mcr,las deformaciones del miembro se confinan al plano que ocupa originalmente, pero tanpronto como alcanza el valor crtico se inicia el pandeo lateral por flexotorsin, y la vigafalla por flujo plstico despus de una deformacin considerable, mientras el momento semantiene prcticamente constante.

5.2.1 Vigas de diversas longitudes

Desde el punto de vista de su resistencia al pandeo lateral, una viga de acero en flexin,

de seccin tipo 1 o 2 (Captulo 3), se comporta de alguna de las tres maneras siguientes:si es muy corta, sus secciones transversales se plastifican por completo antes depandearse, y pueden desarrollar el momento plstico; si es de longitud intermedia, laresistencia disminuye por la plastificacin parcial que precede al pandeo, que se inicia enel intervalo inelstico, y si es larga se pandea elsticamente, bajo solicitaciones quepueden ser de magnitud muy pequea. (Las vigas de seccin transversal tipo 3 o 4pueden fallar antes, por pandeo local).

Como en las columnas, desde el punto de vista del pandeo lateral no interesa la longitudreal de las vigas, sino la distancia entre secciones fijas lateralmente, es decir, la longitudlibre de pandeo.

La grfica momento resistente-longitud libre de pandeo de la Fig. 5.3 ilustra los tresintervalos mencionados arriba. El tramoABdescribe el comportamiento de miembros muycortos, en los que el material se endurece por deformacin, sin que haya pandeo lateral, yel CD corresponde al pandeo elstico. Las curvas AB y CD son hiprbolas que no secortan; la transicin entre ellas, curva BC, representa el pandeo inelstico, que se iniciacuando parte del material de la viga ha fluido ya plsticamente. A causa de los esfuerzosresiduales, el comportamiento elstico termina cuando el momento vale Me, que puedeser bastante ms pequeo que My.

En las Figs. 5.3 b, c y d, se han trazado las curvas M-uo M-de vigas que se encuentran

en cada uno de los tres intervalos.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

13/151


(b) (c) (d)

MpMyM

u, u, u,

McrMcr

McrMm

M M M

Momentoresistente

Pandeo inelsticoPandeo elstico

Longitud libre de pandeo

(a)

AB

C

D

EMpMy

M

L

0

u

Pandeoen elintervalo

de endu-recimientopor defor-macin

Diseoplstico Diseo basadoen esfuerzos

permisibles

e

e

Fig. 5.3 Comportamiento de vigas de diferentes longitudes.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

14/151


5.3 TORSIN

5.3.1 Introduccin

La torsin en elementos estructurales puede ser producida en forma directa por lasacciones exteriores (un eje de un motor, cuyo trabajo consiste en transmitir un momentode torsin, es un ejemplo tpico), o puede presentarse al iniciarse el pandeo de unmiembro originalmente recto sometido, por ejemplo, a flexin; como se v ms adelante,el desplazamiento lateral del eje y las rotaciones de las secciones transversales quecaracterizan el pandeo de las vigas ocasionan momentos torsionantes; la resistencia de laviga aumenta cuando crece su oposicin a los desplazamientos laterales lo que depende,entre otras cosas, de su resistencia a la torsin.

En los artculos siguientes se presenta un resumen de resultados que corresponden,

principalmente, a la torsin del segundo tipo, que es la que tiene mayor inters en estelibro. El problema puede estudiarse en detalle en la ref. 5.1.

5.3.2 Torsin pura o de Saint Venant

El ngulo de rotacin, por unidad de longitud, de una barra recta de seccin transversalrectangular sometida a torsin pura, producida por pares aplicados en sus extremos, secalcula con la ec. 5.1, y los esfuerzos tangenciales mximos, que aparecen en los puntosmedios de los lados largos, con la ec. 5.2 (ref. 5.1):

bGaMk T

31= (5.1)

mxba

Mk T2

2= (5.2)

Ges el mdulo de elasticidad al esfuerzo cortante del material, MT el momento de torsin,constante, que acta en la barra, ay b los lados menor y mayor del rectngulo, y k1y k2coeficientes que dependen de las proporciones del rectngulo; si b/a = , los dos valen3.0, y tienen un valor muy cercano, ligeramente mayor que 3.0, si b/aexcede de 8 o 10.

5.3.2.1 Barras de seccin transversal abierta formada por rectngulosangostos

Los resultados obtenidos para el rectngulo angosto son aplicables a cualquier seccincompuesta por rectngulos alargados, unidos entre s de manera que no rodeen porcompleto ninguna regin del plano en que se encuentran (de aqu el nombre de abiertas),como las secciones I, H, canales y ngulos. Cada uno de los rectngulos acta como siestuviese aislado; si se ignoran las perturbaciones locales en las zonas de unin entre

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

15/151


ellos, el momento torsionante total que resiste la seccin es aproximadamente igual a lasuma de los momentos resistentes de todos.

Como los rectngulos que forman los perfiles laminados o hechos con placas tienen

siempre relaciones b/a elevadas, se llega a resultados muy cercanos a los realeshaciendo, en todos los casos, k1= k2= 3.0.

Las ecs. 5.1 y 5.2 toman la forma general

)3( 3baG

MT

= (5.3)

mx aba

MT

)3( 3= (5.4)

ay bson los lados corto y largo de cada uno de los rectngulos que forman la seccinque, en general, no son iguales entre s; la aque multiplica la fraccin de la ec. 5.4 es elancho del rectngulo en el que se quiere calcular el esfuerzo mximo.

La cantidad ( )a b3 3 es la constante de torsin de Saint Venant; se representa con la letra

J. Introduciendo esta notacin, las ecs. 5.3 y 5.4 se escriben

GJ

TM

= (5.5)

mx aJMT= (5.6)

J= ba33

1 (5.6a)

El producto GJes la rigidez a la torsin de Saint Venant.

5.3.2.2 Barras de seccin transversal hueca de paredes delgadas

Suelen estar formadas por varias placas de espesor pequeo en comparacin con lasdimensiones generales de la seccin; pueden ser manufacturadas doblando una lminaplana, o compuestas por placas soldadas entre s.

En la Fig. 5.4 se muestran, en forma esquemtica, los esfuerzos cortantes que produce latorsin en las secciones transversales de dos barras de paredes delgadas, iguales entodo, excepto en que una es abierta y la otra cerrada.

Para que las fuerzas interiores de la seccin abierta puedan equilibrar un par de torsin,deben cambiar de sentido a travs del grueso de las paredes; el brazo de los pares

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

16/151


resistentes es muy pequeo. En cambio, en la seccin cerrada el flujo de fuerzas escontinuo y el brazo es mucho mayor; para valores iguales del esfuerzo cortante, suresistencia a la torsin es mucho ms elevada.

(a) (b)

Fig. 5.4 Esfuerzos cortantes en dos secciones de paredes delgadas,una abierta y otra cerrada.

El ngulo de rotacin por unidad de longitud, y el esfuerzo cortante mximo, en lassecciones cerradas, se calculan con las ecuaciones (ref. 5.1)

GJ

M

t

ds

GA

M T

si

T == 24 (5.7)

tA

M

i

T

2= (5.8)

t es el grueso de la pared de la seccin, que puede ser constante o variable; en elsegundo caso, en la ec. 5.8 se utiliza la t correspondiente al punto donde se deseacalcular el esfuerzo, que es mximo donde la pared es ms delgada.

Aies el rea encerrada por el eje de las paredes.

La constante de Saint Venant de una pieza hueca de paredes delgadas es

=

s

i

t

ds

AJ

24

La integracin se efecta a lo largo de todo el permetro de la seccin.

Las expresiones anteriores se simplifican cuando el grueso de las paredes es constante;entonces,

==s s t

Sds

tt

ds 1

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

17/151


Ses el permetro del eje de la pared.

GJ

M=

GtA

SM T

i

T

24=

S

tAJ

i24

= (5.9)

Cuando el rea efectiva de una seccin hueca de paredes delgadas de espesor constante

es menor que un quinto de la encerrada por el eje de las paredes (A A i/5), el error quese comete al calcular los esfuerzos con la ec. 5.8 es menor de 10%; adems, siA

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

18/151


EJEMPLO 5.1 Calcule los esfuerzos tangenciales mximos y los ngulos de rotacin porunidad de longitud de dos barras de eje recto, cuyas secciones transversales semuestran en la Fig. E5.1.1, sobre las que actan momentos MTen los extremos,que ocasionan torsin pura; no tenga en cuenta las concentraciones de esfuerzos

que se presentan en las esquinas. Las dos secciones estn hechas con la mismacantidad de material.

40 cm

1 cm

39cm

57 cm60 cm 54 cm

2 cm

40 cm

3 cm

3 cm

Fig. E5.1.1 Seccin transversal de ejemplo 5.1.

Seccin I. J=3

1

3

3

ba

= (2 x 33x 40 + 23x 54) = 864 cm4

G = E0.385=0.3)+2(1

E=

)+2(1

E

Ec. 5.5.E

M0.00301=

864xE0.385

M=

GJ

M=

TTT

Ec. 5.6. mx=864

M=a

J

M Tmx

T x3 = 0.00347 MT

Este esfuerzo se presenta en las zonas centrales de los patines.

Seccin en cajn.

Ec. 5.10 J=4

2222

cm192141=70

4588839

=

1

57+

3

39

57x39x2

=

c

d+

t

b

d2b

=E

M0.0000184=

192141x0.385E

M=

GJ

M TTT

Ec. 5.8 mx= .TT

mni

TM0.000225=

2(39x57)1

M=

t2A

M

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

19/151


El ngulo de rotacin y el esfuerzo mximo en la seccin I son, respectivamente,164 y 15.4 veces ms grandes que en la seccin en cajn.

La seccin en cajn es mucho ms eficiente que la I; esta observacin es de carctergeneral, por lo que cuando la torsin es una solicitacin predominante conviene utilizarmiembros de seccin transversal hueca formados, por ejemplo, por cuatro placassoldadas, en vez de perfiles laminados.

5.3.3 Torsin no uniforme de barras de seccin transversal abierta y de paredesdelgadas.

Exceptuando las barras de seccin transversal circular, maciza o hueca, todos los

elementos estructurales sometidos a torsin pura se alabean, es decir, los puntos situadosen planos originalmente normales al eje de la barra experimentan desplazamientosvariables paralelos a ese eje, lo que ocasiona que las secciones transversalesinicialmente planas dejen de serlo.

En la Fig. 5.6 se muestra un segmento de una barra de seccin I con dos pares MT,iguales y de sentidos contrarios, aplicados en sus extremos; son las nicas acciones queobran sobre la barra, y no hay ningn factor externo que evite o restrinja lasdeformaciones. Las fibras longitudinales de la barra, inicialmente rectas, se retuercenpero, para rotaciones pequeas, puede considerarse que siguen siendo rectas, inclinadasrespecto al eje; cada uno de los patines gira un cierto ngulo, conservando su forma

rectangular, y el alma se alabea.

Todas las secciones transversales normales al eje longitudinal se alabean lo mismo, por loque no cambian las dimensiones de las fibras longitudinales y no aparecen esfuerzosnormales; los nicos esfuerzos son los tangenciales correspondientes a la torsin de SaintVenant.

Si se empotra uno de los extremos de la barra, impidiendo su rotacin alrededor del ejelongitudinal y los desplazamientos paralelos a ese eje de los puntos situados en l, labarra se deforma como se muestra en la Fig. 5.7; la seccin inferior se mantiene en suposicin original y sigue siendo plana, y todas las dems secciones transversales giran

alrededor del eje longitudinal y se alabean. Como ni el giro ni el alabeo son constantes,sino aumentan desde cero en el extremo inferior hasta un mximo en el superior, lasfibras paralelas al eje no conservan su longitud inicial, como en torsin pura, sino unas sealargan y otras se acortan (por ejemplo, todas las fibras de la porcin AEFB del patnanterior de la viga de la Fig. 5.7 se alargan, mientras que se acortan las de la zona EFDC,conservndose sin cambio nicamente la EF), lo que ocasiona esfuerzos normaleslongitudinales proporcionales a las deformaciones unitarias, que varan linealmente atravs de los patines; son mximos en el extremo empotrado, y disminuyen en seccionescada vez ms alejadas de l, hasta que desaparecen eventualmente cuando las

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

20/151


secciones transversales estn a una distancia suficiente para que dejen de sentirse losefectos de las restricciones producidas por el empotramiento.

MT

MT

Fig. 5.6 Alabeo de una barra de seccin transversal I en torsin pura.

A

B

CE

F

MT

D

Fig. 5.7 Barra de seccin transversal I en torsin no uniforme.

Para que aparezcan los esfuerzos normales longitudinales, no es necesario impedirtotalmente el alabeo de alguna seccin transversal; basta con que, ya sea por lascondiciones de apoyo o de carga, o por una combinacin de ambas, el alabeo no se

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

21/151


presente libremente y vare de unas secciones transversales a otras, lo que ocasionadeformaciones longitudinales de las fibras.

Los esfuerzos normales producidos por la restriccin al alabeo estn acompaados por

esfuerzos tangenciales, que contribuyen a resistir el momento de torsin exterior, demanera que ste no es equilibrado slo por esfuerzos cortantes de Saint Venant, comosucede cuando el alabeo es libre.

En la Fig. 5.8 se muestran los esfuerzos normales y tangenciales en una barra de seccin

Ien torsin no uniforme, es decir, con alabeo restringido; tanto los tangenciales simples scomo los debidos a la restriccin al alabeo, a, contribuyen a resistir el momento exteriorMT; si los momentos correspondientes se designan Mtsy Mta, puede escribirse

MT= Mts+ Mta (5.11)

(a) (b) (c)

Z Z Z

a

+a

-a

-a

s

+a

a

Fig. 5.8 Esfuerzos producidos por la torsin no uniforme.

MT es el momento de torsin total que obra en la seccin, Mts el momento resistente

correspondiente a la torsin de Saint Venant, y Mtael debido a la resistencia al alabeo delas secciones transversales de la barra. (Los esfuerzos normales y cortantes queaparecen en el alma por este segundo concepto se desprecian, pues la flexin sepresenta alrededor de su eje de menor momento de inercia).

Los esfuerzos producidos al restringir el alabeo de barras de seccin transversal macizano circular son mucho menores que los de las secciones abiertas de paredes delgadas;adems, las piezas macizas no se emplean en estructuras de acero. Por estas razones,se tratan aqu slo elementos con secciones transversales del segundo tipo.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

22/151


(a)

(c) (d)

(b)

J=3

b1t13 +b2t2

3 +hw3

2b1(t1+t2)3+4b2t2

3 +hw3

J=3

J=3

2bt3+hw3

J= =4Ao

2 4(bd)2

(b/t) b+b+2dt1 t2w

b1

b1

b1

t1

t1 t1

t1

t2

t2

t2 t2

b2

b2

b2

b2

b2

b

b

b

d

w

w

w w

wh h

h

t

t

Fig. 5.9 Constante de torsin de Saint Venant de diversas secciones.

MTsy MTase calculan con las expresiones (ref. 5.1)

dz

dGJGJMTs

== (5.12)

3

3

dz

dECM aTa

= (5.13)

MTa es la parte del momento de torsin resistida por los esfuerzos tangenciales que seoriginan al alabearse las secciones transversales de una manera no uniforme; se le llamamomento resistente de torsin debido al alabeo no uniformeo, por brevedad, momento detorsin por alabeo.Caes la constante de alabeo(tiene unidades de longitud elevada a lasexta potencia) y el producto ECaes la rigidez al alabeo.

Llevando las ecs. 5.12 y 5.13 a la 5.11, se obtiene la ecuacin diferencial para torsin nouniforme de barras de seccin transversal abierta y paredes delgadas:

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

23/151


3

3

dz

dEC

dz

dGJM aT

= (5.14)

El signo menos que precede al segundo trmino proviene de la convencin de signos quese utiliza para deducir las ecuaciones; en la solucin de la ec. 5.14 los dos trminos delsegundo miembro se suman.

y

y

y

y

y1

y0y2

x

x

x

x

d-t

w

w

b

b1

t1

t2

t

t

d

dh(a)

(b)

Ca=Iy(d-t)

2

4

Ca=(y1+y2)2I1I2

I1+I2

b13 t1 b2

3 t212 12

I1= I2=

y0=+_y1I1-y2I2

I1+I2

Centro degravedad

Centro detorsin

b2

Ca=(d-t)

4Iy+x

2A(d-t)

4Ix( )

_

_

x0= 1+(d-t)2A

4I

x

x_

y

y

xx

t

t

d(c)

Centro degravedad

Centro de

torsin

x0

2A

Eje de inercia mnima

Centro de gravedad

Centro de gravedady torsin

Centro de torsin

Centro de torsin

(d)

(e)

(f)

t2

t

y2

t1

y1

b1

b2

y

x

x

x

x

w

b

d

d

Ca= 36

(b1t1)3+(b2t2)

3

Ca=144 36

(bt)3+(dw)3

Ca= 4

2d I

Fig. 5.10 Constante de torsin por alabeo de varias secciones.

En las Figs. 5.9 y 5.10 se proporcionan los valores de las constantes Jy Capara algunassecciones comunes.

EJEMPLO 5.2 En la Fig. E5.2.1 se muestra una trabe armada reforzada con dos placassoldadas a los patines. Las propiedades de la trabe sin cubreplacas se dan en lafigura. Determine los valores de esas propiedades para la seccin reforzada.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

24/151


Ix=276 292 cm4

S=7248 cm 3

xZx=7896 cm

3

Iy=24767 cm4

Sy=1220 cm3

Zy=1846 cm3

J=316.7 cm4

Ca=33.9x106cm6

Acotaciones en cm

C2=1.9

C2=1.9

b2=35.0

b =40.6

d2=80.04 d1=76.24

c1=2.22

c1=2.22

h=71.8x

y

Fig. E.5.2.1 Seccin transversal de la trabe armada.

Iy = 24767 + 2 x12

35.0x1.9 3

= 38 344 cm4

J se calcula con la frmula de la Fig. 5.9c:

J = [2x35.0 (2.22+1.9)3+4x2.80 x 2.223x71.8x0.953]/3 = 1693.2 cm4.

La constante de torsin por alabeo se determina con la ecuacin

Ca= I

1

( ) ( )

22

211

2

222 cd

Icd +

+

IIe I2son los momentos de inercia, respecto al eje y, de una placa de refuerzo y deun patn, y las dems cantidades se definen en la Fig. E5.2.1.

Ca=66

2323

cm10x54.6=2

2.22)-(76.24x

12

2.22x40.6+

2

1.9)-(80.04x

12

1.9x35

Ca puede determinarse tambin con la ecuacin aproximada Ca = Iy 4/_

2d , en la

que Iyes el momento de inercia de la seccin reforzada respecto al eje y, y d_

la

distancia entre los centros de gravedad de los patines reforzados, que en este caso

es_

d= 75.77 cm. Por consiguiente,

Ca66

22y

cm10x56.5=4

76.77x34438=

4

dI

Este valor de Caes prcticamente igual al calculado arriba.Los mdulos de seccin elstico y plstico de la seccin reforzada, respecto al eje

x, son

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

25/151


Ix= 276 292 + 2

23

212

9.10.35 1.9+76.241.9x35.0+

x= 479 352 cm4

Sx=3cm11978=

2/04.80

479352

Zx= 7896 + 2 x 35.0 x 1.9

+

2

9.124.76= 13092 cm3

El mdulo de seccin plstico es igual al de la viga sin reforzar ms el momentoesttico de las cubreplacas respecto al eje de simetra horizontal, x.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

26/151


5.4 PANDEO LATERAL ELSTICO

5.4.1 Caso fundamental: vigas I en flexin pura

Para determinarel valor del momento flexionante, aplicado alrededor del eje de mayormomento de inercia, que ocasiona el pandeo lateral elstico por flexotorsin de una viga,se estudia primero el caso fundamental (Fig. 5.1): una viga I, laminada o formada portres placas soldadas, de eje recto, flexionada en el plano de mayor resistencia por paresiguales y de sentidos contrarios, de magnitud creciente, aplicados en los extremos.

Se admiten las hiptesis siguientes:

1. La viga es de seccin transversal I, con dos ejes de simetra, constante en toda lalongitud. El centro de torsin coincide con el centro de gravedad de la seccin.

2. Los esfuerzos normales mximos, obtenidos superponiendo los producidos porlos momentos exteriores con los residuales, estn en el intervalo elstico cuandose inicia el pandeo.

3. La forma de las secciones transversales no cambia cuando la viga se flexiona yretuerce.

4. Los momentos que actan en las secciones transversales se conservan en elplano que ocupaban originalmente.

5. La distancia entre las secciones de la viga soportadas lateralmente es igual alclaro.

6. El momento flexionante es constante entre las dos secciones soportadaslateralmente (flexin pura).

7. Los apoyos extremos son libres para flexin alrededor de los ejes x y y y paratorsin, lo que significa que pueden girar libremente alrededor de xy de y, y quelas secciones extremas pueden alabearse, pero no puede haber rotacionesalrededor del eje longitudinal zni desplazamientos paralelos a los otros dos ejes.

La viga empieza a deformarse en cuanto se aplican los pares en sus extremos; mientrasson pequeos, se mantiene en el plano inicial, pero eventualmente se sale de l,desplazndose lateralmente y retorcindose; los desplazamientos verticales v(Fig. 5.1c)

se inician con la flexin, pero los laterales uy las rotaciones son nulos hasta que losmomentos alcanzan el valor crtico. El vector Mx, momento flexionante en una seccincualquiera, que estaba alojado sobre el eje x de la misma, permanece paralelo a sudireccin original, de manera que al cambiar la orientacin de los ejes principales de laseccin deja de coincidir con uno de ellos, y produce momentos alrededor de los tres

nuevos ejes de referencia, , y .

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

27/151


Cuando el par que acta alrededor del eje de inercia mxima alcanza un valor crtico laviga se deforma lateralmente, y el equilibrio exige que haya tambin torsin y flexinalrededor del eje de menor inercia; el pandeo est asociado siempre con flexin lateral y

torsin.

El momento de torsin vara a lo largo del eje de la viga, puesto que la proyeccin de Mxsobre el eje , que lo ocasiona, no es constante; es mxima en los extremos y nula en lamitad del claro, donde el eje es paralelo al z, y el vector Mxes perpendicular a l. Laviga se encuentra en un estado de torsin no uniforme; su resistencia a la torsin es lasuma de los momentos resistentes correspondientes a la torsin de Saint Venant y a laoposicin al alabeo de sus secciones transversales.

5.4.1.1 Clculo del momento crtico

Interesa determinar la magnitud del momento Mxpara la que se presenta una bifurcacindel equilibrio, es decir, el momento para el que son posibles configuraciones en equilibrioligeramente deformadas lateralmente y retorcidas, adems de la plana.

Las ecuaciones de partida, que se obtienen estudiando el equilibrio de la barradeformada, son (ref. 5.1)

022 =+ MdzudEIy (5.15)

033 =+ dzduMdzdGJdzdECa (5.16)

Derivando la ec. 5.16 una vez, respecto a z, y sustituyendo d u dz 2 2 por su valor dado

por 5.15, se obtiene la ec. 5.17, con el ngulo como nica incgnita:

0

2

2

2

4

4

=

ya EI

M

dz

dGJ

dz

dEC (5.17)

Esta ecuacin diferencial tiene una solucin analtica porque el momento flexionante Mes constante en toda la longitud, y las condiciones de frontera permiten evaluar lasconstantes de integracin:

+=

2

22

1GJL

ECnGJEI

L

nM

aycr

(5.18)

Lo mismo que en las columnas, slo tiene inters el menor de los valores del momentocrtico, a menos que se obligue a la viga a pandearse en alguno de los modossuperiores, a los que corresponde n= 2, 3, etc, por medio de restricciones exteriores queimpidan los desplazamientos laterales y las rotaciones de una o ms secciones

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

28/151


transversales intermedias; en el caso en estudio, en el que la longitud sin soporte laterales el claro de la viga, n= 1.

Tambin como en las columnas, la solucin basada en desplazamientos pequeos

proporciona la configuracin de la viga pandeada lateralmente, pero no la amplitud de losdesplazamientos, que permanece indeterminada.

Efectuando las operaciones indicadas dentro del radical, y haciendo n = 1, la ec. 5.18toma la forma

yaycr IL

CEGJEIL

M2

22 += (5.19a)

Recordando que G = E/2(1+) E/2.6, y sacando Efuera del radical, se obtiene

Mcr=

ay CL+

2.6

JI

L

E2

(5.19b)

Esta forma de la ecuacin es un poco ms fcil de usar que la 5.19a.

La resistencia total del perfil al pandeo lateral por flexotorsin est compuesta por dospartes, representadas por los dos trminos del radical de la ec. 5.19a; la primeracorresponde al acoplamiento entre las resistencias a la flexin lateral y a la torsin pura,o de Saint Venant, y la segunda, al acoplamiento entre las resistencias a la flexin lateraly a la torsin por alabeo. En vigas Ilaminadas, que son relativamente robustas, el primer

trmino suele ser mayor que el segundo, pues J es grande; en cambio, en perfiles degran peralte, hechos con tres placas soldadas, y en vigas de lmina delgada, se vuelvepredominante el trmino correspondiente a la resistencia al alabeo, aunque suimportancia relativa decrece cuando aumenta la separacin entre secciones soportadaslateralmente, que aparece, elevada al cuadrado, en el denominador.

La ec. 5.19a puede escribirse

21 WGJEI

LM ycr +=

(5.20)

donde:

GJ

EC

LW

a= (5.21)

El parmetro Wmide la importancia de la resistencia a la torsin por alabeo respecto a latorsin pura.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

29/151


Al obtener la ec. 5.19a se ha supuesto que la deflexin en el plano de carga no influyeen la resistencia al pandeo lateral por flexotorsin, lo que se justifica cuando EIx esmucho mayor que EIy, y la deflexin en el plano es negligible comparada con la que sepresenta fuera de l. Cuando las dos rigideces son del mismo orden, el efecto de la

flexin en el plano vertical y-zpuede ser importante, y debe tenerse en cuenta al calcularMcr.

La ecuacin siguiente representa una solucin aproximada que incluye el efecto de lasdeflexiones en el plano (ref.5.2):

21 W

I

GJEI

LM

r

y

cr +=

donde ( )I I Ir y x= 1 .

Si Iy= Ix, Irse anula, y Mcrse vuelve infinitamente grande. Si Iy> Ix, Irse hace negativo yMcr imaginario, de manera que cuando Iyes igual o mayor que Ix, no hay solucin. Deaqu se concluye que el pandeo lateral por flexocompresin de las vigas slo es posiblecuando la seccin tiene rigideces diferentes en los dos planos principales, y las cargasexteriores actan en el plano del eje de menor momento de inercia (es decir, producenflexin alrededor del eje de mayor inercia). Como una consecuencia, las vigas deseccin transversal circular, maciza o hueca, y las de seccin en cajn, cuadradas y degrueso uniforme, no fallan nunca por pandeo lateral por flexotorsin.

5.4.1.1.1 Vigas de seccin transversal rectangular, maciza o hueca

La resistencia al alabeo de las secciones rectangulares, macizas o huecas (secciones

en cajn), es mucho menor que la resistencia a la torsin pura; en ese caso, Ca 0, elsegundo trmino del radical de la ec. 5.19a se desprecia, y Mcrvale

GJEIL

M ycr

= (5.22)

Sustituyendo Ey Gpor sus valores numricos, y haciendo I Ary y=2 , se llega a

AJrLM ycr

3973000

= (5.23)

ryes el radio de giro de la seccin respecto al eje de menor inercia. Tomando A y J encm2y cm4, respectivamente, Mcrse obtiene en Kg cm.

5.4.1.1.2 Vigas I de paredes delgadas

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

30/151


Cuando las paredes de las vigas son muy delgadas, como en perfiles de lmina dobladaen fro o en caliente, la constante J, que depende del grueso de las paredes elevado alcubo, es muy pequea, de manera que el primer trmino del radical de la ec. 5.19apuede despreciarse, sin prdida apreciable de resistencia; se obtiene, as,

yacr IL

CEL

M 2

22 = (5.24)

Haciendo C I da y=2 4/ , donde d es el peralte de la seccin, que es, en este caso, casi

igual a la distancia entre los centroides de los patines, y sustituyendo Iy por Ary2 , se

obtiene

( )22

10062000

2yy

crrL

AdEAd

rLM =

=

(5.25)

Ay dse toman en cm2y cm y el resultado se obtiene en Kg cm.

5.4.2 Otras condiciones de apoyo y carga

Varias de las hiptesis que llevan a la ec. 5.19a, principalmente las dos ltimas, suelenser demasiado severas cuando se aplican a casos reales, por lo que el valor de Mcrdadopor esa ecuacin es, en general, un lmite inferior del momento crtico. Si las condicionesde apoyo corresponden, por ejemplo, a un empotramiento en torsin, o si el momentoflexionante no es constante en toda la longitud, la ec. 5.19a proporciona resistencias que

pueden ser significativamente menores que las reales. Cuando las acciones no sonpares aplicados en los extremos de la viga, sino fuerzas concentradas o distribuidasnormales a su eje, el nivel de aplicacin de las cargas, respecto al centro de gravedadde las secciones transversales, influye tambin en la resistencia.

Sin embargo, a pesar de sus limitaciones, la ec. 5.19a es tan bsica para el estudio delpandeo lateral de vigas como la frmula de Euler lo es para el de la inestabilidad decolumnas comprimidas axialmente.

Si en la ec 5.19a se sustituye Iypor Ary2 y se saca el radio de giro fuera del radical, ste

queda multiplicado por ( ) L ry : como en todos los problemas de pandeo, el valor crticode la carga es inversamente proporcional a la esbeltez del miembro, dada ahora por elcociente L ry . Si la distancia entre soportes laterales tiende a cero, el momento crtico

tiende a infinito, lo que es fsicamente imposible; hay, por consiguiente, un lmite superiorde Mcr.

Cuando el momento es constante en toda la viga, la ecuacin diferencial que describe elequilibrio en una posicin ligeramente deformada es lineal, con coeficientes constantes.En la prctica, las vigas tienen diferentes condiciones de apoyo y cargas de diversos

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

31/151


tipos, de manera que el momento flexionante vara a lo largo de su eje, las ecuacionesdiferenciales de equilibrio tienen coeficientes variables, y no se cuenta con solucionescerradas; las cargas crticas se obtienen con procedimientos numricos aproximados.

Si las condiciones de apoyo impiden la rotacin libre de las secciones extremasalrededor del eje y, la longitud Lque aparece fuera del radical en la ecuacin 5.18 o 5.19debe multiplicarse por un factor Kypara obtener la longitud efectiva de pandeo, y si elalabeo de las secciones extremas est restringido, ha de introducirse un segundo factor,Kz, que multiplica a la longitud L contenida dentro del radical, para obtener la longitudefectiva de alabeo; de esta manera la ecuacin 5.18, con n = 1.0, se transforma en la5.26, en la que los factores Kyy Kz tienen en cuenta, respectivamente, las condicionesde apoyo correspondientes a giros alrededor del eje y y al alabeo de las seccionesextremas.

Mcr =

2z

a2

yy L)GJ(K

EC

+1GJEILK

(5.26)

La ref. 5.3 contiene valores de Kyy Kzpara diferentes condiciones de apoyo, tomadosde resultados obtenidos en la ref. 5.4. Para simplificar la aplicacin de la ecuacin 5.26,los valores exactos de esos coeficientes pueden sustituirse por los siguientes, que danresultados del lado de la seguridad (ref. 5.3): 1.00, cuando los dos extremos estnlibremente apoyados, 0.70 cuando uno es libre y el otro fijo, y 0.5 cuando ambos sonfijos1, semejantes a los que proporcionan la longitud efectiva de columnas concondiciones de apoyo anlogas; se obtienen as los momentos crticos para diversascombinaciones de las condiciones de apoyo: si, por ejemplo, uno de los extremos de laviga est soldado a tope, con soldaduras de penetracin en alma y patines, a unacolumna muy robusta, y el otro est conectado a otra columna por medio de un par dengulos verticales de poca longitud adosados al alma, sin ninguna liga en los patines,puede considerarse que tanto la rotacin alrededor del eje y como el alabeo estnimpedidos en el primer apoyo y que los dos pueden presentarse casi libremente en elsegundo; en esas condiciones se obtienen resultados conservadores tomando Ky= Kz=0.7.

Cuando hay dudas respecto a las condiciones de apoyo, conviene suponer que losfactores Kvalen 1.0.

El efecto de solicitaciones distintas de la flexin pura se toma en cuenta multiplicando elsegundo miembro de las ecs. 5.19 por un coeficiente C1que depende de las condicionesde carga.La posicin de las cargas respecto al centroide de las secciones transversales de la vigatambin influye en su resistencia al pandeo; las que estn arriba de l son msdesfavorables que las que actan debajo, ya que al iniciarse el pandeo las primeras

1 Para determinar Ky se considera que un extremo es fijo cuando su giro alrededor del eje y est

impedido, y libre cuando no hay restricciones para ese giro; en la obtencin de Kzlos extremos fijosson aquellos en los que no puede haber alabeo, y los libres los que pueden alabearse sin restriccin.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

32/151


tienden a retorcer el perfil, agravando las condiciones en que se encuentra, mientras quelas segundas tienen un efecto estabilizador, y tratan de enderezarlo; las cargasaplicadas en el centroide no influyen en este aspecto del problema (Fig. 5.11).

Fig. 5.11 Posiciones de las cargas respecto al centroide de lassecciones transversales.

En estructuras reales puede haber cargas en el patn superior (Fig. 5.12a) (es el casoms comn, que se presenta cuando las fuerzas se transmiten por apoyo directo sobreel borde superior de la viga, pero los mismos elementos que transmiten las cargassuelen soportar lateralmente el patn, evitando el pandeo lateral), en el centroide (Fig.5.12b) (por ejemplo, cuando una viga principal recibe vigas secundarias por medio dengulos o placas adosados al alma), o en el patn inferior (Fig. 5.12c) (algunos tipos deapoyo de vigas secundarias en principales, gras mviles colgadas del patn inferior dela viga de soporte).

Fig. 5.12 Casos en que las cargas estn aplicadas en el patn superior,en el centroide o en el patn inferior de las secciones transversales.

Para tener en cuenta la posicin del punto de aplicacin de las cargas con respecto alcentroide de la seccin, se introduce un nuevo factor, C2.

Con los factores C1y C2, y los coeficientes de longitud efectiva Kyy Kz, se obtiene unafrmula general para el clculo del momento crtico de pandeo de vigas Icon cualquiercondicin de apoyo y de carga; como en la mayora de los casos prcticos las rotaciones

alrededor del eje longitudinal estn impedidas en los dos extremos, condicin supuestaen la casi totalidad de los estudios tericos, puede obtenerse una expresin generalconservadora para el clculo del momento crtico que incluye slo el factor de longitudefectiva Ky(ref. 5.5):

(a) (b) (c)

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

33/151


Mcr= ( )

+

+

GJ

EC

LK

CC

LKGJ

ECGJEI

LK

C a

yy

ay

y

1 222

2

11 (5.27)

Se toma el signo negativo que antecede al ltimo trmino cuando las cargas estnaplicadas en el patn superior, y el positivo cuando actan en el inferior; si obran en laviga slo momentos en los extremos, o cargas aplicadas en el eje centroidal, C2= 0, y laecuacin 5.27 se reduce a la 5.26 multiplicada por C1.

Por comodidad en la obtencin de tablas y grficas que faciliten su uso, conviene escribirla ecuacin 5.27 en la forma (ref. 5.5):

GJEIL

C=M y

4cr (5.28)

en la que C4es igual a

C4=

KL

aCC+(1

KL

a+1

K

C 222

21 )

)( 2

2

(5.29)

Kes el factor de longitud efectiva para flexin alrededor de los ejes principales verticalesy.

El parmetro ECa/GJ, cociente de las rigideces al alabeo y a la torsin simple,desempea un papel muy importante en el pandeo lateral de vigas, y aparece en

muchas de las frmulas relacionadas con l; su raz cuadrada se ha designado con laletra a:

a=GJ

ECa (5.30)

La ref. 5.1 contiene curvas con las que se determinan los coeficientes C4de vigas Iconcondiciones de carga y apoyo frecuentes en estructuras reales. Aqu se reproducen slolas de vigas en flexin con pares en los extremos de diferentes magnitudes y signos (Fig.5.13); cubren las dos condiciones extremas de restriccin alrededor de los ejes yde losapoyos, giros libres o totalmente impedidos.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

34/151


Nomenclatura

Cada curva est designadapor un nmero y una letra.El nmero indica la condicinde carga; se han consideradolos cinco casos siguientes:

M

M

M

M

M M

M1

2

3

5

4

M

2

M2

La letra se refiere a lascondiciones de apoyo de

la viga relativas a girosalrededor del eje vertical y.A, los extremos puedengirar libremente.B, los extremos estn fijos.

50

C4

46

42

38

34

30

26

22

18

14

10

6

2a/L

5A

4A

3A

2A

1A

5B 4B 3B 2B 1B

Fig. 5.13 Valores del coeficiente C4para vigas I flexionadas por pares aplicados ensus extremos.

5.4.2.1 Algunas soluciones aproximadas

5.4.2.1.1 Momentos desiguales en losextremos

Si las nicas acciones son momentos aplicados en los extremos de la viga, demagnitudes diferentes (Fig. 5.14), el momento flexionante a lo largo del eje es funcin de

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

35/151


z, y la ecuacin diferencial de equilibrio tiene coeficientes variables, lo que obliga aemplear un procedimiento numrico complicado, que utiliza series de funcionesespeciales, para resolverla. Afortunadamente, se ha demostrado (refs. 5.6 y 5.7) que elefecto de la variacin del momento sobre la resistencia al pandeo lateral puede tenerse

en cuenta, con buena aproximacin para fines de diseo, sustituyendo el momentovariable real que ocasionara el pandeo por un momento uniforme equivalente ficticio,que produce el mismo resultado. El momento crtico de la viga de la Fig. 5.14 se obtienemultiplicando el del caso fundamental por un factor de momento equivalente, Cb, demanera que

M C Mcr b cr = 0 (5.31)

Mocres el momento crtico de pandeo de la viga en flexin pura (ec. 5.19 o 5.20), y Cbsecalcula con la expresin

( ) ( ) 3.23.005.175.1 22121 ++= MMMMCb (5.32)

M1es el menor y M2el mayor de los momentos en los extremos (pueden ser iguales); elcociente M1/M2 es positivo cuando la viga se flexiona en curvatura doble y negativocuando lo hace en curvatura simple.

M1

M2

Flexin en curvatura doble

M1/M2es positivo

M1 M2

Flexin en curvatura simpleM

1/M

2es negativo

M1 M2

Fig. 5.14 Viga sujeta a momentos aplicados en sus extremos.

En la Fig. 5.15 se comparan los valores de Mcr , dados por la ecuacin aproximada 5.31,con los valores tericos: los resultados de la ec. 5.31 estn muy cerca de los momentoscrticos reales, y son ligeramente conservadores.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

36/151


1.00

-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.25 0.50

Banda de resultados tericos

Curvaturasimple

CurvaturadobleM /M

0.75 1.000

0.75

0.50

M1

M2

0.25

0

M1 M2

1C

bMocrM

cr

Fig. 5.15 Comparacin de la ec. 5.31 con resultados tericos.

Puesto que M M1 2 est comprendido, en todos los casos, entre -1 y 1, Cbes siempre

mayor que la unidad (excepto en el caso particular en que M1/M2= -1.0, en el que Cb=1.0), lo que confirma que la flexin pura, producida por momentos iguales y de sentidos

contrarios, es la condicin de carga ms severa.

5.4.2.1.2 Carga concentrada en el punto medio

La ecuacin diferencial de equilibrio de una viga libremente apoyada, con una cargaconcentrada en el centro del claro, tiene un coeficiente variable; su solucin se obtienecon el mtodo de series infinitas (ref. 5.8). Los resultados se indican con lnea continuaen la Fig. 5.16, en la que se muestran tres casos: carga aplicada en el patn superior, enel centro de torsin y en el patn inferior de la seccin transversal.

Con fines de diseo se utiliza la ec. 5.31, en la que Mcres el momento mximo en la viga

en el instante en que se inicia el pandeo:

crbcr

cr MCLP

M 04== (5.33)

donde

cb=AB para carga en el patn inferior

A para carga en el centro de torsin

A/B para carga en el patn superior

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

37/151


Los valores deAy B(ref. 5.9) son:

A = 1.35

B = 1 + 0.649 W - 0.180 W2

Wse calcula con la ec. 5.21.

Los valores aproximados de Pcr, obtenidos con la ec. 5.33 y los coeficientes Cbindicadosarriba, coinciden prcticamente con la solucin exacta (Fig. 5.16).

Resultados aproximados

0

10

20

30

40

50

P

L/2 L/2

P

P

P

0.5 1.0 1.5 2.0

GJ

EC aW

2=

2.5

( )

Resultados tericos

PcrL2

ElyGJ

L2

2

Fig. 5.16 Viga con una carga en el centro del claro; comparacin deresultados tericos y aproximados.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

38/151


Cargas

Diagramas demomentosflexionantes

Mcr

Mcr

Mcr

Mcr

Cb

M

M

M

M

M

L/4L/4

L/4

L/4 L/4 L/4 L/4

3L/4

P

PP

P

w

PcrL

4

PcrL

4

3PcrL

16

WcrL2

8

1.00

1.75

2.30

1.35

1.13

1.04

1.44

(a)

(b)

MAM

BMmx

MC

Cb=12Mmx

2Mmx

+3MA

+4MB

+3MC

L/2 L/2

L

L

L

L

L/2

Tabla 5.1 Valores de Cbpara varias condiciones de carga (Las fuerzasconcentradas estn aplicadas en el centro de torsin de la seccin

transversal).

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

39/151


5.4.2.1.3. Otras condiciones de carga

La Tabla 5.1a contiene soluciones aproximadas para varias condiciones de carga; lasfuerzas estn aplicadas en el centro de torsin de la seccin transversal de la viga, o son

pares que actan en sus extremos. Las cargas crticas se obtienen con la ec. 5.31, en laque Mocrse calcula con la ec.5.19 o 5.20, y Cbse lee en la cuarta columna de la tabla; lacolumna tercera contiene las expresiones de Mcrpara cada caso.

Cuando las cargas producen diagramas de momentos que no varan linealmente entrelos extremos de la viga, Cbpuede calcularse con la frmula emprica (ref. 5.2):

CBAmx

mxb MMMM

MC

3432

12

+++= (5.34)

MA, MBy MCson los valores absolutos de los momentos en el primer cuarto, el centro y

el tercer cuarto del claro de la viga, y Mmxes el momento mximo en la viga, tambin envalor absoluto (Tabla 5.1b).

En la Tabla 5.2 se proporciona informacin adicional para fuerzas que no estnaplicadas en el centro de torsin.

Carga Diagrama de momentosflexionantes

M A B

PL4

1.35 1-0.180W2+0.649W

wL2

81.12 1-0.154W2+0.535W

PL1 1+L1 2

2L1+L2( ) 1-0.465W2+1.636W

P

P P

L/2 L/2

L

L1

L1

L2

w

Tabla 5.2 Coeficientes A y B para vigas con cargas transversales.

EJEMPLO 5.3 Una viga libremente apoyada, cuya seccin transversal se muestra en laFig. E5.3.1, tiene 10 m de claro y ningn soporte lateral intermedio; sobre ella

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

40/151


acta una carga uniformemente repartida. Calcule el valor de la carga por unidadde longitud, wcr, que ocasionara la falla por pandeo lateral elstico, suponiendoque est aplicada en el patn superior, en el centroide de las seccionestransversales, y en el patn inferior.

d=157.48 cm h=152.4 cm

1.27 cm

t=2.54 cm

t=2.54 cm

b=30.5 cm

30.5 cm

Fig. E5.3.1 Seccin transversal de la viga del ejemplo 5.3.

Las propiedades geomtricas de la seccin transversal son:

A = 348.5 cm2, Ix= 1 304 580 cm

4, Iy= 12 037 cm

4, J = 437.3 cm

4, Ca= 72.2 x 10

6cm

6.

La carga crtica por unidad de longitud se determina con una expresin semejantea la 5.33:

Mcr= 2ocrb

crocrb

2cr

L

M8C= wMC=

8

Lw

El momento crtico en el caso fundamental (ec. 5.19b) es

Tm.208.6=Kgcm36385720=3915778+53102421000

E

=10x172.21000

+2.6

437.312037

1000

E=C

L+

JI

L

E=M 6ayocr

22

6.2

Cbtiene los valores siguientes (Tablas 5.1 y 5.2):

Ec. 5.21, W=3.437

6aa 10x72.2

x2.61000

=J

C2.6

L=

GJ

EC

L

= 2.058

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

41/151


A = 1.12, B = 1 + 0.535 x 2.058 - 0.154 x 2.0582= 1.449

a) Carga en el patn inferior. C b= AB = 1.12 x 1.449 = 1.623b) Carga en el centro de torsin. C b= A = 1.12

c) Carga en el patn superior. C b=A/B = 1.12/1.449 = 0.773

Cargas crticas elsticas.

a) wcri= 8 x 1.623 x 208.6/102= 27.1 Ton/m

b) wcrc = 8 x 1.12 x 208.6/102= 18.7 Ton/m

c) wcrs= 8 x 0.773 x 208.6/102= 12.9 Ton/m

En el caso b, Cb puede calcularse tambin con la ecuacin aproximada 5.34,utilizando el diagrama de momentos de la Fig. E5.3.2:

Cb= 1.14=9.3753)+(3+12.54)+(2

12.5x12=

3M+4M+3M+M2

M

CBAmx

mx12

Este valor es muy cercano al obtenido arriba, 1.12.

10m

MB

=Mmx

=12.5w

A

MA

=MC

=9.375w

B C

2.5m 2.5m 2.5m 2.5m

Fig. E5.3.2 Diagrama de momentos de la viga del ejemplo 5.3.

Como se ve observando las cantidades dentro del radical de la ec. 5.19b, la resistenciaal pandeo lateral que proviene de la torsin por alabeo es mucho mayor que la quecorresponde a la torsin de Saint Venant.

EJEMPLO 5.4 Igual que el ejemplo 5.3, pero la viga es ahora de seccin W12 x 35 lb/ft(30.5 cm x 52 Kg/m), tomada de la ref. 5.22, de 6 m de claro, y tiene una cargaconcentrada aplicada en la seccin media. Se desea calcular los valores de esacarga que ocasionaran el pandeo lateral elstico de la viga.

Propiedades geomtricas

A = 66.5 cm2; Iy= 1020 cm4; J = 30.8 cm4; Ca= 236 x 10

3cm6

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

42/151


GJ

ECa= 141.0 cm.

Las propiedades geomtricas se han tomado de la ref. 5.22.

La ec. 5.33 proporciona la carga crtica:

L

MC4=PMC=M=

4

LP ocrbcrocrbcr

cr

De la ec. 5.19a

Mocr= .=6599+12083600

E=10x236x1020

600+

2.6

30.8x1020

E 3 2

600

= Tm14.6=Kgcm2431459

W=600

0.141 = 0.738. A = 1.35, B = 1 + 0.649 x 0.738 - 0.180 x 0.7382

= 1.381.

Los valores de A y B se han tomado de la Tabla 5.2.

a) Carga en el patn inferior . Cb=AB= 1.864b) Carga en el centro de torsin. Cb=A = 1.35c) Carga en el patn superior. Cb=A/B= 0.978

Cargas crticas.

a) Pcri= 4 x 1.864 x 14.6/6.0 = 18.1 Tonb) Pcrc= 4 x 1.35 x 14.6/6.0= 13.1 Tonc) Pcrs = 4 x 0.978 x 14.6/6.0 = 9.5 Ton

En el caso b, Cbpuede calcularse con la ec. 5.34.

Mmx= MB= PL/4 = 1.5 P ; M A= MC= 0.75P

1.35=1.333=3)+(30.75+4)+(21.5

1.5x12=C

.

b

La resistencia debida a la torsin de Saint Venant es ahora mayor que la queproviene de la resistencia al alabeo.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

43/151


5.4.2.1.4 Otras condiciones de soporte lateral

Hasta ahora se ha supuesto que, desde el punto de vista del pandeo lateral, los soportesson apoyos simples en flexin lateral y en torsin, a los que corresponde el valor mnimo

de Mcr.

En uniones diseadas para transmitir slo fuerza cortante (dos ngulos soldados oatornillados al alma de la viga, de longitud bastante menor que el peralte de sta, porejemplo), las condiciones anteriores se cumplen razonablemente; aunque hay algunasrestricciones contra la rotacin alrededor de yy el alabeo, no pueden cuantificarse conexactitud, y es conservador considerarlas nulas.

Si la conexin transmite flexin, adems de cortante, como en las uniones entre vigas ycolumnas de marcos rgidos, las condiciones de soporte se aproximan al empotramiento,tanto en flexin lateral como en torsin, y Mcraumenta de manera importante.

Se cuenta con varios mtodos para considerar las diversas condiciones de apoyo ysoporte lateral. Uno de ellos, en el que se utilizan dos coeficientes de longitud efectiva,para flexin lateral y torsin (Kyy Kz, respectivamente), se ha tratado en el art. 5.4.2.

En secciones en cajn, que tienen una resistencia a la torsin por alabeo despreciable

GJEILK

M yy

cr

= (5.35)

Otro mtodo consiste en definir un coeficiente Cbs, semejante a Cb, que incluye, al mismo

tiempo, las condiciones de apoyo y el tipo de carga que acta sobre la viga. De estamanera, la ec. 5.31 se convierte en

crbscr MCM 0= (5.36)

Si la viga est empotrada en los dos extremos, y tiene una carga concentrada en elcentro o repartida uniformemente en toda la longitud, se tiene (ref. 5.9):

Mcr=

adistribuidnteuniformemecargalapara/Lw

aconcentradcargalapara/LP

cr

cr

12

8

2

Cbs =

superiorpatnelencargaparaA/B

torsindecentroelencargaparaA

inferiorpatnelencargaparaAB

Las expresiones para Ay B estn en la Tabla 5.3, y Mocr se calcula con la ec. 5.19 o5.20.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

44/151


Los coeficientes Cbde la ec. 5.31 y Cbsde la 5.36 no son iguales, pues el primero slotoma en cuenta el efecto de la variacin del momento sobre la carga crtica de pandeolateral, y el segundo incluye tambin las condiciones de apoyo en los extremos de laviga.

Carga A B

w

L

P

L/2 L/2

1.643+1.771W-0.405W2

1.916+1.851W-0.424W2

1+0.625W-0.339W2

1+0.923W-0.466W2

Tabla 5.3 Expresiones para A y B para una viga empotrada en losextremos.

Las referencias 5.7, 5.9 y 5.10 contienen informacin adicional para otras condiciones deapoyo y carga, incluyendo vigas en voladizo.

5.4.3 Soportes laterales intermedios y vigas continuas

En vigas continuas, formadas por varios tramos unidos entre s en los apoyos, esfrecuente que se soporten lateralmente una o ms secciones intermedias de alguno delos tramos; lo mismo sucede en vigas de marcos rgidos, sobre todo durante laconstruccin de la estructura. Si una viga con soportes laterales intermedios trata depandearse lateralmente, el tramo crtico interacta con los adyacentes, y su resistencia,y la de la viga completa, aumentan; la importancia de la interaccin depende de lageometra de la viga y de las cargas que obran sobre ella.

La viga de la Fig. 5.17 est apoyada libremente; el eje deformado vertical, que semuestra en a), es una semionda. Sin embargo, desde el punto de vista del pandeo

lateral es continua, a causa de los soportes laterales intermedios (Fig. 5.17b), que sonproporcionados, con frecuencia, por las mismas vigas transversales que aplican lascargas; en otras ocasiones, se colocan elementos especiales para dar apoyo lateral a lassecciones intermedias.

En el tramo central el gradiente de flexin es nulo, y en los laterales el momento vara deun mximo en un extremo a cero en el otro; estos tramos tienen mayor resistencia alpandeo que el central, restringen la rotacin de sus extremos, y retrasan el fenmenohasta que se igualan las resistencias de los tres.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

45/151


Pun tos de inflexin

b) Planta y deform acin lateral

L/3 L/3

L

P P

L/3

* *

Sop ortes laterales*

* *

a) Elevacin y de formacin en e l plano ve rtical

Fig. 5.17 Viga libremente apoyada con soportes laterales intermedios.

La viga de la Fig. 5.18 es continua vertical y lateralmente; sin embargo, desde el puntode vista del pandeo lateral su comportamiento es anlogo al de la viga de la Fig. 5.17,aunque ahora es el tramo central el que restringe a los laterales.

b) Planta y deformacin lateral

a) Elevacin y deformacin en el plano vertical

Soportes laterales Puntos de inflexin*

* * * *

Ls2

=L2

Ls2

=L2Ls1

=L1

Fig. 5.18 Viga continua.

Los puntos de inflexin de la curva de deformacin lateral se sitan siempre en lostramos ms dbiles, y no coinciden con los de la deformada vertical, que aparecen enlas secciones de momento nulo; por consiguiente, al estudiar la resistencia al pandeo

lateral es errneo considerar que los puntos de inflexin de la curva vertical puedenconsiderarse soportados lateralmente, y las distancias entre secciones de momento nulono son las longitudes efectivas de pandeo.

La Fig. 5.19 muestra el efecto de la interaccin en los modos de pandeo elstico de unaviga continua de tres claros. Si slo estn cargados los laterales (P2= 0), ellos son lostramos crticos, en los que se inicia, eventualmente, el pandeo; sin embargo, elfenmeno est restringido por el tramo central, sin carga, y en la curva de pandeo

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

46/151


aparecen puntos de inflexin en los claros extremos (Fig. 5.19b); si, en cambio, el centrales el nico claro cargado (P1= 0), lo restringen los laterales, y la curva de pandeo es lade la Fig. 5.19c, con puntos de inflexin en l. Entre esos dos extremos existe unacondicin de carga para la que no hay interaccin, cada claro se pandea como si

estuviera aislado de los dems, y aparecen puntos de inflexin en los dos apoyosintermedios (Fig. 5.19d).

Puntos de inflexin

Puntos de inflexin

P1 P1P2

L1

L1L2

(d) Modo 3, no hay interaccin

(a) Elevacin

Los apoyos estnsoportados lateralmente

Puntos de inflexin

(b) Modo1, P2=0

(c) Modo 2, P1

=0

Fig. 5.19 Modos de pandeo de una viga continua de tres claros.

Las curvas de las figuras b, cy d, caractersticas del pandeo lateral, corresponden a laconfiguracin deformada de la viga fuera del plano de flexin; la curva elstica de la viga,en su plano vertical original, no depende del contraventeo lateral sino, nicamente, delas cargas.

Se cuenta con abundante informacin terica para evaluar la carga crtica de pandeolateral de vigas continuas con soportes laterales entre los apoyos incluyendo, en lasolucin del problema, la interaccin de los tramos que las componen, pero losresultados son demasiado complicados para aplicarlos en problemas rutinarios de diseo(refs. 5.20, 5.21, 5.25); por ello, se han propuesto mtodos simplificados.

En el ms sencillo, aplicable a vigas formadas por varios segmentos con extremosapoyados o provistos de contraventeos que evitan que se alabeen y desplacenlateralmente, se ignora la continuidad lateral entre tramos adyacentes, y se consideracada uno de ellos como si, lateralmente, tuviese apoyos libres; el pandeo elstico decada segmento se estudia considerando los momentos flexionantes que actan en l,obtenidos con un anlisis de la viga en el plano de carga, y con una longitud efectiva Leigual a la longitud L del segmento (cada tramo, entre apoyos verticales o soporteslaterales, se trata como si estuviese aislado). El momento crtico elstico de cada

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

47/151


segmento se utiliza para evaluar el conjunto de cargas correspondiente, y el menor deellos se considera el crtico. Se obtiene, as, un lmite inferior de las cargas queocasionan el pandeo que, en muchos casos, es bastante cercano al real. (En problemasde diseo basta, en general, con conocer el momento crtico de la viga, que se toma

igual al menor de los calculados para los tramos que la componen; no suele sernecesario determinar las cargas correspondientes).

Los resultados anteriores se pueden mejorar considerablemente, sin complicacionesexcesivas, incluyendo en el anlisis, de manera aproximada, la interaccin del segmentocrtico con los adyacentes (refs. 5.20, 5.21, 5.25); se supone que las restricciones contrael desplazamiento lateral y el alabeo de las secciones extremas son idnticas, y que lasque hay en el plano de flexin se tienen en cuenta por medio del diagrama de momentosflexionantes en ese plano.

Los pasos para resolver un problema son (en vez de las cargas criticas pueden utilizarse

los momentos crticos, lo que suele ser ventajoso):

1. Se determina el diagrama de momentos flexionantes en el plano de carga (Fig.5.20a).

2. Se determinan Cb (ec.5.32 o 5.34) y Mcr (ec. 5.31) para cada uno de lossegmentos no contraventeados, con una longitud efectiva igual a la distancia realentre puntos soportados lateralmente, y se identifica el tramo que tiene la cargacrtica menor. Pm, PrI y PrD (Fig. 5.20b), son las cargas crticas de pandeo delsegmento ms dbil y de los situados a uno y otro lado de l, determinadassuponiendo que sus extremos estn apoyados libremente.

3. Se calculan las rigideces de los tres segmentos; para el segmento crtico:

bcr

y

m L

EI2=

Para los tramos adyacentes:

=

r

my

r P

P

L

EIn 1

n vale 2 si el extremo opuesto del segmento adyacente es continuo, 3 si est

articulado, y 4 si est empotrado.

4. Se determinan las relaciones entre rigideces G m r= en los dos extremos del

segmento crtico, y se obtiene su factor de longitud efectiva, K, con el nomogramapara columnas restringidas, sin desplazamientos lineales relativos entre susextremos.2

2El nomograma puede verse, por ejemplo, en las refs. 5.1, 5.12 5.26, y se incluir en un captuloposterior de este libro. Aparece tambin en la Fig. E5.5.2.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

48/151


5. Se calcula el momento crtico de pandeo lateral del segmento ms desfavorablecon la ecuacin:

y2

2

a2

yb

cr I(KL)

CE+GJEIKL

C=M

que es la ec. 5.19a, en la que se han introducido el coeficiente Cb y la longitudefectiva KL. Puede utilizarse tambin la ec. 5.19b, con los factores Cby K.

Conocido Mcr puede determinarse, si se desea, la carga crtica elsticacorrespondiente.

Mn

Mn+1

(a)

P ,rr Pm m,PrD rD

,

L Lbcr LD

b

Fig. 5.20 Efectos de las restricciones en los extremos: (a) momentos

flexionantes en el plano de carga, (b) contraventeo lateral ylongitudes de pandeo.

El problema puede resolverse trabajando slo con momentos, sin recurrir a calcular lascargas crticas, como se ilustra en el Ejemplo 5.5.

El mtodo anterior est basado en una similitud entre el pandeo elstico de columnascontinuas con extremos fijos linealmente y el pandeo lateral por flexotorsin de vigasformadas por varios tramos (ref. 5.21).

EJEMPLO 5.53 La viga de la Fig. E5.5.1 es un tramo de una viga continua, o formaparte de una estructura reticular; los apoyos y los puntos de aplicacin de lascargas (1 a 5) estn soportados lateralmente. Se desea determinar su momentocrtico elstico, a) considerando cada tramo, entre puntos fijos lateralmente,aislado de los dems; b) teniendo en cuenta la interaccin de los tramos. La vigaes una W 24 x 55 lb/ft (61.0 cm x 82 Kg/m).

3Este ejemplo esta basado en uno de la ref. 5.25.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

49/151


a) Dimensiones y cargas

b) Diagrama de momentosflexionantes (Tm)

3.80m 3.80m 3.80m 3.80m

1 2

15.8T.=2P; 23.7T.=3P; 7.9T.=P90.0Tm=0.75PL

3 4 5

75.0=0.625PL

90.0=0.75PL

15.0=0.125PL

90.0=0.75PL

Fig. E5.5.1 Viga del ejemplo 5.5.

Propiedades geomtricas de la viga (ref. 5.22).

Iy= 1210 cm4; J = 49.1 cm4; Ca= 1039 x 10

3cm6

Coeficientes Cb. Pueden calcularse con la ec. 5.32, pues el momento flexionantevara linealmente en cada tramo.

Tramo 1.2 M1/M2= 0, C b= 1.75

Tramo 2.3 M1/M2= -(75.0/90.0) = -0.833

Cb= 1.75 + 1.05 (-0.833) + 0.3 (-0.833)2= 1.084

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

50/151


Mcr=

+ ay

b CL

JI

L

EC2

6.2

= 10x1039x380+2.6

49.1

1210380

E1.75

3

2

10x

-5

= 97.30 Tm.

Mcr/Mmx= 97.30/75.0 = 1.30.

Como L = 3.80 m en todos los tramos, la nica cantidad que vara en la ecuacinanterior es Cb.

Tramo 2.3 Mcr=97 30

175

.

.x 1.084 = 60.27 Tm;

mx

cr

M

M=

60 27

90 0

.

.= 0.67

Tramo 3.4 Mcr=97 30

175

.

.x 1.583 = 88.01 Tm ;

mx

cr

M

M=

88 01

90 0

.

.= 0.98

Tramo 4.5 Mcr=97 30

175

.

.x 1.934 = 107.53 Tm;

mx

cr

M

M=

107 53

90 0

.

.= 1.19

a) Considerando cada tramo por separado, el crtico es el 2.3; el momentocrtico elstico de la viga puede tomarse, conservadoramente, igual a(Mcr)2.3= 60.27 Tm.

La viga no resistira las cargas que actan sobre ella, que producen momentosmayores que el crtico, pero eso no invalida el ejemplo.Las acciones que ocasionaran el pandeo elstico de la viga (determinadas sinconsiderar la interaccin de los diversos tramos) y el diagrama de momentoscorrespondiente, se obtienen multiplicando por 0.67 las cargas y momentos de laFig. E5.5.1.

Rigideces aproximadas (del tramo crtico y los dos adyacentes).

Tramo 1.2.

1.30

0.67-1

E1210x3=)/M(M

)/M(M-1L

3EI

=12mxcr

mnmxcry

12 380 = 9.44 x 106Kgcm.

Tramo 2.3. 23 = 2EIy/L = 2 x 1210E/380 = 12.99 x 106Kgcm.

Tramo 3.4. 34=

0.98

0.67-1

1210Ex=

)/M(M

)/M(M-1

L

2EI

34mxcr

mnmxcry

380

2= 4.11 x 106Kgcm.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

51/151


Coeficientes G. G2= 12.99/9.44 = 1.38; G3= 12.99/4.11 = 3.16.

Factor de longitud efectiva. De la Fig. E5.5.2, K23= 0.85.

b) Momento crtico elstico corregido (Tramo 2-3).

(Mcr)2 3. = Tm80.9510x10x1039x380x0.85+1210

x

E 5-3 =

2

6.2

1.49

38085.0

084.1

Al considerar la continuidad del tramo crtico con los que estn a sus lados, elmomento crtico elstico de la viga sube de 60.37 Tm, que corresponde al tramo2-3 aislado, a 80.95 Tm, lo que representa un incremento de 34%. (80.95/60.37 =1.34).

El incremento en resistencia del prrafo anterior se refiere a pandeo elstico; sinembargo, como se ve ms adelante, la mayora de las vigas de estructuras realesse pandean en el intervalo inelstico, lo que obliga a corregir los resultadosobtenidos hasta ahora; la diferencia entre los momentos crticos reales, corregidos

por inelasticidad, suele ser mucho menor que la que hay entre los elsticos.

El pandeo lateral puede ser ms crtico durante la construccin que en laestructura terminada; esto sucede, por ejemplo, en las vigas compuestas, antesde colar la losa de concreto.

El problema puede resolverse tambin en funcin de las cargas crticas de cadatramo, en vez de los momentos crticos; para ello, se expresan las cargas y losmomentos en funcin de la menor de ellas, P, y del claro L = 15.20 m de la viga(Fig. E5.5.1). Se obtiene, as:

Tramo 1-2. Mcr= 97.30 Tm = 0.625 PcrL Pcr= 10.24 Ton.




El tramo crtico es el 2-3.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

52/151


0 0

0.1 0.1

0.2 0.2

0.3 0.3

0.4 0.4

0.5

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Gs K Gi

0.5

0.6 0.6

0.7 0.70.8 0.80.9 0.91.0 1.0

2.0 2.0

3.0 3.04.05.0 5.0

10.0 10.0

50.0 50.0

oo oo

Fig. E5.5.2 Nomograma para determinar el factor de longitud de

columnas en marcos con desplazamientos laterales impedidos.

Rigideces aproximadas.

10.24

5.29-1

E1210x3=

)(P

)(P-1

L

3EI=

2-1cr

3-2cry

12 380= 9.42 x 106Kgcm.

23 = 2EIy/L = 12.99 x 106Kgcm.

34=

7.72

5.29-1

1210Ex=

)(P

)(P-1

L

2EI

34cr

23cry

380

2= 4.09 x 106Kgcm.

Los resultados son prcticamente iguales a los de arriba, de manera que seobtiene el mismo momento crtico corregido.

(Mcr)2-3= 80.95 Tm = 0.75 PcrL Pcr= 7.10 Ton.

7.10/5.29 = 1.34, igual que arriba.

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

53/151


Las cargas que ocasionaran el pandeo elstico de la viga se obtienensustituyendo P por Pcr= 7.10 Ton en la Fig. E5.5.1a.

EJEMPLO 5.6 Igual que el ejemplo 5.5. La viga es una W12 x 50 lb/ft (31 cm x 74Kg/m), con las dimensiones y cargas que se indican en la Fig. E5.6.1.

43

2m 3m

5.4 (+)

(-)

6.6

4m

1 2

2.3T. 3.5T.

R=2.7Ton

a) Dimensiones y cargas

b) Diagrama de momentos

flexionantes (Tm)

5.8Tm

5.8

Fig. E5.6.1 Viga del ejemplo 5.6.

Propiedades geomtricas de la W12 x 50 (ref. 5.22)

Iy= 923 cm4; J = 74.1 cm4; Ca= 504 847 cm

6

Coeficientes Cb. Pueden calcularse con la ec. 5.32, pues el momento flexionantevara linealmente en cada uno de los tramos.

Tramo 1-2. M1/M2= 0, Cb= 1.75

Tramo 2-3. M1/M2= -(5.4/6.6) = -0.818 (curvatura simple).

Cb= 1.75 + 1.05 (-0.818) + 0.3 (-0.818)2= 1.09 2.3 Cb= 2.3

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

54/151


Momentos crticos elsticos, suponiendo tramos aislados.

cm.133.1=74.1

847504X2.6=

GJ

ECa Esta cantidad es constante para todos

los tramos.

Tramo 1-2. Ec. 5.20, con el coeficiente Cb. Mcr= =W+1GJEIL

C2

yb

=

22

133.1x200

+174.1x923xE

6.2200

75.1x 10-5 = 0.027 x 330.70 x 106x 2.32 x 10-5=

210.7 Tm.

Mcr/Mmx= 210.7/5.4 = 39.02.

Tramo 2-3. Mcr=

5.02

)300

09.1

300

133.1+110x(330.7 6

x10-5= 64.8 Tm;

Mcr/Mmx= 64.8/6.6 = 9.82.

Tramo 3-4. Mcr=

5.02

)400

90.2

400

133.1+110x(330.7 6

x 10-5= 109.0 Tm ; Mcr/Mmx= 109.0/6.6

=16.52

a) Considerando cada tramo por separado, el tramo crtico es el 2-3, y el

momento crtico elstico de la viga puede tomarse, conservadoramente, igual a64.8 Tm.

Rigideces aproximadas.

Tramo 1-2. 12=6

12mxcr

mnmxcry10x21.13=

39.02

9.82-1

200

E923x3=

)/M(M

)/M(M-1

L

3EI

Tramo 2-3 23= 2EIy/L = 2 x 923 E/300 = 12.55 x 106

Tramo 3-4. 34=6

34mxcr

mnmxcry

10x5.72=16.52

9.82

-1400

E923x3

=)/M(M

)/M(M

-1L

3EI

Coeficientes G. G2= 12.55 x 106/21.13 x 106= 0.59

G3= 12.55 x 106/5.72 x 106= 2.19

Factor de longitud efectiva. Del nomograma de la Fig. E5.5.2, K23= 0.78

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

55/151


b) Momento crtico elstico corregido del tramo crtico (2-3).

(Mcr)23=

2

6.230078.0

09.1

0.78x300

133.1+174.1x923x

E

x

2 x 10-5= 99.1 Tm.

Teniendo en cuenta la continuidad de los tramos, el momento crtico de la viga esde 99.1 Tm, 53% mayor que el que se obtiene considerando los tramos aislados(99.1/64.8 = 1.53).

7/22/2019 58441468 Pandeo Lateral

56/151


5.5 PANDEO LATERAL INELSTICO

5.5.1 Aspectos generales

De la misma manera que la teora de Euler sobrestima la resistencia de las columnasque se pandean fuera del intervalo elstico, las ecuaciones que se han visto hasta ahorapara calcular Mcr proporcionan valores que pueden ser mucho mayores que laresistencia ltima de las vigas, si el pandeo se inicia cuando parte de sus seccionestransversales est plastificada. Se presenta, en este caso, un fenmeno de pandeoinelstico, caracterstico de vigas de longitud libre (separacin entre seccionessoportadas lateralmente) intermedia (art. 5.2.1 y Fig. 5.3).

A causa de los esfuerzos residuales, la plastificacin comienza antes de que se alcanceel momento plstico, Mp= ZxFy, en las secciones tipo 1 o 2, o el momento elstico lmite,My= SxFy, en las tipo 3. La plastificacin parcial de las secciones transversales ocasiona

una disminucin de las diversas rigideces (EIx, EIy, GJ y ECa), pues las zonasplastificadas se deforman libremente bajo carga creciente, y la seccin efectiva, desde elpunto de vista de la resistencia al pandeo lateral, disminuye (se reduce a la parte que seconserva en el intervalo elstico).

La complejidad del problema del pandeo lateral inelstico se debe a varias razones:

1. La distribucin de esfuerzos residuales en las secciones transversales dependede su geometra y del proceso de fabricacin del perfil, y puede variar de maneraapreciable an entre vigas tericamente iguales.

2. Cuando comienza la plastificacin, las secciones bisimtricas pierden la simetrarespecto al eje de flexin, porque al superponerse los esfuerzos producidos por laflexin con los residuales el flujo plstico se inicia en los extremos del patncomprimido y en la zona central del que est en tensin y, cuando crece elmomento, se extiende hacia el interior del primero y hacia los extremos delsegundo penetrando, adems, en la parte del alma que est en contacto con ste(Fig. 5.21).

3. Si el momento flexionante vara a lo largo del eje de la viga, la amplitud de laszonas plastificadas y la geometra del ncleo elstico, del que proviene laresistencia al pandeo lateral, cambian de unas secciones a otras; el problema se

convierte en la determinacin del momento crtico de una viga con u

58441468 pandeo lateral

Documents