capitulo 10 pandeo

Ing. Ricardo Fal PANDEO

PAGINA 479

CAPITULO X

PANDEO

10.1 Introduccin

Para una pieza sometida a un sistema dado de cargas externas, o a efectos de variaciones

trmicas como a descensos de apoyos, la Resistencia de Materiales a travs de sus mtodos nos

permite determinar:

a) Las fuerzas internas que se generan o desarrollan en la pieza,

b) Las deformaciones que se originan en dichos elementos;

En consecuencia nos permite poder evaluar si las tensiones y las deformaciones se

mantienen inferiores a ciertos valores lmites admisibles previamente fijados para el material

constitutivo como para el destino de la obra, herramienta u otros. Es decir, nos permite evaluar si la

pieza de una estructura cumple o no con los requisitos de resistencia y de rigidez que aseguren un

comportamiento satisfactorio bajo cargas. De ambas condiciones sealadas nos hemos ocupado

extensamente en los captulos anteriores; sin embargo hay otro aspecto muy importante para

analizar, como es el de la estabilidad de la forma de una estructura o su capacidad para soportar

una carga dada sin experimentar por ello un cambio repentino en su configuracin estructural.

Para poder abordar el tema que nos ocupa nos centraremos en el anlisis y estudio de la

estabilidad de las columnas, dejando en claro que este fenmeno tambin puede presentarse en

otros tipos de piezas estructurales, por ejemplo en vigas donde suelen aparecer problemas de

estabilidad de formas en las zonas de compresin por efecto del esfuerzo de flexin, tema especial

que no abordaremos en el desarrollo de este texto.

P

P

P

P

e

a) b)

FIGURA 10.1. Columnas cargadas a) cntrica y b) excntricamente

CAPITULO X

PAGINA 480

Definicin 10.1.1: Definimos como Columna a un elemento estructural de barra que

soporta cargas predominantemente de compresin. Estas cargas pueden ser centradas

(aplicada a lo largo del eje centroidal, como muestra la Figura 10.1 (a), o excntricas

(con su lnea de accin paralela al eje centroidal de la pieza, pero desplazada una cierta

distancia del mismo), como muestra la Figura 10.1 (b). Nuestros estudios por el

momento lo orientaremos tan solo a columnas rectas sometidas a cargas axiales de

compresin.

Segn esta definicin las piezas o barras sometidas a compresin cargadas cntricamente,

y que hemos estudiado en el captulo 4, son denominadas columnas; sin embargo debemos

recordar que en dichos estudios habamos limitado geomtricamente a que estas barras sean

relativamente cortas o de poca esbeltez. Para tales columnas hemos aceptado que la falla solo

ocurre por aplastamiento general del material, e inclusive en esa oportunidad se acept que la

distribucin de las tensiones poda ser considerada como uniforme en una tensin media ( med ) a

lo largo de toda la seccin; de no cumplirse esta condicin de supuesta forma de falla se sabe que a

medida que aumenta la longitud de la columna, manteniendo su conformacin en la seccin

transversal, paulatinamente se reduce su capacidad de soportar cargas. Est estudiado que esta

reduccin de carga, capaz de soportar una cierta columna, se debe fundamentalmente al tipo y

forma de falla estructural ms que al esfuerzo lmite de la resistencia del material.

Consideremos ahora como ejemplo dos barras de acero que tienen un dimetro de 8 mm, o

sea ambas barras son de igual seccin transversal e igual material, pero sus longitudes son

apreciablemente distintas, una de un metro de longitud y la otra de un centmetro de longitud; si

aplicamos una fuerza gradualmente creciente de compresin axial a la barra larga, la misma ha de

fallar porque se presenta repentinamente una gran deflexin lateral. Esta deflexin lateral, llamada

pandeo, es producida por la inestabilidad de la barra cuando es superada una cierta solicitacin de

carga de compresin llamada carga crtica.

Por otro lado, como ya lo sealamos, la barra corta ante un esfuerzo de compresin falla

por un fenmeno de fluencia general del material considerado, es decir por aplastamiento; por

consiguiente la barra corta de acero ha de soportar una carga de compresin considerablemente

mayor que la barra larga propensa a importantes desplazamientos laterales.

Esto ilustra los dos tipos extremos de falla que pueden ocurrir cuando miembros rectos de

material dctil son sometidos a cargas de compresin en igual direccin al eje de la barra recta.


PAGINA 481

Cuando dicha barra se somete a este tipo de solicitacin de compresin pueden ocurrir tres

tipos de falla segn la teora de columnas; las columnas cortas fallan por fluencia o rotura del

material, las columnas largas fallan por pandeo con inestabilidad de la estructura dentro del campo

lineal elstico y las columnas intermedias fallan por una combinacin de pandeo y aplastamiento,

fenmeno conocido como pandeo inelstico.

Las columnas cortas pueden disearse segn la expresin elemental A

Pmed , que

oportunamente analizamos. Sin embargo las columnas largas como las intermedias deben tratarse

de tal manera que se considere el cambio de configuracin geomtrica de las mismas.

Definicin 10.1.2: Cuando la carga de compresin de una columna alcanza un valor

determinado, cualquier perturbacin, por pequea que sta sea, hace que la columna

se encuentre en equilibrio inestable y en consecuencia adopte una forma curva. La

aparicin de esta curvatura, como su rpido crecimiento y la consecuente rotura final

de la columna, constituye el fenmeno de pandeo.

En conclusin, el pandeo elstico (tambin llamado fenmeno de inestabilidad elstica) no

se refiere al estudio de un estado local ni a un agotamiento de la resistencia del material, sino a una

condicin general de la estructura; el mismo se produce cuando bajo la accin de cargas

determinadas (cargas crticas) la forma original de la barra o de la estructura deja de ser estable.

10.2. Formas estables e inestables del equilibrio - La carga crtica.

Definicin 10.2.1: Si un sistema en equilibrio es sometido a una determinada carga,

diremos que el mismo es estable -Figura 10.2 (a), cuando pequeas perturbaciones

momentneas originan en el sistema desplazamientos que desaparecen al suprimir

dichas perturbaciones. Contrariamente si los desplazamientos aumentan de un modo

continuo despus de suprimir dichas perturbaciones, el equilibrio es inestable - Figura

10.2 (b); finalmente cuando el sistema permanece desplazado despus de que las

perturbaciones han cesado, entonces diremos que estamos ante un sistema que

denominamos como de equilibrio indiferente - (Figura 10.2 (c).

CAPITULO X

PAGINA 482

FIGURA 10.2. Sistemas elsticos estable inestable e indeterminado

Corresponde y es apropiado enunciar los tres tipos de equilibrio antes mencionados en

funcin de la energa potencial que almacena el sistema:

a) En el equilibrio estable la energa potencial original del sistema es mnima.

b) En el equilibrio inestable la energa potencial original del sistema es mxima.

c) En el equilibrio indiferente la energa potencial del sistema permanece constante.

Teniendo en cuenta las definiciones anteriormente enunciadas, pasamos a estudiar a

continuacin el comportamiento de una columna simplemente apoyada bajo la accin de una carga

de compresin P , Figura 10.3(a); en un principio dicha columna se encuentra en equilibrio

manteniendo su forma rectilnea. Para analizar la estabilidad de este equilibrio originamos una

perturbacin aplicando una carga transversal Q que ocasiona una pequea deflexin a la columna,

Figura 10.3 (b); seguidamente se retira la carga adicional Q , Figura 10.3(c), instante en el que, a

travs del mtodo de las secciones, analizamos adicionalmente los esfuerzos internos en una

seccin transversal cualquiera en C . Si consideramos el diagrama de cuerpo libre mostrado en la

Figura 10.3 (d), podemos concluir que la seccin en C est solicitada por la fuerza normal de

compresin P y por un momento flector M de signo positivo segn nuestra convencin y que se

corresponde con un momento de restitucin elstica, definido en el captulo correspondiente a

Flexin y dado por la expresin (10.1).

EIM (10.1)

(a) (b) (c


PAGINA 483

P

A

B

P

A

B

Q

P

A

B

y

x

y

P

A y

y

P

M

(a) (b) (c) (d)

C

FIGURA 10.3. Comportamiento de una barra larga, simplemente apoyada, solicitada a compresin

Sumando los momentos respecto al apoyo A de la Figura 10.3 (d), del sistema de fuerzas

que actan sobre la parte AC de la columna, se obtiene:

yPMM A (10.2)

El momento flector M en la seccin C no depende de la magnitud de la carga P sino

nicamente de la curvatura

1 de la elstica en C , o sea de la flexin provocada y es un momento

reactivo de estabilidad; por el contrario el producto yP. es un momento activo de inestabilidad.

Por esta razn se pueden dar las siguientes situaciones:

* Que la carga P sea tan pequea que el momento ( yP. ) sea menor al momento M ,

o sea: MyP . y por tanto 0AM , la columna recupera elsticamente su forma

recta y el equilibrio es estable (anlogo al caso de la Figura 10.2(a).

* Que la carga P sea lo suficientemente grande para que a su vez sea MyP . , es

decir, 0AM la columna sigue curvndose progresivamente y el equilibrio es inestable,

anlogo al caso de la Figura 10.2 (b).

* Consecuentemente entre estas dos condiciones de equilibrio, estable e inestable, ha de

existir un cierto valor critP de la carga P , llamada carga crtica o carga de pandeo, para el

cual resulta MyP . y por tanto 0AM en cualquiera de las partes AC de la

columna, la que permanecer curvada y su equilibrio entonces ser indiferente. En

consecuencia, cuando la carga P alcanza el valor de carga crtica critP , la columna puede

presentar forma recta o forma curva, es decir, dos formas alternativas de equilibrio.

CAPITULO X

PAGINA 484

Las inevitables excentricidades de la carga P , como las imperfecciones de la columna,

hacen que sta se flexione an para pequeos valores de la carga, aumentndose la flexin a

medida en que se aumenta la carga P . Sin embargo se ha comprobado que la inestabilidad se

presentar an en el caso ideal de que tales excentricidades o imperfecciones no existieran. En

efecto, una vez que la carga de compresin alcanza el valor critP , cualquier pequeo incremento

P de la carga hace que la columna se encuentre en equilibrio inestable y por ello cualquier

perturbacin, por pequea que esta sea, impedir que la columna se mantenga recta, curvndose

bruscamente; se descuenta que entre tales perturbaciones estn las posibles excentricidades e

imperfecciones antes citadas.

10.3. Frmula de Euler para columnas largas o esbeltas.

En esta seccin determinaremos una expresin para encontrar el valor de la carga crtica

correspondiente a una columna simplemente apoyada en sus extremos, barra biarticulada como

muestra la Figura 10.4(a).

La columna que analizaremos la suponemos como una columna ideal. Para ello, definiremos

como columna ideal aquella que verifica las siguientes hiptesis:

1. La columna es perfectamente recta antes de ser sometida a carga

2. El material constitutivo de la columna es continuo, homogneo e istropo

3. La carga es aplicada a travs del eje centroidal de la columna

4. El material admite un comportamiento elstico lineal

Como la columna ideal es recta, tericamente la fuerza axial P podra ser incrementada

hasta que ocurra la falla, sea por fractura o por fluencia del material; sin embargo cuando se alcanza

la carga crtica crP la columna est en equilibrio indiferente (a punto de volverse inestable), de

manera que cualquier perturbacin como la de una pequea fuerza lateral Q ocasiona que la

columna permanezca en posicin curvada si es de material dctil, aun cuando la carga Q sea

retirada - Figura 10.4. )(b . Segn vimos, ello ocurre cuando en cualquier seccin transversal de la

columna se verifica que:

MyP . (10.3)


PAGINA 485

P

A

B

P

A

B

Q

y

x

P

A y

y

P

M

(a) (b) (c)

l

x

FIGURA 10.4. Determinacin de la carga critica para una columna simplemente apoyada

Tomemos por ejemplo una seccin ubicada a una distancia x del apoyo A como se

muestra en la Figura 10.4. )(c , el momento interno est relacionado con su forma flexionada a

travs de la siguiente expresin:

2

2

dx

ydEIM (10.4)

Recordemos que esta expresin supone que la pendiente de la curva elstica es pequea y

que las deflexiones ocurren slo por flexin.

Si reemplazamos la ecuacin 10.3 en la ecuacin 10.4, se obtiene:

0.2

2

yPdx

ydEI (10.5)

La cantidad IE. es la rigidez a flexin en el plano yx , el cual se supone que es el plano de

pandeo. Dividiendo la expresin (10.5) por la rigidez mecnica a flexin IE. y haciendo 2 PEI

se tiene: 022

2

ykdx

yd (10.6)

La ecuacin (10.6) es una ecuacin diferencial lineal homognea de segundo grado a

coeficientes constantes. La resolucin de la misma nos proporciona la deflexin y como una

funcin de x ; o sea )(xfy . La solucin general de esta ecuacin est dada por:

1 2 cosy C sen x C x (10.7)

Donde 1C y 2C son constantes que deben evaluarse a partir de las condiciones de

contorno de la columna, o sea para:

CAPITULO X

PAGINA 486

0)0( xy , ( ) 0x ly

* De la primera condicin y para nuestro ejemplo resulta 02 C . Por lo que la Ecuacin

(10.7) se reduce a:

xsenCy 1 (10.8)

* De la segunda condicin resulta 1 0C sen l . Esta condicin admite dos soluciones:

a) ya sea que: C1 0

b) o bien que: 0sen l

En el caso a), si C1 0 , la deflexin y es cero y la columna permanece recta. En tal caso,

la ecuacin 1 0C sen l se satisface para cualquier valor de la cantidad l . Por tanto la

carga axial P puede tener tambin cualquier valor. Esta solucin de la ecuacin diferencial, llamada

a menudo solucin trivial, se representa mediante el eje vertical del diagrama carga deflexin

mostrada en la Figura 10.5. Esta solucin corresponde a una columna ideal que est en equilibrio

(estable o inestable) bajo la accin nica de la carga axial de compresin P .

FIGURA 10.5. Columna ideal que est en equilibrio bajo la accin de la carga P de compresin

La posibilidad b), o sea: 0sen l significa que la igualdad se satisface para cuando el

producto l toma los valores de: . 0, ,2 ,..., l n , donde n es un nmero entero. Para

0l significa que . 0.

Pl

E I , lo que solo puede cumplirse si 0P , esta solucin no es de

inters pues hemos partido de que P existe y no es nula. Por tanto las soluciones posibles a

considerar son:

l n , con ,...3,2,1n (nmero natural) (10.9)

Pcr

Equilibrio estable

Equilibrio inestable

Equilibrio indiferente

y

P


PAGINA 487

Teniendo en cuenta que EI

P2 , y reemplazando en (10.9) resulta:

2 2

2 con n 1,2,3,...

n E IP

l

(10.10)

Esta ecuacin nos proporciona soluciones diferentes de la trivial y que satisfacen la ecuacin

diferencial. Luego la ecuacin de la curva de deflexin es:

1 1 , n 1,2,3,...n x

y C sen x C senl

(10.11)

Es decir, para que la columna adopte la forma curva del equilibrio indiferente es preciso que

la carga de compresin P tenga unos valores determinados. El menor de estos valores se da

evidentemente para 1n e minII , de modo que la carga crtica para la columna es por

consiguiente:

2

min

2crit

E IP

l

(10.12)

A esta carga crtica se la denomina carga crtica de Euler en honor al matemtico suizo

Leonhard Euler quien por primera vez resolvi este problema en el ao 1757. La forma pandeada de

la curva correspondiente se define (ver Ecuacin (10.11)) mediante la expresin:

1

xy C sen

l

(10.13)

Podemos observar que en este caso la elstica de la columna es una semionda sinusoidal

llamada semionda de pandeo (Figura 10.6(a)). La constante 1C representa la mxima deflexin.

Adems la constante 1C es indeterminada debido a que al trabajar con pequeas deformaciones

no se utiliz la ecuacin diferencial exacta de la elstica que transcribimos a continuacin:

2

2

32 2

1

d y

M dx

EIdy

dx

No obstante haber utilizado la ecuacin diferencial aproximada de la elstica el valor de crP

obtenido es un valor preciso, puesto que corresponde al comienzo de la inestabilidad de una

columna perfectamente recta, o sea a deformaciones todava pequeas.

El pandeo de una columna de extremos articulados en el primer modo 1n se denomina

caso fundamental del pandeo de columnas.

CAPITULO X

PAGINA 488

Al considerar valores ms altos de n en las ecuaciones (10.10) y (10.11), se obtienen un

nmero infinito de cargas crticas con las formas modales correspondientes. La forma modal para

2n se representa en la Figura 10.6. (b); donde la carga crtica resulta ser cuatro veces mayor que

la del caso fundamental.

Pcr=

A

B

y1

y

x

(a)

2EIL2

Pcr=

A

B

y

x

(b)

42EIL2

l

y1

y1

FIGURA 10.6. Formas modales de pandeo de una columna

Se aprecia que las magnitudes de las cargas crticas son proporcionales al cuadrado de n ,

como el nmero de semiondas, en la forma pandeada, es igual a n . Tales formas pandeadas no

suelen tener aplicacin prctica, ya que la columna siempre se pandear cuando la carga P alcance

su menor valor crtico. La nica forma de obtener modos de pandeo ms altos, es que la columna

disponga de riostras laterales o restricciones en los puntos de inflexin.

Es importante analizar detenidamente los factores que intervienen en la expresin de la

carga crtica para el caso fundamental. Para mayor claridad escribimos nuevamente la ecuacin

(10.12):

2

min

2crit

E IP

l

critP = Carga axial mxima o carga crtica sobre la columna

justamente antes de que empiece a pandearse y al momento en que consideramos que la columna

se encuentra en lo que denominamos equilibrio indiferente. Esta carga no debe ocasionar que los

esfuerzos en la columna excedan el lmite elstico lineal del material (ver apartado 10.5).

E = Mdulo de elasticidad lineal del material.

I = El menor momento de inercia de la seccin transversal de la

columna.

l = Longitud total de la columna, cuyos extremos estn articulados.


PAGINA 489

Debemos hacer notar que la carga crtica es independiente de la resistencia del material;

ms bien depende slo de las dimensiones y propiedades geomtricas de la columna ( I y l ) y del

mdulo de elasticidad E del material. Por tanto, en lo que respecta al pandeo elstico, podemos

concluir:

1) Las columnas hechas por ejemplo de acero de alta resistencia no ofrecen ninguna ventaja

en comparacin con las hechas de acero dulce, puesto que el mdulo de elasticidad de

ambos aceros es aproximadamente el mismo.

2) La capacidad de carga de una columna aumentar al incrementarse el momento de inercia

de la seccin transversal. Para un rea dada el material debe distribuirse tan lejos como sea

posible del centroide, de tal manera que los momentos de inercia respecto de los ejes

principales sean iguales o lo ms parecidos posibles. Al estar centrada la carga se deduce

que las secciones ms eficientes sern la circular y la cuadrada, pues tienen iguales

propiedades inerciales en todas las direcciones. Dijimos anteriormente que para un rea

dada el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centroide de la seccin, ya

que con ello aumentamos el momento de inercia manteniendo el rea constante. De lo

dicho se desprende que las piezas tubulares huecas, que trabajen como columnas, sern

ms estables que las piezas slidas, las que para lograr igual estabilidad elstica debern

aumentar su seccin transversal con el consiguiente detrimento econmico. Sin embargo,

es de advertir que el espesor de la pared, de secciones tubulares, no puede ser muy

pequeo, ya que la pared misma podra volverse inestable; entonces puede ocurrir pandeo

local en forma de pequeas ondulaciones o arrugas en dicha pared. En este captulo nos

limitamos a estudiar el pandeo total de las columnas y tan solo comentaremos el pandeo

local de columnas compuestas.

10.4. Influencia de distintos tipos de apoyo.

Generalmente los extremos de las barras pueden apoyarse de alguna de las cuatro maneras

representadas en la Figura 10.7.

En el apartado 10.3 se obtuvo la frmula de Euler para el caso fundamental (ecuacin

10.12), caso que corresponde a una columna articulada en los extremos tal como se muestra en la

Figura 10.7 (a).

CAPITULO X

PAGINA 490

(a)

l

(b)l

(c)

l

(d)

l

FIGURA 10.7. Columnas Sujetas a distintos tipos de apoyos

(a) - biarticulada

(b) - empotrada libre

(c) - doblemente empotrada

(d) - empotrada articulada

Usando la columna con extremos articulados como caso bsico, podemos modificar la

ecuacin (10.12) para proporcionar la carga crtica de pandeo para columnas que tengan como

condiciones en sus extremos las mostradas en la Figuras 10.7(b), (c) y (d); para ello se necesita

solamente sustituir la longitud l de la ecuacin (10.12) por una longitud que denominamos

longitud efectiva.

Definicin 10.3

Se denomina longitud efectiva (le) o longitud de pandeo a la distancia entre los puntos de

inflexin de la curva deformada que adopta el eje de la columna. En otras palabras, la

longitud efectiva representa la distancia entre puntos de momento nulo.

Con esta definicin reescribimos la Ecuacin de Euler (10.12) utilizando la longitud efectiva

2

min

2crit

e

E IP

l

(10.14)

Deducimos en forma directa que en una columna simplemente apoyada es le=l.


PAGINA 491

10.4. Columna con un extremo libre y el otro empotrado

En el caso de una columna con un extremo libre y el otro empotrado - Figura 10.8 - con la

carga P aplicada en el extremo libre, se observa que la columna con este tipo de apoyo se

comporta como lo hace la mitad superior de una columna biarticulada.

FIGURA 10.8. Pandeo en una columna empotrada

La carga crtica para la columna de la Figura 10.8(a) se puede determinar de la misma

manera que para la columna biarticulada de la Figura 10.7(a), pero reemplazando la longitud de la

columna por la longitud efectiva mediante la frmula general de Euler (10.14), usando una longitud

igual al doble de la longitud real l de la columna empotrada - libre. En este caso la longitud efectiva

le, de dicha columna es igual a 2l. Si reemplazamos le = 2l en la frmula de Euler correspondiente al

caso fundamental, determinamos la carga crtica para una columna bajo esta nueva condicin de

apoyo - Fig. 10.8 a) - es 4 (cuatro) veces menor que para una columna biarticulada:

2 2 2

min min min

22 242crit

e

E I E I E IP

l ll

(10.15)

10.4.1. Columna doblemente empotrada

Se observa en la Figura 10.9 que por simetra los puntos de inflexin se ubican en la cuarta

parte de la luz de la columna; como en estos puntos de inflexin el momento flector es nulo, el

diagrama de cuerpo libre muestra que la mitad central de la columna doblemente empotrada

equivale a una columna articulada con sus extremos ubicados en una longitud efectiva le.=l/2 .

CAPITULO X

PAGINA 492

FIGURA 10.9. Pandeo de una columna doblemente empotrada

Introduciendo esta longitud efectiva en la ecuacin (10.14), obtenemos la carga crtica para

este tipo de sujecin doblemente empotrada y que resulta tener una carga crtica 4 veces mayor al

de igual columna con sus dos extremos articulados:

2 2 2

min min min

22 2

4

2

crit

e

E I E I E IP

l ll

(10.16)

10.4. 2. Columna empotrada en un extremo y articulada en el otro

Puede demostrarse que en columnas con este tipo de vnculos extremos el punto de

inflexin se encuentra a una distancia aproximada de 0.7L, medido desde el extremo articulado.

(a)

l

(b)

l

P

P

0,7L

FIGURA 10.10. Pandeo en una columna empotrada en un extremo y articulada en el otro


PAGINA 493

Si introducimos en la ecuacin general (10.14) la longitud efectiva 1

0,72

el l l ,

obtenemos la expresin de la carga crtica correspondiente a una columna empotrada - articulada,

cuyo valor duplica a la carga crtica de una columna biarticulada de igual longitud.

2 2 2

min min min

22 2

2

2

crit

e

E I E I E IP

l ll

(10.17)

De acuerdo al anlisis anterior, podemos deducir que es posible expresar la longitud

efectiva, como: el k l (10.18)

Donde k se denomina factor de longitud efectiva. Los valores de k se muestran en la tabla

10.1.

Tabla 10.1. Factor de longitud efectiva

Condicin de fijacin k

Articulado Articulado 1

Empotrado Empotrado 0.5

Empotrado Libre 2

Empotrado Simplemente Apoyado 0.7

10.5. Dominio de la frmula de Euler.

Al deducir la frmula de Euler hemos empleado la ecuacin diferencial de la lnea elstica, la

que como sabemos se basa en la Ley de Hooke; esta ltima es vlida mientras las tensiones no

rebasen el lmite de proporcionalidad ( p ) del material.

Para poder establecer el dominio de la frmula de Euler debemos calcular la tensin crtica

que se produce en la columna cuando acta la carga crtica.

2 22minmin2 2

crit

e e

P IE Ei

A l A l

CAPITULO X

PAGINA 494

O bien

2 22

min 22

2

min

cr

ee

E Ei

lli

(10.18)

Donde los trminos tienen los siguientes significados:

crit = tensin crtica, es una tensin promedio en la columna, precisamente

antes de que esta se pandee. Este esfuerzo interno por unidad de superficie es un esfuerzo elstico

lineal y por tanto se debe verificar la inecuacin: Pcr

mini = radio de giro mnimo de la columna, determinado por:

A

Ii minmin

A su vez,

min

el

i es una magnitud que representa la esbeltez mecnica o la relacin de

esbeltez de la columna, se la designa con la letra griega (lambda), o sea:

min

el

i (10.19)

La esbeltez no es otra cosa que una medida de la flexibilidad de la columna y, como

veremos luego, sirve para clasificar a las columnas segn su comportamiento y modo de falla en

columnas largas, intermedias o cortas.

Reemplazando la igualdad (10.19) en la expresin (10.18), obtenemos el valor de la tensin crtica

de Euler en funcin de la esbeltez :

2

2

Ecr

(10.20)

A

B

C

L

c r

p

FIGURA 10.11. Curva de Euler


PAGINA 495

La expresin (10.20) se representa grficamente mediante la hiprbola ABC denominada

curva de Euler (Figura 10.11), en la que se observa que cuanto mayor es la esbeltez de la

columna, menor es su esfuerzo crtico crit y por tanto menor su capacidad de soportar cargas.

Por otro lado cuando la esbeltez disminuye, la tensin crit aumenta y la curva de Euler

se aproxima asintticamente al eje vertical. Sin embargo y como dijimos al plantear las hiptesis de

elasticidad lineal, la tensin crtica dada por la frmula de Euler no debe superar la tensin de

proporcionalidad del material constitutivo de la columna.

O sea, PcrE

2

2

(10.21)

Si despejamos de la ecuacin (10.21) la esbeltez , obtenemos el dominio de la frmula de

Euler:

P

E

2

(10.22)

Entonces la curva de Euler slo ser vlida desde el punto A hasta el punto B de la Figura

10.11, punto B que se corresponde con la esbeltez lmite L , definida por:

P

L

E

2

(10.23)

La esbeltez lmite es la esbeltez mnima a partir de la cual es aplicable la frmula de Euler y,

como puede apreciarse de la ecuacin (10.23), vara con la rigidez E de cada material.

En forma convencional se define como columnas largas o esbeltas las columnas que tienen

una esbeltez superior a la esbeltez lmite L . O sea, son aquellas columnas en las que se puede

aplicar la frmula de Euler para su dimensionado y que al momento de falla las tensiones mximas

que se desarrollan no superan la tensin de proporcionalidad del material. Falla de inestabilidad

elstica.

Ejemplo 10.6.1.

Determinar la esbeltez lmite correspondiente a una barra recta con material constitutivo de

acero dulce y cuyas propiedades mecnicas se detallan a continuacin:

p = 2000 Kgf/cm2, E = 2x10

6 Kgf/cm

2

1002000

10210E 6

P

2

L

CAPITULO X

PAGINA 496

Ejemplo 10.6.2.

Determinar la esbeltez lmite correspondiente a una barra recta con material constitutivo de

aleacin de aluminio cuyas propiedades mecnicas se detallan a continuacin:

p = 1700 Kgf/cm2,

E = 7x10

6 kgf/cm

2.

641700

10710E 5

P

2

L

Por tanto, en el caso de una columna de acero, si

min

100e

ac

l

i

entonces la columna es

esbelta o larga y puede utilizarse la frmula de Euler para determinar la carga crtica. En cambio, una

columna de aleacin de aluminio es esbelta tan solo si se cumple la relacin

min

64e

al

l

i

.

En la Figura 10.12 se muestran las hiprbolas de Euler para ambos materiales.

FIGURA 10.12. Hiprbolas de Euler para ambos materiales.

10.7. Columnas cortas, intermedias y largas.

Conceptos

Con los estudios realizados en el punto anterior demostramos que solo en columnas muy

esbeltas es aplicable la frmula de Euler, siempre que la esbeltez mecnica de stas sea mayor que

el valor de la esbeltez lmite para el que la tensin media alcance el lmite de proporcionalidad. En el


PAGINA 497

caso de columnas de acero articuladas en sus extremos, vimos que el lmite de esbeltez es

aproximadamente del nmero adimensional 100, para una tensin de proporcionalidad de 2000

Kg/cm2; o sea que en un material con estas caractersticas la frmula de Euler no es vlida para

esbelteces menores a ste lmite.

A modo de ilustrar la definicin de una columna larga o esbelta aplicando la frmula de

Euler veremos ahora el siguiente ejemplo, en el cual trataremos de proponer una base de discusin

a las frmulas empricas para tratar a las columnas definidas como intermedias.

Ejemplo 10.7.1

Determinar la carga crtica de pandeo como la tensin crtica correspondiente a dicha carga

en la columna que muestra la Fig. 10.13. La columna considerada es doblemente articulada en sus

extremos y est formada por un perfil tubular de acero estructural con las caractersticas relevantes

que se muestran a continuacin:

FIGURA 10.13. Columna doblemente articulada formada por un perfil tubular de acero estructural

Se desea resolver para dos casos de longitud L de columna:

a) l = 4m

b) l = 2m

RESOLUCIN

rea de seccin transversal = A = (72 5

2)cm

2 = 24 cm

2

Esta seccin tiene las mismas propiedades inerciales en todas las direcciones por lo que se tiene

Momento axial de inercia

4 44 4

min

7 5148

12 12I I cm cm

CAPITULO X

PAGINA 498

Radio de giro cmii 5,224

1482

min

Para 4l m

400160 100

2,5

l

i

Lo que implica que estamos frente al caso de una columna larga o esbelta, y por tanto para

la obtencin de la carga crtica es aplicable la ecuacin de Euler.

Por ser nuestra columna doblemente articulada, entonces el l

2 6

min

2 2

. . 10. 2.10 . 14818500

400crit

E IP kgf

l

18500critP kgf

El esfuerzo o la tensin crtica que se desarrolla en la columna es:

2218500

770,8024

critcrit

P kgf kgfcmA cm

2770,80crit pkgf

cm

a) Para 2l m

200

80 1002,5

l

i

O sea es menor que la esbeltez lmite por lo que caemos fuera del campo de aplicacin

o del dominio de la frmula de Euler; es decir que si usramos esta frmula para encontrar el valor

de la tensin crtica, la carga calculada sera incorrecta. Deberemos por tanto hacer otro anlisis

para este tipo de columnas.

Cuando definimos el esfuerzo de compresin simple estudiamos que cuando a una barra

corta de material dctil se la somete a compresin la falla se presenta por fluencia del material, es

decir por aplastamiento, con una tensin mxima de fl (tensin de fluencia), por lo que en este

caso tendremos una tensin crtica flcr .

Hasta dnde es vlida esta suposicin?, qu tan corta debe ser una columna para

considerarla como tal? Los experimentos demuestran que cuando la relacin de esbeltez es muy


PAGINA 499

baja, la falla en las columnas se presenta por aplastamiento o cedencia del material y el esfuerzo

crtico es f . Cuando aumenta la esbeltez la falla se presenta con esfuerzos por debajo de f ,

advirtindose un efecto combinado de aplastamiento y pandeo. Cuando tiende al valor lmite, el

esfuerzo o tensin para producir la falla tiende al valor proporcionado por la curva de Euler.

Podemos concluir entonces que es posible clasificar a nuestras columnas en tres categoras de

acuerdo al tipo de falla:

a) Columnas cortas 0

b) Columnas intermedias L 0

c) Columnas largas o muy esbeltas L

10.8. Frmula emprica de Tetmajer para la determinacin de las tensiones

crticas en columnas intermedias.

Histricamente la prediccin de resistencia para columnas intermedias ha sido de

naturaleza emprica. Desde la primera frmula emprica para columnas que se public en el ao

1729 se han usado alrededor de 400 frmulas de diseo en distintas pocas. La mayora de ellas son

ecuaciones a las que corresponden lneas rectas o parbolas, ya que dichas curvas pueden

aproximarse a la verdadera curva de falla de la columna y por ser tambin de forma algebraica ms

sencilla.

Se emplea generalmente en estos casos la frmula (10.24) propuesta por Tetmajer

Yasinski, obtenida a base de numerosos ensayos.

bacr (10.24)

Siendo a y b coeficientes que dependen del tipo de material.

Para material de acero dulce con tensin de fluencia 22.400fkgf

cm y tensin de

proporcionalidad 22.000pkgf

cm , los coeficientes a y b toman los valores de:

a = 3100 kgf/cm2

b = 11.4 kgf/cm2

Reemplazando dichos valores en la ecuacin (10.24), la frmula de Tetmajer resulta:

4,113100 cr (10.25)

CAPITULO X

PAGINA 500

A partir de dicha ecuacin podemos determinar las esbelteces lmites correspondientes a las

fronteras entre columnas cortas, intermedias y largas; con ello, determinada la esbeltez de nuestra

columna, podemos suponer su falla por aplastamiento, combinacin de aplastamiento y pandeo o

solo por pandeo. Igualando primeramente flcr y luego pcr podemos determinar los

valores 0 y L respectivamente; operando dichos valores resultan: 600 y 100L

La frmula de Tetmajer tomar valores de acuerdo al material del cual est compuesto el

elemento comprimido, asignando para ello los correspondientes coeficientes a y b ; as por

ejemplo para:

Madera de pino con tensin de rotura 2250rkgf

cm , Mdulo de elasticidad lineal

2100.000kgf

Ecm

y tensin de proporcionalidad 2100pkgf

cm , los coeficientes

a y b toman los valores siguientes:

a = 293 Kgf/cm2

b = 1.94 Kgf/cm2

La frmula de Tetmajer resulta entonces:

94,1293cr (10.26)

Igualando rcr y pcr , podemos determinar los valores 0 y L que resultan

ser respectivamente: 220 y 100L

Los lmites de aplicacin de estas frmulas son el de la esbeltez 0 para la cual la tensin

crtica toma el valor de la tensin de fluencia si el material es dctil o tensin de rotura si el material

es frgil y la esbeltez L que es la frontera inferior para las columnas esbeltas o columnas Euler.

En la Figura 10.14 representamos estas relaciones entre c y , donde la recta CB

representa las tensiones crticas para esbelteces con el rango de 0 y L de columnas intermedias;

la recta DC representa las tensiones crticas iguales a fluencia o de rotura para columnas cortas;

finalmente la hiprbola BA representa la tensin crtica para columnas muy esbeltas.


PAGINA 501

A

B

C

L

fl R

p

D

0

c r

FIGURA 10.14. Relaciones entre cr y .

10.9. Clculo prctico de barras rectas en secciones simples y compuestas.

Con los anlisis efectuados anteriormente para columnas simples llegamos a la conclusin

que para la obtencin de la tensin crtica en una pieza de acero dulce comn, la frmula de Euler

es aplicable tan solo para columnas muy esbeltas con 100 .

flPcrE

85,0

2

2

(10.27)

Para el caso de columnas intermedias con 60 100 , la frmula de Tetmajer es la

apropiada para la obtencin de la tensin crtica

2

3100 11,4crKgf

cm

(10.28)

Finalmente para columnas cortas la obtencin de la tensin crtica es a travs de la ecuacin

de compresin simple por falla de aplastamiento

A

Pflcr (10.29)

Las Ecuaciones (10.27), (10.28) y (10.29) las podemos aplicar tanto para dimensionar como

para verificar columnas sometidas a compresin cntrica. Cuando dimensionamos no podemos

llegar a su utilizacin sin tener en cuenta que cualquier aumento de la carga P o cambio de

dimensiones y excentricidades no previstas llevaran a la columna a la falla por fluencia o a una

situacin de equilibrio inestable que con gran aceleracin producira su colapso. Es por ello que a

CAPITULO X

PAGINA 502

estas tensiones crticas debemos necesariamente afectarlas de un coeficiente de seguridad ( ) a fin

de contrarrestar estas influencias no previstas ni deseadas; dicho coeficiente ha de ser tanto mayor

cuanto mayor sea la esbeltez, o sea )( f ; esto se debe a que para la zona de barras largas el

peligro de falla es mucho mayor y ms peligrosa que el que ofrecen las barras cortas; razn por la

cual para las columnas largas ( L ) se adopta un coeficiente de 3,5 constante, ya que para

cualquier esbeltez la falla ha de ser por inestabilidad elstica. En el caso de columnas cortas e

intermedias de acero se adopta un coeficiente que va aumentando desde 1,7 para esbeltez muy

pequeas hasta 3,5, lmite entre columnas intermedias y largas ( L ), variacin que tiene en cuenta

la influencia, de menor a mayor grado, el efecto del pandeo en la falla de la pieza.

crcradm

En la Figura 10.15 se aprecian superpuestas las curvas , cr y admcr. , para un acero F-24.

1,71

100

Kgf/cm2

50

cr

3,5

cr

320

2000

2400

150 200 250

cr.adm,

FIGURA 10.15. Curvas ,cr , , y ,.admcr para un acero F-24

Podemos ver en la Figura 10.15 que la curva de las tensiones crticas admisibles es la unin

de una parbola con una hiprbola que tiene una tangente comn en lim que se corresponde con

un acero F-24 y que adoptar valores distintos segn del material del que se trate.


PAGINA 503

10.10. Coeficiente de pandeo

La mayora de los pases han incorporado normas para tener en cuenta el anlisis de

columnas sometidas a cargas de compresin. En muchas de estas normas se define un coeficiente

denominado coeficiente o coeficiente de pandeo que da origen a un mtodo simplificado de

clculo llamado mtodo (letra griega omega) y que est basado en el clculo elstico y de

tensiones admisibles que las nuevas normas estn dejando en desuso. Sin embargo lo exponemos a

continuacin por su significado histrico.

Dicho coeficiente de pandeo queda definido por la siguiente relacin:

admcradm

cradm

adm (10.30)

El valor que adquiere es siempre mayor que uno pues a medida que aumenta , a partir de

un valor cercano a cero, la tensin admcr. disminuye, tomando valores menores que

fl

adm ;

en un lmite terico para 0 es 1 , es decir estamos en el lmite del aplastamiento y la barra

fallar solo por cedencia. En el mtodo la verificacin al pandeo se hace de la siguiente manera:

2

2

E

adm

Donde visualizamos que es funcin de la esbeltez y del tipo de material de la pieza.

Luego para cada existe un valor de que se puede obtener de tablas que proveen las distintas

normas.

Si tenemos en cuenta las ecuaciones propuestas, llegamos a que:

admcradmcradm

A

P

Como PPcradm (carga de trabajo) mxima, entonces:

A

Padm

Y la verificacin podr hacerse por la ecuacin 10.31.

admA

P

(10.31)

CAPITULO X

PAGINA 504

O sea, con este mtodo el problema lo podemos considerar como un caso de compresin

simple donde la carga es incrementada en un valor de que tiene en cuenta el efecto del pandeo.

En las consideraciones para el clculo de barras al pandeo podemos tener dos casos:

a) Dimensionado

b) Verificacin

Para el caso de dimensionado teniendo como datos la carga y la luz, se adopta una seccin,

se calcula el radio de giro y la esbeltez; conocida la esbeltez obtenemos de tablas el valor de ,

luego aplicamos la ecuacin (10.31) y verificamos si el valor del rea A es un valor satisfactorio o

no.

En todos los casos debemos tener en cuenta que:

S 0 , no se verifica al pandeo

Si mx , se debe redimensionar

l mx depende del material, as las normas argentinas CIRSOC 301-1 adoptan para

estructuras de acero un valor de 200mx

En la actualidad el coeficiente de pandeo , que no es sino otro que un coeficiente de

mayoracin de cargas en funcin de la esbeltez del elemento comprimido y del tipo de material, es

un mtodo que est desplazndose con el advenimiento de nuevos criterios de clculos. Esta

situacin de normativas sern estudiadas en los cursos especficos de las tecnologas aplicadas,

donde la tendencia actual est sustentada en el proyecto de estructuras por estados lmites donde

se busca garantizar la resistencia de la estructura y de sus elementos estructurales en la condicin

de:

Resistencia requerida Resistencia real (Resistencia de diseo)

10.11. Secciones Compuestas sometidas a compresin

En el desarrollo de esta seccin veremos que no existe un cambio sustancial a lo antes

dicho para secciones simples o formadas por un solo elemento.

Las secciones compuestas por dos o ms elementos pueden estar constituidas por perfiles

normales arriostrados, hierros redondos, estructuras de madera, etc.

Partamos de un caso muy sencillo para comprender el problema, supongamos el siguiente

ejemplo ilustrativo, el de dos perfiles doble T dispuestos como se muestra en la Figura 10.16.


PAGINA 505

Distinguimos dos ejes, x e y ; el primero tiene como particularidad que atraviesa el alma

de los perfiles componentes y por ello recibe el nombre de eje material; el segundo como

podemos observar no corta a las secciones simples, por lo que recibe el nombre de eje libre o ideal.

El pandeo puede producirse con respecto a uno de estos dos ejes y puede ser total o

parcial, correspondiendo este ltimo a un slo perfil en su forma simple, comprendido entre dos

riostras. Las normativas exigen en general evitar el pandeo local a travs de limitar fuertemente la

esbeltez parcial 1 (esbeltez entre riostras), de tal manera que sta sea 501 , condicin deducida

en base a ensayos. O sea la condicin es que ser 11 50 il , siendo 1l la longitud real de los

tramos entre riostras, 1i el radio de giro mnimo de un perfil respecto a su propio eje.

El pandeo general de la columna compuesta puede producirse en la direccin y o bien en

la direccin x .

Si es hacia y lo evaluamos a travs de x , eje material donde xx

l

i total . Si es hacia x , a

travs de yi (esbeltez ideal).

FIGURA 10.16. Pandeo en secciones compuestas

El pandeo en direccin del eje x se produce con mayor incertidumbre pues trabajan los

perfiles arriostrados en forma diferente que si se produce en la otra direccin, por tanto los

CAPITULO X

PAGINA 506

reglamentos aumentan el valor de y

i

l

i en una cierta cantidad que depende y es funcin del

pandeo parcial 1 . La relacin de Engesser (ec. 10.32), basada en la experiencia nos da la esbeltez

ideal para realizar los clculos en estos casos.

2

1

2

2

myiy 10.32

Donde m es igual a la cantidad de elementos simples e iguales entre s que por medio de

riostras adecuadas forman una barra compuesta. En este ejemplo 2m .

Con este valor se calcula y y se verifica al pandeo en direccin del eje x .

Los reglamentos fijan tambin que el nmero de tramos entre riostras sea igual o mayor

que tres, es decir que para su aplicacin es necesario que por lo menos la colocacin de las riostras

dividan a la barra en tres partes, o sea que 1

3

ll .

Luego, conocido yi e introduciendo en .crit podemos obtener el coeficiente yi o bien

a travs del uso de tablas.

Problema 1: La estructura ABCD est formada por la viga BC, considerada rgida y de peso

despreciable, articulada a las barras BA y CD. Siendo la barra BA de seccin circular de

dimetro d y la barra CD de seccin cuadrada de lado a, determinar la menor carga P que

hace perder la estabilidad de la estructura cuyos extremos A y D estn empotrado y

articulado, respectivamente.

Datos: d = 4 cm., a = 5cm., E = 2x106Kg/cm

2, p = 2000Kg/cm

2, f = 2400Kg/cm

2

Frmula de Tetmajer cr = 3100-11.4x [Kg/cm2]

P

1.5m

2m

0.5m 1.5m

A

B

D

C


PAGINA 507

Problema 2: El poste articulado en ambos extremos tiene

una seccin circular hueca de 5 cm de dimetro exterior.

Dimensionar para un valor de P de 1800 kg (suponer que el

espesor puede variar de a 2 mm). Datos del material dem

Problema 1

capitulo 10 pandeo

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