Marco terico

Deformacin de pandeo producida por la compresin de una barra.Elpandeoes un fenmeno deinestabilidad elsticaque puede darse en elementos comprimidosesbeltos, y que se manifiesta por la aparicin de desplazamientos importantes transversales a la direccin principal de compresin.Eningeniera estructuralel fenmeno aparece principalmente enpilaresycolumnas, y se traduce en la aparicin de una flexinadicional en el pilar cuando se halla sometido a la accin de esfuerzos axiales de cierta importancia.IntroduccinLa aparicin de deflexin por pandeo limita severamente la resistencia encompresinde un pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. Eventualmente, a partir de cierto valor de la carga axial de compresin, denominada carga crtica de pandeo, puede producirse una situacin de inestabilidad elstica y entonces fcilmente la deformacin aumentar produciendo tensiones adicionales que superarn la tensin de rotura, provocando la ruina del elemento estructural. Adems del pandeo flexional ordinario existe el pandeo torsional o inestabilidad elstica provocado por un momento torsor excesivo.Existen diferentes maneras o modos de fallo por pandeo. Para un elemento estructural frecuentemente hay que verificar varios de ellos y garantizar que las cargas estn lejos de las cargas crticas asociadas a cada modo o manera de pandear. Los modos tpicos son:Pandeo flexional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresin se flecta lateralmente sin giro ni cambios en su seccin transversal.Pandeo torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresin gira alrededor de su centro de corte.Pandeo flexo-torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresin se flecta y gira simultneamente sin cambios en su seccin transversal.Pandeo lateral-torsional. Modo de pandeo de un elemento a flexin que involucra deflexin normal al plano de flexin y, de manera simultnea, giro alrededor del centro de cortePandeo flexionalLospilaresy barras comprimidas de celosas pueden presentar diversos modos de fallo en funcin de suesbeltez mecnica:Los pilares muy esbeltos suelen fallar por pandeo elstico y son sensibles tanto al pandeo local el propio pilar como al pandeo global de la estructura completa.En los pilares de esbeltez media las imperfecciones constructivas como las heterogeneidades son particularmente importantes pudindose presentar pandeo anelstico.Los pilares de muy baja esbeltez fallan por exceso decompresin, antes de que los efectos del pandeo resulten importantes.Pandeo local[editar]

Modelo de los distintos tipos de pandeo de Euler. Como se puede ver, segn las coacciones externas de la viga, la deformacin debida al pandeo ser distinta.El pandeo local es el que aparece en piezas o elementos aislados o que estructuralmente pueden considerarse aislados. En este caso la magnitud de la carga crtica viene dada segn el caso por la frmula deLeonhard Eulero la deEngesser. La carga crtica de Euler depende de la longitud de la pieza, del material, de su seccin transversal y de las condiciones de unin, vinculacin o sujecin en los extremos. Para una pieza que puede considerarse biarticulada en sus extremos la carga crtica de Euler viene dada por:(1)Siendo:Fcrit, la carga crtica;E,Mdulo de Youngdel material de que est hecha la barra;Imin,momento de inerciamnimo de la seccin transversal de la barra;L, longitud de la barra y laesbeltez mecnicade la pieza. Cuando las condiciones de sujecin de los extremos son diferentes la carga crtica de Euler viene dada por una ecuacin del tipo:(2)Al productose le llamalongitud de pandeo.Pandeo globalEn una estructura compleja formada por barras y otros elementos enlazados pueden aparecer modos de deformacin en los que los desplazamientos no sean proporcionales a las cargas y la estructura puede pandear globalmente sin que ninguna de las barras o elementos estructurales alcance su propia carga de pandeo. Debido a este factor, la carga crtica global de cierto tipo de estructuras (por ejemplo en entramados de cpulas monocapa) es mucho menor que la carga crtica (local) de cada uno de sus elementos.El tipo de estructura ms simple que presentapandeo globalpara carga crtica diferente de la de sus elementos est formado por dos barras articuladas entre s1y a la cimentacin, que se muestra en la figura.

Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de la estructura son:Ecuacin de equilibrio:

Relacin elstica entre acortamiento yesfuerzoaxial:

Relacin geomtrica de las configuraciones no-deformada y deformada:

Donde:N,esfuerzo axialde cada una de las barras; L, acortamiento sufrido por las barras para adoptar la configuracin deformada; = -', es la diferencia de ngulos mostrada en la figura;E, mdulo de Young del material de las barras;A, rea transversal de cada una de las barras;L, longitud inicial de cada una de las dos barras.Substituyendo la segunda de las ecuaciones en la primera, despejando Lde la tercera y substituyendo su valor tambin su valor en la primera se llega a:

El valor de para el que se alcanza el mximo es precisamente la carga crtica global. Las cargas de pandeo global y local vienen dadas por:

Cada una estas cargas presenta modos de fallo diferentes en la estructura. De entre los dos posibles modos de fallo por pandeo ocurrir el que presente un ngulo de aparicin mayor donde estos ngulos vienen dados por:

Plano de pandeoElplano de pandeose refiere al plano que contendr el inicio de la deformada de una pieza sometida a compresin dominante. El plano de pandeo contiene el eje baricntrico de la viga y sobre l la deflexin por pandeo es mxima. Para una pieza sometida slo a compresin sin momentos apreciables adicionales, el plano de pandeo coincidir con el plano perpendicular sea paralela al eje de menor inercia de la seccin.Teora de la bifurcacinMatemticamente el pandeo local est asociado a unabifurcacin tridente, es decir, cuando se plantean las ecuaciones exactas no lineales que describen la forma de una pieza prismtica, incluyendo la carga axial y los parmetros relacionados con las imperefecciones, los posibles comportamientos cualitativos estn separados unos de otros por una bifurcacin tridente. Eso lleva que en estos casos la carga real que puede soportar una barra venga dada por la ley 2/3 de Koiter:2

Donde:, carga crtica corregida por las imperfecciones., es una constante que depende del patrn de imperfeccin dado por., es un parmetro escalar que cuantifica el grado de imperfeccin para un patrn de imperfeccindado.Si las imperfecciones tienen naturaleza estadstica y vienen dadas por unadistribucin normal multivarianteentonces la carga crtica tiene una distribucin dada por:3

Esta distribucin de probabilidad permite ajustar las curvas reales de pandeo observadas, ya que en condiciones normales una barra recta de seccin constante tiene una resistencia inferior debido a paredicha por la teora de Euler por el efecto de las imperfecciones.Pandeo torsionalEn vigas de alas anchas o de escasarigideztorsional, el pandeo flexional convencional puede ir acompaado de la aparicin de una torsin de la seccin, resultando un modo de fallo mixto conocido como pandeo torsional o pandeo lateral. Elmomento torsorcrtico para el cual aparecera ese tipo de fallo viene dado por:4

Donde las nuevas magnitudes son:, es elmomento de inerciamnimo enflexin., son respectivamente elmdulo de alabeoy elmdulo de torsin., elmdulo de elasticidad transversal.Y el resto de magnitudes tienen el mismo significado que para el pandeo flexional puro. En piezas donde el momento de alabeo es despreciable puede usarse la expresin aproximada:

Clculo de cargas crticas[editar]Curva elstica[editar]

Forma cualitativa de pandeo de un pilar empotrado en su base y libre en su extremo superior.Una manera de encontrar la carga crtica de una estructura consiste en presuponer la forma cualitativa en que esta pandear, parametrizando esa forma cualitativa mediante varios parmetros incgnita. Introduciendo esa forma cualitativa en la ecuacin de lacurva elsticay buscando que la solucin parametrizada satisfaga las condiciones de contorno cualitativas, que normalmente se refieren a desplazamientos y giros de los nudos de las barras de la estructura, se obtienen relaciones entre los parmetros incgnita introducidos. El valor de la carga crtica es precisamente el que hace que dichas relaciones se cumplan.El mtodo de Euler para barras aisladas es un ejemplo de uso de este mtodo. Por ejemplo para determinar la carga de crtica de unpilarempotrado en su base y libre en el extremo tratamos de resolver la ecuacin de la curva elstica bajo las siguientes condiciones:

La solucin de esa ecuacin, en funcin del parmetro de desplazamiento horizontal del pilar, resulta ser:

La condicin de contorno en el extremo superior (dondeh = Hywsup= ) slo se cumple para ciertos valores deP, que cumplen:

El menor de estos valores es precisamente el valor aceptado para la carga crtica de Euler de un pila empotrado en su base y libre en su parte superior:

Mtodos energticosPara estructuras de una cierta complejidad el mtodo anterior resulta de muy difcil aplicacin, ya que requiere integrar un nmero elevado de ecuaciones diferenciales para cada elemento lineal de la estructura.Un mtodo aproximado consiste en presuponer aproximadamente las deformaciones asociadas al pandeo, que satisfaga las condiciones de contorno en los extremos de las piezas, y en igualar la energa de deformacinWintcon el trabajo exterior realizado por la fuerza que produce el fenmeno de pandeoWextdurante la deformacin,Wint=Wext. Esas dos ecuaciones pueden escribirse en trminos el campo de desplazamientos de los momentos flectores asociados. Para cada elemento lineal la energa de deformacin y el trabajo exterior vienen dados por:

Donde:es el momento flector sobre la seccin de abscisax,es el producto demdulo de Youngpor elmomento de inerciade la seccin,es la deflecin o desplazamiento seccional de la seccin de abscisax.es la carga crtica de pandeo.es la longitud total del elemento susceptible de sufrir pandeo.Cuanto ms ajustado sea el campo de desplazamientos supuestow(x) mejores resultados da el mtodo anterior.Dimensionado de elementos sometidos a pandeoEn ingeniera estructural existe una necesidad prctica de dimensionar los elementos lineales sometidos a compresin con la suficiente seccin transversal como para que no fallen por pandeo. La seccin transversal necesaria para que eso no ocurra es muchas veces mayor que la que sera necesaria para soportar unesfuerzo de traccinde la misma magnitud (entre 1,5 y 6 veces en la mayora de casos). La mayora de normas usan un coeficiente de reduccin de la resistencia cuando el esfuerzo sobre el elemento lineal es de compresin y no de traccin. ElEurocdigopor ejemplo da para la resistencia de un pilar sometido a compresin y traccin simples las siguientes resistencias:

Donde:son respectivamente elesfuerzo axialltimo en traccin y el esfuerzo axial ltimo encompresin.son el rea bruta de la seccin transversal y el rea efectiva de la seccin transversal (para la mayora de secciones transversales, ambas coinciden)., es la tensin mxima admisible sobre el material., es el coeficientejide reduccin de la resistencia por pandeo.El mismo coeficiente se puede usar para estimar por exceso la tensin y determinar si un elemento es seguro. As cuando un elemento est sometido a flexin o compresin compuestas la tensin de referencia para calcular si el elemento es seguro o no se toma aproximadamente como:

Donde:es el esfuerzo axial a que est sometido el elemento., son losmomentos flectoresmedidos segn las dos direcciones principales de inercia., son losmomentos resistentesasociados a los momentos principales de inercia de la seccin transversal.En situaciones donde las tensiones tangentes y el alabeo seccional de la seccin sean importantes debe substituirse el miembro antes del signo de menor que, por latensin de Von Misesy en la expresin de Navier debe contabilizarse el efecto delbimomento.Carga crtica y longitud de pandeoLa carga crtica de un elemento estructural unidimensional esbelto corresponde a unesfuerzo axialpor encima de la cual cualquier pequea imperfeccin impide que exista un equilibrio estable. Para unapieza prismticarecta muy esbelta, de material elstico y con extremos articulados, la carga crtica se aproxima mucho a la llamada carga crtica de Euler:

Donde:es el mdulo de Young del material.es elsegundo momento de rea.la longitud total de la pieza.En otros casos ms complejos con otras condiciones en los extremos, con seccin variable, etc, la carga crtica anterior debe ser corregida por un factor constante. En piezas de seccin constante puede definirse adems la longitud de pandeoocomo:

Donde:es elradio de giromnimo de la seccin transversal.es laesbeltez reducida.la tensin mecnica usada para el clculo de la esbeltez.Si la pieza no es de seccin constante no existe una manera de definir la longitud de pandeo, aunque el concepto de carga crtica sigue estando perfectamente definido.En el enfoque moderno de la teora de bifurcacin corresponde a un punto del espacio de configuracin tal que cualquierentornode ese punto se interseca con ms de una solucin de las ecuaciones de comportamiento estructural. Los elementos bidimensionales comprimidos como los muros de carga, entre otros, tambin pueden sufrir pandeo, aunque en ese caso la carga crtica se define en trminos de la carga compresiva sobre el borde de la misma, para la que aparecen fenmenos de pandeo.Esbeltez y coeficientes de pandeoUsualmente las diferentesnormas tecnolgicaspreven una reduccin de la resistencia de pilares y otras piezas en trminos de suesbeltez mecnica. Cuanto ms esbelto sea el elemento tanto mayor ser la reduccin de su resistencia debida al probable efecto de pandeo sobre el mismo. Existen varias maneras, todas ellas esencialmente equivalentes, de tratar esta reduccin de la resistencia por efecto del pandeo, por ejemplo eleurocdigoy elCTEdefinen la esbeltez mecnica reducidao razn entre la resistencia plstica de la seccin de clculo y la compresin crtica por pandeo, como:

Donde:es el rea transversal efectiva para el elemento que pretender dimensionarse para resistir el pandeo.es latensin mecnicamxima usada para caracterizar el comportamiento del material.es la carga crtica de pandeo del elemento.El factor de reduccin de la resistencia por pandeo o(coeficiente ji), se de acuerdo con el CTE simplemente como:

Donde en la frmula anterior:, por lo que afectos de clculo no debe tomarse un valor inferior a ese., es el coeficiente de imperfeccin que depende del tipo de seccin transversal.Trabajo de laboratorioSe ha contado con instrumentos necesarios para las mediciones de las magnitudes respectivas.Instrumentos empleados:+Vernier+Cinta mtrica+Plomada+Corrector+Retazos de triplay para uniformizar la superficie de contacto y evitar esfuerzos puntuales en la seccin+Apoyos simples de metalMateriales:+02 perfiles de acero de 1,5xx1,5x1/8Se aprecia el aparato para ensayar las muestras, el manmetro y la gata para aumentar la presin, y el pistn que desciende al aumentar la presin.

Procedimiento-Medimos y marcamos nuestros especmenes, en este caso, el perfil en L de 1.5x1.5x1/8, con corrector.

-Procedemos a colocar la muestra en el sitio adecuado debajo de la prensa hidrulica, para esto marcamos con lapicero el contorno de la seccin del perfil, y all marcamos el centroide de manera aproximada, en nuestro caso, a un cuarto de la longitud del borde de la esquina de simetra, hacemos una perforacin pequea en el triplay, y marcamos posteriormente el centroide de la superficie de contacto con el triplay tanto en el apoyo inferior como el superior, y alineamos ambas marcas lo mejor posible, a continuacin establecemos una direccin patrn de nuestra barra, alinendola con la plomada.

Luego procedemos a ajustar si es que est aceptablemente vertical la muestra, y nos detenemos a tomar medidas de distancia horizontal desde la plomada hasta el medio de la barra, y la distancia entre las separaciones de los elementos de la maquina como referencia para chequear el desplazamiento producido por fuerzas axiales.

Ahora que ya estn las lecturas iniciales hechas, se procede a aumentar la presin sobre la muestra y continuar anotando los valores de Esfuerzo, desplazamiento Vertical y desplazamiento horizontal.Luego hecho el ensayo se requiere interpretar lo sucedido, como que el eje en el cual va a producir su pandeo, en nuestro caso se deform en un sentido y en el otro, por la inexactitud de hacer coincidir los centroides de las secciones de la muestra con la de los de los apoyos.A continuacin ensayamos y continuamente tomamos medidas cada 100 psi de lectura en el manmetro de la gata hidrulica, hasta que la presin registrada baje. As, de la misma forma procedemos con la siguiente muestra.

Conclusiones: *El primer perfil ha soportado un mximo de 35,67 kg/cm2, el segundo 42,22 kg/cm2.*Los pandeos se han producido en el eje dbil del perfil, para el primer caso deformando el ngulo hacia afuera y en el segundo hacia adentro.* Esto pudo haberse producido por la inexactitud al momento de alinear los centroides de la seccin del perfil con la placa de contacto del apoyo metlico.*La mxima flecha en el primer caso fue de 42 mm, y 24 en el segundo caso.*El pandeo se ha presentado de manera elstica.Recomendaciones:*Colocar lo ms exacto posible la alineacin de los centroides de las muestra y las placas de contacto de los apoyos.*Alinear correctamente de manera vertical (plomo), para evitar errores groseros.*Establecer referencias confiables para la medida de las deformaciones y desplazamientos.*Tener cuidado de hasta qu punto ensayar la muestra, no exceder los lmites visibles de la deformacin observada, puede ser peligroso.