osnovne numeriČke metode u hemijskom inŽenjerstvuobera/files/merged_document_26-10-11.pdf ·...

Prof.dr Ratomir PaunovićProf.dr Radovan Omorjan

OSNOVNE NUMERIČKE METODE U HEMIJSKOM INŽENJERSTVU

Tehnološki fakultet, Univerzitet u Novom Sadu

Novi Sad :_______________

Recenzenti:

Predgovor

Kori²¢enje numeri£kih metoda za analizu, simulaciju i projektovanje tehnolo²kihprocesa i sistema je u naglom porastu, zahvaljuju¢i raspoloºivosti ra£unarima savelikom ra£unarskom snagom. Pred inºenjerskom profesijom se postavljaju sveve¢i zahtevi u tom smislu, tako da studenti pored teorijskog znanja iz numer-i£kih metoda moraju da ovladaju i primenom ovih znanja radi re²avanja sloºenihprakti£nih problema upotrebom ra£unara. Moderni visoko²kolski udºbenici,£ija je tematika vezana za najrazli£itije prora£une oslanjaju se na kori²¢enjematemati£ko-numeri£kog softvera. Kako je takav softver pristupa£an i lako dos-tupan, nastavnici i autori udºbenika nisu vi²e ograni£eni na najjednostavnijeprimere i probleme ve¢ imaju mnogo ve¢u slobodu, a i obavezu, da obra�ujurealnije i samim tim mnogo sloºenije probleme. Tako studenti treba da se up-oznaju sa primenom raznovrsnog softvera koji je sve vi²e imperativ uspe²nogre²avanja inºenjerskih problema. Naravno, nemogu¢e je nau£iti sve numeri£kemetode i kori²¢enje svih dostupnih softverskih paketa. Cilj svakog kursa ilimaterijala iz numeri£kih metoda, pa tako i ovog, je da razvije sposobnost stu-denta za ²to e�kasnijim izborom numeri£kih metoda i odgovaraju¢eg softvera ure²avanju problema u prakti£nom radu.

Ovaj materijal sadrºi standardne numeri£ke postupke neophodne za re²a-vanje tipi£nih ra£unskih problema u hemijskom inºenjerstvu: interpolacija iaproksimacija, pribliºno diferenciranje i integracija, re²avanje algebarskih i difer-encijalnih jedna£ina itd. Pored izloºenih osnovnih teorijskih postavki numeri£kihmetoda, prikazani su i brojni primeri re²avanja osnovnih matemati£kih modelaprocesa u hemijskom inºenjerstvu, koji uklju£uju fenomene prenosa i hemijskereakcije.

Izabran je Mathcad v.2001 kao matemati£ki softver pomo¢u kojeg su re²avanidati primeri i problemi. Pored toga je uklju£ena i Mathcad elektronska knjiga sare²enjima odabranih problemima (moºe se skinuti sa Internet strane Fakultetaili dobiti od autora). Iako je samo Mathcad izabran kao softver, studentimaje pruºena dobra osnova za re²avanje numeri£kih problema u drugim softver-ima. Trenutno, pored Mathcad-a, najaktuelniji komercijalni softveri su Matlab,Mathematica, Maple, Polymath odnosno besplatni (slobodno dostupni) Octave,Scilab, Maxima, EuMathT, i mnogi drugi. Materijal je rezultat dugogodi²n-jeg angaºovanja autora na mnogim predmetima i kursevima koji su zahtevaliupotrebu numeri£kih metoda pri re²avanju razli£itih problema. Formiran je uskladu sa aktuelnim potrebama i programima na razli£itim predmetima kao ²tosu: Programiranje i primena ra£unara, Primena ra£unara I, Primena ra£unaraII, Numeri£ka matematika u hemijskom inºenjerstvu, Matemati£ke metode uhemijskom inºenjerstvu, Hemijsko inºenjerski prora£uni, Matemati£ko modelo-vanje tehnolo²kih procesa, Modelovanje u prehrambenoj industriji itd. koje suslu²ali (nisu vi²e aktuelni) ili trenutno slu²aju studenti Tehnolo²kog fakulteta uNovom Sadu. Materijal nije ograni£en na konkretne predmete i preporu£uje sesvima onima koji imaju potrebu za numeri£kim re²avanjem problema.

Sadržaj

1 Racunanje sa približnim brojevima 71.1 IZVORI GREŠAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Prikazivanje brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Znacajne cifre broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Sigurne cifre broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Granica apsolutne greške iz broja sigurnih decimala . . . 14

1.3 GRANICA RELATIVNE GREŠKE I BROJ SIGURNIH CIFARA 141.3.1 Granica relativne greške iz broja sigurnih cifara . . . . . . 141.3.2 Broj sigurnih cifara iz granice relativne greške . . . . . . 15

1.4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE . . . . . . . . . . . . . 161.4.1 Specijalni slucajevi funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.2 Pravila za racunanje i procenjivanje tacnosti rezultata . . . 23

1.5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE . . . . . . . . . . . . 251.6 GREŠKE U TOKU RACUNSKOG PROCESA . . . . . . . . . . 33

1.6.1 Memorisanje brojeva u racunaru-mašinski brojevi . . . . 331.6.2 Greška redukovanog preslikavanja . . . . . . . . . . . . 371.6.3 Greške racunskih operacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6.4 Prostiranje grešaka u racunskom procesu . . . . . . . . . 39

1.7 ODUZIMANJE BLISKIH BROJEVA . . . . . . . . . . . . . . . 401.8 STABILNOST RACUNSKOG PROCESA . . . . . . . . . . . . . 43ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Interpolacija 492.1 LAGRANŽOV INTERPOLACIONI POLINOM . . . . . . . . . 512.2 PROCENA GREŠKE INTERPOLACIJE . . . . . . . . . . . . . 532.3 KONACNE RAZLIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4 PRVI I DRUGI NJUTNOV INTERPOLACIONI POLINOM . . . 58

2 SADRŽAJ

2.4.1 Prvi Njutnov interpolacioni polinom . . . . . . . . . . . . 582.4.2 Drugi Njutnov interpolacioni polinom . . . . . . . . . . . 59

2.5 PRAKTICNI ASPEKTI INTERPOLACIJE . . . . . . . . . . . . 592.5.1 Izbor stepena polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.2 Izbor cvorova interpolacije . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.3 Uticaj povecanja stepena IP na grešku interpolacije . . . . 62

2.6 PISVAJZ I SPLAJN INTERPOLACIJA . . . . . . . . . . . . . . 672.6.1 Kubni splajn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.7 INVERZNA INTERPOLACIJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3 Numericko diferenciranje 733.1 GREŠKA NUMERICKE PROCENE PRVOG IZVODA . . . . . 743.2 PRVI IZVOD U EKVIDISTANTNIM CVOROVIMA . . . . . . . 753.3 NUMERICKO DIFERENCIRANJE U MATHCAD-u . . . . . . . 80ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Numericka integracija 874.1 OSNOVNE INTEGRACIONE FORMULE . . . . . . . . . . . . 884.2 TRAPEZNO PRAVILO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3 SIMPSONOVO PRVO I DRUGO PRAVILO . . . . . . . . . . . 90

4.3.1 Greške Simpsonovih pravila . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4 TRAPEZNA I SIMPSONOVA INTEGRACIONA FORMULA . . 92

4.4.1 Trapezna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.4.2 Simpsonova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.5 GREŠKA I RED INTEGRACIONE FORMULE . . . . . . . . . 944.6 PROCENA GREŠKE METODE... . . . . . . . . . . . . . . . . . 103ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5 Sistemi linearnih jednacina 1095.1 NEKE DEFINICIJE I TEOREME LINEARNE ALGEBRE . . . . 109

5.1.1 Elementarne transformacije matrice. Ekvivalentne matrice 1125.2 GAUSOV ALGORITAM ZA ODREDJIVANJE RANGA . . . . 1155.3 LINEARNA ZAVISNOST VRSTA (KOLONA) MATRICE . . . . 118

5.3.1 Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3.2 Linearna zavisnost vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3.3 Vektorski prostori i potprostori . . . . . . . . . . . . . . . 1205.3.4 Broj nezavisnih vrsta (kolona) matrice . . . . . . . . . . . 122

5.4 NEZAVISNE HEM. REAKCIJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5 EGZISTENCIJA REŠENJA SISTEMA LINEARNIH JEDNACINA129

5.5.1 Kroneker-Kapelijeva teorema . . . . . . . . . . . . . . . 129

SADRŽAJ 3

5.5.2 Broj stepeni slobode i rešavanje saglasnog neodredenog SLJ1345.5.3 Homogen SLJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.6 GAUSOV ELIMINACIONI METOD REŠAVANJA SLJ . . . . . 1365.7 GAUS - ŽORDANOV ELIMINACIONI METOD . . . . . . . . . 1375.8 REŠAVANJE TRODIJAGONALNOG SLJ . . . . . . . . . . . . 1395.9 LINEARNA ALGEBRA U MATHCAD-U . . . . . . . . . . . . 143

5.9.1 Rešavanje SLJ pomocu Solve Block-a . . . . . . . . . . . 143ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6 Svojstvene vrednosti matrice 1576.1 LINEARNA TRANSFORMACIJA VEKTORA . . . . . . . . . . 1576.2 SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VREDNOSTI . . . . 158

6.2.1 Karakteristicna jednacina i karakteristicni polinom matrice 1596.3 IZRACUNAVANJE SVOJSTVENIH VREDNOSTI . . . . . . . . 1606.4 ODREDJIVANJE SVOJSTVENIH VEKTORA . . . . . . . . . . 1616.5 NEKE TEOREME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.6 MATHCAD FUNKCIJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7 Numericko rešavanje nelinearnih jednacina 1717.1 Zadatak numerickog rešavanja nelinearnih jednacina . . . . . . . 171

7.1.1 Egzistencija realnog rešenja . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.2 ITERACIONI PROCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.2.1 Kriterijumi za završetak iteracionog procesa . . . . . . . . 1757.3 RED I BRZINA KONVEREGENCIJE ITERACIONOG PROCESA1767.4 METOD PROSTIH ITERACIJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.4.1 Uslov konvergencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.5 METODA TANGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.5.1 Dovoljan uslov konvergencije . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6 METODA SEKANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.7 VEGŠTAJNOV METOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.8 ODREDJIVANJE NULA POLINOMA . . . . . . . . . . . . . . 1957.9 KORENI JEDNACINA I POLINOMA U MATHCAD-u . . . . . 198ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8 Numericko rešavanje sistema nelinearnih jednacina 2098.1 METODA PROSTIH ITERACIJA - JAKOBIJEVA METODA . . 2118.2 GAUSS - ZEIDELOVA MODIFIKACIJA ... . . . . . . . . . . . . 2158.3 VEGŠTAJNOVA METODA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2168.4 NJUTN - RAFSONOVA METODA . . . . . . . . . . . . . . . . 2168.5 REŠAVANJE NELINEARNIH SISTEMA U MATHCAD-u . . . 218

4 SADRŽAJ

ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9 Numericko rešavanje obicnih diferencijalnih jednacina 2259.1 UVOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9.1.1 Numericko rešenje ODJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.1.2 Sistem obicnih diferencijalnih jednacina . . . . . . . . . . 227

9.2 PREVOÐENJE ODJ, REDA n U SISTEM ODJ 1. REDA . . . . . 2299.3 NUMERICKO REŠAVANJE ODJ 1. REDA . . . . . . . . . . . . 230

9.3.1 Lokalna greška i red numericke metode . . . . . . . . . . 2349.3.2 Globalna greška i stabilnost numericke metode . . . . . . 235

9.4 TACNOST I STABILNOST OJLEROVE METODE . . . . . . . . 2359.4.1 Propagacija greške u racunskom procesu . . . . . . . . . 2379.4.2 Stabilnost racunskog procesa . . . . . . . . . . . . . . . . 238

9.5 MODIFIKOVANE OJLEROVE METODE . . . . . . . . . . . . 2399.5.1 Metoda srednje tacke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.5.2 Metoda srednjeg nagiba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

9.6 RUNGE KUTA METODA 4. REDA . . . . . . . . . . . . . . . 2419.7 KLASIFIKACIJA NUMERICKIH METODA... . . . . . . . . . . 2429.8 IMPLICITNA OJLEROVA METODA SREDNJEG NAGIBA . . . 2429.9 VIŠEKORACNE EKSPLICITNE METODE . . . . . . . . . . . 2439.10 VIŠEKORACNE IMPLICITNE METODE . . . . . . . . . . . . 2449.11 NUMERICKA INTEGRACIJA SISTEMA . . . . . . . . . . . . 2459.12 NUMERICKA INTEGRACIJA ODJ U MATHCAD-U . . . . . . 247

9.12.1 Pocetni problem za sistem ODJ 1. reda . . . . . . . . . . 2489.12.2 Granicni problem za ODJ 2. reda . . . . . . . . . . . . . 2499.12.3 Metod probe i greške . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.13 LINEARNA ODJ METODA SUPERPOZICIJE . . . . . . . . . 2579.14 LINEARNA ODJ METODA KONACNIH RAZLIKA . . . . . . 264

10 Numericko rešavanje parcijalnih diferencijalnih jednacina 26710.1 UVOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26710.2 NUMERICKO REŠAVANJE PARABOLICNE PDJ . . . . . . . . 27010.3 EKSPLICITNA METODA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27210.4 IMPLICITNA METODA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27510.5 METODA LINIJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27710.6 NUMERICKO REŠAVANJE ELIPTICNE PDJ . . . . . . . . . . 277

11 Dobijanje empirijskih formula iz eksperimentalnih podataka 28511.1 IZBOR EMPIRIJSKE FORMULE . . . . . . . . . . . . . . . . . 28711.2 LINEARIZOVANE DVOPARAM. EMPIRIJSKE FORMULE . . 29011.3 METOD NAJMANJIH KVADRATA . . . . . . . . . . . . . . . . 294

SADRŽAJ 5

11.4 EMPIRIJSKA FORMULA LINEARNA PO PARAMETRIMA . . 29511.5 EMPIRIJSKA FORMULA SA VIŠE NEZAVISNO PROMENLJ... 30311.6 METOD NAJMANJIH KVADRATA U MATHCAD-u . . . . . . 305

11.6.1 Formule sa jednom nezavisno promenljivom, linearne poparametrima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

11.6.2 Formule sa jednom nezavisno promenljivom, nelinearnepo parametrima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

11.6.3 Formule sa više nezavisno promenljivih . . . . . . . . . . 306ZADACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Literatura 315

Indeks 316

6 SADRŽAJ

Glava 1Racunanje sa približnim brojevima

1.1 IZVORI GRESAKA

Hemijsko-inženjerski proracun u opštem slucaju obuhvata dve faze:- Formulisanje neophodnih jednacina – matematickog modela- Rešavanje matematickog modela

Neka je cilj proracuna odredivanje neke velicine x, koja je funkcija niza pa-rametara i promenljivih koje figurišu u matematickom modelu. Izvori grešaka uprocesu rešavanja problema mogu se prikazati sledecom šemom (Tabela 1.1), ukojoj svaka zvezdica u eksponentu tražene velicine x oznacava prisustvo greške unjenoj vrednosti, koja potice iz jednog od izvora:

stvarni proces↓matematicki model↓matematicki model sa približnim para-metrima↓numericko rešenje matematickog modelana idealnom racunaru↓numericko rešenje matematickog modelana realnom racunaru

x(a, b, c, . . .)↓x∗ (a, b, c, . . .)↓x∗∗ (a∗, b∗, c∗, . . .)↓

x∗∗∗ (a∗, b∗, c∗, . . .)↓

x∗∗∗∗ (a∗, b∗, c∗, . . .)

Tabela 1.1: Izvori grešaka

Tako se mogu uociti sledece greške prikazane u Tabeli 1.2:

8 Racunanje sa približnim brojevima

greška matematickog modela, koji uvek manjeili više odstupa od tacnog opisa realnog procesa

E1 = x− x∗

greška usled približnih vrednosti parametara,cije tacne vrednosti nisu poznate

E2 = x∗ - x∗∗

greška numerickih metoda za približno rešava-nje matematickog modela

E3 = x∗∗ - x∗∗∗

greška racunanja zbog neizbežnih zaokruživanjamedurezultata

E4 = x∗∗∗ - x∗∗∗∗

Tabela 1.2: Vrste grešaka

Za ukupnu grešku imamo:

E = x− x∗∗∗∗ =4

∑i=1

Ei (1.1)

Primer 1.1. U protivstrujnom izmenjivacu toplote hladi se ekstrakciono uljeod temperature T1 do temperature T2, hladnim uljem koje se pri tom zagreje odtemperature θ 1 do temperature θ 2. Potrebno je odrediti neophodnu površinu iz-menjivaca toplote, A(m2) za hladenje ulja protoka F(kg/h) , specificne tople cp:

A = Fcp

T1∫T2

dTKT (T )(T −θ (T ))

gde je temperatura rashladnog ulja, θ u podintegralnoj funkciji, na osnovu ener-getskog bilansa, jednaka

θ =θ1−θ2

T2−T1(T −T1)+θ2

T1

θ2

θ1

T2

F

Slika 1.1: Slika uz primer 1.1

1.1 IZVORI GREŠAKA 9

Greška modela: postoji, jer model ukljucuje niz uprošcujucih pretpostavki,izmedu ostalog :- nema radijalnih promena temperature- nema razmene toplote sa okolinom- specificna toplota ulja se ne menja sa temperaturom- kriterijalne jednacine za odredivanje koeficijenata prelaza toplote za radni i ras-hladni fluid su tacne

Greška koja potice od grešaka parametara: vrednosti fizickih parametarakoji se koriste za izracunavanje koeficijenta prolaza toplote KT :- gustina,- specificna toplota,- viskozitet ulja,- koeficijenti provodljivosti toplote za zid cevi i ulje, itd. odstupaju od tacnih(stvarnih) vrednosti.

Greška numericke metode: greška trapezne formule (Slika 1.2) za približno(numericko) izracunavanje vrednosti integrala :

I =T1∫

T2

dTKT (T )(T −θ (T ))

=

T2∫T1

f (T ) dT

f(T)

T T2 T1

I1

I2 I3 I4

I = I1+ I2 + I3+ I4

Greška trapezne formule za približno odreñivanje I1

Slika 1.2: Greška trapezne formule

Greška racunanja: Kao što cemo se uveriti u poglavlju 4, ova greška, priizvodenju proracuna na racunaru je zanemarljiva u odnosu na prethodne.


1.2 OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJEZa neki broj x∗ kaže se da je približan ako se neznatno razlikuje od njegove

tacne vrednosti, x koju najcešce ne znamo.

Greška približnog broja je razlika: ∆x∗ = x− x∗

Granica apsolutne greške,Ax∗ je broj koji nije manji od apsolutne vrednostinjegove greške:

Ax∗ > |x− x∗| (1.2)

Tako je interval na brojnoj pravoj u kome leži nepoznata, tacna vrednost x:

*x

A

x*

*xA

Slika 1.3: Interval u kome se nalazi tacna vrednost

Primer 1.2. Broj π ima beskonacno mnogo decimala:

x = π = 3.14159265...

Pa se može posmatrati kao približan, recimo:

x∗ = π = 3.14|x− x∗|= 0.00159265... < 0.0016 < 0.002Aπ∗ = 0.002

Relativna greška približnog broja je kolicnik odstupanja i približne vred-nosti:

δx∗ =∆x∗

x∗(1.3)

Kako je

|δx∗|=|∆x∗||x∗|

6 Ax∗

|x∗|Kao granica relativne greške uzima se kolicnik :

1.2 OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE 11

Rx∗ =Ax∗

|x∗|(1.4)

Primer 1.3.

Rπ∗ =Aπ∗

π∗=

0.0023.14

= 6.369 ·10−4 < 10−3

Rπ∗ = 0.1%

1.2.1 Prikazivanje brojevaOblik sa fiksiranom decimalnom tackom u brojnom sistemu sa osnovom B

izgleda:

x =± αnαn−1...α0.α−1α−2...α−m, αi ∈ {0,1, ...,B−1} (1.5)

a u razvijenom obliku predstavlja zbir:

x =±(αnBn +αn−1Bn−1 + ...+α0B0 +α−1B−1 +α−2B−2 + ...+α−mB−m)

=±n

∑i=−m

αiBi

Primer 1.4.

−424.071 =−(4 ·102 +2 ·101 +4 ·100 +0 ·10−1 +7 ·10−2 +1 ·10−3)

α2 = 4, α1 = 2, ...,α−3 = 1

Specijalni slucajevi:

Ako

α−i = 0 za i > 1 : ceo broj sa n + 1 cifara

α−m = 0∧α−k = 0, za k > m > 0 : decimalni broj sa m decimalaαi = 0 za i > 0 : pravi razlomak

U obliku sa pokretnom decimalnom tackom (eksponencijalni oblik), broj seprikazuje kao proizvod jednog broja u obliku sa fiksiranom decimalnom tackom iodgovarajuceg celobrojnog stepena osnove sistema. Prikaz nije jednoznacan.

Primer 1.5.

−424.071 = −424.071︸︷︷︸predeksponenci jalni

f aktor

× 100︸︷︷︸celobro jni

stepen osnove

=


=−4.24071 ·102 =−424071 ·10−3 = ...

Normalizovani eksponencijalni oblik je jednoznacno definisan kao:

x =± xM×10xE

xM−mantisa, koja je pravi razlomak, 0.1 6 xM < 1xE − eksponent, ceo broj

(1.6)

Primer 1.6.

−424.071 =−0.424071 ·103, xM =−0.424071, xE = 3

1.2.2 Znacajne cifre broja

Znacajne cifre nekog broja su sve cifre tog broja u obliku sa nepokretnomtackom, pocev od prve cifre sleva, koja je razlicita od nule.

Primer 1.7.Po 5 znacajnih cifara imaju brojevi: 3.1284, 0.048076, 210.001g mase izmeren na analitickoj vagi sa tacnošcu Ax∗ = 10−4 pravilno se prika-

zuje kao:x∗ = 1.0000︸︷︷︸

znaca jne ci f re

± 0.0001 g

Dakle, “desne“ nule u decimalnom delu broja se smatraju znacajnim i zato seprikazuju samo ako nose znacajnu informaciju (na primer, ako su rezultat mere-nja)!

U normalizovanom eksponencijalnom obliku broja, sve cifre u decimalnomdelu mantise su znacajne!

Primer 1.8.

0.048076 = 0. 48076︸︷︷︸znaca jne ci f re

·10−1

Pri prikazivanju celih brojeva u obliku sa fiksnom decimalnom tackom, ne-ophodno je zadržati desne nule iako one ne nose nikakvu informaciju – nisu zna-cajne, vec služe samo za naznacavanje reda velicine broja. Da bi se prikazalesamo znacajne cifre, neophodno je da se takav ceo broj prikaže u normalizovanomeksponencijalnom obliku

Primer 1.9.Ako je u broju x∗ = 280000 samo 1 nula znacajna, to se može naznaciti prika-

zivanjem broja u obliku: x∗ = 0.280 ·106

1.2 OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE 13

1.2.3 Sigurne cifre brojaCifra ak dekadnog broja u obliku sa fiksiranom decimalnom tackom je sigurna:

u užem smislu, ako je Ax∗ 6 0.5 ·10k (1.7a)

u širem smislu, ako je Ax∗ 6 10k (1.7b)

dakle, ako granica apsolutne greške indexgranica apsolutne greškene prevazi-lazi polovinu mesne vrednosti (10k) te cifre (uži smisao) odnosno mesnu vred-nost te cifre - širi smisao. Sledi, ako je ak sigurna cifra, sigurne su i sve cifre levood nje.

Zadatak 1.1. Odrediti broj sigurnih cifara u broju x∗ = 0.06943, sa grani-com apsolutne greške, Ax∗=10−4.

Rešenje:x∗ = 0.06943, Ax∗ = 10−4, s =?

Ax∗ = 10−4 6 1 ·10−4⇒ k =−4, s = 3 u širem smislu

Ax∗ = 10−4 6 0.5 ·10−3⇒ k =−3, s = 2 u užem smislu

Primer 1.10.

x∗ Ax∗ U širem smislu U užem smislu

5.142 0.5·10−3 0.5·10−3 6 10−3⇒ s = 4 0.5·10−3 6 0.5·10−3⇒ s = 45.140 0.8·10−2 0.8·10−2 6 10−2⇒ s = 3 0.8·10−2 6 0.5·10−1⇒ s = 23.14 0.002 = 0.2·10−2 0.2·10−2 6 10−2⇒ s = 3 0.2·10−2 6 0.5·10−2⇒ s = 3

Dekadni broj x∗ prikazan u normalizovanom eksponencijalnom obliku imas sigurnih cifara ako,

Ax∗ 6 ω ·10xE−s (1.8)

s - najveci ceo broj za koji važi formula

i to, za ω =

{0.5 u užem smislu1 u širem smislu

Primer 1.11.x∗ = 0.06943 = 0.6943 ·10−1 ⇒ xE =−1Ax∗= 10−4 6 0.5·10−3= 0.5·10−1−s

- 3 = -1 - s ⇒ s = 2 u užem smisluAx∗= 10−4 6 1·10−4 = 1·10−1−s ⇒ s = 3 u širem smislu


Zadatak 1.2. Koliko sigurnih cifara ima vrednost pritiska p∗ = 2.13bar,dobijena merenjem sa relativnom greškom Rp∗= 1% =0.01.

Rešenje:x∗ = 2.13 = 0.213 ·101 xE = 1Ap∗ = Rp∗ · p∗ = 0.01 ·2.13 = 0.0213 barAp∗= 0.213·10−1 6 0.5·10−1 = 0.5·101−s

-1 = 1 - s⇒ s = 2 u užem smisluPravilnije prikazana vrednost pritiska, koja sadrži samo sigurne cifre:p∗ = 2.1 bar

1.2.4 Granica apsolutne greske iz broja sigurnih decimalaAko je poznato da neki približan broj x∗ ima d sigurnih decimala, znaci da za

poslednju cifru, cija je mesna vrednost 10−d , važi (1.7)

Ax∗ 6 ω10−d, ω = 0.5, 1 (1.9)

i dobili smo formulu za granicu apsolutne greške iz broja sigurnih decimala uužem (ω = 0.5) ili širem (ω = 1) smislu.

Primer 1.12.Neka su u tabeli termodinamickih podataka za neku supstancu, njene gustine

ρ date sa 2 decimale, koje su sigurne u širem smislu. Granica apsolutne greškedatih gustina je:

Aρ∗ = 10−2

1.3 GRANICA RELATIVNE GRESKE I BROJ SIGURNIHCIFARA

1.3.1 Granica relativne greske iz broja sigurnih cifaraNeka broj x∗ ima s sigurnih cifara. Kako, koristeci samo tu informaciju, a

ne i vrednost broja, proceniti granicu njegove relativne greške? Ako u formulu(1.4) umesto granice apsolutne greške zamenimo, u skladu sa jednacinom (1.8),Ax∗ = ω ·10xE−s i broj prikažemo u normalizovanom eksponencijanom obliku, zagranicu relativne greške dobijamo:

Rx∗ =ω ·10xE−s

xM ·10xE

Kako je najmanja moguca vrednost mantise jednaka 0.1, smenom te vrednostiumesto xM dobijamo traženu procenu relativne greške,

Rx∗ = ω ·101−s (1.10)

1.3 GRANICA RELATIVNE GREŠKE I BROJ SIGURNIH CIFARA 15

gde se za ω uzima 0.5 ili 1 u zavisnosti da li su cifre sigurne u užem ili širem smi-slu. Jasno je da ce formula (1.10) u opštem slucaju dati vece procene relativnihgrešaka od onih bi se dobile iz granice apsolutne greške i vrednosti broja (1.4).Pokazali smo da je:

- relativna greška u direktnoj vezi sa brojem sigurnih cifara, dok je- apsolutna greška u direktnoj vezi sa brojem sigurnih decimala

Zadatak 1.3. Instrument daje vrednosti pritisaka sa tacnošcu od dve sigurnecifre u užem smislu. Proceniti granicu relativne greške izmerenih pritisaka.

Rešenje:Rx∗ = 0.5 ·101−2 = 0.05 = 5%

Uporedite ovaj zadatak sa prethodnim!

1.3.2 Broj sigurnih cifara iz granice relativne greskeNeka je Rx∗granica relativne greške približnog broja x i treba proceniti broj

njegovih sigurnih cifara s u užem smislu.U pitanju je problem obrnut prethodnomi pokazacemo da za njegovo rešavanje nije korektno koristiti jedn. (1.10). Uskladu sa definicijom (1.8), to je najveci ceo broj s za koga važi:

Ax∗ = xM10xE Rx∗ 6 0.5 ·10xE−s

odnosno,

Rx∗ 60.5xM·10−s

Da ne bi precenili broj sigurnih cifara, neophodno je uzeti donju granicu kao vred-nost nepoznatog broja 0.5/xM , kojim se množi stepen 10−s:

Rx∗ 6 0.5 ·10−s (1.11)

Dakle, kao procenu broja sigurnih cifara u užem smislu uzimamo najveciceo broj s, koji zadovoljava relaciju (1.11). Ocigledno je da jedn. (1.10) možeda preceni broj sigurnih cifara ( za 1 veci od stvarnog ).

Primer 1.13. Neka je vrednost x∗ = 50 odredena sa granicom apsolutne gre-ške Ax∗ = 0.1. Koristeci jednacinu (1.7a) ili (1.8), dobijamo da je s = 2, u užemsmislu. Granica relativne greške približnog broja je :

Rx∗ =0.150

= 2 ·10−3 < 5 ·10−3 = 0.5 ·10−2 = 0.5 ·101−3

i ako bi koristili jednacinu (1.10) za procenu broja sigurnih cifara, dobili bi neko-rektnu procenu s = 3. Iz relacije (1.11) sledi korektna procena s = 2.


U daljem tekstu ce se pod sigurnim ciframa smatrati sigurne cifre u užemsmislu, ako nije naglašeno da su u pitanju sigurne cifre u širem smislu.

Primer 1.14.Ako približan broj ima granicu relativne greške 0.2%, imamo

Rx∗ = 2 ·10−3 = 0.2 ·10−2 6 0.5 ·10−2

pa procenjujemo da ima 2 sigurne cifre.

1.4 PROCENJIVANJE GRESKE FUNKCIJE

Data je funkcija n promenljivih y = y(x), gde je x = (x1,x2, . . . ,xn). Potrebnoje proceniti grešku vrednosti funkcije, koja je nastala zamenom tacnih vrednostiargumenata x1,x2, . . . ,xn približnim vrednostima x∗1,x

∗2, . . . ,x

∗n. Ukratko, dato je

Ax∗i (i = 1,2, . . . ,n), traži se granica apsolutne greške funkcije Ay∗ , za koju važi:

Ay∗ > |∆y(x∗)|= |y(x)− y(x∗)|

Primer 1.15.Uticaj prvog izvoda na grešku funkcije jedne promenljive, y(x) (n = 1).

y Interval u kome leži tačna vrednost funkcije

Ax* x*

y*

x x*

y*

y

x Ax*

Interval u kome leži tačna vrednost nezav. promenljive: x*- Ax*

≤ x ≤ x*+ Ax*

Slika 1.4: Uticaj prvog izvoda na grešku funkcije

Prvi izvod funkcije je, kao što znamo, mera osetljivosti vrednosti funkcijena promene vrednosti nezavisno promenljive. Zato, granica apsolutne greške

1.4 PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE 17

funkcije je utoliko veca ukoliko su vrednosti njenog prvog izvoda u intervalux∗−Ax∗ 6 x 6 x∗+Ax∗ vece po apsolutnoj vrednosti.

Linearna procena greške funkcije, se bazira na zameni priraštaja funkcije∆y, koji potice od malih poremecaja vrednosti argumenata, totalnim diferencija-lom, dy:

∆y(x∗) = y(x)− y(x∗)≈ dy =n

∑i=1

∂y∂xi

(x∗)(xi− x∗i )

Pošto je: ∣∣∣∣∣ n

∑i=1

∂y∂xi

(x∗)(xi− x∗i )

∣∣∣∣∣ 6 n

∑i=1

∣∣∣∣ ∂y∂xi

(x∗)∣∣∣∣Ax∗i

usvajamo:

Ay∗ =n

∑i=1

∣∣∣∣ ∂y∂xi

(x∗)∣∣∣∣Ax∗j (1.12)

Primer 1.16. U slucaju funkcije jedne promenljive,

Ay∗ =

∣∣∣∣dydx

(x∗)∣∣∣∣Ax∗

x*

Ax*

Ay*

y*

nagib: ( )*xy′

Slika 1.5: Linearna procena greške

Pri procenjivanju granice apsolutne greške funkcije primenom formule (1.12),kod usvajanja konacne procene koristi se princip majorizacije (uvecavanje)


Pri tom, najcešce, konacna procena se usvaja sa preciznošcu od jedne zna-cajne cifre i to, u skladu sa definicijom sigurnih cifara (1.7), u obliku 10k ili0.5·10k.

Zadatak 1.4. Proceniti, za date približne vrednosti i granice apsolutnih gre-šaka argumenata, granicu apsolutne greške datog izraza.

y =x1 + x2

2x3

x∗1 = 3.25, x∗2 = 1.34, x∗3 = 2.11Ax∗1 = 0.03, Ax∗2 = 0.008, Ax∗3 = 0.02

Rešenje:∣∣∣∣ ∂y∂x1

∣∣∣∣x∗=

12.11

< 0.474,∣∣∣∣ ∂y∂x2

∣∣∣∣x∗=

2 ·1.342.11

< 1.28∣∣∣∣ ∂y∂x3

∣∣∣∣x∗=

3.25+1.342

2.112 < 1.14

Ay∗ = 0.474 ·0.03+1.28 ·0.008+1.14 ·0.02 < 0.0473 < 0.05 majorizacija!Ay∗ = 0.05

1.4.1 Specijalni slucajevi funkcijaAlgebarski zbir (sabiranje i oduzimanje)

y(x) = x1± x2± x3± ...± xn

∂y∂xi

=±1;∣∣∣∣ ∂y∂xi

∣∣∣∣= 1

Ay∗ =n

∑i=1

Ax∗i (1.13)

ili opštije:

y(x) =n

∑i=1

aixi

∂y∂xi

= ai;∣∣∣∣ ∂y∂xi

∣∣∣∣= |ai|

Ay∗ =n

∑i=1|ai|Ax∗i (1.14)


gde su ai,(i = 1, ...,n) tacni brojevi.

Proizvod stepenay(x) =C · x a1

1 x a22 x a3

3 . . . x ann ,

Neka su C i ai,(i = 1, ...,n) tacni brojevi : Aai = AC = 0

∂y∂xi

=ai yxi

;∂y∂xi

(x∗) =ai y∗

x∗i

Ay∗ =n

∑i=1|ai| |y∗|

Ax∗i∣∣x∗i ∣∣Ry∗ =

n

∑i=1|ai| Rx∗i (1.15)

Množenje i deljenje

y = x1 · x2 (a1 = a2 = 1),

y =x1

x2(a1 = 1, a2 =−1)

Iz (1.15):Ry∗ = Rx∗1 + Rx∗2 (1.16)

Stepenovanje tacnim brojem

y = xa

Iz (1.15)Ry∗ = |a|Rx∗ (1.17)

Za |a|={

> 1, Ry∗ > Rx∗ (npr. stepenovanje celim brojem)< 1, Ry∗ < Rx∗ (npr. korenovanje)

Logaritmovanjey = logax

Ay∗ =

∣∣∣∣∂y∂x

∣∣∣∣Ax∗ =|loga e||x∗|

Ax∗ = |loga e|Rx∗ (1.18)

a =

{e , Ay∗ = Rx∗

10 , Ay∗ = 0.4343Rx∗(1.19)

Zadatak 1.5. Sa koliko sigurnih cifara je moguce izracunati gustinu etilenaiz formule

ρ =p M

z R T


sa podacima:p∗ = 56atm, Rp∗ = 0.1% = 0.001T ∗ = 295K, AT ∗ = 0.5Kz∗ = 0.7325, sz∗ = 4M = 28.05g/mol, R = 0.08206 l atm/mol K

Podatke o molarnoj masi i univerzalnoj gasnoj konstanti smatrati tacnim.Rešenje:

Rρ∗ = Rp∗+RT ∗+Rz∗+RM↗0+RR↗

0

RT ∗ =AT ∗

|T ∗|=

0.5295

< 1.7 ·10−3

Rz∗ =Az∗

|z∗|=

0.5 ·100−4

0.7325< 7 ·10−5

Rρ∗ = 1 ·10−3 +1.7 ·10−3 +0.07 ·10−3 = 2.77 ·10−3 < 3 ·10−3

ρ∗ =p∗M

z∗R T ∗= 88.59 g/l

Aρ∗ = 3 ·10−3 ·88.59 = 0.266 < 0.5 g/l ⇒ s = 2

Tako, rezultat prikazujemo kao: ρ = 89 g/l ili eventualno kao ρ = 88.6 g/l(poslednja cifra nije sigurna)

U narednim zadacima izostavicemo oznacavanje približnih vrednosti zve-zdicama.

Zadatak 1.6. Koeficijent prolaza toplote, k izmedu vode koja se zagreva izasicene pare kao grejnog fluida u cevnom izmenjivacu toplote, odreduje se izmerenja pomocu formule :

k =M Cp ∆Tv

S ∆Tsr

M– protok vode koja se zagreva, kg/sCp – srednja specificna toplota vode, J/kg K∆Tv−razlika izlazne i ulazne temperature vode ∆Tv = T2−T1, 0CS – grejna površina izmenjivaca toplote, m2

∆Tsr – srednja pogonska sila razmene toplote u izmenjivacu, 0C,∆Tsr = Tp− T1+T2

2 = Tp−Ts, 0CTp – temperatura grejne pare, 0CTs – srednja temperatura vode u izmenjivacu , Ts =

T1+T22 , 0C


Izvesti sledece formule za procenjivanje granice relativnih grešaka razliketemperatura ∆Tv i pogonske sile ∆Tsr , koje poticu od relativne greške RT in-strumenta za merenje temperature vode (temperaturu pare smatrati tacnom velici-nom):

R∆Tv = 2Ts

T2−T1RT R∆Tsr =

Ts

Tp−TsRT

b) Za sledece izmerene vrednosti:

M = 10 kg/min, Cp = 4817 J/kg 0C, S = 1.6m2,Tp = 1100C, T1 = 25.10C, T2 = 65.50C

izracunati koeficijent prolaza toplote, a na osnovu sledecih informacija o gre-škama merenja:

AM = 0.01 kg/min, AS = 0.02 m2, RT = 0.2%

odrediti granice u kojima se ocekuje njegova tacna vrednost. Pri tom vrednostispecificne toplote i temperature pare smatrati tacnim.

Rešenje:a)

∆Tv = T2−T1, A∆Tv = AT2 +AT1 = (T1 +T2) ·RT = 2TsRT

R∆Tv =A∆Tv

∆Tv=

2Ts

T2−T1RT

A∆Tsr =12(AT1 +AT2) R∆Tsr =

Ts

Tp−TsRT

b)

M = 10kg

min= 0.1667

kgs

∆Tsr = Tp−T1 +T2

2= 64.70C

∆Tv = T2−T1 = 40.40C

k =MCp∆Tv

S∆Tsr=

0.1667 ·4817 ·40.41.6 ·64.7

Wm2K

= 313W

m2K

Granice u kojima leži tacna vrednost k su k – Ak i k +Ak, pa je neophodnoproceniti granicu apsolutne greške izracunate, približne vrednosti k. Pogodno je


traženu apsolutnu grešku, obzirom na strukturu izraza za k, izracunati iz prethodnoprocenjene relativne greške:

Rk = RM +R∆Tv +RS +R∆Tsr , RM =AM

M= 10−3

R∆Tv =2Ts

T2−T1RT < 4.5 ·10−3, R∆T sr =

Ts

Tp−TsRT < 1.4 ·10−3

RS =AS

S< 0.013, Rk = 0.019, Ak = k Rk = 6.074W

/m2K

Da ne bismo puno precenili granicu apsolutne greške, usvojicemo ovde, su-protno principu majorizacije, nešto manju, ali blisku vrednost izracunatoj: Ak =6W/

m2K. Konacno traženi interval u kome leži tacna vrednost koeficijenta pro-laza toplote je: [307,319]

Zadatak 1.7. Potrebno je iz izmerenih koncentracija reaktanata, zapreminereakcione smeše u idealno mešanom protocnom reaktoru i protoka reakcione smešeodrediti konstantu brzine nepovratne reakcije :

A+2B→ produkti,

polazeci od bilansa reaktanta A:

kCAC2B =

C0A−CA

V/F

V − zapremina reakcione smešeF − zapreminski protok reakcione smeše

Pretpostavljajuci da je pocetna ulazna koncentracija reaktanta A, C0A tacna,

izvesti sledeci izraz za granicu relativne greške odredivanja konstante k, u funkcijistepena konverzije reaktanta A, xA :

Rk =1+2xA

xARC +RV +RF , xA =

C0A−CA

C0A

gde su RV ,RF i RC granice relativnih grešaka merenja zapremine, protoka i izla-znih koncentracija reaktanata (RCA = RCB = RC). Proceniti grešku za stepen kon-verzije 0.72, ako su granice relativnih grešaka merenja koncentracija, zapremine iprotoka: RC = 2%, RV = 0.5%, RF = 1.5%

Može li se i do koje granice smanjiti granica relativne greške konstante k,pogodnim izborom stepena konverzije, pri datim greškama merenja koncentracija,zapremine reakcione smeše i protoka ?


Rešenje:Iz bilansne jednacine:

k =C0

A−CA

CAC2B

FV

=C0

A−CA

CA

1C2

B

FV

= y1

C2B

FV

gde je uvedena smena:

y =C0

A−CA

CA

Za relativnu grešku, primenjujuci jednacinu (1.15) dobijamo:

Rk = Ry +2RC +RV +RF

Ry =Ay

y=

C0AACA

CA(C0

A−CA) = C0

A

C0A−CA

RCA =1xA

RC

Rk =1+2xA

xARc +RV +RF

Za zadate greške i stepen konverzije iz izvedene formule dobijamo: Rk =0.088 < 9%b) Uocavamo da je u oblasti definisanosti (0 6 xA 6 1), Rk opadajuca funkcijastepena konverzije, pa se najmanja greška dobija ako sav reaktant A izreaguje,xA = 1, i pri datim greškama zapremine i protoka ona iznosi 8%.

1.4.2 Pravila za racunanje i procenjivanje tacnosti rezultataMogu se formulisati sledeca iskustvena pravila za izvodenje nekog složenog

proracuna uz pomoc kalkulatora:1. Rezultat ima najviše onoliko sigurnih cifara koliko ima podatak sa najmanje

sigurnih cifara.2. Medurezultate racunati sa jednom znacajnom cifrom više od procenjene

tacnosti rezultata. Pri tom, ako je tražena tacnost rezultata k sigurnih cifara,podatke treba uzeti sa k+1 sigurnom cifrom. Ako najmanje tacni podaci imaju ssigurnih cifara, ostale podatke treba uzeti sa s+1 (najviše s+2) sigurnih cifara iprimenjivati pravila zaokruživanja.

3. Iz prethodna dva pravila sledi pravilo za približno procenjivanje broja si-gurnih cifara rezultata nekog složenog proracuna:

Rezultat ima onoliko sigurnih cifara koliko i najmanje tacni podaci, ilijednu sigurnu cifru manje.

Treba naglasiti da navedena pravila važe samo za stabilne racunske procese,koji nisu praceni akumulacijom efekata grešaka zaokruživanja, tj. gubitkom si-gurnih cifara u toku racunskog procesa (1.8).


Zadatak 1.8. Vrednost specificne toplote pentana na t = 250C i normalnompritisku, u kojoj su sve date cifre sigurne, je Cp = 0.536 kcal/kg K. Preracunatidatu vrednost u SI sistem jedinica. Konverzioni faktor je f = 4.1868 kJ/kcal.

Rešenje:Broj sigurnih cifara u vrednosti Cp, s = 3 . Konverzioni faktor uzimamo sa

jednom znacajnom cifrom više: f = 4.187

Cp = 0.536 ·4.187 = 2.2442kJ

kcal

Uzecemo da je broj sigurnih cifara dobijenog rezultata, u skladu sa 3. pra-vilom, jednak broju sigurnih sifra manje tacnog podatka: s = 3. Tako, pravilnoprikazan rezultat konverzije:

Cp = 2.24kJ

kgK

ima isti broj znacajnih cifara kao i polazna vrednost.

Zadatak 1.9. Protok etilena, Q (kg/h) u pogonu proizvodnje polietilena seizracunava iz izmerene srednje brzine etilena, w (m/h) prigušnom plocom i nje-gove gustine, ρ (kg/m3):

Q = wAρ; w =C√

∆p; A =D2π

4koja se racuna iz izmerenih vrednosti pritiska i temperature i odgovarajuce ta-belarne vrednosti koeficijenta stišljivosti, z (Zadatak 1.5). Za podatake date uZadatku 1.5 i ,

C = 1000m

h ·mmV S1/2 , D = 0.1m±0.05mm,

∆p = 66mmV S±0.1mmV S (mm vodenog stuba)

proceniti protok i broj njegovih sigurnih cifara, koristeci linearnu procenu gre-ške funkcije. Vrednost konstante prigušne ploce, C smatrati tacnom. Uporeditiprocenjeni broj sigurnih cifara sa onim koji bi se dobio primenom pravila 3 zaprocenjivanje tacnosti nekog rezultata.

U Zadatku 1.5 smo za date uslove i tabelarnu vrednost z odredili gustinu igranicu njene relativnu greške:

ρ = 88.6 kg/m3 , Rρ = 3 ·10−3

i za protok etilena racunamo :

Q =C√

∆pπD2

4ρ = 5.65 ·103 kg

h

1.5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE 25

RQ = Rw + RA + Rρ

Rw =12

R∆p =12

0.166

= 7.6 ·10−4 < 8 ·10−4

RA = 2 RD = 25 ·10−5

0.1= 10−3

RQ = 8 ·10−4 +10−3 +3 ·10−3 = 4.8 ·10−3 < 5 ·10−3

AQ = RQ |Q| = 28.2 = 0.282 ·102 kg/h

0.282 ·102 6 0.5 ·102 = 0.5 ·104−s ⇒ s = 2

U polaznim podacima za racunanje protoka, broj sigurnih cifara je:

podaci s

D 4∆p 2ρ 2

i prema empirijskom pravilu 3, za broj sigurnih cifara u izracunatom protoku bitakode dobili 2.

1.5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GRESKE

Potrebno je proceniti dozvoljene granice apsolutnih grešaka argumenata xi,i = 1,2, . . . ,n da bi se vrednost funkcije y(x1,x2 . . .xn) dobila sa zadatom grani-com greške, Ay∗ 6 ε . Treba odrediti vrednosti Ax∗i iz uslova:

Ay∗ =n

∑i=1

∣∣∣∣ ∂y∂xi

(x∗)∣∣∣∣ Ax∗i 6 ε (1.20)

Problem je matematicki odreden (broj nepoznatih jednak broju uslova) samo zan = 1:

Ay∗ =

∣∣∣∣dydx

∣∣∣∣x∗

Ax∗ 6 ε ⇒ Ax∗ 6ε

|y ′(x∗)|


x*

Ax*

Ay*

y*

Slika 1.6:

U slucaju n > 1, primenjuje se jedan od tri principa (pretpostavki):

Princip jednakih uticajaPretpostavka:∣∣∣∣ ∂y

∂x1

∣∣∣∣ Ax∗1 =

∣∣∣∣ ∂y∂x2

∣∣∣∣ Ax∗2 = .......=

∣∣∣∣ ∂y∂xn

∣∣∣∣ Ax∗n = λ

Polazeci od jednacine (1.20) izvodimo:

Ay∗ = nλ 6 ε ⇒ λ 6 εn

,

∣∣∣∣ ∂y∂xi

∣∣∣∣ Ax∗i 6εn

Ax∗i 6ε

n∣∣∣ ∂y

∂xi

∣∣∣ , i = 1,2, ...,n (1.21)

Princip jednakih apsolutnih grešakaPretpostavka:

Ax∗i = Ax∗ i = 1, . . . ,n

Izvodimo:

Ay∗ = Ax∗n

∑i=1

∣∣∣∣ ∂y∂xi

∣∣∣∣ 6 ε

Ax∗ 6ε

n∑

i=1

∣∣∣ ∂y∂xi

∣∣∣ (1.22)


Princip jednakih relativnih grešakaPretpostavka:

Rx∗1 = Rx∗2 = . . .= Rx∗n = Rx∗

Izvodimo:

Ax∗i = Rx∗ |x∗i | , Ay∗ = Rx∗n

∑i=1

∣∣∣∣ ∂y∂xi

∣∣∣∣ |x∗i |6 ε

Rx∗ 6ε

n∑

i=1

∣∣∣ ∂y∂ xi

∣∣∣ ∣∣x∗i ∣∣ , i = 1,2, ...,n (1.23)

Ax∗i 6ε |x∗i |

n∑

i=1

∣∣∣ ∂y∂xi

∣∣∣ ∣∣x∗i ∣∣ , i = 1,2, ...,n (1.24)

Pri procenjivanju dozvoljenih grešaka argumenata, primenom nekog od triopisana metoda, primenjuje se princip minorizacije (umanjivanje).

Zadatak 1.10. Faktor stišljivosti etilena se iz izmerenih vrednosti pritiska,gustine i temperature, odreduje po formuli:

z =MpρRT

, M = 28.05, R = 8.315kJ

kmol K

Podatke M i R smatrati tacnim. Granice u kojima se krecu vrednosti pritiska,gustine, i temperatura su:

p = 50 - 60 bar , T = 280 - 300 K, ρ = 80 - 90 kg/m3

Uz pretpostavku da instrumenti za merenje gustine, pritiska i temperatureimaju istu tacnost (jednake relativne greške), odrediti koliko je neophodno da budutacni (Rp = RT = Rρ =?), da bi se faktor stišljivosti dobio,a) sa granicom relativne greške Rz = 5%b) sa granicom apsolutne greške Az = 0.05 kg/m3

Rešenje:Primenicemo jednacinu (1.23):

Rp,T,ρ 6 ε∣∣∣ ∂ z∂ p

∣∣∣ |p| + ∣∣∣ ∂ z∂T

∣∣∣ |T | + ∣∣∣ ∂ z∂ρ

∣∣∣ |ρ| = ε3z

jer je: ∣∣∣∣ ∂ z∂ p

∣∣∣∣ |p| = ∣∣∣∣ ∂ z∂T

∣∣∣∣ |T | = ∣∣∣∣ ∂ z∂ρ

∣∣∣∣ |ρ| = MpρRT

= z


a)

Rp,T,ρ 6 ε3z

=13

Rz ≈ 0.0167 > 0.015 Rp,T,ρ = 1.5% ( minorizacija!)

b)

Rp,T,ρ 6 ε3zmax

(minorizacija!)

zmax =M pmax

ρmin RTmin= 0.904

Rp,T,ρ =0.05

3 ·0.904= 0.018 > 0.015 Rp,T,ρ = 1.5%

Zadatak 1.11. Treba izracunati vrednost funkcije

z(x,y) = 3x2(lnx− siny) za x = 14.8,y = 1100

sa 4 sigurne cifre. Odrediti potrebnu tacnost argumenata , tj. granice relativnihgrešaka Rx,Ry i to sa preciznošcu od jedne znacajne cifre.

Rešenje:

z = 3 ·14.82 [ln14.8− sin(110

360 ·2π)]

= 1153.2sz = 4 ⇒ Az 6 0.5 , ε = 0.5

∂ z∂x

= 6x(lnx− siny)+3x2 1x= 6x(lnx− siny+

12)∣∣∣∣∂ z

∂x

∣∣∣∣= 6 ·14.8[ln14.8− sin(1100)+0.5

]= 200.24

∂ z∂y

=−3x2 cosy ,∣∣∣∣∂ z∂y

∣∣∣∣= 3 ·14.82 ∣∣cos(1100)∣∣= 224.75

a) Princip jednakih uticaja

Rx =Ax

|x|6 ε

2∣∣∣ ∂ z

∂ x

∣∣∣ |x| = 0.52 ·200.24 ·14.8

= 0.84358 ·10−4 > 0.8 ·10−4

Ry =Ay

|y|6 ε

2∣∣∣ ∂ z

∂y

∣∣∣ |y| = 0.52 ·224.75 ·110

= 0.10112 ·10−4 > 0.1 ·10−4

Rx = 0.8 ·10−4 , Ry = 10−5


b) Princip jednakih apsolutnih grešaka

Rx 6ε

|x|[∣∣∣ ∂ z

∂x

∣∣∣+ ∣∣∣ ∂ z∂y

∣∣∣] = 0.514.8(200.24+224.75)

= 0.7947 ·10−4 > 0.7 ·10−4

Ry 6ε

|y|[∣∣∣ ∂ z

∂x

∣∣∣+ ∣∣∣ ∂ z∂y

∣∣∣] = 0.5110(200.24+224.75)

= 0.10695 ·10−4 > 0.1 ·10−4

Rx = 0.7 ·10−4 , Ry = 10−5

c) Princip jednakih relativnih grešaka

Rx = Ry 6ε∣∣∣ ∂ z

∂x

∣∣∣ |x|+ ∣∣∣ ∂ z∂y

∣∣∣ |y| = 0.5220.24 ·14.8+224.75 ·110

=

= 0.18059 ·10−4 > 10−5

Rx = Ry = 0.1 ·10−5

Zadatak 1.12. Iz kubne jednacine

f (z,A,B) = z3 + z2(B−1)+ z(A−3B2−2B)+B3 +B2−AB = 0 (*)

koja sledi iz Peng - Robinson jednacine stanja, se za date vrednosti temperature ipritiska, iz kojih se po odgovarajucim formulama prethodno izracunaju vrednostiparametara A i B mogu izracunati koeficijenti stišljivosti kljucale tecnosti, zL izasicene pare, zV neke supstance kao najmanji i najveci od tri realna korena. Zaamonijak, na tacki kljucanja: T = 373.15 K i p = 63.05 bar vrednosti parametarasu: A = 0.3194 , B = 4.714·10−2, a odgovarajuce vrednosti koeficijenata tecnosti(L) i pare (V ),

zV = 0.6447 zL = 9.084 ·10−2

su dobijene kao najveci i najmanji od tri korena jednacine (*) - vidi skicu.


z

f

zL zV

Slika 1.7:

Pod pretpostavkom da jednacina tacno opisuje promene koeficijenta stišljivo-sti tecnog i parnog amonijaka duž linije kljucanja, treba odrediti sa kojom grani-com relativne greške je neophodno poznavati vrednosti parametara A i B, da bi se, zL i , zV mogli dobiti sa greškom manjom od 0.1%.

Rešenje:Imamo slucaj da funkcija z(A,B) nije definisana eksplicitno, vec implicitno.

Potrebni su nam izvodi ∂ z∂A , ∂ z

∂B implicitno zadate funkcije: f (z,A,B) = 0 , cijese vrednosti dobijaju rešavanjem kubne jednacine (*). Podsetimo se nalaženjaparcijalnih izvoda implicitne funkcije f (y,x) = 0. Diferenciranjem obe stranejednacine po xi :

∂ f∂xi

+∂ f∂y· ∂y

∂xi= 0

i odatle:∂y∂xi

=−∂ f∂xi∂ f∂y

Dakle:∂ z∂A

=−∂ f∂A∂ f∂ z

,∂ z∂B

=−∂ f∂B∂ f∂ z

∂ f∂ z

= 3z2 +2z(B−1)−3B2−2B+A

∂ f∂A

= z−B ,∂ f∂B

= z2− (6B+2)z+3B2 +2B−A


RA,B 6 ε∣∣∣ ∂ z∂A

∣∣∣ A+∣∣∣ ∂ z

∂B

∣∣∣ B=

∣∣∣∂ f∂ z

∣∣∣ε∣∣∣ ∂ f∂A

∣∣∣ A+∣∣∣ ∂ f

∂B

∣∣∣ B

ε = Rz · zZa parnu fazu (z = 0.6447):∣∣∣∣∂ f

∂ z

∣∣∣∣= 0.2365,∣∣∣∣∂ f∂A

∣∣∣∣= 0.5975,∣∣∣∣∂ f∂B

∣∣∣∣= 1.274

RA,B 6 6.07 ·10−4 > 5 ·10−4 (0.05%)

Za tecnu fazu (z = 9.084 ·10−2) : RA,B 6 1.89 ·10−4 > 1.5 ·10−4 (0.015%)

Zadatak 1.13. Bensonova formula za procenjivanje molske zapremine, vb(cm3/mol) supstance na normalnoj temperaturi kljucanja iz vrednosti njene kri-ticne zapremine, vc pritiska, pc (bar) glasi:

vb =vc

0.1833ln pc +1.979(sve cifre u vrednostima konstanti su sigurne)

Uz pretpostavku da Bensonov model korektno opisuje vezu izmedu vb,vc i pc,a) Proceniti molsku zapreminu na normalnoj temperaturi kljucanja izopropilalko-hola, ciji su kriticni parametri,

vc = 220 cm3/mol, pc = 47.6 bar (sve cifre u vrednostima su sigurne)

i broj sigurnih cifara u rezultatu. Analizirati relativne uticaje grešaka pojedinihparametara u Bensonovom izrazu na grešku rezultata.b) Odrediti sa kojom granicom relativne greške treba poznavati vrednosti kriticnihparametara neke supstance da bi vb procenili sa apsolutnom greškom manjom od0.5 cm3/mol, ako Bensonova formula važi u oblasti:

30 6 pc 6 50, 100 6 vc 6 500

Rešenje:a)

vb =vc

a ln pc +b=

2200.1833ln(47.6)+1.979

= 81.87

Prema empirijskom pravilu, datom na kraju prethodnog poglavlja, broj sigur-nih cifara u rezultatu je 2 ili najviše 3 (koliki je broj sigurnih cifara u vredno-stima pc i vc), pa bi korektno prikazan rezultat bio: vb = 82 cm3/mol ili vb =81.9 cm3/mol


Procenicemo broj sigurnih cifra rezultata i na bazi linearne procene greške:

Avb = faAa + fbAb + fvcAvc + fpcApc

gde su:

fa =vc ln pc

(a ln pc +b)2 , fb =vc

(a ln pc +b)2 , fvc =1

a ln pc +b, fpc =

vca

pc (a ln pc +b)2

Za date podatke:

fa = 117.7, fb = 30.47, fvc = 0.3722, fpc = 0.1173

i za granicu apsolutne greške rezultata dobijamo: Avb = 0.213 < 0.5. Tako jeposlednja sigurna cifra u rezultatu vb = 81.87cm3/mol cifra na mestu jedinica, paje broj sigurnih cifara s = 2.

Zanimljivo je uporediti doprinose grešaka pojedinih parametara u izrazu za vbukupnoj apsolutnoj greški rezultata:

faAa = 5.9 ·10−3, fbAb = 1.5 ·10−2, fvcAvc = 1.9 ·10−1, fpcApc = 5.9 ·10−3

Ocigledan je dominantan uticaj greške kriticne zapremine vc, koji je za jedanili dva reda velicine veci od doprinosa grešaka ostalih parametara, pa se njihoviuticaji mogu zanemariti. Zaista, zanemarujuci uticaj ostalih parametara za granicugreške bi dobili: Avb = 0.19 < 0.5, tj. procenjeni broj sigurnih cifara bi opet bio2.b)

Ako parametre a i b, smatramo tacnim, odnosno, u skladu sa prethodnomanalizom, zanemarimo njihov doprinos greški vb, traženu granicu relativne greškevc i pc cemo dobiti iz formule (1.23):

R =0.5

fvcvc + fpc pc

Pošto su apsolutne vrednosti parcijalnih izvoda fvc, fpcfunkcije vc i pc, posta-vlja se pitanje za koje vrednosti kriticnih parametara izracunati R . To je, u skladusa principom minorizacije, onaj par vrednosti za koji R ima minimum, odnosnoimenioc u formuli za R

fvcvc + fpc pc =vc

a ln pc +b+

vc a

(a ln pc +b)2

1.6 GREŠKE U TOKU RACUNSKOG PROCESA 33

ima maksimum, u datoj oblasti u kojoj se Bensonova formula primenjuje. Po-što vrednost imenioca raste sa vc, a opada sa pc,R cemo racunati u tacki vc =500, pc = 30:

fvcvc =vc

a ln pc +b=

5000.1833ln(30)+1.979

= 192.1

fpc pc =vc a

(a ln pc +b)2 =500 ·0.1833

(0.1833ln(30)+1.979)2 = 13.53

R =0.5

192.1+13.53≈ 0.0024

Usvajamo, u skladu sa principom minorizacije, R = 0.002 = 0.2%Radi provere, izracunacemo Avb u tacki vc = 500, pc = 30 sa usvojenom gra-

nicom relativne greške kriticnih parametara. Dobijamo procenu Avb = 0.46 , štopotvrduje da su korišcena uprošcenja u postupku opravdana.

1.6 GRESKE U TOKU RACUNSKOG PROCESA

Vrednost nekog složenog izraza (funkcije) u racunaru se dobija korak po ko-rak, tj. kao rezultat niza osnovnih racunskih operacija (koraka). Rezultat sva-kog pojedinog koraka, sem poslednjeg u nizu je medurezultat, koji ulazi kaooperand u naredni korak. Pre no što ude u operaciju u narednom koraku, onse privremeno memoriše i pri tom, u opštem slucaju, trpi zaokruživanje (ili jed-nostavno, odsecanje) zbog ogranicenog broja znacajnih cifara koji se može re-gistrovati u memorijskoj lokaciji. Konacno, i rezultat poslednjeg koraka trpi za-okruživanje (odsecanje). Tako izracunata vrednost neke funkcije f (x1,x2, ...xn)nece biti tacna, ni kada su polazni podaci (x1,x2, ...xn)sasvim tacni, zbog grešakazaokruživanja (ili odsecanja) u toku racunskog procesa.

1.6.1 Memorisanje brojeva u racunaru-masinski brojevi

Iz tehnickih razloga, brojevi se u racunaru realizuju u binarnom ili even-tualno u binarno kodiranom oktalnom ili heksadekadnom brojnom sistemu. Uokviru programa namenjenih raznim inženjerskim proracunima, registrovanje re-alnih brojeva je organizovano u normalizovanom eksponencijalnom obliku:

x =±xM BxE =±

(m

∑i=1

ai B−i

)B±

e∑

j=1b j Be− j

(1.25)


Vidimo da je realizacija realnih brojeva definisana sa tri parametra: brojnaosnova B, broj cifara decimalnog dela mantise, tj. broj znacajnih cifara m i brojcifara eksponenta, e.

Primer 1.17. Kao što znamo, realni brojevi se u okviru programskih jezikaBASIC, FORTRAN i PASCAL predstavljaju u binarnom brojnom sistemu, B =2, a kapacitet memorijske lokacije za brojeve obicne tacnosti je 4 bajta, od kojihje jedan namenjen registrovanju eksponenta i njegovog znaka, a preostala tri bajtaregistrovanju decimalnog dela mantise (znacajne cifre broja) i znaka broja:

Bitovi znaka

xM xE

Slika 1.8:

Pri tom, negativni eksponenti se prikazuju kao B - komplementi odgovarajucihpozitivnih brojeva. Tako su vrednosti ostala dva parametra:

e = 8−1 = 7, m = 3 ·8−1 = 23

Brojevi oblika (1.25) za dato B,m i e se zovu mašinskih brojevi. Skup svihmašinskih brojeva oznacicemo sa M(B,m,e). U daljoj diskusiji cemo se ogranicitina slucaj B = 2, tj. binarne mašinske brojeve.

Primer 1.18.

Za opisano registrovanje brojeva kod programskih jezika, mašinski brojevipripadaju skupu M(2,23,7)

Realizacija brojnih vrednosti u racunaru (polazni podaci ili medurezultati)može se posmatrati kao preslikavanje skupa realnih brojeva, R u skup mašinskihbrojeva M. Pošto je skup mašinskih brojeva konacan i prebrojiv, a skup realnihbrojeva beskonacan i neprebrojiv, jasno je da to preslikavanje ima ogranicenja(vidi skicu) i nazivamo ga redukovano preslikavanje (γ):

γ :R→M (1.25)


MM

R – skup realnih brojeva Q – skup racionalnih brojeva Z – skup celih brojeva M – skup mašinskih brojeva

R

Z

Q M

Slika 1.9:

Internu ili mašinsku vrednost nekog broja x, koju dobijamo primenom redu-kovanog preslikavanja opisujemo kao γx.

Mogu se odrediti najmanji, xmin i najveci, xmax po apsolutnoj vrednosti realnibrojevi, koji se mogu (tacno) registrovati u racunaru :

xmax = (xM)max B(xE)max , xmin = (xM)min B(xE)min

Za M(B,m,e), najveca mantisa i najveci eksponent se dobijaju kao,

(xM)max = 1−B−m (xE)max = Be−1

Najmanja mantisa, u skladu sa definicijom mantise je

(xM)min = 0.1 = B−1

a najmanji eksponent (negativan ceo broj, veliki po apsolutnoj vrednosti), imajuciu vidu da se negativni brojevi registruju kao B-komplementi:

(xE)min =−Be

Primer 1.19. Primer:Približne dekadne vrednosti xmax i xmin u M(2,23,7) su:

(xM)max = (0. 11...1︸︷︷︸23 bajta

)2 = (1−0.00...01︸︷︷︸23 bajta

)2 = 1−2−23

(xE)max = (1111111)2 = (10000000−1)2 = 27−1

xmax =(1−2−23) ·227−1 ≈ 2127 ≈ 1.701 ·1038

xmin = 2−1 ·2−27= 2−129 ≈ 1.469 ·10−39


Tako se u racunaru:- brojevi manji od -xmax registruju kao -xmax i svi brojevi veci od xmax kao xmax(arit-hmetic overflow)- brojevi, po apsolutnoj vrednosti manji od xmin , registruju kao nule (eventualno±xmin)

Dakle, ako skup realnih brojeva, R podelimo na podskupove na sledeci nacin:

(

R

R1 R-1 R-∝∝∝∝ R∝∝∝∝

-xmax xmax -xmin xmin

R = R-∝∝∝∝ ∪ R-1 ∪ R0 ∪ R1 ∪ R∝∝∝∝ = = (- ∞,-xmax) ∪[-xmax, -xmin] ∪(-xmin, xmin) ∪[xmin, xmax] ∪(xmax, ∞)

Slika 1.10:

možemo da pišemo:

γx =−xmax, x ∈ R−∞γx = xmax, x ∈ R∞γx = 0, x ∈ R0

Ni brojevi iz podskupova R−1 i R1 se u opštem slucaju nemogu tacno pred-staviti u racunaru jer je kapacitet memorijske lokacije ogranicen na m binarnihznacajnih cifara (jednacina 1.25). Tako se iracionalni brojevi i beskonacni perio-dicni razlomci ne mogu tacno registrovati.

Primer 1.20.U skupu M(2,23,7), mogu se registrovati prvih 23 znacajnih cifara broja x ∈

R−1∪R1 u njegovom binarnom obliku. To je približno prvih 7 dekadnih znacajnihcifara istog broja jer je:

2−23 ≈ 1.19 ·10−7 ≈ 10−7

Ukoliko tacna vrednost broja x ∈ R−1∪R1 u binarnom obliku ima više od mznacajnih cifara,

x =±(0.a1a2...amam+1am+2...)2xE

prilikom njegovog memorisanja se vrši odsecanje ili zaokruživanje na m znacaj-nih cifara.


Primer 1.21.Za M(2,23,7) imamo:

γ (0.125)= 0.125, γ(1/

3)= 0.3333333, γ

(2/

3)=

{0.6666666 uz odsecanje0.6666667 uz zaokruživanje

γ (0.1) = 0.09999999 jer je (0.1)10 = (0.000110011...0011...)2︸︷︷︸beskonacan periodican decimalanbro j

U programskim jezicima BASIC, FORTRAN i PASCAL moguce je brojeveregistrovati u tzv. duploj preciznosti, kada se za broj angažuje umesto 4, duploviše, tj. 8 bajtova i od toga se 52 bita koristi za registrovanje mantise, m = 52,tj. imamo M(2,52,10), što obezbeduje da se brojevi x ∈ R−1 ∪R1 registruju sapreciznošcu od 15 dekadnih sigurnih cifara (2−52 ≈ 2.2 · 10−16 < 0.5 · 10−15).Poznati softverski paketi Mathcad i Excel takode rade u M(2,52,10).

Primer 1.22.Uz zaokruživanje, interna vrednost iracionalnog broja

√2 bice:

γ(√

2)=

{1.414214 u M (2,23,7)1.41421356237310 u M (2,52,10)

1.6.2 Greska redukovanog preslikavanjaAko se pri memorisanu realnog broja x ∈ R−1∪R1 on, odnosno njegova man-

tisa zaokružuje na mdekadnih znacajnih cifara, tj. približna vrednost mantisex∗Mdobija po pravilu zaokruživanja:

x∗M =

{0.a1a2...am ako je am+1 < 50.a1a2...am +1 ·10−m ako je am+1 > 5

odbaceni deo mantise ce biti:

0.0...am+1am+2...= (0.am+1am+2...)10−m = g ·10−m

gde decimalan broj:

g = 0.am+1am+2... (0 6 g < 1)

ima osobine mantise. Greška redukovanog preslikavanja mantise je tako

(xM− x∗M) =

{g ·10−m ako je am+1 < 5, tj. g < 0.5(1−g)10−m ako je am+1 > 5, tj. g > 0.5

i u svakom slucaju, po apsolutnoj vrednosti je manja od 0.5·10−m. Dakle, zagrešku redukovanog preslikavanja broja x važi :


|∆x∗ |= |xM− x∗M| ·10xE 6 0.5 ·10xE−m

pa za granicu apsolutne greške zaokruživanja možemo da usvojimo:

Ax∗ = 0.5 ·10xE−m (1.26)

Znaci da, uz pretpostavku da je broj x tacan, svih m znacajnih cifara njegoveinterne vrednosti su sigurne cifre. Konacno, iz jednacine (1.9) dobijamo granicurelativne greške zaokruživanja:

Rx∗ = 0.5 ·101−m (1.27)

Analognim postupkom, lako je izvesti sledece procene apsolutne i relativnegreške odsecanja:

Ax∗ = 10xE−m (1.28)

Rx∗ = 101−m (1.29)

1.6.3 Greske racunskih operacijaRezultat neke osnovne racunske operacije ( +, −, ×, :), zbog ogranicenog

kapaciteta memorijske lokacije u koju se unosi, u opštem slucaju nije tacan. Takoako je z tacan rezultat operacije x+ y,

z = x+ y

razultat u racunaru ce biti :

γz = z+∆z = z+ rz = z(1+ r) = (x+ y)(1+ r)

gde je r relativna greška, definisana ovde kao kolicnik odstupanja i tacne vredno-sti. Njena apsolutna vrednost je najviše jednaka izvedenoj granici relativne gre-ške redukovanog preslikavanja (jednacine (1.27), (1.29). Dakle u kompjuterskojaritmetici se operacije +, −, ×, : izvode sa ogranicenim brojem znacajnih ci-fara, m i zbog toga se nazivaju pseudoperacije. Pri izracunavanju vrednosti slo-ženijih izraza, uzastopno se izvode umesto pravih, pseudoaritmeticke operacije,pa u kompjuterskoj aritmetici ne važi zakon asocijativnosti za operacije sabira-nja i množenja kao ni zakon distributivnosti množenja u odnosu na sabiranje.

Primer 1.23.Rezultat sabiranja tri broja , S= x1+x2+x3 u racunaru ce zavisiti od redosleda

sabiranja. Tako ce se u opštem slucaju, za sumu S1 = x1 + x2 + x3 dobiti razlicitrezultat od onoga za sumu S2 = x2 + x3 + x1. Sume se racunaju u dva koraka -pseudosabiranja, sa memorisanjem rezultata i to:


prva suma S1 : (x1 + x2)+ x3druga suma S2: (x2 + x3)+ x1

Pošto ce greške u prvoj pseudooperaciji biti u opštem slucaju razlicite za jednui drugu sumu (zavise od velicine brojeva koji se sabiraju) , ni dobijene sume necebiti jednake.

Primer 1.24.U kompjuterskoj aritmetici ne važi U1 = U2 gde su: U1 = (x− y)z, U2 =

xz− yz. Vrednost U1 je rezultat jednog oduzimanja i jednog množenja, sa medu-memorisanjem, dok se U2 racuna u tri koraka, dva množenja i jedno oduzimanjesa dva medumemorisanja i u opštem slucaju greške ta dva racunska procesa ce serazlikovati.

1.6.4 Prostiranje gresaka u racunskom procesuRezultat nekog složenog racunskog procesa u koji, kao podaci, ulaze vredno-

sti promenljivih x1,x2, . . . ,xn možemo smatrati nekom funkcijom f (x1,x2, . . . ,xn).Dobijena vrednost posmatrane funkcije, ni u slucaju kada su vrednosti argume-nata x1,x2, . . . ,xnpotpuno tacni, nece biti tacna zbog grešaka racunskih operacijau procesu racunanja. Pri tom, pogrešan rezultat neke operacije u nizu ulazi kaooperand ili podatak u sledecu operaciju i tako imamo pojavu prostiranja ili pro-pagacije grešaka u recunskom procesu. Efekat je zamena tacnog racunskogprocesa, f (x1,x2, . . . ,xn) nekim približnim (pseudo), koga cemo oznaciti kaof (x1,x2, . . . ,xn). Razlika,

f (x1,x2, . . . ,xn)− f (x1,x2, . . . ,xn)

predstavlja grešku, koja je rezultat propagacije grešaka u racunskom procesui naziva se i mašinska greška.

U opštem slucaju ni polazni podaci za posmatrani racunski proces, f (x1,x2, . . . ,xn)nisu tacni. Recimo, neki od njih sadrže greške merenja, a neki su netacni zbog re-dukovanog preslikavanja tacnih vrednosti. Rezultat ce biti pogrešna vrednost pri-bližnog racunskog procesa, tj. pseudofunkcije, f (x1,x2, . . . ,xn), zbog približnihvrednosti argumenata : x∗1,x

∗2, . . . ,x

∗n . Ukupnu grešku,

f (x1,x2, . . . ,xn)− f (x∗1,x∗2, . . . ,x

∗n)

možemo da razložimo na komponente:

f (x1, . . . ,xn)− f (x∗1, . . . ,x∗n)= f (x1, . . . ,xn)− f (x∗1, . . . ,x

∗n)+ f (x∗1, . . . ,x

∗n)− f (x∗1, . . . ,x

∗n)

pa kao granicu ukupne apsolutne greške možemo da uzmemo:

A f ∗∗ = | f (x1, . . . ,xn)− f (x∗1, . . . ,x∗n)|︸︷︷︸

greska ko ja potice od gresaka u podacima

+∣∣ f (x∗1, . . . ,x∗n)− f (x∗1, . . . ,x

∗n)∣∣︸︷︷︸

masinska greska

(1.30)


U hemijsko inženjerskim proracunima su greške koje poticu od grešaka upolaznim podacima mnogo vece od mašinske greške, narocito ako se proracun iz-vodi u duploj preciznosti (double precision), pa se efekat mašinske greške možezanemariti.

1.7 ODUZIMANJE BLISKIH BROJEVAPosmatrajmo jednostavan racunski proces tj. funkciju:

f (x1,x2) = x1− x2

uz pretpostavku da se pri memorisanju rezultata primenjuje zaokruživanje na mznacajnih cifara. Prva komponenta greške u proceni (1.30) je:

| f (x1,x2)− f (x∗1,x∗2)|6 Ax∗1 +Ax∗2

a druga, ∣∣ f (x∗1,x∗2)− f (x∗1,x∗2)∣∣= |r (x∗1− x∗2)|6 R |x∗1− x∗2|

gde je R granica relativne greške zaokruživanja (1.27):

R = 0.5 ·101−m

Tako, za granicu apsolutne greške oduzimanja dobijamo:

A f ∗∗ = Ax∗1 +Ax∗2 + |x∗1− x∗2|R

pa je granica relativne greške oduzimanja:

R f ∗∗ =Ax∗1 +Ax∗2∣∣x∗1− x∗2

∣∣ +R =

∣∣∣∣ x∗1x∗1− x∗2

∣∣∣∣Rx∗1 +

∣∣∣∣ x∗2x∗1− x∗2

∣∣∣∣Rx∗2 +R (1.31)

U slucaju da su brojevi x∗1 i x∗2 bliski, x∗1≈ x∗2 komponenta relativne greške kojapotice od njihovih grešaka postaje vrlo velika i dominantna u odnosu na drugukomponentu (mašinska greška), koju možemo da zanemarimo:

R f ∗∗ =

∣∣∣∣ x∗1x∗1− x∗2

∣∣∣∣Rx∗1 +

∣∣∣∣ x∗2x∗1− x∗2

∣∣∣∣Rx∗2

Ako su uz to brojevi x∗1 i x∗2 podjednako tacni,

Rx∗1 = Rx∗2 = Rx∗

procena greške oduzimanja bliskih brojeva je:

1.7 ODUZIMANJE BLISKIH BROJEVA 41

R f ∗∗ = 2∣∣∣∣ x∗

x∗1− x∗2

∣∣∣∣Rx∗, x∗ = max(x∗1,x∗2) (1.32)

Ocigledno je da je oduzimanje bliskih brojeva “kriticna” operacija, pracenavelikom relativnom greškom. Do istog zakljucka smo mogli da dodemo pomocuformule (1.27), koja povezuje broj sigurnih cifara sa relativnom greškom nekogbroja. Kako pri oduzimanju bliskih brojeva dolazi do gubitka sigurnih cifara,koji je utoliko veci ukoliko su brojevi bliži po velicini, rezultat je mnogo manjetacan od polaznih podataka. Tako, ako su operandi iste tacnosti, a gubitak sigur-nih cifara jednak ∆s , prema formuli (1.27) relativna greška rezultata je 10∆s putaveca od relativne greške operanada.

Primer 1.25.Neka je potrebno izracunati vrednost izraza y=

√2.01−

√2 (y = 0.003531125...)

u kompjuterskoj aritmetici sa 4 dekadne znacajne cifre, uz zaokruživanje. Sa pre-ciznošcu od 4 sigurne cifre, vrednosti operanada su:

x∗1 = 1.418(√

2.01 = 1.41774468...), x∗2 = 1.414

(√2 = 1.41421356...

)a njihova greška :

Rx∗ ≈ f rac0.5 ·10−31.41 < 3.6 ·10−4, Rx∗ = 3.6 ·10−4

Rezultat: y∗ = 1.418−1.414 = 0.004,dobijen je sa samo jednom znacajnom cifrom koja je i sigurna jer je njegova ap-solutna greška :|0.0035311...−0.004|< 0.5 ·10−3, Ay∗ = 0.5 ·10−3

Dakle, u operaciji oduzimanja je došlo do gubitka 3 sigurne cifre, što znaci daje relativna greška rezultata oko 1000 puta veca od greške operanada, dakle redavelicine 10−1 . Zaista, iz apsolutne greške rezultata dobijamo :

Ry∗ =Ay∗

y∗=

0.5 ·10−3

4 ·10−3 < 1.3 ·10−1

ili, grublju procenu iz formule (1.32) :

Ry∗ = 2x∗

y∗Rx∗ = 2

1.4180.004

3.6 ·10−3 < 2.6 ·10−1

Ako se pri oduzimanju približnih brojeva x∗1 i x∗2 gubi prvih ∆s sigurnih cifara,a rezultat se želi dobiti sa k sigurnih cifara, neophodno je uzeti brojeve sa tacnošcuod k+∆s sigurnih cifara.


Primer 1.26.Ako bismo izraz iz prethodnog primera želeli da dobijemo sa tacnošcu od 4

sigurne cifre u oduzimanje bi trebalo da udu vrednosti korena sa 7 sigurnih cifara.To bi se moglo realizovati u nekom od programskih jezika u obicnoj tacnosti (7sigurnih cifara). Medutim, da bi dobili rezultat sa 7 sigurnih cifara, neophodnesu vrednosti korena sa 10 sigurnih cifara, pa bi u programskom jeziku bilo neop-hodno koristiti opciju DOUBLE PRECISION .

Nekada se izraz u kome se javlja kriticna operacija oduzimanja bliskih brojevamože transformisati u njemu ekvivalentan u kome je ona izbegnuta.

Primer 1.27.

y =√

2.01−√

2 =(√

2.01−√

2)√2.01+

√2√

2.01+√

2=

2.01−2√2.01+

√2

y∗ =0.01

1.418+1.414= 0.003531

Nema gubitka sigurnih cifara !Primer 1.28.

Kao procena tacne vrednosti neke merene velicine x usvaja se aritmeticka sre-dina x, n ponovljenih merenja te velicine :

x =

n∑

i=1xi

n

Da bi procenili granicu njene apsolutne greške, neophodna je disperzija, s2

definisana kao:

s2 =

n∑

i=1(xi− x)2

n−1Ako je instrument precizan, tj. rasipanje rezultata merenja malo, u brojiocu se

sumiraju razlike bliskih brojeva, pa ce disperzija biti izracunata sa malom tacno-šcu. Suma u brojiocu se može transformisati:

n

∑i=1

(xi− x)2 =n

∑i=1

x2i −2x

n

∑i=1

xi +n

∑i=1

x 2 =n

∑i=1

x2i −nx 2

Dobijeni ekvivalentan izraz umesto n oduzimanja bliskih brojeva ukljucujesamo jednu takvu operaciju. Zato se kao prakticna formula za racunanje disperzijekoristi:

s2 =

n∑

i=1x2

i −nx 2

n−1

1.8 STABILNOST RACUNSKOG PROCESA 43

1.8 STABILNOST RACUNSKOG PROCESANeki racunski proces, koji polazeci od m podataka xi, i = 1, ...,m daje n re-

zultata yi, i = 1, ...,n može se posmatrati kao preslikavanje ulaznih podataka uizlazne vrednosti, posredstvom n funkcija:

yi = fi (x1,xn, ...,xm) i = 1, ...,n (1.33)

odnosno vektorske funkcije:

y(x) =

f1 (x)...fn (x)

Numerički postupak

x1

x2

xm

podaci

y1

y2

yn

rezultati: yi = fi(x1,x2,...xm), i = 1,...,n

Slika 1.11:

Ako male ili umerene greške u podacima kao posledicu imaju greške istogreda u rezultatima, kažemo da je posmatrani racunski proces stabilan ili do-bro uslovljen (well conditioned). Ako pak male greške podataka izazivajuznacajne greške rezultata, tada je racunski proces nestabilan ili loše uslovljen(ill conditioned). Znaci, da nestabilne racunske procese karakteriše nepovoljnapropagacija (uvecavanje) grešaka.

Da bi smo analizirali uticaj malih grešaka polaznih podataka na tacnost re-zultata, posmatracemo priraštaje funkcija (1.33), koje možemo da aproksimiramototalnim diferencijalima:

∆yi ≈∂yi

∂x1∆x1 +

∂yi

∂x2∆x2 + · · ·+

∂yi

∂xm∆xm, i = 1, . . . ,n

gde su priraštaji argumenata:

∆xi = ∆x∗i = xi− x∗i

odstupanja od njihovih tacnih vrednosti, a priraštaji funkcija:


∆yi = ∆y∗i = yi− y∗ipredstavljaju odgovarajuca odstupanja (greške) dobijenih rezultata. Dakle, vezuizmedu malih odstupanja podataka i odstupanja rezultata daje jednacina:

∆y∗i =m

∑j=1

∂yi (x∗)∂x j

∆x∗j i = 1, ...,n (1.34)

Iz ove jednacine, pod uslovima x∗i = 0, i = 1, . . . ,m y∗i = 0, i = 1, . . . ,n,dobijamo vezu izmedu relativnih odstupanja podataka i rezultata:

∆y∗iy∗i

=m

∑j=1

(x∗jy∗i

∂yi (x∗)∂x j

) ∆x∗jx∗j

i = 1, . . . ,n (1.35)

Ocigledno je da je doprinos odstupanja nekog podatka, x j greškama pojedinihrezultata, odreden velicinama apsolutnih vrednosti parcijalnih izvoda funkcija yi(i = 1,. . . ,n) po promenljivoj x j:∣∣∣∣∂yi (x∗)

∂x j

∣∣∣∣ i = 1, . . . ,n

koje zovemo apsolutni uslovni brojevi za promenljivu x j ( j = 1,. . . ,m). Slicno,apsolutne vrednosti ∣∣∣∣x∗jy∗i

∂yi (x∗)∂x j

∣∣∣∣ i = 1, . . . ,n

se zovu relativni uslovni brojevi za datu promenljivu i odreduju uticaj relativnegreške podataka na relativne greške rezultata.

Sada možemo da formulišemo kriterijum stabilnosti nekog racunskog pro-cesa: racunski proces je stabilan ili dobro uslovljen ako su apsolutni i relativniuslovni brojevi mali.

Primer 1.29.Sistem jednacina:

3y1−5y2 = 83y1−5.000001y2 = 8.000001

ima rešenje: y1 = 1, y2 =−1Ako bi samo neznatno promenili vrednosti dva koeficijenta u drugoj jednacini:

3y1−5y2 = 83y1−5.000002y2 = 7.9996

rešenja bi se znacajno promenila: y1 = 336, y2 = 200


U ovom problemu, podaci su koeficijenti u jednacinama, a rešenja sistemasu rezultati. Izvedeni “racunski eksperiment” ukazuje da je rešavanje ovog si-stema jednacina jedan nestabilan proces: neznatni poremecaji podataka izazivajuogromne promene rezultata. Kažemo da je sistem jednacina loše uslovljen. Pri-metimo da se radi o sistemu veoma bliskom neodredenom, tj. dve jednacine sugotovo identicne. Geometrijski, treba naci presek dve prave, koje se gotovo pre-klapaju, što je nemoguce uraditi sa zadovoljavajucom tacnošcu. Ako koeficijentekoje variramo oznacimo sa x1 i x2,funkcije koje definišu rezultate su:

y1 = f1(x1,x2) =D1

D, y2 = f2(x1,x2) =

D2

Dgde su:

D1 =

∣∣∣∣ 8 −5x2 x1

∣∣∣∣= 8x1 +5x2, D2 =

∣∣∣∣ 3 83 x2

∣∣∣∣= 3x2−24,

D =

∣∣∣∣ 3 −53 x1

∣∣∣∣= 3x1 +15

Potražimo apsolutne uslovne brojeve:

∂y1

∂x1=

∂D1∂x1

D− ∂D∂x1

D1

D2 =8D−3

D1

D2 ,∂y2

∂x1=

∂D2∂x1

D− ∂D∂x1

D2

D2 =−3D2

D2

∂y1

∂x2=

5D,

∂y2

∂x2=

3D

Za date vrednosti koeficijenata,x1 = −5.000001 , x2 = 8.000001 velicine de-terminanata su:

D = 3(−5.000001)+15 = 3 ·10−6 D1 =−3 ·10−6 D2 = 3 ·10−6

a apsolutni uslovni brojevi:∣∣∣∣∂y1

∂x1

∣∣∣∣= 3.7 ·106∣∣∣∣∂y2

∂x1

∣∣∣∣= 106∣∣∣∣∂y1

∂x2

∣∣∣∣= 1.7 ·106∣∣∣∣∂y2

∂x2

∣∣∣∣= 106

Velike vrednosti uslovnih brojeva su u skladu sa uocenom lošom uslovljenošcuproblema, a one su ocigledno posledica male vrednosti determinante sistema (si-stem blizak neodredenom). Tako je jedan od pokazatelja loše uslovljenosti sagla-snih odredenih sistema linearnih jednacina, mala vrednost determinante sistema.

Racunski proces u prethodnom primeru sadrži ”opasnu” operaciju oduzimanjabliskih brojeva (izracunavanje determinanata) i ocigledno je ona uslovila njegovunestabilnost. Uopšte, na osnovu analize u poglavlju (1.7) može se konstatovatida racunski postupci koji ukljucuju operacije oduzimanja bliskih brojeva supotencijalno nestabilni.


ZADACI

1.1 U sledecim približnim vrednostima sve znacajne cifre su i sigurne: 101.34,0.00246, 7200, 7.35·10−5, 5.045·1015. Odrediti granice apsolutnih grešaka tihvrednosti.

1.2 Kriticne temperature, Tc supstanci su u bankama podataka date najcešcesa preciznošcu od 1 decimale. Ako se pretpostavi da su sve cifre u tim vredno-stima sigurne ,a) Kolika je granica apsolutne greške tih podataka ?b) Proceniti granicu relativne greške Tc, za grupu supstanci cija je kriticna tem-peratura reda velicine 102( 102 6 Tc < 103)

c) Za kriticnu temperaturu etilena se u banci podataka nalazi vrednost 282.4oC.Odrediti granice u kojima leži tacna vrednost i odrediti preciznije granicu relativnegreške tog podatka.

1.3 Kriticni pritisci supstanci su u banci podataka dati sa tri znacajne cifre,koje su sigurne u širem smislu. Na osnovu procenjene zajednicke granice rela-tivne greške tih podataka, proceniti granice u kojima leži tacna vrednost kriticnogpritiska benzola, za koga nalazimo podatak pc = 8.90 bar i toa) U barimab) U mm Hg stuba (1 bar = 750 mmHg)c) Odrediti uži interval u kome leži tacna vrednost pcbenzola

1.4 Gustina neke supstance je ρ = 46.9lb/

f t3. Treba odrediti njenu vrednostu SI sistemu, ako su dati konverzioni faktori 1lb = 0.45359kg, 1ft = 0.3048m. Uskladu sa pravilima racunanja sa približnim brojevima,a) koje vrednosti konverzionih faktora se koriste u proracunub) koja je tražena vrednost gustine.

1.5 Vrednosti parametara u Antoanovoj jednacini:

ln p0 = A− BC+T

za napon pare, p0 (bar) akroleina, u temperaturnom intervalu 235K 6 T 6 360KsuA = 9.286, B = 2607, C = −45, pri cemu su sve date cifre sigurne (u užemsmislu). Uz pretpostavku da Antoanov model korektno opisuje promenu naponapare akroleina sa temperaturom, proceniti granicu relativne greške sa kojom sedobija napon pare akroleina na T = 350K i prikazati njegovu vrednost samo sasigurnim ciframa.

1.6 Entalpija isparavanja neke organske supstance na temperaturi T(K) možese proceniti pomocu Vatsonove jednacine:


∆Hv = ∆Hb

(1−θ1−θb

)0.38

gde je ∆Hbentalpija isparavanja na normalnoj temperaturi kljucanja :

∆Hb = 1.093RTbln(pc

/1.013)

0.930−θb

gde su :

θ = T/

Tc , θb = Tb/

TcTb−normalna temperatura kljucanja (K)Tc, pc−kriticna temperatura,(K) i pritisak (bar)

a) Izvesti sledeci izraz za granicu relativne greške entalpije isparavanja, koja po-tice od grešaka polaznih podataka :

R∆Hv = R∆Hb +0.38[

θ +θb

(1−θ)(1−θb)RTc +

θb

1−θbRTb

]gde je,

R∆Hb =1

ln( pc

1.013

)Rpc +0.930

0.930−θbRTb +

θb

0.930−θbRTc

b) Treba proceniti maksimalnu relativnu grešku, u rezultatima primene metode,koja potice od grešaka u polaznim podacima, imajuci u vidu sledece granice ukojima se mogu kretati podaci:

10 6 pc 6 100, 0.5 6 θb 6 0.85, 0.4 6 θ 6 0.95

Pri tom, temperatura kljucanja i kriticna temperatura su date sa 4, a kriticnipritisak sa tri sigurne cifre. Greška kog od tri podatka ima dominantan uticaj nagrešku rezultata ?

1.7 Primenjujuci princip jednakih uticaja, odrediti sa kojom tacnošcu trebaizmeriti precnik osnove valjka, sa približnim vrednostima precnika osnove, divisine h: d = 20cm h = 100 cm, da bi zapremine valjka, V bila odredena sa trisigurne cifre u širem smislu.

1.8 Sa kojom granicom relativne greške treba izmeriti dužinu a, širinu b, visinuc i masu m paralelopipeda da bi se gustina materijala od koga je sacinjen odredilasa granicom relativne greške 2% ?

1.9 Primenjujuci princip jednakih uticaja, odrediti sa kojim granicama apso-lutnih grešaka i kojim brojem sigurnih cifara moraju biti poznate vrednosti pa-rametara A– C u Antoanovoj jednacini (zadatak 1.5), da bi maksimalna greškaprocenjivanja napona pare akroleina u datom intervalu temperatura bila 1%.


1.10 Za gasnu smešu etan-butan sa 42.8% molskih etana, na T = 1200C i p =16.8bar parametri A i B u SRK jednacini stanja imaju vrednosti A = 0.1550 i B =0.05482. Koeficijent stišljivosti smeše, z se uz pomoc te jednacine stanja dobijakao najveci realan koren kubne jednacine:

z3− z2 +(A−B−B2)z−AB = 0

Za date podatke, rešenje jednacine je z = 0.9025a) Proceniti granicu apsolutne greške u dobijenoj vrednosti z koja potice od gre-šaka parametara A i B, ako su sve cifre u vrednostima parametara sigurne u užemsmislu.b) Proceniti koliko najmanje sigurnih cifara u širem smislu moraju da imaju vred-nosti parametara da bi z bilo izracunato sa 3 sigurne cifre u širem smislu.

Glava 2Interpolacija

Zadatak interpolacije

Neka su u tackama xi, i = 0,1,2, ...n, koje su poredane u rastucem redosleduzadate vrednosti neke funkcije, yi = f (xi) , i = 0,1,2, ...n, odnosno uredenatabela:

i 0 1 ... n

x x0 x1 xny = f (x) y0 y1 yn

Treba naci polinom Pn(x),

Pn(x) = a0 +a1x+a2x2 + ...+anxn

koji aproksimira funkciju f (x) ( f (x) ≈ Pn(x)) na intervalu x ∈[x0,xn], tako da utackama xi, i = 0,1,2, . . . ,n ima jednake vrednosti sa njom:

Pn(xi) = f (xi), i = 0,1, ...,n (2.1)

50 Interpolacija

|Rn(x)|

Pn(x)

f(x)

Pn(x)

f(x)

x0 x1 x xn x2 xn-1 x

Slika 2.1: Funkcija i njen interpolacioni polinom

Tacke xi, i = 0,1,2, . . . ,n se nazivaju cvorovi interpolacije.Interpolacioni polinom neke funkcije, koristi se, za procenjivanje vrednosti

funkcije u tackama x = xi , x∈ (x0, xn), što zovemo interpolacija. Ako je zadatavrednost nezavisno promenljive izvan intervala interpolacije (x < x0 ili x > xn),takvo procenjivanje vrednosti funkcije se zove ekstrapolacija. Ekstrapolacijutreba izbegavati, jer je u opštem slucaju pracena velikim greškama (odstupanjaprocene od tacne vrednosti funkcije).

Interpolacioni polinom takode može da zameni funkciju radi njenog pribli-žnog diferenciranja ili integracije.

TEOREMA 2.1 Ako su interpolacioni cvorovi indexinterpolacija!cvorovixi, i =0,1,. . . , n medu sobom razliciti, tada postoji jedan i samo jedan polinom stepenane veceg od n, koji zadovoljava uslov (2.1 ).

Iz (2.1) sledi sledeci sistem od (n + 1) jednacine, sa istim brojem nepoznatihai, i = 0,1, . . . ,n:

a0 +a1x0 +a2x20 + . . .+anxn

0 = y0

a0 +a1x1 +a2x21 + . . .+anxn

1 = y1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a0 +a1xn +a2x2n + . . .+anxn

n = yn

(2.2)

2.1 LAGRANŽOV INTERPOLACIONI POLINOM 51

Determinanta sistema -Vandermondova determinanta je:

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x0 x2

0 . . . xn0

1 x1 x21 . . . xn

1... .... ... . . . ....1 xn x2

n . . . xnn

∣∣∣∣∣∣∣∣ =n

∏i=1j< i

(xi− x j)

Pošto je za xi = x j (i = j), D = 0 sistem ima jedinstveno rešenje.Rešavanje sistema (2.2) za vece vrednosti n nije prakticno (ako su interpolaci-

oni cvorovi bliski D→ 0 i sistem je loše uslovljen).

2.1 LAGRANZOV INTERPOLACIONI POLINOMLagranžov (Lagrange) interpolacioni polinom n - tog stepena (LIP) se traži u

obliku,

Pn(x) =n

∑j=0

L j(x)y j (2.3)

gde su L j(x), j = 0,1,. . . ,n polinomi stepena n i zovu se Lagranžovi koeficijenti.Lagranžov koeficijent mora da zadovolji uslove:

L j(xi) = δi j =

{1 za i = j0 za i = j

Radi ispunjenja drugog uslova, tražimo ga u obliku:

L j(x) =C j(x− x0)(x− x1) . . .(x− x j−1)(x− x j+1) . . .(x− xn) =C j

n

∏i=0i = j

(x− xi)

gde koeficijent C j odredujemo tako da se zadovolji prvi uslov:

L j(x j) = 1 ⇒ C j =1

n∏

i=0i = j

(x j− xi)

Dakle,

L j(x) =

n∏

i=0i = j

(x− xi)

n∏

i=0i = j

(x j− xi)(2.4)

52 Interpolacija

Ako uvedemo funkciju:

∏n+1(x) =n

∏i=0

(x− xi)

koja je ocigledno polinom (n+1) stepena, Lagranžov koeficijent može da se pri-kaže u obliku:

L j(x) =∏ n+1(x)

(x− x j) ∏ ′n+1(x j)

(2.5)

Zaista,

∏ ′n+1(x) =

n

∑k=0

(x− x0) . . . (x− xk−1)(x− xk+1) . . . (x− xn)

=n

∑k=0

n

∏i=0i=k

(x− xi)

∏ ′n+1(x j) =

n

∏i=0i = j

(x j− xi)

i xi yi

0 0 -0.51 0.1 02 0.3 0.23 0.5 1

Primer 2.1.y(0.2) = ?

y(x)≈ P3(x) = L0(x)y0 +L1(x)↗ 0y1 +L2(x)y2 +L3(x)y3

2.2 PROCENA GREŠKE INTERPOLACIJE 53

L0(x) =(x− x1)(x− x2)(x− x3)

(x0− x1)(x0− x2)(x0− x3); L0(0.2) =

(0.2−0.1)(0.2−0.3)(0.2−0.5)(0−0.1)(0−0.3)(0−0.5)

=−0.2

L2(x) =(x− x0)(x− x1)(x− x3)

(x2− x0)(x2− x1)(x2− x3); L2(0.2) =

(0.2−0)(0.2−0.1)(0.2−0.5)(0.3−0)(0.3−0.1)(0.3−0.5)

= 0.5

L3(x) =(x− x0)(x− x1)(x− x2)

(x3− x0)(x3− x1)(x3− x2); L3(0.2) =

(0.2−0)(0.2−0.1)(0.2−0.3)(0.5−0)(0.5−0.1)(0.5−0.3)

=−0.05

y(0.2) ≈ P3(0.2) = -0.2 (-0.5) +0.5·0.2- 0.05·1 = 0.15

2.2 PROCENA GRESKE INTERPOLACIJEGreška interpolacije funkcije f (x) polinomom Pn(x) predstavlja razliku (vidi

Sliku 2):Rn (x) = f (x)−Pn (x) (2.6)

Podsetimo se da je greška Rn(x), Tajlorovog polinoma n - tog stepena, kojiprolazi kroz tacku (x0, f (x0)) i aproksimira funkciju f (x) u okolini tacke x0,

f (x)= f (x0)+(x− x0) f ′ (x0)+(x− x0)2 f ′′ (x0)

2!+...+(x− x0)

n f (n) (x0)

n!+Rn (x)

jednaka:

Rn (x) = (x− x0)n+1 f (n+1) (ξ )

(n+1)!, ξ ∈ (x0,x)

Za grešku interpolacionog polinoma, provucenog kroz cvorove xi, i = 0,1, ...,n, se može izvesti analogna formula:

Rn (x) = (x− x0)(x− x1) · · · (x− xn)f (n+1) (ξ )(n+1)!

, ξ ∈ (x0,xn)

ili:

Rn(x) =∏n+1 (x)(n+1)!

f (n+1)(ξ ) , ξ ∈ (x0,xn) (2.7)

Primetimo da se izraz za grešku Tajlorovog polinoma, koji sa funkcijom imasamo jednu zajednicku tacku (sa apscisom x0), dobija se iz izraza (2.7) pri uslovu:

54 Interpolacija

xi = x0, i = 1,2, . . . ,n. Kao granicu apsolutne greške interpolacije u tacki xuzimamo:

|Rn(x)|6|∏n+1 (x)|(n+1)!

Mn+1 (2.8)

gde je:

Mn+1 = maxx∈[x0,xn]

∣∣∣ f (n+1)(x)∣∣∣ (2.9)

Zadatak 2.1. Za funkciju f (x) = sin(πx) formirati LIP sa cvorovima in-terpolacije: 0, 1/6, 1/2. Pomocu polinoma proceniti vrednost sin(π/3) i greškuprocene.

Rešenje:

x 0 1/6 1/2f (x) 0 1/2 1

sin (πx)≈ P2(x) = L0(x)y0 +L1(x)y1 + L2(x)y2

P2(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0− x1)(x0− x2)y0 +

(x− x0)(x− x2)

(x1− x0)(x1− x2)y1 +

(x− x0)(x− x1)

(x2− x0)(x2− x1)y2

=(x− x0)(x− x2)

(x1− x0)(x1− x2)y1 +

(x− x0)(x− x1)

(x2− x0)(x2− x1)y2

P2(x) =x(x− 1

2

)16

(16 −

12

) · 12+

x(x− 1

6

)12

(12 −

16

) ·1 =−3x2 +72

x

sin(π/3)≈ P2(1/3) =−319+

72

13= 0.8333

Procenjivanje greške pomocu formule (2.9) sa n = 2:

f ′(x) = π cos(π x) , f ′′(x) =−π2 sin(π x) , f ′′′(x) =−π3 cos(π x)

M3 = maxx∈[0, 1

2 ]

∣∣ f ′′′ (x)∣∣ = maxx∈[0, 1

2 ]

∣∣π3 cos(π x)∣∣ = π3

|R2(x)|6|∏3 (x)|

3!M3

R2(

13

)=

∣∣13

(13 −

16

) (13 −

12

)∣∣6

π3 =π3

3 ·63 = 0.04785 < 0.5 ·10−1

2.3 KONACNE RAZLIKE 55

Dakle u proceni vrednosti sin(π/3)≈0.8333, sigurna je samo jedna cifra, pakao konacan rezultat pišemo: sin(π/3) ≈0.8

Tacna vrednost greške je:

sin(π/3)−0.8333 =

√3

2−0.8333≈ 0.033 < 0.5 ·10−1

što se dobro slaže sa dobijenom procenom.

2.3 KONACNE RAZLIKEPretpostavimo da raspolažemo tabelom vrednosti funkcije y = f (x) u (n+1)

ekvidistantnih tacaka sa korakom h > 0:

xi = x0 + ih, i = 0,1, . . . ,n

Iz njih možemo da izracunamo konacne razlike unapred prvog reda:

∆yi = yi+1 − yi = ∆0 yi+1−∆0 yi , i = 0,1, . . . ,n−1

gde same vrednosti funkcije yi, i = 0,1, . . . ,n možemo posmatrati kao konacnerazlike nultog reda. Analogno, iz konacnih razlika prvog reda, kao njihove ko-nacne razlike, dobijamo konacne razlike 2. reda, itd. (uoci analogiju sa defini-cijom prvog i viših izvoda funkcije). Uopšte, možemo da definišemo konacnerazlike unapred k-tog reda (k = 0,1,. . . ,n):

∆kyi = ∆k−1 yi+1−∆k−1 yi , i = 0,1, . . . , n− k (k = 0,1, . . . ,n) (2.10)

Zapažamo da za datu tabelu, sa (n+ 1) vrsta, možemo da izracunamo (n-1)konacnu razliku 1. reda, (n− 2) konacne razlike 2. reda,. . . , 2 konacne razlike(n−1). reda i samo jednu konacnu razliku n-tog reda.

Primer 2.2.

i xi yi = ∆0yi ∆yi ∆2yi ∆3yi ∆4yi

0 0 5.485 -1.082 0.093 0.000 0.0021 50 4.403 -0.989 0.093 0.0022 100 3.414 -0.896 0.0953 150 2.518 -0.8014 200 1.717

Za istu tabelu se na sledeci nacin mogu definisati konacne razlike unazad:

56 Interpolacija

∇0yi = yi, i = 0,1, . . . ,n

∇1yi = yi− yi−1 = ∇0 yi−∇0 yi−1, i = 1,2, . . . ,n...

∇kyi = ∇k−1 yi−∇k−1 yi−1, i = k, . . . ,n (k = 2,3, . . . ,n)

(2.11)

Ocigledno je: indexkonacne razlike!unazad

∆yi = yi+1− yi = ∇yi+1

indexkonacne razlike!vezaUopšte, može se pokazati sledece veza izmedu konacnih razlika unapred i

unazad:∆kyi = ∇kyi+k, k = 0,1, . . . ,n i = 0,1, . . . ,n− k (2.12)

Primer 2.3.

Pune i isprekidane linije povezuju vrednosti funkcije sa njenim konacnim ra-zlikama unapred i unazad.

Procene vrednosti izvoda iz konacnih razlikaProcena prvog izvoda u tacki x0:

f ′ (x0)≈f (x1)− f (x0)

x1− x0=

∆y0

h=

∇y1

h

je, u skladu sa definicijom prvog izvoda, utoliko tacnija ukoliko je korak h manji!

TEOREMA 2.2 Ako je funkcija f (x) diferencijabilna u intervalu (x0,x1), ondapostoji (bar jedna) tacka ξ u tom intervalu, takva da je prvi izvod u toj tacki tacnojednak datoj proceni (Lagranžova teorema):

2.3 KONACNE RAZLIKE 57

f ′ (ξ ) =f (x1)− f (x0)

x1− x0=

∆y0

h=

∇y1

h, ξ ∈ (x0,x1)

f(x)

x xo ξ1 ξ2 x1

Slika 2.2:

Procenu drugog izvoda funkcije dobijamo iz vrednosti prvih izvoda na ana-logan nacin :

f ′′ (x0)≈f ′ (x1)− f ′ (x0)

x1− x0≈

∆y1h −

∆y0h

h=

∆2y0

h2 =∇2y2

h2

i uz to, postoji bar jedna tacka ξ , takva da je:

f ′′ (ξ ) =∆2y0

h2 , ξ ∈ (x0,x2)

Ako je funkcija f (x) polinom drugog stepena, drugi izvod kao i konacnerazlike drugog reda su konstantni, pa je gornja procena tacna:

∆2yi

h2 =∇2yi+2

h2 = f ′′ (xi) = const, i = 0,1, . . . ,n

Procena izvoda k – tog reda u nekom cvoru x j pomocu konacne razlike una-pred k- tog reda za tu tacku (može se dokazati matematickom indukcijom) je:

f (k)(x j)≈

∆ky j

hk =∇ky j+k

hk , k = 1,2, . . . (2.13)

i uz to:

f (k) (ξ ) =∆ky j

hk =∇ky j+k

hk , ξ ∈(x j,x j+k

)Ako je funkcija f (x) polinom m-tog stepena, konacne razlike m-tog reda su

konstantne, odnosno razlike (m+1) reda jednake nuli, a gornja procena tacna.

58 Interpolacija

2.4 PRVI I DRUGI NJUTNOV INTERPOLACIONI POLINOM

2.4.1 Prvi Njutnov interpolacioni polinomUvešcemo bezdimenzionu promenljivu (bezdimenziono rastojanje):

α =x− x0

h(2.14)

gde je h korak ekvidistantnih vrednosti nezavisno promenljive u tabeli: xi = x0 +ih, i = 0,1, . . . ,n. Možemo da kažemo da prvi interpolacioni cvor x0, igra ulogureferentnog ili startnog cvora. U cvorovima interpolacije xi, i = 0,1, . . . ,n, bez-dimenziona promenljiva uzima celobrojne vrednosti,

α (xi) = i, i = 0,1, . . . ,n

Imamo,

x− x0 = αhx− x1 = x− x0−h = αh−h = (α−1)h

i uopšte, matematickom indukcijom izvodimo,

x− xi = (α− i)h, i = 0,1, ...,n (2.15)

Može se izvesti sledeci interpolacioni polinom funkcije y = f (x), stepena neveceg od n, koji sa njom ima iste vrednosti u ekvidistantnim tackama , xi = x0 +ih, i = 0,1, . . . ,n,

Pn(x) =y0 +α∆y0 +α(α−1)∆2y0

2!+α(α−1)(α−2)

∆3y0

3!+ ...

+α(α−1)...[α− (n−1)]∆ny0

n!

(2.16)

koji se zove Njutnov interpolacioni polinom sa konacnim razlikama unapred,ili krace: prvi Njutnov interpolacioni polinom (NJIP1). Za grešku interpolacije(2.6) interpolacionim polinomom (2.16) n- tog stepena, polazeci od izraza (2.7) iuvodeci u njega novu bezdimenzionu promenljivu α pomocu (2.15), dobijamo:

Rn(α) = α(α−1)...(α−n)hn+1 f (n+1)(ξ )(n+1)!

, ξ ∈ (x0,xn) (2.17)

Iz tog izraza i procene (n+1)-vog izvoda funkcije iz konacne razlike unapred(n+1)-vog reda (vidi 2.9) dobijamo sledecu procenu granice apsolutne greškeinterpolacije:

Rn(α)6 |α(α−1)...(α−n)|(n+1)!

∣∣∆n+1y∣∣max (2.18)

2.5 PRAKTICNI ASPEKTI INTERPOLACIJE 59

gde je∣∣∆n+1y

∣∣maxapsolutna vrednost najvece (po apsolutnoj vrednosti) konacne

razlike funkcije, reda (n+1):∣∣∆n+1y∣∣max = max

x06x6xn∆n+1y (2.19)

Pošto zahteva konacne razlike reda (n + 1), granica greške interpolacije semože proceniti, samo ako tabela ima više od (n+ 1) vrednosti funkcije, ili akosmo kroz (m+1) cvor gde je m < n, provukli interpolacioni polinom stepena m,manjeg od n (u formulama, n zamenjujemo sa m).

2.4.2 Drugi Njutnov interpolacioni polinomAko umesto prvog, kao referentni ili startni cvor uzmemo poslednji interpo-

lacioni cvor u tabeli, dolazimo do bezdimenzione promenljive,

α =x− xn

h(2.20)

koja u startnom cvoru ima vrednost 0, a u ostalim negativne celobrojne vrednosti,

α (xi) =−n,−(n−1), . . . ,−2,−1,0 i = 0,1, . . . ,n

Interpolacioni polinom kroz cvorove xi = x0 + ih, i = 0,1, . . . ,n dobija se uobliku:

Pn(x) =yn +α∇yn +α(α +1)∇2yn

2!+α(α +1)(α +2)

∇3yn

3!+ . . .

+α(α +1) . . . [α +(n−1)]∇nyn

n!

(2.21)

koji se zove Njutnov interpolacioni polinom sa konacnim razlikama unazadili drugi Njutnov interpolacioni polinom (NJIP2).

Za granicu apsolutne greške interpolacije se izvodi izraz:

Rn(α)6 |α(α +1) . . .(α +n)|(n+1)!

∣∣∇n+1y∣∣max (2.22)

∣∣∇n+1y∣∣max = max

x06x6xn∇n+1y (2.23)

2.5 PRAKTICNI ASPEKTI INTERPOLACIJEU praksi, interpolacioni polinom se retko provlaci kroz sve tacke (xi, f (xi)) , i=

0,1, . . . ,n u tabeli. Umesto toga, bira se skup od (m+ 1), susedne tacke u tabeli(m < n) i kroz njih provlaci polinom m-tog stepena.

60 Interpolacija

2.5.1 Izbor stepena polinomaU slucaju ekvidistantnih interpolacionih cvorova, za izbor stepena polinoma

može da se koristi sledeci kriterijum, koji sledi iz medusobne veze konacnihrazlika i izvoda polinoma.

Ako su konacne razlike m - tog reda približno konstantne, tj. razlike reda(m+1) približno jednake nuli, znaci da se funkcija ponaša približno kao polinomm - tog stepena, pa se kao stepen interpolacionog polinoma bira m.

Ako iterpolacioni cvorovi nisu ekvidistantni, primenjuje se analogan kriteri-jum konstantnih podeljenih razlika, cije definisanje i primena nisu ukljuceni uovaj materijal.

2.5.2 Izbor cvorova interpolacijePošto je odabran stepen m interpolacionog polinoma, kako izabrati skup (m+

1) susednih interpolacionih cvorova xk,xk+1, . . . ,xk+m (0 6 k 6 n−m)? Apso-lutna vrednost proizvoda,

∏m+1 (x) =k+m

∏i=k

(x− xi)

definisanog cvorovima interpolacije, koji figuriše u izrazu za grešku interpolacije(2.7), ima minimum u centru intervala [xk,xk+m]. Zato, interpolacione cvorovetreba birati tako ta tacka x u kojoj racunamo vrednost funkcije pomocu njenoginterpolacionog polinoma bude što bliža sredini intervala [xk,xk+m].

xo

P2(x)

x1 x2 x

x7

Slika 2.3: Ilustracija izbora interpolacionih cvorova za kvadratni polinom

Kada su odabrani interpolacioni cvorovi xk,xk+1, ...,xk+m, radi formiranja in-terpolacionog polinoma treba pomeriti indekse u formuli za LIP, NJIP1 ili NJIP2


za k. Tako, ako koristimo NJIP1, startna tacka nije x0, vec xk i formula (2.21) semenja u:

Pm(x) =yk +α∆yk +α(α−1)∆2yk

2!+α(α−1)(α−2)

∆3yk

3!+ ...

+α(α−1)...[α− (m−1)]∆myk

m!

gde je,

α =x− xk

hFormule za formiranje LIP ce biti:

Pm(x) =k+m

∑j=k

L j(x)y j , L j(x) =

k+m∏

i=ki = j

(x− xi)

k+m∏

i=ki = j

(x j− xi)

Zadatak 2.2. Za funkciju datu tabelom u Primeru 2.2, proceniti vrednostfunkcije u tacki x = 175, koristeci:

a) NJIP1b) NJIP2c) Diskutovati grešku rezultata, ako su sve cifre u vrednostima funkcije si-

gurne.Rešenje:

a) Na osnovu vrednosti konacnih razlika u tabeli, biramo polinom 2. stepena.

P2(α) = y2 +α∆y2 +α(α−1)∆2y2

2, α =

x− x2

h=

175−10050

= 1.5

f (175)≈ P2(1.5) = 3.414+1.5(−0.896)+1.5(1.5−1)0.095

2= 2.106

b) Koristimo formulu za NJIP2 drugog stepena sa startnom tackom x4:

P2(α) = y4 +α∇y4 +α(α +1)∇2y4

2, α =

x− x4

h=

175−20050

=−0.5

f (175)≈ P2(1.5) = 1.717+(−0.5)(−0.801)+(−0.5)(−0.5+1)0.095

2= 2.106

c) Apsolutna greška rezultata je zbir dve greške:- greške koja potice od greške u vrednostima funkcije- greške interpolacije

62 Interpolacija

Ako primenimo prakticno pravilo za procenjivanje broja sigurnih cifara u re-zultatu složenog proracuna i uzmemo u obzir da se pri racunanju konacnih razlikagube sigurne cifre, možemo da procenimo da je rezultat dobijen sa 3 sigurne cifre.Tako je granica apsolutne greške, koja potice od grešaka u podacima:

Ay1 = 0.5 ·10−2

Granicu greške interpolacije dobijamo iz formule (2.18):

|R2(α)|6 |α(α−1)(α−2)|3!

∆3ymax

Ay2 = |R2(1.5)|6|1.5(1.5−1)(1.5−2)|

60.002 = 1.25 ·10−4

Vidimo da je ovde doprinos greške interpolacije Ay2 mnogo manji od dopri-nosa greške koja potice od grešaka polaznih podataka, Ay1, pa se može zanema-riti. To je rezultat dobre aproksimacije funkcije, koja se u datom intervalu vred-nosti nezavisno promenljive ponaša približno kao kvadratni polinom (konacne ra-zlike 2. reda približno konstantne).

Na osnovu diskusije u prethodnom zadatku možemo izvesti prakticna pra-vila:- pri interpolaciji u tabelama sa podacima relativno male tacnosti (npr. ekspe-rimentalni podaci) rezultat treba prikazati sa onoliko znacajnih cifara kolikoimaju tabelarne vrednosti funkcije.- ako je broj sigurnih cifara u tabelarnim vrednostima funkcije jednak s, brojsigurnih cifara u dobijenoj proceni funkcije je isti ili za jedan manji (s−1), podpretpostavkom da je korektno izvršen izbor i stepena interpolacionog polinomai interpolacionih cvorova.

2.5.3 Uticaj povecanja stepena IP na gresku interpolacijeAko funkciju ne aproksimira dobro nijedan IP (ne uocavamo konacne razlike,

koje su približno konstantne), postavlja se pitanje da li greška interpolacije opadasa povecanjem stepena IP. U izrazu za grešku interpolacije (2.7) prvi faktor,

∏n+1(x) =n

∏i=0

(x− xi)

po apsolutnoj vrednosti monotono raste sa povecanjem stepena IP, dok je za drugifaktor,

f (n+1)(ξ )(n+1)!

, ξ ∈ (x0,xn)


uoceno da, za veliki broj funkcija, njegova apsolutna vrednost prvo opada, a ondapocinje da raste (brojioc brže raste po apsolutnoj vrednosti od imenioca). Tako ap-solutna greška interpolacije ima minimum za neki stepen IP, koji je sa gledištagreške interpolacije, optimalan.

Ako, radi minimizacije greške interpolacije, sa fiksnim startnim cvorom, po-vecavamo stepen IP,

Njutnovi IP imaju prednost (ako su primenljivi) nad LIP, jer se pri prelazusa NJIP stepena m na polinom stepena (m+ 1) racuna samo dodatni clan reda(m+1), dok se za LIP moraju ponovo racunati svi Lagranžovi koeficijenti.

Ako je startna tacka pri vrhu tabele sa ekvidistantnim vrednostima x, NJIP1ima prednost nad NJIP2 jer imamo na raspolaganju konacne razlike unapred višihredova.

Ako je startna tacka pri dnu tabele sa ekvidistantnim vrednostima x, NJIP2ima prednost nad NJIP1 jer imamo na raspolaganju konacne razlike unazad višihredova.

Tabelarne vrednosti, cesto, narocito ako su dobijene eksperimentalnim pu-tem date imaju mali broj sigurnih cifara. Zbog toga, za konacne razlike vi-sokih redova, zbog ponavljanog izvodenja nestabilne operacije oduzimanja bli-skih brojeva tj. gubljenja znacajnih cifara, dobijaju se potpuno nepouzdane ilibesmislene vrednosti. Tako se u prakticnim problemima najcešce biraju inter-polacioni polinomi niskog stepena, najviše treceg .

Zadatak 2.3. U tabeli 2.1 date su eksperimentalne vrednosti viskozitetaη(Ns/m2) tecnog etilacetata u funkciji temperature (0C). Proceniti viskozitet na:(a) t = 800C ,

(b) t = 1600C

Uporediti ih sa eksperimentalnim vrednostima 0.250×10−3 i 0.125×10−3

Rešenje:

a) x = 80

Linearna interpolacija, m = 1. Izbor cvorova: x1, x2

α =x− x1

h=

80−6040

= 0.5

y(1) = y1 +α∆y1 = 308+0.5(−96) = 260

64 Interpolacija

i x = t y = η ·106 konacne razlike

0 20 477-169

1 60 308 73-96 -40

2 100 212 33 25-63 -15

3 140 149 18-45

4 180 104

Tabela 2.1:

Kvadratna interpolacija, m = 2: Izbor cvorova: x0, x1, x2

α =x− x0

h= 1.5

y(2)I = y0 +α∆y0 +α (α−1)∆2y0

2

= 477+1.5(−169)+1.5(1.5−1)732

y(2)I = 250.9

Izbor cvorova: x1, x2, x3

α =x− x1

h=

80−6040

= 0.5

y(2)II = y(1)+α (α−1)∆2y1

2= 260+0.5(0.5−1)

332

y(2)II = 255.9

Komentar: dobijene vrednosti kvadratnom interpolacijom y(2)I i y(2)II se znatnomedusobno razlikuju, zbog znacajnog odstupanja funkcije od polinoma 2. ste-pena. (izražene varijacije konacnih razlika 2.reda)


Kubna interpolacija, m = 3. Izbor cvorova: x0, x1, x2, x3

α = 1.5

y(3) = y(2)I +α (α−1)(α−2)∆3y0

3!︸︷︷︸dodatni clan

= 250.9+1.5(1.5−1)(1.5−2)−40

6y(3) = 253.4

Polinom 4. stepena, m = 4

α = 1.5

y(4) = y(3)+α (α−1)(α−2)(α−3)∆4y0

4!

y(4) = 253.4+1.5(1.5−1)(1.5−2)(1.5−3)2524

y(4) = 254.0

Zapažanja:- najbolja procena je dobijena kvadratnom interpolacijom, sa izborom interpo-

lacionih cvorova: x0,x1,x2.- kubna interpolacija je dala bolju procenu od interpolacije polinomom 4. ste-

pena.x =160. Pošto je startna tacka pri dnu tabele, koristimo NJIP2.Kvadratna interpolacija, izbor cvorova: x4,x3,x2

α =x− x4

h=

160−18040

=−0.5

y(2) = y4 +α∇y4 +α (α +1)∇2y4

2

= 104+(−0.5)(−45)+(−0.5)(−0.5+1)182

y(2) = 124.3

Kubna interpolacija, dodatni cvor, x1:

y(3) = y(2)+α (α +1)(α +2)∇3y4

3!

y(3) = 124.3+(−0.5)(−0.5+1)(−0.5+2)−15

6y(3) = 125.2

66 Interpolacija

Polinom 4. stepena, dodatni cvor x0:

y(4) = y(3)+α (α +1)(α +2)(α +3)∇4y4

4!

y(4) = 125.2+(−0.5)(−0.5+1)(−0.5+2)(−0.5+3)2524

y(4) = 124.2

Zapažanje: Najbolju procenu dala je kubna interpolacija.Zapaža se brza promena viskoziteta sa promenom temperature, i sporo opa-

danje vrednosti izvoda pri povišenju reda izvoda, što može da ukaže na funkcijublisku eksponencijalnoj:

y≈ aebx

Zato cemo logaritmovanjem preci na funkciju lny koja bi, ako je zapažanjetacno, trebalo da se ponaša blisko linearnoj:

lny≈ lna+bt

x = t y = ln(η ·106) ∆y ∆2y ∆3y ∆4y

20 6.168 -0.438 0.065 -0.045 0.03260 5.730 -0.373 0.020 -0.013

100 5.357 -0.353 0.070140 5.004 -0.360180 4.644

Pošto najmanje variraju konacne razlike prvog reda, primenjujemo linearnuinterpolaciju:a) x = 80, cvorovi x1, x2

α =x− x1

h=

80−6040

= 0.5

y = y1 +α∆y1 = 5.730+0.5(−0.373) = 5.544

y(1) = ey = e5.544 = 255.7

b) x = 160, cvorovi x3, x4

α =x− x3

h=

160−14040

= 0.5

y = y3 +α∆y3 = 5.004+0.5(−0.360) = 4.824

y(1) = ey = e4.824 = 124.5

2.6 PISVAJZ I SPLAJN INTERPOLACIJA 67

Komentar: Jednostavnom, linearnom interpolacijom u tabeli transformisanih vred-nosti funkcije dobijena je procena približno istog kvaliteta kao pri interpolacijipolinomima višeg reda u originalnoj tabeli.

2.6 PISVAJZ I SPLAJN INTERPOLACIJA

Kao što smo u prethodnom poglavlju zapazili, funkciju zadatu tabelom: (xi, f (xi)),i = 0,1, . . . ,n nije prakticno aproksimirati na celom intervalu [x0,xn] jednim in-terepolacionim polinomom stepena n, izuzimajuci male tabele (n 6 3). Tako senamece ideja da se interval [x0,xn]podeli na više podintervala, koji po pravilune obuhvataju više od 4 tacke (u skladu sa zakljuckom na kraju pretrhodnog po-glavlja) i na svakom od njih funkcija aproksimira interpolacionim polinomomniskog stepena. Takva interpolacija, sa razlicitim interpolacionim polinomima upojedinim podintervalima, zove se pisvajz (piecewise) interpolacija. U svakoj odtacaka koje su zajednicke za dva susedna podintervala, dva razlicita “susedna”interpolaciona polinoma imaju jednake vrednosti, ali prvi izvod u toj tacki nijeneprekidan, jer ima jednu vrednost sa leve strane, a drugu sa desne strane te tacke.Rezultat je da kriva, sastavljena na intervalu [x0,xn] od delova razlicitih polinoma,nije glatka. To je nedostatak ovakve interpolacije, narocito ako rezultujuca krivatreba da posluži za približno izracunavanje izvoda date funkcije.

Da bi kriva sastavljena iz odsecaka više interpolacionih polinoma, dobije-nih pisvajz interpolacijom bila glatka, neophodno je dodati uslov kontinuitetaprvog izvoda, a poželjna bi bila i neprekidnost viših izvoda, narocito u proble-mima procenjivanja viših izvoda tabelom zadate funkcije. Takva interpolacija,kod koje kriva dobijena pisvajz interpolacijom na intervalu [x0,xn]ima nepre-kidne izvode do nekog reda (najmanje prvog) zove se splajn (spline) interpo-lacija. Funkcija sastavljena iz iterpolacionih polinoma istog stepena m, zapojedine podintervale intervala [x0,xn], koja zadovoljava uslov kontinuiteta iz-voda do nekog reda, zove se splajn stepena m. Ako je m = 3, u pitanju je kubnisplajn.

2.6.1 Kubni splajn

U slucaju kubnog splajna, kroz svaka dva susedna interpolaciona cvora odukupno (n+ 1) cvorova na intervalu [x0,xn], provlaci se polinom 3. stepena. Dabi se splajn definisao, neophodno je dakle odrediti ukupno 4n koeficijenata, zaukupno n kubnih interpolacionih polinoma na intervalu[x0,xn]. Uslovi za odredi-vanje tih koeficijenata su :

68 Interpolacija

Uslovi: Ukupanbroj:

1. U svakom od (n-1) unutrašnjih cvorova, xi, i = 1, ...,n−1, dva“susedna” polinoma imaju vrednost jednaku vrednosti funk-cije: f (xi)

2(n-1)

2. U svakom od (n-1) unutrašnjih cvorova, prvi i drugi izvodi “su-sednih” polinoma imaju jednake vrednosti.

2(n-1)

3. Splajn prolazi i kroz prvi i poslednji cvor: x0, xn 2

Ukupno uslova: 4n-2

Nedostaje još 2 uslova i to su uslovi na granicama intervala [x0,xn]. U li-teraturi se srecu razliciti granicni uslovi, kojima se postiže da splajn ima odre-dene osobine na granicama. U Mathcad-u postoje tri funkcije: lspline, pspline icspline, koje generišu kubni splajn za datu tabelu pri cemu se splajn dobijen,

lspline funkcijom ponaša linearno,pspline funkcijom ponaša kao kvadratni polinom,cspline funkcijom ponaša kao kubni polinomna granicama itervala, odnosno ekstrapoliše se linearno, kvadratno ili kubno,

izvan intervala [x0,xn].

2.7 INVERZNA INTERPOLACIJA

Zadatak 2.4. Na osnovu tabele vrednosti funkcije (xi, f (xi)) , i = 0,1, ...,nproceniti vrednost argumenta x, za koju funkcija dobija zadatu vrednost, y.

Kao što znamo iz matematicke analize, zadatak interpolacije je jednoznacnorešiv samo ako je funkcija f (x) u nekom intervalu oko tacke x, monotona (u tomintervalu ima inverznu funkciju x= f−1 (y)). Taj interval mora biti dovoljno velikida sadrži bar dva interpolaciona cvora (neophodna za najgrublju aproksimacijufunkcije, interpolacionim polinomom 1. stepena). Pretpostavimo da je funkcijamonotona na celom intervalu [x0,xn].

Inverzna interpolacija pomocu LIPInverznu fukciju x = f−1 (y) aproksimiramo LIP - om, odabranog stepena m,

pri cemu se interpolacioni cvorovi yk,yk+1, ...,yk+m biraju tako da zadata vrednosty leži što bliže sredini izmedu prvog i poslednjeg cvora. Drugim recima, promen-ljive menjaju uloge i vršimo interpolaciju u tabeli (yi,xi) , i = 0, ...,n:

2.7 INVERZNA INTERPOLACIJA 69

x = Pm(y) =k+m

∑j=k

L j(y)x j , L j(y) =

k+m∏

i=ki = j

(y− yi)

k+m∏

i=ki = j

(y j− yi)

(2.24)

Zadatak 2.5. Proceniti nulu tabelarno zadate funkcije,

i xi yi

0 0.45 -24.52

1 0.46 -15.342 0.47 -6.253 0.48 2.754 0.49 11.675 0.50 20.50

Rešenje:Inverznu funkciju cemo da aproksimiramo kubnim polinomom. Pošto nula

leži izmedu x2 i x3, kao interpolacione cvorove biramo: y1, y2, y3, y4

L1(y) =(0+6.25)(0−2.75)(0−11.67)

(−15.34+6.25)(−15.34−2.75)(−15.34−11.67)=−0.045160

L2(y) = 0.33580, L3(y) = 0.77042, L4(y) =−0.061068

x =4

∑j=1

L jx j =−0.045160 ·0.46+0.33580 ·0.47+

+0.77042 ·0.48−0.061068 ·0.49 = 0.4769

Inverzna interpolacija pomocu NJIPAko su vrednosti x u tabeli ekvidistantne, funkciju zamenjujemo interpolacio-

nim polinomom odabranog stepena m, koji prolazi kroz cvorove xk,xk+1, . . . ,xk+m,odabrane tako da zadata vrednost funkcije y leži u blizini centra intervala [yk,yk+m].Tako, rešavamo jednacinu

yk +α∆yk +α(α−1)∆2yk

2!+ ..+α(α−1)...[α− (m−1)]

∆myk

m!= y (2.25)

po α , a onda iz dobijene vrednosti α dobijamo traženu vrednost x kao:

x = xk +αh (2.26)

Problem, za stepene polinoma vece od 2, zahteva iterativno rešavanje nelinearnejednacine (2.25).

70 Interpolacija

ZADACI

2.1 Naci polinom koji prolazi kroz tacke (0,-5), (1,1) i (3,25).2.2 Tacne vrednosti funkcije y = f (x) date su u tabeli:

x 0 1 2 3 4y -5 1 9 25 55

Formirati tabelu konacnih razlika unapred.Koristeci formiranu tabelu, naci ∇y2, ∇2y1, ∇3y3Šta se na osnovu konacnih razlika može zakljuciti o funkciji?Formirati NJIP1 3. stepena za interpolaciju u tabeli i proceniti f (3.5).Kolika je greška dobijene procene ?Proceniti nulu funkcije koristeci LIP 1., 2., 3. i 4. stepena i uporediti rezultate

sa vrednošcu nule: 0.8293 u kojoj su sve cifre sigurne.2.3 Koristeci LIP 3. stepena, proceniti vrednosti funkcije date tabelom:

x 1 3 6 7 10 12 13f (x) 7 3.5 3.2 3.9 8.2 9.0 9.2

u tackama: x = 2,4,5,8,9,112.4 Data je tabela cp(kJ/kgK) vrednosti acetilena, na normalnom pritisku, u

funkciji temperature T (K):

T (K) 300 400 500 600 700 800cp(kJ/kgK) 1.594 1.780 1.951 2.097 2.222 2.331

a) Odabrati stepen intepolacionog polinoma za interpolaciju u datoj tabeli.b) Proceniti cp na temperaturama 520 i 580K, pomocu NJIP1 odabranog stepena,kao i greške interpolacije.c) Na osnovu procenjenih grešaka interpolacije i tacnosti polaznih podataka, pro-ceniti ukupnu grešku i odabrati broj decimala u prikazu rezultata.

2.5 Dati su naponi pare p(bar) etana na razlicitim temperaturama T (K):

T 190 200 210 220 230 240 250 260p 1.347 2.174 3.340 4.921 7.002 9.675 13.02 17.12

a) Odabrati stepen intepolacionog polinoma za interpolaciju u datoj tabeli.b) Proceniti napon pare na temperaturama 205K i 236K, pomocu NJIP1 odabra-nog stepena, kao i greške interpolacije.

2.7 INVERZNA INTERPOLACIJA 71

c) Na osnovu procenjenih grešaka interpolacije i tacnosti polaznih podataka, pro-ceniti ukupnu grešku i odabrati broj decimala u prikazu rezultata i odabrati brojdecimala u prikazu rezultata.

2.6 Date su eksperimentalno odredene konstante brzine reakcije dobijanja metil-etiletra iz alkohola:

t(0C) 0 6 12 18 24 30k ·105 lit/mol · s 5.6 11.8 24.5 48.8 100 208

a) Odabrati stepen interpolacionog polinoma pomocu koga dobijamo vrednosti kza temperature u intervalu (0,300C), koje nisu sadržane u tabeli.b) Imajuci u vidi teorijsku relaciju (Arenijusov zakon),

k = k0e−E

RT

gde je T - apsolutna temperatura (K)predložiti transformaciju promenljivih T i k u nove promenljive, koja omogucujekorišcenje linearne interpolacije u novoj tabeli (umesto interpolacije polinomomvišeg stepena u originalnoj tabeli).c) Proceniti vrednosti k za temperature t= 10, 200Cinterpolacijom u originalnojtabeli (a) i tabeli transformisanih vrednosti (b) i uporediti procene.

2.7 Dati su naponi para (p) n-heptana, na temperaturama ispod temperaturekljucanja. Sve date cifre u vrednostima napona pare su sigurne u širem smislu.

t (0C): 10 30 50 70 90p(mmHg): 20.58 58.37 141.62 303.63 589.37

a) Odabrati stepen interpolacionog polinoma za interpolaciju u datoj tabeli.b) Proceniti napon pare heptana na temperaturama 400C i 800C, pomocu NJIP1odabranog stepena, kao i greške interpolacije. Na osnovu procenjenih grešakainterpolacije i tacnosti polaznih podataka, proceniti grešku procena i odabrati brojdecimala u prikazu rezultata.c) Imajuci u vidu da u oblasti nižih temperatura približno važi sledeca teorijskarelacija (Klauzijuova jednacina):

ln p = A−B/

T

gde je T - apsolutna temperatura (K) .transformisati na pogodan nacin originalne podatke, tako da se u novoj tabeli možesa dovoljnom pouzdanošcu koristiti linearna interpolacija. Linearnom interpola-cijom u novoj tabeli proceniti napone para heptana na 400C i 800C .d) Proceniti napone para na 400C i 800C kvadratnom interpolacijom u tabeli trans-formisanih vrednosti, formiranoj u c).

72 Interpolacija

e) Uzimajuci u obzir eksperimentalne vrednosti napona pare heptana (iste tacnosti,kao one u tabeli):

p(400C

)= 92.50 mmHg, p

(800C

)= 427.78 mmHg

uporediti i diskutovati rezultate dobijene u b), c) i d).2.8 Dati si viskoziteti, η (Pa·s) hlorobenzola na razlicitim temperaturama, iz-

mereni sa granicom relativne greške Rη = 0.1% :

t( 0C ): 40 60 80 100 120η×104(Pa · s): 6.40 5.21 4.35 3.70 3.21

a) Odabrati stepen interpolacionog polinoma i pomocu njega proceniti viskozitethlorbenzola na temperaturi 73 0C i granicu apsolutne greske interpolacije.b) Proceniti traženi viskozitet linearnom interpolacijom u tabeli t- lnηc) Pokazati da se kao granica relativne greške R∗ u vrednosti viskoziteta, dobijenojpomocu linearne interpolacije u tabeli t - lnη , koja potice od grešaka u vredno-stima viskoziteta može uzeti:

R∗ =(

1+2t− t1

∆t

)Rη

t – temperatura za koju se vrši interpolacijat1 – niža od dve temperature u tabeli, izmedu kojih leži temperatura t∆t - korak vrednosti temperatura u tabeliPretpostaviti pri tom da su vrednosti temperatura potpuno tacne.

d) Proceniti ukupnu grešku u vrednosti viskoziteta dobijenoj u b) i odrediti graniceu kojima leži tacna vrednost.

2.9 Dat je deo rezultata merenja koncentracije penicilina u šaržnom reaktoruu toku vremena , koji pokazuje da koncentracija penicilina kao funkcija vremena,c = f (t) ima maksimum:

t, h 100 120 140 160 180 200c, jedinica/mol 860 943 1095 1028 962 940

Potrebno je proceniti vreme za koje koncentracija penicilina dostiže maksi-mum, kao i vrednost maksimalne koncentracije, aproksimirajuci funkciju c(t) in-terpolacionim polinomom treceg stepena.

2.10 Tražene vrednosti funkcije u zadatku 2.3 proceniti pomocu kubnog splajna,koristeci Mathcad funkcije lspline, pspline i cspline i uporediti rezultate.

Glava 3Numericko diferenciranje

Zadatak numerickog diferenciranja

Numericko diferenciranje je postupak približnog izracunavanja izvoda funk-cije zadate tabelom: (xi, f (xi)) , i= 0,1, ...,n i bazira se na aproksimaciji funk-cije interpolacionim polinomom:

f (x)≈ Pm(x),m 6 n

d f (k)(x)dxk ≈ dP(k)

m (x)dxk , k 6 m

x

nagib = f '(x)

Pm(x) f (x)

nagib = Pm'(x)

Slika 3.1: Procenjivanje prvog izvoda funkcije numerickim diferenciranjem

Tipican primer primene je diferenciranje PVT podataka, radi izracunavanjarezidualne entalpije i entropije realnog fluida.

74 Numericko diferenciranje

Numericko diferenciranje je manje tacno od interpolacije. Tako, u interpo-lacionom cvoru je greška interpolacije jednaka nuli, a greška diferenciranja možeda bude vrlo velika (vidi sliku 3.1). Najjednostavnija formula za procenjivanjeprvog izvoda funkcije u interpolacionom cvoru je:

f ′(xi)≈f (xi+1)− f (xi)

xi+1− xi, i = 0, . . . ,n−1 (3.1)

i predstavlja izvod IP prvog stepena, provucenog kroz cvorove xi,xi+1 (secica).Da bi kolicnik priraštaja funkcije i argumenta (3.1) što bolje aproksimirao prvi iz-vod funkcije, razlika izmedu cvorova xi i xi+1 treba da budu što manja, što znaci ibliske vrednosti f (xi+1) i f (xi). To medutim ukljucuje "opasnu"racunsku opera-ciju oduzimanja bliskih brojeva, pracenu gubitkom znacajnih cifara. Možemoda zakljucimo da numericko diferenciranje može da bude nestabilan racunskiproces.

3.1 GRESKA NUMERICKE PROCENE PRVOG IZVODANeka smo funkciju zadatu tabelom (xi, f (xi)) , i = 0,1, . . . ,n aproksimirali sa

IP n-tog stepena, Pn(x). Interesuje nas greška numerickog diferenciranja:

En(x) = f ′(x)−P ′n(x)

Uocavamo da je ona jednaka prvom izvodu greške interpolacije (2.18):

En(x) = R ′n(x)

Treba dakle diferencirati izraz (2.18):

Rn(x) = ∏n+1 (x)f (n+1)(ξ )(n+1)!

= ∏n+1 (x) ·g(x)

R′n(x) =(∏n+1 (x)

)′g(x)+∏n+1 (x) ·g

′(x)

što ukljucuje diferenciranje funkcije g(x):

g(x) =f (n+1)(ξ )(n+1)!

, ξ ∈ (x0,xn)

koje nije moguce, jer funkcija ξ (x) nije poznata. Kako se funkcija

∏n+1 (x) =n

∏i=0

(x− xi)

3.2 PRVI IZVOD U EKVIDISTANTNIM CVOROVIMA 75

anulira u interpolacionim cvorovima, moguce je naci grešku prvog izvoda u inter-polacionom cvoru. U poglavlju 2. smo pokazali da je:

∏ ′n+1(x j) =

n

∏i=0i = j

(x j− xi)

pa za grešku numerickog diferenciranja u interpolacionom cvoru dobijamo:

En(xi) =n

∏j=0j =i

(xi− x j)f (n+1)(ξ )(n+1)!

, ξ ∈ (x0,xn), i = 0,1, ...n (3.2)

3.2 PRVI IZVOD U EKVIDISTANTNIM CVOROVIMAFormulu za numericko procenjivanje prvog izvoda tabelarno zadate funkcije,

ako su interpolacioni cvorovi ekvidistantni, možemo da dobijemo diferenciranjemNJIP1,

Pn′(x) =

dPn

dx=

dPn(α)

dα· dα

dx= Pn

′(α)1h

α =x− x0

h

gde je izraz Pn(α) dat jednacinom (2.15):

f ′(x)≈ 1h

Pn′(α) =

1h

(∆y0 +

2α−12

∆2y0 +3α2−6α +2

6∆3y0+

+2α3−9α2 +11α−3

12∆4y0 + ...

)(3.3)

Pošto je za ekvidistantne cvorove xi = x0 + ih, i = 0,1, ...,n,

xi− x j = (i− j)h

greška prvog izvoda je:

En(xi) =

n∏j=0j =i

(i− j)

(n+1)!hn f (n+1) (ξ ), ξ ∈ (x0,xn) (3.4)


Korak izmedu ekvidistantnih cvorova h se u kontekstu numerickog diferenci-ranja zove korak diferenciranja. Iz jednacina (3.4) dobijaju se sledece formuleza numericko procenjivanje prvih izvoda f ′(xi) = y ′i , i za greške metode:za n = 2:

y ′0 =1

2h(−3y0 +4y1− y2), E(x0) =

13

h2y ′′′(ξ0) (3.5)

y ′1 =1

2h(−y0 + y2), E(x1) =−

16

h2y ′′′(ξ1) (3.6)

y ′2 =1

2h(y0−4y1 +3y2), E(x2) =

13

h2y ′′′(ξ2) (3.7)

za n = 4:

y ′0 =1

12h(−25y0 +48y1−36y2 +16y3−3y4), E(x0) =

h4

5y(5)(ξ0) (3.8)

y ′1 =1

12h(−3y0−10y1 +18y2−6y3 + y4), E(x1) =−

h4

20y(5)(ξ1) (3.9)

y ′2 =1

12h(y0−8y1 +8y3− y4), E(x2) =

h4

30y(5)(ξ2) (3.10)

y ′3 =1

12h(−y0 +6y1−18y2 +10y3 +3y4), E(x3) =−

h4

20y(5)(ξ3) (3.11)

y ′4 =1

12h(3y0−16y1 +36y2−48y3 +25y4), E(x4) =

h4

5y(5)(ξ4) (3.12)

Primetimo da je u svim formulama zbir koeficijenata uz vrednosti funkcijejednak nuli. To znaci da pri smanjivanju koraka diferenciranja h, zbog sma-njivanja razlika u vrednostima funkcija, vrednosti izraza u zagradi teže nuli.To ukazuje na oduzimanje bliskih brojeva i u vezi sa njim gubljenje sigurnihcifara u nestabilan racunski proces. S druge strane, smanjivanjem koraka hse smanjuje greška numericke metode, E i to utoliko brže ukoliko je stepen IPkoji aproksimira funkciju viši. Iz dosadašnje diskusije možemo da izvedemo za-kljucke:– numericko diferenciranje, kao numericku metodu, karakteriše relativno malatacnost, tj. velika greška metode. Tako je numericko diferenciranje manje tacnood interpolacije;– ako se radi smanjenja greške metode (koja raste sa n-tim stepenom koraka h),korak diferenciranja h smanjuje, povecava se nestabilnost racunskog procesa,tj. gubitak sigurnih cifara i veoma je teško proceniti tacnost rezultata;– da bi se uz malu grešku metode (mali korak h) smanjio efekat gubitka sigurnihcifara, neophodno je da polazni podaci sadrže što veci broj sigurnih cifara;– dakle, treba izbegavati numericko diferenciranje podataka male tacnosti, kaošto su eksperimentalni podaci.


Zadatak 3.1. U tabeli su date vrednosti faktora stišljivosti, z pare izobutanaza razne pritiske, p[bar] i temperature, T [K] (kolone 2-6). Proceniti, za tempera-turu T = 360K i date pritiske, vrednosti funkcije:[

∂ z∂T

]p

1p

T [K](

∂ z∂T

)1p ·104

p (bar) 340 350 360 370 380

0.1 0.99700 0.99719 0.99737 0.99753 0.99767 1.70830.5 0.98745 0.98830 0.98907 0.98977 0.99040 1.46832 0.95895 0.96206 0.96483 0.96730 0.96953 1.30584 0.92422 0.93069 0.93635 0.94132 0.94574 1.32336 0.88742 0.89816 0.90734 0.91529 0.92223 1.41998 0.84575 0.86218 0.87586 0.88745 0.89743 1.567510 0.79659 0.82117 0.84077 0.85695 0.87061 1.768512 ∗∗∗∗∗∗ 0.77310 0.80103 0.82315 0.84134 2.085414 ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ 0.75506 0.78531 0.80923 2.3868

15.41 ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ 0.71727 ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ 2.5900

Rešenje:Tabelarne vrednosti su ucrtane u dijagram (slika uz zadatak). Vrednosti funk-

cije koju racunamo zahtevaju vrednosti parcijalnog izvoda, pa je neophodno nu-mericko diferenciranje datih podataka, tj. diferenciranje po T funkcije z(T, p)p=const.,za razlicite fiksirane vrednosti p, u tacki T = 360. Geometrijski, procenjujemo na-gibe tangenti na skiciranim krivama u tacki T = 360.

360 350 340 370 380

p=0.1

p=14

z

1

T

Slika 3.2:


p = 0.1 - 10 bar:Na raspolaganju je po 5 tacaka, pa možemo da koristimo jednu od formula

(3.8)-(3.12), dobijenih diferenciranjem IP 4. stepena (n = 4). Pošto je u pitanjusrednja tacka (i = 2), odgovarajuca formula je (3.10):

(∂ z∂T

)0.1

= z ′2 =1

12h(z0 +8(z3− z1)− z4)

=1

120(0.997+8(0.99753−0.99719)− 0.99767)

= 1.7082 ·10−5

f (0.1) =z ′2p

=1.7082 ·10−5

0.1= 1.7082 ·10−4

Greške u rezultatima poticu od– grešaka polaznih podataka i– greške numericke metode (numericko diferenciranje)

Pošto su polazni podaci dati sa 5 znacajnih cifara, rezultate ima smisla prika-zati sa najviše 5 znacajnih cifara. Pošto u ovom primeru, zbog relativno velikogkoraka integracije nema oduzimanja bliskih brojeva, racunski proces je stabilan iu skladu sa opštim pravilom procenjivanja tacnosti rezultata (poglavlje 1.), rezul-tate cemo dati sa 5 znacajnih cifara. To svakako ne znaci da su to i sigurne cifre,jer rezultati sadrže, pored greške koja potice od grešaka u polaznim podacima igrešku numericke metode (3.4).

p = 12 bar:Raspolažemo sa 4 tacke (i-butan je na 340K u tecnom stanju) i trebalo bi ko-

ristiti formule bazirane na IP 3. stepena. Pošto mi imamo samo formule za n = 2,odabracemo od cetiri date tacke, tri i to tako da tacka T = 360 bude srednja (premajednacinama (3.5)-(3.7), najtacnija je procena prvog izvoda u srednjoj tacki). Tosu tacke T = 350, 360, 370:(

∂ z∂T

)12

= z ′1 =1

2h(z2− z0) =

120

(0.82315−0.7731)

= 2.5025 ·10−3

f (12) =z ′1p

=2.5025 ·10−3

12= 2.085 ·10−4

p = 14 bar:Imamo samo tri tacke, pa je jedini izbor, formula (3.5):


(∂ z∂T

)14

= z ′0 =1

2h(−3z0 +4z1− z2) =

=1

20(−3 ·0.75506+4 ·0.78531−0.80923) =

= 3.3415 ·10−3

f (14) =3.3415 ·10−3

14= 2.387 ·10−4

p = 15.41 bar:Imamo samo jednu tacku, pa je numericko diferenciranje nemoguce. Jedini

nacin da ipak procenimo vrednost funkcije (∂ z/

∂T )p/

p na tom pritisku je ekstra-polacija iz vrednosti dobijenih za niže pritiske (poslednja kolona tabele) pomocuodabranog IP. Imajuci u vidu da je ekstrapolacija vrlo "opasna"operacija, narocitosa polinomima viših stepena, odabracemo polinom NJIP1 drugog stepena kroz triposlednje tacke (p = 10,12,14):

pT

z

p

1∂∂

p

p0=10 p1=12 p2=14 p=15.41

2.5

2.0 P2(p)

Slika 3.3:

Startna tacka je p0 = 10 i traženu vrednost dobijamo kao vrednost polinoma

f (p)≈ P2(α) = y0 +α∆y0 +α(α−1)

2∆2y0

zaα =

p− p0

h=

15.41−102

= 2.705

Potrebne su nam konacne razlike:∆y0 = y1− y0 = 2.0854−1.7685 = 0.3169∆y1 = y2− y1 = 2.3868−2.0854 = 0.3014

∆2y0 = ∆y1−∆y0 = 0.3014−0.3169 =−0.0155


Konacno, dobijamo:

P2(2.705) = 1.7685+2.705 ·0.3169+2.705 ·1.705

2(−0.0155) = 2.5900

3.3 NUMERICKO DIFERENCIRANJE U MATHCAD-u

U Mathcad-u, ne postoji alat za numericko diferenciranje tabelarno za-date funkcije. Numericko diferenciranje funkcije definisane analiticki, se re-alizuje pomocu operatora diferenciranja iz calculus toolbar-a, koji zahteva pret-hodno definisanu funkciju, koju diferenciramo i vrednost nezavisno promenljiveza koju tražimo izvod.

Tako, numericko diferenciranje tabelarnih podataka zahteva dva koraka:– definisanje interpolacionog polinoma, kojim aproksimiramo funkciju, u viduMathcad funkcije– numericko diferenciranje definisane interpolacione funkcije, pomocu opera-tora

Prema informacijama iz Help sistema Mathcad-a, algoritam koji se koristi uMathcad-u garantuje relativno visoku tacnost numericki odredenog prvog iz-voda neke funkcije od 7-8 sigurnih cifara, pod uslovom da su vrednosti funkcijetacne (tj. sa 15 sigurnih cifara, koliki je kapacitet memorijske lokacije) i da tackau kojoj se traži izvod nije blizu vertikalnoj asimptoti funkcije. Zahvaljujuci ova-kvoj tacnosti, koja je dovoljna za proracune u hemijskom inženjerstvu, prakticnose analiticko diferenciranje može zameniti numerickim.

Kao interpolacioni polinom koji aproksimira tabelarno zadatu funkciju kojudiferenciramo, preporucuje se zbog svojih dobrih osobina (poglavlje 2) kubnisplajn. Pri tom ce se dobiti razliciti rezultati, zavisno od izbora splajn funkcije:lspline, pspline ili cspline. Kod izbora splajn funkcije, treba imati u vidu da je:– splajn formiran kroz 4 tacke, pomocu cspline funkcije, identican obicnom kub-nom IP za te tacke, što ne važi za splajnove formirane sa lspline ili pspline– splajn formiran kroz 3 tacke, pomocu pspline funkcije, identican obicnom kva-dratnom IP za te tacke , što ne važi za splajnove formirane sa lspline ili cspline

Zadatak 3.2. Za podatke iz prethodnog primera,a) izracunati traženu funkciju za pritiske p = 10, 12 i 14bar,b) za vrednosti funkcije izracunatih u prethodnom primeru za pritiske 0.1-14barekstrapolacijom pomocu kubnog splajna proceniti vrednost funkcije za p = 15.41bar.

Uporediti rezultate sa onim dobijenim u prethodnom primeru i diskutovati iz-bor splajn funkcije.

Rešenje (Mathcad):

3.3 NUMERICKO DIFERENCIRANJE U MATHCAD-u 81

fzi

dzdti

p:= fz

1.7685 104−×

1.7685 104−×

=Mathcad

Mathcad sa lspline: fz 1.7583 104−×:=

Mathcad sa pspline: fz 1.7644 104−×:=

Napomena: Kubni splajn formiran pomocu cspline daje identicne rezultate (sa 5 znacajnih cifara) kao formula (3.10)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------p 12:=

T

350

360

370

380

:= z

0.7731

0.80103

0.82315

0.84134

:=

Za aproksimaciju funkcije treba, posto imamo 4 tacke , koristiti splajn formiran sa cspline (vidi primedbe u tekstu, koji prethodi ovom primeru)

Definisanje kubnog splajna:

koef cspline T z,( ):= f x( ) interp koef T, z, x,( ):=

Diferenciranje:

Formula(3.6): dzdt0

1

2 h⋅z2

z0

−( )⋅:=

a) p 10:=

T0

340:= h 10:= i 1 4..:= Ti

T0

i h⋅+:=

T

340

350

360

370

380

= z

0.79659

0.82117

0.84077

0.85695

0.87061

:=


koef cspline T z,( ):= f x( ) interp koef T, z, x,( ):=

Diferenciranje:

Formula(3.10): dzdt0

1

12 h⋅z0

8 z3

z1

−( )⋅+ z4

− ⋅:=

Mathcad : Tx 360:= dzdt1 Tx

f Tx( )d

d:=

Vrednosti funkcije:

Formula(310) i 0 1..:=


Rezultati se poklapaju jer je splajn identican sa vadratnim polinomom, cijim diferenciranjem je dobijena formula (3.5) !

Napomena:

Mathcad fz

2.3868 104−×

2.3868 104−×

=fzi

dzdti

p:=i 0 1..:=

Formula(3.5)

Vrednosti funkcije:

dzdt1 Tx

f Tx( )d

d:=Tx 360:=Mathcad:

dzdt0

1

2 h⋅3− z

0⋅ 4z

1+ z

2−( )⋅:=Formula(3.5):

Diferenciranje:

f x( ) interp koef T, z, x,( ):=koef pspline T z,( ):=


Za aproksimaciju funkcije treba, posto imamo 3 tacke , koristiti splajn formiran sa pspline (vidi primedbe u tekstu, koji prethodi ovom primeru)

z

0.75506

0.78531

0.80923

:=T

360

370

380

:=

p 14:=

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mathcad fz

2.0854 104−×

2.0593 104−×

=fzi

dzdti

p:=i 0 1..:=

Formula(3.6)

Vrednosti funkcije:

dzdt1 Tx

f Tx( )d

d:=Tx 360:=Mathcad:


Komentar: Uoci znacajne razlike u rezultatima ekstrapolacije

f 7.5( ) 1.5279=

f 15.41( ) 2.4895=f x( ) interp koef p, fz, x,( ):=koef cspline p fz,( ):=

Kubna:

f 7.5( ) 1.5281=

f 15.41( ) 2.5664=f x( ) interp koef p, fz, x,( ):=koef pspline p fz,( ):=

Kvadratna:

f 7.5( ) 1.5283=

f 15.41( ) 2.5952=f x( ) interp koef p, fz, x,( ):=koef lspline p fz,( ):=

Linearna:

Ekstrapolacija i interpolacija:

0 5 10 151

1.5

2

2.5

fz

p

fz

1.7083

1.4683

1.3058

1.3233

1.4199

1.5675

1.7685

2.0854

2.3868

:=p

0.1

0.5

2

4

6

8

10

12

14

:=

Spline ekstrapolacija :b)


ZADACI3.1 a) Izvesti izraze za greške formula:

f ′(x0) =f (x1)− f (x0)

x1− x0=

y1− y0

h(1)

f ′(x1) =f (x2)− f (x1)

x2− x1=

y2− y1

h(2)

f ′(x1) =f (x2)− f (x0)

x2− x0=

y2− y0

2h(3)

b) Koja od formula (2) i (3) daje tacniju procenu prvog izvoda u tacki x1 i zašto?Koja je geometrijska interpretacija formula (2) i (3).

3.2 Date su vrednosti funkcije f (x):

x -1 0 1 2 3 4f (x) 6 5 4 9 26 61

Proceniti prvi izvod funkcije u tacki x = 1 pomocu formula (2) i (3) iz pret-hodnog zadatka.

Znajuci da je u pitanju funkcija:

f (x) = x3−2x+5

proceniti greške rezultata dobijenih u a) pomocu odgovarajucih formula i upore-diti sa pravim velicinama greške.

3.3 Data je formula za procenjivanje prvog izvoda funkcije f (x) u tacki x0 injena greška:

f ′(x0) =−11y0 +18y1−9y2 +2y3

6h, E (x0) =−

h3

4f (4)(ξ ), ξ ∈ (x0,x3)

Na polinomu kog stepena se bazira formula ?b) Koristeci tu formulu, proceniti izvod funkcije cije su vrednosti date tabelom uprethodnom zadatku, u tacki x = 1c) Isti problem rešiti koristeci jednu od formula (??).d) Isti problem rešiti numerickim diferenciranjem u Mathcad-u, Lagranžovog IPprovucenog kroz sve tacke u tabeli.e) Isti problem rešiti numerickim diferenciranjem u Mathcad-u kubnog splajnaformiranog pomocu funkcija lspline, pspline i csplinef) Uporediti i diskutovati dobijena rešenja.


3.4 Potrebno je naci izvode koeficijenta stišljivosti po pritisku(∂ z/

∂ p)

T zaT = 360 i

p = 0.1, 0.5, 2, 4, 6, 8, 10, 14 i 15.41bar,numerickim diferenciranjem podataka datih u Zadatku ?? Izvode na pritiscima2-14 bar,racunati korišcenjem odbrane od formula (??), a na pritiscima p = 0.1,0.5i15.41,numerickim diferenciranjem LIP-a u Mathcadu.

3.5 Date su vrednosti specificnih entalpija h(kJ/

kg)

i specificnih toplota cp(kJ/

kgK)azota na pritisku p = 10bar i razlicitim temperaturama:

T (K) 110 120 130 140 160 180

h 96.8 110.4 123.0 135.2 158.4 180.8cp 1.417 1.304 1.237 1.192 1.136 1.104

a) Numerickim diferenciranjem kubnog splajna formiranog iz podataka o ental-piji, treba izracunati specificne toplote azota na temperaturama u tabeli. Uporeditirezultate dobijene korišcenjem funkcija lspline, pspline i cspline sa tacnim vred-nostima, datim u tabeli i odabrati funkciju koja daje najbolje rezultate.

3.6 Potrebno je iz podataka u prethodnom zadatku proceniti specificne toploteazota na temperaturama:

T = 115,150,170Ka) Naci tražene specificne toplote diferenciranjem kubnog splajna, formiranogsa funkcijom pspline u prethodnom zadatkub) Isti problem rešiti splajn interpolacijom u nizu cp vrednosti izracunatih dife-renciranjem kubnog splajna (dobijenog sa funkcijom pspline) u prethodnom za-datku Kubni splajn za interpolaciju formirati pomocu pspline funkcije.c) Uporediti rezultate sa literaturnim vrednostima:

cp(115) = 1.350, cp(150) = 1.160, cp(170) = 1.118

i na osnovu toga izvesti zakljucak, da li jedna od metoda a) i b) daje tacnije pro-cene ili obe metode daju procene približno istog kvaliteta, pa se ne može datiprednost jednoj od njih.

Glava 4Numericka integracija

Zadatak numericke integracije

Numericka integracija je postupak izracunavanja približne vrednosti odre-denog integrala:

I =b∫

a

f (x)dx (a < b) (4.1)

iz vrednosti podintegralne funkcije datih uredenom tabelom (xi, f (xi)) , i =0,1, . . . ,n, pri cemu pretpostavljamo da je:

x0 6 a, b 6 xn

Bazira se, kao i numericko diferenciranje, na aproksimaciji podintegralnefunkcije interpolacionim polinomom:

f (x)≈ Pm(x), m 6 nb∫

a

f (x)dx≈b∫

a

Pm(x)dx

Ako pretpostavimo da se IP provlaci kroz sve tacke tabele (xi, f (xi)) , i =0,1, . . . ,n i da se granice integracije poklapaju sa prvom i poslednjom vrednošcunezavisno promenljive u tabeli, traženi integral (4.1) racunamo približno kao:

I =b=xn∫

a=x0

f (x)dx≈xn∫

x0

Pn(x)dx = In (4.2)

88 Numericka integracija

a greška metode, En je jednaka integralu greške interpolacije Rn:

En = I− In =

xn∫x0

f (x)dx−xn∫

x0

Pn(x)dx =xn∫

x0

Rn(x)dx (4.3)

f(x)

+

+--

x0 = a x1 x2 x3 x4 = bx

P4(x)

y

Slika 4.1: Numericka integracija funkcije f (x)

Na slici (4), ilustrovana je numericka integracije funkcije f (x), integracijominterpolacionog polinoma sa ekvidistantnim interpolacionim cvorovima, stepenan = 4. Tacna vrednost integrala I, jednaka je površini ispod krive f (x), a približnaili numericka vrednost In, površini ispod krive polinoma Pn(x), nad intervalomintegracije [a, b]. Greška numericke integracije (4.3) jednaka je zbiru grešakaintegracije na pojedinim podintervalima, širine h. Greška metode u nekom podin-tervalu širine h, izmedu dva susedna iterpolaciona cvora, po apsolutnoj vrednostije jednaka površini izmedu krivih f (x) i P4(x). Vidimo da greške integracije u po-jedinim podintervalima imaju razlicite znake, pa se u zbiru delimicno poništavaju:dolazi do medusobne kompenzacije grešaka.

Tako se za numericku integraciju može reci da je:– kao numericka metoda, tacnija od interpolacije– stabilan ili dobro uslovljen racunski proces ( i greške usled gubitka znacajnihcifara na pojedinim podintervalima, takode se medusobno kompenzuju)

4.1 OSNOVNE INTEGRACIONE FORMULEOsnovne formule za numericku integraciju se dobijaju iz jednacine (4.2) za

male stepene IP (n =1,2,3), sa ekvidistantnim interpolacionim cvorovima. Ovakodobijene osnovne integracione formule su u literaturi poznate pod imenom Njutn-Kotesove (Newton-Cotes) formule. One se primenjuju na malim podinterva-

4.1 OSNOVNE INTEGRACIONE FORMULE 89

lima, širine nekoliko koraka h, a integral na celom intervalu [a, b] se onda dobijakao zbir integrala dobijenih primenom osnovnih formula.

Korak interpolacionih cvorova h se u kontekstu numericke integracije nazivaintegracioni korak.

Njutn-Kotesovu formulu, koja se bazira na IP n-tog stepena dobijamo, prema(4.2), integracijom NJIP1 uz smenu integracione promenljive:

x = x0 +αh, dx = h dα

Tako izvodimo,

In =

xn∫x0

Pn(x)dx = hn∫

0

(y0 +α∆y0 +

α(α−1)2

∆2y0 + ...

+α(α−1)...(α−n+1)

n!∆ny0

)dα (4.4)

In = h[

ny0 +n2

2∆y0 +

12

(n3

3− n2

2

)∆2y0 +

(n4

24− n3

6+

n2

6

)∆3y0 + ...

], (n> 3)

(4.5)Iz poslednje jednacine, dobijamo tri osnovne integracione formule:

In = h[

ny0 +n2

2∆y0

], za n = 1 (4.6)

In = h[

ny0 +n2

2∆y0 +

12

(n3

3− n2

2

)∆2y0

], za n = 2 (4.7)

In = h[

ny0 +n2

2∆y0 +

12

(n3

3− n2

2

)∆2y0 +

(n4

24− n3

6+

n2

6

)∆3y0

], za n = 3

(4.8)Greška Njutn-Kotesovih formula (4.5) se, prema (4.3), dobija integracijom

greške interpolacije, što nakon smene integracione promenljive daje opšti izraz:

En =h n+2

(n+1)!

n∫0

α(α−1)...(α−n) f (n+1)(ξ )dα, ξ ∈ (x0,xn) (4.9)


4.2 TRAPEZNO PRAVILO

Najjednostavnija integraciona formula je osnovna trapezna formula, koja jepoznata i pod nazivom trapezno pravilo. Dobijamo ga smenom n = 1, ∆y0 =y1− y0 u formulu (4.6):

I1 =h2(y0 + y1) (4.10)

Geometrijska interpretacija formule (4.10) je površina trapeza sa osnovamay0 i y1 i visinom jednakom koraku integracije h (slika 4.2).

R1(x)

x

P1(x)

f(x)

x0 x1

y

I1

E1

Slika 4.2: Geometrijska interpretacija trapeznog pravila

Primena opšte formule (4.9) za grešku trapeznog pravila daje:

E1 =−h3

12f ′′(ξ ), ξ ∈ (x0,x1) (4.11)

4.3 SIMPSONOVO PRVO I DRUGO PRAVILO

Podintegralnu funkciju na intervalu integracije [x0,x2] zamenjujemo kva-dratnim IP, provucenim kroz ekvidistantne cvorove x0,x1,x2. Rezultat je formula(4.7), koja nakon smene n = 2 i izraza za konacne razlike daje prvo Simpsonovopravilo:

4.3 SIMPSONOVO PRVO I DRUGO PRAVILO 91

I2 =h3(y0 +4y1 + y2) (4.12)

Drugo Simpsonovo pravilo se bazira na zameni podintegralne funkcije naintervalu integracije [x0,x3] kubnom parabolom i dobijamo ga, sa n = 3, iz (4.8):

I3 =3h8(y0 +3y1 +3y2 + y3) (4.13)

4.3.1 Greske Simpsonovih pravila

Jasno je da drugo Simpsonovo pravilo daje tacnu vrednost integrala akoje funkcija f (x) kvadratni ili kubni polinom. Tada su svi clanovi 4. i višegreda (oni koji sadrže konacne razlike 4. i višeg reda) u opštoj integracionoj for-muli (4.5), koja se bazira na IP n-tog stepena, jednaki nuli. Medutim, i prvoSimpsonovo pravilo daje tacnu vrednost integrala, ako je podintegralna funk-cija polinom 3. stepena, zahvaljujuci tome što se faktor,

n4

24− n3

6+

n2

6

uz ∆3y u jednacini (4.8) za n = 2 anulira. Geometrijski, to znaci da dolazi do po-ništavanja grešaka pri numerickoj integraciji polinoma treceg stepena na intervalu[x0,x2] prvom Simpsonovom formulom (slika 4.3). ∫∫ =

2

0

2

0

)()( 23

x

x

x

x

dxxPdxxP

x0

f(x)

x1 x2 x

P3(x)

P2(x)

Slika 4.3: Ilustracija tacnosti prvog Simpsonovog pravila, ako je f (x) = P3(x)


Zakljucujemo da su Simpsonova pravila približno jednako tacna, iako jeSimpsonovo drugo pravilo složenije. Prema opštoj formuli za grešku metode(4.9), greška Simpsonovog drugog pravila, E3 je proporcionalna sa hn+2 = h5 .Može se pokazati da je i greška prvog Simpsonovog pravila E2 takode pro-porcionalna petom stepenu integracionog koraka, mada bi se na osnovu (4.9)ocekivalo da ona bude proporcionalna sa h4. Tako se izvodi :

E2 =−1

90h5 f (4)(ξ ), ξ ∈ (x0,x2) (4.14)

E3 =−3

80h5 f 4(ξ ), ξ ∈ (x0,x3) (4.15)

Kaže se da su obe formule istog reda tacnosti i zato prvo Simpsonovo pra-vilo koje je jednostavnije, a približno tacno kao i drugo, ima daleko vecu primenuu praksi.

Uopšte, pokazuje se da je Njutn-Kotesova formula (4.5), koja se bazira na IPparnog stepena (n paran broj) istog reda tacnosti kao sledeca po složenosti formulabazirana na IP stepena (n+1).

4.4 TRAPEZNA I SIMPSONOVA INTEGRACIONA FORMULA

Umesto da se trapezno (4.10) ili Simpsonovo prvo pravilo (4.12) primene naceo interval integracije [a, b], što bi dalo loše procene integrala (zbog velikogintegracionog koraka h− greške su proporcionalne stepenu koraka), interval in-tegracije se deli na više manjih podintervala (izuzimajuci slucaj malih intervalaintegracije). Integral se dobija kao zbir integrala na pojedinim podintervalima,koji se racunaju primenom jednog ili drugog pravila. Tako se dobijaju složeneintegracione formule, ili jednostavno integracione formule.

4.4.1 Trapezna formula

Delimo interval integracije [a,b] na n jednakih podintervala širine,

h =b−a

n

tackama,

xi = x0 + i h, i = 0,1, . . . ,n (x0 = a,xn = b)

4.4 TRAPEZNA I SIMPSONOVA INTEGRACIONA FORMULA 93

i približnu vrednost traženog odredenog integrala funkcije f (x) dobijamo kao:

b=xn∫a=x0

f (x)dx = I =

x1∫x0

f (x)dx+

x2∫x1

f (x)dx+ . . .+

xn∫xn−1

f (x)dx≈

≈ h2(y0 + y1)+

h2(y1 + y2)+ . . .+

h2(yn−1 + yn) = In

gde indeks noznacava broj integracionih koraka na intervalu integracije [a,b].Tako, trapezna formula glasi:

In =h2

(y0 + yn +2

n−1

∑i=1

yi

)(4.16)

Greška trapezne formule En jednaka je zbiru grešaka trapeznih pravila (4.11)na pojedinim podintervalima:

En =n

∑i=1

Ei =−h3

12

n

∑i=1

f ′′(ξi), ξi ∈ (xi−1,xi)

Ako je f ′′(x) na intervalu integracije neprekidna funkcija, onda postoji ξ zakoje važi:

f ′′(ξ ) =

n∑

i=1f ′′(ξi)

n, ξ ∈ (a,b)

pa se suma drugih izvoda može prikazati kao:

n

∑i=1

f ′′(ξi) = n f ′′(ξ ) =b−a

hf ′′(ξ )

i za grešku trapezne formule dobijamo :

En =−(b−a)

12h2 f ′′(ξ ), ξ ∈ (a,b) (4.17)

4.4.2 Simpsonova formulaPošto se Simpsonovim prvim pravilom (4.12) numericki racuna integral na

intervalu širine 2h (tri tacke), interval integracije [a,b] delimo na m jednakih po-dintervala od kojih svaki obuhvata po dva podintervala širine h tj, po tri tacke.Ocigledno je postupak primenljiv samo ako je ukupan broj koraka n na intervalu[a,b] paran broj (tj. ukupan broj tacaka neparan) i tada imamo:


n = 2m =b−a

hTada, približnu vrednost traženog integrala dobijamo kao zbir približnih vred-

nosti integrala na pojedinim podintervalima, širine 2h, dobijenih Simpsonovimprvim pravilom:

I =b∫

a

f (x)dx≈ h3(y0 +4y1 + y2)+

h3(y2 +4y3 + y4)+. . .+

h3(yn−2 +4yn−1 + yn)= In

Nakon sredivanja dobijene sume, dolazimo do Simpsonove integracione for-mule

In =h3

y0 + yn +4n−1

∑i=1

∆ i=2

yi +2n−2

∑i=2

∆ i=2

yi

(4.18)

gde indeks n oznacava ukupan broj integracionih koraka na intervalu [a, b]. Prvasuma u zagradi pretstavlja zbir svih ”neparnih“ ordinata od 1. do (n−1), a drugasuma zbir svih ”parnih“ ordinata od 2. do (n−2):

n−1

∑i=1

∆ i=2

yi = y1 + y3 + · · ·+ yn−1,n−2

∑i=2

∆ i=2

yi = y2 + y4 + · · ·+ yn−2

Da ponovimo, da je ogranicenje za primenu Simpsonove formule: paranbroj podintervala, odnosno neparan broj tacaka na intervalu integracije [a,b].

Greška Simpsonove integracione formule se dobija kao zbir grešaka Simp-sonovog prvog pravila (4.14) na pojedinim podintervalima širine 2h:

En =−b−a180

h4 f (4)(ξ ) , ξ ∈ (a,b) (4.19)

4.5 GRESKA I RED INTEGRACIONE FORMULEBilo koja integraciona formula izvedena iz nekog od Njutn-Kotesovih pravila

ima oblik:

In = hn

∑i=0

wiyi (4.20)

gde su wi, i = 0,1, . . . ,n neke konstante koje se zovu i težine ili ponderi, a sumau (4.20) se zove ponderisana suma. Pri tom, suma svih težina je tacno jednaka n:

n

∑i=0

wi = n

4.5 GREŠKA I RED INTEGRACIONE FORMULE 95

Na primer za Trapeznu formulu,

w0 = wn =12, wi = 1, i = 1,2, . . . ,n−1,

n

∑i=0

wi = n−1+212= n,

Može se izvesti da greška opšte integracione formule (4.20) ima oblik:

En = c(b−a)hN f (N)(ξ ), N > 1, ξ ∈ (a,b) (4.21)

gde je c neka konstanta, koja je npr. za Simsonovu formulu (N = 4), jednaka,

c =− 1180

Na osnovu izraza (4.21) zakljucujemo:– greška neke metode opada sa smanjivanjem integracionog koraka h,– što je eksponent N u izrazu za grešku neke metode veci, utoliko je pri datomintegracionom koraku ta metoda tacnija.

Drugi zakljucak je ocigledan za integracione korake manje od 1, jer je:

hN1 < hN2 ,(h < 1), ako je N1 > N2,

(vidi sliku 4.4), ali pošto je

hN1 > hN2 ,(h > 1), ako je N1 > N2,

cini se da, ako je korak h veci od 1, važi obrnuto: ukoliko je eksponent N veci,metoda je manje tacna.

1

1

h

hn

n = 4

n = 2

Slika 4.4: Ponašanje funkcije hn


Da bi se uverili da je drugi zakljucak ispavan, izrazicemo grešku En prekobezdimenzione promenljive z i bezdimenzionog koraka integracije h∗, definisanihkao:

z =x

b−a, h∗ =

hb−a

Imamo,

d fdx

=d fdz

dzdx

,d2 fdx2 =

d2 fdz2

(dzdx

)2

, · · · , dN fdxN =

dN fdzN

(dzdx

)N

pa N- ti izvod podintegralne funkcije po x u nekoj tacki ξ u formuli (4.20) zame-njujemo sa:

f (N)x (ξ ) =

f (N)z (ζ )

(b−a)N , ζ = ξ/(b−a)

Konacno, nakon smene h = h∗ (b−a), formulu (4.21) prevodimo u ekvivalen-tan oblik:

En = c(b−a)(h∗)N f (N)z (ζ ), ζ ∈ (0,1) (4.22)

Pošto je, po definiciji, h∗ < 1, sada nedvosmisleno sledi da je integracionaformula utoliko tacnija ukoliko je eksponent N veci.

Uocili smo dakle da je greška neke integracione formule proporcionalna sa hN ,pa kada h teži nuli postaje beskonacno mala velicina istog reda kao beskonacnomala velicina hN , pod uslovom da je N - ti izvod ogranicen u intervalu integracije.To znaci:

limh→0

En

hN = limh→0

khN

hN = k = 0,∞

i pišemo:En = O(hN)

Za neku integracionu formulu kažemo da je integraciona formula reda N,ako je njena greška proporcionalna sa hN . Kao što smo pokazali, ukoliko je redformule veci, ona je tacnija. Dok je trapezna formula (4.16) drugog reda, sle-deca po složenosti, Simpsonova formula je cetvrtog reda, dakle znatno tacnijaod trapezne.

Zadatak 4.1. Proceniti numericki vrednost integrala:

1∫0

dx1+ x2

(=

π4

)pomocu:


a) Trapezne formuleb) Simpsonove formulesa korakom integracije 0.1. Za obe metode proceniti grešku dobijene vrednosti in-tegrala koristeci formule (4.17) i (4.19). Vrednosti podintegralne funkcije racunatisa 5 sigurnih cifara.

Rešenje (Mathcad):

Trapez n h, y,( )h

2y

0y

n+ 2

1

n 1−

i

yi∑

=

⋅+

⋅:=

Funkcije koje realizuju trapeznu i Simpsonovu formulu:

y

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0.9901

0.96154

0.91743

0.86207

0.8

0.73529

0.67114

0.60976

0.55249

0.5

=

yi

round1

1 a i h⋅+( )2+

5,

:=i 0 n..:=

Racunanje vrednosti podintegralne funkcije sa 5 sigurnih cifarakoriscenjem funkcije round:

n 10:=Broj podintervala:

b 1:=a 0:=Granice integracije: h 0.1:=Korak integracije :

Izracunati koristeci calculus! I 0.7854=I roundπ4

5,

:=

Tacna vrednost integrala data sa 5 sigurnih decimala, pomocu funkcije round


Pokazi da je df2 monoton analizom 3.izvoda !

M 2=M df2 a( ):=

0 0.5 12

1

0

1

df2 x( )

x

df2 je monotona funkcija i ima najvecu apsol. vrednost na donjoj granici:

x a a 0.01+, b..:=

df2 x( )2

x

1

1 x2+

d

d

2 8

1 x2+( )3

x2⋅

2

1 x2+( )2

−→:=

2. izvod i njegov grafik:

Treba nam najveca vrednost 2.izvoda u intervalu [0,1]:

( )bafMMhab

E ,,)(,12 max

2 ∈ξξ′′=−<

Procena granice apsolutne greske Trapezne formule:

Simpsonova formula je dala tacan rezultat na svih 5 znacajnih cifara !

ES 0=IS 0.7854=ES I IS−:=IS round Simpson n h, y,( ) 5,( ):=

Posto je greska < 0.5x10 -3, trapezna formula je dala procenu sa 3 sigurne cifre

ET 4.2 104−×=IT 0.78498=ET I IT−:=IT round Trapez n h, y,( ) 5,( ):=

Procene integrala na 5 znacajnih cifara (decimala) i njihove greske :

Simpson n h, y,( )h

3y

0y

n+ 4

0

n 2−

2

i

y2 i⋅ 1+∑

=

+ 2

1

n 2−

2

i

y2 i⋅∑

=

⋅+

⋅:=


ESmax ES> 1=

ESmax 1.333 105−×=ESmax

b a−180

h4⋅ M⋅:=Granica greske :

M 24=M df4 a( ):=

Funkcija ima najvecu apsolutnu vrednost na donjoj granici:

0 0.5 120

0

20

40

df4 x( )

x

df4 x( )4

x

1

1 x2+

d

d

4 384

1 x2+( )5

x4⋅

288

1 x2+( )4

x2⋅−

24

1 x2+( )3

+→:=

4. izvod i njegov grafik:

Treba nam najveca vrednost 4.izvoda u intervalu [0,1]:

( )bafMMhab

E ,,)(,180 max

)4(4 ∈ξξ=−<

Procena granice apsolutne greske Simp. formule :

ETmax ET> 1=Provera:

ETmax 1.667 103−×=ETmax

b a−12

h2⋅ M⋅:=Granica greske :

Zadatak 4.2. Treba izracunati rezidualnu entalpiju zasicene pare izobutanana 360 K primenom termodinamicke relacije:

hrez =−RT 2p∗∫

0

(∂ z∂T

)p

d pp

gde je p∗ napon pare izobutana na T = 360 K (p∗= 15.41 bar). Vrednosti podinte-gralne funkcije su dobijene u Zadatku 3.1, numerickim diferenciranjem podatakao koeficijentu stišljivosti pare izobutana.


Numericko izracunavanje integrala rešiti na dva nacina:

a) Kao zbir više integrala, izracunatih iz vrednosti podintegralne funkcije pomocutrapeznog pravila ili Simsonove formule, definisan tako da se postigne što vecatacnost. Pri tom nedostajucu vrednost funkcije za p = 0 proceniti iz ostalih vred-nosti funkcije ekstrapolacijom pomocu kvadratnog LIP-a . Kao vrednost funkcijeza p = 15.41, uzeti onu dobijenu u Zadatku 3.2 ekstrapolacijom iz ostalih vredno-sti funkcije pomocu pspline-a.

b) Racunanjem integrala kao zbira tri integrala:

15.41∫0

1p

(∂ z∂T

)p

d p = I1 + I2 + I3 =

2∫0

f (p)d p+10∫

2

f (p)d p+15.4∫10

f (p)d p

pri cemu se I2 racuna približno korišcenjem Simpsonove formule, a I1i I3 integra-cijom kvadratnog LIP-a sa cvorovima: p = 0.1, 0.5 i 2, odnosno p = 10, 12 i 14.Tako je izbegnuta ekstrapolacija radi dobijanja vrednosti f (0) i f (15.41), kao ikorišcenje manje tacnog trapeznog pravila.

Rešenje (Mathcad):

Podaci:

R 8.314:= T 360:=

Vrednosti podintegralne funkcije (vektor y) dobijene su u zadatku 3.1 i 3.2 x

0.1

0.5

2

4

6

8

10

12

14

15.41

:= y

1.7083

1.4683

1.3058

1.3233

1.4199

1.5675

1.7685

2.0854

2.3868

2.5664

104−⋅:=


Integ n h, y,( )h

3y

0y

n+ 4

0

n 2−

2

i

y2 i⋅ 1+∑

=

+ 2

1

n 2−

2

i

y2 i⋅∑

=

⋅+

⋅:=

Za primenu Simsonove formule koristicemo funkciju:

I5

1.41

2y

9y

10+( )⋅:=I

31.5

2y

2y

3+( )⋅:=I

20.4

2y

1y

2+( )⋅:=I

10.1

2y

0y

1+( )⋅:=

pri cemu cemo 4. integral racunati Simsonovom formulom, a ostale trapeznim pravilom.

∫∫∫∫∫∫ ++++= ∂∂=

41.15

14

14

2

2

5.0

5.0

1.0

1.0

0

`41.15

0

)()()()()(1

dppfdppfdppfdppfdppfdpT

z

pI

p

S obzirom da vrednosti pritiska (x) na krajevima tabele (x,y) nisu ekvidistantne, integral cemo racunati kao zbir 5 integrala :

y

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.781·10 -4

1.708·10 -4

1.468·10 -4

1.306·10 -4

1.323·10 -4

1.42·10 -4

1.567·10 -4

1.769·10 -4

2.085·10 -4

2.387·10 -4

2.566·10 -4

=x

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0.1

0.5

2

4

6

8

10

12

14

15.41

=

y stack Y y,( ):=x stack 0 x,( ):=

Prosirenje originalnih nizova sa po jednim elementom pomocu funkcije stack :

Y 1.781 104−×=Y yLnx x y, 0, 2, 0,( ):=

yLnx x y, nx, m, xL,( )

0

m

j

0

m

i

if i j≠ xL xi nx+−( ), 1, ∏

=

0

m

i

if i j≠ xj nx+ x

i nx+−( ), 1, ∏=

yj nx+⋅∑

=

:=

Procenjvanje y(0) ekstrapolacijom Lagranzovim polinom 2. stepena:a)


Prvi integral racunamo integracijom LIP-a provu-cenog kroz tacke x = 0.1, 0.5, 2 :

y

1.708 104−×

1.468 104−×

1.306 104−×

1.323 104−×

1.42 104−×

1.567 104−×

1.769 104−×

2.085 104−×

2.387 104−×

=x

0.1

0.5

2

4

6

8

10

12

14

=y submatrix y 1, n 1−, 0, 0,( ):=

x submatrix x 1, n 1−, 0, 0,( ):=

n 10=n rows x( ) 1−:=

Trebaju nam vrednosti podintegralne funkcije za p = 0.1 do p = 14. Dobijamo ih iz vektora x i y pomocu submatrix

321

4.15

10

10

2

2

0

`41.15

0

)()()(1

IIIdppfdppfdppfdpT

z

pI

p

++=++= ∂∂= ∫∫∫∫

Integral racunamo kao zbir tri integrala, prvi u granicama 0-2, drugi 2-10 i treci u granicama 10-15.41:

b)

hrez1 2.841− 103×=hrez1 R− T

2⋅ I⋅:=Rezidualna entalpija:

I 2.637 103−×=I I∑:=Trazeni integral:

I4

1.998 103−×=I

4Integ n h, Y,( ):=

n 6=n rows Y( ) 1−:=h 2:=

Priprema za poziv funkcije:

Y

1.306 104−×

1.323 104−×

1.42 104−×

1.567 104−×

1.769 104−×

2.085 104−×

2.387 104−×

=Y submatrix y 3, 9, 0, 0,( ):=

Neophodno je, radi primene funkcije formirati pomocni niz Y, ciji je prvi element jednak y 3 ( p=2) , a poslednji jednak y7 (p=14). To mozemo izvesti pomocu funkcije submatrix

4.6 PROCENA GREŠKE METODE... 103

δ 0.5=δhrez1 hrez2−

hrez2100⋅:=

Odstupanje (%) izmedju izracunatih rezid. entalpija :

hrez2 2.827− 103×=hrez2 R− T

2⋅ I⋅:=Rezidualna entalpija:

I 2.623 103−×=I I∑:=Trazeni integral:

I2

1.165 103−×=I

2Integ 4 h, submatrix y 2, 6, 0, 0,( ),( ):=

Drugi integral racunamo Simpsonovim pravilom, pomocu funkcije Integ :

I3

1.184 103−×=I

310

15.41

XyLnx x y, 6, 2, X,( )⌠⌡ d:=

Treci integral racunamo integracijom LIP-a provu-cenog kroz tacke x = 10, 12, 14 :

I1

2.742 104−×=I

10

2

XyLnx x y, 0, 2, X,( )⌠⌡ d:=

4.6 PROCENA GRESKE METODE RICARDSONOVOMEKSTRAPOLACIJOM

Procenjivanje grešaka numericke integracije pomocu formule (4.21) nijejednostavno, jer zahteva poznavanje N-tog izvoda podintegralne funkcije i nje-govog ekstrema, a kao rezultat daje cesto znatno precenjene greške. Ricardson(Richardson) je predložio sledeci postupak za procenu greške, koji se bazira napretpostavci da se vrednost N-tog izvoda u formuli (4.21), ne menja mnogo uintervalu integracije. Neka su:

In, En - procena integrala dobijena integracionom formulom (4.20) sa brojempodintervala n, odnosno sa korakom h = (b−a)/n i njena greška


I2n, E2n - procena integrala sa duplo manjim korakom h = h/2, odnosno saduplo vecim brojem podintervala 2n i greška te procene

Znaci da je tacna vrednost integrala, I:

I = In +En = I2n +E2n (4.23)

a odatle:En−E2n = I2n− In (4.24)

Odnos grešaka te dve procene je uz datu pretpostavku jednak:

E2n

En=

c(b−a)(h

2

)Nf (N)(ξ1)

c(b−a)hN f (N)(ξ2)=

12N (4.25)

i imamo dve jednacine iz kojih možemo da nademo greške. Iz (4.25):

E2n =En

2N (4.26)

i smena tog izraza u (4.24) daje jednacinu po En, iz koje dobijamo:

En =I2n− In

1−1/

2N(4.27)

a onda iz (4.25):

E2n =I2n− In

2N−1(4.28)

Tako možemo da procenimo tacnu vrednost integrala:

I = I2n +E2n = I2n +I2n− In

2N−1(4.29)

Za trapeznu formulu, koja je drugog reda, dobijamo izraze za greške i pro-cenu tacne vrednosti integrala smenom N = 2 u opšte izraze (4.26),(4.29):

E2n =13(I2n− In), I = I2n +E2n =

43

I2n−13

In (4.30)

Za Simpsonovu formulu, smenom N = 4, dobijamo:

E2n =1

15(I2n− In), I = I2n +E2n =

1615

I2n−1

15In (4.31)

Zadatak 4.3. Proceniti grešku integrala izracunatog Trapeznom formulomu Zadatku (4.1), Ricardsonovom ekstrapolacijom.

Rešenje (Mathcad):


Dobijena je tacna procena na 5 sigurnih cifara

I 0.7854=I round I2n E2n+ 5,( ):=

Procena tacne vrednosti integrala :

Dobijena je realna procena greske !

E2n 4.2 104−×=E2n

I2n In−

3:=

Procena greske trapezne formule (4.15):

In 0.78373=In round In 5,( ):=In

hn

2y

0y

n+ 2

1

n 2−

2

i

y2 i⋅∑

=

⋅+

⋅:=

n rows y( ) 1−:=hn 2 h⋅:=

Sledi racunanje integrala sa duplo manjim brojem podintervala , n = 5. U sumu ulazi svaka druga ordinata, tj. samo parne ordinate( y0,y2,...y 8):

I2n IT:=

Prakticnije je racunanje integrala sa duplo vecim korakom, tj. sa duplo manjim brojem koraka , jer ne zahteva nove vrednosti podintegralne funkcije .Tako je:

Potrebna nam je jos jedna vrednost integrala , dobijena sa duplo manjim ili duplo vecim integracionim korakom.

IT 0.78498:=

Sa korakom integracije h 0.1:= , u Z 4.1 je trapeznom formulom za vrednost integrala dobijeno:

y

1

0.9901

0.96154

0.91743

0.86207

0.8

0.73529

0.67114

0.60976

0.55249

0.5

:=Vrednosti podintegralne funkcije, izracunate u Zadatku 4.1:


4.1 Iz tabelarnih vrednosti funkcije date u Zadatku 3.2 za samostalno rešavanje(zadaci na na kraju 2 glave) potrebno je numericki odrediti vrednost integrala

4∫0

f (x)dx

sa preciznošcu od 5 znacajnih cifara.a) Izracunati integral pomocu trapezne formule i uporediti sa tacnom vrednošcu.b) Obrazložiti zašto trapezna formula daje vecu vrednost integrala od tacne. Pro-ceniti granicu greške rezultata pomocu formule (4.17)c) Izracunati integral pomocu Simpsonove formule i diskutovati grešku rezultatana osnovu formule (4.19)d) Kolika je greška integracione formule reda N pri numerickoj integraciji poli-noma ciji je stepen najviše N-1 ?

4.2 Grubo se može proceniti da u opštem slucaju, integracioni korak za trape-znu formulu treba da bude 100 puta manji od integracionog koraka za Simpsonovuformulu da bi se trapeznom formulom postigla ista tacnost kao Simpsonovom. Iz-vesti tu procenu i proveriti je na podacima iz prethodnog zadatka.

4.3 Greška u rezultatu numericke integracije izvedene sa zanemarljivim uti-cajem grešaka zaokruživanja medurezultata (napr. u Mathcad-u) ima dve kom-ponente: greška koja potice od grešaka u vrednostima podintegralne funkcije igreška numericke metode.a) Pokazati da se, ako tabelarne vrednosti podintegralne funkcije imaju najmanjed sigurnih decimala, granica prve komponente ukupne apslutne greške rezultatamože proceniti kao:

AI,1 = 0.5nh10−d

gde je n broj integracionih koraka na intervalu integracije [a,b], za bilo koju inte-gracionu fomulu (4.20).b) Gornja procena u slucaju kada je broj koraka n veliki, znatno precenjuje greškukoja potice od netacnosti tabelarnih vrednosti funkcije. Imajuci u vidu da je nu-mericka integracija stabilan racunski proces, dati realniju procenu te greške, akoje poznato da tabelarne vrednosti funkcije imaju najmanje s sigurnih cifara.

4.4 Dati su podaci o koeficijentima stišljivosti CO2 na temperaturi T = 400K irazlicitim pritiscima:


p(bar) z p(bar) z

1 0.9982 10 0.98172 0.9965 15 0.97694 0.9926 20 0.96346 0.9894 25 0.95428 0.9855 30 0.9449

Potrebno je pomocu termodinamicke relacije:

lnφ =

p∫p∗

z−1p

d p

p∗−dovoljno mali pritisak, na kome je φ = 1.

izracunati koeficijente fugaciteta φ ugljendioksida na datoj temperaturi i priti-scima p = 10, 30 bar. Kao donju granicu integrala uzeti p∗ = 1bar. Traženefugacitete izracunati,a) kombinujuci trapeznu i Simpsonovu formulu, tako da se postigne najveca tac-nostb) kombinujuci integraciju kvadratnog LIP-a i Simpsonovu formulu radi postiza-nja vece tacnosti,i uporediti rezultate dobijene u a) i b).

4.5 Sa podacima iz prethodnog zadatka potrebno jea) povecati tacnost koeficijenata fugaciteta dobijenih postupkom b) u prethodnomzadatku, pomocu Ricardsonove ekstrapolacije;b) na osnovu procene greške numericke metode u a) i imajuci u vidu da su upodacima o koeficijentima stišljivosti sve cifre sigurne, proceniti broj sigurnihcifara u dobijenim koeficijentima fugaciteta.

4.6 Date su vrednosti specificnih entalpija h(kJ/

kg)

i specificnih toplota cp(kJ/

kgK)azota na pritisku p = 10bar i razlicitim temperaturama:

T (K): 110 120 130 140 150 160 170 180 190h: 96.8 110.4 123.0 135.2 146.9 158.4 169.7 180.8 191.8cp 1.417 1.304 1.237 1.192 1.160 1.136 1.118 1.104 1.094

Iz vrednosti entalpije azota na temperaturi T = 110K, i tabelarnih vrednostispecificne toplote, treba numerickom integracijom funkcije cp(T ) proceniti štotacnije entalpiju na p = 10 bar i temperaturi T = 190 K, kao i broj sigurnih cifarau rezultatu i to primenoma) trapezne formule ,b) Simpsonove formule,


uz Ricardsonovu ekstrapolaciju i uporedi procene sa vrednošcu datom u tabeli.4.7 Kontaktno vreme τ(s), za reaktor idealnog potiskivanja u kome se odigrava

povratna reakcija :

A+Bk1k2

2R , k1 = 2.8·10−2s−1 (kmol ·m−3)−1, k2 = 4.9 ·10−3s−1 (kmol ·m−3)−1

racuna se kao :

τ =1

k1C0A

xA∫0

dx(1− x)(M− x)−αx2 , M =

C0B

C0A, α =

4k2

k1

Potrebno je izracunati τ za ulazne koncentracije (kmol/m3): C0A = 0.5, C0

B =0.6 i stepen konverzije xA = 0.4, tako da, što se numericke metode tice, rezul-tat bude tacan na 3 sigurne cifre. Proracun izvesti, polazeci od 2 podintervala uintervalu integracije i toa) trapeznom formulomb) Simpsonovom formulom, koristeci funkciju Simpson

Uporediti brojeve iteracije i konacne velicine integracionih koraka za dva po-stupka i dobijena kontaktna vremena uporediti sa vrednošcu dobijenom numeric-kom integracijom Mathcad alatom, kao referentnom (tacnom u pogledu greškenumericke metode).

4.8 Iz podataka u Zadatku 4.4, izracunati koeficijente fugaciteta CO2 za svepritiske u tabeli, integracijom kubnog splajna Mathcad alatom. Proveriti osetlji-vost rezultata na izbor spline funkcije. Na ovom primeru uporediti medusobnoosetljivost numerickih metoda interpolacije, diferenciranja i integracije na izbortipa kubnog splajna i protumaciti eventualno uocene razlike u osetljivosti.

4.9 Iz podataka u Zadatku 4.6 izracunati entalpije azota na pritisku 10bar, zasve temperature

T = 120 - 200K, sa korakom ∆T = 5K. Uporediti rezultate sa raspoloživimtabelarnim vrednostima i analizirati uticaj izbora splajn funkcije.

Glava 5Sistemi linearnih jednacina

5.1 NEKE DEFINICIJE I TEOREME LINEARNE ALGEBRE

Pravougaonu matricu A, sa elementima ai, j, i = 1,2, ...,m; j = 1,2, ...,n,

A =

a11 a12 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n...

......

am,1 am,2 · · · am,n

koja ima m vrsta i n kolona skraceno cemo obeležavati kao:

A = [ai, j]m,n (5.1)

i zvacemo je matrica dimenzija m×n, ili matrica tipa m×n .

Kvadratna matrica

Matrica dimenzija n×n, kod koje je broj vrsta jednak broju kolona, naziva sekvadratna matrica reda n: A = [ai, j]n,n. Specijalni slucajevi kvadratne matricesu,

– nulta, ako su joj svi elementi jednaki nuli: ai j = 0, i = 1,2, . . . ,n, j =1,2, . . . ,n

– donja trougaona L, ako je: ai j = 0, i < j,– gornja trougaona U, ako je: ai j = 0, i > j

110 Sistemi linearnih jednacina

L =

a11a21 a22 0...

... . . .an1 an2 . . . ann

U =

a11 a12 . . . a1n

a22 . . . a2n

0 . . . ...ann

– dijagonalna D, ako je: ai j= 0, i = j – jedinicna E, ako je dijagonalna i uz

to: aii = 1, i = 1,2, . . . ,n

D =

a11 0

a22. . .

0 ann

E =

1 0

1. . .

0 1

TEOREMA 5.1 Determinanta trougaone matrice A je jednaka:

det A =n

∏i=1

aii (5.2)

Transponovanje matriceMedusobnom zamenom vrsta i kolona matrice A = [ai, j]m,n, dimenzija m x n,

dobija se njena transponovana matrica B = [bi, j]n,m dimenzija n x m, sa elemen-tima:

bi, j = a j,i , i = 1,2, ...,n; j = 1,2, ...,m

i pišemo: B = AT.Kvadratna matrica A je simetricna ako je: A = AT

Za transponovanje zbira i proizvoda (α je skalar), važi:

(A+B)T = AT +BT (5.3a)

(αA)T = αAT (5.3b)

(A B)T = BTAT (5.3c)

Inverzna matricaInverzna matrica kvadratne matrice A, ako postoji, je kvadratna matrica A−1,

takva da važi:

5.1 NEKE DEFINICIJE I TEOREME LINEARNE ALGEBRE 111

A A−1 = A−1A = E (5.4)

Kvadratna matrica A je– nesingularna (regularna), ako ima inverznu matricu i tada je: detA = 0

– singularna (neregularna), ako nema inverznu maticu i tada je: detA = 0 Akosu A i B regularne, onda važi:

(A−1)−1 = A (5.5a)

(A B)−1 = B−1A−1 (5.5b)

Ortogonalna matricaAko je matrica A regularna i važi:

ATA = AAT = E ⇔ A−1 = AT (5.6)

tj, ako je njena transponovana matrica matrica, jednaka njenoj inverznoj ma-trici, onda se ona naziva ortogonalna matrica. S obzirom na postupak množenjadve matrice, primetimo da ovo znaci:da su njene vrste (kolone), posmatrane kao vektori, medusobno ortogonalne jerje skalarni proizvod dve razlicite vrste (kolone) jednak nuli, (vandijagonalnielement proizvoda AAT)da su vrste (kolone) jedinicni vektori, jer je skalarni proizvod neke vrste (kolone)sa samom sobom jednak jedinici (dijagonalni element proizvoda AAT).

Rang matrice

Submatrica (podmatrica) matrice A = [ai, j]m,n je kvadratna matrica redak 6 min{m,n}, koju cine elementi u preseku bilo kojih k redova i k kolonamatrice A.

Primer 5.1. Neke submatrice 2. reda, matrice:

A =

2 −4 31 −2 10 1 −1

su: [

2 −41 −2

],

[−4 31 −1

], . . .

Za matricu A = [ai, j]m,n kažemo da ima rang r,


rang(A) = r 6 min{m,n}ako je bar jedna submatrica reda r nesingularna, a sve submatrice višeg redasingularne.

Primer 5.2.

rang

1 −2 −3 02 3 8 7−1 1 1 −1

= 2

rang

1 −2 −3 02 3 8 7−1 1 1 −1

= 2

jer je:

det[

1 −22 3

]= 0 , det

1 −2 −32 3 8−1 1 1

= det

−2 −3 03 8 71 1 −1

= · · ·0

TEOREMA 5.2 Iz teoreme 5.1 sledi da je rang trougaone matrice jednak brojunenultih elemenata na glavnoj dijagonali.

Primer 5.3.

rang

2 0 01 0 00 0 5

= 2 , det[

2 00 5

]= 0

5.1.1 Elementarne transformacije matrice. Ekvivalentne matriceSledece transformacije izvedene na nekoj matrici, nazivaju se elementarne

transformacije:Medusobna zamena dve vrste (kolone) matrice:

5.1 NEKE DEFINICIJE I TEOREME LINEARNE ALGEBRE 113

Množenje neke vrste (kolone) – kao vektora skalarom α = 0:

α

α

Dodavanje neke vrste (kolone), pomnožene skalarom α , drugoj vrsti (ko-loni):

α

α

Elementarne matrice su matrice dobijene primenom neke od elementarnihtransformacija na jedinicnu matricu E . Oznacavamo ih kao:

Ei j ,(

ETi j

)- dobijena zamenom i - te i j - te vrste (kolone)

Ei(a),(

ETi (a)

)- dobijena množenjem i - te vrste (kolone) skalarom a

Ei j(a),(

ETi j(a)

)- dobijena dodavanjem j - te vrste (kolone),

pomnožene sa a, i - toj vrsti (koloni)

Primer 5.4.

E =

1 0 00 1 00 0 1

, E13 =

0 0 10 1 01 0 0

= ET13

E2(3) =

1 0 00 3 00 0 1

= ET2 (3), E31(2) =

1 0 00 1 02 0 1

= ET13(2)


Zapažamo da važi:

Ei j = ETi j , Ei(a) = ET

i (a) , Ei j(a) = ETj i(a)

TEOREMA 5.3 : Neku elementarnu transformaciju matrice A = [ai, j]m,n mo-žemo da izvedemo,

nad vrstama, množeci je s leva elementarnom matricom reda m, dobijenomistom takvom transformacijom na jedinicnoj matrici,

nad kolonama, množeci je s desna elementarnom matricom reda n, dobije-nom istom takvom transformacijom na jedinicnoj matrici.

Primer 5.5.

A =

1 −2 30 4 78 −1 20 3 1

−−−−−→(3)−2(1)

1 −2 30 4 76 3 −40 3 1

= B

P = E31(−2) =

1 0 0 00 1 0 0−2 0 1 00 0 0 1

PA =

1 0 0 00 1 0 0−2 0 1 00 0 0 1

·

1 −2 30 4 78 −1 20 3 1

=

1 −2 30 4 7

−2 ·1+8 −2 · (−2)−1 −2 ·3+20 3 1

= B

A =

1 −2 30 4 78 −1 20 3 1

(1) ←→(3)

−−−−−→

3 −2 17 4 02 −1 81 3 0

= B, Q = ET13 =

0 0 10 1 01 0 0

AQ =

1 −2 30 4 78 −1 20 3 1

· 0 0 1

0 1 01 0 0

=

3 −2 17 4 02 −1 81 0 0

= B

5.2 GAUSOV ALGORITAM ZA ODREDJIVANJE RANGA 115

Ako je matrica B dobijena od matrice A nizom elementarnih transforma-cija kažemo da su to ekvivalentne matrice i pišemo:

A∼ B i B∼ A

Ekvivalentne matrice imaju isti rang,

rang(A) = rang(B)

TEOREMA 5.4 Svaka matrica A= [ai, j]m,n se može prevesti u ekvivalentnu “tra-peznu” matricu B= [bi, j]m,n, koja kao podmatricu reda r, formiranu od elemenatau preseku prvih r 6 min(m,n) vrsta i kolona ima gornju nesingularnu trougaonumatricu U (svi dijagonalni elementi razliciti od nule) i

bi j = 0, i > r ; j = 1,2, ...,n

A−→

b11 b12 . . . b1r0 b22 . . . b2r...

... . . ....

0 0 . . . brr

b1r+1 . . . b1nb2r+1 . . . b2n... . . .

...brr+1 . . . brn

0 0 . . ....

...0 0 . . .

. . . 0

. . . 0

r vrsta

(m− r) vrsta

(5.7)

U skladu sa teoremom 5.2,

rang(A) = rang(B) = rang(U) = r, r 6 min(m,n) (5.8)

5.2 GAUSOV ALGORITAM ZA ODREDJIVANJE RANGAGausove transformacije na matrici A= [ai, j]m,n, radi odredivanja njenog ranga

baziraju se na teoremi 5.4 i imaju kao rezultat trapeznu matricu (5.7). One suidenticne elementarnim transformacijama na proširenoj matrici, u sklopu elimi-nacionog ili Gausovog postupka rešavanja sistema linearnih jednacina. Tako se k-ti korak Gausovog algoritma za nalaženje ranga matrice A (k < n) sastoji u do-davanju k - te vrste matrice (uz pretpostavku da je dijagonalni element u toj vrstirazlicit od nule), pomnožene odgovarajucim brojevima, vrstama ispod nje, re-dom, sa ciljem da elementi ispod dijagonalnog u k-toj koloni transformisanematrice budu jednaki nuli.

Nakon (k−1) koraka Gausovog algoritma, izgled transformisane matrice je:


a11 a12 . . . a1k . . . a1 j . . . a1n

0 a(1)22 . . . a(1)2k . . . a(1)2 j . . . a(1)2n...

... . . .... . . .

... . . ....

0 0 . . . a(k−1)kk . . . a(k−1)

k j . . . a(k−1)kn

...... . . .

... . . .... . . .

...0 0 . . . a(k−1)

ik . . . a(k−1)i j . . . a(k−1)

in...

... . . .... . . .

... . . ....

0 0 . . . a(k−1)mk . . . a(k−1)

m j . . . a(k−1)mn

U eksponentu nekog elementa matrice, naznacen je broj transformacija kojeje taj element doživeo. Pretpostavimo da je,

a(k−1)kk = 0

što je uslov za izvodenje k-tog koraka. Ako uslov nije ispunjen, onda se za-menom k-te i neke druge vrste (kolone), postigne da on bude zadovoljen. Sledecaformula opisuje k-ti korak algoritma:

a(k)i j = a(k−1)i j −

a(k−1)ik a(k−1)

k j

a(k−1)kk

, j = k+1,k+2, ...,n , i = k+1,k+2, ...,m (5.9)

Gausov postupak se završava kada:

– su svi elementi u vrstama k do m jednaki nuli, ili

– k = m (nema više vrsta), ili

– k = n (nema više kolona)

Moguci oblici rezultujuce trapezne matrice su prikazani na slikama 5.1 i 5.2:

5.2 GAUSOV ALGORITAM ZA ODREDJIVANJE RANGA 117

r = m

r < m

m ≤ n

Slika 5.1: Rezultujuca matrica u slucaju m 6 n

r = n

r < n

n ≤ m

Slika 5.2: Rezultujuca matrica u slucaju n 6 m

Primer 5.6.

1 −2 −3 02 3 8 7−1 1 1 −1

−−−−−→(2)−2(1)(3)+(1)

1 −2 −3 00 7 14 70 −1 −2 −1

−−−−−−→(3)+(2)/7

1 −2 −3 00 7 14 70 0 0 0

r = 2


5.3 LINEARNA ZAVISNOST VRSTA (KOLONA) MATRICE

5.3.1 VektoriPod vektorom a, podrazumevamo uredenu n-torku ili niz od n realnih bro-

jeva, koje zovemo koordinate vektora. Vektor sa n koordinata, zvacemo n-dimenzionalan vektor.

Primer 5.7.

dvodimenzionalan vektor a: a =

[1−2

],

cetvorodimenzioni vektor b: b =

2005

,

vektor položaja tacke M(x,y,z) u Dekartovom koordinatnom sistemu:

r(M) =

xyz

5.3.2 Linearna zavisnost vektora

Kaže se da su vektori ai, i = 1,2, . . . ,k linearno zavisni, ako postoje brojeviλi, i = 1,2, . . . ,kod kojih je bar jedan razlicit od nule, takvi da je:

k

∑i=1

λiai = 0 (5.10)

To znaci da se bar jedan od njih može predstaviti kao linearna kombinacijaostalih:

a j =k

∑i=1i= j

δiai, j = 1,2, . . . ,k (5.11)

gde su δi skalari i zovu se koeficijenti linearne kombinacije (5.11).Primer 5.8.

a)2a1−a2 +0a3 +0a4 = 0 ⇒ a1 =

12a2 +0a3 +0a4 =

12a2

a2 = 2a1

b)

2a1−a2 +0a3 +4a4 = 0 ⇒ a1 =12a2 +0a3−2a4 =

12a2−2a4

a2 = 2a1 +4a4a4 =−1

2a1 +14a2

5.3 LINEARNA ZAVISNOST VRSTA (KOLONA) MATRICE 119

Trivijalan slucaj linearne kombinacije je da je samo jedan od brojeva λiu (5.10) razlicit od nule. Tada je ocigledno jedini vektor koji se može izrazitikao linearna kombinacija ostalih (5.11) nula vektor, jer su svi koeficijenti δijednaki nuli. U daljim razmatranjima, izuzecemo trivijalan slucaj.

Ako je jednacina (5.10) zadovoljena samo kada su svi skalari jednaki nuliλi = 0, i = 1,2, . . . ,k, onda se kaže da su vektori ai, i = 1,2, . . . ,k linearno neza-visni. Drugim recima, nijedan od njih se ne može izraziti kao linearna kombi-nacija (5.11) ostalih. Ako je skup vektora ai, i = 1,2, . . . ,k linearno nezavisan(skup linearno nezavisnih vektora), lako je pokazati da je i svaki njegov pod-skup takode linearno nezavisan. Tako se može govoriti o maksimalnom brojulinearno nezavisnih vektora u nekom skupu vektora.

Primer 5.9.a) Skup tri vektora u ravni Oxy (n = 2),

a1 =−2.5i+ j =[−2.5

1

], a2 =

[1.25−0.5

], a3 =

[2.5−1

]nije linearno nezavisan. Na primer:

a1 +a3 +0a2 = 0, 0a1 +a2−0.5a3 = 0, ...

Bilo koja dva od 3 data vektora su linearno zavisni od treceg, tj. mogu sedobiti množenjem treceg vektora nekim skalarom = 0. Na primer,

a2 =−0.5a1, a3 =−a1

Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora je k = 1. Vektori su kolinearni -leže na jednoj pravoj u Oxy ravni, koja prolazi kroz koordinatni pocetak.b) Vektori u Oxy ravni,

a1 = i+2j =[

12

], a2 =

[2−2

], a3 =

[−2−1

]su 3 linearno zavisna vektora. Na primer:

a1 +0.5a2 +a3 = 0.

Vektori ne leže na jednoj pravoj i maksimalan broj linearno nezavisnih vektoraje k = n = 2. Svaki par od data 3 vektora cini skup linearno nezavisnih, daklenekolinearnih, vektora. Na primer,

0a1 +0a2 = 0


Bilo koji od posmatranih vektora je neka linearna kombinacija ostala dva. Naprimer,

a3 =−(a1 +0.5a2)

x

y

a3

a1

a2 x

y

a3

a2

a1

a) b)

x

a3 = - a1 a2 = 0.5a3 = - 0.5a1 a3 = - (a1 +0.5a2)

k = 1 k = n= 2

j=b2

i=b1

Slika 5.3:

5.3.3 Vektorski prostori i potprostori

Beskonacan skup svih n− dimenzionalnih vektora (vektori sa n koordinata)zajedno sa operacijama:– množenja vektora skalarom– sabiranja vektora– skalarnog množenja vektora naziva se n - dimenzionalni vektorski prostor.Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora u n− dimenzionalnom vektorskomprostoru je tacno jednak n. Bilo koji skup, koji sadrži maksimalan broj linearnonezavisnih vektora naziva se baza vektorskog prostora, a njeni elementi bi, i=1,2, . . . ,k, bazni vektori.

Iz definicije linearne zavisnosti vektora, sledi da su svi ostali vektori nekelinearne kombinacije baznih vektora. Jedna ocigledna baza n - dimenzionalnogvektorskog prostora su vektori:

b1 =

10...0

, b2 =

01...0

, · · · , bn =

00...1

Ta baza se naziva kanonicna baza. Kanonicnu bazu u trodimenzionalnom

Euklidskom prostoru cine ortovi (jedinicni vektori) i, j i k, jer se svaki vektor v


u tom prostoru (brzina, sila itd.) može razložiti na ta tri vektora, tj. prikazati kaolinearna kombinacija:

v = x1i+ x2j+ x3k

ciji su koeficijenti koordinate ili komponente vektora v u koordinatnim prav-cima.

U n− dimenzionalnom vektorskom prostoru, odabrani skup od k (k 6 n) li-nearno nezavisnih vektora formira jednu bazu k – dimenzionog vektorskog pot-prostora u kome je svaki vektor jednak nekoj linearnoj kombinacija odabranihbaznih vektora.

Primer 5.10.a) U prethodnom primeru a), svi kolinearni vektori, koji leže na pravoj definisa-noj bilo kojim od tri data dvodimenzionalna vektora, cine jedan 1- dimenzionivektorski potprostor, za ciju se bazu može uzeti recimo vektor a1

b) U prethodnom primeru b), maksimalan broj linearno nezavisnih od data tridvodimenzionalna vektora (n = 2) je: k = n = 2. Pošto nijedan par od tri datavektora ne leži na jednoj pravoj, on se može uzeti kao baza 2- dimenzionalnogvektorskog potprostora. Ako bi pak, dva od tri vektora bili kolinearni, recimo a1 ia2 oni ne bi mogli ciniti bazu 2− dimenzionalnog potprostora.c) Tri komplanarna, nekolinearna vektora u trodimenzionalnom prostoru (slika5.4)

y a1

x

a3

z

a2

n = 3 k = 2

Slika 5.4:

Pošto vektori leže u jednoj ravni, linearno su zavisni i i bilo koji od njih semože raložiti po ostala dva. Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora je 2i bilo koja dva od tri vektora, ako nisu kolinearni, mogu da se uzmu kao baza2-dimenzionog vektorskog potprostora, koga cine svi vektori u datoj ravni.


d) Tri nekomplanarna vektora u trodimenzionalnom prostoru (slika 5.5). Vektorine leže u istoj ravni, pa su linearno nezavisni:

λ1a1 +λ2a2 +λ3a3 = 0, za λ1 = λ2 = λ3 = 0

i formiraju jednu bazu 3- dimenzionog vektorskog (pot)prostora.

y a1

x

a3

z

a2

k = n = 3

Slika 5.5:

5.3.4 Broj nezavisnih vrsta (kolona) matrice

Vrste i kolone neke matrice

A = [ai j]m,n

su vektori. Pri tom razlikujemo:– horizontalne vektore ili vektor- vrste, sa po n koordinata (elemenata)– vertikalne vektore ili vektor- kolone, sa po m koordinata (elemenata)

Dogovoricemo se da se pod nekim vektorom a, b, c, itd. podrazumeva ver-tikalni vektor. Horizontalan vektor cemo onda oznacavati kao transponovanivertikalan vektor.

Primer 5.11.

a =

02−3

, bT =[

1 −2.5 0.5 3]

Ako dozvolimo da elementi matrica i vektora mogu da budu vektori i ma-trice, onda je ocigledno da neku matricu


A = [ai j]m,n

možemo da prikažemo alternativno kao:– (1×n) matricu, tj. vektor- vrstu, ciji su elementi, m- dimenzionalni vektori-

kolone– (m× 1) matricu, tj. vektor- kolonu ciji su elementi , n- dimenzionalni

vektori- vrste

A=[

a1 a2 . . . an]=

bT

1bT

2...bT

m

, a j =

a1 ja2 j...am j

, bTi =

[bi1 bi2 . . . bin

](5.12)

TEOREMA 5.5 Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora - vrsta matrice

A = [ai j]m,n

jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih vektora- kolona i jednak jerangu matrice.

Iz teoreme neposredno sledi:

rang(A) = rang(AT ) (5.13)

Neka je rang matrice

A = [ai j]m,n

jednak r i neka je submatrica reda r u gornjem levom uglu matrice A, nesingu-larna. Znaci da su prvihrkolona, a j, j = 1,2, . . . ,r matrice linearno nezavisne, kaoi prvih r vrsta, bT

i , i = 1,2, . . . ,r. Ostale kolone (vrste) su onda neke linearnekombinacije tih r kolona (vrsta):


Slika 5.6:

a = λ1 j a1 +λ2 j a2 + . . . +λr j br, j = r+1,r+2, · · · ,n (5.14a)

bTi = λ ′1i bT

1 +λ ′2i bT2 + . . . +λ ′ri bT

r , i = r+1,r+2, · · · ,m (5.14b)

5.4 ODREDJIVANJE BROJA NEZAVISNIH HEMIJSKIH RE-AKCIJA

Da bi mogli da iskoristimo metode linearne algebre u stehiometriji, koristi-cemo sledeci uopšteni prikaz hemijske reakcije, tj. stehiometrijske jednacine:

Nc

∑i=1

νiAi = 0 (5.15)

Nc je broj supstanci koje ucestvuju u reakciji. Ai oznacava susptancu, kojaucestvuje u reakciji, tj. njen molekul, a νi njen stehiometrijski koeficijent, pricemu važi dogovor:

νi

{> 0 za produkt reakcije< 0 za reaktant u reakciji

Primer 5.12. Stehiometrijsku jednacinu:

CH4 +H2O =CO+3H2

prevodimo, prebacujuci molekule reaktanata na desnu stranu znaka jednakosti, uekvivalentnu, koja ima oblik (5.15):

CO+3H2−CH4−H2O = 0

5.4 NEZAVISNE HEM. REAKCIJE 125

Ako supstance oznacimo kao:

A1 =CH4, A2 = H2O, A3 =CO, A4 = H2

imamo:ν1 = ν2 =−1, ν3 = 1, ν4 = 3

i posmatranoj reakciji dodeljujemo horizontalan vektor:

rT = [−1, −1, 1, 3]

Ako se u sistemu odigrava više reakcija, njihove stehiometrijske jednacine seprikazuju na sledeci nacin:

Nc

∑i=1

νi j Ai = 0, j = 1,2, ...,Nr (5.16)

gde su:Ai - komponenta i u reakcionoj smešiνi j - stehiometrijski koeficijent i-te komponente u j-toj reakcijiNc - broj komponenata u sistemuNr - broj reakcija u sistemuPrimer 5.13.

Reakcije izmedu komponenata C, O2, CO i CO2

C+1/2O2 = CO (R1)CO+1/2O2 = CO2 (R2)

CO2 +C = 2CO (R3)

U formi (5.16) one izgledaju:

−C−1/2O2 +CO = 0 (R1)−1/2O2−CO+CO2 = 0 (R2)−C+2CO−CO2 = 0 (R3)

pri cemu smo komponente numerisali kao: C(1), O2(2), CO (3) i CO2(4).Jasno je da je sistem reakcija (5.16) definisan matricom stehiometrijskih

koeficijenata dimenzija (Nc×Nr) koju zovemo stehiometrijska matrica S:

S = [νi j]Nc,Nr (5.17)

Primer 5.14. Stehiometrijska matrica za sistem reakcija u prethodnom pri-meru je:

S =

−1 0 −1−1/2 −1/2 0

1 −1 20 1 −1


Praktican problem u stehiometriji je odredivanje broja nezavisnih reakcija,tj. stehiometrijskih jednacina u nekom reakcionom sistemu. Nezavisna hemij-ska reakcija u skupu Nrreakcija je ona, cija se stehiometrijska jednacina ne možedobiti kao linearna kombinacija ostalih. U transponovanoj stehiometrijskojmatrici, vrste jednoznacno odgovaraju reakcijama, tj. stehiometrijskim jednaci-nama, a kolone komponentama.

ST =

ν11 ν21 . . . νi1 . . . νNc1

...... . . .

... . . ....

ν1 j ν2 j . . . νi j . . . νNc j...

... . . .... . . .

...ν1Nr ν2Nr . . . νiNr . . . νNcNr

=

rT

1...

rTj...

rTNr

← j− ta reakcija

↑i− ta komponenta

Sledi da je broj nezavisnih hemijskih reakcija NR u sistemu od Nr reakcija:

NR = rang(S) = rang(ST) (5.18)

Zadatak 5.1. Odrediti broj i odabrati jedan skup nezavisnih reakcija u reak-cionom sistemu:

2NO+O2 = 2NO2 (1)2NO = N2 +O2 (2)

N2 +2O2 = 2NO2 (3)4NH3 +3O2 = 2N2 +6H2O (4)

4NH3 +6NO = 5N2 +6H2O (5)

Rešenje:U sistemu imamo Nr = 5 reakcija i Nc = 6 komponenata. Ako komponente

oznacimo kao:NO2 = A1, N2 = A2, O2 = A3, NO = A4, H2O = A5, NH3 = A6

transponovana stehiometrijska matrica sistema ce biti:

ST =

rT

1rT

2rT

3rT

4rT

5

=

A1 A2 A3 A4 A5 A62 0 −1 −2 0 00 1 1 −2 0 02 −1 −2 0 0 00 2 −3 0 6 −40 5 0 −6 6 −4

5.4 NEZAVISNE HEM. REAKCIJE 127

Sprovodimo Gausov postupak za nalaženje ranga matrice ST:

A1 A2 A3 A4 A5 A62 0 −1 −2 0 00 1 1 −2 0 02 −1 −2 0 0 00 2 −3 0 6 −40 5 0 −6 6 −4

−−−−→(3)−(1)

2 0 −1 −2 0 00 1 1 −2 0 00 −1 −1 2 0 00 2 −3 0 6 −40 5 0 −6 6 −4

−−−−−→(3)+(2)(4)−2(2)(5)−5(2)

2 0 −1 −2 0 00 1 1 −2 0 00 0 0 0 0 00 0 −5 4 6 −40 0 −5 4 6 −4

−−−−→(3)→←(5)

2 0 −1 −2 0 00 1 1 −2 0 00 0 −5 4 6 −40 0 −5 4 6 −40 0 0 0 0 0

−−−−→(4)−(3)

2 2 −10 1 10 0 −5

−2 0 02 0 04 6 −4

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Dobili smo:

rang (ST) = 3

Kao nezavisne (bazne) reakcije možemo da odaberemo one, koje odgovarajuprvim trima vrstama u rezultujucoj matrici (pošto su one sigurno linearno nezavi-sne), a pošto je u Gausovom postupku bilo premeštanja vrsta (zamena 3. i 5. vrsteu 3. koraku), to su 1, 2. i 5. vrsta u polaznoj matrici. Jedan skup nezavisnih ilibaznih reakcija je:

(1) 2A1−A3−2A4 = 0 2NO+O2 = 2NO2

(2) A2 +A3−2A4 = 0 2NO = N2 +O2

(5) 5A2−6A4 +4A5−A6 = 0 4NH3 +6NO = 5N2 +4H2O

Ostale reakcije:

(3) 2A1−A2−2A3 = 0 N2 +2O2 = 2NO2

(4) 2A2−3A3 +6A5−4A6 = 0 4NH3 +3O2 = 2N2 +6H2O

su zavisne i neke su linearne kombinacije nezavisnih (vidi jednacine (5.14)). Tekombinacije su:

(3) = (1) - (2), (4) = (5) – 3(2)


Koeficijenti u tim kombinacijama se dobijaju rešavanjem odgovarajucih si-stema linearnih jednacina. Na primer za 3. reakciju, treba odrediti koeficijente λiu linearnoj kombinaciji:

r3 = λ1r1 +λ2r2 +λ3r5

odnosno, 2−1−2000

= λ1

20−1−200

+ λ2

011−200

+λ3

050−66−4

Iz te vektorske jednacine sledi sistem od 6 linearnih jednacina sa nepoznatima

λ1,λ2,λ3:

2λ1 +0λ2 +0λ3 = 20λ1 +λ2 +5λ3 =−1−λ1 +λ2 +0λ3 =−2−2λ1−2λ2−6λ3 = 0

0λ1 +0λ2 +6λ3 = 00λ1 +0λ2−4λ3 = 0

To je saglasan sistem, pa se rešava sistem od tri odabrane nezavisne jednacine.Recimo, ako odaberemo prvu, drugu i poslednju, onda iz poslednje dobijamo:

λ3 = 0

Smenom u 1. jednacinu i rešavanjem po λ1 dobijamo:

λ1 = 1

i konacno, sa tim vrednostima, iz 2. jednacine dobijamo:

λ2 =−1

5.5 EGZISTENCIJA REŠENJA SISTEMA LINEARNIH JEDNACINA 129

5.5 EGZISTENCIJA RESENJA SISTEMA LINEARNIH JEDNACINAPosmatrajmo sistem od m linearnih jednacina sa n nepoznatih:

a11x1 +a12x2 + · · ·+a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 + · · ·+a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 +am2x2 + · · ·+amnxn = bm

(5.19)

ili u vektorskom obliku:Ax = b (5.20)

gde su:

A = [ai j]m,n , x =

x1x2...xn

, b =

b1b2...bm

Trebace nam proširena matrica sistema, koju cemo oznaciti sa [A |b] i koju

dobijamo kada matrici sistema A dodamo, kao kolonu, vektor slobodnih koefici-jenata b:

[A|b] = [A, b] =

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2· · · · · · · · · · · · · · ·am1 am2 . . . amn bm

5.5.1 Kroneker-Kapelijeva teoremaTEOREMA 5.6 (Kronecker- Capelli): Sistem linearnih jednacina ili krace SLJ(5.19) je saglasan (ima rešenje) ako i samo ako je:

r = rang (A) = rang [A |b]

ili, ako rang ove matrice sistema i proširene matrice oznacimo sa rA, rAb,

r = rA = rAb 6 min(m,n) (5.21)

Pri tom, SLJ ima:– ako je r = n, jedinstveno rešenje – korektan i odreden problem– ako je r < n, beskonacno mnogo rešenja – korektan i neodreden problem.


U protivnom, ako je rA < rAb, kaže se da je sistem protivurecan ili nesagla-san, ili da je problem nekorektan.

Slucajevi korektnog odredenog problema su:

Kvadratni SLJ, tj. r = m = n. Matrica sistema je nesingularna (detA =0) i rešenje se dobija množenjem s leva obe strane jednacine (5.20), inverznommatricom:

x = A−1b (5.22)

Pravougaoni SLJ, tj r = n < m. Od ukupno mjednacina, nezavisno je n, a"višak"od (m - n) jednacina su neke linearne kombinacije tih n jednacina. Tako,rešenje dobijeno rešavanjem kvadratnog sistema sa n nezavisnih jednacina, za-dovoljava i ostale jednacine.

Slucajevi korektnog neodredenog problema su:

r = m < n , što znaci su u sistemu sve jednacine nezavisne (r = m ), ali onesadrže više nepoznatih od broja jednacina, pa je problem neodreden, tj. ima bes-konacno mnogo rešenja.

r < m < n ili r < n 6 m , što znaci da je od ukupno m, nezavisno r jednacina,koje sadrže više od r nepoznatih. Njegovo rešavanje ce biti objašnjeno kasnije.

Primer 5.15.2x+ y = 4 (1)x− y = −1 (2) (n = m = 2)

Gausove transformacije proširene matrice:[2 1 41 −1 −1

]−−−−−−→(2)−(1)/2

[2 1 40 −1.5 −3

]rA = rAb = n = 2Sistem ima jedinstveno rešenje: x = 1, y = 2Geometrijska interpretacija: Prave 2x+ y = 4 i x− y = -1 se seku u tacki (1,2)Primer 5.16.2x+3y = 6 (1)4x+6y = 12 (2) (n = m = 2)[

2 3 64 6 12

]−−−−−→(2)−2(1)

[2 3 60 0 0

]⇒ r = rA = rAb = 1


Jednacine nisu nezavisne (r < m): druga se može dobiti množenjem prve sa 2.Sistem je saglasan i ima beskonacno mnogo rešenja. Geometrijska interpretacija:prave (1) i (2) se poklapaju.

Primer 5.17.

2x+3y = 6 (1)4x+6y = 24 (2) (n = m = 2)

[2 3 64 6 24

]−−−−−→(2)−2(1)

[2 3 60 0 12

]−→[

2 6 30 12 0

]⇒ rA = 1,rAb = 2

Sistem je nesaglasan – nekorektan problem. Geometrijski: paralelne prave.

x

(1) (2)

1

1

y

Slika 5.7:

Primer 5.18.

2x+ y+ z = 4 (1)x− y+2z = −1 (2) (n = 3,m = 2 < n)

[2 1 1 41 −1 2 −1

]−−−−−−→(2)−(1)/2

[2 1 1 40 −1.5 1.5 −3

],r = rA = rAb = m = 2

Sistem je saglasan i ima beskonacno mnogo rešenja (r < n) – korektan neodredenproblem. Geometrijska interpretacija: presek 2 ravni.


x

y

z

Slika 5.8:

Primer 5.19.2x+ y+ z = 4 (1)

6x+3y+3z = 12 (2) (n = 3,m = 2 < n)[2 1 1 46 3 3 12

]−−−−−→(2)−3(1)

[2 1 1 40 0 0 0

]r = rA = rAb = 1 < m

Druga jednacina se dobija iz prve, množenjem sa 3. Problem je neodreden ikorektan. Geometrijska interpretacija: 2 ravni koje se poklapaju.

rešenje - ravan

z

y

x

Slika 5.9:


Primer 5.20.2x+3y− z = 6 (1)

4x+6y−2z = 10 (2) (n = 3,m = 2 < n)[2 3 −1 64 6 −2 10

]−−−−−→(2)−2·(1)

[2 3 −1 60 0 0 −2

]→[

2 6 −1 30 −2 0 0

]rA = 1, rAb = 2Sistem je nesaglasan, tj. problem je nekorektan. Geometrijska interpretacija:

dve paralelne ravniPrimer 5.21.2x+ y = 4 (1)

x− y = −1 (2)x+2y = 5 (3) (n = 2,m = 3 > n)

r = rA = rAb = 2Treca jednacina se dobija oduzimanjem druge od prve. Korektan odreden pro-

blem, koji ima jedinstveno rešenje: x = 1, y = 2. Geometrijska interpretacija:tri prave, koje se seku u jednoj tacki.

y

(1)

x

(2)

(3)

Slika 5.10:

Primer 5.22.2x+3y = 6 (1)4x+6y = 12 (2)6x+9y = 18 (3) (n = 2,m = 3 > n)

rA = rAb = 1Samo jedna jednacina je nezavisna. Jednacine (2) i (3) se dobijaju množenjem

(1) sa 2, odnosno 3. Problem je korektan neodreden. Geometrijska interpretacija:tri prave, koje se poklapaju.


Primer 5.23.2x+ y = 4 (1)x− y = −1 (2)x+ y = 5 (3) (n = 2,m = 3 > n)

rA = 2,rAb = 3Sistem je nesaglasan. Geometrijska interpretacija: tri prave, koje se ne seku u

jednoj tacki.

y

(1)

x

(2)

(3)

Slika 5.11:

5.5.2 Broj stepeni slobode i resavanje saglasnog neodredenog SLJ

Pod brojem stepeni slobode d saglasnog SLJ, podrazumeva se razlika brojanepoznatih i zajednickog ranga matrice sistema i proširene matrice sistema:

d = n− r

{= 0 odreden problem> 0 neodreden problem

(5.23)

i predstavlja broj nepoznatih, kojima se moraju zadati neke vrednosti (tzv. slo-bodne promenljive) da bi se mogle odrediti vrednosti preostalih r nepoznatih. Naprimer, u primerima 2, 4 i 8 broj stepeni slobode je 1: jednoj od nepoznatih (slo-bodna promenljiva) se zadaju neke vrednosti. U primeru 5 imamo dva stepenaslobode – dve od tri nepoznate su slobodne promenljive (npr. za odabrani parvrednosti x i y, z se dobija kao treca koordinata tacke u ravni, definisanoj jednaci-nama sistema) .

Neka je submatrica koju cine elementi u preseku prvih r vrsta i r kolona pro-širene matrice [A |b] nesingularna. To se uvek može postici elementarnim trans-formacijama – medusobna zamena mesta vrsta (kolona), što znaci prenumeraciju


jednacina (nepoznatih). Tako je prvih rjednacina medusobno nezavisno, a svakaod preostalih m− r je neka njihova linearna kombinacija, pa ce je zadovoljiti re-šenje tih r jednacina. Postupak se sastoji u tome da:

– uzmemo samo prvih r jednacina (u specijalnom slucaju r = m < n, to su svejednacine)

– u tom sistemu, nepoznate xr+1, . . . ,xn prebacimo na desne strane jednacina– uzimajuci proizvoljne vrednosti za te nepoznate, rešavamo rezultujuci sistem

od r jednacina sa r nepoznatihPrimer 5.24.

x1−2x2 +3x3 = 1 (1)3x1 +2x2−4x3 = 2 (2)5x1−2x2 +2x3 = 4 (3) 1 −2 3 1

3 2 −4 25 −2 2 4

−−−−−−→(2)−3×(1)(3)−5×(1)

1 −2 3 10 8 −13 −10 0 0 0

⇒ rA = rAb= 2

Prve dve jednacine su nezavisne, a treca je njihova linearna kombinacija:(3) = 2×(1) + (2)Uzimamo prve dve jednacine i nepoznatu x3 (slobodna promen.) prebacujemo

na desnu stranu :x1−2x2 = 1−3x3

3x1 +2x2 = 2+4x3Eliminišemo iz druge jednacine nepoznatu x1 tako što od druge oduzmemo

prvu jednacinu, pomnoženu sa 3. Rezultat je ekvivalentan sistem:x1−2x2 = 1−3x3

8x2 = −1+13x3Iz druge dobijamo x2 u funkciji slobodne promenljive:

x2 =−18+

138

x3

i smenom tog izraza u prvu i rešavanjem po x1:

x1 =34+

14

x3

Za svaku odabranu vrednost za slobodnu promenljivu x3 dobijamo jedan parvrednosti x1 i x2 , tj. jedno od beskonacno mnogo rešenja datog SLJ.


5.5.3 Homogen SLJ

U slucaju da je vektor slobodnih koeficijenata jednak nuli imamo homogenSLJ:

Ax = 0 (5.24)

U skladu sa teoremom 5.6 homogen SLJ (5.24) je uvek saglasan jer iz b = 0sledi:

rA = rAb = ri ima ocigledno rešenje x = 0, koje se naziva trivijalno. Da bi homogen SLJ imaoi netrivijalna rešenja (beskonacno mnogo), potrebno je i dovoljno da bude:

r < ntj. da bude neodreden. U slucaju kvadratnog sistema (m = n), to znaci da jematrica A singularna (det A = 0). Netrivijalna rešenja se dobijaju opisanimpostupkom za rešavanje saglasnih neodredenih SLJ.

5.6 GAUSOV ELIMINACIONI METOD RESAVANJA SLJ

U daljem izlaganju cemo se ograniciti na kvadratne saglasne SLJ: r = n = m.Postoji dva tipa postupaka za njhovo rešavanje:– direktni ili eliminacioni– iterativni

Najpoznatiji eliminacioni postupak je Gausov. Elementarne transformacijeidenticne onima za odredivanje ranga matrice, sprovode se na proširenoj matrici[A |b] i imaju za rezultat ekvivalentan (ima isto rešenje kao polazni sistem) tro-ugaoni sistem jednacina (matrica sistema je gornja trougaona), sa proširenommatricom:

[A |b] →

α11 α12 . . . . . . α1,n β10 α22 . . . . . . α2,n β2...

...0 0 . . . αn−1,n−1 αn−1,n βn−10 0 . . . 0 αn,n βn

(5.25)

pri cemu su dijagonalni elementi αi,i = 0, jer je u skladu sa pretpostavkom, rA = n(det(A) = 0). U k – tom koraku postupka, uz uslov ak,k = 0, vrši se u stvari elimi-nacija nepoznate xk iz jednacina: k + 1, k + 2,. . . , n. Medusobnoj zameni vrsta(kolona), da bi se, ako je neophodno, na poziciju (k,k) u matrici doveo nenultielement, odgovara prenumeracija jednacina (promenljivih). Rezultujuci trouga-oni sistem (5.25) se zatim rešava “unazad”, povratnim zamenama, tako da se iz

5.7 GAUS - ŽORDANOV ELIMINACIONI METOD 137

poslednje jednacine izracuna xn, onda iz pretposlednje xn−1 itd:

xn =βn

αn,n

xi =1

αi,i

(βi−

n

∑j=i+1

αi, j x j

), i = n−1, n−2, . . . ,1

(5.26)

Originalan Gausov metod doživeo je razlicite modifikacije, sa ciljem sma-njivanja akumulacije grešaka zaokruživanja u toku racunskog procesa, tj. gu-bitka sigurnih cifara. Naime, svaki od koraka Gausovog algoritma ukljucujeoperaciju oduzimanja, koja može da prouzrokuje gubitak znacajnih cifara (akosu bliski operandi), što narocito u u slucaju rešavanja velikih sistema jednacina(veliki broj operacija) može da obezvredi krajnje rezultate. Radi se dakle o po-tencijalno nestabilnom ili loše uslovljenom racunskom postupku tj. sistem kojise rešava može da bude loše uslovljen (osetljiv na promene koeficijenata u jed-nacinama). Jedan od kriterijuma loše uslovljenosti kvadratnog saglasnog SLJje mala vrednost determinante sistema, kada se on približava neodredenomsaglasnom sistemu. Pomenute modifikacije nece biti obradene u ovom materijalu.

5.7 GAUS - ZORDANOV ELIMINACIONI METOD

Kod Gaus-Žordanov postupka (Gauss-Jordan), u k-tom koraku se nepoznataxk eliminiše ne samo iz jednacina k + 1,k + 2, . . . ,n, vec i iz prethodnih jed-nacina: 1,2, . . . ,k− 1. Tako je krajnji rezultat dijagonalan SLJ, sa proširenommatricom:

[A |b] →

α11 0 . . . 0 β10 α22 . . . 0 β2. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . αnn βn

(5.27)

cija se rešenja dobijaju direktno:

xi =βi

αii, i = 1,2, . . . ,n

Ako se još prva jednacina sistema sa proširenom matricom (5.27) podeli sa α11,druga sa α22, ... , poslednja sa αnn rezultat ce biti SLJ sa jedinicnom matricomsistema, tj. proširenom matricom:


1 0 . . . 0 β ′10 1 . . . 0 β ′2. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 β ′n

cija se rešenja dobijaju direktno:

xi = β ′i , i = 1,2, . . . ,n

Ukupan broj osnovnih racunskih operacija, a time i racunsko vreme, za Gaus- Žordanov postupak je veci nego za Gausov, što ga cini i osetljivijim na greškezaokruživanja u slucaju loše uslovljeninih SLJ.

Izracunavanje inverzne matriceUprkos navedenom nedostatku, Gaus - Žordanov postupak ipak ima primenu

i to za izracunavanje inverzne matrice, neke nesingularne matrice A, paralelnomprimenom opisanih transformacija na jedinicnu matricu E. Naime, u skladusa teoremom 5.4 , primena prve transformacije na matrici A, reda n, odgovaranjenom množenju s leva matricom T1= T1E, koja se dobija primenom iste trans-formacije na matrici E, reda n . Na taj nacin, primena prve i druge transformacijeodgovara množenju matrice A sleva matricom T2T1E. Tako, primena niza svihn Gaus – Žordanovih transformacija, kojima se matrica transformiše u jedinicnu,opisana je jednacinom:

(TnTn - 1 · · ·T1E

)A = E

iz koje sledi,

TnTn−1 · · ·T1E = A−1

Tako se inverzna matrica neke nesingularne matrice A može dobiti primenomGaus- Žordanovih transformacija na proširenu matricu [A |E] , sa ciljem da se Aprevede u jedinicnu matricu. Kao što smo se uverili, matrica E ce pri tom da setransformiše u matricu A−1:

[A |E] =

a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0

...... . . .

......

... . . ....

an1 an2 . . . ann 0 0 . . . 1

→

5.8 REŠAVANJE TRODIJAGONALNOG SLJ 139

1 0 . . . 0 b11 b12 . . . b1n0 1 . . . 0 b21 b22 . . . bn...

... . . ....

...... . . .

...0 0 . . . 1 bn1 bn2 . . . bnn

= [E∣∣A−1]

5.8 RESAVANJE TRODIJAGONALNOG SLJ

U hemijsko inženjerskim proracunima se srecu SLJ specijalnog tipa: tro- ilitridijagonalni linearni sistemi, kod kojih prva i poslednja jednacina sadrže samopo dve nepoznate, a ostale jednacine po tri nepoznate i to tako da matrica sistemaima trodijagonalnu formu (svi elementi van tri dijagonale su jednaki nuli):

Bx = d, B =

a1 b1 0 0 0 . . . 0c2 a2 b2 0 0 . . . 00 c3 a3 b3 0 . . . 0...

...0 0 · · · cn−2 an−2 bn−2 00 0 . . . 0 cn−1 an−1 bn−10 0 . . . 0 0 cn an

(5.28)

Sa ciljem znacajne uštede memorijskog prostora i racunskog vremena prirešavanju vecih tridijagonalnih sistema, Tomas (Thomas) je predložio eliminaci-oni postupak, koji se bazira na tzv. LU faktorizaciji, tj teoremi:

TEOREMA 5.7 Svaka regularna matrica A se može na jedinstven nacin prika-zati kao proizvod jedne donje i jedne gornje trougaone matrice ( LU faktoriza-cija):

A = LU

U skladu sa teoremom, trodijagonalnu matricu B je moguce faktorizovati kao:

B = WQ (5.29)

pri cemu su donja trougaona matrica W i gornja trougaona matrica Q samo bidi-jagonalne:


W =

w1 0 0 . . . . . . 0c2 w2 0 . . . . . . 00 c3 w3 . . . . . . 0...

...0 . . . 0 cn−1 wn−1 00 . . . . . . 0 cn wn

Q =

1 q1 0 0 . . . 00 1 q2 0 . . . 00 0 1 q3 . . . 0...

...0 . . . . . . 0 1 qn−10 . . . . . . 0 0 1

Njihove elemente dobijamo iz (5.28). Tako, na primer, izjednacujuci odgova-

rajuce elemente u prvoj vrsti matrice B i proizvoda WQ dobijamo:

w1 = a1w1q1 = b1 ⇒ q1 = b1/w1

a u drugoj vrsti:

c2 = c2c2q1 +w2 = a2 ⇒ w2 = a2− c2q1

w2q2 = b2 ⇒ q2 = b2/w2

Tako izvodimo algoritam:

w1 = a1; qi−1 =bi−1

wi−1, wi = ai− ciqi−1 , i = 2,3, ...,n (5.30)

Ako još definišemo vektor g na sledeci nacin:

d = Wg (5.31)

onda polazni sistem jednacina postaje:

WQx = Wgi ako ga sleva pomnožimo sa matricom W−1:

Qx = g (5.32)

Sistem (5.32) se lako rešava, buduci da je, prethodno izracunata matrica Qbidijagonalna. Vektor g racunamo iz (5.31):

Wg =

w1 0 0 . . . 0c2 w2 0 . . . 00 c3 w3 . . . 0...

...0 0 . . . cn wn

·

g1g2g3...gn

=

w1g1c2g1 +w2g2c3g2 +w3g3...cngn−1 +wngn

=

d1d2d3...dn

5.8 REŠAVANJE TRODIJAGONALNOG SLJ 141

g1 =d1

w1; gi =

di− ci gi−1

wi, i = 2,3, ...,n (5.33)

Preostalo je da se reši sistem (5.32), povratnim zamenama:

Qx =

1 q1 0 . . . 00 1 q2 . . . 0

0 0...

... 1 qn−10 0 . . . 0 1

·

x1x2...xn−1xn

=

x1 +q1x2x2 +q2x3...xn−1 +qn−1xnxn

=

g1g2...gn−1gn

xn = gn; xi = gi−qi xi+1 , i = n−1,n−2, ...,1 (5.34)

Možemo da rezimiramo Tomasov postupak:– Odrediti vektore w i q pomocu jednacine (5.30)– Izracunati vektor g, pomocu jednacine (5.33)– Dobiti rešenja sistema iz jednacine(5.34)Zadatak 5.2. Rešiti sledeci SLJ:

x1 +2x2 = 13x1 +2x2 +0.5x3 = 2−x2 +2x3 +2x4 = 4

5x3−3x4 = 3

Rešenje (Mathcad):


wi

ai

ci

qi 1−⋅−:=

q

2

0.125−

1.067

= w

1

4−

1.875

8.333−

=

Racunanje vektora g: g1

d1

w1

:=

i 2:= gi

di

ci

gi 1−⋅−

wi

:= i 3:= gi

di

ci

gi 1−⋅−

wi

:= i 4:= gi

di

ci

gi 1−⋅−

wi

:=

g

1

0.25

2.267

1

=

Povratna zamena:

xn

gn

:=

i n 1− n 2−, 1..:= xi

gi

qi

xi 1+⋅−:= Resenje: x

0.2

0.4

1.2

1

=

Provera: A x⋅ d−

0

0

0

0

=

ORIGIN 1:= n 4:=

Matrica sistema je trodijagonalna: Vektor slobodnih koeficijenata:

A

1

3

0

0

2

2

1−

0

0

0.5

2

5

0

0

2

3−

:= d

1

2

4

3

:=

Vektori a,b i c (dijagonale): a

1

2

2

3−

:= b

2

0.5

2

0

:= c

0

3

1−

5

:=

Racunanje vektora w i q: w1

a1

:=

i 2:= qi 1−

bi 1−

wi 1−

:= wi

ai

ci

qi 1−⋅−:=

i 3:= qi 1−

bi 1−

wi 1−

:= wi

ai

ci

qi 1−⋅−:=

i 4:= qi 1−

bi 1−

wi 1−

:=

5.9 LINEARNA ALGEBRA U MATHCAD-U 143

5.9 LINEARNA ALGEBRA U MATHCAD-UMathcad ima odreden broj operatora i funkcija za manipulaciju vektorima i

matricama. Pri tom:Pod vektorom se u Mathcad-u podrazumeva vektor-kolona (vertikalni vektor)Operator množenja predstavlja matricno množenje ako su argumenti matriceAko su argumenti vektori, operator množenja daje skalarni proizvodNeki matricno-vektorske operatori se mogu realizovati pomocu Matrix alata

od kojih su najvažniji alati za,– formiranje matrice-vektora,– izbor pojedinacnog elementa matrice ili vektora– izbor kolone matrice,– nalaženje inverzne matrice date kvadratne matrice,– nalaženje transponovane matrice,– nalaženje determinante matrice (primenjen na matricu daje determinantu a

primenjen na vektor daje intenzitet vektora),– vektorizaciju, tj. primenu operatora i funkcija, koje su inace definisane nad

skalarima, na svim elementima neke matrice (vektora)Od matricno-vektorskih funkcija navešcemo sledece (za preostale funkcije i

ostale detalje konsultovati Help):rows(M) - daje kao rezultat broj redova matrice Mcols(M) - daje kao rezultat broj kolona matrice Mlength(v) - daje kao rezultat broj elemenata vektora vlast(v) - daje indeks poslednjeg elementa vektora vrank(M) - daje kao rezultat rang matrice M (kvadratne ili pravougaone)submatrix(M,r1,r2,k1,k2) - izdvajanje podmatrice iz matrice M i to od vrste

sa indeksom r1 do r2 i kolone sa indeksom od k1 do k2.stack(A,B,C...) - daje kao rezultat matricu cije kolone predstavljaju spojene

odgovarajuce kolone matrica A,B,C... (u redosledu odozgo, prema dole). Svematrice moraju imati isti broj kolona.

augment(A,B,C...) - daje kao rezultat matricu cije vrste predstavljaju spojeneodgovarajuce vrste matrica A,B,C... (u redosledu s leva na desno). Sve matricemoraju imati isti broj vrsta.

lsolve(A,b) - daje kao rezultat rešenje saglasnog odredenog kvadratnog si-stema linearnih jednacina Ax = b ( rangA = n = m).

5.9.1 Resavanje SLJ pomocu Solve Block-aU Mathcad-u se za rešavanje SLJ može koristiti i tzv. Solve Block. Treba

naglasiti da je ovaj nacin, u principu, namenjen rešavanju sistema nelinearnih al-gebarskih jednacina.


Solve Block omogucuje rešavanje saglasnih,– kvadratnih (n = m) i pravougaonih (n = m) SLJ– odredenih i neodredenih (jedan set vrednosti ostalih, za odabrane vrednosti slo-bodnih promenljivih) SLJ

Solve Block-a pocinje sa Given a završava se pozivom funkcije Find. Argu-menti funkcije Find su imena nepoznatih cija se rešenja traže, razdvojene zare-zima (npr. x1, x2 , x3). Funkcija Find kao rezultat vraca vektor rešenja (vektorx). Izmedu Given i Find je definisan SLJ koji se rešava i to ne pomocu operatoraza dodelu vrednosti ( :=) nego pomocu relacionog operatora jednako (=) iz Bo-olean kompleta alata. Solve Block zahteva polazne procene nepoznatih, zatošto se podrazumeva sistem nelinearnih jednacina. U slucaju kada se rešava SLJ,mada su polazne procene obavezne, njihove vrednosti su irelevantne i mogu seodabrati bilo kakve vrednosti (na primer, što je najlakše, sve nulte vrednosti).

Primer 5.25. (Mathcad)


x

0.75

0.055

0.172

=

Resenje- Funkcija lsolve

x lsolve A b,( ):= x

0.75

0.055

0.172

=

Solve block

x1 0:= x2 0:= x3 0:= 1. Polazne procene

Given 2. Pocetak Solve Block-a

A

x1

x2

x3

⋅ b

X Find x1 x2, x3,( ):= 3. Zavrsetak Solve Block-a

Provera:

X

0.75

0.055

0.172

= A X⋅

3

2−

5

= b

3

2−

5

=

ORIGIN 1:=

Kvadratni sistem

A x⋅ b

A

5

3−

6

2

8−

6

5−

4

1

:= b

3

2−

5

:=

n rows A( ):= n 3= - broj redova

m cols A( ):= m 3= - broj kolona

A 256−= - determinanta matrice

rank A( ) 3= rank augment A b,( )( ) 3=

Sistem je saglasan i ima jedinstveno resenje: (rang = broj promenljivih)

Resenje- Matricni racun

x A1−

b⋅:=


b

3

3

5

10−

=A X⋅

3

3

5

10−

=X

0.778

0

0.333

0

=

X Find x1 x2, x3, x4,( ):=

A

x1

x2

x3

x4

⋅ b

Given

x4 0:=x3 0:=x2 0:=x1 0:=

broj stepeni sloboded 1=d cols A( ) rank A( )−:=

Sistem je saglasan i ima beskonacno mnogo resenja (rang < broj promenljivih)

rank augment A b,( )( ) 3=rank A( ) 3=

Matrica sistema je singularnaA 0=

Ne moze na ovaj nacin x =xx A1−

b⋅:= A1−Resenje

b

3

3

5

10−

:=A

6

6

6

12−

6

6

6

12−

5−

5−

1

2−

2

1−

5

10−

:=

Kvadratni sistem - saglasan i neodredjen

Kako se vidi iz prethodnog primera, Mathcad daje jedno od beskonacnomnogo rešenja. Pri tom je odabranoj slobodnoj promenljivoj (tako da rezultu-juci redukovan kvadratni SLJ bude saglasan) dodeljena nulta vrednost. Medu-tim, pošto se u rešenju ovog primera javljaju dve nulte vrednosti, za promenljivex2 i x4, ne možemo da zakljucimo koja od njih je odabrana kao slobodna promen-ljiva.

Korisnik može sam da bira slobodne promenljive i njihove vrednosti, kojedefiniše unutar Solve Block-a. Pri tom je važno naglasiti, da je dozvoljen izboronaj, koji za rezultat ima nesingularnu (r x r) submatricu matrice sistema A (r =rangA), kao matricu redukovanog SLJ, koji sadrži preostale nepoznate (vidirešavanje saglasnog neodredenog SLJ). Ako taj uslov nije zadovoljen, rezultujuci


redukovani SLJ ce biti nesaglasan jer je rang matrice sistema manji od ranga rproširene matrice. Fiksirajmo, u prethodnom primeru, na primer, promenljivu x1.

x1 0:= x2 0:= x3 0:= x4 0:=

Given

Unutar solve block-a mogu figurisati visejednacina (nejednacina) nego sto imamo promenljivih

A

x1

x2

x3

x4

⋅ b

x1 3 fiksirana promenljiva

X Find x1 x2, x3, x4,( ):=

X

3

2.222−

0.333

0

= A X⋅

3

3

5

10−

= b

3

3

5

10−

=

Dobili smo jedno od rešenja neodredenog saglasnog sistema. Izbor promen-ljive x4 kao slobodne, medutim nije dozvoljen:

Primer 5.26. : Mathcad

x1 0:= x2 0:= x3 0:= x4 0:= fiks 10:=

Given

A

x1

x2

x3

x4

⋅ b

x4 fiks

X Find x1 x2, x3, x4,( ):=X Find x1 x2, x3, x4,( ):= X =X


Ovakav sistem se ne moze resiti. Ako pogledamo rezultujuci sistem.

A

x1

x2

x3

fiks

⋅

6 x1⋅ 6 x2⋅ 5 x3⋅−+ 20+

6 x1⋅ 6 x2⋅ 5 x3⋅− 10−+

6 x1⋅ 6 x2⋅+ x3+ 50+

12− x1⋅ 12 x2⋅− 2 x3⋅− 100−

→ b

3

3

5

10−

=

matrica sistema vektor rezultata

A1

6

6

6

12−

6

6

6

12−

5−

5−

1

2−

:= b1 b

17−

13

45−

90

−:=

rank A1( ) 2= rank augment A1 b1,( )( ) 3=

U sledecem primeru su ilustrovane sledece mogucnosti:– kao argument funkcije Find smo koristili vektor nepoznatih x. Ovo je korisnoako imamo veliki broj jednacina u sistemu.– nulte polazne procene se realizuju dodeljivanjem nulte vrednosti samo po-slednjem elementu vektora x4. Mathcad automatski dodeljuje nulte vrednostisvim prethodnim, nedefinisanim elementima vektora.


Primer 5.27. Mathcad

Pravougaoni sistem - vise jednacina od promenljivih

A

1

3

2

4

3−

2−

8−

2−

5

10

2

16

5

3

4

8

3−

10−

8

1−

1

2

1

12−

:= b

12

8−

1

2

8

10−

:=

rank A( ) 4= rank augment A b,( )( ) 4=

d cols A( ) rank A( )−:= d 0= sistem je saglasan i odredjen

x4

0:=

Given

A x⋅ b

X Find x( ):=

X

1.221

0.775

2.204−

3.5

= A X⋅

12

8−

1

2

8

10−

= b

12

8−

1

2

8

10−

=


ZADACI

5.1 a) Polazeci od (5.3c) dokazati da važi:

(ABC)T = CTBTAT

b) Date su matrice:

A =

1 −1 32 −3 14 1 −2

, B =

5 −1 21 4 −33 2 −1

, C =

1 −1 2−1 3 02 0 2

Koristeci Mathcad alat za transponovanje matrice, sa datim matricama prove-

riti pravila:(1) (A+B)T = AT +BT, (2) (AB)T = BTAT, (3) (ABC)T = CTBTAT

c) Pokazati, koristeci Mathcad alat da je matrica DDT simetricna, gde je :

D =

3 1 1 41 7 17 32 2 4 3

5.2 a) Dokazati da važi:

(ABC)−1 = C−1B−1A−1, (A−1)T = (AT)−1

b) Koristeci Matcad funkciju rank uveriti se da su matrice A,B i C iz prethodnogzadatka nesingularne (regularne)c) Koristeci Mathcad alate proveriti, na matricama iz prethodnog zadatka pravila:

(1) det(AT) = det(A), (2) det(A−1) = 1/det(A), (3) det(AB) = detA ·detB(4) (A−1)−1 = A, (5) (AB)−1 = B−1A−1, (6) (ABC)−1 = C−1B−1A−1

5.3 Koristeci Mathcad alate i funkcije, izracunati matricu X iz jednacine:

(A−2E)X = A+E

gde je E jedinicna matrica (generisati je funkcijom identity), a A je matrica:

A =

0 1 22 3 41 0 1

5.4 U lekciji V Praktikuma, date su: funkcija za zamenu dve vrste matrice,

Zamvrsta i funkcija za množenje neke vrste matrice skalarom a, Vrstaxa. Do-dacemo im i funkciju za trecu elementarnu transformaciju nad vrstama matrice:dodavanje vrste j pomnožene skalarom a, vrsti i :


Vplusv A i, j, a,( ) A AT←

A i⟨ ⟩A i⟨ ⟩

a A j⟨ ⟩⋅+←

A AT←

Areturn

:=

a) Koristeci date funkcije za izvodenje elementarnih transformacija, izvesti namatrici A

A =

3 2 −1 0−1 3 1 53 1 1 −12 −4 0 1

sledece transformacije, redom: (1) trecu vrstu, pomnoženu sa 5, dodati prvoj, (2)pomnožiti drugu vrstu sa 4, (3) zameniti drugu i trecu vrstu. Rezultujuca matricaje matrica B. Kakve su (medusobno) matrica A i B? Mogu li one imati razliciterangove?b) Iste transformacije izvesti na jedinicnoj matrici istog reda, sa matricom P kaorezultatom i onda proveriti Teoremu 3.

5.5 Po ugledu na funkcije za izvodenje elementranih transformacija nad vr-stama (prethodni zadatak) definisati funkcije: Zamkol, Kolxa, Kplusk za izvode-nje istih transformacija na kolonama. Zapaziti da su one krace, jer nije neophodnotransponovanje matric, pošto Mathcad ima alat za rad sa kolonama neke matricekao sa vektorima.a) Formirati matricu Q, takvu da se množenjem matrice A iz prethodnog zadatkatom matricom, realizuju sledece transformacije na matrici A, redom: (1) Zamenaprve i trecekolone, (2) Oduzimanje prve od cetvrte kolone, (3) Deljenje cetvrte kolone sa 2.

5.6 Za ekvivalentne matrice A i B se kaže da su slicne, ako postoji regularnamatrica P takva da je :

B = P−1APMatrica P se zove matrica transformacije ili transformišuca matrica.

a) Dokazati (teorijski) da slicne matrice imaju jednake determinante.b) Uveriti se da je matrica:

T =

1/

2 1/

2 1/

2 1/

21/

2 1/

2 −1/

2 −1/

21/

2 −1/

2 1/

2 −1/

21/

2 −1/

2 −1/

2 1/

2


ortogonalna.b) Pokazati da se matrica:

A =

0 1 1 −11 0 −1 11 −1 0 1−1 1 1 0

transformacijom T−1AT, prevodi u dijagonalnu matricu D. Kakve su (medusobno)matrice A i D?c) Izracunati na osnovu Teoreme 1 determinantu matrice D.d) Uveriti se da matrice A i D imaju jednake determinante (koristiti Mathcad-alat).

5.7 a) Koliki, najviše, može biti rang matrice:

A =

1 −2 3 −1 −1 −22 −1 1 0 −2 −2−2 −5 8 −4 3 −16 0 −1 2 −7 −5−1 −1 1 −1 2 1

b) Odrediti njen stvarni rang, koristeci funkcije Zamvrsta i Gaus (Glava V uParaktikumu) i uporedi rezultat sa onim dobijenim funkcijom rank.c) Koliko linearno nezavisnih kolona ima matrica A? Koliki je broj linearno neza-visnih vrsta matrice?d) Odabrati jedan set nezavisnih vrsta (kolona) i napisati (u opštem obliku) jedna-cine kojima se ostale vrste (kolone) date matrice mogu dobiti od nezavisnih vrsta(kolona).

5.8 Data je matrica:

A =

3 1 1 4a 4 10 11 7 17 32 2 4 3

a) Odrediti a tako da matrica ima najmanji rang.b) Koliki je njen rang za ostale vrednosti a.

5.9 Koristeci funkcije Zamvrsta, Gaus i Vrstaxa (Glava V u Praktikumu),izvršiti inverziju matrice:

A =

10 7 8 77 5 6 58 6 10 97 5 9 10


Gaus-Žordanovim postupkom i proveriti rezultat.5.10 Koristeci Mathcad alat i funkciju augment, proveriti na najbrži nacin da

li su medusobno ortogonalni vektori:

a =

1111

, b =

2−22−2

, c =

1.51.5−1.5−1.5

, d =

1−1−11

5.11 a) Koliki najviše može da bude broj linearno nezavisnih 4-dimenzionih

vektora u skupu od n vektora gde je n >4 ?b) Odrediti stvarni maksimalan broj linearno nezavisnih vektora u skupu:

a =

−12−40

, b =

2303

, c =

1−221

, d =

3−343

, e =

2−122

5.12 a) Pokazati da je maksimalan broj linearno nezavisnih vektorak u skupu:

aT1 =

[4 −1 3 −2

], aT

2 =[

8 −2 6 −4]

aT3 =

[3 −1 4 −2

], aT

4 =[

6 −2 8 −4]

jednak 2.b) U datom skupu vektora naci sve moguce baze k - dimenzionog potprostora,k = 2 . Koristiti za to mogucnost deljenjadva vektora u Mathcad-u ciji je rezultatvektor, ciji su elementi kolicnici odgovarajucih elemenata prvog i drugog vektora.

5.13 a) Pokazati da je u sistemu reakcija:

(1) CH3OH +1/2O2 =CH2O+H2O(2) CH3OH =CH2O+H2(3) CH3OH =CO+2H2(4) CH3OH +3/2O2 =CO2 +2 H2O

(5) CH3OH +H2 =CH4 +H2O(6) CH3OH +O2 = HCOOH +H2O(7) H2 +1/2O2 = H2O(8) CO+1/2O2 =CO2

(najveci) broj linearno nezavisnih reakcija jednak 6b) Korišcenjem funkcija rank i submatrix uveriti se da se kao jedan set nezavi-snih reakcija mogu uzeti reakcije (1) - (6)

5.14 Pokazati, koristeci funkciju rank da je sledeci sistem jednacina:

2x1 + x2− x3− x4 + x5 = 1x1− x2 + x3 + x4−2x5 = 0

3x1 +3x2−3x3−3x4 +bx5 = 24x1 +5x2−5x3−5x4 +ax5 = 4


a) za a = 7, b = 4 nesaglasanb) za a = 6, b = 5 nesaglasanc) za a = 6, b = 4 saglasan i ima 2 stepena slobode

5.15 Ispitati da li je sledeci sistem jednacina saglasan i odreden

3x1− x2−2x3 + x4 = 12x1 + x2 + x3 +3x4 = 6

−x1 +3x2 +2x3 +4x4 = 1−2x1−2x2 +3x3−2x4 = 7

i ako jeste, rešiti ga (1) pomocu Mathcad alata (2) koristeci funkciju lsolve5.16 a) Pokazati da je sledeci sistem jednacina

x1 +2x2 +3x3−2x4 = 62x1− x2−2x3−3x4 = 83x1 +2x2− x3 +2x4 = 42x1−3x2 +2x3 + x4 =−8x1−3x2−5x3− x4 = 2

8x1 + x2 +5x4 = 0

saglasan i odreden..b) Uveriti se da su prve 4 jednacine nezavisne i imajuci to u vidu, naci rešenjesistema pomocu funckije lsolve.c) Rešiti polazni sistem pomocu SOLVE bloka.

5.17a) Postaviti sistem linearnih jednacina (tj. definisati matricu sistema ivektor slobodnih clanova), cije rešenje daje koeficijente u linearnoj kombinaciji,kojom se vektor e u Zadatku 5.11 dobija iz ostala 4 vektora.b) uveriti se da je taj sistem saglasan i odredenc) izracunati te koeficijente pomocu funkcije lsolve i proveriti rešenje

5.18a) Postaviti sisteme linearnih jednacina, cija rešenja daje koeficijente ulinearnim kombinacijama, kojima se reakcije (7) i (8) u Zadatku 5.13 dobijaju izprethodnih reakcija.b) uveriti se da su to saglasni i odredeni sistemic) izracunati te koeficijente pomocu dva SOLVE bloka i proveriti rešenjad) izracunati tražene koeficijente u jednom SOLVE bloku

5.19 a) Uveriti se da sistemi reakcija:


(I)H2O = H2 +0.5O2H2O = OH +0.5H2H2 = 2HO2 = 2O

(II)H2O = H+OHH2O+H = H2 +OHOH +H = H2 +OOH +O = O2 +H

sadrže samo nezavisne reakcije.b) Koristeci SOLVE blok, pronaci linearne kombinacije, kojima se reakcije si-stema II dobijaju iz reakcija sistema I i proveriti rešenja.

5.20 a) Proveriti saglasnost sledecih sistema jednacina.

x1 +4x2 +3x3− x4 = 03x1 +7x2 +24x3−18x4 = 4

2x1 +9x2 +3x3 + x4 = 1

x1−3x2 +3x3 + x4 + x5 = 06x1− x2 + x3 +2x4− x5 = 6

−2x1 +3x2−2x3− x4 +2x5 =−4

x1− x2 + x3 = 42x1 +3x3 = 5

4x1 +8x2 +10x3 =−2−2x2 +3x3 = 7

x1− x2 +2x3 + x4 = 02x1−3x2 +4x3 = 5

x1 + x2 + x3 = 24x1−4x2 +8x3 +4x4 = 0

b) Rešive sisteme rešiti pomocu SOLVE bloka. Za neodredene sisteme dobitijedan skup rešenja, sa proizvoljnim izborom vrednosti slobodnih promenljivih.

5.21 Sledeci sistem jednacina

x1 +0.5x2 = 0.660.1x1 + x2 +0.4x3 = 0.470.1x2 + x3 +0.4x4 = 0.33

0.2x3 +1.2x4 = 0.194

rešiti Tomasovim postupkom i toa) direktnom realizacijom algoritma u Mathcad-ub) korišcenjem funkcije Th (Praktikum, XVI-4)

Glava 6Svojstvene vrednosti matrice

6.1 LINEARNA TRANSFORMACIJA VEKTORAAko je x1, x2,..., xn neki skup promenljivih, a y1, y2,..., yn drugi skup pro-

menljivih, koje su sa prvim vezane nekim relacijama:

yi = fi (x1,x2, ...,xn) , i = 1,2, ...,n

ili u vektorskoj formi:y = f(x)

prelaz od x1, x2, ... ,xn na nove promenljive y1, y2, ... , yn nazivamo transforma-cijom (preslikavanje).

Transformacija je linearna (LT), ako su funkcije f linearne i homogene:

yi = fi (x1,x2, ...,xn) = ai,1x1 +ai,2x2 + ...+ai,nxn i = 1,2, ...,n (6.1)

pa se LT u matricnoj formi može prikazati kao:

y = A ·x (6.2)

Jednacina (6.2) definiše LT vektora x u vektor y, tj. vektorskog prostora usamog sebe ili u svoj potprostor. Matrica A se naziva matrica linearne transfor-macije.

Rešavanje sistema on n linearnih jednacina sa n nepoznatih:

A ·x = b (6.3)

se može interpretirati kao nalaženje onog vektora x koji se pomocu date matriceA linearno transformiše u dati vektor b. Kao što znamo, jedinstveno rešenjepostoji ako i samo ako je matrica A nesingularna, i može se prikazati u obliku:

x = A−1 ·b (6.4)

158 Svojstvene vrednosti matrice

Poslednja jednacina definiše LT vektora b u vektor x pa je inverzna (obratna)u odnosu na transformaciju x u b (Jedn.(6.3)). Tako se matrica A−1naziva matricainverzne linearne transformacije.

Ako je matrica linearne transfomacije (6.2) regularna ta transformacija-preslikavanje je bijektivna (obostrano jednoznacna) i naziva se regularna. Usuprotnom, transformacija je singularna.

Primer 6.1.Matrica transformacije projektovanja dvodimenzionog vektora

x

x

y

y

y = Ax

Slika 6.1:

x =

[x1x2

]na x – osu je:

A =

[1 00 0

]To znaci da koordinate vektora y : y1 = x1, y2= 0 , kao horizontalne projekcije

vektora x , dobijamo množenjem vektora x matricom A:

y = A ·x

Ova transformacija je singularna jer je matrica A singularna (det(A) = 0).Tako, ona preslikava 2- dimenzioni vektorski prostor u njegov potprostor dimen-zije 1 (vektori na x–osi). To znaci da ne postoji jednoznacna inverzna transfor-macija: data projekcija na x – osu ima beskonacan broj vektora u Oxy ravni.

6.2 SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VREDNOSTIAko se nenulti vektor x, linearnom transformacijom sa matricom A trans-

formiše u sebi kolinearan vektor:

A ·x = λx (6.5)

6.2 SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VREDNOSTI 159

on predstavlja svojstveni, sopstveni ili karakteristicni vektor matrice A. Skalarλ se naziva svojstvena, sopstvena ili karakteristicna vrednost matrice A, kojaodgovara svojstvenom vektoru x.

Primer 6.2.Posmatrajmo matricu projektovanja iz Primera 1:

A =

[1 00 0

]Svi nenulti vektori x koji leže na x– osi su njeni svojstveni vektori sa svojstve-

nom vrednošcu λ = 1 jer se transformišu u sami sebe:

A ·x = x

Svi nenulti vektori y na y – osi se projektuju u nula vektore, pa su i oni svoj-stveni vektori posmatrane matrice i to sa svojstvenom vrednošcu λ = 0:

A ·y = 0y = 0

Primer 6.3.Svojstveni vektori i odgovarajuce svojstvene vrednosti matrice

A =

[3 11 3

]su:

λ1 = 4 , x(1) =[

11

]; λ2 = 2 , x(2) =

[1−1

]Provera: [

3 11 3

]·[

11

]=

[44

]= 4

[11

][

3 11 3

]·[

1−1

]=

[2−2

]= 2

[1−1

]

6.2.1 Karakteristicna jednacina i karakteristicni polinom matrice

Pošto je definiciona jednacina (6.5) ekvivalentna jednacini:

(A−λE) ·x = 0 (6.6)

svojstveni vektori predstavljaju rešenja homogenog SLJ (6.6) sa matricomsistema:


A−λE =

a11−λ a12 . . . a1na21 a22−λ . . . a2n...

... . . ....

an1 an2 . . . ann−λ

(6.7)

koja se naziva svojstvena ili karakteristicna matrica. Da bi homogeni sistem(6.6) imao nenulta rešenja potrebno je i dovoljno da matrica sistema bude singu-larna, tj.:

det (A−λE) = 0 (6.8)

Jednacina (6.8) se naziva karakteristicna jednacina, a kada se njena levastrana razvije dobije se polinom n – tog stepena po λ , koji se naziva karakteri-sticni polinom matrice A:

det(A−λE) = Pn(λ ) = λ n− p1λ n−1+ p2λ n−2+ . . .+(−1)n−1λ pn−1+(−1)n pn

Koeficijent p1 karakteristicnog polinoma jednak je tragu matrice A:

p1 = tr(A) =n

∑i=1

aii

6.3 IZRACUNAVANJE SVOJSTVENIH VREDNOSTIRazliciti koreni karakteristicnog polinoma (koji kao što znamo ima ukupno

n korena),

λ1,λ2, . . . ,λm (m 6 n)

predstavljaju tražene svojstvene vrednosti matrice A. Skup svih sopstvenih vred-nosti se naziva spektar matrice A.

Primer 6.4.Odredicemo svojstvene vrednosti matrice A iz prethodnog primera:

det (A − λE) = det[

3−λ 11 3−λ

]= (3−λ )2−1 = P2 (λ ) , λ1,2 = 3±1

6.4 ODREDJIVANJE SVOJSTVENIH VEKTORA 161

Primer 6.5.Karakteristicna jednacina matrice

A =

[3 1−2 1

]je:

λ 2−4λ +5 = 0

i njena rešenja su kompleksna:

λ1 = 2+ i, λ2 = 2− i

Svojstvene vrednosti imaju primenu u hemijskom inženjerstvu pri:- Analitickom rešavanju sistema obicnih homogenih diferencijalnih jednacina

sa konstantnim koeficijentima.- Analizi stabilnosti dinamickih sistema opisanih obicnim linearnim dif. jed-

nacinama.- Rešavanju nekih optimizacionih problemaNumericke metode odredivanja svojstvenih vrednosti, dele se na 2 klase:

- metode generisanja karakteristicnog polinoma i nalaženja njegovih korena- iterativne metode bez prethodnog formiranja karakteristicnog polinoma

6.4 ODREDJIVANJE SVOJSTVENIH VEKTORAZa svaku od prethodno nadenih svojstvenih vrednosti, λ j svojstveni vektor

se dobija rešavanjem homogenog SLJ (6.6). Kako je det(A−λ jE) = 0, rangmatrice sistema r je manji od n i za svojstvenu vrednost λ j, postoji beskonacnomnogo rešenja homogenog SLJ (6.6) sistema, tj. svojstvenih vektora, koji se do-bijaju kao linearna kombinacija nekih k = n – r odabranih, linearno nezavisnihvektora. Dakle, svi svojstveni vektori, koji odgovaraju svojstvenoj vrednosti λ jobrazuju k – dimenzioni vektorski potprostor (n–dimenzionog vektorskog pro-stora), a odabrani linearno nezavisni vektori, predstavljaju jednu bazu tog pot-prostora.

TEOREMA 6.1 Svojstveni vektori, koji odgovaraju razlicitim svojstvenim vred-nostima su medusobno linearni nezavisni

Algoritam za dobijanje jednog od k baznih vektora vektorskog potprostorasvojstvenih vektora, koji odgovaraju svojstvenoj vrednosti λ j je:

1. Odrediti r = rang(A - λiE)


2. Odabrati vrednosti (ne smeju biti sve nule) nekih k = n−r od ukupno n pro-menljivih x1, . . . ,xn (slobodne promenljive) i uneti te vrednosti u podsistemod r linearno nezavisnih jednacina

3. Rešavanjem rezultujuceg saglasnog nehomogenog sistema od r jednacina,odrediti vrednosti preostalih r promenljlivih

Ponavljajuci korake 2. i 3. za ukupno k razlicitih kombinacija vrednostiodabranih slobodnih promenljivih, dobijaju se svi bazni vektori.

Primer 6.6.Odredicemo svojstvene vektore matrice A iz Primera 3:

a) Za λ1= 4 :1. Matrica homogenog SLJ (6.6) je:

(A−4E) =[

3−4 11 3−4

]=

[−1 11 −1

]→[−1 10 0

]ciji je rang r = 1, pa je od dve jednacine nezavisna samo jedna:

−x1 + x2= 02. Biramo proizvoljno (izuzimajuci 0) vrednost jedne od promenljivih, recimox2 = 13. Iz gornje jednacine za drugu promenljivu dobijamo:x1 = 1Tako se kao svojstveni vektor, koji odgovara datoj svojstvenoj vrednosti može

uzeti

x(1) =[

11

]i on predstavlja bazu 1-dimenzionog potprostora svih svojstvenih vektora matriceA sa svojstvenom vrednošcu λ1= 4 (vektori na pravoj x1 = x2). Tako svojstvenevektore matrice A, koji odgovaraju λ1= 4, dobijamo proizvoljnim izborom ( = 0 )realnog broja µ u vektoru:

x(1) = µ[

11

], µ = 0

b) Za λ2= 2,1. Matrica homogenog S.L.J.je :

(A−2E) =[

3−2 11 3−2

]=

[1 11 1

]→[

1 10 0

]ciji je rang r = 1, pa je od dve jednacine nezavisna samo jedna:

x1 + x2=02. Biramo proizvoljno vrednost jedne od promenljivih, recimo x2 = -1


3. Iz gornje jednacine, x1=1.Svojstveni vektor:

x(2) =[

1−1

].

odnosno:

x(2) = µ[

1−1

], µ = 0

TEOREMA 6.2 Ako je λ j m– tostruka svojstvena vrednost (m-tostruki koren ka-rakteristicnog polinoma), onda je rang karakteristicne matrice veci ili jednak n –m, odnosno dimenzija k odgovarajuceg potprostora svojstvenih vektora je najvišejednaka m: k 6 m.

Drugim recima, broj linearno nezavisnih svojstvenih vektora, k koji odgo-varaju višestrukoj svojstvenoj vrednosti, najviše je jednak njenoj višestruko-sti, m.U specijalnom slucaju m = 1, dimenzija potprostora svojstvenih vektora jek = m = 1.

Primer 6.7.

A =

2 1 11 2 11 1 2

det(A−λE) = det

2−λ 1 11 2−λ 11 1 2−λ

= λ 3−6λ 2 +9λ −4 = 0

Svojstvene vrednosti:

λ1 = λ 2 = 1,λ 3 = 4

a) Za dvostruki koren λ1,2 = 1:

(A−1E)·x =

1 1 11 1 11 1 1

x1x2x3

=

000

, r = 1

Imamo samo jednu nezavisnu jednacinu:x1 + x2 + x3 = 0 ,

a dimenzija vektorskog potprostora karakteristicnih korena je 2:k = n – r = 2(= m)


Bazne vektore dobijamo ponavljajuci dva puta korake 2. i 3. u datom algo-ritmu. Tako, za vrednosti slobodnih promenljivih:

x2 = 1, x3 = 0racunamo iz gornje jednacine:

x1 = -1pa je prvi bazni vektor:

b1 =

−110

Za vrednosti slobodnih promenljivih:x2 = 0 x3 = 1

racunamo iz gornje jednacine:x1 = -1

pa je drugi bazni vektor:

b2 =

−101

Tako se svi svojstveni vektori za datu dvostruku svojstvenu vrednost dobijaju

kao:

x(1),(2) = µ1

−110

+µ2

−101

Alternativno, bazu smo mogli dobiti na sledeci nacin. Neka su:x2 = µ1, x3 = µ2

Iz jednacine:x1 = -x2− x3= -µ1−µ2

Znaci da je svojstveni vektor:

x(1),(2) = µ1

−110

+µ2

−101

Geometrijski, svi svojstveni vektori leže u ravni, odredenoj baznim vektorima:


x1

x2

1

x1

1

x3

b1

b2

Slika 6.2:

b) Za jednostruki koren λ3 = 4

(A−4E)·x =

−2 1 11 −2 11 1 −2

x1x2x3

=

000

−2 1 1

1 −2 11 1 −2

→ −2 1 1

0 −1.5 1.50 1.5 −1.5

→ −2 1

0 −1.511.5

0 0 0

r = 2, k = n− r = m = 1

Neka je:x3 = µ .Iz 2. jednacine,-1.5x2 +1.5x3 = 0⇒ x2 = µIz 1. jednacine:–2x1 + x2 + x3 = 0⇒ x1 = µTako su svojstveni vektori, koji odgovaraju λ3 = 4:

x(3) = µ

111

, µ = 0


6.5 NEKE TEOREMENavešcemo još neke stavove (teoreme) u vezi sa svojstvenim vrednostima i

vektorima:

TEOREMA 6.3 Matrice A i AT imaju jednake svojstvene vrednosti.

TEOREMA 6.4 Regularna matrica A ima sve svojstvene vrednosti razlicite odnule i obratno.

TEOREMA 6.5 Svojstvene vrednosti inverzne matrice A−1 jednake su inver-znim svojstvenim vrednostima matrice A: 1/λ1, ... , 1/λn, a svojstveni vektorijednaki svojstvenim vektorima matrice A.

TEOREMA 6.6 Simetricna matrica ima sve svojstvene vrednosti realne, a svoj-stveni vektori su medusobno ortogonalni. Dimenzija potprostora svojstvenih vek-tora jednaka je tacno višestrukosti odgovarajuce svojstvene vrednosti : k = m

TEOREMA 6.7 Ako su svojstveni vektori matrice A, reda n linearno nezavisni,onda i samo onda se ona može dijagonalizovati (prevesti u dijagonalnu formu)transformacijom slicnosti:

P−1 ·A ·P =

λ1 0. . .

0 λn

gde je P kvadratna matrica, reda n, cije su kolone svojstveni vektori matrice A:

P = [x1,x2, ...,xn]

TEOREMA 6.8 Ako su λ1, λ2, ... , λn karakteristicni koreni matrice A, onda:

tr(A) =n

∑i=1

λi, det(A) =n

∏i=1

λi

6.6 MATHCAD FUNKCIJE 167

6.6 MATHCAD FUNKCIJEU Mathcad-u su na raspolaganju sledece funkcije:eigenvals(M) - daje vektor svojstvenih vrednosti kvadratne matrice Meigenvec(M, z) - daje (jedinicni) svojstveni vektor, koji odgovara svojstvenoj

vrednosti z matrice Meigenvecs(M) - daje matricu svih (jedinicnih) svojstvenih vektora, matrice M,

koji odgovaraju svojstvenim vrednostima, dobijenim funkcijom eigenvalsU skladu sa teorijskim izvodima, funkcija eigenvecs(M), u slucaju da matrica

M ima neku m - tostruku (m > 1) svojstvenu vrednost, daje k linearno nezavisnihsvojstvenih vektora (k 6 m), za tu svojstvenu vrednost. U takvim slucajevima,funkcija eigenvec(M, z) nije pogodna za nalaženje svojstvenih vektora, jer dajesamo jedan svojstveni vektor, za višestruku svojstvenu vrednost.


ZADACI

6.1 a) Uveriti se da matrica:

A =

2 −11 61 −7 42 −1 0

linearno transformiše (preslikava) vektore:

a1 =

235

, a2 =

012

, a3 =

100

redom, u vektore:

b1 =

111

, b2 =

11−1

, b3 =

212

b) Proveriti da li je transformacija regularna, i ako jeste naci matricu inverznelinearne transformacije.c) U koje vektore preslikava matrica dobijena u b), date vektore b1, b2 i b3 ?d) Koji vektor, preslikava data matrica A u vektor c:

c =−

41

10


A =

1 −1 32 −3 14 1 −2

a)Pomocu funkcija eigvals i eigenvecs pronaci njene svojstvene vrednosti i odgo-varajuce svojstvene vektore.b) Proveriti rezultate u a) koristeci definicionu jednacinu (6.5)c) Da li su dobijeni svojstveni vektori, jedinstveni? Kako se mogu dobiti svi svoj-stveni vektori date matrice, koji odgovaraju jednoj svojstvenoj vrednosti i kolikoih ima? Proveriti zakljucak na primerima, koristeci definicionu jednacinu (6.5).d) Proveriti teoremu T6.1.

6.3 Koristeci Mathcad alate i funkcije, na primeru matrice A iz prethodnogzadatka, proveriti sve teoreme (izuzev T6.6)

6.6 MATHCAD FUNKCIJE 169


A =

0 1 1 −11 0 −1 11 −1 0 1−1 1 1 0

a) Odrediti njene svojstvene vrednosti i uveriti se da ima trostruku svojstvenuvrednost.b) Proveriti da li je matrica simetricna i onda predvideti dimenziju vektorskog pot-prostora svojstvenih vektora, koji odgovaraju njenoj trostrukoj svojstvenoj vred-nosti, na osnovu odgovarajuce teoreme.c) Pomocu funkcije eigenvecs odrediti njene svojstvene vektore, a onda, koristecifunkcije submatrix i rank proveriti rezultat iz b)d) Uporediti jedini svojstveni vektor, koji se za trostruku svojstvenu vrednost ma-trice, može dobiti funkcijom eigenvec, sa tri svojstvena vektora dobijena funk-cijom eigenvecs. Uveriti se da je vektor dobijen funkcijom eigenvec, linearnakombinacija tri svojstvena vektora, dobijena funkcijom eigenvecs.e) Kako se mogu dobiti svi svojstveni vektori, koji odgovaraju trostrukoj svoj-stvenoj vrednosti? Proveriti zakljucak na nekom primeru, koristeci definicionujedn.(6.5)f) Proveriti ispravnost teoreme T6.6.

6.5 Za matricu:

A =

3 −1 1−1 5 −11 −1 3

naci ortogonalnu matricu P takvu da je matrica P−1 ·A ·P dijagonalna.

6.6 Za matricu:

A =

1 0 11 −2 10 4 −3

naci dve transformišuce matrice, koje je transformacijom slicnosti prevode u dija-gonalnu formu.

Glava 7Numericko rešavanje nelinearnihjednacina

7.1 Zadatak numerickog resavanja nelinearnih jednacina

Cest problem u inženjerskim proracunima je nalaženje rešenja ili korena jed-nacine:

f (x) = 0 (7.1)

ili, što je ekvivalentno nalaženje nule funkcije f (x). Pri tom funkcija f (x) možeda bude data nekim analitickim izrazom, ili da predstavlja neki racunski proces,kojim se polazeci od neke vrednosti x dobija vrednost y = f (x).

Primer 7.1.Traži se ona vrednost x za koju odredeni integral:

x∫a

φ(t)dt

ima zadatu vrednost c. U ovom slucaju, rešavamo jednacinu:

x∫a

φ(t)dt− c︸︷︷︸f (x)

= 0, x =?

Pri tom, podintegralna funkcija φ(x) ne mora da bude data analitickim izra-zom, i tada se integral izracunava numericki. Primeri ovoga tipa su:– problem odredivanja izlazne temperature fluida, koji se u izmenjivacu toplotedate dužine zagreva suvozasicenom parom

172 Numericko rešavanje nelinearnih jednacina

– izracunavanje stepena konverzije u reaktoru, pri datom kontaktnom vremenu.Podintegralna funkcija može da bude takva da integral ne može da se izracunaanaliticki, vec numericki

7.1.1 Egzistencija realnog resenjaTEOREMA 7.1 Ako je funkcija f (x) neprekidna u zatvorenom intervalu [a,b] iako je f (a) f (b) < 0, u intervalu (a,b) postoji bar jedan realan koren jednacine(7.1).

b a x

f(x) f(a)f(b) > 0

a) Nema korena u (a,b)

b

a x

f(x)

f(a)f(b) < 0

b) Funkcija je monotona i postoji samojedna nula

Slika 7.1: Ilustracije za teoremu 7.1

TEOREMA 7.2 Ako je pored uslova u Teoremi 7.1, zadovoljen i uslov da je funk-cija f (x) monotona u posmatranom intervalu onda u njemu postoji jedinstvenrealan koren.

7.2 ITERACIONI PROCES 173

b

a

f(x)

f(a)f(b) < 0

Slika 7.2: Funkcija nije monotona i u (a,b) postoje tri nule

7.2 ITERACIONI PROCES

Približno rešenje jednacine (7.1) se dobija ponavljanim korigovanjem pro-cene korena na bazi jedne ili više prethodnih procena i vrednosti funkcije f (x)za te procene. Takav racunski proces se naziva iteracioni proces i njegov rezul-tat je niz uzastopnih (sukcesivnih) procena ili aproksimacija tražene vrednostikorena:

x(0),x(1),x(2),x(3), . . .

tj. niz vrednosti x(k), k = 1,2,. . . koga nazivamo iteracioni niz. “Nulta” procenax(0)je polazna procena traženog rešenja, koja je neophodna.

Formula kojom se iz jedne ili više prethodnih procena, dobija nova zovese iteraciona formula. Specijalno, ako se nova procena (aproksimacija) dobijasamo na bazi prethodne procene, iteraciona formula ima oblik:

x(k+1) = F(x(k)), k = 0,1,2, . . . (7.2a)

ili,x(k) = F(x(k−1)), k = 1,2, . . . (7.2b)

i funkciju F(x) cemo zvati iteraciona funkcija .Ako iteracioni niz konvergira željenom rešenju α:


limk→∞

x(k) = α (7.3)

kažemo da iteracioni proces konvergira ka traženom rešenju α jednacine (7.3).Za konvergentan proces (7.2a,7.2b), iz (7.3) sledi:

α = F(α) (7.4)

Koren α predstavlja, u slucaju konvergentnog iteracionog procesa, tacku na-gomilavanja iteracionog niza x(k), k = 1,2,... odnosno za svako, ma koliko maloε , može se naci takvo K, koje zavisi od ε da važi:∣∣∣x(k)−α

∣∣∣< ε , ∀k > K (ε) (7.5)

Dva specijalna slucaja konvergencije iteracionog procesa su:- monotona konvergencija kada je iteracioni niz monoton i aproksimacije

x(k),k = 0,1,...se približavaju tacki α na brojnoj pravoj sa jedne strane te tacke

α x(k-1) x(k+1) x(k)

Slika 7.3:

- oscilatorna konvergencija kada su dve uzastopne aproksimacije korenax(k)i x(k+1), k = 0,1,...sa dve razlicite strane korena, tj. clanovi iteracionog niza"osciluju prigušeno"oko tacke α .

α x (k - 1) x (k) x (k+1)

Slika 7.4:

7.2 ITERACIONI PROCES 175

7.2.1 Kriterijumi za zavrsetak iteracionog procesaUslov završetka iteracionog procesa (7.5) ima teoretski karakter i kao prakticni

kriterijumi za završetak iteracionog procesa ili izlazni kriterijumi se koriste:∣∣∣x(k)− x(k−1)∣∣∣< ε (7.6)∣∣∣∣∣x(k)− x(k−1)

x(k)+∆

∣∣∣∣∣< δ (7.7)

∣∣∣ f (x(k))∣∣∣< ε f (7.8)

gde su:ε i ε f− zadate granice apsolutnih odstupanja ili tolerancijeδ −zadata granica relativnog odstupanja (tolerancija)∆ −mali broj (može se uzeti ∆ = δ ) cijim se dodavanjem na x(k) izbegava

“overflow” u slucaju da je tacna vrednost korena 0 ili jako mali brojKada je odabrani kriterijum konvergencije zadovoljen, kao (približno) rešenje

jednacine (7.1) usvaja se poslednja procena, x(k). Što se tacnosti dobijenogrešenja tice, važno je primetiti da:

U slucaju monotone konvergencije uslov (7.6) ne garantuje da ce se usvo-jena procena razlikovati od tacnog rešenja manje od zadate tolerancije ε , tj. nijetacan iskaz: ∣∣∣x(k)− x(k−1)

∣∣∣< ε ⇒∣∣∣x(k)−α

∣∣∣< ε

i medusobna bliskost dve poslednje procene je samo potreban, a ne i dovoljanuslov željene bliskosti poslednje procene i tacnog rešenja (Sl.7.5a).

Isto se može konstatovati i za uslov (7.8): da vrednost funkcije u poslednjojiteraciji bude manja od zadate tolerancije (Sl.7.5b).

U slucaju oslilatorne konvergencije, uslov (7.6) je dovoljan da se usvojenorešenje razlikuje od tacnog α manje od zadate tolerancije ε , jer je gornji iskaztacan.


f(x)

x(k) x(k-1)

εf

x(k) x(k-1)

f(x) (a) (b)

x x

α

α

(a) uslov (7.6) ne garantuje željenu tacnost rešenja(b) uslov (7.8) ne garantuje željenu tacnost rešenja

Slika 7.5: Ilustracije

Željenu tacnost rešenja, u slucaju monotone konvergrencije, može da garantujekonjukcija uslova (7.6) i (7.8) :∣∣∣x(k+1)− x(k)

∣∣∣< ε ∧∣∣∣ f (x(k+1))

∣∣∣< ε f (7.9)

ili alternativno, (7.7) i (7.8). U (7.9), ε i ε f su odabrane tolerancije.

7.3 RED I BRZINA KONVEREGENCIJE ITERACIONOGPROCESA

Posmatrajmo iteracioni proces (7.2b):

x(k+1) = F(x(k)), k = 0,1,2, ....

Pretpostavimo da se nalazimo u blizini rešenja, pa vrednost F(x(k)) možemoda dobijemo pomocu Tajlorovog polinoma funkcije F(x) razvijenog oko tacnogrešenja α:

F(x(k))=F(α)+(

x(k)−α)

F ′(α)+(

x(k)−α)2 F ′′(α)

2!+(

x(k)−α)3 F ′′′(α)

3!+...

ili nakon smene α = F(α) :

x(k+1)=α+(

x(k)−α)

F ′(α)+(

x(k)−α)2 F ′′(α)

2!+(

x(k)−α)3 F ′′′(α)

3!+...

7.3 RED I BRZINA KONVEREGENCIJE ITERACIONOG PROCESA 177

Razlika ε(k) = x(k)−α predstavlja odstupanje k – te aproksimacije korena odnjegove tacne vrednosti. Tako dobijamo vezu izmedu grešaka dve uzastopneprocene:

ε(k+1) = ε(k)F ′(α)+(

ε(k))2 F ′′(α)

2!+(

ε(k))3 F ′′′(α)

3!+ .....

ili

ε(k+1) = ε(k)b1 +(ε(k))2b2 +(ε(k))3b3 + ...... (7.10)

gde je:

bi =F(i) (α)

i!Iteracioni proces 1. redaAko je:

F ′(α) = b1 = 0

i pošto je:

ε(k) >> (ε(k))2 >> (ε(k))3 ...,

iz (7.10) imamo:

ε(k+1)

ε(k)= b1 (7.11)

tj. greška procene u novoj iteraciji je proporcionalna grešci prethodne pro-cene. Iz (7.11) dobijamo:

ε(1) = b1ε(0)

ε(2) = b1ε(1) = b21ε(0)

...

ε(k) = b1ε(k−1) = ......= bk1ε(0)

Sledi potreban i dovoljan uslov konvergencije (u blizini rešenja) procesa 1.reda:

|b1|= |F ′(α)|< 1 (7.12)

Konvergencija je utoliko brža, ukoliko je b1 po apsolutnoj vrednosti manji iako je:


b1 > 0, konvergencija je monotona (ε(k+1) i ε(k) istog znaka)b1< 0, konvergencija je oscilatorna (ε(k+1) i ε(k) razlicitog znaka)Iteracioni proces 2. redaAko je:

b1 = F ′(α) = 0 ∧ b2 =F ′′(α)

2= 0

iz (7.10), zanemarujuci clanove višeg reda, dobijamo:

ε(k+1)

(ε(k))2= b2 (7.13)

Dakle, greška u novoj iteraciji proporcionalna je kvadratu greške iz pret-hodne iteracije. Iz (7.13) sledi:

ε(1) = b2(ε(0))2; b2ε(1) = (b2ε(0))2

ε(2) = b2(ε(1))2; b2ε(2) = (b2ε(1))2 = (b2ε(0))4

...ε(k) = b2(ε(k−1))2; b2ε(k) = (b2ε(0))2k

i konacno:

ε(k+1)

ε(k)= b2ε(k) =

[b2ε(0)

]2k

odakle sledi potreban i dovoljan uslov konvergencije (u blizini tacnog rešenja):∣∣∣b2ε(0)∣∣∣= ∣∣∣∣ F ′′(α)

2!ε(0)

∣∣∣∣< 1 (7.14)

Uocavamo da je konvergencija– monotona (ε(k) ne menja znak)– zavisi od kvaliteta polazne procene (ε(0) u uslovu konvergencije).

Poredenje brzina konvergencije procesa 1. i 2. redaRadi ilustracije, pretpostavimo da su vrednosti koeficijenata:

b1 = b2 = 0.1a odstupanje polazne procene korena od tacne vrednosti α , ε(0)=1. Ako uvedemopomocnu velicinu:

p = b2 ε(0)= 0.1imamo:

ε(k+1)

ε(k)=

{b1 za iter. proces 1. redap2k

za iter. proces 2. reda

7.4 METOD PROSTIH ITERACIJA 179

U tabeli su date uporedo za proces 1. i 2. reda, greške procene korena upojedinim iteracijama.

Tabela 7.1: poredenje iteracionih procesa 1. i 2. reda

Br. Povecanjeiter. Odstupanje, ε broja tacnih decim.

1. red 2. red 1. red 2.red

0 1 1 - -

1 b1ε(0) = 10−1 ε(0)p1 = 10−1 - -

2 b1ε(1) = 10−2 ε(1)p2 = 10−3 1 2

3 b1ε(2) = 10−3 ε(2)p4 = 10−7 1 4

4 b1ε(3) = 10−4 ε(3)p8 = 10−15 1 8

5 b1ε(4) = 10−4 ε(4)p16 = 10−31 1 16

7.4 METOD PROSTIH ITERACIJAJednacinu f (x) = 0 prevodimo u njoj ekvivalentnu (ima iste korene), oblika:

x = φ(x) (7.15)

y

ϕ(x)

f(x)

y =x

α x

Slika 7.6: Veza izmedu funkcija f (x) i φ(x)


Primer 7.2. Potrebno je naci molsku zapreminu, v nekog gasa iz VDW jed-nacine stanja:

f (v) =RT

v−b− a

v2 − p = 0 (p, T zadato)

Jedan, od beskonacno mnogo nacina da se od plazne jednacine prede na ekvi-valentnu, oblika (7.15):

RTv−b

=av2 + p ⇒ v =

RTp+a/v2 +b = φ(v)

Za metod prostih iteracija (metod uzastopnih zamena ili metod probe i greške),iteraciona formula glasi:

x(k+1) = φ(x(k)), k = 0,1,2, ...

7.4.1 Uslov konvergencijeTEOREMA 7.3 Dovoljan uslov konvergencije metoda uzastopnih zamena je:

|φ ′(x)|6 A < 1

za vrednosti x iz intervala kome pripadaju koren α i sve uzastopne procene, x(k),k = 0,1,...

Na slikama 7.7 i 7.8 ilustrovani su tokovi konvergentnih i divergentnih itera-cionih procesa po metodi uzastopnih zamena (7.2).

(a) y

x(0)

x(3) x(1)

α

ϕ(x) ϕ(x)

x

x

y ϕ(x) ϕ(x)

α x(2) x(1) x(0)

(b)

Slika 7.7: (a) Monotona konvergencija, 0 < φ ′(x) < 1 (b) Monotona divergencija,φ ′(x) > 1


x(0)

y

x(2)

x(4) x(3) x(1)

y

ϕ(x)

ϕ(x)

x(1) x(3) x(2)

x(0)

x(4)

x

Slika 7.8: (a) Oscilatorna konvergencija, -1 < φ ′(x) < 0 (b) Oscilatorna divergen-cija, φ ′(x) < -1

Brzina konvergencijeAko iteracioni proces (7.2) konvergira, on je u opštem slucaju prvog reda,

jer za iteracionu funkciju F(x) iz važi:

F(x) = φ(x)F ′(x) = φ ′(x)

F ′(α) = φ ′(α) = b1 = 0

Izlazni kriterijumKod ove metode, izlazni kriterijumi (7.6) i (7.8) su identicni. Zaista,∣∣∣x(k+1)− x(k)

∣∣∣= ∣∣∣φ(x(k))− x(k)∣∣∣< ε∣∣∣ f (x(k))

∣∣∣= ∣∣∣φ(x(k))− x(k)∣∣∣< ε f

pa se u slucaju konvergencije iteracionog postupka, pogodnim izborom tolerancijeε = ε f može obezbediti željena tacnost rešenja sa jednim od ta dva kriterijuma.

Zadatak 7.1. Za procenjivanje molskih zapremina, v gasova na umerenimpritiscima koristi se Virijalna jednacina stanja:

z =pvRT

= 1+Bv+

Cv2 R = 8.314

kJkmol ·K

Potrebno je izracunati molsku zapreminu izopropanola na T = 473K i p =500 kPa. Za izopropanol na T = 473K, parametri B i C (virijalni koeficijenti)imaju vrednosti:


B =−0.388m3

kmol, C =−2.60×10−3 m6

kmol2

Metodom prostih iteracija proceniti traženu zapreminu sa preciznošcu od cetiriznacajne cifre. Kao polaznu procenu koristiti molsku zapreminu idealnog gasa.

Rešenje (Mathcad):

v 7.455=v round v4

3,( ):=

Resenje dobijeno u 4. iteraciji jer je ∆4 < ε :

∆

0

0.422

0.022

1.196 103−×

6.576 105−×

=v

7.9

7.47843

7.45662

7.45542

7.45536

=∆ i vi

vi 1−−:=v

iφ v

i 1−( ):=i 1 4..:=

Proste iteracije:

ε 0.5 103−⋅:=

S obzirom na red velicine molske zapremine, i trazenu tacnost od 4 sigurne cifre, tolerancija ε u kriterijumu (7.6a) je :

v0

7.9=v0

round v0

1,( ):=v0

7.865=v0

R T⋅p

:=Polazna procena:

φ v( )R T⋅

p1

B

v+

C

v2

+

⋅:=Funkcija sa desne strane jednacine v = φ(v):

Zadatak 7.2. Primenom NJIP1, 3. stepena, proceniti vreme (min) u komekoncentracija penicilina dostiže vrednost 6000 IJ, sa preciznošcu od 1 decimale,polazeci od tabelarnih vrednosti vremena i odgovarajucih koncentracija penicilina(Prak., I-3). Koristiti funkciju iter (Prakt,VIII-2).

Rešenje (Mathcad):


Jednacina koju treba resiti po α je kubna jednacina:

yzad Cpzad:=y Cp:=x t:=

Trazeno vreme dobijamo inverznom interpolacijom u tabeli t - Cp, odnosno x - y, koristeci NJIP1, 3. stepena.

A

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0 106 1.388·10 3 -1.482·10 3 2.986·10 3 -5.92·10 3

20 106 1.494·10 3 -94 1.504·10 3 -2.934·10 3 2.424·10 3

40 1.6·10 3 1.4·10 3 1.41·10 3 -1.43·10 3 -510 5.1·10 3

60 3·10 3 2.81·10 3 -20 -1.94·10 3 4.59·10 3 -1.012·10 4

80 5.81·10 3 2.79·10 3 -1.96·10 3 2.65·10 3 -5.53·10 3 1.061·10 4

100 8.6·10 3 830 690 -2.88·10 3 5.08·10 3 -6.85·10 3

120 9.43·10 3 1.52·10 3 -2.19·10 3 2.2·10 3 -1.77·10 3 0

140 1.095·10 4 -670 10 430 0 0

160 1.028·10 4 -660 440 0 0 0

180 9.62·10 3 -220 0 0 0 0

200 9.4·10 3 0 0 0 0 0

=

A Tabela t0

h, Cp, n,( ):=

Tabela x0 h, y, n,( ) x0

x0←

xi

x0 i h⋅+←

i 1 n..∈for

A 0⟨ ⟩x←

A 1⟨ ⟩y←

Ai j 1+, A

i 1+ j, Ai j,−←

i 0 n j−..∈for

j 1 n..∈for

Areturn

:=

Izracunavanje tabele konacnih razlika:

E 0.05:=Zadata granica apsolutne greske (preciznost na 1 decimali):

Cpzad 6000:=

n 10=n rows t( ) 1−:=

h 20:=Cp

0

106

1600

3000

5810

8600

9430

10950

10280

9620

9400

:=t

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

:=


t 81.2=t round xs

α h⋅+ 1,( ):=

Resenje α dobijeno u 5 iteracija.Trazeno vreme, sa 1 decimalom:

α

i

1.061

5

=α

i

iter φ αp, δ,( ):=Poziv funkcije iter :

δ 5 104−×=δ

E

x5

:=

Tolerancija je dozvoljena relativna greska i dobicemo je iz dozvoljene granice aposlutne greske i priblizne vrednosti trazene temperature

iter φ x0, δmax,( ) δ 100←

i 1←

xp x0←

imax 50←

break i imaxif

x φ xp( )←

δ if x 0x xp−

x δmax+,

x xp−

x,

←

xp x←

i i 1+←

δ δmax>while

k if i imax "ne konvergira", x,( )←

k

i

return

:=

αp 1=αp

x4

xs

−

h:=Polaznu procenu dobijamo iz najblize vrednosti (80) :

φ α( ) 1

∆yyzad y

s−

α α 1−( )⋅2!

∆2y⋅−α α 1−( )⋅ α 2−( )⋅

3!∆3y⋅−

⋅:=Definisanje funkcije:

∆3y 1.94− 103×=∆2y 20−=∆3y A 4⟨ ⟩( )

s:=∆2y A 3⟨ ⟩( )s:=

∆y 2.81 103×=∆y A 2⟨ ⟩( )

s:=s 3:=Polinom provlacimo kroz tacke x 3 - x6:

α1

∆ysyzad ys−

α α 1−( )⋅2!

∆2ys⋅−α α 1−( )⋅ α 2−( )⋅

3!∆3ys⋅−

⋅

Desnu stranu jednacine oblika α = φ(α) dobijamo kada gornju jednacinu "resimo" po onom α koje se mnozi sa ∆ys.

αx xs−

h

gde indeks s oznacava odabranu startnu tacku pri provlacenju polinoma 3. stepena , y je zadata vrednost funkcije (yzad) a α je bezdimenziona promenljiva:

y ys α∆ys+α α 1−( )⋅

2!∆2ys+

α α 1−( )⋅ α 2−( )⋅3!

∆3ys⋅+

7.5 METODA TANGENTE 185

7.5 METODA TANGENTEU okolini tacke x(k), dobijene u k-toj iteraciji, aproksimiramo funkciju f (x)

njenom tangentom, povucenom u toj tacki:

f (x)≈ t(x) = f (x(k))+(x− x(k)) f ′(x(k)) (7.16)

i sledecu procenu korena, x(k+1) nalazimo iz preseka tangente t(x) sa x –osom,

t(

x(k+1))= f

(x(k))+(

x(k+1)− x(k))

f ′(

x(k))= 0

odakle sledi iteraciona formula metode tangente ili Njutn-Rafsonove metode(Newton-Raphson):

x(k+1) = x(k)− f (x(k))f ′(x(k))

k = 0,1, ... (7.17)

y

f(x) x α x(k+2) x(k+1) x(k)

( ) ( ) ( )( ) ( )( )kkk xfxxxfxt ′−+= )(

Slika 7.9: Geometrijska interpretacija metode tangente

7.5.1 Dovoljan uslov konvergencijeTEOREMA 7.4 Iteracioni proces (7.16) konvergira korenu α ∈[a, b] ako jef (a) f (b) < 0 i uz to

1. f ′(x) i f ′′(x) ne menjaju znak i f ′(x) = 0 u intervalu [a, b]2. f (x(0)) f ′′(x(0))> 0Pošto su dati uslovi dovoljni, a ne i potrebni, njihovo neispunjavanje ne mora

da uzrokuje divergenciju.


Na Sl.7.10 ilustrovane su mogucnosti divergencije metode, kada dovoljni uslovikonvergencije nisu zadovoljeni.

a

?

x(0)

x(1) b

? x(3)

a

b x(2) x(1) x(0)

x(2) f ′′(x) menja znak u [a, b]

f(x(0)) f ′′(x(0))<0

Slika 7.10: Slucajevi diveregencije iteracionog postupka.

Brzina konvergencijeIteraciona funkcija (7.2) je:

F(x) = x− f (x)f ′(x)

i njen prvi izvod je:

F ′(x) = 1− f ′(x)f ′(x)

+f (x)

( f ′(x))2 f ′′(x) =f (x)

( f ′(x))2 f ′′(x)

a njegova vrednost u rešenju α:

F ′(α) =f (α)

( f ′(α))2 f ′′(α) = 0 ako f ′(α) = 0

Pošto je u opštem slucaju:F ′′(α) = 0

metod tangente je iteracioni proces 2. reda, dakle brži od metode prostih ite-racija.

Zadatak 7.3. Problem iz Zadatka 1, rešiti metodom tangente i uporediti br-zine konvergencije ove metode i metode prostih iteracija.

Rešenje (Mathcad):

7.6 METODA SEKANTE 187

7 7.5 80.04

0.05

0.06

vφ v( )

d

d

v

v 7 7.02, 8..:=φ v( )R T⋅

p1

B

v+

C

v2

+

⋅:=

Mada je metod tangente iteracioni proces 2. reda, a metod prostih iteracija 1. reda, u ovom primeru se ne uocava znacajna razlika u brzini konvergencije (potreban broj iteracija). To se moze objasniti malom vrednoscu prvog izvoda funkcije φφφφ(v) u okolini resenja ( slika), zbog cega se metod prostih iteracija priblizava procesu 2. reda :

Metod konvergira u 3. iteraciji :

∆

0

0.443

1.367 103−×

1.46 108−×

=v

7.9

7.45672

7.45535

7.45535

=∆ i vi

vi 1−−:=v

iv

i 1−

f vi 1−( )

df vi 1−( )−:=

i 1 3..:=

v0

7.9:=Polazna procena

Metod tangente :

df v( )B−

v2

2C

v3

⋅−p

R T⋅−:=Prvi izvod funkcije f(v):

Funkcija ciju nulu trazimo : f v( ) 1B

v+

C

v2

+p v⋅R T⋅

−:=

C 2.6− 103−⋅:=B 0.388−:=p 500:=T 473:=R 8.314:=Podaci:

7.6 METODA SEKANTEOva metoda, predstavlja aproksimaciju metode tangente. Umesto tangente

u tacki x(k) povlacimo secicu kroz dve poslednje procene x(k) i x(k−1), odnosnou iteracionu formulu metode tangente uvodimo aproksimaciju:


f ′(x(k))≈ f (x(k))− f (x(k−1))

x(k)− x(k−1)=

f (k)− f (k−1)

x(k)− x(k−1)

što daje iteracionu formulu:

x(k+1) = x(k)− f (k)x(k)− x(k−1)

f (k)− f (k−1)k = 1,2, ... (7.18)

x(1) = x(0)(1+∆), ∆ =±0.1 (na primer)

α

Nagib sečice:

( )( ) ( )( )( ) ( )1

1

−

−

−−=

kk

kk

xx

xfxfs

x(k)

x(k+1) x(k-1)

f(x) x

Slika 7.11: Geometrijska interpretacija metode sekante

Karakteristike ove metode su,- pošto aproksimira metod tangente, brže konvergira od iteracionih procesa 1.reda, ali je sporija od metode tangente. Može se pokazati da je ona iteracioniproces reda 1.618:

ε(k+1) = c(ε(k))1.618, c−konstanta proporcionalnosti

- pošto ne zahteva prvi izvod, pogodna je za nalaženje nula funkcija koje nisuzadate jednim analitickim izrazom, tj. cije se vrednosti dobijaju kao rezultatniza racunskih koraka (recimo numericka integracija)

7.7 VEGŠTAJNOV METOD 189

7.7 VEGSTAJNOV METODVegštajn (Wegstein) je modifikovao metod uzastopnih zamena sa ciljem da

se:obezbedi konvergencija u slucaju kada metod uzastopnih zamena (MUZ) ne bikonvergirao, kao i da se ubrza konvergencija u slucaju kad bi i taj metod konver-girao.

Izvodenje iteracione formule je ilustrovano sledecom slikom.

x

ϕ(x)

x(2)(MUZ) x(1) x(0)

y

x(2)

MUZ bi divergirao! Zato se druga pro-cena x(2) korena dobija u preseku secicekrive φ(x), provucene kroz dve pret-hodne procene x(0) i x(1), odnosno u in-tervalu [x(0),x(1)] kriva φ(x) se aproksi-mira njenom secicom ciji je nagib:

s =φ(

x(1))−φ

(x(0))

x(1)− x(0)

Slika 7.12: Wegštajnov metod

Vrednost x(2) se dakle dobija iz uslov preseka prave y = x i povucene secice:

x = φ(

x(1))+ s(

x− x(1))⇒

⇒ x(2) = x =1

1− sφ(x(1))− s

1− sx(1) =

11− s

φ(x(1))+(

1− 11− s

)x(1)

Iteracionu formulu dobijamo istim postupkom, polazeci od tacaka x(k−1) i x(k):

x(k+1) = tφ(x(k))+(1− t)x(k),k = 1,2, ... (7.19)

t =1

1− s(7.20)


s =φ(

x(k))−φ

(x(k−1)

)x(k)− x(k−1)

(7.21)

Neophodna je pored polazne, još jedna procena korena i ona se dobija:metodom uzastopnih zamena:

x(1) = φ(x(0)) (7.22)

ili, iz polazne procene, malim pomeranjem:

x(1) = x(0)(1+∆),(recimo,∆ = 0.1) (7.23)

Metoda je ekvivalentna metodi sekante primenjene na jednacinu x−φ(x) =0, pa je istog reda konvergencije (1.618).

Postoji problem primene metode, kada je nagib krive φ(x) blizak jedinicijer funkcija t(s) (Jedn.(7.20)) u tacki s = 1 ima vertikalnu asimptotu (t → ∞).Tako, ako je izracunat nagib s,

s =

{0.9 ako 0.9 < s 6 11 ako 1 < s < 1.1

Uticaj nagiba krive φ(x) u okolini korena na konvergencijuDiskusija uticaja nagiba s krive φ(x) na karakter konvergencije metode data je

u Tab.7.2 uz ilustraciju na Sl.7.13.

Tabela 7.2: Konvergencija Wegštajnove metode

oblast vrednosti s oblast vrednosti t karakter konvergencije

a) -∞ < s < -1 0 < t < 0.5 oscilatorna (MUZ divergira)

b) -1 < s < 0 0.5 < t < 1 oscilatorna (ubrzanje MUZ-a)

c) 0 < s < 1 1 < t < ∞ monotona (ubrzanje MUZ-a)

d) 1 < s < ∞ -∞ < t < 0 monotona (MUZ divergira))


d

c b

a

s = - 1

x

s = 1

-0

+0

- ∞ +∞

s = 0

α

y

Slika 7.13: Oblasti vrednosti nagiba secice, s

Zadatak 7.4. Na temperaturi T = 173K, parametri a i b u VDW jednacinistanja:

p =RT

v−b− a

v2

su:

a = 137kPa(

m3

kmol

)2

, b = 0.0386m3

kmol

Potrebno je sa granicom relativnog odstupanja δ = 0.1% izracunati molskuzapreminu azota na datoj temperaturi i pritisku 50 bar. Problem rešiti:a) Metodom prostih iteracija, koristeci funkciju iter (Prakt., VIII-2)b) Metodom tangente, koristeci funkciju Njutn (Prakt., IX-2)c) Metodom sekante, koristeci funkciju Sekanta (Prakt., IX-3)d) Vegštajnovom metodom, koristeci funkciju Wegstein (Prakt., VIII-4)

Kao polaznu procenu uzeti molsku zapreminu izracunatu iz jednacine ideal-nog gasnog stanja. Uporediti i diskutovati brzine konvergencije tri metode.

Rešenje (Mathcad):


v 0.226=rezultat cemo prikazati sa tri znacajne cifre :

Av 2.259 104−×=Av v δmax⋅:=Posto je granica apsolutne greske:

Metoda konvergirala u 10 iteracijav v0

:=v0.2259

10

=v iter φ v0, δmax,( ):=

iter φ x0, δmax,( ) δ 100←

i 1←

xp x0←

imax 50←

break i imaxif

x φ xp( )←

δ if x 0x xp−

x δmax+,

x xp−

x,

←

xp x←

i i 1+←

δ δmax>while


k

i

return

:=

Mozemo da ocekujemo sporu monotonu konvergenciju, jer je prvi izvod funkcije sa leve strane blizak "kriticnoj" vrednosti 1

0 0.2 0.4 0.60

0.2

0.4

0.6

φ x( )

x

x

x 0.1 0.11, 0.5..:=

v0 0.288=v0R T⋅

p:=

Kao polaznu procenu uzimamo vrednost dobijenu iz jednacine idealnog gasnog stanja:

φ v( )R T⋅

pa

v2

+b+:=Definisanje funkcije φ(v):

zamenjujemo ekvivalentnom, oblika v =φ(v) pRT

v b−a

v2

−Jednacinu a)

δmax 0.001:=T 173:=p 5000:=R 8.314:=b 0.0386:=a 137:=


Metoda konvergirala u 4 iteracijev v0

:=v0.2256

4

=v Sekanta f v0, δmax,( ):=

Sekanta f x0, δmax,( ) xpp x0←

xp 1.1 xpp⋅←

imax 50←

∆x f xp( )xp xpp−

f xp( ) f xpp( )−⋅←

x xp ∆x−←

δ if x 0∆x

x δmax+,

∆x

x,

←

break δ δmax≤if

xpp xp←

xp x←

i 1 imax..∈for


k

i

return

:=c)

v 0.226=

Metoda konvergirala u 3 iteracijev v0

:=v0.2256

3

=v Njutn f v0, δmax,( ):=

Njutn f x0, δmax,( ) xp x0←

imax 50←

x xp

f xp( )

xpf xp( )d

d

−←

δ if x 0x xp−

x δmax+,

x xp−

x,

←

break δ δmax≤if

xp x←

i 1 imax..∈for


k

i

return

:=

df v( )v

f v( )d

d

274−

v3

v 3.86 10-2⋅−( )⋅ 5000+

137

v2

+→:=Definisanje prvog izvoda funkcije f(v):

f v( ) pa

v2

+

v b−( )⋅ R T⋅−:=Definisanje funkcije f(v):

Ekvivalentna jednacini pRT

v b−a

v2

− je jednacina pa

v2

+

v b−( )⋅ R T⋅− 0b)


d) Wegstein φ x0, δmax,( ) δ 100←

i 1←

xpp x0←

xp φ xpp( )←

imax 50←

break i imaxif

sφ xp( ) φ xpp( )−

xp xpp−←

t1

1 s−←

t if t 10< t,t

t10⋅,

←

x t φ xp( )⋅ 1 t−( ) xp⋅+←

δ if x 0x xp−

x δmax+,

x xp−

x,

←

xpp xp←

xp x←

i i 1+←

δ δmax>while


k

i

return

:=

v Wegstein φ v0, δmax,( ):= v0.2256

5

= v v0

:= Metoda konvergirala u 5 iteracija

Diskusija

Kao iteraciona metoda 2. reda, najbrze je konverirala metoda tangente (3 iteracije). Prema ocekivanju, nesto sporija su konvergirale metoda sekante (4 iteracije) i Vegstajnova metoda ( 5 iteracija). Najsporija je, kako smo i predvideli,metoda prostih iteracija (10 iteracija)

7.8 ODREDJIVANJE NULA POLINOMA 195

7.8 ODREDJIVANJE NULA POLINOMAU nekim hemijsko inženjerskim problemima kao što su:

- nalaženje nula i polova prenosne funkcije pri analizi stabilnosti procesa- analiticko rešavanje linearne diferencijalne jednacine n – tog redaneophodno je odrediti sve nule (korene) nekog polinoma. Znamo da polinom n -tog stepena ima tacno n nula ili korena, pri cemu oni mogu biti:- realni i razliciti- višestruki realni- konjugovano - kompleksni

U pripremnoj fazi rešavanja ovog problema procenjuje se:- oblast u kome leže sve nule polinoma- broj pozitivnih i negativnih realnih nula- pomocu sledecih teorema:

TEOREMA 7.5 Sve nule polinoma:

Pn (x) = a0xn +a1xn−1 + ...+an =n

∑i=0

aixn−i (7.24)

leže u kružnom prstenu:r < |z|< R (7.25)

u kompleksnoj ravni, gde su:

R = 1+A|a0|

, A = max(|a1| , |a2| , ..., |an|) (7.26)

r =1

1+ B|an|

, B = max(|a0| , |a1| , ..., |an−1|) (7.27)

TEOREMA 7.6 (Dekartova teorema):Ukupan broj pozitivnih nula je jednak broju promena znaka u nizu koefici-

jenata polinoma ili manji od njega za paran broj (ako polinom ima kompleksnenule). Pri tome se nulti koeficijenti uzimaju kao pozitivni.

Ukupan broj negativnih nula je jednak broju ponavljanja znaka u nizu koefi-cijenata polinoma ili manji od njega za paran broj (ako polinom ima kompleksnenule).


Primer 7.3.Niz koeficijenata polinoma P4 (x) = x4 + 6x3 + 7x2− 6x− 8 je: 1, 6, 7, -1, -

8 i ima 1 promenu znaka koeficijenata (7, -1), što ukazuje da sigurno ima jedanpozitivan realan koren. Pošto ima 3 ponavljanja znaka, može da ima 3 ili samo1 negativan koren. Svi realni koreni leže u oblasti (-R, -r ) ∪ ( r, R ) na brojnojpravoj. Granice r i R odredujemo iz jednacina (7.26,7.27):

A = 8, R = 1+8 = 9 B = 7, r =1

1+ B8= 0.533...≈ 0.5

Dakle tražena oblast je (-9,-0.5) ∪ (0.5, 9), ili grublje, (-9, 9).

6 4 2 0 250

0

50

100

P4 x( )

0

x

Slika 7.14:

Kao što slika pokazuje, posmatrani polinom ima 3 negativna i jedan pozitivankoren u izracunatom intervalu.

Primer 7.4.Niz koeficijenata polinoma P4 (x) = x4 +7x3 +12x2−4x−16 je: 1, 7, 12, -4,

-16 i takode ima 1 promenu i 3 ponavljanja znaka, pa je predvideni broj realnihkorena isti kao u prethodnom primeru. Kao interval u kome leže realni koreni,opisanim postupkom dobijamo: (-17, 17).

6 4 2 0 250

0

50

100

P4 x( )

0

x

Slika 7.15:

7.8 ODREDJIVANJE NULA POLINOMA 197

Kao što slika pokazuje, posmatrani polinom ima jedan pozitivan koren. Ne-gativan koren –2 je dvostruki koren jer je u toj tacki x – osa tangenta polinoma.Tako je dvostruki koren ujedno nula prvog izvoda posmatranog polinoma:

P′4 (−2) = 0Primer 7.5.

U nizu koeficijenata polinoma P4 (x) = x4 + x3− 5x2 + 23x− 20 ima 3 pro-mene i jedno ponavljanje znaka koeficijenata, što znaci da polinom ima ili 1 ili 3pozitivne nule i sigurno ima 1 negativnu nulu.

6 4 2 0 2200

0

200

400

P4 x( )

0

x

Slika 7.16:

Slika ilustruje da polinom ima:- jedan negativan koren- jedan pozitivan koren- dva kompleksna korena

Metod sintetskog deljenjaOvo je postupak da se odrede svi koreni polinoma. Sastoji se iz sledecih ko-

raka:Nekom metodom za rešavanje nelinearne jednacine odredi se jedan realan ko-

ren polinoma, α i onda deljenjem tog polinoma binomom (x- α), dobija se poli-nom jednog stepena niži.

Ponavlja se prethodni postupak, sve dok postoje realni koreni. Ako polinomima i kompleksne korene oni se odreduju na sledeci nacin:

Nekom od specijalnih metoda odredi se par konjugovano kompleksnih korenaz i z i onda stepen polinoma smanji za 2 deljenjem sa kvadratnim polinomom:(x− z)(x− z).

Postupak sintetskog deljenja se završava kada se dode do polinoma 2. stepena,cije se kompleksne nule odrede analiticki.


7.9 KORENI JEDNACINA I POLINOMAU MATHCAD-u

Za rešavanje nelinearne jednacine u Matcadu se koriste,-funkcija root, koja zahteva prethodno, ili pri samom pozivu, definisanu funk-

ciju f (x), ciju nulu tražimo i polaznu procenu rešenja. Ova funkcija se bazira nametodi sekante.

-Solve BlockAko se neka jednacina rešava korišcenjem Mathcad funkcije, prakticna pro-

vera da li je zadata tolerancija TOL dovoljno mala da garantuje d sigurnihdecimala u rešenju može se izvršiti ponavljanjem proracuna uz znatno manjutoleranciju (recimo 100 puta) od zadate. Ukoliko se prvi i drugi rezultat, nakonzaokruživanja na d+1 decimala, slažu na prvih d+1 decimala, znaci da je oda-brana tolerancija bila adekvatna. Slicno, pri izboru parametra TOL, koji garantujes sigurnih cifara u rezultatu, kriterijum je da se zaokruženi rezultati dobijeni sadve vrednosti TOL slažu na prvih s+1 znacajnih cifara

Zadatak 7.5. U cevnom reaktoru sa idealnim potiskivanjem se odvija po-vratna reakcija:

A+Bk1k2

2R

cija je brzina:

r = k1CACB− k2C2R (CA,CB,CR su koncentracije, (mol/ m3)

Kontaktno vreme (s), neophodno da bi se postigao stepen konverzije reaktantaA, xA dato je jednacinom:

τ(xA) =1

k1CA0

xA∫0

dx(1− x)(M− x)−αx2 , M =

CB0

CA0, α =

4k2

k1

gde su CA0,CB0 ulazne koncentracije reaktanata. Potrebno je sa tacnošcu od 4decimale izracunati stepen konverzije koji se postigne pri kontaktnom vremenu, τ= 30s, sa ostalim podacima:

k1 = 2.8 ·10−2, k2 = 4.9 ·10−3, CA0 = 0.5, CB0 = 0.6

Problem rešiti,a) pomocu root funkcijeb) pomocu Solve block-a

Rešenje (Mathcad):

7.9 KORENI JEDNACINA I POLINOMA U MATHCAD-u 199

F x CA0, M,( ) 3.323 104−×=

Posto vrednost funkcije nije jako mala, sumnjamo da smo dobili dovoljno tacno resenje i smanjujemo sistemski parametar TOL (tolerancija za zaustavljanje iteracionog procesa):

TOL 105−:=

Poziv funkcije root: x root F x CA0, M,( ) x,( ):= Resenje: x 0.333446=

F x CA0, M,( ) 3.762 109−×=

Resenja se slazu na 5 decimala, sto znaci da je i prvo, nadjeno sa TOL=0.001 bilo prihvatljivo, jer nam ne treba veca preciznost od 4 decimale.

x 0.3334=

Resenje pomocu Solve block-a

x 0.5:= TOL 0.001:=

Given

1

k1 CA0⋅ 0

x

tf t M,( )⌠⌡ d⋅ τ− 0

x Find x( ):= x 0.333446= F x CA0, M,( ) 1.403− 105−×=

Podintegralna funkcija: f x M,( )1

1 x−( ) M x−( )⋅ α x2⋅−

:= MCB0

CA0:=

Funkcija ciju nulu trazimo:F x CA0, M,( )

1

k1 CA0⋅ 0

x

tf t M,( )⌠⌡ d⋅ τ−:=

Nula funkcije se nalazi u intervalu (0,xmax), gde je xmax najveci moguci stepen konverzije

Maksimalan stepen konverzije je onaj koji se postize u ravnotezi, tj. onaj za koji imeniocfunkcije f(x,M) postaje jednak nuli . Nacicemo ga pomocu funkcije root :

Polazna procena : x 0:=

Poziv funkcije root: xmax root1

f x M,( )x,

:= xmax 0.593=

Kao polaznu procenu trazenog stepena konverzije uzimamo neku vrednost iz intervala (0,xmax), recimo:

x 0.5:=

Poziv funkcije root: x root F x CA0, M,( ) x,( ):= Resenje: x 0.333449=

Provera:


Za nalaženje svih korena polinoma u Mathcad -u se koristi funkcija polyro-ots.

Zadatak 7.6. Potrebno je izracunati molsku zapreminu v (l/mol) ugljendi-oksida na pritisku od 100 atm i temperaturi T = 300K, pomocu Beattie-Bridgemanjednacine stanja:

p =αv+

βv2 +

γv3 +

δv4

gde se parametri α−δ racunaju kao:

α = RT, β = αB0−A0−cαT 3 , γ = A0a−αB0

(b+

cT 3

), δ =

αB0bcT 3 ,

R = 0.08206l atmmol K

Za CO2 potrebne vrednosti parametara su:

A0 = 5.0065, a = 0.07132, B0 = 0.10476, b = 0.07235, c = 6.600×105

Rešenje (Mathcad):


Funkcija ciju nulu trazimo : F v( )αv

β

v2

+γ

v3

+δ

v4

+ p−:= odnosno resavamo jednacinu F(v) = 0

Ekvivalentna jednacina : f v( ) 0 gde je f v( ) p− v4⋅ α v

3⋅+ β v2⋅+ γ v⋅+ δ+:=

Trazenu zapreminu cemo naci kao odgovarajuci koren polinoma f(v)

Koeficijenti polinoma:

a

δ

γ

β

α

p−

:= a

4.561 103−×

0.107

3.029−

24.618

100−

= U nizu vrednosti koeficijenata se uocavaju tri promene znaka , pa je broj pozitivnih korena, koji imaju fizickog smisla, jednak 1 ili 3.

Svi koreni polinoma

V polyroots a( ):=V

0.024−

0.086 0.112i+

0.086 0.112i−

0.098

=

Fizickog smisla ima jedini pozitivan koren v V3

:= v 0.09763=

Podaci:

R 0.08206:= A0 5.0065:= a 0.07132:= B0 0.10476:= b 0.07235:= c 6.600 105⋅:=

p 100:= T 300:=

Parametri u jednacini:

α R T⋅:= β α B0⋅ A0−c α⋅

T3

−:= γ A0 a⋅ α B0⋅ bc

T3

+

⋅−:= δα B0⋅ b⋅ c⋅

T3

:=

α 24.618= β 3.029−= γ 0.1074= δ 4.561 103−×=


ZADACI

7.1 Jedan od prakticnih kriterijuma za izlazak iz iteracionog postupka je uslov(7.6). Imajuci u vidu vezu izmedu broja sigurnih decimala i granice apsolutne gre-ške približnog broja, pokazati da u slucaju oscilatorne konvergencije, tolerancijaε = 0.5 ·10−du kriterijumu (7.6), obezbeduje dobijanje numerickog rešenja nekejednacine sa d tacnih (sigurnih) decimala. Pošto u slucaju monotone konvergen-cije predložena vrednost tolerancije ε ne garantuje d tacnih decimala u rezultatu,preporucljivo je proveriti da li je odabrana tolerancija dovoljna, ponavljanjem pro-racuna sa manjom (recimo 10 puta) tolerancijom i poredenjem dva rezultata, ana-logno izboru parametra TOL.

7.2 Imajuci u vidu vezu izmedu broja sigurnih cifara i relativne greške pribli-žnog broja, toleranciju δ u izlaznom kriterijumu (7.7), možemo da povežemo sazadatim brojem sigurnih cifara u rezultatu iteracionog postupka. U Pogl. (1.2)smo, koristeci princip majorizacije, izveli jednacinu (1.9) za procenu relativnegreške približnog broja, Rx∗ iz poznatog broja sigurnih cifara s, a problem odredi-vanja granice relativne greške da bi broj imao ssigurnih cifara je obrnut problem.Potrebno je,a) pokazati (koristeci princip minorizacije) da je, gornja granica dozvoljene rela-tivne greške približnog broja, da bi on imao zadat broj sigurnih cifara, s jednaka:

R = 0.5 ·10−s

b) pokazati da tolerancija

δ = 0.5 ·10−s

u izlaznom kriterijumu (7.7) garantuje, u slucaju oscilatorne konvergencije itera-cionog postupka, s sigurnih cifara u rešenju neke jednacine.

Što se tice iteracionih procesa koji konvergiraju monotono, važi slicna disku-sija kao u prethodnom problemu.

7.3 Reakcija sinteze amonijaka,

N2 +3H2 2NH3

se izvodi u katalitickom reaktoru na pritisku p = 40bar, pri cemu se reaktantiuvode u molskom odnosu N2 : H2 = 1 : 4. Izlazna temperatura je 510K. Akose pretpostavi uspostavljanje reakcione ravnoteže u reaktoru, stepen konverzijenapredovanja reakcije, x se dobija rešavanjem jednacine (uslov reakcione ravno-teže):


4x2(5−2x)2

(1− x)(4−3x)3 = k = 360, 0 < x < 1

a) Izvesti sledece jednacine, koje su ekvivalentne (imaju ista rešenja) datoj:

1) 4x2(5−2x)2− k(1− x)(4−3x)3 = 0,

2) x = 1− 4x2(5−2x)2

k(4−3x)3 ,

3) x =12

√k(1− x)(4−3x)

4−3x5−2x

b) Analizom grafika funkcije u jednacini (??), utvrditi da data jednacina, u inter-valu (0,1) vrednosti x koje imaju fizickog smisla, ima jedno rešenje i grubo gaproceniti.c) Analizom grafika, utvrditi karakter iteracionih procesa pri primeni metode pro-stih iteracija na jednacine (2) i (3) i odabrati pogodniju od njih za primenu metodeprostih iteracija.d) Rešiti jednacinu odabranu u c), sa preciznošcu od 4 sigurne cifre, ne koristecifunkciju iter i polazeci od grube procene rešenja dobijene u b) ili c).e) Rešiti jednacinu odabranu u c) korišcenjem funkcije iter (Prakt., VIII-2) za re-šavanje odabrane jednacine, sa adekvatno odabranom tolerancijom, prema zadatojpreciznosti rešenja. Proracun ponoviti za tri polazne procene rešenja: 0, procenakorišcena u d) i 1. Uporediti broj potrebnih iteracija pri razlicitim polaznim pro-cenama.f) Odabranu jednacinu rešiti pomocu funkcije rootg) Uporediti, koristeci funkcije iter i Wegstein , konvergentne karakteristike me-tode prostih iteracija i metode Vegštajna sa jednacinama (2) i (3).

Rešenje: b) 0.95c) jednacina (2)d) 10 iteracija, 0.9412e) 14, 10, 13g) jednacina (2) - iter (10 iteracija), Wegstein (3 iteracije)jednacina (3) - iter (ne konvergira), Wegstein (3 iteracije)

7.4 Brzina taloženja cvrste sfericne cestice u nekom fluidu data je jednaci-nama:

w =

√4g(ρs−ρ)d

3Csρ, gde je Cs =

24Re

(1 + 0.14 ·Re0.7

)g - ubrzanje zemljine težeρ −gustina fluida


ρs - gustina cesticed - precnik cesticeCs - koeficijent trenjaRe - Reinoldsovov broj: Re = wd ρ

µGvozdena sferna cestica precnika d = 0.5mm i gustine ρs= 7860 kg/m3 pada

kroz vazduh cija su svojstva: ρ = 1.23 kg/m3, µ = 1.79×10−5 Pa·s.a) Analizom grafika za date podatke, utvrditi karakter iteracionog procesa metodeuzastopnih zamena i grubu polaznu procenu tražene brzine.b) Koristeci funkciju iter odrediti brzinu taloženja gvozdene kuglice za date po-datke sa tacnošcu od dve sigurne cifre, sa tolerancijom izracunatoj po formulidatoj u problemu 7.2.c) Proveriti da li korišcena tolerancija obezbeduje dve sigurne cifre u rezultatu,njenim smanjivanjem i pracenjem promena rezultata.d) Ponoviti b) i c) za vodu kao medijum (µ = 8.9×10−4 Pas) kroz koji padagvozdena kuglica, pri istim ostalim podacima.

Rešenje: a) monotona konvergencija, 7.5b) 7.6c) dad) 0.21

7.5 Izotermski faktor efektivnosti,η katalizovane reakcije A(g)→ produkti(g)na neporoznoj katalitickoj površini dobija se rešavanjem jednacine:

η = (1−Daη)n , 0 < η 6 1

Da- Damkelerov bezdimenzioni kriterijumn- red reakcije

a) Pokazati da se, za red reakcije n > 1, u intervalu vrednosti Damkelerovih brojeva

Da 6 1/

n

može ocekivati konvergencija metode uzastopnih zamena, bez obzira na polaznuprocenu faktora efektivnosti.b) Pokušati da se, sa preciznošcu od 3 sigurne cifre, koristeci funkciju iter, izra-cuna faktor efektivnosti za reakciju reda n = 2.5 i vrednosti Damkelerovih brojeva:Da = 0.5/n, 1/n, 2/n.c) Definisati vektor ekvidistantnih vrednosti Da brojeva, pocev od 0 pa do 1 sa ko-rakom 0.1, a zatim za svaku od tih vrednosti izracunati faktor efektivnosti reakcijereda n = 2.5, pomocu funckije root sa polaznom procenom η(0) = 1. Konacno na-crtati zavisnost faktora efektivnosti posmatrane reakcije od Damkelerovog brojau intervalu 0 6 Da 6 1.

7.6 Zavisnost ostvarenog stepena konverzije, x reaktanta A u reakciji 1. reda


A→ produkti

od kontaktnog vremena, τ u adijabatskom protocnom reaktoru sa idealnim meša-njem, data je jednacinom:

xτ= k0e−

ERT (x) (1− x)

(s−1)

gde je ER(K) kolicnik energije aktivacije i univerzalne gasne konstante ER =E/

R,a temperatura T je sledeca linearna funkcija stepena konverzije:

T (x) = T0 +λ C0A x

k0 – predeksponencijalni faktor u Arenijusovom izrazu za konstantu brzinereakcije, s−1

τ −kontaktno vreme (kolicnik zapremine reaktora i zapreminskog protokareakc.smeše), s

C0A −koncentracija reaktanta u ulaznoj struji, mol

/m3

T0, T – temperature ulazne i izlazne struje reaktora, Kλ −adijabatsko povecanje temperature, Km3/molPotrebno je izracunati stepen konverzije x, sa tacnošcu od 4 sigurne cifre, za

sledece podatke:

k0 = 4.48×106s−1, ER = 7554K, C0A = 3

kmolm3 ,

T0 = 298K, τ = 300s, λ = 50Km3

kmola) Analizom grafika, utvrditi da problem za date podatke ima tri rešenja i grubo ihprocenitib) Na osnovu analize grafika, utvrditi koja od tri rešenja se mogu dobiti metodomprostih iteracija i odrediti ih pomocu funkcije iter, sa tolerancijom δ = 10−5

c) Preostala rešenja dobiti pomocu funkcije Wegstein, sa istom tolerancijom (mo-žda ce biti neophodno variranje polazne procene da bi postupak konvergirao).Proveriti zatim adekvatnost odabrane tolerancije.d) Treba dobiti sa zadatom preciznošcu tražena rešenja, pomocu funkcije root.Uveriti se da standardna vrednost (0.001) sistemskog parametra TOL ne obez-beduje traženu tacnost za najmanje od tri rešenja. Kako se to može objasniti?Utvrditi najvecu vrednost TOL, oblika

10−n, tj. najmanju vrednost n (n = 1,2,3,...) koja obezbeduje traženu tacnost.Rešenje: a) 0.015,0.3,0.98

b) prvo, 0.01583d) n = 7


7.7 Prethodni problem rešiti metodom sekante i metodom tangente, koristecifunkcije Njutn i Sekanta (Prakt.,IX-2, - 3). Uporediti brojeve iteracija neophodneda se sa zadatom tolerancijom i istim polaznim procenama, tri rešenja dobiju razli-citim metodama i objasniti uoceno na osnovu teoretskih znanja izloženih u tekstuove glave.

7.8 U fleš separatoru se razdvaja etilen od etana iz smeše koja pored te dvekomponente sadrži i propan i butan. Potrebno je, sa tacnošcu od 4 decimale,odrediti udeo pare u izlaznoj dvofaznoj smeši α , kao rešenje nelinearne jednacine:

f (α) =n

∑j=1

z j(1− k j

)1+α

(k j−1

) = 0, 0 < α < 1

gde su:n - broj komponenata u smešiki - konstante ravnoteže para-tecnost komponenatazi - molski udeli komponenata u polaznoj, tecnoj meši

za podatke:

Komponenta zi ki

Etilen 0.1 16.3

Etan 0.25 3.04

Propan 0.5 0.822

Butan 0.15 0.243

Rešiti problem metodom tangente i metodom sekante i uporediti brzine kon-vergencije.

Rešenje: 0.6967, 4 iteracije - oba metoda7.9 Date su vrednosti specificnih toplota cp(kJ

/kgK) azota na pritisku p =

10bar i razlicitim temperaturama:

T (K) 110 120 130 140 150 160 170 180 190

cp 1.417 1.304 1.237 1.192 1.160 1.136 1.118 1.104 1.094

Potrebno je izracunati do koje temperature T se ohladi azot pocetne tempera-ture T0 = 185K, ako mu se odvede toplota u iznosu od q =70 kJ/kg, rešavajucijednacinu energetskog bilansa:

−q =

T∫T0

cp(t)dt


Podintegralnu funkciju aproksimirati kubnim splajnom (pspline) i jednacinurešiti pomocu funkcije root. Proveriti da li standardna vrednost tolerancije, TOL= 0.001 obezbeduje dobijanje rešenja sa tacnošcu od dve decimale.

Rešenje: 124.60, TOL = 0.001 je dovoljno malo7.10 Potrebno je, sa tacnošcu od 4 sigurne cifre, izracunati molsku zapreminu

v (l/mol) ugljendioksida na pritisku od 100 atm i temperaturi T = 300K pomocuBeattie-Bridgeman jednacine stanja, sa podacima datim u Zadatku 7.6 u tekstuove glave.a) Uveriti se da funkcija Njutn ne obezbeduje konvergenciju iteracionog postupkapri rešavanju jednacine:

αv+

βv2 +

γv3 +

δv4 − p = 0

polazeci od molske zapremine idealnog gasa, vid kao polazne procene. Polazecipak od grube procene rešenja dobijene iz grafika, ta funkcija daje željeno rešenje.Objasniti uoceni uticaj polazne procene na konvergenciju metode tangente, naosnovu dovoljnog uslova konvergencije ove metode (T4).b) Uveriti se da funkcija root, sa molskom zapreminom idealnog gasa, kao pola-znom procenom daje kompleksno rešenje. Ako se kao polazna procena uzme onadobijena sa grafika, funkcija root daje traženo rešenje. Kako to objasniti?c) Uveriti se da solve block uspešno rešava problem, bez obzira na polaznu pro-cenu, što govori u prilog njegove vece pouzdanosti od funkcije root.d) Da li se suocavamo sa istim problemom ako umesto date, rešavamo ekviva-lentnu jednacinu, dobijenu množenjem date jednacine sa v4? Šta iz toga možemoda zakljucimo?

Rešenje: a) uslov f (x(0)) · f ′′(x(0))> 0 nije zadovoljenb) Metod sekante (root) se ponaša blisko metodi tangented) Ne. Transformacijom jednacine se mogu promeniti uslovi konvergencije

7.11 Dat je polinom:P5(x) = x5 – 7.39x4 + 22.18x3 – 32.66x2 + 23.02 x - 6.15

a) Pokazati da on nema negativne korene.b) Proceniti moguc broj pozitivnih korena polinoma, kao i broj kompleksnih ko-rena.c) Utvrditi tacan broj i karakter korena pomocu grafika.d) Pronaci sve korene pomocu funkcije polyroots.

Rešenje: b) Broj pozitivnih korena: 1,3,5. Broj kompleksnih korena: 0,2,4c) 3 pozitivna, 2 kompleksnad) 0.75, 1, 1.64, 2-i, 2+i

7.12 U zadatku 7.1 (tekst) data je virijalna jednacina stanja za izopropanol.a) Ne crtajuci grafik, pokazati da ona, za date podatke, daje dve pozitivne vredno-sti za molsku zapreminu.


b) Naci obe vrednosti pomocu funkcije polyroots i odabrati onu, koja ima fizickoznacenje.

Rešenje: b) 7.4647.13 Potrebno je rešiti problem 7.3, polazeci od ekvivalentne jednacine:

4x2(5−2x)2− k(1− x)(4−3x)3 = 0, k = 360

i koristeci funkciju polyroots.a) Koristeci alat expand u Symbolic toolbar-u, prevesti polinom sa desne straneznaka jednakosti u kanonican oblik.b) Pomocu alata coeffs iz istog toolbar-a, definisati vektor koeficijenata polinomac) Na osnovu koeficijenata i poznavanja problema, pokazati da polinom nemanegativne nule i da ima bar dve pozitivne.d) Pomocu funkcije polyroots naci sve korene polinoma i odabrati onaj koji pred-stavlja traženo rešenje.

Glava 8Numericko rešavanje sistemanelinearnih jednacina

ZadatakCest problem u inženjerskim proracunima je nalaženje rešenja nekog sistema

nelinearnih jednacina:

f1(x1,x2, ...,xn) = 0f2(x1,x2, ...,xn) = 0...fn(x1,x2, ...,xn) = 0

(8.1)

odnosno, nalaženje vrednosti nepoznatih x1, x2, . . . , xn, tako da bude zadovoljenon uslova (8.1), ili u vektorskoj formi:

f(x) =

f1(x)f2(x)...fn(x)

= 0, x =

x1x2...xn

Primer 8.1. Treba rešiti sledeci sistem od dve jednacine:

f1(x,y) = x2 + y2−1 = 0f2(x,y) = x− y = 0

Geometrijski, prva jednacina predstavlja krug u ravni Oxy, a druga pravu uistoj ravni. Rešenje sistema treba da zadovolji obe jednacine i geometrijski to jetacka koja leži u preseku datog kruga i date prave. Vidimo da posmatrani sistemima dva rešenja (Slika (8.1), jer postoje dva preseka).

210 Numericko rešavanje sistema nelinearnih jednacina

0 x

y1

1-1

-1

Slika 8.1: Slika uz Primer 1

Kao i jedna nelinearna jednacina i sistem nelinearnih jednacina se rešava ite-rativno,tj. uzastopnim korigovanjem procene rešenja nekim postupkom (algo-ritmom). Iterativno rešavanje sistema nelinearnih jednacina ukljucuje sledeceprobleme:- postizanje konvergencije ka željenom od, u opštem slucaju, više rešenja - pro-blem multicipliteta rešenja

- izbor adekvatne polazne procene rešenja x(0) =[

x(0)1 x(0)2 . . . x(0)n

]T

Jakobijeva matrica i Jakobijan

Ako su funkcije fi, i = 1,2,. . . ,n (8.1) diferencijabilne, onda se može definisatiJakobijeva (Jacoby) matrica:

J =

[∂ fi

∂x j

]n,n

=

∂ f1∂ x1

∂ f1∂x2

· · · ∂ f1∂xn

∂ f2∂ x1

∂ f2∂x2

· · · ∂ f2∂xn

...∂ fn∂ x1

∂ fn∂x2

· · · ∂ fn∂xn

=∂ f∂x

= f′(x) (8.2)

Njena i - ta vrsta sadrži parcijalne izvode funkcije fi(x1,x2, ...,xn) po svimargumentima, redom. Tako se Jakobijeva matrica može posmatrati kao prvi izvodvektorske funkcije f(x), po vektorskom argumentu x. Njena determinanta senaziva Jakobijan i u matematickoj analizi ima primenu kod smene integracionihpromenljivih u višestrukim integralima.

Primer 8.2. Jakobijeva matrica sistema jednacina iz prethodnog primera je:

J(x) =[

2x1 2x21 −1

]

8.1 METODA PROSTIH ITERACIJA - JAKOBIJEVA METODA 211

Gradijentne i negradijentne iterativne metode

Iterativne metode rešavanja sistema jednacina (8.1), koje koriste parcijalneizvode funkcija na levim stranama jednacina, zovu se gradijentne metode. Za ra-zliku od gradijentnih, negradijentne metode ne koriste parcijalne izvode funk-cija (8.1). Od negradijentih metoda, upoznacemo se sa:

Jakobijevom metodom prostih iteracija i njenim modifikacijama,Gaus-Zajdelovom (Gauss-Zeidel) iVegštajnovom metodom.Gradijentna metoda, koju cemo obraditi je Njutn-Rapsonova metoda.

8.1 METODA PROSTIH ITERACIJA - JAKOBIJEVA METODAOva metoda je analogna metodi prostih iteracija za rešavanje jedne nelinearne

jednacine. Tako, polazimo od sistema jednacina u obliku:

x1 = φ1(x)x2 = φ2(x)...xn = φn(x)

x = φφφ(x) (8.3)

i iteracioni proces je:

x(k+1)i = φi(x

(k)1 ,x(k)2 , ...,x(k)n ), i = 1,2, ...,n; k = 0, 1, 2, ... (8.4)

ili u vektorskom obliku:

x(k+1) = φφφ(x(k)), k = 0,1,2, ... (8.5)

gde je φφφ vektorska funkcija sa komponentama φi(x), i = 1,2, ...,n (8.3)

Dovoljan uslov konvergencije

Da bi formulisali dovoljan uslov konvergencije iteracionog procesa (8.4), ne-ophodno je da se upoznamo sa pojmom norme matrice i posebno l - normom.Norme matrice su pozitivni skalari, koji se definišu u linearnoj algebri, kaobrojni pokazatelji nekih karakteristika matrice. One se izracunavanju iz ele-menata matrice na odreden nacin. Tako se pod lll- normom matrice podrazumevanajveca od suma apsolutnih vrednosti koeficijenata matrice po pojedinim kolo-nama:

∥A∥ l = maxj

{m

∑i=1

∣∣ai j∣∣} (8.6)


Primer 8.3.

A =

1 −2 00 4 −31 2 2

∥A∥ l = 8

TEOREMA 8.1 Iteracioni proces (8.4) konvergira ka rešenju ααα = φφφ(ααα), ako:

maxx∈G∥φφφ ′(x)∥ l 6 q < 1

x(k) ∈ G , k = 0,1, ...(8.7)

gde je, prema datoj definiciji l - norme:

∥∥φφφ ′(x)∥∥

l = maxj

{∣∣∣∣∂φ1

∂x j

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∂φ2

∂x j

∣∣∣∣+ . . .+

∣∣∣∣∂φn

∂x j

∣∣∣∣}Dakle, maksimalna vrednost l - norme Jakobijeve matrice φφφ ′(x) u celoj oblasti

G, kojoj pripadaju sve procene vektora rešenja, x(k) u toku iteracionog procesa,mora biti manja od jedinice. Zbog strogosti uslova konvergencije, metod je cestoneprimenljiv (divergira).

Izlazni kriterijumi

Kao kriterijumi za završetak iteracionog postupka, u praksi se najcešce koristesledeci kriterijumi: ∣∣∣x(k+1)

i − x(k)i

∣∣∣< ε , i = 1,2, . . . ,n (8.8)∣∣∣∣∣ x(k+1)i − x(k)i

x(k+1)i +δ

∣∣∣∣∣< δ , i = 1, . . . ,n (8.9)

√n

∑i=1

(x(k+1)

i − x(k)i

)2=∣∣∣x(k+1)−x(k)

∣∣∣< ε (8.10)

Zadatak 8.1. Rešiti sistem jednacina:

3√

xy+√

z = 4

x2 + y2 + y2 = 81√

x+ yz = 33

polazeci od procena (2, 10, 5) sa izlaznim kriterijumom (8.10) i tolerancijom ε =10−6

Rešenje (Praktikum)

8.1 METODA PROSTIH ITERACIJA - JAKOBIJEVA METODA 213

Linearni sistemi jednacina

Ako je sistem jednacina linearan:

ai1x1 +ai2x2 + . . .+aiixi + . . .+ainxn =n

∑j=1

ai jx j = bi , i = 1,n

prevodimo ga u formu (8.3), uz pretpostavku da su dijagonalni elementimatrice sistema razliciti od nule:

aii = 0, i = 1,2, . . . ,n

tako što iz 1. jednacine izrazimo x1, iz 2. jednacine x2 itd.:

xi = (bi−n

∑j=1j =i

ai j · x j)/aii, i = 1,2, ...,n (8.11)

Iteracioni proces (8.4) tako dobija oblik:

x(k+1)i = (bi−

n

∑j=1j =i

ai jx(k)j )/aii , i = 1,2, ...,n, k = 0, 1, 2,... (8.12)

ili, u matricnom obliku:x(k+1) = αx(k)+β (8.13)

gde su elementi (n×n) matrice α i (n× 1) vektora β :

αii = 0 , αi j =−ai j

aii, i = 1,2, ...,n, j = i ,

βi =bi

aii, i = 1,2, ...,n

TEOREMA 8.2 Ako važi:

n

∑j=1

∣∣αi j∣∣< 1 i = 1,2, ...,n (8.14)

odnosno, ako su dijagonalni elementi dominantni:

|aii |>n

∑j=1j =i

∣∣ai j∣∣ , i = 1,2, ...,n (8.15)

iteracioni proces (8.12) konvergira nezavisno od polazne procene x(0) tj. bezu-slovno.


Iteracioni postupci za rešavanje SLJ imaju prednost nad eliminacionim (Ga-usov i njegove modifikacije), ako je u pitanju slabo uslovljen sistem, jer su imunina akumulaciju grešaka tj. inherentno (po samoj svojoj prirodi) su stabilni. Nji-hov nedostatak je pak sklonost ka divergenciji. Zato je vrlo znacajna sledecateorema.

TEOREMA 8.3 Saglasan SLJ, Ax = b se uvek, linearnim kombinovanjem jedna-cina, može prevesti u ekvivalentan, koji zadovoljava dovoljan uslov konvergen-cije Jakobijevog iteracionog postupka.

Algoritam linearnog kombinovanja jednacina se sastoji iz dva koraka:1. Izdvajaju se jednacine koje zadovoljavaju uslov (8.15) i postavljaju na

odgovarajucu poziciju,2. Linearno se kombinuju jednacine u cilju zadovoljavanja uslova (6a8.15), pri

cemu svaka od jednacina, koja nije izdvojena u 1. koraku, mora biti uklju-cena, bar u jednu kombinaciju.

Zadatak 8.2. Transformisati sledece SLJ:

4x1− x2 + x3 = 3 (1) 2x1 +3x2−4x3 + x4−3 = 0 (1)x1 +2x2 +6x3 = 5 (2) x1−2x2−5x3 + x4−2 = 0 (2)2x1 +5x2− x3 = 2 (3) 5x1−3x2 + x3−4x4−1 = 0 (3)

10x1 +2x2− x3 +2x4 +4 = 0 (4)

tako da se zadovolji dovoljan uslov konvergencije Jakobijeve iteracione metode.Rešenje

a) Korak 1:jednacina (1) zadovoljava uslov (8.15) : 4 > 1 + 1u jednacini (2) dominantan je koeficijent uz 3. promenljivu: 6 > 1 + 2, pa cemo jepremestiti na 3. mesto.u preostaloj jednacini je dominantan koeficijent uz x2, pa cemo je staviti na drugomesto

Korak 2. nije potreban. Rezultat:

4x1− x2 + x3 = 32x1 +5x2− x3 = 2x1 +2x2 +6x3 = 5

⇒x1 = (3+ x2− x3)

/4

x2 = (2−2x1 + x3)/

5x3 = (5− x1−2x2)

/6

b) Korak 1:U 2. jednacini koeficijent uz x3 je dominantan: 5 > 1+2+1 i prebacujemo je

na 3. mesto.U 4. jednacini koeficijent uz x1 je dominantan: 10 > 2+1+2 i prebacujemo

je na 1. mesto.

8.2 GAUSS - ZEIDELOVA MODIFIKACIJA ... 215

Korak 2:Linearna kombinacija (1) – (2): x1 + 5x2 + x3− 1 = 0 ima uslov da bude 2.

jednacina u novom sistemu, jer: 5 > 1 + 1Nedostaje još 4. jednacina, koju dobijamo nekom linearnom kombinacijom, koja

svakako mora da ukljuci još neukljucenu jednacinu (3). Na primer jednacina3x1−9x4−10= 0, dobijena kombinovanjem 2(1)-(2)+2(3)-(4), zadovoljava uslovda bude 4. jednacina.

Rezultujuci sistem:

x1 = (−2x2 + x3−2x4−4)/

10x2 = (−x1− x3 +1)

/5

x3 = (x1−2x2 + x4−2)/

5x4 = (3x1−10)

/9

Zadatak 8.3. Sistem (b) iz prethodnog zadatka treba rešiti sa tolerancijomε = 10−6 u izlaznom kriterijumu (8.10), koristeci funkciju iter (Praktikum, XI-2).Kao polazne procene uzeti nulte vrednosti.a) Rešiti sistem, bez prehodnih linearnih transformacija,b) Rešiti sistem, nakon transformacija izvedenih u prethodnom zadatkuc) Dobijeno rešenje uporediti (relativna odstupanja) sa onim dobijenim funkcijomlsolve.

8.2 GAUSS - ZEIDELOVA MODIFIKACIJA METODE PRO-STIH ITERACIJA

Metoda prostih iteracija je modifikovana tako da se u (k + 1) -voj iteraciji,pri izracunavanju nove procene za xi,koriste nove, (k+1) -ve procene nepoznatihx1,x2, . . . ,xi−1:

x(k+1)i = φi(x

(k+1)1 , . . . ,x(k+1)

i−1 ,x(k)i , . . . ,x(k)n ), i= 1,2, ...,n , k = 0,1, . . . (8.16)

odnosno, u slucaju linearnog sistema,

x(k+1)i =

(bi−

i−1

∑j=1

ai jx(k+1)j −

n

∑j=i+1

ai jx(k)j

)i = 1,2, ...,n , k = 0,1,2, ...

(8.17)Gaus-Zajdelov metod cesto brže konvergira od Jakobijevog, ali su uslovi

konvergencije isti.


8.3 VEGSTAJNOVA METODAOva metoda predstavlja proširenje istoimene metode za rešavanje jedne jed-

nacine:

x(k+1)i = tiφi(x(k))− (1− ti)x(k)i

ti =1

1− si; si =

φi(x(k))−φi(x(k−1))

x(k)i − x(k−1)i

, i = 1,2, ...,n k = 1,2, . . .

(8.18)Prva iteracija se izvodi metodom prostih iteracija:

x(1)i = φi(x(0)1 ,x(0)2 , ...,x(0)n ) (8.19)

Zadatak 8.4. Problem 8.1 rešiti Vegštajnovom metodom, koristeci funkcijuWegstein.

Rešenje (Praktikum)

8.4 NJUTN - RAFSONOVA METODADa bi, polazeci od procene vektora rešenja dobijenog u k-toj iteraciji, x(k),

dobili novu procenu x(k+1), svaku od funkcija u sistemu (8.1) aproksimiramo Taj-lorovim polinomom prvog stepena, dobijenog razvijanjem oko tacke x(k):

fi(x)≈ fi(x) = fi(x(k))+∂ f (k)i∂x1

(x1− x(k)1 )+∂ f (k)i∂x2

(x2− x(k)2 )+ . . .

+∂ f (k)i∂xn

(xn− x(k)n ), i = 1,2, ..,n (8.20)

Tako x(k+1) odredujemo iz uslova da linearne funkcije fi (x), i = 1,2, ...,nbudu jednake nuli:

f1(x(k))+∂ f (k)1∂x1

(x(k+1)1 − x(k)1 )+ . . .+

∂ f (k)1∂xn

(x(k+1)n − x(k)n ) = 0

...

fn(x(k))+∂ f (k)n∂x1

(x(k+1)1 − x(k)1 )+ . . .+ ∂ f (k)n

∂xn(x(k+1)

n − x(k)n ) = 0

Ako definišemo korekcije nepoznatih:

∆x(k+1)i = x(k+1)

i − x(k)i i = 1,2, ...,n

8.4 NJUTN - RAFSONOVA METODA 217

odnosno, korekciju nepoznatog vektora:

∆x(k+1) = x(k+1)−x(k)

gornje linearne jednacine po nepoznatim korekcijama ∆x(k+1)i , i = 1,2, ...,n se

mogu, u matricnom obliku napisati kao:

J(k)∆x(k+1) =−f(k)

Sada možemo da definišemo iteracioni proces:

∆x(k+1) =−(J(k))−1 f(k), x(k+1) = x(k)+∆x(k+1), k = 0,1, . . . (8.21)

Pored kriterijuma (8.8-8.10), pri primeni ovog postupka, u praksi se koristi iizlazni kriterijum, koji se bazira na vrednostima funkcija:

n

∑i=1

[ fi(x(k+1))]2 =∣∣∣f(k+1)

∣∣∣2 < ε f (8.22)

Mogu se navesti sledece karakteristike ovog postupka:- iteracioni proces 2. reda, dakle brži od negradijentnih metoda- osetljivost na polazne procene, kao i pri primeni metode tangente na rešavanjejedne jednacine- u svakoj iteraciji, rešava se radi izracunavanja korekcija, SLJ cija je matricaJakobijeva matrica izracunata sa vrednostima nepoznatih iz prethodne iteracije

Konacno, uocimo analogiju izmedu iteracione formule za rešavanje jedne jed-nacine metodom tangente i formule (8.21):jedna jednacina:: sistem jednacina:

x(k+1) = x(k)−[

f ′(x(k))]−1

f (x(k)) :: x(k+1) = x(k)−[f ′(x(k))

]−1f(x(k))

Zadatak 8.5. Treba naci pozitivno rešenje (x, y > 0) sistema jednacina:

x+3logx− y2 = 0

2x2− xy−5x+1 = 0

a) prethodnim svodenjem na jednu jednacinu sa jednom nepoznatom i njenimrešavanjem metodom tangente, koristeci funkciju Njutn (Prakt., IX-2) uz toleran-ciju δ = 10−7

b) u polaznom obliku, Njutn -Rafsonovom metodom, koristeci funkciju Njutnsys(Praktikum, XI-5), sa tolerancijom ε = 10−7.c) analizirati broj realnih rešenja datog sistema

Zadatak 8.6. Rešiti Zatatak 1, pomocu funkcije Njutnsys.


8.5 RESAVANJE NELINEARNIH SISTEMAU MATHCAD-u

Za rešavanje sistema nelinearnih jednacina u Mathcad-u se koristi Solve Block,cije korišcenje je objašnjeno u . Pri pozivanju funkcije Find, moguce je birati je-dan od tri iterativne metode za rešavanje sistema (desnim klikom):

-Metod konjugovanih gradijenata, koji traži onu vrednost vektora nepoznatihx za koju suma kvadrata vrednosti funkcija (8.22) ima minimum.

-Levenberg - Markvart-ova (Levenberg - Marquardt) modifikacija Njutn- Raph-sonove metode.

-Kvazi - Njutnova metoda, modifikacija Njutn- Raphsonove metode.

8.5 REŠAVANJE NELINEARNIH SISTEMA U MATHCAD-u 219

ZADACI

8.1 Treba rešiti sledeci sistem jednacina:

2x2 + y2 = 5x+2y = 3

a) Ako se pri tom rešavaju ekvivalentne jednacine,

x =

√5− y2

2

y =3− x

2pokazati da je dovoljan uslov konvergencije metode prostih iteracija (8.7) zado-voljen u oblasti G = {1 6 x 6 2, 0.5 6 y 6 1.5}b) Rešiti jednacine, ne koristeci funkciju iter, metodom prostih iteracija, sa pola-znim procenama x(0) = 1.5, y(0) = 1 i sa tolerancijom ε u izlaznom kriterijumu(8.10), ε = 10−3

c) Koristeci funkciju iter ponoviti proracun sa istim polaznim procenama, (1.5, 1)i sa polaznim procenama (3, 0). Pošto proracun konvergira i za polazne procene(3, 0), koje padaju izvan oblasti G u kojoj je zadovoljem uslov (8.7), da li je to usuprotnosti sa Teoremom 1?

Rešenje: b) [1.291,1]8.2 a) Pokazati da, ako je zadovoljen izlazni kriterijum (8.10) sa zadatom to-

lerancijom ε tada je, sa istom tolerancijom sigurno zadovoljen i kriterijum (8.8)u slucaju sistema od dve jednacine. To se inace može dokazati za sistem od njednacina (n > 2).b) Koliko najmanje sigurnih decimala imaju rešenja xi, i = 1,2,...,n nekog sistemajednacina, ako je iteracioni proces konvergirao oscilatorno, sa tolerancijom ε =10−4u kriterijumu (8.10)

8.3 a) Rešiti sledeci sistem jednacina:

3x1−2x2 +7x3 = 20x1 +6x2− x3 = 10

10x1−2x2 +7x3 = 29

metodom prostih iteracija, sa polaznom procenom (0,0,0) i tolerancijom ε = 10−3

u kriterijumu (8.10), koristeci funkciju iter.b) Uveriti se da tolerancija ε = 10−4 obezbeduje 3 sigurne decimale u približnomrešenju.


c) Koliki je dodatni broj iteracija pri smanjenu tolerancije sa vrednosti 10− 3 navrednost 10−4?

Rešenje: a) [1.894, 1.596, 2.319]c) 7

8.4 a) Koji od izlaznih kriterijuma (8.7a-c) se koristi u funkciji Njutnsys(Prakt., XI-5)?b) Koristeci funkciju Njutnsys, sa tolerancijom ε = 0.5 · 10−2 potrebno je meto-dom Njutn-Rafsona, locirati rešenje sistema:

x2 +2y2− z3 =−18

2x2− y+ z = 3

x2 + y2 + z2 = 14

koje se nalazi u blizini tacke (2, 3, 4).c) Uveriti se da je tacno rešenje: (1,2,3) i da su u približnom rešenju, koje je sadatom tolerancijom dobijeno u 7 iteracija, tri decimale sigurne.

8.5 U protocnom reaktoru sa idealnim mešanjem se odigravaju sledece ele-mentarne reakcije:

A+Bk1k2

R R+Bk3k4

S

Izlazne koncentracije supstanci A, B, R i S, koje cemo oznaciti indeksima 1, 2,3 i 4, dobijaju se iz komponentnih bilansa:

C01−C1

τ− k1C1C2 + k2C3 = 0

C02−C2

τ− k1C1C2 + k2C3− k3C2C3 + k4C4 = 0

C03−C3

τ+ k1C1C2− k2C3− k3C2C3 + k4C4 = 0

C04−C4

τ+ k3C2C3− k4C4 = 0

za poznat sastav ulazne smeše (C0i , i = 1,2,3,4), konstante brzina hemijskih re-

akcija, ki, i= 1,2,3,4 i kontaktno vreme τ , koje se dobija kao kolicnik zapreminereaktora i zapreminskog protoka reakcione smeše:

τ =VF

(s)

Potrebno je pomocu Njutn-Rafsonove metode, koristeci funkciju Njutnsys,izracunati izlazne koncentracije komponenata Ci, i = 1,2,3,4, sa 4 sigurne deci-male, za sledece podatke:


C01 =C0

2 = 1kmol/

m3, C03 =C0

4 = 0,k1 = 1.5 ·10−2, k2 = 1.2 ·10−3, k3 = 2.5 ·10−2, k4 = 3.5 ·10−4, τ = 1000s

Kao polazne procene koncentracija uzeti ulazne koncentracije C0i , i= 1,2,3,4.

Rešenje:[0.4644,0.1077,0.1789,0.3567]8.6 Matematicki model reaktora u prethodnom problemu, može se zapisati u

vektorskoj notaciji:

C0−Cτ

+S r(C) = 0

gde su C i C0 vektori izlaznih i ulaznih koncentracija komponenata, S je stehi-ometrijska matrica za dati sistem reakcija, a r(C) je vektorska funkcija, cije sukomponente brzine pojedinih reakcija u sistemu u funkciji koncentracija kompo-nenata:

S =

−1 1 0 0−1 1 −1 11 −1 −1 10 0 1 −1

, r(C) =

k1C1C2k2C3k3C2C3k4C4

Treba rešiti problem izracunavanja vektora izlaznih koncentracija C, za po-

datke date u prethodnom zadatku, pomocu Solve block-a (metoda Levenberg-Markart-a), pri cemu problem treba formulisati u vektorskoj notaciji.

8.7 U reaktoru za proizvodnju sinteznog gasa parcijalnom oksidacijom me-tana, odigravaju se sledece reakcije:

CH4 +1/2O2 =CO+2H2 (1)CO+3H2 =CH4 +H2O (2)CO+H2O = H2 +CO2 (3)

na pritisku p = 20 atm. Ulazna struja sadrži samo metan i kiseonik, pri cemu sena 1mol metana uvodi a molova kiseonika. Pretpostavka je da reakcija (1) ide dokraja, i da se sav kiseonik potroši, a da reakcije (2) i (3) idu sve do postizanjareakcione ravnoteže, pri cemu su konstante ravnoteže ovih reakcija na izlaznojtemperaturi iz reaktora (1200 0C),K2 i K3. Problem izracunavanja izlaznog mol-skog sastava gasa može se rešiti na sledeci nacin. Ako Nc = 6 komponente usistemu oznacimo kao:

CO(1), CO2(2), H2O(3), H2(4), CH4(5) i O2(6)

stehiometrijska matrica posmatranog sistema sa NR = 3 reakcije je:


S =[Si j]

Nc×NR=

1 −1 −10 0 10 1 −12 −3 1−1 1 0−0.5 0 0

Traženi vektor molskih udela komponenata u izlaznoj struji se dobija kao:

x =n0 +S e

N0 + e ∆νννn0 je vektor broj molova komponenata u ulaznoj struji, a N 0 ukupan broj

molova u ulaznoj struji:

n0i = 0, i = 1,2,3,4, n0

5 = 1, n06 = a, N0 = ∑n0

i = 1+a

∆ννν je vektor promena broja molova u pojedinim reakcijama:

∆ν j =Nc

∑i=1

Si j, j = 1,2,3

a e vektor stepena napredovanja pojedinih reakcija (ei, i = 1,2,3), pri cemu je,prema pretpostavci:

e1 = 2a

Stepeni napredovanja 2. i 3. reakcije se dobijaju iz uslova reakcione ravnoteže:

(1−2a+ e2)(1+4a−2e2)2e3

(2a− e2− e3)2(4a−3e2 + e3)2 = K2K3 p2

e3(4a−3e2 + e3)

(2a− e2− e3)(e2− e3)= K3

Potrebno je za sledece podatke:

a = 0.57, K2 = 5.606 ·10−6, K3 = 0.3838, p = 20

izracunati stepene napredovanja reakcija (2) i (3), rešavanjem datog sistema jed-nacina, pomocu Solve block-a, sa polaznim procenama: e0

2 = 0.5 , e03 = 0, a

onda vektor molskih udela komponenata x.Rešenje: e = [2a, 0.15215, 0.02534], x = [0.3235, 8.5147E-3,0.0426,0.6213,4.0825E-

3,0]8.8 Alternativna formulacija problema opisanog u prethodnom zadatku je preko

molskih udela xi, i = 1,...,5 u izlaznoj struji (x6 = 0) i ukupnog broja molova u


izlaznoj struji N, pri cemu se rešava sistem od Nc = 6 jednacina sa isto tolikonepoznatih. To su uslovi reakcione ravnoteže:

x2x5

x21x2

4= K2K3 p2, ili x2x5 = K2K3 p2x2

1x24 (1)

x2x4

x1x3= K3, ili x2x4 = K3x1x3 (2)

uslov da je suma molskih udela komponenata u izlaznoj struji jednaka 1:

6

∑i=1

xi = 1 (3)

i atomski bilansi po prisutnim atomima O, H i C :

2a = (x1 +2x2 + x3)N (4)4 = (2x3 +2x4 +4x5)N (5)1 = (x1 + x2 + x5)N (6)

Za podatke, date u prethodnom zadatku izracunati molski sastav xi, i = 1,...,5i broj molova proizvoda reakcija, N pomocu funkcije Njutnsys, sa polaznim pro-cenama:

x(0) = [0.5, 0, 0, 0.5, 0, 1]T

8.9 Matematicki model (materijalni i energetski bilans) reaktora sa idealnimmešanjem u kome se odigrava egzotermna reakcija prvog reda:

Ak→B

i koji se hladi idealno izmešanim rashladnim fluidom u omotacu reaktora, glasi:

F(C0A−CA)−V kCA = 0 (1)

ρcpF(T 0−T )−∆HRV kCA−KT A(T −T1) = 0 (2)

ρ1cp1F1(T 01 −T1)+KtA(T −T1) = 0 (3)

k = k0e−E

RT

gde su:F , F1 - zapreminski protoci reakcionog i rashladnog fluida,C0

A, CA −ulazna i izlazna koncentracija reaktanta A (mol/m3),T 0, T 0

1 −ulazne temperature reakcionog i rashladnog fluida,T , T1 - izlazne temperature reakcionog i rashladnog fluida,


∆HR−toplota hemijske reakcije,KT - koeficijent prolaza toplote,A - velicina rashladne površine,V - zapremina reakcione smeše u reaktoru,k - konstanta brzine hemijske reakcije,k0 - predeksponencijalni faktor u Arenijusovom izrazu za k,E - energija aktivacije hem. reakcije,R - univerzalna gasna konstanta,ρ , ρ1 −gustine reakcionog i rashladnog fluida,cp, cp1 −specificne toplote reakcionog i rashladnog fluidaPotrebno je za sledece podatke (dimenziono su homogeni):

F = 40 f t3/h, F1 = 49.9 f t3/h, C0A = 0.55 lbmol

/f t3, T 0 = T 0

1 = 5300R,∆HR =−30000 BTU

/lbmol, KT = 150 BTU

/(h f t2 0R), A = 250 f t2, V = 48 f t3,

k0 = 7.08 ·1010h−1, E = 30000BTU/

lbmol, R = 1.987BTU/(lbmol0R),

ρ = 50lb/

f t3, ρ1 = 62.3lb/

f t3, cp = 0.75BTU/

lb0R, cp1 = 1BTU/

lb0R

izracunati izlaznu koncentraciju reaktanta CA (lbmol/ f t3) i temperature oba flu-ida, T i T1 (0R), rešavajuci dati matematicki model pomocu Solve block-a.a) Uveriti se da je, sa ulaznim vrednostima kao polaznim procenama, rešenje mo-dela (sa 4 znacajne cifre):

CA = 0.5215, T = 537.8, T1 = 537.2

b) Uveriti se da se sa polaznim procenama:

C(0)A = 0, T (0) = T 0

1 = 700

dobija drugo rešenje:

CA = 0.03553, T = 671.2, T1 = 660.4

c) Analizom grafika funkcije na levoj strani jednacini (2) u zavisnosti od izlaznetemperature reakcionog fluida T , utvrditi da posmatrani sistem jednacina ima 3realna rešenja od kojih su u a) i b) nadena dva.d) Pronaci i trece rešenje sistema:

CA = 0.3296, T = 590.5, T1 = 585.9

pogodnim izborom polaznih procena nepoznatih.

Glava 9Numericko rešavanje obicnihdiferencijalnih jednacina

9.1 UVODMatematicki modeli velikog broja procesa u hemijskom inženjerstvu imaju

formu diferencijalnih jednacina. Obicna diferencijalna jednacina (ODJ) je jed-nacina u kojoj, u opštem slucaju, figurišu: nezavisno promenljiva x, funkcija y(x)i njeni izvodi, pocev od prvog pa do nekog n-tog. Dakle, ODJ definiše vezu iz-medu funkcije i njenih izvoda i možemo da je uopšteno prikažemo kao:

F(x,y,y ′,y ′′, ...,y(n)) = 0, a 6 x 6 b, (9.1)

ili u eksplicitnom obliku (rešeno po najvišem izvodu):

y(n) =dnydxn = f (x,y,y ′,y ′′, ...,y(n−1)), a 6 x 6 b (9.2)

gde interval definisanosti funkcija, [a, b] može biti beskonacan. Diferencijalnajednacina (9.1) u kojoj je najviši izvod koji figuriše, izvod n-tog reda zove se ODJn-tog reda. Svaka funkcija y(x), koja zadovoljava diferencijalnu jednacinu(9.1), predstavlja njeno rešenje. Rešenje može biti,

- opšte, kada sadrži n proizvoljnih konstanti, ci, i = 1,2,...,n, koje se zovuintegracione konstante,

- partikularno, koje se dobija iz opšteg, odredivanjem brojnih vrednosti nintegracionih konstanti iz isto toliko dodatnih uslova, koje moraju da zadovo-lje funkcija i njeni izvodi 1., 2.,..., (n - 1)-vog reda na granicama a i boblastidefinisanosti. Ti dodatni uslovi se zovu granicni uslovi.

Primer 9.1. Promena koncentracije reaktanta A, koji se troši u nekoj hemij-skoj reakciji, sa vremenom t, pri konstantnoj temperaturi i gustini reakcione smeše

226 Numericko rešavanje obicnih diferencijalnih jednacina

i uz idealno mešanje smeše, opisana je diferencijalnom jednacinom 1. reda:

dCA

dt= r(CA)

(molm3s

), t ∈ [0,∞)

gde je r(CA) kineticki izraz, tj. izraz za brzinu hemijske reakcije u funkciji kon-centracije reaktanta i temperature. Ako jednacini dodamo i podatak o pocetnojkoncentraciji reaktanta (u momentu otpocinjanja reakcije, t = 0), kao granicniuslov:

CA(0) =C0A

dobijamo matematicki model izotermskog šaržnog hemijskog reaktora. Tra-žena funkcija CA(t) je partikularno rešenje date ODJ, koje se dobija odrediva-njem jedne integracione konstante (u pitanju je ODJ 1. reda) u opštem rešenju,iz zadatog granicnog uslova u pocetnom momentu, C0

A.Primer 9.2. Promena koncentracije reaktanta A, koji se troši u istoj hemij-

skoj reakciji, duž stacionarnog cevnog hemijskog reaktora, pri konstantnoj tem-peraturi i gustini reakcione smeše, opisana je diferencijalnom jednacinom 2. reda:

DAd2CA

dz2 −wdCA

dz− r(CA) = 0

(molm3s

), 0 6 z 6 L

gde su,z- rastojanje od ulaza u reaktorsku cevL - dužina ceviDA - koeficijent difuzije reaktantaw- srednja brzina proticanja reakcione smeše kroz reaktor

kojoj treba dodati i dva uslova: jedan za ulaz u reaktor (z = 0), a drugi za izlaziz reaktora (z = L). Data ODJ i granicni uslovi cine matematicki model izo-termskog cevnog reaktora. Tražena funkcija CA(z), predstavlja partikularnorešenje, koje pored date ODJ zadovoljava i dva granicna uslova.

Primer 9.3. Promena položaja y (ugao tj. otklon u odnosu na vertikalu)matematickog klatna u toku vremena t, predstavlja partikularno rešenje homo-gene dif. jednacine 2 reda sa konstantnim koeficijentima (bilans kolicine kretanjaklatna):

y ′′(t)+ay ′(t)+b = 0 (rad/s2), t > 0

sa dodatnim uslovima:y(0) =y0 (zadat pocetni položaj – otklon klatna)y ′(0) = 0 (zadata ugaona brzina kretanja klatna u pocetnom momentu )

9.1 UVOD 227

9.1.1 Numericko resenje ODJMali broj diferencijalnih jednacina, koje su od prakticnog interesa, se može

rešiti analiticki, tj. dobiti njihovo rešenje u vidu analiticki definisanih funkcijay(x). Tako se partikularno rešenje diferencijalne jednacine (9.1) dobija pribli-žno ili numericki u obliku tabele približnih vrednosti tražene funkcije: (xi, yi), i= 0,1,...,N u nizu tacaka xi, i = 0,1,...,N. Pri tom se razlikuju dva tipa problema:-pocetni problem (initial value problem), kada su svi neophodni granicni uslovi(ukupno n) dati na levoj granici a, oblasti definisanosti funkcije. U ovom slucaju,za granicne uslove se koristi termin pocetni uslovi.

-granicni problem (boundary value problem), kada su neki uslovi dati nalevoj, granici a, a neki na desnoj granici boblasti definisanosti funkcije y(x).Kažemo da su granicni uslovi razdvojeni (split boundary conditions)

Tako, Primeri 1 i 3 predstavljaju pocetne probleme, a Primer 2 granicni pro-blem.

9.1.2 Sistem obicnih diferencijalnih jednacinaSistem ODJ, m-tog reda se sastoji od n obicnih diferencijalnih jednacina, u

kojima figuriše isto toliko funkcija yi(x), i= 1,2,...,n, i njhovi izvodi, pri cemu jenajviši red izvoda koji je ukljucen jednak m. Tako, u najopštejem slucaju, sistemODJ izgleda:

Fi(x,y1(x), ...,yn(x),y ′1(x), ...,y′n(x), ...,y

(m)1 (x), ...,y(m)

n (x)) = 0,i = 1,2, ...,n, x ∈ [a,b] (9.3)


Fi

(x,y,

dydx

,d2ydx2 , . . .,

dmydxm

)= 0, x ∈ [a,b], i = 1,2, ...,n (9.4)

Specijalno, sistem ODJ prvog reda je:

Fi

(x,y,

dydx

)= 0, a 6 x 6 b, i = 1,2, ..,n (9.5)

ili u eksplicitnom obliku:

dy1

dx= f1(x,y1,y2, . . .,yn)

...dyn

dx= fn(x,y1,y2, . . .,yn)

(9.6)


Partikularno rešenje sistema ODJ je skup funkcija y1(x), y2(x),...,yn(x),koje zadovoljavaju sistem jednacina (9.4) i još ukupno n×m granicnih uslova.Kao i u slucaju jedne ODJ, razlikujemo pocetni i granicni problem u zavisnostida li su svi granicni uslovi dati u levoj, ili su neki dati u levoj, a neki u desnojgranici oblasti definisanosti funkcija, [a, b].

Primer 9.4. Dobijanje temperaturnog profila T (x) fluida koji protice krozcev i temperaturnog profila T ′(x), fluida koji protice kroz omotac stacionarnogistostrujnog izmenjivaca toplote tipa cev u cevi, dužine L, predstavlja pocetniproblem za sledeci sistem od dve diferencijalne jednacine 1. reda (energetskibilansi za jedan i drugi fluid):

ρcpwdTdz

= KT2R

(T ′−T

) (J/

m3s)

ρ ′c′pw′dT ′

dz= KT

2/

R(R′/

R)2−1

(T −T ′

) (J/

m3s)

sa zadatim ulaznim temperaturama oba fluida, kao pocetnim uslovima:

x = 0 : T (0) = T0, T ′(0) = T ′0 (oba granicna uslova u x = 0)

gde su,R, R ′ - unutrašnji poluprecnici unutrašnje i spoljnje cevi izmenjivacaρ ,ρ ′ −gustine fluidacp, c ′p - specificne toplote fluidaw, w ′ - srednje brzine fluidaKT - koeficijent prolaza toplotePrimer 9.5. Dobijanje temperaturnog profila oba fluida u stacionarnom su-

protnostrujnom izmenjivacu toplote tipa cev u cevi, dužine L, predstavlja gra-nicni problem:

ρcpwdTdz

= KT2R

(T ′−T

)ρ ′c′pw′

dT ′

dz= KT

2/

R(R′/

R)2−1

(T ′−T

)sa zadatim ulaznim temperaturama oba fluida, kao granicnim uslovima:

T (0) = T0, T ′(L) = T ′0 (granicni uslovi su "razdvojeni")

9.2 PREVOÐENJE ODJ, REDA n U SISTEM ODJ 1. REDA 229

9.2 PREVODENJE ODJ, REDA n U SISTEM ODJ 1. REDAODJ n- tog reda:

F(x,y,y ′,y ′′, ...,y(n)) = 0,(a 6 x 6 b) (9.1)

sledecim smenama:

y1 = y,y2 = y ′,y3 = y ′′,...yn = y(n−1)

(9.7)

prevodimo u sledeci ekvivalentan sistem od n ODJ 1. reda:

dy1

dx= y2 (= f1(x,y1,y2, . . . ,yn))

dy2

dx= y3 (= f2(x,y1,y2, . . . ,yn))

...dyn−1

dx= yn (= fn−1(x,y1,y2, . . . ,yn))

dyn

dx= f (x,y1,y2, . . . ,yn) (= fn(x,y1,y2, . . . ,yn))

(9.8)

u kome se poslednja jednacina dobija, imajuci u vidu da je:

dyn

dx=

ddx

(y(n−1)

)= y(n)

rešavanjem polazne diferencijalne jednacinu po najvišem izvodu i uvodenjem da-tih smena:

F(x,y,y′, ...,y(n))= 0 ⇒ y(n)=dyn

dx= f (x,y,y′, ...,y(n−1))

smene→ f (x,y1,y2, ...,yn)

Primer 9.6. Diferencijalna jednacina 2. reda:

2y y ′′− y ′2 +4y2 = 0

se smenama:

y1 = y, y2 = y ′

prevodi u sistem:


dy1

dx= y2

dy2

dx

(= y ′′ =

y ′2−4y2

2y

)=

y22−4y2

12y1

U slucaju pocetnog problema,

y(a) = y0y ′(a) = y ′0...

y(n−1)(a) = yn−10

pocetni uslovi za uvedene funkcije glase:

y1(a) = y0y2(a) = y′0...yn(a) = yn−1

0

(9.9)

9.3 NUMERICKO RESAVANJE ODJ 1. REDAOJLEROVA METODA

Tražimo funkciju y(x), definisanu u oblasti [a, b], kao rešenje pocetnog pro-blema:

y ′ = f (x,y) , y(a) = y0 (9.10)

odnosno, koja zadovoljava datu ODJ 1. reda i dati pocetni uslov. Numerickorešenje dobijamo u vidu približnih vrednosti tražene funkcije, yi,i = 1,2,..., N unizu ekvidistantnih tacaka:

xi = x0 + i ·h, h = (b−a)N , i = 1,2, ...,N

x0 = a, xN = b(9.11)

odnosno u vidu tabele: (xi, yi), i = 0,1,...,N. Kaže se da smo izvršili diskretizacijudomena [a, b] nezavisno promenljive. Na Sl. 9.1 prikazani su: tacno rešenje,tj. neka (nepoznata) funkcija φ(x) i numericko rešenje, tj. niz tacaka (xi, yi), i =0,1,...,N.

Pretpostavimo sada, za momenat, da je poznata vrednost funkcije u tacki xi,yi = y(xi). Kako odrediti vrednost funkcije yi+1 u sledecoj tacki? Ojlerova (Euler)metoda se zasniva na aproksimaciji prvoga izvoda kolicnikom priraštaja:

9.3 NUMERICKO REŠAVANJE ODJ 1. REDA 231

yi+1− yi

xi+1− xi=

yi+1− yi

h≈ y′ (xi) = f (xi,yi)

iz koje sledi (rekurentna) formula za dobijanje približnog rešenja:

yi+1 = yi +h f (xi,yi) , i = 0,1, ...N−1 (9.12)

korak diskretizacije h (9.11) naziva se korak integracije ili integracioni korak.

ϕ(x)

tačna vrednost ( ) ( )iti xy ϕ=

xi x0

yi

y0

y

Slika 9.1: Tacno i numericko rešenje ODJ 1. reda

Zadatak 9.1. Potrebno je rešiti numericki diferencijalnu jednacinu:

dydx

=−25y, 0 6 x 6 1

y(0) = 1

a) Dobiti numericko rešenje, deleci interval definisanosti funkcije (interval inte-gracije) na N=10 podintervala (koraka) i uporediti ga sa tacnim rešenjem:

y(x) = e−25x

b) Ponoviti proracun sa N = 15 integracionih koraka i uporediti ga sa tacnim reše-njem.c) Ponoviti proracun i poredenje za N = 50d) Povecavati broj integracionih koraka, dok maksimalno odstupanje približnogod tacnog rešenja na intervalu integracije ne postane manje od 0.01

Rešenje (Mathcad):


Racunski proces je nestabilan! Numericko resenje osciluje oko tacnog,pri cemu odstupanje raste.

0 5 1050

0

50

100

εi

i

0 5 1050

0

50

100

y i

yti

i

i 0 N..:=ε y yt−:=

yt

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

0.082

6.738·10 -3

5.531·10 -4

4.54·10 -5

3.727·10 -6

3.059·10 -7

2.511·10 -8

2.061·10 -9

1.692·10 -10

1.389·10 -11

=y

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

-1.5

2.25

-3.375

5.063

-7.594

11.391

-17.086

25.629

-38.443

57.665

=ytiφ x

i( ):=yt01:=

Tacne vrednosti :

yi

yi 1− h f x

i 1− yi 1−,( )⋅+:=

xi

x0

i h⋅+:=

i 1 N..:=

Integracija :

y0

1:=x0

a:=h 0.1=hb a−

N:=Korak integracije:N 10:=a)

b 1:=a 0:=f x y,( ) 25− y:=Podaci:

φ x( ) e25− x:=Tacno resenje:

9.3 NUMERICKO REŠAVANJE ODJ 1. REDA 233

yi

yi 1− h f x

i 1− yi 1−,( )⋅+:=x

ix0

i h⋅+:=i 1 N..:=

Integracija :

h 0.02=hb a−

N:=Korak integracije:N 50:=c)

max ε→( ) 0.856=Greska metode je velika

Racunski proces je stabilanPriblizno resenje osciluje oko tacnog, ali se greska po apsolutnoj vrednosti smanjuje.

5 101

0.5

0

0.5

εi

i

0 5 10 151

0

1

y i

yti

i

i 0 N..:=

ε y yt−:=Greske:

yt

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

0.189

0.036

6.738·10 -3

1.273·10 -3

2.404·10 -4

4.54·10 -5

8.575·10 -6

1.62·10 -6

3.059·10 -7

5.778·10 -8

1.091·10 -8

2.061·10 -9

3.893·10 -10

7.353·10 -11

1.389·10 -11

=y

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

-0.667

0.444

-0.296

0.198

-0.132

0.088

-0.059

0.039

-0.026

0.017

-0.012

7.707·10 -3

-5.138·10 -3

3.425·10 -3

-2.284·10 -3

=ytiφ x

i( ):=Tacne vrednosti :

yi

yi 1− h f x

i 1− yi 1−,( )⋅+:=

xi

x0

i h⋅+:=

i 1 N..:=Integracija :

h 0.067=hb a−

N:=N 15:=b)


Povecavati broj integracionih koraka dok se ne dobiju prihvatljivirezultati: ε 0.01<

max ε→( ) 0.051=ε y yt−:=yti

φ xi( ):=

Greske:

yi

yi 1− h f x

i 1− yi 1−,( )⋅+:=x

ix0

i h⋅+:=i 1 N..:=

Integracija :

h 0.01=hb a−

N:=Korak integracije:N 100:=d)

Racunski proces je stabilan, aline dovoljno tacan

Greska ima stalni znak i po apsolutnoj vrednostimonotono opada.

Priblizno resenje ne osciluje

5 100.15

0.1

0.05

0

εi

i

0 10 20 30 400

0.5

1

y i

yti

i

i 0 N..:=

max ε→( ) 0.118=ε y yt−:=yti

φ xi( ):=

Greske:

9.3.1 Lokalna greska i red numericke metode

Lokalna greška neke numericke metode, Ei+1 je greška na (i + 1)-vom inte-gracionom koraku (i = 0,1, . . . ,N−1), tj. odstupanje tacnog priraštaja traženefunkcije kada se x promeni sa xi na xi+1,od priraštaja (yi+1− yi) izracunatog

9.4 TACNOST I STABILNOST OJLEROVE METODE 235

posmatranom metodom. Njena apsolutna vrednost opada sa smanjivanjem in-tegracionog koraka i u opštem slucaju je proporcionalana nekom celobrojnompozitivnom stepenu koraka, hn. Tako je ona, kada h teži nuli, beskonacno malavelicina reda hn i pišemo:

Ei+1 = O(hn)

Po dogovoru, kažemo da je metoda p - tog reda tacnosti, ako je njena lokalnagreška reda hp+1:

Ei+1 = O(hp+1) (9.13)

9.3.2 Globalna greska i stabilnost numericke metode

Pod globalnom greškom numericke metode integracije dif. jednacine, podra-zumeva se odstupanje tacnog od numerickog rešenja. Tako je globalna greška,εi+1 u nekoj tacki xi+1 u intervalu integracije, jednaka:

εi+1 = y(xi+1)− yi+1 = (yi+1)t− yi+1 (9.14)

Na Sl.9.1, globalne greške u pojedinim tackama su odstupanja krive (tacnorešenje dif. jednacine) od tacaka (približno rešenje).

Jasno je da ako lokalna greška metode raste iz koraka u korak, to ce prouzro-kovati povecanje globalne greške sa povecanjem x odnosno i, tj. propagacijugreške u toku racunskog procesa. U skladu sa definicijom stabilnosti racunskogprocesa, takva numericka metoda je nestabilna. U Zadatku 1 uocava se nestabil-nost Ojlerove metode pri približnom rešavanju zadate ODJ, sa korakom integracije0.1 (a).

Povecanje globalne greške tokom racunskog procesa može biti prouzrokovanoi akumulacijom grešaka zaokruživanja. Tako, sa smanjenjem integracionog ko-raka, radi povecanja tacnosti metode može doci do propagacije grešaka zao-kruživanja (veliki broj racunskih operacija) i povecanja nestabilnosti procesa.Propagacija grešaka zaokruživanja se može minimizovati ako se proracun izvodisa velikim brojem znacajnih cifara, što je slucaj pri korišcenju Mathcad-a, ili priproracunu u dvostrukoj preciznosti u nekom programskom jeziku.

9.4 TACNOST I STABILNOST OJLEROVE METODE

Da bi izveli izraz za lokalnu grešku Ojlerove metode, pretpostavimo da jevrednost yi tacna. Tacnu vrednost za yi+1 bi dobili integracijom diferencijalnejednacine (9.10) u granicama xi do xi+1:


yi+1∫yi

dy =

xi+1∫xi

f (x,y(x))dx ⇒ yi+1 = yi +

xi+1∫xi

f (x,y(x))dx

Ojlerov metod se bazira na aproksimaciji podintegralne funkcije Tajlorovimpolinomom nultog reda - konstantom. Naime, funkcija f (x, y), tj. prvi izvodtražene funkcije y(x) se uzima konstantnim i jednakim f (xi, yi) u celom intervalu[xi,xi+1], odakle sledi formula (9.12). Tacna vrednost yi+1 bi bila:

(yi+1)t = yi +

xi+1∫xi

f (xi,yi)+ (x− xi)f ′ (ξ )

1!︸︷︷︸greska aproksimacije

dx xi < ξ < xi+1

odnosno,

(yi+1)t = yi +h f (xi,yi)︸︷︷︸Ojlerov metod

+

xi+1∫xi

(x− xi)f ′ (ξ )

1!dx= yi+1+

h2

2f ′ (ξ )= yi+1+

h2

2y ′′ (ξ )

pa je lokalna greška metode jednaka:

Ei+1 = (yi+1)t− yi+1 =h2

2y ′′ (ξ ) , xi < ξ < xi+1 (9.15)

U skladu sa dogovorom, kažemo da je Ojlerova metoda prvog reda tacnosti.Na Sl.9.2 data je graficka ilustracija lokalne greške Ojlerove metode. Metodeprvog reda tacnosti su najmanje tacne metode i radi postizanja zahtevane tacnostinumerickog rešenja ODJ, u nekim problemima neophodno je odabrati vrlo maleintegracione korake (Zadatak 1).

nagib = f(xi,yi )

f(xi,yi)

1+iE

ii yy −+1

xi xi+1 xi+1

f(x,y(x))

yi+1

( )tiy 1+

1+iE

xi

yi

y

Slika 9.2: Lokalna greška Ojlerove metode

9.4 TACNOST I STABILNOST OJLEROVE METODE 237

9.4.1 Propagacija greske u racunskom procesu

Neka je globalna greška procene funkcije u tacki xi jednaka: εi = (yi)t − yi.Ova greška prouzrokuje grešku procene funkcije u sledecoj tacki xi+1 (pojava ši-renja ili propagacije greške), pošto vrednost funkcije koja se zamenjuje u formulu(9.12) nije tacna. Na grešku koja potice od greške vrednosti yi treba dodati lokalnugrešku metode i grešku zaokruživanja. Ako grešku zaokruživanja zanemarimo,globalnu grešku vrednosti funkcije u tacki xi+1 dobijamo kao:

εi+1 = εi + εh f (xi,yi)+Ei+1 , i = 0,1, . . . ,N−1

Drugu od grešaka procenjujemo kao:

εh f (xi,yi) =∂∂y

[h f (x,y)]xiεi = h

∂ f∂y

(xi,yi)εi

pa je:

εi+1 = [1+h∂ f∂y

(xi,yi)]εi +Ei+1 , i = 0,1, ...,N−1 (9.16)

Ako kao primer uzmemo jednostavnu diferencijalnu jednacinu:

y ′ = λy , y(a) = y0 (9.17)

gde je λ neka konstanta, imacemo:

f (x,y) = λy,∂ f∂y

(xi,yi) = λ , Ei+1(9.15)= E = const. (9.18)

i (9.16) dobija jednostavan oblik:

εi+1 = [1+hλ ]εi +E = β εi +E , i = 0,1, ...,N−1 (9.19)

Uzastopnom primenom formule (9.19) možemo, polazeci od ε0 = 0, da iz-racunamo grešku εn funkcije u nekoj tacki xn, koja je rezultat širenja greške naintervalu [x0,xn]:

εn = E1−β n

1−β=

Ehλ

[(1+hλ )n−1] , n = 1,2, ...,N (9.20)

Ako bi uveli neku srednju vrednost lokalne greške E na posmatranom inter-valu [x0,xn], kao i srednju vrednost ω , funkcije,

ω(x) =∂ f∂y

(x,y)


na istom intervalu, iz (9.16) bi dobili procenu globalne greške na n-tom korakuεn, za opšti oblik ODJ (9.10):

εn =E

hω[(1+hω)n−1] , n = 1,2, ...,N (9.21)

9.4.2 Stabilnost racunskog procesaIz (9.21) je jasno da ce globalna greška približnog rešenja ODJ u toku Oj-

lerovog postupka (n raste), da raste, ako je izraz (1+ hω), koji se stepenuje san, po apsolutnoj vrdnosti veci od jedinice. Tako iz (9.21) sledi dovoljan uslovstabilnosti Ojlerove metode na nekom intervalu [x0,xn]:

|1+hω(x)|6 1 , x ∈ [x0,xn], ( h > 0) (9.22)

U specijalnom slucaju ω(x) = λ (9.17), dovoljan uslov stabilnosti (9.21) je ipotreban i glasi:

|1+hλ |6 1 ( h > 0),

odnosno,

−2 6 hλ 6 0 ( h > 0)

Dakle,- za pozitivne vrednosti parametra λ , Ojlerova metoda je nestabilna, sa bilokoliko malim korakom integracije h,- za negativne vrednosti λ , metoda ce biti stabilna, ako i samo ako integracionikorak (h > 0) zadovoljava uslov: −2 6 hλ 6 0 , odnosno,

h 6 2|λ |

(9.23)

Primer 9.7. U Zadatku 1 smo Ojlerovom metodom integrisali ODJ oblika(9.17) sa λ = -25, sa pocetnim uslovom y0 = 1. Stabilnu (što ne znaci i dovoljnotacnu) racunsku proceduru obezbeduje izbor velicine integracionog koraka:

h 6 2/

25 = 0.08

što objašnjava nestabilnost proracuna sa N = 10, h = 0.1 (a). Nestabilan racun-ski proces u (a) ima oscilatoran karakter. To se može objasniti na sledeci nacin.Za datu ODJ, Ojlerova metoda (9.12), za približnu vrednost funkcije u tacki xi+1daje:

yi+1 = yi +h f (xi,yi) = yi +hλyi = (1+hλ )yi, i = 0,1, ...,N−1

9.5 MODIFIKOVANE OJLEROVE METODE 239

Ocigledno je da rešenje osciluje, tj. naizmenicno menja znak (a time i globalnagreška) u toku nestabilnog proracuna (a), jer je:

(1+λh)<−1 < 0

Stabilan racunski proces može da ima oscilatoran ili monoton karakter. On jeoscilatoran, ako je:

−1 6 (1+λh)< 0 ⇒ 1 >−1−λh > 0 ⇒ 2 > h |λ |> 1 ⇒ 1|λ |

< h 6 2|λ |

odnosno u posmatranom primeru: 0.04 < h 6 0.08, što smo imali za N = 15 (b).Stabilan racunski proces ima monoton karakter (vrednosti yi ne menjaju znak),za:

0 < (1+λh)< 1 ⇒ 0 >−1−λh >−1 ⇒ 1 > h |λ |> 0 ⇒ 0 < h <1|λ |

što smo imali u slucajevima (c) i (d).

9.5 MODIFIKOVANE OJLEROVE METODE

Poznate modifikacije Ojlerove metode, sa ciljem povecanja tacnosti su:- Ojlerova metoda srednje tacke- Ojlerova metoda srednjeg nagiba

i obe su drugog reda, tj. lokalna greška im je proporcionalna 3. stepenu integra-cionog koraka.

9.5.1 Metoda srednje tacke

Geometrijski interpretirano, kod originalne Ojlerove metode se približna vred-nost funkcije yi+1 u tacki xi+1dobija kretanjem iz tacke (xi, yi), po tangenti krivey(x), povucene u tacki xi (prva ilustracija na Sl. 9.2). Kod metode srednje tackese pomeranje iz xi za korak h vrši duž prave s nagibom izracunatim, kao nagibtangente na krivu y(x) u srednjoj tacki xi +0.5h posmatranog intervala [xi,xi+1](Sl.9.3), cime se povecava tacnost procenjenog priraštaja (yi+1− yi). Rezultat jeformula:

yi+1 = yi +h · f (xi +0.5h, yi +0.5h fi), i = 0,1, ...,N−1y0 = y(x0)

(9.24)


y

x

k2

yi+1

xi+1 xi xi +h/2

yi

k1

k2

k1,k2- nagibi pravih

( )( )iii

iii

hfyhxfk

fyxfk

5.0,5.0

,

2

1

++===

Slika 9.3: Ojlerova metoda srednje tacke

9.5.2 Metoda srednjeg nagibaKod ove metode se pomeranje iz tacke (xi, yi) vrši duž prave, ciji je nagib

izracunat kao srednji nagib tangenti na krivu y(x) u pocetnoj i krajnjoj tackiposmatranog intervala [xi,xi+1]:

yi+1 = yi +h2[ f (xi,yi)+ f (xi +h, yi +h fi)] , i = 0,1, . . . ,N−1

y0 = y(x0)(9.25)

x

y

xi+1 xi

yi+1

yi

k1

k2

k2

ks

( )( )

2

,

,

21

2

1

kkk

hfyhxfk

fyxfk

s

iii

iii

+=

++===

Slika 9.4: Ojlerova metoda srednjeg nagiba

9.6 RUNGE KUTA METODA 4. REDA 241

9.6 RUNGE KUTA METODA 4. REDAZbog svoje tacnosti i relativne jednostavnosti, ovo je najverovatnije najšire

korišcena metoda za numericku integraciju ODJ 1. reda. Formule su:

yi+1 = yi +16(K1 +2K2 +2K3 +K4) , i = 0,1, ...,N−1

K1 = h f (xi, yi)

K2 = h f (xi +h/

2, yi +K1/

2)

K3 = h f (xi +h/

2, yi +K2/

2)K4 = h f (xi +h, yi +K3)

(9.26)

Geometrijska interpretacija je sledeca. Tacka (xi+1, yi+1) se dobija pomera-njem iz tacke (xi, yi) po pravoj, ciji je nagib izracunat kao srednja vrednost 4nagiba, pri cemu su 2. i 3. nagib uzeti sa dvostrukom težinom u odnosu na 1. na-gib (nagib tangente u pocetnoj tacki) i 4. nagib (nagib tangente u krajnjoj tacki).Naime, u formulama (9.26), prepoznajemo:

1. f (xi,yi) nagib u pocetnoj tacki

2. f (xi +h/2,yi +K1/2) nagib u sred.tacki dobijenoj iz poc.tackenagibom 1

3. f (xi +h/2,yi +K2/2) nagib u sred.tacki dobijenoj iz poc.tackenagibom 2

4. f (xi +h,yi +K3) nagib u krajnjoj tacki dobijenoj iz poc.tacke,nagibom 3

Zadatak 9.2. Diferencijalna jednacina koja opisuje promenu koncentracijereaktanta u reakciji prvog reda A→ B koja se odigrava u idealno mešanom i ide-alno izolovanom (adijabatski režim) šaržnom reaktoru glasi:

dCA

dt=−k0e−

ER T (CA)CA, CA(0) =C0

A

T (CA) = T0 +∆HR

cpρ(CA−C0

A)

gde su:

T0, C0A−pocetna temperatura i koncentracija

k0, E - predeksponencijalni faktor i energija aktivacije u Arenijusovom izrazu


R - univerzalna gasna konstanta∆HR−toplota reakcijecp, ρ - specificna toplota i gustina reakcione smeše

Potrebno je za date podatke (Praktikum) odrediti koncentraciju reaktanta na-kon 2500s od startovanja reaktora,a) Ojlerovom metodom s razlicitim integracionim koracimab) Runge - Kuta (Runge- Kutta) metodom 4. reda sa razlicitiom integracionimkoracima i uporediti rezultate

Rešenje: (Praktikum, XIII-3)

9.7 KLASIFIKACIJA NUMERICKIH METODA ZA INTEGRA-CIJU ODJ 1. REDA

Jedna podela metoda je na:- jednokoracne, koje za izracunavanje vrednosti funkcije yi+1 u narednoj tacki

koriste samo vrednost funkcije i izvoda u prethodnoj tacki (yi, fi ). To su pret-hodno izložene Ojlerove metode i metoda Runge-Kuta.

- višekoracne, koje za izracunavanje yi+1pored yii fi koriste i vrednosti funk-cije i izvoda u nizu prethodnih tacaka: yi−1, fi−1 = f (xi−1, yi−1), yi−2, fi−2 =f (xi−2, yi−2), ...

Druga podela je na:- eksplicitne, kod kojih je formula za izracunavanje vrednosti funkcije u na-

rednoj tacki, yi+1 ekplicitno izražena po yi+1. Izložene Ojlerove metode i metodaRunge – Kuta su eksplicitne jednokoracne metode

- implicitne, kod kojih je formula za izracunavanje yi+1 implicitna.

9.8 IMPLICITNA OJLEROVA METODA SREDNJEGNAGIBA

Implicitne jednokoracne metode se baziraju se na ideji da se pri aproksima-ciji izvoda f (x,y) funkcije y(x), radi procenjivanja vrednosti funkcije u narednojtacki, yi+1 ukljuci tacka xi+1 u kojoj je vrednost funkcije f (xi+1, y(xi+1)) ne-poznata i da se onda zahvaljujuci iterativnom odredivanju yi+1iz tako dobijeneimplicitne formule (metod uzastopnih zamena) poveca stabilnost racunskog pro-cesa. Implicitne metode sadrže dve formule: - prediktor formulu, koja služi za

9.9 VIŠEKORACNE EKSPLICITNE METODE 243

odredivanje prve procene za yi+1, pomocu neke eksplicitne jednokoracne me-tode - korektor formulu, koja je implicitna i cijim se iterativnim korišcenjem(metod uzastopnih zamena) dobija yi+1 sa unapred zadatom preciznošcu.

Tako se implicitnom metodom srednjeg nagiba, koja je, kao i odgovarajucaeksplicitna metoda, drugog reda, vrednost funkcije yi+1 racuna kao:

yi+1 = yi +h2( f (xi,yi)+ f (xi+1,yi+1)) , i = 0,1, ...,N−1

y0 = y(x0)(9.27)

a prediktor i korektor formule su:

prediktor: y(0)i+1 = yi +h f (xi,yi) (9.28a)

korektor: y(k+1)i+1 = yi +

h2

[f (xi,yi)+ f (xi+1,y

(k)i+1)

](9.28b)

k = 0,1, ...; i = 0,1, . . . ,N−1

izlazni kriterijum:∣∣∣y(k+1)

i+1 − y(k)i+1

∣∣∣< ε (9.28c)

Može se izvesti sledeci dovoljan uslov stabilnosti metode:

ω(x) =∂ f∂ y

(x,y)6 0 x ∈ [x0,xN ] (9.29)

koji je ocigledno znatno manje restriktivan nego uslov stabilnosti Ojlerove ekspli-citne metode (9.22).

Zadatak 9.3. Problem iz prethodnog zadatka rešiti primenom Ojlerove im-plicitne metode


9.9 VISEKORACNE EKSPLICITNE METODEPribližna vrednost funkcije, koja predstavlja tacno rešenje diferencijalne jed-

nacine:dydx

= f (x,y) , y(x0) = y0

u tacki xi+1 može da se odredi približnom integracijom jednacine u granicamaxi−k do xi+1 gde je k > 0,

yi+1− yi−k =

xi+1∫xi−k

f (x,y(x))dx


Pri tom cemo podintegralnu funkciju aproksimirati pomocu NJIP2 r-tog ste-pena, sa cvorovima interpolacije: xi, xi−1,...,xi−r. Dakle, on ne prolazi kroz (ne-poznatu) tacku (xi+1, yi+1), da bi rezultujuca formula bila ekplicitna. Tako sevišekoracne eksplicitne metode iz jednacine:

yi+1 = yi−k +h1∫−k

Pr (α)dα , α =x− xi

h, Pr (1) = f (xi+1,yi+1) (9.30)

Uslov Pr (α = 1) = f (xi+1,yi+1), znaci da gornja granica integracije xi+1(α = 1) nije interpolacioni cvor pa je IP je na desnom kraju intervala integracije”slobodan” (uocite razliku od integracionih formula, izvedenih u Gl. 4). Kažese da je rezultujuca integraciona formula otvorenog tipa, za razliku od formulazatvorenog tipa, koje služe za približno racunanje odredenih integrala (Gl. 4)Za razlicite izbore k i r , izvode se razlicite formule. Tako na primer, za r = 2interpolacioni polinom izgleda:

P2 (α)= fi+α∇ fi+α (α +1)

2!∇2 fi = fi+α ( fi− fi−1)+

α (α +1)2!

( fi−2 fi−1 + fi−2)

i za odabrano k = 3, izvodi se sledeca formula, 4 - tog reda:

yi+1 = yi−3 +43

h(2 fi− fi−1 +2 fi−2) , i = 3,4, ...,N−1, E = O(

h5)

Ona ocigledno zahteva prethodno izracunavanje prve tri vrednosti funkcije,nekom jednokoracnom metodom. Što se tacnosti eksplicitnih višekoracnih me-toda tice, može se, integracijom grešaka interepolacije, izvesti:

E =

{O(hr+2) , za r parno

O(hr+3) , za r neparno

9.10 VISEKORACNE IMPLICITNE METODEIzvode se analogno eksplicitnim višekoracnim metodama, s tim što se za aprok-

simaciju podintegralne funkcije f (x,y(x)) koristi IP koji prolazi i kroz tacku (xi+1,yi+1):

yi+1 = yi−k +

xi+1∫xi−k

Pr (x)dx, Pr (xi+1) = f (xi+1,yi+1)

Rezultat je implicitna formula (korektor formula). Kao prediktor formula ko-risti se neka višekoracna eksplicitna metoda.

9.11 NUMERICKA INTEGRACIJA SISTEMA 245

Milne – ova metodaTo je metoda 4. reda i jedna je od najpoznatijih višekoracnih implicitnih

metoda. Njena prediktor formula je izvedena na opisani nacin, sa k = 3, r = 2, akorektor formula sa k = 1, r=2 je:

prediktor : y(0)i+1 = yi−3 +4h3(2 fi− fi−1 +2 fi−2), i = 3,4, ...,N−1 (9.31a)

korektor : y(k+1)i+1 = yi−1 +

h3( f (k)i+1 +4 fi + fi−1) , k = 0,1,2, ... (9.31b)

Za dobijanje prve tri tacke numerickog rešenja, koristi se neka jednokoracna me-toda, najbolje, istog reda tacnosti. To je metoda Runge-Kuta 4. reda (Pogl. 9.6).Ako se Milne-ova implicitna višekoracna metoda uporedi sa eksplicitnom Runge-Kuta metodom, može se, imajuci u vidu efekat korektora, konstatovati:obe metode imaju lokalne greške istog reda, O(h5)

Milneova metoda je stabilnija, tj. otpornija na propagaciju grešaka u tokuracunskog procesa, pa u opštem slucaju ima manju globalnu grešku.

Zadatak 9.4. Problem formulisan u Zadatku 9.2 rešiti Milne-ovom meto-dom.


9.11 NUMERICKA INTEGRACIJA SISTEMA ODJ PRVOGREDA

Pocetni problem za sistem od n ODJ 1. reda se može formulisatu kao:

dyi

dx= fi(x,y1,y2, . . . ,yn), i = 1,2, ...,n

yi(x0) = yi,0


dydx

= f(x,y) , y(x0) = y0 (9.32)

Numericko rešavanje problema zahteva diskretizaciju domena nezavisno pro-menljive:

x0 6 x 6 xN , xk = x0 + k h, k = 0,1, . . . ,N (9.33a)

yi,k = yi(xk), i = 1,2, . . . ,n, k = 0,1, . . . ,N (9.33b)

Dakle, za oznacavanje razlicitih funkcija koristicemo indeks i, a za oznacavanjediskretnih vrednosti x i odgovarajucih vrednosti funkcija, indeks k. Za numericku


integraciju sistema (9.32) koriste se metode numericke integracije jedne ODJ1. reda, pri cemu se primenjuju simultano na sve jednacine u sistemu. Opisa-cemo primenu Ojlerove metode i metode Runge-Kuta.

Primena Ojlerove metode

yi(xk+1) = yi(xk)+h fi (xk,y1(xk),y2(xk), ...,yn(xk)) ,

i = 1,2, ...,n, k = 0,1, ...,N−1 (9.34)


yk+1 = yk +hf(xk,yk), k = 0,1, . . . ,N−1 (9.35)

Primena Metode Runge - Kutta 4. reda

yi(xk+1) = yi(xk)+16(Ki1 +2Ki2 +2Ki3 +Ki4)

i = 1,2, . . . ,n, ,k = 0, . . . ,N−1 (9.36)

gde su:

Ki1 = h fi (xk,y1(xk), . . . ,yn(xk))

Ki2 = h fi

(xk +

h2,y1(xk)+

K11

2, . . . ,yn(xk)+

Kn1

2

)Ki3 = h fi

(xk +

h2,y1(xk)+

K12

2, . . . ,yn(xk)+

Kn2

2

)Ki4 = h fi (xk +h,y1(xk)+K13, . . . ,yn(xk)+Kn3) i = 1,2, . . . ,n

(9.37)


yk+1 = yk +16(K(k)

1 +2K(k)2 +2K(k)

3 +K(k)4 ), k = 0,1, . . . ,N−1 (9.38)

gde su:

9.12 NUMERICKA INTEGRACIJA ODJ U MATHCAD-U 247

K(k)1 = h f(xk,yk)

K(k)2 = h f

(xk +

h2,y+

K(k)12

)

K(k)3 = h f

(xk +

h2,y+

K(k)22

)K(k)

4 = h f(

xk +h,y+K(k)3

)(9.39)

9.12 NUMERICKA INTEGRACIJA ODJ U MATHCAD-U

Integracija ODJ 1. reda

Za približno rešavanje ODJ prvog reda (9.10) ili uopšte rešavanje jedne ODJvišeg reda (za detalje videti Help System Mathcad-a), namenjen je Odesolveblock:

- prvi deo bloka pocinje recju Given (analogija sa Solve block-om) iza kojese daje formulacija problema (diferencijalna jednacina i pocetni uslov), u oblikuvrlo slicnom izvornom (9.10)

- drugi deo bloka je poziv funkcije Odesolve, koja definiše funkciju y(x) kaointerpolacionu funkciju za izracunatu tabelu - numericko rešenje.

Znacenja argumenata (x, xmax, nk) funkcije Odesolve su:x - nezavisno promenljivaxmax - gornja granica intervala integracijenk - broj integracionih koraka, N (neobavezan)Ako se nk izostavi iz pozivne liste u okviru funkcije se automatski bira inte-

gracioni korak da se zadovolji tacnost sa kriterijumom definisanim sistemskimparametrom TOL. Funkcija se bazira na Runge-Kuta metodi 4. reda sa konstant-nim integracionim korakom duž intervala integracije. Postoji mogucnost izbora(desnim klikom na Odesolve) iste metode uz promenljivi korak, duž intervalaintegracije sa ciljem dostizanja zadovoljavajuce tacnosti.

Pozivom funkcije y(x), cije ime je definisano u formulaciji problema, možese dobiti vrednost funkcije, koja predstavlja rešenje date ODJ, u bilo kojoj tackiiz intervala [a.xmax], (a = x0) .

Zadatak 9.5. Problem formulisan u Zadatku 2. rešiti pomocu Odesolveblock-a.



9.12.1 Pocetni problem za sistem ODJ 1. redaOd više funkcija kojima raspolaže Mathcad za numericko rešavanje sistema

ODJ (9.32), odabracemo dve:rkfixed, koja se bazira na Runge-Kuta metodi, sa konstantnim integracio-

nim korakom u celom intervalu integracije [x0, xN ], Rkadapt, koja za razlikuod rkfixed menja korak duž intervala integracije da bi se zadovoljio kriterijumtacnosti, definisan sistemskim parametrom TOL.

Obe funkcije imaju identicnu listu argumenata: y, x0, xmax, nt, D:y - vektor pocetnih vrednosti funkcija[x0, xmax] interval integracijent - broj izracunatih vrednosti funkcija traženih yi(x), i = 0,1, ...,n− 1, koje

korisnik dobijaD - prethodno definisana vektorska funkcija f(x,y) (9.32)Funkcije vracaju matricu dimenzija [(nt + 1)× (nt + 1)] cija prva kolona

sadrži levu granicu x0 i nt ekvidistantnih vrednosti nezavisno promenljive, aostale kolone odgovarajuce vrednosti traženih funkcija yi(x), i = 0,1, ...,n−1.

Zadatak 9.6. Diferencijalne jednacine koje opisuju promene koncentracijaucesnika u reakcijama prvog reda:

Ak0→B

k1→C, k0 = 0.1s−1, k2 = 0.05s−1

sa vremenom, u šaržnom, idealno mešanom reaktoru, su:

dCA

dt=−k0CA

dCB

dt= k0CA− k1CB

dCC

dt= k1CB

CA(0) = 1kmol/

m3, CB(0) =CC(0) = 0

a) Pomocu funkcije rkfixed naci numericko rešenje datog sistema u vremenskomintervalu (s) [0, 60], sa N = 20 integracionih koraka i krajnje koncentracije kom-ponenata.b) Proveriti da li je odabrani broj koraka dovoljno veliki da obezbedi tacnost kraj-njih koncentracija od 4 sigurne cifre.c) Isti problem rešiti pomocu funkcije Rkadapt, pri cemu se traže koncentracijeu 5 ekvidistantnih vremenskih momenata u datom intervalu. Uporediti rešenja.

Rešenje: (Prakt., XIV-2)Funkcije rkfixed i Rkadapt mogu da se koriste za integraciju jedne ODJ 1.

reda, pri cemu se ona posmatra kao specijalan slucaj sistema ODJ.


Zadatak 9.7. Problem definisan u Zadatku 2, rešiti pomocu funkcija rkfi-xed i Rkadapt

Rešenje: (Prakt., XIV-3)

9.12.2 Granicni problem za ODJ 2. redaZa teoriju hemijskih reaktora je od posebnog interesa rešavanje ODJ 2. reda

(videti Primer 2), ciji je opšti oblik:

y ′′+g1(x,y)y ′+g2(x,y) = g3(x), a 6 x 6 b (9.40)

sa razdvojenim granicnim uslovima, koji u najopštijem slucaju (Robinov problem)glase:

Ay(a)+By ′(a) = c (9.41a)A1y(b)+B1y ′(b) = c1 (9.41b)

Specijalan slucaj ODJ (9.30) je linerna ODJ:

y ′′+g1(x)y ′+g2(x)y = g3(x) (9.42)

Specijalni slucajevi problema (granicnih uslova) su:Dirihleov (Dirichlet) problem (A = A1 = 1 , B = B1 = 0)

y(a) = c (9.43a)y(b) = c1 (9.43b)

Nojmanov (Neuman) problem (A = A1 = 0, B = B1 = 1)

y ′(a) = c (9.44a)y ′(b) = c1 (9.44b)

Treba reci, da u opštem slucaju, tip granicnog uslova na levoj granici ne morada bude isti kao tip uslova na drugoj granici. Recimo na levoj granici možemoimati Dirihleov uslov 9.43, a na desnoj Nojmanov 9.44.

9.12.3 Metod probe i greskeDirihleov problem (9.43)Uzmimo kao primer Dirihleov problem. Uz diskretizaciju domena nezavisno

promenljive:

h =b−a

n, x0 = a, xn = b, xi = x0 + ih


diferencijalna jednacina (9.40) se rešava numerickom integracijom ekvivalentnogsistema ODJ prvog reda (9.45):

dy1

dx= y2 (y1 = y, y2 = y ′)

dy2

dx= g3(x)−g1(x,y1)y2−g2(x,y1)

y1(x0) = cy2(x0) = y ′(x0) =?

(9.45)

Medutim, za otpocinjanje numericke integracije sistema nedostaje vrednostprvog izvoda tražene funkcije u tacki x0 = a. Probajuci sa razlicitim pocetnimvrednostima za y ′(x), dobijali bi razlicite vrednosti funkcije yn = y(xn)na krajuintervala integracije i tražimo onu vrednost y ′(x0) za koju se za yn dobija zadatavrednost c1, tj. dok se ne zadovolji uslov (9.43b) na desnoj granici, x = b:

1. k = 0, usvaja se polazna procena y ′(x0)(k)

2. Integriše se sistem ODJ 1. reda:

dy1

dx= y2

dy2

dx= g3(x)−g1(x,y1)y2−g2(x,y1)

y1(x0) = c

y2(x0) = y ′(x0)(k)

3. Ako je zadovoljen uslov∣∣∣y(xn)

(k)− c1

∣∣∣< ε , kraj postupka. Inace,

4. k = k+1, usvaja se nova procena y ′(x0)(k). Povratak na 2.

Kojim algoritmom da korigujemo procenu y ′(x0)(k)? Iz prethodne analize

sledi da se problem može postaviti kao problem traženja korena jednacine:

F(y ′(x0)) = y(xn)− c1 = 0 (9.46)

odnosno nule funkcije F(y ′(x0)), koja nije definisana analiticki nego se njenavrednost za neku vrednost nezavisno promenljive y ′(x0), dobija numerickom in-tegracijom sistema (9.45) za tu vrednost y ′(x0) (vidi Sl. 9.5).


b = xn a = x0

nagib y′(a)(k)

c1

F(k)

y Numeričko rešenje u k-toj iteraciji

y(b)(k)

Rešenje, koje zadovoljava uslov y(b) = c1

Slika 9.5: Graficka ilustracija metode probe i greške

Tako, ako odaberemo metod sekante, korigovanu procenu pocetne vrednostiprvog izvoda tražene funkcije dobijamo formulom:

y ′(x0)(k+1) = y ′(x0)

(k)− F(k)[y ′(x0)(k)− y ′(x0)

(k−1)]

F(k)−F(k−1)

F(k) = y(xn)(k)− c1, k = 1,2, . . .

(9.47)

Nojmanov problem (9.44)Pošto je na levoj granici intervala integracije poznata vrednost izvoda, ali ne

i vrednost same funkcije koju tražimo, problem rešavamo kao problem traženjakorena jednacine:

F (y(x0)) = y ′(xn)− c1 = 0 (9.48)

metodom sekante.Robinov problem (9.41)Problem se može rešavati kao problem rešavanja jednacine:

F(y(x0)) = A1y(xn)+B1y ′(xn)− c1 = 0 (9.49)

Iz procene pocetne vrednosti funkcije y(x0)(k), dobijene metodom sekante,

pocetnu vrednost njenog prvog izvoda dobijamo iz granicnog uslova (9.41a ):

y ′(x0)(k) =

1B[c−Ay(x0)

(k)]

Alternativno, ako se kao nezavisno promenljiva uzme pocetna vrednost prvogizvoda y ′(x0)

(k), iz istog granicnog uslova se dobija procena pocetne vrednostifunkcije y(x0)

(k).


Zadatak 9.8. U tankom filmu tecnosti, debljine L, koji je sa jedne strane(x = 0) u kontaktu sa turbulentnom masom fluida, a sa druge (x = 1), sa cvrstimzidom, odvija se reakcija:

Ak→B

i bezdimenzioni koncentracijski profil y(x) reaktanta A u filmu, opisan je diferen-cijalnom jednacinom:

d2ydx2 −Φ2y0.5 = 0

y(0) = 1y ′(1) = 0

gde je bezdimenzioni parametar Φ2 (Tilov modul), definisan kao:

Φ2 =kL2

Dk - konstanta brzine reakcijeD - koeficijent difuzije reaktanta kroz film tecnostiIzracunati koncentracijski profil reaktanta u filmu za Φ2 = 0.8

Rešenje: (Mathcad)


F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:=

vrednosti: X 0.6634= ∆ X Xp−:= ∆ 0.137= F 2.151− 103−×=

priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=

2. iteracija

X Xp Fp

Xp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0

:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:=

vrednosti: X 0.6617= ∆ X Xp−:= ∆ 1.742 103−×= F 2.035 10

5−×=


Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jed 1. reda :

Φ2 0.8:= D x z,( )

z1

Φ2 z0( )0.5⋅

:=

Funkcija ciju nulu trazimo : f z0 1( )( ) 1 z0 0( )−

gde z0 0( ) predstavlja dobijenu vrednost y(0) numerickom integracijom sistema od desne

granice x=1 do leve granice x=0 ( negativan korak integracije) uz zadatu pocetnu vrednost prvog izvoda : z1(1)=0 i pretpostavljenu pocetnu vrednost funkcije y(1), odnosno z0(1)Iteraciona promenljiva :pocetna vrednost koncentracije y(1), tj. funkcije z 0(1)

polazni broj integracionih koraka za Rkadapt: n 5:=

1. polazna procena i integracija :

Xpp 0.5:= zXpp

0

:=S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):=

S

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.5

0.511

0.546

0.604

0.686

0.796

0

0.114−

0.23−

0.351−

0.479−

0.616−

=

Fpp 1 S 1⟨ ⟩( )n−:= Fpp 0.204=

2. polazna procena i integracija

Xp 0.8:=z

Xp

0

:= Fp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:= Fp 0.171−=

Metod sekante

1. iteracija

X Xp Fp

Xp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0

:=


S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):=

Definisanje vektora x i y : x reverse S 0⟨ ⟩( ):= y reverse S 1⟨ ⟩( ):=

Definisanje kubnog splajna: k cspline x y,( ):= y z( ) interp k x, y, z,( ):=

0 0.5 10.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

y x( )→

x

y x( )→

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

0.966

0.934

0.904

0.875

0.849

0.824

0.802

0.781

0.761

0.744

0.728

0.714

0.702

0.691

0.682

=

Resenje problema koriscenjem funkcije root:

Definisanje funkcije cija nula se trazi:f x( ) z

x

0

←

f 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−←

freturn

:=

Poziv funkcije root:

x 0.5:= X root f x( ) x,( ):= X 0.6616= f X( ) 4.233 105−×= (Smanji TOL)

3. iteracija

X Xp Fp

Xp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0

:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:=

vrednosti: X 0.6617= ∆ X Xp−:= ∆ 1.633 105−×= F 2.623− 10

9−×=


Definisanje funkcije koja daje koncentraciju u bilo kojoj tacki interpolacijom u tabeli x - y numericki dobijenog resenja.

Povecanje broja tacaka profila radi preciznije interpolacije: n 20:=

Racunanje konacnog profila:


Zadatak 9.9. Bezdimenzioni matematicki model reakcije:

Ak→B

n - tog reda, u poroznom zrnu katalizatora oblika plocice, debljine L je:

d2ydx2 −Φ2yn = 0, 0 6 x 6 1

x = 0 :dydx

= 0 (ravan simetrije zrna)

x = 1 : − 1Bi

dydx

= y−1 (spoljnja površina zrna)

gde su Φ2 i Bi bezdimenzione grupe (Tilov modul i Bajotov broj). Izracunatikoncentracijski profil u zrnu za: Φ = 2, n = 0.5, Bi = 5

Rešenje: (Mathcad)


Metod sekante

1. ite racija

X Xp Fp

Xp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S1⟨ ⟩( )

n S2⟨ ⟩( )

n, :=

vrednosti: X 0.0466= ∆ X Xp−:= ∆ 0.053= F 0.098=


2. ite racija

X Xp Fp

Xp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S1⟨ ⟩( )

n S2⟨ ⟩( )

n, :=

Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jed 1. reda:

D x z,( )

z1

Φ2

z0( )0.5⋅

:=

f y 0( )( ) y 1( ) 1−1

Bi xy 1( )

d

d⋅+Funkcija ciju nulu trazimo :

gde je nezavisno promen ljiva pretpostavljena pocetna vre dnost funkcije y(0), odnosno z0(0). y(1), odnosno z0(1) predstavlja dobijenu vrednost funkcije na desnoj granici numerickom integracijom sistema od leve granice x=0, a dy(1)/dx, odnosno z1(1) dobijenu vrednost prvog izvoda na desno j granici.

Iteraciona promenljiva :pocetna vrednost koncentracije y(0), tj. funkcije z 0(0)

Polazni broj integracionih koraka za Rkadapt: n 5:=

f u v,( ) u 1−1

Biv⋅+:=


Xpp 0.01:= zXpp

0

:=S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Fpp f S1⟨ ⟩( )

n S2⟨ ⟩( )

n, := Fpp 0.313−=


Xp 0.1:= zXp

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Fp f S1⟨ ⟩( )

n S2⟨ ⟩( )

n, := Fp 0.457=

9.13 LINEARNA ODJ METODA SUPERPOZICIJE 257 F 2.355 10

3−×=


itd....

Resenje problema koriscenjem funkcije root:

Definisanje funkcije cija nula se trazi:f x( ) z

x

0

←

S Rkadapt z 0, 1, n, D,( )←

f S 1⟨ ⟩( )n 1−

1

BiS 2⟨ ⟩( )

n⋅+←

freturn

:=

Poziv funkcije root: TOL 0.0001:=

x 0.1:= X root f x( ) x,( ):= X 0.03535= f X( ) 1.083 106−×=

zX

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= S

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.035

0.051

0.103

0.208

0.385

0.663

0

0.161

0.376

0.685

1.114

1.686

=

vrednosti: X 0.032= ∆ X Xp−:= ∆ 0.015= F 0.032−=


3. iteracija

X Xp Fp

Xp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:= z

X

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )

n,

:=

vrednosti: X 0.0356= ∆ X Xp−:= ∆ 3.615 103−×=

9.13 LINEARNA ODJ METODA SUPERPOZICIJE

Može se pokazati, da ako je diferencijalna jednacina linearna (9.40), alge-barska jednacina koja se rešava metodom probe i greške (9.41,9.43 ili 9.44) jetakode linearna, pa se njeno rešenje dobija u prvoj iteraciji metode sekante, izdve polazne procene, odnosno rešenje dif. jednacine se dobija u trecoj integraciji


ekvivalentnog sistema od 2 ODJ 1. reda.

Metoda superpozicijeZa linearnu diferencijalnu jednacinu važi princip superpozicije: linearna

kombinacija dva partikularna rešenja,

y(x) = λ1y1 (x)+λ2y2 (x) (9.50)

takode parikularno rešenje. Tako se rešenje Robinovog problema može dobiti nasledeci nacin:

Sa polaznom procenom y ′1(a) dobijamo numericki prvo partikularno rešenjey1 u obliku dva niza: y1=( y1,i , y ′1,i )i=0,n

Sa polaznom procenom y ′2(a) dobijamo numericki drugo partikularno rešenjey2=(y2,i , y ′2,i)i=0,n

Iz uslova da traženo rešenje y = λ1y1 +λ2y2zadovolji granicne uslove (9.41),tj. iz sistema od dve linearne jednacine:

A(λ1y1.0 +λ2y2,0)+B(λ1y ′1,0 +λ2y ′2,0

)= c

A1 (λ1y1,n +λ2y2,n)+B1(λ1y ′1,n +λ2y ′2,n

)= c1

dobijamo parametre λ1 i λ2

Konacno, rešenje dobijamo superpozicijom:

yi = λ1y1,i +λ2y2,i, i = 0,1, ...,n

Zadatak 9.10. Za reakciju prvog reda u tankom filmu tecnosti (Zadatak 8),koncentracijski profil reaktanta je opisan linearnom ODJ 2. reda:

d2ydx2 −Φ2y = 0

y(0) = 1y ′(1) = 0

Izracunati za Φ2 = 0.8, koncentracijski profil,a) metodom probe i greškeb) metodom superpozicije

Rešenje: (Mathcad)

9.13 LINEARNA ODJ METODA SUPERPOZICIJE 259

zX

0

:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:=

vrednosti: X 0.7006= ∆ X Xp−:= ∆ 0.099= F 0=

Resenje dobijeno u 1. iteraciji !

Racunanje profila:

n 20:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):=

Definisanje vektora x i y : x reverse S 0⟨ ⟩( ):= y reverse S 1⟨ ⟩( ):=

Definisanje kubnog splajna: k cspline x y,( ):=

y z( ) interp k x, y, z,( ):=

0 0.5 1

0.6

0.8

1

1.2

y x( )→

x

y x( )→

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

0.969

0.94

0.913

0.888

0.864

0.842

0.822

0.804

0.787

0.772

0.758

0.746

0.735

0.726

0.718

=

a) Φ2 0.8:=

D x z,( )z1

Φ2 z0

⋅

:= n 5:=


Xpp 0.5:= zXpp

0

:=S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):=

S

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.5

0.508

0.532

0.574

0.634

0.714

0

0.08−

0.163−

0.252−

0.348−

0.456−

=

Fpp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:= Fpp 0.286=


Xp 0.8:=z

Xp

0

:= Fp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:= Fp 0.142−=

Metod sekante

1. iteracija

X Xp Fp

Xp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:=


y

1

0.888

0.804

0.746

0.712

0.701

=

y λ1 S1 1⟨ ⟩⋅ λ2 S2 1⟨ ⟩

⋅+:=

Racunanje profila :

λ2 0.876=λ2

1 λ1 S10 1,⋅−

S20 1,

:=λ1 0:=

Druga se svodi na identitet pa ostaje samo prva jedn., sto znaci da mozemo dabiramo proizvoljno jedan od parametara ,a drugi odredimo iz prve jednacine

(2) S20 1, 1.142=y2 0( ) S2

0 1,xy 1( )d

dλ1 x

y1 1( )d

d⋅ λ2 x

y2 1( )d

d⋅+ 0

S10 1, 0.714=y1 0( ) S1

0 1,(1) y 0( ) λ1 y1 0( )⋅ λ2 y2 0( )⋅+ 1

Jednacine iz kojih se odredjuju parametri λ1 i λ2 su :

S2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.142

1.014

0.918

0.852

0.813

0.8

0.729−

0.557−

0.403−

0.261−

0.129−

0

=S2 reverse Rkadapt z 1, 0, n, D,( )( ):=zX2

0

:=X2 0.8:=


S1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.714

0.634

0.574

0.532

0.508

0.5

0.456−

0.348−

0.252−

0.163−

0.08−

0

=S1 reverse Rkadapt z 1, 0, n, D,( )( ):=zX1

0

:=X1 0.5:=


n 5:=b)


Zadatak 9.11. Za reakciju 1. reda u poroznoj plocici katalizatora (Zadatak9), matematicki model glasi:

d2ydx2 −Φ2y = 0, 0 6 x 6 1

x = 0 :dydx

= 0

x = 1 : − 1Bi

dydx

= y−1

Izracunati koncentracijski profil u zrnu za: Φ = 2, Bi = 5a) metodom probe i greškeb) metodom superpozicije

Rešenje: (Mathcad)


zX

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )

n,

:=

vrednosti: X 0.1918= ∆ X Xp−:= ∆ 0.092= F 0=

Resenje dobijeno u 1. iteraciji !

Racunanje profila:

n 10:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Definisanje vektora x i y : x S 0⟨ ⟩:= y S 1⟨ ⟩

:=

Definisanje kubnog splajna: k cspline x y,( ):= y z( ) interp k x, y, z,( ):=

0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

y x( )→

x

y x( )→

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.192

0.196

0.207

0.227

0.257

0.296

0.347

0.413

0.494

0.596

0.722

=

a) Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jed 1. reda :

Φ 2:= , Bi 5:=

D x z,( )

z1

Φ2

z0

⋅

:= n 5:= f u v,( ) u 1−1

Biv⋅+:=


Xpp 0.01:= zXpp

0

:=S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Fpp f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )

n,

:= Fpp 0.948−=


Xp 0.1:= zXp

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Fp f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )

n,

:= Fp 0.479−=

Metod sekante

1. iteracija

X Xp Fp

Xp Xpp−

Fp Fpp−⋅−:=


y

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.192

0.196

0.207

0.227

0.257

0.296

0.347

0.413

0.494

0.596

0.722

=y λ1 S1 1⟨ ⟩⋅ λ2 S2 1⟨ ⟩

⋅+:=Racunanje profila :

λ2 1.918=λ21

S2n 1,

1

BiS2

n 2,⋅+:=λ1 0:=

Prva jednacina se svodi na identitet pa ostaje samo druga jedn., sto znaci da mozemo da biramo proizvoljno jedan od parametara ,a drugi odredimo iz druge jednacine

S2n 2, 0.725=

xy2 1( )d

dS2

n 2,S1n 2, 0.073=

xy1 1( )d

dS1

n 2,

S2n 1, 0.376=y2 1( ) S2

n 1,S1n 1, 0.038=y1 1( ) S1

n 1,

(2) λ1 y1 1( )1

Bi xy1 1( )d

d⋅+

⋅ λ2 y2 1( )1

Bi xy2 1( )d

d⋅+

⋅+ 1

(1) xy 0( )d

dλ1 x

y1 0( )d

d⋅ λ2 x

y2 0( )d

d⋅+ 0

Jednacine iz kojih se odredjuju parametri λ1 i λ2 su :

S2 Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=zX1

0

:=X1 0.1:=


S1 Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=zX1

0

:=X1 0.01:=

1. polazna procena i integracija :b)


9.14 LINEARNA ODJ METODA KONACNIH RAZLIKAAlternativan nacin približnog rešavanja granicnog problema za linearnu ODJ

(9.40) je metoda konacnih razlika, koja se zasniva na aproksimaciji izvoda ko-nacnim razlikama. Izvodi koji figurišu u dif. jednacini (9.40) aproksimiraju seu unutrašnjim tackama xi, i = 1,2, . . .n− 1 diskretizovanog domena nezavisnopromenljive, konacnim razlikama:

y ′ (xi)≈∆yi +∆yi−1

2h=

yi+1− yi−1

2h, E = O

(h2)

y ′′ (xi)≈∆2yi

h2 =∆yi/

h−∆yi−1/

hh

=yi+1−2yi + yi−1

h2 , E = O(h2) (9.51)

(greška aproksimacija je reda h2) cime se diferencijalna jednacina zamenjuje sle-decim sistemom od (n−1) linearne algebarske jednacine sa, u uslucaju Robinovogproblema, ukupno (n+1) nepoznatih: yi, i = 0,1,..., n,

yi+1−2yi + yi−1

h2 +g1(xi)yi+1− yi−1

h+g2(xi)yi = g3(xi) i = 1,2, . . . ,n−1

(9.52)Nedostajuce 2 jednacine su granicni uslovi (9.41) u kojima su prvi izvodi aprok-simirani konacnim razlikama unapred ili u nazad (greške aproksimacija su redah):

Ay0 +By1− y0

h= c (9.53)

A1yn +B1yn− yn−1

h= c1 (9.54)

Rezultujuci SLJ ima trodijagonalnu strukturu i rešava se Thomasovim algo-ritmom.U specijalnom slucaju Dirihleovih granicnih uslova, vrednosti funkcijeu krajnjim tackama, y0 i yn su zadate, pa se rešavaju samo jednacine (9.51) poy1,...,yn−1.

Zadatak 9.12. Bezdimenzioni koncentracijski profil reaktanta c(z) u cev-nom reaktoru, u koome se odvija reakcija prvog reda:

Ak→B

opisan je diferencijalnom jednacinom:

1Pe

d2cdz2 −

dcdz−Dac = 0, 0 6 z 6 1

z = 0 : c− 1Pe

dcdz

= 1 (ulaz u reaktor)

z = 1 :dcdz

= 0 (izlaz iz reaktora)

9.14 LINEARNA ODJ METODA KONACNIH RAZLIKA 265

Potrebno je, za vrednosti bezdimenzionih parametara: Pe = 1, Da = 2a) Izracunati i nacrtati koncentracijski profil c(z)b) Izracunati postignu stepen konverzije reaktanta u reaktoru:

x =c(0)− c(1)

c(0)

c) Uporediti dobijeni rezultat za x sa onim izracunatim iz analitickog rešenja pro-blema:

c(z,r1,r2) =Pe(r2er2+r1x− r1er1+r2x)

Pe(r2er2− r1er1)+ r1r2(er1− er2)

r1 =12

Pe+12

√Pe2 +4Pe Da

r2 =12

Pe− 12

√Pe2 +4Pe Da

d) Povecavati broj integracionih koraka (za po 100), dok se numerickim postup-kom ne dobije stepen konverzije sa tacnošcu od 3 sigurne cifre.

Rešenje: (Prakt., XVI-4)

Glava 10Numericko rešavanje parcijalnihdiferencijalnih jednacina

10.1 UVODParcijalna diferencijalna jednacina (PDJ) u opštem slucaju sadrži dve ili više

nezavisno promenljivih x, y,..., funkciju tih promenljivih u(x,y,...) i njene par-cijalne izvode: ∂u

∂x ,∂u∂y , · · ·

∂ 2u∂x∂y , · · ·

∂ 2u∂x2 ,

∂ 2u∂y2 , · · · . Kao i kod ODJ, red PDJ jed-

nak je redu najvišeg (parcijalnog) izvoda koji fuguriše u jednacini. Funkcijau(x,y,...), koja zadovoljava datu PDJ i neophodan broj granicnih uslova predsta-vlja njeno partikularno rešenje. Broj neophodnih granicnih uslova po nekoj odnezavisno-promenljivih jednak je tacno redu najvišeg parcijalnog izvoda funk-cije u(x,y,...) po toj promenljivoj.

Primer 10.1. Da bi smo dobili funkciju u(x,y,z), koja predstavlja partiku-larno rešenje jednacine:

F(

x,y,z,u,∂u∂x

,∂u∂y

,∂u∂ z

,∂ 2u∂ z2

)= 0, x > x0, y > y0, a 6 z 6 b,

neophodno je imati po jedan granican uslov po x i y i dva granicna uslova po z,recimo:

u(x0,y,z) = f1(y,z)u(x,y0,z) = f2(x,z)u(x,y,a) = f3(x,y)u(x,y,b) = f4(x,y)

Kao što se iz datog primera vidi, granicni uslovi za PDJ sadrže u opštem slu-caju funkcije.

268 Numericko rešavanje parcijalnih diferencijalnih jednacina

U hemijskom inženjerstvu, PDJ se javljaju kao matematicki modeli nestaci-onarnih sistema sa prostorno promenljivim svojstvima (koncentracije, tempera-tura,...), kao i matematicki modeli stacionarnih sistema, cija se svojstva menjajuu bar dva koordinatna pravca. Njihova rešenja zovemo profilima nekog svojstva,u posmatranom sistemu, recimo: koncentracijski profil reaktanta u hemijskomreaktoru.

U ovom materijalu cemo se ograniciti na funkcije dve promenljive i PDJ 2.reda, ciji je opšti oblik:

a(x,y)∂ 2u∂x2 +b(x,y)

∂ 2u∂x∂y

+ c(x,y)∂ 2u∂y2+

+d (x,y)∂u∂x

+ e(x,y)∂u∂y

+ f (x,y)u = g(x,y) (10.1)

Funkcija u(x,y) kao partikularno rešenje diferencijalne jednacine (10.1) trebada zadovolji i uslove na granicama domena definisanosti funkcije, kojih u opštemslucaju po svakoj od nezavisno promenljivih ima po dva (onoliko koliki je najvišired parcijalnog izvoda po posmatranoj promenljivoj, koji figuriše u (10.1)). Uprakticnim problemima, funkcije a(x,y), b(x,y), · · · ,g(x,y), koje se zovu para-metri u PDJ (10.1) su najcešce, neke konstante: a,b,...,g.

Klasifikacija PDJ 2. redaNa osnovu vrednosti diskriminatne,

D(x,y) = b2−4ac

u oblasti definisanosti, PDJ 2. reda se dele na:- parabolicne, D = 0,- hiperbolicne, D > 0,- elipticne, D < 0i kao što vidimo, samo parametri a, b i c, uz izvode 2. reda odreduju tip PDJ.

Primer 10.2. Matematicki modeli za:Nestacionarno provodenje toplote kroz tanak štap (jednodimenzioni problem)

∂T∂τ

= λ · ∂2T

∂x2

x− rastojanje od kraja š tapaτ−vreme

a = λb = 0c = 0

⇒ D = 0

Stacionarni izotermski cevni reaktor sa radijalnim mešanjem (difuzijom) i re-akcijom n - tog reda:

10.1 UVOD 269

w∂CA

∂ z= Def f

R1r

∂∂ r

(r

∂CA

∂ r

)− kCn

A

CA - koncentracija reaktantaz - aksijalna koordinata (rastojanje od ulaza u reaktor)r - radijalna kordinata (radijalno rastojanje od ose cevi)w - srednja brzina reakcionog fluidaDef f

R efektivni koeficijent difuzije u radijalnom pravcuk - konstanta brzine hem. reakcije

su parabolicne PDJ. Kod parabolicne PDJ, odsutan je mešoviti izvod (b = 0) ijedan od izvoda 2. reda (a ili c jednako 0).

Primer 10.3. Jednacina nestacioniranog talasnog kretanja:

∂ 2u∂τ2 = r

∂ 2u∂x2 ⇒ ∂ 2u

∂τ2 − r∂ 2u∂x2 = 0

r = const (> 0)b = 0,a · c < 0 ⇒ D > 0

predstavlja hiperbolicnu PDJ.Primer 10.4. Sledece PDJ su elipticne:

PDJ koja definiše stacionarnu dvodimenzionalnu raspodelu temperature (popreseku kvadra ili valjka)

∂ 2T∂x2 +

∂ 2T∂y2 = 0 (kvadar);

∂ 2T∂ z2 +

1r

∂∂ r

(r

∂T∂ r

)= 0, (valjak)

b = 0, a = c = 1⇒ D < 0Matematicki model hemijskog reaktora iz Primera 1, uz dodatak podužne di-

fuzije:

w∂cA

∂ z= Def f

L∂ 2cA

∂ 2z+Def f

R∂ 2cA

∂ r2 +Def f

Rr

∂cA

∂ r− kCn

A

b = 0,a · c < 0 ⇒ D > 0

Numericko resenje

Numericko rešenje neke PDJ (10.1) se dobija u obliku tabele približnih vred-nosti tražene funkcije u(x,y) za ekvidistantne vrednosti nezavisno promenljivih.Ogranicicemo se na metod konacnih razlika za numericko rešavanje PDJ, kojiobuhvata: - diskretizacije domena nezavisno promenljivih- aproksimiranje parcijalnih izvoda konacnim razlikama


- rešavanje rezultujuceg sistema jednacinaPri tom,

- unutrašnje tacke domena zadovoljavaju diferencijalnu jednacinu,- tacke na granici domena zadovoljavaju granicne uslove.

10.2 NUMERICKO RESAVANJE PARABOLICNE PDJPosmatracemo opšti oblik parabolicne PDJ:

∂u∂τ

= a(x,τ)∂ 2u∂x2 +b(x,τ)

∂u∂x

+ c (x,τ)u

a < x < b, τ > 0(10.2)

U prakticnim problemima je najcešce nezavisno promenljiva τ vreme, pa jezato odabrana ta oznaka, dok je druga nezavisno promenljiva x prostorna. Traženafunkcija u(x,τ) unutar naznacenog domena nezavisno promenljivih zadovoljavadiferencijalnu jednacinu, a na granicama domena granicne uslove (ukupno 3) i to:

Pocetni uslov:

u(x,τ = τ0) = φ(x) (10.3)

Granicne uslove koji se klasifikuju kaoDirihleovi:

za x = a : u(a,τ) = φ1(τ) (10.4a)

za x = b : u(a,τ) = φ2(τ) (10.4b)

Nojmanovi:

za x = a : u∂u∂x

∣∣∣∣x=a

= φ3(τ) (10.5a)

za x = b : u∂u∂x

∣∣∣∣x=b

= φ4(τ) (10.5b)

Robinovi :

za x = a : Au+B∂u∂x

=C (10.6a)

za x = b : A1u+B1∂u∂x

=C1

(10.6b)

10.2 NUMERICKO REŠAVANJE PARABOLICNE PDJ 271

gde su A,B,C u opštem slucaju funkcije vremena.Izvršimo diskretizaciju prostorne promenljive kao:

∆x =b−a

N, x0 = a, xi = x0 + i ∆x, i = 0,1, ...,N

Odabrani korak ∆x, bitno utice na tacnost proracuna. Za fiksiranu vrednostnezavisno promenljive xi, i = 0,1,. . . ,N funkcija u postaje funkcija samo vremenaτ . Tako imamo ukupno N+1 funkciju:

ui ≡ u(xi,τ)≡ ui(τ), i = 0,1, . . . ,N (10.7)

Aproksimiramo parcijalne izvode po prostornoj promenljivoj:parcijalni izvod 2. reda,

∂ 2u∂x2

∣∣∣∣τ,xi

=ui+1−2ui +ui−1

(∆x)2 , E = O(h2) (10.8)

parcijalni izvod 1. reda,za unutrašnje tacke:

∂u∂x

∣∣∣∣τ,xi

≈ ui+1−ui−1

2∆x, E = O(h2) (10.9)

za donju granicu:

∂u∂x

∣∣∣∣τ,xi

≈ ui+1−ui

∆x, E = O(h) (10.10)

za gornju granicu:

∂u∂x

∣∣∣∣τ,xi

≈ ui−ui−1

∆x, E = O(h) (10.11)

Uvodeci definiciju (10.7) i aproksimacije (10.8,10.9) u dif. jednacnu (10.2),dobija se sledeci sistem od (N−1) ODJ sa N+1 funkcijom ui(τ), i = 0,1,. . . , N:

dui

dτ= a

ui+1−2ui +ui−1

(∆x)2 +bui+1−ui−1

2∆x+ cui, i = 1,2, . . . ,N−1 (10.12)

gde su u opštem slucaju: a, b i c neke funkcije od xi i τ . Sistem ODJ (10.12)možemo krace da zapišemo kao:

dui

dτ= fi(τ,ui−1,ui,ui+1), i = 1,2, . . .N−1 (10.13)


Nedostajuce dve jednacine obezbeduju (aproksimativni) granicni uslovi i to,alternativno,

Dirihleovi:u0 = u(x0,τ) = φ1(τ) (10.14a)

uN = u(xN ,τ) = φ2(τ) (10.14b)

Nojmanovi:

∂u∂x

∣∣∣∣x0,τ≈ u1−u0

∆x= φ3 (τ) (10.15a)

∂u∂x

∣∣∣∣xN ,τ≈ uN−uN−1

∆x= φ4 (τ) (10.15b)

Robinovi:

Au0 +Bu1−u0

∆x=C, ili u0 =

C ·∆x−u1 ·BA∆x−B

(10.16a)

A1uN +B1uN−uN−1

∆x=C1, ili uN =

C1 ·∆x+uN−1 ·B1

A1∆x+B1(10.16b)

Preostaje da se numericki reši sistem ODJ (10.12) (zajedno sa dve algebarskejednacine dobijene aproksimacijom granicnih uslova), sa pocetnim uslovima:

ui(τ0) = φ(xi), i = 0,1, . . . ,N (10.17)

koji su dobijeni smenom diskretnih vrednosti prostorne promenljive u pocetniuslov (10.3). Kao rezultat razlicitih izbora metode rešavanja opisanog sistemaODJ, dobijaju se razlicite metode numerickog rešavanja parabolicnih jednacina,poznate pod nazivom:- eksplicitna metoda,- implicitna ili Krank- Nikolsonova meroda,- metoda linija

10.3 EKSPLICITNA METODAPrimenjujemo eksplicitnu Ojlerovu metodu za rešavanje sistema ODJ (10.12),

uz diskretizaciju domena vremenske promenljive:

τi = i ∆τ, i = 0,1,2, . . .

Neka su poznate vrednosti funkcija ui(τ) u svim tackama xi, i = 1,2, . . . ,N utrenutku τ j i uvedimo skraceno oznacavanje:

u(xi,τ j)≡ ui(τ j)≡ ui, j (10.18)

10.3 EKSPLICITNA METODA 273

Za vrednosti funkcija ui u narednom trenutku τ j+1, tj. ui, j+1, Ojlerova metodadaje:

ui, j+1 = ui j +∆τ(

aui+1, j−2ui, j +ui−1, j

(∆x)2 +bui+1, j−ui−1, j

2∆x+ cui, j

),

i = 1,2, ...,N−1, j = 0,1, ... (10.19)

ili skraceno,

ui, j+1 = ui, j +∆τ fi(τ j,ui−1, j,ui, j,ui+1, j), i = 1, ...,N−1, j = 0,1, ... (10.20)

Tako,

Za j = 0, sve vrednosti sa desne strane jednacina poznate su iz pocetnih uslovai iz vrednosti funkcija ui(τ), i = 1, . . . ,N−1 u bilo kom momentu τ j, racunaju senjhove vrednosti u sledecem momentu τ j+1

Vrednosti funkcija u0, j+1 i uN, j+1 (granicne vrednosti ) dobijaju se iz jedna-cina (10.14a-10.16b), zavisno od konkretnog tipa granicnih uslova.

Postupak se može slikovito prikazati pomocu “racunskog molekula”:

i j

i+1

j+1

i - 1

Slika 10.1: Racunski molekul

i racunske šeme:


. . . j=0

i - 1 i i +1

j=1

i=0 i=1

. . .

i= N

Iz 10a,11a ili 12a iz 10b,11b ili 12b

j=2

Slika 10.2: Racunska šema

Od velicine vremenskog koraka, pri numerickoj integraciji sistema ODJ, za-visi ne samo tacnost nego i stabilnost racunskog procesa i uslov stabilnosti ek-splicitne metode je:

∆τ ·a(∆x)2 6 1

2(10.21)

Uocavamo, da je za dobijanje rešenja vece tacnosti (mali korak ∆x), neopho-dan vrlo mali vremenski korak ∆τ , da bi se obezbedila stabilnost, što eksplicitnimetod cini neefikasnim. Na primer, za ∆x = 0.01 i a = 1, vremenski korak nesme da bude veci od 0.5 ·10−4 !

Zadatak 10.1. Bezdimenzioni koncentracijski profil reaktanta c(x,t) u ne-stacionarnom cevnom reaktoru u kome se odvija reakcija 1. reda, opisan je slede-cim matematickim modelom:

∂c∂ t

=1

Pe∂ 2c∂x2 −

∂c∂x−Da c, 0 < x < 1

t = 0 : c(x,0) = 1, 0 6 x 6 1 (polazni koncentracijski profil)

x = 0 : c(0, t)− 1Pe

∂c∂x

(0, t) = 1, t > 0 (ulaz u reaktor)

x = 1 :∂c∂x

(1, t) = 0, t > 0 (izlaz iz reaktora)

Bezdimenziona koncentracija je definisana kao kolicnik koncentracije reaktanta injegove ulazne koncentracije. Prema pocetnim uslovima, reaktant u momentu 0ima koncentraciju jednaku ulaznoj, duž celog reaktora i tada pocinje da se od-vija reakcija u reaktoru. Potrebno je za vrednosti bezdimenzionih parametara

10.4 IMPLICITNA METODA 275

Pe = 1, Da = 2, eksplicitnom metodom, koristeci funkciju Expl (Prakt., XVII-2)izracunati približno koncentracijski profil sa korakom ∆x=0.05 u periodu od 1000odabranih vremenskih koraka.

Rešenje: (Prakt.,XVII-3)

10.4 IMPLICITNA METODAKod implicitne ili Krank-Nikolsonove (Crank-Nicolson) metode, sistem ODJ

(10.13) se rešava implicitnom Ojlerovom-ovom metodom srednjeg nagiba:

ui, j+1 = ui, j+12

∆τ · [ fi(τ j,

ui−1, j︷︸︸︷ui−1(τ j),

ui, j︷︸︸︷ui(τ j),

ui+1, j︷︸︸︷ui+1(τ j))+

+ fi(τi+1,

ui−1, j+1︷︸︸︷ui−1(τ j+1),

ui, j+1︷︸︸︷ui(τ j+1),

ui+1, j+1︷︸︸︷ui+1(τ j+1))]

ili krace,

ui, j+1 = ui, j +∆τ2( fi, j + fi, j+1), i = 1,2, ...,N−1

Detaljnije:

ui, j+1 = ui j +∆τ2

(a

ui+1, j−2ui j +ui−1, j

(∆x)2 +bui+1, j−ui−1, j

2∆x+ cui j+

+ aui+1, j+1−2ui j+1 +ui−1, j+1

(∆x)2 +bui+1, j+1−ui−1, j+1

2∆x+ cui, j+1

),

i = 1,2, . . . ,N - 1(10.22)

Dobijen je SLJ (10.22) sa N− 1 jednacinom i N + 1 nepoznatom ui, j+1, i =0,1, . . . ,N koji se može prikazati kao:

Ciui−1, j+1 +Aiui, j+1 +Biui+1, j+1 = Fi(τ j,ui−1, j,ui, j,ui+1, j), i = 1, . . . ,N−1

Nepoznate u0, j+1 i uN, j+1 se eliminišu pomocu granicnih uslova (10.14a-10.16b)tako da konacno dobijamo sledeci trodijagonalan SLJ, cijim rešavanjem se izvrednosti funkcije u vremenskom momentu τ j dobijaju njene vrednosti u slede-cem momentu τ j+1 = τ j +∆τ :

A1u1, j+1 +B1u2, j+1 = F1(τ j,u1, j,u2, j)

Ciui−1, j+1 +Aiui, j+1 +Biui+1, j+1 = Fi(ui−1, j,ui, j,ui+1, j), i = 2, ...,N−2CN−1uN−2, j+1 +AN−1uN−1, j+1 = FN−1(τ j,uN−2, j,uN−1, j)

(10.23)


Koeficijenti uz nepoznate, tj. vektori A, B i C se dobijaju poredenjem jedna-cina (10.22) i (10.23).

Prednost implicitne metode u odnosu na eksplicitnu je u tome što je bezu-slovno stabilna - bez obzira na velicinu vremenskog koraka. U odnosu na ekspli-citnu metodu, ima nedostatak što je složenija jer zahteva rešavanje trodijagonal-nog SLJ (10.23) u svakom vremenskom koraku.

Zadatak 10.2. Izracunati bezdimenzioni koncentracijski profil (Zadatak 1)implicitnom metodom, sa koracima ∆x = 0.05, ∆τ = 0.01, pomocu funkcijeImpl (Prakt., XVII-5). Naci najvece relativno odstupanje izracunatog koncen-tracijskog profila u momentu τ = 1 od onog dobijenog eksplicitnom metodom uprethodnom zadatku.

Rešenje: (Prakt., XVII-6)Racunanje stacionarnih koncentracijskih profilaImplicitna metoda se može iskoristiti za dobijanje približnog stacionarnog jed-

nodimenzionog koncentracijskog profila u reaktoru, rešavajuci za dovoljno velikiinterval vremenske promenljive, PDJ parabolicnog tipa, koja opisuje nestacio-naran koncentracijski profil u istom sistemu. Matematickim terminima, granicniproblem za ODJ 2. reda, se može numericki rešiti, numerickom integracijomodgovarajuce parabolicne PDJ, koja u odnosu na ODJ ima dodatni vremenskiizvod tražene funkcije i zahteva i pocetne uslove.

Primer 10.5. Numericko rešenje ODJ 2. reda, koja opisuje stacionarni bez-dimenzioni koncentracijski profil reaktanta u cevnom reaktoru, c(x):

1Pe

d2cdx2 −

dcdx−Da c = 0, 0 6 x 6 1

x = 0 : c− 1Pe

dcdx

= 1

x = 1 :dcdx

= 0

se može dobiti numerickim rešavanjem odgovarajuce PDJ (Zadatak 1) sa odabra-nim pocetnim uslovom za funkciju c(x,t):

∂c∂ t

=1Pe

∂ 2c∂x2 −

∂c∂x−Dac, 0 < x < 1

t = 0 : c(x,0) = 1, 0 6 x 6 1

x = 0 : c(0, t)− 1Pe

∂c∂x

(0, t) = 1, t > 0

x = 1 :∂c∂x

(1, t) = 0, t > 0

kao niz vrednosti funkcije u momentu m∆t, u ekvidistantnim vrednostima pro-

10.5 METODA LINIJA 277

storne promenljive sa korakom ∆x: c(i∆x,m∆τ), i = 0, . . . ,N, ako je broj vre-menskih koraka m dovoljno veliki (približno se uspostavilo stacionarno stanje ureaktoru).

Primer 10.6. Rešiti problem u Zadatku 9.12a-c, numericki rešavajuci odgo-varajucu PDJ (vidi prethodni Primer) sa koracima ∆x = 0.02, ∆τ = 0.01.

10.5 METODA LINIJAOvom metodom, zahvaljujuci izboru neke tacnije metode za numericku in-

tegraciju sistema ODJ (10.12), i uz dovoljno mali prostorni korak ∆x, može sepostici veca tacnost numerickog rešenja. Recimo, umesto implicitne Ojlerovemetode srednjeg nagiba, koja je 2. reda tacnosti, za integraciju sistema (10.12)može se izabrati Runge-Kuta metoda 4. reda.

Zadatak 10.3. Izracunati bezdimenzioni koncentracijski profil (Zadatak 10.1)metodom linija, sa vremenskim korakom ∆x = 0.05, ∆τ = 0.01, koristeci za inte-graciju sistema ODJ (10.12) Mathcad funkciju Rkadapt. Naci najvece relativnoodstupanje izracunatog koncentracijskog profila u momentu τ = 1 od onog dobi-jenog implicitnom metodom u Zadatku 2.

Rešenje: (Prakt., XVIII-1)Zadatak 10.4. Rešiti problem u Zadatku 9.12a-c, numericki rešavajuci od-

govarajucu PDJ metodom linija koristeci funkciju Rkadapt. Za prostorni korakuzeti ∆x = 0.02.

10.6 NUMERICKO RESAVANJE ELIPTICNE PDJOpšti oblik elipticne PDJ sa dve nezavisno promenljive je:

∂ 2u∂x2 +a(x,y)

∂ 2u∂y2 +b(x,y)

∂u∂x

+ c(x,y)∂u∂y

+d (x,y)u =

0−Laplasovaf (x,y)−Furieova

(x,y) ∈ R(10.24)

i definisana je u nekoj oblasti R u Oxy ravni, a na granici oblasti S važe u opštemslucaju uslovi Robinovog tipa:

Au+B∂u∂n

=C

∂u∂n

- izvod u pravcu normale na granicu S(10.25)


y

x

S

n

n n

R

n - normale na granicu S

Slika 10.3: Ilustracija oblasti definisanosti elipticne PDJ

Ogranicicemo se na pravougaonu oblast definisanosti, R:

a < x < b, c < y < d

y

x

R

a b

c

d

R

S

Slika 10.4: Pravougaona oblast R

Granicni uslovi Robinovog tipa:

x = a, c < y < d : A1 u+B1∂u∂x

=C1 (10.26)

x = b, c < y < d : A2 u+B2∂u∂x

=C2 (10.27)

10.6 NUMERICKO REŠAVANJE ELIPTICNE PDJ 279

y = c, a 6 x 6 b : A3 u+B3∂u∂y

=C3 (10.28)

y = d, a 6 x 6 b : A4 u+B4∂u∂y

=C4 (10.29)

Domeni nezavisno promenljivih se diskretizuju kao:

∆x =b−a

N, xi = a+ i∆x (i = 0,1, ...,N)

∆y =d− c

M, yi = c+ j ∆y ( j = 0,1, ...,M)

pa numericko rešenje PDJ predstavlja skup od (N +1)(M+1) vrednosti funkcijeu(xi, y j) = ui, j u svim tackama domena i to:

(N − 1)(M − 1) vrednosti u unutrašnjosti domena R : ui, j, i = 1,2, . . . ,N −1, j = 1,2, . . . ,M−1

2(M+N) granicnih vrednosti (u tackama na granici domena)Aproksimacije parcijalnih izvodaParcijalni izvodi, koji figurišu u dif. jednacini (10.24) aproksimiraju se konac-

nim razlikama:∂ 2u∂x2

∣∣∣∣xi,yi

≈ui+1, j−2ui, j +ui−1, j

(∆x)2 (10.30)

∂ 2u∂y2

∣∣∣∣xi,yi

≈ui, j+1−2ui, j +u1, j−1

(∆y)2 (10.31)

∂u∂x

∣∣∣∣xi,y j

≈ui+1, j−ui−1, j

2∆x(10.32)

∂u∂y

∣∣∣∣xi,y j

≈ui, j+1−ui, j−1

2∆y(10.33)

sa greškom aproksimacije, proporcionalne kvadratu koraka.Parcijalni izvodi koji figurišu u granicnim uslovima (10.26-10.29) aproksimi-


raju se kao:

∂u∂x

∣∣∣∣x=a=x0

≈u1, j−u0, j

∆x(10.34)

∂u∂x

∣∣∣∣x=b=xN

≈uN, j−uN−1, j

∆x(10.35)

∂u∂y

∣∣∣∣y=c=y0

≈ui,1−ui,0

∆y(10.36)

∂u∂y

∣∣∣∣y=d=yM

≈ui,M−ui,M−1

∆y(10.37)

pri cemu je greška aproksimacije proporcionalna koraku.Kao rezultat uvodjenja aproksimacija (10.30-10.33) u dif. jednacinu (10.24),

dobijamo sledeci SLJ od (N-1)(M-1) jednacina sa (N+1)(M+1) nepoznatih:

ui+1, j−2ui, j +ui−1, j

(∆x)2 +aui, j+1−2ui, j +ui, j−1

(∆y)2 +bui+1, j−ui−1, j

2∆x+

+ cui, j+1−ui, j−1

2∆y+dui, j = fi, j

fi, j = f (xi,y j), i = 1, ..., N−1 , j = 1, ..., M−1

(10.38)

Svaka od jednacina sistema (10.38) sadrži po 5 susednih vrednosti ui j. Pritom, jednacine za i= 1,N−1 i j = 1,M−1 ukljucuju granicne vrednosti: u0, j,uN, j,ui,0i ui,M

Tačka na granici

∆x ∆y j+1

j

j - 1

i=0 i=1 i=2


∆x ∆y j+1

j

j - 1

i - 1 i i+1

Slika 10.5: Vrednosti funkcije, koje figurišu u SLJ (10.38)

Nedostaje 2(M + N) jednacina i to su granicni uslovi sa aproksimacijama(10.34-10.37).

Postupak rešavanja rezultujuceg SLJKoeficijenti uz promenljive ui, j u svakoj od jednacina SLJ (10.38) su domi-

nantni u odnosu na koeficijenate uz preostale promenljive ui−1, j , ui+1, j , ui, j−1 ,ui, j+1 pa se može primeniti Jakobijev (ili Gaus - Zaidelov) iterativni postupak:

u(k+1)i, j = Fi, j

(u(k)i−1, j, u(k)i+1, j, u(k)i, j−1, u(k)i, j+1

), k = 0,1,2, ...

i = 1,2, ...,N−1; j = 1,2, ...,M−1

Granicne vrednosti:

u0, j,u1, j, ...,uN, j, j = 1,2, ...,M−1ui,0,ui,1, ...,ui,M, i = 0,1, ...,N

su prethodno eliminisane iz potpunog SLJ, pomocu aproksimativnih granic-nih uslova, dobijenih unošenjem aproksimacija (10.34-10.37) u jednacine (10.26-10.29). Brzina konvergencije zavisi od oblika funkcije Fi, j, i od polaznih pro-cena u(0)i, j .

Zadatak 10.5. Dvodimenzionalno temperaturno polje T (x,y), sa toplotnimizvorom, opisano je Furijeovom jednacinom:

∂ 2T∂x2 +

∂ 2T∂y2 +

gλ= 0

λ− toplotna provodljivost medijuma, W /m0Cg− snaga toplotnog izvora, W /m3


Potrebno je odrediti dvodimenziono temperaturno polje u telu oblika kva-dra, cija je leva strana (x = 0) idealno izolovana, a suprotna, desna (x = 6 cm)je izložena uniformnom toplotnom fluksu, q = 5000 W/m2. Gornja površina(y = 2.4 cm) je izložena konvekciji, dok se donja površina (y = 0) održava nakonstantnoj temperaturi, Tb = 900C. Intenzitet generisanja toplote u telu je g =5000 W/m3, temperatura vazduha iznad gornje površine je Ts = 250C, a koefici-jent prelaza toplote sa tela u atmosferu, α = 80 W/m2 0C.a) Izracunati približno temperaturno polje, koristeci funkciju Eliptic (Prakt.,XIX-2) sa N = 20 koraka u x-pravcu i M = 8 koraka u y pravcu i tolerancijom ε = 0.5u izlaznom kriterijumu za Jakobijev iteracioni postupak. Prikazati polje u 3− ddijagramu.b) Pratiti promene polja sa smanjivanjem fluksa q. Kakav izgled ima polje za q =0?c) Pratiti promene polja pri smanjivanju snage toplotnog izvora g.

Zadatak 10.6. Bezdimenziono temperaturno polje u(x,y) u tankoj ploci kvad-ratnog oblika, sa koje u x-pravcu normalnom na površinom ploce toplota odlazikonvekcijom u okolinu, opisano je jednacinom:

∂ 2u∂x2 +

∂ 2u∂y2 −Φu = 0

Φ−bezdimenzioni parametarAko se leva (x = -1) i desna (x = 1) strana ploce hlade istim intenzitetom,

granicni uslovi za te dve površine glase:

x =−1,∂u∂x

= Bi u

x = 1,∂u∂x

=−Bi u

gde je Bi Bajotov (Biot) bezdimenzioni toplotni broj. Ako se donja (y = −1)i gornja (y = −1) površina održava ju na konstantnoj temperaturi us, granicniuslovi za njih glase:

y =−1, u = usy = 1, u = us

a) Izracunati temperaturno polje za vrednosti Φ = 2, Bi = 0.5, us = 2i prikazatiga graficki.b) Pratiti efekat smanjivanja integracionih koraka na grafiku.

Specijalan slucaj Laplasove jednacineU specijalnom slucaju Laplasove jednacine:


∂ 2u∂x2 +

∂ 2u∂y2 = 0 a < x < b, c < y < d (10.39)

sistem jednacina (10.38) ima oblik:

ui−1, j−2ui, j +ui+1, j

(∆x)2 +ui, j−1−2ui, j +ui, j+1

(∆y)2 = 0

i = 1,2, ...,N−1; j = 1,2, ...,M−1(10.40)

Specijalno, ako usvojimo ∆x = ∆y, dobijamo sledecu jednostavnu iteracionuformulu:

u(k+1)i j =

14

(u(k)i−1 +u(k)i+1, j +u(k)i, j−1 +u(k)i, j+1

), k = 0,1,2, ...

i = 1,2, ...,N−1; j = 1,2, ...,M−1(10.41)

Glava 11Dobijanje empirijskih formula izeksperimentalnih podataka

Zadatak fitovanja eksperimentalnih podataka

Neka smo u cilju analize zavisnosti f (x) neke fizicke velicine, y od drugefizicke velicine, x izvršili niz merenja i dobili tabelu sa parovima izmerenih vred-nosti posmatranih velicina:

x x1 x2 x3 ... xn

y y1 y2 y3 ... yn

odnosno n eksperimentalnih tacaka Mi(xi, yi ), i = 1,2,...,n. Postupak formulisanjafunkcije f (x), koja aproksimira nepoznatu zavisnost f (x), tako da odstupanjaeksperimentalnih vrednosti od racunskih procena dobijenih iz nje:

ei = yi− f (xi) , i = 1,2, ...,n (11.1)

budu u odredenom smislu mala, naziva se fitovanje eksperimetalnih podataka.Dakle odabranu funkciju f (x), koju nazivamo empirijska formula prilagodavamo(fitujemo, od engleske reci fit) eksperimentalnim podacima.

Ako bi empirijsku formulu tražili u obliku polinoma, a kao kriterujum za dobrofitovanje uzeli uslov da odstupanja (11.1) budu jednaka nuli, rezultat bi bio inter-polacioni polinom Pn−1(x). Medutim interpolacioni polinomi nisu adekvatneempirijske formule jer nema smisla tacno reprodukovati eksperimentalne tacke,koje svakako sadrže neizbežne slucajne greške merenja. Empirijska formula cijigrafik ne prolazi ni kroz jednu eksperimentalnu tacku Mi(xi,yi), ali prolazi blizusvih tacaka Mi, i = 1,2,..., n izravnjava (uglacava) lokalne nepravilnosti, koje

286 Dobijanje empirijskih formula iz eksperimentalnih podataka

poticu od grešaka merenja, za razliku od interpolacionog polinoma (Slika 11.1).Interpolacioni polinomi, narocito visokog stepena (veci broj eksperimentalnih ta-caka) “vijugaju” tj. pokazuju ekstremne tacke, koje nisu rezultat stvarne vezeizmedu merenih velicina, nego zahteva da polinom prode kroz sve tacke, kojesadrže greške merenja.

xi

x

y

Pn-1(x) iy

yi ei

( )xf( )ii xfy ˆˆ =

Slika 11.1: Empirijska formula i interpolacioni polinom

Pogodno odabrana empirijska formula cesto, bar približno, odražava stvarnu me-duzavisnost posmatranih velicina, za razliku od interpolacionog polinoma, kojinema nikakvu teoretsku osnovu. Tako parametri adekvatne empirijske for-mule imaju odredeni fizicki smisao za razliku od koeficijenata interpolacionogpolinoma. Na primer, iz Clapeyron-ove (Klapejron) jednacine:

1p

d pdT

=∆hisp

RT 2 (zV − zL)

gde su:∆hisp - latentna toplota isparavanjazL, zV - faktori stišljivosti kljucale tecnosti i suvozasicene pareR - univerzalna gasna konstanta

koja egzaktno opisuje zavisnost napona pare neke ciste supstance pod temperatureT , integracijom uz aproksimacije:

zL = 0, zV = 1, ∆hisp = const.,

se dobija poznata Clausius-Clapeyronova jednacina za napon pare, koja daje dobreprocene u oblasti niskih temperatura:

11.1 IZBOR EMPIRIJSKE FORMULE 287

ln p = A− BT

Parametar B ima znacenje bezdimenzione latentne toplote isparavanja posma-trane supstance: B = ∆hisp/R

Problem fitovanja eksperimentalnih podataka obuhvata dva zadatka:- izbor tipa (oblika) empirijske formule,- odredivanje nepoznatih parametara u odabranoj formuli na osnovu usvo-

jenog kriterijuma dobrog fitovanja.

11.1 IZBOR EMPIRIJSKE FORMULEPri izboru oblika empirijske formule f (x), kao pomoc se koriste:

- teorijska znanja o meduzavisnosti posmatranih velicina,- graficki prikaz eksperimentalnih tacaka,- numericki kriterijumi

Graficka analizaPoredenjem grafika razlicitih funkcija sa zamišljenom linijom koja spaja ucr-

tane eksperimentalne tacke Mi(xi,yi) može se cesto suziti izbor mogucih oblika za-visnosti. Najjednostavniji primer je pravolinijska zavisnost, ako ucrtane tackeMina dijagramu “padaju” oko zamišljene prave linije.

Numericki kriterijumiKao empirijske formule se nekad biraju polinomi, ali ne interpolacioni, vec

pogodno odabranog nižeg stepena. Pri izboru stepena polinoma numericki kriteri-jum je: približna konstantnost podeljenih razlika nekog reda, odnosno u slucajuekvidistantnih tacaka, približna konstantnost konacnih razlika nekog reda.

Primer 11.1. Merene su koncentracije reaktanta y (kmol/m3) u razlicitimvremenskim momentima x (min) nakon zapocinjanja neke hemijske reakcije:

x 7 12 17 22 27 32 37

y 83.7 72.9 63.2 54.7 47.5 41.4 36.3

Potrebno je odabrati oblik empirijske formule. U odsustvu teoretskih znanjao meduzavisnosti x i y, cesto se bira polinomska zavisnost, ako se mogu uocitipribližno konstantne podeljene ili konacne razlike. Izracunata je tabela konacnihrazlika unapred do razlika 3. reda, za date podatke. Uocavamo približnu kon-stantnost konacnih razlika 2. reda, pa se dati podaci mogu fitovati polinomom 2.stepena:


f (x) = a+bx+ cx2

x y ∆y ∆2y ∆3y

7 83.7 -10.8 1.1 0.1

12 72.9 -9.7 1.2 0.1

17 63.2 -8.5 1.3 -0.2

22 54.7 -7.2 1.1 -0.1

27 47.5 -6.1 1.0

32 41.4 -5.1

37 36.3

Primer 11.2. Kao što smo naglasili, pri izboru empirijske formule treba ko-ristiti raspoloživa teoretska znanja o meduzavisnosti posmatranih velicina. U Pri-meru 1 se radi o zavisnosti koncentracije reaktanta, c od vremena t, koja se teo-retski dobija integracijom diferencijalnog bilansa reaktanta:

dcdt

=−r (c)

gde je r(c) izraz za brzinu hemijske reakcije. Ako bi bila u pitanju reakcija 1.reda, r (c) = kc, integracijom bi dobili eksponencijalnu vremensku zavisnost:

c(t) = c0e−kt

gde je c0 pocetna koncentracija reaktanta. Dakle, ako pretpostavimo da se reak-cija koju ispitujemo približno ponaša kao reakcija prvog reda, onda je adekvatanempirijski model za fitovanje raspoloživih eksperimentalnih podataka:

f (x) = aebx

Dat je Mathcad dijagram x− y sa ucrtanim eksperimentalnim tackama

11.1 IZBOR EMPIRIJSKE FORMULE 289

0 10 20 30 4020

40

60

80

100

y

x

Slika 11.2: Eksperimentalni podaci

Dijagram nije u suprotnosti sa pretpostavkom, jer zamišljena kriva duž kojeleže eksperimentalne tacke po obliku odgovara grafiku eksponencijalne funkcije.Za konacno prihvatanje eksponencijalnog modela neophodni su precizniji kriteri-jumi. Logaritmovanjem pretpostavljene zavisnosti dobijamo:

lny = lna+bx

Ako bi posmatrani model bio adekvatan, nova promenljiva Y = lny bi linearnozavisila od x:

Y = lna+bx

Zato cemo eksperimentalne tacke ucrtati u dijagram x−Y ili u lin-log dijagramx− y:

0 10 20 30 403.5

4

4.5

ln y( )

x

0 10 20 30 4010

100

y

x

Slika 11.3: lin-log dijagram originalnih podataka


Pošto tacke približno leže duž neke prave, možemo da prihvatimo empirijskuformulu, koja se bazira na reakciji prvog reda. To potvrduje i numericki kriterijumda su konacne razlike prvog reda za tabelu x - logy približno konstantne:

x y Y = logy ∆Y

7 83.7 1.923 -0.060

12 72.9 1.863 -0.062

17 63.2 1.801 -0.063

22 54.7 1.738 -0.061

27 47.5 1.677 -0.060

32 41.4 1.617 -0.057

37 36.3 1.560

11.2 LINEARIZOVANE DVOPARAMETARSKE EMPIRIJSKEFORMULE

Empirijsku formulu koja sadrži k parametara zvacemo k - parametarska empi-rijska formula. Tako je formula u Primeru 1 troparametarska a formula u Primeru2 je dvoparametarska. Dvoparametarska empirijska formula,

y = f (x,a,b) (11.2)

se nekada, pogodnom smenom promenljivih:

X = X (x,y) , Y = Y (x,y) (11.3)

može "ispraviti"ili linearizovati, tj. prevesti u pravolinijsku zavisnost:

Y = A+BX (11.4)

gde su novi parametri neke funkcije starih:

A = A(a,b) , B = B(a,b) (11.5)

Opisani postupak se zove linearizacija ili ispravljanje empirijske formule.Na primer, ako odabrana empirijska formula ima oblik:

ψ (x,y) = a+bφ (x,y)

gde su ψ (x,y) , φ (x,y) bilo kakve funkcije, ocigledno se namece smena:

11.2 LINEARIZOVANE DVOPARAM. EMPIRIJSKE FORMULE 291

X = φ (x,y) , Y = ψ (x,y) , A = a, B = b

U Tab. 11.1 su date smene za ispravljanje nekih dvoparametarskih empirijskihformula.

Tabela 11.1: Smene za linearizaciju dvoparametarske empirijske formule

kriva smena prava

1. y = axb Y = logy X = logx Y = loga+bX

2. a)y = abx Y = logy X = x Y = loga+ logbXb)y = aebx Y = lny X = x Y = lna+bX

3. y = a+b/x Y = y X = 1/x Y = a + bX

4. y = 1a+bx Y = 1/y X = x Y = a + bX

5. y = xa+bx Y = 1/y X = 1/x Y = b + aX

6. y = xa+bx2 Y = x/y X = x2 Y = a + bX

7. y = x2

a+bx2 Y = 1/y X = 1/x2 Y = b + aX

8. y = ax+bx2 Y = y/x X = x Y = a + bX

9. y = b logx+a Y = y X = logx Y = a + bX

U Primeru 2 smo diskutovali primenu eksponencijalne empirijske formule(druga vrsta tabele), primenili datu smenu i graficki i numericki kriterijum zaproveru adekvatnosti formule.

Zadatak 11.1. Predložiti smene promenljivih za linearizaciju formule:

y =ax

(1+bx)2

Rešenje:Polaznoj jednacini su ekvivalentne jednacine:

y =x(

1+bx√a

)2 → xy=

(1+bx√

a

)2

→√

xy=

1+bx√a

=1√a+

b√a

x

Smenom,


Y =

√xy

formula se linearizuje:

Y = A+Bx

a novi parametri su:

A =1√a, B =

b√a

Zadatak 11.2. Merena je sila y (Din) kojom na ravnu plocu deluje fluid kojije opstrujava, pri raznim brzinama x (cm/s) strujanja fluida:

x 4 5 10 20 45 70

y 1.35 1.8 5.3 15 50 98

Potrebno je odabrati dvoparametarsku empirijsku formulu, koja približno opi-suje zavisnost y(x).

Rešenje:Ucrtacemo eksperimentalne tacke u dijagram x− y:

0 20 40 60 800

50

100

y

x

Dijagram ukazuje na nelinearnu vezu i po obliku zamišljene krive duž kojeleže eksperimentalne tacke, to bi mogla biti stepena zavisnost,

y(x)≈ axb

s obzirom da kriva približno prolazi kroz koordinatni pocetak (0,0). Linearizo-vani oblik pretpostavljene formule dobija se smenama datim u 1. vrsti tabele isledeci korak je ucrtavanje eksperimentalnih tacaka u log - log dijagram ili u X–Y dijagram, gde su X i Y nove promenljive X = logx, Y = logy:

11.2 LINEARIZOVANE DVOPARAM. EMPIRIJSKE FORMULE 293

1 10 1001

10

100

y

x

0.5 1 1.5 20

1

2

log y( )

log x( )

Slika 11.4: Dijagram transformisanih eksperimentalnih podataka i log-log dija-gram originalnih podataka

Pošto tacke u novim dijagramima približno leže duž neke prave, prihvatamoempirijsku fomulu:

f (x) = axb

Zadatak 11.3. Odabrati dvoparametarsku formulu za fitovanje eksperimen-talnih podataka:

x 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

y .833 .667 .540 .405 .330 .286 .248 .220 .202 .182 .167

Rešenje:Ucrtacemo eksperimentalne tacke u dijagram i na osnovu oblika zamišljene

krive kroz te tacke odabrati jednu ili više formula navedenih u tabeli, a zatimnakon linearizacije odabranih formula, primenom grafickog kriterijuma napravitikonacan izbor.


0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

x

Slika 11.5: uz Zadatak 3 - Eksperimentalne tacke

Dijagram ukazuje na moguce postojanje horizontalne asimptote. Horizontalnuasimptotu imaju formule 4, 5, 6 i 7 u tabeli, ali jedino grafik formule 4 ne prolazikroz koordinatni pocetak, što je u skladu sa eksperimentalnim tackama. Daklebiramo formulu:

f (x) =1

a+bxLinearizacija formule se postiže smenom Y = 1/y. Ucrtavamo tacke u dijagram

x−Y i pošto one približno leže na pravoj, konacno prihvatamo formulu.Slika 2 uz Zadatak 3 - Transformisane eksperimentalne tacke

11.3 METOD NAJMANJIH KVADRATAKao mera odstupanja odabrane empirijske formule sa ukupno (k+ 1) para-

metara b0,b1, ...,bk:

y = f (x,b0,b1, ...,bk) = f (x,b) (k+1 < n) (11.6)

od eksperimentalnih tacaka pogodno je uzeti sumu kvadrata odstupanja:

S(b) =n

∑i=1

e2i =

n

∑i=1

[yi− f (xi,b)

]2 (11.7)

11.4 EMPIRIJSKA FORMULA LINEARNA PO PARAMETRIMA 295

b - vektor parametara, b = [bi], i = 0,1, ...,kPrema metodi najmanjih kvadrata (MNK), najbolje (optimalne) vrednosti

parametara b0,b1, ...,bk u odabranoj empirijskoj formuli (11.6) su one za kojesuma kvadrata odstupanja ima minimum:

S (b) =n

∑i=1

[yi− f (xi,b)

]2→min

Nepoznati parametri se dobijaju iz neophodnog uslova minimuma fukcije S:

−2n

∑i=1

[yi− f (xi,b0,b1, ...,bk)

] ∂ f (xi,b0,b1, ...,bk)

∂b j= 0 (11.8)

odnosno:

n

∑i=1

[yi− f (xi,b0,b1, ...,bk)

] ∂ f (xi,b0,b1, ...,bk)

∂b j= 0 j = 0,1, ...,k (11.9)

Jednacine (11.9) se nazivaju normalne jednacine i one su u opštem slucajunelinearne. U slucaju egzistencije više rešenja posmatranog sistema, tj. više lo-kalnih minimuma funkcije S (b0,b1, ...,bk), bira se ono rešenje koje daje najmanjuvrednost minimuma (globalni minimum).

Kao mera kvaliteta fitovanja eksperimentalnih podataka dobijenom empirij-skom formulom, koristi se srednje kvadratno odstupanje formule od eksperi-mentalnih vrednosti, definisano kao:

s =

n∑

i=1e2

i

n− (k+1)=

n∑

i=1

[yi− f (xi,b)

]2n− (k+1)

(11.10)

Velicina u imeniocu, koja predstavlja razliku broja eksperimentalnih tacakai ukupnog broja parametara u formuli se u statistici naziva broj stepeni slobode.Ukoliko je s manje, utoliko neka empirijska formula bolje fituje eksperimentalnepodatke, pa se ono koristi pri poredenju razlicitih empirijskih jednacina za isteeksperimentalne podatke.

11.4 EMPIRIJSKA FORMULA LINEARNA PO PARAMETRIMAOpšti oblik empirijske formule linearne po parametrima je:

f (x) =k

∑j=0

b jφ j (x) (11.11)


gde su φ j(x), j = 0,1, ...,k bilo kakve funkcije, koje ne sadrže parametre b j, j =0,1, ...,k Na primer, formula:

f (x) = b0 +b1 lnx+b2

x2

je linearna po parametrima, dok je formula:

f (x) = b0 +b1

x+b2

nelinearna po parametrima. Pošto je za formulu oblika (11.11):

∂ f (xi,b0,b1, ...,bk)

∂b j= φ j (xi)

Normalne jednacine (11.9) su linearne po traženim parametrima:

b0

n

∑i=1

φ0 (xi)φ j (xi)+ ...+b j

n

∑i=1

φ j (xi)φ j (xi)+ ...

+bk

n

∑i=1

φk (xi)φ j (xi) =n

∑i=1

yiφ j (xi) , j = 0,1, ...,k

Ako uvedemo oznake:

(φr,φs) =n

∑i=1

φr (xi)φs (xi), r,s = 0,1, ...,k (11.12)

(y,φs) =n

∑i=1

yiφs (xi), s = 0,1, ...,k (11.13)

normalne jednacine u matricnoj formi izgledaju:

ΦΦΦ ·b = d (11.14)

ΦΦΦ = [(φ j,φi)]k+1,k+1 i, j = 0,1, ...,k (11.15)

d j =(y,φ j

), j = 0,1, ...,k (11.16)

(k+1)× (k+1) matrica sistema, ΦΦΦ je ocigledno simetricna pošto je,

(φr,φs) = (φs,φr) , r,s = 0,1, ...,k

Tako je vektor traženih parametara b, rešenje linearnog sistema (11.14):

b = ΦΦΦ−1 ·d (11.17)


T (K) 190 200 210 220 230 240 250 260

p(bar) 1.347 2.174 3.340 4.921 7.002 9.675 13.02 17.12

Zadatak 11.4. Dati su podaci o naponu pare etana:Potrebno je metodom najmanjih kvadrata odrediti parametre u fomuli:

ln p = a+b/

T + c lnT

Rešenje:Ako uvedemo smenu y = lnp, x = T , rezultat je formula linearna po parame-

trima:

y(x) = a+b/

x+ c lnx

a funkcije uz parametre su:

φ0 (x) = 1, φ1 (x) = 1/

x, φ2 (x) = ln(x)

Da bi definisali matricu sistema normalnih jednacina i vektor slobodnih koe-ficijenata, potrebne su nam vrednosti funkcija φ j u svim tackama xi odnosno trivektora φφφ0, φφφ1 i φφφ2 kao i vektor vrednosti uvedene promenljive y = lnp u svimtackama xi:

φφφ0 =

11111111

, φφφ1 =

5.263 ·10−3

5 ·10−3

4.762 ·10−3

4.545 ·10−3

4.348 ·10−3

4.167 ·10−3

4 ·10−3

3.846 ·10−3

, φφφ2 =

5.2475.2985.3475.3945.4385.4815.5215.561

, y =

0.29790.77661.206

1.59351.94622.26952.56652.8402

U skladu sa jednacinama 11.12-11.16, pojedini elementi matrice sistema se

dobijaju kao razliciti skalarni proizvodi vektora φφφ0, φφφ1 i φφφ2:

ΦΦΦ=

φφφ0 ·φφφ0 φφφ1 ·φφφ0 φφφ2 ·φφφ0φφφ0 ·φφφ1 φφφ1 ·φφφ1 φφφ2 ·φφφ1φφφ0 ·φφφ2 φφφ1 ·φφφ2 φφφ2 ·φφφ2

=

8 0.03593 43.286940.03593 1.63095 ·10−4 0.19404

43.28694 0.19404 234.30403

a slobodni koeficijenti skalarnim množenjem vektora y vektorima φφφ0, φφφ1 i φφφ2redom.


d =

y ·φφφ0y ·φφφ1y ·φφφ2

=

13.496410.05754

73.70735

Rešenje formiranog sistema normalnih jednacina (13) daje tražene parametre

u empirijskoj formuli: abc

= ΦΦΦ−1 ·d =

13.838−1.934 ·103

−0.64

Izracunacemo i vektor apsolutnih i procentualnih odstupanja racunskih od

eksperimentalnih pritisaka: ei = pexpi − prac

i = pi − ea+b/Ti+c lnTi , δi = ei/pi ·100% i = 1,2, ...,n

prac =

1.3492.1713.3354.9217.01

9.68413.02417.103

, p =

1.3472.1743.344.9217.0029.67513.0217.12

, e =

−2 ·10−3

3 ·10−3

5 ·10−3

0−8 ·10−3

−9 ·10−3

−4 ·10−3

0.017

, δδδ =

−0.150.140.15

0−0.11−0.09−0.03

0.1

kao i srednje kvadratno odstupanje (11.10) dobijene formule:

s =∑n

i=1 e2i

n−3, s = 1.22 ·10−4

Ako uvedemo n× (k+1) matricu eksperimenta, X,

X = [φ j(xi)]n,k+1, i = 1,2, ...,n, j = 0,1, ...,k (11.18)

cija i- ta vrsta sadrži vrednosti redom svih funkcija φ j, j = 0, . . . ,k u eksperi-mentalnoj tacki xi, možemo izvesti kompaktniji postupak za generisanje sistemanormalnih jednacina, pogodan za realizaciju u Mathcad-u. Lako je pokazati dase matrica sistema normalnih jednacina i vektor slobodnih koeficijenata mogu iz-racunati iz matrice eksperimenta, kao:

ΦΦΦ = XTX, d = XTy (11.19)

gde je y vektor eksperimentalnih vrednosti.Zadatak 11.5. Dati su eksperimentalni podaci o naponu pare benzola (mmHg)

na razlicitim temperaturama (0C):


T -36.7 -19.6 -11.5 -2.6 7.6 15.4 26.1 42.2 60.6 80.1

p 1 5 10 20 40 60 100 200 400 760

Metodom najmanjih kvadrata odrediti parametre u Ridelovoj (Riedel) jedna-cini za napon pare:

log p = b0 +b1

T+b2 logT +b3T 2

Rešenje: (Prakt., XX-1)

Polinomska formulaU polinomskoj formuli k - tog stepena

f (x) =k

∑j=0

b jx j (11.20)

funkcije φ su:φ j (x) = x j

pa se elementi (k + 1)× (k + 1) matrice sistema normalnih jednacina i vektoraslobodnih koeficijenata dobijaju kao:

Φr,s = Φs,r =n∑

i=1xr+s

i

dr =n∑

i=1yixr

i r,s = 0,1, ...,k(11.21)

Na primer, sistem normalnih jednacina za kvadratnu formulu izgleda: n ∑xi ∑x2i

∑xi ∑x2i ∑x3

i∑x2

i ∑x3i ∑x4

i

b0b1b2

=

∑yi

∑xiyi

∑x2i yi

(11.22)

Pravolinijska formulaOvo je najjednostvanija polinomska zavisnost, 1. stepena:

f (x) = b0 +b1x (11.23)

Imamo:k = 1, φ0 (x) = 1, φ1 (x) = x

pa sistem normalnih jednacina izgleda:


[n ∑xi

∑xi ∑x2i

][b0b1

]=

[∑yi

∑xiyi

](11.24)

a njegovo rešenje:

b1 =

n∑i

xiyi−(

∑i

xi

)(∑i

yi

)n∑

ix2

i −(

∑i

xi

)2 , b0 =

∑i

yi−b1 ∑i

xi

n(11.25)

Zadatak 11.6. Za podatke iz Primera 1 definisati metodom najmanjih kva-drata empirijsku formulu oblika:a) polinoma 2. stepena: f (x) = a+bx+ cx2

b) eksponencijalne funkcije: f (x) = aebx

Uporediti tacnosti formula i proceniti konstantu brzine posmatrane hemijskereakcije, pod pretpostavkom da je ona prvog reda.

Rešenje: a) Racunamo sume neophodne za definisanje sistema normalnih jed-nacina (11.22):

sx =n

∑i=1

xi, sx2 =n

∑i=1

x2i , sx3 =

n

∑i=1

x3i , sx4 =

n

∑i=1

x4i

sy =n

∑i=1

yi, sxy =n

∑i=1

xi · yi, sx2y =n

∑i=1

x2i · yi

Sistem normalnih jednacina i izracunavanje parametara:

ΦΦΦ =

n sx sx2sx sx2 sx3sx2 sx3 sx4

=

7 154 4.088 ·103

154 4.088 ·103 1.20736 ·105

4.088 ·103 1.20736 ·105 3.79509 ·106

d =

sysxysx2y

=

399.77.6889 ·103

1.860543 ·105

a

bc

= ΦΦΦ−1 ·d =

100.79114−2.606620.02338

Zaokruživanje dobijenih vrednosti na 4 znacajne cifre: a

bc

=

100.8−2.6070.02338


Izracunavanje odstupanja i srednjeg kvadrata odstupanja:

yrac = f (x) =

83.69772.88363.23854.76247.45541.31736.348

, e = y−yrac =

3.38 ·10−3

0.017−0.038−0.0620.0450.083−0.048

s =

∑ni=1 e2

in−3

, s = 4.198 ·10−3

b) Smena promenljivih i izracunavanje parametara:

Y = ln(y)

B =n ·∑n

i=1 xi ·Yi−∑ni=1 xi ·∑n

i=1Yi

n ·∑ni=1 x 2

i − (∑ni=1 xi)

2 , A =∑n

i=1Yi−B ·∑ni=1 xi

n

Parametri u linearizovanoj formuli :[AB

]=

[4.6223−0.02802

)Parametri u originalnoj formuli ( vidi tabelu):

a = exp(A) , b = Ba = 101.7 b =−0.02802

Izracunavanje odstupanja i srednjeg kvadrata odstupanja:

yrac = f (x) =

83.58772.66

63.16154.90447.72741.48736.064

, e = y−yrac =

0.1130.24

0.039−0.204−0.227−0.0870.236

s =

∑ni=1 e2

in−2

, s = 0.046

Pošto je srednje kvadratno odstupanje za prvu formulu znatno manje od onogza drugu, prva (polinomska) formula bolje fituje eksperimentalne podatke. U ek-sponencijalnoj formuli, koeficijent - b ima znacenje konstante brzine hemijske re-akcije prvog reda. Dakle, za posmatranu reakciju približno 1. reda, za konstantubrzine smo dobili:


k = 0.028 min−1

Zadatak 11.7. Iz podataka u Zadatku 4, izracunati srednju vrednost latentnetoplote isparavanja etana u opsegu temperatura 200 - 250K.

Rešenje:Srednju latentnu toplotu isparavanja cemo dobiti kao vrednost parametra B u

empirijskoj formuli (Klauziusova jednacina za napon pare):

ln p = A− BT

koja fituje eksperimentalne podatke o naponu pare u zadatom opsegu temperatura.

T (K) 200 210 220 230 240 250

p(bar) 2.174 3.340 4.921 7.002 9.675 13.02

Da bi smo proverili primenljivost Klauziusove jednacine ucrtacemo tacke udijagram x− y, gde su nove promenljive y = ln p, x= 1/T . Pošto tacke približnoleže duž prave, formula je primenljiva.

Tako je:

x =

5

4.7624.5454.3484.167

4

·10−3, y =

0.7771.2061.5941.9462.27

2.566

Izracunavanje parametara u formuli:

B =n ·∑n

i=1 xi · yi−∑ni=1 xi ·∑n

i=1 yi

n ·∑ni=1 x 2

i − (∑ni=1 xi)

2 , A =∑n

i=1 yi−B ·∑ni=1 xi

n, B =−B

Parametri u formuli : [AB

]=

[9.712

1.786 ·103

]Srednja latentna toplota isparavanja etana:

R = 8.314 · Jmol ·K

, ∆hisp = B ·R, ∆hisp = 1.485 ·104 Jmol ·K

11.5 EMPIRIJSKA FORMULA SA VIŠE NEZAVISNO PROMENLJ... 303

11.5 EMPIRIJSKA FORMULA SA VISE NEZAVISNO PRO-MENLJIVIH, LINEARNA PO PARAMETRIMA

Formula sa m nezavisno promenljivih i (k+1) parametara,

f (x1,x2, ...xm) =k

∑j=0

b jφ j (x1,x2, ...xm) (11.26)

ili,

f (x) =k

∑j=0

b jφ j (x) (11.27)

ima isti oblik kao formula sa jednom nezavisnom promenljivom (11.11). Tako se(k+ 1)× (k+ 1) sistem normalnih jednacina formira pomocu jednacina (11.12-11.16), gde su:

(φr,φs) =n

∑i=1

φr (x1i, ...,xmi)φs (x1i, ...,xmi), r,s = 0,1, ...,k (11.28)

(y,φs) =n

∑i=1

yiφs (x1i, ...,xmi), s = 0,1, ...,k (11.29)

ili pomocu formula (11.19), gde n× (k+1) matrica eksperimenta:

X = [φ j(x1i, ...,xmi)]n,k+1 , i = 1,2...,n, j = 0,1, ...,k

kao kolone ima vektore vrednosti funkcija φ j (x), j = 0,. . . ,k u n eksperimentalnihtacaka (x1i, . . . ,xmi), i = 1, . . . ,n.

Zadatak 11.8. Tabela eksperimentalnih vrednosti 3 nezavisno promenljivevelicine i odgovarajucih vrednosti velicine y, koja od njih zavisi je:

x1 x2 x3 y

1 0.2 5 1.0

2 0.6 4.1 5.0

3 0.7 3.0 7.0

4 1.0 2.0 10.0

5 1.5 1.2 12.5

6 2.0 0.5 15.0


Potrebno je odrediti parametre u linearnoj empirijskoj fomuli:

y(x1,x2,x3) = ax1 +bx2 + cx3

Rešenje:Funkcije u empirijskoj formuli su:

φ0(x) = x1 , φ1(x) = x2 , φ2(x) = x3

pa su vektori vrednosti funkcija u eksperimentalnim tackama:

φφφ0 =

123456

, φφφ1 =

0.20.60.71

1.52

, φφφ2 =

5

4.132

1.20.5

Matrica i vektor slobodnih koeficijenata sistema normalnih jednacina dobijaju

se kao skalarni proizvodi:

Φi j = φφφTj ·φφφ i, di = yT ·φφφ i, i, j = 0,1,2

ΦΦΦ =

91 27 39.227 8.14 10.36

39.2 10.36 56.6

, d =

224.566.85

89

Traženi parametri: a

bc

= ΦΦΦ−1 ·d =

2.576−0.081−0.1972

Konacno, primetimo da linearnu po parametrima formulu (11.26) uvek mo-

žemo da zamenimo ekvivalentnom jednostavnom linearnom formulom:

f (x) =k

∑j=0

b jX j (11.30)

uvodenjem novih nezavisno-promenljivih X j , j = 0,1,. . . , k smenom:

X j = φ j (x1,x2...,xm) , j = 0,1, ...,k (11.31)

11.6 METOD NAJMANJIH KVADRATA U MATHCAD-u 305

Tabela 11.2: Eksperimentalne i racunske vrednosti zavisno promenljive i odstu-panja:

y yrac e

1 1.574 - 0.574

5 4.295 0.705

7 7.08 - 0.08

10 9.829 0.171

12.5 12.522 - 0.022

15 15.195 - 0.195

11.6 METOD NAJMANJIH KVADRATA U MATHCAD-u

11.6.1 Formule sa jednom nezavisno promenljivom, linearne po pa-rametrima

Za izracunavanje parametara u empirijskoj formuli linearnoj po parametrima(11.11), metodom najmanjih kvadrata, u Mathcad-u služi funkcija linfit sa argu-mentima, redom:

x− uredeni vektor eksperimentalnih vrednosti nezavisno promenljivey− odgovarajuci vektor eksperimentalnih vrednosti zavisno promenljiveΦ−vektor funkcija, Φ = [φ j(x)]k+1,1, j = 0,1, . . . ,kFunkcija vraca vektor vrednosti parametara: b j, j = 0,1,. . . ,kZadatak 11.9. Rešiti Zadatak 11.5, koristeci funkciju linfit.

Rešenje: Mathcad (Prakt., XX-3)

Odsecak i nagib u pravolinijskoj zavisnostiOdsecak i nagib u pravolinijskoj zavisnosti (11.23) mogu se dobiti, pomocu

funkcija intercept i slope sa argumentima x i y, redom, cije je znacenje isto kaokod funkcije linfit, ili, pomocu funkcije line, sa istim argumentima, koja vracavektor, ciji je prvi element odsecak, a drugi nagib.

Zadatak 11.10.a) Podatke iz prethodnog zadatka fitovati Klapeironovom jednacinom:

log p = b0 +b1

T


koristeci Mathcad funkcije intercept, slope i line.b) Izracunati parametre u formuli pomocu funkcije linfitc) Uporediti kvalitete fitovanja datih podataka Ridelovom (Zadaci 5 i 9) i Klapej-ronovom formulom

11.6.2 Formule sa jednom nezavisno promenljivom, nelinearne poparametrima

Ako formula nije linearna po parametrima, njeni parametri se dobijaju itera-tivnim postupkom (normalne jednacine (11.9), koje se rešavaju su nelinearne),pomocu funkcije genfit ciji su parametri redom:

x - uredeni vektor eksperimentalnih vrednosti nezavisno promenljivey - odgovarajuci vektor eksperimentalnih vrednosti zavisno promenljivebp - vektor polaznih procena za parametre b j, j = 0,1,. . . ,kF - vektor funkcija, ciji je prvi element empirijska formula, a preostalih (k+1)

elemenata su parcijalni izvodi formule po parametrima b0,b1, . . . ,bk, redomFunkcija vraca vektor izracunatih vrednosti parametara b j, j = 0,1,. . . ,kZadatak 11.11. a) Izracunati parametre u nelinearizovanoj Ridelovoj jedna-

cini za napon pare benzola,

p = 10b0+b1/T+b2 logT+b3T 2

iz podataka datih u Zadatku 5, koristeci funkciju genfit.b) Uporediti kvalitet fitovanja Ridelovih formula, dobijenih linearnom (Zadatak9) i nelinearnom MNKc) Ispitati efekat smanjivanja parametra TOL na kvalitet dobijene nelinearne for-mule.

11.6.3 Formule sa vise nezavisno promenljivih

Za izracunavanje parametara u empirijskoj formuli sa više nezavisno promen-ljivih, linearnoj ili nelinearnoj po parametrima, koristi se SOLVE BLOCK ukome se dobijaju vrednosti parametara b j, j = 0,1, . . . ,k, koji minimizuju funk-ciju S(b) (11.7), tako što se umesto funkcije Find, na analogan nacin pozivafunkcija Minerr koja približno "rešava"jednacinu:

S(b) = 0

tako što približno nalazi vektor b, koji daje najmanju mogucu vrednost funkcijeS(b). Da bi se lociralo željeno od više mogucih rešenja nelinearnog problema,


unutar SOLVE BLOCK-a se mogu, koristeci Bulove operatore, definisati i og-ranicenja u vezi sa vrednostima traženih parametara b j, j = 0,1, . . . ,k. Kaoi kod korišcenja funkcije Find, postoji mogucnost izbora jedne od tri ponudenenumericke metode (Pogl. 9.5).

Zadatak 11.12. Potrebno je na bazi eksperimentalnih vrednosti Rejnoldso-vog broja Re, Prandtlovog broja Pr i Nuseltovog broja Nu (Prakt., XXI-2) izracu-nati parametre u kriterijalnoj jednacini:

Nu = b0Reb1Prb2

a) Izracunati tražene parametre iz linearizovane kriterijalne jednacineb) Izracunati parametre nelinearnom MNK, pomocu SOLVE BLOCK-a sa funk-cijom Minerr i proveriti efekat promene numericke metode i vrednosti parametraTOL na kvalitet rešenja (vrednost funkcije S(b))c) Uporediti kvalitete fitovanja jednacina dobijenih linearnom i nelinearnom MNK

Rešenje: Mathcad (Prakt.,XXI-4)Alternativno, minimizacija funkcije S(b) može se izvesti pomocu funkcije Mi-

nimize, ciji su parametri, redom:F - funkcija koja se minimizuje, prethodno definisana (ovde S(b))x - polazna procena vektora vrednosti nezavisno promenljivih, x u kojima

funkcija F(x) ima minimum, ovde procena vektora bFunkcija vraca vektor izracunatih koordinata minimuma.Ako se žele postaviti ogranicenja na vrednosti parametara, funkcija se poziva

na kraju SOLVE BLOCK-a, u kome su, ispod Given formulisana ogranicenja.Kao i kod korišcenja funkcija Find i Minerr, na analogan nacin se može izabratijedna od više numerickih metoda

Zadatak 11.13. a) Naci parametre kriterijalne jednacine iz prethodnog za-datka, nelinearnom MNK, pomocu funkcije Minimize i proveriti efekat izboranumericke metode minimizacije i velicine parametra TOL.b) Uporediti rešenje sa onim dobijenim u prethodnom zadatku (b)

Rešenje: Mathcad (Prakt.,XXI-5)


ZADACI

11.1 Izvesti formulu za odredivanje parametra a u linearnoj empirijskoj for-muli

y = ax

iz eksperimentalni tacaka ( xi, yi , i = 1, n ), metodom najmanjih kvadrata (MNK):

a =

n∑

i=1xiyi

n∑

i=1x2

i

11.2 Date su, eksperimentalno odredene adsorbovane kolicine (m) NO2 nasilika gelu, pri razlicitim parcijalnim pritiscima (p) NO2 u vazduhu, na 250Ci1atm.

p(mmHg) : 0 2 4 6 8 10 12

m(

kg NO2100kg silika gela

)0 0.4 0.9 1.65 2.60 3.65 4.85

a) Metodom najmanjih kvadrata, za date podatke odrediti parametar k u jedno-stavnoj empirijskoj empririjskoj formuli:

m = kp

b) Linearnom MNK, za date podatke odrediti parametre m i k u Frojndlihovojizotermi,

m = kpn

c) Uporediti kvalitete fitovanja empirijskih formula dobijenih u a) i b)11.3 Reakcija izmedu etilen dibromida (A) i kalijum jodida (B) se odvija u

tecnoj fazi u prisustvu 99% metanola na 600C.

C2H4Br2 +3KI→C2H4 +2KBr+KI3A+3B→C+2D+E

Merene se koncentracije etilen dibromida CA u šaržnom reaktoru u funkcijivremena t. Pocetne koncentracije reaktanata su bile: CA0 = 0.02864 kmol/m3,CB0 = 0.1531 kmol/m3. Iz izmerenih koncentracija racunati su stepeni konverzijeetilen bromida XA ,


XA =C0

A−CA

C0A

i dobijene su sledece vrednosti.

Vreme, t (s) Konverzija, XA

0 0

29.7 0.2863

40.5 0.3630

47.7 0.4099

55.8 0.4572

62.1 0.4890

72.9 0.5396

83.7 0.5795

Teorijski izrazi za stepene konverzije u funkciji vremena, dobijeni integraci-jom kinetickog izraza, za razlicite pretpostavljene parcijalne redove posmatranereakcije su:

Parc. redovi i izraz za brzinu reakcije: Teorijska jednacina:

1 po A, 0 po B, (r = kCA) ln 11−XA

= kt

1 po A, 1 po B (r = kCACB)1

(M−3)C0A

ln 1−3 XAM

1−XA= kt, M =

C0B

C0A

a) Na osnovu eksperimentalnih podataka i grafickog kriterijuma odabrati parci-jalne redove reakcije, odnosno adekvatan izraz za brzinu reakcije.b) Za oba modela izracunati iz eksperimentalnih podataka konstantu brzine reak-cije k i potvrditi izbor u a) poredenjem kvaliteta fitovanja.

11.4 U ASTM postupku su merene temperature t do koje predestiliše zapre-minski udeo x neke nafte :

x : 0.1 0.5 0.95

t, 0C : 70 110 185

potrebno je iz eksperimentalnih podataka, linearnom MNK izracunati parametreu empirijskoj jednacini:


T = α [− ln(1− x)]β , gde je T =t− tp

tk− tp

tp - temperatura pocetka destilacijetk - temperatura kraja destilacije11.5 Dati su izmereni parcijalni pritisci p (atm) i odgovarajuce kolicine hek-

sana c(mol/g), adsorbovane po 1 g silika gela na normalnom pritisku i temperaturi700C. Potrebno je metodom najmanjih kvadrata odrediti parametre a i b u empi-rijskoj formuli (Langmirova izoterma):

c =ap

1+bp

p, atm 0.0020 0.0040 0.0080 0.0113 0.0156 0.0206

c×105, mol/g 10.5 16.0 27.2 34.6 43.0 47.3

a) Pokazati da se uvodenjem nove zavisno promenljive: y = p/c, polazna formulamože transformisati u ekvivalentnu, linearnu po parametrima.b) Odrediti tražene parametre lineranom MNK .

11.6 Polazeci od reakcione smeše koja sadrži samo reaktante A i B u koncen-tracijama, C0

A = C0B = 1.2 kmol

/m3, odredivane su kolicine dobijenog proizvoda

C po jedinici zapremine (x, kmol/m3) u povratnoj reakciji ,

A+Bk1k2

C (11.32)

i odgovarajuce brzine reakcije y (kmol/m3h) :

x: 0 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80

y: 2.16 1.79 1.44 0.84 0.38 0.00

a) Potrebno je proveriti pretpostavku da je zavisnost brzine posmatrane hem. re-akcije od kolicine dobijenog produkta:

y(x) = k1 (CA0− x)2− k2x (11.33)

(gde su k1 i k2 nepoznate konstante brzina direktne i suprotne reakcije), pogodnomsmenom promenljivih, koja zavisnost (11.33) prevodi u pravolinijsku.b) Polazeci od linearizovane formule Y (X), gde su X i Y nove promenljive, me-todom najmanjih kvadrata proceniti konstante k1 i k2 i izracunati odgovarajucisrednji kvadrat odstupanja racunskih i eksperimentalnih vrednosti brzine reakcije,y.


c) Odrediti konstante u (11.33) metodom najmanjih kvadrata, polazeci od origi-nalnih podataka (x,y) , uporediti srednji kvadrat odstupanja sa onim dobijenim ub) i obrazložiti njihov odnos.

11.7 Polazeci od reakcione smeše koja sadrži supstance A i B u koncentraci-jama, C0

A = 0.8kmol/

m3, C0B = 0.5 kmol

/m3, merene su koncentracije supstance

A (kmol/m3) u toku vremena t (min) izvodenja povratne reakcije,

Ak1k2

B

radi odredivanja konstanti brzine direktne i suprotne reakcijek1 i k2:

t: 0 1 2 3 5 10

CA: 0.8 0.60 0.543 0.527 0.520 0.520

Podaci pokazuju da je nakon 10 min postignuta reakciona ravnoteža (sastavreakcione smeše se više ne menja u toku vremena) i da je ravnotežna koncentracijasupstance A: Ce

A = 0.520kmol/

m3. Poznato je da su i direktna i suprotna reakcijaelementarne, tj. prvog reda, pa je brzina promene koncentracije supstance A datadiferencijalnom jednacinom:

−dCA

dt= k1CA− k2CB, CA(0) =C0

A

cijom integracijom se dobija sledeca jednacina koja opisuje promenu koncen-tracije reaktanta A u toku vremena :

ln(

CA−CeA

C0A−Ce

A

)=−(k1 + k2) t (11.34)

a) Polazeci od (11.32) i relacije za ravnotežnu konstantu K :

K =k1

k2=

C0B +C0

A−CeA

CeA

(11.35)

pomocu metode najmanjih kvadrata odrediti konstante k1( min−1 ) i k2( min−1 )b) Formulisati nelinearnu jednacinu cijim se rešavanjem, iz datih eksperimentalnhpodataka, metodom najmanjih kvadrata, izracunava parametar a = k1+k2 u funk-ciji CA(t) dobijenoj iz (11.32).c) Izracunati parametar a iz b) rešavanjem dobijene jednacine pomocu funkcijeroot.d) Izracunati parametar a iz b) pomocu funkcije genfit.

11.8 Podaci za reakciju ksilena sa bromom na 17 0C su dati u tabeli.Materijalni bilans šaržnog reaktora je:


dCBr2

dt=−kCn

Br2(11.36)

gde je CBr2koncentracija broma u mol/dm3, k je konstanta brzine i n je red reakcije.a) Odrediti dCBr2/dt u tabeli diferenciranjem kubnog splajna (sa funkcijom cspline)b) Odrediti k i n iz linearnom MNKc) Odrediti k i n nelinearnom MNK i uporedi kvalitet fitovanja sa onim koji jeostvaren linearnom MNK.

Vreme t Koncentracija Br2 Vreme t Koncentracija Br2(min) (mol/dm3) (min) (mol/dm3)

0 0.3335 19.60 0.1429

2.25 0.2965 27.00 0.1160

4.50 0.2660 30.00 0.1053

6.33 0.2450 38.00 0.0830

8.00 0.2250 41.00 0.0767

10.25 0.2050 45.00 0.0705

12.00 0.1910 47.00 0.0678

13.50 0.1794 57.00 0.0553

15.60 0.1632 63.00 0.0482

17.85 0.1500

11.9 Potrebno je podatke o specificnim toplotama

T (K) 110 120 130 140 150 160 170 180 190

cp 1.417 1.304 1.237 1.192 1.160 1.136 1.118 1.104 1.094

fitovati polinomom stepena m > 2, koristeci funkciju linfita) Odrediti koeficijente u polinomu 3. stepena, P3(T ).b) Odabrati optimalan stepen polinoma m iz uslova da je za taj polinom srednjekvadratno odstupanje empirijske formule od eksperimentalnih podataka:

s =

n∑

i=1e2

i

n− (m+1)=

n∑

i=1[yi−Pm (xi)]

2

n− (m+1)


minimalnoc) Ponoviti b) koristeci funkcije regress i interp

11.10 Dati su naponi para nonana:

t, 0C p, mmHg t, 0C p, mmHg

40 10.51 100 157.76

50 18.06 110 223.88

60 29.77 120 310.87

70 47.29 130 423.19

80 72.71 140 565.80

90 108.53 150 744.06

Potrebno je date podatke fitovati Antoanovom jednacinom za napon pare:

ln p = A− BC+T

, T u stepenima K

a) Pokazati da se Antoanova jednacina može prevesti u ekvivalentan oblik, linea-ran po parametrima:

ln p = a+bT+ c

ln pT

gde je:

a = A, b = AC−B, c =−C

(Pomoc: pomnožiti polaznu jednacinu sa (C+T)...)b) Koristeci linearnu multivarijabilnu (više nezavisno promenljivih) MNK iz datihpodataka odrediti parametre A, B i C rešavanjem odgovarajuceg sistema normalnihjednacina.c) Linearnom multivarijabilnom MNK odrediti parametre A, B i C , koristeci funk-ciju minerr.d) Koristeci funkciju genfit, polazeci od vrednosti parametra dobijenih u b) i c),odrediti popravljene vrednosti parametara.

11.11 Potrebno je napone para nonana (prethodni problem) fitovati Harlahe-rovom jednacinom za napon pare koja je implicitna po p:

ln p = A+BT+C ln(T )+D

pT 2 , T u stepenima K .


a) Koristeci pogodnu smenu zavisno promenljive, izracunati linearnom jednova-rijabilnom MNK parametre A, B i C, ako se za parametar D uzme vrednost izliterature, D = 8.69.b) Izracunati sva cetiri parametra linearnom multivarijabilnom MNK rešavanjemodgovarajuceg sistema normalnih jednacina.c) Odrediti parametre linearnom multivarijabilnom MNK koristeci funkciju minerr.d) Polazeci od rezultata dobijenih u b) i c) odrediti tražene parametre pomocunelinearne multivarijabilne MNK.e) Uporediti srednje kvadratna odstupanja formula dobijenih u a), c) i d)

11.12 Merena je pocetna brzina reakcije (-rA) za reakciju u gasnoj fazi:

PA (torr) PB (torr) -rA (torr/s)

6 20 0.420

8 20 0.647

10 20 0.895

12 20 1.188

16 20 1.811

10 10 0.639

10 20 0.895

10 40 1.265

10 60 1.550

10 100 2.021

Odrediti parametre u empirijskoj formuli:

−rA = k PaAPβ

B

Literatura

[1] Constantinides A., Applied Numerical Methods With Personal Computers,New York, McGraw-Hill, 1987

[2] Carnahan B., H.A. Luther and James O. Wilkes. Applied Numerical Methods,New York , J. Wiley and Sons, 1969

[3] Lapidus L., Digital Computing for Chemical Engineers, New York, McGraw-Hill, 1962

[4] Pejovic.P, Numericka Analiza I,II deo, Fakultet Organizacionih Nauka, Beo-grad 1994

[5] Herceg D., N.Krejic, Numericka Analiza, Prirodno-matematicki fakultet, Uni-verzitet Novi Sad, 1997

Indeks

apsolutna greška, 15apsolutni uslovni brojevi, 44

bazni vektor, 120Bensonova formula, 31broj

nezavisnih reakcija, 126sigurne cifre, 13znacajne cifre, 12

broj sa decimalnom tackomfiksiranom , 11pokretnom , 11

broj sigurnih cifaraširem smislu, 14užem smislu, 14, 15

broj stepeni slobode, 134, 295brzina konvergencije, 181

Dekartova teorema, 195determinanta trougaone matrice, 110diskretizacija, 271dupla preciznost, 37

empirijska formula, 285dvoparametarska, 290lunearna po parametrima, 295

fitovanje, 285formula

linearna, 303polinomska, 299pravolinijska, 299

Furieova, 277

Gaus-Žordanov eliminacioni metod, 137Gaus-Zajedelova metoda, 215Gausov eliminacioni metod, 136genfit, 306granicni uslov

Dirihleovi, 270Nojmanovi, 270Robinovi, 270

granicaapsolutne greške, 10apsolutne greške funkcije, 16relativne greške, 10

greškafunkcije, 16globalna, 235interpolacije, 53, 58lokalna, 234modela, 9numericke metode, 9oduzimanja, 40parametara, 9približnog broja, 10prvog izvoda, 75racunanja, 9racunskih operacija, 38redukovanog preslikavanja, 37relativna, 10

greške, 7greške funkcije

INDEKS 317

linearna procena, 17

homogen sistem, 136

intercept, 305interpolacija, 50

inverzna, 68LIP, 68NJIP, 69

kubna, 64kvadratna, 63splajn, 67

Inverzna matrica, 110iteraciona formula, 173iteraciona funkcija, 173iteracioni niz

izlazni kriterijum, 175iteracioni proces, 173

red i brzina, 176

Jakobijan, 210

kanonicna baza, 120karakteristicna jednacna, 160karakteristicni polinom, 160

koreni, 160kinearna transformacija, 157Klapejron, 286Klauzius, 302kolinearni vektori, 119konacne razlike

unapred, 55korektor, 243, 245Krank-Nikolson, 275kriterijum stabilnosti, 44Kroneker-Kapelijeva teorema, 129kubni splajn, 67

l-norma, 211Laplasova, 277, 282line, 305LU fakktorizacija, 139

mašinska greška, 39mašinski brojevi, 33mantisa, 35Mathcad

linearna algebra, 143numericko diferenciranje, 80odesolve, 247Rkadapt, 248rkfixed, 248root, 198sistem nelinearnih jednacina, 218Solve Block, 143, 198svojstvene vrednosti, 167

matricadijagonalna, 110donja trougaona, 109gornja trougaona, 109inverzna, 138Jakobijeva, 210jedinicna, 110karakteristicna, 160kvadratna, 109linearne transformacije, 157nulta, 109ortogonalna, 111simetrcna, 296simetricna, 110singularna, 111stehiometrijska, 125stehiometrijskih koeficijenata, 125svojstvene vrednosti, 157, 159svojstveni vektori, 159transponovanje, 110

matriceelementarne, 113

metod najmanjih kvadrata, 294Mathcad, 305

metod probe i greškeDirihleov problem, 249Nojmanov problem, 251Robinov problem, 251

318 INDEKS

metod prostih iteracija, 179metod tengente, 185

iteraciona formula, 185metoda linija, 277metoda sekante, 187

iteraciona formula, 188metoda srednjeg nagiba, 275Milne, 245monotona konvergencija, 174

nagib, 305nelinearne jednacine

koren, 171realno rešenje, 172

Njutn-Kotesove formule, 88Njutn-Rfasonova metoda, 216normalizovani eksponencijalni oblik, 12normalne jednacine, 295, 296nule polinoma, 195numericka integracija, 87numericko diferenciranje, 73, 74numerocka metoda

red, 234stabilnost, 235

obicna diferencijalna jednacina, 225ODJ

granicni uslovi, 227implicitne, 242linearna metoda konacnih razlika, 264metoda superpozicije, 257pocetni problem, 227prevodenje u sistem I reda, 229sistem, 227sistem prvog reda, 227, 245

odsecak, 305Ojler

eksplicitna metoda, 272Ojlerova metoda, 230

srednje tacke, 239srednjeg nagiba, 240

oscilatorna konvergencija, 174

PDJ, 267elipticne, 277klasifikacija, 268numericko rešenje, 269parabolicne, 270partikularno rešenje, 267

Peng - Robinson, 29polinom

drugi Njutnov, 59izbor, 60Lagranžov, 51prvi Njutnov, 58

prediktor, 242, 245približan broj, 10prikazivanje brojeva, 11princip

majorizacije, 17minorizacije, 27

procenadrugi izvod, 57prvi izvod, 56

procena greškeobrnut problem, 25

procesnestabilan, 43stabilan, 43

propagacija grešaka, 39prostiranje grešaka, 39prvi izvod

formule, 76

racunski procespropagacija greške, 237stabilnost, 238

rang, 112Gausov algoritam, 115

redukovano preslikavanje, 34relativna greška, 15

približnog broja, 10

INDEKS 319

relativni uslovni brojevi, 44Runge Kuta, 241

sigurne cifre broja, 13sistem linearnih jednacina

Jakobijeva metoda, 213sistem nelinearnih jednacina, 209

Jakbijeva metoda, 211sistemi linearnih jednacina

egziztencija rešenja, 129slope, 305spektar matrice, 160srednje kvadratno odstupanje, 295stabilni racunski procesi, 23startni cvor, 58suma kvadrata odstupanja, 294svojstveni vektori

linearno nezavisni, 161

tacka nagomilavanja, 174tacnost rezultata, 23teoreme linearne algebre, 109Tomasov algoritam, 139trodijagonalan sistem, 139trodijagonalan SLJ, 275

Vegštajnov metod, 189iteraciona formula, 189konvergencija, 190polazna procena, 190

Vegštajnova metoda, 216vektor, 118

bazni, 120linearna zavisnost, 118

vektorski prostor, 120

znacajne cifre, 12

Hemijsko inzenjerski proracuni u Mathcad-uR. Omorjan, R. Paunovic

Mathcad 2001 Professional

Literatura

XXI - Metod najmanjih kvadrata II.Empirijske formule sa više nezavisnih promenljivih

XX - Metod najmanjih kvadrata - I. Empirijske formule sa jednom nezavisnom promenljivom

XIX - Elipticne linarne parcijalne diferencijalne j ednacine

XVIII - Parabolicne linarne parcijalne diferencijal ne jednacine - II.Metod linija

XVII - Parabolicne linarne parcijalne diferencijaln e jednacine - I. Eksplicitni i implicitni metod

XVI - Granicni (konturni) problem za diferencijalnu jednacinu drugog reda - II. Problem singularnosti na granici. Linerna DJ

XV - Granicni (konturni) problem za diferencijalnu jednacinu drugog reda - I.

XIV - Sistemi diferencijalnih jednacina prvog reda i pocetni problem za diferencijalnu jednacinu m-tog reda

XIII - Obicna diferencijalna jednacina prvog reda

XII - Sistemi nelinearnih algebarskih jednacina - II. Primena SOLVE BLOCK-a

XI - Sistemi nelinearnih algebarskih jednacina - I. Metod prostih iteracija, Wegstein-ov i Newton-Raphson metod, SOLVE BLOCK

X - Koreni (nule) polinoma

IX - Nelinearne jednacine, metod sekante, metod tangente, funkcija root

VIII - Nelinearne jednacine, Metod prostih iteracija, Wegstein-ov metod

VII - Karakteristicne vrednosti i karakteristicni v ektori matrice

VI - Matricne operacije i sistemi linearnih jednacina

V - Elementarne transformacije matrice. Rang matrice

IV - Numericka integracija. Primena kubnog splajna

III - Numericko diferenciranje u tabeli. Primena ku bnog splajna

II - Njutnov interpolacioni polinom sa konacnim razlikama unapred

I - Interpolacija Lag ranzovim polinomom

Predgovor

Sadrzaj

S - 1

I - Interpolacija Lagranzovim polinomomORIGIN 0=_____________________________________________________________________

Problem: Iz date tabele x,y proceniti vrednost y za x = 0.2

Unos tabele:

x

0

0.1

0.3

0.5

:= y

0.5−0

0.2

1

:=

_____________________________________________________________________

Definicija Lagranzovog polinoma

yL x y, xL,( )

0

last x( )

j

0

last x( )

i

if i j≠ xL xi−( ), 1, ∏=

0

last x( )

i

if i j≠ xj xi−( ), 1, ∏=

yj⋅∑=

:=

Za xr 0.2:= yL x y, xr,( ) 0.15=

xL 0 0.05, 0.5..:=

0 0.2 0.4

0.5

0

0.5

1

0.15y

yL x y, xL,( )

0.2

x xL,

1

===============================================================

Vezba: Varirati m i nx

40 20 0 20 40

0.5

10.769x

yLnx y x, nx, m, yL,( )0

y yL,

yL 30− 29−, 25..:=

yLnx y x, nx, m, yr,( ) 0.769=yr 0:=

Trazimo ono x za koje je y = 0 pa nezavisna (x) i zavisna (y) zamenjuju uloge.

nx 2:=Startna tacka:

m 2:=Stepen polinoma:


nx

nx m+

j

nx

nx m+

i

if i j≠ xL xi−( ), 1, ∏=

nx

nx m+

i

if i j≠ xj xi−( ), 1, ∏=

yj⋅∑=

:=

Funkcija za interpolaciju pomocu Lagranzovog polinoma m-tog stepena ( m n≤ ), sa startnom tackom nx ( 0 nx≤ n m−≤ )

______________________________________________________________________

y

24.5−15.34−6.25−

2.75

11.67

20.5

:=x

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

:=

Problem: Proceniti nulu tabelarno zadate funkcije y(x)

______________________________________________________________________

Inverzna interpolacija

2

===============================================================

Zadatak: Dati su eksperimentalni podaci koncentracije penicilina Cp u uzorku u funkciji vremena t

vreme Koncentracija penicilina

t

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

:= Cp

0

106

1600

3000

5810

8600

9430

10950

10280

9620

9400

:=

a) Nacrtati grafik sa eksperimentalnim tackama i interpolacionom krivom koristeci prethodno definisan Lagranzov polinom yL(x,y,xL). Uociti ponasanje interpolacijone krive i greske interpolacije

b) Odrediti koncentraciju penicilina Cp za vreme t = 30,170 koristeci Lagranzov polinom (funkcija yL) i Lagranžov polinom sa pogodno izabranim starnim tackama nx i stepenima polinoma m (funkcija yLnx)

c) Za koje vreme t ce se ostvariti koncentracija penicilina Cp=10000?===============================================================

3

Ai 3, Ai 1+ 2, Ai 2,−:=i 0 n 3−..:= Ai 4, Ai 1+ 3, Ai 3,−:=i 0 n 4−..:= Ai 5, Ai 1+ 4, Ai 4,−:=

A

0

50

100

150

200

5.485

4.403

3.414

2.518

1.717

1.082−0.989−0.896−0.801−

0

0.093

0.093

0.095

0

0

2.22− 10 15−×2 10 3−×

0

0

0

2 10 3−×0

0

0

0

=

Posto su konacne razlike drugog reda (kolona A 3⟨ ⟩ ) priblizno konstantne koristimo kvadratnu interpolaciju:

xr 175:=Biramo startnu tacku nx 2:=

c AT( ) nx⟨ ⟩

:= α xr xnx−( )h

:= yr c1 α c2⋅+ α α 1−( )⋅2

c3⋅+:= yr 2.106=

Greska interpolacije:

Rα α 1−( )⋅ α 2−( )

3! A1 4,⋅:= R 1.25 10 4−×=

Programsko generisanje tabele - matrice konacnih razlika unapred:

II - Njutnovi interpolacioni polinom sa konacnim razlikama

ORIGIN 0=_______________________________________________________________________

Problem: U zadatoj tabeli proceniti vrednost y za x = 175 i gresku procene

h 50:=y

5.485

4.403

3.414

2.518

1.717

:= n last y( ):= x0 0:= i 1 n..:= xi x0 i h⋅+:= x

0

50

100

150

200

=

_______________________________________________________________________

Formiranje tabele konaènih razlika unapred

A 0⟨ ⟩ x:= A 1⟨ ⟩ y:=i 0 n 1−..:= Ai 2, Ai 1+ 1, Ai 1,−:=i 0 n 2−..:=

II - 1

delta x0 h, y,( ) x0 x0←n last y( )←

xi x0 i h⋅+←i 1 n..∈for

A 0⟨ ⟩ x←A 1⟨ ⟩ y←

Ai j 1+, Ai 1+ j, Ai j,−←i 0 n j−..∈for

j 1 n..∈for

Areturn

:=

A delta x0 h, y,( ):= A

0

50

100

150

200

5.485

4.403

3.414

2.518

1.717

1.082−0.989−0.896−0.801−

0

0.093

0.093

0.095

0

0

2.22− 10 15−×2 10 3−×

0

0

0

2 10 3−×0

0

0

0

=

Funkcija za interpolaciju Njutnovim interpolacionim sa konacnim razlikama unapred polinomom stepena m, m n< sa startnom tackom nx, 0 nx≤ n m−≤

Nintpol_1 A h, nx, m, xr,( ) c AT( ) nx⟨ ⟩

←yr c1←z 1←

αxr A 0⟨ ⟩( )

nx−h

←

z zα j− 1+

j⋅←

yr yr cj 1+ z⋅+←

j 1 m..∈for

R zα m−( )m 1+⋅ max A m 2+⟨ ⟩→ ⋅← m rows A( ) 1−<if

R "R nije definisano"← otherwise

yr

R

return

:=

II - 2

Nintpol_2 A h, nx, m, xr,( ) c AT( ) nx⟨ ⟩

←yr c1←z 1←

αxr A 0⟨ ⟩( )

nx−h

←

:=

A

0

50

100

150

200

5.485

4.403

3.414

2.518

1.717

0

1.082−0.989−0.896−0.801−

0

0

0.093

0.093

0.095

0

0

0

2.22− 10 15−×2 10 3−×

0

0

0

0

2 10 3−×

=A nabla xlast x( ) h, y,( ):=

nabla xn h, y,( ) xn xn←n last y( )←xn xn←

xn i− xn i h⋅−←i 1 n 1−..∈for

A 0⟨ ⟩ x←A 1⟨ ⟩ y←

Ai j 1+, Ai j, Ai 1− j,−←i j n..∈for

j 1 n..∈for

Areturn

:=

Kako je u ovom primeru interpolisanje vrseno pri kraju tabele, prednost bi imao Njutnov interpolacioni polinom sa konacnim razlikama unazad. Formiramo funkciju za odredjivanje tabele konacnih razlika unazad

R 1.25 10 4−×=R rez11:=yr 2.106=yr rez10:=rez1

2.106

1.25 10 4−×

=rez1 Nintpol_1 A h, nx, m, xr,( ):=

h 50=Korak

xr 175=Funkcija u tacki

nx 2:=Startna tacka

m 2:=Polinom m-tog reda

* Komentar - Primetiti da izbor za m = n (maksimalan stepen polinoma) R nije definisano

II - 3

Kako je vrednost za x pri vrhu tabele koristimo Nintpol_1

xr 80:=

A

20

60

100

140

180

477

308

212

149

104

169−96−63−45−0

73

33

18

0

0

40−15−0

0

0

25

0

0

0

0

=A delta x0 h, y,( ):=

x

20

60

100

140

180

=xi xi 1− h+:=i 1 4..:=h 40:=x0 20:=n last y( ):=y

477

308

212

149

104

:=

Date su eksperimentalne vrednosti viskoziteta y u zavisnosti od niza ekvidistantnih temperatura x. Potrebno je proceniti y za x = 80 izborom stepena polinoma i startne tacke tako da greska interpolacije bude najmanja.

Primer - Uticaj izbora startne taèke i stepena polinoma na rezultat

_______________________________________________________________________

Vezba: Ponoviti proracun sa menjajuci m i nx, Sta se primecuje? Objasniti zapazanja.

R 1.25 10 4−×=R rez21:=yr 2.106=yr rez20:=rez2

2.106

1.25 10 4−×

=rez2 Nintpol_2 A h, nx, m, xr,( ):=

h 50=Korak

xr 175=Funkcija u taèki

Obratite paznju na startnu tackunx 4:=Startna tacka

m 2:=Polinom m-tog reda

z zα j+ 1−

j⋅←

yr yr cj 1+ z⋅+←

j 1 m..∈for

R zα m+( )m 1+⋅ max A m 2+⟨ ⟩→ ⋅← m rows A( ) 1−<if

R "R nije definisano"← otherwise

yr

R

return

II - 4

Nintpol_1 A h, 1, 1, xr,( )260

9.125

= Nintpol_1 A h, 0, 2, xr,( )

250.875

2.5

=

Nintpol_1 A h, 1, 2, xr,( )255.875

2.5

= Nintpol_1 A h, 0, 3, xr,( )

253.375

0.586

=

Najmanju gresku R daje sledeca kombinacija

m 3:=nx 0:=

Nintpol_1 A h, nx, m, xr,( )253.375

0.586

=

================================================================

Zadatak: Dati su eksperimentalni podaci koncentracije penicilina Cp u uzorku u funkciji vremena t (Lekcija I).

Odrediti koncentraciju penicilina Cp za vreme t = 30 koristeci Njutnov polinom (funkcija Nintpol) tako da greska interpolacije bude najmanja.

================================================================

II - 5

izvod3 nx index, h, y,( ) d 3− ynx 0+⋅ 4 ynx 1+⋅+ ynx 2+−← index 0=if

d ynx 0+− ynx 2++← index 1=if

d ynx 0+ 4 ynx 1+⋅− 3 ynx 2+⋅+← otherwise

dd

2 h⋅←

dreturn

:=

Funkcija za priblizno izracunavanje izvoda u 0., 1. ili 2. cvoru pomocu Njutnovog interp. polinoma 2. reda (kroz date cvorove), pri cemu je 0. cvor tacka sa indeksom nx u tabeli x-y , sa korakom h

1.

320 340 360 380 4000.75

0.8

0.85

0.9

z

T

T

340

350

360

370

380

=Ti T0 i h⋅+:=i 0 n..:=T0 340:=n last z( ):=z

0.79659

0.82117

0.84077

0.85695

0.87061

:=

h 10:=

Podaci

___________________________________________________________________

Problem: Dati su faktori stisljivosti, z pare izobutana za 5 ekvidistantnih temperatura, T pri pritisku p = 10 bar.

Proceniti T

zd

d , za T = 340,360

Koristeci formule za numericke izvode u tri susedna ekvidistantna cvora 1.bazirane na Njutnovom interpolacionom polinomu drugog redaDiferenciranjem Lagranzovog interpolacionog polinoma za datu tabelu pomocu 2.Mathcad operatora za numericko diferenciranje funkcije iz Calculus alata.Numerickim diferenciranjem interpolacione funkcije u obliku kubnog splajna, za 3.datu tabeluDiskutovati rezultate 4.

___________________________________________________________________

ORIGIN 0=

III - Numericko diferenciranje u tabeli. Primena kubnog splajna

III-1

330 340 350 360 370 380 3900.75

0.8

0.85

0.9

yLnx T z, 0, m, x,( )

yLnx T z, 1, m, x,( )

yLnx T z, 2, m, x,( )

z

x x, x, T,

x 330 332, 390..:=U grafik su ucrtani polinomi sa startnim tackama 0,1 i 2 date tabele

m 2:=Biramo kvadratni polinom


nx

nx m+

j

nx

nx m+

i

if i j≠ xL xi−( ), 1, ∏=

nx

nx m+

i

if i j≠ xj xi−( ), 1, ∏=

yj⋅∑=

:=

Lagranzov interpolacioni polinom (Lekcija I)2.

dz1360 1.789 103−×=dz1340 2.707 10

3−×=

dz1360 dz2:=dz1340 dz0:=Izvodi u zadatim tackama

dz

2.707 103−×

2.209 103−×

1.789 103−×

1.492 103−×

1.24 103−×

=

dz4 izvod3 2 2, h, z,( ):=dz3 izvod3 2 1, h, z,( ):=dz2 izvod3 1 1, h, z,( ):=dz1 izvod3 0 1, h, z,( ):=dz0 izvod3 0 0, h, z,( ):=h 10:=

Racunanje izvoda u svim tackama tabele pomoæu funkcije izvod3, vodeci racuna da je greska numerickog diferenciranja najmanja u srednjem od tri cvora (index=1).

*Komentar - Argument index (0,1,2) sluzi za izbor cvora

III-2

4.

dz3360 dz2:=dz3340 dz0:=Izvodi u zadatim tackama:

dz

2.725 103−×

2.191 103−×

1.764 103−×

1.485 103−×

1.247 103−×

=dzT

fz T( )d

d

→

:=

Izvodi u svim tackama tabele:

Uociti da je interpolaciona funkcija glatka (neprekidan prvi izvod) iako nije definisana jedinstvenom formulom

Vezba: Prikazati i lspline i cspline.

320 340 360 380 4000.75

0.8

0.85

0.9

fz x( )

z

x T,

x 330 335, 390..:=

Definisanje funkcije za interpolaciju u datoj tabeli pomoæu kubnog splajna

fz x( ) interp koef T, z, x,( ):=

Racunanje koeficijenata kubnog splajnakoef pspline T z,( ):=

Savremen numericki metod koji se bazira na kubnom splajn-interpolacionom polinomu realizuje se u Mathcad-u kombinacijom jedne od ugraðenih funkcija kubnog splajna lspline, psline ili cspline sa funkcijom interp. Navedene funkcije se razlikuju jer se baziraju na razlièitim graniènim uslovima (u prvoj i poslednjoj tacki tabele). Ovde cemo koristiti pspline

3.

dz2360 1.789 103−×=dz2340 2.707 10

3−×=Izvodi u zadatim tackama

dz2360x

yLnx T z, 1, m, x,( )d

d:=

x 360:=

Racunanje izvoda primenom operatora diferenciranja na interpolacionu funkciju

dz2340x

yLnx T z, 0, m, x,( )d

d:=

Zadavanje vrednosti nezavisno promenljivex 340:=

Racunanje izvoda numerickim diferenciranjem interpolacione funkcije

III-3

4. dz1340 2.707 10

3−×= dz1360 1.789 103−×=

Obraloziti podudarnost rezultata ! dz2340 2.707 10

3−×= dz2360 1.789 103−×=

dz3340 2.725 103−×= dz3360 1.764 10

3−×=

Vezba: Promeniti izbor splajn funkcije

============================================================

III-4

Unos vrednosti viskoziteta za 5 ekvidistantnih temperatura

cp T( ) 0.53 6.5 104−⋅ T

R459.69−

⋅+

BTU

lb R⋅:= *Komentar - Izraz u srednjim zagradama je bezdimenzion pa se temperatura T uneta u Rankinima formalno deli sa R

λ 0.153BTU

hr ft⋅ R⋅:=D 0.085ft:=F 45000lb

hr:=

Ts 250 459.69+( )R:=Tiz 200 459.69+( )R:=

* Komentar - uz vrednost temperatura uneta je i jedinica R - stepeni Rankina

Tul 100 459.69+( )R:=Podaci

_______________________________________________________________________

LF

π D⋅Tul

Tiz

Tcp

α Ts T−( )⋅⌠⌡

d⋅=

Integracijom energetskog bilansa etilen glikola za element cevi izmenjivaca dL izvodi se za potrebnu dužinu cevi L

Date su vrednosti viskoziteta etilen glikola za 5 temperatura sa korakom 25 F pocev od Tul

cp T( ) 0.53 6.5 104−⋅ T⋅+=

Specificna toplota etilen glikola cp (BTU/lb F) menja se sa temperaturom T (F) po jednacini

α 0.023λD

4F

πD µ⋅

0.8

⋅ µ cp⋅λ

0.4

⋅=

Problem: U toplotnom izmenjivacu tipa cev u cevi se zagreva F = 45000 lb/hr tecnog etilen glikola od Tul = 100 F do Tiz = 200 F. Grejni fluid je zasicena para temperature Ts = 250F. Odrediti potrebnu duzinu cevi izmenjivaca precnika D = 0.085 ft. Pretpostaviti da je celokupan otpor prenosu toplote skoncentrisan u granicnom sloju etilen glikola. Za koeficijent prelaza toplote sa strane etilen glikola vazi jednacina:

_______________________________________________________________________

ORIGIN 0=IV - Numericka integracija. Primena kubnog splajna

L 28.013 m=LF

π D⋅ Tul

Tiz

xf x( )⌠⌡ d:=

Racunanje odredjenog integrala funkcije f primenom operatora odredjenog integrala izborom iz Calculus alata

f x( ) interp koef T, f, x,( ):=koef cspline T f,( ):=Formiranje kubnog splajna koji aproksimira podintegralnu funkciju (Lekcija - III)

Integracija pomocu kubnog splajna

Vezba: Koliko je L u ft?

L 28.013 m=LF

π D⋅ Integ h f,( )⋅:=

*Komentar - Brojna vrednost rezultata bez jedinica dobijena je deljenjem sa njegovim jedinicama (funkcija UnitsOf)

Integ h f,( )

UnitsOf Integ h f,( )( )0.402=

Integ h y,( )h

3y0 ylast y( )+ 4

0

last y( ) 2−

2

i

y2 i⋅ 1+∑=+ 2

1

last y( ) 2−

2

i

y2 i⋅∑=⋅+

⋅:=

Funkcija Integ koja realizuje Simpsonovu formulu:

fcp T( )

α Ts T−( )⋅→

:=

Vrednosti podintegralne funkcije:

α 0.023λ⋅D

4F

π D⋅ µ⋅⋅

0.8⋅ µ cp T( )⋅

λ

0.4

⋅

→:= Izracunavanje koeficijenta

prelaza za svaku od 5 ekvidistantnih temperatura

T

559.69

584.69

609.69

634.69

659.69

R=Ti T0 i h⋅+:=i 0 4..:=T0 Tul:=h 25R:=n 4:=µ

30.4

19.2

12.4

8.21

5.57

lb

ft hr⋅⋅:=

Richardson-ova ekstrapolacija_______________________________________________________________________

Problem: Potrebno je pomocu Simpsonove formule uz Richardson-ovu

ekstrapolaciju izracunati vrednost integrala

0

1

x1

1 x+⌠⌡

d sa granicom apsolutne

greske ε 0.5 107−⋅:= _______________________________________________________________________

Podintegralna funkcija :f x( )1

1 x+:= Granice integracije a 0:= b 1:=

Tacna vrednost integrala:

0

1

x1

1 x+⌠⌡

d ln 2( )→

Priblizna vrednost sa 7 tacnih decimala: ln 2( ) 0.6931472=

Funkcija za integraciju definisane funkcije f(x) u granicama od a do b Simpsonovom formulom

Integ f a, b, n,( )b a−n 3⋅ f a( ) f b( )+ 4

0

n 2−

2

i

f a 2 i⋅ 1+( )b a−

n⋅+

∑=+

2

1

n 2−

2

i

f a 2 i⋅ b a−n

⋅+∑=⋅+

...

⋅=

Formula se ne moze primeniti za vrednost n = 2 jer tada druga suma nema smisla. Medjutim, Mathcad prihvata i sume sa nizom gornjom granicom indeksa od donje. Na

primer

2

0

i

i∑= 3= . Tako je neophodno je modifikovati funkciju Integ koristeæi if

funkciju

Integ f a, b, n,( )b a−n 3⋅ f a( ) f b( )+ 4

0

n 2−

2

i

f a 2 i⋅ 1+( )b a−

n⋅+

∑=+

if n 2= 0, 2

1

n 2−

2

i

f a 2 i⋅ b a−n

⋅+∑=⋅,

+

...

⋅:=

===============================================================Vezba: Resiti problem upotrebom funkcije Simpson

Simpson Integ f, a, b, n, emax, nmax,( ) Ip Integ f a, b, n,( )←ε Ip←i 0←

break i nmax=if

n n 2⋅←I Integ f a, b, n,( )←ε I Ip−

15←

Ip I←i i 1+←

ε emax>while

I I ε+←i 1−

I

return

:=Funkcija Simpson za integraciju sa zadatom granicom apsolutne greske i maksimalnim brojem iteracija:

a

b

x1

1 x+⌠⌡

d 0.6931472=Mathcad se dati sledeci rezultat:

I3 0.6931472=Posto je abs(E2)<ε, dovoljne su 3 iteracije koje daju rezultat:

E

0

7.937− 105−×

6.629− 106−×

4.585− 107−×

2.95− 108−×

=I

0.6944444

0.6931746

0.6931479

0.6931472

0.6931472

=Vrednosti integrala i greške :

Korekcija integrala sa procenjenom greskomIi Ii Ei+:=Procena greske poslednje vrednosti integrala, Richardson-ovom ekstrapolacijom

EiIi Ii 1−−

15:=

Ii Integ f a, b, ni,( ):=ni 2 ni 1−⋅:=i 1 imax..:=Iteracije:

I0 0.694=I0 Integ f a, b, n0,( ):=n0 np:=Startne vrednosti za iterativni postupak koji æe se ponavljati imax 4:= puta

np 2:=Pocetan broj intervala

Funkcije Gaus i Gaus1 za dodavanje vrste i1, pomnozene odgovarajuæim brojem, vrsti i2 matrice A radi generisanja nultog elementa na poziciji i2,i1

Elementarne transformacije ST za odredjivanje broja i jednog seta nezavisnih reakcija:

ST

2

0

2

0

0

0

1

1−2

5

1−1

2−3−

0

2−2−

0

0

6−

0

0

0

6

6

0

0

0

4−4−

=ST ST:=Transponovana stehiometrijska matrica:

Nr 3=Nr rank S( ):=

Broj nezavisnih reakcija u posmatranom sistemu jednak je rangu stehiometrijske matrice:

S

2

0

1−2−

0

0

0

1

1

2−0

0

2

1−2−

0

0

0

0

2

3−0

6

4−

0

5

0

6−6

4−

:=Stehiometrijska matrica:

____________________________________________________________________

5( )4 NH3 6NO+ 5 N2 6 H2 O+=

4( )4 NH3 3 O2+ 2 N2 6 H2 O+=r

1

2

3

4

5

:=

NO2

N2

O2

NO

H2O

NH3

1

2

3

4

5

6

=3( )N2 2 O2+ 2 NO2=

2( )2NO N2 O2+=

1( )2NO O2+ 2 NO2=

reakcije:komponente:

Numeracija :

Problem: Izbor nezavisnih reakcija iz sistema reakcija elementarnim transformacijama transponovane stehiometrijske matrice sistema.

____________________________________________________________________

ORIGIN 1:=

V - Elementarne transformacije matrice. Rang matrice

1

Gaus A i1, i2,( ) n cols A( )←

mAi2 i1,

Ai1 i1,←

Ai2 j, Ai2 j, m Ai1 j,⋅−←j i1 n..∈for

Areturn

:=

ili:

Gaus1 A i1, i2,( ) mAi2 i1,

Ai1 i1,←

A AT←

Ai2⟨ ⟩

Ai2⟨ ⟩

m Ai1⟨ ⟩⋅−←

A AT←Areturn

:=

Funkcija Zamvrsta za zamenu vrsta: Funkcija Vrstaxa za mnozenje vrste skalarom:

Zamvrsta A i, j,( ) A AT←

p Ai⟨ ⟩←

Ai⟨ ⟩

Aj⟨ ⟩←

Aj⟨ ⟩

p←A A

T←Areturn

:= Vrstaxa A k, a,( ) A AT←

Ak⟨ ⟩

Ak⟨ ⟩

a⋅←A A

T←Areturn

:=

ST

2

0

2

0

0

0

1

1−2

5

1−1

2−3−

0

2−2−

0

0

6−

0

0

0

6

6

0

0

0

4−4−

= A Gaus ST 1, 3,( ):= A

2

0

0

0

0

0

1

1−2

5

1−1

1−3−

0

2−2−

2

0

6−

0

0

0

6

6

0

0

0

4−4−

=

A Gaus A 2, 3,( ):=

A Gaus A 2, 4,( ):=

A Gaus A 2, 5,( ):= A

2

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1−1

0

5−5−

2−2−

0

4

4

0

0

0

6

6

0

0

0

4−4−

=

2

=============================================================

6( )H21

2O2+ H2 O=

5( )2HCHO CH4 CO2+=

4( )CH3 OH H2+ CH4 H2 O+=

3( )HCHO 2 H2+ CH4 H2 O+=

2( )CH3 OH HCHO H2+=

1( )CH3 OH1

2O2+ HCHO H2 O+=

Zadatak : Naci jedan set nezavisnih reakcija u sistemu:

=============================================================

rnez

1

2

5

=rnez submatrix r 1, Nr, 1, 1,( ):=

Nezavisne reakcije (vektor rnez) :

r

1

2

5

4

3

=A

2

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1−1

5−0

0

2−2−

4

0

0

0

0

6

0

0

0

0

4−0

0

=A Gaus A 3, 4,( ):=

A

2

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1−1

5−5−

0

2−2−

4

4

0

0

0

6

6

0

0

0

4−4−

0

=r Zamvrsta r 3, 5,( ):=A Zamvrsta A 3, 5,( ):=

neophodna je zamena vrsta:

A

2

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1−1

0

5−5−

2−2−

0

4

4

0

0

0

6

6

0

0

0

4−4−

=A Gaus Gaus Gaus Gaus ST 1, 3,( ) 2, 3,( ) 2, 4,( ) 2, 5,( ):=

ili :

3

D1

B1

15% Ksilen25% Stiren40% Toluen20% Benzen

FT = 70 kmol/min





D2

B2

D

B

FT

Problem: Izracunati protoke u sistemu od 3 destilacione kolone iz zadatih sastava i protoka napojne struje

____________________________________________________________________

B1−

Y1−

B+( ) 1.625−0.875−0.25−

4.125

2.375

0.25

2−1−

0

=A Y⋅ B⋅( )

1−

1.625−0.875−0.25−

4.125

2.375

0.25

2−1−

0

=

Provera:

Y

3

1.667

0.556−

3.667

2.333

0.111−

9.667−5.667−

0.889

=Y A

1−E−( ) B

1−⋅:=

Funkcija identity generise jedinicnu matricuE identity n( ):=n 3=n rows A( ):=

____________________________________________________________________

B

1

2

2

2

1

2−

2

2−1

:=A

3

2

3

4−3−5−

5

1

1−

:=

Problem: (Matricne operacije): Proveriti recenje Y A1−

E−( ) B1−⋅= matricne

jednacine A Y⋅ B⋅( )1−

B1−

Y1−

B+( )= za

____________________________________________________________________

ORIGIN 0=

VI - Matricne operacije i sistemi linearnih jednacina

VI-1

x

26.25

17.5

8.75

17.5

kmol

min=x A

1−b⋅:=

Matricnim operacijama•

x

26.25

17.5

8.75

17.5

kmol

min=x lsolve A b,( ):=

Ugradjenom funkcijom lsolve•

Resavanje sistema:

b

10.5

17.5

28

14

kmol

min=b F X

0⟨ ⟩⋅:=Vektor slobodnih clanova:

Sistem je slabo uslovljen (moguci problemi)A 4.96 104−×=Determinanta

A

0.07

0.04

0.54

0.35

0.18

0.24

0.42

0.16

0.15

0.1

0.54

0.21

0.24

0.65

0.1

0.01

=A submatrix X 0, 3, 1, 4,( ):=

Matrica sistema A jednacina komponentnih bilansa, cijim resavanjem dobijamo izlazne protoke iz sistema kolona

F 70kmol

min:=kmol 1000 mol⋅:=Protok napoja F:

Zavrsiti proveru !X0⟨ ⟩∑ 1=X

15

25

40

20

7

4

54

35

18

24

42

16

15

10

54

21

24

65

10

1

%⋅:=

Provera podataka:

Matrica X sa zadatim sastavima (mol%) napojne struje F i struja D1,B1,D2,B2 :

VI-2

B3⟨ ⟩

R5:=B2⟨ ⟩

R2:=B1⟨ ⟩

R1:=Matrica sistema:

Koeficijenti λ se dobijaju kao resenje sistema od 6 jednacina Bλ = b

R3 λ1 R1⋅ λ2 R2⋅+ λ3 R5⋅+=

Reakcije 3 i 4 su neke linearne kombinacije reakcija 1,2 i 5. Tako je

Ri Si⟨ ⟩:=i 1 cols S( )..:=

Definisanje reakcija 1-5 u formi vektora R1-R5

___________________________________________________________________

S

2

0

1−2−

0

0

0

1

1

2−0

0

2

1−2−

0

0

0

0

2

3−0

6

4−

0

5

0

6−6

4−

:=

Stehiometrijska matrica reakcionog sistema (Lekcija V):

ORIGIN 1:=

Problem: Odrediti ostale reakcije kao linearne kombinacije nezavisnih reakcija u sistemu iz Lekcije V

___________________________________________________________________

Vezba: Menjati protok i sastav napoja. Menjati jedinice za protok. Izracunati protoke D i B.

D1

B1

D2

B2

26.25

17.5

8.75

17.5

kmol

min=

D1

B1

D2

B2

x:=

Trazeni protoci:

VI-3

===============================================================

Vezba: Definisati reakciju 4 kao linearnu kombinaciju reakcija 1,2 i 5

Dakle, reakcija 3 se dobija kao razlika prve (λ1=1) i druge (λ2=-1)

λ1

1−0

=λ lsolve Bs bs,( ):=Resenje:

bs

2

1−2−

=bs submatrix b 1, 3, 1, 1,( ):=

Bs 10−=

rank Bs( ) 3=Bs

2

0

1−

0

1

1

0

5

0

=Bs submatrix B 1, 3, 1, 3,( ):=

Kako je rang prosirene matrice sistema jednak rangu matrice sistema i jednak broju nepoznatih, sistem je saglasan i odredjen, tj. ima jedinstveno resenje. Resenje se dobija resavanjem nekog podsistema od 3 jednaèine koji ima nesingularnu matricu (rang=3 ili determinanta razlicita od 0) Na primer:

rank B( ) 3=

rank Bb( ) 3=Bb

2

0

1−2−

0

0

0

1

1

2−0

0

0

5

0

6−6

4−

2

1−2−

0

0

0

=Bb augment B b,( ):=

Prosirena matrica sistema:

Provera da li je sistem od 6 jednacina sa 3 nepoznate saglasan i da æemo dobiti jedinstveno resenje sistema:

b

2

1−2−

0

0

0

=b R3:=Vektor slobodnih koeficijenata:B

2

0

1−2−

0

0

0

1

1

2−0

0

0

5

0

6−6

4−

=

VI-4

Transformacija sistema Gausovim postupkom koristeci funkcije Gaus i Vrstaxa (Lekcija V):

(imamo samo 1 nezavisnu jednaèinu)rank B( ) 1=

B

4

2

4

2

1

2

4

2

4

=B A λ1 E⋅−:=

Resavamo homogen sistem jednaèina, B x = 0, gde je matrica sistema:

Nalazenje karakteristicnog vektora, odnosno njegovih koordinata x1,x2 i x3, koji odgovara dvostrukoj karakteristicnoj vrednosti λ1=λ2=-1

_____________________________________________________________________Problem: Naci karakteristicne vektore date kvadratne matrice A

_____________________________________________________________________

*Komentar - Determinanta matrice se dobija primenom operatora iz Matrix alata **Komentar - Malo odstupanje od 0 za trecu karakteristicnu vrednost posledica je greske numerickog postupka ili gresaka zaokruzivanja u realizaciji postupka. Smanjenjem Zero treshold-a (Format => Result=>Tolerance) na broj manji od 14 (podrazumevana vrednost je 15) za d3 se prikazuje 0

(d3 je praktièno 0)

d

0

0

7.194 1014−×

=di A λi E−:=i 1 3..:=

E identity rows A( )( ):=Provera: Da li je det(A-λE) = 0 za svaku karakteristicnu vrednost?

λ1−1−

8

=λ eigenvals A( ):=

Funkcija eigenvals daje sve karakteristicne vrednosti kvadratne matrice

Matrica A reda 3 je nesingularna, pa ima 3 nenulte karakteristicne vrednosti

rank A( ) 3=Funkcija rank daje rang matrice:

_____________________________________________________________________

A

3

2

4

2

0

2

4

2

3

:=Problem: Naci karakteristicne vrednosti date kvadratne matrice

_____________________________________________________________________

ORIGIN 1:=

VII - Karakteristicne vrednosti i karakteristicni vektori matrice

VII-1

Provera da li dobijeno resenje pripada vektorskom prostoru, sa odabranim baznim vektorima b1 i b2:

x x⋅ 1=*Komentar: Mathcad daje kao resenje jedinicni (normiran) vektor :

x

0.72806−0.09969

0.67822

=x eigenvec A λ1,( ):=

Nalazenje karakteristicnog vektora matrice za datu karakteristicnu vrednost pomocu ugradjene funkcije eigenvec:

vec 1 2,( )

2.5−1

2

=Na primer:

vec µ1 µ2,( ) µ1 b1⋅ µ2 b2⋅+:=Funkcija vec generise karaktersiticne vektore :

b2

1−0

1

:=b1

0.5−1

0

:=

Tako smo dobili jedan moguci par baznih vektora:

x1 0 1,( ) 1−=x1 1 0,( ) 0.5−=x1 x2 x3,( )x2−2

x3−:=

Imamo 2 stepena slobode ( 2 slobodne promenljive) tj. beskonacan broj resenja, koji cine vektorski potprostor dimenzije 2. Mozemo da odredimo 2 bazna vektora resavajuci jednacinu za dva razlicita para vrednosti promenljivih x2 i x3, na primer (1,0) i (0,1)

2x1 x2+ 2x3+ 0=odnosno, resavamo jednacinu:

B x⋅2

0

0

1

0

0

2

0

0

x1

x2

x3

⋅=

0

0

0

=pa je ekvivalentan sistem :

B

2

0

0

1

0

0

2

0

0

=B Vrstaxa B 1, 1

2,:=

B

4

0

0

2

0

0

4

0

0

=B Gaus B 1, 3,( ):=B Gaus B 1, 2,( ):=

Vrstaxa A k, a,( ) A AT←

Ak⟨ ⟩

Ak⟨ ⟩

a⋅←A A

T←A

:=Gaus A i1, i2,( ) n cols A( )←

mAi2 i1,Ai1 i1,

←

Ai2 j, Ai2 j, m Ai1 j,⋅−←j i1 n..∈for

Areturn

:=

VII-2

B

5−0

0

2

2−0

4

1

2.22 1015−×

=

Resavamo ekvivalentne jednacine :

5− x1 2 x2+ 4− x3=

2− x2 x3−=

birajuci proizvoljno vrednost x3 (1 stepen slobode).

x3 1:= x2x3

2:= x1

4− x3⋅ 2 x2⋅−5−:=

dobijamo bazni vektor 1-dimenzionog vektorskog prostora:

b x:= b

1

0.5

1

=

Sve moguce karakteristicne vektore generise funkcija vec:vec µ( ) µ b⋅:=

x eigenvec A λ3,( ):= x

0.66667

0.33333

0.66667

= vec

2

3

0.667

0.333

0.667

=

Nalazenje svih karaktersticnih vektora matrice pomocu ugradjene funkcije eigenvecs

µ1 x2:= µ2 x3:= vec µ1 µ2,( )0.72806−

0.09969

0.67822

=

Nalazenje karakteristicnog vektora, odnosno koordinata x1,x2 i x3,koji odgovara 3. karakteristicnoj vrednosti λ3 = 8

B A λ3 E⋅−:= B

5−2

4

2

8−2

4

2

5−

=

rank B( ) 2= (imamo 2 nezavisne jednacine, tj. 1 stepen slobode)

Transformacija sistema Gausovim postupkom:

B Gaus B 1, 2,( ):= B Gaus B 1, 3,( ):= B

5−0

0

2

7.2−3.6

4

3.6

1.8−

=

B Gaus B 2, 3,( ):= B

5−0

0

2

7.2−0

4

3.6

2.22 1015−×

=

rank B( ) 2= ( znaci da malu vrednost B3,3 Mathcad tretira kao nulu, cime se izbegava greska)

B Vrstaxa B 2, 1

3.6,

:=

VII-3

eigenvecs A( )

0.558−0.817

0.149

0.495−0.471−0.73

0.667−0.333−0.667−

=

Uporedimo sa: eigenvec A λ1,( )0.728−0.1

0.678

= eigenvec A λ2,( )

0.728−0.1

0.678

=

Obrazloziti neslaganje !

============================================================

Zadatak : Pomocu Mathcad funkcija odrediti karakteristicne vrednosti i karakteristicne vektore matrica.

A

7

3

2−

3

4

1−

2−1−

3

:= B

2

1

0

0

3−4

1−0

2

:=

============================================================

VII-4

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.5

1

1.5

xφ x( )d

d

x

x 0.01 0.011, 0.1..:=xφ x( )

d

d1<Provera dovoljnog uslova konvergencije metode prostih iteracija:

*Komentar: Za nalazenje koordinata preseka korisna je Mathcad opcija Trace (Format=>Graph=>Trace)

0 0.025 0.05 0.075 0.10

0.05

0.1

0.15

0.07x

φ x( )

0.07

x

x 0.001 0.002, 0.1..:=Radi izbora dobre polazne procene korisno je grafickom metodom locirati koren.

φ x( )1

0.4− 1.74 ln Re x⋅( )⋅+( ):=Ekvivalentna jednacina je x φ x( )= gde je:

Metod prostih iteracija

_____________________________________________________________________

Nakon smene λ x= , treba resiti jednacinu 1

x0.4− 1.74 ln Re x⋅( )⋅+=

Re 105:=

1

λ0.4− 1.74 ln Re λ⋅( )⋅+=

Problem: Za zadati Rejnoldsov broj odrediti koeficijent poduznog trenja λ iz jednacine

_____________________________________________________________________

VIII - Nelinearne jednacine, Metod prostih iteracija, Wegstein-ov metod

VIII - 1

λ 4.487 103−×=λ iter φ x0, 0.5 10

3−⋅,( )0( )2:=

ili

λ 4.487 103−×=λ iter φ x0, δ,( )0( )2:=

Racunanje λ:

iter φ x0, δ,( ) 0.06699

6

=δ 0.5 10

3−⋅:=x0 0.01:=Poziv funkcije iter:

iter φ x0, δmax,( ) δ 100←i 1←xp x0←imax 50←

break i imax=if

x φ xp( )←

δ if x 0=x xp−

x δmax+, x xp−x

,←

xp x←i i 1+←

δ δmax>while

k if i imax= "ne konvergira", x,( )←k

i

return

:=

xk 1+( )

xk( )−

xk 1+( )

δ≤

Korisnicka funkcija iter za metod prostih iteracija. Kriterijum konvergencije iteracionog postupka je:

δ

0

0.05

5.699 103−×

6.666 104−×

7.766 105−×

9.052 106−×

=x

0.07

0.06664

0.06702

0.06698

0.06699

0.06698

=δ ixi xi 1−−

xi:=xi φ xi 1−( ):=i 1 5..:=

x0 0.07:=Polazna procena:

Iteracioni postupak

VIII - 2

Wegstein φ x0, δmax,( ) δ 100←i 1←xpp x0←xp φ xpp( )←imax 50←

break i imax=if

sφ xp( ) φ xpp( )−

xp xpp−←

t1

1 s−←

t if t 10< t, t

t10⋅,←

x t φ xp( )⋅ 1 t−( ) xp⋅+←

δ if x 0=x xp−

x δmax+, x xp−x

,←

δ δmax>while

:=Korisnicka funkcija Wegstein

Nastaviti !

δ"-"

0.563

0.046

=x

0.1

0.064

0.06706

=δ i 1+

xi 1+ xi−xi 1+

:=xi 1+ t φ xi( )⋅ 1 t−( ) xi⋅+ :=

t 0.915=t if t 10< t, t

t10⋅,:=t

1

1 s−:=sφ xi( ) φ xi 1−( )−

xi xi 1−−:=

i 1:=Prva iteracija

Odstupanja polaznih procenaδ1x1 x0−

x1:=δ0 "-":=

x1 φ x0( ):=Metod zahteva jos jednu polaznu tacku:


Ponistavanje postojecih vektora x i δ :δ 0:=x 0:=

Wegstein-ov metod:

_____________________________________________________________________

Vezba : Varirati polaznu procenu i granicu relativne greske

VIII - 3

x max xpp xp←xp x←i i 1+←


i

return

Poziv funkcije Wegstein:

x0 0.1:= δ 0.5 103−⋅:= Wegstein φ x0, δ,( ) 0.06698

4

=

Vezba: Izracunati λ

===============================================================

Zadatak: Izotermski faktor efektivnosti η ( 0 η< 1≤( ) katalizovane reakcije A produkti= na poroznoj katalitickoj povrsini dat je jednacinom:

η 1 Da η⋅−( )n=

Pomocu funkcija iter i Wegstein odrediti faktore efektivnosti za n = 1.5 i a) Da = 0.6, b) Da = 1.2sa tacnoscu od 4 sigurne cifre. Diskutovati konvergenciju postupaka.

===============================================================

VIII - 4

δ

"-"

0.047

1.911 103−×

3.475 106−×

1.144 1011−×

0

=x

0.07

0.06686

0.06698

0.06698

0.06698

0.06698

=δ ixi xi 1−−

xi:=xi xi 1−

f xi 1−( )df xi 1−( )−:=

i 1 5..:=

Varirati polazne procenu i uociti uticaj izbora nabrzinu konvergencije !

δ0 "-":=x0 0.07:=Polazna procena:

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.150

0

50

100

f x( )

0.07

x

x 0.01 0.012, 0.1..:=Graficko lociranje korena :

df x( )x

f x( )d

d

1−x

2

1.74

x−→:=Potreban je prvi izvod funkcije f(x) :

f x( )1

x0.4+ 1.74 ln Re x⋅( )⋅−:=Trazimo koren jednacine f(x) = 0, gde je:

Metod tangente

_____________________________________________________________________

Nakon smene λ x= , treba resiti jednacinu 1

x0.4− 1.74 ln Re x⋅( )⋅+=

Re 105:=1

λ 0.4− 1.74 ln Re λ⋅( )⋅+=

Problem: Za zadati Rejnoldsov broj odrediti koeficijent podužnog trenja λ iz jednacine

_____________________________________________________________________

ORIGIN 0=

IX - Nelinearne jednaèine, metod sekante, metod tangente, funkcija root

1

Nastaviti !

δ"-"

0.091

1.308

=x

0.1

0.11

0.04766

=

δ i 1+xi 1+ xi−

xi 1+:=xi 1+ xi ∆x−:=∆x f xi( ) xi xi 1−−

f xi( ) f xi 1−( )−⋅:=i 1:=Prva iteracija

Odstupanja polaznih procenaδ1x1 x0−

x1:=δ0 "-":=

x1 1.1 x0:=Metod zahteva jos jednu polaznu tacku:


Ponistavanje postojeæih vektora x i δ :δ 0:=x 0:=Metod sekante

____________________________________________________________________

Njutn f x0, δmax,( ) xp x0←imax 50←

x xpf xp( )

xpf xp( )d

d

−←

δ if x 0=x xp−

x δmax+, x xp−x

,←

break δ δmax≤if

xp x←

i 1 imax..∈for


i

return

:= Vezba: Naci resenje pomocu funkcije Njutn

λ 4.487 103−×=λ x5( )2:=

Izabracemo poslednju iteraciju

2

Zadatak: Kontaktno vreme τ u reaktoru sa idealnim potiskivanjem u kome se odvija povratna reakcija A+B = 2R za postizanje stepena konverzije reaktanta, xA dato je jednacinom :

===============================================================

Vezba: Uociti uticaj polazne procene. Ponoviti variranje polazne procene sa manjom vrednošæu TOL.

λ 4.487 103−×=λ res

2:=

g res Re,( ) 3.281 106−×=res 0.066985=res root g x Re,( ) x,( ):=x 0.01:=

g x Re,( )1

x0.4+ 1.74 ln Re x⋅( )⋅−:=Pored x funkcija moze imati i druge argumente:

λ 4.487 103−×=λ res

2:=f res( ) 7.541− 10

4−×=res 0.066988=res root f x( ) x,( ):=x 0.1:=TOL 1 10

3−×=Granica greske - tolerancija :

Ugradjena funkcija root

_____________________________________________________________________

Sekanta f x0, δmax,( ) xpp x0←xp 1.1 xpp⋅←imax 50←

∆x f xp( ) xp xpp−f xp( ) f xpp( )−⋅←

x xp ∆x−←δ if x 0=

∆x

x δmax+, ∆x

x,

←break δ δmax≤if

xpp xp←xp x←

i 1 imax..∈for


i

return

:=Vezba: Naci resenje pomocu funkcije Sekanta

3

Nastaviti !

α 0.7=M 1.2=MCB0

CA0:=F x CA0, M,( )

1

k1 CA0⋅ 0

x

tf t M,( )⌠⌡ d⋅ τ−:=

f x M,( )1

1 x−( ) M x−( )⋅ α x2⋅−

:=Podintegralna funkcija je:

===============================================================

Odrediti maksimalan stepen konverzije, kao i stepen konverzije koji se postiže pri kontaktnom vremenu τ 30:= s

CB0 0.6:=CA0 0.5:=Polazne koncentracije reaktanata (kmol/m3):

α 4k2

k1⋅:=k2 4.9 10

3−⋅:=k1 2.8 102−⋅:=

α 4 k2

k1=M

CB0

CA0=τ xA( ) 1

k1 CA0

0

xA

x1

1 x−( ) M x−( )⋅ α x2⋅−

⌠⌡d⋅=

4

25 20 15 10 5 03 .10

9

2 .109

1 .109

0

1 .109

P7 x( )

x

x 22− 21.99−, 0..:= Varirati donju granicu i korak za x da bi se jasno uocile nule !

P7 x( )

0

n

i

aix

n i−∑=

:=Definisanje polinomske funkcije:

R 22=r 0.488=r1

1B

absan

+:=R 1

A

absa0

+:=

B 21=B max submatrix absa 0, n 1−, 0, 0,( )( ):=A 21=A max submatrix absa 1, n, 0, 0,( )( ):=absa

1

2

2

10

21

12

18

20

=absa a→

:=

Procenjivanje oblasti (kompleksna) u kojoj leze sve nule pomocu Dekartove teoreme

n rows a( ) 1−:=rows a( ) 8=a

1

2

2

10−21−12−

18

20

:=Vektor koeficijenata:

_____________________________________________________________________

P7 x( ) x7

2x6+ 2x

5+ 10x4− 21x

3− 12x2− 18x+ 20+=

Problem: Treba naci sve nule polinoma :

_____________________________________________________________________

X - Koreni (nule) polinoma

X - 1

E identity rows A( )( ):=A

3

2

4

2

0

2

4

2

3

:=

_____________________________________________________________________

Problem: Odrediti sve karakteristicne korene matrice A kao nule njenog karakteristicnog polinoma (Lekcija VII)

_____________________________________________________________________

Na prethodnom primeru uporediti rezultate dobijene sa dve metodeVezba

Desnim klikom na funkciju polyroots se meze odabrati jedan od dva ponudjena metoda resavanja (LaGuerre, Companion Matrix)

P7 α( )

9.764 107−× 1.252i 10

7−×−

1.08− 106−× 2.242i 10

6−×−

2.842− 1014−×

2.243 106−× 1.081i 10

6−×−

6.857− 107−× 7.058i 10

7−×−

7.964− 1010−×

4.372− 107−×

=Provera

α

1− i+1− 2i−

1−1− 2i+1− i−1

2

=α polyroots reverse a( )( ):=

Polyroots funkcija trazi vektor koeficijenata u obrnutom redosledu od zadatog. Za obrtanje vektora koristi se funkcija reverse

Nalaženje svih nula (realnih i kompleksnih) Mathcad funkcijom polyroots

0 5 10 15 20 251 .10

9

0

1 .109

2 .109

3 .109

P7 x( )

x

Varirati gornju granicu za x da bi se jasno uocile nule !

x 0 0.01, 22..:=

X - 2

koreniT

4−1

2−2−

=

koreni root P4 X( ) X,( ) 4− 1 2− 2−( )→:=

Problem trazenja svih korena polinoma moze se u Mathcad-u resavati simbolickim sistemom Mathcad-a pozivajuci root, solve i Solve Block. Sledi primer simbolicke primene funkcije root

polyroots koef( )

4−

2− 1.37i 108−×−

2− 1.37i 108−×+

1

=metod Companion Matrix

polyroots koef( )

4−2.001−1.999−

1

=metod LaGuerre

koef P4 X( ) coeffs X,

16−4−

12

7

1

→:=

su -4,-2,-2,1. Polyroots dajeP4 x( ) x4

7x3+ 12x

2+ 4x− 16−:=

U nekim problemima funkcija polyroots bez obzira na izabranu metodu ne daje dovoljno tacna resenja sto ilustruje sledeci primer. Tacni koreni polinoma

Napomena

λ1−1−

8

=λ polyroots koef( ):=

Pozivanje funkcije polyroots

koef

8

15

6

1−

=koef P3 λ( ) coeffs λ,

8

15

6

1−

→:=

Za izdvajanje koeficijenata iz datog polinoma pocev od slobodnog clana koristimo kljuènu reè coeffs iz alata Symbolic

P3 λ( ) A λ E⋅− 15 λ⋅ 6 λ2⋅+ 8 λ3−+→:=Karakteristicni polinom matrice:

X - 3

=============================================================

Zadatak: Odrediti sve karakteristicne korene matrice A kao nule njenog karakteristicnog polinoma

A

1

2

0

0

1−6

0

1

0

1

2−1

0

0

1

0

:=

=============================================================

X - 4

*Komentar- Operator ima višestruku ulogu u Mathcad-u: primenjen na skalar (Calculator alati) daje apsolutnu vrednost, na vektor daje intenzitet a na matricu daje determinantu (Matrix alati)

Iteracioni proces :

φ x( )

4 x2−( )3x1

81 x0( )2− x2( )2−33 x0−

x1

:=xp

2

10

5

:=Polazna procena:

Definisemo vektorsku funkciju φ vektorskog argumenta x :

z33 x−

y=

Uvodimo smenu :y 81 x2− z

2−=

x

y

z

x1

x2

x3

=

x4 z−( )3

y=Ekvivalentan sistem jednacina:

Predstavlja generalizaciju istoimene metode za resavanje jedne jednacine (Lekcija VIII)

Metod prostih iteracija

_____________________________________________________________________

xk 1+( )

xk( )− 2

yk 1+( )

yk( )− 2

+ zk 1+( )

zk( )− 2

+ ε<

Sa polaznim procenama (2,10,5) uz kriterijum konvergencije

2x y z⋅+ 33=

x2

y2+ z

2+ 81=

3x y⋅ z+ 4=Problem 1: Treba resiti sistem nelinearnih jednacina

_____________________________________________________________________

ORIGIN 0=

XI - Sistemi nelinearnih algebarskih jednaèina I. Metod prostih iteracija, Wegstein-ov i Newton-Raphson metod, SOLVE BLOCK

XI - 1

Vezba: a) Smanjenjem tolerancije, ε uz date polazne procene postiæi slucaj da proces ne

konvergira u 50 iteracijab) Sa datom tolerancijom resiti sistem uz polazne procene (1,1,1). Ponoviti

proracun uz prethodno smanjenje Complex treshold (Format=>Result=>Tolerance) na 6 (Podrazumevana vrednost je 10)

x1 28=x0

1

8

4

=

x{3,1}

28

=Poziv funkcije: x itersysφ xp, ε,( ):= Broj iteracijaVektor resenja

Polazne procene: xp

1

10

4

:=Tolerancija: ε 10

6−:=

itersysφ xp, ε,( ) kmax 50←

x φ xp( )←e x xp−←break e ε<if

xp x←

k 1 kmax..∈for

x if k kmax= "ne konvergira", x,( )←x

k

return

:=Funkcija itersys vraæa vektor resenja (ako proces konvergira u 50 iteracija) i broj iteracija

Nastaviti!

xp x:=x

0.796

7.66

3.777

=x xp− 1.255=x φ xp( ):=

xp x:=x

1.523

8.41

4.474

=x xp− 2.028=x φ xp( ):=

xp x:=x xp−( )2→

∑ 3.643=

x

0.549

7.211

3.159

=x xp− 3.643=x φ xp( ):=

XI - 2

Wegstein-ov metod

Predstavlja generalizaciju istoimene metode za resavanje jedne jednaèine (Lekcija VIII).

Funkcija Wegsteinsys za realizaciju Wegstein-ove metode

Wegsteinsysφ xp, ε,( ) kmax 50←xpp xp←n last xp( )←xp φ xpp( )←

s φ xp( )i φ xpp( )i−( ) xpixppi

−( )ε⋅ xpi

xppi− ε<if

φ xp( )i φ xpp( )i−xpi

xppi− otherwise

←

ts

1 s−←

t if 5− t< 0< 0, t,( )←xi t xpi

⋅ 1 t−( ) φ xp( )i⋅+←

i 0 n..∈for

e x xp−←break e ε<if

xpp xp←xp x←

k 1 kmax..∈for

x

k

return

:=

Vezba: Resiti problem pomocu funkcije Wegsteinsys

Wegsteinsysφ xp, ε,( ) {3,1}

27

= Wegsteinsysφ xp, ε,( )0

1

8

4

=

Newton-Raphson postupak :

Predstavlja generalizaciju metode tangente za resavanje jedne jednacine (Lekcija VIII).

_____________________________________________________________________

Problem 2: Treba resiti sistem jednacinax 3 log x( )⋅+ y2− 0=

2x2

x y⋅− 5x− 1+ 0=

_____________________________________________________________________

XI - 3

Sledi verzija gde se Jakobijan racuna simbolicki. Potrebna je funkcija J(f,x) gde je prvi argumentvektorka funkcija f a drugi argument je vektor x nezavisno promenljivih.

Njutnsys f J, xp, ε,( ) kmax 50←x xp←

∆ lsolve J x( ) f x( ),( )←x x ∆−←break ∆ ε<if

k 1 kmax..∈for

if k kmax= "ne konvergira", k,( )

x

return

:=

Ovo je verzija gde je potrebno zadati Jakobijan funkciju J(x)

Funkcija Njutnsys za realizaciju Newton-Raphson metode

J x( )1

3

x0 ln 10( )⋅( )+

4 x0⋅ x1− 5−

2− x1⋅

x0−

:=f x( )

x0 3 log x0( )⋅+ x1( )2−

2 x0( )2 x0 x1⋅− 5 x0− 1+

:=

Redefinisanje vektorske funkcije i Jakobijeve matrice kao vektorskih funkcija vektorskog argumenta da bi se mogla definisati uopstena funkcija za realizaciju metode

Nastaviti !

xp

yp

x

y

:=∆ 0.101

0.057

=x

y

3.491

2.263

=x

y

xp

yp

∆−:=

∆ J xp yp,( )1−

f xp yp,( )⋅:=

xp

yp

x

y

:=∆ 0.592−

0.32−

=x

y

3.592

2.32

=x

y

xp

yp

∆−:=

∆ J xp yp,( )1−

f xp yp,( )⋅:=Iteracioni proces :

yp 2:=xp 3:=Polazne procene:

J x y,( )1

3

x ln 10( )⋅+

4 x⋅ y− 5−

2− y⋅

x−

:=f x y,( )

x 3 log x( )⋅+ y2−

2x2

x y⋅− 5x− 1+

:=

Jakobijeva matrica:Funkcije u obliku vektorske funkcije:

XI - 4

_____________________________________________________________________

Problem: Resiti Problem 1 primenom ugradjenog sistema SOLVE BLOCK

_____________________________________________________________________

SOLVE BLOCK za resavanje sistema nelinearnih jednacina

Zadatak: Resiti Problem 1 funkcijom Njutnsys uz istu toleranciju i polazne procene. Uporediti metode u pogledu brzine konvergencije (broj iteracija)

Vezba: Varirati polazne procene i toleranciju.

f x0( ) 0

0

=Provera:

x03.487

2.262

=Vektor resenja:

x{2,1}

9

=Poziv funkcije: x Njutnsys2 f J2, xp, ε,( ):=

f x1( ) 0

0

=Provera:

x13.487

2.262

=Vektor rešenja:

x9

{2,1}

=Poziv funkcije: x Njutnsys f J, xp, ε,( ):=

Polazne procene: xp2

1

:=Tolerancija: ε 10

7−:=

Njutnsys2 f J2, xp, ε,( ) kmax 50←x xp←

∆ lsolve J2 f x,( ) f x( ),( )←x x ∆−←break ∆ ε<if

k 1 kmax..∈for

"ne konvergira"return k kmax=if

x

k

otherwise

:=J2 f x,( ) n last x( )←m last f x( )( )←o ORIGIN←Jacm n, 0←

Jacj k, v xk←

vxk v←f x( ) j

d

d

←k o n..∈for

j o m..∈for

Jacreturn

:=

XI - 5

===============================================================

Zadatak : Resiti Problem 2 pomocu SOLVE BLOCK-a

===============================================================

x

y

z

1

8

4

=

x

y

z

Find x y, z,( ):=

Poziv funkcije Find kojadaje resenje sistema u viduvektora

2x y z⋅+ 33=

x2

y2+ z

2+ 81=Jednacine sistemaformulisane ispodkljucne reci Given:

3x y⋅ z+ 4=

Given

z 5:=y 10:=x 2:=Polazne procene:

Resenje Problema 1:

SOLVE BLOCK se sastoji iz tri dela:polazne procene nepoznatih1.Sluzbene reci Given iza koje slede ogranicenja: sistem jednacina i dodatna ogranicenja u 2.vidu jednacina i nejednacinaPoziv funkcije Find koja daje resenja3.

XI - 6

Izbor numeracije komponenata sistema : SO2(0), O2(1), SO3(2), N2(3)

Ilustrovacemo primenu SOLVE BLOCK-a na resavanje jedne jednacine:

_____________________________________________________________________

Kr T( ) 10

5186.5

T0.611 log T( )+ 6.7497−

:=

na T 850:= i P 101.3:= ako se kiseonik iz vazduha uvodi u visku od 50% u odnosu na stehiometrijsku kolicinu. Konstanta reakcione ravnoteze data je jednacinom

SO21

2O2+ SO3=

Potrebno je izracunati ravnotezni sastav za reakciju

U datim jednacinama je:n0 - vektor polaznih kolicina (mol) supstanci u sistemu•N0 - ukupan broj molova na pocetku reakcije•ν - vektor stehiometrijskih koeficijenata•∆ν =Σνi - promena broja molova u toku reakcije•T, P - ravnotezne vrednosti temperature i pritiska (K, kPa)•P0 - standardni pritisak (1atm)•Kr(T) - konstanta reakcione ravnoteze u funkciji temperature •

Konacno se iz dobijene vrednosti ε racuna ravnotezni sastav po jednacini (2)

2( )x

n0 ν ε⋅+N0 ∆ν ε⋅+=

gde je vektor molskih udela x (xi, i=1,Nc) dat u funkciji od stepena napredovanja reakcije ε:

1( )ν ln x( ) ∆ν lnP

P0

⋅+ ln Kr T( )( )=

Problem: Proracun reakcione ravnoteze za reakciju

1

Nc

i

ν i Ai∑=

0= ,

(νi<0 za reaktante, νi>0 za proizvode) u slucaju da se reakciona smesa ponasa kao idealan gas se svodi na resavanje sledece jednacine - uslova reakcione ravnoteze po stepenu napredovanje reakcije ε

_____________________________________________________________________ORIGIN 0=

XII - Sistemi nelinearnih algebarskih jednaèina -II. Primena SOLVE BLOCK-a

XII - 1

R2( )CH4 2 H2 O+ CO2 4 H2+=

R1( )CH4 H2 O+ CO 3 H2+=

Izracunati ravnotezni sastav sistema u kome se odvijaju reakcije

gde je ε - vektor stepena napredovanja (εi, i=1,Nr)•S- stehiometrijska matrica Nc Nr× •Kr(T) - vektorska funkcija dimenzije Nr•∆ν - vektor promena broja molova u reakciji, dimenzije Nr•

xn0 S ε⋅+

N0 ∆ν ε⋅+=

(*)ST

ln x( ) ∆ν lnP

P0

⋅+ ln Kr T( )( )=

Problem: Jednacine za proracun ravnoteznog sastava u sistemu od Nr reakcija koji se ponasa kao idealan gas glase

_____________________________________________________________________

Vezba: Resiti prethodni problem pomoæu funkcije root

ε 0.801=

ε Find ε( ):=

ν lnn0 ν ε⋅+

N0 ∆ν ε⋅+

∆ν lnP

P0

⋅+ ln Kr T( )( )=

Given

ε 0.5:=Polazna procena

∆ν 0.5−=∆ν ν∑:=ν

1−1−

2

1

0

:=

P0 101.3:=N0 4.571=N0 n0∑:=

n0

1

0.75

0

2.821

=n03

0.79

0.21n01⋅:=n02

0:=n010.5 n00

⋅ 1.5⋅:=n001:=

Definisanje vektora n0

XII - 2

x

0

0.1375

0.0624

0.1376

0.6624

=xn0 S ε⋅+

N0 ε ∆ν⋅+:=Ravnotezni sastav:

ε 0.688

0.312

=

ε Find ε( ):=

ST

lnn0 S ε⋅+

N0 ε ∆ν⋅+

⋅ ∆ν lnP

P0

⋅+ ln K( )=

Given

ε 1

1

:=Polazna procena za vektor stepena napredovanja:

Resavanje uslova reakcione ravnoteze (*)

∆ν 2

2

=∆ν

S0⟨ ⟩∑

S1⟨ ⟩∑

:=

Promene broja molova u rekacijama (1),(2)

Ukupan broj molova na pocetku: N0 n0∑:=n0

1

0

0

2

0

:=S

1−1

0

1−3

1−0

1

2−4

:=

CH4

COCO2

H2O

H2

Stehiometrijska matrica S

_____________________________________________________________________

U pocetnom stanju smesa sadrzi metan i vodu u molskom odnosu 1:2

K1 2.131 104×:=K0 9.75 10

3×:=

Konstante reakcione ravnoteže za datu temperaturu su:

Na T 1200:= i P 101.3:=

XII - 3

===============================================================

Zadatak: Izracunati ravnotezni sastav u gasovitom sistemu sa reakcijama

H2 S H21

2S2+= R1( )

2 H2 S SO2+ 2 H2 O3

2S2+= R2( )

Na pritisku: P 122:= (kPa)

Konstante reakcione ravnoteze su:K1 0.45:= K2 28.5:=

Polazna smesa sadrzi 45%H2S, 25%SO2, 30%N2 (molski procenti)

===============================================================

XII - 4

htmax

n:=Korak integracije:

n 50:=Usvojeni broj koraka na intervalu [0,tmax]

f c( ) r c( )−:=r c( ) k0 e

Er−

T c( )⋅ c⋅:=T c( ) T0 a c c0−( )⋅+:=

a 10.695−=a∆H

cp ρ⋅:=

Definisanje desne strane diferencijalne jednacine f(c):

Euler-ov metod:

______________________________________________________________________

T0 300:= K•c0 4.5:= kmol/m3•

ρ 850:= - Gustina reakcione smese (kg/m3), usvojeno kao konstantna •velicina

cp 2.2:= - Toplotni kapacitet reakcione smese (kJ/kg K), usvojeno kao •konstantna velicina

∆H 20000−:= - Toplotni efekat reakcije (kJ/kmol), usvojeno kao •konstantna velicina

ErE

R=Er 12000:= - Odnos energije aktivacije i univerzalne gasne konstante•

k0 2 1013⋅:= - Predeksponencijalni faktor u Arenijusovom izrazu za •

konstantu brzine hemijske reakcije

Potrebni podaci:

tmax 2500:=Odrediti koncentraciju reaktanta ako je vreme odvijanja reakcije(s):

pri cemu su c0 i T0 pocetne koncentracije reaktanata i temperature reakcione smese.

T c( ) T0

∆HR

cp ρ⋅c c0−( )+=gde je

c 0( ) c0=

tcd

dr c T c( ),( )−=

Problem: Reakcija prvog reda A = produkti odvija se u adijabatskiom rezimu, pa diferencijalna jednacina, koja opisuje promenu koncentracije reaktanta c u toku (kontaktnog) vremena t glasi:

_______________________________________________________________

XIII - Obicna diferencijalna jednacina prvog reda

RK x0 xmax, n, y0, f,( ) hxmax x0−

n←

x x0←y

0y0←

K1 h f x yi 1−

,( )⋅←

K2 h f xh

2+ y

i 1−K1

2+,

⋅←

i 1 n..∈for

:=

Funkcija RK ima iste argumente kao i Euler

Runge-Kutta metod 4.reda :

Vezba: Ispitati uticaj promene broja koraka n na krajnju koncentraciju reaktanta. Sta je razlog uocenog ponasanja?

Euler 0 tmax, n, c0, f,( )n 0.758=Poziv funkcije Euler:

n 50:=f t c,( ) k0− e

Er−

T c( )⋅ c⋅:=

Redefinisanje desne strane dif. jednacine

Euler x0 xmax, n, y0, f,( ) hxmax x0−

n←

x x0←y0

y0←

yi

yi 1−

h f x yi 1−

,( )⋅+←x x h+←

i 1 n..∈for

y

:=

vraca niz vrednosti funkcije y (yi, i = 0,n) koje odgovaraju ekvidistantnim vrednostima sa korakom h = (xmax-x0)/n nezavisno promenljive u intervalu [x0,xmax]. Zahteva prethodno definisanu desnu stranu diferencijalne jednacine, f(x,y) i pocetne vrednosti x0,y0

y x0( ) y0=x

yd

df x y,( )=

Funkcija Euler za numericku integraciju diferencijalne jednacine

=> krajnja vrednost koncentracijecn

0.758=

ci

ci 1−

h f ci 1−( )⋅+:=t

ii h⋅:=

i 1 n..:=

c0

c0:=Integracija:

K3 h f xh

2+ y

i 1−K2

2+,

⋅←

K4 h f x h+ yi 1−

K3+,( )⋅←

yi

yi 1−

K1 2K2+ 2K3+ K4+6

+←

x x h+←y

n 50:=

Poziv funkcije RK: RK 0 tmax, n, c0, f,( )n 0.3092=

Vezba: a) Uporediti rezultate dobijene funkcijama Euler i RK uz iste polazne parametre.

Koja od dve funkcije daje tacnije rezultate i zasto?b) Varirati korak integracije dok se ne ustali (pomocu funkcije RK) dobijena

krajnja koncentracija na 4 znacajne cifre. Moze li se tako dobijen rezultat smatrati da ima 4 sigurne cifre?

c) Predložiti nacin da korisnik odabere broj integracionih koraka koji ce obezbediti dobijanje rezultata za zadatom tacnoscu (broj sigurnih cifara) Implicitna Eulerova metoda srednjeg nagiba:

Funkcija Euler1 ima u odnosu na Euler dodatni argument ε koji predstavlja toleranciju za konvergenciju postupka uzastopne primene korektor formule za dobijanje vrednosti funkcije yi iz iz yi-1 (i = 1,n)

Euler1 x0 xmax, n, y0, f, ε,( ) hxmax x0−

n←

x x0←y0

y0←kmax 20←

yip yi 1−

h f x yi 1−

,( )⋅+←

yi yi 1−

0.5 h⋅ f x yi 1−

,( ) f x h+ yip,( )+( )⋅+←

break yi yip− ε<if

yip yi←

k 1 kmax 1+..∈for

break k kmax>if

yi

yi←x x h+←

i 1 n..∈for

yn

"ne konvergira"← k kmax=if

yreturn

:=

Pitanja: Koliki je specificirani maksimalan broj uzastopnih korekcija u funkciji Euler1?•Kako korisnik dobija informaciju u slucaju da postupak korekcije ne konvergira? •

n 50:= ε 106−:=

Poziv funkcije Euler1 : Euler1 0 tmax, n, c0, f, ε,( )n 0.3118=

Vezba: Uporediti rezultate dobijene funkcijama Euler i Euler1 sa istim integracionim korakom. Koji rezultat se moze smatrati pouzdanijim? Uporediti osetljivost rezultata na promenu broja integracionih koraka za dve metode. Da li je razlika u ponasanju metoda posledica razlicite tacnosti ili razlicite osetljivosti, ili oba ova faktora?

Milne-ova metoda:

Funkcija Milne ima iste argumente kao i Euler1.

Milne x0 xmax, n, y0, f, ε,( ) hxmax x0−

n←

x x0←y0

y0←kmax 20←y RK x0 x0 3 h⋅+, 3, y0, f,( )←x x0 3h+←

yip yi 4−

4h

32 f x y

i 1−,( )⋅ f x h− y

i 2−,( )− 2 f x 2 h⋅− y

i 3−,( )⋅+( )⋅+←

yi yi 2−

h

3f x h+ yip,( ) 4 f x y

i 1−,( )⋅+ f x h− y

i 2−,( )+( )⋅+←

break yi yip− ε<if

yip yi←

k 1 kmax 1+..∈for

break k kmax>if

yi

yi←x x h+←

i 4 n..∈for

yn

"ne konvergira"← k kmax>if

yreturn

:=

n 50:= ε 106−:=

Poziv funkcije Milne : Milne 0 tmax, n, c0, f, ε,( )n 0.3082=

Pitanja i vezbe: a) Kog reda tacnosti je Milneova metoda?b) Odrediti broj integracionih koraka koji obezbedjuje tacnost krajnje

koncentracije na 4 sigurne cifrec) Uporediti rezultate dobijene funkcijama Milne i Euler1 sa istim brojem

integracionih koraka. Koji rezultat se moze smatrati pouzdanijim i zasto?d) Da li funkcija Milne moze, u opstem slucaju, da obezbedi vecu tacnost

vrednosti trazene funkcije u gornjoj granici intervala integracije od funkcije RK? Ako je odgovor potvrdan, obrazloziti.ODESOLVE BLOCK za integraciju diferencijalne jednacine metodom Runge-Kutta 4 reda Analogno rešavanju jedne ili sistema nelinearnih jednaèina pomoæu SOLVE BLOCK-a u Mathcad-u se može numericki resavati diferencijalna jednaèina

xyd

df x y,( )= , y x( ) y0=

pomocu ODESOLVE BLOCK-a koji omoguæuje definisanje problema u formi vrlo slicno izvornoj (matematicka notacija). Sastoji se od dva dela:

Iza kljucne reci Given daje se formulacija problema u obliku vrlo slicnom 1.izvornom (diferencijalna jednacina i pocetni uslov)Poziv funkcije Odesolve koja vraca resenje u obliku funkcije y(x). Tako se 2.vrednost funkcije moze dobiti za bilo koju vrednost x na zadatom intervalu [x0,xmax] (interpolacija u nizu interno izracunatih vrednosti funkcije za diskretne vrednosti nezavisno promenljive). Znacenje argumenata funkcije Odesolve(x,xmax,n) su:

x - nezavisno promenljivaxmax - gornja granica intervala integracijen - broj integracionih koraka

Resenje zadatog problema pomocu ODESOLVE BLOCK-a

n 50:=Given

tc t( )d

df t c t( ),( )=

c 0( ) c0=

c Odesolve t tmax, n,( ):=

Krajnja vrednost koncentracije se dobija pozivom funkcije c(t) za t = tmax

c tmax( ) 0.3092=

Vezba: a) Odrediti broj integracionih koraka koji obezbedjuje tacnost krajnje

koncentracije na 4 sigurne cifre.b) Prikazati funkciju c(t)

ODESOLVE BLOCK pruza mogucnost da se izostavi parametar n (broj koraka) u pozivu funkcije Odesolve (opcioni parametar) u kom slucaju se u okviru funkcije automatski bira broj koraka iz uslova da se zadovolji preciznost zadata sistemskim parametrom TOL.

Vezba: Ponoviti prethodni proracun uz izostavljanje parametra n

============================================================

Zadatak: Bilans reaktanta A u nepovratnoj reakciji A = B+2C koja se odvija u cevnom reaktoru uz promenu gustine reakcione smese je

F0 zxA

d

d⋅ k

1 xA−1 kv xA⋅+⋅= xA 0( ) 0=

gde je F0(m3/s) zapreminski protok ulazne reakcione smese a kv koeficijent promene gustine

smese.Za rektor date duzine l(m) i precnika d(m)

a) Prikazati profil stepena konvezije reaktanta xA(z)

b) Naci stepen konverzije u reaktoru na rastojanjima od 15, 60 i 150 cm od ulaza

Podaci:

F0 1.7 104−⋅:= l 2:= d 0.36:= k 1.5 10

4−⋅:= kv 2:=

============================================================

Vektorska funkcija koja sadrzi izvode trazenih funkcija c0(t),c1(t) i c2(t) tj. desne strane dif. jednacina

D t c,( )

k0

− c0

⋅k0

c0

⋅ k1

c1

⋅−k1

c1

⋅

:=

Pocetne vrednosti trazenih funkcija c0(t),c1(t) i c2(t) c

1

0

0

:=

Definisanje pocetnog uslova i desnih strana dif.jednacina:

Resenje zadatog problema

Funkcije vracaju matricu cija je prva kolona niz od n+1 ekvidistantne vrednosti x u intervalu [x0,xmax]. Preostale kolone predstavljaju odgovarajuce vrednosti funkcija y0 do ym-1

Pozivu funkcija prethodi:definicija vektora y0 pocetnih vrednosti funkcija•definisanje vektorske funkcije D(x,y) = {fi(x,y)} i=0,m-1•

Upoznacemo sa sa funkcijom rkfixed koja se bazira na RK metodi 4-og reda i njenom modifikcijom, funkcijom Rkadapt sa promenljivim korakom u intervalu integracije koji obezbedjuje zadatu preciznost (parametar TOL). Ove dve funkcije imaju identicne argumente: y,x0,xmax,n,D

i 0= .., m 1−,yi x0( ) y0i=xyi

d

dfi x y

0, y

1, .., y

m 1−,( )=

U Mathcad-u postoji vise funckcija za integraciju sistema diferencijalnih jednacina prvog reda.

*Komentar

______________________________________________________________________

b) Prikazati koncentracije komponenata u funkciji od vremena

a) Izracunati sastav reakcione smese nakon 60s odvijanja reakcija

CB0 CC0= 0=CA0 1=

tCC

d

dk1 CB⋅=

s1−

k10

1−

0.5 101−⋅

:=tCB

d

dk0 CA⋅ k1−⋅ CB⋅=

tCA

d

dk0− CA⋅=

Problem: Za Niz konsekutivnih reakcija A -> B -> C u sarznom reaktoru materijalni bilans glasi :

______________________________________________________________________

Sistem diferencijalnih jednacina prvog reda

XIV -Sistemi diferencijalnih jednacina prvog reda i pocetni problem za diferencijalnu jednacinu m-tog reda

XIV-1

Pitanja:Sta su vrednosti Sn,i (i=1,3)? •Koja funkcija daje tacnije vrednosti i zasto?•

S

0

12

24

36

48

60

1

0.30119

0.09072

0.02732

8.22962 103−×

2.4787 103−×

0

0.49524

0.42095

0.27595

0.16498

0.09462

0

0.20357

0.48833

0.69673

0.82679

0.9029

=S Rkadapt c 0, tmax, n, D,( ):=

n 5:=

*Komentar - parametar n ima znacenje pocetnog broja integracionih koraka i definise broj vrsta matrice rezultata

Integracija funkcijom Rkadapt:

0 20 40 600

0.5

1CA

CB

CC

CA CB+ CC+

t

Vezba: Proveriti da li je izabrani broj koraka dovoljno veliki da obezbedi tacnost od 4 sigurne cifre proverom zbira krajnjih koncentracija.

ΣC 1=ΣC CAn

CBn

+ CCn

+:=CCn

0.9029=

CBn

0.09462=

CAn

2.48004 103−×=Krajnje koncentracije :

CC S 3⟨ ⟩:=CB S 2⟨ ⟩:=CA S 1⟨ ⟩:=t S 0⟨ ⟩:=

S je matrica sa 4 kolone (z,CA,CB,CC) i n+1 vrstomS rkfixed c t0, tmax, n, D,( ):=tmax 60:=t0 0:=n 20:=Broj integracionih koraka:

Integracija funkcijom rkfixed:

XIV-2

============================================================

a) Prikazati promene temperatura ulja u 1. 2. i 3. rezervoaru u toku vremena u periodu od 3 sata.

b) Proceniti temperature ulja u rezervoarima kada se uspostavi stacionarno stanje.

c) Uopstititi problem na m rezervoara (m > 1)

Ti 0( ) T0=

i 1= 3..M Cp⋅tT

id

d⋅ F Cp⋅ T

i 1−T

i−( )⋅ KA Ts T

i−( )⋅+=

Zadatak: Tri idealno mesana rezervoara povezana u niz se greju zmijastim grejacima sa zasicenom vodenom parom temperature Ts = 250 0C. Svaki od rezervoara je pre starta napunjen sa M =1000kg ulja temperature T0 = 20 0C. U jednom momentu pocinje da utice ulje, temperature 20 0C, u prvi rezervoar sa protokom F = 100kg/min i istom brzinom tece iz prvog u drugi i iz drugog u treci rezervoar.Toplotni kapacitet ulja je Cp = 2kJ/kgK. Proizvod koefecijenta prolaza toplote K i ukupne grejne povrsine zmijastog grejaca A je za svaki od rezervoara jednak KA = 10kJ/minK. Matematicki model koji opisuje promenu temperature ulja u 1., 2. i 3. rezervoaru u toku vremena je :

===========================================================

cn

0.3092=c Rez1⟨ ⟩:=

Rez rkfixed c 0, tmax, n, D,( ):=n 50:=D t c,( ) f t c

0,( ):=

Definisanje vektorske funkcije (u ovom slucaju samo jedan element sa indeksom 0)

c0

c0:=

Pocetni uslov - definisanje jedinog (sa indeksom 0) elementa vektora pocetnih vrednosti

f t c,( ) k0− e

Er−

T c( )⋅ c⋅:=T c( ) T0 a c c0−( )⋅+:=

a∆H

cp ρ⋅:=tmax 2500:=

T0 300:=c0 4.5:=ρ 850:=cp 2.2:=∆H 20000−:=Er 12000:=k0 2 10

13⋅:=

Problem: Resiti problem integracije jedne diferencijalne jednacine iz Lekcije XIII pomocu rkfixed ili Rkadapt funkcija

______________________________________________________________________

XIV-3

T 1:= ξ 0.2:= k 1:=

gde je x t( ) 1:= na intervalu [0,20]

sa pocetnim uslovimay 0( ) 0=ty 0( )d

d0=

______________________________________________________________________

Interval integracije t0 0:= tmax 20:=

Pocetni uslovi u0

0

:=

Vektorska funkcija D t u,( )

u1

k x t( )⋅ u0

− 2ξ T⋅ u1

⋅−

T2

:=

Broj koraka n 50:=rez Rkadapt u t0, tmax, n, D,( ):= t rez 0⟨ ⟩:= y rez 1⟨ ⟩:=

0 5 10 15 200

1

2

y

t

Pocetni problem za diferencijalnu jednacinu m-tog reda

Treba numericki resiti diferencijalnu jednacinu

mx

yd

d

mf x y,

xyd

d,

2x

yd

d

2, ..,

m 1−x

yd

d

m 1−,

=

na intervalu nezavisno promenljive [x0,xmax] pri cemu su zadate vrednosti funkcije y i svih njenih izvoda zakljucno sa izvodom reda m-1 u tacki x = x0. Problem se smenom

u0

y= , u1 x

yd

d=

xu

0d

d= , u

2 2x

yd

d

2=

xu

1d

d= .... u

m 1− m 1−x

yd

d

m 1−=

xu

m 2−d

d=

prevodi u problem integracije sledeceg sistema od m diferencijalnih jednacina prvog reda

xu

0d

du

1= ,

xu

1d

du

2= ....

xu

m 1−d

df x u

0, u

1, u

2, .., u

m 1−,( )=

sa datim pocetnim uslovima

______________________________________________________________________

Problem: Resiti diferencijalnu jednacinu koja opisuje prigusene oscilacije

T2

2t

yd

d

2⋅ 2ξ T⋅

tyd

d⋅+ y+ k x t( )⋅= za

XIV-4

Vezba: Resiti isti problem sa x t( ) 1 e0.5− t−=

Resenje problema primenom ODESOLVE BLOCK-a

Given

T2

2t

y t( )d

d

2⋅ 2ξ T⋅

ty t( )d

d⋅+ y t( )+ k x t( )⋅=

y 0( ) 0=

y' 0( ) 0=

y Odesolve t tmax,( ):=t 0 0.5, tmax..:=

0 5 10 15 200

1

2

y t( )

t

*Komentar - U SOLVE BLOCK-u se pocetni uslovi za izvode moraju pisati pomocu prim notacije ('). Prim se sa tastature dobije kao CTRL-F7.

==========================================================

Zadatak: Resiti sledecu diferencijalnu jednacinu koja opisuje oscilacije materijalne tacke

2t

x t( )d

d

2µ 1 x t( )

2−( )⋅tx t( )d

d⋅− x t( )+ 0=

u intervalu [0,20] ako je pocetna pozicija tacke x(0)=2 a njena pocetna brzina jednaka 0 za µ = 2.

===========================================================

XIV-5

Problem 1: Bezdimenzioni matematicki model reakcija n-tog reda A = proizvodi, u poroznom plocastom zrnu katalizatora debljine L je:

_____________________________________________________________________

ODESOLVE BLOCK je ogranièen na granicne uslove Dirichlet-ovog ili Neuman-ovog tipa

U Mathcad-u postoje dva sistema za realizaciju shooting metode:ODESOLVE BLOCK•funkcija sbval•

dok se ne zadovolje zadati granièni uslovi

xu1

d

dg2 x u0,( )− u1⋅ g1 x u0,( ) u0⋅− g0 x( )+=

xu0

d

du1=(*)

Sastoji se u iterativnom resavanju pocetnog problema, odnosno ekvivalentnog sistema od dve diferencijalne jednacine prvog reda (Lekcija XIV)

Shooting metod

Napominjemo da uslov na granici a ne mora biti istog tipa kao i uslov na granici b.

y' E1=x b=

y' E0=x a=

Neuman-ovi granicni uslovi su specijalan slucaj sa nultim vrednostima parametara A

y D1=x b=

y D0=x a=

U slucaju da su parametri B jednaki nuli granicni uslovi postaju Dirichlet-ovog tipa:

(parametri A,B,C su konstante)

A1 y⋅ B1 y'⋅+ C1=x b=

A0 y⋅ B0 y'⋅+ C0=x a=

sa granicnim uslovima, koji u opstem slucaju imaju oblik (Robin) :

y'' g2 x y,( ) y'⋅+ g1 x y,( ) y⋅+ g0 x( )=

Treba numericki resiti diferencijalnu jednacinu drugog reda na intervalu nezavisno promenljive [a,b], opsteg oblika

XV -Granicni (konturni) problem za diferencijalnu jednacinu drugog reda - I

XV -1

x 0 0.01, 1..:=

*Komentar - preporucuje se primena opcije Adaptive (Izbor desnim tasterom na Odesolve) odnosno integracija ekvivelantnog sistema diferencijalnih jednacina metodom Runge-Kutta sa promenljivim korakom

y 1( ) 1=Provera

y Odesolve x 1,( ):=y 1( ) 1=

y' 0( ) 0=

2x

y x( )d

d

2Φ2

y x( )n⋅− 0=

Givena)

Resenje pomocu ODESOLVE BLOCK-a

_____________________________________________________________________

η 1

Φ2

xy 1( )

d

d

y 1( )n

⋅=

a) Izracunati i prikazati koncentracijski profil u zrnu sa Φ 2:= , n 0.5:= pri vrlo velikim vrednostim Bi (drugi granicni uslov se svodi na uslov Dirichlet-ovog tipa).b) Izracunati faktor efektivnosti reakcije η

1

Bi−

xy

d

d⋅ y 1−=x 1=

xy

d

d0=x 0=

a uslovi na granicama (ravan simetrije (x=0), spoljna povrsina zrna (x = 1))

gde je y - bezdimenziona koncentracija reaktanta (odnos koncentracije u zrnu i u masi gasa)•x - bezdimenzino rastojanje od ravni simetrije zrna (odstojanje/0.5L)•Φ2 - Tiele-ov modul•Bi - Biot-ov kriterijum•

0 x≤ 1≤2

xy

d

d

2Φ2

yn⋅− 0=

XV -2

3. Uslov koji mora biti zadovoljen na drugoj granici x = 1:

load a u,( )u0

0

:=

2. Ulazni vektor pocetnih vrednosti funkcije u0 (funkcija) i u1(izvod)

na prvoj granici x = 0:

u0 0.5:=

1. Pretpostavku nedostajuce vrednosti funkcije u0 (funkcija y)

na prvoj granici x=0:

Postupak primene funkcije sbval zahteva:

D x u,( )u1

g2 x u0,( )− u1⋅ g1 x u0,( ) u0⋅− g0 x( )+

:=Vektorska funkcija D

g2 x u0,( ) 0:=g1 x u0,( ) Φ2− u0n 1−⋅:=g0 x( ) 0:=

Odreðivanje funkcija g u sistemu (*)

a) Postupak zahteva vektorsku funkciju izvoda D (Lekcija XIV)

Rešenje pomocu sbval funkcije

Vezba: Uporedi resenja dobijena izborom opcija Fixed i Adaptive za Odesolve funkciju

*Komentar - Numericki postupak diferenciranja dobijene funkcije y(x) nije konvergirao u x = 1 (proveriti)

η 0.53936=η 1

Φ2

xy x( )

d

d

y 1( )n

⋅:=

x 0.9999:=b)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

y x( )

x

XV -3

Polazna procena je odabrana na osnovu resenja prethodnog problema rez0u0 0.1:=Problem 2: Pri istim ostalim podacima odrediti faktor efektivnost η za slozeniji slucaj Bi 5:=

_____________________________________________________________________

Pitanje: Sta je razlog neslaganja u vrednostima faktora efektivnosti razlicitim metodama?

η 0.56821=η 1

Φ2

y'N

yN( )n⋅:=

y'N 2.27286=y' S2⟨ ⟩:=Vekor vrednosti prvih izvoda

b)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

y

x

yN 1=Provera

y S1⟨ ⟩:=x S

0⟨ ⟩:=Vrednosti nezavisnopromenljive x i funkcije y

S Rkadapt u 0, 1, N, D,( ):=Integracija

N 50:=Broj koraka

urez0

0

:=Pocetni uslovi

Pošto je dobijen trazeni granièni uslov, problem se konvertuje u pocetni i dalje se resava pomocu vec spomenutih funkcija rkfixed ili Rkadapt.

rez0 0.09952=rez sbval u 0, 1, D, load, score,( ):=

Pozivanjem funkcijem sbval se dobija vektor trazenih granicnih uslova. U ovom slucaju to je vektor sa jednim elementom koji predstavlja dobijenu vrednost na prvoj granici x = 0

score b u,( ) u0 1−:=

XV -4

===============================================================

Izracunati i prikazati koncentracijski profil reaktanta duz reaktora za n 2:= Pe 1:= i Da 2:=

zc

d

d0=x 1=c

1

Pe zc

d

d⋅− 1=x 0=

a uslovi na granicama (ulaz u reaktor (x = 0), izlaz iz reaktora (x =1)

gde je c - bezdimenziona koncentracija reaktanta (odnos koncentracije u reaktoru i ulazne •koncentracije)x - bezdimenziono rastojanje od ulaza u reaktor (odnos rastojanja i duzine reaktora)•Da - Damkelerov prvi kriterijum•Pe - Pekleov kriterijum•

1

Pe 2x

cd

d

2⋅

xc

d

d− Da c

n⋅− 0=

Zadatak: Bezdimenzioni bilans reaktanta u cevnom reaktoru, u kome se odigrava reakcija n-tog reda A = produkti je:

===============================================================

Vežba:a) Izvrsiti proveru resenja koje daje funkcija sbval (vrednost funkcije score)b) Proveriti koliko je postupak osetljiv na polaznu procenu vrednosti funkcije

za x = 0c) Odrediti granicnu vrednost Biot-ovog broja iznad kog se Robin-ovi uslovi na

povsini zrna mogu zameniti Dirichle-ovim (zanemarljiv otpor spoljnjoj difuziji) ako je kriterijum da se vrednosti faktora efektivnosti za tacne i približne granicne uslove slazu na dve decimale

η 0.51772=η 1

Φ2

y'N

yN( )n⋅:=

y' S22⟨ ⟩:=y S2

1⟨ ⟩:=Faktor efektivnosti

S2 Rkadapt u 0, 1, N, D,( ):=Integracija

N 50:=Broj koraka

urez0

0

:=Pocetni uslovi


Robin-ovi granicni uslovi na drugoj granici score b u,( ) u01

Biu1⋅+ 1−:=

U ovom slucaju nije neophodno ponovo definisati funkciju load

load a u,( )u0

0

:=

XV -5

===============================================================

XV -6

2x

y 0( )d

d

2 1

3Φ2⋅ y

n⋅=

pa se za drugi izvod u singularnoj tacki iz DJ dobija

0x

2

x xy

d

d⋅lim

→2

0x x xy

d

d

d

dlim→

0x xx

d

dlim→

= 20x

2x

yd

d

2lim→

=

Primetimo da je granica x = 0 singularna tacka u kojoj drugi clan u DJ ne može da se izracuna (deljenje sa 0). Drugim recima, nedefinisana je desna strana druge u sistemu od dve diferencijalne jednacine prvog reda ekvivalentnom polaznoj jednacini (Lekcija XV), koja daje vrednost drugog izvoda funkcije. Drugi izvod u singularnoj tacki se dobija iz izraza koji predstavlja granicnu vrednost polaznog izraza kada x tezi 0. Granicna vrednost drugog clana u DJ kada x tezi 0 dobija se L'Hopital-ovim pravilom:

_____________________________________________________________________

η 3

Φ2

xy 1( )

d

d

y 1( )n

⋅=

a) Izracunati i prikazati koncentracijski profil u zrnu sa Φ 2:= , n 0.5:= , Bi 5:=b) Izracunati faktor efektivnosti reakcije η

gde je y - bezdimenziona koncentracija reaktanta (odnos koncentracije u zrnu i u masi gasa)•x - bezdimenzina radijalna koordinata (r/R)•

1

Bi−

xy

d

d⋅ y 1−=x 1=

xy

d

d0=x 0=

0 x≤ 1≤2

xy

d

d

2 2

x xy

d

d⋅+ Φ2

yn⋅− 0=

Problem: Bezdimenzioni matematicki model reakcija n-tog reda A = proizvodi, u poroznom sfernom zrnu katalizatora poluprecnika R je:

_____________________________________________________________________

XVI -Granicni (konturni) problem za diferencijalnu jednacinu drugog reda - II. Problem singularnosti na granici. Linerna DJ

XVII - 1

yN1

Biy'N⋅+ 1− 2.03976− 10

10−×=Provera

y' S2⟨ ⟩:=y S

1⟨ ⟩:=x S0⟨ ⟩:=

S Rkadapt u 0, 1, N, D,( ):=

N 50:=

urez0

0

:=

Integracija sa dobijenim pocetnim vrednostima:


score b u,( ) u01

Biu1⋅+ 1−:=

load a u,( )u0

0

:=

u0 0.5:=

*Komentar - da bi se izbegli eventualni racunski problemi u blizini singularne tacke, umesto da se drugi izvod po izvedenoj graniènoj formuli raèuna samo u x = 0 ta formula se primenjuje za vrednosti x < ε (mali broj)

D x u,( )

u1

if x ε< 1

3Φ2⋅ u0( )n⋅, g2 x u0,( )− u1⋅ g1 x u0,( ) u0⋅− g0 x( )+,

:=

Vektorska funkcija D

ε 1010−:=

g2 x u0,( ) 2

x:=g1 x u0,( ) Φ2− u0

n 1−⋅:=g0 x( ) 0:=

Odredjivanje funkcija g u ekvivalentnom sistemu ODJ prvog reda

a) Vektorska funkciju izvoda D

Resenje pomocu sbval funkcije

XVII - 2

y 1( ) 1.3828− 108−×=Provera:

y Odesolve x 1,( ):=y 1( ) 0=

y' 0( ) 0=

2x

y x( )d

d

2 1

x ε+ xy x( )

d

d⋅+ δ− e

y x( )⋅=

Given

Problem singulariteta u ovom slucaju æemo resiti dodavanjem vrlo malog broja ε u imenioc drugog clana diferencijalne jednacine cime se unosi neznatna greska u resenje

_____________________________________________________________________

za δ 2:= pomocu ODESOLVE BLOCK-a

y 1( ) 0=

y' 0( ) 0=

2x

y x( )d

d

2 1

x xy x( )

d

d⋅+ δ− e

y x( )⋅=

Problem: Potrebno je resiti bezdimenzioni matematicki model eksplozije materijala (dinamit) u obliku cilindra

_____________________________________________________________________

Vezba: Ispitati uticaj Tiele-ovog modula na faktor efektivnosti varirajuæi vrednosti Φ u intervalu (0,3]

η 0.86621=η 3

Φ2

y'N

yN( )n⋅:=

b)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.2

0.4

0.6

y

x

XVII - 3

dobija se trodijagonalan linearan sistem od n+1jednaèine sa n+1 nepoznatom. Funkcija Profil daje resenje posmatranog sistema linearnih jednacina. Ulazni parametri ove funkcije su: vektorska funkcija g(x), matrica G koja sadrzi parametre A,B,C u granicnim uslovima, granice intervala integracije x0,x1 i broj integracionih koraka n. Unutar funkcije Profil se trodijagonalni sistem linearnih jednacina resava pozivom funkcije Th, koja realizuje poznati Thomas-ov metod.

A1 yn⋅ B1yn yn 1−−

h⋅+ C1=i 0=

A0 y0⋅ B0y1 y0−

h⋅+ C0=i 0=

Kada se dodaju i granièni uslovi sa aproksimiranim izvodima:

gde je hb a−

n= korak integracije

i 1= n 1−..yi 1+ 2 yi− yi 1−+

h2

g2 xi( ) yi 1+ yi 1−−2h

⋅+ g1 xi( ) yi⋅+ g0 xi( )=

Nakon aproksimiranja izvoda konacnim razlikama u unutrasnjim tackama i= 1, n-1 u kojima važi diferencijalna jednacina, dobija se sledeci sistem linearnih algebarskih jednacina sa n+1 nepoznatom yi (i = 0,n):

A1 y⋅ B1 y'⋅+ C1=x b=

A0 y⋅ B0 y'⋅+ C0=x a=

y'' g2 x( ) y'⋅+ g1 x( ) y⋅+ g0 x( )=

Predstavlja specijalan slucaj nelinearne DJ ciji je opsti oblik dat u Lekciji XV, kada funkcije g zavise samo od nezavisno promenljive x:

Metod konacnih razlika za linearnu diferncijalnu jednacinu drugog reda

Vezba: Isti problem resiti pomoæu sbval funkcije

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0

1

2

y x( )

x

x 0 0.01, 1..:=

XVII - 4

Th n a, b, c, d,( ) w0 a0←

qi 1−bi 1−

wi 1−←

wi ai ci qi 1−⋅−←

i 1 n..∈for

g0d0

w0←

gidi ci gi 1−⋅−

wi←

i 1 n..∈for

xn gn←

xi gi qi xi 1+⋅−←i n 1− n 2−, 0..∈for

xreturn

:=

Profil g G, x0, x1, n,( ) A G( )T( ) 0⟨ ⟩

←

B G( )T( ) 1⟨ ⟩

←

C G( )T( ) 2⟨ ⟩

←

hx1 x0−

n←

xi x0 i h⋅+←i 0 n..∈for

a0 h A0⋅ B0−←b0 B0←c0 0←d0 C0 h⋅←an h A1⋅ B1+←bn 0←cn B1−←dn C1 h⋅←

ai g xi( )( )1

h2⋅ 2−←

i 1 n 1−..∈for

:=

XVII - 5

G

A0

B0

C0

A1

B1

C1

:=

A0

B0

C0

A1

B1

C1

Pe

1−Pe

0

1

0

:=Matrica G

g x( )

0

Da− Pe⋅Pe−

:=Vektorska funkcija g

Da 2:=Pe 1:=za

zc

d

d0=

x 1=

c1

Pe zc

d

d⋅− 1=

x 0=

1

Pe 2x

cd

d

2⋅

xc

d

d− Da c⋅− 0=

Problem: Izracunati bezdimenzioni koncentracijski profil c reaktanta u cevnom reaktoru u kome se odigrava reakcija prvog reda A = produkti, opisan diferencijalnom jednacinom:

_____________________________________________________________________

* Komentar - koriscenjem Thomas-ovog metoda umesto standardnog Gausov-og postupka (Mathcad funkcija lsolve) postize se znaèajna usteda u racunskom vremenu kod velikogbroja integracionih koraka.

i i( )( )1

bi 1 g xi( )( )2

h

2⋅+←

ci 1 g xi( )( )2

h

2⋅−←

di g xi( )( )0

h2⋅←

y Th n a, b, c, d,( )←Y

0⟨ ⟩x←

Y1⟨ ⟩

y←Yreturn

XVII - 6

y 1=x 1=

xy

d

d0=x 0=

sa granicnim uslovima u slucaju zanemarljivog otpora spoljne difuzije (velike vrednosti Bi)

0 x≤ 1≤2

xy

d

d

2Φ2

y⋅− 0=

Zadatak: Bezdimenzioni matematicki model reakcija A = proizvodi, u poroznom plocastom zrnu katalizatora (Problem 1, Lekcija XV) u slucaju reakcije prvog reda postaje linearan:

===============================================================

c) Poveavati broj integracionih koraka (za po 100) dok se numerickim postupkom ne dobije stepen konverzije sa tacnoscu od 3 sigurne cifre

r21

2Pe⋅ 1

2Pe

24 Pe⋅ Da⋅+⋅−:=r1

1

2Pe⋅ 1

2Pe

24 Pe⋅ Da⋅+⋅+:=

gde su :

C x r1, r2,( ) Pe r2 er2 r1 x⋅+⋅ r1 e

r1 r2 x⋅+⋅− ⋅

Pe r2 er2⋅ r1 e

r1⋅− ⋅ r1 r2⋅ er1

er2−( )⋅+

:=

Vezba:a) Izracunati postignuti stepen konverzije reaktantab) Uporediti dobijen rezultat sa stepenom konverzije izracunatim iz analitickog

resenja date diferencijalne jednacine:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.2

0.3

0.4

0.5

c

x

c rez1⟨ ⟩:=x rez

0⟨ ⟩:=rez Profil g G, 0, 1, n,( ):=Resenje

n 50:=Broj integracionih koraka

XVII - 7

x 1= y 1=

a) Resiti numericki model za Φ = 2b) Uporediti izracunatu vrednost bezdimenzione koncentracije u x=0.5 sa onom dobijenom iz analitickog resenja

y x( )coshΦ x⋅( )coshΦ( ):=

===============================================================

XVII - 8

Tri najpoznatije metode za resavanje parabolicne PDJ su: eksplicitna metoda kod koje se formulisani sistem ODJ resava Ojlerovom eksplicitnom •metodomimplicitna ili Cranc-Nicholson metoda gde se sistem ODJ resava implicitnom •Ojlerovom metodommetod linija kod koga se sistem ODJ resava nekom od slozenijih, i zato tacnijih, •metoda

j 0= 1....,i 0= n,tj

j ∆t⋅=gde je yi j, y x

itj

,( )=

dobija se sistem ODJ sa dve algebarske jednacine, cijim numerickim resavanjem sa korakom ∆t dobijamo diskretne vrednosti trazene funkcije y(x,t):

A1 yi t( )⋅ B1

yn

t( ) yn 1− t( )−

∆x⋅+ C1=x x1=

A0 yi t( )⋅ B0

y1

t( ) y0

t( )−∆x

⋅+ C0=x x0=

Ako dodamo aproksimativne granicne uslove:

i 0= n..yi

t( ) yi

xi

t,( )=

a yi funkcije nezavisno promenljive t :

∆xx1 x0−

n=

gde su xi ekvidistantne vrednosti x na intervalu [x0,x1] sa korakom

i 1= n 1−..tyi t( )d

da x

i( ) yi 1+ t( ) 2 y

i⋅ t( )− y

i 1− t( )+

∆x2

⋅ b xi( ) y

i 1+ t( ) yi 1− t( )−

2 ∆x⋅⋅+ c xi( ) yi t( )⋅+ d x

i( )+=

Nakon diskretizacije domena nezavisno promenljive i aproksimiranja parcijalnih izvoda po x konacnim razlikama, dobija se sistem obicnih diferencijalnih jednacina

A1 y⋅ B1x

y∂∂⋅+ C1=x x1=

A0 y⋅ B0x

y∂∂⋅+ C0=x x0=

i Robinovim granicnim uslovima:

y x t0,( ) φ x( )=

sa pocetnim uslovom:

t t0>x0 x< x1<ty x t,( )∂∂

a x( )2x

y x t,( )∂∂

2⋅ b x( )

ty x t,( )∂∂⋅+ c x( ) y x t,( )⋅+ d x( )+=

Opsti oblik LPDJ parabolicnog tipa je

XVII -Parabolicne linarne parcijalne diferencijalne jednacine

XVII - 1

Expl a b, c, d, x0, x1, ypoc, G, ∆x, ∆t, nt,( ) A GT( ) 0⟨ ⟩

←

B GT( ) 1⟨ ⟩

←

C GT( ) 2⟨ ⟩

←

nxx1 x0−

∆x←

xi

x0 i ∆x⋅+←

yi j, 0←

j 0 nt..∈for

i 0 nx..∈for

yi 0, ypoc x

i( )←t 0←

i 0 nx..∈for

yi j 1+, y

i j, ∆t a xi( ) y

i 1+ j, 2 yi j,⋅− y

i 1− j,+

∆x2

⋅

b xi( ) y

i 1+ j, yi 1− j,−

2 ∆x⋅⋅ c xi( ) y

i j,⋅+ d xi( )++

...

⋅+←

i 1 nx 1−..∈for

y0 j 1+,

∆x C0

⋅ y1 j 1+, B

0⋅−

A ∆x⋅ B−←

j 0 nt 1−..∈for

:=

Funkcija Expl realizuje eksplicitnu metodu i vraca matricu vrednosti trazene funkcije y(x,t) cije vrste odgovaraju razlicitim vrednostima promenljive t a kolone razlicitim vredostima promenljive x. Informacije o granicnim uslovima se unose preko matrice G (Lekcija XVI)

Eksplicitna metodaDa 2:=Pe 1:=Za

t 0>z

cd

d0=x 1=

t 0>c1

Pe zcd

d⋅− 1=x 0=

0 x≤ 1≤c x 0,( ) 1=t 0=

0 x< 1<tcd

d

1

Pe 2x

cd

d

2⋅

tcd

d− Da c⋅−=

Problem: Treba numericki resiti bezdimenzioni matematicki model nestacionarnog cevnog reaktora u kome se odvija reakcija prvog reda

metoda

XVII - 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.2

0.4

0.6

0.8yT( ) 0⟨ ⟩

yT( ) n1⟨ ⟩

yT( ) n2⟨ ⟩

yT( ) nt⟨ ⟩

x

xi

i ∆x⋅:=i 1 nx..:= n2 roundnt

20,:=n1 round

nt

40,:=

y Expl a b, c, d, x0, x1, ypoc, G, ∆x, ∆t, nt,( ):=nt 1000:=Usvojen broj vremenskih koraka:

∆t 0.001:=∆tmax 1.25 103−×=∆tmax

∆x2

2 a 1( )⋅:=Usvajanje vremenskog korakaiz uslova stabilonosti:

nx 20=nxx1 x0−∆x

:=Broj koraka po x:

∆x 0.05:=Usvojen korak za x :

G

A0

B0

C0

A1

B1

C1

:=

A0

B0

C0

A1

B1

C1

Pe

1−Pe

0

1

0

:=

ypoc x( ) 1:=Pocetni uslov: Informacije o granicnim uslovima (parmetri A i B na 1. i 2. granici):

d x( ) 0:=c x( ) Da−:=b x( ) 1−:=a x( )1

Pe:=

x1 1:=x0 0:=

Da 2:=Pe 1:=

0 j 1+, A0∆x⋅ B

0−

ynx j 1+,

∆x C1

⋅ ynx 1− j 1+, B

1⋅+

A1∆x⋅ B

1+←

t t ∆t+←y y

T←yreturn

XVII - 3

Vezba: Povecati vremenski korak iznad dozvoljene granice i uociti na dijagramu nestabilnost metode

XVII - 4

D t y,( ) "Za granice ne vaze diferencijalne jednacine"

dy0

0←dy

nx0←

y0∆x C0⋅ y

1B0⋅−

A0 ∆x⋅ B0−←

"Vrednost y(0) neophodna za racunanje izvoda y(1), iz granicnog uslova"

dy1

a ∆x( ) y2

2 y1

⋅− y0+

∆x2

⋅ b ∆x( ) y2

y0−2 ∆x⋅⋅+ c ∆x( ) y

1⋅+ d ∆x( )+←

ynx∆x C1⋅ y

nx 1−B1⋅+

A1 ∆x⋅ B1+←

:=∆t 0.01:=Usvojen korak za t :

nx 20=nxx1 x0−∆x

:=Broj prostornih koraka:

∆x 0.05:=Usvojen korak za x :

x1 1:=x0 0:=

A0

B0

C0

A1

B1

C1

Pe

1−Pe

0

1

0

:=

d x( ) 0:=c x( ) Da−:=b x( ) 1−:=a x( )1

Pe:=

Da 2:=Pe 1:=_____________________________________________________________________

Problem: Resiti problem iz Lekcije XVII metodom linija.

_____________________________________________________________________

Rezultujuci sistem ODJ sa aproksimativnim granicnim uslovima (Lekcija XVII) mozemo da resavamo pomocu ugradjenih Mathcad funkcija za pocetni problem ODJ. Neophodno je definisati vektor funkciju D. Definiciji funkcije D moraju da prethode definicije parametara koji figurisu u uopstenoj parabolicnoj PDJ sa uopštenim granicnim uslovima (Lekcija XVII)

XVIII-Parabolicne linarne parcijalne diferencijalne jednacine II. Metod linija

XVIII-1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.3

0.4

0.5

0.6

ynt

x

ynt submatrix ST( ) n⟨ ⟩

1, nx 1+, 0, 0, :=

xi

i ∆x⋅:=i 0 nx..:=Krajnji koncentracijski profil:

S nx 1+⟨ ⟩ ∆x C1⋅ S nx⟨ ⟩B1⋅+

A1 ∆x⋅ B1+:=S 1⟨ ⟩ ∆x C0⋅ S 2⟨ ⟩ B0⋅−A0 ∆x⋅ B0−:=

Nakon integracije neophodno je izracunati vrednosti funkcija na granicama uz pomoc aproksimativnih granicnih uslova (Lekcija XVII)

S Rkadapt y 0, nt ∆t⋅, n, D,( ):=

n 5:=Pocetni broj koraka za Rkadapt:

yi

1:=i 0 nx..:=Pocetni uslovi:

nt 100:=Broj vremenskih koraka:

"Vrednost y(nx) neophodna za racunanje izvoda y(nx-1), iz granicnog uslova"

x nx 1−( ) ∆x⋅←

dynx 1−

a x( )ynx 2 y

nx 1−⋅− y

nx 2−+

∆x2

⋅ b x( )ynx y

nx 2−−2 ∆x⋅⋅+ c x( ) y

nx 1−⋅+ d x( )+←

x i ∆x⋅←

dyi

a x( )yi 1+

2 yi

⋅− yi 1−

+

∆x2

⋅ b x( )yi 1+

yi 1−

−2 ∆x⋅⋅+ c x( ) y

i⋅+ d x( )+←

i 2 nx 2−..∈for

dyreturn

XVIII-2

============================================================

vy x t,( )

V1 erf

x

4µ t⋅ρ

−=

a) Generisati numericko resenje do vremena 500 s sa korakom ∆x=0.01m za sloj fluida debljine 0.1m (procenjena debljina granicnog sloja)

b) Ponoviti proracun sa ∆x=0.005m i uporediti rezultate sa proracunom pod a) za x=0.03

c) Uporediti rezultate proracuna pod b) sa analitickim resenjem:

m

sV 0.2:=i za brzinu ploce:

kg

m3

ρ 994.6:=Pa s⋅µ 8.931 104−⋅:=Za fluid cija su svojstva:

vy ∞ t,( ) 0=x ∞=

vy 0 t,( ) V=x 0=

vy x 0,( ) 0=t 0=

sa pocetnim i granicnim uslovima

tvy∂∂

µρ 2x

vy∂∂

2⋅=

=========================================================

Zadatak: Brzinski profil vy(x,t) koji se uspostavlja u Njutnovskom fluidu u blizini vertikalne ploce (x-pravac) nakon što se ploca iznenada pokrene u pravcu x i kreæe konstantnom brzinom V, u sluèaju laminarnog strujanja opisan je sledecom PDJ

XVIII-3

x0 x< x1<A3 u⋅ B3

xu

∂∂⋅+ C3=

Nakon diskretizacije domena nezavisno promenljivih:

i 0= n.. xi x0 i ∆x⋅+= nx1 x0−∆x

=

i 0= m.. yi y0 i ∆y⋅+=m

y1 y0−∆y

=

i aproksimacije parcijalnih izvoda konacnim razlikama dobija se sledeci sistem od (n-1)x(m-1) linearnih jednacina sa (n+1)x(m+1) nepoznatih ui,j = u(xi,yj)

ui 1+ j, 2 ui j,⋅− ui 1− j,+∆x

2a xi yj,( ) ui j 1+, 2 ui j,⋅− ui j 1−,+

∆y2

..⋅+

+ b xi yj,( ) ui 1+ j, ui 1− j,−2 ∆x⋅⋅ c xi yj,( ) ui j 1+, ui j 1−,−

2 ∆y⋅⋅+ d xi yj,( ) ui j,⋅+ f xi yj,( )=

i 1= n 1−.. j 1= m 1−..

Ako se dodaju aproksimativni granicni uslovi

A0 u0 j,⋅ B0u1 j, u0 j,−

∆x⋅+ C0=

XIX - Elipticne linarne parcijalne diferencijalne jednacine

Opsti oblik LPDJ elipticnog tipa definisane nad domenom R je:

2xu x y,( )

∂∂

2a x y,( )

2yu x y,( )

∂∂

2⋅+ b x y,( )

xu x y,( )

∂∂⋅+ c x y,( )

yu x y,( )

∂∂⋅+ d x( ) u x y,( )⋅+ f x y,( )=

(x,y)∈R

U slucaju pravougaonog domena: x0 x< x1< y0 y< y1<granicni uslovi u najopstijem slucaju glase:

x x0= y0 y< y1< A0 u⋅ B0x

u∂∂⋅+ C0=

x x1= y0 y< y1<A1 u⋅ B1

xu

∂∂⋅+ C1=

y y0= x0 x< x1<A2 u⋅ B2

xu

∂∂⋅+ C2=

y y1=

XIX - 1

A1 un j,⋅ B1un j, un 1− j,−

∆x⋅+ C1=

A2 ui 0,⋅ B2ui 1, ui 0,−

∆y⋅+ C2=

A3 ui m,⋅ B3ui m, ui m 1−,−

∆y⋅+ C3=

Dobija se odredjen sistem linearnih jednacina cijim se resavanjem dobijaju priblizne vrednosti trazene funkcije ui,j ,i=0..n, j=0..m. Moze se pokazati da je zadovoljen uslov konvergencije Jacobi-jevog postupka za iterativno resenje posmatranog sistema. Sledi funkcija Eliptic u okviru koje se resava posmatrani sistem tj. dobija numericko resenje problema.

Parametar G u funkciji je 3x4 matrica sa vrednostima parametara A,B,C za sve cetiri granice domena. Polaznu procenu za iterativni postupak funkcija dobija preko parametra up koji predstavlja matricu dimenzija (n+1)x(m+1). ε predstavlja granicu apsolutnog odstupanja dve uzastopne procene vrednosti ui,j tj. kriterijum konvergencije. t je relaksacioni parametar kojim se moze postici ubrzanje konvergencije (t>1) ili prigusivanje oscilacija (t<1). U slucaju t=1 korekcije u svakoj iteraciji se vrse po Jacobi-jevom postupku. Dobijena matrica vrednosti ui,j se u funkciji Eliptic transponuje i zatim rotira oko horizontalne ose da bi se dobio prirodan izgled raspodele vrednosti funkcija u dve dimenzije.

Eliptic a b, c, d, f, x0, x1, y0, y1, G, up, n, m, ε, t,( ) ∆xx1 x0−

n←

∆yy1 y0−

m←

r∆x

∆y←

A GT( ) 0⟨ ⟩

←

B GT( ) 1⟨ ⟩

←

C GT( ) 2⟨ ⟩

←kmax 500←

xi x0 i ∆x⋅+←i 0 n..∈for

yj y0 j ∆y⋅+←j 0 m..∈for

ui j, upi j,←j 0 m..∈for

i 0 n..∈for

j 1 m 1−..∈for

k 1 kmax..∈for

:=

XIX - 2

u0 j,C0 ∆x⋅ up1 j, B0⋅−

A0 ∆x⋅ B0−←

un j,C1 ∆x⋅ upn 1− j, B1⋅+

A1 ∆x⋅ B1+←

j 1 m 1−..∈for

ui 0,C2 ∆y⋅ upi 1, B2⋅−

A2 ∆y⋅ B2−←

ui m,C3 ∆y⋅ upi m 1−, B3⋅+

A3 ∆y⋅ B3+←

i 0 n..∈for

u0 j,1

2u0 j,

C0 ∆x⋅ up1 j, B0⋅−A0 ∆x⋅ B0−+

⋅←

un j,1

2un j,

C1 ∆x⋅ upn 1− j, B1⋅+A1 ∆x⋅ B1++

⋅←

j 0 m,∈for

fbb xi yj,( ) ∆x⋅

2←

fa a xi yj,( ) r2⋅←

fc c xi yj,( ) r ∆x⋅2

⋅←

uij upi 1− j, 1 fb−( )⋅ upi 1+ j, 1 fb+( )⋅+←uij uij upi j 1−, fa fc−( )⋅+ upi j 1+, fa fc+( )⋅+←

ui j,uij f xi yj,( ) ∆x

2⋅−2 1 fa+( )⋅ d xi yj,( ) ∆x

2⋅−←

ui j, upi j, t ui j, upi j,−( )⋅+←

j 1 m 1−..∈for

i 1 n 1−..∈for

kraj "ne konvergira"←up u←

max u up−→( ) ε>if

reverse uT( )return otherwise

k

kraj

return

XIX - 3

gde su:

x0 0:= x1 6:=y0 0:= y1 2.4:=g 5000:= λ 15:= q 5000:= α 80:= Ts 25:= Tb 90:=

Posmatrana jednacina je specijalan slucaj opste PDJ sa sledecim funkcijama:

a x y,( ) 1:= b x y,( ) 0:= c x y,( ) 0:= d x y,( ) 0:= f x y,( )g−λ:=

a matrica G koja definise granicne uslove glasi:

_____________________________________________________________________

Problem: U telu oblika kvadra uspostavlja se dvodimenziono temperaturno polje (u z pravcu nema promene temperature). Leva strana tela (x=0) je izolovana a povrsina na dnu (y=0) se odrzava na temperaturi Tb=900C. Gornja povrsina (y=2.4cm) je izlozena konvekciji pri cemu je temperatura vazduha Ts=250C. Desna strana (x=6cm) je izlozena uniformnom toplotnom fluksu q=5000W/m2. U telu se generise toplota a snaga izvora je g=5000 W/m3. Tolotna provodljivost tela je λ=15W/m 0C a koeficijent prelaza toplote u

atmosferu je α=80W/m2 0C. Potrebno je priblizno odrediti temperaturno polje u telu.

Tb=900C x

y

q

Konvekcija Ts=250C

g

Temperaturno polje u telu je opisano Fourier-ovom PDJ

2xT x y,( )

∂∂

2

2yT x y,( )

∂∂

2+ g

λ+ 0=

a granicni uslovi, prema tekstu problema su:

x x0= y0 y< y1<x

T∂∂

0=

x x1= y0 y< y1< λx

T∂∂⋅ q=

y y0= x0 x< x1< T Tb=

y y1= x0 x< x1< λy

T∂∂⋅ α Ts T−( )⋅=

XIX - 4

T

T

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

88.48043 88.55163 88.62394 88.7054 88.79729 88.91348 89.06466

190.23424 190.407 190.59707 190.79985 191.04249 191.3392 191.7373

262.67619 262.94005 263.21107 263.51935 263.87057 264.31748 264.90196

306.1491 306.45123 306.78467 307.14156 307.56965 308.09436 308.79922

320.8244 321.14645 321.47782 321.8553 322.28603 322.83468 323.55286

306.75748 307.03499 307.34156 307.67004 308.06437 308.54812 309.19829

263.79465 264.01075 264.23326 264.48688 264.77647 265.14551 265.62883

191.67567 191.78711 191.91026 192.04228 192.20081 192.39537 192.65693

90 90 90 90 90 90 90

=

T Eliptic a b, c, d, f, x0, x1, y0, y1, G, Tp, nx, ny, ε, t,( ):=Poziv funkcije Eliptic:

Tpi j, 100:=j 0 ny..:=i 0 nx..:=Kao polaznu procenu uzecemo uniformno polje:

t 1:=Relakacioni parametar:

ε 0.5:=Tolerancija:

ny 8:=nx 20:=Usvojen broj koraka:

Ostali parametri potrebni za funkciju Eliptic:

G

A0

B0

C0

A1

B1

C1

A2

B2

C2

A3

B3

C3

:=

A0

B0

C0

A1

B1

C1

A2

B2

C2

A3

B3

C3

0

1

0

0

λq

1

0

Tb

αλ

α Ts⋅

:=

XIX - 5

===============================================================

b) Uociti simetricnost problema i resiti ga za cetvrtinu domena (obratiti paznju na adekvatnu promenu granicnih uslova). Na osnovu resenja generisati kompletnu temperaturnu raspodelu za celu plocu (koristiti transponovanje matrice i funkcije reverse, stack i augment).

a) Za vrednosti parametara φ 2:= ,Bi 0.5:= priblizno odrediti raspodelu bezdimenzionih temperatura na ploci i prikazati graficki

u 2=y 1=

u 2=y 1−=

Donja (y=-1) i gornja strane (y=1) ploce se odrzavaju na konstantnim temperaturama

gde je Bi - Biotov toplotni broj

xu

∂∂

Bi− u⋅=x 1=

xu

∂∂

Bi u⋅=x 1−=

Leva strana ploce (x=-1) i desna strana (x=1) se hlade konvekcijom istim intenzitetom i odgovarajuci granicni uslovi glase:

φ - Bezdimenzioni parametar•u - bezdimenziona temperatura na ploci•

gde je:

2xu x y,( )

∂∂

2

2yu x y,( )

∂∂

2+ φ u⋅− 0=

Zadatak: Sa tanke ploce kvadratnog oblika na kojoj se uspostavlja dvodimenzionalni temperaturni profil prenosi se toplota konvekcijom u okolinu (pravac z normalan na povrsinu ploce). Bezdimenzioni matematicki model glasi:

===============================================================

Vezba: a) Varirati (smanjivati) fluks q. Kakvo temperaturno polje se dobija u slucaju q=0?b) Pri ostalim istim podacima varirati (smanjivati) snagu toplotnog izvora g i posmatrati

efekat na grafiku.

XIX - 6

Problem: Dati su eksperimentalni podaci o naponu pare benzola p (mmHg) za razlicite temparature T (C).

_____________________________________________________________________

pri cemu je kvalitetnija ona formula za koju s2 ima manju vrednost

s2S b( )

n k−=

Pri poredjenju vise empirijskih formula za isti set eksperimentalnih podataka, kao kriterijum kvaliteta formule (kvalitet fitovanja eksperimentalnih podataka) moze da se koristi srednje kvadratno odstupanje

Xmat n k, x, φ,( )

Xi j, φ xi( ) j←i 0 n 1−..∈for

j 0 k 1−..∈for

Xreturn

:=

Funkcija Xmat generise matricu eksperimenta i zahteva vektore eksperimentalnih vrednosti x i definisanu vektorsku funkciju φ(x):

j 0= k 1−..i 0= n 1−..Xi j, φj= xi( )Matrica X je definisana kao:

gde je y vektor eksperimentalnih vrednosti zavisno promenljive

d XT

y⋅=Φ XT

X⋅=

normalne jednacine su linearne, a matrica sistema Φ i vektor slobodnih koeficijenata d se dobijaju iz matrice eksperimenta X kao

f x b,( )

0

k 1−

j

bj φj x( )⋅∑=

=

U slucaju formule linearne po parametrima:

i cijim se resavanjem dobijaju trazeni parametri, zovu se normalne jednacine.

j 0= k 1−..bj

S b( )∂∂

0=

k jednacina koje slede iz neophodnog uslova minimuma funkcije S(b)

gde je b vektor trazenih parametara.

S b( )

0

n 1−

i

yi f x b,( )−( )2∑=

= min=

Najbolje vrednosti k parametara b0,b1...bk-1 u empirijskoj formuli y=f(x,b0,b1...bk-1) koju odredjujemo na bazi n eksperimentalnih podataka (xi,yi) i=0,...,n-1 se po metodi najmanjih kvadrata dobijaju iz uslova minimuma sume kvadrata odstupanja eksperimentalnih vrednosti y od onih izracunatih iz empirijske formule:

XX - Metod najmanjih kvadrata - I. Empirijske formule sa jednom nezavisnom promenljivom

XX - 1

log p( ) T−Zavisnost f T b,( )

0

k 1−

j

bj φ T( ) j⋅∑=

:=Srednje kvadratno odstupanje

b

216.206

9.295− 103×

75.568−4.438 10

5−×

=b lsolve Φ d,( ):=

Vrednosti parametara:

d XT

y⋅:=Φ XT

X⋅:=X Xmat n k, T, φ,( ):=

Definisanje sistema normalnih jednacina

k 4:=n length T( ):=Broj eksperimentalnih vrednosti n i broj parametara k

y log p( ):=T T 273+:=Smena promenljivih

φ x( )

1

1

x

log x( )

x2

:=

Iz empirijske jednacine sledi vektorska funkcija φ_____________________________________________________________________

*Komentar: Ako se uvede smena y = log(p) problem postaje linearan

gde je temperatuta T u Kelvinima.

log p( ) b0

b1

T+ b2 log T( )⋅+ b3 T

2⋅+=

Metodom najmanjih kvadrata odrediti parametre u Riedel-ovoj empirijskoj jednaèini

p

1

5

10

20

40

60

100

200

400

760

:=T

36.7−19.6−11.5−2.6−

7.6

15.4

26.1

42.2

60.6

80.1

:=

XX - 2

logprac b0b1

T+:=

b8.748

2.033− 103×

=

b line1

Ty,:=

b8.748

2.033− 103×

=

b1 slope1

Ty,:=b0 intercept

1

Ty,:=

log p( ) b0

b1

T+=

b 0:=Problem: Podatke iz prethodnog problema fitovati Clapeiron-ovom jednacinom

odsecak i nagib prave se mogu dobiti pomocu ugradjenih funkcija intercept i slope ili alternativno funkcijom line .

y b0 b1 x⋅+=

U specijalnom sluèaju dvoparametarske empirijske formule

Pravolinijska zavisnost

b

216.206

9.295− 103×

75.568−4.438 10

5−×

=b linfit T y, φ,( ):=

Ugradjena funkcija linfit, ciji su parametri vektori eksperimentalnih vrednosti i vektorska funkcija φ, daje vrednosti parametara za linearnu po parametrima empirijsku formulu

Odredjivanje parametara u linearnoj empirijskog formuli pomocu ugradjene funkcije linfit

s2 23.589=s2

prac p−( )2∑n k−:=

Racunske vrednosti pprac 10f T b,( ):=

0j =

XX - 3

0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.00450

2

4

log p( )

logprac

1

T

Eksperimentalne i izracunate vrednosti log(p)

Vezba: a) Izracunati parametre u Clapeiron-ovom modelu pomocu linfit funkcijeb) Uporediti kvalitet Reidel-ove i Clapeiron-ove formule za date eksperimentalne

podatkeEmpirijske formule nelinearne po parametrima

Za odredjivanje parametara u formuli nelinearnoj po parametrima mose se koristiti ugradjena funkcija genfit koja pored vektora eksperimentalnih vrednosti x,y zahteva vektor polaznh procena parametara bpoc kao i vektorsku funkciju F ciji je prvi element empirijska formula a preostalih k elemenata su parcijalni izvodi formule po parametrima redom.

_____________________________________________________________________

Problem: Resiti problem odredjivanja parametara u Reidel-ovo jednacini za racunanje napona pare p _____________________________________________________________________

Vektorska funkcija F

Mali trik za formiramnje funkcije F:f T b,( ) 10

b0

b1

T+ b

2log T( )⋅+ b

3T

2⋅+

:=F2 T b,( ) F0 f T b,( )←

Fi 1+ x bi←

xbi x←f T b,( )

d

d

←i 0 last b( )..∈for

Freturn

:=

F T b,( )

f T b,( )

f T b,( ) ln 10( )⋅

f T b,( ) ln 10( )⋅ 1

T⋅

f T b,( ) ln 10( )⋅ log T( )

f T b,( ) ln 10( )⋅ T2⋅

:=

Kao polazne procene koristimo parametre dobijene za linearizovanu formulu

bpoc

216.206

9.295− 103×

75.568−4.438 10

5−×

:=

XX - 4

b genfit T p, bpoc, F,( ):= b

215.597

9.074− 103×

75.764−4.829 10

5−×

=

b genfit T p, bpoc, F2,( ):= b

215.597

9.074− 103×

75.764−4.829 10

5−×

=

Vezba:a) Uporediti kvalitet fitovanja Reidel-ove formule dobijenih linearnom i nelinearnom

metodom najmanjih kvadratab) Ispitati uticaj smanjivanja sistemskog parametra TOL na kvalitet nelinearne formule

=============================================================

Zadatak: Izracunati parametre u nelinearizovanoj Clapeiron-ovoj jednacini p(T) i uporediti kvalitet fitovanja dobijene jednacine i formule dobijene linearnom metodom najmanjih kvadrata.

=============================================================

XX - 5

za izmenjivaè tipa cev u cevi izvršena su odgovarajuæa merenja i eksperimentalni podaci su dati u sledecoj tabeli.

(*)Nu b0 Reb1⋅ Pr

b2⋅ µµz

b3

⋅=

Problem: U cilju formulisanja kriterijalne jednaèine

_____________________________________________________________________

Xmatm n k, x, φ,( )

Xi j, φ xT( ) i⟨ ⟩ j←

i 0 n 1−..∈for

j 0 k 1−..∈for

Xreturn

:=

Funkcija Xmatm generiše matricu eksperimenta i zahteva matricu x eksperimentalnih vrednosti nezavisno promenljivih sa n vrsta i m kolona i definisanu vektorsku funkciju vektorske promenljive φ(x):

j 0= k 1−..i 0= n 1−..Xi j, φj= xi 0, xi 1,, .., xi m 1−,,( )gde je y vektor eksperimentalnih vrednosti zavisno promenljive a matrica X je:

d XT

y⋅=Φ XT

X⋅=

gde je x vektor nezavisno promenljivih, normalne jednaèine se dobijaju analogno sluèaju jedne nezavisno promenljive

f x b,( )

0

k 1−

j

bj φj⋅ x⋅∑=

=

U sluèaju formule sa m nezavisno promenljivih xi, i=0,...,m-1, linearne po parametrima :

Formule linearne po parametrima

XXI - Metod najmanjih kvadrata - II.Empirijske formule sa više nezavisnih promenljivih

X Xmatm n k, x, φ,( ):=

Poziv funkcije Xmatm za raèunanje matrice eksperimenta

φ g( )

1

4.004

7.172

=

g54.8

1.302 103×

=g xT( ) 15⟨ ⟩

:=φ x( )

1

ln x0( )ln x1( )

:=

Definisanje vektorske funkcije φ prema empirijskoj formuli

k 3:=Broj parametara u formuli

m 2:=Broj nezavisno promenljivih

n 16=n rows Podaci( ):=Broj eksperimenata

y ln Podaci3⟨ ⟩( ):=x

1⟨ ⟩Podaci

1⟨ ⟩:=x0⟨ ⟩

Podaci0⟨ ⟩:=

Definisanje matrice eksperimentalnih vrednosti nezavisno promenljivih i vektora eksperimentalnih vrednosti zavisno promenljive

_____________________________________________________________________

ln Nu( ) ln b0( ) b1 ln Re( )⋅+ b2 ln Pr( )⋅+=

Odrediti parametre u linearizovanoj kriterijalnoj jednaèini

Podaci

49000

68600

84800

34200

22900

1321

931

518

346

122.9

54

84.6

1249

1021

465

54.8

2.3

2.28

2.27

2.32

2.36

246

247

251

273

1518

1590

1521

107.4

186

414

1302

0.947

0.954

0.959

0.943

0.936

0.592

0.583

0.579

0.29

0.294

0.279

0.267

0.724

0.612

0.512

0.273

277

348

421

223

177

114.8

95.9

68.3

49.1

56

39.9

47

94.2

99.9

83.1

35.9

:=

Re Pr µ/µz Nu

Polazne procene (rešenje za linearizovani model)

a) Rešenje korišæenjem funkcije Minerr

y Podaci3⟨ ⟩:=

_____________________________________________________________________Problem: Prethodni problem rešiti nelinearnom metodom najmanjih kvadrata

_____________________________________________________________________

Problem odredjivanja parametara u nelinearnoj empirijskoj formuli sa više nezavisno promenljivih iz uslova minimuma sume kvadrata odstupanja S(b) (Lekcija XX) se u Mathcad-u moze rešiti pomocu SOLVE BLOCK-a (Lekcija XI) pri èemu se umesto funkcije Find koriste funkcije Minerr ili Minimize . U oba sluèaja je je prethodno neophodno zadati polazne procene zadatih parametara

Formule nelinearne po parametrima

=============================================================

Zadatak: Koristeæi eksperimentalne podatke iz prethodnog problema izraèunati parametre u kriterijalnoj jednaèini (*)

=============================================================

x1 ln Pr( )=x0 ln Re( )=

Vežba: Rešiti problem ako se kao nezavisno promenljive uzmu (smena promenljivih)

b

0.662

0.54

0.245

=b0 e

b0:=b bl:=vrednosti parametara

s2 265.578=s2

yrac exp y( )−( )2∑

n k−:=

Raèunske vrednosti Nuyraci exp bl φ xT( ) i⟨ ⟩ ⋅ :=

i 0 n 1−..:=Srednje kvadratno odstupanje

bl

0.412−0.54

0.245

=bl lsolve Φ d,( ):=

Vrednosti parametara u linearizovanoj jednaèini:

d XT

y⋅:=Φ XT

X⋅:=Formiranje normalnih jednaèina

b0 b1 xL0⟨ ⟩⋅+ b2 xL

1⟨ ⟩⋅+ yL=

Given

Formalno su potrebne bilo kakve polazne procenebL

0

0

0

:=

xL1⟨ ⟩

ln Podaci1⟨ ⟩( ):=xL

0⟨ ⟩ln Podaci

0⟨ ⟩( ):=yL ln Podaci3⟨ ⟩( ):=

Opisanim metodom se mogu racunati parametri u linearnim empirijskim formulama:

Vežba: a) Ispitati uticaj sistemskog parametra TOLc) Uporediti kvalitet fitovanja linearizovane i nelinearne empirijske jednaèine

s2 68.276=s2S b( )

n k−:=Srednje kvadratno odstupanje formule:

S b( ) 887.582=

S b( )

0

n 1−

i

yi b0 xi 0,( )b1⋅ xi 1,( )b2⋅− 2

∑=

:=Suma kvadrata odstupanja

b

0.166

0.664

0.341

=

b MinErr b( ):=*Moguce je dodati ogranicenjab 0>

b0 x0⟨ ⟩( )b1

⋅ x1⟨ ⟩( )b2

⋅

→

y=

Given

Priblizno resavanje preodredjenog sistema (vise jednacina nego nepoznatih parametara) nesaglasnog sistema jednacina u Solve Block-u pomucu funkcije Minerr uz izbor opcije Levenberg-Marquardt (minimizovanje kvadrata odstupanje levih i desnih strana postavljenih jednacina)

b

0.662

0.54

0.245

=

Zadatak: Date su eksperimentalne vrednosti brzine r katalizovane reakcije A=B za razlièite parcijalne pritiska komponenata PA i PB

=============================================================

Vežba: Promeniti metod minimizacije (desni klik na funkciju Minimize) i uporediti rešenja

s2 68.276=s2S b( )

n k−:=Srednje kvadratno odstupanje

S b( ) 887.582=Suma kvadrata odstupanja

b

0.166

0.664

0.341

=Rešenje

*Lokalizacija minimuma funkcije Sb Minimize S b,( ):=*Moguce je definisati ogranicenjab 0>

Given

Polazne procene (rešenje za linearizovani model)

b

0.166

0.664

0.341

=

S b( )

0

n 1−

i

yi b0 xi 0,( )b1⋅ xi 1,( )b2⋅− 2

∑=

:=

b) Rešenje korišcænjem funkcije Minimize

s2 265.578=s2

yrac exp yL( )−( )2∑

n k−:=

Raèunske vrednosti Nuyraci exp bLφ xT( ) i⟨ ⟩ ⋅ :=

i 0 n 1−..:=

bL

0.412−0.54

0.245

=

bL MinErr b( ):=

PA PB r

Podaci

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

5.1

5.4

5.55

5.85

6

6.15

6.3

6.45

:= Podaci2⟨ ⟩

Podaci2⟨ ⟩

105−⋅:=

na osnovu kojih je potrebno odrediti parametre u kinetièkom modelu

rk PA⋅

1 KA PA⋅+ KB PB⋅+( )2=

a) Odrediti nepoznate parametre pomoæu linearizovane formule

PA

r

1

k

KA

kPA⋅+

KB

kPB⋅+=

b) Odrediti nepoznate parametre nelinearnom metodom najmanjih kvadrata

c) Uporediti kvalitete fitovanja dve formule

=============================================================

Literatura

P.J. Pritchard, Mathcad - A tool for Engineering Problem Solving, 1.McGraw-Hill, 1998R.Omorjan - Materijal u okviru vezbi na predmetu: Programiranje i primena 2.racunaraS.Jovanoviæ, G.Ciric, R.Paunovic - Materijal za predmet: Numericke 3.metode u hemijskom inzenjerstvuR.Paunovic - Materijal za predmet: Matematicko modelovanje tehnoloskih 4.procesaB.Cutlip, M.Shacham - Problem Solving in Chemical Engineering with 5.Numerical Methods, Prentice Hall, 1999

osnovne numeriČke metode u hemijskom inŽenjerstvuobera/files/merged_document_26-10-11.pdf ·...

Documents