numeričke metode u modeliranju procesa - unizg.hr · b. zelić: analiza i modeliranje ekoprocesa,...
TRANSCRIPT
Uvod
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- linearne jednadžbe - direktne metode
- Gaussova eliminacija - Gauss-Jordanova metoda
- iterativne metode - Gauss-Seidlova metoda - Jacobijeva metoda
- nelinearne jednadžbe - iterativne metode
- Jacobijeva nelinearna iteracija - Wegsteinova metoda - Newton-Raphsonova metoda (metoda tangente) - metoda sekante (regula falsi)
Uvod
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- obične diferencijalne jednadžbe - analitičke metode - numeričke metode
- Taylorova metoda - Eulerova metoda - Rungeova metoda (drugog, trećeg i četvrtog stupnja) - Runge-Kutta metoda
- parcijalne diferencijalne jednadžbe - numeričke metode
- metoda konačnih razlika – potpuna diskretizacija - metoda linija – djelomična diskretizacija - kolokacije
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
LINEARNE JEDNADŽBE
A x b⋅ =r r
11 12 13 1 1 1
21 22 23 2 2 2
31 32 33 3 3 3
1 2 3
... ... ...
... ... ... ...
n
n
n
n n n nn n n
a a a a x ba a a a x ba a a a x b
a a a a x b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
2 3 02 4 53 2
x y zx y zx y z
+ ⋅ − ⋅ =
⋅ − + ⋅ =
⋅ + − =
Gaussova eliminacija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer (sustav od tri nezavisne jednadžbe s tri nepoznanice)
Sustav on n-jednadžbi u matričnom obliku
1 2 3 02 1 4 53 1 1 2
xyz
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
matrica koeficijenata
vektor nepoznanica
vektor rješenja (vektor desne strane)
A
x
b
−
−
−
r
r
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3
... ... ...
... ...
n
n
n
n n n nn n
a a a a ba a a a ba a a a b
a a a a b
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Gaussova eliminacija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer (sustav od tri nezavisne jednadžbe s tri nepoznanice)
- kreiranje proširene matrice Ab – vektor rješenja se pripisuje kao četvrti stupac matrici koeficijenata
1 2 3 02 1 4 53 1 1 2
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Gaussova eliminacija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer - elemente prvog retka prepisati - elemente drugog retka umanjiti za vrijednost elemenata prvog retka pomnoženog sa 2 - elemente trećeg retka umanjiti za vrijednost elemenata prvog retka pomnoženih sa 3
- na retke proširene matrice primijeniti elementarne transformacije da bi se ispod glavne dijagonale matrice Ab dobile sve nule - elementarne transformacije se ne primjenjuju na stupce, njima je jedino moguće zamijeniti mjesta
1 2 3 0 1 2 3 02 1 4 5 0 5 10 53 1 1 2 0 5 8 2
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
:
12 13 1 1
23 2 2
3 3
1 ...0 1 ...0 0 1 ......0 0 0 ... 1
n
n
n
n
a a a ba a b
a b
b
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Gaussova eliminacija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer - elemente prvog i drugog retka prepisati - elemente trećeg retka umanjiti za elemente drugog retka
1 2 3 0 1 2 3 00 5 10 5 0 5 10 50 5 8 2 0 0 2 3
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
:
- prvi redak prepisati - drugi redak podijeliti sa -5 - treći redak podijeliti sa -2
*1 2 3 0 1 2 3 00 5 10 5 0 1 2 10 0 2 3 0 0 1 1,5
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
:
Gaussova eliminacija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer - iz trećeg reda matrice 1 ⋅ z = 1,5
- iz n-tog reda 1 ⋅ ann = bn
Primjer - uvrštavanjem vrijednosti z = 1,5 u drugi red matrice 1 ⋅ y – 2 ⋅ z = -1 slijedi y = -1 + 3 = 2 - uvrštavanjem vrijednosti y = 2 i z = 1,5 u prvi red matrice 1 ⋅ x + 2 ⋅ y – 3 ⋅ z = 0 slijedi x = 0 – 4 + 4,5 = 0,5
- uvrštavanjem ann u n-1 red dobiva se an-1n-1 ….
1 2 3 00 1 2 10 0 1 1,5
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Gauss-Jordanova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer - treći red pomnožiti sa 2 i dodati drugom redu - treći red pomnožiti sa 3 i dodati prvom redu
- elementarne transformacije provedene kod Gaussove metode eliminacije* proširuju se sve dok se članovi glavne dijagonale matrice nisu jedinice, a ostali elementi ispod i iza dijagonale ne poprime vrijednost nule
1
2
3
1 0 0 ... 00 1 0 ... 00 0 1 ... 0...0 0 0 ... 1 n
bbb
b
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
*1 2 3 0 1 2 0 4,50 1 2 1 0 1 0 20 0 1 1,5 0 0 1 1,5
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
:
Gauss-Jordanova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer - drugi red pomnožiti sa - 2 i dodati prvom redu
1 2 0 4,5 1 0 0 0,50 1 0 2 0 1 0 20 0 1 1,5 0 0 1 1,5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
:
- kako su elementi glavne dijagonale jedinice, a elementi iznad i ispod dijagonale nule, rješenje je moguće očitati direktno iz matrice - x = 0,5; y = 2, z = 1,5
Gauss-Seidlova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- zapis sustava n-linearnih jednadžbi u eksplicitnom obliku ( )
( )
( )
( )
1 1 12 2 13 3 111
2 2 21 1 23 3 222
3 3 31 1 32 2 333
1 1 2 2 , 1 1
1 ...
1 ...
1 ...
...1 ...
n n
n n
n n
n n n n n n nnn
x b a x a x a xa
x b a x a x a xa
x b a x a x a xa
x b a x a x a xa − −
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
11 12 13 1 1 1
21 22 23 2 2 2
31 32 33 3 3 3
1 2 3
... ... ...
... ... ... ...
n
n
n
n n n nn n n
a a a a x ba a a a x ba a a a x b
a a a a x b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Sustav on n-jednadžbi u matričnom obliku
Gauss-Seidlova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- pretpostavka za prvi korak, k, x1= x2 = x3 = … = xn = 0 - u idućem koraku, k+1
( )
( )
( )
( )
1 2 3
2 1 3
3 1 2
1 2 1
11 12 13 1
11
1 12 21 23 2
22
1 1 13 31 32 3
33
1 1 1 11 2 , 1
1 ...
1 ...
1 ...
...1 ...
n
n
n
n n
k k k kn
k k k kn
k k k kn
k k k kn n n n n
nn
x b a x a x a xa
x b a x a x a xa
x b a x a x a xa
x b a x a x a xa −
+
+ +
+ + +
+ + + +−
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
- u općenitom obliku 1
1 1
1 1
1 , za 1,...,j j
i nk k ki i ij ij
j j ix b a x a x i n
aii
−+ +
= = +
⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑
Gauss-Seidlova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer 2 3 0
2 4 53 2
x y zx y zx y z
+ ⋅ − ⋅ =
⋅ − + ⋅ =
⋅ + − =
2 32 4 53 2
x y zy x zz x y
= − ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ −
= ⋅ + −
- izračunati vrijednost x1 pomoću prve jednadžbe za y = z = 0
1 2 0 3 0 0x = − ⋅ + ⋅ =
- izračunati vrijednost y1 iz druge jednadžbe pomoću x1 i z = 0
1 2 0 4 0 5 5y = ⋅ + ⋅ − = −
- izračunati vrijednost z1 iz druge jednadžbe pomoću x1 i y1
( )1 3 0 1 5 2 7z = ⋅ + ⋅ − − = −
Gauss-Seidlova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- izračunati vrijednost x2 pomoću prve jednadžbe za y1 i z1
( ) ( )2 2 5 3 7 11x = − ⋅ − + ⋅ − = −- izračunati vrijednost y2 iz druge jednadžbe pomoću x2 i z1
( ) ( )2 2 11 4 7 5 55y = ⋅ − + ⋅ − − = −- izračunati vrijednost z2 iz druge jednadžbe pomoću x2 i y2
( ) ( )2 3 11 1 55 2 90z = ⋅ − + ⋅ − − = −- za k = 10
OPREZ SUSTAV MORA KONVERGIRATI RJEŠENJU!
k x y z 0 0 0
1 0 -5 -7 2 -11 -55 -90 3 -160 -685 -1167 4 -2131 -8935 -15330 5 -28120 -117565 -201927 6 -370651 -1549015 -2660970 7 -4884880 -2E+07 -3.5E+07 8 -6.4E+07 -2.7E+08 -4.6E+08 9 -8.5E+08 -3.5E+09 -6.1E+09
10 -1.1E+10 -4.7E+10 -8E+10
Gauss-Seidlova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
2 3 02 4 53 2
x y zx y zx y z
+ ⋅ − ⋅ =
⋅ − + ⋅ =
⋅ + − =
1 1 23 3 31 32 2
1 1 52 4 4
x y z
y x z
z x y
= − ⋅ + ⋅ +
= − ⋅ + ⋅
= ⋅ + +
k x y z 0 0 0
1 0.666667 -0.33333 0.833333 2 1.055556 0.722222 0.902778 3 0.726852 0.990741 1.134259 4 0.714506 1.344136 1.228781 5 0.628215 1.529064 1.318158 6 0.596365 1.679055 1.371581 7 0.564175 1.775284 1.411733 8 0.545483 1.844859 1.438473 9 0.531205 1.892107 1.457424
10 0.521772 1.92525 1.470426
- za k = 10 (analitička rješenja, x = 0,5, y = 2, z = 1,5)
Jacobijeva metoda (iteracija)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- zapis sustava n-linearnih jednadžbi u eksplicitnom obliku ( )
( )
( )
( )
1 1 12 2 13 3 111
2 2 21 1 23 3 222
3 3 31 1 32 2 333
1 1 2 2 , 1 1
1 ...
1 ...
1 ...
...1 ...
n n
n n
n n
n n n n n n nnn
x b a x a x a xa
x b a x a x a xa
x b a x a x a xa
x b a x a x a xa − −
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
11 12 13 1 1 1
21 22 23 2 2 2
31 32 33 3 3 3
1 2 3
... ... ...
... ... ... ...
n
n
n
n n n nn n n
a a a a x ba a a a x ba a a a x b
a a a a x b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Sustav on n-jednadžbi u matričnom obliku
Jacobijeva metoda (iteracija)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- pretpostavka za prvi korak, k, x1= x2 = x3 = … = xn = 0 - u idućem koraku, k+1
( )
( )
( )
( )
1 2 3
2 1 3
3 1 2
1 2 1
11 12 13 1
11
12 21 23 2
22
1 13 31 32 3
33
11 2 , 1
1 ...
1 ...
1 ...
...1 ...
n
n
n
n n
k k k kn
k k k kn
k k k kn
k k k kn n n n n
nn
x b a x a x a xa
x b a x a x a xa
x b a x a x a xa
x b a x a x a xa −
+
+
+ +
+−
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅
- u općenitom obliku
1 1 , za 1,...,j
nk ki i ij
j ix b a x i n
aii+
≠
⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠∑
Jacobijeva metoda (iteracija)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer 2 3 0
2 4 53 2
x y zx y zx y z
+ ⋅ − ⋅ =
⋅ − + ⋅ =
⋅ + − =
2 32 4 53 2
x y zy x zz x y
= − ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ −
= ⋅ + −
- izračunati vrijednost x1 pomoću prve jednadžbe za y = z = 0
1 2 0 3 0 0x = − ⋅ + ⋅ =
- izračunati vrijednost y1 iz druge jednadžbe pomoću x = z = 0
1 2 0 4 0 5 5y = ⋅ + ⋅ − = −
- izračunati vrijednost z1 iz druge jednadžbe pomoću x = y = 0
1 3 0 1 0 2 2z = ⋅ + ⋅ − = −
Jacobijeva metoda (iteracija)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- izračunati vrijednost x2 pomoću prve jednadžbe za y1 i z1
( ) ( )1 2 5 3 2 4x = − ⋅ − + ⋅ − =- izračunati vrijednost y2 iz druge jednadžbe pomoću x1 i z1
( )1 2 0 4 2 5 13y = ⋅ + ⋅ − − = −- izračunati vrijednost z2 iz druge jednadžbe pomoću x1 i y1
( )1 3 0 1 5 2 7z = ⋅ + ⋅ − − = −- za k = 10
OPREZ SUSTAV MORA KONVERGIRATI RJEŠENJU!
k x y z 0 0 0
1 0 -5 -2 2 4 -13 -7 3 5 -25 -3 4 41 -7 -12 5 -22 29 114 6 284 407 -39 7 -931 407 1257 8 2957 3161 -2388 9 -13486 -3643 12030
10 43376 21143 -44103
Jacobijeva metoda (iteracija)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
2 3 02 4 53 2
x y zx y zx y z
+ ⋅ − ⋅ =
⋅ − + ⋅ =
⋅ + − =
1 1 23 3 31 32 2
1 1 52 4 4
x y z
y x z
z x y
= − ⋅ + ⋅ +
= − ⋅ + ⋅
= ⋅ + +
- za k = 10 (analitička rješenja, x = 0,5, y = 2, z = 1,5) k x y z 0 0 0
1 0.666667 0 1.25 2 1.083333 1.541667 0.916667 3 0.458333 0.833333 1.09375 4 0.753472 1.411458 1.229167 5 0.605903 1.467014 1.226128 6 0.586372 1.536241 1.313802 7 0.59252 1.677517 1.340875 8 0.554452 1.715052 1.373119 9 0.552689 1.782453 1.401537
10 0.539695 1.825961 1.419269
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
NELINEARNE JEDNADŽBE
( )0, 0xe x f x− − = =
21 0
0,13532 1
0,87343 2
1 18 19
0,1353
0,8734
0,4175...
- rješenje 0,5671k k
x e x ex e x ex e x e
x x x x
−
−
−
+
= − = =
= − = =
= − = =
= = =
Jacobijeva nelinearna iteracija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer x0 = 2
- zadana nelinearna jednadžba
- funkciju izraziti eksplicitno po x xx e−=
- pretpostaviti početnu vrijednost xa i uvrstiti u iterativni oblik funkcije
1kx
kx e−+ =
Jacobijeva nelinearna iteracija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- grafičko određivanje rješenja nelinearne jednadžbe
- vrijednost za x2 odrediti kao presjek pravca y = x i sekante kroz točke (x0, f(x0)) i (x1, f(x1)) na krivulju koja predstavlja funkcija u eksplicitnom obliku, g(x)
- opći oblik Wegsteinove metode
( )0, 0xe x f x− − = =
( ), xx e g x x−= =
Wegsteinova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- zadana nelinearna jednadžba
- funkciju izraziti eksplicitno po x
- pretpostaviti početnu vrijednost xa i uvrstiti u Jacobijev iterativni oblik funkcije
1kx
kx e−+ =
( )
( )( )
1
1 02 1
0 0
1 1
0
1
x f xx xx x
x f xx f x
=
−= +
−−
−
( )( )
11
1 1 1
k kk k
k k
k k
x xx xx f xx f x
−+
− −
−= +
−−
−
21 0
0,13532 1
0,87343 2
1 5 6
0,1353
0,6641
0,5751...
- rješenje 0,5671k k
x e x ex e x ex e x e
x x x x
−
−
−
+
= − = =
= − = =
= − = =
= = =
Wegsteinova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer x0 = 2
Wegsteinova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- grafičko određivanje rješenja nelinearne jednadžbe
( )( )1 'k
k kk
f xx x
f x+ = −
Newton-Raphsonova metoda (metoda tangente)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- implicitno zadana funkcija ili naknadno prevedena u implicitni oblik - opći oblik metode
( )( )
' 1
x
x
f x e x
f x e
−
−
= −
= − −
Primjer - zadana nelinearna jednadžba
- opći iterativni oblik za zadanu nelinearnu jednadžbu
1 1
k
k
xk
k k xe xx xe
−
+ −
−= −
− −
Newton-Raphsonova metoda (metoda tangente)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer x0 = 2 0
0
1
1
20
1 0 2
0,35761
2 1 0,3576
1 3 4
22 0,35761 1
0,35760,3576 0,55871 1
... - rješenje 0,5671
x
x
x
x
k k
e x ex xe ee x ex xe e
x x x x
− −
− −
− −
− −
+
− −= − = − =
− − − −
− −= − = − =
− − − −
= = =
Newton-Raphsonova metoda (metoda tangente)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- grafičko određivanje rješenja nelinearne jednadžbe
- Δ - korak iteracije - metoda sekante sporije konvergira od Newton-Raphsonove metode - opći oblik metode
( ) ( ) ( )'f x f x
f x+Δ −
≅Δ
Metoda sekante (regula falsi)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- implicitno zadana funkcija ili naknadno prevedena u implicitni oblik - varijacija Newton-Raphsonove metode u kojem je derivacija funkcije zamijenjena izrazom:
( )( )
( )( ) ( )1 '
k kk k k
k k k
f x f xx x x
f x f x f x+ = − = − ⋅Δ+Δ −
( ) xf x e x−= −
Primjer - zadana nelinearna jednadžba
Metoda sekante (regula falsi)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer x0 = 2, Δ = 0,001
( ) ( )
( ) ( )
0
0 0
1
1 1
20
1 0 2 0,001 2
0,35751
2 1 0,3575 0,001 0,3575
1 3 4
22 0,35750,001
0,35750,3575 0,55870,001
... - rješenje 0,5671
x
x x
x
x x
k k
e x ex xe ee e
e x ex xe e e e
x x x x
− −
− +− +Δ −−
− −
− +Δ − +− −
+
− −= − ⋅Δ = − ⋅Δ =
− −−Δ −
− −= − ⋅Δ = − ⋅Δ =
−Δ − − −
= = =
- opći iterativni oblik za zadanu nelinearnu jednadžbu
( )1
k
k k
xk
k k x x
e xx xe e
−
+ − +Δ −
−= − ⋅Δ
−Δ −
Metoda sekante (regula falsi)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- grafičko određivanje rješenja nelinearne jednadžbe
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
Analitička metoda – obične diferencijalne jednadžbe
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- red obične diferencijalne jednadžbe, n - obična diferencijalna jednadžba n-tog reda – sadrži n konstati – n potrebnih rubnih i/ili početnih uvjeta - nemaju sve obične diferencijalne jednadžbe analitička rješenja, ali je sve obične diferencijalne jednadžbe moguće riješiti numeričkim metodama - obična diferencijalna jednadžba 1. reda i zadani početni uvjet
( )2 0 1dy x y ydx
= − ⋅ − = −
( ) 3 2 2xy x e x−= − ⋅ + − ⋅
- opće analitičko rješenje
( ) 2 2xy x C e x−= ⋅ + − ⋅
- analitičko rješenje uz uvažavanje početnog uvjeta
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
0
0 0 0
0
0
0
' 2 0 1
0 0 1
1 ' ' 0 2 2 2 0 1 1
2 '' '' 0 2 ' 2 1 3
3 ''' ''' 0 '' 3
4 '''' '''' 0 ''' 3
dyy x y ydx
k y x y
k y x y x y x y x
k y x y y
k y x y y
k y x y y
= = − ⋅ − = −
= = = −
= = = − ⋅ − = − ⋅ − = − ⋅ − − =
= = = − − = − − = −
= = = − =
= = = − = −
Taylorova metoda – razvoj u Taylorov red
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- Taylorova formula reda n tražene funkcije oko početne točke x0 = 0
( )( ) ( ) ( )0
00
*!
kn
nk
y xy x h h k R
k=
⋅+ = ⋅ +∑
( ) 2 3 4 41 1 1,5 0,5 0,125y x h h h h R= − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +
h – korak, Rn – pogreška aproksimacije
- uvrštavanjem u jednadžbu *
Primjer
Taylorova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- usporedba analitičkog i numeričkog rješenja obične diferencijalne jednadžbe za različite redove, n, Taylorove formule
0 1 2-6
-4
-2
0
2
analitièko rješenje Taylorova metoda k=1 Taylorova metoda k=2 Taylorova metoda k=3 Taylorova metoda k=4
y
x
( )2 0 1dy x y ydx
= − ⋅ − = −
Domaća zadaća
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Za običnu diferencijalnu jednadžbu
( )3 0 1dy x ydx
= + = −
čije je analitičko rješenje 2
1 32xy x= − + ⋅ +
grafički usporediti analitičko i numeričko rješenje primjenom Teylorove metode 1., 2., 3. i 4. reda za korak h = 0,1 i područje rješenja 0 ≤ x ≤ 2.
( )( ) ( )( ) ( )
0
0 0 0
početni uvjet
' ,
' ,
y x
y x f x y
y x f x y
−
=
=
Eulerova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- primjena Taylorove formule 1. reda oko početne točke x0 = 0
( ) ( ) ( ) ( ) 20 0 0 0 0
''' za između i
2y
y x h y x y x h h x x hξ
ξ+ = + ⋅ + ⋅ +
- kriterij točnosti – mali korak, h
y1
y0
x1 x0
y(x)
h
- Eulerova metoda
( )1 1 1
1
,n n n n
n n
y y h f x yx x h
− − −
−
= + ⋅
= +
( )( )
( )( ) ( )( )
0
1 0
1 0
0 0 0 0
0 0
1 0
1 0 0 0
1 1 1 1
0 0
2 1
2 1 1
' 2 1 0,1
01
, 2 1
, 0,10 0,1 0,1
, 1 0,1 0,9
, 2 0, 2 0,9 0,7
, 0,070,1 0,1 0, 2
n
n
dyy x y y hdx
x xy yf x y x y
h f x yx x hy y h f x y
f x y x y
h f x yx x hy y h f x
−
−
= = − ⋅ − = − =
= =
= = −
= − ⋅ − =
⋅ =
= + = + =
= + ⋅ = − + = −
= − ⋅ − = − − − =
⋅ =
= + = + =
= + ⋅ ( )( ) ( )( )
1
2 2 2 2
0 0
, 0,9 0,07 0,83
, 2 0, 4 0,83 0, 43
, 0,043...
y
f x y x y
h f x y
= − + = −
= − ⋅ − = − − − =
⋅ =
Eulerova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer
Eulerova metoda
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- usporedba analitičkog i numeričkog rješenja obične diferencijalne jednadžbe za različite korake, h, Eulerove metode
( )2 0 1dy x y ydx
= − ⋅ − = −
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
analitièko rješenje Eulerova metoda, h = 0,1 Eulerova metoda, h = 0,01
y
x
Rungeova metoda srednje točke
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- Runge-Kutta metoda drugog stupnja
yn-1 yn
xn xn-1
h/2
( )1 1 1
1/2 1 1
2 1 1/2
1 2
,
2
,2
n n
n n
n n
n n
g f x yhy y g
hg f x y
y y h g
− −
− −
− −
−
=
= + ⋅
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + ⋅
h/2
nagib = g2
( ) ( )
( )
0
1 0
1 0
1 0 0 0 0
1 1/2 0 1
2 0 1 1/2 0 1 1/2
1 0 2
' 2 1 0,1
01
, 2 2 0 1 10,11 1 0,95
2 2
, 2 2 0,05 0,95 0,852 2
1 0,1 0,85
n
n
dyy x y y hdx
x xy yg f x y x y
hy y g
h hg f x y x y
y y h g
−
−
−
− −
= = − ⋅ − = − =
= =
= = −
= = − ⋅ − = − ⋅ − − =
= + ⋅ = − + ⋅ = −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = − ⋅ + − = − ⋅ − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + ⋅ = − + ⋅ 0,915= −
Rungeova metoda srednje točke
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer
Rungeova metoda srednje točke
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- usporedba analitičkog i numeričkog rješenja obične diferencijalne jednadžbe – usporedba Eulerove i Rungeove metode srednje točke za isti korak, h = 0,1
( )2 0 1dy x y ydx
= − ⋅ − = −
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
analitièko rješenje Eulerova metoda, h=0,1 Rungeova metoda srednje toèke, h=0,1
y
x
Rungeova metoda trećeg stupnja
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
( )
( )
1 1 1
12 1 1
23 1 1
1 1 3
,
,3 3
22 ,3 3
1 34
n n
n n
n n
n n
g h f x y
ghg h f x y
ghg h f x y
y y g g
− −
− −
− −
−
= ⋅
⎛ ⎞= ⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⋅⋅⎛ ⎞= ⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + ⋅ + ⋅
( )
( )
( )
1 1 1
12 1 1
3 1 1 1 2
1 1 2 3
,
,2 2, 2
1 26
n n
n n
n n
n n
g h f x y
ghg h f x y
g h f x h y g g
y y g g g
− −
− −
− −
−
= ⋅
⎛ ⎞= ⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⋅ + − + ⋅
= + ⋅ + ⋅ +
- a) - b)
Rungeova metoda četvrtog stupnja
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
( )
( )
( )
1 1 1
12 1 1
23 1 1
4 1 1 3
1 1 2 3 4
,
,2 2
,2 2,
1 2 26
n n
n n
n n
n n
n n
g h f x y
ghg h f x y
ghg h f x y
g h f x h y g
y y g g g g
− −
− −
− −
− −
−
= ⋅
⎛ ⎞= ⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⋅ + +
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
yn-1 yn
xn xn-1
h
g2
g3
g4
- Runge-Kutta IV
Sustav običnih diferencijalnih jednadžbi
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer Smanjenje koncentracije otopljenog kisika u rijeci nizvodno od mjesta ispuštanja otpadne vode opterećeno onečišćenjem organskog podrijetla. Mikroorganizmi postupno razgrađuju organsko onečišćenje duž sliva rijeke. Većina mikroorganizama uključenih u razgradnju preferira aerobne uvjete, odnosno njihov učinak ovisan je o koncentraciji otopljenog kisika. Promjena koncentracije organskog onečišćenja i koncentracije otopljenog kisika duž riječnog estuarija može se opisati slijedećim jednadžbama (sustavom običnih diferencijalnih jednadžbi):
BPKBPK
ddc q k ct
= − ⋅
( )OL O,zas. O BPK
ddc k a c c k ct= ⋅ − − ⋅
BPK – biološka potrošnja kisika (mjera koncentracije organskog onečišćenja), O – kisik, c – koncentracija, cO,zas. – koncentracija zasićenja kisikom, t – vrijeme, k – konstanta brine reakcije, q – protok otpadne vode
Sustav običnih diferencijalnih jednadžbi
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer - početni uvjeti
( )( )
-3BPK BPK,0
-3O O,0
0 7,33 mg dm
0 8,5 mg dm
c t c
c t c
= = =
= = =
- parametri procesa i procesni uvjeti: k = 0,3 h-1, kLa = 0,4 h-1, cO,zas. = 11 mg dm-3, q = 1 kg m-3 h-1, tMAX = 25 h
- Eulerova metoda: h = 0,1
( )( )
( )( ) ( )
BPK, BPK, 1 1 BPK, 1 O, 1
O, O, 1 1 BPK, 1 O, 1
1 BPK, 1 O, 1 BPK, -1
1 BPK, 1 O, 1 L O,zas. O, -1 BPK, -1
, ,
, ,
, ,
, ,
n n n n n
n n n n n
n n n n
n n n n n
c c h f t c c
c c h g t c c
f t c c q k c
g t c c k a c c k c
− − − −
− − − −
− − −
− − −
= + ⋅
= + ⋅
= − ⋅
= ⋅ − − ⋅
Sustav običnih diferencijalnih jednadžbi
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
c [m
g dm
-3]
t [h]
BPK O
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
Numeričko rješavanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- definiraju međusobno ovisnost dvaju ili više procesnih veličina - uobičajeno drugog ili višeg stupnja - primjena
- prijenos topline - tok fluida - difuzija tvari
- metoda konačnih razlika - metoda linija
Metoda konačnih razlika
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- ako je funkcija ux i njena derivacija konačna, kontinuirana i funkcija jedne varijable može biti razvijena u Taylorov red u okolišu točke x
2
2= - potpuna diskretizacija parcijalne diferencijalne jednadžbeu ux y∂ ∂
∂ ∂
( ) ( )2 3
2 3
d d d ...*d 2! d 3! du h u h uu x h u x hx x x
+ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
( ) ( ) ( )202
x u x h u x hu hx h
+ − −∂≈ +
∂ ⋅
( ) ( )2 3
2 3
d d d ...**d 2! d 3! du h u h uu x h u x hx x x
− = − ⋅ + ⋅ − ⋅ +
- kombinacijom * i ** aproksimacija u centralnoj točki diferencijalne jednadžbe prvog reda
Metoda konačnih razlika
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
( ) ( ) ( )0x u x h u xu hx h
+ −∂≈ +
∂
- iz * unaprijedna aproksimacija
( ) ( ) ( )0x u x u x hu hx h
− −∂≈ +
∂
- iz ** povratna aproksimacija
- h – korak - pogreška aproksimacije u centralnoj točki reda veličine h2, pogreška unaprijedne i povratne aproksimacije reda veličine h
Metoda konačnih razlika
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- funkcija ux i njena derivacija konačna, kontinuirana i funkcija jedne varijable - kombinacijom * i **
2
2xux
δδ
( ) ( ) ( ) ( )2
22 2
20x u x h u x u x hu h
x hδδ
+ − ⋅ + −≈ +
Metoda konačnih razlika
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer Vremenska promjena temperature u vrućem štapu. Prijenos topline u štapu definiran je parcijalnom diferencijalnom jednadžbom koja govori o vremenskoj (t) promjeni temperature (T(x,t)) u točki štapa, x, dužine, L = 2 m, pri čemu je 0 ≤ x ≤ L i t ≥ 0. (κ - termalna difuzivnost, uz pretpostavku da su termalna difuzivnost, gustoća i toplinski kapacitet konstantni)
2
2
T Tt x
κ∂ ∂
=∂ ∂
( )( )
100 ;0 10,
100 2 ;1 2x x
t f xx x
⋅ ≤ <⎧⎪= = ⎨
⋅ − ≤ ≤⎪⎩
Početni uvjeti
00; 0; 0
tx Tx L T
≥
= =
= =
Rubni uvjeti
Metoda konačnih razlika
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
21 1
2 2
1 1 12
0, 250,206 - iz uvjeta stabilnosti
, , ,- unaprijedna aproksimacija
, , 2 , ,- centralna aproksimacija
, , ,
i j i j i j
i j i j i j i j
i j i j i j
x ht k
T x t T x t T x tt k
T x t T x t T x t T x tx h
kT x t T x t T x t T xhκ
+
+ −
+ + −
Δ = =
Δ = =
∂ −=
∂
∂ − ⋅ +=
∂⋅ ⎡ ⎤= ⋅ + +⎣ ⎦ ( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 11
, 1 2
uz
0,5 ( 0,5 - uvjet stabilnosti) slijedi
, ,,
2
i j
i j i ji j
kth
kh
T x t T x tT x t
κ
κ
+ −
+
⋅⎛ ⎞⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
⋅= ≤
+=
Metoda konačnih razlika
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
xi
Ti
0 0,25 0,50 1,00 0,75 1,50 1,25 1,75 2,00
0,206
0
0,618
0,412
0,824
1,030
1,236
1,442 T = 0
rubni uvjeti
T = 0
T = 0
T = 0
T = 0
T = 0
T = 0
T = 0
T = 0
T = 0
T = 0
T = 0
T = 0
T = 0
T = 0 T = 25 T = 50 T = 75 T = 100 T = 75 T = 50 T = 25 T = 0
početni uvjeti
( ) ( ) ( )1 11
, ,,
2i j i j
i j
T x t T x tT x t + −
+
+=
T = 25 T = 50
Metoda konačnih razlika
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
0.40.8
1.21.6
2.0
0
20
40
60
80
100
01
23
45
T [o C]
t [h]x [m]
0.40.8
1.21.6
2.0
0123
45
0
20
40
60
80
100
t [h]
Metoda linija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
- metoda konačnih razlika – problem uvjet stabilnosti
2
2= - djelomična diskretizacija parcijalne diferencijalne jednadžbeu ux y∂ ∂
∂ ∂
( )21 12
2 0n n n nu u u u hx h
+ −∂ − ⋅ += +
∂
- rješavanje sustava od n-2 običnih diferencijalnih jednadžbi
Metoda linija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer Vremenska promjena temperature u vrućem štapu. Prijenos topline u štapu definiran je parcijalnom diferencijalnom jednadžbom koja govori o vremenskoj (t) promjeni temperature (T(x,t)) u točki štapa, x, dužine, L = 2 m, pri čemu je 0 ≤ x ≤ L i t ≥ 0. (κ - termalna difuzivnost, uz pretpostavku da su termalna difuzivnost, gustoća i toplinski kapacitet konstantni)
2
2
T Tt x
κ∂ ∂
=∂ ∂
( )( )
100 ;0 10,
100 2 ;1 2x x
t f xx x
⋅ ≤ <⎧⎪= = ⎨
⋅ − ≤ ≤⎪⎩
Početni uvjeti
00; 0; 0
tx Tx L T
≥
= =
= =
Rubni uvjeti
Metoda linija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
1 12
0
2 1 012
3 2 122
9 10 9 82
10
0,12
1 100
2dd
2dd...d 2d
0
n n n n
x hT T T Tt hn
TT T TT
t hT T TT
t h
T T T Tt h
T
+ −
Δ = =
∂ − ⋅ +=
∂≤ ≤
= ⎫⎪− ⋅ + ⎪=⎪⎪− ⋅ +⎪=⎬⎪⎪
− ⋅ + ⎪= ⎪⎪
= ⎭
rješavanje sustava običnih diferencijalnih jednadžbi metodom Runge-Kutta IV
Usporedba metode konačnih razlika i metode linija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
0 1 2 3 4 50
20
40
60
80
100
x = 0,5 m
metoda konaènih razlika metoda linija
T [o C
]
t [h]
x = 1,0 m
Metoda linija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjer U spalionici otpada spaljuje se plinoviti otpad koji sadrži benzen. Koncentracija benzena u ulaznoj struji otpadnog plina je 1 mol dm-3. Brzina strujanja otpadnog plina je 5 m s-1, a dužina peći je 1 m. Peć je oblika cijevi promjera 0,1 m. Pretpostaviti da su gustoća reakcijske smjese, brzina strujanja otpadnog plina i temperatura u peći konstantni. Reakcija oksidacije benzena je prvog reda, a u peći je strujanje idealno u aksijalnom smjeru (nema aksijalne disperzije – čepoliko strujanje). Zadani su sljedeći parametri procesa: A = 2 ⋅1011 s-1, Ea = 225 kJ mol-1, T = 1100 K. Grafički prikazati vremensku promjenu koncentracije benzena po duljini peći, te u stacionarnom stanju izračunati konverziju benzena na izlazu iz peći.
z = L = 1 m
c0 = 1 mol dm-3 c = ? mol dm-3
cn-1 cnn
cn-1 cnn
Metoda linija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Bilanca tvari diferencijalnog elementa n cijevnog reaktora
1 1d *d n V n n V n ncV c q c q r Vt
V A z
− −Δ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅Δ
Δ = ⋅Δ
cn-1 cnn
cn-1 cnn
množina tvari A unijeta u dif. vremenu u dif. volumen reaktora
množina tvari A iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena reaktora
množina tvari A nastala kemijskom reakcijom u dif. vremenu u dif. volumenu
-
= akumulacija tvari A u dif. vremenu u dif. volumenu
±množina tvari A unijeta u dif. vremenu u dif. volumen reaktora
množina tvari A iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena reaktora
množina tvari A nastala kemijskom reakcijom u dif. vremenu u dif. volumenu
-
= akumulacija tvari A u dif. vremenu u dif. volumenu= akumulacija tvari A u dif. vremenu u dif. volumenu
±
c – koncentracija, V – volumen, qV – protok, r – brzina reakcije, A – površina, z -duljina
Metoda linija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Uz pretpostavku konstantne gustoće qVn-1 = qVn = qV i dijeljenjem * sa ΔV:
( )dd
Vn
c qc rt V
Δ ⋅= +
Δ
**Vqc c k ct A z∂ ∂
= − ⋅ − ⋅∂ ∂
-30, 1 mol dmt c= =
k – konstanta brzine reakcije
Uz ΔV = A ⋅ dz, Δc = dc, r = - k ⋅ c (reakcija prvog reda) i konstantan protok slijedi:
Početni uvjet:
Rubni uvjet:
d, 0dcx Lx
= =
Metoda linija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Primjenom metode linija uz povratnu aproksimaciju na jednadžbu **:
( ) ( )1 1dd
n n n nn Vn n
c c c cc q k c v k ct A h h
− −− −= − ⋅ + ⋅ = − ⋅ − ⋅
Za h = 0,1 m, i za 1 ≤ n ≤ 9, te uvažavanjem početnih i rubnih uvjeta slijedi:
( )
( )
( )
0
1 011
2 122
9 899
10 9
1
dddd...
dd
cc cc v k c
t hc cc v k c
t h
c cc v k ct h
c c
=
−= − ⋅ − ⋅
−= − ⋅ − ⋅
−= − ⋅ − ⋅
= h - korak
-14 saE
R Tk A e−
⋅= ⋅ =
Metoda linija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Rješavanjem sustava običnih diferencijalnih jednadžbi metodom Runge-Kutta IV
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
c
[mol
dm
-3]
t [s]
x = 0 x = 0,2 x = 0,4 x = 0,6 x = 0,8 x = 1,0
Metoda linija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
U stacionarnom stanju jednadžba ** postaje:
0
d ***d V
ctc A k cz q
∂=
∂
= − ⋅ ⋅
Jednadžba *** rješava se metodom Runge-Kutta IV za početni uvjet c = 1 za z = 0
Metoda linija
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Numeričke metode u modeliranju procesa
Usporedba koncentracija u stacionarnom stanju za različite položaje u peći dobivenih metodom linija (rješavanjem jednadžbe **) i metodom Runge-Kutta IV (rješavanje jednadžbe ***)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
c
[mol
dm
-3]
x [z]
metoda linija metoda konaènih razlika