Newton-Cotesove formule numeričke integracije

Download Newton-Cotesove formule numeričke integracije

Post on 28-Nov-2015

26 views

Category:

Documents

3 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

integrali

TRANSCRIPT

<p>SVEUILITE U ZAGREBU</p> <p>SVEUILITE U ZAGREBU</p> <p>FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAUNARSTVA</p> <p>Seminarski rad iz predmeta</p> <p>PRIMJENA NUMERIKIH POSTUPAKA</p> <p>Newton-Cotesove formule numerike integracije</p> <p>Domagoj Palata</p> <p>Zagreb, rujan 2003.</p> <p>Sadraj</p> <p>11Uvod</p> <p>2Newton-Cotesove formule42.1Trapezoidno pravilo42.2Analiza pogreke52.3Simpsonovo pravilo62.4Pravila sa vie toaka62.5Sloene formule82.6Rombergova Integracija103Primjena Newton-Cotesovih formula numerike integracije134Praktini rad155Zakljuak166Literatura17</p> <p>1 Uvod</p> <p>Znaenje integrala nalazimo u povrini koju ini funkcija f(x) u odnosu na x os koordinatnog sustava. Odreeni integral sa granicama a i b ini povrina ispod krivulje u granicama od a do b, vidi sliku 1.</p> <p>Y</p> <p>f(x)</p> <p>a h b</p> <p>X</p> <p>Slika 1: Znaenje odreenog integrala u granicama od a do b</p> <p>Numerika integracija je nain izraunavanja odreenih integrala uz pomo numerikih metoda i algoritama. Jedan od naina numerike integracije je da se funkcija f(x) na intervalu (a,b(, podijeli na n jednakih dijelova takvih da je fn=f(xn) i h=(b-a)/n. Zatim se pronau polinomi koji aproksimiraju tako podijeljenu funkciju i integriraju da se izrauna povrina ispod krivulje. Da se pronau odgovarajui polinomi koriste se Lagrangeovi interpolacijski polinomi. </p> <p>Lagrangeov interpolacijski polinom je polinom stupnja n-1 koji prolazi kroz n toaka y1=f(x1), y2=f(x2), y3=f(x3), ..., yn=f(xn). Moze se prikazati formulom:</p> <p>gdje je</p> <p>Pisano eksplicitno imamo</p> <p>Dobivene formule se nazivaju Newton-Cotesove formule ili Kvadraturne formule.</p> <p>Dakle, ako se izvri supstitucija funkcije f(x) polinomom </p> <p>i izvri integracija, odreeni integral se moe prikazati izrazom</p> <p>i pritom je pogreka</p> <p>,</p> <p>gdje je a = x0( x1(...( xM = b i wk teinski faktor i pritom je .</p> <p>Nakon sreivanja dobivamo izraz za aproksimirani integral funkcije f(x) na svakom intervalu (x0,xd(, koristei interpolacijski polinom d-tog stupnja, koji se moe prikazati kao</p> <p>gdje su </p> <p>d c a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 Global Err 1 2 1 1</p> <p> O(h2) </p> <p>2 6 1 4 1</p> <p> O(h4) </p> <p>3 8 1 3 3 1 </p> <p> O(h4) </p> <p>4 90 7 32 12 3 7</p> <p> O(h6) </p> <p>5 288 19 75 50 50 75 19</p> <p> O(h6) </p> <p>6 840 41 216 27 272 27 216 41</p> <p> O(h8) </p> <p>7 17280 751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 751 O(h8) </p> <p>Opisana metoda se naziva Newton-Cotesova metoda ukoliko je interval (a,b( podijeljen na n jednakih dijelova, u suprotnom se radi o Kvadraturnoj metodi (doputa nejednake podintervale).</p> <p>2 Newton-Cotesove formule</p> <p>2.1 Trapezoidno pravilo</p> <p> Y f(x)</p> <p>a h b</p> <p>XSlika 2: Izraun uz pomo trapezoidnog pravila</p> <p>uz x1 = x0 + h dobivamo</p> <p>kada izvrimo integraciju na intervalu (a,b( dobivamo</p> <p>2.2 Analiza pogreke</p> <p>Sa trapezoidnim pravilom aproksimiramo funkciju f(x) koristei linearnu interpolaciju izmeu uzastopnih toaka i zatim integriramo interpolant. Funkcija se u potpunom obliku moe prikazati kao:</p> <p>izvrimo integraciju i zamjenu t=x-x0:</p> <p>Na slian nain dobivamo pogreku za Newton-Cotesove formule sa vie toaka.</p> <p>2.3 Simpsonovo pravilo</p> <p>Pravilo sa tri toke poznato je kao Simpsonovo pravilo.</p> <p>Integriramo izraz da bi dobili aproksimaciju integrala</p> <p>Uvrstimo li supstituciju t=(x-x0)/h, dt=dx/h, x1=x0+h, x2=x0+2h dobivamo</p> <p>2.4 Pravila sa vie toaka</p> <p>Pravilo sa etiri toke je Simpsonovo 3/8 pravilo,</p> <p>Pravilo sa pet toaka je Booleovo pravilo,</p> <p>Pravila vieg reda ukljuuju pravilo sa est toaka,</p> <p>pravilo sa sedam toaka,</p> <p>pravilo sa osam toaka,</p> <p>Generalno, postoji analitiki izraz za pravilo sa vie toaka,</p> <p>gdje je</p> <p>Zatvorena (proirena( pravila koriste viestruke izraze nieg reda da bi se izgradila pravila vieg reda. Pravilnim odabirom procesa mogu se dobiti pravila lijepih karakteristika. Kao primjer moe se spomenuti Rombergova intergracija.</p> <p>Otvorena Newton-Cotesova pravila koriste toke izvan intervala nad kojim se vri integracija, koristei jednu ili vie toaka.</p> <p>Koristei jednu toku dobiva se</p> <p>Koristei dvije toke dobiva se</p> <p>Koristei tri toke dobiva se</p> <p>Koristei etiri toke dobiva se</p> <p>2.5 Sloene formule</p> <p>elimo li integrirati integral , interval (a,b( prisjetimo se osnovnog svojstva odreenih integrala, gdje je a(c(b. Odreeni integral moemo podijeliti na M podintervala (xk, xk+1( takvih da je xk=a+h*xk-1. Izvrimo li integraciju koristei trapezoidno pravilo dobivamo:</p> <p>Sloeno Trapezoidno pravilo</p> <p>Pogreka u ovom pristupu se moe prikazati kao suma individualnih pogreaka oblika O(h3) za neki zi iz (xi,xi+1). Ta suma se moe pojednostavniti u O(h2) gdje je z neka toka iz intervala (a,b). </p> <p>Slian pristup kao kod sloenog Trapezoidnog pravila moemo primjeniti i za Simpsonovo pravilo. Poto Simpsonova metoda zahtjeva 3 toke, svaki interval mora ukljuivati toku u sreditu intervala. Kao rezultat imamo da je broj intervala djeljiv sa 2 (recimo da je broj intervala 2M gdje je h=(b-a)/(2M)).</p> <p>Sloeno Simpsonovo pravilo</p> <p>Na slian nain kao kod sloenog Trapezoidnog pravila pogreka u ovom pristupu se moe prikazati kao: za neki z iz (a,b).</p> <p>2.6 Rombergova Integracija</p> <p>Sloeno Trapezoidno pravilo ima oblik pogreke koji nam omoguava primjenu Richarsonovog izvoda. Ideja je da se uzastopno prepolavlja veliina podintervala (h) i zatim primjeni sloeno Trapezoidno pravilo. To e rezultirati serijom vrijednosti za razliite vrijednosti h. Rezultate moemo koristiti u Richarsonovom izvodu da bi poveali tonost rezultata. U nastavku e biti prikazan zapis koji se koristi za tabelarni prikaz.</p> <p>U prvom koraku primjenjujemo Trapezoidno pravilo na originalni integral. Neka je podruje integracije irine h1 = b-a. Koristei Rombergov zapis imamo:</p> <p>R1,1 = (h1/2)(f(a) + f(b)) to e se u Richardsonovom izvodu zvati N1(h)</p> <p>U drugom koraku imamo h2 = h1/2 i primjenimo sloeno Trapezoidno pravilo:</p> <p>Rombergova kratica</p> <p>Ako nastavimo djeliti podruje integracije, pronalaziti nove rezultate i prikazivati ih algebarski u prethodno prikazanom obliku, u slijedeem koraku za h3 = h2/2 dobiti emo:</p> <p>Za izraze vieg reda vrijedi generalna formula:</p> <p>Ovo jo nije Richardsonov izvod, samo smo prikazali integral koristei razliite veliine podruja integracije.</p> <p>Sada moemo primjeniti Richardsonovu Metodu da bi generirali dodatne elemente u tablici.</p> <p>Generalno imamo:</p> <p>Iz izvedenih formula dobiva se tablica koeficijenata. Tablica Simpsonovih koeficijenata ima vrlo prikladan uzorak:</p> <p>a</p> <p>bstep</p> <p>1</p> <p>4</p> <p>11</p> <p>1</p> <p>4</p> <p>2</p> <p>4</p> <p>12</p> <p>1424242413</p> <p>1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 14</p> <p>i pritom je pogreka proporcionalna sa nh5. Pogreka se smanjuje za oko 1/16 u svakom iduem koraku (n se udvostruuje i h prepolavlja).</p> <p>3 Primjena Newton-Cotesovih formula numerike integracije</p> <p>Znaenje integrala nalazimo u povrini koju ini funkcija f(x) u odnosu na x os koordinatnog sustava. Kao to je ve spomenuto numerika integracija je nain izraunavanja odreenih integrala uz pomo numerikih metoda i algoritama. Praktine primjene numerike integracije nalazimo prilikom automatizacije obrade podataka i raunskih problema uz pomo raunalnih programa gotovo u svim podrujima prirodoslovnih znanosti.</p> <p>Da bi se omoguilo koritenje numerikih metoda za izraunavanje odreenih integrala koristimo se aproksimacijama. Uvoenjem aproksimacija neizbjeno unosimo pogreku u izraun.</p> <p>Prikladnost primjene Newton-Cotesovih formula numerike integracije ovisi o prihvatljivosti pogreke koja se unosi numerikim izraunom.</p> <p>Kao sto je ve spomenuto u poglavlju 1, izraz za aproksimirani integral funkcije f(x) na svakom intervalu (x0,xd(, koristei interpolacijski polinom d-tog stupnja, moe se prikazati kao</p> <p>gdje su </p> <p>dGlob. Err 1 O(h2) </p> <p>2 O(h4) </p> <p>3 O(h4) </p> <p>4 O(h6) </p> <p>5 O(h6) </p> <p>6 O(h8) </p> <p>7 O(h8) </p> <p>Iako je globalna pogreka za dva raliita uzastopna stupnja proporcionalna, formule parnog stupnja su neto tonije nego idua formula neparnog stupnja. Na primjer, iako je u oba sluaja globalna greka proporcionalna sa O(h4), Simpsonovo pravilo je tonije od Simpsonovog 3/8 pravila.</p> <p>Uzmimo na primjer izraz , ija je vrijednost 145.6949.</p> <p>Trapezoidna metoda daje (4/2)(e1 + e5) = 302.2629 sa pogrekom 107%.</p> <p>Simpsonova metoda daje (2/3)(e1 + 4e3 + e5) = 154.3157 sa pogrekom 6%.</p> <p>Simpsonova 3/8 metoda daje (4/8)(e1+3e7/3+3e11/3+e5) = 149.716 sa pogrekom 3%.</p> <p>Nijedna od ovih aproksimacija ne daje odline rezultate imajui u vidu da integriramo jednostavnu funkciju na intervalu umjerene veliine. Iz tog razloga koristi se sloene formule, veliko podruje integracije se razlomi na nekoliko podintervala i primjeni se spomenuta aproksimacija na integral na svakom podruju posebno. U naem primjeru razlomimo interval [1,5] na etiri podintervala:</p> <p>,</p> <p>zatim primjenimo Trapezoidno pravilo za svaki od tih integrala:</p> <p>(1/2)([e1+ e2] + [e2+e3] + [e3+e4] + [e4+e5])= 157.6385 </p> <p>Pogreka je sada 8% - naprema 107% kada smo primjenili jednostavno Trapezoidno pravilo. U praksi, kao kompromis kompleksnosti i tonosti najee se koristi sloena Simpsonova metoda.</p> <p>Za usporedbu moemo pogledati rezultate razliitih metoda za izraz , gdje je N broj podintervala:</p> <p>NTrapezoidno pravilo O(h2)Simpsonovo pravilo O(h4)n=4 O(h6)</p> <p>41.00250110798165</p> <p>1.00000499159078</p> <p>1.00000005641290</p> <p>81.00062551160333</p> <p>1.00000031281055</p> <p>1.00000000089187</p> <p>161.00015639257365</p> <p>1.00000001956376</p> <p>1.00000000001398</p> <p>321.00003909906062</p> <p>1.00000000122294</p> <p>1.00000000000022</p> <p>4 Praktini rad</p> <p>Program izraunava vrijednost odreenog integrala unesene funkcije sa granicama koje isto tako unosi korisnik (unesena funkcija mora biti u formatu programa Mathematika). Program se izvodi u programskom paketu Mathematika (minimalno verzija 4.0). Izvodjenje se pokree evaluacijom notebooka u Kernelu. Suelje prema korisniku za unos je realizirano preko prozora dok je ispis rezultata direktno u notebook. Program nudi dvije opcije: Izraunavanje pomou jednostavnih ili sloenih formula. Ukoliko se odaberu jednostavne formule korisnik odabire broj toaka koje e program koristiti za izraun. Ukoliko se odabiru sloene formule, korisniku se nudi izbor izrauna sloenom Trapeznom ili Simpsonovom formulom. Program ne doputa unos nedozvoljenih vrijednosti prilikom izbora vrste formula za izraun (sloene ili jednostavne formule, Simpsonova sloena ili Trapezna sloena formula, te broj toaka za izbor jednostavne formule prema broju toaka), meutim u program nije ugraena kontrola za unesenu funkciju te granice odreenog integrala. Za sloene formule korisnik moe odabrati broj podintervala integracije odreenih integrala (preporua se maksimalni broj podintervala meutim program nee odbiti izvrenje ukoliko korisnik unese neku drugu vrijednost. Program vri izraun i ispis kako slijedi:</p> <p>-uitanu funkciju</p> <p>-gornju granicu integrala</p> <p>-doljnju granicu integrala</p> <p>-koriteno pravilo (formulu)</p> <p>-broj podintervala funkcije</p> <p>-izraun odabranom metodom numerike integracije</p> <p>-izraun ugraenom funkcijom programa Mathematika</p> <p>-pogreku numerike metode u odnosu na vrijednost izraunatu ugraenom funkcijom programa Mathematica</p> <p>Za ponovno izvrenje programa treba ponovno pokrenuti evaluaciju notebooka u Kernelu.</p> <p>5 Zakljuak</p> <p>U ovom radu su opisane Newton-Cotesove formule numerike integracije i pogreke koje se unose koritenjem aproksimacija. Newton-Cotesove formule su najizravnija tehnika za izraunavanje odreenih integrala numerikim metodama. Newton-Cotesova metoda aproksimira funkciju na zadanom intervalu ili nizu jednakih intervala polinomima razliitog stupnja. Najee koritene NewtonCotesove formule su Trapezoidna (aproksimacija Lagrangeovim polinomom koji prolazi kroz dvije toke) i Simpsonova metoda (aproksimacija Lagrangeovim polinomom koji prolazi kroz tri toke).</p> <p>Nadalje, opisane su sloene Newton-Cotesove formule, ija svrha je poveanje tonosti opisanih metoda, a da se pritom ne povea kompleksnost odnosno stupanj polinoma prilikom uvoenja aproksimacija.</p> <p>6 Literatura</p> <p>[1] M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, New York, 1972.</p> <p>[2] F.B. Hildebrand, Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw-Hill, pp.160-161, 1956.</p> <p>[3] P.J. Davis and P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2nd ed. New York: Academic Press, 1984.[4] E.T. Whittaker and G. Robinson, "The Newton-Cotes Formulae of Integration." 76 in The Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover, pp.152-156, 1967.[5] http://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.html</p> <p>PAGE 16</p> <p>_1129312536.unknown</p> <p>_1129968716.unknown</p> <p>_1130573693.unknown</p> <p>_1144593991.unknown</p> <p>_1144594115.unknown</p> <p>_1144594118.unknown</p> <p>_1144594201.unknown</p> <p>_1144594090.unknown</p> <p>_1143748135.unknown</p> <p>_1143869543.unknown</p> <p>_1130581917.unknown</p> <p>_1130583113.unknown</p> <p>_1130573714.unknown</p> <p>_1129969078.unknown</p> <p>_1129984895.unknown</p> <p>_1130572963.unknown</p> <p>_1129969098.unknown</p> <p>_1129968936.unknown</p> <p>_1129321765.unknown</p> <p>_1129372763.unknown</p> <p>_1129968105.unknown</p> <p>_1129968687.unknown</p> <p>_1129375474.unknown</p> <p>_1129968047.unknown</p> <p>_1129375453.unknown</p> <p>_1129322046.unknown</p> <p>_1129314341.unknown</p> <p>_1129314747.unknown</p> <p>_1129312921.unknown</p> <p>_1126289358.unknown</p> <p>_1127593722.unknown</p> <p>_1129312251.unknown</p> <p>_1129312390.unknown</p> <p>_1129312036.unknown</p> <p>_1126294751.unknown</p> <p>_1126295767.unknown</p> <p>_1127593665.unknown</p> <p>_1126295016.unknown</p> <p>_1126294705.unknown</p> <p>_1125667169.unknown</p> <p>_1126287614.unknown</p> <p>_1126288350.unknown</p> <p>_1126283575.unknown</p> <p>_1089196576.unknown</p> <p>_1121296252.unknown</p> <p>_1121297558.unknown</p> <p>_1125664664.unknown</p> <p>_1089202943.unknown</p> <p>_1121290335.unknown</p> <p>_1121016925.unknown</p> <p>_1089196655.unknown</p> <p>_1089195895.unknown</p> <p>_1089196490.unknown</p> <p>_1079304725.unknown</p> <p>_1079305017.unknown</p> <p>_1079305116.unknown</p> <p>_1079304950.unknown</p> <p>_1079296515.unknown</p> <p>_1079291622.unknown</p>