osnove elektrotehnike ii - lbm.fe.uni-lj.silbm.fe.uni-lj.si/oe/oe2/oe2magn_2011.pdf · uvod –...
TRANSCRIPT
-
OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II
Magnetostatika
Dejan Kriaj
2011
-
KRATKO KAZALO (GLAVNA POGLAVJA)
UVOD - ZGODOVINA MAGNETIKE
1. SILA NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU
2. BIOT-SAVARTOV ZAKON
Magnetno polje zemlje
3. AMPEROV ZAKON
4. MAGNETNI PRETOK FLUKS
5. DELO MAGNETNIH SIL
6. NAVOR NA (TOKO)VODNIK
7. GIBANJE NABOJEV V ELEKTRINEM IN MAGNETNEM POLJU
8. MAGNETNE LASTNOSTI SNOVI
9. MAGNETNI MATERIALI
10. ANALIZA MAGNETNIH STRUKTUR
Uporaba feromagnetikov in ferimagnetikov v praksi
11. Inducirana napetost
Primeri upotevanja matematine magnetilne krivulje pri izraunu inducirane napetosti
12. Energija magnetnega poljaEquati on Se ction 12
13. Lastna in medsebojna induktivnost
14. Razirjen Amperov zakon
15. Povzetek enab elektromagnetnega polja
-
KAZALO
KAZALO ............................................................................................................................................................... 2
UVOD - ZGODOVINA MAGNETIKE ................................................................................................................... 6
Kompas (Kitajska, 200 bc) ................................................................................................................................... 6
Magnetit (Grija, bc) ........................................................................................................................................... 6
Gilbert (anglija, 1600) prvi znanstven pristop .................................................................................................. 7
1700 1800 ........................................................................................................................................................ 8
Oersted (Danska, 1820) eksperiment s tokom in kompasom .......................................................................... 8
1. SILA NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU ........................................................................................ 10
Permeabilnost vakuuma ................................................................................................................................... 11
Enota za elektrini tok ...................................................................................................................................... 11
Tokovni element................................................................................................................................................ 12
Magnetna sila na tokovni element ................................................................................................................... 13
2. BIOT-SAVARTOV ZAKON ............................................................................................................................ 19
Magnetno polje osnovnih struktur (tokovodnikov), izraunano z uporabo biot-savartovega zakona ............. 20
Magnetno polje zemlje.................................................................................................................................. 31
Zdrueno magnetno polje zemlje in sonca ........................................................................................................ 33
3. AMPEROV ZAKON ..................................................................................................................................... 35
Izrauni polja s pomojo amperovega zakona .................................................................................................. 37
4. MAGNETNI PRETOK FLUKS ...................................................................................................................... 43
Izraun fluksa .................................................................................................................................................... 43
Brezizvornost magnetnega polja ...................................................................................................................... 45
induktivnost (prvi) ........................................................................................................................................... 48
Magnetni sklep ................................................................................................................................................. 48
5. DELO MAGNETNIH SIL ............................................................................................................................... 51
6. NAVOR NA (TOKO)VODNIK ....................................................................................................................... 56
Navor na tokovno zanko v magnetnem polju. .................................................................................................. 58
Magnetni dipol in magnetni dipolni moment ................................................................................................... 59
D'Arsonvalov ampermeter ................................................................................................................................ 62
7. GIBANJE NABOJEV V ELEKTRINEM IN MAGNETNEM POLJU ..................................................................... 63
Gibanje nabojev v elektrinem polju ................................................................................................................. 63
-
Gibanje nabojev v magnetnem polju ................................................................................................................ 63
Lorentzova sila .................................................................................................................................................. 65
Odklanjanje delcev v magnetnem polju zemlje ................................................................................................ 66
Katodna cev ...................................................................................................................................................... 67
Obstoj elektrona in doloitev naboja elektrona ................................................................................................ 68
Hallov pojav ...................................................................................................................................................... 69
Merjenje magnetnega polja s hallovim efektom .............................................................................................. 70
Ciklotron............................................................................................................................................................ 71
Masni spektrograf ............................................................................................................................................. 73
** Dodatno: relativistien pogled na gibanje delcev ........................................................................................ 75
** Dodatno: Kvantni Hallov efekt ..................................................................................................................... 75
8. MAGNETNE LASTNOSTI SNOVI .................................................................................................................. 77
Od kod trajnim magnetom lastnost, da povzroajo magnetno polje? ............................................................. 77
Vektor magnetizacije ........................................................................................................................................ 78
Zveza med magnetizacijo in povrinskim tokom .............................................................................................. 79
Magnetna poljska jakost (H) in razirjen Amperov zakon ................................................................................ 80
Zveza med B, H in M ......................................................................................................................................... 82
Magnetna susceptibilnost in relativna permeabilnost ..................................................................................... 83
Zveza med B in H ............................................................................................................................................... 84
Magnetna napetost .......................................................................................................................................... 85
Magnetni potencial. .......................................................................................................................................... 86
Mejni pogoji magnetnega polja ........................................................................................................................ 86
** Dodatno: Magnetni naboj ............................................................................................................................ 92
9. MAGNETNI MATERIALI .............................................................................................................................. 94
Diamagnetiki..................................................................................................................................................... 94
Paramagnetiki .................................................................................................................................................. 94
Antiferomagnetiki ............................................................................................................................................. 95
Ferimagnetiki .................................................................................................................................................... 96
Superparamagnetiki ......................................................................................................................................... 96
Feromagnetiki ................................................................................................................................................... 97
10. ANALIZA MAGNETNIH STRUKTUR.......................................................................................................... 102
Postopek raunanja magnetnih struktur ........................................................................................................ 103
PRIMERI izraunov .......................................................................................................................................... 104
Delovna toka (trajnega) magneta ................................................................................................................. 110
-
Magnetna vezja .............................................................................................................................................. 111
Uporaba feromagnetikov in ferimagnetikov v praksi .................................................................................. 115
Efektivna permeabilnost in faktor induktivnosti ............................................................................................. 115
Upotevanje temperaturne in frekvenne karakteristike ............................................................................... 116
Uporaba programov za numerino simulacijo magnetnih struktur ................................................................ 118
Upotevanje stresanja fluksa v zrani rei ...................................................................................................... 118
Trajni magneti................................................................................................................................................. 119
Kako izraunati in izbrati ustrezno tuljavo? .................................................................................................... 121
Nekaj aplikacij ................................................................................................................................................. 122
Induktivni senzorji bliine ................................................................................................................................ 122
Gradiometrini senzor polja ............................................................................................................................ 123
Eksperimenti ................................................................................................................................................... 124
11. Inducirana napetost .............................................................................................................................. 125
asovna sprememba fluksa skozi tuljavo ....................................................................................................... 125
Inducirana napetost v zanki pri znani spremembi magnetnega pretoka skozi zanko .................................... 127
Inducirana napetosti na tuljavi pri znanem toku skozi ovoje tuljave in padec napetosti na tuljavi ................ 128
Padec napetosti na tuljavi pri vzbujanju tuljave s harmoninim (sinusnim) tokom ........................................ 129
Realna tuljava ohmska in induktivna upornost ............................................................................................ 130
Kazalci, ohmska in induktivna upornost ......................................................................................................... 132
Inducirana napetost v tuljavi zaradi spremembe fluksa v drugi tuljavi .......................................................... 133
Transformatorska in Gibalna (rezalna) inducirana napetost .......................................................................... 138
Primeri upotevanja matematine magnetilne krivulje pri izraunu inducirane napetosti .......................... 143
12. Energija magnetnega polja .................................................................................................................... 153
Energija shranjena v polju tuljave ................................................................................................................... 153
Energija sistema ve tuljav ............................................................................................................................. 155
Izpeljava izraza za gostoto magnetne energije .............................................................................................. 157
Energija v linearnih magnetnih strukturah ..................................................................................................... 158
Energija v nelinearnih magnetnih strukturah ................................................................................................. 159
Produkt B in H (pomemben pri trajnih magnetih) .......................................................................................... 160
Histerezne izgube ............................................................................................................................................ 161
Doloitev induktivnosti iz magnetne energije ................................................................................................. 162
Induktivnost premega vodnika in induktivnost dvovoda ................................................................................ 163
Magnetna sila ................................................................................................................................................. 164
-
13. Lastna in medsebojna induktivnost ....................................................................................................... 167
14. Razirjen Amperov zakon ...................................................................................................................... 171
Premikalni (poljski) tok ................................................................................................................................... 172
Kdaj bi bil za analizo bolj pomemben konduktivni in kdaj premikalni tok? .................................................... 173
Difuzija ravninskega polja v prevodniku (dodatno, kot informacija) .............................................................. 173
15. Povzetek enab elektromagnetnega polja ............................................................................................. 177
1. Maxwellova enaba = razirjen Amperov zakon ......................................................................................... 177
2. Maxwellova enaba = Faradayev zakon indukcije ...................................................................................... 177
3. Maxwellovan enaba = Gaussov zakon za magnetni polje ......................................................................... 178
4. Maxwellova enaba = Gaussov zakon za elektrino polje .......................................................................... 178
-
Uvod zgodovina magnetike 0.
6
UVOD - ZGODOVINA MAGNETIKE Imena za naravni magnet v razlinih jezikih:
Francosko: aimant (ljube)
Kitajsko: tzhu shih (ljubezenski kamen)
Angleko: lodestone (leading, guiding stone)
KOMPAS (KITAJSKA, 200 BC)
Kos magnetita z mono magnetizacijo tvori elezov magnet, ki na
plavajoi podlagi vedno kae v isto smer. Kitajci so prvi, ki so
dokumentirano spoznali magnetni uinek in ga med drugim
uporabili za izum kompasa (dinastija Quin, 221-206 pred naim
tetjem). Prvi dokumentiran zapis o kompasu izvira iz leta 1297. Ta
pomemben izum, ki omogoa ladjam navigacijo tudi dale od
kopnega, se je hitro raziril tudi v Arabijo in v Evropo.
MAGNETIT (GRIJA, BC)
Stari Grki poznajo magnet, saj izvira ime magnet iz pokrajine Magnesia
(sedaj v Turiji), kjer so nali primerke kamnov (magnetita) z
magnetnimi lastnostmi. e Thales iz Mileta trdi, da ima magnet duo.
Lucretius je predstavnik atomistov in v delu De Rerum Natura opisuje,
da magnet privlai elezo tako, da odganja atome v njegovi okolici. V
resnici povzema uenje Epicuriusa (342 270 BC), ki je naslednik
uenja Demokrita. Po njihovem uenju naj bi bila vsa snov sestavljena
iz atomov, ki pa so ob smrti razpadli (ni bilo ivljenja po smrti). Iz
tistega asa izvira tudi preprianje, da esen zmanja mo magneta.
To preprianje se je vleklo vse do leta 1600, e posebno so se esna izogibali morjeplovci.
Magnetit (Fe3O4) je narvni
mineral, ki ima od vseh naravnih
magnetnih materialov najbolj
izraene magnetne lastnosti.
-
Uvod zgodovina magnetike 0.
7
William Gilbert (1540 - 1603) se
smatra prvi, ki se je znanstveno
lotil raziskovanja magnetnih
pojavov in jih opisal v knjigi De
GILBERT (ANGLIJA, 1600) PRVI ZNANSTVEN PRISTOP
Prve resneje in obsene poskuse iz magnetike opravi W. Gilbert
in jih objavi v knjigi De Magnete leta 1600. Znan je bil kot
osebni doktor kraljice Elizabete. Gilbert je bil trden zagovornik
Kopernika, kar je bilo v drugih, bolj dogmatinih dravah,
ivljenjsko nevarno. Istega leta, kot je izla njegova knjiga, so
Giordana Bruna v Italiji zakurili na grmadi. Gilbert je delal
mnogo poskusov iz elektrike, pri emer je uporabljal
elektroskop. Naredil je obseen seznam materialov, ki se bolj ali
manj naelektrijo dandanes to imenujemo triboelektrina
lestvica. Ugotovil je tudi, da je elektrina sila razlina od
magnetne, da naelektren objekt nima polov, kot jih ima magnet
in da je mogoe elektrino silo zmanjati s kosom papirja,
magnetno pa ni mogoe. (Ena pomembnejih stvari, ki se jih
lahko nauimo od Gilberta, je spoznanje, kako je pomembno
prouiti in preverjati dejstva in ne le povzemati pisanje
drugih. e posebno, e ne temelji na znanstvenem delu.
To vodilo bi lahko bilo v veljavi e danes. eprav je vrsta
pojavov e zelo natanno pojasnjena, je za pravo
razumevanje najbolje lastno preverjanje. e je le
mogoe, naj to velja za vse, ki se uijo.)
Gilbert je proueval tako naravne magnete iz magnetita
(loadstone), kot tudi umetno namagnetene materiale
elezo. V popolnosti je tudi razumel inducirano
magnetno polje, kjer nenamagneten vendar (fero)magnetni material
prevzame magnetne lastnosti ob stiku.
Ugotovil je, da ne le, da kae magnetna igla (kompas) proti severu, pa pa
tudi pod doloenim kotom na povrino zemlje. Predlagal je uporabo naprave,
s katero bi lahko doloali ne le smer severa, pa pa tudi geografsko viino iz
tega kota. Gilbert je naredil model zemlje, ki ga je poimenoval terella (majhna
zemlja) v katerega je vgradil trajni magnet. S tem modelom prikazuje delovanje kompasa na zemlji in
ugotavlja, da je sama zemlja en velik magnet. Kdor raziskuje se lahko tudi moti: Gilbert v zadnjem
delu knjige predvideva (pod vplivom Kopernikove teorije), da je magnetno polje tisto, ki prispeva k
gibanju teles v vesolju.
Knjiga W. Gilberta De Magnete.
-
Uvod zgodovina magnetike 0.
8
Oerstedov eksperiment in kompas, na katerem je opazil premik
ob toku v vodniku. Po Oerstedu se imenuje tudi enota za jakost
magnetnega polja. Ta enota se je uporabljala v sistemu enot
CGS (centimeter, gram, sekunda) in se dandanes ve ne
uporablja, nadomestila jo je SI enota [A/m]. Ker pa se jo v
Po Gilbertovih dognanjih se je dve desetletji na podroju raziskav magnetike dogajalo bolj malo.
1700 1800
Do leta 1800 velja omeniti nekaj pomembnejih dognanj pri razumevanju elektrike. Otto von
Guericke (1672) izumi naelektritveno sfero n prvo vakumsko steklenico. Sledi odkritje t.i. Leidenske
steklenice oziroma prvega kondenzatorja, ki omogoa zaasno hranjenje veje koliine elektrinega
naboja oziroma doseganje vijih napetosti. Benjamin Franklin predlaga koncept le enega naboja,
pozitivnega ali negativnega. Luigi Galvani eksperimentira z ivalsko elektriko, kar nadaljuje
Alessandro Volta, ki je med drugim zasluen za izum elektroskopa in baterije. Ta omogoa bolj
konstanten in trajneji tok kot elektrostatini generatorji. Charles Coulomb v Franciji s pomojo
magnetne igle, ki ji visela na tanki nitki zazna ibke odklone pri blianju drugega magneta. Coulomb
je ugotovil, da sila pada s kvadratom razdalje, kot pri elektrini ali gravitacijski sili. Intrument, kot ga
je zasnoval Coulomb, je bil osnova magnetnih detektorjev za nadaljnjih 170 let. Silo odboja uporabi
Jonathan Swift v Guliverjevih potovanjih, kjer otok lebdi v prostoru zaradi anti-gravitacije. Kljub
vsem raziskavam, v tem asu e ni bila znana povezava med elektriko in magnetiko. Coulomb celo
trdi, da te povezave ni.
OERSTED (DANSKA, 1820) EKSPERIMENT S TOKOM IN KOMPASOM
Leta 1820 profesor Hans
Christian Oersted v
Kopenhagnu (Danska)
pripravlja eksperiment iz
segrevanja prevodnika in tudi
iz magnetike. Preseneeno
ugotovi, da se igla kompasa
premakne vsaki, ko sklene
tokokrog. Ugotovi, da se
kompas ne usmeri v smeri
elektrinega toka pa pa
preno na smer toka in da
magnetno polje obkroa tok.
Svoje delo objavi julija 1820 in
-
Uvod zgodovina magnetike 0.
9
s tem naredi pomemben korak pri razumevanju elektrike in magnetike. Da sta elektrika in magnetika
pravzaprav povezana, saj elektrini tok povzroa magnetno polje.
Kristale magnetita najdemo tudi v doloenih bakterijah ter v moganih ebel, termitov in nekaterih ptic.
Ocenjuje se, da so lahko ti materiali vzrok za sposobnosti doloenih ivali, da se orientirajo v magnetnem polju
zemlje, kar imenujemo magnetorecepcija. Poiite ve o tem na spletu.
-
Sila na tokovodnik 1.
10
1. SILA NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU
Equation Chapter 1 Se ction 1Vsebina poglavja: izraz za silo med dvema vzporednima tokovodnikoma, privlana in odbojna
sila, permeabilnost vakuuma, enota za elektrini tok, tokovni element, gostota magnetnega
pretoka.
Andre-Marie Ampre je v Franciji takoj preveril ugotovitve Oersteda in jih tudi razdelal. Pravilno je
predvidel, da e elektrini tok povzroa magnetno polje in s tem odklon magnetne igle, mora
obstajati tudi sila med dvema vodnikoma s tokom. To je tudi dokazal in to silo tudi ovrednotil.
Izkazalo se je, da je sila med dvema vzporednima vodnikoma sorazmerna produktu toka v obeh
vodnikih in njune doline in nasprotno sorazmerna razdalji med vodnikoma. To bi matematino
zapisali kot
1 2I I l
F kr
= . (1.1)
Ampre je tudi ugotovil, da je sila privlana, e toka teeta v isto smer in odbojna, e toka teeta v
nasprotno smer.
SLIKA: Vzporedno leea vodnika s tokom v isto smer se privlaita, s tokom v nasprotno smer pa se
odbijata.
Konstanta k je enaka 0
2
, kjer je 0 permeabilnost vakuuma in ima vrednost
7410 . Torej je
enaba za silo med dvema ravnima vzporednima vodnikoma iz (1.1) enaka:
0 1 2
2
I I lF
r
= . (1.2)
-
Sila na tokovodnik 1.
11
PERMEABILNOST VAKUUMA
Poglejmo, kakno enoto mora imeti 0 , da bo ustrezalo enabi (1.1): 0A A m
N [ ]m
= oziroma
0 2
N[ ]
A = . 1
ENOTA ZA ELEKTRINI TOK Amper je enota za elektrini tok: Med dvema neskonnima ravnima vodnikoma zanemarljivega
prereza s tokom 1 A, ki sta razmaknjena za 1 m, je v vakuumu sila 72 10 N/m .2
OSNOVNE SI ENOTE
Katere so torej osnovne enote po mednarodnem sistemu SI (Systeme International SI po
konvenciji iz leta 1875)? Meter (m), kilogram (kg), sekunda (s), Ampre (A), Kelvin (K), mol
(mol) in kandela (cd). Izpeljane enote pa so na primer newton, joule, watt, coulomb, volt, ...)
1 Kasneje bomo ugotovili, da enoto za permeabilnost pogosteje zapiemo z osnovnimi ali izpeljanimi
elektrinimi enotami (H je enota za induktivnost): 0 2N V s H
[ ]A A m m
= = =
.
2 Ampre je skonstrurial ve t.i. tokovnih tehtnic, s pomojo katerih je ugotavljal sile med tokovodniki. Da bi poveal sile med vodniki je vekrat navil vodnike okoli iste osi in tako dobil prve primere tuljav....
Doloimo velikost sile med dvema ravnima vzporednima (neskonno dolgima) vodnikoma s
tokom 1 A na dolini enega metra, ki sta med sabo razmaknjena za 1 m.
Izraun: Ta sila je enaka 7 2
7410 N/A 1A 1A 1m 2 10 N2 1m
F
= =
, kar je tudi osnova za enoto
amper [A], ki si jo je Ampre prisluil za svoja pomembna odkritja na podroju raziskovanja
elektrinih pojavov. To je tudi edina elektrina enota, ki jo potrebujemo za povezavo med
elektriko in mehaniko.
-
Sila na tokovodnik 1.
12
TOKOVNI ELEMENT Enaba (1.1) za silo med vodnikoma velja le, e sta vodnika vzporedna. Za izraun sile na
(toko)vodnik poljubne oblike, je Ampre vpeljal koncept tokovnega elementa dI l
. Tokovni element
imenujemo produkt toka v vodniku z vektorjem majhne (diferencialne) razdalje v smeri vodnika.
SLIKA: Tokovni element je predstavljen kot (diferencialen) del doline vodnika pomnoen s tokom
v vodniku: dI l
.
Silo na tokovni element 11dI l
lahko zapiemo kot
0 1 1 2 212 2
12
d d sind
4
I l I lF
r
= ,
kjer je 12r
vektor od tokovnega elementa 2 do tokovnega elementa 1 in kt med tem vektorjem in
smerjo tokovnega elementa 2.
SLIKA: Dva tokovna elementa in sila med njima.
-
Sila na tokovodnik 1.
13
Vektorski produkt
Vektorski produkt vektorjev in A B
je
sin( )nC A B e A B = =
, kjer je ne
vektor (normale), ki kae pravokotno na
ravnino, ki jo doloata vektorja in A B
.
Pravilno smer vektorja C dobimo kot smer
vrtenja tako, da zavrtimo prvi vektor (A) v
najkraji smeri proti drugemu vektorju (B).
SLIKA
MAGNETNA SILA NA TOKOVNI ELEMENT Da bi doloili celotno silo na tokovni element 1, moramo seteti vse prispevke tokovnih elementov
na tem mestu. e to upotevamo, lahko enabo zapiemo tudi kot
12 1 1ddF I l B= ,
kjer imenujemo B magnetno polje3 oziroma bolj natanno gostota magnetnega pretoka na mestu
tokovnega elementa 1 1dI l . Pomembna je tudi smer gostote pretoka. Sila na tokovni element je
pravokotna tako na tokovni element, kot na magnetno polje. Sila je najveja, ko je magnetno polje
pravokotno na tok(ovni element). To lahko zapiemo z vektorskim produktom 12 11d dF I l B=
, ki jo
v konni obliki lahko piemo brez indeksov:
d dF I l B=
(1.3)
POENOSTAVLJENE ENABE
e na ravni vodnik deluje homogeno polje B, ki je pravokotno na vodnik, je sila nanj enaka
F IlB= , (1.4)
kar je znana enaba iz srednje ole (BIL).
e je polje homogeno, ni pa med smerjo polja in
toka pravi kot, je potrebno upotevati vektorski
produkt vektorjev, od katerih en kae v smeri toka
na katerega raunamo silo, drugi pa smer gostote
magnetnega pretoka (B). V tem primeru bo
velikost sile sin( )F IlB = , smer sile pa bo vedno pravokotna na ravnino, ki jo doloata smer
toka v vodniku in polja, ki deluje na vodnik.
Gostota magnetnega pretoka je posledica
delovanja elektrinega toka (tokov). Obstajajo pa
tudi snovi, ki povzroajo v svoji okolici magnetno
polje brez dodatnega tokovnega vzbujanja. To so
trajni magneti, ki pa jih bomo podrobneje
obravnavali kasneje.
3 Pogosto za (vektor) gostote magnetnega pretoka uporabljamo bolj poljuden izraz magnetno polje ali kar
kratko polje.
-
Sila na tokovodnik 1.
14
SLIKA: Magnetna sila na tokovni element deluje v smeri, ki je pravokotna tako na tokovni element
kot na vektor gostote pretoka. Theta je kt med dl
in B
.
DEFINICIJA GOSTOTE MAGNETNEGA PRETOKA
Iz enabe (1.4) tudi izhaja definicija za gostoto magnetnega pretoka, ki jo lahko zapiemo kot silo na
tokovni element:
FB
Il= . (1.5)
Poii analogijo z definicijo elektrine poljske jakosti: sila na enoto naboja.
Podobno, kot je bil pri elektrostatiki osnovni gradnik, ki je povzroal magnetno polje, naboj Q
oziroma diferencial naboja dQ, je v magnetostatiki osnovni gradnik, ki povzroa magnetno polje tok I
oz. tokovni element dI l
.
Poglejmo si najprej nekaj primerov raunanja sile po enabi (1.3):
-
Sila na tokovodnik 1.
15
ENOTA ZA B je Tesla (T), stareja enota je Gauss. Velja 1 T = 104 Gaussa.
TIPINE VELIKOSTI POLJA
V magnetno zaiteni sobi 10-14 T
V medgalaktinem prostoru 10-10 T
Na povrini zemlje 10-4 T
Na povrini majhnega trajnega magneta 10-2 T
V bliini velikega elektromagneta 1,5 T
Na povrini neutronske zvezde 108 T
Obiajno so torej v elektromagnetiki vrednosti B-ja od militesla do 1 tesla.
Pokazali smo e dva primera izrauna sile na ravne (toko)vodnike. Kolikna pa je sila, e vodnik ni
raven? Tedaj je potrebno vodnik razdeliti na manje dele in doloiti silo na vsak tak del.
V ravnem bakrenem vodniku je tok 28 A. Kolikna mora biti velikost in smer gostote magnetnega
pretoka, da bo sila na vodnik doline 1 m enako velika a nasprotne smeri kot sila gravitacije? ica
ima linearno gostoto snovi 46,6 g/m.
Izraun:
IlB mg=
2( / ) 1,6 10 T.m l g
BI
= =
Preveri e smer (tok v vodniku v tablo, smer Bja na desno)
Doloimo silo na del vodnika v obliki polkroga s polmerom R = 4 cm in s tokom 6 A, ki je v
homogenem polju velikosti 0,5 T . Polje je pravokotno na vodnik.
Izraun: Uporabimo izraz d dF I l B=
, kjer (diferencialni) del polkroga zapiemo kot d dl R = :
ddF IR B= . Potrebno je setevati le tisto komponento sile, ki je usmerjena v smeri osi Z, zato
velja:
sinz
dF F = in /2
0
2 sin d 2 240 mNzF IRB IRB = = =
SLIKA: Sila na vodnik v obliki polkroga v homogenem polju.
-
Sila na tokovodnik 1.
16
Kolikna je sila na vodnik s tokom 6 A , ki je postavljen vzdol X osi, na razdalji od x = 0 m do x= 4
m in nanj deluje nehomogeno magnetno polje 310 (2 T/m ,2 T,0)B x=
. x je v metrih.
Izraun: Ker je polje nehomogeno, je potrebno uporabiti integracijo diferenciala sile
d dF I l B=
, kjer je
3 Td d d (1,0,0) 10 (2 ,2 T,0)m
xF I xe B I x x
= =
3Td d d 2 10 (0,0,1)m
xF I xe B I x
= =
4 m
0
T2 (0,0,1) 48 mN
mz
F I dx e= =
Dodatno: Kaj e je y komponenta polja enaka x komponenti?
SLIKA: Izraun sile na vodnik v nehomogenem polju.
-
Sila na tokovodnik 1.
17
POVZETEK:
1. Velikost magnetne sile med dvema ravnima vodnikoma stokoma I1 in I2 je
0 1 2
2
I I lF
r
= .
2. Sila je privlana, e je smer toka v vzporednih ravnih vodnikih enaka.
3. Definicija enote 1 A: sila med dvema vzporednima vodnikoma v vakuumu s tokom 1 A, ki
sta oddaljena za 1 m, je -72 10 N/m .
4. Tokovni element dI l
je definiran kot produkt toka v vodniku in diferenciala doline
vodnika.
5. Sila na tokovni element je d dF I l B=
, kjer B imenujemo gostota magnetnega
pretoka. Smer sile je pravokotna tako na vektor dl
kot na vektor B
.
6. Podobno, kot lahko elektrino poljsko jakost definiramo kot (elektrino) silo na naboj
( /e
E F Q= ), lahko gostoto magnetnega pretoka definiramo kot (magnetno) silo na tokovni
element mF
BIl
= .
1. Poiite na spletu informacije o osnovnih SI enotah.
2. Poiite informacije o tokovnih tehtnicah, ki omogoajo tehtanje magnetne sile. (kljune
besede v ang.: current balance, history)
3. Galvanometer je osnovna merilna naprava, ki uporablja koncept sile na tokovodnik v magnetnem polju (slika
desno). Poiite ve informacij na spletu.
Primeri nalog:
izpit, 16. aprila 2002
izpit, 28. junij 2006
-
Biot-Savartov zakon 2.
19
2. BIOT-SAVARTOV ZAKON Equation Se ction 2Vsebina poglavja: zapis Biot-Savartovega zakona, izrauni magnetnega polja v okolici osnovnih
oblik tokovodnikov: premice, daljice, zanke in solenoida.
Polje, ki ga v okolici povzroa neskonen raven vodnik smo e zapisali, ko smo obravnavali silo med
dvema ravnima vodnikoma. To polje je 02
IB
R
= . To enabo in druge, za poljubno obliko vodnika s
tokom lahko izraunamo z uporabo Biot-Savartovega zakona.
Polje, ki ga tokovni element dI l
povzroa v toki T je:
0
2
d sin( )d
4
I lB
r
= (2.1)
kjer je r razdalja od tokovnega elementa do toke T, pa je kt med vektorjema dl
in r
.
Ta enaba d le velikost polja, ne pa tudi smeri. Smer polja je pravokotna na ravnino, ki jo doloata
vektorja dl
in r
, kar lahko zapiemo z vektorskim produktom
0 0
3 2
d dd
4 4
rI l r I l eB
r r
= =
(2.2)
SLIKA: Tokovni element oddaljen od toke T za razdaljo r povzroa v toki T gostoto magnetnega
pretoka, doloeno z Biot-Savartovim zakonom.
Da bi doloili polje v toki T za celotni tokovodnik, je potrebno seteti (integrirati) prispevke vseh
tokovnih elementov:
0
3
d
4L
I l rB
r
=
. BIOT-SAVARTOV ZAKON (2.3)
-
Biot-Savartov zakon 2.
20
MAGNETNO POLJE OSNOVNIH STRUKTUR (TOKOVODNIKOV), IZRAUNANO Z
UPORABO BIOT-SAVARTOVEGA ZAKONA
TOKOVNA PREMICA
Raven, neskonen, tanek tokovodnik (tokovna premica) postavimo vzdol Z osi s tokom v smeri Z osi.
Pri z = 0 postavimo na oddaljenosti R od izhodia (od vodnika) toko T, v kateri elimo doloiti polje.
Na poljubni toki na vodniku na Z osi oznaimo tokovni element in nariemo vektor r. Ugotovimo, da
kae od tokovnega elementa do toke T (v list). Zapiemo Biot-Savartov zakon v obliki
0
2
d sin( )d
4
I lB
r
= , smer polja pa ugotovimo iz vektorskega produkta tokovnega elemeta in
smeri vektorja r in kae v smeri kta fi. Velja d dl z= , sinR
r = , kjer je 2 2r z R= + . Vstavimo
izraze v B-S zakon in dobimo
( )0 0
3/ 23 2 2
d dd
4 4
I z R IR zB
r z R
= =
+. Sedaj je potrebno le e seteti vplive vseh tokovnih elementov,
ki se nahajajo vzdol Z osi, kar naredimo z integracijo diferenciala polja:
( ) ( )0 0
3/ 2 3/ 22 2 2 2
po vseh tokovnihelementih
d dd
44
IR z IR zB B
z R z R
+ +
= = =+ +
.
Reitev tega integrala poiemo v tablicah integralov. Dobimo
( )0 0 02 2 2
1 ( 1)4 4 2
IR I IzB
R RR z R
+
= = =+
.
Konni rezultat je torej 02
IB e
R
=
. (2.4)
SLIKA: Tokovna premica postavljena vzdol Z osi.
-
Biot-Savartov zakon 2.
21
SLIKA: Polje tokovnega elementa kae v smeri vektorskega produkta med vektorjem tokovnega
elementa in vektorjem, ki kae od tokovnega elementa do toke T. Ugotovimo, da je smer polja v
okolici tokovne premice v smeri kta fi oziroma v smeri tangente na kronico. Preprost nain
doloanja smeri toka je tudi s pomojo prstov desne roke, pri emer palec desne roke usmerimo v
smer toka, prsti, ki ovijajo tokovodnik pa ponazarjajo smer magnetnega polja.
SLIKA: Program v Matlabu za izraun polja v okolici
tokovne premice po enabi (2.4).
function poljepremice
% polje tokovne premice
mi0=4*pi*1e-7
I=1
r=0:0.1:10
B=mi0*I./(2*pi*r);
plot(r,B)
xlabel('r / m')
ylabel('B / T')
-
Biot-Savartov zakon 2.
22
TOKOVNA DALJICA
Tokovna daljica je en od osnovnih elementov, s pomojo katerih lahko sestavimo bolj kompleksne
tokovodnike. Izpeljava sledi izpeljavi polja v okolici tokovne premice, le meje integracije je potrebno
spremeniti od nekega z1 do +z2. Dobimo
( )
2
1
0
3/ 22 2
d
4
z
z
IR zB
z R
+
=+
in
2
1
0 0 2 1
2 2 2 2 2 2 2
2 14 4
z
z
IR I z zzB
RR z R z R z R
+
= = + + +
. Ta rezultat lahko napiemo tudi
nekoliko bolj preprosto, saj je 1 12 2
1
cosz
z R=
+ in 2 2
2 2
2
cosz
z R=
+. Sledi:
( )( )0 1 2cos( ) cos4
IB e
R
=
. (2.5)
Preverimo e, e dobimo enak rezultat za tokovno premico, e upotevati 1 0 = in 2 = .
SLIKA: Tokovna daljica (doloitev razdalje R in ktov).
Nariimo polje v oddaljenosti od dveh premih vodnikov s
programom MATLAB. Iz slike doloite smer, pozicijo in velikost tokov
function polje2premic
% polje dveh premic
a=4;
mi0=4*pi*1e-7;
I=1;
x=-2:0.1:10;
B1=mi0*I./(2*pi*(x-2));
B2=mi0*I./(2*pi*(x-2-a));
B=B1-B2
plot(x,B,[-2 10],[0 0])
xlabel('x / m')
ylabel('B / T')
-
23
-
24
TOKOVNA ZANKA (OBRO)
Tokovna zanka navidezno deluje kot nepomemben element. V resnici pa je vsaj tako pomemben
kot tokovna premica. Iz niza tokovnih obroev lahko sestavimo tuljavo (solenoid ali toroid), ki je
v magnetiki osnoven element. V kratkem bomo vpeljali tudi koncept magnetnega dipola oziroma
magnetnega dipolnega momenta. Ta koncept nam bo med drugim pomagal razloiti polje trajnih
magnetov. Gradnik magnetnega dipolnega momenta je tokovna zanka.
Polje v sploni toki v okolici tokovne zanke ni enostavno izraunati, dokaj hitro pa lahko
izpeljemo tudi pomembne izraze za polje v srediu in osi tokovne zanke.
Polje v srediu tokovne zanke.
Zanko polmera R postavimo tako, da ima center v srediu valjnega koordinatnega sistema.
Oznaimo tokovni element in razdaljo od tokovnega elementa do sredia. Velja
d dl R = , r R= in
sin2
= . Vstavimo v B-S zakon in dobimo
0 0 0
2 2
d sin( ) d dd
4 4 4
I l IR IB
r R R
= = = . Sedaj le e setejemo (integriramo) prispevke vseh
tokovnih elementov in dobimo 2
0 0 0
0
d 2
4 4 2R
II IB
R R
= = = .
V primeru, da je smer toka v smeri kta fi, je polje usmerjeno v smeri +Z osi in je
0
2z
IB e
R
=
. (2.6)
SLIKA: Tokovna zanka postavljena v sredie valjnega koordinatnega sistema.
-
25
Polje dela tokovne zanke
Hitro lahko ugotovimo, da lahko doloimo polje dela tokovne zanke tako, da integriramo
prispevke le med doloenima ktoma, recimo 1 2 in . Potem je enaba oblike
( )2
1
0 02 1
d
4 4
IIB
R R
= = . e izrazimo razliko ktov 2 1 = velja
0
4
IB
R
= (2.7)
SLIKA: Polje dela tokovne zanke, omejen s ktom beta.
POLJE V OSI TOKOVNE ZANKE
Tudi polje v osi tokovne zanke je dokaj enostavno doloiti. e oznaimo z R polmer obroa in se
toka T nahaja na razdalji z od sredia zanke, velja d dl R = , 2 2r z R= + in
sin2
= . Sledi
0 0
2 2 2
d sin( ) dd
4 4
I l IRB
r z R
= =
+. Tega izraza e ne smemo integrirati po tokovnih elementih,
preprosto zato, ker vektor polja ne kae v isto smer za vse tokovne elemente. Ugotovimo lahko,
da se bo zaradi simetrije ohranila le tista komponenta polja, ki je v smeri osi Z. Zato piemo
( )
2
0 0
3/ 22 2 2 2 2 2
d dd sin
4 4z
IR R IRB dB
z R z R z R
= = =
+ + +.
Integracija je preprosta. Dobimo
( ) ( ) ( )
2 22 2
0 0 0
3/ 2 3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 2
0
d 2
4 4 2z
IRIR IRB
z R z R z R
= = =
+ + + . e upotevamo e smer polja,
dobimo
( )
2
0
3/ 22 2
2z
IRB e
z R
=
+
. (2.8)
-
26
SLIKA: Polje v osi tokovne zanke.
SLIKA: Primer uporabe programa Matlab za izraun
polja v osi zanke. Funkcija je uporabljena 2x, z
radijem 1 m in 0,5 m. Vmes smo uporabili ukaz hold
on (poljevosizanke(1); hold on; poljevosizanke(0.5))
POLJE IZVEN OSI TOKOVNE ZANKE
Polje izven osi tokovne zanke ni enostavno izpeljati in tudi rezultat ni preprost. Je pa pomemben,
zato ga vseeno zapiimo - vsaj v poenostavljeni obliki, ki velja za veje razdalje od zanke (recimo
za razdalje R dosti veje od polmera zanke a) in je v sferinih koordinatah:
( )2
0
32cos( ) sin( )
4r rr
IaB e B e B e e
R
= + = +
. (2.9)
Dobimo tako komponento v smeri radija kot kta. Pomembno je, da polje pada z razdaljo s tretjo
potenco, tako kot elektrino polje v oddaljenosti od elektrinega dipola.
function poljevosizanke(R);
set(0,'DefaultLineLineWidth',1.5)
% DEFINICIJA KONSTANT
mi0=4*pi*1e-7;
I=1; % TOK
% Z os
zmin=0;zmax=3*R; dz=zmax/200;
z=zmin:dz:zmax;
B=0.5*mi0*I*R^2./(R^2+z.^2).^(1.5);
plot(z,B)
-
27
SLIKA: Skica polja v okolici tokovne zanke.
Slika: Primer izrauna polja para v osi vzporednih tokovnih
zank oddaljenih za 1 m. Polmeri zank so 2m, 1 m in 0,5 m.
Tok je 1 A. Dokaj homogeno polje se utvari v sredini
tuljave, ki ima tako polmer kot razdaljo med zankama
enako 1 m. Takima zankama reemo Helmholtzov par in se
pogosto (v obliki dveh navitij) uporablja v praksi.
function poljedvehzank;
I=1; R=2; d=1;
set(0,'DefaultLineLineWidth',1.5)
% DEFINICIJA KONSTANT
mi0=4*pi*1e-7;
xmin=-2*d;xmax=2*d; dx=xmax/200;
x=xmin:dx:xmax;
B1=0.5*mi0*I*R^2./(R^2+x.^2).^(1.5);
B2=0.5*mi0*I*R^2./(R^2+(x-d).^2).^(1.5);
B=B1+B2
plot(x,B)
-
28
POLJE V OSI RAVNE TULJAVE - SOLENOIDA
Solenoid predstavimo kot N zank s tokom I na doloini l. Da bi izraunali polje v poljubni toki na
osi, postavimo toko T na razdaljo z od sredia k.s.. Nato zapiemo polje, ki ga v tej toki
povzroa le ena zanka, ki se nahaja na razdalji z' od izhodia. Uporabimo e izpeljan izraz za
polje v osi tokovne zanke
( )
2
0
3/ 22 2
2z
IRB
z R
=
+, ki jo moramo ustrezno preoblikovati v
( )( )
2
0
3/ 22 2
dd
2 'z
IRB
z z R
=
+, kjer dI doloimo kot d d '
NII z
l= . e omejimo tuljavo med 1'z z=
in 2'z z= , pri emer le 2 1l z z= , dobimo polje v osi tuljave na razdalji z centra z reitvijo
integrala
( )( )
2
1
2
0
3/ 22 2
d '
2 '
z
z
z
NIRB z
l z z R
=
+ .
Reitev je
( ) ( ) ( )
2
1
2
0 0 2 1
2 2 22 2 2 2
2 1
( )'
2 2'
z
z
z
NIR NI z z z zz zB
l lR z z R z z R z z R
= =
+ + +
.
Ta manj pregleden zapis lahko poenostavimo z ugotovitvijo, da lahko uporabimo kta
( )2
22 2
2
cosz z
z z R
= +
in
( )1
12 2
1
cosz z
z z R
= +
.
Dobimo ( )0 1 2cos( ) cos( )2
z
NIB e
l
= +
. (2.10)
SLIKA: Polje v osi ravne tuljave - solenoida.
-
29
Poenostavljeni izrazi za dolge tuljave:
Izraz za polje v sredini dolge tuljave dobimo, e upotevamo 1 2 0 = = :
0z
NIB e
l
=
. (2.11)
Polje na robu dolge tuljave pa dobimo z upotevanjem 1 2/2 in 0 = = :
0
2z
NIB e
l
=
. (2.12)
SLIKA: Polje v osi solenoida s tokom NI = 10 A,
polmera ovojev 1 m in doline 5 m in 10 m.
Zaetek tuljave je pri z = 0 m.
POVZETEK:
1. Iz enabe za silo med dvema tokovnima elementoma ugotovimo, da nastopa
len 02
d sin( )
4
I l
r
, ki ga poimenujemo gostota magnetnega pretoka. Popolni izraz
za gostoto magnetnega pretoka predstavlja Biot-Savartov zakon in vsebuje vektorski
produkt tokovnega elementa in vektorja r in integracijo po tokovnih elementih:
0
2
d
4L
I l rB
r
=
.
2. Polje v okolici tokovne premice je 02
IB e
R
=
. Polje v okolici tokovne premice
je rotacijsko, smer polja doloimo iz vektorskega produkta dl r
ali z ovijanjem
prstov desne roke, e tok kae v smeri palca.
3. Polje tokovne daljice je ( )( )0 1 2cos( ) cos4
IB e
R
=
. (Razloi R in kt theta.
-
30
Skica.)
4. Polje v srediu tokovne zanke je 02
z
IB e
R
=
. (Kaj je R in kam kae polje glede
na smer toka v zanki in izbiro koordinatnega sistema?)
5. Polje v osi tokovne zanke je
( )
2
0
3/ 22 22
z
IRB e
z R
=
+
. (Kje je najveje? V katero
smer kae? Skiciraj potek. )
6. Polje v osi ravne tuljave solenoida je ( )0 1 2cos( ) cos( )2
z
NIB e
l
= +
. (Kaj
je l, kako doloimo kte, poenostavitev enabe v primeru zelo dolgega solenoida.)
Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog:
izpit, 17. septembra 2002
izpit, 16. aprila 2002
izpit, 4. 12. 2001
izpit, 20. september 2006
izpit, 31. avgust 2006
izpit, 19. september 2005
izpit, 3. 12. 2001
izpit, 30. avgust 2005
Izpit 26. 6. 2002
Izpit 4. 9. 2003
1. kolokvij , 17.4.2002
1. kolokvij, 9. maj 2005
izpit, 20. september 2004
Izpit, 17. 01. 2002
Prvi kolokvij, 9. maj 2002
-
Dodatno
31
MAGNETNO POLJE ZEMLJE
Magnetno polje zemlje je posledica tokov zunanje plasti
jedra zemlje. Pogosto ta efekt imenujemo dinamo efekt.
Poenostavljeno ga lahko predstavimo kot polje
magnetno polje tokovne zanke oziroma trajnega
magneta. Velikost polja se nekoliko spreminja po
povrini zemlje in se giblje med 30 T do 60 T. To polje
torej ni enako veliko povsod po povrini zemlje, poleg
tega pa ima tudi lokalne spremembe, predvsem na
podrojih, kjer je v zemlji mnogo magnetita (naravnega
feromagnetnega materiala elezovega oksida). Te
razlike je potrebno upotevati pri navigaciji s pomojo kompasa, zato so korekcijske vrednosti
dandanes vpisane v navigacijskih kartah.
Geografski severni pol ni na enakem mestu kot
geomagnetni. Poleg tega, da je geomagnetni nekoliko
zamaknjen v osi (cca 110), je tudi obrnjen: na geografskem
severnem polu je geomagnetni juni pol.
Znano je, da se ta s asom spreminja, kar je potrebno pri
natanni navigaciji upotevati. Kompas je en pomembnejih
izumo lovetva, saj je bistveno olajal potovanje po
odprtem morju.
Zanimivo je tudi, da se magnetno polje zemlje zasuka (obrne) na vsakih deset tiso do milijon let,
v povpreju na priblino 250 000 let.
Spreminjanje lokacije
magnetnega severnega pola.
Vir:
http://science.nasa.gov/headli
nes/y2003/29dec_magneticfie
ld.htm
-
Dodatno
32
Mogoe je zaznati tudi dnevne fluktuacije (spremembe) magnetnega polja. Te so posledica
elektirnih tokov visoko nad povrino zemelje v ionisferi. V ionosferi nastaja namre mnogo
nabojev kot posledica trkanja visokoenergijskega arenja (UV-arki in X-arki). Iz nevtralnih
delcev tako nastanejo pozitivni in negativni delci, ki povzroajo elektrini tok, ta pa magnetno
polje. Ta proces je najmoneji med poldnevom, ko je arenje sonca na zemljo najmoneje, kar
se lepo zazna z obutljivimi intrumenti.
Levo: Model prvega kompasa iz Kitajske; lica iz naravnega magnetnega materiala na
bakreni skledici. Na desni namagnetena igla na vodi primer navigacijskega kompasa.
Vir: http://www.computersmiths.com/chineseinvention/compass.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Compass
Dnevno spreminjanje magnetnega polja v observatoriju Hartland.:Spodaj prikaz
sprememb s spremembo lege igle kompasa (v pretiranih vrednostih)
-
Dodatno
33
ZDRUENO MAGNETNO POLJE ZEMLJE IN SONCA
Tudi sonce ima svoje magnetno polje, katero mono vpliva na spremembe magnetnega polja na
zemlji. Sonce povzroa t.i. solarni (sonni) veter, ki je v osnovi plazma nabitih delcev, ki se giblje
stran od sonca s povpreno hitrostjo 400 km/h. Vsled tega se magnetno polje zemlje spremeni in
ga imenujemo magnetosfera. Med magnetosfera in podrojem sonnega vetra je ozko podroje,
ki ga imenujemo magnetopauza. Ve: http://www.kvarkadabra.net/fizika/teksti/severni_sij.html
Naelektreni delci se odklanjajo v
magnetnem polju. Leta 1950 so
raziskovalci odkrili, da zemljo obdajata
dva pasova z izrazito poveano
koncentracijo nabitih delcev.
Poimenovali so jo Van Allenovi
radiacijski pasovi. Ti so v osnovi
posledica solarnega vetra. Nabiti delci,
ki vstopijo v ta pasov, zanejo kroiti se
se usmerjati v smeri polov. Tam
doseejo ozraje zemlje in s trki z delci
ozraja (kisikove in duikove molekule)
povzroajo spektakularne svetlobne
efekte, ki jih imenujemo severni ali juni
sij : aurora borealis in aurora australis.
(Lepe slike so na spletni strani
http://www.geo.mtu.edu/weather/aurora/).
Slika prikazuje popularizirano obliko spremenjenega magnetnega polja zemlje (na desni) zaradi
vpliva sonnega vetra. http://www.aurorawatch.york.ac.uk/popmagnet/
Slika prikazuje ujetje in vijuganje naelektrenega
delca v Van Alenovem pasu.
-
Dodatno
34
Ti efekti so posebno izraziti v obdobju aktivnejega delovanja sonca, ki ima cikle aktivnejega
delovanja na 11 let. Posledice tega aktivnejega delovanja niso vidne le v svetlobnih sijih, pa pa
tudi v kvarnih efektih na omrenih transformatorjih (zaradi poveanih induciranih tokov lahko
pride do okvar), poveanja korozije na plinovodih, nevarnemu izpostavljanju sevanja
astronavtov, segrevanju zemlje in ekspanziji ozraja, zaradi esar lahko na zemljo padejo sateliti,
poveani obremenitvi sevanja na satelitih.
Letna spremljanja magnetnih neviht (stolpci) in aktivnost sonca (rdea
krivulja). rtkane rte oznaujejo minimalno, pikaste pa maksimalno
solarno delovanje. Vir: http://www.geomag.bgs.ac.uk/earthmag.html
-
Amperov zakon 3.
35
3. AMPEROV ZAKON Equati on Se ction 3
Vsebina poglavja: Integral polja po zakljueni zanki je sorazmeren toku, ki ga zanka objame.
Izrauni polja s pomojo Amperovega zakona za: tokovno premico, solenoid, toroid, polje
znotraj vodnika, tokovno oblogo.
Amperov zakon zapiemo na slede nain:
0d
objeti
L
B l I =
(3.1)
oziroma z besedami: integral gostote magnetnega pretoka po ZAKLJUENI POTI (zanki) je
sorazmeren toku, ki ga oklepa zanka. V skladu z zapisanim skalarnim produktom je potrebno
integrirati le tisto komponento polja, ki je v smeri poti. Vasih ta zakon imenujemo tudi zakon
vrtinnosti polja, saj je vrednost takega integrala razlina od ni le, e je polje vrtinno. (Koliko je
bil v elektrostatiki L
E dl
? Kaj to pomeni v primerjavi z Amperovim zakonom?)
SLIKA: Zanka v magnetnem polju. Integral komponente magnetnega polja v smeri zanke je
sorazmeren toku, ki ga zanka oklepa. (v zanki, ki oklepa tokovodnike ni toka)
Amperov zakon je en osnovnih zakonov elektromagnetike. V nekoliko preoblikovani (bolj sploni
obliki) je znan tudi kot ena od tirih Maxwellovih enab. Te v celoti popisujejo elektromagnetno
polje.
Poglejmo najprej, e zakon velja za premi tokovodnik, ki ga obkroimo z zanko v obliki kronice.
(SKICA) Polje po poti kronice je konstantno in kae v isti smeri kot dl
, torej velja
2
0
0
d d 2L
B l B l B R I = = =
. Iz enabe sledi 0
2
IB
R
= .
Dobimo enak rezultat za polje v okolici tokovne premice kot z uporabo Biot-Savartovega zakona.
-
Amperov zakon 3.
36
SLIKA: Integracija polja po kronici v sredini katere je premi tokovodnik.
Kaj pa, e vzamemo drugano obliko zanke? Dobimo zopet enak rezultat, saj e B ni v smeri dl-a,
B vedno kae v smeri kota (SKICA) in se manja z razdaljo od premice, dl pa lahko razstavimo na
komponento v smeri Bja (kota) in pravokotno. Dobimo
( )( ) d cos( ) sin( )( ) d cos( ) ( ) d
rB dl e B r l e e
B r l B r r
= + =
= =
Z integracijo pridemo do enakega rezultata kot zgoraj. Kar pomeni, da rezultat integracije Bja po
zakljueni poti vedno enak in torej neodvisen od oblike poti: Rezultat je enak oklenjenemu toku
pomnoenemu s permeabilnostjo vakuuma.
SLIKA: Integracija polja po kronici znotraj katere je premi tokovodnik.
Primer: Doloite dL
B l
za doloene konfiguracije vodnikov in zank.
SLIKA: Zanka in vodniki.
-
Amperov zakon 3.
37
Amperov zakon, kot smo ga zapisali, ne velja popolnoma splono, saj obstajajo materiali
(magneti), kjer nimamo vzbujalnih tokov, pa vendar je B razlien od ni in je vrtinen. Zakon, kot
smo ga spoznali danesprimeru analize polja ob prisotnosti magnetnih materialov nekoliko
dopolniti, da bo veljal tudi za take primere.
IZRAUNI POLJA S POMOJO AMPEROVEGA ZAKONA Za analitien izraun polja v poljubnih strukturah je uporaba Amperovega zakona pogosto
neprimerna, saj iemo neznano veliino znotraj integrala. Uporaba tega zakona za izraun polja
je posebno primerna le tedaj, ko imamo neko simetrino porazdelitev toka: tipini primeri so:
Zunanjost in notranjost ravnega vodnika
Dolga ravna tuljava solenoid
Toriod pravokotnega preseka eksaktno (auditorne vaje)
Toroid okroglega preseka priblino
Tokovna obloga
POLJE POLNEGA VODNIKA
Zamislimo si pot integracije po kronici polmera r znotraj vodnika polmera R ( r R< ). Ker so vse
toke na kronici enako oddaljene od sredia lahko predpostavimo, da je polje v vseh tokah na
kronici enako veliko in torej odvisno le od polmera kronice: ( )B e B r=
. Ker gre za integracijo
po kronici je d dl e r =
. Skalarni produkt teh dveh vektorjev je
( ) d ( ) dB dl e B r e r B r r = =
, integracija pa d 2
0
d ( ) d ( )2L
B l B r r B r r = =
.
Desna stran enabe je enaka permeabilnosti vakuuma pomnoeni z objetim tokom zanke
200 objeti 0 2
( )
II JA r r
R
= = .
SLIKA: Polni vodnik: skica za izraun polja, b) potek polja znotraj in zunaj zanke.
-
Amperov zakon 3.
38
Zdruimo levo in desno stran enabe 202
2
IB r r
R
= in dobimo 0
22
IB e r
R
=
.
Polje naraa linearno z oddaljevanjem od sredia vodnika do povrine vodnika. Izven vodnika
se manja v skladu z enabo 02
IB
r
= . Pomembna razlika med elektrostatinim poljem in
magnetostatinim poljem je ta, da pri elektrostatiki elektrinega polja znotraj prevodnika ni,
magnetno polje v tokovodniku pa je.
POLJE DOLGE TULJAVE - SOLENOIDA
Za del razsenega (neskonnega) solenoida predpostavimo, da je polje znotraj homogeno in
vzporedno z dolino tuljave, v zunanjosti pa ga ni. Zamislimo si pravokotno zanko, ki seka del
ovojev na dolini l. e zapiemo Amperov zakon in ga razlenimo po tirih odsekih zanke,
ugotovimo, da je vrednost integrala razlina od ni le na odseku, kjer je polje vzporedno s smerjo
zanke. Ostali prispevki so enaki ni, saj je v zunanjosti tuljave polje enako ni, na dveh delih poti
pa je polje pravokotno na smer integracije. Na dolini l z zanko zaobjamemo N zank in torej NI
toka.. Dobimo:
00 0 0Bl NI+ + + = .
Rezultat za polje solenoida je 0NI
Bl
= . Ta rezultat je skladen s tistim, ki smo ga dobili z
uporabo B-S zakona in poenostavili za primer dolge tuljave.
SLIKA: Solenoid: zanka in oznake.
POLJE TOROIDA
Toroid je tuljava, ki je vase zakljuena (zaokroena). Zamislimo si zanko
po sredini toroida po kronici polmera r. Z enakim razmislekom kot pri
solenoidu lahko zapiemo 02B r NI= in 0
2
NIB
r
= (3.2)
-
Amperov zakon 3.
39
SLIKA: Toroid.
POLJE TOKOVNE OBLOGE
Doloimo gostoto magnetnega pretoka tokovne obloge. Tokovna obloga je tok vzdol tankega
vodnika velike povrine na enoto prene doline: I
Kl
= . Enota je A/m.
SLIKA: Razlaga tokovne obloge.
Magnetno polje tokovne obloge nad in pod oblogo je usmerjeno vzporedno z ravnino vendar
preno na smer toka, kar lahko ugotovimo, e tokovno oblogo razdelimo na vrsto tokovnih
premic. Poleg tega se smer polja zamenja na drugi strani tokovne obloge.
Zamislimo si pravokotno zanko, ki seka tokovno oblogo na dolini l. Rezultat integracije polja je
razlien od ni le na odsekih, ki so vzporedni z ravnino.
Zapiemo: 00 0B l B l K l + + + = . Rezultat je 0
2
KB
= . (3.3)
Smer polje je prena na smer toka, doloimo jo tako, kot da bi imeli opravka s tokovno premico
nad toko. e prevodna povrina lei na XY ravnini (z=0) in je tok (tokovna obloga) v smeri osi Y,
bo za
0z > : 02
x
KB e
=
00 :2
x
Kz B e
< = +
SLIKA: Polje v okolici tokovne obloge je konstantno.
APLIKACIJA: TOKOVNE KLEE
-
Amperov zakon 3.
40
SLIKA: Intrumenti za merjenje toka uporabljajo princip Amperovega zakona za merjenje toka
s pomojo merjenja magnetnega polja. Levo: Nekoliko bolj napreden intrument s
tokovnimi kleami uporablja za merjenje Hallov element (Fluke 345) . Desno: Hallov element
integriran v feritni obroek za merjenje toka.
(http://www.ayainstruments.com/applications3.html, http://www.kew-
ltd.co.jp/en/support/mame_02.html, http://en.wikipedia.org/wiki/Hall_effect )
POVZETEK:
1) Integral gostote magnetnega pretoka v smeri poljubno izbrane zakljuene poti
(zanke) je sorazmeren toku, ki ga zanka oklepa ali z enabo: 0d objetiL
B l I =
. Ta zapis
imenujemo Amperov zakon.
2) Predznak zaobjetega toka je odvisen od smeri integracije v zanki in smeri toka v
vodniku, ki ga zanka obkroa. Predznak je pozitiven, e je smer integracije v smeri
rotacije polja.
3) S pomojo Amperovega zakona smo doloili pribline izraze za polje v sredini
solenoida in toroida. Rezultat je 0NI
Bl
= , kjer je l dolina tuljave, oziroma dolina
srednje poti v toroidu.
4) S pomojo Amperovega zakona smo zapisali polje tokovne obloge, kjer tok opiemo
s povrinsko gostoto toka K [A/m]. Dobimo 0
2
KB
= . Polje je preno na smer toka,
smer doloimo enako kot smer Bja okoli vodnika.
5) V elektrostatiki smo imeli 0L
E dl =
in smo rekli, da je tako polje potencialno.
Posledica tega namre je, da lahko E zapiemo kot gradient potenciala. Kot vidimo, je
-
Amperov zakon 3.
41
magnetno polje drugano, lahko reemo da je polje rotacijsko ali vrtinno.
6) Kasneje bomo obravnavali e razirjeno obliko Amperovega zakona, ki predstavlja
eno od Maxwellovih enab. Za osnovo ima zapisano obliko, ki pa je spremenjena v
toliko, da upoteva tudi toke zaradi magnetizacije snovi ter toke asovno
spreminjajoega se elektrinega polja.
SLIKA: Na desni je primer prikaza polja v okolici dveh zank (Helmholtzov par), kjer je prikazano
le polje za polovico zanke. Celotno polje bi dobili z rotacijo okoli leve stranice. Opazimo lahko
precejnjo homogenost polja v osi tuljav. Na levi je primer merjenja polja v sredini
Helmholtzovega para.
Andre Marie Ampere na spletu: http://chem.ch.huji.ac.il/history/ampere.htm
Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog:
1. kolokvij , 17.4.2002
1. kolokvij, 3. maj 2004
izpit, 20. junij 2001
Prvi kolokvij OE II 23.04 2002
-
Delo magnetnih sil 5.
43
4. MAGNETNI PRETOK FLUKS Equation Se ction 4
Vsebina poglavja: Definicija magnetnega pretoka, izraun magnetnega pretoka, brezizvornost
magnetnega polja, upodobitev polja z gostotnicami, induktivnost, lastna induktivnost,
magnetni sklep.
Veliina, ki jo v magnetiki morda najpogosteje obravnavamo in pogosto imenujemo kar
magnetno polje, je gostota magnetnega pretoka (B). Gotovo mora obstajati tudi veliina, ki ji
reemo magnetni pretok? Lahko si predstavljamo analogijo z gostoto elektrinega toka J in
tokom I. Pri tokovnem polju smo uporabili zapis dA
I J A=
, kjer I predstavlja tok, ki gre preko
(nezakljuene !) ploskve. V magnetiki zapiemo na podoben nain
d
A
B A =
, (4.1)
kjer imenujemo magnetni pretok, pogosto pa tudi magnetni fluks ali kar samo fluks. Z
besedami: magnetni pretok je enak integralu gostote magnetnega pretoka po povrini A.
Enota je T m2, ali pa Wb (Weber), ali pa tudi V s.
SLIKA: Magnetni pretok je enak integralu normalne komponente gostote magnetnega pretoka
po doloeni povrini. Predstavljamo si ga z analogijo med gostoto (elektrinega) toka in
gostoto magnetnega pretoka (J in B) ter tokom in fluksom (I in ).
IZRAUN FLUKSA Za izraun magnetnega pretoka moramo torej poznati vektor gostote magnetnega pretoka
povsod po povrini, skozi katero nas zanima pretok. Pri izraunu fluksa preko doloene povrine
je potrebno upotevati le tisto komponento gostote pretoka, ki je pravokotna na povrino, torej
tisto, ki prebada povrino. V enabi to izrazimo z uporabo skalarnega produkta med vektorjem
polja in vektorjem diferenciala povrine. Rezultat te operacije je skalar. e je polje homogeno
povsod po povrini, lahko enabo (4.1) zapiemo v preprosteji obliki:
d d cosnA A
B A B e A BA = = =
(4.2)
kjer je alfa kot med smerjo Bja in normalo na povrino (SKICA). e je polje pravokotno na ravno
povrino, je fluks najveji in enak kar BA = . (4.3)
-
Delo magnetnih sil 5.
44
Primer: Homogeno polje gostote 5 mT je usmerjeno pod kotom 60o na normalo na ravno
povrino. Doloite pretok polja skozi zanko povrine 20 cm2, ki lei na povrini. Doloimo
magnetni pretok skozi zanko.
SLIKA: Homogeno polje usmerjeno pod kotom na pravokotno zanko.
Izraun: Zaradi homogenosti polja lahko uporabimo izraz d cosA
B A BA = =
in
dobimo 4 2 05mT 20 10 m cos60 5 Vs=5 Wb = = .
Primer: Doloimo magnetni pretok skozi pravokotno zanko, ki je v ravnini ravnega vodnika s
tokom 36 A in je od vodnika oddaljena za a = 5 cm. Dolina zanke je l = 10 cm, irina pa b = 4
cm.
Izraun: Skicirajmo zanko v ravnini XY in izraunajmo pretok skozi zanko v smeri osi Z. Vodnik
naj lei na Y osi, s tokom, usmerjenim v smeri -Y osi. V tem primeru je polje vodnika za
0x > enako 02
z
IB e
x
=
, diferencial povrine pa je d d dzA e x y=
. Velja
0 0
0
d d d ln2 2
a b l
z z
A a
I I a bB A e e x y l
x a
++
= = =
.
V dobljeno enabo vstavimo vrednosti in dobimo
7 V s410 36 A9 cmA m 0,1 m ln 423 nV s = 423 nWb
2 5 cm
= = .
SLIKA: Pravokotna zanka in vzporedno leei vodnik.
-
Delo magnetnih sil 5.
45
BREZIZVORNOST MAGNETNEGA POLJA Koliko pa je fluks skozi zakljueno povrino? Ker je polje vrtinno, enak del pretoka, ki v doloen
prostor vstopa, tudi izstopa. Integral polja po zakljueni povrini bo torej enak ni ali z enabo
d 0
A
B A =
(4.4)
SLIKA: Enaka koliina fluksa, kot v doloen zakljuen prostor vstopa, na drugem delu prostora
tudi izstopa. Zakljueno povrino razdelimo na tiri povrine. Vsota tirih fluksov iz te povrine
je enaka 01 2 3 4 + + + = .
To je pomemben rezultat, saj govori o brezizvornosti magnetnega polja. Da torej ne obstaja
magnetni izvor in ponor v podobnem smislu, kot to poznamo pri elektrinem naboju. Temu
zapisu lahko reemo tudi Gaussov zakon za magnetiko, in predstavlja eno od Maxwellovih
enab (3.) zopet le v integralni obliki.
Primer: Doloimo fluks med ravnima vodnikoma (dvovodom) s polmeroma R = 0, 5 cm in
medosno razdaljo d = 2 m na dolini 100 m. Tok v vodnikih je 150 A.
Izraun: Nain izrauna je podoben kot v prejnjem primeru. Ugotovimo, da se polji med
vodnikoma setevata, zaradi enakih dimenzij vodnikov pa se setevata tudi fluksa. Zato je
02 ln 35,9 mWb2
Il d R
R
= .
SLIKA: Ravna vodnika (dvovod).
-
Delo magnetnih sil 5.
46
PRIMERJAVA Z GAUSSOVIM ZAKONOM IZ ELEKTROSTATIKE
V elektrostatinem polju je integral Eja po zakljueni povrini sorazmeren zaobjetemu naboju. Iz
tega je sledil zakljuek, da je elektrino polje izvorno (izvira na pozitivni nabojih in ponira na
negativnih). Analogno elektrinim nabojem ne moremo najti magnetnega naboja4. Torej
magnetno polje ni izvorno. Vasih reemo tudi, da je solenoidno.Vsak trajni magnet je tako izvor
kot ponor magnetnega polja. Se pa kljub neobstoju magnetnega naboja v smislu analogije in
lajega raunanja polj trajnih magnetov vasih uporablja tudi pojem magnetnega naboja,
oziroma bolj natanno magnetnega povrinskega naboja.
SLIKA: Primerjava elektrinega in magnetnega polja. Primer elektrinega polja naelektrenega
cilindra (levo) in magnetnega polja polnega tokovodnika.
4 Zanimivo je, da se je nedavno zanimanje za magnetne monopole povealo. Ve objav v vrhunskih
strokovnih revijah govori o prisotnosti magnetnih monopolov, npr. Magnetic monopoles in spin ice, C.
Castelnovo, R. Moessner and S. L. Sondhi, Nature 451, 42-45 (3 January 2008) ali "Magnetic Monopoles
Detected In A Real Magnet For The First Time". Science Daily. 4 September 2009. Gre pa veinoma za
opazovanje redkega pojava v trdih snoveh, kjer pride ob skupnem delovanju ionov in elektronov, kar so
opazili v mono ohlajenih doloenih kristalih. Glej npr. http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_monopole.
-
Delo magnetnih sil 5.
47
UPODOBITEV MAGNETNEGA POLJA Z GOSTOTNICAMI
Gostoto pretoka smo lahko prikazali z mnoico puic (vektorjev) v prostoru. e te puice med
seboj poveemo v krivulje, dobimo gostotnice (vasih se jih imenuje tudi silnice). Prostor med
gostotnicami si lahko zamislimo kot cevke z doloeno velikostjo pretoka. Pretok torej lahko
vizualiziramo (predstavljamo) z gostotnimi cevkami. Ker obiajno riemo polje v dveh
dimenzijah, gostotne cevke zapolnjujejo prostor med dvema gostotnicama. Obiajno jih riemo
tako, da je fluks med sosednjimi gostotnicami konstanten i
konst = . Gostotne cevke
ravnega vodnika ponazorimo s koncentrinimi krogi s polmeri, ki se gostijo v smeri manjanja
razdalje od vodnika. Da bo fluks med dvema vodnikoma konstanten, mora veljati
0 1ln2
i
i
I rkonst
r
+= = , oziroma 1 ki
i
re
r
+ = . Na podoben nain smo risali tudi
ekvipotencialne ploskve pri elektrostatiki.
SLIKA: Upodobitev magnetnega polja z gostotnimi cevkami.
-
Delo magnetnih sil 5.
48
INDUKTIVNOST (PRVI)
Kot vidimo v izrazih za fluks, je le-ta linearno odvisen od toka. Veji kot je tok, veji je fluks, kar
matematino zapiemo kot nekaj I = . To nekaj definiramo kot induktivnost (simbol L),
torej velja
LI = . (4.5)
Sledi, da je induktivnost strukture definirana kot kvocient fluksa in toka:
LI
= (4.6)
Enota za induktivnost je V s/A ali H (Henry).
MAGNETNI SKLEP Kadar je vodnik izdelan v taki obliki, da gre fluks skozi ve vodnikov, je smiselno definirati novo
veliino, ki jo imenujemo magnetni sklep in jo oznaimo z veliko grko rko (psi). Magnetni
sklep je enak vsoti fluksov skozi vse zanke, ki jih tvori vodnik. e gre enak fluks skozi N zank, velja
kar = . Ko gre fluks skozi ve zank, je potrebno induktivnost doloiti kot
L
= . (4.7)
V primeru, ko tok I skozi vodnik (strukturo) ustvarja magnetni sklep v isti (lastni) strukturi,
govorimo o lastni induktivnosti. e gre isti fluks skozi N zank velja:
Primer: Doloimo induktivnost dvovoda iz primera 2, e upotevamo le fluks med icama (ne
tudi v icah).
0 ln 240 H
l d RL
I R
= = .
e bi eleli eksaktno doloiti induktivnost dvovoda, bi morali upotevati tudi tisti del fluksa, ki
gre skozi vodnika. Izpeljana enaba 0 ln
l d RL
R
= torej ni eksaktna enaba induktivnosti
dvovoda. Ker pa ta fluks ne zajame celotnega toka vodnika, je izpeljava konnega izraza
nekoliko bolj zapletena (AR Sinigoj: Osnove elektrotehnike, str. 354). e bi upotevali e to, bi
kljub vsej zahtevnosti izrauna dobili preprost izraz : 01
ln4
l dL
R
= +
. e bi v ta izraz
vstavili vrednosti iz primera, bi dobili rezultat priblino 250 H. Oitno je, da je osnovni izraz
dovolj natanen, e je le razdalja med vodnikoma mnogo veja od polmera vodnikov.
-
Delo magnetnih sil 5.
49
N
LI I
= = , (4.8)
SLIKA: Magnetni sklep
LASTNA INDUKTIVNOST SOLENOIDA IN TOROIDA
Induktivnost je osnovni podatek za vsako tuljavo. Pogledali si bomo poenostavljena (vendar
pogosto v praksi uporabljana) primera izrauna induktivnosti solenoida in toroida, pri emer
bomo predpostavili, da je polje znotraj solenoida (toroida) homogeno.
Poenostavljen izraz za induktivnost tuljave je torej 2 0A
L Nl
= . Hitro lahko opazimo
podobnost z izrazom za kapacitivnost plonega kondenzatorja 0A
Cd
= , kjer je l dolina
tuljave, d pa razdalja med ploama, A povrina preseka tuljave oz. ploe kondezatorja.
Ugotovimo lahko, da induktivnost tuljave zelo poveamo z vejim tevilom ovojev.
Primer: Doloimo poenostavljen izraz za lastno induktivnost
dolgega solenoida in jo izraunamo za primer: polmer tuljave 1
cm, dolina 5 cm, 100 ovojev.
Izraun: 2
0 0 0, ,NI NI N A
B A Il l l
=
2
0 79 HNN
L Al
= .
Primer: Zapiimo poenostavljen izraz za lastno induktivnost toroida kronega preseka z
notranjim polmerom 4 cm in zunanjim 5 cm. Toroid ima 200 ovojev. (Raunamo s srednjim
polmerom in homogenim poljem znotraj preseka toroida)
Izraun: 2 2
2 20 0 0 0, , , 55,85 H2 2 2 2
A A
sr sr sr sr
NI NI N I NB A r L r
r r r r
=
-
Delo magnetnih sil 5.
50
INDUKTIVNOST JE GEOMETRIJSKA LASTNOST
V elektrostatiki smo definirirali kapacitivnost iz zveze med nabojem in napetostjo Q CU= .
Izraunali smo jo tako, da smo med dve prevodni telesi prikljuili napetost U, pri emer se je na
telesoma nakopiilo naboja Q . Izkazalo se je, da je kapacitivnost odvisna le od geometrijskih
lasnosti (razdalje med ploama, povrine plo). Podobno velja za induktivnost, kjer velja zveza
LI = .
Torej, e elimo doloiti analitini izraz za induktivnost doloenega elementa (zanke, tuljave, itd)
skozi vodnik (zanko) poljemo tok I, doloimo fluks oziroma magnetni sklep in iz kvocienta
doloimo induktivnost: L
= . Zaopet ugotovimo, da je induktivnost snovno-geometrijska
lastnost.
POVZETEK
1) Magnetni pretok ali fluks skozi poljubno povrino smo definirali na enak nain kot
tok pri tokovnem polju dA
I J A
=
kot dA
B A =
. V preprostem primeru, ko je
polje homogeno in konstantno po povrini A, se izraz poenostavi v cosBA = , kjer je alfa kot med normalo na povrino in smerjo Bja. Pretok je najveji, ko je polje usmerjeno pravokotno na povrino. Magnetni pretok skozi zakljueno povrino je enak
ni, kar matematino zapiemo kot d 0A
B A =
. To je Gaussov zakon za magnetno
polje ali tudi zakon o brezizvornosti magnetnega polja.
3) Lastno induktivnost smo zapisali kot LI
= , kjer imenujemo magnetni sklep in
je enak produktu tevilaovojev in fluksa skozi ovoje. Enota je H(enry)
4) Izrauni:
a. fluks skozi pravokotno zanko ob vodniku: 0 2
1
ln2
I rl
r
=
b. Aproksimativni izrazi za induktivnost:
Ravna (dolga) tuljava: 2
0NL Al
Toroid: 2
20
2A
sr
NL r
r
Dvovod (brez izpeljave): 01
ln4
l dL
R
= +
Naloge:
izpit, 17. septembra 2002 ,izpit, 3. septembra 2002, izpit, 17. 4. 2003
izpit, 5. septembra 2002, izpit, 31. avgust 2004, Izpit 4. 9. 2003
1. kolokvij, 22. april 2003, Prvi kolokvij, 9. maj 2002
-
Delo magnetnih sil 5.
51
5. DELO MAGNETNIH SIL Vsebina poglavja: izraun dela magnetnih sil iz razlike velikosti fluksa skozi zakljuen tokovodnik
v zaetni in konni poziciji.
Equation Chapter (Next) Section 5Spoznali smo e enabo za izraun sile na
vodnik v magnetnem polju
dL
F I l B=
(5.1)
SLIKA: Tokovodnik v magnetnem polju. Sila na tokovni element.
Sedaj nas zanima, kolikno delo opravimo pri premiku vodnika s tokom I v magnetnem
polju B iz zaetne pozicije, ki jo bomo oznaili s P1, v konno pozicijo P2. To dobimo z
integracijo sile po poti 1 2( )S P P
dS
A F s=
(5.2)
kjer smo z ds oznaili diferencial poti v smeri premika in z S celotno pot. Z vstavitvijo
enabe (5.1) v (5.2) dobimo ( ) ( )2
1
d d d d
P
S P
A I l B s I s l B= =
.
Sedaj moramo pogledati, kaj predstavlja produkt d ds l
oziroma celotna integracija
tega produkta na poti od zaetne do konne pozicije zanke. d ds l
predstavlja
diferencial povrine ( dA
), ki kae v smeri normale na povrino. e to povrinico skalarno
pomnoimo z vektorjem gostote pretoka dobimo diferencial fluksa
(d d ) d d ds l B A B B A = = =
in v skladu s to ugotovitvijo lahko delo zapiemo v
obliki
Konnapozicija
Zaetnapozicija
dplaa
A I I = = .
-
Delo magnetnih sil 5.
52
Rezultat integracije je celoten fluks, ki gre skozi pla, ki ga opie vodnik na poti. Ker
pa je, kot smo e spoznali, magnetno polje brezizvorno ( d 0A
B A =
), mora biti celoten
fluks skozi navidezno telo, ki ga opie premikajoi vodnik, enak ni. To pa tudi pomeni,
da mora biti fluks skozi pla enak razliki fluksa skozi povrino, ki jo opisuje vodnik v
konnem poloaju in fluksu v zaetnem poloaju. e elimo pri tem fluks skozi zanko, ki
jo opisuje vodnik, raunati v isti smeri tako v zaetni kot v konni poziciji, dobimo
plaa konni zaetni = . Smer teh fluksov raunamo v t.i. pozitivni smeri, ki jo doloa
tok v gibajoi zanki (smer polja v zanki , ki jo povzroa tok I).
( )konni zaetniA I = (5.3)
SLIKA: Primer premikanja tokovne zanke iz lege P1 v lego P2 v polju B.
Kdaj bo rezultat (delo magnetnih sil) pozitiven? Tedaj, ko bo fluks skozi zanko v konni
legi veji kot v zaetni. e ima torej tokovna zanka monost prostega gibanja, se bo
zanka postavila tako, da bo fluks skozi zanko najveji. (Enako ugotovitev bomo postavili
tudi v naslednjem poglavju, ko se bomo sreali z navorom na tokovno zanko.) e je
rezultat pozitiven, pomeni, da so delo opravile magnetne sile magnetnega polja, e pa je
negativen pa to, da je delo za premik zanke v magnetnem polju moral vloiti nek zunanji
vir (recimo kar mi sami): mag zun 0A A+ = .
PRIMER: Tokovna zanka povrine 4 cm2 s tokom 2 A se nahaja v magnetnem polju.
Skozi zanko je fluks 20 Vs. Nato premaknemo zankico tako, da je v konni legi fluks
skozi zanko 60 Vs. Doloimo delo pri premiku zanke v magnetnem polju.
Izraun: V skladu z enabo (5.3) izraunamo delo ob premiku zanke v magnetnem
polju kot:
( ) 62A 60 20 10 Vs = 80 JA = .
Rezultat je pozitiven, kar pomeni, da je delo posledica premika zanke pod vplivom
magnetnega (in ne zumanjega) polja.
-
Delo magnetnih sil 5.
53
PRIMER
Vzporedno z ravnim vodnikom s tokom I1=10 A, na oddaljenosti c = 2 cm lei
pravokotna zanka doline a = 5 cm in irine b=3 cm s tokom I2 = 0,2 A. Koliko dela
opravi magnetno polje za translatorni premik zanke stran od vodnika za razdaljo d = 2
cm? Primer rei tako z integracijo magnetnih sil kot z razliko fluksov. (SLIKA)
Izraun: Sila deluje na dva vodnika zanke, ki sta vzporedna z vodnikom. Delo
magnetnih sil potrebno za premik bo torej:
' ''A A A= +
' 0 1 0 12 2( ) , ' ' d ', ' ln
2 ' 2
a c
xxc
I I a cF I b e A F e x A I b
x c
+ += = =
0 1 0 12 2'' , '' '' d ' ', '' ln
2 '' 2
a c d
xxa c
I I a c dF e I b A F e x A I b
x a c
+ +
+
+ += = =
+
0 1 2 ln 5,3 nJ2
I I b c d c aA
a c c a
+ + =
+ +
Drugi nain:
( )2 konni zaetniA I=
0 1 0 1
c+a
d d ln2 2
d c a
konni
A
I I b d c ab x
x c a
=
+ ++ +
= =+
0 1 0 1
c
d d ln2 2 c
c a
zaetni
A
I I b c ab x
x
=
++
= =
0 1 2 ln 5,3 nJ2
I I b c d c aA
a c c a
+ + =
+ +
Vpraanje: Zakaj je konni rezultat negativen? Odgovor: e raunamo delo z
integracijo sile po poti vidimo, da je sila na blijo stranico zanke usmerjena v smeri
vodnika (privlana), sila na daljno pa je odbojna. Torej mora delo opraviti zunanji vir.
-
Delo magnetnih sil 5.
54
PRIMER
Koliko dela opravi magnetno polje, da se zanka iz primera 1 zavrti okoli sredinske osi
za kot 900? SLIKA
Izraun: Delo najlaje izraunamo iz spremembe fluksa skozi zanko. Pred vrtenjem je
bil fluks skozi zanko maksimalen, enak 0 1 0 1d d ln2 2
c a
zaetni
A c
I I b c ab x
x c
=
++
= =
, po
vrtenju pa je fluks skozi zanko enak ni (enako veliko fluksa, kot v zanko vstopa, tudi
iz zanke izstopa). Zato je delo enako ( ) 0 1 ln 8,3 nJ2 c
zaetni
I b c a2 2
= 0 =
+= .
Vpraanja:
1. Zakaj je rezultat negativen? Ker mora delo opraviti zunanji vir. Zanko
moramo zavrteti v nasprotni smeri, kot bi se zavrtela pod vplivom
magnetne sile.
2. Zakaj je fluks skozi zanko enak ni, ko je zanka postavljena preno na
osnovno lego? Ker gre skozi en del zanke fluks skozi zanko v pozitivni
smeri, skozi drugi (enako velik) del pa enako velik fluks v negativni
smeri.
3. Kateri je stabilen poloaj zanke? Zanka se eli postaviti tako, da je fluks
skozi zanko najveji. Torej tedaj, ko lei ravni vodnik v ravnini zanke. Ta
lega je stabilna, e so sile usmerjene stran od zanke in labilna, e so
sile na vodnik v smeri osi zanke.
4. Koliken bi bil rezultat, e bi zanko zavrteli za 1800? Fluks skozi zanko je
v konni legi enako velik kot v zaetni legi, le nasprotnega predznaka
je. Torej bo rezultat 2 22 TA I = . Kaj pa, e zanko zavrtimo tako, da
zopet pride v zaetno lego (obrat za 3600)? Takrat je fluks skozi zanko
enako velik, kot na zaetku, vendar e je v prvi polovici zasuka (za
1800) delo negativno, bo v drugem delu zasuka delo pozitivno (delo
opravi magnetno polje), skupno delo pa bo enako ni. Lahko pa s
pomojo preklopa smeri toka v zanki ob polovici obrata zagotovimo
pogoje (komutator), v katerih bo sila na zanko vedno v smeri rotacije,
kar je osnovni princip delovanja raznovrstnih motorjev.
-
Delo magnetnih sil 5.
55
POVZETEK
1) Delo magnetnih sil lahko izraunamo iz osnovne zveze 2
1
m d
T
T
A F l=
, ali pa kar iz
razlike fluksov skozi zanko v konni in zaetni poziciji konni zaetna( )A I = . Fluks je
potrebno raunati v pozitivni smeri (kot bi kazal B v notranjost premikajoe zanke, ki ga
povzroa tok v zanki). Negativen rezultat pomeni, da je delo za premik morala opraviti
zunanja sila, pozitiven pa, da je delo opravilo magnetno polje da se je zanka gibala v
smeri rezultirajoih magnetnih sil na zanko.
2) Naredili smo primer iz translatornega premika in pokazali, da dobimo enak rezultat
z integracijo magnetne sile po poti in iz produkta toka zanke in razlike fluksov skozi
zanko v zaetni in konni legi zanke.
3) S pomojo komutacije toka v zanki omogoimo vrtenje zanke v magnetnem polju.
Naloge:
izpit, 24. junij 2003
izpit, 31. avgust, 2004
izpit, 20. september 2004
-
Navor na tokovodnik 6.
56
6. NAVOR NA (TOKO)VODNIK Equation Se ction 6Vsebina poglavja:
Navor kot vektorski produkt roice in (magnetne) sile.
Magnetni dipol in magnetni dipolni moment.
Navor na magnetni dipol.
Potrebna matematina znanja: vektorski in skalarni produkt.
Navor na zanko je osnovni princip delovanja vseh vrtljivih delov pri izkorianju pojava
magnetnega polja kot npr. prikazovalniki z vrtljivimi tuljavicami ali motorji. Pri razumevanju in
analizi navora na tokovodnik v magnetnem polju nam pomaga koncept magnetnega dipola.
Poleg tega nam koncept magnetnega dipola pomaga pri razlagi magnetnih pojavov v snovi.
e na tokovodnik v magnetnem polju deluje sila, potem v primeru vpetja z roico doline r
deluje na vodnik navor5
T r F=
(6.1)
Velikost navora je torej sinT rF = , kjer je kot med smerjo vektorja roice in sile. Smer
vrtenja je pravokotna na ravnino, ki jo doloata vektorja roice in sile.
SLIKA: Na tokovodnik v magnetnem polju deluje sila. Navor deluje v smeri vektorskega
produkta med silo in roico.
5 Vasih se za navor uporablja tudi simbol M. Za pravilno smer navora je potrebno zavrteti vektor r v F in
ne obratno.
-
Navor na tokovodnik 6.
57
Primer:
Vodnik v obliki zanke (tokovna zanka) s tokom 10 A doline 10 cm in stranice 5 cm vpet na zgornjem vodniku kot kae slika. Preno na zanko, pod kotom 300 na normalo na zanko, je homogeno polje 0,1 T. Koliken je navor na zanko?
SLIKA: Visea zanka vpeta na zgornji stranici.
(0, ,0)yr e r r= =
( )sin , cos ,0F F F =
, kjer je F IlB= .
0 0 sin
sin cos 0
x y z
z
e e e
T r F r e rF
F F
= = =
ali kraje: z izraunom le amplitude navora: sin 2,5 mNmT rF = = .
Primer: Koliken tok bi moral tei skozi tokovno zanko na sliki, e elimo, da se zanka postavi
pod kotom 450 na osnovno lego, ko zanka visi vpeta na zgornjo stranico. L=10 cm, R=4 cm,
B=50 mT. Pri izraunu poenostavimo navor na zanko zaradi sile gravitacije tako, da
upotevamo le silo na spodnjo stranico z maso 10 g. (Magnetno polje je usmerjeno v smeri
gravitacije)
tan 1BF
mg = = ,
2 2
3
10 kg 9,8 m/s19,6 A
0,1 m 50 10 T
mgIlB mg I
lB
= = = =
.
SLIKA: Slika zanke zamaknjene za kot 450.
-
Navor na tokovodnik 6.
58
NAVOR NA TOKOVNO ZANKO V MAGNETNEM POLJU. Obiajno nas zanima navor na zanko v magnetnem polju. Vzemimo pravokotno prevodno zanko
s tokom I, doline l in irine d, ki je v sredini vpeta na os, kot kae slika. Navor na zanko v
homogenem polju, ki je za kot zamaknjeno od normale na povrino zanke dobimo z
upotevanjem sile na stranico doline l:. Poleg sile, ki deluje med vodniki lastne zanke (ki ne
povzroa rotacijo zanke), delujeta v zunanjem magnetnem polju na stranici zanke sili ,B lF
na
levo in ,B dF
na desno stranico. e oznaimo z d vektor, ki kae od levega do desnega vodnika,
velja
, ,
2 2B d B l
d d