olasilik ve olasilik daĞilimlari

OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI

Olasılık

Sonlu sayıda yinelenebilen bir denemede, olası Sonlu sayıda yinelenebilen bir denemede, olası sonuçların herhangi birinin ortaya çıkma (elde edilme) sonuçların herhangi birinin ortaya çıkma (elde edilme) şansı ilgili sonucun OLASILIĞI olarak adlandırılırşansı ilgili sonucun OLASILIĞI olarak adlandırılır

Olasılık P( ) simgesi ile gösterilir.Olasılık P( ) simgesi ile gösterilir.

( ) içinde olasılığın hangi sonuca ait olduğu belirtilir.( ) içinde olasılığın hangi sonuca ait olduğu belirtilir.

)1( ),( ),( 1 xPAPxP gibigibi

Olasılık, ilgilenilen sonucun oransal sıklığıdır.Olasılık, ilgilenilen sonucun oransal sıklığıdır.

Bir A denemesine ilişkin olası sonuçlar,Bir A denemesine ilişkin olası sonuçlar,

k2x . . . . . . , ,x ,x

1

Her sonuca ilişkin tekrar sayılarıHer sonuca ilişkin tekrar sayıları

k2m .. . . . . , ,m ,m

1

olduğundaolduğunda

Olasılık

k

iim

m)x(P

1

11

......................................................

k

ii )x(P

1

1

10 )x(P i

k

iim

m)x(P

1

22

k

ii

kk

m

m)x(P

1

Olasılık

Bir onkoloji kliniğine başvuran göğüs kanseri tanısı Bir onkoloji kliniğine başvuran göğüs kanseri tanısı konulmuş 120 hastanın evrelere göre dağılımı aşağıdadır.konulmuş 120 hastanın evrelere göre dağılımı aşağıdadır.

EvreEvre SayıSayı %%

E1 E1 ((XX11) ) 75 75 ((mm11) ) 62,562,5

E2 E2 ((XX22)) 25 25 ((mm22) ) 20,820,8

E3 E3 ((XX33) ) 15 15 ((mm33) ) 12,512,5

E4 E4 ((XX44) ) 5 5 ((mm44) ) 4,24,2

ToplamToplam 120120 100100Kliniğe yeni başvuran bir hastanın 1. evrede olması olasılığıKliniğe yeni başvuran bir hastanın 1. evrede olması olasılığı

6250120

754

1

11 ,

m

m)x(P

ii

OlasılıkÖrnek 1:

Bir olayın olası tüm sonuçlarının bulunduğu kümeye Bir olayın olası tüm sonuçlarının bulunduğu kümeye denir.denir.

Örneklem Uzayı

Bir Sonucun Tümleyeni

Kendisi dışındaki diğer sonuçların tümüne, ilgili Kendisi dışındaki diğer sonuçların tümüne, ilgili sonucun tümleyeni denir.sonucun tümleyeni denir.

)()( APAP 1

1 )()( APAP

Olasılık

)( AxP Olasılıklarına yığılımlı olasılık denir.Olasılıklarına yığılımlı olasılık denir.

nmxxP /)( 11

nmxxP /)( 22 nmxxP /)( 33

......................................................

nmxxP kk /)(

nmxxP /)( 11 nmmxxP /)()( 212

nmmmxxP /)()( 3213 ......................................................

1 )( kxxP

k

iimn

1

olmak üzereolmak üzere

iseise

OlasılıkYığılımlı Olasılık:

OlasılıkOlasılık

EvreEvre SayıSayı %%

E1 E1 ((XX11) ) 75 75 ((mm11) ) 62,562,5

E2 E2 ((XX22)) 25 25 ((mm22) ) 20,820,8

E3 E3 ((XX33) ) 15 15 ((mm33) ) 12,512,5

E4 E4 ((XX44) ) 5 5 ((mm44) ) 4,24,2

ToplamToplam 120120 100100

Kliniğe yeni başvuran bir hastanın en çok 2. evrede olması olasılığıKliniğe yeni başvuran bir hastanın en çok 2. evrede olması olasılığı

8330120

25754

1

212 ,

m

mm)xx(P

ii

Yığılımlı Olasılık: Örnek 1(devam):

Olasılık

Ayrık Olaylar

Aynı anda ortaya çıkması olası olmayan olaylara denir.Aynı anda ortaya çıkması olası olmayan olaylara denir.

AA BB

Olasılık

0)( BAP 0)( BAP)()()( BPAPBAP )()()( BPAPBAP

Kesişim

İki ya da daha fazla ayrık olmayan olayın bir arada İki ya da daha fazla ayrık olmayan olayın bir arada ortaya çıkması olayına denir.ortaya çıkması olayına denir.

)( BAP )( BAP

AA BB

Olasılık

)( DHP

HH++ DD++

Bir toplumdan rasgele seçilen 50 yaş üstü 100 kişide diyabet ve hipertansiyon dağılımı aşağıda verilmiştir.

D++ D-- T

H++ 20 20 40

H-- 15 45 60

T 35 65 100

100

20)( DHP

Olasılık

Örnek 2:

Birleşim

İki ya da daha fazla olayın herhangi birinin ortaya çıkması olayına denir.

AAAA BB)( BAP

Ayrık Olmayan OlaylardaAyrık Olmayan Olaylarda

)()()()( BAPBPAPBAP

AA BB

Ayrık OlaylardaAyrık Olaylarda

)()()( BPAPBAP

Olasılık

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar

)( )()( BPAPBAP iseise

A ve B olayları bağımsızdır.A ve B olayları bağımsızdır.

)( )()( BPAPBAP iseise

A ve B olayları bağımlıdır.A ve B olayları bağımlıdır.

Olasılık

Bağımsız Olaylar: Birinin ortaya çıkma olasılığının diğerine bağlı olmadığı olaylara bağımsız olaylar denir. Bağımlı Olaylar: Birinin ortaya çıkma olasılığının diğerine bağlı olduğu olaylara bağımlı olaylar denir.

Koşullu Olasılık

Aynı anda ortaya çıkması olası, ayrık olmayan olaylardan birinin ortaya çıkması, diğerinin ortaya çıkma olasılığını değiştirir. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir.

)(

)()\(

BP

BAPBAP

Olasılık

Bir toplumdan rasgele seçilen 50 yaş üstü 100 kişide Bir toplumdan rasgele seçilen 50 yaş üstü 100 kişide diyabet ve hipertansiyon dağılımı aşağıda verildiğine göre diyabet ve hipertansiyon dağılımı aşağıda verildiğine göre bu toplumda 50 yaş üstü hipertansiyonu olan bir kişide bu toplumda 50 yaş üstü hipertansiyonu olan bir kişide diyabet görülmesi olasılığı nedir?diyabet görülmesi olasılığı nedir?

D+ D- T

H+ 20 20 40

H- 15 45 60

T 35 65 100

40,0100

40)( HP

35,0100

35)( DP

20,0100

20)( HDP

OlasılıkKoşullu OlasılıkÖrnek 3:

=0,5

)(

)()|(

HP

HDPHDP

İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerin dağılma İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir.sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir.

Dağılma özelliklerine Dağılma özelliklerine OLASILIK DAĞILIMIOLASILIK DAĞILIMI adı adı verilir.verilir.

İstatistiksel çözümlemeler belirli bir olasılık İstatistiksel çözümlemeler belirli bir olasılık dağılımına dayandırıldığından çözümlemede kullanılan dağılımına dayandırıldığından çözümlemede kullanılan değişken(ler)in bu olasılık dağılımına uyması gerekir.değişken(ler)in bu olasılık dağılımına uyması gerekir.

OLASILIK DAĞILIMLARI

Herhangi olasılık dağılımı , Herhangi olasılık dağılımı , y = f(x)y = f(x) biçiminde biçiminde tanımlanan matematiksel bir fonksiyondur.tanımlanan matematiksel bir fonksiyondur.

y, x değerlerinin ortaya çıkma sıklığını y, x değerlerinin ortaya çıkma sıklığını gösterir.gösterir.

f(x), yoğunluk fonksiyonu olarak da f(x), yoğunluk fonksiyonu olarak da adlandırılır.adlandırılır.


f(x), x değişkeninin sürekli olması durumunda aşağıdaki f(x), x değişkeninin sürekli olması durumunda aşağıdaki özellikleri taşır.özellikleri taşır.


f(x), x değişkeninin kesikli olması durumunda aşağıdaki özellikleri taşır.


Çok sayıda olasılık dağılımı bulunmaktadır. Bunlar Çok sayıda olasılık dağılımı bulunmaktadır. Bunlar arasından en sık kullanılanları:arasından en sık kullanılanları:

Normal dağılımNormal dağılım

Binom dağılımıBinom dağılımı

Poisson dağılımıPoisson dağılımı

µ, kitle ortalamasını ve µ, kitle ortalamasını ve 22 kitle varyansını kitle varyansını göstermek üzere dağılım (yoğunluk) fonksiyonu,göstermek üzere dağılım (yoğunluk) fonksiyonu,

2

2

1

2

1

µx

e)x(P

2

2

1

2

1

µx

e)x(P

İstatistik çözümlemelerde en çok yararlanılan İstatistik çözümlemelerde en çok yararlanılan olasılık dağılımıdır.olasılık dağılımıdır.


Normal (Gauss) Dağılım

Dağılım grafiği, aşağıdaki gibidir.Dağılım grafiği, aşağıdaki gibidir.



• Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değeri birbirine eşittir.

• Dağılım ortalamaya göre simetriktir.

• Alanın % 50’si ortalamadan geçen dikey çizginin sağına, % 50’si soluna düşer.

• Eğri altında kalan toplam alan bir birim karedir.

1dx)x(f



%68,26%68,26

6 8 2 60 .)x(P



%95,44%95,44

2 2

9 5 4 4022 .)x(P



%99,74%99,74

3 3

9 9 7 4033 .)x(P



4040 5050 6060

Ortalamaları farklı, standart sapmaları aynı olan NORMAL dağılımlar



Ortalamaları aynı, standart sapmaları farklı olan NORMAL dağılımlar

3535 4040 4545 5050 5555 6060 6565 7070 7575



işlemi ile,işlemi ile,

b

dx)x(f)bx(P

b

dx)x(f)bx(P

Normal dağılımda yığılımlı olasılıklar,Normal dağılımda yığılımlı olasılıklar,

herhangi [a b] aralığına ilişkin olasılıkherhangi [a b] aralığına ilişkin olasılık

b

a

dx)x(f)bxa(P b

a

dx)x(f)bxa(P işlemi ile bulunabilir.işlemi ile bulunabilir.

Yukarıdaki hesaplamaları yapmak kolay olmadığından ; bu Yukarıdaki hesaplamaları yapmak kolay olmadığından ; bu hesaplamalar için standart normal dağılım yaklaşımından hesaplamalar için standart normal dağılım yaklaşımından yararlanılır.yararlanılır.



Normal Dağılımın özel bir biçimidir. Normal dağılıma Normal Dağılımın özel bir biçimidir. Normal dağılıma dayalı hesaplamalarda kullanıcılara kolaylık sağlar.dayalı hesaplamalarda kullanıcılara kolaylık sağlar.

µ=0 ve µ=0 ve =1 dir.=1 dir.

Yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir.Yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

22

1

2

1)(

zezP



Standart Normal Dağılım:

Eğer bir x değişkenininEğer bir x değişkeninin normal normal dağıldığı biliniyorsa dağıldığı biliniyorsa

x

zeşitliği ile elde edilen z değerleri eşitliği ile elde edilen z değerleri ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standart ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standart normal dağılıma uyar.normal dağılıma uyar.

0

Dağılımın grafiği aşağıdadır.Dağılımın grafiği aşağıdadır.



• Bu özellik, ortalama ve standart sapmanın değerine Bu özellik, ortalama ve standart sapmanın değerine bağlı değildir.bağlı değildir.

• Ortalama ve standart sapma ne olursa olsun x Ortalama ve standart sapma ne olursa olsun x değişkeninin normal dağılması bu özelliğin geçerliği değişkeninin normal dağılması bu özelliğin geçerliği için yeterlidir.için yeterlidir.

• Çeşitli z değerleri için 0 ile z arasında kalan alanı Çeşitli z değerleri için 0 ile z arasında kalan alanı gösteren z tablosu geliştirilmiştir. Bu tablodan gösteren z tablosu geliştirilmiştir. Bu tablodan yararlanarak normal dağılıma dayalı hesaplamalar yararlanarak normal dağılıma dayalı hesaplamalar yapılabilir.yapılabilir.



Standart Normal Dağılım TablosuStandart Normal Dağılım Tablosu

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0.000 0.004 0.008 0.012 0.016 0.020 0.024 0.028 0.032 0.036

0.1 0.040 0.044 0.048 0.052 0.056 0.060 0.064 0.067 0.071 0.075

0.2 0.079 0.083 0.087 0.091 0.095 0.099 0.103 0.106 0.110 0.114

0.3 0.118 0.122 0.126 0.129 0.133 0.137 0.141 0.144 0.148 0.152

0.4 0.155 0.159 0.163 0.166 0.170 0.174 0.177 0.181 0.184 0.188

0.5 0.191 0.195 0.198 0.202 0.205 0.209 0.212 0.216 0.219 0.222

0.6 0.226 0.229 0.232 0.236 0.239 0.242 0.245 0.249 0.252 0.255

0.7 0.258 0.261 0.264 0.267 0.270 0.273 0.276 0.279 0.282 0.285

0.8 0.288 0.291 0.294 0.297 0.300 0.302 0.305 0.308 0.311 0.313

0.9 0.316 0.319 0.321 0.324 0.326 0.329 0.331 0.334 0.336 0.339

1 0.341 0.344 0.346 0.348 0.351 0.353 0.355 0.358 0.360 0.362

1.1 0.364 0.367 0.369 0.371 0.373 0.375 0.377 0.379 0.381 0.383

1.2 0.385 0.387 0.389 0.391 0.393 0.394 0.396 0.398 0.400 0.401

1.3 0.403 0.405 0.407 0.408 0.410 0.411 0.413 0.415 0.416 0.418

1.4 0.419 0.421 0.422 0.424 0.425 0.426 0.428 0.429 0.431 0.432

1.5 0.433 0.434 0.436 0.437 0.438 0.439 0.441 0.442 0.443 0.444

1.6 0.445 0.446 0.447 0.448 0.449 0.451 0.452 0.453 0.454 0.454

1.7 0.455 0.456 0.457 0.458 0.459 0.460 0.461 0.462 0.462 0.463

1.8 0.464 0.465 0.466 0.466 0.467 0.468 0.469 0.469 0.470 0.471

1.9 0.471 0.472 0.473 0.473 0.474 0.474 0.475 0.476 0.476 0.477

2 0.477 0.478 0.478 0.479 0.479 0.480 0.480 0.481 0.481 0.482

Örnek 5:10000 yetişkin üzerinde yapılan kolesterol tarama testi sonucunda kolesterol değerlerinin 190 ortalama ve 50 standart sapma ile normal dağıldığı görülmüştür. Kolesterol normal sınırlarının 150-200 olduğu bilindiğine göre kaç kişinin kolesterolü yüksektir?

190190 200200



?

Standart Normal Dağılım yaklaşımını veStandart Normal Dağılım yaklaşımını ve

eşitliğini kullanarakeşitliğini kullanarak 205 0

1 902 002 0 0 .z

20

5 0

1 902 002 0 0 .z

bulunur.bulunur.

00 0,20,2



?

x

z

Standart Normal Dağılım Tablosu kullanarak z=0,2 değerine Standart Normal Dağılım Tablosu kullanarak z=0,2 değerine karşılık gelen olasılık değeri: karşılık gelen olasılık değeri:

z 0.00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090.0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

0,2 0,07932 0,0832 0,0871 ... ... ... ... ... ... ...

1,6 0,4452 0,4461 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0.4750 0,4756 0,4761 0,4747... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...



00 0,20,2


?

0,07932

Yetişkinlerin %42’sinin Yetişkinlerin %42’sinin kolesterolü yüksektir. Çalışma yüksektir. Çalışma 10000 kişi üzerinde yapıldığından 0,42068 * 10000 =10000 kişi üzerinde yapıldığından 0,42068 * 10000 = 42074207 kişinin kolesterolü yüksektir.kişinin kolesterolü yüksektir.

42068,007932,05,0)2.0()200( zPxP

olasilik ve olasilik daĞilimlari

Documents