olasilik ve İstatİstİk ii

OLASILIK ve İSTATİSTİK II

Öğr. Gör. Dr. Berk AYVAZ

DERS 1: Student t Dağılımı

• Normal eğri alanları tablosu (Z Cetveli) ancak büyük örnekler için (yani, n 30 için) gerçekçi sonuçlar verebilir.

• Örnek büyüklüğü 30’dan daha küçük olan problemlerde, örnek değerleri normal dağılımdan uzaklaşırlar.

• Küçük örneklerden elde edilen istatistiklerin dağılımı Student t dağılımına uygundur.

• Küçük örnek istatistiklerinin gösterdiği dağılım normal eğri gibi simetrik bir özellik arzeder.

• Bununla birlikte, normal eğriye göre daha basık ve yaygın bir şekil alır. • Böylece eğrinin kuyruklarında daha büyük alan olur. • Örnek hacmi küçüldükçe normalden uzaklaşma da o nisbette artar.

Student t Dağılımı OLASILIK ve İSTATİSTİK II

Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

• Aşağıdaki grafik student t dağılımı ile normal dağılımı birlikte göstermektedir.



• Meselâ, n < 30 için X’in Xı ile X2 arasında bulunması ihtimali Student t dağılımına göre daha büyük olarak bulunurken n 30 için X’in X2 ile X3 arasında bulunması ihtimali normal dağılımda daha büyük olacaktır.

• Küçük örnekler için Z cetveli yerine, çeşitli örnek büyüklükleri ve ihtimal seviyeleri için ayrı ayrı hesaplanmış t cetvelleri kullanılır.

• Bu cetvellerde, Çeşitli önem seviyeleri ve serbestlik dereceleri için ayrı ayrı t değerleri veril miştir.

• için t değeri, Z değerine çok yaklaşır. • Bu sebeple, n > 30 olan örneklerde, t cetveli yerine Z cetveli kullanılabilir.

Aksi halde t cetveli kullanılmalıdır.



• Küçük bir örnekten elde edilen X istatistiği anakütle ortalaması ’in nokta tahminidir.

• Aynen bunun gibi örnek standart sapması s’de anakütle standart sapmasının nokta tahminidir.

• Örnek ortalaması ve n - 1 adet X değeri bilindi ğinde geri kalan bir X değeri bulunabilir.

• Söz konusu X değeri bağlı değer iken n -1 adet serbest değer vardır. • Bu sebeple küçük örneklere ait ortalamaların standart hatası nispeten büyük

olur.

Ortalamalar için Güven AralığıOLASILIK ve İSTATİSTİK II




• Bu yüzden tek anakütle ortalamasına ilişkin güven aralığı hesabında ve tek anakütle ortalamasına ilişkin testlerde n - 1 serbestlik derecesi ve önem seviyesine göre kritik t değerleri tespit edilir.

• Verilen önem seviyesine göre anakütle ortalamasına ilişkin güven aralığı oranı ikiye bölünerek t eğrisinin her iki ucuna eşit olarak yüklenir.

• Böylece, v = n - 1 serbestlik derecesi ve /2 hata oranı ile 1 - güven sınırları,

formülü yardımıyla hesaplanır.



• Aşağıdaki grafik güven aralığını göstermektedir.

• N=15 büyüklüğündeki bir örnek vasıtasıyla anakütle ortalamasına ilişkin %95 güven sınırları tespit edilirken hatası 1-0,95=0,05’tir.

• Bu hata t eğrisinin sağ ve sol ucuna eşit olarak dağıtıldığında 0,05/2=0,025 olur.• Bu alanları belirleyen biri negatif ve diğeri pozitif iki t değeri vardır. • V=n-1=15-1=14 serbestlik derecesine ve = 0,025 hata oranına göre t cetvelinden

bulunacak t= 2.145 değerleri aradığımız kritik t değerleridir.

n - 20 büyüklüğündeki bir örnek vasıtasıyla anakütle ortalamasına iliş kin %99 güven sınırları için t değeri ?

Örnek 1OLASILIK ve İSTATİSTİK II


Bir fabrikada üretilen 25 mamulün ortalama ağırlığı 1040 gr standart sapması 25 gr bulunmuştur. %95 güvenle, bu imalat prosesinde üretilen mamullerin ortalama ağırlığı hangi aralıkta yer alır?

Çözüm 1OLASILIK ve İSTATİSTİK II


v = n- 1=25-1=24 serbestlik derecesi ve 0.05/2 hata seviyesi için kritik t değerleri ±2.064’tür. Güven sınırlarını veren formülde diğer bilinenler yerine yazıldığında,

Söz konusu imalat prosesinde üretilen mamullerin ortalama ağırlığının, %95 güvenle, 1029,47 ile 1050,53 aralığında yer alacağını söyleyebiliriz.



Bir anakütleden rastgele seçilen 17 birimin ortalama ağırlığı 4.98 kg ve standart sapması 0.07 kg olarak bulunmuştur. Anakütle ortalamasının %99 güven sınırlarını bulunuz.



v = n - 1 = 17 - 1 = 16 serbestlik derecesi ve 0.01/2 hata seviyesi için kritik t değerleri ±2.921 ’dir. Güven sınırlarını veren formülde diğer bilinenler yerine yazıldığında,

Sözkonusu anakütle ortalamasının, %99 güvenle, 4.93 kg ile 5.03 kg arasında olmasını bekleriz.



Bir cep telefonu üreticisi, üretilen cep telefonlarındaki bataryaların bir kez şarj edildikten sonra ortalama ne kadar süre kullanıldığını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla rassal olarak 17 telefon bataryası seçilmiş ve bunların ortalama 135 saat kullanılabildiği ve standart sapmanın 28 saat olduğu belirlenmiştir. %99 güven düzeyi için istenilen tahminlemeyi yapınız.

Arthur D. Little, Inc., estimates that approximately 70% of mail received by a household is advertisements (Time, July 14, 1997). A sample of 20 households shows the following data for the number of advertisements received and the total number of pieces of mail received during one week.

ÖDEV 1OLASILIK ve İSTATİSTİK II


a.What is the point estimate of the mean number of advertisements received per week? What is the 95% confidence interval for the population mean?b. What is the point estimate of the mean number of pieces of mail received per week? What is the 95% confidence interval for the population mean?c. Use the point estimates in parts (a) and (b). Are these estimates in agreement with the statement that approximately 70% of mailings are advertisements?

METROPOLITAN RESEARCH, INC.

• Metropolitan Research Şirketi bir firmanın hizmet seviyesi ölçümü için bir araştırma yapmaktadır. Araştırmada Detroit’te faaliyet gösteren bir firmanın ürettiği araçların performansını müşteri memnuniyeti ile ilişkilendirmektedir.

• Bunun için araçlarında vites problemi yaşayan müşterilere bir anket formu gönderilmiştir. Aşağıdaki veriler 18 aracın kaçıncı km’lik kullanımdan sonra vites arızası verdiğini göstermektedir.

• YÖNETİM RAPORU • %95 güven düzeyinde anakütle için vites hatası görülene kadar olabilecek araç kullanım ortalamasını

bulunuz.• Hata teriminin 5000 km olması için %95 güven düzeyinde popülasyon büyüklüğünün kaç olması

gerekmektedir.

VAKA ANALİZİ 1OLASILIK ve İSTATİSTİK II


Ortalamalar Arası Fark İçin Güven AralığıOLASILIK ve İSTATİSTİK II


• İki anakütleden tesadüfi olarak seçilen n1 ve n2 hacimlerinde iki küçük örnekten hareketle anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven sınırları belirlenebilir.

• Birinci örneğin serbestlik derecesi n1 - 1 ve ikinci örneğin serbestlik derecesi n2 - 1 olduğu için, toplam serbestlik derecesi v =n1 + n2 - 2 olur.

• Anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven aralığı tespit edilirken v = n1 + n2 -2 serbestlik derecesine ve /2 hata payına göre t cetvelinden iki değer bulunur.

• Örnek ortalamalarından büyük olanını X, ile gösterirsek örnek ortala maları arasındaki farktan hareketle anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven sınırlarını,

• ( ) +



İki ampul fabrikasının birincisinden tesadüfi olarak 15 ampül seçildiğinde ortalama dayanma süresi 1315 saat ve standart sapma 43 saat bulunuyor. Aynı yöntemle, diğer fabrikadan 17 ampül seçildiğinde, ortalama dayanma süresi 1300 saat ve standart sapma 32 saat olarak hesaplanıyor. %95 güvenle, anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven sınırlarını tespit ediniz.



v = n1 + n2 - 2 =15+17-2 = 30 serbestlik derecesi ve 0.05/2 hata seviyesi için kritik t değerleri ±2.042’dir. Anakütle ortalamaları arasındaki farkın, %95 güvenle,

( )+

(1315)+

-13.59



13 deneme sonrasında bir benzin pompası ortalama 125 ml fazla benzin ölçümü yaparken standart sapma 17 ml olmuştur. Bir başka benzin pompası ise 10 deneme sonrasında deneme başına ortalama 110 ml fazla benzin ölçümü yapmış ve standart sapma 19 ml bulunmuştur. Anakütle ortalamaları arasındaki farkın %99 güven sınırlarını bulunuz.



• v = nı+n2-2 = 13 + 10-2 = 21 serbestlik derecesi ve 0.01/2 hata seviyesi için kritik t değerleri ±2.831’dir.

• Diğer bilinenler yerine yazıldığında, anakütle ortalamaları arasındaki farkın, %99 güvenle,

( )+

(1)+

-7

Bir şehir planlama grubu aynı muhitte ikamet eden iki farklı ev halkının gelirleri arasındaki fark üzerine bir çalışma yürütmektedir. Bağımsız rassal örnekler için elde edilen değerler aşağıdaki gibidir.



a) 95% güven düzeyi için iki grubun ortalamaları arasındaki farkın aralığını bulunuz.

VAKA ANALİZİ ÇÖZÜMOLASILIK ve İSTATİSTİK II


Ortalamalarla İlgili Hipotez TestleriOLASILIK ve İSTATİSTİK II


• Ortalamalarla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek muhtemel sıfır hipotezi ve alternatif hipotez çiftleri aşağıda gösterilmiştir.

Çift kuyruk testi Sol kuyruk testi Sağ kuyruk testi

• Ortalamalarla ilgili hipotez testlerine ait test istatistiği,

eşitliğiyle bulunur. • Anakütle standart sapması bilinmediğinde bunun yerine ör nek standart sapması

kullanılabilir.

Ortalamalarla İlgili Hipotez TestleriOLASILIK ve İSTATİSTİK II


• Çift kuyruk testi yapıldığında v = n - 1 serbestlik derecesi ve /2 önem seviyesine göre ±t kritik değerleri hesaplanır.

• Test istatistiği bu iki t değerinin arasına düştüğünde H0 hipotezi kabul, aksi halde reddedilir.

• Sol kuyruk testi yapıldığında v = n - 1 serbestlik derecesi ve önem seviyesine göre t cetvelinden bulunacak kritik değere eksi işaret verilir.

• Test istatistiği -t kritik değerinden daha küçük olduğunda Ho hipotezi reddedilir, aksi halde kabul edilir.



Bir fakültede not ortalamasının 65 olduğu iddia edilmektedir. Tesadüfi olarak seçilen 26 öğrencinin not ortalaması 60 ve standart sapması 3 bulunmuştur. %1 önem seviyesinde fakülte not ortalamasının 65'ten az olduğunu söyleyebilir misiniz?



Problemin son kısmı test edilecek hipotez çiftinin,

şeklinde olduğunu göstermektedir.Sol kuyruk testi olduğu için v = n - 1 = 25 derecesi ve = 0.01 ’e göre kritik t değeri -2.485’tir.

Örnek hacmi 30’dan küçük olduğu için test istatistiği;

𝑡 h=𝑋−𝜇𝑠

√𝑛−1

𝑡 h=6 0−65

3√26−1

-8,33

Buna göre %1 önem seviyesinde Ho hipotezi reddedilerek, fakülte not ortalamasının 65’ten küçük olduğuna karar verilir.



Bir konserve fabrikasının imal ettiği konservelerin üzerinde brüt 455 gr yazmaktadır. Bu konservelerin brüt ağırlıkları ile ilgili bir karar vermek üzere rastgele seçilen 17 kutunun ortalama ağırlığı 450 gr ve standart sapması 13 gr bulunmuştur. Brüt ağırlığın 455 gr olmadığını 0.05 önem seviyesinde söyleyebilir misiniz?



• Test çift kuyruk testi olduğu için v = n - 1 = 17 - 1 =16 serbestlik derecesi ve /2 = 0.05/2 = 0.025’e göre kritik t değeri ±2.12 değeridir.

• Test istatistiği

𝑡 h=𝑋−𝜇𝑠

√𝑛−1

𝑡 h=4 50−455

13√17−1

-1,54

Buna göre %5 önem seviyesinde Ho hipotezi kabul edilerek fabrikada üretilen konservelerin brüt 455 gr’dan farklı olmadığına karar verilir.

1 Karat H renkli elmasın USA ‘daki fiyatı $4000 ‘dır. Orta Amerika’dan bir mücevherat firması New York aynı tip elmasın fiyatının $4000 ‘dan farklı olup olmadığı üzerine bir araştırma yapmak istemektedir. Bunun için New York’ta bulunan 14 firmadan fiyatlar alınmıştır.

a) Sıfır ve alternatif hipotezleri kurunuz.b) α= 0 .05 için kritik t değerini bulunuz. c) 14 firmanın ortalama fiyatı $4120 ve standart sapması $275 ise hipotezin doğruluğunu

test ediniz.



İki Anakütle Ortalamasına İlişkin Hipotez Testleri

OLASILIK ve İSTATİSTİK II


ÖRNEKLERİN BAĞIMSIZ OLMASI HALİ

• Ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek Muhtemel sıfır hipotezi ve alternatif hipotez çiftleri aşağıda gösterilmiştir.

Çift kuyruk testi Sol kuyruk testi Sağ kuyruk testi

• Çift kuyruk testi yapıldığında v = n1 + n2 - 2 serbestlik derecesi ve /2 önem seviyesine göre ± t kritik değerleri hesaplanır.

• Sol kuyruk testi yapıldığında v = n1 + n2 - 2 serbestlik derecesi ve önem seviyesine göre t cetv elinden bulunacak kritik değere eksi işareti verilir.

• Sağ kuyruk testinde v = n1 + n2 - 2 serbestlik derecesi ve önem seviyesine göre t cetvelinden bulunacak değer kritik değerdir.

• Ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testlerine ait test istatistiği

𝒕𝒉=(𝑿𝟏−𝑿𝟐 )−(𝝁𝟏− 𝝁𝟐)

√𝒔❑𝟐 ( 𝟏𝒏𝟏

+ 𝟏𝒏𝟐 )

Örneklerin Bağımsız Olması HaliOLASILIK ve İSTATİSTİK II


• Anakütle varyanslan bilinmediğinde bunun yerine örnek varyanslan kullanılabilir.

• Sıfır hipotezinin doğru olabileceği faraziyesiyle hareket edildiği için test istatistiği formülündeki farkı 0 kabul edilir ve tersi ispatlanmadığı sürece, ve değerlerinin birbiriyle homojen olduğu ve bu varyanslar üzerinden,

𝒔𝟐=(𝒏𝟏−𝟏 ) 𝒔𝟏❑𝟐+

(𝒏¿¿𝟐−𝟏)𝒔𝟐❑𝟐

𝒏𝟏+𝒏𝟐−𝟐¿

• gibi ortak bir varyans hesaplanabileceğini söyleyebiliriz. • Görüldüğü üzere bu ortak varyans iki örnek varyansının serbestlik derecelerine

göre tartılı aritmetik ortalaması alınarak bulunmuştur.



İki ayrı sendikaya bağlı olarak çalışan sanayi işçilerinin aylık ortalama gelirlerini mukayese etmek isteyen bir iş müfettişi, A sendikasından tesadüfi olarak seçtiği 22 işçinin aylık ortalama gelirini 35.5 milyon lira ve standart sapmayı 3.4 milyon lira olarak bulurken. B sendikasından tesadüfi olarak seçtiği 20 işçinin aylık ortalama gelirini 34 milyon lira ve standart sapmayı 3.7 milyon lira olarak hesaplamıştır. İki sendikaya bağlı olarak çalışan işçilerin ortalama gelirleri arasındaki farklılığın önemli olmadığını, %5 önem seviyesinde, söyleyebilir misiniz?



• Çift kuyruk testine göre v = n1 + n2 - 2 = 22 + 20 - 2 = 40 serbestlik derecesi ve /2 = 0.05/2 = 0.025 önem seviyesinde kritik t değeri ±2.021’dir.

• Test istatistiğini hesaplamadan önce ortak varyansı,

𝑠2=(𝑛1−1 ) 𝑠1❑2 +

(𝑛¿¿2−1) 𝑠2❑2

𝑛1+𝑛2−2¿ =12.57

• Ortak varyans dikkate alındığında ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testine ait test istatistiği

=



Aynı faaliyet kolunda üretim yapan fabrikaların birincisinden tesadüfi olarak seçilen 15 mamulün ortalama dayanma süresi 135 gün ve standart sapması 15 gün; İkincisinden alınan 13 mamulün ortalama dayanma süresi 130 gün ve standart sapması 18 gündür. %1 önem seviyesinde, birinci fabrikada üretilen mamullerin ortalama dayanma süresinin daha fazla olduğunu söyleyebilir misiniz?



• Sağ kuyruk testine göre v = n1 + n2 - 2 = 15 + 13 - 2 = 26 derecesi ve = 0.01 önem seviyesindeki kritik t değeri 2.479’dur.

• Ortak varyans;

Sağ kuyruk testi

𝑠2=(𝑛1−1 ) 𝑠1❑2 +

(𝑛¿¿2−1) 𝑠2❑2

𝑛1+𝑛2−2¿ =270.69

• Ortak varyans dikkate alındığında ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testine ait test istatistiği

= % 1 önem seviyesinde Ho hipotezi kabul edilerek aynı faaliyet kolunda üretim yapan fabrikalarda üretilen mamullerin ortalama dayanma süreleri arasındaki farkın önemli olmadığına karar verilir.

Gasoline prices increased substantially from 1999 to 2000. The American Automobile Association provided information on the mean cost per gallon for self-serve regular unleaded gasoline over the 2 years (AAA Going Places, May/June, 2000). Assume the following results were obtained from independent samples of locations throughout the country.

a) What is the point estimate of the increase in the mean cost per gallon from 1999 to 2000?

b) What is the 95% confidence interval estimate of the increase in the mean cost per gallon from 1999 to 2000?



Bir işletme iş süreçlerinde verimliliği artırmak için yeni enformasyon sistemi kullanmaya karar vermiştir. Bunun için yeni sistemin faydalarını test edebilmek için işletmedeki 24 bilgisayar kullanılmıştır. 12 analist yeni sistemi 12 analist ise eski sistemi kullanmaktadır. Sistemler arasında fark olup olmadığı test edilmek isteniyor. Her iki örnekleme ait veriler aşağıdaki gibidir:



• V=n1 + n2 - 2 =12+12-2=22• α= 0.05, • t= 1.717



Eşlenik Çift Örnekler HaliOLASILIK ve İSTATİSTİK II


• Aynı veya benzer örnekler üzerinde birbirinden farklı iki muamelenin uygulanması sonucu elde edilen verilere eşlenik çiftler denir.

• Bağımsız örneklerde, serideki herbir rakam diğerinden bağımsızdır.• Bununla birlikte, eşlenik örneklerde herhangi bir rakam ancak karşısındaki

rakamla birlikte başka bir yere taşınabilir.• eşlenik çiftlere uygulanan muamelenin birbirinden farklı olup olmadığını

eşlenik çift örnek testi ile test edebiliriz. • eşlenik çift örneklerde ikinci rakamlar birincilerinden çıkarılarak bir fark serisi

oluşturulur.• Fark serisini D ile gösterirsek, bu serinin oluşturduğu anakütle ortalaması ve

standart sapması olur.• Fark serisinin ortalaması ve standart sapması;

𝐷=∑ 𝐷𝑛 𝑠𝐷=√𝐷2−

(√𝐷 )2

𝑛𝑛−1

Eşlenik Çift Örnekler HaliOLASILIK ve İSTATİSTİK II


• Test, sıfır hipotezinin doğruluğu faraziyesine göre yapıl dığı için sıfır kabul edilir. • Ancak, örnek istatistiği , ’nin sıfırdan farklı olabileceğini de ortaya koyabilir.• Çift kuyruk testi yapıldığında, v = n - 1 serbestlik derecesi ve /2 önem seviyesine göre ±t

kritik değerleri hesaplanır. • Sol kuyruk testi yapıldığında, v = n - 1 serbestlik derecesi ve önem seviyesine göre t

cetvelinden bulunacak değere eksi işaret verilir. • Test istatistiği -t kritik değerinden daha küçük olduğunda Ho hipotezi reddedilir, aksi

halde kabul edilir.• Sağ kuyruk testinde, v = n - 1 serbestlik derecesi ve önem seviyesine göre t cetvelinden

bulunacak değer kritik değerdir. Test istatistiği kritik değerinden daha büyük olduğunda Ho hipotezi reddedilir, aksi halde kabul edilir.



İki ambalaj makinası farklı mamulleri ambalajlarken belirli miktarlarda üretim kaybına sebep olmaktadır. Sebep oldukları üretim kayıpları yönünden bu iki makinayı mukayese etmek isteyen üretim mühendisi, iki makinanın üretim kayıplarını gr cinsinden aşağıdaki gibi bulmuştur. Buna göre A makinasının B makinasına göre daha az üretim kaybına sebep olduğunu %1 önem seviyesinde söyleyebilir misiniz?



• Negatif farkların anlamlılığı test edileceğine göre kurulacak hipotezler

Sol kuyruk testi

• Test, sol kuyruk testi olduğu için, v = n- 1 = 10-1=9 serbestlik derecesi ve = 0.01 ’e göre kritik t değeri -2.821’dir.

• Farkların ortalaması ve standart sapması;

𝐷=∑ 𝐷𝑛

= -1.56

𝑠𝐷=√𝐷2−(√𝐷 )2

𝑛𝑛−1

=1.24

Buna göre % 1 önem seviyesinde Ho hipotezini reddederek, A makinasının B makinasından daha az üretim kaybına sebep olduğunu söyleyebiliriz.



İki komisyoncunun aynı evlere farklı fiyatlar verdiği iddia edilmektedir. İddiayı test için 12 ev seçiliyor ve komisyonculardan bu evlere 1000 $ bazında fiyat vermeleri isteniyor. Elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir. Bu verilere göre, iki komisyoncunun aynı evlere farklı fiyat uyguladıklarını %5 önem seviyesinde söyleyebilir misiniz?



• Test, çift kuyruk testi olduğu için v = n— 1 = 12-1 = 11 serbestlik derecesi ve a = 0.05/2 = 0.025’e göre kritik t değeri ±2.201 ’dir.

• Farkların ortalaması ve standart sapması;

Çift kuyruk testi

𝐷=∑ 𝐷𝑛

= -0.167

𝑠𝐷=√𝐷2−(√𝐷 )2

𝑛𝑛−1

=1.904

𝑡 h=𝐷𝑠𝐷√𝑛

=-0.30 Buna göre %5 önem seviyesinde H0 hipotezini kabul ederek, fiyatlan dırma yönünden komisyoncuların birbirinden farklı olmadığına karar veririz.

olasilik ve İstatİstİk ii

Documents